GRICE ITALO A-Z U

 

 

Luigi Speranza – GRICE ITALO!; ossia, Grice ed Unicorno: la ragione conversazionale e l’implicatura conversazionale dell’arimmetica universale – the logically developing series -- scuola di Bergamo –filosofia lombarda -- filosofia italiana – By Luigi Speranza, pel Gruppo di Gioco di H. P. Grice, The Swimming-Pool Library (Bergamo). Abstract. Keywords: arimmetica universale. Grice on UNIFIED recursion for ‘number’. The modes of unification actually listed by Aristotle consist in (a) what Grice dubs, with deference to Peano, recursive unification in which the application of each member of a range of predicates is determined by the conditions governing the application of a primary member of that range, and as opposed to both what Grice, with deference to Owen, calls focal unification (unification which derives from connection with a single central item), and analogical unification, in which the applicability of one predicate or class of predicates is generated by analogies with other predicates or classes of predicates, I shall consider these headings in order. The cases of Peanoan recursive unification are primarily, though not exclusively. mathematical in character; they are also cases in which what one might call the "would-be" species of a generic universal stand to one another in relations exemplifying priority and posteriority. The Platonists – or academia, as Cicero prefers --, so Aristotle tells us, regarded such priority and posteriority as inadmissible between fellow species of a single genus. Aristotle does not explicitly subscribe to this view, but he does not explicitly reject it and is liable to act as if he accepted it. Grice suggests that ‘number’ and ‘soul’ fall under this type of unification – vide his “Method in philosophical psychology: from the banal to the bizarre”. Why should priority and posteriority stand in the way of being different species of a single genus? Why should not different numbers be distinct species of the genus number? In the case of numbers, End. Eih. (121%aff.) attempts a reductio ad absurdum: if there were a form (universal) signified by "number" it would have to be prior to the first number, which is impossible; this argument might be expanded as follows: consider a sequence of "number-properties" (Pl, p?..., e.g., 2-ness, 3-ness ...): such a sequence satisfies, inter alia, the following conditions. For any x and for any n 1, x instantiates Pi entails x does not instantiate pa-' (nor indeed any P'). For any x and for any n * 1, x instantiates P" entails something y (* x) instantiates pr-/If P™ = P', no counterpart of (a), (b) holds; so Pl is the first number. If the fulfillment of the above conditions is to be sufficient to establish a sequence of properties as a sequence of number properties, then there cannot be a universal number; if there were, it would, like any genus, be prior to each of its species, and so prior to Pl; but since P' is the first number it cannot have a predecessor and so nothing can be prior to it. There seem to be two objections. It is by no means clear that the above conditions are sufficient to guarantee that a sequence of properties is a sequence of number-properties. Even if they were, one part of them would not be fulfilled in the case of Pl and being a number; if x instantiates Pl (viz., 2-ness), x, not something other than x, will instantiate being a number, a set whose cardinality is 2 itself instantiates being a number (as a cardinality). If this route to a denial of the existence of a generic universal number fails there are two further possibilities. One might attempt to represent conformity to a "standard" genus-species-differentia model as being not just an acceptable picture of situations in which a more general universal has under it a range of subordinate universals which are its specializations, but as being constitutive for such examples of the existence of the more general universal. The slogan might be "For there to be a universal U, with specializations U,, U,, ..., U,, U has to be the genus of those specializations with all that that entails" (or, more briefly, "no specialization without species"). The justification for such a claim will not be easy to find. While, intuitively. one might be prepared to accept the idea that a more general universal must be independent of its specializations in that the non-emptiness of the general universal should be compatible with the emptiness of any particular specialization (though not of course with the emptiness of all specializations), it does not seem intuitively acceptable to make it a condition of the existence of U that any pair of specializations U, and U2 should be in this sense independent of one another. One might try a simpler form of argument. If the special cuses for the application of a general term E, that is to say, the universals U, ... U, are united by a single ordering relation R into a series 5, the elements of which [U, ... U.] cover every item to which E applies, and only such items, then we do not need a generic universal U; its would-be species U, ... U, are already unified by membership of the series S. The expression "being an instance of some universal in the series S" is of course applicable to anything to which E is applicable; but this expression does not even look like the name of a genus. The modes of unification of ‘signification’ actually listed by Aristotle consist the idea of a logically ‘developing series,’ in what Grice dubs, with deference to Peano, recursive unification. Recursive unification of ‘signfication’ is one in which the application of each member of a range of predicates P1, P2, … Pn – think Peano’s ‘natural number’ -- is determined by the conditions governing the application of a primary member of that range. As such, recursive unification is distinct fom what opposed to what Grice, with deference to Owen, calls focal (pro hen) unification – unification, that is, which derives from connection with a single central item. But Peano’s recursive unification of Aristotle on ‘signification’ is also distinct from analogical unification, in which the applicability of one predicate or class of predicates is generated by analogies with other predicates or classes of predicates, and which features large in Grice’s account of eschatology – ‘just’. Grice consider these headings in order. The cases of Peanoan recursive unification are primarily, though not exclusively. mathematical – both aristhmetical and geometrical -- in character. The cases of recursive unification of ‘signification’ are also cases in which what one might call the "would-be" species – Grice’s S -- of a generic – Grice’s G --  universal, such as say, ‘soul’ -- stand to one another in a relation exemplifying priority. The Platonists – or academia, as Cicero prefers --, so Aristotle tells us, regarded priority as inadmissible between fellow species – Grice’s S -- of a single genus – Grice’s G.Aristotle does not explicitly subscribe to Peano’s recursive view – pace JOACHIM -- but he does not explicitly reject it and is liable to act, “as if he accepted it,” in the cautious parlance of Joachim. Grice, with Peano, and Joachim, suggests that ‘number’ and ‘soul’ – but also ‘just’ (dikaios), friend (philos, amicus), and ‘constitution’ -- fall under this type of unification – vide his “Method in philosophical psychology: from the banal to the bizarre” for Grice’s uncredited reference to Joachim and Mure on the ‘developing series’.  Why should priority stand in the way of being different species – Grice’s S -- of a single genus – Grice’s G? Why should not different numbers – consider Aristotle’s discussion of ‘There is one’ as less informative than ‘There is two’ --  be distinct species of the genus – Grice’s G -- number? In the case of numbers, End. Eih. (121%aff.) attempts a reductio ad absurdum. If there were a form or universal ‘signified’ by "number" – or “soul”, or “friend” or “constitution” or “just” --, that form or universal (katholou, versus particular ekaston -- would have itself to be prior to the first number one, which is impossible. This reductio ad absurdum may be expanded as follows. Consider a sequence of "number-properties" (Pl, p?..., e.g., 2-ness – or duplicity, 3-ness, or trinity. Such a sequence satisfies the following conditions. For any x and for any n 1, that x instantiates Pi entails that x does not instantiate pa-' (nor indeed any P'): a trinity or tripllicity or pluricity or triality ain’t a duplicity, or duality. For any x and for any n * 1, that x instantiates P" entails something y (* x) instantiates pr-/If P™ = P', no counterpart of (a), (b) holds. Therefore, Pl is the first number. If the fulfillment of those conditions is to be deemed sufficient to establish a sequence of properties as a sequence of number properties, there cannot be a universal number. If there were, it would, like any genus – Grice’s G -- , be, prior to each of its species in which it instantiates or realises, and so prior to Pl. But, since P' is the first number, it cannot have a predecessor: nothing can be prior to it. There seem to be two objections by Peano to this. It is by no means clear that the above conditions are sufficient to guarantee that a sequence of properties is a sequence of number-properties. Even if they were sufficient, one part of them would not be fulfilled in the case of Pl and being a number. If f x instantiates Pl (viz., 2-ness, duality, or duplicity), x, not something other than x, will instantiate being a number, a set – or class, in Peano’s and Russell’s and Austin’s Frege parlance -- whose cardinality is 2 itself instantiates being a number -- as a cardinality. If this route to a denial of the ‘existence’ or legitimate predicatbility of a generic – Grice’s G -- universal number fails, there are two further possibilities. One may attempt to represent conformity to some ‘standard; genus-species-differentia (Grice’s G, Grice’s S, Grice’s D) model as being not just an acceptable picture of situations in which a more general – Grice’s G -- universal has under it a range of sub-ordinate universals which are its specialisations – Grice’s S -- , but as being constitutive for such examples of the ‘existence’ – or legitimate predictability -- of the more general universal. The slogan might run as follows. For there to be a generic – Grice’s G -- universal U – translating Aristotle’s Katholou --, with specialisations U1, U2 ..., Un,  the generic – Grice’s G – universal U has to be the genus – Grice’s G -- of those specialisations – Grice’s S -- with all that that entails – in Moore’s sense of ‘entail.’ More briefly: no specialisation without species. Or No specialization without specification. The justification for such a claim will not be easy to find. While, intuitively. one might be prepared to accept the idea that a more general or generic – Grice’s G -- universal U may be independent of the universal’s specialisations in that the non-emptiness of the general or generic – Grice’s G – universal U should be compatible with the emptiness of any particular specialisation – Grice’s S --  though not, of course, with the emptiness of EVERY specialization --, it does not seem intuitively acceptable to make it a condition of the ‘existence’ or legitimate predictability of a universal U that any pair of specialisations – U1 and U2, say -- should be in the same way independent of one another – notably the posterior being independent of the prior! One might try a simpler form of argument. If the special – Grice’s S -- cases for the application or instantiation of a general – Grice’s G -- term E – Grice’s G -- , that is to say, the universals U1, U2,  ... UN -- are united by a single ordering relation R into a logically developing series S – to use Joachim’s and Mure’s phrase -- , the elements of which –U1, U2, …, UN --  cover every item to which the generic G -- E -- applies, and only such items, we may not need – unlss, of course, you are Frege, or Austin translating him -- a generic universal U; its would-be species -- U1, U2, … UN --  are already unified by membership to this logically developing series S. The expression "being an instance of some universal in the logically developing series S" is, of course, applicable to anything to which the generic G -- E is applicable. But this expression does not even look like the name of a genus. The phrase ‘Grice italo’ is meant as provocative. An Old-World philosopher such as Unicorno would never have imagined to be compared to a tutor at a varsity in one of the British Isles, but there you are! It is meant as a geo-political reminder, too. Many Italian philosophers have been educated in a tradition that would make little sense of Unicorno as a ‘Grice italo,’ but there you are. My note is meant as a tribute to both philosophers. Grice has been deemed an extremely original philosopher, and by Oxford canons he certainly was. He was the primus inter pares at the Play Group, the epitome of ordinary-language philosophy throughout most of the twentieth century. His heritage remains. Unicorno’s place in the history of philosophy is other. But there are connections, and here they are. Filosofo lombardo. Filosofo italiano. Bergamo, Lombardia. Essential Italian philosopher; unicorno (n.). Unicorno. Keywords: arithmos, numerus, numero, number. Opere: De l'arithmetica universale, In Venetia, Francesco senese De Francesch. Giuseppe Unicorno Giuseppe Unicorno o Unicorni (in latino Josephus Unicornus; Bergamo, 1523 – Bergamo, 28 settembre 1610[1]) è stato un matematico italiano.[2]  Fu anche filosofo, astrologo, musicologo e teologo.[3]  Opere Pronostico sopra l'anno MDLXXIX, Bergamo, Comino Ventura, 1578. (LA) De mathematicarum artium utilitate, Bergamo, Comino Ventura, 1584. De l'arithmetica universale, Venezia, Francesco De Franceschi. Note ^ D. Calvi, p. 289. ^ Pietro Riccardi, Biblioteca matematica italiana dalla origine della stampa ai primi anni del secolo XIX. Parte prima, vol. 2, Modena, Soliani, 1876, p. 563. ^ Unicorni, Giuseppe, su data.cerl.org, Consortium of European Research Libraries. URL consultato il 18 ottobre 2023. Bibliografia Donato Calvi, Giuseppe Unicorni, in Scena letteraria de gli scrittori bergamaschi aperta alla curiosità de suoi concittadini, vol. 1, Bergamo, per li figliuoli di Marc'Antonio Rossi, 1664, pp. 287-289. Altri progetti Collabora a Wikisource Wikisource contiene una pagina dedicata a Giuseppe Unicorno Collabora a Wikiquote Wikiquote contiene citazioni di o su Giuseppe Unicorno Collabora a Wikimedia Commons Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Giuseppe Unicorno Controllo di autorità                         VIAF (EN) 5043282 · ISNI (EN) 0000 0000 6139 7700 · SBN BVEV026864 · BAV 495/256112 · LCCN (EN) no2009030869 · BNF (FR) cb125394931 (data)   Portale Biografie   Portale Matematica Categorie: Matematici italiani del XVI secoloMatematici italiani del XVII secoloNati nel 1523Nati a BergamoMorti a Bergamo[altre]V f / 9*$: Wfc-* ( '  : . N vi * W,f) * fcv i*** * • K - \ \ì\ AftU\K.vJ 1 n Jj"\ * ,Vi ’ ) t ’ * '•i v c X, r X /ani Jet orvny Vernine rX / *r) t-avec? /*/ 1 f , / " ?. -> ' f Ve ;ufj d wlT l/c*™ n\ 1 . 1 •L'ARITHMETICA VNIVERSALE DEL CiG. IO SEP PO VNICORNO, MATHEMATICO  ECCELLENTISSIMO, Parte Prima: Nellaqualc fi contiene non folo la Theorica di tutti i Numeri, ma ancora la Prattica appartenente a tutti i negoti; humani. 7 /tiu- Trattata, & amplificata con fòmma eruditone , e con mai, Cr ifijuifiti modi di chiarella. CON PRIVILEGIO. @t*E38^ *♦ ■' etite - tnetia^apprejjb Francejco de Francejchi ijpfs -v — _ Con licenza de Superiori. Uà. . .~ts J “Sfi’ • ' V. ; i «-* • **77 '%' % 'V*'' • •«-' V* ’ *V- WHMTr ^ " • * % * , •* *** r * * * . r. c “* ’rW'^'^r ' i s| r , . . :•*'. . * x Muf ->! sJ' . ■*'. \ f i . V c [rA V. ^ <■ ■ • . « * *. »# ,• % c* « #1 \ 'if'-# ' : .>;■ r' rr f-# r 7 o*4 ? C'\ . . W J 1 ^». 1 V *7^ • .A V. ' .1. / '•-A b V_v , 4* » x-%. • X .1  . Xi X Ji-'A 3 H t l li • * 7 »s « % * . . 1 S KV il ; ," ». « * ( V , « . / V -. r > j ; * . • • % \! 'V' ->-V • ' ’,‘t‘ % < ■ » \ • • - * r « V . *r n : ■.- :;j r ‘‘ ' *%< Vt* \ 0 *-*v *K'tfr** \ J . k; < -v .: v . . TO ■*«. \\ic •■• .« .> . 7 1 .»' * .. . > -  • r » ‘K i ^ * i -2 «• ik<J >% ’St X? ■’. . V r W . v . - J- * <« _ v J * '.3Cs r *j— or *V * :• : • lM » ' V>* (' -• V. / * - » ■ i *.■' r* * . V ' ► * •. '.‘V'-.l J I •* . . “\ • -’J Ail ■ . -“^j| * • - ' ?: 1' J «-ST- - . Xf ' 4* f «’r K .J> ♦' .'S •• A; » . r % V -> V v. ifcfc *tA»ìtì - _ .. ■«A, (m> •* r * vV‘ ' . n - % * \ *- • > \ \v : • • J ^V\ìfS®j3K| * ’  v ». »! *. : v _ • , •/-" */'*'•* • ' ' * • ;t • •- te ù ^•>3^3 7"-X -, .> 4. -i 2 "? TAVOLA DI QVANTO si contiene nelliquattro Libri - di quefto Trattato. tt Itu \ 1VÌ iy nel Primo libro. v;- ' «-H > • -0 >. • . ' i.t .«iirts” Hecofa fa numero, & lenità, e della fu* diuijtone freon- <mwr do il Tbilofopho,& fecondo il Matematico.cap.i.car. r nieduefpeckdi quantità , Contorna , e Decreta .cu* pit.q. ^ '% l Delt inventori dell' Arithmetica,cap, .4. x 1 Della diuiftone dell' ^iritbmctica in Teorica, e Vrattica . 5 » • ^ Cfce co/k fta numero, digito, articob, e compoflo,e della rileuatioric di qua* lunque numero, cap.6. J.& 4 Del fecondo atto del primo jllgorifmo, detto fommare.cap. 7. 5 Delle due prone, cioè del 9. e del 7. caf.8. 1-drà Deltvnità attratta, e concreta, e la fua afferemmo., « di dinerfe mifitre, . & pefi.cap. 9. 7 De/ fommxre monete diuerfe, e pefi, e mi fare de dinerfe forti, con le loro pruouepraiticali.cap.io. ,, 7.8 Sommare di pef, lire, quarti, e onxe,e della quantità di ciaf una. 9 Mifure di f omentò, c legumi, al cojiume di Bergamo, 9 idifure di vino, fecondo il cofturne di Bergamo. 9 trfupcrji ciati mifure della terrafecondo Bergamo, Milano, e Lodi. lo M'furc di legna, det feno, IO ~ li pefo dell'oro, & dell argento in piu modi. » io Delle mifure delle muraglie, efofe, col pajfo di 5 . piedi perlonghc^a al modo di Fenetia. IO Del fecondo atto detto fottrattioni,ouero rejìo. cap, 1 1. u.ia.I j Quefito utile nelle computationi di A Urologia . 14 Sottrae di gradi,m!nuti,fecondi,e ter^i. 14 Del terxo atto detto moltiplicatloni, e Jua depmtiont, e diuijionc-j . ca - plt. 12. * : ' - •; ’ *f. Del moltiplicar per colonna. , ... *7 Del moltiplicar per fcachiero. Del moltiplicar per ripiego, epergrofetta, j|f jf: /<? £ T'*1 ' Dal. TAVOLA. i)rl mnllìtilieàr ber nua Arata Dei moltiplicar all’ indietro Sì Del moltiplicar per fcaue^Xq. Del (ì>ic?ar leaUantità nelle Fue minori parti. tati. t j — T~" — JT ! — 1 ! ' 1 * 'r~ J)rf t»nl t ttì! tr/tY ***ti »Yt* D / mnlrìfìlirar-nlruni numeri tinlL Aa &.i 1.4 jr a rìie nrnrlumnn rutti li nu 1 • — t — • — > — j — -i — neri di vna medefima fpctie.cap. i 4 11 Del partirctoucio dmidcrc-.e fua dcjuMii'ie.cap.i.u ±1- Dcl partir per tetta.o colonna, car. n .per ripiego *4- Come polla la valuta del tuttodì troua il pre^jo delle parti, cap. 16. 29 Tartirper Galea.car.ip.Ter Danda,car. 3 $.vfo di detti modi. 34 Me, pr attiche di far conti in Vcnetia a ce menar a. e migliarti. cap. 10. 36 felli numeri rotti.oucro frateioni naturali. cap. 1 1 . 40 Del fdufare dimtj.c1p.2x. 41 jlnh di trottar il wafinio numero,che numcrUo parti li due numeri <m s. pofli.cap.23. * 41 Del fommaredi rotti. cap. 14. .fi’/ futtrar di rotti in tutti modi, cap. 44- ±3- ìel moltiplicar de ratti in. tutti li wdLcop-.iG, 44 Del palili di rotti in tutti modi, cap. 2 7 Ml- Dell’ infilzar der0tti.cap.2S. 4* Qjteftto circa il fichi far di rotti. cap. 2 9. 49 Farij quefiti circa il fommar, fottrar , moltiplicar , partir , infilzar di rotti. .1 . .i^5»*$2*53 «MS S< 3* 37 58 5» LIBRO SECONDO. Di cinque fpctie di numeri attratti, cap. 1 . Delli numeri per fetti,abondanti,e diminuti . Detti numeri pari & impari,lor origine , e progreffioni. Dell' origine di numeri perfetti.cap. 1 1 . Troprietà di numeri impari. Di due numeri amicabiliycap.q. De numeri laterali,fuperficialiyquadrati,cubi,fuperfic 'iali fimili,folidi fi - mili,e loro defmitionì.cap.^. 5 9 Detti numeri diametrali cap.f.car.6l.Origine,eprog> cjfion loro. 6* Delle progreffioni di numeri cap.6. <*3 pegola vniucr fa le, per la quale fi fommano li termini di qualunque arith- meticaprogreffione car. 61 .altre regole intorno olii mede Cimi. 6 4 nella inuentinn dell arte delle figure di molti angoli » propofìi aritbmeti- taniente da BQCtÌQìcap,']<iar .6$, Dell area del pentagono. ó£ r~-— ■ . Dettoti- 3 r AVOLA . Dell'origine di numeri folidi arithmettei piramidali.cap.%. 6 f Regola generale di trottar la fuperficie di qualunque figura Geometri- ca!_>. 70 pelle progr estoni Geometriche cap. 9 7 1 Regola vniuerlalc cattata da Euclide di Jomuiar li termini delle progref- a'jìoni geometriche, cap. 1 o 71 fregola di fommar li termini della progì tJ]ion geometrica dilli teneri rfuadratt.cap.i ì.m varu modi. Bagola di faper raccogliere tutte le vnìtà di numeri cubiche fono da vno fino à qual numero ti piace, progrefjiuamente.cap. 12. 7 j Quefito di Leon Battifla architetto. 7 3 Di alcune regole notabili. cap. 1 3 . car. 7 3. Regola de cubi. car. 74. Di fot- trar cubi. v * Regola di fommar ce di ce,oucr quadrati dì quadrati , cap, 1 4. 74 Regola pertinente alfommar,efottrar delle radici rei. ite. 75 Delli cafi folubìlipcr le date t egole di progrejjioni. cap. 1 5 .car.jó.c fono molti,e dtucrji ca]t pno a car. Si Decimo ottano cafo, con qual progrcfjionc fi faccino li contrape/i delpcfar cofegroffe,e picciole. cap. 16 82 .l'ifìeffo per altra ria. Regola trouata da! Tartaglia per faper trottar in quanti modi può va- tiar il gettar di qual quantità di dadi fi voglia. 84 Que/ìto circa la congiontion di Tianeti pojto dal Cardano, cap. 1 7 85 j piattone di quefito per la regola di Modo eflratta dall'algebra, c. 18.85 Delle radici, e fue fpetìe diuerfc,c lor definittoni, cap. 19. 8 1 Della eflrattione diradici in gene rale, S<T Li fette numeri, che fempre fi adoperano nel cauar la Rad. Li fei numeri concorrenti all’eflratt/on della rad. feconda relata. Li cinque numeri concorrenti nel cattar la rad.cuba quadra. l i numeri concorrenti nel cauar la 1 ad. cuba. _ 88 88 89 Diucrfe tauole perdiuerfe radici. 1 Modo generale da offeruar nel cauar le radici. 90.91 Del cattar la rad, di rotti difcretamentc. Modo di cauar la rad, di numer i rotti irrationali. Regola di cauar la rad. di integri, & rotti. Secondo modo di cauar lerad.quadre. 93 Del modo di cauar la rad. cuba, car. 9 4. il modo di approjfimarfi fi tnpre più alla vera rad.cuba per numero. 97 Come fi cauano le propinque rad. cube di rotti,& integri,regola ncua. 97 Regola di cauar le rad.cubeper vn altro tnudo,trouattu da Moderni, cap. io. car. gì. con alcune propofiuioni. Modo di ir onar per ma di linee la rad , cuba d vn numero cofn alienale, ^ come tri allottale. ^ 00 . ,\j M j v ' _2*_ _2i_ 9J T AV O L A. Modo di di nidore vita linea data in quante parti editali fi vorrà, con vnt data apertura di di fio.cap.it ear.iot Delia dupl i: ione diL‘ ubo, cap. zi, i or Regola di approffimarfi nelle rad, rad. Corde, Tot Della ellr attirine delti rotti , e'r interri ri r rotti-delie rad, di rad, coli ra - ■ tignali, come irr ottonali. ro$ Della cjlr att ione della quarta ffictie detta rad. relitta, e fua appro/ftma - tione.cap.73. loé Del cauar le rad. relate delti rotti & integri t rotti irrationali, regola ge nerale. 1-09 Qucfito poflo da fra Luca, e dal Cardano, cap.ì+. 1 1 1 Regola generale di trouar il lato di qualunq; figura di molti angoli aritfr- iaeticumente.cap.7i. III LIBRO TERZO. jilvoridmo delle radici in tutti tnodi.cap. 1 . M« Della molliplicatione di radici. cap. 1. ri? Del partir di radici, cip. ?. ' 1U Del aiiarto e attinto atto detto fommar, e fottrar di radici in finn e.c. 4.1 1 f Del fottrar di radici, cap.t. 117 D clt algori fmo del più .e meno, cap. 6. ut Del fottrar detp. & tn. cap 7. ni Del fottrar di più e meno. cap. 2. no _ Del moltiplicar del più e meno. cap. 0. * n« Del partir dipinemeno.cap.i 0. ni 0 finto alvoridmo di Binomii , cap. 1 1 . 111 - nd fommar di Binomu c Reciti* 122 Cerne Ci Camma vna ananticà a* vnfol nome con aualunque ff>etie di Bino- m n nure rrfidun . 1 12 Modo di dominar qualunque fbetiedi binomio , 0 rcftduo con qualunque • mitro binomio 0 refi duo. 113 Del fecondo atto detto fottrar di Bincmt] , e Recifi in tutti modi con fuoi elfempi.cap.17. 11 ? Comedi dot tra aualfi voglia binomio ,ò recido da btnomio,ò recifo. 114 Tiri moltiplicar di binomu. e recidi.terio atto, cao.it. Il ó.fina 119 Dii partir di binomu , e recifi.atto quartoxap. 14, I»9 Del partir vna quantità per vn binomio. m De l vanir vn binomio per vn altro binomio. 131 jdHcrtimcnti circa la prugna del partir binomu, e recift. 133 Bel partir vna quantità per vn binomio, 0 recido cubo,ouer mifio di rad. tuba. X J* TAVOLA. atbt,e quadra. ter. i|| capii. 1 5. 13* Varie condii ioni di binomi] e reci fi. * ili Bflratione ielle radici di tali binomij , e recift , -e eoa alcuni e f empi . c4rf.119.T40. D e binomij, e radici ynhterfali.cap.i6. *4» Velia radice dijiinta. 4* Del fommar,e fottrar di rai.yniuerfalt. 4? Del moltiplicar vna rad.yniuerfale per numero, 0 per radici. 4? Del partir yna r ad. yniuer foiba per vn numero. *44 Alodo dipartir vna rad.yniuerfale per yn' altra rad.ymncr. *4? Del Jommar,e fottrar delle rad.vniuerjali. 1 45 Le depmtttom delle 15. linee, de < juale due Jono dette rattonale , e i altre 1 j .fono irrationali, e le 13. ai 'ire fue radici, che fono 16. irrat iona- F. 1 4 6. fino a 1 5 j ^tlgo tifino di proporzioni, e delle Jpetie, e regole di propor tionalità tato breue,& ytilc. Delle proportìoni della inequalità,e loro cinque Jpetie. trat- M3 54 Velia proportionalitd. 1>6 Modo di continuar li termini di qualunque proportione. 156 Due regole della continua proportionalità. ‘5 7 J{ego la della dif continua. 57 pegola dalla quale Jtcaua laproua dUy.& del 9 57 vdTzorifmi di proporzioni ,c prima del fommar le proporzioni. 57 Del fottrar le proportioni. 53. Della moltiplication di proportioni per vani numeri. ' 158.159 Della diuifton de proportioni . car. 159. alcune regole per varie forte di dividere. IJP lóo.idt Della proportion di rotti. 161 Drlle proportioni irrationali. idi. proportene vanente limerò, e aue cjtrcmi , car. 101. iuncrji jnoi ìt:i,fino alti 169. doue fe inj'egna à trovar la juperficic dimoiti Jigu- equilatere , con Cerea del cerchio. LIBRO QVARTO. . re D ella rcgoLi del tre. car .17»,, J pegola del tre conuerf a cefi fette. iqt < pegola del tre doppia, chiamat i regala del J .fon molti caJ1.car.lj2.1j4. r> inw . v Jtr TAVOLA. fm pruoua ' T^ouc <juc fui fallibili per la regola del tre. T7C 176.176 Delle lei quantità proportionali pofle da Ulcbmdo. 177. fino à 192 Della prima ejeconda Bagola delie falle pofitioni , chiamata da strabi Hncsiaym.ear. 1 gi.neue quali fono poJU fette cajt fin à j94. . . 194 Delle due falje po/itioni,car. 1^4. ne Ile quali fi pongonà epmndect quefiti dtuerfi.fi/io alli. ac>4 fi ' v . -i: f'.V » ;uw \v r Mmt w?< i Marnai • «.* «’ ~ iti 'ru't Xii. v MI * *'V~ • 5 t ' H , f l •%TO • *<ì W n,i» v\ " 1 *. ■ i *Jbu « ' V' V Urtiti" ’ I ■ Vi CtiS'iW Iti**» . «tii: .•1 . : ‘ r. ■ o* 1 V % AL SERENISSIMO PRENCIPE FRANCESCO MARIA II. DVC A D'VRBINO AMPUSS. COS I ordinato dalla madre hi atura, 'vero in [ir omento della Diurna arte,S ere nifi Prenctpe$\ eh tutte le cofi create tendmo a quello 'ultimo fine , alquale per Diuin confitto fino fatte & or- dinate; rq* non filamente le nar turali , ma anchorale artificiali per natura figuono quefia diurna diifofitione,attefi che , fecondo il Fi- lofi fi , [Arte quanta o pub fìa imitatrice della Natu ra: & quefìo ordine tanto pitie fpett abile , quanto eferuato nelle più nobili creature . Onde fi vede pri ma,che gli elementi tendono ciafiuno al fio naturai luogho, come al fuo vltimo r ipofi, neiquale appettfie fimpre l'effere cT il confiruarfi ; ilche chiaramente. a fi vede nella t erra, laquale il abilita circa il centro del f vniuerfi , nondimeno e prodot trice di varq m- »■ • • * 2 nume- numerabili fatti, herbe ; & piantr, & Coltre di fa numerabili specie de animali, come fi vede : ^truffa * ciò per ornamento delt'IJniuerfò , & dell humana Natura, attuinole tutte le altre creature fono figgete te r & donate ; ac et òche guardando in quelle con' r et ta con t empianone ppteffericonofcer^ le cofe celefti,et mcorrotibili,& finalmente la fila origine, ét fuo Crea tore, come afferma il Vafo di eie tt ione, fcriuendo alli Romani Per tanto Shuntano -animo filmile al fuo- cofecondo alcuna cofa fempre àfiende ,fin che fi con - gionge al fio ottimo fine , fi non è ritardato dall ocio, & dalla graueffa del pefi & vane cogitationi.cbe lo tengono , come vile mancipio al baffo, & di fpiritua le fi ondo in questa terrena fece, fi t) afinuta quafi in natura corporea ; ma fiondo nella fua celefie origine & igneo vigore, al fine di corporea tramutata in spi- rituale natura , afeende nelli fuperni Chori in com- mercio delle Gherubine,& S eraphiche int elligenti e . Effendo adunque l’Huomo,come animale rationale . poco minuito dagli Angelt,come dice il Profeta, & fatto alla fimihtudtne del Mondo maggiore , & coi- rne vincolo dellvntuerfo,fu da Ftlofofi detto Aion- ; do picciolo , ilquale dotato di triplice potenza , cioè d'intelletto, memoria, & volontà, per vna duplica- ta trinità fu fatto nel fi fio giorno, fecondo li piufècre- ti T heologi , per virtù delquale ternario fu attifiimo altinuefligare con proprio fudore & indyflria ogni fòrte deficienti & arti Specularne, & operamela ''■Luh " rionali, fiottali Scorali, et naturali, conficlerado T opere di que fla inferiore natura , fi come la terra produce innu - mer abili Specie di piante , & ammad ; & l'acqua quafimfimte specie de pefii ; pero per virtù dell har- monta de tutti gli elementi , & corpi celeSh , co fi dal mare dell humano intelletto furono efiogitati mdi- iter fi tempi & luoghi , quafi infinite arti , dtjci pii- ne,comeanchor a accenna ilMantouan Poeta nelpri mo delle Georgiche , Specialmente naturali ,Mat he * matiche,& ( Diurne Et quefio mare della human a cognittone fu dinifi in dtuerfi membri, golfi,& rami , cioè in arte naturali, che contengono la Medicina Ja difiillatoria,la virtù delle piate, et minerali dalla na tura prodotti, et dall'arte fab ricali- & altri furono detti Adathematiche , che contengono l Artthmettca Speculatola & prattica,la (geometria ,che contien la Stereometriaèmbadometria,et Iffimetria , la Mti fica & fùoi membri , & Afbrologja & firn depen- denti, Cofinographia, Chorographia , Archtttetura , quafi man & laghi, fiumi, torrenti, riui , & r ufi elli . particolari, che irridanola terra delle human e cogi- tat ioni, facendola fertile, & germinante, bagnando, & humettando la dure {fa dell' olio & pjrttta hn- mana,qual e cagione deilafieriltta de fu humam in- telletti per confir mattone dt tutti li Sapienti, che tino minarli particolarmente in que Sì o luogo farebbe [ù- p erfiua fatica.onde appare, che la vmone de tutte le tnuenttom,& arti vtih,& commode alt humana vi ' tadorne fino t agricoltura f architettura/ arte miti - tare, la navigatoria, ti lanificio ,& la pittura fi pop no per conveniente analogia chiamare Amphitrite9 onero tl grande Oceano imperò alcuni de piu fo- rno fi Theologi interpretano quel detto della Sacro Gene fi, cioè Congregcntur aqu&.qu/tfub calo /untò» locum vnum,£f appareat arida , idefl congregentur oes virtutes animale s,nepe {enfiti exter iores , et inte- riore ad locum vnum / de fi ad intel!eftum,& appo reat nuda,^ aperta ventai, qua pnus caligine teda via apparebat : la quale verità non e altro, che la co- gnitione delle cofi inferiori fìtpertori , & vno lu- me dell' intelletto per il quale fi può contemplare il ve ro lume, come dice il Profeta , cio è , Domine in lumi ne tuo videbimus lumen Pertanto SeremfiimocDv cadendomi per bontà di queliavera luce, che illu- mina ogni huomo che viene in quefia mi Ima dell’ - humana vita foncé duta commoditàgià molti anni di componer vn T rattato vniuerfàle, che contenere ampiamente la vtilitàrdell Arithmetica,con filutione de ogni notabile quefito,che poffa communemente oc correre in tutti li negotij del Mondo, nonfilamentc ne Ut trafichi de mercanti per terra, & per nauigatio - numa anchora ad ogni artefice , c9* * Sor genti per far ordinante de fildati fi Medici per compofittone'dt medicine dtuerfèfi Legifli per alcuni cafi che fèndala cognittone de numeri & loro proportioni non fipoffò no esplicar e, ^ molte altre JfecuUtioni , e pr attiche da moderni auttori ritmiate co la [òlutione de lorù p. quefiti, quanto più breuefia poftbt le, parte per Alge- bra,# parte per altre regole*.# ejfendo cjuejl e nofìre copofittoni et raccolte, come vn minimo torrente che de fiderà [correre # vnirfi con t ampli fimo pelago della [uà famofiftma,# per tutto Ivntuerfo decan- tata libraria , [fiero, che non fi [degnerà di metterlo nel fito ampli fimo # tranquillo Alare , come al fao defilato fine ,# ripofo; # come ripieno d' ogni fòr- te di virtù, e dottrina [ come dalla mia puerile # gtouentle età fi mpre mi fu con fimma lode nomina- to,# {ferialmente dall’ / ùùfìrif imo # Reueren - di fimo di felice memoria il Cardinale Albano, delle cui heroiche virtù, mirabile dottrina ,# etoqu en%a neffuna etàjaràgiamaifiordeuolej dal quale non de genera la [uagenerofiftma prole per le fiue rare virtù cortefia, amoreuole conuer fattone ,# magnanimità di tanto Padre dignifima,qualè il molto llluflre Si- gnor Conte Giouan Dominico Albano,# il Signor Caualher Gtouan (jierommo fito primogenito Fi. gltuolo gioitine di ottima a[fetcatione;dtra di ciò mi ricordo batter letto molte hi fiorie, che fanno [ingoiar mentione denobiltfimi # llluflriftmi ^Antichi preceffori di V. <\Altéf{a Seremftma# fuoi fatti per pace # guerra di eterna memoria dignt fi- mi; quali per fuoi cumulat fimi menti mfiemcj con voflra Serenità hanno configuito da Regi,# Ivn feratori quelli piufignolatitim # dignità, che dar fi pojfono fipoffono-, onde furnoanchora chiamati Prefetti di Roma, Metropoli della Chriftiana Republtca,& Ca po del Mondo ; Per tanto facilmente comprendo, che per memorie antiche & moderne fino commemora ti fiuoi fatti egregij, & memorabili imprefe cofinelle arme y come nellt gotierni del Stato , governato con fimma prudentia, pietà, et giu/htia}cìje à ricordarle dijfujamcnte già ritornar et tn un'altro vafufiimo mare. Bajì ami al presti e, che, quefìo mio l ibro,come rufiello s v nifi a ali ampio Pelago della fina (àmofifii ma Libraria, la qual tengo di ragione [he no cederla à quella che -Pi fibrato fece in Attiene. & dipoi da §erfè fu trasportata in Perfia, poi 'la Selen- io ricondotta tn Athene j & meno ceder sa à quell’ al tronche Tolomeo Philadeljo hebbetn Egitto di ^vtt lumi,& molto meno a quella dtGordsamAi 7, volli? mi; Perche quelle, anchora che fu fero numero fi, non dimeno piccioli trattati occupati. uno grandi & am- pli luoghi, effe ndo fin itti m tauole cerate,ouero in fior (e d arbori & altri in s poeto fe foglie de alcuni or bo- rlande poche (catture f ace uano gran numero de • libri Et coft e da credere ,che fujjero fcritti i libri del antichi [simo Mercurio 'Trijmegiflo ,che nelle anti- che hi Sion e f legge e fière Siati fi che tutta la fua età non farebbe flatabaftante in legger e, non che incotti ponere tanto numero de libri ; Credo ben che voSlra Serenità comevn nono lume apparfò per dar luce & rtfchiarire quesia cahgmofa età inficine con li Sere ’ , - ni/s imi nìftmi progenitori,^ per virtù militare & fj?le:i- ? dor di animo non filano ente vincano li chiari & in . eliti He ori de Ila no flra et a ,m a anchora qualunchcal tro filendejfe nell’ anticha etade , come Achille per feruordi vittoria: di fortezza Epammunda-di acor telala Annibaie , £$* Pirro.di magnanimità Alef /andrò Macedone , & de Promani Giulio Ceferefdi prudentia , religione fede Numa Pompilio & *T raiano; Pompeo di filertia et vigilantia , Camil- lo & Regalo di amore verfi la patria; li Sci pioni di militare difiipltna,et magnanimità, et altri innume- rabili 3che volendoli projeguire con condegne lodi, non baflarebbe ogni fi tb de Poeti, et il fiume della tullia- na eloquetia re farebbe afciutto.onde non dubito che quefto mio Labro come rufcello ag giù fido a quefìo in- definite mare no per fi, ma per la gran def/a del Ino go, nel quale beto [corre ,non viua.e no fi renda felice, trouandofi quefio t anto fortunato genio, perche come dice quel P oeta ViLturus gentù deb et habere liber. Et cofi defederò a vojìra Sublimitavita feltctfiima dal fòmmo donatore della ver a et immortai vita . • D. V Alt . S erenifiima. Ser deuotifi. fjiofippo Vnicorno . ** * v-rL c(j3 *. ,v ...p . u ;• ■■ • *• . ' ;U?‘ ' - -'v v**; ,'ù ^ - -- / » 41 ^ K'VipiM > ^ V|bnl •'•' .;■*. •. * - . . • • . <>\ì' \ t .. 1 . - • .» *■” • • ■ . »'• -V * i<> > wsjvi*. v?r,v./ c,u •: . /.ivj* '.v. •1 k3M * *-/ ^ V * f . "w 4 # v . ; ÌO V ' ) U' . • ... : ■ , . :\ "V: " ■" ?pr.>\ wtoW’S.’ft “• wjY .-> a t • *jV*v ■ ^ \ V.v. A; |iA\ ’ g ; _ - 15 •V '\ Vvv5 *!vr « _ài S V' i# 1 .ir 1 i - *V * | *U" vtiA\s,\v..-a O -5 ' * v ìv. - ì’ ll\'^Ì.v>‘ J'V '*Ù\ÙW3I Jf.AVI . '=■' .. ♦.•tev&iVH» , ; '.ViTrt.1 ; v, •- &i\ ; ’ .• c t*‘> * 'V5* V' - \dy.> Vv ’.m c *AiFi ILmt. ^»ià« • «*• * «.j M W' ■ ì*i <vù|v^kv ~ ; i‘; V%T\ , *• *11: vv->W.4.v»v-n\ ,***?■ '«xiUS * ->*<r / «i ■ Tl ' * V> Sr.«» ' p ^ 1 ■ ■ * ■ ■ V -J -V^ < 4 i *?§££•„ i A - * . * *- 4*T -»,_• -- r <v *^2^5£ i r?--*! — .- . - J. .V - v? . JE . B i* r-tì? DELL’ARITHMETICA DI GIOSEPHO VNiCORNO LIBRO PRIMO-. Che contiene il Primo , e Secondo Algori fino, cioè de Integri , ÒC de Rotti m * ^ tutti i modi. % Rapitolo Triino . <AVE 7^D 0 propofto nettammo mio di feti- uere, & trattare dell'arte de numeri con quel- la br cu ita, & -utilità che all' ingegno mio fard poftibile ; ho giudicato ejfer co fa conueueuole, anxj neceffaria prima di finir e, & poi diuidere la quantità come genere , & principio di ejft Arte : perche , come dice il ThUofopho nel pri modella Triturale Thilofopbia , aUhoracfii- manto conofcere qualunque coft, quando cono- f cerno le prime cagioni, ir li primi principi j in- fino àgli elementi . Laf dando adunque le pii alte Queflioni di effo fommo genere della Quantità , diremo breuemente , che la quantità è quella cofa , fecondo laquale ciaf ebeduna cofa è detta uanta, come il detto Thilofopho diffinifee nelli Vredicamend . Et peri piu chiara intelligentia dirò anchora , fecondo la fenteirga del Dottifi - mo Cardinal Cufano,che la lluantità non l altro, che una rnifura della fo- flan^a, come ( per grada di ejfempio ) vnafoma di formento è la rnifura di quella foflan-ga del formento : una brenta di vino è la rnifura di quella fojtan^a del vino ,ò<t altra materia . Et vna libra de foldi vinti è la mi- fura di quella tal moneta, & coft dell' altre cofe ; fecondo la analogia , che ha il numero alla vera rnifura , Hora diffinita ejfa quantità, veniamo al- la fua diuifionc-j> . Ejfa lluantità adunque e duplice, cioì contìnua & difereta : La quan- tità continua e diffinita formalmente ejfer quella , le parti della quale fona copulate à qualche termino comune. Jt come li termini della Linea fono con giorni DeirArithmetica gionti 4 qualche termino commune , che è qualche ponto fegnato in effa Li ’• b come nella linea a b il ponto c è termino dell * nea parte a c. & ancbora lifleffo ponto è termino dell'altra parte b c, & il termino comune * * * delle parti della fuperficie a b c d, egli' è la linea e f. | | | che la diuide in due parti . Et co- li il termino comma b t d ne del corpo farà la fuperficie , fi come tagliando vn pomo per mc^o, la fuperficie del taglio è il termino com mime di quelle due parti del pomo prima che fitffe tagliato. Di quella pri- ma tyccic di Quantità fimo cinque fbecie , cioè Linea , Superficie , Corpo, LuucOfC T cmpo : de quali per non far al noflro principal propofito,piu ol- irà in queflo Trattato non parlari , ma riferuarò di parlarne nel Trattato di Geometria , come al fuo proprio & fpetial Trattato . L'altro membro della Quantità fi dice quantità difereta , & è di finita effer quella, le cui parti non fono congionte ad alcun termino commune , come è il numero , perche ( conte per grada di ejfempio diri ) nel numero ternario Ivltimavnità di effo numero è folamcnte fine di quello , & non è principio del numero feguente, cioè del quaternario : & cofi fi dette in- tendere de ogni numero. -Aggiongcfi àqucjla fpecie vnaltrajpecie,cheè la Or aùont, laquale àfcmbianxa dei Sfumerò ha le parti f eparate , che non fi congiongono ad alcun termino commune, laquale per nonfarfi al no Uro principal intento, la lafcio, & al inumerò ritorno. Chccofà fia N u mero & Vnità>& della Tua dilli- fìone fecondo il Philolòpho , Òc fe- cóndo il Mathematico, Cap. II. V k n t v n q_v e li Tbilofophi habbino diuerfamentC-> di finito il Ritmerò fecondo lefue diuerfe intentioni , & ditti fioni, cioè in numero numerante , qual è l animo no- flro , che per virtù di ragione naturalmente è atto à nu- merare ; numero numerato, ilquale intendono per le cofe che fono numerate, cioè lifogetti di ejfo numero : Or il nu mero col quale fi numera, Iqualc è la prima Jpecie della quantità difereta, & è difinito dal Vrcncipe de Mathematici Euclide nel fettimo libro, effer moltitudine compofla de Vnità. Maprima difiniffe la lenità effer quella , per laquale ciaf cuna cofa è detta vna. Ter ile he è da fapere, che ( fecondo S etterino Boetio) le finità tanto della continua,quanto della difereta quan tità fubfiflenti nella materia, non fono differenti, fe non che quelle congion te È • gate & feparate compongono la moltitudine ,fi come vita quantità di pie- tre murate con la calcina compongono vn muro, qual è corpo , & perciò quantità continua : & quelle pietre ditti fc tvna dall’ altra, come erano di- nanzi alla loro compaginatione,componeuano vna difereta moltitudine^}, perche fi diceuano e/fer mille , ò due mille pietre, ouero altro numero , che poi congionte nella confìitutione del muro piu non fi numerano . V ri altra differenza di quefte due quantità difereta & continua è nota- bile appreffo à tutti i Thilofitfi,pcrcbe la continua i diuifibilein infinito,et la difereta è augni cut ali le in infinito, come anchora,oltra Euclide, proua _» ^Arinotele in molti luoghi, & Jpecialmente nelprimo del Cielo & Mon- do,^" queflc ultime diffinitioni, fecondo San Thomafoffono materiali. Le cofe,che "perfino circa la quantità difereta alcune fono dette per fe, come fono doi, tre, quatro, & cinque , & altri numeri : alcune fono dette per rifletto ad altro, come duplo , triplo , quadruplo , & altri fintili , che nafeono dalla compar atione delle quantità. Circa le prime ver fa l'^dritb melica propriamente, & circa le feconde ver fa la M tifica . ^ Inchora di- cono, che la quantità continua fi diuide in mobile, & immobile , & per im » mobile s'intende la Terra, & per mobile il Cielo . Circa la immobile ver ■ fa la Geometria , & circa la mobile verfa f ^tflrologiaj . E adunque t Urithmetica feientia de numeri, come anchora dimofiras la ethimologia delfino nome, che tanto fuona, quanto numerale, cioèfcien- de numeri , & quefta per confenfo d'ogni Thilofopho ottiene il primo grado di certezza, che per naturale cognitione & lume fi può haucrc-j : & èprioreper ordine di natura alla Geometria, perche effa può fiarefen “%a quella icS" remouendo l jtrìthmetica, ferimoue anchora ogni Geome-' ... ' -ti trica cognitione, per che fe non fuffe il numero , non faebbe triangola, ne quadrato, pentagono, ne cjfagono ; ma fe ben non fuffero queflc figure, non reftarebbe di effer il numero , ilche anchora conferma Seuerino Boccio, <Sr con altre ragioni T heologiche , lequaliper breuità lafcio da parte, non of- fendo queflo Trattato ordinato à tal fine-} . ;iV i\M V “ Quantità .. -A. I Continua , lobile, immobile , Hlutre pofitióe. MS bautte polmone. Nomerò. Orauone. Ciclo. Terra , J xA i De DcU’Anthmcrica. De due altre fpeciedi Quanti tà. Gap. IH. I c v N i alni aggiùngono due altre fpccie di Quantità* l'ma chiamata quella che confla de parti, che hanno po - fittone fra lorox come fono le cofefolìde & continue : l al- tra,che confla de parti , che non hanno pofìtione fra loro , com’è il tempo,delquafe non fi ha fe non l inflante , perche il paffuto èfugito, & il futuro non i anchora, ma è >n eoe to numero di moutm ento , come prona sfrittotele nel 4. della t^aturalc.» Thilofophia . Et l'acqua , & l'alt re cofe liquide non hanno pofitionc-a * perche fono contenute da termini alicni,perchc Jpandcndo un vafo d acqua quella feorre , ne tiene la forma , che tencua prima fiondo nel ~»afo ; ma ma pietra, ò altracofa folida è terminata da termino proprio x & non* da termino alieno . Delli Inuentori dcirArithmctica, t Cap. I HI. V . . ' i 4 • . . ' ’O ; * ’ V \ l C v n 1 dicono , che l'fritbmctica fu ritrouata dalli Tw \ * botici per neceffltà del contrattare fra loro delle mer * tanti e : fiumi altri dicono effer trottata dalli Egittù,co «i me appare appnjfo Diodora Siculo . Et lfidoro nel libro delle Ethimologie, tir fpulegio & Boetio: onde delli in- dcU-Auwc " Mentori di (Jfa diuerft hanno fentito diuerfe cofcj> . Ma re la nera opinione i quefla,che 1 ffendo tutte le cofe dijpotte da Iddio in 'hfjt- mero, Tefo , & Mifura, come dice Salomone nel li. della Sapientia , & ejfendo parimente tl Inumerò accidente delle cofe create , & cocuo con le creature , come dice Boetio nella fua fritlmictica, fu neceffario, che li pri mi buomini dcttcndo hauer cognitione delle cofe , bauejfero anchora itìfie - me cognitione del Inumerò : perche cominciando loro ammirar/} diqueflo ' mirabile artificio dcl Ciclo,& del Mondo dementale , cominciorno pari- mente à Vhil fophare , come afferma frittotele nella Metaphifica: & pe rò queiti per nec < fità furono fi primi inuentori non folamente del 7{itme- ro, ma anchora delle altre Sdentie, come acetmaitT otta net primo dell* Gcorgica -, dicendo _ Tum vari? venere Aires, labor omnia vinrir Improbus, &duris vrgens in rebu9égcltas. ' E però non è da determinare d alcuno, chi fujfe proprio inuentore, per- che febea del Sfumerò & mifureferiffe Vythagora , fcrijfe 7^ icomacboy fcrtffe l Libro Primo .* 3 fcriJfeTlatone,& Euclide Megarenfc. Et doppo gli altri fuc ceduamente quelli fempre baueuano imparato da fuoi maggiori , et piu antichi di loro, ma folamentc furono augmentatori : & fe pm e alcuni fono fiati inuentori delle arti fenga. l'aiuto de fuoi piu antichi , non è per queflo da Habilire , che fujfero li primi inuentori , perche come dice il Voeta Comico : Tqjente i ferino, niente è detto, che prima nonfiaferitto & detto da alcun altro . Et quefio anchora conferma il fapitntiffimo Salomone nello Ecclefìxfle , quando dtffe ; Quello che è fatto effoflà permanente, & quelle cofe che fa ranno già fono fiate, & Iddio reftaura quello che è paffato , & tanto fìa detto delli primi inuentori co fi del numero , come dell altre feientie, & ai- ti, come afferma Miflotelt nella Metaphifica . , Delle (pecie deirArithmetica, * Cap. V. %A RITHMITi c kfi diuide in due parti, cioè in Trat tica, & Theorica, cioè (peculatiua ; il fine della Specu- latala è la cognitione delle cagioni & la verità, & tifi- ne della Trat fica è C operatione , & per confcquente la vtilità & frutto di e/fajpeculatione: perche ogni virtù, come dice Marco Tullio, confifie nella anione , per tanto la Theorica l come vn lume , che ne mofira la via del caminare al fine di efla Jpeculatione, & laTr attica è la ifle/fa operatione, & frutto delle no - flre confiderationi , maffime per quelli, che nonftudiano di conofccre lave rità, fe non à fine di qualthe vtilità, & divenire alla perfettionc di qual- thè opera vt ile nella vita : perche adunque ogni agente fi muoue à qual- che fine, & il fine non fi può ben confeguire fenga li debiti megj, per tanto in quefti Libri attenderemo principalmente alla prattica & vtilità diqueflaScientia , moflrando di quanta commodità & vtilità fiala co- gitinone di quella, non folamente à Mer cadami , ma anchora ad ogni for- te di effcrcitio corporale, et mentale. Et finalmente in tutte le Scicntie bu- riane £r Diurne, fi come anchora dimofirai nella opera intitolata de Sti- ntale Mathematicarum artium , nellianni della mia giouentù , T^on Ix- f dando però di prouare quafi ogni nofira operatione, maifime nelle rifolu - tioni delli Qucfiti di maggior importala, almanco per uia de Tropofitio- niconucrtibili, il qual modo di prouare non fi può negare , perchefecondo la regola vniuerfale de Logici, conuertibili ad fuamconucrtentemeft bona confequentia , DeirArithmetìc^; Che cofa fia Numero digito , articolo , & com- porto^ dell ordine della numeratione ouernleuatione. Cap. VI. r perche nella prattica di Urithmetica fono fette opera , tioni diuerfe , che fi chiamano l Algori fmo, da Vocabolo rabo denominato , che voi dir Tr attica oper attua , & tjucflo Algori fino è di fri generr.del primo, che è il piu fa- cile per ordine di dottrina tratt aremo con fuoi eff empii , — : . & proba doni. Laprima,operationeoucr atto di queHo primo Algoritmo deTqumeri fimplici , fi chiama rapì efentatione de 7 Vu mai, che cominciano dalla Vnità, & procedono in infinito, come 123 456789 io. Et è deferiua con nouefigure,chefono dalla vnità in- fido al 9- Et ciafchaduna di quefle 9 figurefi chiama Digito, perche da gli antichi, & fpecialment e Indiani, fi rappre/entauano neìli diti della ma no: poi dalli 9. fin alli cento, con l'aiuto della decima figura, che noi chia- matilo Trulla, & altri Cifra , & altri Zero , che cofi fi dipinge o. fi và crefcendo talmente, che aggiongendo ejfa nulla à qualunche dilli detti di- ' giti , fa rileuarc dicce volte tanto, che prima non faceua : quantunque po- fia per fe fola non lignifichi cofa alcuna, come al primo digito, che è la vni- tà, aggiontaui la nulla, dirà io. & al 1. aggiunta fa di flutto ae. & cofi aL3‘fV°; alt' *°'al 1-fadir 'io. & co fi per ogni volta, che fi aggionge offa nulla fa rileuarc il numero diece volte tanto precifamente: cr quefli tali numeri fono chiamati articoli, perche dalli detti Indiani fi dimo fra- nano con li articoli della mano, cofi io, 10. 30.40. 50. 60 70.80. 90. &c. Et quando poi fi aggionge vn digito appreffo à l'altro digito, cò- me al 2. aggiongendoh 3. cofi 1}. effo }. fa crefcer tutto infieme diece volte tanto, & e/fo digito de piu che prima non diceua , & giontuglidoi • digitila crefcer cento volte più, & appreffo il numero, che rapprefento- \ nano quelli doi digiti aggiunti, comefe appreffo alagli aggiongi 25. fa- rà 3 1 5 • c‘°è trecento & vinticinque , che fono diece volte tanto , & an- co la z$. de piu, & cofi fi deue intendere de molti in infinito. Quantunque habbiamo dato l'effcmpio,folamente de due figure , & quefli tali numeri che confano de digito, ouer digiti & articoli, fi chiamano compoflo, cioè de digiti et articoli. S e adoquefarà trouata vnafola figura,quella non potrà rapprefentare fe non da vno fino à noue, & fe due non potranno dire p fu che nonanta none, cofi 99. Et quefle fi dicono defene,& fe faranno 3. figu- re, la terga verfo la man finiflra de chi legge dirà centinara, & tanti cen tinara,quante vnità rappref ’entarà quella vnica terga figura:& fe para- no 4. la quarta dirà migli ara, cioè numero de migliata: &fe 5. far ano, U quinta À 4 Libro Primo. * 4 quinta lignificar à defma de migliar a, & [e 6. faranno , la fejla lignificar ì centinara de migliata , & fé faranno 7. Li fettima ( pur fbnpre intenden- do, come delle dette di fopra verfo man finiflra ') figniftcarà numcro di mil lioni. Et vn milliones intende mille volte mille , come in quello numero 53489 62, che vuol dire cinque millioni & trecenti e quaranta otto millia et nouecento c feffanta doi . Hora battendo imparato à rileuare fette figure, che farà cofa facHc,po- tria facilmente rileuare ogni grande numero, che fia de quante figure fi no . glia , come per vn modo da me ricrouaio con fomma facilità potrai fa- re : et quantunque fia dato il modo da molti * Autori di rileuare ogni gran numero , non è però cofi facile , come è quello, che quiuiti dimoflrarò in doi modi . Toniamo adunque, che ti fia propofiodi rileuare quefio numero, cioè j!rimo *f- 3623616 . Trima numera le prime fette cinf,10‘ 43 2 I ... figure , cominciando da man dtflra à contare verfo man finiflra de chi legge , et itti farai la vnità , cioè lj la quale cader à fitto il 5 . che fù la fettima figura , Et poi recomincia à contare dal medefimo $. fin à l'altra fetthn a figura, purverfoman fini- fira, & alla feconda fettima farai 2 , qual cader à fotta al 3 . Et fimilmente cominciar ai à numerare la terga volta da quello 3 . incluftuamente fin al- la fettima figura, & iui gli farai fiotto 3. & cader à folto al 5. dal qual di nouo cominciar ai à numerare fin alla fettima , & iui farai 4. qual cader à f otto al 6. Etfepiu non potrai far integramente effanum trattone final 7. yedtrai quanto rileuano effe figure da l'ultimo ponto verfo man finiflrain fino à l ultima . Et trouerai,che nel noflro effempio faranno due, che dica- no 3 6. Et per che folto al 6. gli fu pofto 4. in quella fettenaria numeratio- ne , dirai 3 6. millioni quattro volte , non perche fiuno moltiplicate per 4, ma per che fia r/plicato il vocabulo de millione quatto uoltc, & oue fa- ranno fignati qu l Ili numeri à fette àf ètte, iui finiranno li tanti millioni fiot- to qut Ili numerifCome diranno effi numeri. Et acciò meglio intender pofft ciafc uno, Trofcrirai e/fu numero à queflo modo, cioè 36 millioni quatto volte, & ducento trenta fri millia,& treccntufcjfanta cinque millioni tre volte, et quatrocemo e feffanta tre milita & feicento e quaranta tre mil- ioni due volte , & fei cento cinquantafei milita e fettecento feffanta cin- que millioni vita volta, & fei cento e cinquata fei milita, e cinquecento fef- faqta ottoionde vedi chefiipendo rileuare da vno fettenario à l'altro per il modo, che prima te infegnai ,faper ai à queflo modo rileuare ogni gran numero de figure. Et fede l arena del mare fi poteffe f opere il numero , fa- ciln.eute fi potrebbe rileuare à queflo modo. Seconda Èefl'Arithmctica Secondo Effetti pio per fàper rileuar ogni gran n umero lènza fatica alcuna* . ET perche la fettina figura verfo man finiflra de chi legge , lignifica 'umero demillioni,& cominciando dalla detta fettima infino alla fe- cuuda 7. che viene poi e/fere la 1 * . figura, perche la fettima fi replicata , quella /igni fica numero de millioni due volte, onde aggiongendoui 6 altre figure, faranno 1 9. chcfignificaranno numero de mi filoni tre volte. Et cofi fempre aggiùngendoli 6 apprcffo,tate volte dirai numero de millioni, quale volte entrara il 6. nelpropoflo numero & vna figura dipiù.Etfiapergrà tiadi e/J empio, che ne fu propoflo queflo gran numero da rileuar e, cioè 5 643000000000000000000000000000000000000000000000- 10 9 8.7 6 5 4 , ooooooooooooooo Trima vedi quante figure contiene detto nume - . * * ro,& tr onerai , che fono 64. partili per 6. ne vien t o. & perche 6 fiato fanno 60. adonque alla fequentc , cioè alla " figura 6 1 .fottoponeraiel 1 o.& poi vedi quanto fignifica e/fo numero dal principio fin al detto io. fottopojlo verfo mandeflra,& dirà tre milliae feicento e quaranta tre: & perche el j.è fegnato col io dirai adonque, che e/fo numero de 64 figure dice tr e milita c feicento,& quarantatre millioni diece uolte nominati, & co/i fare/li con ognigrandiffimo numero: & per- che circa di ciò è detto à baflanga,non replicarò altro ejfempio . Ma dinanzi à quefle figure de numeri lì antichiffimi Latini vfauanole infra fcritte figure , cioè la littera I, da vno fin alla 4. & doppoi la lìtera V per cinque, & la X per de fina, la litera L per cinquanta, la litera C per centenara inftno a quatro centenara,& la litera D per cinquecento, & la litera M per mille. Et co fi fi fir umano replicando quefle quanto fi cena dibifl>gno,comefivfaanchora apre fio alcuni: &faceuano anchora per mille quefia figura C|0 onero OO , per tanto /appi, che fono nel- lapr attica di ^4 rithmetica fii algori) mi, de quali il primo è diuifo in fet- te operai ioni : De quali la prima è chiamata numeratione , la quale di fi- pra àfufficientia babbiamo parlato, per quanto affetta alla raprefentatio ne de 7/itmeri (empiici pertinenti al primo algori fimo, & acciò meglio fi po/fa difeernere, quiui li racconto per ordine. LaV rima operatione del primo algori fimo è chiamata rileuatione , cioè à fiiper quanto dice vn numero propoflò . La feconda fi c hiama addinone , onero aggregatione,detta volgarmen- te, f mimare, che è aggiùngere molte quantità infìeme, & de molte farne vna fola. La terga fi chiama fottratione, cioè filtrare, ouer cattare vna quantità 1». . vn altra A v lì * tiblòPrlqj^^ j da Vn' altra quantità maggiore, la quale operatone noi Lombardi chia- marno reflare. La quarta fi chiama multipUcatione, che è d pigliar & coaccruar tan- te volte vn numero quante volte è contenuta la vnità nel numero multi - plicante^) . La quinta è chiamata partitione onero dmfione, che è il trouar vn nu mero', il quale entri tante volte nel numero da effer diuifo , quante volte la vnità è contenuta nel numero diuidente, come fe io parto 20 per 4. ne vengono 5. ilquàl 5. entra tante volte in ao. quante vnità fono nel 4. che è il partitore . Lafefta fi chiama procreatone . La fettima fi chiama eflrattione de radici , de quali diffufamente fi tratterà alfuo luogo . Del fecondo atto operatiuo del primo Algorit- mo detto Sommare. Cap. VII. L.7 3 3 3 3 6 3 S L Secondo atto operatiuo della Vrattica di oirithmetica è chiù mato Sommare, onero aggiongere molte quantità infieme di vno mede fino genere. "Poniamo adohque che vole/femo ag- giongere quefle otto quantità de libre infieme , cioè Prima comincierai àfommare li primi digiti da man defira, & talfomma farà numero compofito, metterai o, & le defene aggiùngerai con li digiti del la feconda colonna, ma fe farà numero articolo fcri- ueraifotto al digito che auanjji , le defene fimiU mente aggionger ai con li digiti della colonna fequen te, & co fi farai fino al fine della tua operatione, ponendo poi à l vltima colonna verfo man fìnifira el digito infieme con l'articolo, cioè la defena infie- me col numero, & acciò che più facilmente appren- di, dirai cofi, cominciando dal j. lafciando la o, cioè $ &8, fanno tre- defe, & 8 fanno zi. Et 7, fanno 28, & 8 fanno 36, &% fanno 44, & 7 fanno jl. & metti 1, cioè il numero (otto alla prima colonna , & le 5 defene, che hai aggiùngi con l altra colonna fequente , dicendo 5 & 3. otto & fei 14. & 6. vinti, & 6 vintifei, & 6. trenta doi , & 6. trenta otto. & 8. fanno 4 6. & metti fotto il 6. & le 4 defene aggiongi con li primi digiti dell'altra colonna feguente, cofi dicendo 7 fanno II ,& 7 fanno \ 8, & 7 vinticinque , & 7 fanno 32. & 7 fanno 39. & 6. fatino 47. metti 5 fotto alla colonna che hai raccolto, &• te 4 defene ag- B gimgi 3 7 5 4»! DcU’Arithrrterica giongialli 5 deW altra colonna farà g.& 3. u,& 6 fanno 3 fjr rà 2 1 . & 3 farà 14, & 3 vintifette, et i fanno 30. & 7. faranno $ 7. et cofi metterai 37, cioè il numero con ledefene ,per no ijfi'rgli altra co- lonna da fnmmare: Et / egli nefuffe bauerefli pofio folameutc cl 7. c* le 3 defenc le hauerefìi aggionte alli numeri della fequente colonna, &r ceffi - rat nell aggiongcre tutte le quantità d'vn fola nome , & dvn mede 7rd& genere, & [appi che parlando per ordine di dottrinali [animar e non ha prona , perche, fi come li principi! di qualonquc feientia , non fi profano co/i il [animare, per ejfer principio duna [duplice operatane ,.noi: fi può proture. Et [e alcuno diccffe, che fi può prouare con latto del pia eppo- fito,ch:è il fot trarc, oucro col pigliarne la prona del 7. oucr del 9. ai chd- { cuna [uà riga, & quella familiare, & comparai la poi con la foni ma finita che fi hauerà la prona. Io ri(pondo,che qtte/la non farà prona demnflrj- tiua, ne ordinaria, perche non procederà da vna precffì/lcntc cognitione , come fi richiede nelle Dottrine Mathematiche ; Come vuole il Vhilofipho nel primi dette Vofleriori analitici , Si che [operai, che le prone vere non fi fonia perle operaiioni cmfcquenti : ma per li precedenti fecondo l'ordine di dottrina. f ero è che li pr attici vfano à riuedere le fomme , cominciando de [ufo ingiufo , per vedere fe s’incontrano . Et quello è da offeruarenclfommarc: imperò non fi può veramente chiamar prona, ma vno riuedere, coihinciando bora da capo à piedi , & bora da pie- di à capo . Et in ogni forte di foni mar e sii ben auertito, che il numero fio ben col- locato [otto il numero,et le defene / atto le deferte, ti centinara f òtto li cen- tinara , et li migliava [otto L migliar a , et cofi ciaf cuna. [otto il fuo ordine, altramente le fomme fono pericolofe da e fere errate * Delle due proue, cioè del si. & del 7- Cap. Vili. I nofiri ^Lrhhmetici pr attici , per afficurarfi nelle loro- opeiationi, cofi nel [nomare, come nel fottrare , molti- plicare & partire , & altre operationi hanno inuefli- gato vn modo chiamato la prona del 9. oucro del 7. Quantunque nel [animare , & fottrare tali prone , non / tana propriamente demotivatine , perche non prouano per le afe primamente conofciute , ma per le conofciute dipoi , cioèà po fieri ori. E adonque la proua del 9. vn numero che anan-ga partendo vn dato numero per 9. Et la pjtoua di e/fo 9. fi dice ejfer nulla , & fimilmente di tutti s A Libro Primo . 6 tatti lityimeri multiplicati per il ditto 9. comedi 18 27 36. & li al* tri. Et per poter batterla à memoria, quitti di [otto ho pojto l vna & J al - tra . Et prima quella del 9. quali piu facile, quantunque meno verace. • \ l^D bOl 1 Liljvi , La Proua del 9. Et tutti li Numeri che fono tratvnanutr . lae l'altra , fi chiamano prone . Ma volendo pigliarla protta’di vn numero maggior che' 90. come per effetnpio di 59^30 93. Dirai cofi volendo operar conprcflegja , co-, minciando damanfiniflra , verfo mandeflra l di chi legge. Inficiando tutti li 9 . ir le nulle, 3 ir 3, otto& 3 vndeci & 3 quatordici ;> & dirai de 14 la pronai 5. perche il 14 contiene el 9. vna volta , ir auangano 5. & cofi farai fempre, benché fi poteua anc bo- ra dire de 59. la pronai 5. qual %. con la figura fequente dira 33. & poi dir de 53. la proua i 8 . che col s fequente dirà 83. et poi dell 3 . la prouai 2. che con la o. fequente dife io, & poi de io la prouaii. che col 9. fequente dife 29. & poi de 2 9. la proua i 2. che dife a 3. & de 23 è 5. fi come difopra . [ , '.ii- .'J> Maper cheti 9. foto ha quefia proprietà, che tanto auanga a fommar le figure che rapprtfentano li numeri, & poi pigliarne Pauangoper proua quanto che à partire effo numero per 9. ir pigliarne poi l attando per proua, molto minor fatica fard à fommàr lefigure,& della fommalntar- neil 9. quante volte fi può, ir lattando pigliarlo per proua , <&■ fein tal cafo auanjaffe nulla, dirai laproua effer nulLzj . Et nota che per ogni uolta fi erraffe indetta proua, & che l'errore foffe 9. depiuouer de manco, ouer altro numero moltiplicato per 9. ouer foffe vna, opiu nulle di manco, ouer di piu del vero , effa proua tnoflre- ria effer giufla, quantunque la ragione foffe falfa : onde per afficurarfi hi. fogneria ricorrer la ragione, non folamente per effa proua del 9. ma an - choraper laproua del 7. laquale è molto meno fallace che la prona del 9. come di fiotto manifcflamcntc fi prouerà . Ma hanno però queflo di fecuro l’una e l'altra proua, che effendo giufla la ragione ouer computo, mai ver- ranno fai fé, quantunque conuerfamente poffino fallar e, cioè che il computo potrà effer falfo, ir qualche volta le proue lo mqflreranno per vero, cioh quando l errore fia per g.òperfuoi produtti facendola del 9. ouer 0 per 7" • & fuoi produtti , facendo la proua del 7. ouer per vn numero produtto dal"/. & dal 9. come è 63. che faranno apparer veri li computi per l’vna E 2 ir t altra De De 9 18 è è a’ D De 27 è O De ió è O De 45 è O De 54 è O De è O De 7* è O De 81 è O De 90 •< è O DcirArirfimctica> & l'altra prona , aitando faranno 6 3 di più ouer di meno, onero altro nu- mero prodotto dal 63 . legnali cofe erano degne di e [fere auertite. Della Proua del 7* Slmilmente s'intende la proua del 7. t aitando dì ciafchedun numero quando è partito ouer numerato per 7. Et quando non auanja nume- ro alcuno in talepartitione fi chiama ejfer nulla , come nello eff empio in- ir aferitto veder ai, fi come di [opra hauefli nella proua del 9. Ma acciò meglio l'apprendi : Toniamo, che volejjì pigliar la proua di quello numero , cioè de 3 7 6 5 7 Dirai di 57 è due, ilquale col numero fcquente dirà a6. & di 2 6. è cin- que, quale col numero fequentedirà tn dir ai di 55 la proua è 6. qual fimilmente arti- colarmente gionto col 7. fequentedirà 67. & tu dirai di 67, è 4. onde dirai, chela proua del ditto uumero è 4. cioè Cauantp di tale di - uifione , & cofi farai in ogni numero pro- porlo. De 7 è 0 De 14 è 0 De ai è 0 De a? è 0 De 35 è 0 De 4* è 0 De 49 è 0 De 5* è 0 De *3 è 0 De 70 è 0 Che la proua del 7. fia men fallace, ch$ la proua del y. CHE la proua del 7. fia men fallace che del 9. da queflo facilmente fi comprende, perche nella proua del 9. non è fatta alcuna differen- za, fe per cafo li numeri fuffero trafmutati onero fit uati al fuo luogo , co- me volendo pigliar la proua de f 7. 4 tanto farà la proua di queflo nu- mero, pigliandola al modo, che fidai prefente, quanto à voltar le figure, cofi 473. facendo della prima l'vltima , ouero in qualunque altro modo , come mettendo quella dimeno nel primo loco à queflo modo 7 4 j. ouero nel ritmo loco, ponendo effa figura di me%o, cofi 4 j 7 che à tutti quefli modi, la proua del 9. farà y . nondimeno fi vede manifcjiamente, che Imo è molto diferente da l'altro, quantunque habbino tutti tre le medefìme fi- gure, ma in diuerfo ordine : olir a di queflo per aggiongerlila nulla, ouer piu nulle, e fa proua non farà mutatione alcuna , come vedi . Ma fe pi- glierai la proua del 7. del ditto primo numero 3 7 4 quella farà 3. mafie h piglierai del fecondo, cioè de 47 3. la trouerai efer 4. Et fe del tcr%p la trouerai rno, & cofi fe à ditti numeri a^giongefti ma, ouer piu nulle iella proua del 7. farà mutatione. Ma nella proua del 9, per aggiongerli nulle. Libro Primo r nulle, neper tramutar le figure non fi farà mutatone alcuna , adunate fi conclude , che molte volte la ragione potrà effer falfa : Et pur mofberà ejfer vera;& quindi arguirai , che ejfa proua è piu fallace che laproua del 7. la qual cofa era da moftrarcj . .... Hora battendo intefo le proue non refiarà il pr attico di farla prona anchora delfommare, quantunque non fia fatta per le cofe precono fante, perche prima l'huomo impara il fommare inauri che Unipara le ditte prone, le quali fono fatte con Catto del partire : & per ejfempio poniamo che volcjfi far la prona del 7. della infraferitta f mma , cioè L. 7 6 7 3 I L. i J 6 $ 3 36 5 7 3 4768 1 A £. 1 8 8 6 6 „ 1 7I 8 La prona è I. • frotta' | (E Viglierai laproua della primapartita al modo infognato di f opra , ciò pigliando quello che auanga nel partir per 7. et trotterai che la proua e 7. de ditta primapartita farà I. poi della feconda à modo detto fard 3. della terza, (imamente farà 3. et della quarta & vltima farà I. qHa proue giontc in ficme faranno 8. del quali la pronai I . ^Adunque dolen- do effer giufta la ditta fontina , bifognaebe fimilmente la proua dell ag- gregato, over fommà, qual è 18 8 66. fia 1. come per verità trouer ai che farà, dicendo di li è 4. Et de 48 è 6. che fa 66% ndi 66 è de 2 6 è 1. come fu trovata anchora effer [aggregato delle prone di cjje 4 partite, che fu 8 . Et co fi la potrai ojferuare in ogni forte di fommare, fot- trare,moltiplicare,e partire, & noi per tauenire vfaremo la proua del 7. come men fallace , quantunque quella del 9. fia più facile. Della vnità attratta , & concreta , 6C la fua ditte' lenza .& di diuerfè mifureòCpefi. Cap. IX. V A n t v n q^v e la vnità confederata aftratta dalla materia , fia indiai fibile , fecondo la fententia di tutti i Filojofi , Tgondimeno confiderata in concreto , cioè con- gionta alle materie diuifibili , per ragion del foggetto fi jà diuifibile , come vna libra di moneta è diuifibile in 10 foldi, & vn foldo è diuifibile in 1 a dinari, et cofi vn pe- fo di robba è diuifibile in io libre, & vna libra in 30 onge,et quefto auie. ne, perche DcirArithmcaci* qual pigliar ai dì nono la proua, & farà q,ilqual aggiùnto con li dinari T. faranno I o. la cui prona è 3 .Et quefla fcrua per la prona della prima par tica i Ma per abbreuiar fatica poteui anchora quello 4, che auengò nelle lire 764. moltiplicar per la proua de io f oidi , che fanno una lira , laqual proua è 6, dicendo qfia 6, fanno 24, pigliane la proua farà 3 faquali ig- gionta allifoldi 16. farà foldi 19. delli quali pigliane anchor la proua fa- rà 3 . & quella moltiplica non per li danari 1 2 . come facifli di f opra, ma ben per la prona di ejfo 1 i.chee yfarà 2 5 . pigliane la proua, farà 4 .ag- giongeli alti danari 6. farà 1 o. dequali finalmente pigliami la proua , gir farà 3 . Sigaie feruarai per la proua delia prima partita . Et in conclufio- ne voglio direbbe in recedei 10, pigli la fua prona, che e 6. Et in receda del 1 2. fimilmentc pigliala fua proua, che è j. & aggiongi olii numeri fe- quentiffin che farà finita la partita. Et co/i far ai in ciafcheduna partita _» & trouarai che la proua della prima partita, ouerrigba della predetta^ fumma, come hai di fopra,farà 3. & la proua della feconda righa , ouer partita, cioè de L 37 6 foldi 17 dinari 8. farà 5. Et della ter •ga, qualh L $■) 6 foldi 1 7 danari 8 farà fimilmente 5 . Et della quarta qual è 5 76 foldi 1 5 danari 8. farà j . Et della quinta, qual è Lire 3 7 6 foldi 1 7 danari 9 farà 6. Homaggiongi inftemequefle y prone, cioè 6. f, 5, 3, yfaran Ho *2, dclliquali piglierai la proua, & farà 1 . Et douetido ejjergiufla,bi- fogna che anchora la proua della fumma, qual è L. 2475 foldi 5 dinari j, fi a fimilmente 1. altramente effa fumma non potrà cjfcr giufi/u . Vedi aduque al modo che te infognai à pigliar la proua della prima righa . Et la tr ouer aiefere 1. come fa I4 prona della fumma delle dette y prone, cheb ilpropofito. Similmente fummarai, & prouarailainfrafcritta de Ducati, grò fi, & piccioli, al modo di Venctia ,fapcndo che vn ducato ,fa 24 grofft, & tn gVofofa 3 2 piccioli . Summarai prima li piccioli, & faranno 1 1 che fo- no graffi 3. & avanzano pie Ducati 765 greffi 13 ficc. 31 » Ducati 176 gràffi 1 9 picc. l$— 2 Ducati 427 groft 15 picc. 30— 6 Ducati W. graffi 23 picc. 31 4 Ducati 16 graffi 9 picc. 7 4 ciò li 22. quali metti fatto li altri pie dòli, & tien 3 grofjì, quali aggiongi co li altri grof ìlin Ducati 19 19 grojjì io picc. 22 fh& faranno 82 .de quali ne cau arai li ducati, & faranno ducati 3. & auangano graffi [ — I io, qualimetti fatto àgli al- l 41 trì,& li ducati 3 aggiogi al- li altri, & faranno in fumma ducati 1919. gro fjì io. piccioli 22. La proua del sfarai moltiplicando quello che quanta nelli ducati per 3 ' perche 3 ila proua del 24. & poi efo prodotto aggiùngerai olii griffi che fegkitano. Et della fumma pigliar al anchora la proua , & quella moltipli- carai J Libro Primo/ 9 ¥ mtù per la prona de pie. j ». cioè per 4. Et al produtto aggiùngerai li pic- cioli: & della fomma pigliar ai la prona, & la prona iella prima partita farà 2,& della feconda 2, della terga 6, della quarta 4, & della quinta 4, che fanno 1 8, & di 1 8 la prona farà 4, & co/i tronerai che la proua del- la fonema qual è Ducati Ì919. gro/Ji io, piccoli 22 farà 4, & cofi offer - aerai in tutte le monete, pefi , & mtfure Jenga che io replichi la regola. Sommar de pefi,lire,quarte,&onze,& vno pelò è Lire i o. vna Lire è quarte 4.8C vna quar- ta è onze fette, ÒCmeza. tante volte 4, quante fi po/fono, & delle libre ne cauerai lipefi, & l'auan- ^ro fegnaraifotto le lire, &• porterai li pcft con li altri à modo detto, & la fommafkrà come di fopra, & nel pigliar la proua multiplicarai quello che ottanta nelli pefi, cioè la proua che auanga partendo per 7, per 3, per- che fila proua delle Lire 1 o. che fanno vn pefo, & il produtto aggiùngi alle libre,& la proua de tale congionto moltiplicar ai per +.& aggiongi le quarte al produtto, & di nuouo pigliarai la proua , & quella moltiplica- rai ptr la proua di onge 7. e mega, la qual proua è vno, & il produtto aggiongi alle onge, & fegnarai la proua della prima partita, & cofi farai di partita in partita, & tronerai che la proua farà j . fi come vedi di fo- pra, fe ben hauerai intefo le cofe dettela . 7 qota anchora che in renetta fi vfa fommar delire foldi, & ducati, & vna lira fà ducati io. tir foldi vinti fanno vna lira, & vno foldo fi l a. piccioli, onde vno foldo vaierà mejgo ducato, & vno ducato vale li- re 6, foldi 4 depiccioli , & vale anchora gro/fi 14. onde vno grojfo vaie- rebbe foldi 5 , piccioli 2. Si fommano anchora ducati, lire, foldi, & piccioli, che ducato vno fà lire 6, foldi 4, & lira vna fa foldi ao. & vno foldo fà piccioli 12. Tefi 7 t J lire 2 quarte 1 ongc 2 — o 175 lire 4 quarte 3 ongc 5—1 376 lire a quarte 3 onge 4—5 57 6 lire 3 quarte a onge 5 — j 476 lire * quarte a ono^e 6 a 568 lire 2 quarte 3 onge 4 5 Della forum* delle onge catta- ne tate volte on - gè fette, e mega, & tauajp fegna rai fono , & ag- giongi le quarte alle quarte, ttea nane le lire, cioè C Come DeirArithmetica parie a c . <&• arie bora l ifleffo ponto b termino deir altra parte b c. & il termino comune 1 e * delle parti della fuperficie a b c d, egli b la linea e f. j | J che la diuide in due parti . Et co- fi H termino commu b t i ne del corpo fard la fuperficie , fi come tagliando vnpomo per me%p, la fuperficie del taglio b il termino com ninne di quelle due parti del pomo prima che fuffe tagliato. Di quefla pri- ma Specie di Quantità fimo cinque fpecie , cioè Linea , Superficie , Corpo, Ludco,e Tempo : de quali per non far al noflro principal propofito,piu ol- irà in queflo T rattato non parlari), ma riferuarò di parlarne nel Trattato di Geometria, come al fuo proprio & fpecial Trattato . L'altro membro della Quantità fi dice quantità difereta , & è di finita ejfer quella , le cui parti non fono congiùnte, ad alcun termino commune , come è il numero , perche ( come per grati a di effempio diri ) nel numero ternario Ivltimavnità di effo numero è fol amente fine di quello ,& non b principio del numero feguente, cioè del quaternario : & cofi fi deue in- t endcrc de ogni numero, ^iggiongcfi à quejla fpecie vn altra Specie , che è la Oratione, laquale àfcmbiair^a del bfumero ha le parti feparate , che non fi congiongono ad alcun termino commune, laquale per non farfi al no flro principal intento , la lafcio, & al fumerò ritorno. Che colà fia Numero & Vnità>& della Tua dilli* hone fecondo il Philofòpho , Òc fe- condo il Mathematico, Cap. IL Vk n t v n q_v e li Tbilofopbi babbino ditter fomenterà di finito il Temerò fecondo le fue diuerfe intentioni , & diuifioni, cioè in numero numerante , qual è l animo no- flro , che per virtù di ragione naturalmente è atto à nu- merare ; numero numerato, ilquale intendono per le cofe che fono numerate, cioè li fogetti di effo numero : & il nu mero col quale fi numera, Iquale è la prima fpecie della quantità difereta , & è difinito dal Vrencipe de Mathcmatici Euclide nel fettimo libro,effer moltitudine compofla de finità. Ma prima difiniffe la lenità ejfer quella , per laquale ciafcuna cofa è detta vna. Terilche è da fapere, che ( fecondo S euerino Boetio ) le lenità tanto della continua,quanto della difereta quan tità fubfiflenti nella materia,non fono differenti, fe non che quelle congion te V Libro Primo 2 te in/ìeme continuatamente compongano la gronderà , & quelle Aggre- gate & feparate compongono la moltitudine ,fi come vna quantità di pie- tre murate con la calcina compongono vn muro , qual è corpo , & perciò quantità continua : & quelle pietre ditti fe Ivna dall' altra ,comc erano di- nanzi alla loro compaginatione,componeuano vna difereta moltitudine perche fi diceuano e/fer mille , ò due mille pietre, ouero altro numero , che poi congionte nella conflitutione del muro piu non fi numerano . V n altra differenza di quefle due quantità difereta & continuai nota- bile appreffo à tutti i Thilofofi,perche la continua è diuifibile in infinito, et la difereta è augmetit abile in infinito, come anchora,oltra Euclide,prou.u> frittotele in molti luoghi, & J ferialmente nclprimo del Cielo & Aion- do,& queflc vi t ime diffnitioni, fecondo SanTbomafoffono materiali. Le cofe,che verfano circa la quantità difereta alcune fono dette per fe, come fono dot, tre, qualro, e&“ cinque , & altri numeri : alcune fono dette per rifletto ad altro, come duplo , triplo , quadruplo , & altri fimili , che nafeono dalla compar atione delle quantità. Circa le prime verfa l'frith melica propriamente, & circa le feconde verfa la Mufica . fnebora di- cono, che la quantità continua fi diuide in mobile, & immobile, & per im - mobile s'intende la Terra, & per mobile il Ciclo . Circa la immobile ver fa la Geometria , & circa la mobile verfa l'fttrologiaj . E adunque l fritbmetica feientia de numeri, come anchora dimofiriu la ethhnologiadelfuo nome, che tanto fuona,quanto numerale, cioè feten- za de numeri, & quefia per confenfo d’ogni Thilofopho ottiene il primo grado di certezza, che per naturale cognitione & lume fi può haucres : & è priore per ordine di natura alla Geometria, perche effa può flarefen Za. quella ; & remouendo l frithmetica, fe rimoue anchora ogni Geome- ’ trica cognitione, perche fe non fuffe il numero , non farebbe triangola, ne quadrato, pentàgono, ne e/fagono; ma fe ben non fuffero qucfle figure, non refiarebbe di effer il numero , ilche anchora conferma Seuerino Boccio, & con altre ragioni Theologiche , lequalipcr breuità lafcio da parte, non of- fendo queflo Trattato ordinato à tal fmu . I Quantità a um 'Vtn •Si' Continua , I Difereta, . i abile. I Hluitt pofiti8e. Né bautte potinone. Numero. Oraùone. Mobile, immobile , ,w' IWI Ciclo. Terra . fi De * DeU’Arithmetica- De due altre Specie di Quantità. Gap. III. L c v n i altri aggiùngono due altre (pecie di Quantità » l'vna chiamata quella che confia de parti, che hanno po- fitione fra lorox come fono le cofefolide & continue : l al- tra,che confa de parti , che non hanno pofìt ione fra loro, com'i II tcmpo,d(lquale non ft ha. fe non l infrante , perche ilpaffato èfugito, & il futuro non è anchora, tua è vn ccr to ninnerò di mouhn cnto , come prona frittotele nel 4. della ì^aturalcj Thilofophia . Et l acqua , & l'alt re cofe liquide non hanno pofitionc-i >. perche fimo contenute da termini alieni, perche (fondendo un vafo d acqua quella feorre , ne tiene la forma , che tenuta prima (landò nel vafo ; ma- rna pietra, ò altracofi folida è terminata da termino proprio x& note» da termino alleno . Detti Inuentori deirArithmetica, « Cap. IUU L C v n r dicono , che l\Arit fonetica fu ritrouata dalli 1 hcnici per ncceffità del contrattare fra loro delle mer • ti lamie: bilami altri dicono ejjer trouata dalli Egitto, co 5 me appare appreffo Diodoro Siculo . Et iftdoro nel libra Sj delle Ethimologie, & ^ ipulegio & Boetio: onde delli in- atir orc = ' uentori di ijfa diuerfi hanno fentito diuerfe cofr-a. Ma iicit Autore pa vera opinione ì quefra, che < (fendo tutte le cofe dijpolle da Iddio in Te- merò, Tefo, & Mi fura, come dice Salomone nel il. deUa Sapientia , <&" effendo parimente il ' \umero accidente delle cofe create , & coeuo con le creature, come dice Boetio nella fua „ Arit fonetica , fu necejftrio, che li pri mi huutnini douendo kauer cognitione delle cofe , hauejfero anchora infu- me cognitionc del Tramerò : perche cominciando loro ammirarfri diquejlo " mirabile artificio dclCiclo,& del Mondo dementale , cominciamo pari- mente àT hilifcphare , come afferma * Arinotele nella Metaphiftca : & p* rò quelli per nei t fi;j furono li primi inuentori non folamente del ninne- rò,maanchora delle altre Sci entie, come accana ìtT otta net primo della. Georgiev, dicendo _ Tum vari? venere Arres.labor omnia vincitr Improbus, & duris vrgens in rebus égeltaff. ■ E però non è da determinare d’ alcuno, chi fujfe proprio inuentore, per- che fe ben del numero & mifure fcrijfe Vythagpra , fcri(fe Tqicomacbo, fcrijfc ì Libro Primo 3 f cùffie Tintone, & Euclide Megarenfie. Et doppo gli altri fuc ceduamente tfuclli femprehaueuano imparato da fuoi maggiori , et piu antichi di loro, ina fittamente furono augmentatori : & fepute alcuni fono fiati inuentori delle arti fcnga.1' aiuto de fuoi piu antichi , non è per quello da stabilir e, che fujfero li primi inuentori , perche come dice il Voeta Comico : Tqiente i ferino, niente è detto, che prima non fia ferino & detto da alcun altro . Et quefto anchora conferma il fapitntiffimo Salomone nello Ecclefiifle , quando dijfe ; Quello che è fatto ejfio fià permanente, & quelle cofechc fa ranno già fono fiate , & Iddio refiaura quello che 'e paffato , & tanto fia detto delti primi inuentori co fi del numero , come dell altre feiende, & ae ti, come aff erma Mifioteti nella Metaphifica. 1 Delle (pccic de irArithmetica.* Cap. V. z/RI tu mitica// diuide indue parti, cioè in Trett tic a, & Theorica, cioè (peculati uà-, il fine della Specu- latola è la cognidone delle cagioni & la verità, & tifi- ne della Tr attica è f oper adone , & per confequente la vdlità & frutto di ejfia fpeculadone : perche ogni virtù, come dice Maxco Tullio, confifle nella anione , per tanto la Theorica i come vn lume , che ne mofira la via del caminare al fitte di tfia fpeculadone, & laTr attica è la ifleffa operatane, & frutto delle no- fireconfider adoni, muffirne per quelli, che nonfludiano di conofccre la ve rità, fenon i fine di qualche vdlità, & di venire alla perfetdone di qual- che opera vtile nella vita : perche adunque ogni agente fi muoue à qual- che fine, & il fine non fi può ben confeguire fenga ti debiti megi, per tanto in quefli Libri attenderemo principalmente alla pratdea & vdlità di quefta Scientia , mofir andò di quanta commodità & vdlità fiala co- gnitione di quella, non fittamente à Mer cadami , ma anchora ad ogni for- te di effercido corporale, et mentale. Et finalmente in tutte le Scicnde hu- tnane £r Diurne, fi come anchora dimoftrai nella opcr a intitolata de Vti* tifate Mathematicarum ardum , nellianni della mia giouentù . Tfpn la- nciando però di prouare qua fi ogni nofira oper adone, malfime nelle rifiolu - tioni delti Quefiti di maggior importala, almanco per uia de Tropofitio- ni conuertibiti , il qual modo di prouare non fi può negare, perche fecondo la regola vniuerfale de Logici, A conuertibiti ad fuam conuertentem eft bona confequentia , DeirA ri th metica^; Che cofà fìa Numero digito , articolo , & com- porto,Se dcllbrdine della numeratione ouernleuatione. Cap. V I. T perche nella prattica di ^Arithmetica fono fette opera-" tieni diuerfe , che fi chiamano f \Algorìfmo,da Vocabolo girato denominato , che voi dir Trattica oper attua , & qucflo jilgorifmo è di fei generi; del primo, che è il piu fa- cileptr ordine di dottrina trattaremo con fuoi e ff empii , & probazioni. La prima, oper atione oucr atto di queflo primo algori fmo deiqumeri fimplici , fi chiama rapi efentatione de Tqu mei i,che cominciano dalla Vniti,& procedono in infinito» come 123 476789 io. Et è deferitta con noue figure, eh e fono dalla vnità in- fino al 9. Et ciafchaduna di qitefle 9 figure fi chiama Digito , perche da gli antichi, & Jpecialmente Indiani, fi rapprefentauano nelli diti della ma no: poi dalli 9. fin alli cento, con l'aiuto della decima figura, che noi chia- mamo Tfjtlla, & altri Cifra , & altri Zero , checofi fi dipinge o. fi và crefcendo talmente, che aggiongendo effa nulla à qualunche delli detti di- giti , fa rileuarc dicce volte tanto, che prima non jfaceua : quantunque po- fla per fe fola non fignifichi cofa alcuna , come al primo digito, che è U vni- tà, aggiontaui la nulla, dir a io. & al ». aggiorna fa dir tutto 20. & co fi al j.fa 30. al 4. 40 .al 7. fa dir 50. & cofìper ogni volta, che fi aggionge effa nulla fa r licitar e il numero diece volte tanto precifamente : c T quejli tali numeri fono chiamati articoli, perche dalli detti Indiani fi dimofìra- nano con li articoli della mano, cofi io. 20. 30.40, Jo. 60. 70.80. 90.&C. Et quando poi fi aggionge vn digito appreffo i l'altro digito, có- me al 2. aggiongendoli 3. cofi 23. ejfo 3. fa crefcer tutto infieme diete volte tanto, & effo digito de piu che prima non diceua , & giùntogli dot digiti fa crefcer cento volte piu, & appreffo il numero, che rapprefenta- \ nano quelli doi digiti aggiunti, come fe appreffo al 3. gli aggiongi 2 5 .fa- rà 3 1 5 . cioè trecento & vinticinquc, che fono dicce volte tanto , & an- co la 25 .de piu, & cofi fi deue intendere de molti in infinito. Quantunque babbi amo dato l'effcmpio, fidamente d è due figure , & queflitali numeri che confano de dìgìto^ouer digiti & articoli, fi chiamano compoflo, cioè de digiti et articoli. Se adoquefarà trottata vnafola figura, quella non potrà rapprefentare fe non da vno fino à notte, & fe due non potranno direpiu chenonanta none, cofi 99. Et quél e fi dicono defene,& fe faranno 3 -figu- re, la terga verfo la man finiflra de chi legge dirà centinara, & tanti cen tinara,quante vnità rappref t ntarà quella vnica terga figura :&fe farci- no 4. la quarta dirà migliora, cioè numero de migliora: & fe 5, forano, U Libro Primo. * 4 quinta fignificarà defnta de migliar a, &fc6. faranno, iafrjla fignificarà - 1 minar a de migliata, & fé faranno 7. la f etimi ( pur fbnpre intenden- do, come delle dette di [opra verfo man ftniflra')fignificarànumero di mil lioni. Et vnmilliones intende mille volte mille , come in quefio numero 53489 6 2, che vuol dire cinque millioni & trecenti e quaranta otto millia et nouecento c feffanta doi . Hora battendo imparato à rileuare fette figure, che farà cofa factle,po- tria facilmente rileuare ogni grande numero, che fia de quante figure fi uo glia , come per vn modo da me riirouato con fomma facilità potrai fa- re : et quantunque fia dato il modo da molti tutori di rileuare ogni gran numero , non è però co/i facile , come è quello, che quitti ti dimofirarò in doi modi . Toniamo adunque, che tifa propofiodi rileuare quefio numero, cioè J*ri‘"° ef- 36236365463643656765656568 . Trima numera le prime fette cm|>10' 4 3 2 1 figure , cominciando da man delira à contare verfo man fmiflra de chi leggf , et ini farai lavnicà , cioè 1 , la quale cader à fotto il 5 . che fu la fettima figura . Et poi recomincia à contaredal mede/imo $, fina l'altra fetthna figura, purverfoman fini- flra,& alla feconda fettima farai a, qual caderà fotto al j. Etfimilmente cominciar ai à numerare la ter^a volta da quello 3 . indù finamente fin al- la fettima figura, & iui gli farai fotto j.& caderà fotto al 5. dal qual di nouo cominciar ai à numerare fin alla fettima , & iui farai 4. qual caderà 1 fotto al 6. Etfepiu non potrai far integramente effanumer adone fin al 7. federai quanto rileuano effe figure dal ultimo ponto verfo man fmiflra in fino à l ultima . Et trouerai,che nel nofiro elfempio faranno due, che diri- tto 36. Et per che fotto al 6. gli fu pofio 4. in quella fettenaria numerata- ne , dirai 36. millioni quattro volte , non perche fiano moltiplicate per 4, • *1 ma perche fi a rt pii tato il vo cabulo de millione quatro uolte , & oue fa- ranno fignati quelli numeri à fette à fette, iui finiranno li tanti millioni fot- 10 qui Ili numeri,come diranno tffi numeri. Et acciò meglio intender poffa ciafcuno , Trofcrirai effo numero à quefio modo, cioè 3 6 millioni quatto * volte,& ducento trenta fei millia, & trecentofcffanta cinque millioni tre volte, et quatrocento e fejfanta tre milita & feicento e quaranta tre mil- ioni due volte , & fei cento cinquantafei millia e fettecento feffanta cin- que millioni vita volta, & fei cento e cinquina fei millia, e cinquecento fef- fatila ottotonde vedi ebefapendo rileuare da vno fettenario à l'altro per 11 modo,che prima te infegnai ,fapcr ai à quefio modo rileuare ogni gran numero de figure. Et fé de t arena del mare fi potejfef opere il numero , fa- cilmente/! potrebbe rileuare à quefio modo . Secondo bell 'A ri America Secondo Effetti pio per fàper rileuar ogni gran numero fenza fatica alcuna.. Er perche la fettina figura verfo man fini/ira de chi legge , lignifica ’umero demillioni,& cominciando dalla detta fettima infino alla fe- cunda 7. che viene poi ejferc li!}, figura, perche la fettima fà replicata , quella lignifica numero de millioni due volte, onde aggiongendoui 6 altre figure, faranno 1 9. che fignificar anno numero demUUoni tre volte . Et cofi fempre aggiùngendoli 6 apprestate volte dirai numero de millioni, quale volte entrari il 6. nel propoflo numero & vna figura di più. Et fin per gr a ti a di ejfempio, che ne fu propoflo quefto gran numero da rileuar e, cioè 564JOOCO00000000000000000000000000000000000000000- 10 9 8 7 6 J 4 ? 000000000000000 Trima vedi quante figure contiene detto nume - » I ro, & trotterai , che fono 6q. partili per 6. ne vien io. & perche 6 fia io fanno 60. adonque alla fequente , cioè alla' figura 6 1 .fottoponerai el 10.& poi vedi quanto lignifica e/fo numero dal principio fin al detto 1 0. fottopoflo verfo mandeflra,èr diri tre milliac feicenio e quaranta tre: & perche el j.è fegnato col 10 dirai adonque, che e/fo numero de 64 figure dice tre milita e feicento,& quarantatre millioni diece uo Ite nominati, & cofifarefli con ognigrandiffimo numero: & per • che circa di ciò è detto i baflanga,non replicarò altro ejfempio . Ma dinanzi i queflc figure de numeri lì antichiffimi Latini vfauano le infra farine figure , cioè la liner a J, da vno fin alla 4. & doppoi la litera y per cinque, & la X per defena,la litera L per cinquanta, la litera C per centenara infimo a quatro centenara,& la litera D per cinquecento , & la litera M per mille. Et coft fi feruiuano replicando quejìe quanto fà cena dibi fógno, come fi vfaanchora apreffo alcuni : & faceuano anchora per mille quella figura CjD onero OO , per tanto fappi,che fono nel- lapr attica di Mrithmetica fei Mlgorijmt,de quali il primo è ditti fio in fet- te operai ioni : De quali la prima è chiamata numeratione, la quale di (0 - pra à fu fidenti habbiamo parlato, per quanto affetta alla raprefentatio ne de JJttmeri f empiici pertinenti al primo Mlgorifmo, & acciò meglio fi pojfa difeernere, quiui li racconto per ordine. LaV rima operatine del primo algori fimo è chiamata rileuatione , cioè à faper quanto dice vn numero propoflo . La feconda fi chiama addinone , tuero aggregatione,detta volgarmen- te, f ultimare, che è aggiùngere molte quantità infieme, & demolte farne vna fola. La ter^a fi chiama fottr ottone, cioè fottrare,ouer canore vna quantità t . . . . ... . da vn altra \ v 4, ' Libro Tritio. 5 idlri altra quantità maggiore, la quale operatone noi Lombardi chia- viamo rcjlare. ...... ^ La quarta fi chiama multiplicatione, chet à pigliar & coaceruar tan- te volte vn numero quante volte ì contenuta la vnitd nel numero multi - ^La quinta è chiamata partitione onero diuifione, che è il trottar vn nu mero', ilquale entri tante volte nel numero da effer diuifo , quante volte la viiità è contenuta nel numero diuidente, come fe io parto 20 per ne vengono 5. ilqual 5. entra tante volte in 20. quante vnitd fono nel 4. che è il partitore. Lafeflafi chiama progrefjione. La fettima fi chiama eflrattione de radici , de quali dijfufamente fi tratterà alfuo luogo . Del fecondo atto operatiuo del primo Algorit- mo detto Sommare. Cap. VII. BL Secondo atto operatiuo della Vr attica di ^ (rithmetica è chia muto Sommare, onero aggiongere molte quantità infieme di vno medefino genere. Toniamo adohque che voleremo ag- giongere quefle otto quantità de libre infieme , cioè Trima comincierai à fommare li primi digiti da man defira, & talfomma farà numero compofito, metterai o, & le defene aggiongerai con li digiti del la feconda colonna, ma fefarà numero articolo fcri- uerai fotto al digito che auanga , & le defene fimil- mente aggiongerai con li digiti della colonna fequen te, & co fi farai fino al fine della tua operai ione, ponendo poi à f vltima colonna verfo man finiflra el digito infieme con l’articolo, cioè la defena infie • me col numero, & acciò che più facilmente appren- di, dirai cofi, cominciando dal ^.Inficiandola o, cioè 5 & 8, fanno tre- defe, & 8 fanno 11. Et 7, fanno 2%, & sfanno j 6, & 8 fanno 44, & 7 fanno 5 1 . & metti 1, cioè il numero fotto alla prima colonna , & le 5 defene, che hai aggiongi con l'altra colonna fequente , dicendo 5 & 3. otto & fei 14. & 6. vinti, & 6 vinùfei, & 6. trenta doi , & 6. trenta otto. & 8. fanno 46. & metti fotto il 6. & le 4 defene aggiongi con li primi digiti dell'altra colonna feguente, cofi dicendo 4. & 7 fanno ll,& 7 fanno 1 8, & 7 vinticinque, & 7 fanno 32. & 7 fanno 39. 6' 6. fanno 4 f. metti 5 fiotto alla colonna che hai raccolto, & le 4 defene ag- B gimgi L. 7 3 3 ? 3 6 3 J 3 7 5 DcIl’Arithmcrica giongi olii 5 deW altra colonna farà g.& 3. 1 t,& 6 fanno 3 fa- rà il. & j farà 34, & 3 vintifette, et i fanno 30. & 7. faranno j 7. cf ro/Z metterai 37, c/ot il numero con ledefene ,per no.: tjfcrgli altra co- lonna da fommare: Et fegli ne fnffe b.iuercfii pofio J'ul ameni c elj.C le j deferte le hauerefìi aggionte olii numeri della fequente colonna, & cojT fa- rai nell' aggiongere tutte le quantità d' va foto nome , d'vn mede flm& genere, <ZT fappi che parlando per ordine di dottrina il fommare non ha prona , perche, fi come li principti di qualùnque feientia , non fi proti Jn(> coft il fommare, per effer principio duna fempliee opcrationc , itoti fi può prouare. Et fé alcuno diceffe, chef può prouare con l atto del fuo eppo- ftto,ch; è il fottrarc,oucro col pigliamela prona del 7. oucr del 9. ai citd- feunafua riga, & quella fommar e, & comparai la poi con lafomma finita che ft hauerà la prona. Io ri/]>ondo,che quella non farà prona denmflr a- tiua, ne ordinaria, perche non procederà da vna precffflente cognitione, come ft richiede nelle Dottrine Mathematiche ; Come vuole il Vliilofopho nel primo delle Volle riori analitici , Si che f operai , che le prone vere non fi fatiti perle Aperationi confeqnent) : ma per li precedenti fecondo l’ordine di dottrina. Perocché li proteici vfano à riuedere le fomme, cominciando de fnfo ingiufo , per vedere fe s’incontrano . Et quello è da offer tiare nel fommare : ma però non fi può veramente chiamar proua , ma vno riuedere, cominciando bora da capo à piedi , & bora da pie- di à capo . Et in ogni forte di fommare sii ben aucrtito, che il numero fia ben col- locato fotto il numero,et le defene fotta le deferte, li centinara fotto li cen- tinara , et li migliar a folto L migliar a , et cofi ciaf cuna folto il fuv ordine* altramente le fomme fotta pcncolofe da cfierc errate - Delle due proue, cioèdel g. & del 7. Cap. Vili. I nojlrì Mritbmctici pr attici , per afficurarfi nelle loro- operationiycofi nel fommare , come nel fottrare , molti- plicare & partire , & altre operazioni hanno inuefli- gato vn modo chiamato la proua del 9. onero del 7. Quantunque nel fommare , C' fottrare tali proue, non . fiano propriamente demoRr atiue , perche non prouano per le afe primamente conofciute » ma per le conofciute dipoi , cioèà poileriori . £ oiionque la proua del 9. vn numero che auanga partendo vn dato numero per 9. Et lapjtoua di ejfo 9. fi dice effer nulla, & fimihntnte di * Libro Primo . 6 tutti liiftmeri multiplicati per il ditto 9. comedi 18 27 36. & lial* tri. Et per poter hauerla à memoria, quitti difetto ho pojio Ivna &"£ al- tra . Et prima quella del 9. quale piu facile, quantunque meno verace . . La Proua del 9. Et tutti li Tfumeri che fono tra l'vnanut- > laet altra, fi chiamano prone. Ma volendo pigliarla proua'di vn nuanero maggior che' 90. come per effempio di y 9 j|j 09 j. Dirai cofi volendo operar con preti e^a, co-, mandando damanfinifir a , verfo man delira \ di chi legge, laf dando tutti li 9. & le nulle, J & 3, otto & 3 vndeci & 3 quatordici ;> & dirai de 14 la pronai 5. perche il 14 contiene el 9. vna volta , & auangano 5. & cofi farai fempre, benché fi poteua anc bo- ra dire de 59. la pronai y< qual f. con la figura fequente dirà' yj. & poi dir de 53. laprouài&.checol 3 fequente dirà 8j. rt poi de 83 . £4 proua i 2. c/jr co» /a o. fequente dife zos & poi de io la proua i 2. che col 9. fequente dife 29. &poide 29. la pronai 2 . che dife 2 3. & de 23 è y. ficome difopra. “ìfri ,r LbjBtlGlQ iù viijL) Ma pèrche il 9. foto ha quefia proprietà, che tanto auanxa à fommar le figure che rapprefentano li numeri poi pigliarne t'auan^o per proua quanto che à partire effo numero per 9. & pigliarne poi l attando per proua , molto minor fatica farà à fomrriàr lefigure,& della fonmaUuar- ne il 9. quante volte fi può, & Ì auanig pigliarlo per proua ,& fe in tal cafo auangaffe nulla, dirai la proua effer nuli, zj . Et nota che per ogni uolta fi erraffe in detta proua, & che l'errore foffe 9 • depiuouer de manco, ouer altro numero moltiplicato per 9.ouer foffe vna , opiu nulle di manco, ouer di piu del vero , effa proua mofire- ria effer giufla, quantunque la ragione foffe falft : onde per afficurarfi hi. fogneria ricorrer la ragione, non folamentc per effa prona del 9. ma an- choraperlaproua del 7. laquale è molto meno fallate che la prona del 9. come di fatto manifeflamentc fi prouerà . Ma hanno però queflo di fecuro l una e t altra proua, che effendo giufla la ragione ouer computo, mai ver- ranno falft, quantunque conuerfamente poifino fallar e, cioè che il computo potrà effer falfo , & qualche volta le proue lo moflreramo per vero, cioè quando l'errore fiaper 9. ò per fuoi produtti facendola del 9. mieto per 7" • & fuoi produtti , facendo la proua del 7. ouer per vn numero produtto da.l’j. & dal 9. come è 63, che faranno apparer veri li computi per l’vna D 2 & t altra De De 18 è a' è 0 De 27 è 0 De ió è 0 De 45 è 0 De 54 è 0 De è 0 De 7* è 0 De 8r è 0 De 90 è 0 DeH'Arithmctica^ & l'altra proti* , aitando faranno 63 di più ouer dimeno, onero altro nu- mero prodotto dal 6 3 . legnali cofe erano degne di effere auertite. Della Proua del 7- Slmilmente s'intende la proua del 7. lattando di ciafchedun numero quando è partito ouer numerato per 7. Et quando non auan?a nume- ro alcuno in tale parlinone fi chiama ejjer nulla , come nello effempio in- fi aferitto veder ai, fi come di fopra hauefii nella proua del 9. Ma acciò meglio 1'apprcndi: "Poniamo, che voleffi pigliar la proua di quefio numero , cioè de 3 7 6 5 7 Dirai di 57 è due, ilquale col numero fcquente dirà i6.&di 2 6. è cin - que, quale col numero fequente dirà tu dir ai di j$ la proua è 6. qual fimilmente arti- colarmente gionto col 7. fequente dirà 67. & tu dirai di 67. è 4. onde dirai, chela proua dcldittouumeroè 4. cioè Cananeo di tale di- uifione , & cofi farai in ogni numero pro- porlo. De De De De De De De De De De 7 *4 11 1$ J5 4* 49 63 70 è i è è è è è è è è o o o o o o o o o o Che la proua del 7- ila men fallace,, eh? la proua del y. CHE la proua del 7. fisa men fallace chedel 9. daqueflo facilmente fi comprende, perche nella proua del 9. non è fatta alcuna differen- za, fe per cafo li numeri fujfero trafilatati onero fintati al fuo luogo , co- me volendo pigliar la proua de f 7. 4 tanto farà la prona di quefio nu- mero, pigliandola al modo, chefià al prefeate , quanto à voltar le figure , cofi 47 3. facendo della prima l'vltima , onero in qualunque altro modo » come mettendo quella dimego nel primo loco à quefio modo 74 j. onero ne l vltimo loco, ponendo effa figura di me%o, cofi 4 j 7 che à tutti quefii modi, la proua del 9. farà j. nondimeno fi vede manifcfiamenxe, che l vno è molto differente da l’altro, quantunque habbino tutt i tre le medefime fi- gure, ma in diuerfo ordine: altra di quefio ter aggiongerli la nulla, ouer piu nulle, effa proua non farà mutatione alcuna , come vedi . M a fe pi- glierai la proua del 7. del ditto primo numero 3 7 4 quella farà 3. ma fe la piglierai del fecondo, cioè de 4.7 3. la trouerai ejfer 4. Et feda tcr%0 la trouerai vno, & cofi feà ditti numeri aggiongtfli vna, ouer piu nulle bella proua del 7. farà mutatione, Ma nella prona del p. per aggiongerli nulle. Libro Primo r rutile, neper tramutar le figure non fi farà mutathne alcuna , adunque fi conclude , che molte volte la ragione potrà effer falfa : Et pur mofberà ejfer vera ; & quindi arguirai , che effaproua è piu fallace che laproua del 7. la qual cofa era da moflrarcj . Ilor a battendo incefo le proue non refiarà il pratticodi farla prona anchora delfommare , quantunque non fia fatta per le cofe precono fónte, perche prima Ih uomo impara il fommare inondi che Impara le ditte prode, le quali fono fatte con tatto del partire : & per effempio poniamo che volcjfifar laproua del 7. della infr aferitta fomma , dot L. 7 6 7 3 I £.2768 3 3 6 5 7 3 4768 — I * L. I 8 8 6 6 , I7I8 La prona è l. ■ prona1 II j Viglierai laproua della prima partita al modo infegnato difopra , ciotr pigliando quello che auan^a nel partir per 7 . et troucrai che la proua e 7. de ditta prima partita farà I. poi della feconda à modo detto fard 3. della ter ?a ,fimumcnte farà 3. et della quarta & vltima farà I. 1 prone gionte in fieme faranno 8. del qual 8 la proua t I. .Adunque dotan- do effer giufta la ditta fomma , bifognache fimilmente la proua dell ag- gregato, ouer fomma, qual è 18 8 6 6. fia t. come per verità troucrai che farà, dicendo di 18 £4. Et de 48 è 6. che fa ó ó, Ptdi 66 è 3- de 36 è I. come fu trottata anchora effer C aggregato delle prone di effe 4 partite, che fu 8. Et cofila potrai offer uar e in ogni forte di fommare, fil- trare, moltiplicare, e partire, & noi per tauenire vf aremo la proua del 7. come men fallace, quantunque quella del 9. fia piu facile, * . V4 * •• % ' * ' * , ' w ■ 14 Della vnità attratta , & concreta , la fua diffe- renza . & di diuerfe mifure ÒCpefi . Cap. IX. V a n t v n b la vnità confiderata aftratta dalla materia , fia indiuifibile , fecondo la fententia di tutti i Filojofi, Tfondimcno confiderata in concreto , cioè con- gionta alle materie diuifibili , per ragion del foggetto fi fu diuifibile , come vna libra di moneta è diuifibile in xo foldi, & vn foldo è diuifibile in 1 x dinari, et co fi vnpe- fo di robba è diuifibile in iolibre,& vna libra in 30 on^e,et quefto auie. ne, perche DcirArithmetlca ne, perche il fuo foretto è qualche quantità continua , laquale è diur/i bi- le, nonfolamenteinmoltequantitàfenfibili: ma ani hot a in infinito , co- me prona ^drifiottle nel primo de Celo & Alido , et in alcuni altri luoghi. Ter tanto fu neccffario alli nofiri maggiori diuidcrc in parti non fola- mente le loro monete, ma anchor ali pefi, & mifitre di diuerfe foRantie, fi come , la mifura del fomento fu dtuifa in ottoflara , & vno fioro in quatto quarteria vno quartero in quatro fede fini . Et il Carro del vino infei brente, & ciafcuna brenta in fei fecchie , & ciaf cuna fecchia in difdotto boccali fecondo alcuni, & vno boccale in qua- tto bichieri , laqual mifura è la minima , che offerftino , & cefi il pefo de Ipro, & argento come vna marcha la diuidono in otto onge, t onge in 24 dinari, il dinaro in vintiquattro grani, & iui fi fermano ; & la perticha della terra in vintiquattro tauole. Et la tauola in dodeci piedi. Et il piede in dodeci onge. Et tonde in dodici ponti ,& il ponto, in dodeci alimi , & qui, come (per v funga) minima fi fermano, & co fi tutti li paefi hanno li fuoi proprii pefi, & mifure diuerje talmente , che intendendo vna per ra- gione Y intènde tutte le altre per regola generale^ . •s nt*t»a.<vr . • : . ^ Del (bramare monete diucrte , & pefi, & mifii- re di diuerfe forti , con le loro proue praticali. Cap. X, ■{ . • .1 . 0^'» CcoitRF. ndo adunque à fommare la quantità in concreto con tefue parti , nelle quali fono diuife^o fi ano monete 0 pefi, ouermifure, bifogna per regola gena ale fomm.tr primate minori farti ouero denominationi , co- minciando da man defira vafo man finifira di chi legge, ' & tettarne fuori il numao , nel quale le maggiori vnitd Contengono le proffimamente minori, quante volte potrai , fin chethaue - rat ridotte alla maggior fua quantità , & li auangi gli affienerai fiotto alTifegnitlel fitto nome* dimano in mano, & accio che piu chiaramen- te vi intendi , qitiui fitto parrò vrieffempio, che per regola fauirà in ogni fòrte & modo di fommare , & in ogni paef * , ne refin a altro fe non finuefligare il cofhme di quelli paefi, circa alle monete , pefi, & mi- nute proprie quali furono trouate ad arbitrio de fuoi antiqui . Sia adon- quepropofla la infraferitta fomma di lire f oidi & dinari . Tnche Libro Primo L. 7 6 7 3 7 6 3 7 <5 j 7 6 3 7 <5 -~i.g fotti 1 6 fotti i 7 /oWi 17 fotti i 5 fotti 17 j6w4 L. *47 5 /o/di 5 di. 3 JJt- di. — 3 . di. S — J di. 8 — S di. 8 — 3 di. 9 — 5 pua. 8 Terchg- dunque la maggiorali: f.ì è quel- la delle lire, cìichma fa fotti io. Et ciafcu- n.i di quefie v niià de i fotti fa 12 dinari, qua le è la 7/ii/ior .mila, ' ' adunque a, Mine urei a fommar quelli dinari infteme, & faranno 39. de quali ne, (aiterai fuori il numero , nel quale vn f otto è diuìfo in dinari , tante uolte quante tu poi , & Panando poner ai fitto al fegno del fio nome , cioè pedi quante uolte il 1 2 entra nel 39, & trouerai che'l vi entra 3 volte , et auangano 3 dina- ri, quali metti /otto àgli altri del fuo nome , & batterai 3. JolJida fom- mar e con gli altri, dicendo 3 c 7 fanno io. et 5 fanno 15. et 7 fanno 22. . et 7 fanno 29. et 6 fanno 35 .et metterai 5 fotta al numero dclli fotti , et tener ai 3 defene , quali aggiornerai con quelle altre 5 defene, che vedrai d,a man finiflr a , fognate vnafopra l altra.Et perche à far vna lira di fol- cigli entra due di fate, adunque piglierai la mità di quelle 8 drfene,& fa- ranno lire 4. quali aggiongci ai col primo numero di lire ,che trouerai da man fini/ira fin allaftmmità di quello, dicendo 4 & fei fanno dieci , & 6 . fedici,& 6 vintidue, & 6 ventiotto,et 7. fanno 35. onde metterai j fol- to alti primi numeri delle lire che troui, procedendo verfo man finiflra,et tenirai 3 defene, quali fuinmer ai con le altre drfene che feguitano, dicendo 3 et 7 fanno dieci, & 7 dccifctte, & 7 v.ntiquattro , & 7 fanno 31 .et 6, fanno 3 7. metterai 7 fotta alle defene che fono alla feconda colonna, pro- cedendo verfo man finiflr a, & tieni 3 defene , perche ciafcheduna colon- na r fpetto della confequente i drfena , adunque aggiungerai fimilmente quelle 3 defene coni' altre che feguitano, dicendo 3 &■ 3 fanno 6. & 5 vn- defe& 3.quatordefe, 3 decifctte,et 7 fanno 24. etponerai 24. verfo man fimslr a, per effer aggiorno al fine della tua operatane, & hauerai lafom ma di tutte, che farà L. 247 5 fotti 5 dinari $ Et cofi farai lefimili,& quantunque h abbia vfata queflapatientia in cfplicar di parte in parte que fla trita & facile operatione, t ho fiuto per e/fere efcuf.no fc nelle fequen- ti fomme, non metterò altro che leff.mpio con le fue prove . Et volendo prouare la fopraferitta fomma per laprouadel 7. Lutale ■vf aremo frequentemente nelle noflrc operationi,cominciadaUa prima par tita,cheè de Lire 767 fotti 16 danari 6. Et trouerai prima che lapro~ uade 767, è 4. qual auango , oucr proua farai m fotti , moltiplicandolo per io, farà 80. Et a queHo aggiongerai li fotti 1 6,faì'aranno 96. C2“ di quefìo piglierai la proua, dr farà j . Et quefìi anchora moltiplicherai per j 1. cioè per tanti dinari quanti vanno à far vn fiotto , faranno 60, del qual $ ^ DeirAritlimctlcL qual pigliar aì di nono la prona , & farà 4 ,ilqual aggiontò con li dinari <£ faranno l o. la cui prona è 3. Et quella ferva per la prova della prima par tita : Ma per abbreviar fatica potevi anchora quello 4, che a vangò nelle lireyóq. moltiplicar per la prova de io [oidi , che fanno vna lira , laqual prona è 6, dicendo 4 fia6,fvnno impigliane la prona fard 3 flaqual ag- giorna alli foldi 16. farà foldi 19. delli quali pigliane anchor la prova fa- rà & quella moltiplica non per li danari 12 . come faccfli di fopra, ma ben per la prova di ejfo 1 i.che'e 3. farà 1 5 . pigliane la prova, farà q.ag- giongeli alli danari 6. farà 1 o. dequali finalmente pigliarvi la proua , eJr farà 3 . Qjfale fer varai per la proua della prima partita . Et in conclufìo- ne voglio dire,che in vece del io, pigli la fua proua, che i 6. Et in vecc-a del 1 i.fimilmentt pigliala fuaproua,cheè 3. & aggiongi olii numeri fe- qucntiyfin che farà finita la partita . Et cofi farai in ciqj ebeduna partita* * & trovar ai che la proua della prima partita , ouer righa della predetta* fumma, come hai di fopra, farà 3. & laproua della feconda righa , ouer partita, ciobde £ 376 foldi 17 dinari 8. farà 5. Et della terga , qualè L 31 6 foldi 1 7 danari 8 farà fimilmente 5 . Et della quarta qual è 57 6 foldi 1 5 danari 2. farà 3 . Et della quinta, qual i Lire 3 7 6 foldi 1 7 danari 9 farà 6. Horaaggiongi infime quefle 3. prove, cioè 6, j, 3, 5, 3 .fàran ito 12, dclliquali piglierai la proua, & farà 1. Et dovendo effer giufla,bi- fogna che anchora la proua della fvmma,qual è L. 2475 foldi $ dinari 3, fa fimilmente 1. altramente effa fumma non potrà cjfcr giuflaj . Vedi aduque al modo che te mfegnai à pigliar la proua della prima righa . Et la. troueraiejfcrc 1. come fulq prona della fumma delle dette j. prove, eh ti ilpropofito . Similmente furnmarai, & prouar alla infr aferitta de Ducati, groffi, & piccioli, al modo di Venetia,f apendo che vn ducato, fi 24 groffi, & tn gfoffojk 3 2 piccioli . Summarai prima li piccioli, & faranno 1 1 8 .che fo- no graffi 3. & mangano pie Ducati 763 greffi 13 picc. 31 a Ducati 176 grolfi Jp picc. 15— — 2 30 6 -4 -4 Ducati 427 graffi 15 picc. Ducati 532 gr affi 23 picc. 31- Ducati 16 grolfi 9 picc. 7- Ducatitpip graffi io picc. 22 dòli 22 . quali metti fiotto li altri picci(>ri,& tien 3 groffi, quali aggiongi co li altri grafi fi, & faranno Si.de quali ne cauaraili ducati, & faranno ducati 3. & mangano groffi I o, quali metti fiotto à gli al- tri.,& li ducati 3 aggiogi al- li altri, & faranno in fumma ducati 1 91 9. groffi io. piccioli n. La proua del 7 farai moltiplicando quello che auanga nelli ducati per 3 * perch 3 'e la proua del 24. & poi effo prodotto aggiongerai olii greffi che feghitano. Et della fumma pigliarvi anchora la prona, & quella moltipli. » - carvi Libro Primo/ 9 <mtaiperlaprouadepic.fi. cioè per 4. Et al produtto aggiungerai li pic- doli: & della fomma pigliar ai la proua , & la prona iella prima partita farà z,& della feconda 1, deUa terga 6}della quarta 4, & della quinta 4, che fanno 1 8, & di li-la proua farà 4, & co fi trouerai che la proua del- la fomma qual è Ducati Ì919. gro/fi io, piccoli 22 farà 4, & co/i ojfer - uerai in tutte le monete, pefi, Cr mifure Jenga che io replichi la regola. Jf J I - Jj I v li* liu ! J _1 if *.JJJ IJÌ 1 1 * àt.) j : • a Sommar de pefi,l ire,quarte,& onz e,& vno pe(b è Lire i o. vna Lire è quarte 4.ÓC vna quar- ta è onze (ètte, ÒCmeza. Tefi 7 » 3 17 6 376 576 4 7 6 5 6 8 lire 2 //re 4 //re 2 lire 3 lire * //re 2 quarte t quarte 3 quarte 3 quarte 2 quarte 2 quarte 3 onge onge 5 — 1 ®»V 4—5 o«^e 5 — j o«^e 6 — 2 o»^e 4 — 5 Tejì 2 V 9 6 lire 9 quarte 1 onge 3 |i Bi| ’ilil Della fomma delle on^c catta- ne tate volte on- ge fette, e mega, & l auaxp fegna rai fotto, cr ag- giongi le quarte _ alle quarte, et ca uanc le lire , cioè tante volte 4, quante fi po/fono, & delle libre ne cauerai li pefi, & lattan- do fegnarai fotta le lire, & porterai li pefi con li altri à modo detto, & la fomma farà come di fopra, & nel pigliar la proua multiplicarai quello che auanga nelli pefi, cioè la proua che auanga partendo per 7, per 3 , per- che f è la proua delle Lire 1 o. che fanno vn pefo, & il produtto aggiongi alle libre, & la proua de tale congionto moltiplicar ai per ar& aggiongi le quarte al produtto, & di nuouo pigliar ai la proua, & quella molciplica- rai p(r la proua di onge 7. e mega, la qual proua è vno, & il produtto aggiongi alle onge,& fegnarai la proua della prima partita, & cofi farai di partita in partita, & trouerai che la proua farà 3 . fi come vedi di fo- pra, fe ben hauerai intefo le cofe dette-* . Tqpta anebora che in renetta fi vfa fommar delire foldi, & ducati , & vna lira fà ducati io. & foldi vinti fanno vna lira, & vno foldo fà 1 2. piccioli, onde vno foldo vaierà megjo ducato, & vno ducato vale li- re 6, foldi 4. de piccioli, & vale anchora gro/fi 24. onde vno groffo vole- rebbe foldi 5, piccioli 2. Si fommano anchora ducati, lire, foldi , & piccioli, che ducato vno fà lire 6, foldi 4, & lira vna fa foldi 20. & vno foldo fà piccioli 12. C Come D eli’ A ri th me fica i Come vedi Ducali 37 lirTj /o&/ 1 3 pie. 4 L.lì fd. 5 Ducati ip Zir? 4 /òWi 1 5 pie. 5 6 fol. 4 Cacari 1; Zirc 3 -/ò/t/i itf />/c. 8 5 f0t. 1 Somma Ducati 72 ~LÌrc~4~foldi f~ pie. 5 Mifure delformento, & legumi al coftume di Bergamo. ? . ? : Sommar de fome Jlara, & quartati , & fede/ini , alla mifura di Ber - gamo & pio territorio , /a /oro* /a 8 Jlara, & vno Raro fa 4. quarta - ri, cr vno quartato fà 4. fedefine; Ter tanto farai la injr aferitta feruan * do la regola generale . j'ome 7 5 flava 3 quartati 3 fedeftni 3 Raccolti li fede- li Rara 5 quartati 1 fedeftni a fini, cauane li quar- 17 flara 3 quartati 3 fedeftni 2 tari, & t aitando 17 flara 1 quartari 1 fedeftni 3 metti fotto atti fede- 45 flara * quartari 3 fedeftni- 1 fini, & riporta li 1 2 flara 7 quartari 1 fedejìni 3 quartari nel nume - ' Some i8p flara 1 quartari fedeftni *i ro delti quartari, dal quale raccolto , ca~ uanc li Jlara, & lauanjo metti fotto olii quartari, & quelli anchora j gionti con le fome redurai ogni cofa alla maggior ftta vnità, cioè à fome% come netti precedenti fu infognato . Mifure del vino fecóndo il coftume di Berga- mo, & fuo territorio. ■\ T TJo carro de vino fà 6. brente, vita brenta fà 6. fecchie, vna fec - V cbia fà 1 8. boccali, feco.ilo alcuni, & vno boccale fà ^.bichieri, Ó" fecondo quejladiuiftone farai l'infr aferitta fommxj . Sommar deCarra, Brente, fecchie boccali, &Jiickierù brente 3 fecchie 4 boccali xj bichieri 3 brente 4 fecchie 3 boccali 13 bichieri 2 brente 2 fecchie 4 boccali 1 5 bichieri 3 brente 3 fecchie 5 boccali 16 bichieri 2 brente 2 fecchie 4 boccali 3 bichieri x Carra 188 5 J'ecchic j boccali 8 bichieri 3 La prona -potrai far e al modo delle precedenti feruatis feruandis „ I* Carra '76 17 19 37 37 IO Libro Primo. «. * * ». * .. -p Le fuperficiali mifùrc della terrà fecondo il co- fiume di Bergamo, 6C di Milano, ÒC Lodi, & alcune altre terrò . _ . _ r T .. r _ ...i piùoltra. quello modo offeruarai nel fommarle infr aferitte m.fure , outro peg^e di terrete . 10 |»4l -[tal » _(T~I • l,?l M Ter fiche 78 tauole 1 3 pìeìi 3 oSigè 3 p\mriì alimi 3— f 53 tauole 17 piedi 5 onge 3 ponti 3 arimi 9 — 5 37 tauole 16 piedi 3 onge 4 ponti 7 alimi ì — 4 . , 57 tauole 19 piedi 3 onge 3 3 arimi 6 4 37 tauole 14. piedi 3 3 ponti 7 athni^*-^ 38 tauole 13 f/erff 2 onge 1 1 poti r 1 ari. 1 1 4 SomaTert. 324 mko/t 7 piedi 9 onge 6 ponti 1 ari. /> < Lamifuradelliaflì. LI affi fi mifurano à queflo modo in Bergamo, cioè che vno bragia per largo fia longo 5. bragia, talmente che vno bragjgo fia y. qua- dretti l'vno , liquali quadretti Jiano longi vno bragjo & larghi vno bratto . LamifiiradVn paflòdi legna^. ILpaffo della legna alcuni vogliono, che fia quadretti 17. cmrgo, li quali quadretti fono larghi vno broglio, alti vno bragia, & groffi vn altro. • Lamifùradel fèno. • ^ ì Z i Uj . ■ *? IL feno fimifura co'l braggo, & vno bragia fi chiama quadretto, corporeo ouer cubo, & vno bragie, 'c diuifoin izl orge, onero in 4. quarte & vna quarta in onge 3, che tanto fa . « ^ C 2 Dql DclTArithmecica, • Del pelò del Toro, &C dellargenco in più modi. L’Oro & (argento fi vende à libra , che vna libra fi li. onff, & vn on^a fi 24. dinari , & vno dinaro fi 14. grani , onero à Marche & vna Martha fi ono^e 8. & vn'on^a fi 14. dinari , & vno dinaro fi 24. grani al modo di Milano , <jr de molte altre Città di Lombardia. Sommar de Libre, on^e dinari, & grani. IO i> *4 *4 I. 27 ottone 3 dinari *7 grani 22 -9 ■Lè 17 onge 7 dinari 15 gran 23 4 4 16 onge 3 dinari 19 grani 21 4 19 ono^e 4 dinari grani' il 4 ?7 0 nge IO dinari 19 grani 18 6 L. 139 ono^e 7 dinari 1 grani ,0 u Sommar de Marche, on^e, dinari, grani, vna Martha fi on- biarche 7 6 on$e 3 dinari 17 grani 19 7J 8. vrìono^a di- 37 orn^e 3 dinari 19 grani 15 nari 24. & vno 57 onore 7 dinari 16 grani 18 dinaro fi 24 grtt- 37 onje 3 dinari 17 grani 15 ni. _Marche 209 ono^e 2 dinari 23 grani 19 La prona che ' " auaga nelle mar- che fi moltiplica per 1 & li auano^i degli altri fi moltiplicano per 3. per- che 1 è la prona di 8 & 3 di 24. Sommar di Marche, ongr, quarti, cor atti, grani al modo di V enetia. Vna marcha fi on-ge 8» vrionza fi 4 quarti, vno quarto fi 36 carat- ti, vno caratto fi 4 grani a prfo delineo, & argento , Marche 27 quarti 3 cafatti 35 grani 3 Leprouefono 17 quarti 2 caratti 27 grani 2 prima 4, poi l, f3 quarti 3 caratti 28 grani 3 poi 4. 27 quarti 1 caratti 1 3 grani 3 Marche 127 quarti — caratti $} grani 3 Delle mifurelòlide de Muraglie & folle col palio de 5 .piedi perlonghezza al modo di Venetia. LE mifure laterali di Venetia con lequali fi mifuranuo le muraglie fo • nomo paffolongo piedi 5. Le Libro Primo 1 1 Lemifurefolidc de muraglie fono piedi 15 cioè quadretti 15 checia- fcheduno è vn piede per lato . Le mifure delle fojfe, & terrapieni ojjey Caa amenti fanq piedi 125 fo- lidiyche ciafabedunoè vno piede p'# 0gni lato , & con quefie mtfure forno Lauorar nelle fortezze . : Et nota che fé per cafo le fomme faranno tanto longhe che con diffi- cultà fipoffino tener à mente le defene ouer ccntanara , le dittiderai in due ouer tre, ouer più partii fecondo f ara dibifogno, tir le farai adyna advna, poi aggiùngerai quelle iue ouer } . ò più fomme inficine , & à queflo modo operaraipiù ficuramente & con minor fafiidio,& me» pericolo difhllare, mettendo femprc ciafeuna figura fiotto al ordine del fitto nome, cioè di nume- ro defena, cèutanara, & migliar a , Crquefiiauifi ti biffato circuii fam~. mare del primo rigonfino . v . Del fecondo atto detto fottrattione oue- ro refto. Cap. X. L fottrare non è aitrochea trouar la differenza diyna quantità à l’altra . Il che può occorrere in dui modi, per- che oucro che le dette quantità faranno vguali, onero ine- guali,fe faranno eguali di tale fottrattione reftarà o. cioè niente. Ma fe faranno ineguali fi deue fottrar la minore m dalla maggiore, & quello che refìarà farà la differenza di quelle due quantità ouer numeri,la quale differenza b quella, che cerca- mo di fapere, & tale differenza fi chiama il rtmanente,ouer il refto , ouer refiduo che tutti- fono vocaboli finomini , àioè di vna medcfma fignificatio- ne. Hora per dichiarare minutamente quefli principe delle opcrathnLTfì- ma fi apponiamo di fottrar vna quantità minore dolT altra maggiore fecon- do tutte lefue figure di numero, defena, & centanara » & migliar a . Come per effempio,che io foffi fiato debitore à vn' altro di ducati 3868. & che gli ne baueffe dato per parte di pagamento due, 1314. per trouar quanto glirefio dare per finir di pagarlo, io metterò fempre il numero mag giore fopra il minore affettando li digiti del minore fiotto li digiti del mag- giore,& fimilmente le define centenara, & militata dell' vno fatto le define centenara& migliar a delTaltro:& ciafcuna figura del minore fatto alla fua correlatiua del maggiore fi come dijfi di fopra nel fammare . Et fiat anno cofi come vedi Ducati 3868 numero maggiore, Ducati 1324 numero minore. 1 [ refia Ducdti * 5 4 4 Somma & prona 3868 numero refi ante. . . - —Vìrgola. Tot » i DeirAritHmetica^ Voi per cjfequìre tale fottrattione cominciarti dalli digiti cioè doleriti - mo ordine verflo man delira tenendo verflo man finiflra. Dicendo 4 de 8 rcflano 4. dnjegnarò c/4, fono all altro 4, cheto fottrai dal foprapoflo . 8. poi vengo alle defene & trono 1 /òrto a/ 6- érdico a de 6 rcflano 4. c?“ co/i metto 4 /ò«o al a. cAe fottrai del foprapoflo 6. ftmilmente vengo alti centenara quali fono nel tergo ordine ,dr trono 9. flotto al S. & dico 3 de S. rcflano 5. co/i metto 5. flotto al 9. quale fot- trai del foprapoflo 8. poi vengo al Quarto ordine cioè al numero de mil- liara, & iui trono 1. qual flottro del foprapoflo j. & rcflano a. qual finalmente metto flotto al ditto 1 . pur ogni cofla flotto vna virgola la qua- le flepara li doi numeri del tergo numero della mia oper attorte, & il pri- mo mmero è il numero dal quale faccio la fottrattione , & il fecondo è U numero che io fottrai, & flotto queflo pongo la stegola diuidente, & flotto ejfla virgola pongo il rtjlante onero differenti delti detti doi numeri . Ma io battendoli pofli in materia de vne debitore che debba dar dinari a vno fluo creditore, in tafyf aflo il primo numero cioè li Ducati 9 8 6 8 ft chiama il debito, il fecondo fi chiama li dinari dati, & il tergo fi chiama il rfflante cioè la differcnga che è da tutto il debito alli dinari rcceuuti,onde à pii chiara mtdligentia non /blamente di queflo e/fcmpio, ma anchora de quelli che fleguiranno, quitti reponero li mcdeflmi numeri applicando li vo- cabulialcaflo propoflo, Vno dee dar Ducati 9868 ha dato Ducati 1924 -Ducati 2 $44 , rcjta dare- Et perche li dinari dati aggiorni con quelù che ” Ducati 9868 reflò dare fono tutto il debiio.Tcr tanto io fommarò li Ducati ija4 con li Ducati a S 44 che re/lai a dar, «Ir doneranno far li Ducati 9868 tutto il debito & quefla farà proua vera, ctfecodo C ordine et modo demoflr attuo. Secondo modo di prouar il fottrare; "D Enche pottui anchota prouar la con la proua del 7. cioè pigliando X) prima la proua detti Ducati 9868 che è +.& queflo flerua. Toi pi- gliandola proua delli dinari dati cioè de 1924 qual farà il «Ir quella aggiongfdo con la prona del reflante cioè de Ducati a 544. qual è 9 .& fie- ra fimilmente 4. fi come fìt la prona di tutto il debito, & quefla aHchora che fia beneafapcrla,nondimeno non ti e/florto ai vflarlaper non cambia- re vna proua certa con -vna men certa. L’ejflempio vedi diflotto Ducati 3268— —4 'iti; ''"J ‘ Tergo modo di prouar c lirefli. V5 *5+4 prona 4 vincbo- rJRbro Primo, 1 2 v{u cborapcr vn altro tergp modo potrai far la prona del fottrare, qual i filtrando In quantità che refta , onero il refiduo de tutto il debito , & fi di tale fottrationc ne rcfiarà la quantità minore che fu fottratta farà giufla altramente non, come ncU'eJfimpio di f opra poftoi fi li Ducati *544 che refiorm canarai onero fittrarai ( che tanto voldire ) de tutti-li Ducati 3868. -che ju tujto d debito ne reflaranno li Ducati 13Ì4 che fottrafli , & co fi batterai prouato , come vedi difotto mi il mi- gliore , '& più frequentato modo di prouare le fottrationi è il primo . dee dar - Duriti 3868 tutto il debito ’ ha dato Ducati j j 24 dinari pagati i\ói _ jeftadar Ducuti 1544 1 .* 1 * Hjfidno Ducati lf»4 prona per via Et queftaproua è più ficura'che la prendente cioè che del rcfiarc la feconda , ma non che la prima, ma per più rifatta dilucidationc ho vo- luto mettere quefli 3 modi di prouare le fottrattioni, & fin qui delle prone del fottrare fìa detto à baflanga. Hauendo nel fommarc conofciuto il va- lore delle monete, & dellipefi, & mifure,mi rcfiarà folamentedi repli- carle nel fottrare, poi che batterai à pieno intcjo il modo di quefio atto del fottrare quali il fecondo del primo algori fmo . t'olendo fottrare Lire 3438 De L. 921 j. nel quale eidigito defi- ne & centanara della minor quantità fono maggiori , cbe’l digito defina , & centenara della maggiore, fitto alla maggiore quantità che è L. 9215 metterò la minore cioè le L. 3 438 cioè il numero fitto al numero cioè di- gito , la defina fitto le define , & li centanara fitto li centanara, & cia- scuno folto al numero dclfuo ordine & faranno cofi cioè Voi cominciarò da man dcflra, venendo ver fi man ftnijb a de chi legge,et iui trouo 8 digito ouer numero fitto al 5. & perche non poffo filtrar l. 5777 refiduo 8 de 5. iodico 8 de $ non fi può per effer maggior lo 8 che’l 5. & imperò io impremudo vna de fina della figura precedente dicendo 8 per andar al i o. gli ne vanno 2 . quali gionti con li 5 . fanno 7. & -quefio met- terai fitto al 8. che fottrafli del 5 . cr tieni vna defena quale aggiunge- rai al 3. che Jeguitaverfomanfiniflra farà 4. & quefio fittrarai dall, foprapofio dicendo 4 de 1 non fi può : 4 per andar al 1 o. gli ne vanno 6. quali gionti col detto 1. fanno 7 quefio metterai fitto al 3. che fottrafli, & tu tieni vna defena quale gionta al 4 che figuita farà 5. poi dirai fimilmente 5 de 2 non fi può: 5 per andar al 1 o gli ne vanno 5. olii quali gionti quelli 1 difopra fanno 7. c 'T cofi notar ai 7. fitto 4/4. che fot trafii dal 2.difipra, et tu tieni anchora vna defena. però dirai vna et 3 fan no4.& 4. de 9 refiano 5. Et cofi trotterai , cbtjcfiano L. 5777. perche vno L. 9*15 L. 3438 s • DcirArithmcflca ’WW numero minore de motte figure può batter tutte le figure maggiore fai no la prima la quale curimene che fia maggiore , & imperò non poffcndo fottrar ma figura maggiore di ma minor bifogna aggiongerli ma defe- rta onero altra r aiuta dell' antecedente, cioè tante mità pianteranno i ma confeqitaiu afa ma antecedente , come fé hauefti a fottrar L. » j* fot. 16 picc.q da L. 41 »? fot. 7 pice. 1 come vedi qui difetto r difpofle ma fato l’altra a modo detto cioè “ ~ ‘ comincia prima dalli picc. 3. & rio pojfendoL fottrar dalli picc. ». vedi quanti picc. vanno à far vno foldo perche li foldi fono la L. 41 »? fot. 7 picc. l L. a $ 8 fol. 16 picc. J l-‘ ?88ó fol. io picc. 1 1 L. 41»? fol. 17 picc. 1 prona quantità antecederà^ perche vanno picc. 1 2. che fono la quantità confc- quente à far vna afit ecedente,cioè a far vno foldo, & cofi aggionto picc. 12 col. 2. difopra farà 14. & poi ne fottrar ai 3. reflaranno lt.& cofi notar ai fottopicc.il. & perche ne leuajli vno foldo fatto ut picc. per po ti rii fottrar e lo ritornami à quello modo dicendo vno,& 1 6. fimo defifet tc , & fol. deflette de foL 7. ribn fipoffono cauare per tanto aggiùngerai ahi fol. 7. tanti foldi guanti fanno vita lira cioè tante vnità delle confe- quenti quanto vanno a fa l'antecedente quantità la quale è vna lira che vale fol. io, & con quelli 7 faranno 27. & poi ne fottrar ai lifoL 17. & reflaranofil. t o quali metterai {otto agli altri foldi, & dirai ho vna lira per ì.onfcordarfi,qualegionta alle 8 chefeguitano verfomanfinifìra fa- remo 9. Et quello fottrar ai del ? . foprapoflo potendo , ma perche non fi può per effer maggiore, gli biflgnal' aggiorna di vno antecedente cioè dì vr.a aefena perche bora li antecedenti fino defene delti confluenti come dfi nel fommare-.per tento effa deferta impremudata infteme col 5 dirà 1 5 datti quali filtrandone poi 9. reflaranno 6. quali metterai fitto olii 8. & effadefena impremudata ouer tolta dal antecedente gionger ai col 3. che feguita verfi manfiniflra, & dirà 4. il qual volendolo fottrar del2.fi- prapefio non fi potrà, per tanto aggtongerai al 2 . vna defena farà 12. & fora ne potrai fottrar li 4. & reflarano 8. Et tu haucrai amente la de- fi na che pigliafli del antecedente quale fmilmente aggtongerai al a. che feguita farà f.poi dirai 3. de 1 non fi può,aggiongi fmilmente al ditto 1. vna dcjtna farà 1 1. bora ne potrai fottrar j.er reflaranno 8. & perche ne hai vna a mente fi come difopra bauefli, quella fmilmente aggiùngerai alla figura fequente . Ma perche non vi feguita ahra figura con la quale poffi aggtongi. re effa defena quella fottrar ai dal 4 foprapoflo, & reflaran- no 3. perche effóndo maggior numero difopra poRo è for^a che almeno Ivltma figura ver fi man finiflra ouer la prtnut procedendo ver fi man defila fu maggiore onde finita la tua oper at ione tr ouer ai che reflaranno 1* 3 886 fol.- j o picc , il. la prona farai fempre al modo primo che io difi Libro Primo : 13 dìfii.cioè fummando le ritinte due quantità , & fetale [unirmi farà eguale alla prima concluderai talcfottratione effer giufla. li altri doi modi di prò- uar le [attrai ioni non mi curarò ponetl , perche mi bafla batterli detti vna volta, perche l'huomo /Indio fo, poi che ha prouato diuerf ? cofe,tiene le mi- gliori. Ma perche la detta fottrattione fi può più cornino damente,& con più facilità farebbe al modo di f opra offeruato, quantunque effo primo mo do fia più demojlr alito della cau fa ditale operationc,quiui difotto a mag- gior tua dilucidaticelo porremo vn altra volta per fare tale fot trat- tane al ditto fecondo modo , qual [igne. .O i U " G J > s*i ■ M* . . , V no dee dar o , . Ila dato l{cfiqdare 4. 411? fri I 4. 2?X Col 7 fin- tò picc. . IVJf L- s8Rr> fai. io ptcc. li «'* " ’ 4. 4125 fòt. 17 picc. X pit/UX. Tanto vaierà adunque nel fare quefla fottrattione fe fimilmentc comin- ciando dalli dinari cioè fmipre iaUi*minimi valori onero minime vnità inquanto al fugetto loro, dir ai 3 de 2 non fi può , adunque 3 per andar al 12 gli ne vanno 9 & 2 che fono dif opra faranno 1 1 & cofi notar ai [ot- to picc, il. & poi dirai tengo vno foldo, & 1 6 fanno 1 7. quali non fi pof- fono fottrar dilli fol.y. però dico 1 7 per andar alti fol.20. che fanno vna L.gline vano {.& 7 che fono difopra fanno 10,6' cofi metterai [otto fol. io, poi dirai ho vnaL. quale gionta alle 8. clic feguono fanno 9. 6~ 9. de 5. non fi può, ma 9, per andar al io, gli ne vanno I. & 5 apprefiò fan- no 6. hor poni [otto 6, & dirai ho vna defitta, & 3 che feguono fanno 4, quali de 2 non poffo cauar, però dico 4 per andar a! 1 o gli mancano 6. & 2 di foprp fanno 8> & metti giufo 8. poi fimilmentc dirai, io ho vna de- puta & a che feguono fanno 3, quali de 1 non fi poffono fottrar e, adunque dirò 3 per andar al io gli ncmancano, onero gli ne vanno 7. cr 1 di fo- pra, che fanno 8 <& metterai [otto 8. poi dirai', & ho vna deferta, La quii non trottando altra d' aggiùngerla f eco la fottrarai dal 4 di f opra , & re- ftaranno 3, & hauerai finalmente, che di detta fottrattione ne reflaranno L. 388 ó.foUiO.pic. 1 1. come vedi [opra, & tante L. dirai che gli man- ebano à finir detto pagamento, et fecondo qucjla regola vniucrfalc farai ogni forte di fottrattione di monete, pefi, et mifure, pur che f appi il cojlu- me et vfo detli paefi , et luoghi, perche tutti li particolari vengono dalle regole vniuerfali, come fiumi et riui dalli fonti loro, bora fenga altra de- cbiaratione metterò diuerfi effempii di fottrattione, fi corneo fferuai di fo- pra nel fommare, poniamo adunq; che vno debba dare à vn‘ altro Venìtìa- ni due.] io2, gro/fi i,pic.t 7. et che ne habbia hauuto due. 78 5 ,gro(fi 1 o, pie. io. volendo' faper quato refiaà dar per finir da pagar, metti laminar lì quan- r I DdrArithmctica »i j* qualità fittola maggior co fi, Ducati 3202 groffi 3 pie. 17 dee dar Ducati 78 ; io pie. 10 badato Ducati 241 6 grojfi 16 pie. 19 retta dar Ducati 3202 groffi 3 pie. 17 promu Voi al m odo J'opr adetto dirai pic.io.de pie. 17. non fi può 10. per andar al 32 eglino mane!) eno il. & 17. appreffo chi fanno 29, onde metter al 29 fatto li pie. & dirai ho vno groffi, & I o. fanno 1 1 . quali volendoli' fottrar delti 3 di [opra non fi po fluito» però dirai 1 1 per andar al 24 gli ne mandano 13,0 r con 3 altri di fopra fanno i6,& metterai 1 6 l'otto, poi dirai, porto vno due. qual gionto con li 6 fanno 6,0 6 per andar al 1 o, gli mandano q & idi fopra fanno 6, & poni fotta 6, er porti vna defe- rta, quale gionta alle altre fanno 9,0 9 de o nonfi può, g per andar al 10 gli ne manca vno, & metti [otto I. & porti vna defena, quale gionta con le 7, che fegnono, fanno 8, 0 idei non fi può, 8 per andar al io, gli ne mandano i,quali con li 2 difiprafànno 4. & metterai fotto 4,0 la de- fena, che porli detratta de 3 rcflano 1 » onde dirai, che reflarà debitore de ducati 14.16. grojfi 1 6. pie. 29, 0 cofiofferuarai nelle feqit enti, fopra li quali metterò il numero, che bifognarà impremudare quando il numero di fitto è maggiore, fecondo il quale T antecedente contien il confequentc, fi come ho fitto in quella, che itgroffo contiene 3 2 piccioli, & il ducato con- tiene 24 graffiai modo di fenetia, & qucflo feruarò per noneffere fn- perfiuo nel noflro proceffo di ragionare. . Sottrar de pefi, lire, quarte, et ongeal modo di Bergamo, che vno pefofà lire 1 o, & vna lira fà quarte 4, & vna quarta fà onge fette, e mcgjga. ralutc io 4 onV 7 -f- Tefi 6703 lire i quarte, l on'ge 3 numero dal quale fifottrà Tefi 20715 lire 5 quarte ongè 5 numero da effer fottratto rPefi 4 6z6 lire 7 quarte — onge 5 4- \eflante, ouer rrfiduo Tefi 6703 lire 2 quarte 1 onge 3 Troua Et fe batttjli à fottrare ducati 368 foldi 1 6 piccioli 7 da ducati 957 foldi 1 3 piccioli 9, che vno ducato fà lire 6 fildi 4 al modo di fenetia, 0 fi chiama ducato corrente, & vna lira fi foldi lo, 0 vu foldo fà piccioli 12. farai come di fitto vedi . io L. 6 foldi 4 r» Ducali 957 fildi 13. pie. 9 Dirai pie. T Ducati 368 fildi 1 6 pie. 7 App\r9 refi a- Ducati 588 fildi 1 pie . 2 n0 plt, x. poi Ducati Jj7 fildi *3 pie. 9 foldi 16 de fol- di 13 % Libro Primo - *4 di li non fi può, nggiongi li foldi 4 fanno 17 & foldi 1 6 de foldi 1 qr- (lano 1 et porto tuo due. pianto con due. 8 fà 9, et 9 de 7 non fi p'1 » 9 per andar al 10 glinemancha vno, et 7 appreffi fa.iuo 8, et porto vna defitta, quale gionta con 6 fa 7, et 7 per andar al to gli ne manchi j, Jonti col 5 fanno*, et porto una, qual gionta con 3 fa 4, tratta de 9 refla 5, et coflreflari dar ducati f*t, foldi 1, picctoli 1. * Et nota che quando fi potè fiero filtrar lifil. 16 difitto dalli fiJidifo- tra n'e piti, nò meno b fognaria mpremudarli fildi 4. che li pie, Kj filfero flati più che quelli difipra; perche facendo altramente /equina, che nel ritornare ducati imprecatilo appreciaria follmente L . 6. & non L. 6 fol. 4 come vale: la qual cofa era i auertire . Del filtrare de fonie ftara,& quartari, & fede fi ni, & la fama fallar* S& il flarofa 4 quartari & il quartarofa 4 fede fi ni, che fino m fife de hiaue,& legumi in Bergamafca . ^ io 8 quartari 4 4 fame Sottra fime 300} I7<54 Jtara 3 flora 4 quartari 1 quartari 2 fed.jtni 2 fedeftni 3 reHino fame i»8 Jtara 6 quartari z fedelini 3 fime 3003 Jtara 3 quartari r fidejini a poma La maggior mifira del vino in Bergamafcaji chiama Carro, qua. a ó. Brente, & vna brenta fa 6. fecchie, & vna fecchia fa boccali 1 8. Et im- però fecondo queflo vfo farai la fitto fcritta fittr anione . Corra 760 brente 2 fecchie 3 boccali 3 Corra 189 brente 4 fecchie 5 boccali 13 ' reflano Carro 370 brente ; fecchie 3 boccali 6 prona 760 brente 2 Jcctbiei boccali 3 Itf maggior mifira della Terra in Bergamafca , e£* altre Città circon- vicine fi chiama pertica, la quale contiene zqtauolc , & vnatàuola fa 1 1 piedi, & vno piede fa onge 1», <*r vnongafa 1 2 pomi, et vtipomo fa 12 atimì fiper fidali. Ter tanto ofletuarai queflo vfo nejfa inffafcrfltafit- trattione. IO »4| « *1 De Pertiche 700 tatiolq 7 /werf/ 3 on^c j^jtoSfij -armi 3 ne voglio cauar pejrti. 275 tauole io piedi 4 ongc &*ponti 7 mimi 7 pertiche 414, t.autff io, pietj io, g p'farij, arimi 8 orb«4 'Pert. "joo taudfe 7 j $oma<y' pfbua Pcrt. qoo uuine 7 / L'argento fi vendei libra, et vna li piedi 3 o/«^e 3 pone fi 4# f f •r 4 argento ]i venete a uora, et vna libra fa ongfi z. et Vii unga fa 24 dinari, et vno dinaro fa i+grn<!Ì,rt enfi fi fittr ano l'vti.t quantità dall’al- tra maggior e . D 2 Se fi :t rat;e «TV «4 DeH’Arithmetìca^ ie 12 24 *4 ; r li» Lire 700 on%t- 3 dinari 12 grani 13 ' < 1 fot tran e Lire 176 onze 7 dinari 21 grani 19 37 reftano Lire 523 onzp 7 \hnart 12 inani »8 *4 '* Lire 7CO ontp 3 dinari • 2 grani 1 3 grani i ? " llptfu dell' uto in Vene, la è la Martha, et vna marchafa 8 on 5je vnonzp fa squarti vno quarto fa 3 6. Caratti,et y no C arano fa 4 gram,ct cojì fot trai ai fiondo Ivfo uiV inetta . Marche 704 onge 3 quarti 1 caratili 3 gv.wi Ir prone fottrano Marche 135 o»^e 7 quarti 2 caratti 34 grani' ‘ far ai de reftano Marche 468 on%e 3 quarti» taratiti* giam 2 Adatto Sottrar de giorni bore minuti , et Jecondi,ct vno giorno naturale è 34 hore: vn bora è diuifa in 60 minuti, et vno minuto fa 60 fecondi. __ io 24 : |6o| 60 Terò vedi che differentiai da giorni 27 bore 1 3 m, nuli 30 fecondi 20 infr aferitti giorni 16 hore it minuti 32 f condi 31 t{efta de differenti* giorni io /wc i y //■><<» 57 /« 0 ■ 4» Ta Jumtua,et proua. gioì ni 27 bori 23 malati fe<, n>i 10 ■E’ •- Quelito vtile nelle computationi di Aftròlogia. Quando // giorno è longo hore 1 3 minuti 20 vorriafaper a bore 3 wi nuli 1 s de none j/we hore fono doppo mezzogiorno . 1>'nlia la miti de bore 1 3 »»/»«« 20 /unno bore 6 w/»«H 40 alle quali aggiongi le hore 3 minuti 1 5 di notte faranno borc9. minuti 5 5 .« c<^ri- fbònderai che fono tante bore doppo m^ZS glorno c',me VL’dldl W,.7 v „ I fiore 13 20 a.., l/;ore 6 minuti 40 dilmezZ3&lorn<* • , j hore di notte 3 minuti ì 5 bore - y Minuti 5 5 doppo me^zp giorno , Sottrar de gradi minutUccondijòC tcrtij . NOtachcyio grado fa 60 minuti di {patio ct lefte onero ternflre , W vno minuto fa 60 fecondi, et vno fecondo fa 60 terty, et cofifi pro- cede infino olii decimi, che ftmpre 60 delli confcqucnti fanno vno d(:“lJn‘ * * I Libro Primo. 15 tecedenti,et di quefle cofa vtilmentc fané parlari al fuo luogo nelli quefiti pertinenti alla Cofmograpbia . . gradi 27 minuti io fecondi , 40 tergi 4 6 gradi 1 3 minuti J 2 l facondi,,^ tergj 21 J Afflano gradi 8 minuti 47 fecondi, 48 tergi 24 Del terzo atto detto multiplicatione,6c Tua diffi- nitione,&: diuifione. Cap. X 1 1. IfMnisce Euclide nella quinta (tifi/iil ione de! 7. li- bro l'atto del multipli care cefi, vno numero : detto c/fere multiplicato nell altro, quando è tolto tante vofte quante vnita fono nel multiplicante , come fa voglio nmlnpltcar 7-Jia 8 che fanno 5 6, voi dire che 1 8. quale multipli) .ito per 7 c tolto 7 volte, perche nel 7 fono facce vnità,ct è in arbitrio del operantc,dc dui numeri producenti vii altro tergo numero per la loro muUiplicatione fra loro à chiamare qual vorremo multiplicante, oitcr multiplicato , perche nel detto effempio poteui anchora dire che 1 7. è tolto tante volte quante vnita fono nel 8. multiplicante, perche quefìa di - utrfttà procede dalla intentionc del operante quantunque fta c»fa piti •pcrifimilefaguedo la naturale progrtffì , ne de numeri à dir che 7 fì.i 8 fac- cino $6, chea dir Sfìay faccino il medefmo,et quello 56 fi chiamar à pro- duttore li altri producenti,onde t da fapcr che in numero aflratto dalla ma teria quefli $ . non fanodiffercnti nelgcnere. Ma applicaci alti fuoi [ugelli H fono ejfere differenti fecondo la intentione del operante : tome fa diamo "Voi effe comprare braghi 7 de panno a L. Siìbraggn di> à ehevaleno L. • $6, perchè mulciplicando li braggale L. che vale ciafaun braggp fauna i.fó.Et tanto valerebbono anchora bragia 8 <*€.7 per braggp,et finiti mente il detto pr odutto 56. può effere numero de bragga di panno dicendo fono 8 feudi, et per ciafaheduno feudo ne bo bragia 7. di panno, adunque per 8 fendine hauerò bragga 56, et perche fi come la theorica Ita le fate propofitioni vmuerfali,et principi) ìndemoilr abili come fono ledilfinitioni le comuni fantcntie, et le petit ioni , cofa lapi atticaha per principio altane operationi, come prime, et immediate, le quali bijógna batter à mente vo- lendo venir a vn altra certa, et affo luta operationefa come volendo impa rar il moltiplicare bifogna haucr a mente le multiplicationi almanco delti digiti fra loro, cioè da vno final io, et dalli io infitfo faranno più preflo per comodità,» facilita del operante, che per >iece[Jità.Ma aceiochefi alfa- 1 curiamo dell vna, et 1 altra, quita fecòdo il comune coftumc de M defil i met ' teremo le multiplicationi, oker libretti,» fecondo alcuni tabacchino fan ga li quali non fi può far ptofitto alcuno , come nel proceffo intenderai . \ Molti- DelTArithmeticà Molriplicationi dliauerà mente, fecondo 1 ordine naturale de numeri . fi* fi * fi* fi* fi* fi* fia 8 fia 9 fi* 10 Ha i i 3 4 5 6 f* f* f* f* f* f* f* 8 fa 9 f* io fa jia fi* fi* fi* fia fi* fi* fia fi* 3 fi* i fia 3 fi* 3 fi* 3 fi* 3 fi* l fia 3 fi* z fa 3 f* 4 f* 5 f* 6 fa 7 f* 8 fa 9 f* f* io 3 4 5 6 7 4 4 4 : 4 4 fi* fi* fi* fia fi * fi* fi* 4 5 6 7 fa' /* f* f* f* 8 fa 9 f* io fa f* f* f* f * 8 f* 9 f* IO fa 1 S /ra 5 fa 25 4 4 5 6 fa 50 5 9 5 /w 7 fa 5 Ir » fi * 8 fa 4° 7 15 5 fi * 9 fa 45 8 3<> * fi a IO fa 50 9 4 fìA <5 fia 6 fa 3<> 'O 8l £ fia 7 fa 4» 2 1 00 6 fi * 8 fa 48 3 6 fi* 9 fa 54 4 4 6 fia 10 fa 60 5 6 fi 7 fia 7 fa 49 6 io T 4 7 7 fia fia 8 9 fa fa 5<Sj 63 7 8 14 7 fi* IO fa 70/ 9 10 16 8 fi* 8 fa 64 1 18 8 fi* 9 fa 7* a 20 8 fia IO fa 8o| ? A 9 9 fia 9 fa ti 12\ 9 fia IO fa 90 181 IO fi* IO fa 100 7 « ai a fi* 11 fa 22 9 *4 J fi* 1 1 fa ' 33 IO 27 4 fia IX fa 44 30 5 fia X I fa 55 1 ì6 6 fia 1 1 fa 66 3 7 fi* II fa 77 4 ao 8 fi* li fa 88 5 14 9 fi* II fa 99 6 18 IO fia 1 1 fa no 7 & 3* ;* fi * la fa 24 9 ' 4°||) fi* 12 fa 36 IO fia fi* fi* fi* fi* fia fi* fi* fi* fi* fia fi * fi* fia fi a fia fi* fi* fi* fi* fia fia fi* fi* fia fia fi * fi* fi* fia fi* fa fa fa fa fa fa fa 48 60 7* 84 96 108 i-o 3 fa 3 fa 3 fa 3 fa 3 fa 3 fa 3 fa 3 fa 3 fa 16 39 5* v 6 5 78 91 104 117 fa . fa 4 fa fa fa 4 fa 4 fa 4 fa 4 f* 5 fa 5 fa 5 fa 5 fa S fa S fa 5 fa 5 fa fa 28 4* 5 6 70 84 98 1 1 a 1 16 MQ 30 4S 60 75 90 ÌOS 110 1)5 15° Libro Primo ; 16 fi* fi* fi* fi* fi* fi* fi * 9 fi* 10 fia fi* fi* fi* fi* fi* fi* fi* 9 fi* 10 fia 8 fa 8 fa 8 fa 8 fa 8 fa 8 fa 8 fa 8 fa 8 fa 36 54 7» 90 108 12 6 *44 1 6i 180 fa fa fa fa f* fa fa fa fa 3» 57 7 6 9 5 114 *33 *5^ *7* 190 a /fa ao fa 3 fia to fa 40 60 2 fi* 14 fa 3* 4 fi* ao fa' 80 fi * 16 fa 48 5 fia 20 fa 100 4 fi* 16 fa 64 6 fi* 20 fa 120 5 fi* 16 fa 80 7 fi* 20 fa 140 6 fi* 1 6 fa 96 8 fi* 20 fa 160 7 fi* 16 fa 1 I 2 9 fi* ao fa 180 8 fi* 16 fa 128 icr ftA 20 fa 200 9 10 fi * fi* 16 16 fa fa 1441 160 2 3 fia fi* 21 21 fa fa 4* 6» 2 fi* *7 fa 34 4 fi* 21 fa 84 3 'fi* *7 fa 5* 5 fi* 21 fa 105 4 fi* *7 fa 68 6 fi * 21 fa 126 5 fi* *7 fa * 8/ 7 fi* 21 fa *47 5 fi* *7 fa 102' 8 fia 2 I fa 168 7 fi* *7 fa 119 9 fia 21 fa 189 8 fi* 17 fa 136 1 e fia 21 fa aio 9 10 fia fi* 17 17 fa fa *53 170 2 3 fi* fi* 22 22 fa fi* 44 66 fta 22 fa aa fa 22 fa 22 fa 21 fa 22 fa 5 /fa fi* fi* 6 7 8 fta 9 fia 10 fta aa fa 2 fui 23 fa 4<5 3 fi* 23 fa 69 4 fi * 23 fa 92 5 fi* »3 fa *15 6 fi* a 1 fa *38 7 fia a 3 fa X61 8 fia 23 fa 184 9 fia 13 fa 107 10 fia 21 fa 130 fia 24 fa . fi* *4 A 5 fia 24 /a 6 fi* 2+ fa *44 7 fa 24 fa 168 8 fia 24 fa 92 9 fia 24 fa 216 io /fa 24 fa 240 2 fi* »5 fa 50 3 /fa 25 fa 75 4 /fa 25 fa 100 5 /fa 25 fa *25 6 fta 25 fa I JO 7 fi* 25 fa *75 8 fi* 25 fa 200 9 /fa 21 fa 215 IO fia 25 fa 250 — 1 /fa 16 fa 52 3 /fa 26 fa 78 5 4 /fa 16 fa *04 5 fia 26 fa 130 6 /fa 26 fa IJ6 7 /fa 26 fa 182 8 fia 26 fa 208 9 fia 26 fa *34 IO /fa 26 fa 260 ,i * fia 17 fa 54 3 fia 27 fa Si 4 fia 27 fa log 5 fia 27 fa *35 6 fia 27 fa 162 7 /« 27 fa 189 8 fi* 27 fa 216 9 fia 27 fa 243 I- 10 fia 27 /a 270 2 /fa 28 fa 5<5 fia 28 fa 84 ? 4 fia 28 fa 1 12 * 5 fia 28 fa 140 5,6 /fa a 3 fa 168 17 fia a 8 fa 1 96 DcirArìrìimctìca Et di quefie moltiphcationi alcuni fono più neceffarij degli altri, benché tutti dalla unità fin al io fiano difommaneceffkà , eir procedendo dal io final fine di quefie moltiplicationi il 12 è molto neceffario per riffiettOy che li dinari fanno vnofoldo,& i a onge fanno vn brag^o, & wmefi fanno vn anno , & il 20, per far dcfoldiin libre , ouer de libre in f oidi, Or poi il 2 4, perche 24 groffi fanno vn ducato in Venetia , & per il pefo del - l'oro, argento in molte Città ,maffme di Lombardia 24 dinari fanno vn'onga, & 24 grani fanno vn dinaro { & per il tempo 24 bore fanno vn giorno naturale, & 24 tauole fanno vna pertica in Bergamafca: Et dop - poi è vtile il 3 2 per Venetia : perche 3 2 piccioli fanno vn groffo , & finalmente il 36, perche \6 caratti <f oro, onero argento fanno vn quarto di onga , liquali numeri fono di grande commodiia hauerli à mente nel moltiplicar & partire di effe mifure, & pcft , & perche ciafcheduna Citta bali Libro Prlmo.! li- ba lì fuoi pròpri} pefi, & mifure & monete fi fle.per tanto fappi,che l'ope- rante fi troua molto impedito fe non ha à memoria quelli numeriche Jpef- fe volte gli conuien vfarc-> . Del moltiplicar per colonna ET perche in ogni dottrina fi deue cominciar dalle cofe più fàcili fecondo il precetto del Maeflro di color che fanno, Ter tanto co- minciar emo ad infegnar à moltiplicar vn numero per vna fola figura , ilqual modo di moltiplicar è chiamato per colonna , c ’r poi per due figuro- in dui modi, & olirà per molte figure detto per fc bacherò ,il qual modo è vfato più frcqucntemente,cke ogni altro, & doppoi infogna* remo à moltiplicar anchora per altri modi più preflo per maggior com- modità, che per neccffuà delli r agioneri . Hor poniamo , che fi babbi da trouarc quanto vdeno bragia 5 75 Z. 8 /7 bragjp, metti il pretto fat- to al digito, cioè fitto à Cvltimo numera verfo man dcflra, come vedi di fotto, eioè Bragia 575 robba , a Lire——* 8 pretio, Palino L. 4600 Plora cominciami damandefira, & procederai verfo than finifira fin ■che farà finita detta moltiplicationc, dicendo 8 fia $ fanno io, & per- che in loco del digito gli è la nulla, metterai fiotto e/fa o. & tener ai 4 de- fene à mente, poi moltiplicar ai il detto 8. con la feconda figura, proceden- do fempre veifoman finifira dicendo, 7 fiaS fanno 5 6. & le 4 deferte apprejfo, che teneui à mente fanno 60. onde metterai fiotto da india, eSr tener ai à mente 6 defene, poi dirai 5 fia 8 fanno 40, olii quali gioliti le 6 defene, che teneui à mente fanno 46. Et perche non gli è altra figura da moltiplicare, metterai /otto il 4 6. cioè il numero infieme con le defene , tr trouer ai, che 8 fia 575 faranno 46 00. quali applicate al fuo fuget- to, dirai, che bragia 575 à lire 8 per ciafcbedun bragpo, montar anno 1. 4600. Et fe bau (fili à trouar quante L. vatcno pefi de lino 4 034 à L.9 il pefo, metti L. 9 fiotto al fuo digito cofi , ■ ' g L.3 6 2 8 8 Et dirai 2 fia 9 fanno 18. & metti % fiotto al 2 & al 9 fiotto la Vir- gola deuidente , & tieni à mente vna defena, poi dirai 3 fia? fanno 27, che co la defena, che haueui à mente fanno 18. onde metterai 8 fiotto al 3, fempre verfo la finifira mano, et tieni 2 defene, poi dirai 9 fia o fa nulla,al la quale gionte le due defene fà pur 2. onde metterai 2 fiotto la o, che pi la terga figura in loco dclli centenara, ■& non hai defena alcuna da tenix àmcntc: poi dirai 4 fia 9 fanno 36. Et perche non uitroui altro nume- ro, metterai fiotto 36, & faranno Lire 36188. cioè in aflratto vuol di- re, che p fiade 4032 fanno 36288. & cofi offeruer ai ne gli altri. £ Del Deli’Arithmetica Del moltiplicar per due figure tutte infieme: ET volendo moltiplicar vno numero per due figure tolte infieme, come fe foffero vna fola figura, prima al modo della precedente comin- darai à moltiplicar el digito , ouer numero vltimo da man deflra,& ve. vendo verfo la finifira, & il digito metterai fotto all‘altro,tenedo à men. te le defene, fin che batterai moltiplicato il numero delle defene, & poi al produtto gli aggiùngerai le defene referuate , & di nuouo fotto quelle met- terai il nuouo digito, ouer nulla,fe non gli farà digito, dr tener ai anebo - rà à mente le defene fin che batterai moltiplicato il numero delli cent aita- ta,al qual prodotto gli aggiùngerai le defene prima feruate à mente, dr cefi con qui fio ordine fempre verrai moltiplicando li migliar a, & defene , & centanara de migliar a fempre aggiungendo le defene firmate fin che fo- ra finita la tua moltiplicationc, come fe volefli moltiplicar j o 9 2 fta 1 2. metti 1 » fiotto il 91 come vedi qui di fiotto, & poi dirai 11 fiat, onero 2 fia 1 a fanno 24, & metti 4 fiotto la linea diuidente, & fotto al 2. dr di- rai ho 2 defene, poimultiplica la fcquente, che è il 9 per il detto 1 2 farà 108 , a Ui quali aggiongi quelle a defene, che tencfli à men- 3092 te faranno no. Et metti la nulla fiotto al 9. per che il nu- j % mero è o.Et tieni à mente 1 1 defene, poi dirai ufiao fan. 37104 no o,& a defene appreffo fanno pur ir. Et metti 1 fotto la o, & tie- ni vna defeva à mente, poi dirai 3 fiali fanno 36. & ladefena,che ba- veri à mente, fanno 37, & metterai 37, & tutto il numero farà 37104. che vuol dir, che nftafooDi fanno 37104, come fe foffero 3092 lire di guccaro, volendole far in ott-ge : perche onge 1 a fanno vna L. furiano ongj 37104. La prona farai pigliando prima la prona del 7 de 309», &ttrouerai,che egli è 5 al modo infegnato difopra,poi vedi la prona del- l'altro numero che è 12, qual farà 5. bora moltiplica quejle due prone in- fieme far ano 2 J ,del qual produtto pigliane di nuouo la fina prona farà 4. Et quefla donerà ejferc eguale alla prona del numero produtto , cioè de 37 104. la quale ir ouer 41 efier 4. & non effondo eguali dirai, che egliè errore, in detta moltiplicationc u . La proua adunque del multiplicare fi fà moltiplicando le prone delle numeri produccnti in fiume, & de tal produtto pigliandone anchor la pro- vatale proua donerà effer eguale alla proua del produtto da quelli dui producen:i,& cofi farai le altre due figure Jiaucndo li ben à memoria. a . ì z.efjcm moltiplicante 7603 proua 1 1 moltipRcante 3091 prona 5 pio moltiplicante 15 prona-f [moltiplicante 12 proua f fi r adulto 11404$ la proua è j graduilo 37104 12$ proua] -*• ' . ' Del I Libro Primo .' I 1 1 Del moltiplicar per fchachiero.* IL multiplicar per fchiachicro è detto per la fimilitudine , che ha co’l tauoliero de (cacchi, con li quali giocano li faldati & li bomini d'inge- gno & fifa in queflo modo , cioè fi mette l vno fattoi altro moltiplicante perche l'vno,& l'altro numero fi può chiamare reciprocamente multipli- tato et mulliplicante-tponcndo il digito de l'vno fatto il digito de l altro , & fimilmentc le defene ccntenara,<2r migliora de tono fatto le defene centc- vara, & migliora dell' altro ,& poi comincia dal numero difot to qual è piu commodo a effer il minor e,& moltiplica prima il primo digito di quello > difotto con tutte le figure di quello difopra, tericndo a mente le defene che fi portano de figura in figura fin che egli è finita la cpcrat ione come difopra fu detto, et quando baucrai finita la multiplicationc del digito del numero minore pojlo di fiotto con tutte le figure del numero difiopra da effer c multi plicato, cominciar ai poi dalle defene difotto , cioè dal numero pofto al loco delle defene fotto al numero delle defene dclfupcriore , fin che (ara finito , poi cominciar ai i multiplicar la ttr%a figura del numero difotto che è del le centanara,et con quella fimilmente multiplicar ai tutte quelle del numero difopra , (jr coft femprete retir arai indrieto vna figura verfo mmfiniHra moltiplicando tutte le figure del numero difopra per ciafcbaduna delle in- feriori al modo che multiplicafii difopra di vna figura fola, coft farai a fi- gura per figura , & finite che faranno tutte le dette figure da multiplicare tirar ai fotto vna linea, & le fummarai tutte cominciando da man defiira venendo verfo la fmi(lra,& farà finita la tua operatane, & accio che tue tele co feft ano più manifefìe per effempio. Tropo nero che babbi da multi . plicare queflì doi numeri infteme, cioè 3 tcnpfia 5048. Trima affettar a1 le figure del numero minor de figure fotto al maggiore , cioè il digito fotto al digito, le defene fotto alle defene, & le centenarafotto alti centenara, & finalmente ciafcuna fotto la fuafpecie,& farà coft 32029 5 0 4 8 256232 4 x 2 8 1 1 6 _J v ’ 00000 4 160 I 4 5 proua 4 1616823 92 Toi dirai %fiag fanno 72, & metti 2. fotto al 8. tirando prima la li- nea fotto li doi numeri moltiplicanti , & tenie ai a mente 7 defene poidi- raiifiaS fanno 16 alli quali giolito le 7 defene fanno 2 1,& metti 3 fat- to al 4,6' tieni 2 defene poi dirai 8 fiao. fa nulla, & pur ho le 2 defene, E 2 quali , DeOrithm etica tpaTi metti / otto alla o. poi dirai 2 fia 8 fanno i6,& met ti il 6 fatto al y Cir tieni vna defina, & poi dirai 3 fia 8 fanno 14 & li defèna che tenoni fa 2%, & metterai x$,& farà finita di multiplicar t vltima figura cioè il digito del numero difotto con tutte le figure del numero difopra poflo , farà 256232. fatto quefif comincia a multiplicar il del numero di fatto qual è nel loco delle dcfene,dicendo 4 fa 9 fanno 3 6. Et metterai il 6. fot • to al 3. cioè fiotto le defene del numero difapra per effer anchora 4 de fette dtljnultiplicante,ct tener ai a mete le 3 defene-.poi dirai 2 fia a, fa 8,& le 3 defene che tencui fanno 1 i,et metterai 1 .fiotto al 1 .che fu la terga figura della prima riga cominciando dalla deflra verfo la finiflra mano, & tone- rai ma de fena. 4 fia o fa nulla, & pur ho vno , & metterai 1. fiotto al 6. che fu la quarta figura della prima riga a modo detto . Voi dirai 2 fia 4 fa 8. & metti 8 . folto al 5. che fu la quinta figura della detta prima riga.poi dirai j fia sfanno 12.& metterai 1 2,& fara finita la multiplicatione del 4 con tutte le figure del numero poflo difiopra . Et perche feguita la multi - plicationc della o. metterai tante nulle quante fanno le figure dei numero da effir multiplicato che fono 5. cominciando fitto alla terga figura del primo numero che fui. pertbelao.è nel locodclli centanara ficomeè anchora il detto 2. nella prima riga.Et ciafchaduna figura,difotto.farà la fua riga multiplicandola in tutte le figure del numero difiopra poflotpoi co mimi arai a multiplicar il 5 . che fu l'vltimo del numero difitto nel ordine delti migliora, fia 9. che fu il primo del numero poflo difiopra , & farà 4 5 metterai 5 .fitto al 6. che fu el quarto, del numero difopra,perche l'v- vo et l'altro è nel fitto delli migliar a,et leni a mente 4 defiene.poi dirai 2 fia 5 . fanno 1 o, & le 4 appreflb fanno 1 4 metti el 4. verfo man finiflra & ticnirna defena,poi dirai 5. fia o fanulla , & vna fa pur r, & metti r. poi dirai 2 fia 5 fanno io & vn appreffo fanno 1 6, & metterai 1 6. & ba- tterai finito tutte le righe de numeri che faranno tante quante fino le figu- re nel numero poflo di fitto , fatto queflo tir arai fitto vna linea , fitto la quale cominciarai a fomtnare le ditte 4 moltiplicationi cominciando da man finiflra verfo man deflra, & ditta fiamma farà 161681392. Della quale farai la proua del 7. a modo detto , & farà 4. & cofi farai fempre nel multiplicar per Jchacchiero . Vigliando adunque la proua de 32029 al modo infegnato di fipra,cioè pigliando fempre l'auango del 7. trottar ai che farà ^.poi pigliando la pro- ua dell'altro numero moltiplicante oucr producente che i 5048 trottar ai, che farà 1. qual moltiplicato nella proua dell' altro numero producente , cioè nel 4. farà pur 4. & quefla farà eguale alla proua del produtto oucr fimmafopradctta,laqual proua troverai effer 4. comefiupropoflo . Et volendo multiplicar doi numeri, che habbino nulle nel meggo. Lec- fiiarai fiora le nulle , & multipltcar ai Jolamente le figure ponendole nel fio Libro Primo] 19 fuo debito J ito de numero defina centenara & militari, & abbreuiarai fittici . come fe hauejli àmultiplicar 3798 fia 3004. metterai fitto ti numero minore al numero maggiore così 3 7 9 8 ♦ vV 3004 _t .'1. ( v" j 5- • tVt 5192 _4 I I 3 9 4 4 • , < — I 1409192 Toi moltiplica il 4 con tutte le figure difipra far a 1519 2. poi f ubito ve- nir ai ali & Hue^° moltiplicami fimilmcnte con tutte le figure difipra co minciando fitto al 5. che fu et quarto numero della prima riga cominciati do dalla dcfira verfi la finiflra, cioè nel loco delli migliar a, et farà 1 1394. Quali fumandoli come vedi di fipra in figura faranno 1 1409 192. Hora piglia la prona de 3798. farà 4. Et laproua de jooq-farà i.qual moltiplica fiaq. farà 4. Et così la prouadel produtto che è 1140919* farà 4. Et volendo moltiplicar dot numeri che l'vno de quelli ouer ambedut h abbino nuli e in vlttma, come fe baueSli a moltiplicar 3400 fia 1200. metti 1200 fitto al 34000. & multiplica le prime figure cioè 34 fia 1 2 amodo detto & faranno 408. Et a quefio metterai le 4 nulle , cioè le due difotto & t altre due difipra & tutto flara così cioè 4080000, & fi non gli fujfe nulle fe non di fipra ouer fenondi fitto, finita la multiplicatione delle altre figure gli metterai quelle che gli trouerai & farà tale produt- to come vedi per ejfcmpio, Effcmpio del fecondo 5 300 effempio 3400 a . 3 r del primo x t o o v f j 1<;0p^ prona 4 3^4^ froua 1 produtto £ g 9 6 o o * produtto 40 S o o o o Et fe hauefii à multiplicarc metti fitto el minor numero così 80000 r . „ . . ha 3 o O O 3 o o o 1 9 240000000 Et multiplica 3 fia 8 faranno 24 & metti 24. & appreffo tutte le nul- le che fino di fitto et di fipra come vedi, et faranno 24000000O) et così ojferuaraiper qual miche volta che occorreranno ftmili caft , Del Deli’ Ari dimetica • . » , « » .'lA % . •ìA Del multi plicar per repieghi . REpìeghi di vno numero fono quelli numeri che multiplicati lyn con P altro fanno ejjo numero, come 2 et il fono repieghi de *4. perche multiplicati infume fanno 14, fimilmente 3 & 8 & 4 & 6. fono repie- ghi del 24. Toniamo adonque che fi haueffe da multiplicar 385 per 24 per repie- go, poi v far quali delli foprafcritti ti piacer à:hor poniamo che ftanoel 4 & il 6. prima multiplicarai il detto 385 per yno di quelli & ilprodut to multiplicar ai anchor a per l'altro & fara tanto come fé I hauefiirnut- tiplicatopcr elprodutto de quelli doi ripieghi, multiplica adonque 3 8 5 per 4 farà l$qo,& qucfto multiplica anchor a per l altro repiego, cioè per 6 fara 9240 & tanto farebbe anchor a a multiplicar 383 per 24. Et que- flo modo di multiplicare non è vniucrfale, perche ogni numero non ha ri- piego, ma folamentc quelli numeri che hanno molte parti aliquote , come fono il ìì | 24 | 28 | 36 | 48 | 63 | & altri infiniti che fono chiama- ti numeri compofiti da Euclide nella 21 del nono libro , et quelli che no» hanno ripieghi li chiama numeri primi che fono numerati dalla fola vni- tacome fono 3 |5l7|u|,.*l17 et altri inf niti.nientcdimeno que- fio modo è ytile a fapcre mafjime quando gli inter uengono ripieghi demol - te nulle, comettcl fine del multiplicar per fchachiero per effempio ho dima firato, et queflo bafti circa il multiplicar per ripiego . Del multiplicar per Crofetta, Tro- uaco da Leonardo Pilàno . EL multiplicar per crofetta è affai ammaeflreuolc et ingenìofo , ma quando paffa dueouer 3 figure è più la difficultà , che non è la fati- ca abbr cuiata per tali incrociamenti , che fi fanno per far fiar vna multi- plicatione invna fola riga, et acciò fappi anchor a quefiomodo. Trima cominciar emo à multiplicar due figure fia due altre figure come 61. fia 36 onde metterai 36 fotto al 63. poidirai 3fia6. fa 18. Et metti %.fotto la y ir gola diuidente et fitto al 6. cioi al digito et tieni yna defe- na. poi col detto 6 difotto multiplicarai le 6 defene di fopra faranno 3 6. et con quella chehauefii di fopra fa 37. poi per P altro verfo della croce dirai 3 fia 3 fa 9 quali aggiorni alli 3 7 fanno 4 6. et fono defene onde met ter ai 6. nel loco delle defene et tieni a mente 4 centcnara . Toi dirai 3 fia 6 fanno 1 8 che andarebbono nel luogo delle ccntenara , alli quali aggion- gendoliq ccntenara che tcnifii faranno 2i,tt tutto ilprodutto fara 22óg et cofi farai le fimili, come vedi difotto in figura , et la prona farai comi : Libro Primo. 20 à gli altri fefli, ferrea che io la replichi, et trotterai che fi ftor.tr ar anno le pruue in nulla , ^inchora multiplica 78 fa $ 6 à modo detto, 6 3 X X faranno 4368, 5 6 ? 6 4368 zz6X Et le defene raccolte nella furnma delti incrociamenti fono ccntuiara > et quelle defene nate dalla multiplicatione delle defene dclli producenti fono migliar a, come per efperientia poi vedere , dalle fopr aferitte due multipli- cationi. Del multiplicar 3 figure con altre 3 figure . Et volendo multiplicar j figure con altre 3. figure a ditto modo , come fe hauejli da multiplicar 327 fia 252 metterai et minor fiotto al maggior numero. come vedi difotto fognato con 3 croci cioè due dalli lati et vna mag gior di megjo,cbe infegnano l'or - dine del multiplicar. et comincia - rai al modo della precedente ero - fetta dicendo 1 fia 7 fanno 1 4. et fiubito metti il 4 fiotto la riga et fiotto al 2 et tieni vna defiena poi multiplica in croce dicendo a fia 2 fanno 4. et quella defena che tenefli fanno 5 cf 5 fia 7 fanno 35 ,et quelle 5 de prima che fanno 40 et fatto queflo primo incrociamento ferini o, et tieni 4 defene à mente.Toi multiplica per la croce grande di meggo con quelle doi numeri di megggo et aggiùngi quegli 3 proda tti infieme et aquefli aggiongile 4 defene che tenefli à mente prima che noti di nouo alcuno numero dicendo 2 fia 3 fan- no 6 et 4 defene che tenevi che fono 1 o, et 2 fia 7 fanno 1 4. jHt ifia 3 fanno io cioè quelli dimeno, et 24 fanno 34 et metterai 4 et tieni 3 defene à mente. poi venir ai à l vltima croce et dirai qfia$ fanno 1 j et 3 che tene - hi che fanno li. et 2 fia i fanno 4 quali gioliti olii 1 8 fanno il et metti a drio, et tieni 2 defene. foì dirai 2 fia 3 fanno 6 all i quali aggiontele 2 de- flette tenute a mente fanno 8 et finalmente fcriuerai 8. onde tutto il produt tofarà 82404. etcofi farai le fintili, et le provar ai al modo delle prece- denti, et coft potrai multiplicar [molte figure infiemema fempre andar ai crcf ccndo in dijficulta talmente che farai più ficuro à multiplicar. per fcha- .chicro, dalle 3 ouer 4 figure in fufo . Del O £ Defi’Aritlimetfca Del muldplicar per quadrato . NEI multiplicar per quadrato fi fu vno quadrato longo tanti quadretti quante fono le figure del numero maggiore , et largo tanti quadret- tiquante figure fono nel numero minore,et quefièi quadretti fé diuideno per meglio diametralmente, cioè fe fanno doi tanti triangoli et poi fi comin- ciano a multiplicar ciafcbeduna delle figure di fotto con tutte le figure del numero di fopra,et fi mette le defeneet il digito infieme, ma ladefena al triangolo di fiotto et il digito al triangolo difopra pur nelli medefimi qua- dretti à figura per figura, fin che bauerai compiti tutti li quadretti comin- ciando dalli primi quadretti di fiopra et verfo man defira venendo verfo man finifìra,ct poi da quelli di fiotto profifimamente, fin che bauerai finita la tuaoperatione,etper effanpio poniamo,che fi debbamultiplicare quefli doi numeri cioè $696 fia $ 85. farai vno quadrato longo 4 quadrettici largo perche le figure di fiopra fono 4 et quelle di fiotto fono 3 così • Toi cominciando daman defira dirai 6 fia 6 fanno 36, et metterai 3 6 net. primo quadretto da man defira , poi dirai 6 fia 9 fanno 54. Et metterai 5 4 nel quadretto fequente.et poi dirai 6 fia 6 fanno 36 et c ofi metterai 36 nel profifimo quadretto, et poi $ fta 6 fanno 30 et cofi fi iranno finiti li quadretti fattidal digito del numero di fiotto, Toi comincia à multiplicar l’altra figura del fecondo loco che è delle defiene: et dirai 6 fa 8 fanno 48 et metterai 48 nel profifimo quadretto -della largh egja , poi dirai 8 fia 9 \ v.'Vi Libro Primo. 1 1 fimo 72 et metti 7 2, nel [emerite quadretto : et poi dirai 6 fia 8 fanno 48 metti 48 cdfcquentcmcntc-.poi venir ai alla 4. figura, che è de centenara & dirai 3 fia 6 fanno 18 .et metterai 18, nel vltimo quadretto della larghe •ga del quadrato. Et poi dirai 3 fia 9 fanno 2 7 & metterai 27 nel projfimo quadretto:^ poi dirai 3 fia 6 fanno iS& metti i$,nel fequente quadret- to. & nel vltimo dirai 3 fia 5 fanno 15 & metterai 1 5, & faranno for- niti tutti li quadretti del quadrato grande. Voi fummarai le figure comin- ciando dal primo triangolo oueèil 6. & dal lato deliro metterai ó.poi ve nirai alli altri triangoli afeendendo per diametro dicendo 8 & 3 fanno 1 j & sfanno 1 f,ct metti 5 fiotto al 6.dat lato medefmo & la defena fiamma rai con lifequenti dicendo 1 & 8 fanno 9. & 4. fanno 13 & 2 fanno ij gir sfanno 20 & òche fono 16. & metti ó.dal detto lato dejlro fiotto al 5 & tieni i dcfenc,le quali aggiùngerai con li numeri delli afe elidenti trian- goli per trauerfo , dicendo 2 & vna che fanno 3. & 7 fanno io & 7 che fono 17 gir 8 fanno i$,dr 3. che fono 28. & metterai 8 drio al ó.cbepo? nejli proffimamente , et tieni 2 defene , quali giorni con li 2. del profjtmo triangolo fanno 4 et 8 fanno 12. et 4. fanno 1 6, et 3 che fono 1 9. et mette rai 9 fimilmente driò al 8 verfo la fmiHra mano . et tieni vna defena , quale gionta al 1 . del ftoffrmo triangolo fardi, et 5 faro 7 et 4 fanno 1 1 ,rt poni 1 fimilmente drio al 9 et tieni vna defena , la qual gionta con 1 del altro triangolo che reftò folo farà 2, et metti t drio all, et batterai finita la futnma: et faranno detti numeri multiplicati l’vno con l'altro *198656. et co/i farai le filmili , et la proua farai come di fopra negli altri fefti,et trotterai che la proua del maggior numero far a j et del mi- nor far a i,qualimultiplicati fanno 5 ,et tanto fara anchorala proua del produtto,come vediin figura . < . Et queflo modo farebbe il più bello et faóle fe li quadrati con li fuoi dia metri, che fi chiamano graticole onero gelofie fi troua/Jcro fatte , 6425 *354 Del multiplicar allo indietro . EL multiplicar allo adietro fifa multiplicando Cvno di numeri per le raprefentationi de fiali ro , cioè 6 a. * c 4- prima per le maggiori, poi per le prof / imamente minori fin che fia perue- nuto al digito, qual è la minor rap- prefcntationcycome fe bauefii a mul- tiplicar 6425 fia 2 m-Trima af- fettar ai il minore fiotto al maggior , come vedi di fiotto . Voi cominciar ai 12850000 1917500 321150 25700 1 5 1 244 5 0 4* .5 5 àmul • tì a a DeirArithmctica àmuhiplicar ti madore per li migliar a del minore, la quale è la nupy gforr'apprefentatìone chsfia inqùefto effirmphpropoflo . ciob 641 < , per \ooo tirando prima vna linea folto ti numeri produceteti, et ajar quello muliiplicap'r-niaper 2 farà 1 28 SO, al qual numero as> giùngerai 3 nulle et faranno n8soooo. Voi multi plica per jQo che fot 10 li contener aro minclanio [otto la itr\a nulla per venir verfo man fiu.fira.ct lavando il !» co da metter 1 mille fotta le prime difoprapoflt . Et faranno 1927500 pofle fotto t altro numero, poi venir ai alle dtfen ? et moltiplica anebora el ditto numero di fopr a per 50. et farà ^ zìi so. folto a li altri doi prodotti, et finalmente multiplicarai per tl digito che ò 4 // numero di fopr a et farà 2 5 700, et qutfio metterai fotto ahi altri » primi prodotti li quali fùmmarai infieme , et faranno 1 51244SO, et cofi farai le filmili , la prona farai come de gli altri et fura 5, et quello modo, chi ben conCtdera le parti del numero multiplicante, che fono li 2000, poi fi 3 00 ,ct poi li 5 o et finalmente li 4. fi può. chiamare per fcapc^o , fi co. ine è l'infr aferitto » /\ 1 > , m «\rr* * t jt • , . . i _ ^ ^ ^ * * ' * '*.•%*** Del moltiplicar per (capezzo. \ • *■ »* .t • .. v: : * •" i*1 . * ■. .1 I »'* ' 1 [ EL multiplicar per fcape^o fi caua dalla prima del fecondo libro de Euclide, che dice quando faranno due linee de quali vna fia diuifa in parti, li rettangoli prodotti della linea non diuifa inciafchuna parte della linea diuifa faranno eguali al prodotto delle due dette linee, et più propria niente l infogna, la feconda parte dcUa decimafexta, del nono, del detto, co me per te facilmente potrai e(pcrimentare,per numeri, Mapiglia qucfiofolo effempio.multiplicaqueflepartide \6,cioì 3 | 4) £ per 34. dirai 3 fia 34 fa j02 «4 fia 34 fanno 136, et 9 fia 34 fan no 306 fummale infieme fanno 544, et tanto fa anebora 16 fia 34, chei il propofito,come vedi di fotto, r c | V4 f IS N | ! * ! 1 » }«»# f 3 4 J4 ? 4 34 ;v * S I 6 3 4 9 - : 5 4 4 I o a 13 6 30 6 • ' ’ 1 3 6 •(ÒSI 1 f 1 02 V'.TJAtt Del v- Libra Pdmo r 21 Del (piegar le quantità nelle fue mi- nori parti , Cap. XIII* Sfcmpio, voglio fregar L. 54- f H dinari 8. nelle fue minime parti, cioè farli tutti in dinari , Multiplica L. 54. per f. 10, ciocie maggiori per U proemi minori parti, & p<n fumma effe parti, proj- fìmi & poi multiplica per le ['.menti fue dtuifnni cr _ _ _ ' aggiongi quelle che fono del medefmo nome fin alle minime parti fe cofi farà dibifognoje L.^a- fanno fi. io%o, aggiùngili $. iq. fanno 3.1097, 5 4 p- 7 • multiplica per li d. 12. fanno d. 15 171 aggiongi li d. Sfaranno d. 1 3 1 80. ÓT c0 , fi farai intuite le occorrentic de Monete peft Ór mifurc,cbe quitti non pongo altro ejfcmpio, perche con minime cofe fi impi rebbe ogni gran volume , volenilodar ef- fempio in tutti li particolari, che fono innu mer abili, .. .s,v 2. T B- B- 1 ■‘"n- 3 5 4 2 o 080 » 7 0 9 7 l 2 « 7 ‘ 8 1.4. Delmultiplicardiuerfe nature per vn fol numero, l £. ? £ \ ■ ' l 1 Multiplica , . t L- 7 i' n d. 6., p. 7 _ J. _ _7* o ~ - “2. I 6 <5 3 J}. 7 d. 6. 0 /.i t i l : » < ' • Comincia dalli minori parti che fono li d-&- diraié fia 7 fanno d. 41, che fanno 3 j. d. 6 & metti d. 6 folto & tieni ù mente li 3. }.poi multi- plicarai li 3. 12 dicendo 7 fia 12 fanno 84 ór 3 che te/ieut à mente , fan- no 87 OT hai L. 4 eir auan^ano 3. 7, quali metri fitto ad. 3. &• tieni à mente le L.+.poi mitliiplicarai le lire dicendo 7 fia 7 fanno 49. ór 4 c/>e tcneui fanno <,-},£? metti 3 et tieni à mente le 5 defeue . poi dirai $ fia 7 /inno 2 1 or /e 5 chctcneui fanno 26, ór metti fatto il 6 ór tieni à mente le 2 defene .poi dirai 2 fia 7 fanno ir\, & le due che tenevi fanno 16 ór metti finalmente li 16 & hauerai tutto il produtto che faranno L. 1 66 3. 7. d. 6 . & cofi farai ogni altra forte de monete pefi ór mtfurc fapeudo le juc par ti, fur^a che più altra mi efienda in parole , La prona de 2 ? 7 F 2 3U. Dell’ Ari thm etica f. lì d.6 farà i ,ch e multipli cat a conia prona del multipla anta, cioè con la proua de 7. farà nulla, donerà e/fer eguale alla proua del produtto , qual è L. 1 66} JJ. 7 d.6.& cofio/feruarai in ogni quantità & in ogni pae Jc aduertendo femprc aliar egola generale . De alcuni numeri porti da Frate Luca per curio- fità,che multiplicandoli infieme, producono tutte le figure d’vna medefma fpecie, cioè ò tutti j,ouer tutti 2, infinoal $>. la qual in- uentione è più prefto ingeniofà che vtile, Cap. XI III. £ tu multiplicarai 777 fia 14J ne venir anno tutti 1 fe multtplicarai qual voi delli detti doi numeri per vn al- tro digito cioè per vnaltr afigura, ó' tal produtto mol- tiplicami poi per t altro numero , ne venir anno tutti di quella tale figura con quale multiplicafti vno di loro,t ef f empio vederai di fiotto . 7 7 7 3 15 5 4 * 4 ? 4 <5 6 x 6 a 1 6 15 5 4 2 2 2 2 2 2 7 7 7 2 } } I 3 10 8 7 7 7 1 1 1 1 1 x Et fi come per bauer multiplicatoper 2 el 777 & ne vengono tutti 2 così fe l hauefli multiplicatoper altra figo ra ne far ebbono venuti tutti filmili à quella. Onero volendo che ne vengano tutte di quale figura defideri, prenderai 2 tanti centenara,& 3 tante defene , corner apre fenta e fifa figura, & apprefi- Ju gli aggiongerai e/fa figura & tale fiamma multiplicarai fiempre per 4 1 & venir à qual figura defideri da 1 fin à 9. e/Jcmpio voglio cheven g ino tutti } dottanti centenara fanno 600 3 tante defene fanno 90 ,cbe . gionte Libro Primo. gionte fatico 69 O, & efia figura appreffo farà quali multiplìca per 48 1 faranno 3 3 3 ? J 3, et così ojjeruarai nella produzione delle altre figure vi 800 I X o 4 9*4 .9*4- 481 9*4 7 ) 9 * ? 6 9 6 *3 6 9 3 481 6 9 j 5 5 4 4 *77* 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4.. EX quando tu roleffi cb.c lajumma cC vna multiplicationa venifje trame ^ %ata ouero alternata de due forti de figure, come farebbe 454545 onero ad altro modo come tipiacejfc, prendi fempre per regola due tante dcjene quante rapprefentano le dette due figure varie, che tu voi. & appreffo ag giongi effe figure & tale fumma multiplicarai fempre per 48 1. & veni- ranno tutte così , Effempio poniamo, che tu volefli chevencffero mille come le fopr aferit- te, cioè tutte 45 prendi 2 tante de jenc fanno 900 giongili sfanno 945 Et queflo multìplica per 48 1 ne venirà come difotto 481 vedi in figura 9 4 5 Et cofl offerua- ' 7560 trai nel produ) re 3780 [altre. 4 5 4 5 4 5 Oltra di qucjlo fe volijìiper vri alte aregola far vna mul tiplicationc che cl produtto de quella fojje 1 2.1 , ouer do deci 2, et quali dodeci noi fin al 9 cioè fina tt'Q.parti quel li tali 1 1 figure che voi fem pre per 900991 et ne veni- rà l'altro producete, che mol tiplicato poi per 900991 ne V entrano qllcii figure della forte che voi,comefipropo~ ve, et tato fi à detto dclmulii pi. c .r, del 1 .^i’gorfmo, v- no effempio p tutti li fìntili, 00 f ? t t fi? f 1 9009.91 ? li *33 * x itutittt tu — ?&&??* m u 9 c o 9 9 1 ??#?????? 180x98* ? ti stYtf $ % *70*973 ttéfifi *70*973 ? fi fi 180198* ? 90099 1 |i 1 1 1 1 i 1 1 t 1 1 1 De) ' DclL’Arithtaetica Del partire ouerdiuidere ÒC fuadi£ finitione. Cap. XV. jLrtirc vn punterò per vii altro non è al ro,che trovar v ri altro numero che tante volte entri nel numero da effer dittifo quante vofeela vnit acuirà nel numero diuidente, fi cerne diffi cr fu dato l effempio di fipra nella enumera- tionc delli 7 atti onero upcrationidi l primo algori fmo, — <jr perche le partitioni rulli numeri ajlratti dalla materia fono fumili di natura, ma fatte nel concretto gli poffnho concorrere diuerfe naturefecondo firn emione del cperante,come io dtffifopra f atto del multi- rn'lon'c plicare.qmfia dikerfita può verfare àrea 3 numeri che concorreno nella no , r.cl diuifionc,cioc ilpart,torc,la cofa cucr quantità da effer partita. et il nume partir, ro che ne viene de tale partitione, per tanto doppo le ftmplici diuifiottidel li numeri ajlratti ,proponcremo anebora le partitioni nelli termini concre- ti,cioè applicate alla materiato di monete ò di pefiouer di mifitre, come nel muliipltcar anebora bauemo offeruato , Et perche per diuerfi modi fi fanno le partitioni , cioè per Colonna ,per Galea', per Danda , & per ripiego . ' ' , El primo & quarto fono particolari & il fecondo, C? tertio fono vni- uerf :li , Trima infegnaremo a partire al primo modo clic fi chiama per colonna onero per tefìa , Del primo modo di partire detto per teda ouero per colonna. Tf Olendo partire 3036245 per a, la quale è la minima partiti 0- * ne a rifpetto del numero diuidente ouero partitore , & la ma firn a ri ff>rtto al numero che ne viene della ditti ftone,lo metteremo quitti da parte , er inangj da man fìniflragli metteremo il fuo partitore a queflo modo , 5| 3036145 1518122 £ Et dirai el 1 in 3 entra 1 volta & metterai 1 fotto al nume- ro , nel quale entra , cioè fotto al 3, & alt anfano 1 quale poflo inan ZJ alla figura fcquente dira io, & poi dirai el 2 in io entra 5 volte C muterai 5 [otto alla nulla , cioè alla figura ebefiniffe cl ditto io, poi dirai e! 2 in ?, che feguita entra 1 volta, & metti 1 fotto al detto 3, & attarda 1 che con la figura feguente cl) è 6, dife 16 , ó" tu dirai il 2 - ' in 5. modi di pani ic . Libro Primo . 24 in r 6 entra 8 rotte, & metti 8 folto al detto 6, poi fegttendo dirai el 2 in 2 entra ma volta, cir metti r fotto al detto ì diuifo, & pei di- ìai el 2 in 4 che fegue entra i rotte , & metti 2 fotto al detto 4, fi ■ nalmente dirai, el 2 in 5 entra 2 volte, cr farai x fitto al 5, ò~ au.m gemo 1 qual metterai fupr a ma virgola, & fotto effa virgola mett'- rai x,che fin il partitore, & di detta dìuifione ne veniranrm 1 5 1 8 1 2 : & cafi of ornerai la regola in tutti , & Voledo prouar tale diitifionr mul~ tiplicberai el numero, che ne viene per el partitore , &feaujnga qualche numero lo f marnar ai col detto prodotto, & donerà, fari! numero , che fu diuifo, perche la vera prona del partire è il multipliccrc,fi come vedi di fot to per effempio . ‘ • <>' proua del 7 -l 5-1 8 t ì 2 v numero che ne viene 2 partitore 30? 6245 numero che fu di ufo , Onero multipl'tchcrai la proua del partitore ton la prona del numero , che di tale partitione è venato , & al produtto di dette prone gli aggiùn- gerai quello che auanga di detta, partitione , fi per cafo gli auanga qua che numero. Et la proua di detta fumma donerà effere eguale alla prona del numero,che fu diuifo, come per caufa di cJfeìnpio:la proua del 7, del nu- mero, che di tale diuifione è venuto è 4 , & la proua del partitor che fu 2 è pur 2 mulliplicata per 4/38, aggiùntogli /’ auango che fu 1 fa 9-, la cui proua è 2. Et perche la proua del numero diuifo fa ancor 2, diremo che la diuifione è giufla , altramente diremo che è fàlft, & cofìpr one- rai ogni forte di partire per qutfti doi modi frega, che più le replichi . Hauendo infognato difopra a partir per 2, ouer à pigliar la niità di qualùnque numero : bora quiui ne metteremo molte altre partitioni per colonna fin al io, & dalli-io in fifone proponeremo molti altri più vtili alla pr attica, come al fuo Itfogo e/plicaremo; & quantùnque per quefta via di partire non fi pojfa partire ogni numero , fenon con grande fatica, non- dimeno egli è vtilea faper partire molti numeri per qttefla via , anchora che il partire per galea fi po/fa far ogni partitione, cofi di piccioli numeri , come di grandi: perche più commodamente partirai vn numero per vn al- tro numero picciolo per colonna , che non farefii per galea, & per queflo b vtile a faper partire per vie diuerfe, perche bora fi trotterà più facilità in q utflo,cbe in queir altro modo . Partitioni D.clTArithmetica Parti rioni per colonna «* Tartitore Troua 6 7 6_iJ» 8 ì * il? T 60001 _6|j? 9 * 5 3 3 ) 4-r 6|+ 5 576091 i 4 4 o > 4*t 7 60000 152000 7656767 1272794 4l4 io 4|6 iJli11 3l* 36003 4000 76303 JL IO 702767 63887^ Et per più chia- ra introduttione di tale modo dì partire , piglia C effempio qui poflo ì figura dipartir 7 6 87 676, per li, per tanto dirà il 12 in 76 «j/ra 6 Wfr, « rami 6 /brio al 6, & auanjano 4, che conia figu ra feguente dirà 48 , poi dirai el 12 in 48 entra 4 volt r, «2r metti 4 fiotto all' g, poi dirai il 1 2 in 7 enfr4 nulla, & auan^ano 7, fta con la figu ra feguente dira 7 6, poi dirai il 1 2 in 76. entra 6 volte & Mancano 4 che con la figura fequente, dira 47. poi dirai elu in 47 entra 3 volte & auangano 1 1 che con la figura fequente Spanno 1 1 6, et 1 2 in 1 16 entra 9 volte et auampmo 8; quali metterai ’fiipra vna virgolaci fiotto metterai il partitore , cioè 1 2, et tal rotto dirai ejfar doi ter?j,et coft fogni rai negli altri . _5|4_I2 I 7687676 r J5 I d4 06Ì9 7 | 3687676 6)0 13 526810 J4 oh 9 6 3 6 7 6 0I3 1 o 4 f ?7 ili. Ai 2Ji_ 23 2¥- »ls Jlf 3l° _j|6_ 20 _» iC 76$ 767 53905 a TT Mi 7 6 8 7 6 5 4|o 5 4 9 i l-T{ 4[T 15 7 6 3 7 6 6|l Sopì 6)2 16 27637 «|i 1 1 7 » 7 i|5 Et qualunque fìpojfa partir e per altri numeri affai maggiori hauendo li li- bretti del multiplicar à mente,nondime no ho poflo folamente li più vtili et commodi fin al 36, et di quefli anebo- ra alcuni fono piu neceffiarij à fiaper à mente che gli altri.fi come volendo far de dinari in fioldi conuien fiaper. ben par tir J - 17 7 18 I ì 1 9 7 20 ^ partitori 6 4 0 1 o 3 6 8 Libro Primo É 8 7 S » ° 3 6 6 3 8 6 8 *4 37*37* f i j 5 8 » ì 7 6 8 7 240 j.' •2 °ÌL 0|i -i.il -H i|o ■4 i» -b -H # riir 3l4 Tir j5 I 7 5 o 6 o o 2x11 1 "ì? 25 tir per 1 1 fimilmente va- lendo far d,e otvze in libre, & molti altri vfi , & il 20, volendo far de $. in li bre. il 24 pqp far de grofji in ducati , & de dinari de pefo in on^c & fimilmen- te de gran: in dinari & de tauole in pertiche & altrivfi t Il } 2 per far de picei » li in grojfì per t vfo di re- netta , il 36 per far de caratti d'oro in quarti,perche 3 6 caratti fanno quarti de on te d’oro , ouer argento i pefo, di y enetia, &■ quan- to più f operai il tnuleipli cor à mente tanto più / ape . rai partire per maggiori ' L numeri , Del partir per ripiego . . : ! • ■ 1 * lV.‘ i\'4 ET perche nel multiplicar ti diffi che volendo multipliear,per vno pu ro articolo bajìaua aggiongere tante nulle al numero da effer multi - plicato,quaute erano nel partitore, ir poi multiplicar lo per el fuo digito. Così nel partire per vno numero articolo, qual è atto opporlo à quelle tnodo di multiplicare,bafla à tagliar tante figure del numero, che fi vote partire da man defira , quante fono le nulle nel partitore , & poi partire le figure refiate da man fimifira per el digito del partitore:et fe de tale par titione per el digito ne auan%a qualche numerosi deue metter iaangj ver fo la ftnifira alle figure tagliate fuor a,& quello che ne verrdde detto pav- imento farà il numero quoticnte, & da noi ricercato , tome per più ehia ra in telligentia ti moflrarò per alquanti cjfempij Vaniamo adonque,che fi debbano pattire 3680037 per 1 oqualèil primo articolo , taglia Prltìma figura di effo numero qual è il 7 ( quali l’vltima itti cominciar da man fimifira verfo la defira , ) & fiata cosi 368 001 i £t poi parti le figure che fonoferate verfo la ftnifira per el fuo digito ' * G lual I DeirArithmetica tfudb , i, c ir ne viene l'iflcffo numero ,per che la vnitanon eaufa altera- itone, talmente che lo eluderai chcneviebedi tale parinone 368003 Et auan%ar!9 •) quali Cono delle i o parti di vna vnita le 7 parti & per queflo fempre fitto al an tico col intermedio cfvna virgola onero li- nea metterai el fu > partitore , qu i( denotar* in quante parti fta din-fa la vnita, per formar quel rotto di fopra , ne fi conturbi per queflo il Thi- lofopbo che vote che le vnitàfiano iniiuifibili, fe noi la diuidemo, perche non parla delle vnita nel concreto, ma nello afbratto , Ter tanto bifogna diflinguerc perche , qui nefeit diflingucre nef eie feire , Et volendo partire 8532 per zo , Trima taglia via Ivi lima figu ra quali il 2 con vna lineetta ,dr il rtftante parti per 2 che è il fuo digi- to, & quello che auanga nel partir per 2 mettilo inangj al detto i,come defeva, del 2. & jlara così: onde ne venir anno 20| 8 5 3 -ii 426 & atungarannoiì , che fono delli 20 426 parti le iz, come f e el detto numero 8552 chebauemo diuifo fuffeno Jiatto de tanti foldi partendolo per 20, come bauemo fattone farebbono venute L. 426 & $. 1 2, cioè 1‘ aitando, finitime nt e fe baurfli a dividere 53768 per j o tagliar ai l vlcima figura qual è 8. con vna linea & rcjla no dailaman fmiflra 537 6, quali partirai per 3 , cioè per el digito de $ °> & ne venir anno 1 792. & auangano 6 folto al qual 6 metti el tu » partitor quali io, & efja partitone flarà coti , 30 I 5 3 76 | ^ & così farai nclpartire per 40 | 50 J 5o | 70I | I 7 9 2 | '»• 80 | 90 | tagliando fempre Ivltima figura & poi partir per e l fuodigi to a modo detto . Etfe bauefii a partir 3 j 3768 per 3 00 taglia via le due vltime figu- re, cioè 68 perche nel partitor fono due nuìle , & verfo la fìmflra gli faranno reflate quefte figure , cioè 3537, quali partirai per el digito del partitor che]è 3. & ne venir anno 1 1 79 & auan faranno 68 , cioè yf* & tale partitone Rara cosi 300 I 3537:^* | 1 I 7 9 I Et così farai fe bauefli à partir per li altri articoli che haueffero molte nulle,tagliarai tante figure da man deflra , quante nulle hauer ai, nel tuo partitore , come per molti effempq qui folto veder ai , fruga che mi efien- da m più longhe parole, & queflo modo di par tire non è differente dal par tir per ripiegotpercheje io parto per ìo, io partoprima peno, &poi per 2 perche 1 fia io fanno 10, & 2 & io fono rtpiegbide 20 , così partendo per 30 tagliando r vltima figura del numero da ejfer partito 10 parto per io, & quello che ne viene per 3. Onde vengo à partir per 3 "folce 10, fanno 30 cioè per li ripieghi de io, che fono io & 3» fit come diffi del partir per 20, come vedi di folto in figura , la prona far tadorne nella prima, }0\ Libro Primo, i 7F : 400 1 26 400 | 7 6 » ? -Sull 5|s “i 7*0 3 8 0 1° _il! 5U JOO | 9 0 0 I 1 8 0 1 *.ih ~*T„ f V . J , 1 10 1 9 * J 7 3*19 1* 4fcL 1 4l* 600 j 2 7 6 1 4 0 | *£ * |4^ 5<T 6 4°| 76000 1° j!l_ . 700! 903 7 ! 7S4K 0 1 19 000 1 3l» 1 1 » 91 1 4lj Ji) . 1 r r 50 I 7*oo 1° -Iti 800 [ 9600 I -s- il* 6 1 1 s 2 0 1 Il« 1 I soo | • *U 60 I 9 3 7 6 1 a)44 900 1 7**7 4_ : t •:* : 3 1 I $ 6 1 1 n»r • «47 1 5 * • »<■ 70 1 76 0 I JiZ. . 1000 I 7 * i f Ttf". 4l* 1 1 0 8 I Ai L | 900 1 * l+: -H— 51° aooo 1 7*7* 1 3838 n 4. 3l* J ’l * 1 90 I 9676 1 -1? *1*? 3000 I960 ew ili 6 1 1 0 7 j 1 *1+ 13 * 0 ■ *|5 ZOO 1 2 3 6 0 1- ili 4000 I 7 * a 1 oo> ||i ? ' 1 ali 1 c ' l 1 9 0 1 ■ 3U soo J 7 6 0 0 1 •• j|4? 5000 1 I 1 3 8 0 c 1 if* 1 9 * 7 M 9 ) 1 *<<>• JOOÓ. 41* X- 300 6 * 3 I *1*3 » 7 o | -éj^ Così faretti il partir per altri numeri anchorn che non vi frano nulle & chehauejfiro ripieghi, cioè numeri che multiplicati faccino quellopar - titore,comefe hauefli à partir per tzr potrefii partir prima per jyctqucl- G 2 lo < ' DeirArithmeticà lo che ne viene per 4 onero prima pbr 4, &poi per?, che da f Utd ripie- ' £° Ù piace poi cominciare, hor poniamo che vagli partir 3 58 per per neggo detti fuoi ripieghi, prima parti per 3, ne venir anno i»2 & queflo 122 parti per 4, -ne venir anno 30 & auangararuio , — cioè detti 4 li 1 quali metterai mangi atti -j che auattgorno a partir per el primo numero, & Jlaranno coft in figura & perche fi tro- 3 I 368 ?|i uano inan-gi atti per farne vna fola parte multi • 4 j 1 2 a plica 2, che anangorno la feconda volta fa 3, che fu il 30 primo partitore faranno 6, & a queflo giongi quelli che auangprno, nella gritna partitionc, cioè quelli icbe fono fopra al ditto 3, faranno 8. & queflo mettifqprd vna virgola tosi -L poi multiplica el primo partitor fia eh , cioè $• fa 4 faranno lì, & queflo metti folto ali che fu poflo fopra quella virgola per partitore Jori -k onde ne verranno 30 -*x & così farai infintili, * Et volendo partir vn numero per 24, tu poi partirlo prima per i, poi per 1 2, ouero per 3 & per 8, ouer per 4 et per 6, perche ciafchaduno de quefli pari de ripieghi mnlriplicati fanno 24. Et volendo partir per 32* poi partire per 2 et per 16 , ouero per 4 , et per 8 , che li vni, et li altri fanno 32 ,et volendo partir per 3 5 , poi partire per 3 et per 1 2, ouero per 4 et per 9, ou erg per 6 et vn' altra volta per el medefmo 6: et così potrai partire per 3 , et per 4 ripieghi quando così fia maggior commodita à par tir, che per altra via, et quando poi non fipoffaper due caufe , cioè per la difficultà di tronar ripieghi al partitore,ouer per non bauer alchuni ripie ghi, come fono li numeri primi, non mancharauno le altre vie vni uèr fo- li, cioè da partir per Galea Ouero per D anda, la proua far ai, come fe ba- ndii partitoper il fuovnico partitore', et perche credo bauer detto aftai circa di queflo modo,ti metterò qui folto alcuni numeri de partir per ripic ghopcr tua èffercitatione . ripieghi Due. 64 ■< I 9 6 3 o j 7 <8 I 1 2 o 3 8 2 5)1 prima partiùone ne viene 15047 gig-J-* vitina partiùone . . S* \ 9 0 3 6 8 ripieghi D. 75^ ? 1 30122 ( S 1 <024 ^ I 1104 Effrmpìo de partir in 3 volte per 7 f, cioè prima per 3, poi per $ et poi per 5, ne vicn 1204 prima partiùone fecuda partiùone tertia et vltima -ili 53 4|* Svi-*} Partit,one pwa-jfi- lunati n j Libro Primo, ilr fnanxj (lièti mofai il partir per Galea , mi è apparfo feguir il corniti - tato mio cofiume,cioè di monflrare in che modo ilfiudiofofi poffa prem- iere delle regole et operatimi fin al prefente dimoflrate, et quali et quanti fioatti frutti poffa confeguir il lettore , dalle già introdotte operationidi tutitiplicar et partire per'tolonna et per ripiego, anchora che el non lab- bia fin bora il totale poffejfo del partire, fi come doppo alcune vtiliffimc ra gioni con breuita potrà. confeguir e , Tantojlo adonque , che ilfiudiofo difcepolo di quella dottrina fapera benfummarfottrar multiplicar & partir per colonna , può fàcilmente fapere C amontar di ciafcbaduna mercanta, quando gli occorre, ò nel yen dere, ò nel copr are, liete è di grandifjimo momento ad ogni merendante. ' Ragioni folubili perle cofc già dette . PEr tanto propano che voglia faper quanto montar anno pefi 87 defa- ponea. L. 6 g.l 6 dinari 9 el pefo , Diff onerai li pefi 87 in 3 luoghi^ cioè per le L~& ».& d. comevedi qui di fotta . * * £ £ -v j 3 2 2 8 7 p & x -v L.6 5 2 » 7 2 L- 5 9 4 B- montano . 17 d. 3| Tot comincia prima à multiplicar li pefi 8 7 per li d 9 fanno d. 783 » quali farai in J. partendoli perix&ne vengono fi. 6$ J. 3, quali fat- ua, poi multiplica li detti pefi 87 per li f\6,& inauri , che facci la fumma delti f. aggiùngili li fi 6$ per abbreuiar figure, faranno /Il 45 7* quali far aiìn L. partertdoleper 20 al modo detto di fopra, faranno L. 72 7 1 7 d. 3 , poi vieni alle L. & multiplica li detti pefi 87 per le L.6 fa- ranno L. JUj alle quali aggionger ai le L. 71 fi 7 d. 3 che furnoprodut te dalle due muUiplicationi delti f.16. & d.9 & faranno L. 594 /**7 d* a j & tanto vaieranno à ditto predo . * La proua brevemente farai così, piglia prima la prova della mercan - tia, cioè delti pefi 8 7, che è 3 & quefìa ferua,poi prendi la proua del pre ciò al modo che te infegnai nel provar le firmme,cioì comincia prima dal le L. dicendo de 6 la proua è 6, & qurfta multiplica per la proua de fi 20 chefhnno vna L. cioè per 6 farà }6.& di quefio piglia laprona cheè qual f* DxsU’Arìthmctita qttal aggiùngi alli f. 1 6 fanno 17 & la. proua <fi 17. quali 3 multipli- ca con la prona de d. ra, che fanno vno folio, qual prona è q, & fard 1 f pigliane L prona farà li qual aggiùngi olii d. 9 fard io, de quali piglia- ne la prona farà 3. & quesUdoucra effer eguale alla prona del proìnttè qual è L. 594 f. \7 d. 3 , la qual à mododetto trou arai effer 3. & coti farai in ogni forte de monete pefi crmifure , . Similmente fe fuffe propojlo di trouare quanto montar anno braga 57 5 de panno aL.óf. 13 d. 6 el brago t , s Faretti come di fopra fetti per faper lamoniaY del fapone , cioè farai 3 produtti delli braga 5 7, l'vno per It L. I altro per.lt f cr ii tergo per li d. come vedi di fatto, & poi gli aggiùngerai d ‘valore de ^br ago, qual trouarai partendo L. 6 fi} d. 6 per x, & quello che ne verrà de ditta fumma farà il valore delli dettibraga 5 7, j jrf copte \ vedi di fatto per cf- fempio, . ■ .. 5 7 1 1 l, ? 3 4 * 7 4 * 38 x 8 V - L. 3 8 O / : 9 d.6 7 il rileggo brago monta L. 3 f.6 d,9 s z 6 ‘Ili. « t*”'i 3 8 a | t. 6 f. x 3 d. 6 \L. ì f. 6 d. 9 montar anno £.3 8 3 /. 1 6 d. 3 o • * : 1 ' \ : Trouerai adonqueper via della precedente, che li bragia 57 monta- no aditto predo L. 3^0. p.p. d. 6 Hor vedi quale èla-\- de L. 6 fi} d. 6 così dicendo ìamitàde L. 6 fono L. 3, & metti 3 fatto alle L. 6. poi dir aria ±-dc f. 13 fono f 6. & auanga 1 . & metti fatto alli altri f. & quello vno che auanga multiplica per 1 x. d. dicendo i fia 11 fanno 12, & 6 apprcjfa fanno 18 & la miti dcd. 18 fono d. 9. quali metti fot to àgli altri d. et hauerai che meggo braggo valeno L. } f 6 d. 9: quali aggiorni aUi primi , cioè alle L. 3 80 f.pd.ó faranno L. 383 f 16 d.g & così farai le fimi li. La proua farai co fi dicendo de 57 è i,qual multiplica per 2 che è fatto la virgola , cioè lo farai in meggt dicendo 1 fiax fanno 2 & quello che è fopra la virgola fa 3. & de 3 la proua è 3, & quefio feruapoi piglia- mi la proua de L. 6 f. 1 3 d. 6, doè del predo & farà 6: qual multipli- caco 3. feruato di fopra farà 18, et la proua di quetto è 4 etquefladeue ef fer eguale alla proua del produtto qual farà 4 : qual trouerai a quefio mo do, dicendo de 38 la proua è 3 ,et de}} è 5 : qual per regola multiplica per 6 farà 30. <& de 30 la proua è 2 , qual aggiùngi alli $. 1 6. farà 18. & la proua de 1 8 è 4, qual per regola multiplica per y. farà 20 et li d. 3 appreffo BelTÀrithmetica rLS tpprejfo farà a?. &la prona de 23 è 2, & perche quella difopra fu 4 appare che non fi a giufta, ma quefh procede perche non è fatta in megri come fu quella difopra però farai quitto vltimo a in megfi farà 4, dici n ■ do zfia 2 (‘denominato r della mita ) fa 4. Et così farà viujla,llchc auucr tirami fimi li , Et chidiceffe quanto montar anno bragia 58 quarte 3, de panno a L. 8./1 1 J d. 3 fi bra'ggp, vedi prima al modo delle due precedenti, quanto montar anno librala fienai le quarte 3 a ditto predo, & troucrai che montar anno L. 3 o 8 f. 4 d. 6. Et poi vedi quanto V aleno le quarte 3 . a ragion de L. S. fi 1$ d. 3 il bra^gp , & per far quello multiplica le L. o.J. 1 5 d. 3 per 3, cofi come vedi in figura . ^ 4 | L. i 6 fi 5 d. 9 cominciando dalli d. fin che farai venuto alle L. così dicLol Val £ fanno 9 & metterai d.9 fotta li d.poi dirai jfiai5 fanno 4? metti fi 5 fiotto aUi fi & ttenL.2. quali ferua, poi dirai 3 fia L. 8 fanno 24 & le L. 2 appreso che feruafh fanno L. 26. & taleprodutto dalle quarte 3 fu- ra L. 26 /. J. d. 9 &• quefio parti per 4 perche quattro quarte fanno vnobra^ojcomnciando da manfiuiflra verfo man deflra , cioè dalle L. olii y.cr dalli falli d. così dicendo etq in L.26 entra 6 volte & mette- rai L.6 fiotto alle L. 26 & auangano L. 2 quali farai in foldi dicendo 1 fia io f annodo & fi 5 appreffo fanno 45 & il 4 ,«43 entra 1 1 volte 6 farai fatto fi 1 1 & auanga vno foldo,qual multiplica per 1 a dicendo I fia 12 fanno 1 2,0r con li d. 9 appreffo fanno a 1 , & poi dirai eia in I I entraj vote & metterai fiotto d. 5 & auanga 1 , fiotto al quale fem - premetter ani tuo partitore & farà ± cioè vn quarto. Terilcheneve mr annoi. 6 fili d. 5 -i- per la valuta delle quarte 3 , quali aggiùnge yu°«l'al'r'J,lop,a,cMconUL.,oS f.fi. 6 f fLnn.1 5,4 fili d.n, — come vedi di fiotto, & così farai le filmili , 5 8 8 jf 4 464 4 4 5 8 * 5 870 I 4 5 8 9 l. 8 /. I J d. 3 17 4 ?• 3 L. 508 /.4 rf.d * 00 00 /ff.3 montano L.6 fi. il c 4 41 •5 I 4 6 Jl tutto monta per 5 1 4 £ 1 5 d. 1 1 4(Ì •f A 4 V 1 6 r-i i-9 e tm.j La Libro Primo. ,*• j 29 ijoa hducrò demoflrato il modo, & atargatala "tria di poter per piùficur* & piana via procedere nelle ragioni, che fi batteranno da infiegnare , In queflo di mejgp so che ti dilettar anno quelle poche ragioni , che col meTjtp delie cofe precedenti ti proponero , Je adonque ti fuffe propofio di voler faper quanto valeno L. 385 di peuere a ducati 48 el ccntena- ro,que/io facilmente fi farebbe per la regola del 3 ma perche non Ihopo fta anchora , lo farai per vn' altro modo per non deviar del modo demo- lir attuo, Ter tanto vedi prima quanto valeno 3 centenaraa /j. 48.fi centenaro.multiplicando 3 fia 48 fanno D. 144* Toivedi quanto vale- no L.^o che fono nu 'zjfp centenaro,& vaieranno a ditta ragione D. 14 , quali metti fiotto adì 144. così , ^ ,\i ’J ? . 4 ' . v r * .^.t già hai la valuta de £.3 $0, horvedi quanto valeno L.z$,chc fonolamita delle £.50, & vaie- ranno D. li. quali metti fotto aUi altri 24 , & già _ hauerai la valuta de i.375 ,& perche andar alle D. I 8 4 385 , gli ne minchano L. 10, che fono la quintapar te delie 50, che vaieranno D.24 adonque parti 14, per 5 ne venir anno 0, 4-J- queflo anchora metterai fiotto alli altri,etpoi fiummarai quefli quattro parti infiteme & faranno D. 184 -f- come vedi qui da lato , & queflo modo è vfiato affai da mercadanti pr attici, & così farai le filmili . Come propofta la valuta del tutto fi trouala1 luta, ouer predo delle parti, ouer ye * * * 4 4 * 4 I 2 4 ~*r 4 T parte . Gap. XVI. T chi diceffie tornea dell'oro vale L. 62 , che vaieranno dinari J 9 , & C on^a fa dinari 24 , come di f opra fu detto , Trima vedi quanto valeno dinari 1 2 , che fono me%- ?a òn%a , & vaieranno L. jt r qdali metti dar parte così , L. 1 I / d. Tot vedi quanto valeno d. 4, che fono la fiefia 1 o fi.ó.d. 8. parte de vn'on^a partendo L.6 2 però ne veni- 7 fi 1 $.d. ranno L. io & auan%ano 2 quali mulciplica per - p. 20 faranno 40 & quello parti per 6, ne veni- L. 4 9 fi- d. 8. ranno £.6 & au.w^ano 4 , qual mule. plica per d. io fatino 48, CT* quefli farti per 6% tuo partitore ne venir ano d.% fior a metterai L. 10 J).6 d. 8 ; H fiotto L. i 5 L. 3 L. I L. DcirAnthmetica f otto alle L. ir &giàhailavalutadeon%ei6:refla veder quanto int- imo le onge 3 : & queflo trouarai partendo leL. j t, che fu il predo delti - d. i’ per 4 perche d. j fono il quarto de li, & vaieranno L.f -A- che fono L.f fi. 15 ; quali aggiongi alle fopraferitte & fumiti arai quefle 3 parti infime & faranno L. 49 JJ.7 i.lf • y Quanto vaieranno fiara 5 quarte 3 -\-de fermento a L. 31 f.16 d. 8 la fornai redi prima quanto vale megja foma,cioè flora q partendo L. 31 $. 16 d. Speri, così come quitti appare & va- i \ L. 3 I j?. I 6 d.S lerannoL.il f 18 d. 4 quali mettida parte , Toivedi quanto vale el fioro partendo L. il J. 18 d. 4 per 4 &ne vedranno L. 3 J. 1 9 d.q; quali metterai fotta alli altri come vedi, Toi vedi quanto v aleno quarte 2 pigliando la mità de I.j 3. 19 d. 7 & vaieranno L. 1 3. 1 9 rf. 9 -J- quali metti fiotto alle altre parti, poi vedi quanto vale el quarto partendo L. 1 3. 19 d. 9 -J- per 2, cioè pigliando la mità, & vaie- rà 3. 19 d.xo~- quali metti fiotto a gli altri , vale -i- quarto pigliànio la mila de 3. 1 9 d. 1 1 quali metti fiotto agli altri & poifiumma tutte quefle 5 parti infin me or fara.noL.23 fi. 7 d.6 -J- et tanto vaieranno li fiara 5 quarte 3 ■— à ditto precio;& quantunque habbiapoflo il rotto in vltima qual è ^ de d. nondimeno non hauendo anchora imparato el dificepolo\li rotti lo potrà lajfiar da parte non effiendo cofia di momento , fin che l'hauermo introdut tonelMgorifimo de rotti , bora quefle pr attiche filano baflanti finche ho ucrcmo demoflrato il modo di partire per Galea, & per Danda,& allora più ficur amente potremo falcare queflo ampliamo Mare del\Arithme tica , con affai mancho timore di effere rebattuto dalli contrari j venti & dalle fluttuojc onde di Tritone , 3- 18 d. 4 3. 19 d. 7 3. 19 d.9 -i- 3. 19 9 L.13 3 • 7 *• 6~i~ finalmente vedi quanto io che fiara 3. 9 d. DelpartirperGalea. Cap. XVII: fluendo di fopra detto che cofa è diuiderc ouero partire vno numero per vn" altro, & anchora infegnato a parti- re per colonna , & per repiego, Hora refla de ùimoflra- re il modo di partir per Galea detto dalla fimilitudine della Calca per rifletto della forma , & dei depenna- meli che rafmbrano li remi per li quali fi conduce ef- fe legno oucr v afelio di mare chiamato Galea , & accio che con facilità apprendi Libro Primo* ; 30 npprcdi il modo di tal forte de partire , f 'appi prima che gli concorrerlo tre anioni , cioè la prima nel partire felicemente quando volemo in- ntfligare quante volte entra e l partitor nelle prime figure, che lo conten- gono da vno fin al none, la feconda la multiplicationc del digito trouato in nelle figure del partitore che feguitano quello numero che è innato cioè la prima figura del partitore , la terga attione è la fottrattione del pro- dotto dalle figure foprapofie,cbe fono del numero da cjfer diuifo , le quali attione fi rapprefentano in quefie tre lettere cioè , Q^Xl. S, che la prima vuol dire qucrc,cioè cerca quante volte entra la prima figura del parti- tore nell a prima ouero nelle prime due del numero da ejfer diuifo , la fé- tonda vuol dir multiplica,cioè el reftante delle figure del partitore nelnu mero quotiente ad vna per vna , & la terga chi è S. voi dir fubtrahe cioè che fi deue fotlrar li ditti prodotti ad vno ad vno dal numero di fi- pi a, cioè del numero da ejfer diuifo fin che fura finito il partitore tante volte da effe r replicato, quante volte farà dibifigno , cioè fin che furai venuto fitto a l'ultima figura verfo man deftra del numero da ejfer diuifo fempre procedendo mangi vna figura per ciafchaduna volta cherimetù el tuo partitore, fin alla detta vltima, fitto laquale fifinijfe la diuifione , come anch ora per eff empio ti faro manifeflo , Sia adonque , prima che tu habbia da partirc.vn numero, oue intri vn filo partitore per più leue introdutione , come 856876 per 29$ 761» prima metterai il partitore fitto le prime figure del numero che vqi par- tire da man finfflra,cofi come vedi quidifotto . *49j 2 * 9 3 5 2 -A: ‘ . 4 * fi 4 5 2 "3-4 29876* g * fi Z * fi }* ? $ g fi fi % I a A ' ^ +y>r , J -J , • •».'*; . Voi vedi quante volte entra el 2, nello 8 cioè la prima figura del par- titore nella prima dfl numero che voi partire , la quale entrarla 4 volte , tr auangarebbe, ©. ma perche multiplicando poi la figura feguente che è 9. col ditto 4, farebbe 36 li quali 36 fi doneranno fittrar dal numerodì- fopra reflato, & perche gli, reflorno filamento j, dirai che non ft può fittrar 36 de 3 : adonque non cntraua el 2 nel 8 quatto volte , & ponen- do,che entri 3 volte allungarono. 2 f opra al 8. El qual 2. col numero fe- guente, et rcjlato foprail 19 .dira 23. et perche el ditto 3 fiati 9 fanno ìqcl qualnonfi può anchora fittrar dal ditto 23. adonque non fntrarà j volte , paniamo adonque che entri 2 volte el 2 nel S.Et auangaramo 4 .el quale ìnfieme col.ì.chcdifipra refio dira 45 . Et io multipli caro el 2 H 2 numero Dell' Aritfi mctick numero delle volte fia e l ditto 9. fecóndi figura del partitore fura 1 8 et » quale bora potrà fottraredel 4 3 . Et refl.irano 2 > .m.ì lo fottrarò t quefio modo, dicendo 2 fia 9 fanno 1 8 .£f f/ numero è 8. Et 8 de 3. non fi può , 8 per andar al \oglinemanca ». Et 3, che fimo f òpra fanno 5. et cofi depen naro el 9. et il 3 et metterà fopra il 5 . Et dirò in 1 8 gli è vna defena, & quella, che ho impremudata fanno 2,& 2 de 4. che era fopra al 8. reftano 2,& faccio 1 fopra il 4. caffando ouero depenando el 4. poi miiltiplico 8 fia 2. numero delle volte cioè fia il quotiente fhra\6. & dico el numero oucr digito è 6. fottratto de 6 che è disopra refla o.Et tengo vna dtfena,et qucfta fottratta de j . reflarSno 4. fcm'pre depcnando le figure quando fe ne fottrano altre da quelle , poi dico 2 fia 7 fanno 1 4. & il numero è 4 .quid fottratto da 8 . rtttano a,,& ho vna defena, quale fottrar da o.non fi può, adonque dirò ì per andar al 1 o gli ne mancano 9. & depenno la o. Et faccio fopra il. 9. Et ho ancora vna defena , quale fottratta dal 4. antece dente rcflano 3 .poi dico a fia 6. fanno 1 2. Et il 2 del 7 difopra fotratto re fia $,& la defena dal 4 antecedente refla 3. finalmente dico 2 fia 2 fanno 4 el qual fotratto dal ó.difopra reflarano 2.talmète,che de detta partitio ne ne venirino 2 ,&auangarano fopra la galea 2 393 5 1 che non furano depennati, & vuol dire,che quefio numero 198761 qual è il partitore entra » volte in 8 3 68 7 6, qual è il numero da effer partito, & auangano 259351. Et Jecondo quefio fenfo fideueno intendere tutte le partitione & ififottrar, che fi fà nel partire non fia differente dal fotttrar,che haue mo infegnato doppo il fiumare, ricordando fi a hnpremudar le deferte , & ritornarli femore procedendo da man delira verfo man finiftra fi come fui fu dctto,& quando poi fi mette fopra vna figura fi dette fcmpre de- pennar quella di fiotto, & hauendo ben a mente quello, che qui ho detto, fa- terai far ogni partitione; ma acciò non reniamo di far intender ciafchu- no per mancamento die ffemptj, quitti metterò vri altra partitione nella quale el partitore entrar a j volte nel numero da effer partito, cioè che'l numero quotiente farà de 5 figure, ausandoti , che la prona delle Galee è al tutto fimilc alla prona del partire per colonna ; pertanto ricorrerai à quella, fe per forte ti fufie fcordata,& il numero, cheauangafi deue met ter fopra vna linea col partitore fiotto come vedi in figura , et fi come fu detto nel partir per colonna, et per ripiego . D ’vn’alcro modo di far le Galee . SI poteua anchora nel fkr quella galea et ciafchaduna altra ope- rar in quefio modo, cioè quando el partitore,cioè eli è entrato nel 8, due volte, et che onanismo 4 fubito multiplicar el quotiente , cioè el x fia Litro Primo i 3 1 fia tutte le figure del partitore eccetto la pronta, com iridando damati de- ftra verfo man finiflra , fottrando dalle fopr aferitte figure per ciafchadu na multipli catione , fin che fi fia pcruenuto alla prima figura del partito- re, che entrò x volte,et fi operarla con mancfto figure , et fia per e jf empio la precedente per tutte le altre qual metto qui fiotto , 1 _ • i • * ^ , * A 4 9 * 5 4 H Z fi B * fi * pt y pi * fi pe | Ciob dirai eli ini entra 2 volte & metti finora 3 oltra la linea, & fio pra fi farai il 4 come difiopra fiefii, poi dirai 2 fia 2 fiatino 4 fiottralo da 6 reflano 2 & 2 fia 6 fanno 12 fot tra 2 de 7 refilano 5: depenna el 6 & il 7 dr ferini fopr a %,& tieni vna defiena , poi dirai 2 fia 7 fanno 1 4 cJr 1 ma che haueui fa ìq & ; dei reflano 3. depenna ely &l' 8 & metti fopr a eli & ***** yna defiena, poi dirai 1 fia 8 fanno 1 6, & vna defiena che haueui fanno 17 dry de 6 non fi può, & de 16 refila 9. depenna C 8 C ir il 6 & metti el 9 fiopra & tieni due defiene. poi dirai 2 fia 9 fanno 1 8 & le due che tcneui fanno xo.<&o del j reflano 7 '& ho due defiene le quali 2 defiene fiotratte dal 4 che fu po/lo prima fiopra 1 8 refilano 2 & -così Mangano de ditta parfitióné *3j>3 5 2-come nella precedente: & fienga che io ponga altro effiempio circa que/lomodo particolare mene vengo al primo modo, con quefilo efifiempier de 5 figure. Et poniamo, che babbi da partire al primo modo , quello numero cioè 2303768720 per quefilo partitore cioè per 76297. prima mette- rai fiotto il partitore al numero che voi partire cominciando da man fii- niflra verfo man deflra de chi lege;ma perche la prima figura del parti- tor qual è 7 non entra nella prima del numero da efifier diuifio qual è 2 met ter ai el 7 fiotto alla feconda, cioè fiotto al 2 3 . perche fiel 7 non entra in 2 entrar à poi nel 2 3. Toi vedi quinte volte el 7 entra nel detto 23 & tr onerai che entrar a 3 volte , & avanzano 1. per tanto metterai 3 da parti oltra vna litica tirata alla fin deì numero che fi voi partire da man defira, & depennar ai el 7 & il 2 } & farai fiopra 2 che auanga , poi di- rai 3 fia 6 fanno i8,et fiopra fiora 20, dal qual fottrandone 18 reflano 3 depennar ai el 6 & il 20 & metterai fiopra 2 , cioè fiopra la nulla , poi dirai 2 fia 3 fanno 6 & 6 de 3 che è di fiopra non fi può [ottrare 6, de Ì J reflano 7 e T tengo vna defiena qual fiottrarai delle 2 foprapofle refla- ràl . "Poi dirai 3 fia 9 fanno 2 7, et 7 del 7 che è difiopra reflao , et tieni 2 defiene, quali fiottrarai dalle 7, che fono difiopra reflaranno 5 , poi dirai J fia 7 fanno 21 et 1 de 6 che è fiopra reflano j, et hai 2 defiene quali fate trami ' C, DeirArithrocrica trarai de o loco deile defcnc,ma non fi può, adonque intpr mudando vrut dcfena dirai a per andar al io, gli ne mancano 8 , & farai 8 foprala o cajfando ouer depenando effd o, & tieni vna dcfena , qual anchor fottra- rai dal 5 antecedente, refiaranno 4 & fopra il partitore gli faranno refta te queflefigure,cioi 1485, & farà finita la operai ione della prima vol- ta che entra el partitore nelle figure difopra pofle , Hora metterai fiotto vn altra volta il partitore cominciando inangi vna figura al contrario del atto offeruato nel multiplicar per fchachiero, onde metterò 76297 partitore , fiotto alle figure che non fumo caffate , ciofi fiotto a 14858, & poi cominciato a partire dicendo el 7 in t entra nulla & mettila o appreffoalj , che cra[il numero quotiente de l'altro partitore, et farà j o,et perche muldplicando il partitor con la o a figura per figura, ne vienfcmpre o, et fot trando anchor o delle figure che fono fopra reftano le medefme,per queflo fatta la o apprtffo al ditto f depenna raiil partitore fenga far altra fatica de multiplicar ne rtftar. Et fi ara fo sì fin à quefti a partitori come vedi di fiotto fin due parti acciò miglio pof ft comprendere eltnodo , ' wu •• •»*. \ s v» 4 ■ »••■}> 4 •. oì. %•> 1*8 1*8 , V- .» I .partitor pe pe * ft 5 $ ^^^^8710 l’I fi X * #87 io |$o * fi pe PS y tfipcjrf* Voi metterai la terga volta fiotto il detto partitore andando inangj v- na figura et fi trouara fiotto à quelle figure , come vedi di fiotto cioè a 148587, che non faranno depennate • 7 » -V. *4 # * pt pt rf fi % 9 o ttptX’ffiZ’fzo ■ , s y fi pc $ y y * *• y fi ? v 9 y i|o "Poi dirai el 7 in 1 4 entra vna volta, et ferini apprejfo alle altre 1 figu re del quotiente i ,che poi dirà 301. et auangano 7, depenna il 7 et il 1 4, elmetti fopra 7. poi feguirai dicendo 1 fia 6 fanno 6 fotratto de $ re (tono a et depennar ai il 6 et lo i, et farai fopra z, et poi 1 fia a fanno z Jottralo ..i-iat* j o 1 Libro Primo, 32 filtralo da 5 reflano 3, poi dirai 1 fia 9 fanno 9,et 9 de 8 non fi può ,9 d»\lrefianno 9 et depenna il 9 fatto et 18 dì fopr a,et metti fopr a 9 et ha uerai una defena impremudata, quale fot tra dal 3 antecedente reflano 2, poi dì+ai 1 fa q fanno q,etqueflo fottr araiiel 7 fopr apollo ,rcflarà o de- penna Iv no et l'altro 7 et metti fopr a la o et' batterai finito que/lo tergo partitor,et auangaranno fopr a 722 90 1 come vedi nella figura defcritta , Voi metti folto vn' altra volta ( qual farà la quarta voltanti partitore, et fi trouara folto a quelle 6 figure cioè a 72*901 ,fempre ponendolo inan 7j vna figura verfo man deftra come di fopr a diffi, et flara così come ve- di di folto , fi r fi- ii+ '' 9 % ilo fi X fi fi fi t 4 g r * 9 7**90 XXfifi+tfifi ?JfiXfifigfiXfi\ìoi\X rfifififiHfififi \ 3019 fi fi X* fi fi fi fi fifipffifififi | — — * fi?9?f9 fi fi 2 <9 ti fifiXX fi fi ? X 5I t fi fi fi fi jJj * Poi dirai el 7 in 72, che è di fopr a, entra 9 voltc,et metti 9 apprejfo al li 301 farà 3019,01 auangano 9: depenna elq, et il 72 et metti fopr a el 9 che auanga , et poi feguita multiplicando el9 del quotiente fiaeló farà 5 4, et dirai 4 de 2 non fi può,ct 4 de 12 reflano 8 . depenna el 6 et il a et metti fopr a 8 et hai 6 defene,quali fotratti dal 9 antecedente reflano 3 . Voi dirai 2 fia 9 fanno 1 8,et 8 de 9 refla 1 depenna el a et il 9. et met tifopra 1 et la defena che haueni fottra del 8, reflano 7. Toi dirai 9 fia 9 fanno il et 1 de o, non fi può, 1 de 10 reflano 9 depennar ai il 9. et la o et metti [opra 9 et tiene 9 defene,cioè 8 defene che fono nelli io, et la defena hnpremudata per non poter fottr ar 1 de o,et quefle 9 defene fottr arai del 1 antecedete et no fi può, però dirai impretnudado vna defena 9 de 11 re- flano i et depennar ai 1 et metter ai fopr a 2 , et hai vna defena,quale fot- tr arai de 7 antecedente reflano 6. Toi dir ar 7 fia 9 fanno 63 et elidei foprapoflo non fi può,impremuda vna defena et dirai el 3 de 1* reflano 9 depennar ai el 7 et il 2 , et metterai fopr a il 9 , et hauerai 7 defene, quali fottr arai de 9 reflaranno 2 , et così hauer affittito fin al quarto partitore et r operationeflarà così come vedi di folto, ebereflano di fopra 36 229 » che non fono depennati , Toi Dett'Arithmcticr y A 6 ■ x 3 * * X X X A . * *) * * Z X * X * •itf p? p; -r y p? y 8 fi X fi ttx fi *xxfi X x ff y y y y y ^ ^ * * * fi x x y * •fr.i »■-’• •*«*: :vn y6\A: Ì9^tW>?.p‘ . \i Y (T.tWi ÙtV \ Muiftfcjpt" .t. *i O I 9 % 5PL Si»* « : r iv . poi metterai Cotto il quinto partitore,quale in quefla Galea far a timo perche finirà fatto a Crltima figura del numero dacjjcr pM ^ franerai difopra quello auan^ctoè 3 6 %29° , « ** ' rfP ’ J „on X**^ ^ ^ v vX:- W.nV Cì . o. iW • ■ v*nrjtt i \j 3 6 Zittìi* X fi X fi * * * * X fi X fi fi fi fi 1 fi z X X tufi 7 2 9 P? * o.l 9 vc ■ k.6 VI t.*; iit j -<4 yi i * ’ * y y 7 i x t * * x A X X X X fi ******* zz*fi***** ZXfiXìfifiìXfi XfiXfiììì^* * fi X 9 * ? * X fi X X X X fi fi X ... y * Q IO » « «#*« ÌVIÌt>Ì3 <\ io»>1 «.5;V>9 .j. 7 iR_ *li5 Il'i ;0T“"- . ■ 1» V« ' j&jiibròPrrmoiT 3 3 To i dirai el 7 in 36 che hai difopra intrarebbe 5 volte ; ma perche tu dirai y fia 6 fanno 30, cidi fopra non haueraifc non 12, perche farà de- pennato il 6, et auangaij-f et qual tot 4 che fallita dirà 12 , et perche non fi potrà futtrar 30 de 1 2, dirai che non entrà fe non 4 volte, et auan S À, adoriqucmctti 4 appreffo alle altre del numero quct reme, et diradi ito 30194» eidepnmaraiclq, et il ì6-,ct metterai fopra 8, poi dirafyftn dk -fanno 2q.,evdirai qdez , non fi può iniprct// ridar ai Vna deferta , etdi- ràivgde. 1» rtjlattó ^depennarti H 6, et il i, et metter ahfopra 8 » et haut rai qdefene, quali fottrarai dal 8 antectdente,et reflaranno 5, poi dirai z fia q. fanno 8, et 8 dei non fipuò, 8 de vi refìanó 4 , et depennerai il difètto, et il 2 difopra, et farai fopra 8, et haucraivna deft'na : quale fot irrvrat dal 8 *m)kedente,tt rejlaranna 7, et caffataiilietto%,etfaraifiA pra 7. poi dirai 4 fia 9 fanno 3 6, et 6 de 9, che fonti difopra Velano 3, de- pena arai il 9 di fatto, et quello difopra, et metterai fopra il 3 , et hauerai 3 defenq, qqait f urar ai dal 4 antecedente, pt refi tramò, j , et dcpcrpuirai il 4,' rifarai fopra 1 , pei dirai finalmente qfiaj fanno z8,et8 de ò, non fi può 8, de io refiarw 2 . depennar ai il 7, et la o , et metterai fopra 1, et barrerai 3 defme,cioè 2 in 28, et quella che imprmiidajìi per non poter foli rati de nulla, et quefte 3 defene fottrarai del 3 antecedente della rud - la,etr cflar àjiulla, et depennarai il et farai fopra eff a o j et fin alni ente •rb«encr thè il detto 'partitore entrrrfà,nUnnmcro , che fruitole pa.trrc 30194 volte, et arrancar amo 57102 : quél infetterai fopra viti virgo, laouero lmea,et metterai fotta ri pannare, etflarà così 301 94. et effo rotto vuol fignificarc che fe el fuffe diuifa vna vnità in tante puffi, co me rappreferkà il partitore, quello chea {tinga ne farebbe tante,ciob delle l6z97 partile fi toj, di vna vnitàfde quell è del numero quoticnie, eJr così infederai de tuttidìfòtti; la prouà fdrafeome nella prema feflàpet irò ■iterai che la prona delnuròero, che fi vuol partire, cioè de 2303768720 farà I ,qtnA metterai dada parte finifira et fuperiore de vna crocetosì. 5 poi piglierai là prona dei partitóre, cioè de 76297 : qual farà 4 , i|4 & quejìa metterai dalla parte deflra fuperiore de ditta croce," pot~T\f‘ pigliar ai la proua del numero quotiate , qual è j o 1 94 ; qual farà 3 , & quefto metterai fotn &poìmultìpitcà,l'vno fia l'altro farà 1 z,& diqueflo prendila prona farà 5, poi piglia tanchor la proua del numero ■eheàUaii^kfrpra kfh Òdlen/tioi 'de 57104 r qua? farà 3 \'gr qùcfla ttg- giongi col detto y farà 8,' laproui del qual di 1; qual metti fotta alla pri~ Via che fi, 1 , prrclsf.qutjlc due prone fono eguali, concluderai che la ”ma pqrtnhne fi', giufta per quanto fipuò prouareper c/fa prona, ' Et fimilmbnc pcr^iù •fickràm ente operar potrai fare la proua pei eia X fenda partftbic fi come della pjrdfbtte ho fatto ì •l11t m v mw nu-iibi'V iow . r I Aoncr- DeU'Aritbiricdca «aì • i ‘Vi ' vV. &; w^W*AU«r Auucrtimento. h» : . o i H Uott S>J 0/4 anchora difcreto Lettore che volendo imparare fetida la vhtp IN voce del maeflrojludiando li libri di ^irithm etica, che hanno ordì ne de injlitutione , bifogna effercitare tanto ciafchaduna oper aliane , firn che fia ficuro mediante (furila fapernefitr vn altra fimile, et poi comin- ciar a fame de molto maggiori,et varie dalle prime, perche ( fi come dice el Vlìilofopho ) Ih abito s’acquifta per li atti esercitati , et quefto auifo ti farà vtilc non folamente in quefla difciplina , ma ancora in ciafcuri altra feientia et arte , fi come di/Ji nel trattato , del modo dell'imparar tutte le feienfie fcngalonghegga di tempo . Del partire per Danda, Cap. XVIII. L partire per Panda è molto vfitato a tempi noftri (pe- nalmente da merendanti, et da alcuni, che abborrifeono il partir per Galea, perche s'auedono più facilmente gli errori , che fi poffono far nel partire , nondimeno quefla elulione mi pare procedere più prcflo per opinione , che per certa feientia, ma acciò , che a eia fimo fia dato il ci* ho come egli piace . Troponerò , che hauefii da partire 57587/5, per 796, metterai mangi el partitore al numero , che fi deue partire , fi come fi fece nel par tire per colonna,percbc quefto modo è quafi in tutto fimile al partire per tefla oucro per colonna, fe non che per quefio fi parte per numeri grandi, ér li auangi per effer grandi fi reflano con penna, & nel partir per co- lonna l'auango fi trouaà mente per effer piccolo numero ; Hora procede rai come di folto nel detto effempio appare , ì 9 6 | S 7 S * 7 ? I- | B| ' *0 f ioè vederaì prima che il 796 , nòn intra nel et però andarai 7 9 5 l 5 7 f S 7 6 J % J. ) mangi vna figura verfo man deflra,et dirai il 795 in 5758 , entrar eb- be 8 vo!te;ma perche multiplicado poi el ditto 8 col partitore farà 6360, qual farebbe più cb'clfopr ad ango che è 5758 dirai che non entra 8 voi te: ma 7 volte, la qual cofa potrai prouare multipla Judo el numero quo tiente,cioè quello che ne viene della partitione col partitore finga feri - •* nere -1. !'A A Libro Primo. ■ 34 Vtrt numero alcuno, ma fiolamente comparare quello produtto con le figu re ebe fono di fioprafil che finrais'éga di/ comodo, ouero proverai il 7 prima figura del partitor quante volte entrar à nella prima figura ouer nelle pti me due figure del numero da effer partito , fi comeàn quefìa , che il 7 non ■entra in f ; ma ben in J7, 7 volteiperche effer iment andò alle ptime due figure delpartitore da man deftra verfio la fini/ira col multiplicarle per 8, eccederanno 57, cioè le due prime figure del numero da partire; ma mul tiplicandole per 7, non aggiongeranno al 5 7, come per figura vedrai qui- ui di fiotto eoe multiplicando 7 fia 79 j fanno 5 555 . • #' m. . - r pruno partitor 1 79? [575875 I 7 7 I 5 / 6 5 | — *— > 1 9 j X, 4 Ter tanto fottrarai ^565 5758,. thè fièno di f opra, e? rejlaran no 1 pj, & quello vuol dire cb’el 795 entra in 57/8 7 Wre, dr awan- 193 > al qual gli aggiungerai la figura ficguentetcioè el 7, /ani poi 1917 , come difiotto repli cando fiempre le figure precedenti, et 79.SIJ7J875I7 fiue oper ottoni per più chiara intei- :?-y. . \i| J 5 6 5 ligentia, poi dirai in quella fiecon- ■ 4* partitione el 7, «e/ f 9 */»rà due , 19-3 7 volte, perche ejferimcntando con le ... 1 due figure prime del partitor trono che non aggiùngono , cioè c&tf /àwo we ntr delle fbprapofìe, cioè trono che 2 fia 79 /ìm>o i$S,& di fiopta baite fli >9h chefionopiù , &fevolcJli efferimentare più ficur amente multi- plicarelìt tutto il partitore fia el numero, che ti penfi dovere entrare ; ma la più parte trotterai multiplicando le pr ime due figure del partitore fia el numero che prima entra, comi vedi quiuiripaflo . \< v y t il ihnriV òf 8 i:wm« .Ci ab ivi-. v>; 1.* *v Ut . « • «A v :jr 9 5 I 5 7 5 « 7 I 7 a 4 -#f- -A .«*«<. . ' 7 15 5 5 I “ ■ , • , 070» n ’■* 7^5 575875 7» I9J7. I |J 5 à 5 I 1590 -04 ,i> )>:. i.u. T '■ " liA 1 tuov\ vwv.v v. -.V 1 9 3 7 f 'rf- par- 3476 . . , ;n 2. partitore 15 9 o titagp,, 3180 . Wjtr.Y _ V ^ m A - ' J a 9 6 • Wu . • - iati» 7 2 Doue tu ÉT •fi ' DcU^tkhmttdca Dotte dirai ( 1 7, nel 19 entra due volte^ciamque multipli ca 2 fa 794 finn» ^590 5 quali potrai fottrar de 19J7 , &reflaratmo 347 , &r f* «ggfimgeratjsl ■6tfhe refatta del n /emiro da cjferdiuifo mettendo alle, figli ** thè aggiptigi dei numerò eh e fi. vuol dividere fesnpr e f attorno ponto per Segnarle, amo non ktmjbfvtu»rrn* volta, & far 4tma enti 3476, Et poi dirai el 7 in 14 entra 4 ìoltfì &'inttltifAua 4 fa 79? faran- no 3 180 ; quali potrai fynter de $4761 che fofio difopra,& rcjlxrcmno 396. onde batterai, che 795 partitore entra in 575876 724 vo/tc, <jr auangano z$6, cioè «ir batterai fini (ala. tua opcratione. Et così farai le finttu così picciole come grandi, auuertedo ftmpre quit- to entra la prima, figura delparti\ùro, cbe^jucìlaè. la maggior e indujìria che occorre così nel par tir per C^lcaycomc per Panda , Vfò dell! predetti modi di partire. Cap.t ts * 3C vi X * ^*1 • l \v * . V.V» ?<j~ b i'-i : t \ow«c oil 0,-^1 ow > ^/tuendo infegnato il modo di 'partir cdn diuerfe maniere Jf> parmi doucr proponete alciini queftioni,et qiirfsti folubili 4 per e/Jo partire, fi come bauemo ofjeruato neUi altri pr e [ cedenti del Rigonfino , acciò che di ogni atto fi poffa comprendere la fua utilità , Ter tanto comincieremo à dimofirare l'vfo del par tir e nelle trafibutathni demone tenelli Seguenti quefitì , i> > > ' Sotti 730 da L.yl'vno quanti D.venetiani correnti fanno da L.6 f. 4 farai li feudi 7*0 in £. multipla and oli per g. 140, cioè aggiùngi alti 750 vna nulla,& mukiplicapet 14 faranno g. 105000 .* quali parti per $. lZ4,:ioèper L.6 g.4 , cioè Sempre per la valuta de tanti g. quanti va le vna de quelle monete, che volemo far dentro nella moneta data, & ne venir anno D. 845, & g 96 . Et così farai le fimili , ' Et volendola prouare farai de D. correnti 846 g. 9 6 feudi da L. 7 multipli canda li D. 846 per 1 24 , cioè ogni propofta moneta fempre per tanti g. come vale, et aggiongili g. 96 , che auangorno, faranno fimilmen tehg 105000 , chefecero difopra, & perche de quefli g. ne voi far fot di panili per g. 140 , cioèper quanti g. vale lo fcudo,ouer quello che in- tendi fare, & tornarannodi feudi 750, come erano deprima, &■ quefla è la più ficura proua , quantunque fi poffa fumèa giova del 7 ouer del 9, co- me fi fece nel partir* \ flK* : l> Et fe ne fuffe propofioDi correnti 547, cioè da L. 6 g. 4: quanti cechi- fari) d a L. 8 g. ii“f vno : Multiplica li dettiD, 547 per g. 1 14 faranno g, 67828 : quali par- tirai ■■ . r- Libra fórno/ f 3 5 tirai far J. 171 , che. fono L.S $. 11 ne veniranuo cechini J94 auan'gano f.6o, et volendo farne prona ritorna li cechini in D. correnti, tir tornar anno li D. 547 , come fu propino . . Et fe fnJfepropoHo feudi 487/9 Milane fi , da L. $ /1 1 8 : quanti jfì.fannodaL.y flit vno t >r -o Moltìplica li fendi 487 per£ 118, chefonole £. y /. 18 faranno f. $7466» c//i quali aggongerai li fi 9 faranno fi. 5 7475 : p*r(i- raiper tanti fi quanti fanno le L.q f 18 , cioè 158 ne venir anno denari j<5j, dr auangaranno fi 12 1 , cioè £.6 / 1 . La prona farai mul tipheando li denari j6j per. 158, & aggiùngendoli fi. 12» , che auan- ~^o*no: faranno fi. i7qjs-r&‘-qtt*fli partendo per fi 18 neveniranno li feudi 487 /I 9 Milanefi , 'come fumo propojii , & cosi tmfmutarai ogni forte di moneta , 1 1 *■ *Anchora per del partire propofia la valuta di vno tutto, fi trotta la valuta della parte , effempio .<■ • LapeTja del pano Ioga bratta 48 va/c £.2 r y ,che vaierà bragjga vno . Tarti fempre el predo , cioè L. 115 per el numero delli braccia , cioè per 48, «e venir anno. L. 4 , dr auan?ano< fopra la Galea 2 j : ^na/i mul tiplicaper f. 20 neveniranno 460: quali parti fimilmente per 48 ne vedranno fi 9. etauan%ano 28 quali multiplica per d. 12, che fanno vno folio faranno 3 $d, dr quefii parti per el medefmo partitorne veni - ranno d.7 per tanto concluderai , che vaierà el bramito L. 4 f. 9 d. 7 Et volendo far la proua, dirai quanto montano bra^a 48 a £.4 fi. 9 d. 7 e/ bra^jo, & trouerai che vaieranno £,2 15, corno fn propofto > in queflo modo fi come nel trattato doppo el partir per colonna tnfegqqi , <&- ro/i franerai tutti li filmili per la fina conuerfiane , come vedi qui di fiotto in figura, >■ » > ' •' \ . 1 , . , • t l\>. ./vvhVtJKjiflftri . ■r.rtfh i, - %r 1 & *Vs .'j fSrtv.Uivun. :'-v ?’■ t)t 1*j (kivi t»v "i\-< la -".i % 'J £.+jrj ‘np>,r ;( > , u\ • v*« . • • » vi ; >..c ì; » 0 v^ò .V? r 0£ . . prona L. 2 4 .*/ *\ O -> -Hi* -O .li il iii ' j 1 2lif I.4 8 4 & 48' L. 4 • ' fi 9 d. . i 11 l i.1* -i «« ■ ■ ,o< 1 9 a 4 j 2 j a . « 8 4 6 I ® > . * M avji 1 • vntwc • Et dicendo/i braiga y 4 valeno L. 287 /^6 d.pthe vene el~brv?jp. farai le L. 287 /. 16 d. 9 in D.multiplicandole Lipcr f. lò, v&" alpro dotto giùngendo li fi. 16 & la forma moltiplicando per d. 12 , & a qne 1 7 /lo ’ DelTArithmètiòa fio fecondo produtto pungendo li denari 9 faranno d. 6908 r : quali par- tirai per librala 54, & ne veniranno d. 1279, tr attòrcano 15, cioè -j’ de vno d. quali d. . farai in foldi partendoli per 1», & faranno fi 106: quali far ai in L partendoli per ione venir anno f.6 d. 7 Et volendola prouar conuerf amente dirai quanto montanti' brenna 54 aL.q f.6 d.-j elbrag^o, & trotterai che montar anno le L. 287 filò d. 9, come fupropoflodìfopra, & come vedi qui difotto in operatone. • t v v jjj [\ '. . i. ì . .1 r.l _\ti. un ittbMf ivim 5 4 5 4 5 4 < f 5 6 ■ * '7 \ jòj rrttnhil < jp.5 1 > — — : - ;-r j TO' fi 24 J 7 * " " 'v ^ **V 1 7 /.J3 2 1 j , ib iiuo ■ 1 . . — . 1 I '.V,, >■.!!. *«<^ » , \Wr - L.i 87 fi 6 d.9 I35I16 I 2 I 3 9 3 y } 1 7 I 1 3 * * 9 • “ *V -f i . v*v»t.vii. :>» < * . Sm ì u .A , r.’> >r.^^ Vi^'.waV £/ «7 ro/fo f/jf auanga fopra li dinari , cioè /7 1 5 aggiùngerai alpìrodut- to fatto con li d.j , crtè olii d. 378, et. faranno d. 393 , et' poi li partirai per lì per farli in f, dr faranno fijt d.9, & qurfb / ammarai con ti fi 314 faranno fi^ó : quali faraiinL. et faranno L.lj fi ìò;\ quali gionte alle L.'tJO faranno L.z'èj filò d.9, ficomefùpropofto,fipo tcu4 anchora far laproua per elj, ouerper il 9 , dicendola prona del- ti B. 54SÌ 5 f qual fetta; poi piglia laproua del predo, cioè deL.yfló rtrj , J aqucjio modo dicendo de L. 5 è f , et 5 fa 6 fanno 30 , et de 30 •iì en6-fipM0l,&de8i'i>& ifia sfanno 5, & d.rp fanno \ì,& de I» è 5 quiflo moltiplicato fia el J de fopra feruato far a 25, e*r<fc 151-4: qual 4 gionto con la proua delti 1 5 c/;e auangorno fopra la par fi- ttone la qual prona è l /ara q, tir tanto far a anchor la proua del produtto cioè de L. 287 fi 16 d.9 la qual pigliar ai coti dicendo d. 28 è o. & de 7 è -Oiér <// f.t&è 2 ^-2 fia 5 fanno 10 & d.9 appreffo fanno 19 & de 1 <Lz proua fi come drfopra: & quefia proua quiui te ho pofio accio ti fa_ tisfaccia por mille prette^ Et dicendo/i la foma delformento vale L. 30 f.8 d.6 che vaieranno fia ra 3. vedi prima quanto vale ?/ fiaro. partirai prima L. 30 f. 8 d. 6 per 8 neveniranof..i,fj.$ d.o \-ettan- 8 I L. 3 o /. 8 d. 6 to vene el fiaro poi fummar ai 3 volte J 3 f.16 d. o-f- fi r& d.o ' i ;.i; .1 c Ét faranno L.ìi fi 8 d.%' . u.’V $ fi 16 d.o T ùi.\'ó:,A al' .-u a*",- ^y fitó' di o òt \i\ cVì.s^i '«_« -.1* L. 1 z £fbro Primo . 3 6 «•' l* 1 ' i ■— L. J o fi. 8 d. 6 Z.l l fi. i d. a ? j,*'1 » tl- « Ji T ' 1 •' ,3i iV V as. . 8 I 9 i f. 5 d.6 •l; > -tlVi': V'<. V j X « f- Q 4- Z -f Ouero multi plicarai prima le L. 30 fi % d.6 , cioè il predo del tutto per la porteti cioè per li flora j faranno L. 91 f. 5 d.6, et queflo par- tirai per li fiorai, che fanno ma foma,ne venir anno fimilmente L. il f.Sd.i qual rotto è la mila ; ma perche non hauemo ancbora par- lato de rotti lo laffarai così, per bora , Elpefo del j apone vale L.q f. 16 d.6 , che'yienla L. a pefo. parti L. 7 f. 16 d. 6 per io perche L. ro fanno vno pefo , et dirai el io in 7, entra o, et auangano 7 , quali farai in f. moltiplicandoli per 10 fa ranno f. 140, quali gionti con li f. 1 6 faranno f. 1 56. poi dir ai el io in 1 $6 entra ij volte , et avanzano 6, quali farai in d. multiplicandoli per I a, et faranno d. 72 , alli quali aggiùngerai li d. 6 faranno d. 78 » etquefli fimilmente partirai per 10 ne venir anno d. 7, et auangaranno 8 che fono fi che dirai che vaierà la L. a pefo f. 15 d. 7 -*„■ come ve di difotto, et così fdrai in fintili così pefi come mifttre et monete , io I L. 7 fi 1 6 d. 6 la L. a pefo | vale fi 1 j d. 7 Rragga $3 v aleno L.iy6 f. 16 d.6, che vaieranno bragia 13, Facendo le L.aqó.f 16 d.6 in dinari, & poi partendoli per 5 } braga ne venir anuo tanti d.quanti vale vno brago per leprecedenti regole , & poi quelli multiplicandoli per li braga 3 3 cioè per tomi braga,come vo- glio faper la fua valuta sì hauera la folutioncjlel que fitto, ma perche tan to fura a moltiplicar prima , & poi partir quanto a partir prima , & poi multiplicar, per maggior commodita di poter fchiuar il rotto che ne vene della prima partitione fiempre dotterai multiplicar leL. 27 6 fi 1 6 d. 6 cioè il precio della robba. fatto in d.fegli far ano d.per li braga 13 ouer qualunque altra mifura'o ptfi 0 'numero che voi fapere , & poi par- tendo per el fino tutto qual in'quefìa è braga 5 3 nevemra el precio dei- li braga 3 } onero di quella cofa che cercafli parlando generalmente, adon que facendo L.iqó fi 16 d.6 in d. fanno d. 664.3 8 quali parti per li brag^ ga 53 ne veneranno d i 1 5 3 ,&auangaranno zg,ch&fono -yf devnod. quali facendoli in fi. & poi in E. •* 1I4 neueniranm L.if.qd.s-\\ v y y f , ' T^o tanto naie vno brago quali mul * % g g fjf tìplicà per braga 23 ne veni- fi fi 4 f 8 iiJJL r iranno L. no fi 2 d. 7; ma piu ■ * Z Z X I O | 4 à. jf " commoda far a à multiplicar pri ' * •■é ■’1- 5 f ò f DeirAiidirtttìdil ma li di 66438 peni z) , & far amai. 15-28074 » ti" qnefa produt- to partendo per braghi 53 , ne ventanno A , : quali facen - tendo in-fiet poi ini. m-vonir anno L. 120 f. 2 d. 7 -jj » ctcosìofjer- uarai fintpre,ctsh infranga, come in pe fi, etmifiredi qualunque forte et in ognhfaéfefeiuatido la regola gener ale tet qurjìe cofe faranno replica- te nella regola del 3. ma fèr ràfie ragiomcòejinliAraP^ttfoi/e demo fora- te-, la prona farai cvme.de fitto cioè muliiplka i. lZQ.f.% di 7. -fi 5 3 , <& faranno tante L. quante fauna ! i 4. J j 2 &o?4 *0*»^ vedi in figura , L. (tfM ! . Ò)+ ? vi 01 \> ku < u'*Ot * . OliftW: a iws.'Vtv’.b ’kV.* » ; ...» ' , . V t 8 1*0 5-3 5 3 M 5 3 . ì .1 : : 7.'. 7 * « •: { B* 'H ■' B ** L"i I \i^ Ò .k ÒT i\ ^ .1 » a 6 tìi J, 7 .»&>■<«> » tt ,0 i.YU-,1 ,7 5- j s\i oì>-3 % «o*>i jmv.m 360 006 L. 6366.fi ,ip d, 6 3 6 .crT I 19 Hi 4 ® > I I ì i d. 4 1 m « ,t| n\ Wj\ ii'.j & 115280714 ■i-.. * J ò ..61 r 11 |o|I 2 7 3 3 I 9«‘<S , ^ L. 6 3 6 6 \ fi. ì 9 d. 6 Uncbora che per le vie fin bora infiggete poti fi poffa perfettamente dar folntione alle pr attiche mcrcantefcbejin che 00 afta. dcmoflrato l' algo rifmo de rotti con la regola del 3 in tutti li moditcoh.e h. turai al fio luogo nondimeno mediante fi regole date potrai fare molle operationi & pra- tiche d>e faranno vtilifftmcyfi come le pajfate,etla prattulfadiVenctiafi . qnale procede la piu parte a icntcnara,et migliar a come difillo intenderai . X^jyattiche di far conti in Vene ti a a ceritene ra \ & migliara . Cap. XX. E voltili fdpcre quanto v aleno L. 2765 4C LaTtd d D- 23’ e/ 109. . Multipli CU leL.27óy( quali fono f^da ongc il per , L. \fW i(,fifècip cioè per fi^zi Ut V finta tipo 63595 , quali parti per zoo tagliando fi pucyUìmc pggtr.c Qaman "TXTroBr d£Ìfia' H vaniranno D. 635,0 [fi dtu ugnate finito 9yquah rHultiplicaper fi uz^Jterche vno XWfilWWt* A K?4> & fa- iUjbro Primola 3 7 & faranno fi 11780 , de quali fimilmcnte ne tqgfiaw if vlfirnefigp fe, qt hquerai da man finiflra f 11 7 , che fono L. 5 f. 17» CX auanza- no io da man delira quali multi plica per D. 12 faranno 960 fagliane lf dtte yltme figure à modo detto Jr onerai d. 9 da man fin/f rapide fanelli: dirai che vaieranno D.ógs L. J f.l 7 d. 9 jf* et anatrgarjjwo dama 0 dcflra, ebe fono parti devno d. come intenderai poi meglio noi febi/far de rotti.et fe occorrere avoler faper, quapfo paleranno depcucre a ragion deD.g 1 cl 100 abhatemlo de farro. L. J per 1 op. T \ "Prima c maral la tana dicendo fe L. 100 reflano ffi netto L.97, q*d¥ to reflarannu £.1385, onde per la precederne regola multiplicarai 97 fi* 138 ii & faranno 13434$ ,‘qualijrartiper 100 ajfmodp della preff dente ne y coiranno L. 1 j 4.3 , & il rotto feglic meno della miti <jUl par- titore, filafeia , ninfe gli è più dieffa mito fi mette per v<ia f. integra , adonque diremo lafciando il rotto , qual} 45 che rpfta neffo fi. 1343. ToLdirai come nella precedente, fe L. 190 valeno p. 32 che vale- - ranno Lire 1343 multiplica le Lire 1343 per £>. ja faranno D. 42976 ; quali parti per 1 00 a/ modo d?£/o venir anno D. 429 avanzano 7 6 , quali puoj far in graffi m/ltiplicandoli per 1 4, owero inf. moltiplicandoli per f.2jr che fono L.fifi* v fiuta del t D. corrente fe- nct/ano.bora multiplica per fi 114 faranno 9424 , quali fimilmcnte pqr tiraiper 100 ne peneranno/. pf auanymo 24 , quali multiplica pur tu bagarini faranno 2^8 , partirai per iqo, ne venir amo hagatini 2, rt auangaranno 88 , fi che dirai, che voleranno fì. *19 /. 76 d. t, -etqnefip rapi fòteme vedi difotto imqperptione,, r..a J.,. >^;7 '■ / .»> !*«>• ^U*4 - «r^.l -ilwi • . . » _l 1 . \ ' ' :.tìJ » «* zi ■ 9 7 9 5 <?“.! ' > ; 1 3 4 4 5 4 fi 8 fi Il ” 4 029 -vj 4 db 4* Jiul' 4VX'AMM\ttS2^2Ì6M.M0 1 V .'.'A'.M * 1 . ' ■ i). 4 t 6 I 7 ,6 ;i t» »viw\ 5 vhoui Vu u.i'wu 1 1 ,ov\>\v\’'« o 'jj 2 : r ^ y'à'C ;r>t\ ' • . • |7 4 4 H* . . >• 6 8 ' *>• * t 9 fi 9 4 </• 4 G «v .'it'f 001 .1 ‘A, < 1 «ooj w. Ì\:t> ì\r. .i.w'» fcibwl iìvUi -. à joiV» > ; *"■ .&&■> 4] -'«fh» i • . I À- « 7. V «V~* - x«c* • -V . ' D a tt'èv • ; 1 i vAq • i 1 :.*>»•. , •. . <A<- . ■ , “* . 4 ì ® *■ £t dicendo/ quanto voleranno L. 17.80 dc^enzcria D. 24 el 100, abbattendo de tarra JL.J fot .et de W^ètar/t patàffi 2 .far DeH'Arithmetica 100, la qual alcuna volta fi detrahe in renetta il tanto per ìoo, Tr 'tmavederai quanto refix di netto fenga tarr addicendo /f 100 [ 9 ’ | che reflaranno L. 1780 multiplica £. 1 780 per 93 faranno £.16)540, quali partiptr 100 al modo difopra effettuato ne venivamo £.1655 , & au andranno 40 : quali l.tfciavai per non aggiùngere alla miti del parti- tore fecondo il coftume di r enetia, Voi dirai fe L. 100 | valeno D 24 ,| che vaieranno L. 165 5. multiplica le £. 165 5 , per 24 , & parti clpro- dutto per 100 , neveniranno D.397, & auangaranno to : quali fine Fi in fi. al modo della precedente : ma perche bifogna anchora cavar la mc(J(taria, lo taf dar ai così , poi dirai fe D. 100 reflaranno D.98 cauan do la meffetaria che reflaranno D. 3 9 7 “5 ritornar ai il numero delliD. come erainangi eh' elfuffe partito per 100, &flaràcosì 39720, & que fio multtplicarai per li D. 98, ne venirannoD. 3892560 ; quali parti- retti per 100 feclfuffeil numero prima partito per 100; ma perche fu ritornato al primo flato, bifogna partirlo f> \oofia ìoo, che fono iocoo, tagliandone 4 figure da man iefira, & ne venir anno D. 389 , & auan- Tf ranno da man deflra a 560 : quali multiplicarai per fi. 124, chefir vno D. conente faranno ; fi. 3 17440.' quali partirai fimilmente per 10000, neveniranno f. 3 r, & auangaranno 74+0 : quali multipli - caraiper D. M, & partirai per et medefmo partitole venir anne d. 8 » & auangano 9 2S0 , cioè per tanto dirai cheli detti generi de tratta la tarra &> meffetaria vaieranno D. 3 8 9 f. 31 d. 8, tKm d* Coù farai le fimili . Et fe elfuffe detto el modelli garof oli vale D. 36, & il 100 delti fufli vale D. 1 8, che vaieranno £. 1685, che tien de fufli £.18» per loodb- batendo de tarra del tuitoL.fi per ìoo, & de meffettaria D.2 per 100. Trima caua la tarra del tutto, dicendo fe L: 1 00 reftano nette £.97 , che reflaranno L. 168 multiplica , & parti fecondo itmodo datto nelle f recedenti, et trouer ai che reflaranno fenga tarra L. 163Ì4 t-2i lafciail rotto,et poi dirai feL. 100 tengono de fufli £.18, che teniranuo L.\6 34 multiplica, & parti, et trouarai che tenir anno de fitfli L. 294 & qurfìefottrarai de L. 1634 , & reflaranno L. 1339 per far tale fottratione dirai ìldco non fi può , 1 1 per andar al 1 00 che è fotto la li ne a, cioè al partitore gli ne mancano ii,& hai vno integro, qualgiongi 1 si 4 farà 5 , che faranno I.295 da fottrar delle L. 1634 ,& reflara» no £.1339 r'J & tante L. faranno ligarofoli , Hora vedi quanto vale noL. 1339 7U a ragion de D 36 elioo, dicendo fe L. 100 valeno D. 36, che vaieranno £.* 339 r*’ multiplica L. 1339 per 100, & giongili Si, età far quatto metti 8 8 appreffo articolarmente a 1 3 3 9 farà 133988 & quefio multiplica per 36 faranno 4823568 , & queflo parti per 1 cooo per effergli il rotto ne ventanno D. 48* , rUol* & quefio ferva trj' Xibfó Pl-inflO . 3 8 poi vedi manto y>4lpannaL<i94 £ de fufli a DfiZ el ioo, & per far aueflo conffneuitì aggiùngi articolarmente (fucili .1 a che anangorno nel- la partitioucjtlle J..29 '4 fard 19411;. quali multiplicA per 1 8 fot anno 5 a 94 1 6. & qutfii fintùlmctc partt'praiper toornu Itiplicato per 100, cioè per 10000 per rifletto del rotto , come diffi aneborgiifopra, ne venir anno D. 5 a , - Cn- tanti D. -paleranno le Z— 2.94 ,-ii de fujli , bora firn - ma infìewequeftc due v aiate , cioè li D. 5*17$^ ion li D. 482 rUt|- , che [opra feruafli far anno D. 5 j 5 4?!t fumtnando il rutto a modo de in 'tegrì,dr Iettando fuor a el partitore , V tale fumma de rutti fard £>• I . ,“!!«■ d“ aggiunger fottìi altri , come è fatto «. Hora cauarai la meffetaria dicendo fe Et] l óo refiano D. 98 : quanti refLxranno D. 5 3 5 » & ? operar facilmenteaggiògi articolarmente le 4 figure del rotto odi £>. J j J ritornardncf.yi<f-i9%4r:'Jualimultiflicaraiper Rifaranno 524591432 „• partirai .per 100 multiplicato per el partitor del rotto, cioè 1 000000. adunque per pur t • rio ne taglia rai 6 figure , da man dcflra , &• he venir anno- D, J24 cr per faper quanti groffi farà effo rotto multiplicarai ti nume ro difopra,cioè l'auango per 24 groffi che fanno vno D. faranno 1423» 8fd>8 , df queflo partirai per ri medefmo partitor tagliandole 6 figure com&fcjlidifopra , ne vaniranno graffi 14, & allungar anno 218 f<S%‘; quali multiplicarai per 32 piccoli, che fanno vno graffo far anno piccoli 6987776, de quali tagliar ai 6 figure a modo detto £ ne Venir anno piccoli 6, & auangara quello rotto 987776 per canta dirai che le ditte L. 1685 degarofuli, & fujli detrai 100000% & faarra ty.ipeffif aria vaieranno D. J2 4grcffi (4 piccoli 6 987776 3%* co*ì farai le fintili Teoooo o - Ma de più difficili non ne pongo fin che faremo gionti alla rego- la del 3 dappo-l Algoritmo de rotti, & altre cofezperche allora potrai ver fare in ogni negotio mercanterò fenga impedimento, & per più facile in tclligentia bo.pojto quiui la operai ione di quefla ragione , di parte in parte ù ^ ^ ^ % q | & -AoìVvJj fe 100 97 1 * «ro-.** • 1795'* iw>a '• . x 3:0 7 a • • ;<■ * jy : v. O 0» $1 6y .0001 \> {s .'ir.6 1 4 ■ 4.^3 39> •dògarofióU- — oco: \ 1 nette Li . *1 634 \4'^AaW- fyffio ìCt 194! Il .1 ; . . -, i-it*.. ’ ìt <«.: «rii Vili' l -tìq i v.'xinutyA ÌjVicOìViVioVjom 1 i>cr X a too , '• ’vJu* w , ' . _ / : j'-: \ * * 100 J ù. 18 !• i 94 i t iòo J £/) 6 Ti $ ’l :c;t, 100 1 | - il ■• ico | i : ** ./*y& 1,4 V - -, • -, ■ [ . t-V ioodé iti 2 $6 loooo 80)9:: 3 *•5)4 I 1 46»! 954' '■ ■ ' ■»»“ • • j- ’ “« ' ^ ••‘vrt\tT ■ ■ ■•' t ■ ( ■'! UfitfiivdkhoD. $ » ^fTr<? ■ " D. 481 1 J?<18 ” D. 5*l94i* If»p84 ietrattion ddtìd rhtjfetafia lotojpgf « ■ ■■■ -» 1 0000 * d. jr.T 5 i»«, « -«Iti. ? ; ( -n .v..v-<aJbsùjj»wii. •. £.1 TW’ • 1 ■> ; , r> .v.y-11.1 • > > >■ ; t.) <• I * 1 \.<i \UU *' » hi» VHS 10Ó0OÒO «s.VnH .r < $452984 itj.rq?; • u>s. \ r . 9$ jSjìl fc'.'v; 4 V V . 1 - >' ' “ f 41814871 D M “rtT fcUOT ’■ > i/U>\ ' > > — ._ moktara detrattala torta &mcffc ; 8 B? fi 4 59245* ÌHr« fi. 5 14 grotft 14 piccoli 6 1* , - V. : r '"»«£»■. .» , vVSi.’O \ uiW'i t tir. sf. >.* >'■ .*•* jb >80 1 . À »4 ■ i.„ itfcai. X 4 *3697*8 1184864 '■■'■'-1 '• • ■ *S T 1 * 2 SJ òiiWn^ 4 1 it .«'tsv.Hits,’. groffi r-fl *18568 , :\va> V ino Mjys-i ^-.sitiSiNùVs ^ ninnai Hi . ocoòaYI 4367)6 :. .••«•- 655104 :s iv\i*j t ‘nl^.waiV. rf \u wirv.- ,• •. 1 ■ ' '•**» piccoli 6 | 9 8 7 7 7 6 -1 ■- i ** K C •tu, ‘ ‘ Cagioni di migliata “ |«,° ‘ * * Slmilmente farai le r abortirle migliora , come feci figffe detto : quanto vaieranno L\ 9785. devlfO-a:D. *j el 1000. abbattendo detona l.i$ per 1000? "Prima catta la tana dicalo fe L. 1000 recano di detto X. 98 9 che refiaranno L. 9785 multiplica £.9785 per 9 85 faranno I.9638 13 $, CSr jtiefle parti per 1000 4 mododetto,cioè tagliandone 3 figure perle j nulle A LìbttyPrimòi (( 30 1tkUì*tt&'W>liranno L.pójS , & anangaranno 11$ : quali lafcntrakam dèrrp'eteffh* mancho che la mità del partitore , laqual mitd è 5 oo» flora dirvi fe rooo vale no D.ZJ f che valer aatto 96 ji , di netto mal iiptica; & parti fecondo la regola , «e venimmo D. 22 1 , & auangano <574: quali multipliearaìper groffi 34, &■ partirai per el medefmo pa» thore,ne venir anno graffi 16, Cr a Hangar anno 176 : quali multipÙca- taiper $2 piccoli, che fanno vngroffo, & partirai per el medefmopar titore,ne venir anno piccoli 5 *u per tanto dirai che vaieranno el detta olio detratta la forra D.2 2 1 . 1000 grofi 16 piccoli 5 et così farai ItfimiUóokie vedi qni in figurai ione con bremtà . ioo* I o o o | 5 8 5I9785 i 00 o|n |? ^ 3 8 jp 8 y I • ’ - . 1 I o«> ai* i\. ' 4 « 9 1 f 0 ■ 78280 0 < ò* 8 è O 6 5 O r ; 28914 I 9 2 7 6 4 ^ ? j> 4 3 8| 2 Z 5 D. 2 2 I JS. <'■'* °<tzlhs:d?.' 474 » 4 8*>< . • • 4 i 6 } £ f 5 4 « 8 ?> ? I i Wq.Oì u i.t In I t- i «..*,1.0. A ■ A. IM4)i lU-VU A 6 9 6 1 3 4 « grò fi t 6 vaieranno D. ni groffi 16 piccoli^ 4?* - f ) t 1 ' ' - . 1000 : : ? I - 8 i » * •’»»** • f 77 ^ ? » 4 i -f 2 3 i ? 4 '♦ F7 4 Walwftjl vS o 1 5 f UAttU-'V*. 3 5 * j‘2 8 y\6 3 2 Et fic ti fuffi dimandato el 1000 del fapone vale D: 27 , xhevaleràn noL.976} abbatendo de tana L. 14 per 1000, &di meffetaria D. a per 160. Cattanti primula latra dicendo fe L. 1000 reflanno L.9%6 di netta thè reflar anno Z.9 765 i muUiphca, Orbarti fecondo la regola , Cir ne VWwVawo £..962 8, <#• auangaranno 290 : ynali lafciarai por da ragia» detta difopra . poi dirai fe L. 1000 valevo D. 17 , che vaieranno L. $6*8 nette nnltiplica , sparii fecondo la regola , & ne venir anno D. 2*p, er DeirÀruhroetlca 4<o, & auanraranno 95 6 , li quali metterai iufietne , come tram 64 prima per poter cauar la meffetaria , come fi fece difopra nclli garofoli , «r m, duplicar ai per 9», fd^nno 25475688 , & qucfto. partir ai per loo multiplicato per . 1000 per ricetto del rotto : qu4. p.artjtor fard 100000 ,ne verteranno D. 254 , ^ ai^aranno 15088, *»«*%• p/icrrti per 24 groffi, & ilprodutto partirai per il medefmo punito?** & ne "patiranno grofli 18» ànaniaranno 16512, qudfcmMluplica- rai per piccoli n,& ilprodutto partirai perii medtfmo partitore, & ne venir anno piccoli auanraranno. 7 ^pertanto dirai , ebed detto fapone de tratta la terra , & la mefjcpna volerà D. 2,54, grtj. n 181 piccoli 5 - **-- & così far ai le finuli . 9 * J IOOOOO I j r o.l 00 ~ T f I l * X 001 fe L. IOOO | reftanno L.9%6 \ 91 & ì ù 9 1000 I *7 1 9 6 28 9 86 £. *7 f J V « io o f 7 58590^» 6 7 3 9 6 78120 , ò o I ft* 5 6 TTTT — 7 4 C X. 9628I290 98 o_ 2079648 *339604 D.i 5 4 75688 rt 302752 1 5 M76 grofjì 1 8 l 6 5»* 3 2 £/ 1 000 dell' elio grojfo vale D.9el 1 000, del olio fott Ac vale D. 1 6 , c/»e vaieranno L.M'c'o, ebetien degroj foL. 16 j per jooo* J*r4J k me/^z nel feparar li ga- refoli dalli fufii, ma qui fio è d« miglia- ri, pi rò dirai fe L. 1 000 1 tien degrof- fo L. 165 ,ch?teniranno Z..8680, mol- tiplica,^ parti fecondo la regola tro- uerai,che tener anno di grojfo L. 143 2 Squali fottrarai de L. 8680 per tro uar quante L. fono defittile , & refia- ranno £.7247 f-.Horavedi quanto _ vale el grojfo a V.9 tlmiarv,& troue . 1 rat, che vaieranno D. 12, 44*9 poi vedi quanto vale el fonile a D. 16 elPiiaro,& troverai, thcTjóóò. voleranno D«H5 4**4 quali fumtna con C amontar del groffo,& tal fummo fora D. 1 28 jooo gr. zqpiccioli 16 i<5£4 & così farai le fintili, iet di quefie queJUoni ne metterò alcuni più j 000 fiottili doppo la introduttionc delti rotti, & della regolatici 3>p*t cbeqiujtc prefittiti hopojle p dimofirar alquato C ufo del pi imo algorifmo . 3 3C24± 49 5 *6 piccoli 5 384* Libro Primo . 40 DcIIi numeri rotti ouero frattione naturali. Cap. XXI. Vant urtane fi poffa trattare delle progreffioni , & radici doppi ) i ufo del partire,nondimeno,acciocbc più intiera- mente fi poffino infognate, & mettere in vfo meglio ho giudicato ejfore a trattare prima delli numeri rotti, & lo ro iAlgorifmo,fon%a el quale non fi può liberamente pro- cedere nelle ragioni, fi come difopra ho detto, per tanto prima diremo che cofa fia rotto, & in qual modo fi rapprefentino,per tan- to fiarai attenta alle cofe,cbe fediranno. Che colà fia rotto . E’ Da fapere che le "unità del numero in aflratto non fi poffa di uidere, ma perche il numero numerato,& applicato alle cofe materiali con- ila de -unità materiali, che fono della fpecie della quantità continua, quefle talivnità fono diuifibili non filamento in molte parti per [ ufo, & corn- rnodità del mondo , ma ancora in infinito,come prona u {rifiorite nel primo de celo & mando , & in altri luoghi . Terche diremo, che una libra è diuifibile in u onge,et uri onga è diui filile in quarti de onga . Et così vna marcila d'oro è diuifibile in 8 onge, & uri unga in 24 dinari , & uno dinaro in 2qgrani,perche fompre fono nella quantità continua mentre che fono applicate a qualche materia, <ù" fpecialmcnte à quella che confila de parti fimilari, perche effendo effe uni- tà compofle de parti diffmilari , non patiffe effa unità conueniente diui- fione, come farebbe un' huomo che conila di anima, & corpo, abfurdo fa- rebbe a dire la mila ne il tergo ne il quarto di un' huomo, perche eglie indi uiduo, & piu abfurdo anebora farebbe chi diceffela mila ouer terga par tei un' angelo, perche la loro natura totalmente è indiuidua , ma far a ben conueniente augi neceffario nelli difeorfi delle ragioni a dire la di una libra di uno ducato d'uno pefo di uno campo di terra , <£r finalmente di qualunque filmile materiale unita , & perche el numero fi augmenta in infinito, così quelle tali unita materiali fo diuideno in infinito fecondo el medefmo ordine,come farebbe chi numer affé 1 j ì 4 5 6 7 8 9 10 crefcendo così minuendo la unita fi dira -A- -p r T Ti così in infinito, per tanto fappia che il numero pollo fopra la Luca è chia- mato numeratore, & il numero fiotto la uirgola e chiamato denominato- le » & figoifica che una unita è diuifa in tante parti quante fono uni- Ddfórfflimètìcà ri di cffo denominatore come v no quinto , , che pósi fi jtrìuc Jy v^l dir* che la imita è diuifa in $ parti, de quali , quella polla fopra la virgola è vna,& così delle altre , & quefle tali par tifone dette aliquote onero mul tiplicatiuc , perche pigliandole tante volte quantevnita fono nel denomi- natore confUtui [fé il fuo tutto , come fe piglia ffe 5 volte vno quinto fora 5 quinti cioè quella vrrrtà , che prima fu diuifa . Ma pcrclse effa prima vnità può batter anebora-mokt parti aliqttot e> come el ditto 5 può batter tutti li numeri da 1 final q\dhe faranno parti de ditto $ cioè 2 niuntfjg quinti, & 4 quinti , che fono parti de i quejbtaii parti fono chiamate - non aliquote , onero aggregatine , crfi fcrmenotxrsì -f- , perche prefe alcune volle,ouervrton aggiongotto al fu» I ulto enervi auonx^nm, <jr quefle parti fi mettalo anchora loro fopra vnavtrgola fattola qua- le l- poflo il numero della diuiftone del fuo tutto, come qurflo rotto dice delle tredeci parti, nettali fiidit^o qwtUtAtmguelle di fopra fono 7 6 fe dicono anchora 7 ter'gjdecimi , & così in infinito ,&lda fapere » che quanto alle farti aliquote dette difopra,che ciafcheduna parte è mai more de labro-quando ha minore denominationè, & ‘è minore parte quo- ta che ha maggiore denominatane , come Euclide afferma nella 4 corffrrn ne fatrtntia del 7. libro come i mhtor parte, ebe~~fertbe 'ha gìor dcn&nnnatìone , perche quanto il tutto farà dtatfoinmiigghryrtifit- rt dt parti, ridftbcdana de quelle parti fora minore, & m qnanto man- cho parti farà diuifo ciafcheduna de quellc;faràrmaggiore. fìntmpvnafli* Ira diuifa hi 20 parti che ciafcheduna parte fi chiame foldo. Et qtifflo è maggiore , che quando l diuifa in 140 parti che ciafchedima di quelle fi chiama-dln'ariydcHi quali 1 2 fanno vno foldoi& tanto è tofana aìafcbedu ita parte aliquota dalla fita integra vnita per diuiftone, quanto i lontano il fio denominatore da la ìfteffa -vnita per rmgmentatmttetperche ctafehn no numero ì in tale ordine dalla vnità, quanta partii 1 ifttjfa vanadi rjfo numero, per la 6 commune fententia del 7 di Euclide ,tomc 8 ì / ottano numero dalla vnità perche effa vnità è battana parte di effò 8. onde auuienc queflo mirabile effetto, che la vnita è media ira due to/v infinite luna infinita per augmentatione , come è il numero , &l- àltra è infinita per diuiftone , & ciàfdtedum de quefle due cofe nifi-- nite hanno principio dalla vnità , & quindi fi può probabilme»tei#gtiHfér contrai peripatetici, chevoleno, chevgni cofa, che hahhihauutv pria ctpio habbia anchora fmcja quale fpecùlationeè degnarli ejfcr ebeti còifi- inaia ,pn (he. ritiene in, f e vno vrfligio delle cefi- dittine , fi 'tome piu ampiamente premeremo nel libro delle fimilitudini naturali , &~matbe- matici,the fono fcala alle cult emplatiotti della f ultima Deità . I ' . • ' * • * . V. » * r,;j,ifc|iq PppJiO Q 41 c ? Dclli atti del algorifino de rotti principali . L'^lgórifìno'de rotti ha 6 óp&atìom principati ouero diti operatiti , 1 cioè fchijfaxi JutnMnrffottrare multipliéarejiartire, & infilzare, de quali per ordine tran aremo . Del fchiflarc de rotti . Gap. XXII. 7 * •*v? • • * s »» ... ' A\ . LLL* ^ a i,«‘l ./l Chijfare de rotti non è altro , che trottare li minimi termi- ti di vna propor tiotie, che habhino doi numeri fra loro perla decimaterga dijjinitione del feptim» libro di Eu- clide,otte dice. termini, ouero radici fono detti, quellì,de quali è imponìbile a darne de minori nella medi [ma proportene , ouero nel ajfignar qual parte fia el minor numero del maggior,perche ancora non bauemo trattato de proporzioni, come per effempio,li minimi numeri, che rapprefentino,la miti fono i,et a,& limitimi numeri , che rapprefcntino,la terga parte ouno vnoter- gpfono l,& et del quarto i,& 4 per Ip parti aliquote,& per le par- ti non aliquote li minimi numeri, che rapprefentino li doi tergi fono z,et 3 t&H 3 quarti fono j, & qma quelli poi, che non fono minimi, fono ìnfi nili,che reppnfentano vnà ijlejfa parte ouero parti, fi come della mità fo - + -r & così to infinito, che ciaf chuno numeratore entra nel fuo /ottopojto ae nominatore due volte, & cos'ideili doi tergi fono -i. ~4~ ri* J£ & cos'idi ciafchaduna parte fi pojfono trouare injmitt nume- ri,che rapprefentino e/fa parte ouero parti,che fta il minore del mastio- • re,fe ancora il minor numero, non farà parte ouero parti del martiorc , chefipoffino contrahere a minori numeriche effi non Jono, quelli jflcjn fj. -•»* rano li mintmi.et fono detti numeri cotta feprimi nella fetiima difjinuione - delfettimo di Euclidea fono numerati dalla fola vtità, come fono quelli .*}>& 7 >cheneJfuno numero li può numerare ma folamcnte la vtita ir quejli non fi pojfono ridure a minimi termini perla prima del fettimo di Euclide. ma quando alcuno numeri può numerare I vno, & C altro fono numeri infi em e componi ouero commuticamenti come farrebe 24 et 16 che Ci può numerare l'vno,& l altro, che nel maggiore entra ? Volte et nel minor e entra 1 volte.ondc fi dira,che 1 6 fono li, * tenti del *4 !*• quifli tali fi pojfono ridurre a Minimi termini trouando il mastior nume rot che li numeri per la fecondarci fettimo di Euclide . ■ £ In DtS^fchfttótka In jiumeriouer parti li i numeri com-- 'O'i Gap. XXI IL \w T.r tanto volendo Vtouare cbmajftm numero, che «umori doi min eri compoflì ,el'qùdll‘ chiatfdtó'dct prattici fchijfttore, onero depreffbre dalla fimilit udine del fihif- frire, perche fi come alcune materie febiffateò noi dire compreffe occupano minor luogo fcruando la ifleffa yuan _ tìtà,prfo,come b la frongaetU lana,& il bombatosi dai numeri febiffati fi reducano alti minimi termini , che occupano e l mi- nimo loco feruat a la medefina parte, fi cotne li fuddettidoi numeri 1 6, & 24,cbc il minore b lì-*- del maggior c,& così 2 fono li iterai de J, niente dimeno forto maggiori numeri t6?& *4> che non fino 1, & bora ve- nendo all òpnat ione dico, fe voltili fchiffare quefto roto cioè prima . trotta ti fchiffatofe d quello motto ciòb firnprt parti il denomh)atorc,cioc rluurhcro che è fitto la virgola per el nominatore , che da alcuni b ancor a chiamato numeratore, & quello chi ne viene de tale pontone non ti cura re , ma filamente de quello che auanga , per el qual partirai el partitore della antecedente partitione,& con quello ajungo ancora partir, ai il no- no partitore, & così feguirai fiti,cbe non aumii cofialcund, dr aahora tale partitore farà il comniune fihtffatore , eoi anale diuideraìlvnó , & ;l altro, & quello cbéveiiirà della diuifìon e del numero minore metter ai f opra vna virgola^ et quello che verrà della diuifione del tnaggfircmet- ter ai fitto la detta virgola , otter linea , & ferrano tidotti alti minimi tet- . mini , adonque parti 3 » 4 per 126 ne venir anno x et anatrano 7» così partirai di nono 1 16 perji,nc venirano 1 jet aua%jno 54 iól quoti partirai ji,& rie venirano i,et aitanìano 1 8 col quale partirai n 54i et nc venir dìid^, et ana'ixa nulli, bora dirai, che r 8 jara il fi bifidi oh?, ouer maffiriio ntttnàd;tbe numera il 324, « il I 16, bora partir ài i iCper 1 8 ne venerano ItfqkéSlo metti fipra vna virgola , et poi parti il 3*4 per il medefmo 1 8 ne venirano lì, et quefto mettermi fitto al 7 , et fitto alla medefina rirgola,et ftara coti -fy et quefli faranO li mirimi termini ditale parte dolche fiori pòtraidejcriucrc dclli 18 porteli 7 numeri, che quefli, ma bebé potrai defitti iter li con maggióri con tnjmt ter- mini diucrfi,cfcosì farai lefimili cotne “Adi qui definito . txC 4* Libro P<iropy i; _ <7 t.ptrtittonel £ fi\ -p— f:**4 g $ 4 j, partitione ieprejfioncdcl z. partitone i ^ U * 4)j nrjnW numera *X fanno X* 'v * * La prona fi farebbe multiplican- - . doli per *1 fchiffatore, & fa- ranno come prima facenano , cioè & - ,« t ■ - — ■ ■.•gr? -*■ ■ Si febiffa molte volte più pretto per prattica, pondo ì%omofa ben nultiplicar a mente , ouero in molte volte fin \chc batterai ridotto li nume ri olii minimi termini, ma la fopr aferitta regola ti ferite generalmente , • * jOl I i\Ojnil£ulfIIlJl 13U. ' a Del fummar de rotti. . Cap. XX HII: «■ < ■ 1 % y '• 1 . -, ■ , ;ASj L fummar de rptti flfamultiplieando incfoce il nomina tw de Ivnocol denominator de F attro'f ,& li produtti fi Mutuando inficine, & quella /ottima ponendo / opra vna virgola ,& pòi mettendo fottoallaiitta virgola, e\ produtto dei denominator ielvno nel denominator de t -* ' *. altro, come fc per tfftmpio haucfli a fnmmar rj- con-j- multiplica in croce dicendo z fia j fanno 6 » & x fia f fanno io , qua- li oggiongi infime far ano l6. & quefli metti fopr a vna virgola, còsi li- poi moltiplica li denominatori, cioè '2 fia p fin anno metti el 15 fiotto alletto 16 , & floricoli +f, & perche quefiidoi rotti ecce- deno vno tutto, per queflo partirai,cbmmvo difopra , quando farà mag- giore , che quello choè difotto , cioè pS^pìr 1 5 , nè venir anno 1 , & coti fardi le, fintili y ma quando le parti fiammate non faranno maggiori ne eguali al fuo tutto, fempre il nominatore ^cioòpl numero chi è. fopr a la virgola farà rimate, & fe le parti, far anno eguali aitutto anche Udoi numer i , cioè il nominato re, & li denominatori faranno eguali, per il che p arrendo l'uno per l'altro, nè venir à la vnità , cioè il fuo tutto , & vo- X: • • • «.i-rv-ttì.M.st ^ :» 'S lpdo-. - ,J)-0W cwJ^bwotw ÌTìV ha ' • . • * 7F I Ti t>ò l DeirArithmetica tendo fummar più di doi rotti, come farebbe -J- -J--}- prima fumma- r ai li doi primi, gr ne far anno rrì altro, & qu*(lj fur/marai colterjo almodo detto , & li tre faranno ridotti a vno foto, & così fe f uff ero mot ti rotti li fùmmarai fempre dòi per ciafcheduna volta fin che li hauerai fiammati tutti , onde fummando ~j- faranno , & queflo fummando f on-f- faranno come vedi di fiotto in opera. rXr * fecunda fumma 4 fiXr prima fumma 7_ I* - , 3f 1» t’-' v( . 1 fanno 12 60 Et fetale fummo hauerà vno rotto ,che fi poffa fchiffarc lo fchiffd- irai fecondo la regola dotta di fopra , onero per altra via . Del fummar integri St rotti. Et volendo fummar 7 con 5 -=• , & 9 -{- fùmmarai prima li in- tegri, cioè 7 1 5 , & 9 faranno 21 ,<T queflo Jerua poi fùmmarai li J rotti , cioè | — J- modo detto à paro à paro , & faranno li primi doi- fj , & queflo fùmmarai con £ faranno prima , che partendo quello difopra , cioè 80 per quello 48 d fiotto , ne vent anno 1 -JJ- . & fchijfando quello rotto faranno -±- li 3 rotti giorni infieme La qual lumma gjonta alla prima fumma delti 3 integri qual fu 21 fard poi 2 — > & ( osi farai le filmili , come qui vedi in operatone. 9 fumma de integri » 1 * fumma delti 3 rotti 1 3 tuttala fumma iz } 9 1 4 ’zXr «- 68 4 * 1 SI 0 \ 1 -f 11 ***' 8*1 48 anchora per altro modo fi può far elflau- mar de rotti , mafie ben fi confiderà fi tro- tterà vno medefmo modo. - Libro Primo. 45 Del fottrar de rotti in tutti li modi. . Cap. XXV. L fottrar e è atto contrario al fummare , come nelli atti d el primo . dlgorfmo fii detto a pieno , & fi multiplica in croce el denominator de C uno fia el nominator de l'altro , dr li produtti fi fottranno cl minor del maggiore , & il refiautc fi mette per nominatore [opra vna virgola ouer linea, & fottuta tale nominatore fi mette el produtto del denominator de t uno nel denominator de l'altro , & ejfendo ambedui rotti t non ne può venir integro . Come per ejfempio fé volcflì fottrar ~~dc multiplica in croce , come ho detto , & l'uno produtto farà 8 , Cr fottrà- raiZde 15 refleranno 7, quali metti fopra vna virgola così -Z_ poi dirai 4 fia 5 fanno io, & metti so fotto al ditto 7 , & fiarà poi tosi , & tanto re farà della detta fiottr adone , ma prima bifogna faperequal è pii * -j- , ouer -J- , accioche non t'inganni credendo di hauer fottratto de -y*» che non fi può , dr che hauefii fottrato -f - de , come è per il vero , &" per faperlo vedi deUix nominatori qual fa maggior produtto nel denomina tor dell’altro , quello farà il maggior: per tanto il denominator de è 3 multiplicato nel denominator de l altro chi è sfarà 15 , & perche l' altro fa 8 dir ai, che maggior quantità è -A- , che et così ojferuerai fempre, come vedi, r* -rXh .. Et fie tu hauefii à fottrar dei f prima metti folto al maggior nu- mero il minore , così,& dirai 2 de a non fi può 2 per andar al 3 , cioè fempre al fuo denomina- tor gli ne manca 1 , <& metti fiotto -j- , & tieni 1 integro qual giùnto al 5 farà 6 , perche l’im- preftafli al 15 per poter fottrarequal 6 detrat- to de 15 reftano 9 , onde hauer ai , che reflarà 9 -J- , eJr così fottrarai le fimili,& perche il fum- mareè proua del fottrare f ammarai infilane -i- , & -y» faranno 1 integro qual giongi al 9 farà iq, et s che fottrafti fanno 15 , come erano prima, fi che la proua fiera- < pre farai giongendo la quantità , che fottrafti con quella , che reftò, fe fa- rà la quantità della quale fottrafti farà vera la tua fottratÌQne,fe altra- mente farà falfa . Sottrae 1 JL_ -T5 refta 9 proua 1 5 1 \ Ddi’Arithmotica Sottrardc interi * 0C rotti in doi modi * Et fe battelli à fottrar's \de 1 5 potrai rifolucr /i 5 in quar- ti , et li 1 5 -f- in felli mettendo f otto il fuo denominatore , et poi fo- trarUal modo detto, come qui difetto apparc,et reOarauno l O - hfcbijfati , «} V w 380 4 A* 138 \ Al r. od o * * 2 ? 4 4 * 1 o tt * 4 » refìan* “M I vr a •••.cw P;i. llmedefna fi potino, far piu breuemente L^ffdndoli così <fomeJUnuo^ & feltrar prima ilrottodel rotto foglie minor e , et fedite mggiore di quello dal quale lo voi fottraretknprcflandogliU vnità per poter far la fot trattone, et poi ritornarla al fuo integro , et la. fummo fottrando dal inte- gro maggiore , et rtfiarà il mcdefme, tome di f opra , elpcr tua maggior chiarezza qui remetto la esempio in quefii dai cafi , et prima il Indetto . « * * 1 5 i_ J-YL. •r • » « 4/V4 P i , . , * i 5 L. ' • . iYi rejlano IO t*- *4 Trema fottr arai $ de -±,& reflaranno fchijfando qual metti fot- tonila linea , * /otto «///-’- . poi foitrarai 5^15 r ejiomo 10, et col fuo rotto reflaranno j o ~H , « volendolo prouarefummar ai prima li dot rotti, cioè -fc , et -f faranno , che fimo ftbìjfati -f poi furrrna li integri per fe- cioè 10, «5 faranno 1 5 ,etcolfuo rotto fara 15 come erano innanzi che ne fujfe fottratt i li 5 </« quali fi 1 S *« fottra fottratti 5 io s •* Librt> Primo. - 44 i o -fr proua l J -V if 3* 4_ il 4» Mafie hait^ià filtrar < iX Vf -f- per efiermaggiorit rotto rie Voi fittrare Che quello del quale voi fottrareyriob-t- cbe-\- hnpreflarai ÒfJC tavnìtà dicendo t fia} fanno 1,&i che è /opra fanno 4, & fiord cosi -±- che 4 ter gj, quali fino 1 , dalli quali ne fottrar ai-** al modo detto , et refiaranno-^i et haucraUtvnità da ritornare, aionque dirai 1 et 5 fanno ófottrali dalli 1 5 reflano p, et col rotto fanno 9 -?-» et tant0 re ftar anni a fiorar 5 -**■ de 15 et con farai le fintili fottrationi con moltominor fattila, che non feftialpritnt rffódo come vedi difetto . La proua far ai fumtoartdo J -£>con 9 ir al modo detto , difopra , Itas.’» < tti : . , . ^ MS»- -«t. , tnH vn 1 iYi • 15 | 4 ^ J * refiano 9 1 11 7 1 » pròna j Hi»-, .kit 15 *6 » 8 **!_! _i_£ * ? 6 4 4 « Sottrar vno rotto da vno integro- SE hauefii a fottrar | \-de io b, dirai ty per andar al vj gli ne man catto 2, & metti fitto ■$- & hai la vnita da ritornare che s'inten- de ejferdiui fa in 17 par tignale fottrar ai de 100 refiarà 99 «tt» l*pro uà farai fumando y~& rf che fanno vno , qual gionto alti 99 fanno 100, come de prìma.l tffempio vedi difot to , io* Dell1 Ari dimetta ~7 ZOO « fottrane . 17 reflanno 99 prona 1 o <y — ‘ Sottra -f- de 9 , perche -f- folto piti che imprimagli la Unità farai -j- che poi ridotta a quarti farà -i-, dal quaù ne fottra- rai refluiranno er batterai la mila da fottrare del 9 , tir re- fiaranno 8 *5- la prona farai come difopra . ... p r • . ■ ■ ; j- v" ?»> Del multiplicar de rotti, in tutti li modi ■ ■ ■ Cap. XXVI. L multipli car de rotti fi fà multipli c andò linominatori infilane delti numeri rotti che fi hanno da multiplicare t tir ilprodutio fi mette / opra vna virgola, & fiotto la detta virgola fi mette il produtto deUi denominatori, tir potendo/i fichiffiare fi fichififano , Come fie per gratin di ejfempio volefli multiplicare —• tir multiplica li nominatori infieme che fono fiopra la virgola faran- no 6, et quefli metti fiopra vn' altra vii gola ouer linea , et fiaranno così JL poi multiplica li denominatori, che fono fiotto la virgola , cioè 4 fia y fanno 20, et metterai 20 fiotto al 6. et -il tutto flarà così -fi, qualfichif fiato farà -f* et così farai le filmili, come vedi qui difiotto . Laproua fi farà quando fiaperai partire, 2 3 6 5 4 ao fchififia Et perche alcuni fi admirano , che il multiplica de rotti fà rf- fici mi , conciofia cofia , che r.elli integri cr (fica, fiopra del che formano af- fa; argumenti,fappia per rifolucrti in vna par ola, che per quefio fi chiama muLiphcar de rotti, peri he 1 refice la fua denominatione, quantunque non crefica la quantità, atr^i fremi, perche ogni parte è minore, che ha maggior denominatione, altramente non fi potrebbe dire multiplicar de rotti fie non fi cefifie augmem 0 fu oi.do la fina natura , cioè acce e fomento de diminuzio- ne Libro Primo j >CT 4 5 me, che fifa crefeendo la denominatione della parte ouer parti , & dimi- nuendo la vnità,come nel principio de rotti fu da noi accanato, per tanto non mi eflendetòpiù ldgo\a parlare circa tale questione, et volendo multi - plicar -7 — 4- multiplica li nominatori infteme faranno 18 ,&qurfli metti [opra vna virgola ,& Starà così J*. & poi multiplica li denomina tori , & faranno 1 6 o : quali metti [otto al 1 8, & f otto alla virgola fa- T* fchijfafarà , <&■ così farai lefimili , •I- ? f 1 i« u» — fchiffato fa *2 ò 0' !•' Del mulriplicarvno integro, per vno rotto, pr volendo multiplicar in per -L affettar ai al modo delle p>ece- foni! iù*gro oppreffo al rotto, mettendo [otto al integro la vnita , col inter megjgo di vna virgola così 4? , poi multiplica j fia ij fanno U,& metti 5 1 fopra vna virgola così per li denominato ri dirai 1 fia 5 fanno 5 , & queflo metterai fotto al%i,& faranno co- . 1 » poi partici per j , cioè per quello difotto la 'virgola quando è minor che quello che è di fopra, ejr ne venir anno 1 o -J- <2r così farai le fintili come vedi, ; V 'j vi-- U t k ' * •.•rii »?, ZZ _ì_ • X “f1 to ». i . » ■ Del multiplicar rotti per integri , 5C rotti . \yf yltiplica j -y- per farai $ in tergi, cioè fempre finte, grò nelfuo rotto, far a così 4 - , er queflo multiplica t fia -ì- al mo ^aik'fìmni*’10 ^ P<lrtt U5 ^ " 1 UC 4?» & così fa- . Del multiplicar integri per integri & rotti. F TJ3TndA ai”ull^r 1 8 per ì -V , prima multiplica liintegri t'.ff. fia , 8 fanno 54 ,.f« </«,„ d, fopra muit/phca 18 >4-J- rf/rtflJo 3 yu l8 /■*„»<, J4> queflo parti pe0kl denominatore, cioè perone venir anno 13 fc biffati ; qual/ aggio n M gerai DeU’AritKrtiétià 0 dalli mtfvTi ', yh- r\ - «' t 1 ». . -v Mtl tlk *UMl 1 -V-’ -J ;»o 18 ■* »• • ,8 f !» • '.v . h -rt • fc^i c'.f 45 . no» • ìVjRtipl !t l 3 4 -4 A 1 4 . \*i. « 5 4 i 15 4 » . * 3 » * 3 4 produtto 6 7 i T-.fi. ‘ nn / 'iy- ^ nnvi/T-jqnlufri fot! Del mulriplicar integri , & rotti per 3 integri. & rotti. . • u-u uViTusì* <.<r l f# t . Aj «"5^21X4* ;i^5 t^adm.h ^^VTLtrJ r? «S folto , tir. così boterai in t f / ' C,° 1 aT‘11 e f,tm^ > *Wl 1«. «'/>*» %In •; .. ■ *- • * * -f J * ,.:,,.:-,^;;i^... rj.,, --Y— . 3 " (*-.;2:ir <r, ‘•-y-4 4r •-• ' ; ! £i v . 1 • i |l 0 8 -VV a 7 2 1 d / ,m.\ -J- 1 *■ . »I 6 t T * 7 j'« if 1 -u *. • J- f * ilfroiiàtofà a a 6 J_ **" i ^ i » j * ’ i I. — ♦ ’J. • » 8 8 M \ 10U -ò ^ Del partir de forti in tutti li modi . 4«wr il .W\-' Cupo* i • '■■ * XX VÌI ov»w.<\VjY> * nii .M t'\ b *1 "*r V' ; >i i f ii&YtÌY* i -*** -- — h. ^ ibi O • » l'JTm 1 ix •• 'H ' V 1 ' **» v « • w e * • L ptmnt e atto oppofito al multìplhart; , & netti rotti £ haqueflo fenfo, cioì a faper quante roUéMvn* Z^Vl7t T'mtr,ÌUanìì P™"'* contiene elnu- d 37/ / fi ^P*"»** *"<* pai prie bearti pontat Ib/t h“rpartt?°re ' f *** Molte qucjlioni, ‘m'fi'o.UmM cJìfi“r. P ,a'nMt ’ <*? *• 4Hf *v ì » *-7 . , • , 1A(M .ìv e Q* * . '•r.x 'O .r** ; %0<* *mit . Partir rotti per rotti . j?wo?Kto ' **£« <*«« i^mìmorìrarnnm 'ititi Piim# , 4 •4 V 4j> 7 I DeirArithrrtetica primo effempio 2 -±- fia -j- fanno -J- 4 4 2 «1 »4 71 T - - » t t ' f * T ; , 0 ; W M ' y • che fono - %i fanno — - JL 8 fe li denominatori fono diuerfi bifogna multiplicar d nominator del partitore fia el dinomìnator della quahttta, chffi volt partire , & quello produtto mettere fatto vna vergola, &ifoi muiiplicar il nomi- nator della quantità , che fi vote partire fia il dcnominator del partito- re, & il produtto mettere fopra la detta virgola, & fe'l numero , che farà pvflo d fopra la virgola farà minore de quello , che farà difotto, fari finita la detta partitione, ma ben fi donerà f chi far e fe fi potrà fc biffa- re, mafe farà maggiore fi donerà partire per el denominatore che fari difotto la virgola , & quello , che ne viene fariquello , che cercamo per tal diuifione , onero partitione . Ejfcmpio fe volefii partire -f- per -f- metti innanzi da man finiflra per piti commodità il partitore alla cofa da partire così X -}- , & poi multiplica in croce dicendo 4 fia 5 fanno io, & quefta metti fatto vna virgola così *• poi multiplica 3 fia 7, & faranno 2 1 quali metti fopra la detta virgola , & ftara così £- , & perche quello 2 1 d fopra è mag- giore , che'l 20 che è difotto partirai 2 1 per 20 , ne venir anno I , & tanto ne venir à à partir -f- per , la prona farai moltiplicando el par - titor quali -f- per quello , che ne venne, cioè li , come difotto vedi operato, & così farai le fintili . Et quello effempio al bon intelli- gente potria bafiare per ogni forte di partire de rotti,quantunque met- teremo 9 modi di partire a mag- gior fatisfattione de iludiofi, & at- rio fi difcepoli . ♦ V* 11 I * **- 7 -tV-T io I — — 4. M *? 7 formo 1 4 o fchiffa fitnno 21 20 fecundo A partir integri per rotti . ET fe bone fit a partir 8 per-* metti el partitor innin^i, & fatto al Smetti 1 per feruar fempre vna medefina figura, & poi multi- flica in croce , & il produtto, che venne da man finiftra alla deftra met tifo Libro Primo. 4 7 filo fatto la virgola , & fapra metterai poi l'altro produtto , & ne ven- nirà de ditta partitione 13 -j-> come vedi difotto, & volendo prouarla moltiplica il partitor fia li numero proueniente , & farà il numero, che fk partito , come quitti vedi operato . t YL 40 j Ai j «j prona — *1 J ! 15 X 2 ° 8 numero che fu diuifa. A partir integri , ÒC rotti per rotti . v- Q r« \ ET febaueHi a partir 5 -$• Per~ 7* farai li $ tutti in quarti, cioè redurai fempr e li integri al fuo rotto, &far anno così **- , & poi metti il partitor da myt finiflr a così poi multiplicain croce di- cendo 4 fia 4 fanno 16 , & metti 16 fatto vna virgola fiara così — poi multiplica per l’altro verfo della croce dicendo 7 fia 13 fanno idi , & quelli melerai fapra alla detta virgola , & fiata così j-*- bora partirai quello difapra che è maggiore per quello difotto per ejjtr minore, cioè 1 6 1 per iòne veniranno 1 o -fj , & tanto ne venir à de detta partitione », come vedi con la fua prona . 'I 1 Vi* V ( * "fi 4 Y »! I 6 1 Ito 1 -A 7 — | ~ proueniente 8 . ,1 prona •^-LL — r 167 * sf , 1_ *4 4 5 4 JP O 1 * * * A partir integri , & rotti per integri & rotti ; Pjlrti 5 -y per 3 -i- ridurai Cuna parte , & l altra al fuo rotto, cioè li 5 d quarti , & li $-j- a tergj multiplicando ciafched una par- te per el Juo denominatore , & giongcndoli il nominatore ,& mettendo poi per feruar fempr e vno modo , el partitor innanzi , tioè da man fini- fra de chi lege , come già di(fi , & far annodasi X poi multiplica- rat in croce , & il produtto fatto dal norninator del partitor nel deru.ni- nator della quantità , che fi deue partir metterai fatto alla virgola , <jp . ,t • De>*!ArÌ?hnieti<Hj Jtaira ros, ■>l& anello che farà fatto dal denom inalar del partitori nd nominatore de quello che fi deue 'partir metterai / opra ditta virgoli & tiara cosi ~ perche quello difopra è maggiore,percbe conti ette dell» lìlt CVnAr tì/ir timi /irv zìi/. /L . 1 ^vho-, un».**, i 4 4 .bJOTOqi)JOjg,SgOMlÌTjlj6qA , + e « J ^i*| ? { %\b i.ì-J i \ f ;i*-j c.f . l i.!) , -- > i . 1 flwr n * ion - *’ ,ii 1 1 uA\ » ■ . r >f -JL ^ iù-ÒV-* ^ J ( T * a òl 01 - 1#D 3 ” ? <T! # •- 'i r & ,^y .iiKÌ ~'.Vv 1 H ^ il I 3 • f-t.l' |» l'iKIV w\ &r.\i\hlv.w . .vi ì H.TjiriM iiVyv.tt •i . vt*óH ttìpua 1 # ài ^ “V A partir rotti per integri ]h t f* bt’irfià partir per 6 metti innanzi damati f/nifira elfi ^ integro, & metti /otto la vnità così-j-, & dipoi da mandeflra metti A- , che voi partire, fiatalo così^-X -i- poi multipla in ttp“ ^a^0pef6S°la d‘‘0p1^ dtVTne veNrT*m -fc la prona farà mul 'H x A A'.— UìUV'^i. i. £ ‘t.‘t I ^ f 30 io IO I IO | 'l]A paitàrifrrrt^ri ^eriritégri , & rotti’.1 P T vù^mdopanìr 9 per 5 -f- metti folto al 9 la vnità per fegno, chi i Me infegutì, &J pareri ir ridono at fuo rotto metterai innanzi , ‘ cioè da man finijlra , sfaranno cosi -*>-X -f- poimultiplica in croce di- cendo 1 fiati Jànvo.' f} , &qurfiomctti folto Vna virgola, così *T poi mitlrrptica ffr f altro vetfo della noce dicendo 4 fi a % finito 36, et que- llo metti fop a la detta virgola, ouer linea, & fopra'al 22 faranno co- Libro PrirìWJ 4g ^ & perche el numero difopra la virgola è m tgghre , che quello di- fetto partirai qpqlio difopra , ciqè ytperr^ d>e\ difetto, ne leniranno * *T»& tanto far a ditta pardtione , come vedi di folto . ' vt'.tnm ot.V-.'ks "4Jl • 07 s 1_ 9 4 i « vì: li Y 9_ 3f I I jf- 4 A. i 1J | — s ? 4 1 r d - ?'/. j nal.tMVsntti*. -'Jttii v' 'iiv.ìitfi 5 h;. ■ j i v Y' j 'ti _ . Hpm Za proti» fard mkltipl'C tinto , come d'tff più volte et partitore pei1 f**Uo che ne viene , ma per fatta breulffma in quefio cafo, parti quello y&perq, ne venir anno 9 , conte fu proporlo . A partir vno rotto per integri , & rotti . v P T feboftefii da partir -A- per 3 -£* farai li integri , & rotti al fuo j rotu> » Cir faranno così U- , & quefio metti a man fmiflra, & li V a man deflra così X -j- poi multiplica in croce al modo detto , & ne venerarne jf- f chi fj andò , & proualo , come difopra come vedi. *»• \Jf ' 'Ili ’ > ' 1* l ~ X T7 fanno ~ frhi/ft fanno — — — Ili* >- ♦ t 71 *1 « io|o .'i 1 . 1 ^ «■i. . v prona <ui h» »M i A partir integro, & rotto per integro. • A é m f J \ • , 1 * «.< K *• i ) ' j . J *• ' 1 1 *| il è ET febauefli à partire 1 y -A" per 4, ridurai li integri, & rotti in quarti , cioè fempre nel Jtto rotto, far ànno , quali partirai per 4 mettendo il 4 a modo di rotto , cioè con la vnità fotto vna virgola , &• il numero fopra efft virgola cosi •-$- , & poi multiplisarai in croce fer- uandn il modo detto'-, & ne venir anno 3 _y la prona farai moltiplica» 4 fi* Ì ~ìl > & faranno 1 y [(biffando % come vedi, difotto , parrifor li I > li li ±>roHa M 16 ( — — 1 6 14 1 r 0Ua 4 i. ■ 1 Oli rr-'t 16 1 t s 2 ì_ « 5 4 A partii: ?■ Qdl’Amhiftetica V)* .' U ìw Vio\ ,-ì: i cut»’ litt A partir vno integro per vn 'altro nu- mero integro . ■ i I li Y 1! * _l £j* T perc%e a partir vno numero integro per vn' altro numero integro -» è forila, che ne, venga vna parte di effo maggior numero , per quello fi forma vno rotto , comffe hauefiià partire 48 per 64 metterai fem- pre il numero maggiore folto vna virgola , ir il minore fopra , & que- llo farà cori,-}* , & fe tedi numeri jerofino tja loro costipo fui li fchiffa- rai, '& per ibi. quelli fimo componi traloro onero (ommunicanti Schi- fandoli al modo già datlo faranno la prona farai moltiplicando *64 per -A- ne verranno 48, come fu propofto,ef] empio in figura , nio •^4 fchifa f*nno V\ \ il *S3 , \\ il -ii » 3 b Et così bauemo effemplificado il partire de rotti con 9 cafi , (ir l’otta - uo cafo , nel infilzar de rotti fi farà per vn altro più breue modo, & fap pi cbe-ciafcbuna de qucjle operationi fi poffono antbora prouarC con ia prona del 7 , onero del 9 ofjeruando nelle prone tutte le operatimi che farcflinelli iflejfi rotti | ma perche quelle prone fino poche più breui, che le fue proprie che è il multiplicarc , à te le lafcio i/J'cr citare , così nel partire , come negli altri atti del algorijmo , Del infilzar de rotti, Cap. XXVIII. ’vfo principale di queflo atto detto infilzare è quando Ver temo partire vno integro, & rotto per vn altro integro, ir che nella partita ne del detto integro vi auanga vn'al tro rotto, & de queflidoi rotti ne bifogna farne vn foto rotto, per faper qual parte fianodi quelle vnità , £r ' acciò che meglio ftamo inufi pongo vneffempìo , c he haibiamo da partire 3 6} 3“ Per 4 Part* per 4, ne ven- gono pc, c ’-J allargano.] , che fono appreffo olii quali metterai il -j- erfin) anno così 4~> ir per far dequejii dot vno foto rotto, condurai le Iva e u qui fio mudo , cioè , & tuultiplicarai , el nomtnator del rotto rai [opra vna virgola , cr fitto a 'iti t a vrlgola metterai el pr YUlSÓ <h l li denominatori de quefli' doi rotti, bruci ai ridotto ifthVfié l ràttìfk vao folo, adonque multiplicarai 2 fi a 3 faranno 6 , aggiùngili (fu etto i che- Ifopraah faranno 7 , & qttefló inetti {opra vnà virgola così dL, poi moltiplica li denominatori f cioè 2 fia 4 fanno 8, el quale metterai fotta ladina virgola, & (hrd*co!Ì -f- , onde dirai, che partendo 363 -J-^rr 4, ne venir anno 90 -f-, ^rcorf farai le filmili, & qurflo ti prometta nel partir derotti, & queflo atto fi vfa anebora nel partii diuerfe quan- tità da diuerfe parti denominate, cóme fe vólefli -partir L 2.37 fi r6 d.6 2 per ?, partirai prima le L. dicendo el 3 in in entra 7 volte , & auan •gano i,cr el 3 in 27 entri p volte che fanno t\ 79 fi d. poi dirai nel1- li fi el 3, in 1 6 entra 5 volte, & stangano 1 , qualmultiplica per il'} fard pur la, & à qui fli aggiùngi li d. 6 faranno 18, & poi dirai el 3 , in 1 8 entra 6 volte , CT cuangà} o , poi mult'tpltcajat t^dcitp j partitor per 2, cioè per el denominane del rotto farà 6 , & queflo metterai fiotto vna virgola,flarà così , {jrfopra metterai quello { , che era J opra il La prouaMìlfw) > rtpfitiJljkhirrpfffflppfòjfrtlpo , onero che farai L. 137 fi. 16 d.6 -j- in felli de dinari , & quelli metterai fot to 7s^ Infilza DcirAnthmctica Infilza -f- -i r fa così -f- ■£- *r fanno JJ. fchifia faranno r~ , & così farai le fintili , La prona far ut emendo, yuan ti ter Squarti, or quinti fumo infilzati , che fecero non febiffati , p<*rfi e l nominatore cioè 17 per 5 ,*e vengono 5 , eJr auarrgam » , che /ono-*- , & non tener ai conto fe non di quello che aua/iga , poi parti quello 5 integro , che ne viene per 4 per trouar quanti quarti, ne venir li- no 1, auangano , poi parti quello 1 integro tterq nrvien così li batterai trouati,cioè che faranno -J— -j- , ma ftmpre partirai elnominator non fcbijfato per li vlt'tmi rotti , cioè prima per 5, poi per 4, poi perq, fi come erano propoli ', & così li prouar ai tutti, & perche febiffati fanno fe li voleri ritornar al primo fiato multiplicali deno minatori infume de -y- -j- fannar io, & perche 60 fu partito per 3 venendone 20 così multiphcarai el 9 nominator peri farà 27, onde batterai li primi termini ejfer fiatti che era da dire , EfTercitationi. Cap. XXIX. zittendo fin bora infognato li 6 atti nel principio promefji del algorifmo de rotti, cioè fchifiar fummar fottrar multi plicar,& infilzar , bora per tua effercitatione metterò alquanti quefiti ouero queflioni f opra ciafcbaduno de dit ti atti, operativi che daranno grande aiutto à chi de l'ar- te fi dilettarono, come legendo intendenti . Qucfi to circa il fchiflàr de rotti . • , .«• • » ^ ^ » »_T _i ^ . Ml_ QV al rotto fù chi fiato eh’ el fece \ & il nominator fù ì dimando il der omìnator che era Jotto la yimola . Multiplica il 4» per el denominator qual è J, fura 116, qual parti per elnominator qual è 2 ne verrano 6 talmente che era inangi, che fufiefchi(fato,laproua farai fchìfidndo ne verremo J- . Ouero parti 4» per ~ ne vcrrano 6} , W così farai le fimili. Et chibauefie dimandato qualrotto fu fchifiato,che fece -y- & ili e- nominatot era 61 dimando quanto fù il nominator , multiplica 6 J per fp. & ne venir anno 4* , & così farai, & prouar ai le fimili • Et fe dubitaffemo fe yno rotto fia tal parte fchifidto, outr non fenga far la fatica de fchifiarlo perche quefia accade fieffe volte, come per gra tia di efimpio voreffimo f aber e fefo fia ~ò non, parti el nominator , cioèle 54 per a , cioè per el nominator del rotto fchifidto , ne venir anno Li • »7>tfr Libro Primo. ' 50 *7» & cuffia fard vna parte vnica, onero aliquota, cioè la quale mul tiplicandola per el / uo denominatore fcbiffato , cbc i 3 farà 81 > cioè el denominator del rotto , che non è fcbiffato , & a queflo modo fcn%a altra fatica defchiffare volendo prouare fe gli è tal parte ouer non,ti certifica- rù del vero, & aucfli 3 quefititi renderanno grandijjima commodità net abbrcuiarc le calculationi . * ■ r ' * £ ' U lt — 1 hi f4 *7 J 1 -i- r 11 - - Queliti cerca il fummar de rotti . Da qual numero, ouer da quale quantità furon fottrati -$-> che refio S ammarai con -j- faranno 1 -f, , & da tale numero fumo fottra- tij->,cbflrefij -j-, » 1 li r.i 1 V 4 1» r A* 1. - » - 1 *5 La prona farai f ornando -* da 1 f^-fel reflerà fard giufla altra- mente non , come vedi difuìto . ****** -^XtT •f 60 A AV.lt1 Oli 1 I 1 o? f» fchijfa' fanno j- V olendoli trouar fàcilmente, fingeti v'no ftmile quefito de integri , & ' a quel modo , che trouar efli U integri trouar ai anchora li rotti , come fe baùejfe ditto da qual numero fk fottratto 7 , chel rcftò 3 / abito ti vien in mente di fummar 7 con gfàràrio^al^ual fottr andane 7 refiamo 3. ^ a Qgefiti I 4,v - • DeU’Arifh^tiqa ‘ ■ • i. . - ’ •• •'■_• !>, T. '(>•. R» ' >. ■<: l'.y • ' Queliti circa il forcrar de rotti •<; ‘ - •• ' * < ' V. ■*. . * _ • '♦CV f COn qual numero fumo pòrti 2 4< > che fecero 3 fe dicefjìmo con qu ii nummo fìt giórno 3 che\ réte 7, fubito-i >ìen in mente di fot ir or 3 de 7 , cr rtflaranno 4 , onde dirai; cbe'l 3 fà gtohlo col 4, & fece 7 , <£/~ foJ» [stirarono attchora 2 de 5 rt-, C^” refleranno 1 ”-,che fu il numero quefito. la prona farai giongetfuo 2 JJ-eon 2 » & fa- ranno 5 -y- . liVl*. *44 , ... 4 A 7 77 i -joi obisrnrcii.ilioi^ — * i . . •* '.1 . v ' 1. ■ ■ & * 5 * * - •u w\ 0».WV W» WS Uf i •*:. “ó . .1 prona « ♦ ", r ~ ... » “57 II 18 4 67 28 } 1 Ti 2l li |» il 4 Qual numero fu fottrato da -j- , che'l reHò ~y aual numero fu fot- te ato da 8 che'l refló 3 fottra 3 de 8 reflartno V fimilmcnte fottrar ai -y- , de rtflaranno fi- proualo fottrando fi-de 4f , & rtflaranno , co- me difocto appare. M, rX^' (V Or i “ * rii 1 4 * - - C V» ... . ..v ; i« U’-v\ 30 14 * I 0 I 1 1 ì6 \r t_ 35 A 7 pg 31 1 " 6 # 1. *45 — — rejlanno 243 49 aio f ehi [fa fanno -r -I *45 Qual Libro Primo. J i Qual fftffvuntia è da -J- a -± fottra l'uno da t altro reflaranno . & tanto è là differ enfia aggtongemlj -£■ col minor rotto , chcè-\- , <&• cosi farai le fintili. 3_ V 4_ j_. V i_ *. I- 4 A, il loA* «1 1 < differenza — prona — Queliti circa il multiplicar de rotti . • ; f QVal numero fà partito per 3 cbe'l ne venne 5 , tu trouerai , chc'lfà 1 5 multiplicando }fia$, & così fe dirai . A (gai numero fu partito per -j- che'l ne venne multiplica -7- Ha -*• faranno ~ , & così dirai , che partendo -f per -y- , ne verranno co- me vedi dfotto in opera . •ùx r. • •’ ,\ :r> L’ .L * 7 , tV . ; vv[ J L foblffa £ L J"X|" 7^ fthiffàfk — fono li -i- de ? Multiplica we veneranno -j-, & co- sì dirai, che jono li de , la prona farai dicendo che parte fino de -f- parti per , ne venir anno -J- .vero è che in queflo cffenipio particolarmente poteui pigliarli de 4 , che fono j , & quefli 3 fareb- beno flati quinti, ma la prima regola ferae generalmente . r . . L I - fi 11 fchiffa fa L . O'U $ 1 pr.ua Ì-X,L ’fo r“ ’7 Quali fono li Af de multblicali , & faranno Jf per la prona trouerai JJ- , che parte fono de -7- parti.feper- j- , & ne veneranno *- febiffati, come fu propoflo . . X tv il n *v f }■ DeirArithmetìca » 8 o fchiffa fato» £f L L IL LVi! 7 8 16 t A fi 1 » |o » k j • Quali fondi de L.16 fi d.t, Qucfto ijutfi 0 è vtiliff 1M0 nella prattica-mercantefca , onde multiplica rat L. 16 J. ti d.6 per j dcnominatore,dicendo sfiad.6 fanno d. 18 » che fono r of. & d.6 & metti folto d. 6 , poi dirai 3 fa fi fanno 1 f & vnorpprcjjo fanno 1 6, & ferine f. 1 6,& poi vien alle L. & dirai 3 fiatò fati .0 L. 48 , & metti L. 48 , f 0 pirti JL.48 f. 16 d , 6 per 8 , ne veniranno L. 6 f. x d.o -i- de d.cr così farai le fintili fi come anchoia iop- po ilpa. tire dr integri fu detto , & così potrai pigliar parte de ogni ce fa mifura, ogni ce fa , cioè numero pefo , & L. 1 6 fi d.6 3 ? 1 P 48 f.16 6 fi 1 d.6 d. o -J-c/oè-A D. 7 gr. Quali fono li-*- de D. 7 groffi 3 piccoli 8 Venetiani. multiplica per 3 faranno D. 21 groffi 9 piccoli 24, etqucfli parti per j fuo denomi- natori ne veniranno D- 4 groffi 6 piccoli 14» et così farai le filmili, Q^al fono li A- d- onge l J iargnt , dirai 5 fia 13 fanno < 5 par i per 7 ne vien onge 9 -, , poi multipli co quello nomi- natore , cioè 2 » quali fopra la virgola per D. che fanno on- gerno,farà 48 , et queflo parti per 7 denominator e,nc veniranno Jj 6 a pefo , & auàgano 6 cioè -|- devno d. multiplica 6 per grani 32 _? . 96 -4 1*0 4 3 * 3 » I gr- D. 4 gf- 9 fM 6 p. 14 2q.,chtfiaanovnod. a pefo faranno 244, quali parti per 7 denominatore ne venir a wo grani to,et .mangano q,chefono-j- derno grano, fi che dirai thè li de onge 13 d'argento fono onge 9 D. 6 gr. »o et co sì far ai le fintili , Quali fono li -i- de fame 3,Slara 5, quarte 1, de fomento farai al mo- do ditto, et come vedi di fatto f apendo la valuta , cioè , che fome vna fa fiala ft, et vno /laro fa quarteri 4, et ne venir anno fome 2 fiara 5 quarte 3 A , et cofi hai Ceffcmpio in numero pefo, et mifura , et acciochef appi f-r la prona delle fopr aferitte prop<Jie,la faremo folamente deUa fopra- Jituta, acciò qutllaiifia cfj'cmpioper tutte le f mài, "Perche Libro Primo ; * * Ter che adonque bai trottato che li-\-dr fonte ftara quarte yna fo me a flora 5 quarte 3 -L farai le fome 3 ftara S quarte vna, tutti in quar tiiequarteri pei li modi già demoflrati mtti integri , & faran ’0 q.6» quarti de qua.rteri,quali metterai fatto vna virgola per denominatore co- sì i!f poi farai le fome s ftara 5 quarte 3 fimilmcnte in qua rii de quar t eri faranno 3 51 quarte de quarteri, cioè facendoli prima in poi de flora in quarteri ,& de quartari in quar ti de quarteri , & quelli metterai fopra la detta virgola , perche fono parti de quelli 468 che fono fottola detta virgola, & flaranno così |ì{ & quefli fcbijfandoli fi douer- vano ritrouare .ma fc non voi la fatica de fchi/farli,parti 351 denomt tutor, per 3 ,denominator del rotto,che donerebbe fare quando fta fchìffa- to,ne venir anno \V},& queflo è vna quarta parte la qnal mnltiplicarai , per 4 denominatore, & fura 468// come è quello del rotto non fchiffito,et a queflo modo abbreuiarai molte fatiche, come vedi leffempto in figura. fome a ftara 5 quarte 3 -y- fomeì ftara 5 quarte 1 ' 8 ‘ 8 a 1 6 87 — f 5 . 4 a 4 — — ■ 34» j » 1 7 a t 4 i 2 9 — ■ 3 5 * 4 448 8 4 1 3 4 6 8 8 7 proua . 1 * 7 ■ *V . f (biffa fanno Et queflo effempio te fta a baflanga de ogni ftmili queflto in qualunque cafode numero pefo, & mifura,che fono termini della quantità così con- tinua come difotto. Queliti circa il partir de rotti. S* il ti fiiffe dimandato, qual numero fu multiplicato per 3 che fece 21 3 tu partir efli ai per 3, & ne venir ebbono 7, fimilmente farai fé el ti fu Jf e dimandato , qual numero fu multiplicato per 1 ebrei fece 3 -j-\ Partirai quello che fi produtto de tale multiplicatione , cioè 5 -J- per il producente , cioè per 1 ne venir anno 3 , & tal numero fi mulri- plicato 1 -}- che fece 5 , la proua farai multiplicando 1 ~\-per 3 fé farà 5 -fr- farà verà « altramente notit come in figura appare , V DcirAKthmetica »l,4i 5 T 1 » ^ t '.m farti,, -jXr vi/ f VN V<i»U i '• >• * :,.miv . tr Vil.l ^ 8_ !» 5 0O5_ <4 TÓ4 ~3* fi /£ ' ^ 4» s- r j'tr Et fe fufli dimandato, per, qual numero fu partito l$ , che eln^ vejf ne 3 partirefli i s /»rr ; , ^ »f verrebbe $ f Similmente fe'l ti (uff e detto per qaal numero fu partito i ch'einc venne -f- partirefli ì -f- per ne verrebbe i fe-J & per tal nume ro direfli che fufje partito i ^ y La prona farai partendo i -J- peri J{-, & ne venir à -f- -7X7 H I — ri vtf* ' ?<VT *4 5 ^r<,w,x IX A 4 14 o/d J fcbijfat» ; r » ELfeelti fuffe dimandato 9 de qual numero fu li ^.partirai 9 per ■J- ngveniranno il, la prona farai in doimodi , e;<Zfc biffando £-fe fa Ti -±*fara giu{le,altf amenti non,oucro vedi ndo quali fono li -E. deli 3 orme bauefii difopra nelli quefiti circa il multiplicar de rotti , & trove- rai , che faranno 9 fi come fù propofto . ♦4-t» WoìftMUr r : ■* ì, li » iva» .>n»5.\n'n v. fgeunda prova — 4* ' y 1 4 4 I 7. , . Ìr'‘I Uh I WM? llfcljwa prova iin »• 'ht'M i Vv';*1.'! w •• •••!,.' ■ v ' “O £* fe'l ti (offe fattq \ vnq qttcpto fintile dicendo, vnamateria ha pvp_, porthve fuhfecupla con loro ,• cioè che loro e feivoltc tantkà quclla,po- ninni 0 a vno Icario , CT il detto oro ha proponione quadrupla a vita pie? 4rn , ciocche cglìe 4 vo/re tanto à pcfaa. rijpetta della quantità, ditwrfk va , d,mdndo che propor tiànc Inasterà la detta pietra al dati» legno ÌTcr 'far queflo partirai la maggior quantità per la minor , adonqve par- t _uptr_L. , ne venir anno -E-, & così dirai, che il dettò legno haue- VA Libro Primo i - 5 1 Và proporzione alla detta pietra come 2 al i,ouero che la detta pietra ha • iter d proport'ione al detto legno, come 3 alx , & conqucfla euidcntiafol iterai molti paffi inThilofophia naturale, & nelTartede contropeli , de Metalli, minere, & altre cofe . -;Xr ~ febijf» fanno ~ Et quelle cofe ho pollo per ejfempij facili , acciochc mediante quelli pof - fa ciafchuno Jludiofo f I ter qualunque altro fintile cafo , ^{nchorafeelti fufi e dimanditi -1- ottanti lettimi fa; no. partirai -J- per -y , & ne vaniranno 6 -f cioè 6 fittimi e y di vno fettimo, & così forale filmili, come vedi . I V L 16 ! 6 -r 7 -A. 9 9 | Et feti fu ffe detto f. 7 J.6 4-, che parte fono de vna L. cioè def. 10. farai f io in megi dinari,& Jtarà così ^ , & fimilmente li f. 7 d. 6 in megi d, & Umetterai fopra ali: 4S0,, & faranno così, cioè , ir tal parte farà di vna L. & così farai in tutte , fchiffando poi quello rotto fe fi potrà fchiffare . Queliti circa lmfilzar dirotti . D 'mando quanti -J- -f-, fumo infilzati che t vltimorotto febiffato fa -j\, O' perche dtfjpra nella regola del infilzar de rot ’ ti nel far la proua del detto infilzar rifolueffimo tale quefito per altro mo- do, alquale ricorrerai a tuo beneplacito , quitti bora lo foluerai così , cioè prima ved: quanti tergi fanno , & perche 3 tergi fanno vno integro multiplica 7 1 per ì,& il produttu parti per 72 fao denominatore ne ve- nir anno 2, cioè y , & auangaranno 69 , & quefti farai in quarti,mi l tiplicanduli per 4, & il produtto partendo per 7 2, cioè femprepcr elfuo denominatore, & ne verranno 3, cioè-*-, dr auangar anno 6 o , quali multiplica per 5, & il produtto parti per 72 , ne venir anno 4 , cioè dr auangaranno 1 2 , qual multiplica per 6, cioè per 6 fi fii, faranno 72, & queflo parti per el ditto denominator che fa fempre 72 ne vanirai, cioè y , e r così dirai che furono-- -f- -f » & 4* che infilzati fecero ‘ ~n & ^defla v:a è contici (a a quia aura che io di/ji nella proua del miti gar, perche in quella fi co m.nuaua a partir per el dmominator de li viti - 0 mi Deli* Ari thmerica: mi rotti cominciando da man deftra, & venir ver forum finijbra % & iti quella fi multiplica fcmpre per li denominatori detti primi rotti , cioè co* • miuciando da man Jhtiftrx andando ver fo man deftra ite chi Ugge, & pt& tendo fempre per el denominator de l' vie imo rotto , aneftora che tale rotto fitjfe fc biffato , ma ini nella prima via non fi poteua foluerefe prima ta- le vltitno rotto, fcbijfato non fuffe ridotto al fuo piànto flato, col modoebe hi ho detto , ma de quifto vltimo modo ne 'vedrai lejfcmpio in opera , & qmuì faccio fine del infilzare L ejfcmpio jb opera ,71 ' r 1 >\ u .vivi." r- <r- 6 #9 • 6 9 6 a \*\ " l ? » r I a cioè -f- 4 pe * fi l cioè J- 7 1 * ? 1 rf pt ■ 1 — 3 17 6 “I * i 6 0 1 " pe i « ìi i O .7 ’ % 0 0 1 4 cioè 4- 6 : * - L * ?\ zoo — Il 7 a cioè v 1 ' T 13'!" ' ■ ‘ Mifiti quefiti fi petrebbonoproponere oltrali predetti per maggior ef- fercitatione,come farebbe a dire,cau.i la differenza, che è dalli de de tanti -J- c bel refli la differenza che è dalli -J- de olii ~ de , li quali quejiii fapendo bene li primi difopra proporli li Japerai rifoluert, & altri innumerdbili apprefio, che quelli foli impirebbono vn libro, ma que - fti $ ftquentiti ho pojlo per tua fatisfatione , & inflruttione , Fame de j due parti che partendo la maggior per la minor me ne ven- ^ ?7- Prima troua vna quantità , che entri in vn' altra 5 7 volte , & fubito trouerai che la vnita entra 57 volte in 57 , la qual giontacon 57 farà j 8, poi dirai fe j 8 fuffe j, che farebbe 1 , cioè la vnita, onde mulnphcan do ifia f farà j , quali parti per 5 8 ne venir anno , & quefia clami nor parte del detto z , qual bitrara ne l'altra 5 7 volte, fottra adonque -fr de j reflaranno M» bora partirà per farneproua ,lamaggiorcioèifff pr la minor quale -fa ne venir anno 57, fi come vedi difotto in opera * Et -JLibrd Prmidn 3 -5 5 O 5 8 a o 2 q ab < aia*} **» ■ i«J?t7 •. ili 5 8 a • .5 5 I 7 I TìX'ri 3 Irri o 8 \ i.V\ a* uù ia*'; \*tai« >w f r»- . \\ •/Avvi 5 + i 7 i 5 7 HtViA .E /jper abbreviar tale partitione bafla a, partir el nomina tor deila mag- gipr parte qual è 171 per cl nommator della minore , qual è 3, & neve itiranno tf ,pcref[er li denominatori fintili, & eguali, & così farai, & prouarai lè finali , T ruuami doi numeri, che tanto fia /i-j- de l'vno quanto li ~r de l’al- tro.multiplica in croce li detti doi rotti , cioè el nominator de l'vno fiael denominator de l altro ,&ne venir an- . —————— «oh, dr ao , onde fepigliarai li -|- de * ao che fono 12 , faranno tanto quanto a ijz oj /i-f deii , che fono pur n,& così fa rat le firn ili , fempre pigliando lamag- gior parte del minor numero, & lami- a o a * nor del maggiore , *■ T rouami doi numeri che tanto fta-~- , & de 1 vno quanto li et de 1 altro , per far quello f ammarai -f- , et -y faranno -?* ,ftmilmen te fummarai -f et faranno benché auangmo l’integro , no n impediffe el cafo, et quelli doirottimultiplicarai in croce come nella pre- cedente , et l’vno farà 1029, 1 altro farà 800, et farà rif ilio il queftto,ma per provarlo pigliami g- del minore , cioè dei 00, et faranno 980 ,oue ro a parte per parte , pigliando prima li -j de 800 faranno 480 > et li faranno 5 00 , che gionti infume fanno >i>o, comedifopra, Toi pigliami li -j- del altro che fu 1 o 19 , & faranno 68 6 , & li -j- faranno 294, quali giorni alh 6%6 faranno finalmente 980, fi come fece sro le parti dei altro , che fu il propo/ito,comc vedi difotto . 10 2 9 a fx-: X o 2 9 z iXr *4 »5 49 4® 20 V 49 21 ** 4° ■ha il— 18 9 0 20 Tro • DeirArithmerica 8 7 1 0 5 8 1 ** 00 4 9 6 X 9 4 40 Solo a 0 4 1 c . c ì - : 10x9 2 O | 1 ’ U' - : fct i 980 980 Trottarne 1 numeri che tanto fia li -f de t vno quanto li -f de l'altro & gionti inficine efft doi rtumeri facciano 1 7, muttìplica prima in croce* &trouarai x numeri, cioè , & 2+,chc tanto farà li -*r de 35» che fono 1 s quanto li d.e 24, che fono finalmente 1 5 poigiongi infieme } 5 & *4 fanno 5 9 ,poi dirai fe 59 fufferc 1 1 7 chefarebbom x^ymult'f.:ci » parti trotterai che'l minore farà 7 /'jfcro /^rS il rcflo fin aUi Ì7» che fono 9 > & quelli far anno li numeri, la prona farai al modo delle precedenti , ver rati , , , Ilfinedel Primo Libra dcirArithmctica. T ^ ir or ■ lU-.' — ■ - ri-*,* V.Tty* • 0«rV n t4^vr. T«l* 1 a W \ ùV iix* I -jy. :» ; -UT, : . -I ‘O r -»*• t>»YvVV • -a • ,< t • . . \ * Hi'. *'H%. * « è •*\0 :\ì I ^ « * t f .17 « ’Vi wf c,2 / j ar. *>" Del- x dellarithmetica DI GIOSEPHO VNICORNO •' l*tl v * v, »*- libro secondo. Nella quale fi contien la diuifion de numeri , ÒC le fue progrdfioni,&: la R egola di cauar ogni fpecie di radice in infinito con le fue approffimationi nelli rotti . De 5 » altre ipccie de numeri attratti . -f.&t'T:. » • *■ * ,.•*** i - l "V * • • . » Capitolo Trimo . EV^DO nel primo Libro trattato de nu- meri concreti & aftratti, con le lue diffinitio- ni & diuifìoni , Hora hauendofida trattare de cofe de più alta confiderationefa di bì fogno fe- guendo Lordine di Euclide a diffi/iire cinque al tre Jpecie de numeri aftratti, de quali la prima è pofta dal detto Euclide nel fettimo libro , qual contiene li principi^ dell' >Aritbmetica,di- remo adonque che de numeri aftratti alcuni fo no detti numeri primi, liquali fono numerati dalla fola -unità, fi come fono quefli, cioè 3 f 7 1 li | 1? 1 17 J rs> | ij | 2j> / 31 1 37> cJrc. Et alcuni fono chiamati come pofti, & fono quelli che fono numerati da altro numero , che dalla fola ynita, come fono 4 1 6 1 8, che fono numerati dal numero binario , & 9» dal numero ternario C re. et altri fono detti numeri contra fe primi onero communicanti , et fono quelli che non fono numerati da alcuno numero co ninne, cioè che numeri t yno , et L altro, come 7 1 1 3 | 3 f 9 , et benché al- iano di loro fùjfe compofto non però hanno numero commune,che compon ga l' uno, et l'altro , ma li numeri communicanti , onero compofti fra loro fono Dell’Arithmetica fon'i quelli, chefon $ numerati oucr tu furati da numeri communi, norrtix parteno l’vlio , et l'altro,ct neffuno di loro e primo à l altro, come 9 1 274 fono numerati dal ternario 8 j 14 j rti 6, rt fintili fono numerati dal bina rio, per tanto votar ai qucfle infra ferii te regole diligentemente circa alla numcratione et campo fittone de numeri , cioè lavnità numera ogni nume ro, et neffuno numero compente, el binario compone cjafcbun numero che ftnifea in numero paro, cioè che bobina t ritìnta figura , "cioè el digito cbt fu numerato da efjo binario-, , El ternario compóne, & numera qua lunch e numero ,le figure del qua- le giontc inficine fono numerate da cjfo tpntACiofitomt 54 6 le figure del quale gionte infu me , che fanno 1 5 fono numerate da éffo ternario perche el 3 numera el\<) con 1 .«> El quaternario t\uvura* &■, compone qualupabc numeri le cui vltime due figure cioè il nuniero,et le defene/otio mlnreriàé Ila effo 4 ,fi come que- llo rumerò 1324, che finiffeiv a+j,i& petfbe il 4 numera , & compo- ne 24 , che fono l vltime figure, per queflo numera anchora tutto il 1324. El quinario nmnera,& compone jogninume^o,cbefiniffe in ^ onero .* nulla,come \ ,& 1 40, & tutti fimili, -‘Jf J'illc Svi El fatar io numera,& compone ogni numero paro cl qual numera an- ebora il ternario,come 1 ^ | 184 ®4 1 fòli fa&Jìmili, El fittenario compone, &nuhter a qttdimcbeiikmero el qualfìa raccol to de 3 | ouer 6 | ouer 9 ouer 1 2 termini della proportionalita dupla qua- drupla, & fedicupla', e f empio del prima 1 I * | 4 \ fanno 7 J & 1 1 4 1 16 fanno zt,& I | 1 6 | 256, che raccolti fanno 2 75 J cr tutte quefh fumme forti numerati dal 7 , & così qui ili fei ramini 1 1 2 1 4. | 8 ] 16 \ 32 \& quefiif\ tome 1 | 2 1 4 | 8| 16 | 32 I 64 1 128 | 2 56 1 raccolti infime fo no numerati dal detto fettenano , & fimilmentelt 1 a termini , la dupla quadrupla, & fede, opta proportionalita,iome per t (penarla trotterai. L’ottonario numero numera qualuncbe numero le cui vii ime 3 figure fono numerate daeffo ottonario fi come queflo numero 1 37648 perche t ottonario numera 6q%,che fono le 3 Jue vltime figure tmltner a anebora, ■& compone tutto el numero 1 37648, l ‘El novenario numera qualuncbe numero le cui figure gionte infume fo no ni morate daeffo nouenario fi come 1 2 348 le cui figUrcgjionte infime cbt fanno 1 8 fonò numerate daeffo 9. per tanto, &tfiò 9 numera, & càpo- nc'el dato numero 12348. El rumerò desiar io compone , & numera qualuncbe figura , thè finfffe onero termina in nulla cioè in | o come 50)60 ioo,&c. * • Etda qui facilmente fi potrafapcre quali numeri fiano numerati dal- li numeri arncul) cioè da 20 J 3© 1 40 1 jq | Co J 70 ) 80 1 90 J & anebo- i*w.s ^ li . . i . t 1 Libro Secondo . sa fa quindi faper ai fàcilmente quali numeri frano numerati dal i6\ j i \6.\ | & 1*8 | & filmili. Et quali numeri frano numerati dal i * | : 4 1 48 | cjT fimili. Inipórocb ; (l li numera ogni numero cl qual fi a numerato anchora dal fenario per numero paro', & così procederai in trottar le ntimer attorti de gli altri . La feconda Diuifione de numeri attratti. Nulla feconda diuifione el numero è diuifo in paro, Cr imparo, fecon- do Seuerino Boetio , & el numero paro è quello , che fi può diui- dere in due parti, ouero che è numerato dal numero binario. Et il numero imparo è quello che non è numerato dal numero binario,et ha la vnità de più chcl numero paro, come diffin'tffe anchora Euclide nelle diffinitioni del nono libro , li effemptj di quefli fono ,manife]fimi come 4 | 7 che l'vno è paro f altro difparo , El numero parimente paro è quello che e numerato da numero paro, in vece pari, come fono quefli 81 t6 | {2 1 6^ per che quelli pari, che numera no quefli li numerano con numeri pari, El numero parimente imparo è quello che è numerato da numeri pari con volte impari, come fono quefli 6 | jo| 14I i8| 26 I30I42I J4|/>er- che fono compofli de numeripari v cr numeri impari come 2 flap fanno 1 8 | & * fi* 1 3 fimno 26, & così degli altri . Varimente,& impar imente paro è quello , che è numerato , da numeri pari con numeri pari, & anchora da numeri pari con numeri impari, come fono quefli numeri 12] 24 1 36 1 48 | 60 \ & fimili,perche el 2 numera el 1 2 col 6,& lo numera anchora il 4 col 3 , fimilmente il *4 , è numerato dal q,& dal 6. Et anchora dal $,& dalT% , così il 48 dal+,& dal 1 2,& anchora dal 3, & dal 16, fimilmente il 60 dal 2, & dui 30, & dal), & li, & così li altri filmili , El numero imparimele imparo è quello chi è numerato folamcnte da numeri impari, cioè che li numeri impari lo numerano in vece impari, co- me fono quefli 9 15 | 21 &c. Et queflopu'o efferc compoflo,& primo come 2 1, & 3 1 &c. Detti numeri perfetti , abbondanti , & diminuti. IL numero perfetto è quello che è eguale a tutte le parti dalle quali è nu- merato, come il 6, è numerato dai, dal 2 ,& dal j , che giunte infie- DeirArithmetica me quelle parti rendono il detto 6, cori il 28, quali perfetto , i numerato dal 1 1 1 1 4 1 7 1 : 4 , che giunti infìeme rendono tutto el 2 8 , &c. El numero abbondante è quello che è minore de tutte le parti che lo nu merano, come 1 2 fs 4 1 36. & fintili . Ma il numero dimmuto è quello che è maggiore de tutte le parti dalli quali e nun.er noyCome fono 8 1 10 1 16 1 & altri fimili ,imperoche le par ti de 8 , fono 1 1 2 , (ir 4 , che fanno 7 , che fono manebo di cjfo 8, Sluafi tutte le fpecie de numeri fopr adetti hanno la f uà propria progref ftoncyCt MlguriJ'mo , el quale per effer de facile con fiderai ione lafciarò da , par te, -venendo folamente alla progreJfione,ar origine di effe fpecie de nu- meri. Della generatione, & progreflìone de numeri pari . LI numeri pari nafeeno dalla progre/Jione ^ iritlmetica,che fi eccede per binano , tome 2 4 1 6 | 8 J I o | 1 2 1 4 1 1 6 &c. ' Dell origine de i numeri imparimente pari . LI numeri imparimente pari hanno originr dal primo imparimene te paro qual è 6 , & fi eccedeno continuamente per el numero qua - t • fario Mruhmeticamente . Come fono quefli, cioè 6 J io| 14 1 1 8 | »l I 2 ^ I SO | 34I58 &c. Dellorigine de numeri parimente pari . LI numeri parimente pari hanno ongwe da quefia Geometrica pro- grrfjione , che comincia dal primo della fua fpecie, & fi eccedeno f « quadrupla proportene, come fono li infr aferitti , cioè q\ 8 | l6 1 32 | Ò4 | 12t>J ijfi &c. Deiroriginedenumeri parimente, & im- partente pari- ri numeri parimenti , (ir impariti, mte pari nafeono fecondo la prò- ' griffone Lontra bai monna , come 1 2 | le | 24 1 & perche ef'apro- grefjione • -J Librò Secondo. 5 7 greffeme eontra h armonica, ha folamcnte tre termini rationali, gli altri che ftgnono hanno progreffione ir regalar e, & f otto à qutflafpecie faran- no anchoraii numeri integri diametrali, de quali parlarono difotto , ncl- •‘lì feguenti trattati . Dellorigine de numeri impari / LI numeri impari Je feguono con aucfla progreffione ■Arithmetàca , qual comincia dalla unità , ti fé cccedeno continuamente per bi- . nario , come li fruenti l\}U\7\9\ ii\t}\ 15 1 17 1 *9 I &'? r ’• - f * * \u T J t,»' j . 1 ,1 utw: v'*\ 5 : Jlw.'. «lujWS Della origine delti numeri perfetti . Cap. 1 1. Gelide nella trigefmanona del nono libro, infegna, & di - mojlra l'origine delli numeri perfetti qual dice, così man do faranno accommodati alcuni numeri dalla -unita con tìnuamentc dupli li quali giorni infume facciano vn nu- mero primo ali bora C diremo di quefli numeri dupli mul tiplicato nella loro furnma produrrà vn numero perfet- to, comefe prima accommodaro quefli numeri 1 cioè 1 , ti 1 prono fe la furnma de quefli doi fa numero -y- primo , ti per che fanno 3 qual è nume ro primo, perciò multiplicaro quello 3 fia eh eflremo de tale furnma, ti- ferà 6 qual è numero perfetto , ti il primo de perfetti, perche le fue par- ti aliquote, che fono 3 j x,et 1 fanno 6 & procedendo più oltre accommo-l darò quefli altri numeri nella progreffione geometrica dupla , cioè 1 1 » 4 quali giorni fanno 7, ti" perche 7 è numero primo io lo multiplico per* 4 qual è [ultimo di tale ordine nella fummq, ti" farà 28 qual è numero perfetto , perche tutte le fue parti aliquote quali fono\ 1 1 j t| 7] 14! fanno 28 , cioè il fuo tutto , ti hanno tale proprietà quefli numeri per- fetti che fono fempre parimente , & imparimele pari faluo ohe'l primo qual è folamcnte impar unente paro , & el primo finijfein 6 , & el fecon- do in 8, & così fempre feruano tale ordine in infinito , cioè che quello che ■ in ordine diffiaro , cioè come il primo j ter?o , | ti quinto, tic. termina- no in 6, ti quelli che fono in ordine paro terminano fempre ini , come el fecondo | quarto | feflo , eie. in infinito , et effi numeri perfetti ordinata- mente nafeono dalli numeri dijpofli nella progre/fione dupla Geometrica , cioè che fempre il tci-minc confeguence continuamente è duplo alfuo ante- cedente, cioè. DdiAt^bmctica 2 | 4 | 8 | i 6 l 3 1 | 0 4. | 4 2 8 | s 6 |u.J i il 1 ■*".■ 1 ■ '>■ »-mì i J»t«i >*■»»' li' ■ i l'f1- Polendo adonque per qurflo ordine trottare il primo numero da numeri perfetti multiplica il primo che è 2 fiail fecondo, che è 4 detrai) codone prima la voti* del confeg/iccHe cfie r&arfi j y onde dirai, \fia } fanno 6, &^ucflo è il primo . Et per trottarti fecondo moltìplica il fecondo , de quefti fimlmente quale 4 fa il fuo confluente men r , cioè} farà 1 8 t qual 'e il fecondo de numeri perfetti, & per trottar il tertió moltiplica ftmibnentt il quarto ter, mino qual è 16 fia il fuo conferente men 1 , cioè fta 3 1 farà 496 , poi per trottar il quarto, moltiplica <$4 fia iffuo contenente men 4 , cioè 6 4, fia 1 2 7 faranno 8128» pòìnlitluplicfz 5 <?' fruii fuo cohfeguente men 1 , che è 5 1 1 , faranno 13081 6 , qual farà il quinto numero perfetto , & così prò cederai in infinito, onero pcrtrouarli Cbn più fàcile ordine lafciarai cipri via , & ordinai ai cucili numeri dupli, cioè fot: randa tempre l'vnita dal primo 6\ fecondo 28 | tcrtio j 49 6 \quarto\ 8128 | qunto | 130816 Ft così confiderà Lettore con quanta mirabile diffio fittone, et ordine tan to fàcile fi trouino effi numeri perfetti , così raramente diffiofìi , lmpero- fht folto produtti da doi numeri contrari j , cioè dalli maffim amente diuifi bili , che fono li parimente pari, et dalli minimamente diuifihili che fono li numeri primi, poi confiderà che effi numeri parimente pari fono talmen- te nella fpecic de numeri diminuii, che li loro parti aliquote gionte infime fanno f riamente vno meno del fuo tutto, fi come 8 ,cbe le fue parti aliquo- te,chefonoq\e. \\[{àrmo j,et dei6\ fanno i},cbe fono la -unita tncno,del fuo tutto onde f queflo fono molto filmili olii numeri perfetti da loro produt ti,et al oppoftto fono li numeriprimi che hanno filamele la unita perparte aliquota, et li parimetepari che producono li numeri perfetti méscano fola- mete della vnita ad ejfer perfetti, cioè le fumme delle loro parti, fi che -pedi che fono procreati de numeri mafjimamente ftmili, et minimamente ftmili, alti fuoi produtti, et conftituendo quelle parti fempre la progrefsione geo- metrica , anchora per varia addinone concititi feono fempre la progrefsio- ne %Arithmetica,delli numeri naturali principianti dalla vnita,progredicn ti fin al fuo integro ftvfo della quale jfcculatione fi trotta nelli contrapefl tome poi dirmo » 2 4 3 Hanno Libro Secóndo jf[ ss ' nonna ancora quella proprietà li numeri perfetti , cioè che neffuno, può numerare l’altro numero perfetto, fi come delli impari incompofii i nef fimo può numerar l altro numero impure incompofitoyetfono anchora al- tre par titolarità del numero fenario, de quali alfuo luogo fe dirà . Delle proprietà delli numeri impari . I II numero imparo aggiorno all' imparo fà numero paro , i L’imparo aggiorno al paro fà di/paro , 3 L'imparo nnmerafottratto dal imparo retta paro , 4 L’ imparo fottratto dpi paro retta difparo f. , . , . j 5 L ' imparo multiplicato nd imparo produce imparo , compntlo , 6 L' imparo multiplicato , nel numero paro fa numero paro .cópar Mente, -j+gA' partir vno numero d J paro per vn altro d'ifparo ne. vien dijparO , d oL partir v no numi ro paro per vno numero dìfpjra nevicnpa.ro ,ct queflo fc intende quando non ne viene rotto di tale partitone . - Le fpecie deUi numeri difpari fono due, cioè compofii , et incompofii li compofìti fono numerati da qualche numero, olirà la vnita, la quale nume rk : tutti li numeri li incompofii non fono numerati fe non dalla vnità , li nu meri incompofii hanno la fua proprietà neltrouar le dignità algebr alice ordinatamente delle quali ft dira al fuo luogo. ^tiahoraper li numeri incompofii fe trouano le parti aliquote delli nu - mòri compofii con vtile , et gioconda opcr.atione , come difotto appare . * Ter tanto fe el farà propoli» alcun numero cowpoflo , come farebbe 4(52 , lo rifoluerai nelle fue parti tutte aliquote, et incomp^fle, delle quali per le loro multipUcqtioni vien ppodutto elfo numero , in queflo modo,pri ma diuidirdi quello pit 1 , quale- tlphnfa nknerointompifìd ,’Jt éinirno de tutti, et ne vien de detta diuifione 231 , et referno 1 , et 2 3 1 , lo diuide - r ai per p, come per el minimo numero che poffi numerare el detto nume- ro 1 3 1, et me vien dedetta diuifione 77, et ref tuffi U 3,, et 77 diuiderai per q,cipb periti minimo numwjcbt lópoò diuvitre\ ciac venir anno il» cr così haucrut uuQcderpmtkfliedH politi aliquote, quali confiti uif cono il detto numero propó&aqufet aoÌ,z 4 gi| < jfo CU aJ fatte queflo V far ai le dirteparnrittainnetrm*’difetf(hyì[^'\n ro ,?> 0. t.V.v v* 1 Cioè midtipluaAxiqfln 1 tu ciocie vflif^c parti yetfo mau dcflra farà 7^1 mfar&èlprnu* ordine de queflo 3 parti , cioè 7 | 1 ] 1 77 , dappoi pi- gliar ai Ufe^Mmefaa futtefacompafla, cioè tl), perlaquale multipli-, . cktàbpiùtréd- primo mdinilk mAt.qmìfa te*fuoi produtti farai, . Pii ‘ orkmf to 4^ 1 yàoppo^mult^Marat fai- ’ cioè djp* tmuiiiUdintlppfi ^ * t • ‘ T 2 W delli 'DcirArithmetica et delti fuoi produtti quefle parti, cioè 2 | < 4 1 22 ( 254 |* | 42 ret l'vltma mult’plic attorte frmpre produce ejjo numera un egro per el quale ferri premetter ai la vn.tà, la qual è parte aliquota di ogni numero, bauerà adonque queflo numero 461 , quefle 15 parti, cioè 1 | ; | 4 1 6 | 7 | n J 14 1 il | li | ? | 42 |66 | 77 1 lui , et non più . Et per maggior tua ejfercitatioriè f Indierai de trouar le partile qual- che altro numero, come per effempio de 4 96 , così rifoluefai come difopra el ditto numero nelle fne parti aliquote, et incompofle al modo che facejli quell altro difopra , et hauerai tutte quefle 5 parti che lo compongono , iiplica le viti tinta , et con ijja penultima farai , it primo ordine de qmfli j numeri, cioè cioè 2 ( : | 2 1 2 1 21 ,| multiplica le vìtime verfo man deflra per la pentii 2 | j | 62 , l t per far el fecondo ordine hauerai 4 \ et 114, nel tergo to- nerai 8, ctoè mutiipticandoper li a antecedenti , et 248 , qual nafee del terg • J z verfo man ftniflra net vi timo numero che è 1 2 4 , | et il quarto , ordine fari 16, onde tutti infteme faranno 9 , cioè I f 2 1 4 ) 8 | ! | rv| 62 f 124 1 248 l'vltimo ordine , cioè 2 fi a 148 farebbe 490 , per el quale fi mette la vnità, perche el 496, in 496 , entra vna volta , et così prò uè - rai li altri , et fe vorrai le parti de 2 3 10 trotterai , che batterà $ 1 parti a- liquote * ■ - Et fappì che tutti li numeri meompofli fono impari, ò voi del di/pari fai no eh' el binario el qua! per ejfer et primo numero benché fia parò non può ejfer compililo , Et fc p olierai te parti aliquote di quefli dot numeri, cioè 284, et a*Q». ir onera ,cbe le dette parti de tvnogionte infteme faranno C altro t cioè le- garti de xxofaranno xSq.,et le parli de 284 fanno 220. . . ‘ ;» • i iti* De 2 numeri amicabili . Cap. C IL A quale conttenienga è mirabile , & fi chiamano quefli doi numeri amai orti, per b quali li magici naturali fin- . no cofe mirabili , ma circa di ciò non mi eflendo più oh- tre, hor vedi le parti aliquote de irò partendolo prima per ine verranno • no ,& queflo aneboraper % ne ve- nir amo 55, & queflo per 5 ne venir anno ti horadifpo - iterai quefle parti così cioè 2(2(5) 1 1 j poi multtplica t ultimo , che è il per 5 fuo antecedente fura 55 ,ér così batterai el primo ordine , cioè 5 ( 11(55, &■ quefli q numeri di nouo multtplica per t antecedente del 5 | che fu i\& infteme col detto 2 hauerai quefli altri numeri del fecondo or dine, cioè 2/10 (22 1 no poi quefli 4 multiplicarai finalmente perel pri- mo antecedente dell altro z i che fu per x^ batterai quefli 4 numeri * cioè Libro Seconda. S9 cioè 4 ao | 44 1 & a a 0 in cambio del piale metterai la vnità hjr [am- marai aio nane queste parti, cioè % 1 1 | ? f del primo ordine, & 2 J 1 o | ai | t io del fecondo ordne,& 4 1 20 1 4 1 1 1 del terzo ordine,& jkran - no 284 , cioè l altro numero ,propoflo . Ho'a pigliaremo le parti aliquote deidetto 284 al modo detto, cioè par tendo 284 prima per el minimo , che lo numera , cioè per a | ne venir an- no 142 | etqueflo partirai fimil stente per 2 min m | ne verranno 7 1| etquefli 3 1 numeri difj>onerai cos}tcioè 2 | <2 1 7 1 1 l,orJ multiplicarai C ul- timo per el fuo antrccdcnte,che è 2 j et iufieme con effo 2 farà il primo or dine, cioè quefii 3 numeri 2 1 7 1 f 1 41 1 bora multiplica quefii per f altro proffìmo antecedente, che fi anchor 2 1 farà 4 | ot 142 \et 284 1 el qual 142 non metterai, perche fu trouato anchora difopra , et il 284 metterai per la vnità, et hauerai queflo vltimo ordine de 2 numeri , cioè 4 « I bo- ra aggiùngerai infieme quefle 5 parti aliquote , cioè «4* [ 71 14-| 1 1 ^ * I & trouerai,che faranno 2 2c| cioè f altro numero amicabile, et così ojfer - ueraiin /imiti. Et quefle ffecuUtioni quantunque non fimo vtiliamercadanti, come de numeri perfetti abbondanti diminuti, et amicabi li, nondimeno fono vti“ li, et giocondi à moti difeorfi Thilofophici, e Tbeologicila proprfetà de quali copio/amente fi veder à net libro de M. T tetro Bongo Canonico di- iergomo intitolato de facris numeria . In quanti modi fi poffi multiplicar vn numero de numeri . ET fe fuff ero quefii ouer altri numeri a J 3 | 5 1 7 perfaper quante mul tiplicationi fi poffino far de quefii numeri, vedi quitto fanno lafum- ma de q. numeri della vnità continui proportionali , cioè 1 1 2 f 4 1 8, che fanno 1 j | et tante muhiplicationi men 4 fe potranno far e*, cioè 1 1 coti de gli altri in infinito . Et produtto limammo numero delle multipli cationi fra loro, dedetti 4 numeri qual è 2 10 f volendo trouar quante parti aliquote hauerà, vedi quante vnità hauerà vedi la fìtmma de 4 termini della dupla progreffio* ne, che comincia dalla vnità, cioè 1 1 2 { 4/ 3 et farà 15, e tante partiali . quote hauerà il detto, numero nocompoflo de quelli 4 numeri iacompo- fli, ouer primi , che fono queflt | 1 | 2 J 3 |j I 7 16 1 1 o j 14 1 1 5 1 2 1 1 } 30I42I/0I IOJ. Dctt’Arithmetlcà • 4 De numeri Iatcrali,(uperficiali,quadrati cubi,- t & fuperficiali rimili , & (elidi rimi- ! ; li , & Tuediffinirioni , " Ca^ ;i lì^ P M ' « I : o<. auì * j oi.na ciV-^y v' l A.* ** ritriti 1 ISr* nt r^Jf2sdf\l y elide tuli' ottano libro, de gli clementi; dìffiniffe linu- i O mcri denominati dalle figure Ceometrice, & prima li au meri laterali, così . . t‘ Li numeri laterali fono quelli per la multiplicatiqa dclli quali fono produtti li numeri, & effi numeri da effi * laterali produtti, fi dicono fupcsficialijmdepiinuxa fiir perficiale è quello qual è produtto da doi numeri laterali , come fé el fyffff -puafupnrficie rettangola de quattro lati , ebe lalqngbc'zgA.fuJfe braj^a-y, et la largherà bra^ga 4 multiplicando qurfii doi. numeri, cioè 7 fia 4 fi ranno a 8 bragia quadrati , etquejìo 28 ,fidicenunierqfpp€ìficial i lati di effafuperficic fono 7, et 4, fi come lafegucnte figura . ^ .1 . ’ .ir... «à%Vi i't> ouA*ùv«vi oiwo>TtÌ 7 nvuoilqblurn . llUffnJ v. x V viti»v *- • | i I2 Jij “ 7f> t+\- L' 8 I 9 t io| 11I ni ^ Hff iff-7?J-W| it.| ac| ai 22\ 1}\ 24! 2‘J 2( I 27Ì 28 1 T- Inumerò fotido è quello che è produtto da 3 , numeri laterali, come rebbe vna corpo rettangolo de 6 Superficie ebe batiejfc per lougbe-^ja ouer per vno lato bragja 5 , et per larghi la bra^a 4, et per altera bva ^ 3 [a J ,pertrouar quanti quadrai fohdi,cioè cubici, far a detta corpo muf.f tipficari s fia^ faranno aoj et 3 fi*,2t> fqnpo 60 , tf bra^xa 60 corporei fa rà detfo corpo,» effi) numero 60, fi chumarafolido , conte nulo da quel., li itati, CMfflytktf.} , UtOMbiQ&fW&fimili-i t . >»-..• ».;• . * . * I,fi lAfcVn i'1 1 3*11 »fe.k mmbit jv\a .•»« "‘D^riWierò quadrato0." lV*Vi kimuA J? 1 1 • 1 1 ? 1 J r*T0f “ r'ìfl ' I :PiTlwM,A> « «m . • ’ ,‘4 Ni' mero quadrato è vn numero fuperficiale , el qualè' tonjfiflt delìtì eguali, come farebbe, fe clfuffc "una figura quadrata , che per cia- r fckun Libro Secondo. 60 'ftbnn lato fkflc braccia J quella farebbe braccia tf, defuperUcie perche moltiplicando % fia j fanno 15, « quelli doi%, fono li lati cgu aliati il i . . Pprì™ confidente de 15 quadretti fuperficialUper tanto dirai che'l prò dottò de doi numeri erudii per la loro multiplicatiofte, fard numero qua- drato , comedi 9 | 16 | 25 1 $ 6, et li lati loro fono anchord chiamati ro- ndici, datali quadrati, come nel trattato de radici più chiaramente fe dira , et cóme difetto appar in figura, 1 1 . s_, 5 .Aì; V. J5*> jr f-v A* •1 1 ; I 1. 1 :l . ini . »,i Ai n - « lÀifs • - * - 1 * ; ■ : *1».*!' '» O ' i r. v • ! , J *\ . Vii. W \ :U*f I a I-,4 s ; , lt 4 | \ l 1 * ["] 1 Tqumero Cubo è vno numero f alido confidante de eguali la)i,comefe el fuffevno corpo de 6 , fuperficie quadrate rettangole come preci/ 'amente è vno dado col quale fi gioca , gr che per vno lato come farebbe per longhe^ jafujfe 3, & per largherà 3, & fimilmente per altera j , moltipli- cando quefii 3 infiemc farebbono 17, onde el if , fi chiamara nume- ro Cubo, prodotto da 3 lati,eguali, come quiui appar in figura. Li numeri fimilipoffono ejferefuptrrficiali, &poffono anebora eì Odi, li quali fono dijfiniti da Euclide nella quinta diffinitione , dicendo , Li numeri fimili fono numeri fuper fidali, onero folidi ». li lati de quali fono propon tonali. DelTArithmetica Ma perche non è fatta fin bora alluna inir Àuttione di proportene, ejfili caro (furila diffinitione per via dille fue proprietà , & di.o che li numeri fintili fupcrftcuili fono anelli che fchijfati, cioè ridotti olii minimi termini fono numeri quadrati ft come 1 8 j <T 5 o,fcbiffandoli fanno 9 ,& Xf,cbe fono quadrati . Onero multipUcando Pvno tuli altro, fanno numero quadrato , onde moltiplicando 1 8 fia 5 o fanno 900 , qual è il quadrato de 30 , & JO yfi chiama la fua radice , ouero a.icbora partendo l vno per l altro ne viene numero quadrato , come partendo 50 per li, ne vien 2 , che lajua radice è 1 & queflr 3 proprietà b a/lino per bora per deferiuere, li numeri fienili f< pir fidali, così lìfimili folidi, fono quelli prodotti da $ la ti, cioè che moltiplicati producono -numeri cubi, come fono qu.fli 3, nume ri laterali 2 1 4 1 8 1 , che multiplicati infìeme fanno 64, bemhe non fiano cubi, fe nomi tei ^ & fi come cl quadrato multipli c • to per vn altro quadrato produce quadrato, così el cubo multiplicato per cubo produce cubo, fono atchora numeri folidi fìmili quelli doi nurheri che f chiffon ne vengono numeri ckbì come 3, & 24 febiffati fanno -J- , la cui radice è -j- , ouero che partendo el maggior per el minor ne vidi cubo, fi come par tendo 24 per 3 ne vien 8 , q ial 'c cubo , onde faperai che tutti li numeri quadrati fono fra loro fimili,& così li cubi olii cubi, fono firn li, & han- no U numeri fimili nuffi aaruime fuper fidali grande vfo nelle fine: irra - donali trattati da Euclide, nel decimo libro, come poi fi dirà al fuo luogo ). Et è imponibile che dalla multiplicationc di vno numero quadrato in vn' altro n m quadrato, che/h prodotto numero quadrato , fi come egli è impoffìbile else aggiongendo vn numero paro a vn difparo ne venga nume ro paro . E’ imponìbile 'nchora che vn numero quadrato fia 'ferminato in[quefii 1 4 | digiti, cioè 2 | 3 1 7 1 8 | Onde quando vn numero hauerà appreffo nulle in numero difparo è im * pofsilnle quello e\fer quadrato come 9 o 1 9000 1 1 60 1 1 6000 | Quando fi trouarà vno numero che el fuo digito fia$ , non hauendo innanzi eli , che il faccia 15 , è impofsibilc,che quello fia quadrato, mot tecofe reflano da dire delti numeri quadrati, che Je diranno al fuo luogo. Della progreflìone , 6C origine de ‘ numeri quadrati, t REflami in qui- fio luogo di dire, aual fia P origine delti numeri quadra- ' ti, pertiche èdafaper che quelli nafeono dalla continua aggregatione delti V Libro Secóndo. 6 1 dcUt nanteri impari, difpojh fecondo la loro progrefsione,come fono nutfìi, * H^TÌ *7 I 4| 9Ì *6| 25 | *6| 49 1 54 1 81 | loo| in I 144 | 169 | 196, cioè aggiongendo 1 al j | fu 4 , er 4 al 5 farà 9, ir 9 al 1 fa 16 ,& > 6 *1 9 fa ■, & al il fa 16 , & l } al \6 fa 49 , cr co« /« infinito, laiqàùlc confì.lraiioncper le cófefcqucnti fari vtìlrfsimì: Pri altra fpecje de numeri fi chiama più Laghi da va laro che da l ai tro,li quali fono comprefi netti numeri fiiper fidali in genere . Delti numeri Diametrali. Cap. V. • i \ -1* \ I V5. -M‘0 i\*r. r** SI. «•> C •* - v w, J Efla 1 he io dica de vn' altra fpécie de numeri , che fi chia - mano numeri Diametrali l'vfo de quali è ‘vtilifsimo a mol te fpeculationi, et operai ioni Geometriche, come olii fuoi luoghi congrui intenderai . , 1‘ Sono adunque li numeri Diametrali , quelli , che hanno due parti aliquote che li loro quadrati giùnti inficine fan no numero quadrato , & la radice di tale aggiorno ,ouer fummo, fi chiama iliora diàmetro , dr per darti l'effempio per il quale vedrai il fuo ’dfoyfup fonerò che elfo vno quadrato , più longo che largo, & thè la longhegjga fiaq., £r la larghezza ], onde per fapcr quanto fa il Diametro di effa f* gara rettangola fi quadr ara il 4, & il j, fuoi lati continenti l'angolo ret- to, <& faranno ty, &■ 9, che giorni inferno fanno 25,- cioè il quadrato del fuo diametro, la cui radice è 5 ,qudl farà la longheggj del detto diametro f & perche ili, & producono 1 1, fuo tutto efio 1 1 farà numero Dia mettale, qual batterà J , & 4 parti aliquote, che gj onte in fieni c fanno nu mero quadrato , quali if, come in figura appare per la penultima del % < DcJJ’Arj eh melica E' tale numero diametrale quantunque poffa battere più deéme parti aliquote non tratterà però più de ducduiwtttyL’, cipb fht li l*r<* quadriti pianti iafteme conjUtuifcano njtmcr a. qu -t ir atollo cui radete fra diametro prpJutto da tfitejl' partititeli lati . | ; j . ; . - | . | j f ,, * * t V 1 ( -1* "o i * 1 5 ' ■ $, ^ • ' Dell origine , ÓC progrefsione mirabile dellinu- meri Diametrali , & che cofà fìa £*, progreflìone naturale . 1 rx 1 4 • r~rx ri a iir 1 J Li va i ‘ ^ nruj i \T Olendo trouar la progrefsione delli numeri diametrali difponerai vn' ’ ordine de integri colfuo rotto, talmente che l ordine de integri afeen de<à per la progrefsione naturale de numeri, la qual principia dalla vnità accrcfcendo fempre ejfa vnità rulli termini confcquenti così i, | i 1 3 4 1 $ 6789, &c. fatto quefro primo ordine àciafebuna de di tti numeri appliqttrai vn rotto che Labbia effa numero per nominatore , cioc che el no minator de tale rotto fra eguale al fuo integro , & per dimofrrarFo con fa* cifìfa reprefentarivn altra volta tffi integri col norninator fuo Copra la virgola a quefio modo 1 -J- 2 -Vjj -L- 4-i-$^-64-7-*-3 X 9 — fatto quefro gli applicare) a ciaf eh aduno li furi denominatoti li qua li dfeendara ino per continua progrefsione delli numeri impari comincia»* Jó dal tenario numero, fi come difotto li veder ai replicati* chi 1 V ir I 5 fi 4b\wj 5 rr 1 6 q- I 7 if | 8 rf-| 9 frq&a-m tufi hito , & vol&idfrtrouar. li lati \ de ciafchaduno numero. àiatyctvalt farai 1 \noJpW rpttf deciafehadum qual vorrai de quello integro, ci' rotto, & il nominatore onera numeratare (' come alcuni dicqm qual farà (opra la riga ,ouer virgola farà il lato maggiore di effq numero diametrale , & quello che farà fotta la virgoli per denominatore fari il lato minare., fi come volendo per el primo termino dimostrar quefro farai 1 -*p in vn fol rotto farà -f , onde il 4 farà tl lato maggiore, -trit j farà il minore , & multiplicando l'ynafia l altro, cioè 3 fra 4 , ti difra fempre numero diame trale ftmilmentejerjii col 1, cioè 2 -,lo ri fot uerai nel fuo rotto ftarà così -ti, & il yx farà il lato maggior e, & il 5 il minore ,& il diame- tralefarà 60 , cioè il loro produtto , ilcheprouarai quadrando l‘vno, & t altro faranno 144* & »5 > che giorni infreme faranno 169 , la radice dcqualtè 13 , qualfarà il fuo diametro , & così feguirai in infinito con queSfì’ ordine . Olir a di ciò potrai anebora augmentare efsi numeri diametrali in infini to multiplicando li lati di vno folo per qualunque numero , chevorrai}t!r fcr- 6 2 Libro Secondar I v * twaramn fmprela medefma proportene fiiwAefè muhiflfe'snH Kpri-' mi, cioè 3, &4,ptn fin amo 6 , «Jr8, che faranno V-httrWc'4%, &1i loro quadrati gioliti infieme faranno J 00, q UdlÀ nitmtrbqkddrato^a cìtf radice è jo, qual è il fra diametro . ’ ^ V vVnYA ' Et quindi ancbora/i manifefta,chc un numero diarketrdic ■multiplica- tflper »» numero quadrato fernprt produrà m'dfrro-nimrn -diametrale . lui* «tv^r ”"A ai ^ cS ' on ■ * a.m ii-iiLM » ^ „ J _ ... . _ o ini ! oò 'i <>v»v ì ■>ui ,\wj »v. \ Mir o\n uo < i j » T\lff>qri vfyltKtyrpgMffiotve naWabéenMeei contini* dalla viti# X-/ così i 2 3 4/678, &c. & a ciaf eh aduno de qnelti nume- ri integri applicar ai pn rotto che el fuo nominator , onero numeratore fo pra la virgoLrvminàa dal numero fettenario , & la frapfógrefsione cop t.nua lAritbmciica fi eccedi per quaternario, , <& poi il fuo denominatone cominci^ dal ottonario, & continui per progref sione talmente che el confo u guente eccedi l'antecedente per nujnero quaternario , fi cmeli numerano ri, drque/li replicandoli con li giunta fcf uà j rotti Jlaranno così 1 EJ-fl *:*H 8 _u| 4 *• I 5 éf I <* Ifj 7 fcl etc.in infinito, et qucSU ri frinendoti neui fuat rotti far unno (1 Juim numeratori Ài latimaggiori , et li denominatori li lati minori , come per efjeptpio il primo che è 1 -f- rf frinendolo in rollofiarZ cósT^che el maggior /lato fard 1 5 , et il mini ^yrfqmdraqdo Imo , et \i' altro faremo 2 iy , TT 6 4 ; et la fumma de quadrati lorof ara 2 8p , numero quadrato' che la fra radici farà 1 7, qual fard il diametro de detti lati, et il numero diametrale, fard l»Q+ruoèil prodotto de*; et 15 f,<oi lati, et così in infinite, procederanno , mai che reduplicando ciafchaduna de quelli infiniti parti per qualunque numero che vorrai , anali fono infiniti, haucrai infinite ffie eie de numeri diametra li, et ciafchaduna di loro' fard infinita , onde faranno infinite infinita, com prefe da vita particolarità oucr proprietà de numeri , fi come dif si dclhm meri perfetti effer erari, ma per infiniti , et inaurai dai ordini de numeri diametrali ntffmaprohoyionc l ùretermeffa x fi come nella progrefsionc de numeri naturali neffrn numero è prctcrmcffo. Terilche con'fidcratevoi Thilofophi , et Theologi , quali conclufioni fi po/fono raccogliere da qutfe coufidcrationi, benché qimti non fia luogo di decorrere circa tale materia . ... Qztfa òanchora vn* cqfa girabile, che folto ad infinite infinita denti meri diametrali nem^iuffia alcun ché termini in altro numero digito che lìl 1 . ntirr fi fkuor a . ‘ * in 2> oucr 8,0.ucr o . . 1 -v M tutti li numeri diametrali fonop « tormente pari, et impar imeni epa* ri. PeirAritfrmetìca ri, cioè fotto alla tertìa fpecie delli numeri pan , et è imponibile , che *H numero diametrale babbiapiù devio diametro, fi come b impofsibde,cbe vn numero quadrato babbia più <E yna radice quadrata . Ma egli è beh pofsibilccbe vn diametro /ia diametro de piùt de vno tu mero diametrale,come appare nella fegueute figura , ’ • a -u . £ anchora pofsibile,cbe vno diametro fia diametro de molti numeri dia metrali, come h manifefio per le fegucntefigure,oue veder ai dot rettango- la , che el lato maggior de vno è et U lato minor- de l'altro è 39 , che multiplicati C vn ne l altro fanno 2018, numero diametrale , et li quadra- ti de faci lati giorni infime fanno 421$; bdcùi radice quadrata è 6 5 , et f altro rettangolo è 1 5 00 produtto da fuoi lati , che l'vno è 60 Cabro 15, li quadrali de quali giouti in fumé fanno fmilmente 42 2], la cui radice} Et volando inuefligàre fi vno numero fia diametrale, ouer non cercar ai tutte le fue parti aliquote per la pegola fopr adetta , et partendo le mag- giori per te minori peruenirai fchiffandoad vno delli ordini della progref- ' finite fopr adetta , come volendo yed<re fc }6o , fia numero diametrale, ouer non inucfligarài tutte le fue parti producenti effo numero a due,à dut tt trotterai fra qkdle 40, et 9, et partendola maggior per la minor ne ve- ntri 4 -*■ che fb el quarto, del primo ordine della1 fuaprqgrcfs ione , one- ro li pro:*, rai quadrando l'vna et Cabra, et fe li quadrati gionti infieme faranno numero quadrato quello fari numero diametrale, il che era da auucilire . & potrebbe h queflò luògo trattare della numeratane circolar e,ma per effere man-, ia non molto grnueuole fe nonper caufa di ejjèrcitìo d eli eff rete dè ìfiktheriftàà \ et imparili jfo da ff tonato da materia piu ptile, la lafcta- frtfeo da paHd,è't fi pur ttfi effercitio ti diletta ricorri dir^frithmctica di Michaele Stifelio , che iui copiofamente la vedrai trattata 'r ■ j*V- ■ '■ Delle 4 Libro Secondo; 6 3 Delle progreflìoni de numeri. Cap. VI. finendo àifnpra trattato de numeri , & de molti toro pro- prietà, con fiie diflìnitioni, & diuifioni, bora tratt aremo de lì loro admirabili ordini , & progrt fiioni , de quali due ^ fpecie fono le più vtili , cioè V ^Aritbmctica progrrfiio- ne,& la Geometrica , cr prima diremo della jlritbme- tica . Checofà fìa progrdsione Arithmctica. L'^irithmctica progrefsione è vna fucceffione de numeri che procede p eguali differentie, come la infr aferitta 3|;|7|g|ii|2|2|:|?| La quale comincia dalla vnità , & fi và eccedendo per numero, binario talmente che aggiongendo tale differenza al numero antecedente ne rif ul- ta il con feguente come aggiongendo al j, la differenza ebeè s ne vien 5 , & al f fimilmente el 2 ne refulta 7, & 3 al 7 fa 9 , & al 9 aggiongendo 2 filli, & così in infinito . Dellc.fpecie de progrefiioni Arithmeticc . J E fp 'cic delle progref ioni Arithmeticc fono infinite, fi come anchora : 1 ’ ejfo numero efienfiuanu nte è infinit»,et la prima è quella che ognvno vfi nel numer tre , chiamata ferie naturale de numeri che ft eccede conti- nuamenteper l.f dif crin^a della vnità come nelle diffinitioni del fet timo di ce Euclide , fi come è quefla 1 j 2 1 } 1 4 1 5 1 6 J 7 | 8 1 9 1 io | &c. in infinito . La feconda fpecie comincia pur dalla vnità, & fi eccede per la differen- za del binario , fi carne la anteferitta | > | ) I 5 1 7 1 9 I Il| — La ter^a fi eccede per ternario così 1 | 4?7 | ic| 1 j | idi ire. La quarta per quaternario , la quinta per quinario fempre comincian- do dalla vnità, & feguendo in infinito . Et alcune altre cominciano da altri numeri, che dalla vnità comeqne- fift f 4 |6J X f to | 1 2 | 14 | 1 6, & altre finalmente infinite, per la agni tionc dille quali fijolueno molti difficili problemi in ^Arithmctica, ir Geo- metria, et altre fcientie da autfte dependenti , come leggendo più ultra in- tenderai. & DcirAfichmetica Regola vniuerfole, & breui&ima per la ic^Uade fi , fummanó li termini di qualunque Arithmetica progrefsione . } ' • ». ‘3 | lif »*' i‘ ' '■* * *'* % JF PI \epoSi alcuni termini della continua progrofsveme Arithmetica, et volendo faper la loro fumma breuementc, agghngérai li eftremi infie me, cioè il primo,et vltimo,ct la mira di quella fumma multiplicar ai per el numero delti termini , onero ejja fumma multtplicarai per la mità del nu- mero dalli termini della propofla progrefiioife^t sfprodntto fagd la fumma delti termini della detta propofla progreftione ; et accioche per esempio le cofe frano più manifefte proponcrò alquanti effempù de progref sioni diupr , fi, deprìma della naturale qual è in più frequente vfo ebetaltre,& quefta applicavo a qualche foretto particolare , drbfteUigtbile . Toniamo adonque, che ne fra propoflo quf fh> rhtrftto, quando la campa- na ha fonato ri bore quanti botti fono datti, cioè cominciando da vri bo- ra /inaile bore \2, perché il primo tcrmtnfiè i bora, & l'vltimofono i.a %ore aggiongerai, i al\ 2, farà i 3 , & qtreflo inultiplicaptr la mh idei- li 1 2 termini , d)c fono 6 faranno ji,& tanti trotti faranno datti kal prih àpio fin alle bore 1 2 fonate , il che poi efferimentare difponendo-li detti termini, <T furnmandoli inficine, «atbfrj >Ja li «o I il l 12, & tr onerai , che faranno 78 , & così giongendo il 2, ali i,& il lai io, & il 4 alg ,& il 5 al 8 , & il 6 al 7 , tutti quefii faranno 13, de perche fono 6, fumme faranno adonque 6 fia 13, che fono 78 Jbn fre aggiong^ndo li doi egualménte diflanti dalli eftremi , de quindi potrai cono fiere la caufa ditale operazione, & fi li termini fuffiro pofli in nume ro dijparo , come fono quffli 1 1 1 1 3 1 4 1 j | duptarai quello di mtzjp clip i 3 farà 6 , fi come l,& f fanno 6 ,•& 2 , fanno 6, ma nel aggfifi- gere trouerai , che fono 2 para, & mc^gp de 6 , che fanno l ],& così fa rat in qualunque progni ffitne, et così fi voltili la fumma de quefii numeri che ccmincianq dal 3 , etyfccndenò per cohtinua differenza dej in quefio modo 5[<4|s>|ii| 15(18*121 |24.| Aggiongt li eftremi inficine, cioè 3 , et 24 fanno 27 ,etpcrcbcfono$ termini piglierai la mità , che fono + , per li quali muhjplicarai tffafum ma , cioè 27 faranno 1 c8 , et tanto faranno li d^ttì 8 numeri aggioptÙB- fiirr.e, et così farai in qualunque altra forte de progrf fiioni Aritlmietfip . Et fitnilmtnufi el fuffe propofii quefii 8 termini di progrcjjipne.intpKt(i fa, chetante fiano le differenze di vna' forte quante de l’altra òfjjyyWW la detta regola come per ejfempio vedi . ' .. -a . Cbc Libro Secondo. 12 I 2 I 2 t 64 4 1 5 1 7l *1 io | * 1 1 Chela differenza del primo paro de termini è i , et del fecondo è a , et del ttr^pè i, et coti fanno Allemanda , tali differente* nondimeno aggion gi li eftremi termini infieme , cioè 4 , et 1 4 fanno 1 8 , et quefti multipla a per 4 miti delli termini faranno 72, et tanto farà la fumma della detta progreffione intercifa, et ùmilmente la infraferitta difpofia in termini de numero paro . differente a l 4 | a. | 4 } ' a (42 11 I »? I *7 I 19 I 13 | 2J | 2p | JI | II nufnup uf > o f ... . j fumma de eftremi 4» V )i 4 TjC| ififl in ' J - 1,1 fnmmd de termini 168 1 .ouHrnoj ornili r-r-v Et quefla regola fenduta nella progreffione naturale de numeri oueft ag- giùnge l'vnita che è il primo termino all ritinto, et tal congionio fi multipli taf la £ di ejfo ritimo termino qual è anchora la -J- del numero de termini fi dimojtra anchora Geometricamete in quello modo, poniamo che roleffìmo fapere quanto fu di area ma figura tr ingoiar e che comincia da rno quadra to in fino a 4 , afeendendo fecondo la progreffione naturale de numeri , tro aerai per la datta regolaeffere io quadretti , come redi di fotto mUafigu ra triangolare ab c, ma volendo l area del triangolo fernet fcalini la troue rai ejfer g quadretti ili he farà mani fe- llo tirando la linea a c , et perche ne' fio no tagliati 4 quadretti per meg?a dalla detta linea a c , quelli ne faranno 2 inte gri che aggiorni alti primi 8 fatano io, pertiche aggiungendo la rnità al 4 farà hqual muìtiphcata per la de ejfo 4, * che è 2 produrrà femp re rrio ' numero chtferà <ic. più tbt(areq del triangolo tanto come èia delli termini , come nel propofto cajo il triangolo fu 8 Geometricamente produtto, et li quadretti della figura graduale fono J.Q, cioè 2 de più , cioè tanto quanto èla-\- delli termini della datta progrqf- fiW' . . . \ I 3 5 7 9 DeirArithmetica Mora battendo data , et d mofirata la pegola di faper raccogliere tutte levnitàdi ogni progrefftone jtritbmctica per la notitiadclli termini , et dtlprimo,et ritinto termino re fiumi a dar j altre pegole generali a que- lla confequcntiy De quali la prima è di faper trouar il numero delli termi- ni di qualunque progres ftone aruhnciica mediante la notitiadel numero afeendente, et del p?tko,i t ritinto termine. La feconda farà di faper trouar e l numero aji emù ntc di qual fi voglia progrt fiion arit hmetica mediante il numero di termini de tale progresfione,del primo, et vltimo di quella. La terga f^rà di faper trouar C vltimo termino d'vna progresfione a- fi end ente per din ni ro , nel quali principia per lancila iti numero de termini, & cornar f mette . 5 j~." J ) Regola di trouaf il numero de termini di qualun que progrelsione Arithmetica per lano- icitia del numero di termini , cioè s termi — del primo, & vltimo termino. ni 5 9 »3 *7 ai 29 3? 37 • . « » ^ Volendo adonq; truarper regola generale il nùmero di termini di qua- lumy, progn filone A itbmetica mediate il primo,ct vltimo termino* & il numero feendentt , femprc fottrarai il primo termino da l vltimo, £r ìlrimane.r.ie partirai per et, numero afcendtntè , &■ lauenimento farà ilnumrro dell: termini di tale pr agre {siane, maina vio, fi come per grafia di efp-mpio polendo faper il numero delti termini di vna pr ogref siane , là qual comincia da finifft in ? 7 ,per continuo ecceffo di numero quater nario, filtrar aiq da 57 rcìlaranpo CP queflo partiraiper 4 , cioè per jtl numero appendente ne venir anno 8, al quale aggiongi vn<>,cioè il primo Jottra 5 che fitti adii farà 9, & tanti fono li termini , di ejfapr ogref none come Ve 4 | 3 1 di def crino in margine. ferodi di trouar il numero afeendente pervia 'termi- , del primo, ÓC vltimo termino, & del nu- * mero di termini , generalmente. 9 or nu tu •I T volendo trnuare il numero afeendente della dàta progrefftone de 9 3 a XL t ertiì lìti, de quali et primo è 5 l'vltrmo è i^fittràraì fimprepet 4 r cgola generateci primo del’ vltimo, & il refiante qual è } z, partirai-pek vno Libro Secondo. 6j yno metto del numero di termini che farà 8, & ne terranno 4, cioè il nn+ mero accendente, & coti farai in tutte . Regola di trouar l’vl timo termino dVna progref none afeendente per il numero primo di tale progreflìone, perla noritia del numero de ter- mini,ÒC conuerfamente . T T olendo adonq; trouar C vltimo termino diqualnq; progreftione jlrith V melica che afcFda per il numero del primo tei mino per la notitia del numero di termini Jcmprcmultiplicar ai el numero determinyp el primo, cioè per el numero afceiite,& il prodotto farà C vltimo termino , come fé la data progreftione cominciaffe da j, & afeendeffe fimi Intente per 3 , & haueffe 10 termini, multiplicarai j fiato faranno \Q,& jo fardi' vlti- mo termino, & conucrfamente fet vltimo termino fujfe 30, & volciii tro narel numero di termini per el numero afeendente partirai 30 per 3 nu- afccndente,ne venir ano 1 o ,et tanti ftrann 0 li termini di tale progreftione. Et fapendo tvUimo termino ejfer 30, et li termini effer io per trouar il primo termino,ouer il numero afeendente partirai jo , per io numero de termini, ne venir anno 3, qual è il numero afcendente,et il primo termi- 3 no, fono alcune altre regale particolari fopra il trouar la fumma delle pro- gref s ioni , le quali per effer compre fé folto la regola datta di f opra genera- ìifshna,U lafciò da parte,et volendoli fapere ricorri alla fumma di * dritb - melica de Frate Luca de Borgo Santi Sepulchri , & bora feguiremo l'vfo delle prepofle progrefsioni, fé non in tutto , almanco in parte pià cognita . I * 9 i» «f is- ti *4 *7 • • 10 Della inuentione delle aree delle figure de molti angoli propofli Arithmeticamente da Boe- tio, la qual c vtile alla difpolitione delle Qua- dre militari. Cap. V1L E^tUcfoprafcritte quattro fregole, cioè di trouar la fumma li ter mini, et il numero afeendente delle progrefsioni , fi trotta anc bora la regola di trouar la fumma delti pomi che conflit uifeono le figure delle fuperficie de moli iloti , ouer de molti angoli , pojla da Seuerino Boetio nella fu a vdrithmctica , come de triangolari quadrate , de j, de 6 , lati , et 7 J 8 in infinito, con ordine mirabiUfsim ) . K Tri - # y Dcll'Arithrhetica Trim mente rifoluerai t arca deila propofa fuperficie multi angula otte romultilatera nella fua progrefsione Arithmetìca, perche ciafcbaùuna di quefle aree conila de termini di qualche progrefsione Antiemetica ,infie- me raccolti,™ quello modo, che figue. Delnumero delati, che haueràìa propofla fuperficie fottr arai la uniti, et effa vnità farà il primo termino di tale progrefsione , et il rrflante, cioè il numero de lati ouer de anguli di effa figura men la vnità far a il feconda termino di effa progrefsione, poi vederai quanti ponti bautta quello lato della propojla figura, et continuami la cominciata progrefsione fin che fa- rai gionto a tale numero de termini, et fatto queflo li ridurai in vna f ummtf per laprima regola delle 4 datte difopra,et batterai la fumma de detti poi ti, quali per moftrar tvfo ditali figure fupponeremo , che ftano faldati da effere ordinati in ftmilc figura per preparar fi in battaglia , ir perche la prima figura è la triangolare, la feconda quadrata , la terga pr magona , la quarta effagona &c. prima daremo l'ejft mpio della triangolare . Supponiamo adonqueper caufa di tff<.mpio,chc vogliamo trottar t area ttvno triangolo Aritbmeti co fimite a quelli che propone S cu crino Battio nell Aritbmetica, qual fia 6 ponti per ciafchun lato, prima fottr arò la vni tà de j, cioè dal numero de lati, che ha la propofìa figura rifaranno 3, & così cominciar ò la progrefjionc mettendo la vnità per e l primo termino il 2 per il fecondo di ejj'a progrrffionc , & quella continuato fin alti 6 ter- mini perche il lato del propofio triangolo è 6 ponti, & per la dotta regola generale fummarò le vnità della progrefftone naturale da 1 fin all; 6 termi ni, & trouarò, che farà 2t, & 21 ponti farà t area di effa figura triango lare,non dico-Gcometricantc parlando, ma Arithmeticamcnte , come vedi teff empio quiui di f otto, & così dirai che el 2 x, è numero triangolare , & volendo faper in qual ordine farà dal primo qual è la vni- , o 6 vltimo termino tà, lo dimoflraró nel trattato 00 1 Trimo\ termino dì Algebra , ma bora lo dimo q 00 ftro , per vn'altra via qual è o o o o oggiongendo fi numeri infime, 00000 difpofli per naturale progref- 000000 fione la fummo de quali faccia il, quello farà il numero dell' ordine,onde aggiongendo 1 al 2 farà 3 , et 1 f arò il primo triangolo. 3 , il fecondo. 6, il tergo. 1 o, il quarto 15, il quin- to, et 21 il fefto , et così li batterai diffiofìi in quefta progrefsione , cioh l | 3 | 6 | io | 1? | ai | 28 | 36 | 45 , etc . 234$ 6 7 • 8 9 le differenge de quali numeri cominciar anno dal numero binario , et afccnderanno continuamente per t aggiongimento della vnità,ct tale è l'origine, et progrefsione dclli numeri trian- % ^ la -{-de termini 21 i A o o o o o o o o o o o o o o o o ' Libro Secondo . 66 triangolari, & così ojfcruarai in fintili, & de quefla ffieculatione,& al- tre (eguentife ne ferueno molte V lite li maefiri de campo, & altri Capita ìli nelle cufir urne tatto ni , <gr ordinante de faldati . Ma la figura quadrata Arith/netica fola cornitene con la C r cometrica , perche quella fi può trottare fol intente multiplicando li doi lati infieme , che contengono l angolo retto per la prima diffinitione del fecondo di Eu- <lide,ma net altre figure no fono coformi le aree prodotte Arithmeticamc te,con quelle , che fono prodotte Geometricamente , come per ejpcrientia intenderai , per tanto quitti ho pollo 'duo quadrato Arithmetico de 8 pon ti , ouer faldati per lato , ouer per fila, l'area del quale più fàcilmente fe troua per il produtto d' un lato nel altroipercheS fia 8 fanno 64, & tanti ponti , ouer faldati farà , ditto quadrato , Ma ptrò fe volejli per la medefma regola tm- kar la ditta area cuna r de 4 numero de lati re- flaranno 3 , & così farai via progrrffione , che comincia dalla unità , & che'l fecondo termine fia 3 , & così vada continuando fin a Ili 8 termi ni de ditta progrrffiouc, così 1 | | | ; / 9 1 1 1 1 t ì | 1 5 delti numeri impari, cr poi vjai ai la detta regola nel fummarele fuc mità, cioè aggiungerai li eflrenu termini infieme, & faranno 1 6 , & quefio multiplicarai per la mità delli 8 termini , cioè per 4 faranno 64 > onero la mitta di quello 1 6 chi è 8 fia li termini , che Jono 8 faranno fi- milmente 64. Et volendo trottar l'ultimo termine di quella tale progrefjtone per via del numero delti termini, doppiar ai el numero de termini far a 16 cattane la vaila rifarà l 15 farà 1‘ ultimo termino al quale poi aggiongerai el pi imo fura 16, qual moltiplica per 4 mità ddli termini far a finalmente 64 1 / come anchora fu Geometricamente ritrouato , Et fi come aggiungendo infieme li numeri continuamente della progref- fione naturale fi forma di nono vna prognffionc de numeri triangolari, co sì aggiongendo li numeri della progredirne fudetta,che comincia dalla viti tà , O- afecnde per numero h'mario,la quale fi chiama anchora prognflio- ne dilli numeri impari fi formano ordinatamente li numeri quadrati, co - me in quefta prugreffionc « M | v| 7 | 9 | il | l 3 | 1 J nggiogèdo lai} fa raq.& 40/5 furaci S 7 al 9 farà 16, & pai 16 fard ij jér *1 al *5 fitra 36 , ty I ! di 36 fata 49, 6' IS ni 49 fara 6\, che tutte que- fle fumine fono numeri quadrati dijfiajti per ordine fucccffiuamente , & le radici loro' fono li termini, che butto confiti itilo tali numeri quadrati, fi come i qual è tl primo quadrato è < nchora còjiituuo dal primo termino, et 3 fecodo termino infteme co 1 primo fanno q la cui rad. onero rad.è 1 fi coda 2 temtho DcIl'Arithmctlca t. mino. firn ilmente 4 ponto al j fa 9 U cui ratLè 3 cioè cofltiuita da j ter miniycht l tergo è j.igr così 9 ponto al 7 è </ quarto termino confli tu; 'le il 1 6 la cui rad.è 4 cioè, che voi inferirebbe li tali quadrati fono co pojL da tati termini de ditta progrefjione quante vnità contener ano le radi ci Uro , fimil'nente aggiongendo 16 al 9 qual è il quinto termino , cioè il quinto numero difparo dalla vnità,fara 2$, or larad. de *5 fura j,eioc /a ra eguale al numero delti termini, che cÒfluuifcono il fuo qu idratto,& cosi intenderai nel proceffo di effa progrefflone de numeri difpari, come vedi di» folto in d ue ordini de progrrjjlmi,cioè la prima dell! numeri diffari, & tit feconda de numeri quadrati dalla prima produtti . cubo 27 cubo 64 cubi numeri divàri 1)3(5 I 7^1^! | !J iTjT^ifT 1* numeri quadrati 4 9 16 *5 36 4 9 64 81 100 faprogreffionemai 3 7 9 i7 13 15 «7^ 19 termini manco. Da quefla medefma progreffìone ne fomarai ordinatamente anebora li numeri cubi, cominciando dalla unità qual è il primo cubo , & poi giun- gendo li dot feguenti , che fono 3,^5 fanno 8, che è il fecondo cubo,& pongendo ti tre feguenti , cioè 7 1 9 , & 1 1 fanno il tergo cubo , qual è 27. & g'ongendo li altri 4 feguenti fanno 64 che è il quarto cubo, & co- sì ranno feguendo co tale ordine, che el primo cubo è conflituito dal primo termino qual è la rnità , che in virtù è ogni (fede de numeri , & il fecon- do cubo è co' ftituito de 2 termini confegucnti al primo , & il tergo cubo da 3 termini confequenti alti 2 del fecondo, & il quarto cubo da 4 termini confequenti alti 3 termini del tergo cubo , & il quinto cubo dalli 5 termi- ni confeguenti alti 4 del quarto cubo,& le loro radici cube contener anno tante rnità quanti faranno li termini , che conflituiranno li detti cubi de detta progr ripone, come il quarto cubo qual i 64 è anebora conflituito dal ti 4 termini confeguenti olii 3 termini del tergo , de detta progrefflone , fi come anebora , la fua radice cuba è 4 , fi che il numero del ordine, & del- ti termini conflit uenti , & delle loro radici cubi fono eguali, fi come quiui per piu chiareggia veder ai replicato . prima cubo fecondo ck.8 tergo cu.ij quarto cu.64 quinto cw.729 rM rsA<0 A... » 3 5 li I3U5I7I9 212325272* 4 9l'<Sf*5l 3*U9|<4l8i|loo| I2i| 144) 169&C- quindi vedi nqfcerc vna mirabile h armonia de numeri . Del* Libro Secondo . 6 7 •\t ... .7 * .J -r • ' . * :* . '»l*- Dell area del pentagono arithmetico ET y olendo ftpere quante vnità ponti ouer f oliati, fe tale applicai io* ne ti piace contenera yna figura pent agona, cioè de 5 lati ouer ango- li *4rithmeticam1teJottrarai per tale regola dattadifopra 1 del 1 refi -ri 4,& cdHituerai el primo termino 1 ,et il fiecodo 1 4 1 di tale f>rogreffione,et feguiraifin a tanto numero de termini quato batterà vno de lati la tZlpro- pofia figura de 5 lati ouer angoli, poniamo, che habbia io ponti per lato an darai continuando fin a io termini qucfla progreffione così 1 1 4 1 7I 1 o | 13 1 16| 19I 12 f 15 | 28I trottando la loro fiamma per la detta regola, & faranno 145 ponti ouer altri fegni, fi còme yedi calcolato in margine, & quitti difiotto in figura . Et volendo mediante il numero de tali termi uitrouar l’vltimo ter- mino, dico, in quefla ta le progreffione multipli tarai li io termini per 3 , cioè per il numero aficendente di detta pro- greffione ne veniranno 30, dal quale fiempre ne 0000000000 cauarai s rifilar aiuto 0000000000 18 , & trouato quefto 000000OOOO v farai la detta regola , o 000000000 cioè giùngerai li eftr ani 0000000000 termini faranno 29, 0000000000 quali multiplicar ai per 0000000000 5 mità delli termini, ne 0000000000 veniranno 145, & così 0000000000 farai le filmili, benclteli 0000000000 potrefli trouar ancbora 4 p vn altra via non vfan do quello ordine * Et volendo daa detta progreffione aficendente per ternario comincian- do dalla vnità come fu la profilata precedente formar la progreffione delli numeri pentagonali da efifia procreati,procederai al modo delle precedenti, cioè giùngendo fiempre li termini loro, infume daiprincipio fin a tale termi moli produrai ordinatamente fi come fk fiuto nel formar la progreffione " delli o o o 000 0000 I OOOOO 2 OOOOOO O O O O O O o OOOOOOOO OOOOOOOOO IO 3 30 2 28 X *9 5 *45 t 4 7 4 10 *5 1 6 19 22 *5 28 *9 5 *4$ S X M -1 1 «4» progreffione de pentagoni k"r '.3 I 5 9 U 17 21 *5 *9 30 4 120 Dell’A ri th melica delti numeri triangolari , cr quadrati, come vedi quiiifotto in figuraci* fpofta in due progrt fiioni, cioè producane, cr prodotta . H I *•( >« I » I*» |2shff fc et 5 i'M 2*l 4S 7( I 9>| lt'1 Oue vedi, che el primo termino è tipi uno numero pentagonale, aitati il fecondo pentagono, & $ al? fan, qual è il tergo fimi Intente confiti tuito da 3 termini, quarto pentagono confiti uito'dìt ^ termini', & } S I • / quinto da $ termini, & così ordinatamente elafe tino fari inta le ordine , quale farà il numero delti termini chele conflit utfeono, come jf feflofard confiti uito da 6 termini, quali fono 1 1 4 J ? | » o | \ j | ! 6 » che fanno $1 ,& così figurai nclli altri , li quali potrai prò u are adviioM vno per la ditta regola vniuerfale di trouar Parca di qualunqtte figura , i comefe voleffi prouarefe elìj fà 1 17 per il nono pentirono dirai 2 y ; & 1 fanno' 2 6 piglianela fai 3 , quali moltiplica pirii 9, numero delli termini fari 1 1 7 , come fu propoflo, ftmilmente trotterai [area delle figk re de 6 lati cattando 1 de 6 rejlaranno onde cominciami quefla progref /ione dilla vnità afeendente per numero quaternaria écosì i | 5 , per tanto fevolcjlt trouar [area d'vna figu- ra eff agoni, ouero de 6 lati, che tanto farà, che fu de 6 angoli quan to de 6 lati che per ciafcbuu lato fta 8 ponti continuami la dattapro griffone infimo alh 8 tinmini , cioè l 1 5 I 9 | *3U7 1 ^ 1 1 25 I *9,1^ giùngendo (per la catta? sgola del /animarle progreffioni ) li (fin mi termini faranno ; o > quali multi - plicati per la mila delli termini qual è 4 faranno 120, & 120 vni ~tà fegni ouer pomi farà la detta -figura effagona ^ irttlmeticamente , come vedi di /otto in figura, & così -dirai che la ottaua figura effagona numerale farà 120. Et volendo tronar l'vltimo ter- mino dai fin olii 8 | termini multi plica 8 numero di termini per 4, nu mero afeendente de detta progrefjio ue farà , de quali ne cauarai fempre 3 , reflarà 29 , vlttnto ter n 1; 1)0 O 0 - 00 000.,: o o o- o O o o o o O O O O O o o .0 o o o o o o o. O; o o o o Oi U f - X 5 9 15 0 O 0)OL-0"0 0 0 *7 0000000 0 21 0000000 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 19 0000000 0 . • ’ 1 0000000 0 0000000 0 jo 0000000 4 000000 00000 120 0000 » 4 02 000 r- » 0 0 't infetto» , -ir t inno , V5 ’ éit. Libro Sèconcfo. <ss mino, feguirai poi a trottar la fammi per la detta regola, et la progr'fji me de li numeri effagoni tremar ai al modo deile prccedentì,giongcndofcmpre li termini , & col medefmo ordine , co %e vedi di fatto in figura « I 6 15 1- 28 I 45 | 66 | pi| HO. Onde-ri primo esagono far a la vnita il fecondo farà 6 1 il J 1 1 ? | » 4I 2 Sii fi 45 | .7 6 1 66 1 il 7 1) 1 lottano 1 2 o confiti urto anchora da 8 nume .ri come vedi qui difopra,& tale ordinexontinuarai fe ti piacerà nelli He- ptagokivttagoni,ér in tutte le figure feguenti,offeruando le medefme rego- _ le nelle infir ite fpecie de figure,& doppo le radici ti darò il modo di trouar li lati mediante li fuperficie toro. Et nota , che valendo trouar /’ vittimo termino de tutte quefle forti de progreffioni, che cominciano dilla vnita,multiplicarai il numero delli ter- mini per el numero afccndentc, & dal produtto cauarai effo numero afeen d ntcmenvnOfComefeCafcendcteè j necauarai\ z,&c.fe de la progrefjìo ne de numeri naturali, f cancellar ai li termini delli luoghi impari, come ilprimo $ J \ 1 & 7 1 &c.reflara la progreffione delli numeri pari come è fuefla x|4l6|8|o|i2|i4|i6.£t quella progreffione corrifponde al ordine delie figure demolii lati poflonclli correlar fi fopra la 32 del primo di Euclide, talmente che fara fàcile fapere elafe aduna figura de molti angu li a (juanti angoli retti far a eguale , come per gratia di efjempio io è il nito termino di tale progreffione, & la figura de fette lati è la quinta del gurede molti lati, per ilche fi afferma, che 7 angoli di ciajchuna figura tale far anno eguali a 1 o anguh retti, & quella de 8 lati, chi è la fefìa fara eguale ai 2 angoli retti, per che uè nel feflo luogo, & così giudicami de fi mili, procedendo in infinito, et fe della progreffione naturale de numeri fcan celiami li numeri delli luoghi pari, come il 2 1 4 | & 6 rcflarà liprogreffio ne delli [numeri impari come qui vedi 1 l i 1 5 1 7 I p | il 1 1 3 1 1 $ | 1 7 I ip | &c. Et quefla progreffione contiene tutte le progreffhni giomctricbe delli nu meri intcgri,che cominciano dalla vnita, eccettuando li numeri del fecondo luogo, per che quella comprende li numeri quadrati, & li numeri cubi, come di fopra chiaramente hauemo prouato,& ejfemplificatoji come anchora fi proua,che nel tergo logo di eia fauna progredirne geometrica, che comincia dalla vnitàfiritroua il quadrato, & così nel quinto nélfettimo , & nono , & nel primo quarto fettimo io,& 1 $fitroua il cubo, & nel feflo vndeci mo, & 16 trouerai il numero relato fi come j 2 la cui radice retata è 2 . Etti numero del fecondo relato come 20/128/0 trouerai nel ottano Ino tì 1 2 4 8 16 sa 64 128 2J« Deli’Arithm erica go,& tirili, & la yrtita in ogni forte de progr e/Jùmi contimela natura , de,!Mt!' U, num'ri’com'n'“'H tuntieffempidenumeri veder ai, & prim a nella dupla Geometrica . ,l1l+l8l‘^|j>|<J4li»8|»y<5|/ia|ioi4|io48|4op6|8iyi|»tfj84|}*7tfS. Similmente veder ai li lungi delle foprafcritte dignità de numeri nell* progr e filone de numeri, difpari cominciarne dalla vnitd effer difpofli nel or dine come vedi quitti difotto . • • l| >| 4|8|i6|j 2|6^|ii8|5 6)5 12| 10141:048)4096)8 191116384! ? 1768] la [fati *41 relati «I ?l 5l 7l9l « «I lj| 15I17I «9|»»l2?h5|*7|2p| ì >| ? |H|?7|J9|4« polli taf fati . La vnità è reputata per ri primo retato , d’ fini fi varca vno termino , cioè tl ;,<&• li 4 termini feejuenti , cioè 5 | 7 j -, J » ! fanno ri relato del I | r binario, ri qual telaio che è 3 1 fmilmente lo trouet ai nella Geometrica 6 1 } progrejjione al frflo luogo, dappoi fono laf ciati li 3 termini feguenti di e/fa 1 8 6 progr e/pone „ Anthmrtica . cioè ! ? | 1 5 | 1 7 . & la fumma delJi 9 termi- ni feguenti, cioè 19 j 1 1 | 13 1 15 1 1; | 29 1 3 1 l3j(j5| fanno ri relato del j fecondo termino di effa ^Ariihneiica progr tfsione , qual è rql,dap poi fono lafciati 6 termini , cioè 3 / 1 ; 9 1 41 1 43 | 4 5 1 47 | & la fumma delli l6 termini fegu;n'i fanno il relato de 4, qual è 1014, & così fegue con queflo ordine , ma li numeri delli termini da effer pretermefsi fono rap prefentati con quella progr ef sione , cioè 1 1 1 3 | 6 ) l o | ! 5 | a 1 1 18 I }6 , le differente della quale progr effione fono li termini deila progr e f sione na turale de numeri , come quiui difotto vedi . numeri lafciati fuora, 1 ? 6 io 1 5 ? 1 28 ?6 4S 55 differente 1345678910 La progrcfsione delli terra ni che fi aggiongeno doppo li /addetti è quefia di fatto . Libro Secondo. il* U!.•v!l,lL*vì5,^£.,54 6 9 Pff i 3 5 7 9 itti] li ":[ ' ’ *’ differente de detti termini aggiorni ritornano nella medefma progredirne de numeri impari come difopra . Et il numero delti luogo della progreffione Geomctrica,cioè li 8, qual ha r elulione al » , come certa fua jpccie di radice, & ha quefìa progreffione nella detta progreffione dupla Geometrica 1 1 1 8| 1 5 1 22i<0* nella fuddn fa progref sione de numeri impari , haquefto altro ordine , cioèlavnitd è il primo di filmile Specie, doppoi fi lafciano j termini, cioè 3 | j 1 7, & la fummadelli 8 feguenti,cioè 9 { 1 1 | 1 3 1 1 5 j 1 7 j 1 9 1 1 1 | : j uonflituif- fe ni, cioè il quadrato del cubo de 1 mu triplicalo per effo 1 fua prima ra dice, doppoi fi lafciano 1 5 termini, & della fumma delti 17 termini, che feguonofi confiituiffc t altro che feguita per ordine el quale hauerà la me defma relationeal j, fi come il 128, haueuaal 1 , qual farà detto il qua- drato del cubo de 3 moltiplicato per effo 3 fua prima radice qual numero ènij. Doppoi fono Inficiati 42 termini & della fumma dalli 64 termini chefe guono fi confiituiffc il quarto de filmile proprietà , cioè il cubo quadrato de 4 moltiplicato per effo 4, & così fegue in infinito, la progreffione delti ter mini daeffer tralafciati in quefìa inuentione de numeri è la Seguente . tuli *?h 5cb j ^165 le differente 12 17 48 75 108 M>*7 Onde cederai che le differente di effi numeri da effer pretermefi fono ti quadrati triplicati, fi come uè il triplicato quadrato de 2 ,et 17 è il tri pticato del quadrato de 3, et il 48 è il quadrato triplicato de +,& così fe- guono in infinito, la qual progreffione fi troua ancora per la multipticatio- ne relatiua delle f opradette due altre progreffione ^truhmet ice, come di fi to vedrai 4 1 , I Ir W * prima produtti | te l s 7 11 I 'j I.» Ivi5 Vi" *•' ,utf . IO ,s •2.8 | 3<s I J I .5 4» 90 r ) 27 i 420 611 . »»o»0 ' \ , • , » D - m k 0\ DelP Ark&rii bfréa Pi IO • • >! I » I f • I" Dellorigine de numeri foli di Aridi meri ci Piramidali. Cap. Vili. • •“ - 1\'*' . i i'if aiv. . ili..1 li** «•>b *:r it-curtt t • , r * P ^ J come dalla V 'turai* pró^rtftme denttmeri, cioè r I li . f xh 1 7 } r‘l ? \ io ì’ii f n |f * 1*4 1 giotigendok infime ve nafce la progrefltoue detta prima facete de figure , ciotta pvogrefjtone detti rrrmnri triangO 1 la r,i effrn lo fi triangolo la pi- ima fiv ara , rettilinea , coti !‘ . 1 l'f] ojf ' <>l } 5 1 vi h5i &c- così per taggongj* 'li t ehm i di quefla f fionda provrtffionc ». refui io «* IO ,* l ) | u \ 1 ‘ j ! I V I r *■ ** 3r lento delti temivi dìquefla J fionda progreffìonem rrfnlta la progrcjjitfi’ editti numeri piramidali , in quefio ordltjó come vedi di fono . Progrefèione de numeri Piramidali . “yP 4 41 T o | : o | 55 I 16 1 | 119 , ( cioè giùngendo t , tr f {annodi & 2 1 fanno 10 , & 10 fanno io , &<■ & queflo ordine ie T tramidifegnita l/t *rr •un * trinar V mìò> r4tr fedire* tv .^ftkìA L tY i iTJ 1 ’>*) l df t - ^ 20 T? v' J ~ ' . J w • — 'V 9 ^ • * 56 la prima figurativi dscf&no Tir amidi triangolici . 2 g ’ l j . . ‘ • • t " ' 1 il! 84 35 + t5\£» vii uum • % Dellorigine delle Piramide quadrate, cioè 119 de numeàpiramidali quadrati. ET fi come li numeri quadrati, che fono la feconda faetie dette /%*rr nafeono dalla feconda facete de progreffioni qual ideili numeri tmpa ri giungendo tvm /òpra t altro, così li numeri Yiramiiali quadrati nafeo- no dada pregreffone de numeri quadrati pùngendo f vnofopra l’altr*>*9- me vedi in quffti^oféihidef.rogreffìom. 1 ;1 i origine de num.quadrati ijj| J ] 7 I 9 1 * * I* 3j^lv^7ll9l*> r &*• numeri quadrati ^49j 1 !^_ numeri piramidali quadr. J IV4Ì JÒI45 I Hi | 1 > &*• cioè giùngendo 1 , & 4 fanno $ , & 9 fanno » f 4, &f- ven'ga Ipeue de figure erre tup ettagono naf.iunu »*• y sr ‘CÌ£ de prngrrftinne ^rithmeticarfl CCÈUC j>UQt Veder É Utili fcgUCntl J 6TÌI ni de progref sioni . > r * i Trullo I^ibioS^o^dpxi 7o Prillo pruine de nunjedafcc^id^ pef terreno dal qy^p^QiipJijnunic^p^^gpi^li ■ c* i i * I 4 | 7 | *o I 13 I i<* I 19 I 2i I 15 \ 28. ? ’ > <j i --'—>• Secondo ordine de numeri pentagonali dal qua- le ne nafconole piramidi pentagona ' 1)7 li giongendo li termini . i I s l i* | i* I ss I 5r i 70 i 9i f **7. &c. 1. Terzo ordine de numeri piramidali > pentagonali. \M * »«£ *»»«■.• • MT. v mm • * f*? **f *> I t W * I5>5 f lW, | 40? . EIcob fmutemdMedrprogrefmnii ciol prmo\ feconda} terreìquar f*rafsiS**,l1i!?,re>& c<™ hprogrefsiqù érte figure fi fbr **»* h fvMtprmi* inmmme dalle fitebafifitperficiaii, con ordb.t certo, et connnmo,in mfiwiio,d*iti quali ordtmfi-peffonr dedurre mirabili jijwww/,)» Tbyfica,ìn Mathematica r & in Theelogia 2 Se formano ancbora le piramide curie , onero troncate in ciaf Uno tO- mreì& li numeri offerì, & latenti i, li quale rum emendo di vfo £tLe h tafana Schermo *xtie*q*tfi*filaparrkotanri dtródelqmnario, & ^^numnocbejbm^eri cfr^crii perche femore umma» „ ferUt definì come 5 fa ? fama ffi* if funse 1 *? , tre. et 6 fia é fanno ìé,er s fa & f%ié,ae. Rara lenendo deferto* t orarne de prognffionidaBi anali nafamo le figure de fupetfvae triangolar tundre te pentagmteeffagone , ne. minfl nitOyVimh le piramidi denominate da e/fefitpnjieiernimreraiico» ordina degno di admir ottone » reftamia darla regolai nitter tale duro uar i area di qualunque figura rettilinea equilatera," equiangola Geometricamente perem non correfpendenulejigurc date dtfopra ^fmhmetuamentc , aUe figure Geometriche, l * S 1 fregola DelTArithmetica Regola generale di trouarela fuperficie dì qualunque figura Geometrica. : » m io $ / IO s ì. — ' V . 100 4 [ . 7 100 centro :? 1 U 1 * 'I - 1 i ? * : » rn nofriiTwi ’ 'juiLio oxuT h »• ‘ì Tirando lana linea retta dal centro di qualunque figura de molti lati equilatera,aUa mitta del fuu lato qual fi voglia ortogonalmente, & vrial tra linea del medefino centro alla eflremita del medefino lato , & figurato il triangolo orthogonio multiplicarai l'uno de lati con l'altro , che conten- gono l'angolo retto > & il prodotto poi multiplicarai per el numero de lati di efia figura multilatera , ouer multi angola , cioè nel quadrato per 4 nel pentagono per $ nel esagono per 6 &c. Hauer ai l'area di qualunque figu- ra propofia. Effmpioyfìa il quadrato ab cd dal centro f del quale menar ai alla mit- ta del lato a dia linea f e ad angolo retto . Dico,cbe multiplicando lafe con la ed terminata dalla f d nel angolo d & il prodotto per 4 hauer ai F area della figura quadrata propofia, fia adonque a d 1 o , & e f\ 5 1 & e d \fi- milmentc 5 multiplicarai 5 fia $ fanno 3 5 , & qucflo multiplicarai per 4 lati del quadrato fura 100, fi come trouer ai anchora per la fua regola par titolare multiplicando li lati in fé , cioè io fia io fanno 1 00 . Ala quefio eff empio ho propollo accio che ti ferui in ogni fiecie di figure de quali fi ricerclù C area fuper fidale . Et quefio bafii circa alla munitone de fuperficie & piramidi da numeri denominati . Et nel trattato de qucfitt perline», i alle progreffioni infegnarò à trouat filato delle figure propofie mediante la loro fuperficie fi che non fi può ope- rare feudale cofe, thè hanno da feguire . Delle, Librò Secondo 7* K Delle progreffioni Geometriche. Cap. IX. 1 grande confido aliane fono le Geometriche progreffioni perciOi.be forza la loro cognitione non fi può confeguire l'arte grande chiamata da .Arabi algebra » & almucaba- la,la quale comprende tutte le regole de * Arithmetici , & Geometri ,& per quella fi rifolucno quanti quefìti,& co* fi che poìjino effcrc propofti . Che colà ha progreffione Geometrica, & della loro differenza . LE progreffioni Geometrice fono differenti in quefto dalle progreffioni ^druhmetice , perche li termini della progreffione lAritbmetica fi eccedeno continuamente per eguali differentie, come ampiamente difopra appare , ma li termini della progreffione Geometrica fi eccedeno continua- mente per eguale multiplicita, cioè chctalparteì il primo del fecondo qual è il fecondo del tergo* & il tergo del quarto , & così in infinit o , fi come ap- pare inquefla dupla, & in ogni altra forte de ^progreffioni 1 1 2 1 4 I 8 J 16 3 1 1 &c. che'l 1 è la mità del 1 f.& ili del 4 onero che’l z e doppio alla •unità ,&il^ali,& 1 8 al 4, & così feguendo continuamentc,che’l ter mino confeguente è doppio ouer triplo ouer quadruplo, ouero ha eguale mul tiplicita al fuo antecedente . Della denominatione de progreffioni , & la progreffione dupla c deno- minata dal z per quefto che'l antecedente entra dueuolte nel fuo confequen. te, & così la tripla dal 3 la quadrupla dal 4 perche t antecedete entra tan te volte nel fuo confequente , & così delle altre. Regola vniuerfàlc cftratta dalla penultima del no nodi'Euclidede fummar li termini delle prò* grelfioni Geometriche . Cap X . Vlt iplicarai e l maffimo termine per cl numero, dal quale è denominata lapropofta progrt filone , cioè fe glie tripla farà denominata dal 3, fe quadrupla dal 4 tre. come di- fopra fu detto , & quefto produtto ferua - Toi fottrarai el mimmo termino dal fuo confequente , — 1— ctr ilreftante farà ditto rtfiduo minore,qual ferua poi fot tratti anebora effo minimo termine dal produtto fitto per la detta multi- plicatioHth « ? f M DrfVAritlwJPW*,! l 6 flit ottone, & il rtfltmte chi. onci ai rettdno maggiore, poi mulrtpliearai ef- 6 ~fo minihto tcrnein»' nel maggior rifilino »,_& il piodnf/o diujderaijfier el j 8 * minor refiduo, tr ne venera lafumma 'detta p rvpòjfa prrrptynqeBHmm^ 54 trica di au il uno tic feerie dep > oportione fi >bgHa , tori prinapia*»eàalt&, 161 vnhi/come da altro numero , ma quelle , eòe cominciano d atto venta fan* ' ' 'piu vtili y~ ^ec,^ j*le*4*nitr»oerdtitni . 484 1 4I968 |»4» 1 3 9 27 81 *4* mimai quejtaprogre]tioncTTipiarr m-rir. 1 7 -margine [filtrar al ideò, cioè etprhno dal fremdtH cenino rrfterarmo+p & qued&ftti KVÌflantééieer tofidtnx >Tnftp^fpnqr^p^tJ 1&X *&- fimo termino per ? , cioè psxd n^r. dcnominaée rifa progrcfstone fa- ranno 43 6 poi filtrar at aitcfTord V tbM ShmimcSial detto produco , cìfii da 4 %6refhtà 484.^ quefloè Hrefidu» magpvr^ndrmdupkcaA rai per 2 , cioèptreìfò minimo remino farà 96 È , gr t pnjta pnruvu pem 4, chèpfr et refichommmcnevenirann***» tfmkfarè Lofummu demo- fi termini, et così poma oflermrr iti nate . *vcf ‘ * .»••.. - fi-; Breitt Regola di fummar le progreflioni Geome- triche, che cominciano' dalla vniti^ k * • ' otV«C Moltiplica Cvltimo termino perel numerodal quale è dcooiuinata.lp\ <\rra pr^greffionr, et dal prrodMtocan *fl primo termine, & par n d rvnnmcnte per vn numero muore dunavruu , oboi numero <u.vnwi-x nani coffa data ffogrefièonr , «JP* franerai la [umetta . ... ■. ' _ . > Come voledo r accoglier rquefli 6 termini d ima progrefiione tt ipja &0\ metrica , \ 3 1 9 ! 27 | 81 | »43 P“fl' *« margine multiplica 243 vlumo ter 719 1 fretti ittte 1 | 3 |vi*'/ | *■ m | *1) r ^ o • -ntvm nei 2 numero 4tuomm.wtv far amie 729 dal quale catta 1 pruno tery ^ - mino refi iranno 7 2.8 qual parli per 2 , cioè prie vrrtoenuthrbinnrówde- nominanti *c vrnk\in»e & Miti /aitarne li ifitii 6 termini*wficme aggiorni, & volendo continuar vna ditta progrcfsionc multipUcaraifem- *1728 pre li antecedenti per el numero derifftrrifiarttt , in qualunque fxbfortionc 1*64 ejjet fi voglino . Ztqueftd regola quantunque fia piu brine , che la precedente è mali- co vniuerfale , penhe nm ftrutfe non nelle prOgrefs imi, che cominciano dall a virici . > s ' Ma in qual modo offa progrtfsiomt Geometrìe atfiv compagna della prò- grefsionenaturalc delti irtetherì lo federai irei trattalo d 1a Igcb ra^ metro- uerai , chel remino [accedente aUa leniti è radice duerni hrerrnhi , che Seguitano . * ‘ 1 - ‘•‘•-•5'"** — 6 Vrial .1 mmMhtió. 72 Vn altra Regola vniucrÉle* 8t brcuitfìrtià di tt&- uar la fumma de tutti li termini di qualun- ~!lc que progreftibnc <3cometrica tx> ij'n ffimciarrce da qualunque ’ numerò fi voglia. » ’ o : Volendo raccogliere la fumma delti termini di qualunque progrefsion . GèotiìtttkaftmpTè candii primo termino dall' ultimo, èt il rimanen- te partirai per Vito rndncó del nkriteiro étti qu alci denominata la detta fri- grtf sione , el t dàeuhrtettto giunto citi t Ultimo termino ditale progrefsione ti darà la [arma de tutti H temirii della data progre/siont t jComefe per (fftMpìdti fufpf prepOfta ma ptogrefsione tripla Geome- trica, che' l primo teiitAttófuffi fi ettultnno fufjt 6161 canari primo de l ultimo refleranno 6558 , et quefli parti per a , che è 1 manco de f ne venir anno 3179 » quali aggiongerai a l’ultimo termino, dui <t 6561 ,et fki arino £840 , . A ■ 1. Qual farà la fumma di taleprpgréfstoné , et fiiéjtd tifala tifituiràih ogni furie At’pidfrifsUnl ÓeòMdikl/htbUdòegni forte di ptopir rione . La conuerfa di quella farà a trottar C ultimo firmino della progrefsion Xkemettità itìpta , chela fantina faccia 9840, la qual fi farà per la cofq, et batterai*^ edita. 1 -4“ igaale a 9840. f Regola del fummar li termini della pr fione delli numeri quadrati. . : . . ,.,,Ì Cap- x L 1 l 81 *4* 7*9 Hi 1 6}6i 6 SS* ì279 9840 4 co. ter nHnì PI titnó . > ujicn co.ni. t. -ì*ÌÌo. ter.vlt. la fumma de tutti li numeri quadrati cominciando da 1 fìnaK, tóìtiutritrò\ eh feguitài ohi hl& farà 3 1 quoti - - ^ fatiti peri nmlpplka Umetti alfieri infime, doi 15 , et rifaranno »qo,&qudìo multtplicarayer la fetta fUtbPtd,Ìbìferuafli,^ dee per 3 % faranno quali partir aQcr la differenza , che i dal 1 fi/ 16, ne 12401 «4 'l 6 \6yne lenirà quel medefmo , ciS'7440 » «W» 1 5 orni fimilc quefito nr^eniranno 1 240 , rt tanto faxa la fumma deUt qua- !40 drati fin all 5 ittclu (tuo, et così farai lefinuu. 140 3» 240 . 720 7440 6\ 7440 1240 1 5 incinquo, et così farai le fimi lì. iM ‘ . ; J p ibi. ! n-;l ri iiJiJ • jhi.iTli/iilU] !.J ; Del fu m mar li termini della progrefsionc delli numeri quadrati fatti dalli nu- ri impari da i fin a qual nu- mero fi voglia __ . 1 j. tutti li numeri quadrati fatti dalli numeri dift*ri ìJJ_F da 1 final quadrato de 9 ‘tggiongi 9 a l altro fuo confluente di^ LÌ-2— quale . 1 far aio, & quello multipla £ 5_i_H_er 1 1 faranno . 9^0, qual ^fcpjupnfi fi ime fypra ne veni- — di in margine . Del trottar la fumma delti numeri quadrati Étto dalla progrefsione delli numeri pan » r fmilmcnte fe voleflt la fumma de tutti li numeri quadrati fhe.per orò £ * SV Ho fatti dalli '.numeri pari come per effempto fr^uatoatoit ,6 - 64 7m*Kif*o,*vtiÌ*tM,iPrr,‘ W'r"iViiu,r *» u j roo ranm l64°’7-;,o J , J|0 fempreper.fi, come neU* Ilio ne venir Oli j > JJ „eveniranno »*o,rt tanto farà la fumma de *a dot precedenti queftti facef. ne venir a l9j , ^ ^ 220 f Jrma et Poi ftmpre per 6 per regolagenerale , « quefeoper ottoni fono <12040 640 ... * |44°Vn altro modo di fummar tutti li numeri qua= drati da 1 fin a qual numero li voglia. =f£ ma della progreffione naturale da x fin alio, & farà J J » qual ferua poi io xm doppia H détti termini faremmo , tjpfoftjaqpu^d^plàto frtdpre fUfi ^2 | 1 fanno \\,& queHa fumma fempre parti per j ne' vieti 7, & queflo>mul 20 ~ tiplic4jia li che fopraferuafti faranno }&$,comc vedi in margine, & , - cofì, /arai le fimiri, ‘ , n' - ’■ . jTT 7-^7 Hs Regola di fàper raccogliere tutte le v arrà de na- ^ _ meri cubi che iòno da 1 fin à qUal nu- " •I > mératipiacciprogrersiuamente. Cap. XII. T fe volcfliraccoglicrc tutte le vnità de numeri cubi iute gri che fono da l fin a qual numero fi voglia ( poniamo per ejfenpio final 15, multiplica Li £ dedi termini in fe che fono 15, & la zfì 7 farà 5 6-%-aggiongi 1 per regola ad ejfi termini faranno 1 6; quali multiplica in fe fanno 2/6, queflo quadrato multiplica per £ altro quadrato della ± de termine, tioèptr 56 faranno 14400, & tanto farà la fumma de 1 5 numeri cubi, cioè dada vnità che è el primo cubo fin al cubo de 1 5 inclufiue , & così farai in filmili , ouero raccoglie le vnità da xfina 15 della progreffione naturale-, & farà 120, & quefta quadra ari lÌ4oo,&qne/U farà Idfùtnma de cubi da t fina i/,#- da qui è ma nifefìo chetale fumma de cubi è femprc numero quadrato . Regola di trouar in vamomento la fumma del- le djffèrenzede molti numeri pur cheilcon- feguente fia maggior dellanceccdéte ih qua- lunqutfmodo. rO: < t* SE faranno di/fiofti quanti numeri fi voglia pur che fitnpr e vadinocre feendo quantunque inegualmente fi & che roleflifirper in vn f ubilo la fumma dette loro differente fempre féttraraitl primo da Ivi timo , ir il rimanente farà la fumma de dette differente , come vedi in margine che el primo è 7, & Ivltimo èli J fottra 7 de 115, rejtano 108, qual è 1 1 fumma delle differente la qual cofa è degna da notare, & farfi per que fum.dclle Ha alcuni giuochi d'admirattone . diffcrètS . ' T Qitefito 8 *7 64 *** ai 6 343 512 729 1000 1331 1718 2197 2744 3375 14400 11 11* !*• *4405 _ 7 16 20 w *4 30 5» 64 90 1 1 5 7 108- v' < \ DeirArkhm etica tjt CI •a» w Quelito de Leon Battifta architetto. Lib. 9. l Tn* T chi diceffe trouami quanti numeri cubi fumo giorni infierite freon 8 -£-* do la futi progrefjìone che fecero 100 , piglia la radice de ito fard »7 10. bora troua li termini della pr ègre f sione naturale chela fumma faccia 6 4 io. doppiando io fa 2 o, & la radice propinqua de 10- fa 4 , & dirai che -1QO furono 4 numeri cubi giorni che fecero 100 . i:ij imj; j, h i i.b o.i.<r ’jhj il ijj rnrr. De alcune regole notabili: : » Gap: XI 1 1. Ella progrefsione Geometrica che comincia dalla imiti doi termini fra li quali è vno termino di megjo, onero ambedui fono quadrati oucr fono fimili atti quadrati . | > come fono 1 1 2 1 4 |.3 | itf) perche 1 et 4 fono v_ . ,V‘- quadrati Jhnm " r>~ T ' quadrati, & il fuo medio è i,& », & 8» fono fimili atti quadrati , & il . * 1 medio è quadrato, &%,&}! fono fonili f & il fuo medio è 16 qua- drato &c. Et fr quelli doi termini eflremi faranno quadrati, come fono 4 [ 8 | itf» fr aggiongerai cl doppio del medio termino alti altri doi eflremi la fumma r i farà numero quadrato : pecche 2 fia 8 fa i{? > & 16 fanno 32,^4 farà ■ 3 6, che c quadrato, & così faranno le fimili . ’frifMlt Regola. Ili Citi uh .ip»1(5 p E dalla fumma de doi quadrati pofli in detta progrefsione fra fottr, 7J ^ to elduplato’ddhne^ganoi clriflàntè farà nuhtero quadrato , coi come 4 I 8| i6, la fumma detti eflremi è io, dalla quale [mirandone ridoppio a° del 8 megjano , cioè 1 6 reflaranno 4 , la radice del quale? t , cioè quel - - 16 la che refla a fo tirar la radice minor della maggior , la qual regola fi ve rejta 4 rjfiCa cos} nette quantità ratinali, come irrationali , dalle quali regole fi, piglia il modo difummar & fottrar dille quantità irrationali , etbino- muli infume con la quarta del fecondo di Euclide . „ J Regola- Cf t + 4 Ì im&i&ònàói 74 n\' N Regola de cubi. J - * a . ji . . .:. il :i.rj r^.lla progrefsione Geometrica che comincia dalla vnità quali vuoi ^ ^ doi termini fra li quali caduto dot mezzani, ouero che ambedui fo- jtò 4 uui.ouero che fono firn fi all : cubi , come m ìfucfla duplapro^reffi ne Geometrica » (ìob\ [ | j 1 8 1 1 6 1 j 2 1 64 tra la vaiti , et >ì* 8 uh fono doi metani 3 , ei .4 , w pei ciò , 1 et 8 fono cubi, et traili » et il il? fo * »o interpoli: 4,4/8, perciò il i,et il 1 6 eflrcmi fono fimili alti cubi: per- che partendo il maggior che b 16 per 2 minore ne vien i , che è cubo , et . così rulli altri , come meglio vedrai difutto . • tf* «8 "4fti J >4 '» icfiai #1 'i n iit.nl wBiii -ime, Ojk’Ol ili a *\j Regola de fottrar cubi . k- •••. f : o cji\i . ò . ni'u.,' t. S'“ * E, iallafumma del maggior'cuko , et del triplato del minor numero wrcfeó, /?<2«0 fot t fati d minor cubo , et il triplato del maggior nu r * 1 iitio mi “^ano, quello che reflarà farà cubo fio radice cubica del quale fa- <>4 ri »7 refiante, che b fatto nel fottrar vna radice cubica, dell altra rcomefc *4 fu/fero quefii 4 termini %\\6\ìz\6\, cheel triplato dei minor numero 8 8 me’gjuno che è t6 multiplicato per 3 fa a 8, et giorifoM maggior cubo , 9^ 64 /ir4*l I 2 , et ffoi triplarrdo 32 maggior Numero fif ^gano fa ~ $6, qual giontò al minor chbo fa loop, et quefla jummadeiratta da l'altra, ciò* da fi 2 r7fiar2 $ , tavuhradìce-ettha farà qudlqjhej-efia a fottrar rad'.cu. 8 de rad: tuba 6+,c/ci 2, et c&l farai le fimili come vedi difolto . 8 8 1 1 * I 3 » I <5 4* • -£ | 3 ' 4 8t ^ ; V 104 rcju rad, cu. 8 K*' Ddl- Arichmcriqi Regola del furti marce de ce ouer quadrati de quadrati. Cap. XII IL AM - l.l; V v> + ( • 1 f V* ‘ < ' ” * { ^|t NSlla pro"rt(fion Geometeex, che comincia dalla vnìtàli dai ter- mini, che tengono in me tre termini , onero fono quadrati de quadrati, onero fiatili a li quadrati' de' quadrati , come fono , ■ che la vaiti, & il 16 fono eflremì , A. & ib 3Z & fono quadrati de quadrati perche ... j I la r ad. delta rad.dexV V, & là tad, J rad.de 16 è 2, & 2 , Or 31 , che E/Jyttni y hanno 3 numeri metani , che fono - — 4 | "I <r \6\ fono jìmili allk qua- \ . • r'\ drati df quadrati, per cioche parten do 3% peri ne vita t6quaUfce.ce. cioè quadrato de quadrato , & così giudicar ai de fimili . ~ ' x . Et fe quelli doi termini faranno quadrati de quadrati tome 1 , Cr 1 6 alt bora la fumma dequejli doi che firn no ! 7 gionta al primo me^jjt- no , ch'b 1 multiplicato per 4 , chefh % fièri i q , Cf al fecondo metta- no che è 4 multiplicato pei 6 , che fit »4 » & • f co1 ttr*? mettano che è 8 multiplicato per 4 > che fora 3 1 giorno fimiunente al far anno 8 1 vno quadrato de quadr Mola cui rad. far a 3 qual e la Jtm~ -ma delle due rad. rad.cioè dar ad.i & rad. 16 , ebe fimilmcntt fanno J> come vedi di fotta . ■ : . medif xffl4l*ì'6l EJlremi ■ - 16 1 4 8 X 4 6 4 17 8 *4 1 7"”™? ;«j s »4 3* « f A; K* * K'As 16 AeAt 8 x fi * fi * t b • •• j im! • Regola Libro Secpndo. 75 Regola pertinente al (bttrar delle Ibpra- detee quantità • AT^chora fe dalla fumma de ambidui quadrati de quadrati infirmo col fecondo numero melano multiplicato per 6 ftano fottrati li alti t Joi numeri metani, ciocci primo, Ó" tertio numero melano non tiplic.it i per 4 all bora el reflante farà quadrato de quadrato, la cui radi* 'ce quadrata della rad. quadrata farà quello , che ne reflara fottr.mdo l una rad. de l'altra rad. come per esempio ftano limedefmi termini i | i j -f [ 8 | 1 6 , che pianti inficine li eftrcmi quadrati , cioè i&x 6 fanno ij , &_ giontoli 4 fecondo numero melano muliiplicato per 6 > cioè 24 fara 41 dalla quale fumma fottrandone , el quadruplo del primo, tir del tenia numero mepjano , che fanno 40 , ne reflar d 1 la cui rad. fara il reflante cberrfta fottrando la minor della maggior rad. cioè rad.ide rad. 1 6 , che voi <{jr 1 de 2 , che refla 1 , come vedi quiui ttifqtto . Sm G I ^ O • altro effempio 16 | 32 | 64] 128I256 6 1 6 H-f 2 * I 4 8 3 4 I 6 »4 4 8 I 4 T\ 4° s 16 I 17 *4 4i 40 rad, 1 3» 4 118 ■ ■ ■— 27* 384 128 ■ 4 6s6 128 ” 640 1 6 640 cioè 2 refla Regola pertinente al fu mmar òt fottrar delle 1 adice rclace. ella progrefsione Geometrica , che comincia dalla vnità « qualunque ■tN doi termini tra li quali ne fono 4 mepgani, onero f vno, et l altro fo no telati, onero fonili olii relati , tome quiut appare . ll>l 8 3± 40 3» ^ i \ DcirArithmetica 1 1 a| 4|S | t6 1 1 : 1 64 \ be lavnità , et il ì a fero relati , et ^ tl 1 , rr £4 /efcf faib olii nlatptr cioche partendo il maggior per il minor eflretno > fict 6qper a nevienft qual è numero nlato . Et Jc quelli doi termini faranno relati, cioè l,« ;a, ouer altri reiati allora la funivia de quelli dui relati, et del pi imo, et quarto meg^animul tiplicati per et de gli altri dot mezzani, cioè del fecondo , et terfomul tipi, iati per 1 Oi farà reno numero relato , la radice retata del quale farà il congiùnto delle due radici relate dell* predetti numeri relati come difetti cederai in figura. /•*- 1 1 a 1 4 1 8 1 1 '6 1 5 1 10 1 .10 | 1 5 IO 40 | or O 1 1 80 •emù v \ tu • ■*v ì 1 1 \ « 3? 80 Out vedi che la radice relata 1 f 10 ^ de 1 "ionia, alla radice relata de 40 aa lai à radice retata de 243, la 80 quutU è 3.,p- fi 1 9 ? 81 3 »4J Sai J1 Ui If 01. Regola pertinenteal fottrar denu- _i meri rèlati. lOfO A 'Kchora fe dal congiùnto del maggior termino relato , et del primo nu A mero mt^gemo multipla aio pfr 5, et del tei 3 [ome^jano t/iultipli calo per iùW jortrdfb e l congiùnto del minor re lato j it dd fecondo nu- T/uro mezzano multiplaatoperia, et dpi quatto ninnano ihultiplicato per quello che rcftarà jara nunufórclatol laJtui radice retata è il re- flua! è che rifa ntlfottrar la minor, della maggior radice relata, et così de altri in infinito, come appare difotto in figura, nella medtfma prógrefyifo che d.fprafji polla . ir/l ** * i<jj . tu.h < . iiitniV 0» Libro Secondo^. 76 K? i 1 I X | 4 |8 1 1' | - *■ 1 64 1 Il8| 40 metani io 80 80 Alni -M iif. $ . ' f- !.. l'i )'. ». *frt CtfV I •#*\ - lai 121 III refla . 1 la cui radice relata è i , cioè il re/lo de . i . . radice relata 1 fottratta de radice relata 31 , ’* **’ la qual è i . Qjiui farebbe da moflrare la conuenienga della progreffìone ^fritbme fica alla Geometrica, & come t aggiùngere della Jirithmetica èftmile al tnultiplicar della Geometrica . & ilfottrare al partire, come in quefli ter mini 1 1 4 1 6 | S , che giorni li eflremi fanno io ,& così li medu gionti fanno io , firmilmente nella Geometrica 1 1 4 [ 3 | 16 li eflrenu multipli- cati fanno 3 a , & futilmente li medij , & così il duplar è filmile al’qua- drar , come facilmente da fe fieffo eia feuno potrà prouare effa conuenicn ga. Ter tanto lafcio la cura alingeniofo, & curio fo Lettore , & venirti al trattato delli quefiti pertinenti alle progrcjftoni „ Delli cafi folubili per le date regole de pro- greflioni. Cap. XV. Primo calò. Ono due viandanti , chef parteno da Hpma, & vanno à Vene ti a, il primo camma ogni giorno 1 2 miglia, il fecon- do , che fi parte in vn medefmo tempo el primo dì fa vno miglio el fecondo dì ne fa 2 et tergo dì camma j miglia & il quarto dì camini 4 miglia , & così ogni giorno crefce vno miglio de più del giorno precedente. Diman - do in quanti giorni quefli doi viandanti caminando per vna mede fina via fi ritroueranno infieme . \ 'appi che in quefte filmili conni en trouar vn numero , che giontoli 1 & la fummo moltiplicata per la — del numero faccia tanto quai.tjejfo. bu mero mu luplicato per 12. I I a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 13 14 DelTMthmeticil Il per trottarlo per regolagenerale doppienti e l nume r» di quello , che cantina femore egualmente ,ctoh 1% faranno i 4 & di queflpfempre ca- uanc i rifaranno a? , & intontì giorni l Vno aggrotterà C altro, cioè bautta cantinato tanto [uno quanto l'altro, & quefio numero fard t ulti- mo termino della progreffion Arithmctica naturale . ■ Et la caufa di quella operationc fe dirà neltr aitato d ^Algebra, cr “PO* lendola al prefeate per quelli , che fono introdotti per trouar*fo ritimo termino fi metterà i co. giungili i far a \xoif. x.multtplicaper la -j- fo- ra ce.p. 4- co* eguale a ! a partii per II cerne -reniti i ce.p. i .co.egua tea\a leuo li fuperflui batterai ice.eguak a i , , & tanto farai ritmo termino, come vedi in margine, che raccolte tutte le rmtàday fin olii i a j fanno ìl6,& anebora multiplicando giorni a f per i a nHgHttfa- jl ranno miglia 276, come vedi, & così farai le limili in vnfubito. 276 Secundocafo. • . ^ * V 0 * ; * ' 1 » I ^ | * | i ■ ET fc alcuno di celfe fonodoì homini , che fi portato da m medefmt hooo , & in vnmedefmo tempo, dprimo vi continuamente ai mt- * -t glia al giorno , & H fecondo fcguka et primo nilla feconda freett di pro- l 5 oref, otte Aritmetica, cioè in quella, cheafctnde daUajnka 1"™*- 1 6 ro bi„ario , cioè che’l primo giorno fa x miglierei fecondo ne faj , &d 1 7 tenia di camion 5 figlia , & inquarto giorno 7 , & cosi dipoi , dimanda 18 in quanngiorniCamot^giaogexaa^altr.0 - ; ' i j ! Ai 1 9 Sappi che caminvndo miglia 2 idi giorno , che b fogna ejfer rno un- 20 mero de giorni, cbc'mthip)icatrp& 2 2 facoimrtanu quanto, Ifuo jua- 2 1 drato perche quadrando il numero delli termini della progreftone delti nu meri impari fi produce la fummede,di*ta pragrejftone adonque è neccffa- rio , cheli numeri delli termini , che fonali giorni, & li numeri delli mi- olia che fa al giorno fumo t guati dirai adonque, che fi aggiogheranno in fior ni a a facendo al giorwmiglia 2 i , & fe faceffe 14 miglia , & m 32 23 1 *4 in giorni a a facendo al giorncrmigU 1 1 ~ tanti giorni anchoras aggiongtrebbono • _ 264 La prona fi farà per la regola generale del fummat le progreffìoniptr* ia che bifogna , che habbino fatto tanti miglia l'uno quanto /* altro onde ax TZTmiglia al giorno in ai giorni haueraano fatto 484 miglia, & cositro- _ \ uando l'uìtimto termino de a» termini dir ai 2 fi a 23 fanno 44 cattane 1 2 * Etefjendo 43 l ultimo termino aggiongili ilprimofara '44 quali multi- . . [ 1 . ' a-nt rtn> ner 1 i faranno ftmilmcntc 484 mi- — 7 — Ete fendo 43 t ultimo termino "f" .7^ ' 1 . 484 plica per Umiltà delli termini, cioèpv 1 1 faranno fìmtlmentc ^mi- nia, onde hai la ragione, & Uprattkainjienie . . • Et che diceffc , che in tale progrefjionc hanno fatto mtgltaratf 4 & ft fono 0 4 Libro Secondo . 77 fono adonti , fi dimanda quanti miglia hanno fiuto al giorno,& in quan- ti giorni fi fono giont' , onde cauando la radice de 484, come fe infegna- ra nel fegueute trattato , farà 22, & tanti faranno ligiorni , & tanti li mi glia che Inno fi al giorno . Terzo cafo. . 1 , . I v DOi viandanti fi parteno da vn mede fmo luogo, & invn medefmomo mento , & fanno vn&mcdcfma via,& il primo c amina ogni giorno miglia 28, l'altro lo fegue neUaprogrrffìone delli numeri pari, cioè che il primo giorno fa 2 miglia il fecondo nefaq, &■ il tergo 6 , & il quarto 8 > & cosi fegue , dimando in quanti giorni il fecondo hauerà aggiorno ilpri- m° , per far quelle fimih cattane 1 dal numero propoflo,cioè dazi reftarà *7i & in tanti giorni 1 hauerà aggiùnto , Proua. f-‘ * /, *•'. * * ,».’*• » 4 * l\ . r l' ' 1 *V : * , T) Ercbefono 2 J termini, & doppiando Inumerò delli termini ne vien •*. / vltimo termino che farà 54 de taf. pngrnfione de numeri pari, & a queflo aggiùngi el primo termino che è 2 fa. à j 6, quali multiplica pir , la £ Jeili termini, cioè per 1 j -j" fanno 7 $<$, ó~ tanti miglia faranno, an - * chora li 27 termini che fono giorni moltiplicati per 28 miglia perche 21 ?» fia 28 fanno 7^6. .j *f Quartòcafo. * |"V» laminano per vn uiedcjmo viaggio , & cominciano a vn tempo: il primo ogni giorno fa 36 miglia , il fecondo lo fegue a queflo modo >9 che il primo giorno fà 3 miglia, il fecondo nefà 6,& iì tergo nefàg ,& ge così fegue per exceffo del ternario, dimando in quanti giorni il fecondo s'ag ** t_ guaghara di camino al primo . f 7» » Duplica 36 fi 72 per la fumma delprimo , & vltimo termino di tale tir 79I* progi effionc,cauane il primo reflanno 69, per t vltimo termino di tale prò - *° ^ , greffinne fi troua il numero di termini partendo l‘ vltimo per 3 numero a ■ fccndente.ne venir anno adunque 2 3 termini, & in tanti giorni t' aggiùnge - * 1 ranno, come vedi in marginerà proua fi farà raccogliendo tutte le vnità i* dal i fin ni 69 per la r ego la data , & faranno 828, & tanto faranno an 5®* choì a li 2 j giorni , cioè li termini della progreffionc multiplicati per li 36 |f,* miglia che fanno al giorno . - lòluriòne V- Et DeirArithmetica d'j di'6 ® tutte qurfle regole nafcono dalla prima vniuerfaU,& dalla pofttio-- fU a”uo emettendo frmprc chcl numero delti termini fia no. perche il numero luogo. dell i giorni cbe fi ricerca non bah.» chcl numero deili termini di tale pi ogrc/fione,comc vedi difotto, che quefla fi troua con tale qui filo, cioè tra it uni vii numero di termini , ouer di giorni , che tanto fàccia tnultiplicato per 36, quanto multiplicato per 3, numi ra afeendente, & giùntoli 3, primo te> mino , & poi multiplicato per la mira di effo numero , però poni chel fta 1 io. multiplicato per 3 fa 3 co. p. 5 , multiplica per -[-co. farà 1 -J- ce. p. r ~ co. eguale a 36 parti per li confi farà 1 ce. p. 1 co. eguale ai 4, lettane 1 co. reflerà 2 3 giorni, come difopra , & così foluerai tutti i limili q uefiti , Quinto cafò. 4 7 10 U 1 6 19 22 25 28 „ *44 folunonc p -r j *9 1 30 4 34 4 136 28-; 164 SO no due che fi partono da vnmedefmo luogo a vn tempo, & carni- nano per vna medi fina via , il primo và continuamente miglia 17 al giorno , il fecondo lo fegue facendo il primo giorno miglia 4, il fecondo 7, & il tergo miglia io, & così di giorno in giorno crèfce 3 miglia , fi do- manda in quanti giorni haucrà vinto il primo . Ter la precedente duplica il 17 farà 34. per la fumma del primo , & vltimo termino, & cauandone il primo reflerà 3o,che farebbe Ivltimo di tale progrefflone, & per trouar il numero di termini , cauane il primo ter- mino^ he è 4, rifla i6,& queflo parti per il numero afeendente, che è 3, ne venir anno 8 -j* cioè il numero delli termini men. 1 . aggiogi 1 alli 8 -j- faranno 9 -j-, & tanti faranno li giorni, nelli quali il fecondo aggiùngerà il primo, & così farai le fintili . Et per prouarla ,vcdife tanti miglia hauerà fatto vno quanto t altro in detti giorni 9 -y- onde multiplica li 17 fia 9-j- faranno 164 -j- . Et perche in quefla tale progrefflone triplando il numero delli termini, & aggiùnger ui l, fi troua Ivltimo termino, però multiplica 9 -f- Per 3 faranno 29 aggiongeui 1 farà 30 per l'vltimo termino , fi come trouafli difopra, & per trouar la fumma aggiùngili il primo termino farà 34, & queìio multiplica per lamità delli 9 -j- termini, cioè per 4 ne venir anno 164 -f- miglia, come bauefli dijopra, & così è verificata . Et facendo pofttione per la co fa, formar ai tali quefito,trouami vn nu- mero determini , che tento faccia multiplicato per 17. quanto che tri- plato,& giontoli 1, & poi 4, primo termino, che fanno 5, Et tale fum- ma multiplicata per la -±di ejfonumero,& hauerai 1 ce. p. l -j- co. eguali a n -J- co. la co) a vaierà 9 -J- come difopra, & a queflo modo /coprirai le ragioni delle operazioni . Scfto Libro Secondo l Serto cafo. * - fr 78 \T 1^0 fi- parte da Milano per andar a T urino, & fi miglia 15 algior ’ no, &\ri(Atro fi parte da detto luogo doppo 4 giorni, ór fa miglia 1 6 al fior no verfo la medcfma parte , dimando in quanti giorni quejlo fecon- da arriucrà U primo -fottrarai *$ de j 6, rolleranno 1 j miglia, che auan- \a agni giorno il fecondo , & perche il primo in quelli 4 giorni ha fótta 1 00 miglia, dirai per regola del j fé 11 miglia fono auangati in m gior- no, inquarti giorni faranno auangati miglia 1 00 , multipli ca , & parti troueraiche il fecondo arriuerà il primo in giorni 9 rJ-, ór così farai le firn ili, la qual ragione può giouare in molti cafi . OTV. TU ■ r. » *n*t » « . * * * ' • • 1 » i> ■ >V- ■ •• t * c ■ iv ,i>*ì < ■ -M ^ , 4 .. tt? 0 V»r PI «*V . - ir. I I | I | I OO I III IOO «1 giorni 9 fi~ Scttimo calo . Pùmamo, che da Bergamo adorna fieno miglia 400J Ór che imo Cor- riera fi patte darBergamo per andar a I{oma in giorni 10 , ór l’altro m am medef no momento fi parte da {{urna per andar, a Bergamo in giorni 8, dimando in quanti giorni fi feontraranno facendola medcfma irta, ór quanti miglia hauerà eliminato ciafchun di loro . "Perche colui zbe faria el viaggio in io giorni in vn giorno fa ff- de fuo viaggio , ór r altro cbtlo farebbe m% giorni fà ogni giorno -J- del fuo viaggio, fumma inficme-j- , ór -f. farà , bora dirai per la regola del $ » fe •{. *»i danno 1 giorno, che mi darà vno viaggio integro, muùiplim , & parti , ór trouerai che ti daranno 4 ,cr in tanti giorni fi feonttara no,tr per fitper quanti miglia bautta fatto ciafcuno,dirai fedi io mi dan no miglia jOOyche snidar anno 4 -J- moltiplica , ór partiti daranno mi- glia 177 , ór tanti miglia hauerà fatto il primo. poi per trounr el fecon do, dirai fe Sdì mi danno miglia 400, che mi daranno dì 4 -J- rnultiplica, & pai ti & ridaranno miglia 2 *2 rj- , & tanti miglia hauerà fatto il fe- condo, eoi riero, horper prouarla aggiùngi infume li miglia fatti da lv/10 ór l altro, ór faranno 400, ór così farai le limili, il qual quefito può oc- correre alcuna volta , .'X bin- iti v K v> ;'4 i X DeirArithmctica ToXt 8 io 1 8 ~8Ò~ 18 \ i | 80 9 9 |4° ± in giorni 4 9 3° 34 5* 5^1 ’l 1 ì2\ **;- sAnchora potevi aggiùnger li giorni de tvno, & de l'altro fanno it > €5“ per quefldpartir 80, cioè il produtto de 8 fia io,& farebbe venuto fi- milmente giorni 4 -J- Ottauocafo. '>1 ! j ] 1 i D.A Bergamo aT adotta fono miglia 120, &vnofi parte da Bergamo per andar a Vaioua , & fa folamcnte 14 miglia algiurno,& l'altro fi parte da Vadouaper andar a Bergamo, & fa ogni gioì no jo Miglia, &• fi partono in vn medefmo tempo , dimando in quanti giorni fi fi unti aranno infieme i S ammarai infieme li miglia ebe fanno ciafchuno , cioè 24, & 30 fanno J4»C^ tanti miglia fanno al giorno fra tutti doi, bora dirai pei R gola del 3 ,/<• 5 4 miglia fono fatti in vn giorno, in quanti giorni far auro fatti I ;o » miglia.multiplica 2 -j-. & coti farai le filmili , & volendo fiper quanti 20 miglia hauerà fatto ciafiuno mult-plica 24 per » & fiinihncnte o, ne venir anno per vno 55 -fi , & per l'altro 66 -j- , quali giunti infieme fan no 120 miglia,- 9 Nono cafò . 1 8 e io! 1 • < * » 4 t t • » » 4 » •7- * 9 7*6 * fi 7 t SS 7 VT(o fi parte da Bergamo per andar in Francia , & cantina ogni gior- no miglia 2%, & doppo 6 giorni vn altro il va feguitando a cangilo, per aggiùngerlo, & lo aggionfe in giorni j8, dimando quanti miglia fece al giorno queflo fecondo a cavallo, coti arguirai, il primo quando fu aggiorno dal fecondo haueua eaminato giorni 2 4, cioè li 6 giorni mangi, <& li 18 dappoi, chea 28 miglia al giorno fanno miglia 6 7» » per tanto colui che' l fegue bi fogna chefaccia 6j2miglia ingiorni 1 8 , per tanto parti 672 per 18 ,ne venir anno miglia ? 7 -j- , & tanti miglia il fecondo fece al gior- no , dovendo aggionger il primo , il che potrai provare come difopra . *7 Libro Secondo! 79 * Decimo cafo , fìmile a quello che propone frate Luca a Car. 41. V7gp vuole far cauar vno po gjp alto bragia 18 ,per L.6o, & tjuan do if Irebbe canato bragT^a 8 volfe cjfcr pagato, dimando quanto doue rà buucr per fua mercede. . ^Alcuni per far quefl > conto raccogliono tutte le vnìta della prngrefjìone naturale fa alti 1 8 , cioè giùngendo i , al 1 8 farà i g , & poi multtplicano feria mila de i3, cioè per g farà 1 71, & quejlo feruano per partitore, Toiraccogliono le vaiti detta detta progreffione fin adì 8 braccia fan • no , poi dicono fé 171 mi d inno L 60 , che mi daranno J 6 moltiplica , & parti ne venir amo L.l 1 J-*, « tanto dicono che gli venir à per fua fa- tica fecondo il patto . Alaqucjla ragione non può flare,pert he bifogntria,che ne confi affé chel fecondo braccio fuffe di doppia fatica al primo ,& cosi il tergo fuffe tri- plo, CT il quarto quadruplo al detto primo, & così fluendo, fin allvltimo braccio . Ben è vero che quanto più fi defeendefi ha maggior fatica , ma tale fatica non è dt determinata proportene . Ver tanto ha dibifogno di limitata filai ione , & chi doueffe computar le maggiori con le mi tori fatiche, cr cc fandofi per colpa del lauoratore fi procederebbe per la regola del j Jcmplicemente . Vndecimo cafo , & propoflo da Frate Luca , ma diuerfàmente conclufo . Die £ formiche fino in vno piano longo braccia 100, tvna da vn capo l'altra da l’altro, f vna va al giorno -J- di braccio, & la noe te ritorna indietro di braccio, l altra al giorno va -J- di braccio, & la notte ritorno in dritto di braccio . Dimando in quanti giorni le dette due formiche fi feontraranns in- fierì,e f* Ter far queHa, & altre fimili ragioni fumma infume quel -j- con quel- lo ~ di braccio,c he. fanno t una , er l altra in vn giorno, cr faranno J- di braccio , poi fumma infiline quello , CT quello di braccio , ebe ritornano indrieto la notte faranno ai braccio , quali fotirarai de nilaranno fchijfiti , W perche non fi poffonu feontrare la notte per rifpctta , che luna , & l altra ritorna indrieto bifogna [ornare de ioo la parte de braccio-, che ritornano l una, & l'altra , cioè t» rc- fiaranno 18 1 ' 9 9 1 7 f 8 1 9 4 ì6 iXr 1 5 DcirArklitncxic^ flaranno 99 pf- .poi dirai fe braccia J - vale giorni 1 , che "porr ano br accia , 99 t{' fintiti ptkajér patii oouecai.tbc voiranogtorniz^ f di gior- no,ma li 4" fi riferuaranno nella giornata feguebtc,la qual no» fetue per rifiato del ritornar indrieìo,ma reti quanti braccia h. lucrano fiuto que- fte due formiche nelli giorni 8^34 ragion de di braciio al giorno , pe- rò multiplkarai 8 $ % fin ne per amo Bratti a 99~£,& qui fio fot tra - raidi braccia loo.re: arano horycdi quanto tempo Polene qtufìe due formiche a far li braccio a ragion di quello, che cambiano al gior no turte'dtte,non computando il ritorno della nàte, dicendo fe -iy di brac- cio mi dano giorni 1 ,cbemi daranno brada -*J multiphca,& parti troue raccheti dar ano di giorno qual qggtongu ai olii giorni 8 J? faranno giorni in -yj <& in tanti giorni fi feontr arano le dette dhe formiche, & Potendola pròntrre dirai / e giorni cananea li braccio, quanto auanga rdno giorni 853 muUiplua,cl parti-trouerai,cbc auangarano braccia 99 ^ qual fatua. poi pedi quanto auangar anno nel rotto dì giorno , cioHn -yj a ragion de 4; di braccio che fanno ambedue al giorno artificiale, tro- verai che au ctn%ar ano di braccio quali aggiungerai alli braccia 99 fipra fenati, & faranno braccia 100 ,che fu il propo fitto , et conque- ‘ fio giudiciofara: le altri fimili a quefla,bencbe molti a Uri la [dittino altrui mente non battendo confiderai ione de ÌpI timo giorno. D uodtci mo calò ,&C porto anchora ' •. da Frate Luca. E Gliì pna lepre dinante} ad mio c.tve'pafiré o , etptt i,gui^p4.j}a,che fa il cane la lepnnefa yj.et ftncùm irne il cane lagJLÒge, fi dimanda in quanti paffa il cane aggiongera la lepre, Ben.be m quefio quefito fiano molte cquiuoci dadifltnguere , & chela opinione di Frate Lina fia impugnata dal Tartaglia , nientedimeno in- tendendola in quéilo fenfo non hauera dubbio, cioè che il fi amo fi’ atroci terra diuifo in 7 parti, fatti dalla lepre in 7 pafJL, & che il cane compeffi ilmedefmo fiatio-in 5 pafii,cofa chiara è che può pafio di cane far a di lepreiadonquc per ogni pajfo il cane auangara la lepre in •— di fra fio. durai ■adonque fcper ogni pajfo fi auanga -f- quanto fi auangara per 60 pafiì di quella longhegyn per ogni <,,cbefù pvfio quello (patio ,di terra, qual fit ■anchora diuijoin 7 parti , opera partendo 60 pcr-j- nè peneranno paffa 150, come dice ancbnra Frate Luca, & li delti paffa 150 fi deueno in- tendere del cane, prrche il cane li ha da fare, douendo aggtógcrc la lepre. ' Et per prouarlo pongo, che fia aucfla mifurade 7 fiafft di lepre. ) — E— I— -~1— — -| ■ ■ — I- » ■ | — ■■ | Et che ciafeuno di que- • I Libro Secondo. so fii 7 fi a compartito in f parti, che faranno 35 parti , & perche il cane li fit in 5 paffi ne toccar anno 7 al cane de quelle parti , & perche in 150 paffi ejfo (patio entra $0 volte diuidendolo in 5 parti, ciul che il lepri lo varca 30 volte, & il cane in ai -J- volte , il che fi troica partendo 1 50 per 7, che ne vengono 3 1 perche 7 de quelle parli ut fit il cane quando la lepre ne ha fiato fe non 5, onde multiphcando $0 pee\ furano 1 io,& fimilmentt 2 1 4" Per 7 Partl faranno finalmente ISO . Onde tante parti eguali hauera cambiato il cane quanto la lepre , il 1 hf puoi trouare anebora in queflo modo, cioè vedi quanti paffa di lepre fanno li 150 paffa de cane, dicendo fe 5 mi danno 7 , che mi daranno l 50 .opera, et ti daranno paffa 210 onde multiplicar ai ti paffa no per f furano ioso & tanto faranno anchora li 1 50 tnultiplicatiper 7 , cioè 1050 , perche tantoché la lepre camina li f parti il cane camina li 7 parti , eguali cia- fchnna delli 5 aciafcuna delle 7 per la velocita del cane, in tale proportio- ne alla velocita della lepre,qual è -,f ad vno,& così vico determinata, & rifolua la questione . Decimotertio cafò , & pofto anchora da Frate Luca, madiuerfàmente rifolto ,& conclufo. VT^o ha meffo per ordine a retto filo 1 00 narangi in vno piano diflan- ti l'vno da l'altro vno puffo , et vno li vuole raccogliere ad vno ad vno cominciando dal fecondo, etponerlo fopra il primo , et poi andar al ter go, et portarlo fopra il primo, et così con queflo ordine li vuole ridurre tutti nel luogo del primo narango.dimandqfi quanti paffi conuerrà far e, nel raccogliere detti narangi . Terchemanifeflamente fi vede che ponendo il fecondo fopra il primo fa- 2 paffi vno nel andar, et f altro nel ritornar, et volendo metter il terga na 99 rango fopra il primo farà 4. paffa , cioè 2 ncLafidar, et imi ritornar , et 2 4 6 8 lo 12 volendo meterui il quarto farà 6 paffi, cioè 3 nel andar, et 3 nel ritornar, 198 et perche ne nafee in queflo raccogliere vna progrt fjione , che comincia dal 2, e t afeende anchora l'ecceffo de 2, qucfla tale progreffione hauerà 99 ter mini, perche 1 00 narangj hanno 99 differenge, che fono 99 paffi, et perche duplando il numero detti termini fi troua l'vltimo termino, in quefta tale progreffione adonque l'vltimo termino fu 198 bora per redola generaleag giùngerai il primo termino che èie l'vltimo che è 198 farà 200, et la mi~ tà di queflo che farà 100 multiplicar ai per il numero de termini quale 99 9900 «/<*- 100 1 99 100 II 9 v ' DeirArtthmerici et faranno 9poo,cioè la fnmmadt 99 termini,ec tanti pafft fora colui, che vorrà raccogliere detti narangj cioè 9900. benché Frate Luca dica , che ne farà io io o, et coti farai in fimili . j il qual cafo può occofrert nel raccogliere altre cofe diflefe per longo , come pah nelle vigne,et mercanticfu le fiere, fi che in rifoluete breuemen te finali qttrfiioni cattane 1 del numero propnflo per trottar le differente, et quello, militi plie arai col detto nutnei 0 proprie, et il produttafarà la film- ina depaffi . Pro faldato ha difpcflo 1 00 fchioppi alle muraglie difianti l'vno da tal tro r>no paffo, dimando volendoli raccogliere , tt metterli nel luogo del pri- mo quanti pafi'a farà, cauanne i de 200 nUano 1 99, etqurflo multipli- . ca perii detti 200 faranno }y 800 ,et tanti pajfa farà, et fe fuffe fiato detto , J9#oo che fono lontani l'vno da l’altro 3 paffafimulttpli'cartfii li p affa. 39^00 per * 3 , et farebbotm 1 19400 paffi,et così multiplicando il primo produrlo , 1 19400 per li pajjì della dijtantia da Ivno -a t altro, hauenfii il numero delti paffi. Deeimoquarto cafo , & propofto anco* ra da Frate Luca , ma diffe- rentemente concluiò. <*• »- u fi 01 SI 00: l E Gli è vna botte che tiene bar illi 1 o -J- , et ha vna fola cannella che a- prcndola fi vodarebbe in vii bora vno barilc,ct rodato il primo bari leflarcbhela ditta canella 1 bore a rodar il fetondo,et così rodato il fccon dojlarebbc 3 bore a rodar il tergo, et così ertfee rii bora de più, per ogni barile che fi rotar ebbe, per rifletto che cjfa è pojla nel più baffo luogo , et quanti più fe ne rota fminuiffe laforga del vino, dimando in quante bore ■ faranno rodati li detti bar illi , "Prima vedi quante vnità fono nella progreffioùc naturale da 1 fin aldi lo termini, cioè giùngendo 1 al io farà li, et quefto multiplica per 5 fa- rà 55, et fegli fuffe anchora rii altro termino farebbe 1 1 de più ma per- che gli efenon farà 5 4" giorni alti j 5 faranno 60 , et in ta te borefarebbono rodati li ditti io -j- barili, et così far ai le filmili . T ’ ' i .r’ \ *1 > Decimoquinto cafo. \Trif altra bone ha 3 (fine diuerfe, che cattando fuor a la più graffa Ufi r vodarebbe in 2 giorni, & cauàdo fuor a la meggana fi rodar ebbe in _ 3 giorni. A Libro Secondo.8 ] *» fgtorvij&vmiandofuoralapiccolafivodarebbe m 4 pónti , fi diman- da cattando fuor a tutte 3 le dette faine ad vn tempo in quanti giorni fé vo- darebbe la delta botte . Ter foluer quefla,& fìmAi arguirai, che fe cauando la maggior fi vo- darebbe in a giorni, adonque in vno giorno fivodarebbe la della botte, & così in vno giorno cauando la mezzana fi rodar ebbe -J- della botte, et cauando fuor ala piccola in vno giorno fi rodar ebbe il £ de detta botte,ho ra fummarai quefte 3 parti cioè la -fr- , & il , & f iranno -fi Per“ che qurflo rotto paffa vno integro , però dirai Je 13 vengono da vngiorntt da che venir anno 1 2 , cioè la botte fola.multiplica , & parti , & venirÀ , da dm giorno che muli iplicado il 1 2 per borei 4, & partendo per 1 3* ne venir anno bore a a jy- , & in tante bore fi votar ebb eia detta botte, & così farai le infraftritte . Vna nane ha 3 vele, con la prima farebbe il viaggio fuoini giorni, con 0i meg^ana in j giorni,ron la piccola in 4 giorni: dimando facendo vela con tutte 3 in quanti giorni farebbe il fuo viaggio.opera come difopra . Vno vuole far fabricare vna cafa da 3 maeflri, ouero lauorar ma pof- fcffhne da 3, ouer 4 maeflri che lefabricarebbono in diuerfi tempi differen ti [vno da [altro, ouero munitioni, & vietuaglie, fecondo la velocità del- le perfone.tutti quefti quefiti foluer ai per viadel detto dechnoquinto cape, che alcuni potriano venire all' vfo humano , come efperimentando fi com- prende . Dedmofcfto cart>,ót porto da Frate Luca. \ T^hofie fi federe io perfine a tauola, & gli promette dare tanti pa y fli quanti fono li modi che poffono variare nel fentar a tauola, diman io a d.i al pafto quante L. far anno . Multiplica fra loro tutti li numeri che fono da vno fin olii io inclufiue dicendo 1 fiat fanno 2, & a fia 3 fanno 6, & 4 fia 6 fanno 34, & 5 fin «4 fanno 1 io,& così feguifin alti 10, Ct faranno d. 3628800, quali par tendoli per ia per farli in f. & poi per 10 per farli in l.faranno L. 15 1 io, & tante L.montarebbono quelli pafii, er così dirai che fi potrano federe in f 6 28800 modi, come efperimentando fin a qual numero ti piace potrai trouarc qurfla regola effere vera , in fimi li cafi . Qjtindi fanno certo argumento alcuni l{abbini Hcbrei,perciocbe multi - plic andò tutti li numeri da vno fin olii 24 lettere del jllfabctto , dicono , che fi produce il numero de tutte le anime , che faranno Create fa iddio , & di tale mijlcrio lafcio ilgiudicio,a chi s' affetta. Fin qui decreto lettore nel rifoluere li quefiti propofli fopra le progreffio . • X ni DelKÀrirhrfictià ì. ni ^ 4ritbmctice,& Geometrice per In più parte hauemo fuppojht la notiti* de li loto ritinti termini, bora proponeremo alcuni cafi nelli quali fuppotte remo il numero delti termini , ma non l'vhimo termino batter notò , conte per ejjempiofia il figliente cafo,dcl quatene fono occorjì molti limili . 4 8 1 6 3* 1 2 4 3 1 7. i 8 8 Decimofcttimo , Trouarla fummacjelli ter- mini proporti nella Geometrica progrertion dupla. 6 1 64 <4 256 Jì±- 40Vòjli \ " o - , } ' ‘ OCcorft ma volta, che vno contadino maffaro et vngentilhuomo ricco» ' battendo imparato molte regole di Jtritkmctica,cooo[cendo C avidi- tà, del guadagno tu fiume eon la ignoranza del fuo patrone, % offerfe di dar ^ vno Jcudo al giorno al detto fuo patrone fé gli continuava per 48 giorni di dai gli [oi va citoinquefiu modo, cioè tipi imo giorno vno grano, & il fe- condogiunto gratti 2,& il mgji giti no grani ^,et il quarto grani 8,et co- sì, perfatet andò a dargli fetrpre ti de} pio grani nclli confegucnti giorni fin alta mino de 48 giorni , & il patrone cominciando a rtccuer molti feudi dal t (.modino in pochi giorni fi ridcua qua fi della pareggia del fuo maffaro , & il ncfjaro tacitamente fi godcua de quella del fuo patrone, & venendo allvltimo effetto bclbe gratta perla impofftbilità del cafo il patrone de perdere fo tapi ente li- 48 feudi per li 48 giorni , & così fù fatto il computo volendo ficràmart tutti-li termini della progreffton dupli Geometrica fin olii 4 S ,fi può fare in doi modi: f vno continuando li detti termini conia penna, &■ poi fummandoli almodo,che fu infognato difopratf altro è fum- mandonc vna parte, & a quella giongendone l,& tal fu vinta quadrando, et cattarne poi 1 fi hauera la fun.ma del doppio deU. termini, antecedenti , et così continuando detta duplatione finche farai aggiorno al terminato nu mero, hora volendo trovar la fun.ma di 48 term.ni vedi prima quante ' volte puoi doppiare el minimo numero per aggiongCr al 48 .il che far alfa cilmente fe tu difponi efii numeri nella dupla progrcijjone coi ì 1 1 2 1 4 1 8 | • 1 6 vedendo qual è il maggior, che numeri il 48 , & troverai, che egli è il 1 6 qual entra 3 volte nel detto 48, onde fu minar ai 3 termini di detta prò- ■ grejsione dupla faranno 7, al quale aggiùngerai 1 fanno 8,& qucflon.uL- tiplica in fe faranno 64 ,ct 1 meno farà la fannia de due volle tanti termi . ni, cioè 63 fura la fun.ma de 6 termini, poi n.ultiplica il detto 6;, più i, cioè 6 4j« femedifmo fata ^096, et 1 meno di que fio furala suina de iz termini, citi 409 f, poi moltiplica li ^096 in fe faranno 16777116, et | vn meno di qutjli faranno la flemma de 24 termini, cioè\\ 6777 2 1 5 ,etfi- wlmente 1 X Librò "Secondo C ri i 82 inamente ritorisiìiipgli sparito i,chefottraffi,rt poiqttndrahd* rffo nume- ro faranno la fumma de 48 termini più vno, eòe cauàftì difoprà , onde fa- ranno grani 1814749767TO656, cattane 1 reftarannn grani 1814749- 767*0655, & perche vna fama de formano crnnnmmmente dette pefar pefi 16, &• vtió-pefo fanno once 300, onde moltiplicando ti pefi 1 6 per on- ce ?oo hanerai che ima fonia pefara once 4800 , •& peribe grani 740, communemente pefano vna onga,adonque moltiplicando le ongr 4800 , thè è il pefo di *na foma per gir ani 740 fard vna poma grani 4551000, per li quali partirai li grani 281474976710655 , ne venir anno fonte 79244081, et auangaranno grani 9986 f 1 , cioè faranno fibra 1 quarte o ‘fledefim 5, Sgrani 5507840, & così farai. le fimUi , et quefle copt fi prò 'pongono non tanto per vfo , ma anebora per dimoftràr quanto ara il giudi- zio del vulgo, & quando il numero detti termini fuffe imparò, onero nume- ro primo che non fi pot e fie dividere, talmente che pigliando il doppio alcune volte non nepotejfe venire ilnumero determini,atthora fi potrà paffar via. quali he termino , <& poi ritornar indietro , onero pigliar qualche numero . diitifibife per mità più propinquo, che fi può al numero di termini ricerca » to,&poi crefcergh quelli che manchano, come cfperimentando potrai me olio intendere. 1 L 1 ’ . • 1 * s > • V‘ ■ J , j r ! J : Decimo otta tip, con quale progrefiione fi fàccia- ; no li cóhtrapefidel pelare cofe grotte A »VV r I V 6Gpicciolèt.~ Gap. X V L:«- ; t * I - X 1 4 8 16 ?» « -• ‘3 |.I-Ò . . ; : r Qpchotàh da f òpere ihe per via della px-ogreffione dupla , ' tir tripla fi fanno li coni rape fi delle bilancie, & pero fup- pomamodi voler far campioni che mi f emina in dar via * <6$ pefi oucr libre di fitte , ò altra cofa.prouer ai quanti nu meri nella ptògreffìone dupla che comincia dalla vnità jfdc'ciàno 6 t,ettrouerai che fonoójioè t| j| -| t | iC|ji, còsi volertelo dar vfa robba fin alla fumma de L.tij aggiongcrai il f etti ~ mo termino còri 44, & faranno 1 17, et così tale fumma de numeri ti fer- uirà è tale fumma de pefi, bora per men fatica fìaremo nette libre 6 j ,& pe . rò venendo vno compratore tfie voglia vna libra metteremo il pefo , ouer ‘ * 7 campione da vna parte della bilancia, de vna libra , <y dall’ altra parte la roUlu,ct Jlando in equilibrio farà fatisfatlo,et volendone a libre mettere- mo il campione de 3 da vna parte , & la robba col campione da vna libra dati’ altra , & haucrai Ì munto , £r '“'tendone 3 libre metti larobbada 1 X a vna 6l 64 DeirArithmctica Vna parte, & ti campioni da a libre, & da vna dall’altra, & volendone 4 libre metti il campione , ouerpefo de 4 lire,& la robba doli altra, & vo- lendone L. J metti da vna parte il campion da L. 4, con quello da L. 1 , & dall' altra parte la robba , & volendone L . 6, metti da vna parte il cam- pion,de L.4, & quello da L. 7, & volendone L. 7 , metti 3 campioni dall vna parte, cioè da L.4, da L.i, & da L.\,& dall' altra parte la robba, & volendone L. 8 1 metti il campione da L. 8, & volendone L. 9, muti quello da L. 8, & quello daL.l ,et volendone L. io', metti quello da L.i, et da L.i,etper L.ll di robba metti li 3 campioni , cioè daL. 8, daL.l , et da L.I, et per L.lì, metti li 1 campioni, cioè da L. 8, et da L.4, et per L. 1 3, metti li 3, cioè da L.i, da L. 4, et da L. 1 ,et per L. 1 4, metti quejli , cioè da Z.8 da L.4, & da L.2, &per L.i$,[mcttida L.i I4 1 a J & 1. Etper L, 16, metti il fuo campion da L.16, da L. 17, metti ló, cr ì.Et perL.il, metti 16, & 2. Etper L. 19» metti i6\ i,& 1. Etper L. 10 , metti 1 6, & q,per L.ll, metti i6\q\,& i,per L. li, metti 16 1 4|. & 2, per L.i}, metti 16I4I i, & 1 1. &perL. 24. metti 16, & 8 Et pcrL.13, mettitó |8 |0r 1. Etper L.26, metti io | , | & a. Etper L.27 , metti \6 18 l i , & I . Etper L.i 8 , metti \ ló 1 > | &q. Etper L. 19, metti 16 1 8 1 4. & I. Etper L.}o , metti 16 ( 8 1 4 , & a. Et per I.31 , metti *<sl8Uh ,& 1. Et per L.% a , metti il campione vnico , daL. 32. Et per L.H, metti quello,da L. J2,& quell* da L.i. Etper L.} 4, me, ti 3 a, tir 2. Et per L. 3 J» metti 32, &2,& t.per L. 36, metti $2 , et 4., per L. 3 7, metti 3 a | 4 , et 1 , per L. 3 8 , metti 3 a J 4 | et 2 . Et per L. 39, met- ti 31 | 4 f 2, et 1, Et per L. 40, muti 32, «8, Etper L. 41 , metti 3: |8, et i,per L.42, metti ja | 8 jc/ a, per L, 43, netti 32 1 8 | a 1 et 1, p er £. 44, metti 32 1 8, 4. Et per L. 45, metti 32 \ i\ 4] & t-\ Et per L. 4 6, metti ja | S | j | tr 2. Et peri, 47 fuetti 3 a | 0 j 4 1 i,cr l, | Etper Z..48, metti 3 2 |cir l6.\ Et per L.49,metti ?i| ió| or 1 \lt per L. 30 metti 32 | r rr a | Et perL. 51, metti 3 a | \6\et a \u 1. 1 Et per L. $2, metti 31 1 16 | j 4. Etper L. 3 3, metti $ 1 | 16\ 4, et 1. Et per L, S4> metti 3 1 1 ió 1 4* et 2 . | Et per L.3 3, metti 32 1 <6|4|a| i.Et per L.36, metti 3 1 jj 6\ 8 J Etper L.yj,metti 3i \ 16 1 8 1 or i.\ Etper L. 3S, metti 32 \ 8|.-t a. Et per L.39,metti3l\i6\i\i\et 1. 1 Et per L - 60, metti 3 1 \ i6| 8 1 4 . | Etper L.6\,metti 3 a 1 16 j 3 j 4I Jr 1. j Etper L.6 2, metti 32 ( 16 18 4I et 2. | Et finalmenteper L.óì, metterai il campione vnico da L. 63, da vnaparte,&la robba dall altra» & così potrai feguire in ogni quantità, maggiore et minore « Libro Secondo 13 Dcdmononocalò, delli contrapefi trouati pcf vn’altra progrelfione,cioè per la tripla . ET 1 volendo vfare la progreffione tripla con 4 cotrapefi, oucr compio* ni, cioè da L.i. | £. ?. | L. 9 \& L.tj, potrai pefare robba fino alla fummo de £.40,(1 con 5 tm'alla Jumma del, ili» CT coti aggiùngen- do termini potrai proceder in infinito . Mora pr oui.mo da L. ! , per fin alle £.40, a qurfto modo per £. I, pont- rai il primo campione da L.i, & per £.a , poncraiilpefo de £.3, da ma farte,& la robba infieme col pefo de L. 1 , 1 lall' altra, & pefarai. Et per £. 4 , metti li campioni da £. 3 , & da L.l da ma parte ,& la robba dall'al- tra. Et per L. J de robba,metti il pefo de £.9 da ma parte, et quelli da L. r,& L.l , inficine con la robba dall altra. Et per L.6, metti il pefo de L. 9. da ma parte , u la robba infieme col pefo da L.J, dall altra , & perL.f , metti il campione,ouer pefo da L.}, infieme con la robba da ma parte, & quello da I.9, infieme con quello da Li, metterai dall'altra, & per Li de robba , metti il campione dal. 1, infieme con la robba da una parte, & il campione dal 9 dall altra, & per l. 9, metti il campione da 9 da ma par- te,& la robba dall'altra, & per Li o, metti It doi campioni da 1.1,0" da 1.9, da ma parte, & la robba dall'altra, & per L 1 1 , metti el campione da 1. 1 , infieme con la robba da vna parte , & el campione da Li ,con quello da I.9, dall altra, & per l.t 2, de robba metti li predetti doi campioni dall al tra parte , & poi pefa , & per 1. 1 $, de robba ( fempre intendi ) metti j campioni, cioè da l. 9, da I.3.& da l.l ^all'altra parte, et poipefa,& per 1. 14, mettila robba con li primi } campioni,cioè dal. 1 | /. j , & I.9, da ma parie, {ir il campione da l.iq dall altra, et poi pefa, et per 1. 1 f, metti la robba inficine col campione da Lg,et da L$,da vna parte, et quello da 1. 2 q,di.U'jltra, & per Li 6, metti el campione dal. 9. et dal .3, con la rob ba,{ir queliti da 1. 1 ,con quello da l.tq, dall altra, et faranno eguali, et per 1. 1 7, metti li campioni da l.t, et da l. 9, infieme con la robba da vna parte, et il contrapefo da 1. *7, dall altra, et per L 1 S, metti quello da 1. 9, con la robba da vna parte, & quello d i l.i7,dallaltra,et per 1. 1 9, metti il pefo da 1. 9, con la robba,et quello da Li, con quello da l.t 7 dall- altra parte , et per L 20 , metti, il campione da Li, con quello da 1. 9, ton la robba , et quello da £27, con quello da /. 3 > dall'altra parte, et per l.t\, metti quello- da l. 9, con la robba, et quello da t.17, et I.3, dall' altra parte , et per l.t », metti quello da l.9,con la robba,et quelli de l.tq,et l.qyet 1. 1 , dall altrai'. parte, et per 1. 2 j, metti li primi doi con la robba , et l'vltimo dall aire. e \, parte, etper Lz^ , aggiongiL il pefo da l.l, et dal? altra parte metterai DeirArtthmetidi quello da l. j 7 ,et per 1.2 5 aggiùngili quello da l.j ,» dall'altra parte mette r.ai queliti da et quello dal.\,tt per 1. 1,6 aggiungili quiliufial.^ , et dal: ultra pane metti quello da l. 17.tr per /. 1 7 , tu hai vno campione , et perl.z 8, metti doli ultra parte il primo, dt f "ultimò campione 1 et per l. 2 9 aggiungili il primo,» dall'altra parte il a J,et il j , et per /. 3 o , metti dall' al traparte , Upejida I.17, et dal.$, et peri 3 1 , metti dall’ alida parte li'3 conttapefi, cioè da l. *7 ,òal.q, et da il , et per l. $ 1 ,«ggiongili li campii- ni da l. 3 , et da l.i ,et dall altra parte metter ai li dot virimi, livida l.g, et da I.27, et faranno eguali, et per l.q;, aggiongih ilpefodal .3, et dall altra parte metti il lampione da L27 ,et da l.g, et per /.} 4» aggiungile il pcjo da Li iti dall ' altra parte metri quelli* 1.2 7, da l.g, et da L 1 » et parano egua li, et per /. 3 5. , aggiùngili quello da l.i, et dall altra parte m cucini quello da /.»7 ,coti quello aa l.g, et per l.}6,mctti dall' altra parte quello da /.a 7, con quello da l.g, et faranno eguali, et perii"], inetti dall'ultra parte li 3 campioni , cioè da l.iq,da l.g, et da Li,et faranno eguali, 1 1 per l. 3 8, J£>- giungi al! a roba, il primapefo de l.i, et dall’ altra parte metti 3 cani rapqfi, cioè quello dal. 27, et da l.g, et da Li, et faranno eguali, et per L%g, metti liliali vita parte, et dall' altra li 3 virimi conir apefi , ouer campioni , cioè dal. 27, da l.gi et da l. 3 , et faranno eguali,» per lire 40 de mi ha metti dalli altra parte tutti li detti 4 con tr ape fi, et fi nonno in equilibrio, et co - tipojr ai pcj are ogni numero de l.de robba fin alle l.qo, con quefli+pefi. . M Et cast aggiùngendo altri termini potrai ptfare maggior quantità de li- kte , ma fe voliffipcfarefe non per />jo baflarebbe aggiùnger vn’ altro pe fa dal. 1 o, apprejjo agli altri quattro, et fefin alle l. 60, n' aggiùnger e fli V- Hadal.10 apprefloagli altri 4 , ma fp aggiongi il quinto nella mtdefma propm (ione farà in tua facilità da pefar quante L vorrai fin alle l.izi, per «he Iqfurnmalorò farà l.xxi^ per tanto auuertifci. ; • 1 . nv'w.j 1 ti f - ca(ò, propofto da Frate Luca, a carte 97- ,1*V. • 1.;." vv •. ’n . si J* : ' .1 ,v'j. .k< ; ’i' yvi.i ' VT^pfe itsiua 5 tag%e d'argento , et fa, fare vnaccrta opera ad vno Medio, la quale opiradeue effer finita in 30 giorni,» ogni giorno il ma fri: 0 dim hauer ongevna 4 argenta per fua mercede a giorno per giorno fingòfi or 1 \cdinga,» deue effer pagato con qucflctagge tenga rom peirtc.vrcu’uiyiic le unge fi debbano (pCggare, dimando quanteongc doue- r anno prj m e uà/ duina acciò che finita la dctta'ppera colui labbia merita tote dette tagje ,ajuali c nifi or ranno pefare tutte infume ong^c 30, per che fonc. la mercede de j o giornate, a vna d'argento per giqrnata f, y •_* v 1 jarquiiio procedi fecondo la dupla propor none ponciidq che vna pefi • * ‘ onde Libro Secondo; 84 onde 1 . la feconda pe/i onde 2, la terga peji onde 4 Ja quarta pefi onde 8, perche qucfie 4 [animandoti fatino onci e 1 f, cauaro/apcie 15 ,dc giorni rejlarano I 5, & così bifognarà che la quinta tagga pi fi on de l J acciò finto in tutto onde 30 , per i/ che il primo giorno idei fuo Inno- vo ritener à la tagga da onde pria , il. fecondo giorno ricetterà quel- la da onde 2 , & gli renderà quella da onde i(, fi tergo r' cenerà quella de orde 1 ,cl quarto dì ricetterà quella de onde 4, ó'" gli ri ona le due, cioè quella da onde 1 , & quella da ónde 2, et el quinto dì riccui quella da on< e 1, et ilfefio dì riceue quella da onde 2, et gli rende quella da onde i,& il feti imo dì riceue vna , & t ottano giorno riceue quella da onde 8 , & lui gli ritorna quelle' $ ,che fi trotta cioè da onc. 1 onde 2 , & da onde 4 ,il no no dì lo paga con quella da onde 1 il decimo dì gli dette quella da onde 2 ,& receui quella da onde 1 , et Vvndectmo dì rihebbe quella da onde 1 , et il duodecimo dì hebbe quella da onde 4 » & gli Tcfe quelle da onde 2 , dì" onde 1 , & il decimotergp dì hebbe vna , & il decimoquar- to hebbe 2, e~ refe vna, cioè quella da onde 1 : il decimnquinto heb- be quella da onde 1 ,ct il decimo fefio hebbe quella da onde 15 , et gli ne refe 3, che baucua,doè quella da onde 2 da onde 4, et da onde 3, et il de- mmufettimo dì hebbe quella da onde 2 , et glt refe quella da onde 1 , et il devitnoottauo giorno gli ritórnò quella da onde is per. eldecimonono gior- no hebbe quella da onde 4, et gli refe quella da onde 1 , et quella da onde 3 , el vinti dì hebbe quella da onde 1 4 el 2 1 hebbe quella da onde 2, et gli refe quella da onde 1 ,el 22 dì hebbe vna, et il decimotergo giorno hebbe quella da onde 8, et gli refe quella da, onde t da onde 2 da onde 4 >et </ dedmoquarto giorno hebbe quella da onde vna , et il vinticinque hebbe quella da onde 2 , et gli refe quella da onde 1 ,& il vinti fie heb- be quella da onde vna, et il ventisette hebbe quella da onde 4 , et gli refe quella da onde 1 ,et quella da onde 2, il vendono giorno hebbe quella da onde 1 ,et il vcrumuoue giorno hebbe quella da onde 2 , &gli refe quel- la da onde f , et il rente/hno giorno hebbe anchora quella da onde 1 , etfù finito il pagamento di l' operaci hebbe le dette 5 tagge, che pefauano on- de 30 d'argento fecondo il Lo meritode domi . o tenga romoerle.et ten- ga far credenga . llmedtfmo quefitofi poteua fare de 5 monete,chelvna , cioè la prima valeffe 1. 1 ,la feconda l. 2, la terga l. 4, la quarta 1.8, la quinta /. 1 5, et che faceffe vno lauoro a l. via per giornata, in 3 o giornate ti pagarebbe , con ledette 5 valute de monete al modo che è offeruato nelle 3 tagge , et così fi ordinarebbono le monete in tali progrifftani per quanti giorni voleffe- ntOfferuando le dette conditioni,che per ejfer cofe fàcili non mi eflendo più oltra infintili quefitj, come Jovo li 3 fudctfi. „ . \ Re. Dell* Ari thmerica - .iSrm Regola trouata da Nicolo Tartalea Breflàno per (àper trouar,in quanti modi può va- A ...» riar il gettar di qual quantità de dadi fi voglia. ant-l <*%V» «I z 4 io 20 35 126 I 1 I 1 I Z i 2 ? 4 5 6 i ?6| io| n| at PJ{imaimanife{lo,chevno dado può variar in 6 modi, perche hatfac eie outr Superficie quadrate nelle quali fono 6 ordini de numeri , cioè t i |i| 3 1 4 1 s\6\& quella regola ha principio dalli 6 termini della prò portione di equ alita, nella vnità,cioè ni ili, et il getto di 2 dati fi troud per altrió termini giùngendo le vnità precedenti per ogni vnodedettiter mini, onde fummando li termini dellaprogreffione naturale da i fin 6 farà 2l.fi che dirai,che i dati poffono variar in 2 1 modo gettandoli, fi come fi fa nel gioco, et fiatano così in figura, et fé per ogni termino collocarai al fuo luogo la fumma delti an- tecedenti, bau er ai in quanti modi fi può gettar 3 da- ti,come Vedi che folto al primo ho p< fio 1 ,& Jotto alla feconda vnità ho pofio 2 , fotte alla terga , ho pollo 3 alla quart | 4 1 tlla quinta | 5 , & alla fe~ fila vnità 6, et poi là terga del/i 3 dati ho formato dalla fumma delti ante - cedenti imperoche folto alla prima delli 2 dati ho pofio I , etfotto al 2 ho pofio la fumma, cioè j, etfotto al 3, ho pofio 6, cioè la furi, ma de ì | 2 1 3 | > et fiotto al 4, ho pofio 1 o, cioè la fumma dei | 2 1 3 | 4 , etfotto al j, bopo fto 1 5, cioèla fumma de 1 | 1 | 4 1 4 | > et così Jotto al 6 , fi mette 21 » cioè la fumma dell; antecedenti, che j marnandoli fanno ^6, et in f6 modi fi può variar il getto de 3 datti , et tenendo il medefmo modo trouarai che '4 dadi fi pofioro gettar in 1 26 modi , et che fanno quefla progr: fifone , cioè J 1 1 4 1 ic|20|3< |5 6, et volendo fiaper li 5 datti |i| 5h5l35|7°Ultf» in quanti modi po'lono va- 1 riar fiotto a ciafcuno delti j • - - J datti termini vltimi pone- 15 '■ rai la Jumma delli antece- 3 5 denti termini di quella ri- 7 o ga,outr linea, et la fiamma 12 6 faranno li modi m iti quali pofifono variar ti 5 dadi, U | 2 5 1 ftguendo tal modo potrai trouar ti modi del variar Ai’.v & in tanti modi fi pofifono gettar li 5 dadi . quanto T Librò1 fednc}o7 8/ èiì'ap^tkm'éró 'dlkaii tì piaceri , '& rrbHarai thè lW)fadipe)r la figuri fià' h^àta^pìiffMtf^ettat in i 5'» mo&h ’ ','V>'U' > . . \:W v-v. v (^entotdT<^'Jg,CÒWgiqntt©n? de Pianeti, porto dal Cardano Medico Mila- nefe. Gap: XVII. T , . ni, v •• C u‘..t •*••. .f}ùt| I iX turno fa ilfuo circuito nel Zodiaco hi anni 30 , & Oi*- ue in anni 1 * ; 'Jtmàndb triuandofi oongionti nel primo grado dif/tfietP, quanti anniftaraùnoo congiongcrft uri altra uoltax& in qual fegno fi trouaranno . ’Ver fdact qucfo muUjplica li anftì 1 , dfy Ciotte fiali anni 30 di Saturno faranno 360 , poi fot tr arai 1 1 de 30, reflaranno l8,’&fà ritrai fèa per 18, ne •leniranno anni 20,nelli quali fi congiongeranno li detti doi pianeti t & fi trouaranno nel primo grado del Sagittario, C~ Gioue haucrd fatto uno circuito, & 8 fogni, Saturno ha urrà fatto li dai tergi .U l fuo circuito , chi" pervenir à l'uno , & f altro al detto primo grado del Sagittario, & coi) potrai edlculkrt iccongiuntioni delti limii/iart che fonodi grande ufo nelle cofc del mondo , feconda detto Cardane. \ Vim < mu o'ittìl.* , ; ^5'tUt» li ì> .V-ai jli **' * . Av;*ròo. uvW» # fi - Solutionedi vnoquefiro per la regola di modo ertratta dall’algebra. Gap. XVIII. • w*A*r»* v* ' ' Fonami vn numero, che raccolte tutte le fuc unità comin dando dada unità fin a quello numero in proportion du- pla dicendo 1 | : 1 4 | fc \ facciano 6 ? . Canone 1 de 6$, rijlanno 6ir& a q ite fio aggiongi 2 fa- rà Sft dr quello parti per 2 , he veniranno %\ ,& que - fio 32 farà i ultimo termino di tale progrcjfione dupla , come uedi in margine-. • ; La prona furai doppiando l ultimo termino cheè 3 2 faranno 6q,& ca uamlune il primo thè è 1 reflatà 6 3 , come fu propojto , & volendo trouar il numero dell/ termini aggiongi ì-,al 63 farà 64, catta la radice farà 8 ,ca nane irijlà 7, che f la fontina della -?• dtlli termini , '& la-\- fono 3 , &_ •iitermni 1 6 itna in 1 tonar il numero de termini Infogna trouar numeri djt * r piati , 2 z fi trotta la fiamma del doppio dt detti termini men i , come appare nel deci- mo fet timo cafo . B Enche da le regole deprpgrtffiMfrycedeno le efir altioni de radici, ho dimeno volendofi propónete càfi fonili fopra li prógr, fileni, non fi pof Jono foluere fendala cognitwne delle radici, per tanto fa di bifogno alpet- tar lamtroduttio'i di effe radici, & altre regole prima, che fi propongano alcuni cafi fintili fopra le progreffioni odi? folutìone delti quali gli. bìfogna batter la notitia non folamcnte delle r aditi, ma anebor a dell algebra \ Idibi fogno , che pano anebor a infinite fpecie de radici correfpondenti alle infinite fpecie,et nomi de numeri prodotti che nafrono per varie multipli- cationi da effe radici, et tutte quefle cofefono rapprefentate , dalla naturalo progreffionc et dalla Geometrica, de numeri, cóminciante dalla vnità , in queflo modo che fegne . %• u , miq A y E'RTÌM'ENTO.f-i ••■<<>> , I. : / ’C. ; a ... f Ili f. o: i A orishisc? Ito ofioq \ ^ . . . 1 i Delle radici , & Tue fpecie di ucrfe, & fuc . diffinitioni, Cap. X IX . ; 1 . Ia : le piante fono prodotti da vna piccola radice , così fono li ùjA numeri, che multiplicati infe lìeffi , per infinite fpecie de Tff multiplicationi producono, & quadrati,» cubi, et ccnfi , de cenfi, et relati, et infinite altre fpecie deprodutti , onde y etto nome radice è tratto per fimilit udine dalla radice del le piante,» arbori, perche fi come il tronco, » li rami del- i— -numero f a co. j — — I 4 ce. ——a 8 cu. — 3 I <2 , i 6 ce.ce. 4 3 » prono rei. — j 6 4 ce.cn. 6 6 4 ce.cn. 6 1 z 8 fecondo reL ■ — 7 1 j 6 ce.ce.ce. ——8 4 . Ter À S 6 Ter il che dcai faper , che la frogreffione naturale pofìa dallato dcfbro de chi legge rapprefenta le (perii dtUe multìpUcationi, parie dal latofini- ftro imperciocbe ri 2 fìgnifica , che multiplicando i radici eguali inficine producano il quadrato dicendo/i ifiai fanno il 3, che feguefigni fi- ca la multiplicatione cubica perche fi pone 3 -volte la radice dicedo 2 fiat fa 4 ,<& z fia sfanno S,& il 4 fìgnifica la multiplicatione, eh e il quadrato de quadrato qual chiamano li *Algcbufli cenfo de cenfo qual depingono co- sì abbreuiato ce. ce. Et il ^ fìgnifica la multiplicatione relata perche fipo ne ri 2, cioè la fua radice 5 -volte così 2 fia 2 fi 4 1 a fia 4 fanno 8 , & 2 fia Sfanno 1 6,& 2 fia 1 6 fanno j» qual fi chiama primo tyldto,& così ;l 6fignifica,che multiplicado la rad.qual è 2,6 volte farà il fuo cenfo de cu bo quale 6+,& 8 volte farà 2% fi.Qualid cenfo, de cenfo, de cenfo , cioè quadratole quadratole quadrato, così defignato ce. ce. ce. & il 9 figni- ficafimtlmentc,che multiplicado il 2 noue volte produrà j 1 2, qual è cubo de cubo, & ri 1 o fìgnifica, che fi ponerà 1 o volte il », & produrrà 1014 quali cenfo de primo retato, fi come vedi nella propofla figura la qual fi potrà augmentare in infinito, qual più diffufamente fi replicar à net trat- tato de Algebra , oue fi parlar à dell' orìgine delle dignità ^tlgebratuhe . E Adunque la cflratt rondella radice vnainucntionc <fun numero, che per qualche multiplicatione in fe produce vnproporio numero, fi come fri tifujfe propofio trouar vn numero, che mufiìplicetto in fe faccia 81 trouar ai quello effer gpprche muhipficando 9 in fe fard il propariq numero qual èSi,& coft intenderai tic firn ili, la prima cofa, che fiofferua ne Ile efirattioni de radici è fegnarjl numero del quale fi vuo\ cauqr la ra due nella eflrattione della radice quadrata fi comincia (falla prima da ini defira afegnargli fopravn ponto,&poi fe ne lafcia fùora vna,& la ter- r^afifegna con vn' altro ponto, onde fi trouer anno fegnati tutti li luoghi djfpari,cioè vnas't, & l'altra nò come vedi dii otto. la prima aa m in aejtra, & je ne taf ciano Juora 2, che non fi fegnano , come qui dtf otto appare . I Diffinitione della eftrattion de radi ce in generale . r. vi «rttpV 5ÓV.-I0; .w r » Et r C.'ìì DeirArithmetica • tl-.A j»* . V » } 7 (5 8 7 5 8 il' ' *'l J Ti '• .'.«wnsjpfli ♦ ** 1 ; f}> .. . . .1 ‘ « * X L li Et così nella cflrattione della radice de radice fene lafcìano fuora J figure fegnata la prima da mandcjlrafin, ebe furano finite dafegnar tutte come qui difot t<> | . 4 9 5 7 6 5 7 6 7 » " \ similmente cominciando nella cflrattione della radice relata fe ne laffi (to fuori 4 figure fi come vedi. m * » d 7 d 7 6 7 6 8 3 6 8 trv oi *r£( così fiemprefe nc lafcìano fuori vna de più udii prosimi, chefeguo * no in infinito, ma perche l’ufo delle cofe humour non pajfa quelle (j>ec\e de radici, quantunque fi ano infinite per natura,noH fi curarono dit cflrattio- nc^e altre, che delle propoflc,è anchna da faper, che qiusle figure , che fi lajfano fuora tra vno ponto, & t altro fono co refip indenti alti medu prò* port tonali, imper oche fi come nella eflrat t ione della radice quadrata fi la- feia fuora vna figura tra vno ponto, CT l'aUro,cosìtrail quadrato, & la vnità è vnomeggp po rp ortionale, cioè tra i come hai veduto nella figura precedente, & fimi! mente fi come ncllaeftr anione della radice ci» ha fi Ltfciano da fegnar tra l uno ponto, & l altro due figure, così tra il cu bo,& la vnità ouero tra la vnità, if il cubo, che tanto vale, fono doi mtg, %i proportionali, cioè il il 4 1 così 1 1 : | 4 1 8 | parimente tra la vni- tà.et il 16, che è quadrato de quadrato fono J meggi proportionali per- che fi Inficiano fuora 3 figure tra vno pomo, et l'altro , et nella cflrattione ‘della ridice retata fe ne lafcìano fuora quattro fi come ancho fono 4 nume ri proportionali tra la vnità,et il primo retato, cioè tra i , et 3 1 | così | 1 1 2 1 41 8 1 1 6 f 3 2 i' et così in infinito , et quanti ponti faranno fognati nel numero del quale voli tuo calcar la radice, tante figure anchora farà la ra- dice dirotta di efjo nimit ro,et quindi fi potrà bauere la regola di cauar infinite (peci* 'de radici, et quefle euidenge fi calcano in parte dalla ottaua del nono di Euclide,et dalla feconda del mede fmo,anc bora è da fapere, che folto a Ivltimo ponto, che fu fegnatà qual farà il primo nella operatione , et pollo da man finiflra de chi legge fi canora le radici , cioè fel farà qua- drato fi cauar a il maggior quadrato ,{hcfipo(fa trouare fiotto alla figura ouer figiireje più d unafàra'io,fin al pi1 imo ponto da man finiflra, chedi- fopra bau emo chiamato vltimo,da man ieflra,et così nella cubi,cauarem<s Libro Secondo l s 7 il maggior cubo, neUi quadratile quadrati il maggior quadrato de qua- drato,ouero cenfo di cen/o,nclli r ciati il maggior relato, et t auangji met- teremo [opra fi cime fi fa nel partire per Calca , et così fecondo la Jpecie delle radici ojjeruarai in infinito . Et perche finito il primo poto,haueremo trouato , il primo digito di quel la tale radice che volemo trouare,per trouar il fecondo digito , et li altri fin alla perfetttonc della nofira operatione , fono vfati varu modi , et regole dalli ant U hi , et moderni, imperoche li M-lemani vfano ma pegola pet yia de progr ffi >ni , et proporzioni fempreafiignando a ciajibaduna Jpc- cie fuoi numeri particolari, come vfa Micbaele Stifelio Mathematica Ec- cellati, (fi no , qual tolfc da Vietro Appiano Urologo celebratiffimo,cer- tamente con or dine mirabile come nella fila Mritbmetica benché con breue et ofeure par ole, fi può y edere, onde nella efirattione della radice quadrata, y fino il numero io per fno peculiare. nella efirattione della radice cubica yfano quelli duoi | joo , et 30 , nella (ftrattione di Itar adice radice , cioè della radice , de radice vfano quefii 3 numer | 4000 1 6co,et 40, et mila efirattione della radice relata quelli quattro, cioè 50000, iooooc| 1000, «50, ma nella efirattione della radice cuba quadra , quefii cinque , cioè 6oouoo| [50000I 10000I 1 500) et 60 | et n Ila efirattione della radi- cefecòda relata, qutft:fei,ctoè 7000000 1 1 1 000000 1 j 50000 1 3 5000 2 1 00 ,rt 70, quali fimilmentc correfiondeno al numero delle figure , che fi lafciano fuora nel pontar li numeri , et firnilmente alti mcdij proportiouali che fi trouano particolarmente nelle loro (pcciede radici, et tende fimiliné- tequefio ordine triplice in infinito , cioè che nella prima fixcie che è il qua- drato, nel pontai li dalla prima che fi pania ouer fogna fene lafcia finora v- na figura non puntata, et così ha vno megj^o propor 1 tonale, et vno numera peculiare qual è detto difirpra.ticlla feconda Jpecie , quali il cubo , fe ne la • [eia fuor a due, et ha 1 meggj proport tonali, et 1 numeri detti dfopra,così nella tcr'ga, che è il quadrato de quadrato fe ne lafciano fuora 3 , et 3, an- chorafono li fuoi medi l proportionali , et 3 , fono li fuoi numeri peculiari • detti difopra,et così feguitano fempre ertfeendo vno non puntato,» vno me dio proportionale, et vno numero peculiare de piu della antecedente (ficcic in infinito, il qual ordine chi ben confiderà rende grande admiratione, et na fee quefio ordine de numeri appropriati a ciafcbaduna jpecie , da vn altro ordine de numeri, che comincia dalla progreffione naturale , cioè dalla vni- tà,et tende in infinito,al modo che in quefia altra figura ejponerò , de jpecie in jpecie per gratin di efiempio. t DeU'Arithibctica ’ i X 3* 4- 5- 6 V i ^ . . (: 8- 9' io- ti- 12- 13- 14- iy- -IO- -15- -ìi- -28- -36- -5 f- -66- -78- -91- -105- IO — 20 — J5- —56- —84- — 120- —165- — 220- —286- —364- —45 5- »y. i\ to ! -35 -70 -ia6 T2 6 -aio 232 — 3 3 o—— 462 ——462 -495 792 924 —71 5 1287 1716. — 1001— —2002—— 300 jr -1365 3003 5005- l • iAli.1V .■>« • ' . Vr. '*• . r tm. VwV tMb - V-' '»» ì •tyi6 y»** 343* «435 Et quefio ordine fi può eflenderc in infinito perche la ferie de numeri tue turale per la commune fententia, ouer petit ione del fittimo di Euclide ten de in infinito. [ , | Et per intendere la detta figura ouer tauola prima vedi, che dal lata finiflro de chi legge defcende la naturale progreffime de numeri, & in quel la fono le radici de tutti li lati,che feguitano , imperoche il fecondo lato , che contiene li numeri trigonali nafce dal primo ordine de numeri la filan- done fuor a doi, cioè la vnità,& il z, & fi replica il tcrjo numero del pri- mo ordine , cioè il 3, & quindi comincia il fecondo lato, ouer ordine de nu- meri, dappoi s' aggtonge inficme quejli doi numeri collaterali, cioè 3, & J» che fanno 6, & quefto farà il fecondo numero deificando ordine, & il ter Zp numero fi trotta giùngendo anchoralidoi numeri antecedenti collatera- li,cioè del primo, & fecondo ordine che fono 4, & 6, & faranno io ,& fi mette fitto al 6, & così $,& io collaterali fanno 1 j , che fi mette fitto al dcito io,& così fempre fi va mettendo per confegucnte la fumma delli doi numeri collaterali ai tecedenti fin alla fine, & così il terzo ordine na fie dal fecondo lafciandone fuor a doi, & replicando il terzp giùngendo in- fume parimente li doi antecedenti collaterali per continuar detto ordine , & così il quarto nafce dal terzo, &■ il quinto, dal quarto , & così figuen- do in infinito feruando li medefini modi, et conditioni,che del primo, et fe- condo fu detto, et come chiaramente fi vede nella ietta tauola . . - \ r.'à v 1 *j»> Dd Libro Secondo.* Dell vfò della detta tauola . 88 D/tUa detta tauola fe trottano Innumeri che particolarmente feruen 0 alle fpccie di e{ìr altioni di radici , imperoche da qual vuoi ordine , che procede tranfucrfalmentc fi pigliano li numeri, che ferueno, petuliar- tnete alle (fede de efìrattioni,onde il primo numero del primo ordine, qual è a dimoflra il quadratoci 3, et il fecondo , qual è J denota il cubo , et 4 il quadratole quadratoci il 5 il numero retatoci 6 il cubo quadrato, et 7, il fecondo relato,et 1 8 il quadratole quadratole quadrato,et così feguen do trouerai li ordini delle dignità ^Algebratici,cbe tutte hanno le fue radi- ci particolari come nel primo capo delle eflr anioni de radice difopra haue fti in vna tauola. Ter faper adonque in qual modo ciafchaduno ordine della tauola tranf uerfale conflituifca quelli fuoi numeri, che feruino peculiarmente alle eflrattioni delle fue fpecie de radici, con li effempij chiaramente fi farà ma- nife fio , Come nella eflrattione della radicele radice, de radice che ilfuo nume- ro fi chiama quadrato de quadratole quadrato onero ce.ce.ce. defignato nella fudetta tauola col numero 8 del primo ordine veder affi tranfucrjjtlmc te effer pofli 4 numeri, cioè 8 | 2 8 1 5 6 1 7 o , quali pigliar aiin quello ordi- ne che fono pofli dappoi li replicar ai tutti retrogradamente, cioè al indie - ìro,eccetto Cvltimo,et far ano fette numeri, cioè 8| 28 1 56 | 70 1 5 6] » 8| 8, et ciafchaduno di loro vuole la fua nulla , ouer gero,per feflefjo,et ancho rane vuole vna per qualunque numero che a lui feguita tranfuerfalmen- te, et perche effo 8 ha 6, altri numeri confeguenti,et per fe vuole vna nul- la,ouer gero , ( come altri dicono') adonque hauerà fette nulle, et fìarà co f» 80000000, et così il fecondo delti detti fette , qual è 28 riccucrà 6 nulle, vna per fe,et le altre j per li 5 numeri che gli feguono ^ et fìarà così 38000000, così il tergo che è 56 ri cenerà 5 nulle, ouer gerì flarà co- sì 5600000, et il quarto , che è 70,'nericeue 4, et fìarà così 70000 et il quinto, che è $6, nericeuc j , et fìarà così 56000, et il fefio , thè è 38, ne riceue due , et Hard così a 800, et il fettimo, etvltimone riceuevna,et flaranno così, talmente, che li numeri che peculiarmente fer uiranno alla eflrattione della radice , de radice , de radice , che è defigna :a per il numero 8 , del primo ordine faranno fette così ordinatamente quiui deferitti , cioè primo • Qu'fii Dell’ Aritmetici Quelli fondi 7 numeri , che tempre 80000000 li adoperaranno nel cauar la radi- j6ocooo ce, de radice, de radice defcritta ? 00009 , J 6 PO O cosi rrr. a 800 80 ET così il 7, che rapprefenta il fecondo relato come è t al n2\,& così nella ejir anione della radice feconda relata gli bifora erano 6 nume- ri peculiari, che fi trottano così,prima nel fuo ordine trtnfuer fair fono que- lli quatto, cioè 7 | a t | I S I J $.Q±<ali replicandoli retrogradamente eccetto l virimi, che è $ i,hauercmo qutfl: fei , cioè 7 1 il | i 5 1 3 5 1 ì 1 I 7» H primo riceuendo vna nulla per fc,& vna per ciafchuno delti $ a lui confi guenti tranfuerfalmente hauerà fri nulle, & flarà coti 7000000, «2 r il fecondo,cheè 21 ,ne hauerà q,& flarà così al 00000, il ter^o, che è 15 ne hauerà, 4 cr flarà così 3 50000,1/ aiiarto,ne riceverà 3 ,così 3 5000, il quinto che è il, ne riccuerà due, & flarà così zi 00, & il fello, & viti mo,cheè 7, cioè el primo replicato retrogradamente ne riceuerà vna, & Rara, così 70, cioè furano tante le nulle, che n ceneranno li primi n.iwcri quagli’ faranno ejfi numeri trouati al modo dctto,tranJucr filmane adun- que nella eflrattione della radice feconda retata, così defignata fecondo re- lato gli concorreranno li infra notati fei numeri, cioè. Li 6 numeri concorrenti alla eftratione della radice feconda rclata. 7 a 00000 O O O o o 5 o o o o 35000 2100 7 ° C Tmilmentc perche il numero 6 denota il crnfo de cubo nel detto primo d ordine poflo, & a lui gli feguono t ranfuerfaln.ente doi altri nume ri , cioè ! $,& 20 per tanto parendoli prima come flàno nella [addetta tatto la fiatano così | 6 | 15 I iO.jcr replicandoli poi retrogradamente eccet- to [vii intonami, no quifli ),uoè6 1 1 5 | :o 1 15 \6,& dando al primo , Vna nulla, oucr •gero pei fi,& vna per elafi badano confluente a lui,e2r così a gli altri, che feguono augnandogli vnanullaper fe,& vnapercia [chimo numero fuo confrguente,chefernpre ne haueràno vnahitno, tro- tterai, che'l 6 primo numero riceuerà 5 nulle , er il 13, ne riceuerà 4» il - ao ne Libro Secchila] *9 \d ne riceuerà j, l'altro 1 5, che è il quarto numero ne riceuerà 2tó'it <quintó,& vltimo numero che è 6 ne riceuerà vna,onde gli cqncorreràn» 5 numeri, quali fono qui ut per ejfempio pofli per ordine, cioè il primo . Quelli adonque fono li 5 numeri con- 150000 t. correnti nel cauar la radice cuba qua- 1500 dra defignata a quello modo cu qua- dra ouero ccn.cu. fi come è il 2 , al 6 4« I . ^,r . ... •! 4 * ...... • , ET perche il 5 poflo nel primo ordine della detta tauola denota il pri- mo relato che è la quinta fpccie di tale ordine, per tanto volendo per la medrfma regola ntrouare quanti , & quali numeri peculiarmente gli concorrono, metti prima li j numeri come Jlanno tranfucrfalmcnte , cioè 5 | 1 o | io | quali replicando retrogradamente eccetto F vi timo [arano 4I perche il 1 o è poflo due volte , & nel replicarli retrogradamente non fi mette per ejfer eguale all vltimo, fi come fu offeruato difopra,quali fono , 5 | 10 1 1 o | s ,& il primo qual è 5 riceuendo vna nulla oucr gefo per [e, & vna per ciafcbuno [no confcgucnte ne riceuerà quattro, et il fecondo , che è io , ncriceueà 3 et il tergo che‘è ancilar i o ne ricetterà 2 , et il quarto , che è 5 ne riceuerà vita , et Jlaranno così primo . 50000 10000 Et così hauerai,che quelli 4 numeri con $ o correno alla eftrattione della radice relata , POi perche il 4 denota il quadrato de quadrato , ouero cenfo de cenfo , per faper quanti, et quali numeri peculiari concorrcno nella eflrattio ne della fua radice, che così vien di feruta rr. vedi che nella detta tauo • la ha vno confcgui nte per ordine tranfuerfale che è il 6 , adonque prima metterai qucfti doi,cioè 4, et 6,, et replicandoli retrogradamente eccetto l vltimo che è il 6 , bauerai qucfti 3 numeri , cioè 4(614, il primo de quali, cioè il 4 riceuendo vna nulla,ouero gero per fe, et vna per ciafchu no dclli feguenti, ne riceuerà },ctftarà così 4000, il fecondo ne riceue- rà 2, et il tergo, et vltimo che fu il primo replicato , ne riceuerà vna, et tutti per ordine ftaranno , come quiui per ejfempio appare. Dell’ Arith meri ca Fr quelli fono li 3 numeri concorrenti 4 <> ® ò alla eftrattione della radicele radice, che così iì dipinge rr. H 600 4 o J ra veniamo alla terfa fpecie doppola cofa ouer radice deftgnata col numero $,nil primo ordine de detta lattala , quadil cubo , et peri l>e effo a ftmtlmentevn altro i, per confluente bauerai perii fuo ordine iranfuerfale li detti doi numeri , cioè i,ct i , quali reputandoli re - trogradamente eccetto l vltimo , et l altro eguale a t vlt.mo come difopra fu ofjeruato reflaranno loro foli, come di prima , cioè j , et j peribe non può venire replicatione alcuna, flauti le ditte eondtiioni , bora riceuendù per la detta regola il primo che è 3 vna nulla, onci- fero per fe,et vn altra per il fuo configurate ne bauerà due c<sì >00,(7 Coltro 3 contigui ntt ha urrà folamcnte la fua , et flarà così , onde buuirai,chc do: numiri concvr reranno peculiarmente alla iftrattione dilla radice mia così per ordine notati .. Li numeri concorrenti nel ca- uar la radice cuba . primo fccond< HÒr Analmente venendo così retrogradamente alla feconda fpecie de d gnità netta quadrato benché fta poi la prima Ifiecie de radici , la qual h onerai defignata per il numero i,nel primo ordine della detta tana \a,il qual z, per non hauer confeguente alcuno non riuucrà fe non vna nulla, onero fero per fe et flarà così ——ac Terilche concluder ai,che nella efirattione della radice quadra fempre gli toncorrerà il 20 , come fuo numero peculiare , et così bauerai intefo detta taucla, et il fuo vfo,et fimilmente potrai procedere doppo il numero 8 cd al qual c uminciaffemo ,fm a qual numero ti piacerà , in infinito, ma la noflra efpofitione fopra la detta tauola fu principiata dal numero 8 fem- pre afe endendo fin alla radice quadrata per hauer vna più commoda elo- cutione , di efplicar tale ordine, qual certamente è degna d ammiratione . Enfiami bora da mojlrar, come per via de detti numeri peculiari tro- uatiper tale ordine in detta tauola ft pojfacauar le radici, et prima mette remo il modo di cattar la radice quadrata, la quale è di più frequente vfo , et poi la radice cuba , et finalmente la relata , per quella via , et bauendo intefo le cofe dette potrai per meggo di qucfle 3 hauer il modo de ogni l òr te, et fpecie di eftr anioni di radicit ma io non mi fon curato di proceder Libro Secondò. 90 ptà oltreché ledette $ fpecie, perche non trouo delle altre fequenti vfo alcuno nelle occafioni,che poffino venire nclli negotij delle cofe h umane , ' ma folamente fi trouar ebbe grandiffime fatiche fenga alcuna vtilità. Ma prrma,che veniamo alla operatione delle eflr anioni e dibi fogno a imparar a mente li quadrati cubi , et relati da v no fin alt ultimo digito > che è 9, et prima per le radici quadrate quali per tuo vfo quitti ho pofto. Tauola per le radice quadrate . Tauo- la per le radice cube ; \ m. r fi * » fa 1 Radici cubi 2 fia 1 fa 4 I 1 r fi * ■ 3 fa 9 a 8 4> fia 4 fa 16 3 a 7 J ' fia 5 fa 21 4 6 4 6 fia 6 fa 36 5 a 1 7 fia 7 fa 4 9 ■■2 I 6 8 fi* fa 64 3 4 3 9 fa 81 b — 5 1 a Sii 4> 9 7 a 9 i’-vt- ih * Ì.V*» * Q ^ t’- radici *— 3 4- 5- Tauola per le radici rclate pro- dutti relate. -.!>* —3 4 3 -1. o a 4 3. » a 5 radici 6 7 ■ ? 1 relati -7116 807 76 8 049 6 a 9 In qual modo fi debbe operare generalmente. PEr ogni volta thè hauerai fpedito il primo ponto da man finifhra che fu C vii imo nella affìgnalione, ma farà il primo nella operatione , allo ra così operar ai per il ponto chtfegue verfo man defira . Trima metterai li numeri peculiari alla fpecie de rad. che vuoi catta*. Z * re 0 DeH’Arithmetica re nelmegjjs, dappoi farai la progrcffione della radice trottata nel fri» tuo ponto dalla man finiflra, ponendo ejfa nel infimo loto , & poi afeenden do per il fuo quadrato, & cubo,& l altre multipUcationi continuate fe- condo la multipli cita di effo primo digito,infin a tanto, che ciafthuno deL lime^gj, cioè delti numeri peculiari trouati come difopra haueiti hab- bia cl Juo collaterale numero dalla parte finiflra. / dito quello per trouar poi el partitore, che ti produca vno nouo digito da poner infteme col pri- mo dalla parte defi r a per quotante , ciafebaduno delli numeri di im» multiplicarai per clfuo m<mcr<f collaterale pofh dalla parte finiflra , & quelli prodotti fiorii uri fieno ti daranno il tuo partitore, ma non ifimpre tiecejfarioyche fi comp fcano tutte le multipUcationi, ma bafla,cbc tu mul tiplichi li doifupremi numeri collaterali, & quelli produtti attingi in- fierii e per hauer il tuo partitore . Toi trottata, che fra la prima figura,ouer digito per via della diuifito- ne doppo quell r,che trou tilt per il primo ponto della efir anione di tale ut, di ce, quella metterai dalla parte deflra nelfupremo loco , & tanto defeen-- darai per la prognfifanc de fuoi quadrati, Ó" cubi, & altri finche la pro- greffion tua a frangi quella , che hai pofla dalla parte finiflra <f vn nume- ro di più, fi come veder ai nelle figure pojle-fatte quejle cofe,multiplicarai li 3 fupremi infieme, & così li 3 ftguenti infieme , & li altri 3 perche fa ranno tanti ordini triplici li quali multiplicarai a 3 a 3 , & li produtti di epe triplicità pano quante fi vtglia,aggiongerai infieme, & a quello pro- duttogli aggiùngenti quello numero di più, che ponefìf dalla parte deflra, nell infimo loco poflo folo, & tale fiamma fottratta dal ponto,chcfeguc fi- nirà quello, che fi affetta di fine fin a tale pota o,& poi per via de partito re bijogr/crà trouar vn altro digito fe non fura finita la tua opcrationc > CT qucjla è la regola vniuerfa^ii cauar tutte le fpecie di radici fecon- do quella tale inuentlonr,& acciocbc tale regola fia ben intefa, meglio la manifeflaremo con effempio, & prima per trouar la radice quadrata U quale è di più frequente vfo . Toniamo adunque, che babbi amo da cauar la radice quadrata di que- flo numero Jia rattonale, oucr non ratiohale,cioè . ... 3 8 8 7 6 8 Trima potami le figure cominciando dalla prima daman deflra quale è 8, & lavandone fuor a vna, che è il 6 pontarai il 7 ,& così lafciando fuoravn altra, che è g pontarai l altro 8,che'l fegue verfo lafiniflra ma no come vedi , bora cominciar ai da man finiflra a cauar la radice fotta 38 cauando de 3%, il maggior quadrato, che fi poffa quali 36 la cui radi ce è 6, & auangara i,& il ófa'àpo * . .1 fio per numero quotiente come jfi fa nel X jg 8 7 6 8 | partir per Galera così , # fi A Libro Secondo: pi Et auangaranno 187 fin all altro ponto bora bifogna farmi vno par tìtore per poter partir quello auango, che è zi? fin all' altro ponto, acciò thel ne venga vn altra digito da mette r appreffo al primo, che fu 6, qual trouo in quello modo, muli .plico il dato 6 per io, qual è il numero pecu- liare, che fempre ferue alle radice quadrate ( come difopra fu detto ) & farà I *0, &'queflo farà il partitore per e l quale partirò el detto aXm- 20 , cioè x&7,C 'T ne venir à 2, ch'è vn nouo digito , qual metto appreffo 6,& farà 62, così come dijotto vedi operato di parte in parte, poi ■ trouo vn numero da fot trare dal detto auan^p 2 U 7, cioè fin all' altro pon- to,& per trouarlo. 7 8*769 16 a 7 fi 1 ;'u\J •TV •a o 6 • a 4 4 * < - c * 1*9 a- fi*i Li * fi fi 240 Multiplico il detto iao partitore per el detto 2 digito trovato di no- uo farà a 40, al qual aggiongo , il fuo quadrato farà a 44 , bora fot tr arò 244 de 287, & reflaranno +ì,cofi come vedi in opera, et quefio 4 3, co/» le figure, che feguono farà 43 68Jinal’vltimo ponto. il. Tir -a o- . 6 fi 4 ì .1? •*,!. ,.*>v ir ifci. fl 'in .n il x a o a 7 8 S 7 6 8 I« 7 fi fi 4 fi U,V*Ulr a 4 o 4 » 4 4 r-*' H ora ^elPÀrithm etica fiora per le regole date , infogna rimettere da tran fmiflra,queflo <?i» & multipla or tu per 1 o fuo numero , cioè fempre per trottar li tiuoui partitori-, fi dette multiplicat il numero medio, ouer nùmeri per li fimi col laterali pofli da man fiiùitrafe più d vno fcranno', ma quefta prima fpc- • eie de raf/juadr ata,non ha altro numero che'l io per ]mo particolare , • cotn4fiètrouatodifupra,bora rnultiplicando lofi* 6 1 farà 1140, perii qual partirò il detto auan^otfinal punto frinente , cioè 4 ? 6 8, & ne ve- nir aiuto 3, qual metto appreffo al 61, & farà 61^, quoti la radice qua- drai a del detto propojlo numero , ma gli aunnja 4168 fopr adetto, <jr •" per trouar il numero da fottar del detto auango wultiplichcrò il detto partitor 1 240 per il digito trouato di nuouo da man fwiflra , cioè per J far ami 0 $720, a! qual gli aggiungo il fuo quadrato farà $ 7 2 9, & queflo fottrarò dal detto auango, cioè da 43681 remeranno fopr a 639 > CT fa- ranno, come qui appare manifcfto . 6 1 1 O J * o c 9 - 1*40 v ' ■» 6 | * * 1 fi 4 fi 3 9 * * x y fi x 372 o x fi x 4 fi fi 9 x 3 * ■ - Jm ■ . ■■ ^ prona f 7. 16» | » 4 < 3 7*9 Et perche gli auanga 6 ',9 per non effer numero quadrato doppiarti U radice, cioè 61?, & farà 1 *46 quale metti , sfotto vna virgola per de- nominai ore, dr /opra gli mesterò cldetto auan\o, cioè 6\9,dr farà 61$ T»w" » c^e far^ prof/imool vrroiperebe ejfa radkmon Jr può trouar pre ciju/riente per effere irrazionale ,comegiòJù detto , & volendo far la prò ua di detta operatione moltiplica la radice * cioè 623 in fc, & al produt- to aggiorni tauango qual fu 639 , & farà il numero del quale cauafli la radice, live j88 768, coti farai in tutte perche altro ejfempio non ti pongo di qmjta cjlratttone perche per meggo iti qucfto le farai tutte. 'Poti hi am bora far la prona del 7 trouandó la prona del numero dal qual vuoi cattar la radice farà 1 poi piglia anehor la proua della radice , cioè de 61 { farà o,qnal molt iplica in fé farà pur o, Ò" poi piglia la pro- ua del jopr auanjo,itoi del 639 farà 2 , qual giorno alla o ,fard anehor fi come vedila figura quiut operato facendo la croce , come fifa nel pro- uar il partire di numeri integri . ' ■ * - - ‘ *4»- Libro Secondo. * 92 jtnchora ti auertifco,cbe fi alcuna volta intrarà tante volt' il parti- tore nelli numeri foprauangati fin al ponto, che fogne, che poi n ijì f-ojfa fottrar, il numero , che fi trotta per le triplici multiplicationi j fognerà farlo entrar vna volta ò più volte man ebo, fecondo clic occorre .locherà nel partire per Calca. Et fi volefli approffimarti più alla verità col rotto di effa ridicela puoi far in infinito,come fi volesti la proffima radice de 74 caua f. rirna.U maggior, che fi può fard 3,CT auangano 1 o,qual metti J òpra vn virgo - la per nominatore, & fono gli metter aii l doppio di ejfa radice qual è 1 6 farà -{J fc biffa farà poi tal, che la prima radice proffima farà 3 ma volcndofi approjimarfi più alla vera radice quadrerai quefia pi ima, cioè 8 -J- fard tal quadrato 74, & auanger a zq, cioè farà 74 adita que fupera il vero quadratode & queflo atiangp partirai per il doppio della prima radice, cioè per il doppio de 8 che è 17-J- ne ve- nir à queflo rotto fihiffato -nl^- » & quello per regola cauerai della pri- ma radice,cioè da 8 -f- ,& reflarà 8 -rfir » qudfarà la feconda radice molto più propinqua alla vera,che la pnma,et così volendone trovar ie- na lira terga più propinqua che la feconda vedi il quadrato di effa fiton da quanto fupera il vero quadrato che è 74, & queflo fimilmcntr parti- rai per il doppio di effa feconda , ouero antecedente radice , & quello , che ne viene di detta diuifione Jo ter arai dalla feconda, ouero anteceden • te radice,et il refio farà la terga più propinqua che la feconda,et così po trai replicando effa regola trovar la quarta,& quinta , & così procede re in infinito . Ma fi volefli cavar la radice di vn numero che maneba folamente de vna del fuo quadrato, come de 8 , al qual mane ha 1 à effer quadrato, fi v- fando la detta regola volefli trovar la propinqua fua radice direfli che la prima radice è i,& auanga 4 hor doppiando la radice , qual è 1 fareb- be anchora 4, & fi formar ebbe quello rotto, cioè -J- , che vuol dir vno , qual gionto al 1 farà 3, onde direfli che la radice dei fuffe 3 , ma poi quadrandola farebbe 9, onde farebbe fimpre errore di vno nel fuo qua- drato,.ma per minuir queflo errore in filmile capo al doppio della radice, cioè al 4 gli fi aggioge vno farà 3 , onde poi fi dira , che la fua radice prò pinqua farà i altramente quel rotto farà fimpre vno per effer egua- le il denominatore al fuo nominatore, & così ojferuarai nell' altre. Di cauar la radice di rotti diferettamente . ET volendo cauar la radice di vn numero integro, et rotto , ouero rot tojòlo r attende, come de 11-^ rifiliterai l'integro nel fuo rotto fa rà ttell'Aritlimetlea fa -4*- poi caua la radice dcili dui nmnen,ei>è del 49VW del 4, rt foratini -1- fatto qucfìo parti il numero [opra l.t riga pe ? quello 1 be è d. folto ne leniranno 3 £,& tanto farà la radice de 1 1 -J- . Et volendo cattar la radice d caua la ratine dell» doi numeri , cioè del nominatore, & del fuo denominatore, ponendo' e p‘>i al fin primoloco ; cioè quella d^l nominatore fopra lsv’rgola,& quelli' det denominatore di fot to,f atà -j- , & tanto dirai ejfcr la radice de oA così Jempre of- ferita in Umili . 1 ,;>«r Ma b nè dibif ’tffto che tali rotti fiano fch ff. iti, per che altramente non apparebbnno quadrati, conte fono chela radice funi y quantunque così pojh fernet fcbijfarli non h abbino radice dif creta . Modo di cauar la radice di nume- ri rotti mattonali . • A nV, SE baite fli a cauar la radice de vno rotto,chc non habbia radice difere ta,oucr radon ale, come per e/fempio di -j- fi può far in doi modi, cioè prima fi caveranno le due radice, cioè del nominator, & del denomiuator al modo detto di [opra, onde la radice de 5 troueraffi (ffer 1 -J- , & la ra dice del j farà a-|- partendo cbnnminator qual è a -—perii fuo deno- minator,cbe è a J- ne venir anno -*T , & tanto dirai , che farà la fua propinqua radice trouata al modo delle altre integre, & irr ottonali , & così farai le finali, quadra -f, farà ,;*} qualauan^a li di *** vero è che egli è vn altra via più facile nel cauar effe radice, de rotti , & più propinqua al vero, chela foprafcritta,£F fia per gratia di ejfcmpio el fo- pr aferitto rotto dal quale volemo cauar, la radicètroua il medio prò por t ione le fia il,nvnin*tor,& denominai or per la nona del 6 .di Euclide oucrpcrtu deiimafisla del ottauo,ben cvnfidtrate, moltiplica adonque 7 fia 5 fa-, à jv c aita la radice di 3 j al modo detto dì fopra trotterai effer 6 , & qui fio 6 partirai per il denominatore di ejfo rotto , cioè per 7, ne ve- nir a uno , & tanto dirai , che farà la propinqua radice di 4-, . Et volendo faper di quanto errò dal vero, quadra Af fora -** fattalo dal vero quadrato, cioè da reflarà , e tanto erra, l qual è minor errore, che non fu quello dell'altro modo loprafcritto,&\così hauemo tro uato qual parte fia il lato del quadrato 5 al lato del quadrato 7 , & così farai infinuli . ^ fo r/^t'b J.ì UULJjìp r.«Y t'.-.Jf.lM M*rt> ' > *f * ; jv : M Hit** V-w.A' Ae\v. 4 • «'&«<: v t ‘ • ■ Regola •tu- i , M Jfe, v- . -Libro Secondo . st it tv*»; . n. ■' • • 1 ' • .. . . • Sarà adunque la linea a t longbeg^ga del ditto rettangolo '£ cangio* - OU'JlA UlililVH ilfei <i>j »>• ■ • . i j ì v.*nV i ' i •• < ' ■Mll Regola di cauar la radice deintegri, &: rotti. -'V** JO Tfe bauejli a cauar la radice de vn integro , & rotto , come farebbe A]» de. 12 -f* ridurai t integro a rotto, & farà^-,poial modo chtdi- 4 opra bonetti delti rotti foli multipiica il nminatorjfta it denominator fa rà 50 ,& di quefio caua la prima , & più propinqua radice , quale mette tuo tffer 7, qual metti foprà vna virgola , & /otto metterai il fuo denomi ruttore , qua C è a fnrà-%- , che partendo poi per il denominatore , cidi 7 per t,ne veranno J *{- , & tanto farà la propinqua radice quadrata de 12 -j- , qual 3 -J- quadrando farà n -A- , cioè farà -J- manco del fuo quadrato,qual considerato nella fua radice è molto meno, & quaft infen- fibil cfifa- & coiì ficraj/n /imiti . X 0J. uy.-j? Et "quantunque 'per nùmeri non fipoffiinai trottar la 'radice et vri- nu mcro,cbe non fia quadrato, fe non per approf/imatione, nondimeno per li nee,talè radice infogna a trouare Euclide nella noria de' Ifeflo libro , cioè infognando trouar vna linea media preportionale tra due linee ineguali, comefe'l fy/ievno quadrato , che fù/fe longo braga 6,& largo braga l, * volendo trouar il lato del quadratiche fia eguale a tale rettangolo, che batterà difuperficie braga 12, conuerrà trouar e la radice de 12, qua tè media propor tionale tra il 1 minor lato , & 6 maggior lato , & per fior quefio congiongcrò vna linea longa braga 6, con vn' altra, che fta longa braga*, in longo, & diritto, /opra la quale deformerò vno femicircolo pigliando larnità di e/fa linea per femidiametro di effo circolo , & /'opra li termini communi di effe linee , cioè nel ponto , che congìonge la minor «m la maggior, eleuerò vna perpendicolare per la vkdectma del primo di Euclide, qual tagliata la circonferentia del detto femicircòlo , & tale perpendicolare farà la radice de 1 1 ,come fi prona per detta propofitionc, £r come vedi quii* figura. < l ' • ■» >v v 1. ' - u- cv \i a t \ ;:*i u. «. 1 T .. j: tsi; ; ÌÉnil " V (f>U i' tu V. "ó 1 2 * so *1 7 l,+ 9 t» j>i Ddl’Anth natica ta con la linea e b qual è » nel ponto c , & fopra la totale linea a b faccio il femicircolo 4 d b.f atto qutfiofojna il ponto c menare fa perpendicola- re cd finche tagli la circonfertmia del detto femiiiametro nel pontod, et concluderò per ditta nona del fejlo , che la detta perpendicolare c d fari la media propprtionale tra la linea a c,ctcb,CT per confluente farfi.' il lato del quadrato eguale al rettangolo fatto dèlia a c,& bah, cioh-Jal 4*1 t,cbc fan, onde ejfu [arala radtcade 1 3 .quitti non occorre altra dimoflratione effendodcmoflrataappreffodi Euclide nella detta propafi- tione,la quale operatione è vtili (foia in tutte le fcientie mathematiche , ■re/lami d infegnar vn altra ma iifìeranf odali tfoprapojla di radice qua- drata? & poi bau ero ditto affai di effe prima facciale raditi , per quanta afpctta alla fua < (Irattione . , 1 i 1 • ' ' -•1 Vn.i\» *t ; s.u* » ’->fK y .t-ti.*!1 V»f 1 Secondo modo di cauar le radici quadre . »■ 4*1 M1 ! . , . i. w • *^f H Vanendo dato il modo di tarar la radice quadrata fecondo la rego la pofìa da Michael ttifrlio, la quale benché habbia uno mirabile ordine conforme all' altre fpecte di eflrauiooe, nondimeno confederata I4 breuità di quella feconda regola da Italiani v fata nòti è da tuffar confi - lentio.per tanto dico,che volendo canaria radice quadra di ciafcitn nume ero bifigna pontar le figure di effo numero come nella pi ima regola facejfc mo, cioè cominciando da man delira verfo la finiiìra,et Infoiandone fuo- ra y>u per intervallo tra vno ponto,et b altro, poi fimi Intente fi comincia a cavar el maggior quadrato, che fi può fin al pruno ponto pojlo da ma» fiuijl<a,qualfi Ì ultimo nel pontar dette figure, et quella tale radice otte x digito fi metterà fuori come quoticnte, come fifa nel partir per- galea, pai per trottar yuo nono digito fi doppia la r adite* et tale duplato fi mette fatto per pannar tra vno ponto, et l'altro, et quello * che ne viene fard vno nouo digito qual fi mette appr effo al primo per quotitele , tifai afr chora fi mette [otto al ponto , che figueper ordine della noflra operatio- ne, et fi multiplica in fe,et tale quadrato fi filtra dal aiiango fin a detta ponto, che hafopra pojlo , et finito el ponto fi doppiali digiti trouatifin all’ bora, et tale duplato fi mette, come diffi tra lunoponto , et l altro per partitore del numero fopra auanjato,et multiplicando , et filtrando co- me fifa nel partir per galea, fi finiffe vn altra volta el partitore , et fitto al ponto, che fegue per ordine fi mette el digito trovato di nouo per tale partitore, fatto fempre per el doppiar delli antecedenti digiti po/li fiora per quoticnte , & ( cpnto fi fatto ned i antecedenti digiti ) tale digito fi quadra, <&• il quadrato fi filtra dal foprauangato numero, & così fifinif l e la operai ione de ponto in ponto, filtrandone ailajìnt dclnono ponto il fcV / qua- Libro Secondai 94 jdaàhito tf ottetto da takfiaft*'*remtaferfif effempiomegUo infederati' fpecialihentc estuando la raditè dd medefmo nume- rò, chefifròpoflodifopr a qual fu irr ottonale , cioè 3 88763 ' Tròta efjò numero portato ,tòme difopra per l’altro modo ft< offerì Udt»i 't'àtidrò-fmilmtvte dal ponto damadfìnìflra il maggior quadrato, 1 tp Mlèj6\&'tà radìeifirÌ-6 /icòne vedi in figura a parte a parte , & auangaranno 3 , quali con la figura fegitente fanno li, poi doppiar 0 detto 6 farà 13, a qual metto fatto al 18 , per partitore, dosi come difotto al modo del partir per OMed, fi jg 8 7 5 8 [6 6 trono , che'l 1 1, entra 3 volte telisi, ^ fi fi qual metto afiprtffo al-óiftrà fri t& fopr'd ? al 28 anan%aranno 4, ebedira-qj fin al ponto , poi metto ili fiotto al 7 pomato, & dico ifiai fanno 4 dctéattidal 7 reflanno 3 depenando il 7, & facénd&fo *■ prati 3, che fin al ponto gli farà auangato 43, & così già faranno affolli doi ponti, etp tnuar vii altro digito fhnilmmte doppierà li digit i fòt bora trovati , cioè il 62- faranno ■ s li»4, qual spetterò fi otto al 43 6 talmente, . chejìnifdatra l'vno ponto,& l' altri , poi comincierò a partire doti comi difètto fi vede. > v\iv <“ .• >' •* \i\ 11 v r'-.u' il ,-v • • .ite; *• • 6 li **\*ri\ iti»! v*»i •tiflito ■■ j>.. w- 9.* 3 crjì . * 4 3 *88*6 8 1 62 fi fi fi pi * Il lìiij" WW UM iUir i.ltt 4 etimi» (T ■ 1 >r • • • .f.uidm £1 ib h'LÉJJ. t * fi » i 41 •>fe ‘Àut^ ìlvV »JV *'a -ii.i.iiit. it\» vi • Vii 1 0 Dicendotela fi entra 3 volte\qàai metto appreffo al>6*\ &di> poì6ìd',& uuan^a l depennerò l' 1 , tir ilqi & faròfopra ì, qual dirà *3 fin' al ponto ; poi dòti 2 fia ffitnttd 6, qualdet ratto dal 1 j,fopra ana %dto reiteri 71 & poòdirò 3 fin 4 fanno 1 », quali detratti dot- 7 6 dife- pra auangato rifileranno 64 , poi quadraro finalmente il 3 mettendolo però fono aii'8 pontato, & multiplicandolo co’l medefmo,qual fu Sviti - ma figaro del quotientf,cioì del 61$ dicendo ìfiaj fanno 9, & j >de 8, rtórFJipubytfcX) de 18 refi* 9 depennateti l'8,& farai fopra 9; & baste- rai vna deferta qual fèttrarai dal 4 reflanno 3, & così batterai finita la tudòperationerdt antmgaramo (òpra 6} 9 , quali métterai foprttvna virgola i «7 fiottigli metter ai ii doppio della radice, qual doppio è 1 24 6,' \4 a 1 & così DeirArithtòetica T & così concluderai chetale radice fard 6x 3 -rt$- , come fù fatto all al tro modo, ne ho voluto metter ejfempio minor che 3 figure , ne maggioro nella fua radice , acciocbe la hreuità non parturifca of carità, nella prolift fità gener affé rincrefccuolefatica,ma più prefio ilmezjtp traligno, 0" l altro ejlremo , & acciò fi poffa vedere tutta la operationein va luogfix quiui la pongo vn’ altra volta , acciò che fi teda quanto fia più breue» & facile. . .1 . , . : . , ini » * 3 ,i;nS . fi 4 X A 9 »- t bll • .A, ,<).' {> »f» 3 8 Z S fir* 1 6 2 j 639 . • « J • - 1 — 114<S ; f. t ù ? fi ? 2 4 Sf ; !•: 1 f Jw.lrol^ •’;i; 1 *»v i ci ^ tifi ”, -:r \ \ rV> te .? V.’Wia . (i MC *•'. *ì. :V>-<t.|}\à(KÌ(C» - Ma perche nelle ejhattioni delle altrtfpeeie de radici come è radicar*, lata, & fecondo retato, & cubo de cubo,et radice.per quefie altre regole fi ir oua tanto maggior difficultà,cbe nelle regole del Stifebo, quanto effe, feconde fono più facili di quelle nelle due prime fpecic , cioè quadrata, et cubica, per queflo ho pofio,et quefle , et quelle , accio che nelle prime dut> fpecie quadrate, et cube fi vfino le noftrc regole , et modi, et nelle fiquenti queìic del Stifclio,che fono vfate nelle, gran di ^Acbadcmie della Germa- nia,per tanto fiatai attento al modo del cauqr la radice cuba . Del modo di cauar la radice cubica. ' h > * . • * >jr* ■ * fc' K | - . t - * V* » • iws E S fendo ditto affai circa la efirattione della radice quadrata de integri & rotti,- & fuoi modi di apprc ffvnarfi al vero, Ipfiamidat tefic\n- pio della efirattione della radice cuba al modo Germanico, ohe fu, il primo da noi po/io , & poi a l'altro , & proponeremo di cauar Utradfcecu. d\ 340 1 a 2 24 qual è rationale,& per effequir tale oper at ione prima ponto, remo il numero al modo già detto nel principio, cioè cominciando a pontar da man defira biffando fuor a due figure tra l'uno ponto , & labro, et co- minciando a cauar la radice cuba fiotto al primo ponto da man finifira qual farà 3 , & ilfuo cubo farà 27 qual detratto de, 34 refiaranno 7 il quale 7 infume con l altre figure, che feguono fin al fecondo ponto far aru «07012, et fin qui tutte le regole hanno quefia comune oper ottone, bor po veremo difuori effo 3 xcome primo diguo della radice nel luogo del numera . .! 1» .. * f*>: : Libro Secoli dò, I 95 qvotitnt eterne fi *fa nel partir per galea,ct la operatone ftarà così, coni vedi qii in figura per maggiore chiarella. , flv f « • 1 • . . ■ j«-.‘ ; '\P r imia tTJì.'v.'i ftVi U . ; . i’J «TttOM?, 00 L ■ f "7 ! - : T *.Vj ' Mi. '.1CV'. V> Ui 3?,; i vrv « • • •> ' ‘ 'è fai ur.q<i U t 4 0 .1 a 2 2. 4s :| 3 ** - | ttorper trottar vn' altro digito formarono il partitore, mettendo}, col fuo quadrato fopra da man ftnijlra di chi legge, & all’ incontro mettere- mo li numeri mediani peculiari a qitefla [pecie de r adice, quali fono doi, ciot ti 300 alt oppofito del 9, & il }o, all'oppofito del ] , cioè del primo digito, &ftar anno così . 'oc © o 1 9 >*;0; o ’-}■ ■ 3 0 0 4 4 f \ = * pi :rvn^ 1 *700 * Toi multiplicarò li numeri collaterali infieme, cioè il p , CO’L ioo,& farà a 700, & queflo folo ballerà per partir il numero , che.auan-gafo- pr a , cioè. fin al fecondo ponto, qual Metterò qpprejfo all' altro digito del- la radice, & farà iz,ft come redi qui operato m.i . ; •, . -;ijxsny- vvmnr ir i 7 •* - % 6 r • . y £ 1 ■ * I * * 4 o 1 a a 4 I 3 * , IL- ;y ..... : ’ «j i ; o f Fatto queflo ordinerò vii altra volt ali numeri per trouar vn numero da fi tirar dalfoprauan^ato numero fri all altro ponto, che per far quef Ometterò fimilmente el primo^ col fuo quadrato difopra \ a manfinifira che è g,& al incontro di effo quadrato il numero me77a~ \ no e >ec j 00, & al incontro del 3 , che fà la radice di quefla operatone gli mettaro il 30 come difopra, & poi da man deftra al incontro del 3 00 gli metterò il a nouo digito trouato,& fiotto il 4 fuo quadrato al incon - tro dei }o,& fimo 4/41/ cubo di effo xxchfè « talmcnte,che dalla parte TT.V! alcendePer radice-quadrati, &- dalla deftra fi defeende ponen- do il digito di nouo trouato,& poi il fuo quadrato, & poi il fuo cubo, tal mente, else dalla deftra glifta vno numero de pià , che dada ftnijlra qual 1 1 fallo queflo multipUcarò li 3 primi numeri infieme del primo ordine, 1 À* . . cioè mm 1 1> D^Àrìtbmcnci ehi &9i& jw> fra,# faranno *400* ytirpoi multipUttrèfl ahri del fecondo ordine infime, cio^,& far amo ifio^lqnaht gli aggiùngerò il tergo numero qual fi g pofio dalla man deflra farà $68 & queflo aggiongeròal produtto della prima $ , che fA 5400 faranno 5 q6%,& queflo fottraro dal numero [oprauangato rcioi da 7011 fin al fecondo ponto,& r eflar anno lèi *>>&■ così faramoìaJJUti li primi do» ponti, come vedi difetto. | ^ ^ 9- ' 3- — j o o \ n"' rV"iS <v^ 9 • O' t* 'J-tH ■' • ■ - ■ - j Q -4 kli r.xfi \\u_i' \ -Jp' otv:' t <j>\\ ve itan^nitai - * : fcivtn - mi» yj? a* etcì t . . • • • Mi • .ni I I * ni. liti j oW»;. io| \'."ò .V o<jr . iici «u f ^144 COI # 4 fi * ? t 2$ I 3 * ? * * fi X 1 SS O o *; s 5400 3: 6 8 i- 360 Q8 J7tf« 368 •j. . »•, • n-i • **; •! v •»' » r»»»! •tj» m > l f hVf . v il »i* ^>r ì ; 7 Hori t\t>ìfogma apparecchi» vk altro partitore pertr'oukrvk altro digito di 'effa radice dimetter appxe/fo aiti t aùriche fan<fi$ *£ZX per trottarli dinawrméteeremp v dalia-parte Jktiftra aftenienio per il fu»., quadrato, qual farà 1024*6?» att incontro- glimetttri.il 300* & il ì<* fuoi numeri peculiari, così come redi . 102 <4 * } r*-4~ •} 6»^ - 3 » * lOl^' £ ‘ f a <fc v- _J ; Vi, Vi Y» ■». tt.rt 3 o 7 » o o u.HH. P jHMP -, mir.» iU,.U«rv<?ì,S r>c 4uwWc'i^W'.t,'4 Onde multipli cheto 10*4 ‘fiaftyo formio 307*0®, &*quefldbtt~ fìtrà per partir il numero JojpraiuOfii(atO fikat ponto fquai m queffa e’ /’W««H>jcAfò*»44»44‘ JUMr.mU i; • - • ■ :vwtU-»^i> i.fy ’VU 4 t. %« w « j Wwwc’ . • «V;. 1. .1, .. swi •.* -<j\ ^>,1. A-.r » o vnt tto 4. OO f i: Tarthremo adonque 1244224 per 307200, ne Vtnfri q,qtahnettti /1 1) tir r flirt Libro Secondo,4: pi appreffoaRi altri digiti , cioè olii sfaranno poi 3*q.poi irouaremovn numero, che fo.tr atta dalditto 1244213, che auan-ga fin at ultimo ponto lo diffaccia quanto fi può qual fi trouarà ponendo li medefmi numeri co- pte difopra.mii dalla parte deflra al incontro del 3 00 gli metto queflo viti mo al incontro del 3 o gli netto 1 6fuo quadrato , et folto ri 1 6glf tiretto ilòq,cubo del detto 4^ talmente, che dulia parte delira gb fari\Ù 6+depiù , et faranno duemani de numeri a tre numeri per mano , come Vedi difotto,& il prodotto delli primi i aggiùngerò colprodutto delli fe condi 3, cioèdalla feconda mano, et col finche fu il cu.de 4, et faranno a ponto il detto numero auan-gato,cioè 1 2 442 2 4, et fotratto l'uno dafaL- tro refiarà nulla perche il numera cubo era rationale , & queflo per Ut figura qui deferita ti fard mani frfio. > >- | • • > 102 4 3 0 o 4 prima mano 3 2. 2 o— — 1 6 feconda mano »»»•*•• - <* 4 * (1 — i*;&! . ; 'hU 1 0 3 •T * * O O r \ * ' < '77* 5 0 g 3 0 7 a O O 960 * 2-4 4 4- I 6 1 « h A r> • • • XXfttxzZX I 1 218800 1 15 3 6 Ó «< w r ‘6 4 9 6 0 1*5 3 6° * ' f ' « 1244224 fumma delli 1 mani de numeri co’l 6 4, di più,che fii il cubo d(L vltimo digitai rollata, da effèr fot tratta dal foprau*n%o,& reflerà nulla.perche è cub<s,\y così diremo che , la fua radice cuba fari 424 precifammtejma felLnon fuffe fiotto cubo rationale farebbe auanga tofupra qualche numeratone fii nella radice quadra pofia di fopra , &■ così èomc fi iroua ic propinque radici . 1 , Ma quando nella eflr anione auangaffe qualche numero, quello non fa- ri rationale come per più commoda operai ione, & più fàcile ioteHigentia ne propalerò vai altra piccolo, acciò intefo quello li babbia iute fi tutti,# \_ fio il detto numero 29 dal quale voleino c aitar la radice cuba propinqua prima trono, che la fua radice è 3, il cubo della quale, che è *7 dettratto dal 29 reflara i,& queflo defideramo faper,che parte fii di effa radice quanto alla propinquità, perche precifamente nelle mattonali non fi può mia IlÌJ»oSd(JCdJc^rJ 97 •4$ , '-S-tim , -* •) ottpi oVm > '•OjiA-v . utt*V> *A oVwwl\<^v\ v* : Regola del approffimarfi Tempre più alla vera radice cuba per numero. - * 17 T fe trouafq la prima radice cuba propinqua volefli trouarne vn'al tfw trp<à& propinqua* cfietU prilla, &co.sì franatala feconda trouar ne vna terza più propinquaiche la feconda, et così vn'qltra quarta più vicina, elicla f et dosi dappoi fèmpre ih iiifiniioc * Etperfitrquefipfpkagfml^x tfatnfcfafiWWltfr la dettale- fola, et vedi quanto foprabonda ouer frninutffe dal fuo cubo irrazionale, 6 quefla differentia ponerai faftfl+fiìà virgola, & fatto queflo a’giongi el triplato del quadrato della radice, che propinquamente haprodutto ta le differentia,col triplato di ejfa radice, et quella fumnta ponerai fotto la vìrgolapredètta,perddnomi»atore,oifero ejfa differentia paVti^ài'per dà t*fab*#tHauetaiittottòi t» effer fonratto àalldprìm* radice, ouczjb potetti recante ouer funmta farà affai pii propìhqua,cbe tàji tkw' recedente feettife Voleffmo cauat la propinqua raditedi q.thmarérno' prtyn* effkr t per la regola data, diti pr ima cavandone il maggio r cùVk } thè è j 'Sreflarà 6 poi, triplando il quadrato di affa radici farà?, et gion- geodo col triplato di effo f farà j , che g tonto al primo prodi etto farà 6, qual ponendo folio al 6 ilari così ,’che fanno i d'aggionger con tlprc mt miegra, thè è\fitrà 2 , poi cubando effò 2 farà 8, et queflo avanza ili 7 de r qual metteremo fqpr a vna virgola così -i- poi Iriptaremo il qua- drato'di affa prima radice quali ^faranno 1 2, et queflo dggiortgeretno al triplato dì ejfa radice qual è 6 faranno 1 8 , et queflo 1 8 metteremo fottòy alla detta virgola per denominatore, fopra la quale fu poflo f 1 farà -i» , queflo tj? lo ctuaremo de 2 reflertnikt 1 , et tanto dirai ebefarà la fé condapikpr off ma radiceche l [ut tubo farà 7 -ì*g- qual fpoco diffe- rente daf propello numero ; ma volendo cauar la propinqudVSdìce Cuba de 6, prima troncai chefar^^f Mangano 5 \ efual metti fopra-flh* virgola cosi-J— , poi aggiongi il trtplato del quadrato di 1 ,cb’l fuo tripla to,cióèidi.e/fai farà 6, qual metti [otto al detto ^perdenomffthlore fa- rà 4r, onde cflrai che la prima propikqddradice ietSfarà f-ff-l & *0_ altra più propinqua cubarai 1 faranno 6 ài taU mente^hcfppera il fuo cubo, qual è 6 di quefto rotto, cioè de ài » bora triplaraì la fua prima radice, qual 1 -J- farà 5 £, quale aggiongeremo al trip tato del quadrato di l ~i~,cheè ioTJ- farà 1 5 ,f , onde partire - mo di 3 per 1 5 T*~tne venir à » & queflo fottr aremo dalla prima radice che fu 1 -j- reflaranno 1 , quale farà più propinqua, che Pan te(C<if ntc/Ha ridice cuba, & così fi potrà approffmarfi in infinito fens B b pre 4 DeH'Ajritfeftotftar pre replicando la detta regola, & quello rotto è quafi-ff-, ottr-fj , ff» FK*S£V$[' ft ho nondimeno fard pii* propinqua chi vn altra antecedente, cacche differenza fa(d'W$(l>v,Q- qutJfóidliuucrtèltL 1 f»13V o cu 'cèdale ju*r • • ’ v.n 1 Av.t i ■JJT Come n cauanole propinque radici ciibedelu numeri rotti, & integri, & rotei ir- . .. rationali Regola rK>«am«ftwv^V ,*iVmk '.u1'Ì t*V- nu\W»S^lv-Ù' Mvvo iWwrtA 0UMt»y\to«19 ,M«| i^**;*- •», tirpSU»'U»\ *& teuouasa* *t> t4 i -y* - .«u «A il- ino olà-ib otubM^W» otoV^j* b ■4 lu-nut t^ - in . nr*-t -lY» Va ©n.Wnl i» ET volendo cattar la propinqua radice cuba de vno rotto ir rat tonale come farebbe per ejj'etnpio fempreptr regola quadrar ai il detto* Venator e\ che farà 3,6, in quejio effempio, ertale quadrato tnnkjptica* rai per, il nominatore » qualhorax faranno lèCbér diqtufto cauarat la propinqua futi radice cuba per la detta regola tr onerai epe fard 5 ff- » & queflojpar tirai per ilfuo fimplicc denominatore, qual bora è 6,ne ve “ù quale I nirà quejio rotto, cioè }* J , quale fard la propinqua radice cuba de , & così offeruarai in fimtli,& cubando il detto rotto trotterai , che fard poco differente da-%- ,& la differenza della radice tu. propinqua olla va ra radice incognita farà, quafi nulla, cioè fard vna differenza infcnftbflt\ Et notto che gli fono altri modi di trottar effaproffima radice, ma que>* fio è ti più fàcile. ■ Vi ' *Vr 1 Va oln-s- 4 6 5 I: 180 • M 55 ;.r 3 6 MS.1 114 M Ila *5 Olt »»5 klfr 5 5,‘^Vv’Tf 5_ &'A »>,rtn 5..8JÌWM | yfcbif[a ?ofàlfr\ur, *.u,m /«>*•& 1 ’ ' 1 ■ . .'-r-— . te n' , iti •n'.j.i. »,ì i . 7 ìj triplati . tubo dOf 1 yÀr;:_ 90 funtmadc w... • triplati mmSw OCX owrvi ijju ^V* i\rir , it i 1' v l vn_i-»\4K» «>*« ^ i s.if'.—i,- oì.4idi r 1 ib ••io* •’ *v 1,1 j*i- uiii.ft <iarn».nu3\oiaatv *& i 1 « l'i® r/\ io-'.* 1 av.JU'i'vT 4* li.' nàvijit L*r . .«i’ii*» A.ÌUJ’; T* M v& '«V'IYSfc Come a** IfliìfO&taontìbciCi pi t tiTsiiw* «ÉW)Vlr.rJVó\ *U.i & «fci'fcnritttto , ostini* ivU.mntutv . ‘ j-p1*.-» V t Comeii cauano le propincpi^radice cube » ^ -*»*gk iAV ohcnhnv.t» SKi •5. !CtlQ*««jn&Vfc1 •nwtMl MV9M 2 7 4 *4 ; cui» »1> •jncm.ivyA v . cioè ÌTOfl cubi ;>&» «latita ov.<ì\ i'A.\i QK>ibbN^ Vi ù morii i\ w'.ot vuUVr l\i ì ~r 1 ~*i in ì >i>> MHWtTI>Vo'n i|i fui)i ji !i>i)fV.~i ilirn .ìli i r' >i Itij ittjj i EV[ < volendo cattar la propinqua radice cuba de va’ integro , 6~ r orr o tome farebbedej,'^- ridurrai tutto alfuo rotto farà •{- ,poiqua- <- drcraiil z denominato) e, come fafatto neUapvecedtntcfara 4. qual fi- > , wiloieHte nmltiplicaperapfuàvoinmatoKR firàzA.* tonane la pràpin*\ qua, radice fu tut'jdthadu: ittfcgdsto. difopra farà**) tf, «LfPf/f» pertb per zfuofimplice denominatore ne venirà 1 la qual multipla andar- la infe cubicamente trotterai chefatàtaotofaiomeno de j -J» , che f*K\ rà vna differenza quafi mftnfibik, <t così per di quella potrejli i^j j-J— A anchota apprqjfifnaniptù offeruando il modo detto di/ opra. ..a 13. 1 *J- J 1M)W 912IMHI { qfe ir*** \ sJ,ii.\*5VjO Ài,-. tì > { s»l> circo Wt. oitai wjiuj \a irci nw». isAegoMi cautelateci ^ufoe pef v^Iieo^ modo trouato Da Moder-1 '^om v "• . ni. |Cap. .XX. ( MM t » . < yv X u7ifl*rWSfò'X«'dt\ f4 tegola,^ modopiù breuedi quel l\ fUfifdaUùMatbimatici modernità* m jfPMrlA**M**(ui/4<ktHMefifirimdit&èqkeJl<h che d numero dal quale volcmo cattar la t f fijthe alfupdo comune al fopra ditto, & anebora trouato il primo digito fotta al primo ponto principiato da man finiftra,fi come a Coltro modo / « vfato , fi quadra poi effo primo digito, della radice ,& tal quadrato fi multipfioa per t i& per tale qua- drato triplato fi parteil numero avanzato àiftprafin alla figura, confe- guenu al pomo già adoperato, & fattami fi mette iifopra cajfando le fi- gure difotto, tome fi vfa nel partir per galea, & quello, che viene de dit- ta partitioneji mette fuor a appreffo a lai ivo, thè fa trouato di effa radi- ce cubapcr quoti ente, come fi fa nel partir per galea, & nel cauar la ra- dice quadrata fù detto. poi effo fecondo digito fi quadra , & il quadrato fi tripudi? tal triplato fi multiplica per li antecedenti digiti già erottati , & articolarmente CQngionti,& tale produco fi fot tra dal numero fopra- , Bb 2 uan^ato s 2v DcH-Awduncrita] uanytto, cominciando a far tale fottr ottone dal numero conferente « t ultima figura delnumer' -offimamente ditti fo, onero dal , numero , che è più vicino al ponto, c bt (cjféi&ttfr caffando le figuri difotta, dr ponendo l atianjp,come fifa nel ùqrtir.pef galea tficaup ù(fi Uculfa della nana- mente trottata figWi VUr digito dàtauìorQ rifiato ér/vprainmmciando fatto al ponto profumo , che. pituita ,,0\((Q)fa§iùtatoptr ottone de duoi ponti,poi vn' altra volta fi rinoua il partitorc,triplando il quadrato deUi digiti già trouati,comt flanno,cioè articolarmente congiùnti, & per tale - triplato di nono fi parte tonando fopra peritato, &• da tuie aitammo pripè dendo vna figura più olirà fi fottra el triplato del quadrato della figuri- s oiter digito <li nono trottato,#- moltiplicata per li antecedenti digiti , " poi ultimamente filtrandoci cubo di tale digitof otto al pontotchefegneg- - C r coti reputando l^medefma regola , ordine fi finirà ogni tua ope— — ratinaci '■ . •» t\ i i «.uh « . . ^ v r i\j - H Tlor poniamo, che fi habbia da cauar fradice tuba det numero , chetfi- ’ fopra per la regola Germanica fu donata * . ; « i c ioidi . W -X. »... v. i. j 4 o ,* s % ti 4 Qual radice farà de j figure, perche effa numero ricette j ponti,&fca - uandone el maggior cubo dal ponto fegnato, cioè da j 4 qual cubo fard X 7 refiànà dlfiprd. p. quai-iónla figura figuonttliUi 70 -cefi' tomtùedi quitti in opera ^ ^ 0 ]Uiu n oLom 7r , Jl .in . *“* ' t4 * 1 * * » 4 I ? y Tatto queflo quadreremo quello-; primo digito detta queflo tripiarerno fhUprepèt regolo fard Htjfi & quetH ft col quale partiremo 70 chenuati^orno foprUpervnifigura fomandtfira,nevenirannode ditta portinone a quali in faal$. che dira poi & auanxetrarmo 16 fopra i tome dine operato. ‘ ' ’H ’■* »• *'c * *V* •’ "" «• \ v’v . i.’Kv 1 Mi.W vnt'a».» 1 m«*jì u\- O» V » * '» 4 4*\ul:. ''.uvy lui fc’Ai y\.;U. i jj_*#**V > <v^i\ ì\*U.'a\ r 4 *:* x * » *4 I il -*■ ;r fi fi j w *\t n • 9 «Va# “ >• j » k •» *. » »l MttW. -*nl J * 6 * * JI.L M u • i4 4 7_ il Tj * a* J 'Uft •- . V».. w * ni: • . ■ ■ 1 »7 i-.., ^..Oi ^Jtt-1 'ttdkv. '<»W> 'tAoiii .a Tot * ^ Libro Secorido* ! 99 Tot multiplìcarem e l triplato del quadrato de i nono digito per fi cioè per f antecedente digito fard. 3 6. qual fot traremo del auango che è 161 . vicino à l'altro ponto , Ó" remeranno /òpra fin al ponto confequen- te 1251. Et da quefto aitando ne fottaremo il tubo di ejfo 2 nono digito, cioè. 8. & reftaranno difopra 1244. come nella fopr aferitta operai ione Veder ai. bora finita loperatione pertinente , fin al fecondo ponto , bifogna trottar vn’ altro partitore , qual fard il triplato del quadrato de 3 *, cioè dell) digiti trouati congionti articolarmente} il quale triplato farà 3072. eoi quale partiremo il foprauango , & vna figura de più olirà il ponto già finito , qual auango è 1 24+2. et ne venir i 4 nouo digito, qual met - Stremo appreffo a gli altri digiti, et faranno 324, et auan^ar anno fo- Pr4 IJ4» tome aedi quiui operato di nouo . 5? òc> i r- ! ..1 li; I ari;» ; ojjviJ * 5 ? fi fi fi * : fi* 9 4.042 VilY iT 2Y.1V Vi. *»Al. QVJ 2 tjyh t>*n * : * fi ** fi ifcll u l'A-ix . L ’iWi: . r ..'..il 1 i nr n.MÌM .t. »Y o«n\ v! >■ ÌY. VÌ> ,<OAU4t i-r. hYmjlY ii.fci' !'»n -vi .iv;un ■*£>, ìftttferòt tir. , •j'-u fi 4 fi * fi fi a 4fii4 fifififigfi fi fi fi fi . \ '■ -‘C? . ' 3 » 3 * 1024 3 3072 ) OV ìu ) V. tl quale 1 J4Ko la figura che fegue farà 1 342 ,dal quale ne fottraretuó • « del quadrato del 4 nouo digito multiplicato per 32, cioè per li antecedenti digiti, il qual produtto farà 15 36, <£r remeranno 6 difopra , quale con la figura, che fegue farà 64, dal quale finalmente, ne canore» moti cubo di effo 4, chefà 64, & refierà nulla , & coti farà finito Ivi- . timo ponto, C la radice farà 324, come vedi quiui operato. •V'il Qycfta Qì DdfÀrkhaietual i ? "■ 1 \ ' 2 ‘ o*r>V\\tt \-i wvtf>H<\hlrtt ie'T ti*. ■,;.!•.• '..'j !.• -“i t /f • . ' ; . ev;:V>uoV*jV>»*Lln^4tn *24 ■ ^ , ol*o^ t-rti».''. t :òr ' t fi * A 4 fi .j(S l« mu\.: ti*t» iaiìi^v^ \ iMw^iro>4^s i » j .? .Sto » <n«o4«ÌAQVÌPi4?/tfitft 2>2 2 .iik'oWc •-. .ii-i - 3h fi fi 2 A , {1 njin 11 ^on\»V<c ,nr > '.v\'.\ 2 9 4 fi 4 fi <4- :p;«oi v Muntili; *4' >W 61 4T- # * <*•; .V '..v'- '- iC ’ W» n a ' 1» •’ ^ 4 "TiT v£udta c tutta lopcranonc le* j*_ ó\\vtv^a e? il condo la R cgola moderna Ita 1 '** rni f ^*ro* liana aliai più breue,che lai- ~óT ”“T tra. V* N4_ ?t * *, *jj* l . quattro cofe concorrerlo alla eflrattion della radice cuba, l. cioè prima cauar il primo digito della radice . 3. trouar il partitor per trouar yrì aligo digito . 4. trouar -vn altro numero per filtrarlo dal rimanente . filtrar, il cubo dell'ultimo digito dal fio porjto,pcrche tanti fono li digiti ouer figuredellc radici, quanti fogo li ponti fegnati nel numero , che fi propone , & quefla feconda Reggo fi di cauar la radice cuba,& la regola di approffimarfi , coti nelli integri,-comcneHi rotti,& integri, & rotti fi cauano da quelle j prepofitioni non pofigda Euclide , ma da moderni Mathematica inueiìigate . • • » , . # * .4 Propofitionc Prima. SE vna linea fard diui fi in due parti come fi uoglia il cubo della detta linea farà cguafiàqutfli+frodutfiyfi&al prodotto deh ubo della pritnaparte . 0«k>? ; '» </•* -V u» » M produtto dfl triplp quadrato della prima parte fa la feconda parte. mbv'.ù '''UkjV.h^b t .. t << ■. i. n t» M prò Judo chi triplo dU quadrato della detta feconda parte fa la prima. , ;uuu natole ^ Inai uibat tX '0 ..o»m -sarò - Et al cubo della detta feconda parte. s<bi'?> Pro- ♦ Libro Sdcoi§d&/f 100 A j3 JYopofì rione Secónda io M SE vna linea farà diuifa in due partitone fi Miglia il tubo de tktta la linea farà eguale à quefii 4 prodiitti , cioè al proJutfii del cubi della pr ima parte . — — Et al prodotto del quadrato della prima parte fiati tripla della feconda. ; { V M produttori quadrato della detta feconda parte farti triplo deb- laprima. feii, V'»V- .Wn'.JtM Et al produtto del ckbo della detta feconda parte . ’V • v Effempio della prima, tir feconda.fia lodiuifoin; ,& 7 comedi- fotta fi vede noi, <■ . ■■ , < -* f f.» 1 "Prima 3 41 4 9 3 Seconda- T4J 41 • 3 3- eco 44l ■Ah , 49, 44 189 343 *'•>» 1 1 69 147 9 .7 1 8p 1 tìtt tv\ 7 ■ »' • • ìl'.o -: •. .. . M.jrt IOOO 441 ?7' l000 1 * > ■% v r> • . .njuo'A, iti)* * ‘.*jy ».»i O'.'ov -1,'‘ - CE faranno due radice differenti nella vnità fottr ondo il prodotto della minor del produtto della maggior il rimanente farà denominator prof fimo delli produtti intermedi de tale denominationc Mgematica . '>• f> . jìlli, jfj yjn inno )iò Or"' * itti , nu li *mwu v .ti Propofitiorie Quarta di Leonardo Pì/àno Mathemarico Eccéllentiflìmo. • - ,M • • : r.iV ttT SE ima linea faràdiuift m due parti faranno li cubi delle duepartu* con il triplo del produtto del quadrato di ciafchaduna parte nettala tra parte non quadrata eguale al cubo de tutta la linea.1 f r.i. r/V ^ . ■' ■-.»♦*»» jc.ì ,Vytw<\ f r. o:ui (%» esnv.lt .E .tttJITt / fi 1 (Wj ? J . 'f/j ìli; t 1 »•$**. '.A. • Eflcmpio co i DHFArith ereticai E (Tempio fia j o diuifoin ÓC 7: 3 7 ' - ■ " ; .».• '\m< 17 , . 1 2 ■V ■M ,t 9 4P‘-vv ■ Y.ù. ^ >. 9 ' -A il. il — - ■ .1— — >v f. ■ \ V. ] p.\, t\\ 1I.1 l'.i'. rtjti.i \V . *7 3 * M// cubi delle due parti triplo » 7 *47 • 1 71 r f ' J 27 1. — «— *■ ■ 7 44^«i prodotti virimi, • 44*M--f tarò'? 9| r - «*9 -r— “ — t Q 4 14 t «Bi ’ V Cww |.iooo di tutta la Unta . l4>f r Ef quantunque fi a. data la Regola di cauar ogni forte de radici non di- meno molte Tolte la qftrattioàe di una fpeciode radice fatisfard amolte fpecie, perche J apendo cauar la radice quadrata ftfaperà arte hors canore la radice de radice, & le altre fue confeguenti in infinito, & [penalmente rationali,C [spendo cqpajr larari cec ubo, tir au airata fi [aperanno ca- uar anchora le radici ‘cuti di radici ila}},1 tif le iibe quadrate , & tutte quelle che fono comprile da queflt due [pecle , non [olamente per numeri t$aanckùrape^liiiee,nmequiuiyedeìaiin{fignra.<t' •wW. vn\ ■Avfc-wV ■aI*S Itti VA' Modo di trouar per via de linee la radice cuba d Vn nimicro co# rationale n onjJnomsnQ:^ T ib nnr.iV rjfmniTonoTl .r come ranonàie. . w 1 .Ofxuurtnalhroa oblili ropihr.14 ET fra che Tolesfimo cauar la radice cuba de un numero grande come [aria de-XOoó qual pongo rationale atrio potfi certificarti meglio dt} quejlo effetto, tir. perche Molenda far. una Ituea , che fta Jantolanga che fi j po/fa diuidere in mille-patti, è [ètica troppo difaopmtoda, pqr furilo dini - i deremo e/fo 1000 in 5 parti, cioè ne pigliar emo [olamente la quinta parte partendo effo 1000 per il cubo de 3 che è 125 ne rcniranno. 8» onde pigliar emo la radice cuba de effo i. facendo uno rettangolo , che fio ot'j.no!:'! long 0 Librò SecoA 101 tongb 'Qtihìfure,& largo una cofi come qui ueii in figura, qual è il Irettan* goto bc de. diuifo diametralmente nel ponto g. t ì» ìlora ponendo il fejlo nel ponto g, col piede immobile , & tenendola riga,& il fejlo in mano talmente , qhe’l feRoperuenga con f altro piede al ponto a,&\ai ponto f, quando la riga pafftrà giallamente per li j ponti a. dì &fì cioè quelli che diuideno la linea a. f. ali horacon eluder ai , che la linea ef.Jarà la radice cuba de 8 , cioè 2, ilche fallibilmente anco fi può comprendere, quantunque tali operaiioni , <& protlcminon fe prouino al giudicio foto del fenfò , & perche quefla radice cuba de 8 è la quinta parte del cubo propèllo,' che fu 1 òoo,pigliarai della linea x f, onero d'vrì altra pià longa 5 volte tanto quanto è la detta linea e f, qual farà tutta la c f, qual è 1 o,che è la radice cuba del propojlo nume- ro, che è 1000, & così fareRi fe’l fuffetrrationaie.)cioè lo partirefii per qualche numero, che fia parte del detto éubo,& del proueniente ne ca- uarefli la radice cu. & quella poi efplicarefiinclfHO tutto, cioè pigliando- ne tante parti quale effo numero diuidente entraffenel fuo tutto t C T così hauerai trouato a mefjfi proportionali tra vno , & 8 , t vno de quali , cioè il primo me%jp è 2, cioè là radice cuba,& il fecondo me^oèla li nca b'a,cheè 4, perche tal proportene farà dallavnità al l, qual è dalq. ali 8, cioè farà d e alla e f,qual è ab alla bd,pla quarta del 6. dP, Euclide^ Et qurfto offeruareJli,ancbora nel cauar la radice quadrata,come fe vo lefìi la rad.quadrata de 200 pigliarefli la quinta parte de rad. 200 parte do 200, per 1 ne venir ebbono 8,ondefkrcfli vna linealonga 8 mifurs,al la quale gli aggiùnger cfli vn altra longa vna mifwrain longo,& diretto , 1 Cc & fo- n DoU’Arithinetiesr & [opra tutta la lìnea defcriuerefh vno femicircolo , &P « ^ pootpidk la congiontione de dette linee eteuarejh vna perpendicolare chedimdeffe la circonferentia di ejfo fcmicir colo, per la vndecima del primo di Euclide dr bauer ai la linea perpendicolare, quale farà la radice quadrata de S , d r poi ne pigliare/li vn altra , che fujfe j volte tanto, di quella, & que - la farà la radice de a oo,comc per la nona del fefio appare < Come per effempio fia la linea ab\$ , & la u c, vno. eieuerai * « per- pendicolare b d. per la vndecima del primo di Euclide , dr diuidente la /tfrnx im A a- affo mfT/i *i*m*nriirnl /jri Li filli Ut fi 1)<lYtC dcU4 T A circonferentia adc,& e/fa perpendicolare farà La quinta parte della \ dice de aoo, hor pigliar ai vn altra linea qucncupla alla b d. aual Cara e f, & quella farà la radice quadrata deioo,dr così , le cube, le qual cofe fono da pochi conofciute . e ' radice de aoo. // Et fe de queflo 8 volefti cauar la radice radice, congiongcre/li la detta perpendicolare bd in longo et diretto con vna di quelle mifure, & nel ter mino conmune eleuarejii vna perpendicolare indefinita , & fopra tutta la linea, così congionta deferiuerefii vno femicircolo , & tale linea per- pendicolare dentro al femicircolo farebbe la radice della radice dei , co- me qui è pofìo in figura, repli .1 < . - J tondo la detta nona del fefio di Euclide , ot.de la linea a d farà radice i ,& la d c farà i ,& la db farà media pro- por lionate tra la a d , et d c , per la nona dclfifo di Euclide et cosi offeruarefii anchora nel cauar la rad. rad. cuba, le quali inuentioni non ho trouato mai apprejfo ad alcuno altro . . .-.a - k is i{S •r uVl H\yt. Mod* 1 / Libro Secónde^ i o e ’-j , -j A r, >’ v. . A -t -»n -/wm'. « Modo de Cauarela radice cuba de 3 -J- T? r valendo trottar la radice cuba de 3 mifttrejarti vno rettango JL-s lo, ebefia longo i-^-mifure, et largo vna , et poi opera al moda che difopra fù o{feruatQ nel trattar la radice cuba de &>come vedi in figa ra, oae Ut {farà la radice ca.de i^,etlaab la feconda media prò - por tmqle, et he, et ce fono kefir emclmee. . W. V W ((» * m » w 1 ,ÌW Ji’.tò ih t*t IPHfcil» Come fi cauerà la radice cuba de-f ET volendo cauar la radice de -}- , onero d'altro rotto {arai come in queflo e ff empio vedi operato, cioè farai vno rettangolo che in cam biodcllalonghczjafia -V- mifura , & la larghezza fia vna mifura , et poi menerai li diametri , come nelle precedenti hai fitto, et fopra il ponto della interfecatione de detti diametri ponerai il piede del circino,ouer co- paffo immobile, et con l altro piede ti eflendcrai dalTvna linea alt altra, che contengono l'angolo retto in quel momento che la f iga pafferà per quel li 1 ponti che difopra diffe, et frearà la H/iea che vien fuor a nel piano, in tal luogo,cbt mi darà la radice cuba Qjol; - Cc z ri- i d i DcH'Arithmcfici ricercata , come >edi, qui difottj operato nel rettangolo ab ed , che Ite linea ac è vna mifura,et la cd è mifura , et la de farà la radice cu~ bade + . ■ Ma non timarauigliare fe la radice ti pare maggiore linea che'lfuo 'cubo perche ti rotti cubandoli Cono di minor quantitd,come ben puoi fo- ' pere chè'lmultiplicarde rotti jefminuife in quantità, benché crefca in denominatìone,et tosi offeruerai in ogni fbrtede rotti , et potrai trouart non folamente te cube, ma te cube quadrate, et le quadrate de qua drate » cioè radice de radice,et cubebe cube,lc quali inuctioni già fcrilfi effendi diami 1 3 , di mia età . :> I; . A • : » -, . w to tì afa* ò D •> *•“' to* • ■ ■ v 1 OT T / , fi / 4 i ? .3 «V> '* ti ■z.an't AhW "S t ■. "ìi \ - * ;vs ^jSvu.iv't , i 2- '.<*/ ■ /. v* «v -.•V » au*r -J\ t;. - h jjirXtfi \ ? rj«- j « V«\tuiv .. \\ iw.j umr iu-a t V. t » m.\v» .otti v:a« hv. .r*ni n\3;.lvji\*v**ù uCA ir <<isnvtv> ktbyk: %t 4 i ^ kfi» .%>«• B- li V • - ■ • a< ■ . ; 4 U - » i r Modi . Libro Secondo. 103 Mododidiuidere vna linea data in quante par ti eguali fi vorrà con vna data aper- tura di fello. Gap. XXI. , y T perche molte volte occorre a ditti Jet- e vii Utx li tea in molte par la ima Vettura del compajjò T fegno la Unta a t in N DdTAmhnwtJci t.ùncntcclxa t fiatguaU'nllat Qypoidal pootoàpnilpòbtùPiMHaro fa finca de indefinita quantità aoc , & fmilmente fecondo la tnedefma apertura di compaffo dall' altra lato mentri fa b i dr ie indefinita quanti - tà,& fupponerì df divider {a in j f attignete defegnarà col copafjo 5 par ti J opra la linea a c,ef àltrt j fópra la b,d. poi menerò té linee equidifian ti, quali diuidcrano la dotta linea a bfnt 5 altri parti eguali, che fatanto ne \e f \f g\g & h b, fe ben conftderi per la feconda del fcftb di Euclide, perche fe di uidi ranno quelli dai triangoli , cioè a f b, dr a b n , in parti proportionali , olii loro lati, come redi, rn' altro breue • modo di diuider ma linea in quanti fi vuoh parti equali c pofla da Seba- fliano Munfìero nella fua Co fmographia , & quejlo "Problema è vtile così nelle efirationi de rad. per ria de lince, come in molti altri arti feif . Della duplatione del cubo. Cap. XXII. ~ ^Ua eftrattione della radice cuba cioè dalla inuentione del primo meo^go preportionale tra due quantità propor tionjtfi fu trouato anchora il modo di duplicare il cubo, dal quale parla Giouan Grammatico fopra il primo dilla • p'ìfleriora di ^Arifìotile, alligando la vulgata Hiflori/t de l reci, a che commemora come li Dall > populidi Grecia c f .ie do ve/fati da magra * ne pejìiletia dima domo alt oracolo il rimedio , qual gli riffofe , che do ■ ueffero duplicare l'al- tare,qual era cubo,ma ejji fecero vip altro cu- bo eguale, & lo pofero fopra l altro, & erano poi doi cubi, ma non cef fando per quefio la pt- fle, rie orfero al confi- glio di Tlatone,arguen doti, che non haueuano in tate duplatione fer- itala la figura cubica, ejr effo Platone com- miffe à fuoi difccpoli . che trouqfferp il meda, & ciaf cuna fece il fm ■ r -'l " • '* sfiirip' LHiraSccòudo. 1 04 sformo perir (mar U >ia-de taleduplaiienc, qual è la figura quitti po- lla,oue il lato del cubo -è db & BC. fonò doi lati , onde operando, come difopra fu infognato rulla eflr anione della radice cuba, la linea c e farà il lato del cubo del altare duplicato , che non è altro che'l trottar la radice cuba dei, cioè de. 2 mifurc ouer lati di effo primo cubo , come difopra fu prouato a bailanga,& il detto cubo duplato è il corpo ce fg. come vedi m figura, onde facendo poi con debita ragione geometrica effo aitar e/ubi - to ceffo lapefle.Effieditcle eflrattioni de radice quadrate,^ cube per due oj{egole,con loro approfimationi per integri, rotti, & anchora per uia Geometrica in tutti li modi , che fia poffibile,venirò alla eflr anione della terga fpecie chiamata radice radice, et poi venirò all t quarta, che è la radice relata fecondo la Bagola del Stifelio già adoperata nel princi- pio, & bauindo già data la regola uniui rfale,fenga replicarla tante uol - te fi fatisfaremo follmente del effempio, hor poniamo , che uolejfimo ca- naria rad.rad.de 1 m 19960576, onde pontado le figure fecondo, che fà. detto, laf dandone fuor a j per effer la terga fpecie, & fott randa dal pri- mo ponto da man finifira il maggior quadrato de quadrato , ouero cenfo decenfofarà 81 reflar anno difopra final feguente ponto 291996 co- me difotto appare. • ' Hor a hauendo trottato il primo digito della radice radice qual è 3 trouaremo il partitore per trouar l' altro feguente digito permeggo dedi fuoi numeri particolari pofli nel megjo, & afeendendo col 3 , & fno qua- drato, (ir cubo, cioè con j |9|, & 17, & multiplicando ciaf cuna colfuo numero collaterale, & la fnmma deproduttigionta infieme quella farà il partitore del numero foprauangato,cioi de 19 1 996, fin al fecondo pon to, fi come qui appare in opera, tir ne leniranno 2 qual metterai appr ef- fo a l'altro digito che è 3, & faranno 32, come uedi, perche il partitore fatto per li 3 prodotti giorni infieme farà 113520. 2 9 • • • ***<19960576 SS * : '/ « 2 9 * **<19960576 3 * ss * primo s 2* DcIl’A ridi itterica - a 7. ■■ ■ 4000 primoprodutto——\o%000 9— 6 00 fecondo produtto ■■ ■ — 54CO 3 4 o tergo produtto— —no fumma- ■ I 1 3 5 a o primo partitore. • • v.> » . : • ì r ..-Ci.yv. Sh/h Mora multiplicarai ciajcuno di quegli pr odiati per il fuo numero colla- terale po/lo da man defilra per trouar il numero da fottrar dal foprauan- gofin al ponto, cioè il 1 08000 per 2, tir il$ 400 per 4, cri 20 per 8, • tir poi [umiliandoli 16 de più come fu detto faranno 138576 come fi Tede in figura. 1 o 8000- 5 4 0 0- .1. 20- — 2 4 — 8 I 6 , .1- » 1: ■ I — —produtto da man defira • » I primo 2 16000 •* *\ "v . 2 1600 fecondò produtto . 9 a o tergo produtto .1 6 5 a 3 8 5 7 6 numero daejfer X 9 l 4, 2 O fòttratto dalfe . . . q ; conio ponto * f fi » ff % fi 0.5 7 6 fi •8 t 8 z x ft t t » » x X % + # 6 Hora detratto,che hauerai il 1 ? 8s 76 refiaranno fi opra 534200376 j?n al tergo,& rltimo punto, che fegue al qual numero trouaraiper fimi - /f modo vno nono partitore , cioè afeendendo col 32, e2r col 1 024, C5” col 31768, cioè radice quadrato,®- cubo, & moltiplicando ciafcunoper li detti numeri collaterali, hauerai per partitore 1 j 1 687680 col quale partendo il foprauangato numero già detto ne venirà 4 nouo digito qual- metterai apprefifo al 32 faranno 3 14, come quiui uedi operato . 3 » 7 6 8 7024- "* 5 *- --4 000 primo produtto 131 072000 ■600 fecondo - ■ > 614400 — 4 o tergo—— 1280 fecondo auango fecondo par ti tor 5 4 t partitore fecondo 4200576 J 687680 131687680 Hora '■ttabl.rtvU fu''1, o V.'T IÀbfCf8èóohdoéI ios sìftlib ì'ro)r!^r*(-'’oVi V» 'Ui«f . i tcAl'.h (,\\t«V« *v<; »Vn* fcVittv&MQ t wt ■ ftjf< ftA/t '«ìj»/ V ::y tviwnà^o > »»**X . .Us4»«.?il V ’ V .tttiU |ìi;'0; * j fi-fi o * tf fi I . YnWs iiiVfci -Jt-'fi’ 8 0 fi'"' ' .' 'I' n*\ T.V, ’.Mt < \ f* •’ t.V x>\bvt»\ ;..• on pfi *x + * 'fi* fi#w*i*' V-v. >.c’.i * • 1 • ;\ tf-fi 8 fi 8 f fi ' pt'fi' ' ■ -'V '•■•"■ ‘ ' . V. Horàreplìcberfili fopradetti produrti mdtiplicandoli anchora con li numeri pofii da aùap deflra defcendenti, che fono 4] 16] 6^, & 2^6 fola flaggiangerà,et lafnmmadetalì produrti in/i ente coni aggiunta del 256 fiisfarù U. n omero foprauantdto, come tu vedi. f . 8 Ì.NÓ\ t -lb Srfn fi\, \ . * V.W 1 1'. oU\V. -\'.T.V\ -ìku’.pV» \\ s-M-Un*'.- iqiojtoóo — 4 primo prodotte 504188000 * v V ~H U* •> l- r<\ J.HC14400-— — »ò fecondo - >98 30400 • J‘ S t i ii'b 1 180*' 1 y<?4 *'*,*' **< > y *»■- -SlólO **v-6 'A1 4'*4 0 .0 « 4 ei oV tVW tt- . ■■ *t, 5 6 • no 7 6 8 o cofi farat ,B Ji’rili oii.a*( u 4 •> j o'nvnjtf — 1 > '• : Ma>ì\\lVJTOÌt»tt^ ,41 OIÙV'M^T. ! , -U 1 9 2 o Et volendo ami ter a cava* Lkradice di rfur/l* radice radixbè. di j 14 Operatone fu infognato alfuo loco , cioè nella e/lrattione de radice qua- drato,& quantunque fe ne poffa cauarmotìeinduc,ouerpiù volte, non- dimeno fc non fono raùonali, non fi poffono battere cofi propinque al uè - ro,cotne fi hanno perù fua propria Regola. -4\ -v. . ,5 ^ ■n « j. •' •' ->• ■•to» j'.ri. .m 'r,r( u ivegola 01 approfìirnarfi «clic radice radice fbr- de, trouandò, eli c par te (in l’auanzodel- • la Tua radice come dilòpra nel onerò da fottrare ,5 5 .4»' * o ©_ •. $. 7 6 IT auaafoper fittirii ter^o ponto, &■ ritmo 1 Vi Et cofi farà finita latuàoperationc talmente , che la rad.rad.del propojìo numero fata 324, & i'M i\r *iivA *\ «AoT>‘to4o«ik4r.t>miij> V ó .ottmom ifi-.A-jr \yf ^ je Wf «<* e (ir Wfòne di qutfia ter 2^ Reciti di radice ch/imafa *a~ dice radico apan^ajjc qualche nuttiffo , ( come fimprean.mv D d nelle ?. o i Ddi'Aiithfncdcl nelle irrazionali,) alt bora per trottar il denominatóre di tale numera auangato offeruarai qucfla tingala, cioè /ammarai infieme 3 produtti da tjpt prima radice de radice, de quali . il prime ftr *| H q*d druploideiftìbo di èff anodici radice . Il fecondo far à 1 6 fcfcnplo del quadrato di éjfa radice radice . Il terreo farà il quadratoci e/fa radice radice i la qual cofa per effem • pio fi fàrà più manifcflófouiamo adttnque^cht "togliamo cattar la radice de radice de 3 1, prima cattane il maggior quadrato de quadrato^ptal fa rà 1 6, che la fua radice de radice è »,#” reteranno 1 6,& auefìoauan- ^9 metti fopra una riga per nominatore , tini -*£• , poi piglia il cubo di efia radice de radice , qual è 8, qual muUiplicaper 4 farà « z, & qucfbt è il primo produtto qual ferita, poi piglia il quadrato dein che è quello multiplica per 6 fari queflo è il f r coodo prodotto, pai piglia il quadruplo di efja radice de radice, cioè de x farà 8>dr quelli 3 produt ti aggiùngi infime, cioè 3 2 1 14.] & 8, faranno 64, qual farà il denomi- natore da metter fotta al detto aitando che fu 16, & flarà così J|-, qua de febiffato farà ffY onde dirai che la radice de radice de jt farà x -J- faqneproua quadrando J -J- , & il quadrato quadrandolo di nono farà *5 ili* & quantunque appari nel fuo quadrato de quadrato molto dif- ferente nondimeno nella rad ice de radice èqstafi infcnfìbilc crrorefdqu? le errore fi può tanto' diminuir e vfando il modo detto nelle radice quadre & cube che farà quàfi infcnfìbilc anchora nel fuo quadrato de quadrato, onera cenfo di cenfo . ~ ; ~ Et volendo cattare la radice de radice de jq, cauane prima il cenfo de ccnfo,quaCè I refleranno i^qual metti fopra vna vìrgola,#" Starà co- sì li- , poi piglia il quadruplo del cubo de 1 farà q,&" Ufeftuplodelqua italo de 1 prima fua radice de radice farà 6, & anchora il quadruplo di effo 1 , come prima radice de radice farà 4 , bora aggiùngi infieme quefiì 3 produt ti faranno 1 4, qual è Udenominator dell altre 1 4, che ponefti fu pra la virgola , onde fiat anno così , et perche tal rotto fa vno allegro aggiùngi l alla prima radice, de radice , che fu t faranno*, ceiìtro- uerai che la propinqua radice de radice de 15 farà 2. Et così tutti qualche mancano iìrptfkl* entità tifi fiso integro nu- mero r ottonale operando col fuo particolar modo per jrpuqr.il fuo deno- minatori fempre ne verrà vnò rh ogni forte de radice per ebrverrà infi- ntile cafo il dtnomipator fentprc eguale al fuo nominatore, ma il nomina- tore non potrà mai venir più che il ditto fuo denominatore , & quando veniffe maggiore, arguirebbe èffe* fattf er+oèe inellà operai ione . -Toi è d auuertire anchora che le radici forde alcuna volta fi trouano ■maggiori, & alcuna volta minori del fuo numero, cioè ò quadrato, ò cu- •i*jò cenfo di cenfo , ouer altra fpecìe,lIor caua la radice de radice de g, , - prima fciBrcr Sporidio* io6 fratto canone H enfio de cenfo fà l ,«*■ * Ugnano q,^\òHtìJdpriVm* Virgola flora così ii, poi aggiungi infime il quadruplo dèi cubo Ut i y cioè dalla radice de radice farà q,tril fefcuplodel quadrato del detto i' farà. 6% & anchora il quadruplo dét detto i farà 4, che tutti infit tre fan no. 14, quali metti fiotto al 7 far*und\-f^ , chefitf tifimi fioranti e -fa onde dirai che ia pròna radice da radice propinqua de 8 ■ fòri 1 -f-> & co& farai le fimili,mà non ti fcandaligarò de tale differenza dal fino numero perche quanto fono piò remote dal fino principio quantunque in efio fia in fenfibileper UmuliipUcatione tale errore fi fia fienfibile perche , come di- ce il' Vhilofiopbo y un minano errore nel principio fi fa grandi fimo ' j iti fine , , -J- 1 iro.\ 1. i<\o\ h ' \\,Y tAt»' y\ t*\ ni .11 *»V. t m yiu; r\» » \. Propofitione di nuouo ritrouata < J . iYk.U^lÙ IL modo di approfflmarfi nelle radice de radici fiordi, & anchora di ca uarle per ,vn altro modo differente da quella pròna Regola sfata dal Stifrtìo, & da noifinKhora imitata è fondata fopra qutftanoua propofi- tione non pofla da Euclide ne da altro enti eòo aumre,ma da alcuno mo- , derno, laquale è H infra ferina . iv ’ -■>.« 1 m • CV. ,,t ** Sei farà una quantità ditti fa in due parti, come fi voglia, il quadrato delquadrato della detta quantità farà eguale a quefltcinq; prodi» ti, cioè. I . sAl quadrato del quadrato della prima parte . . .. n » - o_> ». Et al produtto del quadruplo del cubo delia detta pròna nella fecon- da par te. 4. Mpyadiitlù dàquadrtylódetcubo dtufccmdàfia tttfTÌVU . Della eftrattione delli rotti, Reintegri, & rotti ' delle radice de radica cosi radon* ' come ircationali. « mS .w.w cTJs*-no;mu\ j . . - . ,i\» ; t' / )Wai« TtfllìS*) Witt. ,T Tsftefo quali fiam, & a che modo fi caumo, per le precedènti tràmiti * le radice ródicefiicilmentefi potranno cavar IcdòOn radice radtee rea ttonalìff totalmente effondo ridotte U rotture fine ultime iemmiaàtìotfi fi cauetannctal modo di Jopra dato ma tendo la radice de radice deinoi. <• * Dd 1 minatore «t.\an ÌV:M* «Un 't -■jjf.utt Dipvo òoì DcUfAri tteKtttel minatore fopr ala virgola ,& la radjcf de radice del denominatori itf ti to effd virgolai come volendo cattar la radice der adite de t jr catta prima la radice de radice de t /irà pur i, yt^metùfoprA Svirgola- ani , poi calta la radice de rad de 16, fari %% qual ntetufotto farà dò i & 60 si irò nevai chcM radice radice de, ^faà + « ponld-fàme proua fari ijr » cioè fi pio quadrando quadrai coti » '.Ufi* codice de radice fit ràrj- bor (rana Squadrati de quadratodc farà -ff > & Uni la radi (C de radice de l-j~ t i Ma volendo la propinqua radice de fedite de 4* farai così, per tffer i/traf tonale cubera i il a denominato* del propollo rotto/arà Zlquai mi- tipitcafia il numeratore, cioè quello i farà puri, & di quello trottala fua propinqua radice de radice per la regola datta di fopra farà 1 4- , qual parti per quello 1 denominator dei rotto, ne vanirà ^ * onde coclu aerai t che la tftyfyn'a W ^ fri^i & così farai in fimili , ... xv Queflo non è.altroche trottar il fecondo dilli * termini conttnm prf 'pùrtionali peri la notitia del primo, tir delT vitina * rt\ -Vi ■ \ ' •' • Le radice de radice de integri, & rotti fitroua, riducendo li integri ti n>tti,cr dtlfua nominator,& denominato* ne futai,cothc fareflife piffe- ro rotti, operando per la precedente regola, chi cubando ti denominato* , tr moltiplicando tal cubo per il nominator, & del produtto cattarne la ra dice de radice, & quella partendopcr il prtmo,& femplice denominato* , comcper teflefio ne potrai formar t ejfempio . » . '•* 'V. tVi'i- ini- . l'.ntitb'fo'- s Vj» lil • -* /Vietili Della eftrattiohe della quarta fpeciedetta radi- . cc relata, & fija approflimatione>pcr Ijfe. .* prima Regola. Cap. XXIII.' iuoi "A «hjpifli '%* tiiioi ihSb snohiinfbcIbG quarta ftecie de godici, fila pe radici, fila j. rWtare,&‘ cosi varie figure fa- rà Lijfafcdi qiafcun ntmero,quanti faranno li ponti fatti fopra ejfo numero, con la fua pegola , bora [appo- niamo di voler cauare la radice relata di quello nume - n t toqunl ho pojlo relato per più cornmadità del iludiofà , airi 11104671266*+ » prima ponteraì le figure,&" caverai il maggior ?*lato,chc fi può dal primo ponto da man finifbra perche i il 'primo nella eper ottone, & trotterai che’ Lprimo digito della r adice farà }, &■ il f»o re -- iva ,<t ’ b C f ’ fa* * Lib^o Secondo. 107 lato 2 4^, qual detratto da^yj,cioè fin ai primo ponto, r ffler anno dij opra tl4,fifpmefi vede <]| .tiuì in opera , / voof'f oocbHoi btìòoc to 1 3 oooo?c ; RI, _ * oqOìv rcT*' 9 i l •vw 11 4 JOQQOt'J ‘ijoCO : ><■ • .l'V: 9 1 • • • — ^#yo4<7u6<i4|. ^ * J Ur-,1 ? T li- - > :V,;h f V.f . CWtr. |8|jk|sts^^obt MnVk ihmii Flora trotterai il partitore per trattore va altro digito per il ponto* ckefeguejnultiplicando li fuoinumer {peculiari con li /noi collaterali ,cr la fummade tali PKOdhtti fard il partitore, cioè multiplicarai li fuoi 4, numeri particolari con li fuoi collaterali af indenti, cominciando dal pri- mo digito della radice relata,qual è 3 , poi dicendo 3 fia 50 fanno 150* poidirai 9 fia 1000 fanno 9000, & più ty fia 10000 fanno 270000, fia 50000 ^mio^o^oQoo, Cir lafunvm di quefiiq prodotti fa rà 43 *9 1 5 o per la quale partirai il fopr aitando fin' al fecondo ponto, ebe ficguc qual è 1 j 40467 r,»e venir anno 2,ma bifogna però feruar il nume ro integro fernet metter fopr al' aitando per poterne fottrar vn' altro nu- mero,& quello in tutte (fede de xjlr anioni , perche nel partire baftaà faper quante volte il tuo particor entrain detto au.tnzofenzjtfkr altra, fottratione nel partire, fiora quello 2 metter ai appreffo alt altro digito , ebefù 3, dirà 3 2, fi come vedi fin qui opcrato^nu\t.\ W. ,oujib ) OBWÉi’ , • 1 I J 4 ò i **■*-. — — *o C O. i ■ -- • t M o 4.607; a } 6 6 t 4 L tf a * ft ; — fioi A t numeri afeendenti numeri peculiari numeri defeendenti , che comin- 8 1 ■ "3. o ò o ’o— — 2 ciano dal fecondo digito . * T *ì 0 o O O 4 Bora troua il numero da fot- 9 1 O o o 8 trar dal detto auan^o multipli- ì —J o ■ 16 cando li detti 4 prodotti per li 32 numeri defeendenti, & poi fum t . id.-afi, mar li con vno def tendente de e'J^ 1 - ' piu come. vedi . pr odiati 1 'produttt 4©5<JtoOo 170000 9000 150 partitore 43*91 jo DdVAfkhmetici ■\ 40*0000» ' fflhtiàf '.U^fc 2V:«* i\ y.' ..tt <1 f i ò ò : 8100000 1080000 72000 2400 J* 1080000 7 2000 ' l * 1 1 rhf ♦ % * * 1 j «1 _i6 240Ó'’ l, :À nt $*5443» T Mora battendo multiplicato li 4 detti produtti anchora perdi^. alari numeri afcendenti,cioèper z\ 41 8| ì6\ quali infteme col j 2* defitu fanno iitfuntma 91.5443»*. Uarzo , cioi da 1 1404672 , rrjiarannòfopra fin *itallro /»*- <42150240, bora Oifogna replica* Uregola péltro uar altro parti- tore per hauere un'altro digito afccndtndo per j 1 f&fUo quadrato , & tube , ^ unfo di confo. i«\ • ? i - > «1 «*«•&•» j\» oVij ^ rt W«M/a^ewrfop<yiÌ4 \~i ^'\f^tOoOQo«T .\ooos -A Q -:A fuoiuu.peeuliariy come Tre <6><>o? d/ f Mi in opera, et tale fitnt ì'»; si *v\o? 1 fW fct W4 fard 52757505800, ;f * ^ ft 4 0 * ?H:-6 6 1 ;4 | J* quale farà il partitore da ? 4 7f ? 0 \ + p partir il fopraaangato m- 4 7 « 4 4 ? 'i • \ o '« mero fi* ai tarlo, & viti- ■ 9 * l0*'rs-r ' tt' u ■»'•«* ,,M*V r W. mo pont<y,qualfoprau**Xp è 115014016524, & ne vekiranfo 4 non*, digito, che col 51 far annoiteli come appare. 1S7Q1 v*4 numeri af :endcnt i I a 4 8 5 7 é- 12768- I O 2 '4— numeri peculiari .5000 0 -I .0 o o o 3 *T- 2 CITOOO O- t> » *-y »t-4. numeri de f condenti "4 •i6 <4 -25^ %- ^ 1024 10485761 50000] -^24288000 327880000 li T. I • 40040*00 1>^ li oJMl*2 • M )600 l> V.»W.i . I— I 3*7*8 I | 10000 | I <024 „ 11. L—AOOO | >1 527680000* 1 2024000 1 iWflM.lv n _12_ lóao 8 — o 6 : • — — o o o —£ fumma\ 52757505600 partitore. 215024026624 I $49+9+9+944 1 i_ Fatto £iteo Secondo* io* Tatto queflo multiplìcn di nouo li .4 primi produrti ,dnchor per lin/i - meri defcehdenti 'Cominciando dal 4, & poi dal i5j poi dal 6q\poi dal 156I ,& appreffo a qucjii 4 ultimi prodntti fummar ai il quinto numero, che ftt 1014, & farà detta fumma 1 1 $014016624, qual fummo de. tratta dal fopr allagato numero reflarà nulla perche fu numero rationale. & fappi,chc in ogni forte de eHrattioni li numeri defcendenti,& afeetp - denti fono numeri proportionali continui d una proporzione denominata dal primo numero , cioè dal minimo de quelli,che afeendeno, & coftlide- f tendenti dal minimo de quelli,chedefcendeno, perche li primi fono radi, ce dalli altri , come qui fin al fine di quefia oper ottone appare, et trouer ai, chela radice retata farà 324. a ponto. Secondi produtti fatti dalli primi 4 con li numeri defeendenti . $24*8 800000 4 *09715200000 5142880000 65536000 409600 1024 327680000 16 5242880000 1024000! 1600 ‘ 64 256 4096000) 9600 6144000 . 8000 — — I 3 100 65536000 — — t ' I * 409600 • -tT^aV'O ..Ait iti itUfw '««ai- v*t .0 i\ . .. - .. * „ _ | -!.>•. • t ■ ■ * » ■« — • V < t t C‘.l *1 50^4026624 vltima fummo qual fotratta dal rima- . nenie fin à t ritmo ponto trefla nulla . * * - * * 4 * # 2 4 * . 2 tv. . . . radice relata. A -vrw V ■ ft % * M 4 ft * 2 * 0 * 4 I t ' 1 t -,pe 4 t jt ff * •* tf I 3 24 •< 9?*44*2*fi&24 ? * g pt x 4 4 ♦ « • • ■ V>\ •• a • '**Sr ’ ’lit ’ Si > \ Trotta, che quantunque non fi metta fotto li partitori non importa pur, ‘ che fi metta li numeri delle Molte, che introno , che fono li digiti delle ra- \ dice di qualunque fpecicejfcr fi uoglino. ’ Dv:i F V aoi . •“ v, ! :c 'na. • >* *,iov. <■ + .. j*wniV> !.^.tliM«Fkw.e em* Del modo di approtfìfrjàrfi nelle radice ’ relatc irrationali. .vmu>ìì~ì rv. «■',( i v> cimati ou.jù‘.MVu^o\\*h lumi \<Àjt W’dertii kumcro reCato fifa 'rmstinttoha fa r ebbe auangatè iVl qualche ninnerò, & per trono*, ihepartefiaqvrlrsmaeentr bifo . gn a metter / opra ‘vita virgola quello rintaneetc,o{ter,.inmgo fin chefro» uì il denominatore di tate rimanente da metter pittò aUadouà bar gol 0,0^ per trottarlo ti conni en fummare infante 4 prcdittufrtimpaliìu >\\ » Jl primo farà il quintuplo dcLcenfodtcetrfo della rad, rt LgiÀ canata* il fecondo è fatto dal decuplo del cubo della detta radice . il ter 70, è il decuplo del epiadrato della detta radice , Il qiutrtd, h il<i*enttiplo dUUdctta fttfalioàruMa.ibnQì'JC Come fenolefli fapcre , quale fiala propinqua radice relata de 100 prima trotta la f uà ’ prima radice rilaìa Sa metile, Onero al modo detto difopra, fe'l numero haueffe molti ponti ouero più di vno , & tale radice 2 farà i,&il fuoftf/tjf farà f2fftjiiàtfffllrdrài de ìO^Jfpftma SS, & 2 queflo 69 metti fepra nna virgofa per nominatoreflara cos) ìl\ <&■ que- 4~ fio ferua,poixid i traiti xpnwa ridite rclatAÀjenfo di ccnfo farà 16, dr 4 2 qnetto multipli cape* sfarà 8o,^f queflo ferua^comc pripio ptqdttit&poi j £ — g~ ridarai à cubo la detta pr ma radice, cioè » farà 8 , et queflo wu Uìph ca p 5 lo 1 0 far<* %o,& quctto.i il fecondo produtto,poi qn.idraanclififqìtdetto » g farà a,qual muhip.p io farà A°> & q>'efi° è il tei gpprodutto. finalmente 0 multip.iUf.tto 2 prima rad. retate per 5 farà io,et quqflp farà il quarto* etnltimo produtto.hora aggiogerai infume quefli 4 produtti , & faran- no 2 1 0, quali metterai fotto alla detta virgola periauominatoreoue fio. pofto il 69 per nominatore, & farà qu ii fchifì 'tp farà per, il che. dirai ebe la radice celata di roo propinqua farà 2 ri? > & cost pfferua- raì fempre, ni a fe ilpropofìo relato mancaffe fidamente di vna,nnitdad ef ftr rationalc tale radice proffima verrebbe fengarottotcome difopra del~ lealtrefpciieià detto, & così fi dette intendere de tutte le fcquenti. Et fc'lfuffi pioptjìorno rotto, che baueffe radi c'è rii.- tu difcrcta,oue- ro integro, & rotto,ftmpre offeruaraiil modo dettò ihfopta nelle prece- denti fpecie de radice, come fe uolejli cauar la radico relata di queflo roti lo |-Jj la cauarai del uominator, & del denominatore, & l'un, er l'altro metterai al fuo loco, & farà -y- il fimi le farefli fe fuffe integro, & rotto perche ridurefti l'integro,& rotto al modo di rotto, & quefli ani fi offer- • uarai, eOsì nell g'puffàti\\ 1 otti e nelle fcquenti in iti finito, off ornando peróne fuc regole particolari de ciaf cuna fpecie, fruga , che ft replichi più 1 ima uolta . A’'. vu V. Del Libro Secondò .1 109 1 . ' y\ t»w |X Pel cguar le radice relate, delli rotti , 6C integri > . & rotti irrationali, Regola generale. ’ ■ ■ • ■ ' . tT fe'lti fuffe propoPo di cattarla Cktdice propinqua relata di vn rot A-' to, coni cfar ebbe rfi-i- frmpreper regola generale ridurai il deno- minatore alla fua precedente dignità , qual è il cenfo de cenfo, perche poi feguita il relato, adonque ridurrai il 4, a cenfo, de cenfo , & farà 156, qual multipljca per j fuo nominatore farà q6i, del quale caverai la radi ce relata propinqua fecondo la regola data difopra flettendo lauaivgo del 2 j 3 , che è il maggior relató fin’ al 768, chef 5,15 fvpra vna virgola per denominatore,^ farà così tU ,poi ridurrai la prima radice relata, \ de 768, qHalè^acenfodicenfofaràSit&queflo multiplica per 5 fa- ti 40 5, che farà il prime dilli 4. pr odiati , che fi ricercano nel formar il fuo denominatore, poi cuberai il dettò j farà ijmultiplicalo ftmpreper l*>i fari 5 70, qual farà il felonio produtto , poi quadra efio ) farà 9, qìt'al fimiitrente fenrpre moltiplica per io farà 90, qual è il ter^o pro- duttófnalmente effe 3 moltiplicar ai per sfarà 15, qual è il quarto, & vltimo produtto, bora fin/ma quefli 4 produrti faranno 780, quali met- terai folto al sic, chefù pofio per nominatore [opra la detta virgola fa ti l$, , qual fcNJJata farà onde la radice relata di 768 farà 13 qual partito por 4 fuo fimplice denominatorefarà febiffato, & tan- to dirai, che farà la propinqua radice telata de -£t, onde ridurrai quejìo rotto al fuo relato , & veder ai la differenza , che farà da Jf, al detto 4I a JLJ,». fuo relato,& franerai, che farà tanto puoca, che nella fua radi ce confido < rata farà quafi nulla . I . . rw\. ‘V. ; 0$ *' Et quefla > regola fer iterai ancboranelli integri ,& rotti, comeft vote fii cauar la propinqua radice relata de 4 -* ridurefii tutto, nel fuo tétto., farebbe ^ ridurefii il qa tenfo di cenfo farebbe 6tq, qual multipli care • fìiper *4 fuo denominatore far ebbe 15000 , del quale cammelli la prò-, 2J°j finquà ‘ridice relata al modo dato, én quella partirefii per 5, & neve - ™ ’ nirebbela fua propinqua radice relata , cr fe auuenirai bene alle cofe quitii addutte [operai cauar le radici propinque, così rationali , come ir- rationali de rotti, & integri, & rotti in ogni ffiecie,ds radice in infinito, cioè fempre riducendo il denominator a vna dignità manco, & poi far io me difopra è defcritto,& quefla rególa di appr cfftmarft nelle radice r ela- fe fono fondate nella infraferuta prcpofitionedi nuovo riirouatadal Tar talea, cioè fe vna quantità fera diuifa in due parti , come fi voglia il re- E e lato 405 170 90 15 780 2 % 4 2 8 io 80 r 16 210 105 218 109 210 5 2500 1250 15000 «“T V | DcirArithmctici lato dì tutta la quantità fari eguale a quefli 6 principali prodotti , eioi » 1 . ^il prflduttp del relato dcUaprimapxrte . 2. jtl produco del cenfo di cenfo della detta prima fa il quéntupto della' feconda . , . ; 1 : * ' r;. j O . q. kAI prodotto del cubo della prima fiali decuplo del quadrato della feconda . 4- -Al pr adatto del cubo della feconda , fiail decuplo del quadrato, della prima. / 1 J. -Al prodotto del cenfo di cenfo, della feconda fiail.quentuplo della prima . 6. Et al prodotto del relato della dettafeconda parte, l'effi mpio facilmen Utroueraiper te fleffio . • . Le approjfimationi continuerai in lotte le fpecie fé hauerai a memoria leprine, cioè delle radice quadre, perche quiui non C ho pofle, perche di •m A • • m m m . m • f M & W n tran libro , ori qoj 04 j 9^ " quelle facilmente s'impirebbe ogni gran libro, ficn^a frutto alcuno perche U più frequente vfio è delle radice quadrate, & cube , ma -polendole deferì i ter tutte farebbe pericolo dinuccchùfi alli [cogiti fircnaici , bafia , che perlecofe dette potrai continuare le eflrattioui <f ogni fpecie de radice fermando il modo eflratto dalla tauola po/la nel pr incipio di quefto tratta- to de radice vfiata da Germani, & fpecialmente da Michaeù Stifelio Ma thematicoprcflantiffimo , vero è che fi trouano altri modi di cauar ogni forte di radici, quali hapoflo Kficolo T art alea Breffano nel fino fecondo libro dellaficondaparte.de fuoi trattatigli} quali auttori piacendoti vo ler proceder , più altra m dette curiofità potrai ricorrere. Et perche la ejhrattion della radice, cuba quadra pub occorrer più thè la radice relata, nella [oliatone de molti quefhi , oue intervengo- no radice vniuerfali componi de radice quadre, & cube, per tatto quiui ho poflo vn' altro effempio di tale cflrattiònc.fia adonque da efirahere Ut. radice cuba quadrata , de queflo numero quadrato cubo,doè 107 pi 8*6- 3081. Comincierai a puntar la prima figura da man deflra , quali %■» & h- fidandone finora 5 figure ponterai la fettima, che è 8,dr perche no* fi pub pontar altre figure perche non fie ne Prona fie non 6 da man finifira , per tanto trotterai La' più propinqua radice cuba quadra de 10791, » tini fin' oue termina il -primo ponto da man finiflra, & quella fari 6, & il cubo quadrato dc6,i 46656 , qual detratto dal detto ponto , cioè . da 107918, remeranno 61261 , che con le figure feguenti finali altro ponto {bordò 1162 j 63081 » & Coltre figure difotto onderanno depenna te, & metterai fuor a 6, primo digito di tale radice , come fu fatto nelle atre . Hor fatto quello ti preparerai vn nuouo partitore dici detto nume ro* i Ubro Secondo I j i o H, ihefitiffe alt altro ponto, & per far qutfìo diffamerai tifa* 5, nume ripartititi ari, fi come fono $, figure, che fi Ufi tatto tea firn ponto è tal tro,& fi come quefia è la quinta (fede de radice, & 5 mngj proporti»- mali tra doieflrmi, li quali fino affienati difopra nella efio fittone della tauola, dalla quale hanno tonfine effi numeri peculiari , che fino tiin- fr ascritti, cioè primo, fecondo, ter^o, quarto, quinto, all'incontro de quali metterai da man finifhra fempre accendendo il detto 6, &foi il firn qua- drato , poi il fito cubo , poi il fio cenfo di cenfi . , • • O o Q & ^ 6 Ò .1 T f© o o'ooo 1 K 1 J >. t -té I!f M !• '1)6 O 11 1 } • '• 1 ? ? 6 0 « < Et poi Hfio relato, fi come, qui fi vedono replicati detti numeri peci* Uari, con li fioi af condenti collaterali poftida man finifhra . 7776- 1 2 9 6- 2 1 *-* 3 *+ « 6- -6 00000 -I 50000 » 01 O! o — — » I o o •—■4 ■ ■ f 6 o Ti MM* Mora multipli cher ai quefii fi numeri peculiari , con li altri 5 fioi col laterali afiendenti da ma n fimflrq, & quelli 5 produtti aggiongerai in- fime, & faranno 4864374 j6o-> ficome redi difitto • - ? J irvi c l ^ , -*»Si "V't.ìffHk**-. : • • 0 u. 1 ■ 1 4665600000 I 94400000 4320000 < 5 4000 J 6 O v* 4 8 6 4 3 74360 t« 1 ‘ 10T»\ M «*'l t IVVV ti>* 'ÌV ot ' 3Ì le. irTo.'.i-c -•.jftils u.i W-1'UÌJj'b li or roderai quante volte entra detta fumana nelnumeroj ù, finca far fopra quello che auanca,& trouer tócche in&Àrà'ip volte, farà l'altro digito trottato, qual metterai appreffo al ófaìfifi 9,'Cjp auan Canoanchora-U medefmo, perche non bo fatto fopra.il remate, conte fi E e 2 vfa r r ) DcU’AxitHmdicà v fa nel partire, ma folamcnte trottato quanto intra effe partitore, hors rimetterai li detti 5 produtti , & da man delira gli metterai li numeri » defc cadenti alt oppofito, cominciando dal 9 confequente del ÓJoiilfm quadrato, & cubo, & cenfo dicenfo , & relato, &ilfuo cubo quadrato* aec'mbe il numero defcendente hahbia annumero de più, cheli numeri peculiari,& filialmente li numeri offendenti da manfiailìra , come per effemp 'to vedi difetto , , ì» >> » 1 , TjVi'.mii <\*r 4665600000- I 9 4 4 O O.O OO" 43 » © o o o- 5 4 P o o- i) 3 6 o- .Wk. IKT>» 0 i ri ck\U\«^,o»*V Urf, -9 r8 1 r7 * -5 5 '5 9 5 3 9 6 I 0 4 9 14 4 1 rt* ’Vr.tH n or muhiplica quelli 5 primi produtti con li $ numeri collaterali defeen denti da man dcjira, & quefli fecondi prodotti aggionger ai infume, ag- giùngendogli anebora il fefio numero infimo, et faranno 51262163081» 4 1 come vedi difetto • 0 0 3 0? t lo 9 9 o J 645 3-449 3 5 4 V» V a 1 — -o 4 ; 400000 4 o o o o o 2 8 0 0 0 0 294OOO 2 5 7 5 4 0 5 3 » 4 4 1 fumala 5x262163081 \ . M-s wr<n vj*>. Si potcua Mora fottrer ai quella vltima fumata de quefli 6 numeri , cioè delli 5 anchor ca- fecondi prodotti, & del vltimo numero defcendente , dal numero fopra- uar erta ra- uangato della tua opcratione, qual parimente fu 61 261163081, & re - filerà nulla,pcrcbefù pollo rationale, & così cauando l'origine dalla ta- uola,chc comincia dal ordine naturale delli numeri, ilcui principio è la •pn ita , con le cofe predette, [operai cauar ogni forte di radici quantunque le loro fpecie fono infinite , con loro apprcfipmationi , così nella radice de numeri fordi, come m rotti, &integri,& rotti, *m! >»*** Ma fe’l numero non fufife fiato rationale farebbe auangato qualclse numero del quale fideue trouarc il denominatore per uia delle proportio- ni, come nelle fudette propojitioni trouate come lui dice da Tqjcolo T ar- . V talea. à Libro Secondo, in lAta, & nfdtC ìteita dìfputatione, che fece col Cardano Medico di Milk- a no,quanxunque tale fatiche fi potete: ino (chinate, con vita più brette,& 2 più certa regola di tipproffimarfrin infinito nelle ir rationali, & tanto fa- 36 4 die, che mi ruarauiglio , thè unti eruditismi Matbematici non la fapef- _i feto^rouore,lafJaiJo quelle regoletanto faticofe,dr ardue, benché non fi. troua/pero quelle appreffoà gl: amichili ferini de quali fono peruenuti 3 5 alia pofieritÀ , perche non dubito , che qualche uno de gli antichi non la ™’q* * trottaffer tipetti* come dice H fapient e, Nihil fub Sole nomini. Se al- ancien. 6? cwfó adunque uoUjfe trouar la proffima radice cuba quadra de $6 troua laprima fard t il cui citbo quadro*) drà pur t qual fottrerai de j 6 refla - tf s rà $.5, qual metti fopra una virgola far A così -li , operando perii oì fa 9 modi , & regolali propnrtioni t fonerai il fuo denominatore effereó j, 6*l mi qual metterai /otto farà % ,qual fchiffato fair A-\-,ma per lauta dclT ar j.Vcl'c talea far ebbe futa } -‘1 , conte qui appar in pr attica, & quefle cofe filano fiorii 0. baftant: alla piena infralì ione delle efrattioni di ogni fpecie de radici, uer auàzo. & de loro approffmationi co fi de integri fiordi , come de rotti, & integri , & rotti, fie ben hauerai A mente le cofie dette, operando per la ter%apvo- 3 po fittone noua pofia in queflo tratta to. _s_ 9 Il fine del T rattaco delle cftrattiogi de radice . r.‘i j x ^ ‘ t so’T A». « C- V*Mdv * r,. -V Quefito porto da Frate Luca nel Trattato de progrertioni, 6Cdal Cardano nella rtia Arithmetica. Cap. X X 1 1 1 1. ' ‘ ‘ * ‘ • * ■' * * \ Oi vccelli effendo fopra vn arbore , et uno cominciò vo- lareverfu Oriente.il primo giorno volauno migliaci fe- rodo doi il ìergo miglia j ,et così fa ogni dì i miglia de piu , Ultronei medefino infante fi parte volando uerfo , Occidente, et il primo giorno fh uno migliaci fecondo ne fa 8» et il ttrjo migliar a ìy, et così va crefccndo per. numeri cubi cominciando dalla vnità , et tra l’un a , el laltra fecero uno artuito intorno alla terra,qual fu migliara 443 io dimando inquanù giorni fi incontr orno infieme. Ver fio luer queflo, fappia , che bifogna trouar una fumma di termini nella naturale progreJJione,chegionta Aitanti altri termini de numeri al- bi cominciami dalla unità faccia 44310, et perche uolendo trouar ta fumma de tanti numeri tubi y bifogna trottar la funrma decanti termini nella ' * lit- ote oh 00 1+4, Oli fi 1 V t ì n DelTArith mtfìcb netta naturale progreffìon e, & quefia fumma mtM/fiiikr infameétfnùU'. ttr tale quadrato fari la fumma de tanti numeri tubi Guatiti fono li ter- mini di tale progreftone naturale ,& per tonfrpume de tanti piami, che* fletterò à far tale circuito, per tanto ponerai, che face/fero tal circuito invita io. de pierai, & perche la fumma delli termini della KAtuxakfrrt grefftone fù gionta alla fumma delli numeri cubi , che fu il, fuo quadrate adonque hauerai i ct.p. i . co. eguale a 443 1 o, oude feguenic il spitelo, dece. &. co] a eguale a numero dimenerai le coi farà £» e»' qytltipGcbtt Cairn f e farà ■{-,& l aggiùngerai almmerofiu’djtftii*^ &db » » quefia caueraita radice forino -±canane lardelli cofe, rejìeraono' VT '• rii 0,& tanto fu la fummo delli termini delia detta progrtfa otte, t * * »® U° 1 • ‘ ■- j.tvu" ; invi: ■ \t,i« ibi\ojpi ___! t -P-«- 1 4 .1.31 v-lM» »m otta ’l<i» < t (.IfcS . . -o uinaiol ( .G*Ì4/f VM , «V 17724* 4 4 J 1 ° vuy'- .-4 -0 » 4 tlvt, $ *•>> • \i;-' m«*\ V i%t; * > *'*> I 4 »vJt V.-u-V » • m «, ~;s 3t 1 " 4 % 2 4 * ‘ ' SS- wVr kv.A«\ \ *j\ "Ò 2 1 4 1 * .•« if • V .iV '.9*\ 2 10; 5’ ìI»c:ìj:£iT bb drB li Plora dirai di nuouo quali termini fumo quelli della naturale progref — flotte, che giùnti infime fecero il o.poncndo per la pò. batterai te.p. ° 4 -'-co* eguali a no patti. per li cenjiauerai 1 ct.p. t, co. igkalia 420 di g — , mejja le eo.p multiplUa in fe, & aggiùngi al nomerò farà+zo-^ca uane laradicejari' 20-^cauane la -f delta co.refieri 7 o,& inno gior- efXiWl 1 4<> 20 1 2» 10 210 210 44100 210 44J10 X ‘7 » »so ni concludrr/tiicbe qneftjf due.vcccHt s'iiicontromowfitfitCìW cosi farà le filmili quando fono in termini integri . La prona farai trottando la fumma della naturale progrefftone da I fri atti 10 giùngendo 1 a 20 fanno 2 1 , quali tnultiplkandaper . \t>,mit ideili termini faranno ito, & queflo quadra farà 44 1 co, defono la fumma di 20 cubi,alli quali aggiùngi a io, cioè l'altra fumma farà 443 io , co» me fa proporlo . V. Ma quando non fi haueffe poffuto estuar la radice de 443 lty-%- rat fa naie, cioè felfuffe flato vn numero irrationalejrvn per qurfto farebbe fia- ta la valuta della cofa , cioè il numero di giorni irrationale , perche nota potendo venir giorni integri, ne farebùono venuti giomt integri,cr rotti » cioi qualche parte ratinate di giorni , fi come daueua venir neWeffem» pio polio da Frate Luca, che fumo migliar a 20400, del qual nu.v olendo- ne batter li t erm in i,ouer giorni integri fi doucua multiphcarper 4, è' fa- rebbe 8 1 6oo,dcl qual fi dette cauar la radice de radice, ne vedranno I $ giorni inugrUet fenga lenir conto deli auan^p, et volcudthpoiJaper,qual k V „ r libro Stiaondb/ ■ 112 parte dì giorno, troua la fumma della progrcffìon naturale da t fin' alti 1 6 ttrmhhA^ap^io^andm.al 16, fard 1 7»tf* qtfftv rmdtipficato per 8, mitti delti termini fanno i }-6,& volendo trouar h fumata diej.6 mime- ri ctfbixommcianid dalla viriti quaìrerdt'U tiéHkfkmtnà Ì36 V rjual'è n^tfgrotriaVgoUrt farà *8496, quali fattrar ài dal ppopofio PffWro , mèri 0400 remeranno 1 904, poi vederai quanto farà la fumma de 1 7, numeri cubitrouado la fumma de 17 termini della prpgreffione natura- le, qual farà il numero triangolare, de 17, & farà 153, qual quadra fa- ri 23^og,& tanto farà la fummidelli ij, numeri cubi,dalla quale , ufi cauerailafamma delti 1 6 cubi, qual fu 18496 , & refleranno 47*1 » ' qual farà, il cubo de 17. \y\Hora a ciafchuna fumma gfi aggiùngerai la fua radice, che fù la fant- ina della progreffione naturale de lauti giorni, onero tifuo numero trio* polare, onde alti 18496 aggiùngerai 136, fua radice farà 18632, perla fumma delli 16 giorni, & alla fumma de 17 cubi , cioè a 13 409 , gli ag pianger ai la fuaradice,cioè 1 s 3, farà 1 3 f 6z, dal qual numero, ne deae- rati' altra fumma,che fa 18632 refleranno 49} o,qual farà la differen- za da vna fumma all altra, &• tanti migliora haueriano fatto in 17 gìar mdepiù,cbeiu 16 giorni, cioè che in quel giorno de più ira Cvna , & t altra haueriano volato tanti migliora, & perche dalla fumma delti 16 giorni , che è 18631 , alla fumma delnumero propoflo , cheè 10400'» gli fono 1 768 miglia de differenza, per tanto diraiper la regola del $,/e 4970» mi danno vn giorno , che mi daranno 1768 miglia,multiplica,et parti faranno parti d'vn giorno, onde baueranno cantinato in tutto giorni 16 , nel qual tempo fi faranno incontrati,& per faper qua ti miglia baueranno fatto in quella parte di giorno fra l'vno , & Coltro . Dirai fe giorni 1 mi dà miglia 495 o » che mi darà-fffi-opcra , ti darà ti dettimiglia 1 q 68, liquali f ammarai co timiglia 18631, chi fù lafumma delli 1 6 giorni di tutti due, faranno miglia 1400» come fa propoflo . limedefmofi potata trottar difìintamente,vedcdo quantrmiglia volu- ttà iifirtmo ingiorni i6-^\\-fecondo la fua progreffione, & quanti miglia volaua l'altro fecondo lafuaprogreffione,trauando ti miglia per la parte del giorno , ma aquetìo modo , come difopra operando congiontamente è più breue . Et quando fi fufie canato la radice di 20400, & del doppio della det- ta radice canonie vn altra volta dar adice, far cfli vicinato appreffo al nu mero di termim,talmente chehauerefli aggiorno vn termine,ouer due fe- condo ti bi fogno, per eh e in (imiti non fi può far altramete,fenon inuefligar con quefta via ti termini di dette due progreffioni , & quefla via è la più breue, mafoprail tutto non penfar in quefio quefito de quantità irrati j- ualtyche non può effere, come alcuni hanno creduto . Regola. *Vi DdPA ridirne tic* r V V lì "V' 17* 6 IO) » I 10564 4 t Regola generale di rrouareil lato de qualunque1 figura de moiri angoli AridimeticamenceK quale potrà fèruire alla folutione de molti queliti fòpra le ordinanze militari. Ca.XXV. Rottami il lato d'uno pctagono Jiritlmtezico,che la fui* ma detuttaC area fàccia 17 6, €ir perche la progreffiouej- delli numeri pentagonali cominciadalta vnità,& afcca. de per ternario così ij «| 7) io, ere. muli iplicat alt fum ma per la diffircntia,ouer ccccffo duplata , cioè tjópxm 6 fanno 105 6 dal quale fot tr arai il numero minore del numero afeendente di una r mi à, cioè 2, perche f afeendente numero è JLXZ-d6 5 ^ 2 ^ 1 meno de 3, et rcfiarxwno io al quale aggiungerai il quadrato — della -i- del detto numero afeendite , cioè il quadrato de 1 ■»£- qual è 2 -J- faranno lojtf ~^-dal quale cauarai la rad. farà 31 --.dalla quale nc fot « trarai 1 cioè la n.ità dieffa differenza, oucr numero afeendenterem fiaranno 3 1 vltimo termino di effaprogreffione ^Arithmetica . ,‘Etpertrouar il numero dclli terinini , cioè il lato drl- detto pentagono aggiùngili i,cioè il numero , che fia dùco i della detta differiti* farà 3 qual parti per detta differenti a , ouer numera afeendt nte qual è 3 ne re- 7 tiranno 1 t,& tanti fono li termini, & fìmilmcnte ciafcmo fuo lato,(*r quella regola è cattata da t algebra, & ridotta in quefta br cuiti, per la quale potrai foluereogni fonile quefuo . . Leprogrefftoni delle differentie dclli numeri cubi per ordine dalla unita fono quefle 7 19*37 61 91 117. r ' . t, . . »i > ; » x j 1 fon» prodotti in quello modo, & prima per trottar ladiffcrentia l [ 3 del cubo de 1 al cubo de 2 multipli ca in fr il » fa 4 poi multiplir 4,5 ca il 2 con 1 fa 2, cr anchor quadralo 1 fa 1 bar giongi tn-- fteme aitefli 3 produtti , cioè *| , & I faranno 7,' et cofi tra «■ - ueraile altre. * — s ^ -N •" 4l 3 3I2 4 giongi fanno 19 ió\i2\gfanno jq^&c.uoèqtM» ' 9| 6 J dra leradice,& multiplica l mia nell' altra,* ', ù > nr t* ava .ai \ 1 Hor • ; V« wWi 11 fine del Secondo Libro dell’ Arithmetica. /*.i De À Il * 8t> ba rxj r I i ; i À iloCX il 3 D ELLA R I T H M E T ICA DI GIOSEPHO VNI CORNO ' -ti.umutój ’Tv’v'.-.. . - »iu;Viv £ i LIBRO TERZO. ' *. • .v. t. ... >1 ,V h- •«*; 'i»i' : .rotaAi. *tV. Checontien li altri 4. Algorifini della frattica di Aritmetica , cioè de radiciM più , & menade t binomi], & recifi , de proporzioni, de radi - < ci vniuerfali, & eflrattioni de radice detti bino - mij, & recifi quali fono il neruo del decimo libro di Euclidei detta proportene battente il meT^ Xp & dot e [Ir e mt, detta qual tratta il decimoter Zo libro di Euclide . j 1 x . ) ibfiTab^nnrjfòunprurrf • Dell Algoiifino, de radici in tutti i modi. •..* Cap. Primo . u'i\ . >tv. -itoùAit. ‘ nìt. Avendo già nel precedente trattato infé guato il modo delle eflrattioni delle radici, tar- data la regola di cauar infinite [fede di quel- le, & appreffo propoflo alcuni cafì de progref- ftoni, quali non fi poteuano pienamente dtiuci'. dare fenga la cognitionc della eflr atti otre de cf\ fé radici, bora per venire all’ vfo integro di- quelle prima è dibi fogno infegnarc l\Algorif- ■ irto loro , cioè fummare , fottrare , multiplicà+\ re, & pa rtire fecondo li loro nomi fempliei , fe > condariamentc ìnfegnar le loro compofitioni mediante li dot termini, dei- più, & meno, che fono chiamate binomtf, et recifi, col fuo particolare ^ii gorifmo,&- finalmente le eflrattioni delle radici delli 6 binomii, & reci- fi, le quali cofe fono il neruo della dottrina data da Euclide, nel fuo dea* cimo libro, & oltra tratteremo de alcune conci» fioni,nonpofle da Eucli^ Ff de ni Dcll'Arithmctica de, Ite f attua altro àuitore attico jni modcrn»jbefin*ho$a ni (li pnut" unto anofitm, parche eomìf&ce ìfFtlofi)pkoì>còféfatHt laggiongetc al- le cofe trottate y& quefie cofe daranno gran lume non foto a chi de/idera intendcrti.&nìottcr ifljofrcvn leJpropòfitiini di tfià {etimi Ubrofnfl qua le tratta delle i j linee irrazionali, ma anebora di falir calla contempli- none delle opcrationi Igcb rat ich e,qua H finalmente ne guidano alla co- gnition delle diurne Mathematiche di grado in grado > come tu lettore procedendo intenderai fi tu non ti loft rimanere dalla Jaticha » lacuale fùotc nodrirefi attimi gènero/i, dr per la quale Ji pajja all' bon orato tem- pia ictiaìndìla virtù, (ir perche bx ogni ^tlgctifino fidate preponete la r,apprcfentaùouetgr qucjlapcr cjfàràulprecedcnte'libro delle efir anioni de radice ajjai manifcjtà,ìejlaad£nque,che eonfiderrarn* le ffiecie delle altre operationi, con li loro eff cmpif opportuni, acei oche l'arte, che per fe è difficile, dr labortofa, la rendiamo facile,*? perfjùoua. Et per che nel fummar , & fottrnr de radici gli concorre il mnltiplicar & partir di efieradj.ee , per quella multipli carimi e , . & diuijionein qùefio ^rigonfino prccedeno per ordite il dottrina l addizione , fot- trafone. ' ™ O-. \ -I. :l v \ •, jf! Della multiplicatione de rad. Cap. Ili E àdìmqde batteremo da multiplièir vna radice per vn c, ltra,p ritma, fi deue confiderar Je'l fi ito quadrato ha radi ce dfcreta,ouer irrationale chiamata da Euclide media le, cioè radice quadrate indifcrcte , fi egli è rationale l- nna,e l altra, fi deue cattar effa radice, che fard numero , ’ & operar fi come fu fatto ntlli precedenti Mlgorifmi de numeri integri , et rotti coti nel mnltiplicar , come nelle altre opera • fiotti dclldAlgovfmo, ma fe batteremo da multi placar vna quantità irra- tionalc, con orti altr a,'o che quell altra fard rationale, ò irrationale, fc la fard rationale fidette ridurre a vna fintile denominatioue quadrando an - chora efifa quantità rationale, &poi mnltiplicar effi quadrati l'vno fon l'altro, come numeri * e r la radice di tal produtto fard la quantità , che intendemo produrre, ma fe l vna, & [altra fard irrationale, li quadrati loro fi multiplicberanno , come puri numeri , et la radice del produtto fa rà quello, che intendemo produrre , & acciò, che le regole fiano facilme , te intefe le renderemo chiare ^on manifcjii ef]empu , ■ Sia adunque prima per gratta di effempio radice a ,da multiplicar per radice a quadrerai radice a , multiplicandola per rad. *,& per efifer egua li quefle due quantità mult'tplicami fenga altra multiplicatione, dirai che farà * UbfoiftM'ìkGI 114 farà 2, che ferà il quadrato de rad.i,ouero per feguir vna fola regola ge nerale comune lfyrpd*fminrguAii , *0*^ 2 , farad. +,& la rad. Afferà a rfltwnale, & cou.rad.^ frkrad.^farà 5 yOtiero rad.ì1,quM'ty*r f,fy+a&.J ,fia radlf+fat^ 7, & così far ai in tutte, quando fono eguali, mafenonfono eguali, multiphca il quadrato del- ptvnapen R~ quadrata dell altra, & farad. debfrod*ttoJìfojfltCNCfjtbe ntlHttridiprodurrc. ejfempio,mulùplica rad.yifiamfM,flcr Li pr, 1 eden teli quadrato dirad. 7, fa y,& il quadrato de rad.%{d.S,7mkiptfca fafan qui 7 fiq$, fanno $6,& la rad.di 5 6 /era quello che intendi per produt- tv>&*osì rad. 27 fia rad.6, farà rad.i6x,& tosi farai m fintili, quan - dolv*a,& l'altra quantità farà irr ottonale . -i, ® - 1 Ma quando bauefli amultiplicar »* numero fra )«t*4 radice , come a mùltiplie.ir rad.7 fra 2, ridurrai t a quadrate,- & fataci &oos\muUi-. plicheroi vad.yfra radarfari 28 ,&rad. *8, diraUbefar* il prodotto,. 6 coti farai in quefle,& jttvgni forte di radice , <qioè, riducendo li predo- . centi a vna mede fmadenominatione ', come fe hauefli da moltiplicar ra- dice cu. j per rad. 2, cuberai il 2, farà 8,& quadrerai il. pjatà 49, onde hauerai poi da moltiplicar rad.quadraeu-fafi^rfa^quadra tuba 8 farà rad. quadra cuba 592 > laquale fi fermerà cpsì rad., q. cu. 39^ & casi fa battefti a muhiplicar rad. tu. 1 » fra 2 ,ridurroi il2acuhe farà8, bar multiphca rad.cu. 8fia rad.cu.i2*farà rad.cu.pó, e? così infintili . Similmente volendo moltiplicar radice rcUta, fiat rad.reiata t$,fer rad. telata 4 ,mulxiplica % fia 3 7 yfar amo rad.reiata X75., & rad.reiata 1 1 fra rad. 1 ,r daterai il} , farà 24^ & quadrerai il 1 rifarà 1 44, onde moltiplicherai 144 fia 24 1, farà'pad.relata'qpfye&i, <&■ volendo mul- tipli car r.td. relata 7 fra rad.cn.2,cuberai il 7ìf*r.à'W3\&'relaterqiilii farà i%,poi malafitta $43 fai* fortuna radar età*, cu. iogq6,& così 'volendo moltiplicar rad.reiata 5 fra 2,rilaler*iit 2 darà }ì, poi molti- plica 5 fra $i,\ faranno 160, & rad.reiata x69%farà detto prodotto . Cofi volendo multipli ar tadjatf. 7 par rad.3 farai 3 a rad. . rad. farà rad.rad.p hor tnukiplica rad.rad.7 fia- . .w\}*ùb -a. rad. rad:# fari rad. rad. 63. Et rad, :> «iòt • 11 \ ■ .v>ì. vi. j yrad.q-Multiplicataperzri ... • , o:- .. iiW. iL ducendo H%\a <wn * t -r,n ;>1 : ! . i-Mo , ;.y-.:r.vs .» <f ,c-f • . farà rad. rad. 8o, fi chetici moltiplicar^. 8. t , «&»».■ f j*w\ ■ r, . y^óf-noli partir a .bifygna ridmJi 1 1... 1;- -uUnnViw 1. vii . primi termini am folwA h ifc'ttV-AC *> ,3 t . vSrj _ '.nome a anodo j io ,?m v4KI9Ì2t»«Ho,y^W\%:..r.<£ T.;-. dntni.x-KOC.'HO S j .-lU.'-ii- • , t<i«a aiV&vt abi tikìU^u DeU'Arithmetica .4 ’ t, Del partir de radice conuerfo al multi- . plicar. Cap« III. J tome per regola generale nel mult'rplicar fi focena»* li numeri producenti a un mede fino nome, co fi nel parti- re fi ridaranno il partitore , & il numero » che fi vuole partire a v no mede fino nome al modo, che fu offeritati \ difopranel multiplicarc,& ridotti , che far anno fi par- te , come nel tommune rigonfino de numeri rationali fu detto, & quello prouenicnte, cioèil numero , ciré ne uerrà de detta par- ùtione farà denominato dalli detti numeri , cioè cbebaueràil nome del numero diuifo, & diuidente in quanto alla fpecie delle radice , & perì quiui difotto baflarà a poner li effemptj delle partitioni, onero diuifioni con e fpondenti alle fpecie, &• modi delle multiplic ottoni , pofli, & effem- plificati di fopra . :v >' t «ili x •> ,\. Et 'pf imapam t perrad.2.\ ridurrai a à quadrato farà 4, & bauerai poi r ad. + da partir per rad. 2 dicendo a incentra zuoltè , dr rad. z ne venir à de detta par titionc, la prona farai muluplicandoil partitor,qual è radit perii numero prouenicnte, quali rad.* ne verrà 1 numero, co- me fu detto difopra nel primo effempio delle multiplicationi. "Parti 5 per rad. j ridurai 5 alla fua firmile denominatone farà rad. *l,quileparti per rad.j oc verrà finalmente rad.y.fmilmenie parti 7 per rad.j ne verrà rai.f la prona fi farà multiplic. indo rad.$ fia rad. 5' farà f,& rad. 7 farad. fard 7 fi come fu fot concili effempli del multipli Et quando hauefli da partir rad. 5 6 per rad.j parti 56 per 7 ne ver- rà 8, & rad. 8 ne verrà di tale diuifione.la proua fi farà multiplic andò* rad. 8 fa rad. 7, che farà rad. % 6, come difopra, parti rad. 16% per rad.fi parti *61 per 6 ne uerranno rad.iy farà il prouenicnte di tale diuifione.la proua farai multiplìcando rad. i~j fia rad. 6 ne verranno rad. 162, come difopra , parti rad. a 8 per a quadra l'uno , & l’altro baue- rai 28 da partir per 4, et ne venir à 7, et rad. 7 ne uerrà de detto parti- menta la proua farai, come difopra hauefli nel multiplicar rad.j per a, che fece rad. li, parti rad.cu.q,i 9 a per rad.* prima cubarai rad. a farà rad.q.cu.i,bor parti $91 per 8 ne vengono 49, et la rad.q.cu.de qp.farà il prouenicnte. hor cauanc la r ad. q. farà 7, et la rad.cn. de 7 farà quello , che ne uiene.la proua batterai difopra , et de tutte le fequenti nelle multi- plicationi, parti rad. cu. 96'fcr a ridurai 2 a cubo farà 8, et partirai rad.cu. 96 per rad.cn. 8 ne uerrà rad. cu. 1 2, come fu fuppoflo nel mul- tiplicar de radice cube . " V - Tatti 1 # • , < ,% ■ * i> LrbroTerzo. 1.15 " farti rad. relata 175 per rad. relata j ne unirà rad. relata 3 5 .parti rad; relata q.cioè radice relata quadra 34992 per rad. 3 ri durai il 3. a telato fard 143 ondekauerai da partire rad. relata q.3499 1 per radice telata q.x^ythe faranno fintili di nome , fjr ne veniranno radice rei. tf. J44,^r di queflo cauerai la rad.difcreta,qual fard ix,& rad. relata 12 ite venir à de detta partifione, perche il 144 era r ciato quadrato, & il 11 farà folamente relato, cioè ràd.relata tx.la proua troueraineUteJfempi del multiplicar correlativo a quefto partire . Tatti rad. relata cu.cioè rad. telata cuba 1097 6per rad.cu.x relate- rai il * farà rad.rel.eu. j» hot parti 1097 6 per 3 x ne verrà rad.relata cu. 3 43 cavane la ra.cu.fara y,cioè ra.relata j, perche ili 43 era relato cubo,etil 7 refla folamite telato , come difopra troverai nelle multiplicat. Tarti rader data 160 per 2 relataraiilx farà 3» parti 160 per 31, ne venir à rad.relata j hormultiplica 1 per rad.relata 3 farà rad.rela- ta 1 60, come nel multiplicar hauefìi di fopra Tarti rad.rad.63 per rad. 3 ridurai rad. 3 a rad. rad. farà rad. rad. 9 hor parti 6 3 per p,ne veniranno 7, fi che dirai , che ne verrà rad.radt 7 la proua troverai come difopra dijji nel multiplicar. Tarti rad. rad. 80 per 2 ridurai a a rad. rad. farà 16, cioè rad. rad. 16 , tir batterai vna jhntle denominai ione, come fu il numero da partir. par ti adunque r.r.8 o per r.r. 16 ne venirà r. r. 5 la proua farà multiplicando rad. rad. 5 per 2 ridotto a rad. rad. che farà 1 6 multiplicato per 5 farà 80, cioè rad.rad. 80, et copofteruarai in ogni forte de radici quantunque non pano polle per breuità nel prefente trattato, feruando la regola gene rate pofla di fopra in quefto capitolo. Pel quarto,& quinto atto detto fummar,& fot trar de radici infiemc. Cap. 1 1 IL T perche delle quantità mediali, onero irr allunali alcu- ne fono comtnunicanti fra loro , & alcuni incommuni - canti , onero incommcnfur abili , le incommenfurabili ft aggiongeno col termino del più , & p [oliranno l utto dall' altra col termino del men , perche altramente non ji poffono fummar , ouero aggiongere infierite , ne fottrar d una dall altra , come volendo aggionger rad. 17 con rad. 1 a, quali fono incommenfurabili fecondo la longhrgja, & fecondo la fuperpeie loro,p congiongeràno col termino del più dicendo rad.2j,più rad. 1 1, or quefto piuft nota cop p.per breuità, cr cop volendoli fottrar , cioè la minor del- lam iggiorfi d.rà,chc refi. irà rad.xq m.rad.i i,& il mcn p nota enfi m. or ^ji 1» ■V Ir- I 9 3» 4 » 8 4 Hi 9 DeJrvArithmfetka & top farefìi in. ogniffec tede quantità itrationedi,& inctmrmcnftndbìli tu longitudine, & in potentia, come uolcndo fummar rad. 27 con rad.)* CT co v z fi dir 4 r ad. 17 p. rad.q p.2,& udendo filtrare radiyp, x.det rad. 17 fi dirà rad. 17 m.rad. }p.2, & uolcndo aggiongcrc^sttcx fumata*, re rad. 7 con rad. 7-bafla adoppiarla , cioè inni tipi icario per * quadranti (he dira rad. 4 fia rad. 7 fora rad. ìB.dr tanto {arac fio dupiato, £r fot», tirando fi dirarad.7 m.rad.jreHa nulla. . j.t ; \v, .• 1 Et uolcndo fummar rad. cuba j 7 conrad. qua. 1 j con rad. relata J> fata r4d.cu.j7p.rad. ti p.rad.relata - n ' Tt così rotando fottrar ogni quafiìitàitbc mafia ànodo alcuno com* nimicante, fi vferail tornino dei&am, corno volendo fotti or rad. telata, 7, detla radice cu. li , fi dirà rad.cu.i 8, m. rad. celata petebe qm Sio atlgorifmo molto più fidifaterà ncU 't tomiuusompofitifcbc fono li bi- nomu , quiuilo lafcio vw&tdo alla quantità commonfurubUi in potentia*. \ejìa adunque di dar regoladel fummar, etfoKrar delle quantità media* li commenfurabUi fecondo la potentia, cfoè fecondo la fuperficie loro . Et quefia conmcnfurat 'mc ,mu,er cotfmtmkantia nelle radici quadrato irrat tonali fi cvnofce par tendo l ma per. fialtra ,fe di detta pari it ione nù vevirà numero quadrato mtegroyouer r otto, che fu (jt, quelli tali numeri, ouer ( per dir propriamente quantità faranno communi canti , & fi pò* tranno aggiùnger talmente , chefitraniiovpfolnome f«nga,ilpieggp del termino delpiù, onero fi potranno fotttarl'una dall altra refi andò pur un fol nome, finga vfaril termine del men,come nelli effempi,che feguiranno feinfegtterà a fun. marie, & fott 1 arie per motte regole generali, & parti- re lari , & prima delle radice quadrate, legnali fono inp.u frequente vfo , che l altre {ferie di rad. fidar anno 3 regole, chel'vna ferà propria a tale {ferie di radii i, gridine due faranno vniuetfali a ogni {ferie di radici., Jf adunque hàuefiì uàggtongere radice 1 Ì, eon radice 8, pervedet fe fono contri ùnica Mi i partii' vita por l'altra, come munteli Jè tic verrà numero quadrato 0 integro,oucr rotto faranno communicanti . Hor pri - ' ma parti la maggior per la minor, cioè rad. 1 8, per rad.fi, ne venirà rad. 2 -L-U rad. dtfqualeè 1 ~ partendo la minorper la maggior , cioè rad. 8, per rad. t8, ne renerà la etti rad àt , ér così trouiamo , thè quelle quantità ere ro tenn. iwuanti, cioè ri c hanno prepc r rióne, urne da numero quadrato a nm.ero madiate , laqu al propor tiene fitroua febif- fando effe quantità coti municanti , fi conofconoanchoramulriplicando l'vna per t altra fi {iranno numno quadrato, faranno communicanti, et per con figuente aggionic infime faranno vn felc nome , onde multipli* cando 18 fia S, fanno 1 44, che la fna radice ratianale- far a 12, g? così faranno lialtri , ma qtnflo modo ritmo non fi verificherà yfenon in que- Sla {ferie di radice quadrale, ma non così nelle altre {ferie , perche fe nel- i I Libro Terzo. > 1 » 1 6 le radice cubemultipl’cherò rad.cu. ifiarad.cn. 9 faranno rad.cn.17, la quale ir alienale, che la fuarad. è $, ma non bino però proportione il j col g, come di numero cubo a cubo , & perir quantunque nultiplicate fac • ciano mum ro cubo r ottonale non fi pojfono però aggitmgere^jtnou col ter mine del piu,et nel {ettrare, fenon col termine delmen. Ter aggitmger adunque quefie due radice, cioè rad. 18, cenraéJ8,fe * condo la fna prima regola propria , aggiungi infime ejji quadrati , cioè 18, & 8, fanno a 6, poi moltiplica 8 fu vi, forno 1 44, & di queflo c*~ uane la radice, farà 1 a, qual doppia , farà a 4, & queflo duplo aggiongt al 26, far a 50, & così dirai, che rad.i 8, tonrad.%, aggiorna farà rad. 50 ,cheè vn fot nome , & così potrai far in tutte le radice communicanti in quefta Jpecie di quantità mediali & comunicanti, come vedi per efsèpio. Et quefìa regola fi proua per la quarta del fecondo di Euclide, 1 8 radice 1 8 i», . . 8 radice 8 26 1 4 4 I IX i\*l Ì-SKvOsV *' V ) * fummo radice 50 24 • La feconda Regola di fimmar le radice communicanti d‘ ogni forte è quella, cioè che fi deue partir la maggior per la minor, & del prouenien- te cavar la radice di quella Jpecie , che fi ricerca, & a quella radice fi ag gionge la vnùà,cr tale aggionto farà numero rat tonale , quale fi dotterà mnltiplicar per laminor radice riducendo prima effo congionto alla Jpe- cie, oiter dignità di quella radice, che fi "vuole aggiùnger e, & tale produt to farà la fummo dìe dette due radici , & quefia regola è vniuerfale in qutfie due Jpecie di radice , come difotto , con ragione, & ejfempio fi proverà . « Hor poniamo p che haut finto di aggiùnger infime le fopraditte due ra dice, cioè rad. 18, con rad.8, per quejla feconda pegola, parti 1 8, per 8, ne vien 2 , la cui rad. farà 1 4“ > on^c dirai , ebe rad. 1 8 concicn la rad. 8 vna volta, & megga, ma volendo aggiùngerli effa minor radice , laxont entrò poi due volle & megga, cioè Jempre vna volta de più , & per queflo fempre a quella rad. ejlratta fi aggiongerà vno , onde bauerai che la maggior injieme con la minor faranno 2 -f- minori , & perche ef fa minor è rad. 8, pigliandola 2 -f volte farà la Junma qut fitta, bora ri- durrai a -{-numero a quadrato farà rad. 6 £ , & queflo mult'tplicato per rad. 8 farà rad. 50, & così farai in qttejle Jpecie de rad. come bai intefo per prauica,gfr per ragione . . DcirA neh m etica 54 Et per effemplificar meglio quefla regola quantunque il detto ejjetnpia ' 3 ~j" folo faria bajlante ad ogni d'if cretto lcttore,pongo che babbiamo d’aggion gere rad.cu. \$, con rad. cu. 5 4, quali trottar emo ejfer communicanti , • perche hanno propor t ione, come numero tubo a numero cubo, cioccarne 1 — Sai 27, bora partendo 54, perió., neveniratmot -f-, & la'rkd.xui' 3 -4- fora 1 4- numero , al qual aggiùngo 1 far a 2 -{r , gir quejlo fi deue cubar e per ridurli a vna fola denominatone farapoi rad. cu. ij-f* » et quefto multiplicarò per rad. cu. 1 6 far a rad.cu.i % o, et tanto fura la rad.. cu.\6 aggiùnta con la rad.cv. 5 4, et fimilmcnte fetu volefìi aggiongere rad. relata 64, con radjrclata 4 86,part'irefli ilmaggiar relato per il m- tior,cioè 486pcr.d4.HC venir a 7 jf cioè rad.j^fè-del qual,ne catterai la rad.Velata fecondo il modo dato nel fecondo libro ,\ne venirsi -f*» ni quale aggiùngi t. fata 2 -f- , et quejlo ridurr ai a telato fata rad. relais 97 Ht » <ìuc,l multiplica fia la minor rad. relata, ciòèfia rad. relata 64, fa ra rad. relata 6 2 j o, et tanto far a la fumma, tuer tongionto delle due rad. relate, cioè rad.relata 64, con rad.relata 48 6, e/ così operar efli in ogni altra forte de radici — Ma volendo operar le fuddettc aiditionip er la 3 regola, quale ftmil - mente farà vniu erfale ad ogni fo rte de r adici, fi come è la feconda fopra- dettù, finalmente partir ai, la maggior perlaminor , & del proueniente cauerai la radice di quella tale Jpecie, che fi vuol fummare, perche eflen do communicanti, fempre ne potrai cauar lefue radice diferete de detto attonimento, & perche caufaranno, nel partire vno rotto aggiongeraila radice del partitore , con la radice del numero maggiore, che fu partito , & l’vna di quelle radice hauerà proportene a tutto il congiùnto, fi come vna de quelle radice propojle, al fuo congionto , ouer fumma , onde per la regola del 3, tr ouer ai la detta fumma, onero febiffarai detti quadrati propofli,et trouerai,che deltvno,et laltro neverranno radici rationali , . quali aggiongerai, et tale aggiorno farà il tergo termino della regola del 3, et il medio farà vna delle due quantità propojle £ aggiongere, et il pri- 4 mo farà vna delle parti componenti il tergo lamino correlatiua al detto medio,onde moltiplicando, et partendo batterai la fumma quefita , ma acciò meglio po/Tt intendere, replicando li fopr adetti effempij effa regolati parerà chiarijfima . V olendo adonquc,fi come nel primo ejfempio fà fatto fummare radice 8, con radice 1 8, per quella terga regola febiffarai 8 , et 1 8 faranno 4, et ideili quali canone le radice faranno t, et 3 , onde dirai , che radice 8 hauerà proporzione a radice 1 8, come 2, al $,bor aggiùngi le dette due radice eflr atte faranno l,poi dirai per la regola del f, fez, mi da radice 8, che mi darà 5 , congionto ridurrai 5 a quadrato farà radice 45 , qual \ muli tplicaper radice 8 farà radice zoo, et quejlo parti per x,fimilmen~ 4 Libro Tèrzo. 117 teridotttra quadrato farà radice 4, onde partirai radice a 00, per radice 4, al modo dato nel partire de radici , ne venir à radice 50, et tanto farà iltongionto de radice 8, con radice 18, come anchora trouafli difopra per la prima, et feconda pegola , et così potrefii fummar ogni altra (pecie di radici f eruado le cofe dette nel multiplicar et partire , et nelle loro eftrat tioniyche già per li precedenti trattati fono infegnate , et volendo fummar le due quantità communicanti del fecondo effempio fecondo quefta terga regola, cioè rad. cu. 16 con rad.cu.^qfchifferai effe due quantità faranno i-jydelli quati caueraileradice\cu.& faranno z,& 3, quali aggion gerai infieme faranno 5, poi dirai per regola del], fe 1 1 mi danno rad. cu.16, che mi daranno 5 congionto,ouero fe 3, mi da rad. cu. 54, che mi darà^,che aCvno,& C altro modo verrà, ma per più breuità pigliaremo le minori parti, onde ridurrai 5,4 cubo farà rad. cft. 125, la qnal mol- tiplicherai fiala fecondà,quaC è rad. cu. 1 6 farà rad.cu.2000, & qncfto partiper 1 ridotto a cu. farà rad.cu.i,& ne veniranno rad.cn. 250, fi come difopra trouafli per la feconda regola. fimilmente volendo aggiùnge re le quantità del tergo effempio,cioè r. relata 64, con radice relata 486 fchiffa effi relati l'vno farà }i,& l’altro 243. cauane le fue rad. relate, perche fono communicanti per la ragion detta difopra, ne veniranno 2,& l,& quefli aggiongi infieme fanno j.hora procederai per la regola detta del 3 dicendo fe a minor rad.mi da 64 fio relato, che mi darà 5 congion ta de laminor ,& la maggior ? onde ridurrai 5 arelato farà 3115, quali multiplica per radice relata 64, per effer /’ vno & t altro d vn medefmo nome, faranno rad.relata 200000, quali partirai per la prima quantità, dot per a ridotto a relato, che /ara poi rad.relata 3 2, ne veniranno rad . telata 6 a 5 o, dr così fi potrà aggiùngere ogni fpecie di radice, che habbia proporzione, come numero a numcro,et quantunque ciafcuna fyecie bah biscia fuaregola particolare, & propria, nondimeno quefledue vniuer- f ali fono di rumor fatica, ned operare, & più facilidi tenir a memoria. ,.n; Am» Dd fottrar de radici,; ' Cap. V. IV _ V L fa tirar e de radici bauera lemedcfme operationi,& re gole,cbe haueua l' aggiùngere, eccetto, che oue fi fummo- uà fecondo il cemmune ^ llgorijmo iuififottrera , come per effempio difotto intenderai Et prima perche nell' aggiùngere, trouafli che rad. 1 8 gionta con rad. 8 focena rad. 50, adunque fottrando ra. 8 ,dc rad. 50 donerà resìare rad. 1 8 , adoni/ uè per la prima regola multi- plica rad. Sfa rad. 30 far a rad. 400 canone la rad.fara ao ,et qucfla du- Cg pierai » V DelPArithmctìca ' fiera] fatalo, et quello ferut. poi aggiùngi rad. 50 .con rad. 8. come nu- meri fimplià fanno l8,& da quello ne furerai quello 40 remeranno ra dice 1 8 ,come difoprafù detto nel fumtnar de radici, & però qaejla fot-, trattone e la prona di quella addinone pojla nel primo cffempio,& quella additione , ouer futnma è la prona di auefla fot trattone perche , ( come più volte baucrno detto nclli altri uilgorifmi) , il fommare,& ilfottra • refi p rouano l'vnl altro , & in quanti modi può occorrer il fommare , oucro aggiùngere in tanti anchora più occorrer il fottrare, perche co- me dice il Filofofo . Quot modis dicitur tmam oppofttorutn tot di cirur, & reliqautn. Etfe batiejli a fottrarrad.rad.fi, de rad. rad. 1250, per lafeconda regola parti la maggior per la minor , come puri numcri,ciob 1150, per gl, ne venir anno 39 » & di quello cauerai la rad. rad. farà -j-, cioè 2 4- quale cauane i,pcr regola generale , ( fi come nel fummar ag giongefti 1) rejleranno 1 , & qnejlo ridurrai a quadrato de quadrato farà Jj- , che fono rad.rad. $ 4- , onde multiplicherai rad. rad. 5 ^-fia * rad.rad. 32 faranno rad.rad,i6z,& tanto refierà afottrar rad.rad. 32 de rad.ra. 1 150, quali fono communicanti, perche fchifjati li loro quadra ti fono r azionali, la prona potrai far giongendo rad.rad. già rad.ra. 162 farà rad.rad. ni o,il che potrai far per diuerfe regole . Etuolendo farla fopraferitta-fottratione perla terza regola, fchiffa- raigi,& 1250 faranno \6,& 61 l, quali fono rat ionalì, & di quefii ca uancla rad. rad. far anno i,& $,& fi come nel fommare hauerefligion-- to i,& 5 cofi nel fottrare fottrarai idei rriìaranno g.bor dirai per <U regoli del 3, fez minor rad.rad.mida gifuo quadrato de quadrato, fht ncir algebra fi dice cenfo diccnfo,chcmi dora } reftante,ouer tefìduo. Multiplica, & parti facendo prima 3 a quadrato di quadrata , che faxa Si, et cofi il 1 ,che far a iòne ueniranno rad. rad. 1 6 2, fi comcper t altrii regola trouafli,et cofi uolendolaprouare per la detta terga regola ritor- nar ebbe rad.rad. 1 no, come difopra. Similmente fe uolefti fottrar rad. cu. 24 de rad. cu. j 7 5 ,fdnfferai li dot cubi l'uno far a 8, et l'altro lische fono rationali,de quali cauane la fua radic.cuba, et ne venir anno 2, et 3. borfoltra idei reflano 3, poi dirai fe 2 minor rad.cu.mi da rad.cu.iq,ouero 24 fuo cubo, che mi dora ' 3 refiduoyonde ridurai la prima , et terga a cubo per farli fonili alla fe- conda , et poi multiplicherai , et partirai fecondo la regola del 3, coffe rad. cu. 8 mi da rad. cu. 24, che mi dara rad.cu.17, et trouerai, che ti idra rad.cu. 81, et tanto refht a cauar, ouer afottrar rad. cu.iqderad. tu. 3 75, et uolendolaprouar fecondo la detta terga, ouer altra regola ag- giùngerai rad.cu. 24 conrad.cu.81fararad.cu.371, et cofiofferueraiin ogni forte de radici produtte dalle muUiplicat'mi,come fono rad.cr radi ce "V - ^ J \ / .Xibrd Terzo. ' ut te radice tubi * & filate, tre. fempre Menarne fcruando le regole dè* u di f opra. Del Algoritmo di quelli doi termini piu,6C me- no, doèraprefentarefummar forerare mul tiplicar,& partir. Cap. VI. Erche/ì come nel precedente ^ flgorifmo de radici fu det- tole radici incommcnfurabiliin longitudine, dr poten- tia, cioè nette fuperficje quadrate da loro produitenon fi pojfono fumma'-e fe non col termino del plùtei j< tirare l'e non col termino del men, & perche occorre molte uol- ne^e °Ptratl0ni alla pr attica u ilgcbratica pertinenti Jumniar, & futtrar multiplìcar,& partire dette rad. co fi congionte,oue - ro difgionte con li doi termini più , tr meno , però fù dìbi fogno a far de detti termini uno particolare ut Igor i fino fen-ga il quale non fi potrebbo- nofoluere le più alti, & difficili ragioni da ejj'ere rifolti fpecialmente per utlgebra,& accio procediamo , con tutte le ftte parti, prima diremo bre- ucm ente della fu a rdpptefentatione , quantunque nel precedènte trattato affai chiaramente apparfe. - • EI ì ri i^i.i .uogyti' *. > > v Rapprefcntatione. ... i*.h\ .. io- ^ f i 8 Sutppia adunque, che il termino del più fi rapprefenta co/t abbrevia- to,cioè p. & il termino del meno cofim. & ouenonè pollo ilm rem- pre s'intende più. J Deliùmmardelp. 6Cm.dòcpiù ,& men. Cap. VII. ' ' ? » li.' , VMK.U •• ... ) > Ota adunque, cheti furnmar del più, & meno con ftfie in. ~ quefìc 4 regolale quali realmente fi concludeno in a. & prima più con più giorno fempre fa più . ,, 2. pegola, men con men giorno fempre fa men . 3 -K'gola,più con men gionto fempre fi abbatte,& ra la maggior dtnominat ione. 4. pegola men con più gioito fempre fi tratte , &sfarà la maggior * * deno - IO 8 DcirArithmctlca dcnonùnationc la quale info/lanraè una medefma con la terga. Et accioche ledette^ regole pano facilmente intefe le manifeftarem con e/fempi de quantità rationali informa de binomi], & repdui,acciocbe 4 P po fitto con chiara ef per lentia prouare, perciò dalla ccrte^a di quefiè P • P- 18 P- 6 *5 777. 4 12 777. ì 37 777. 5 IO P- 3 S m. 4 18 777.1 1 15 777. 5 12 P • 6 *7 P ■ l 20 P • 6 14 777. 6. 34 12 777. 5 7 P- 3 1 9 777. 2 7 P- 2 4 1 1 P * 2 5 773. 2 3 8 777. 9 777. il 777. 2 ; 9 777. 5 9 777. 5 * />• 2 < 9 777. ** 1 3 9 771. 5 2 — nepapropofto difummar 10/7.4 con 8/7. 2 metteremo l uno folto al al- 4 tro relatiuamente,& fummar emo li p.q. con li p.i faranno p.6, & polli p. io con li p. 8 faranno j 8/7.6 perche p.con p.fcmpre fa p. per la prima regola, come vedi in margine. Et perche tu fxi,cbe to p.qfanno iq,& 8 per 2 fanno IO quali gion Aticon i\ fanno iq,tu uedi anchora,che la fumma qual è li p. 6 fa - itmedefmofeguirà nelli veri binomi], & quantità ^ilgcbr alice. Et volendo fummar 1 5 m. 4 con 1 2 m. 1 affetterai l'uno fotto l altro, come p fà nel fummar communi , cioè il primo nome dell'uno col primo uedi in tnargine.fummando 777.4 Son 1 fard m. 5, & 15 con 1 1 faran- 6 no l-j,& farà tale fumma 27 m.3, per che ni. con m. giorno femprefa m. per lafccodà regola, &p.i$ cop.iifap.iq,& perche tu fai, che 1 5 m. 4 fa it >ct i im. t fa pmilmente 1 1 giongendo 1 j a 1 ì fanno zz, et tu uedi , che anebora 27 m. ^ fa zi, et cop fcruarcfli ne gli ir rationali , et 2 ga , et quarta regola, poioggioagi.lt primi nomi ielli p. faranno 18, et tutta la fumma dirà 1 8 777.1 farà 1 q,p come fanno li doi nomi aggionti. Et cop uolendo fummar 1 5 177. 5 con 1 2 p. 6 affetta f uno fotto l'altra 0 binomio, ouer recifo, che pa farà 27 p.per la tcr%a,ouer quarta regolai perche m. 5 gìoto con p.6 fa p.t, cioè della natura del maggior nome quat è m,et cop à giùnger 10 p.6 con 14 m.6 farà 3 4, per che giongendo m.6 conp.6 fanno nulla, et u 777.5 co,ì 7 P- 3 faranno 1 9 m.i, perchj^hora la maggior deìtotriàiatiioh è in. {, 'ctJa minor, è p.3 eti fot tr andò p. vde m. 5 doi modi, cioè col 777. 5, « col p.9 il primo modo farà ptn. 3, che fanno 6 al fecondo modo farà 11 min 5, che pmilmente fannoó, et cop hai li ef- chora nelle quantità irr alienali de molti nomi ,- et queflobafli quanto al il 777 . 5 atto del aggiùngere, qUal ti f/ruiràperprokadclfottrare ebefegue. > . V. ' Del r: Libro Terzo. 119 Del terzo atto dell5 Algoritmo, de p. & m. detto fottrar . Cap. Vili. L fottrar e de più, et di metto fimilmente può occorrere almaneboin i+modi, come nellicffcmpij dtbinomtj, et , refidui finti trotterai , et imperò non è marmàglia fe il fottrar in quefio algorifmo è più difficile-, & ingeniofo , che gli altri attignale fe ben intenderai ti leuerà le diffi - ( ( cultà de intendere li iteri binomtj ,et re fidai , che doppo il prefente algorifmo paneremo . Trima occorrendo fottrar alcun più da vn altro p. che fìamaggiore in quantità , ma fmile in denominatione, & natura , & non altramen- te, caueraiil minor femplicemente dalmaggior , & il refiante farà più, come per effempio fe volefli cauar 5 p. 2, de 1 5 p. 5 affetta l'vno bino • 1 $ p. $ mioyche -poi cauar fotto l'altro dal qual lo vuoi cauar c,o uuoi dirfottra 1 p. z re, & fa una linea folto fecondo il commune vfo del fummar, et fottrar io p. 3 & fottrerai prima p.z, de p. 5 rcflcrà p. ì,qual metti fotto lalinea,poi \f~pT~$ fottrerai l'altro nome, cioè 5 de 1 5 refi a io, Or hauer ai fotto quefio re- proua flante binomio 10 ,p. 3, <& volendolo prouar al modo del fummar, comer di fopra fu offeruato lo potrai fare per effer tutte quantità rationali,ma perche il fummar e è la propria proua del fot trare quefla ti farà verà guida, et proua per tutti li effemptf, cheftdaranno, adonque aggiongerai $>/». 2, che fottrafli con io,/». 3, che fu il refiante perla prima regola del fummarefarà 1 5 ,p. 5, come fu proposto, & come appare in margine. » Et fe volefli fottrar alcun p.d’vri altro p. eguale in quantità, & fimi 20 p. 4 Icin denominatione,come farebbe 15,/». 4, de 20 p. 4 fottrerai p. +,dep. 15 p. 4 4,comc puri numeri refìera, p.o, & \ j, de 20 refler anno j, onde concia ~f~pT o derai, che refleranno 5 , p.o, fotto la riga fempre affettando l'vno fotto — — — l’altro , con quello ordine, che fù offeruato , nel fummare, fenjjt, che più loreplichi,intenderai, laproua farai fummando\i,p.Af, con}, p.o, & \ fura i o, p. 4, come fù propofìo . Ala quando volefli cauar'alcun più de vn’ altro più , & che'lpiùdal qual vuoi cauar fta minor in quantità, che quello , che ne vuoi cauare , come volendo fottrar 12, p.6,de io, p.2 , perche iló, è maggior, che’l 20 p. 2 z,dal qual vuoi far la fottratione , fottrerai il minor dal maggior , cioè n p. g quello difopra da quello di fotto, & metterai fotto la riga m. 4, & per tal g . tro nome fottrerai il 12, del 20 rcflcrà 8, che il tutto farà 8 m. Riapro ■ — uà farai per la terza , ouer quarta regola del fummar . jf' £tfe volefli fottrar alcun più , che fi a maggior in quantità de alcun ‘ . • mcn. v Dett’Ayfthmètiba a4 m- 3 men> che fta minor in quantità, come per cjftmpio fe votefiì fottrar 8% 5 P- 5 P‘ 5 » * *4 ) aWon&1 tip- 5 cetrò.^, cennopuri numeri fard % , &• \6 m. 8 queflo fognerai fatto la riga col termino del m.pol fottrerai 8, de 24, r#- 74 m , fi cr anno 1 6 m.%, la prona farai giongeuio tfp.qeon t6-m.8,per la ter 3 gfi regola ,ouer quarta del jfùmmar farazqm.3 , come fù propoflo , & così offeruarejli nodi veri hntomu,& reciji, attenendoti a non equiuocar re nelle opcrationi, che infintili fàcilmente imeruient a chi non confide r a bene quefiediuerfita de operai ioni . Et fe hawefti a fottrar 1 2,p. ],dc 17, cioè cheil p. che fi vuol 17 m. 5 eauar è eguale al men in quantità dal qual fi vuol amare in quanto alti 1 2 p. 5 fecondi notiti de qu elle ducquantità , ouer b moina ,òrccifi , affitterai la 'CmTTo mi”f rf°tt0 maS&‘or> come difopra,et aggiungerai fecondo il primo Jtl gorifmo <>yp. con 5 , me» faràm. 1 o> qual mette fiottò Ut virgola , ouér ri 7 5 g* » poi fottra 11*17 refiera. 5 ,& effe refiance fan* J m. io, cornea p pare in margine, per il chcfappi.cbe quello aggiougere, che facefii del », 5 , &p.i,fi chiama fottrar e rifletto di quèfto uilgorifmo, perche fedi* r. /■> ? / opra è 1 7 m. 5, et difetto 1 »,/>. yadohque cattandone anchora p.q, altri ; appreffo a quelli ». 5, che fono difopra non farà marauiglia fe reficranno m.\o,ct la fottratione , che fi fa, poi dalli primi nonti,cioè del iz,de 17 che reftanno 5 i commune al primo ^ tlgorìfmo , & a queflo del p. & m. 6 però io diffi difopra cbe.fi deue akertire le equiuocatitni,la prona fu- rai, come fù detto , Et fe voltili fottrar t qp. f , de 2 S m. 7, cioè che il meno , dal qual fi 2 8 m. 7 vuole eauar il più, fu piu in quantità che'l più che fi vuol eauar ,fi co- 14 p. 5 me bora che'l 7 è più , cheli j ben che'l.j fia figliato col termino del ». 1 4 m. 1 2 & Hi col termino del più, fummerai come difopra , cioè m."j con p. 5 fù- ag m - rà m. 11, poi fottrerai 14 de! aS refterà 14, er fi refio farà 14m.11, la ’ ' la proua farai fummand<n\p. $ con 14». 12 faranno 2 8 m,j,per la tu gion fuddetta • 18 ni. 5 Et volendo cenar 12 m. 3, de 1 8 m. 5, cioè che'l m. che fi vuol eauar li m. ì fia minor in quantità che'l m. dal quale fi vuol eauar, fottrerai il minor 6 m. 2 del ntaggior, cioè il m.j, del m. 1 refieràm.2,& pai vienalli primi nomi & fottra 1 2 de 1 8 reficranno 6,& il refio farà 6 m. i,& quello fottra re in quefio cafo è commune col fottrare del primo u ilgorifmo , & volen do far la proua aggiungi 6 m. 2 con nm. 3 farà li m. j , come era de prima,& così farai le /imiti: 1 5 3 Et volendo fottrar 9 m. 3 , dei 5 m. 3 , oucli m. fono eguali fottra m, 9 m- 3 dcm.j refterà m.o,& 9, de 1 5 refterà 6, talmente, che reficranno 6 , 6 m. o la prona farai, come difopra. 30 m. 4 Et volendo fottrar 1 j m.j,de 30». 4 afiettaCvno fatto l'altro, co- 15 m. 7 me difopra, & perche in quello e jf empio il m.j , che fi vuol eauar è più £ jXibioTcrzo: 120 h quantità che'l m. 4 , dal quale il fi vuole cauar, fottrerai il minor che 1 5 p. 3 èdifopra dal maggior , {Imi di folto, ciqè m.q di m.7 reff'ià p. 3, qual no jo~p~4 tafotto la riga, poi fottra 1 s de 30 refi anno 1 5 ,& dirai che Tetterà 1 5 pr0u,j p.3, la proua farai,come vediinenargine per ha quarta regola del f mina- re, la ragione è qttefta che quanto fono li m. in quantità , che fi voleno fot trar maggiori, che quelli dadi quali fe voleno cauar, re fiera maggior qua tità, & pcròreftano 15 p.3. Et quando volefli cauar 15 m.<,,de 30 p. 1 aggiùngi $,& 1 faranno .Q p % 7, quali noterai fatto la riga col termino del p. & poi fottrerai l'altro \r fi, <i nome, cioè 1 5 de 30 refteranno 1 5 p.7 , perche quanto fono maggiori li — men, tanto più rettala proua.vedi in margine. fimilmente volendo cauar P’ 7 1 1 m. 3 , de 1 8 ,p. 3 aggiongi p. 3, con m. 3, fecondo il commune aggiongc- i 0 P- 2 re, benché a rifletto di queflo algori fmo è fottrare, farà p.6, qual mct *8 p. 3 ter ai fotto la riga , poi fottra li, de 18 refteranno 6, & dirai , che ne re 1 2 m- 3 fiera 6 p.6 cauando il detto recifo dal detto binomio, la proua farai gion 6 p. 0 gendo iz m. 3, con 6 p.6, &farà 18 p.3,come doueua fare . ìfTp7~3 Et così volendo fottrar it m. 3 de 20, p.3, nel qual effempio il men 3, 10 * } che fi vuol cauar è maggiore in quantità , che'l p.3 , dal quale fi vuole cauar aggiongi fecondo il commune aggiongere p. 3, conm.^ farà p.%, — — il qual atto in queflo ^ dlgorifmo è fottrare , poi fottra communemcnte 8 P* ^ II, de 20 refteranno 8, & il reflante Jarà Sp. 2, la proua farai , & ri- torneranno 10 p.3, come prima . * Et volendo fottrare 12 m. $, da 10, cioè vno p. & vno m. da vno fol 10 p. fottrerai il 12, dal 1 o rcfttrà 8 , & perche tu ne fottri anchora m, 5 » j * ’f adónque refteranno tanto più.onde dirai che reflanno 8 ,p. 5, la proua fa ~x r ai giùngendo 12 m. 5 con ip.),& farà io , come fu propotto , come — t-L ■vedi in margine. 20 P • Et così volendo fottrar,vn binomio da vn fol nome, come farebbe 6, 1 1 p.3, da li, fottra communemente il 6, dal 1 2, refterà 6 , & perche ne 6 m. 3 <auiancborap.3,adonquereflerannotantomanco,cioè6 m.30. 6 p. 3 Ma fe voleflifottrar 6 p.3 del detto ri, ouer altro numero fottra pri - * — ma 6 de 11 teliamo 6, perche cenandone anchora 3 reftano tanto 1 meno adunque reflar anno 6 m.j. la proua farai , come difopra , & cofi ^ hai tutti li effempi del fummar, & fot trar, che poffino occorrere, quali — — feruerai in tutti li binomi j , & recifi cofi de radici , come de altri nomi 6 m‘ ì Mgebraùci,<Cr cofi faperai foluere quefiti di grandiffima difficultà,me- 1 1 diante qitefta introduttione tanto facile, & probabile de binomi] , & recifi finti. Del •A t» s .< ? .« 6 I c i ' DeU’Ancbmctica . n V*v>i , >i X! : •• • • ’-S * .« Vv’- tv ai Del multiplicar del più, & meno. H Gap. i • \ ,ìt 1 come nel aggiùngere furono propone 4 regole, che in fip, flange, fono 3 per intender e, & tenir amente il fummo*, de p. &m.cofiJono ordinate 4 altre Regole per inten- der e queflo quarto atto di quello jtlgorifmo detto mul - tiplicar,lc quali fono in fojiantiafolamcnte 3, quali fo- no le infr aferitte . *;A ù t.i: i» . . • - n Trima regola multiplicar p. flap. femprefàp. ? ti Seconda regola,a.multtplicar p.fiam.fimpre famen. « in Terga regola, a multiplicar mcn fia mcn femprefàp. V ni Quarta regola, a multiplicar m.fia p. femprc fa m. laqual regolatimi iflefja con Ufeconda,& non è differente fe non nel ordinerei proferire. Le qkali regole fimilmente efemplificheremo con binomi i, et recift fin- ti, fi come bauemo offeruato difopra nel fummare,Ù' fot trare.. » 8 f • 4 Supponeremo adunque , per dar l' effempio della prima regola, c >c u 0- 5 gliamo multiplicar 9p.+ fia j.affctt areno il fjehe t'intende efler p. petit 4.0 p» 20 cfjc non %li tprcpoflo altro fegno* f otto al 4» fi come nel cornmpi? ttmlH? 10 plicarficofluma, & tir aremo [otto unariga fecondo H follai cornine P, 60 daremo adir p.i flap: sfarino p. 20 qual not arano fottol^riga col ter- * mino del p.poi per [altro nome, cipè perla %, quale fmfimenìe s intende p. diremo 5 fia 8 fanno 40, & queflo metteremo mangi al p.20, & M prodotto farà 40/». 20. : , , ' . ' . ^ Et perche 40 p.zo fanno 6o,la prima regola del jummare de p.gr m. t & g p.afatmo 1 2, quali moltiplicati per 3 farà fimilmente 60, fi com- prala primaregola effere uera, et cefi la troueremo nell, uen 1 1 m. X Et P prouarc la feconda regolaci ebep. fio. m.facaam. pongo, (he hab ' Ibiln. d< m.ltyicmm.ì lUe .firn >41 »taw »»- ~ "fg me, cioè fatto alni. 3 & poi tir aremo fatto una riga, fecondo tlfolito coflu 7 — me del multiplicar ; poi multiphcberemo il primo nome da man deflra de „ chi legge, cioè il m.j fiail6,cbeèp.farà m.\%, qual metteremo folto la 1 J rial 6 fia 1 i faranno 12, quali mette- 8 m. „ cm legge, ciac u vi.j — vr 0 * dettar, ga.poi multiplicher emo\ tip. cioè 6 fia 12 faranno squali mette- 8 W,_ rmo iwnan ri a /mì «rr/o man de eh, legge, & faranno 7 » w. 1 8. 6401/32 p*4 .> _ _ ..)« _i/„ /.[.« / « « « im. 9 non vuol L* J. P • mo umani, a tu, Mcrjuwu" ' • . Et perche 72 m. 1 8 non vuoi dir altro, che 5 4, tfvi a ». 3 non t«o/ dir altroché 9, qual multiplicato per 6 fà fimilmente ^,Ja feconda re- * 2 3 gola è manifefia,fi come aedi in margine. 4— £t per </ar cllcmpio della terga regola, cioè che m.fia m. f accia p. mut- 3 6 tipi i cheremo im.ifia 8m.j , quali fono doi rccififint, , non uogjtono i r. Librò Tdtzò li 121 dir altro, che è fia t, che fanno 36 mettendo Cvno folto T altro, & mul- tiplicandoli per crofetta,oucro a modo di fchacchiero, diremo m. 1 fiam. ?| . ... f fanno p. 4» & metteremo p.4 fattola (olita riga, poi multiùlicbercma in croce m. 1 fia 8, qual t intende p. farà m.i6> & 16, perette fono due multiplicationi,quali aggiorni fanno m.}»,dr cofida man finiflra, de chi kggemetterauoapprejfoalp.4ilm.3i.poi multiplieberemo liprimi no • \ miyiio'e 8 fia 8 fanno64,qual metteremo apprejfo'/il m. 3 a uerfomanfi- niHray& ilproduttofarà uno trinomio,cioè 64 01.32 p.+,& perche 64 m. 3 1 fanno 3 2, quali fono p.alli quali aggiongendo li p. 4 fanno j 6, fi co - to * 4 me fu trouato difopra,& cofi appare la verità della terga regola, come * il , edi in margine . Et per prouar la quarta regola, ciocche men fia più faccia men,mul- tiplicaremo io p.qfia6m.2, che non vuol dir altro, cheq fa iq,fe ben farai conto fanno 5 6 affettando Ivno fotto l'altro , '& tirando la linealo me in margine appare cominciar emo dal primo nome ver fio man .deéra óom. io fecondo il commun folito del multiplicar in croce, onero per fchacchiero, P'* 4 & feruando le fudette regole^ modi trinerai, che produranno quefi»i quadrimonio, cioè 60 m. 20 , p. 1401.8 ,& giungendoli più con li più * cioè li 6<k con li 24 faranno p. 84,$" li m. io, cor? lifn.8 faranno m. 18, g0 mlo quali detratti dalli 84, faranno 56, perche nel fummar p. & m. fempre p ->4m$ fe abbatte , & farà la maggior denominatione , fi come difopra trouafli ‘ ’ * per via del binomio finto, & così appare la verità della terga regola. «wi» lÈiijolicftìmui jootOnciTnogiA oìr.iup foci Dclj^tjrsddfliifo ^cjmeno, / L partire deì\>iù ,& meno confile in quefle quattro pe- gole generali, infra fritte, quali bifogna hauerle a mente ». (JìrirùeMgeUa patito più per. più ntykenpiù . S econda regola à partir più per men ne vien men . Terga regola àpartir men per più ne vienmen. * v •« * 1 Quarta regola^ partir men per m$n ne vienpiù. ' " Si come il fottrar fi prona rettamente per il fummar , cosi li partir fi prona pei- il Multiplicar -, olirà le prom ftnfibiU, che fi pojfono far in qqe fli binomtf , & rewfi finti ,fi come hauemo fatto nei fummar, & mul- tiplicar. sVu.jn-T ( ltv>. ' «l'.'J ■V.\' ■ •*’ -i'i ì'.Etper dar tjfmpiq duella prima regola, fe fi fùffe propofto da partir pKp. 3 p. 1 5 *ipvr p.$. pani fimplicemeute yy per },nevienp. 5 per detta regola, p. 5 qual volendola prouar multiplica l'aucnimento, quali p.f fiailpartitor , H b qua • *■ r Dcll'ArltJrmfctìca ’l’LLll ni. 5 ”>■ 3 pr. p. ij p.$m. 18 ». .m: 6 f>- 3 pr. m. 1 8 m.3 m.i8 p. 6 c m. 3 'fin 18 os.n r 8,w j. f fiati p. j,ne venirà per la prima regola del moltiplicar p. & men » Et per verificarla feconda regola parti p. ì j per men 3, ne venir à mi $ ,percbe volendolo prou ar multiplicarcfli m. 5 fiam. j , & farebbe p. 1 J. per la tirila regola del moltiplicar iep.& men , drftfacefji altramente fcgu itebbe contra la fuppofniont Similmente per verificar la terga regola, cìol che a partir men per pii ne vien men poni che babbi da partir rii. 1 8 per piu 3, ne venirà m. 6. per- che volendolo prònór muldplicarefli il numero che ne vien quali m.6, pcrp. 3 , & per li r feconda regola del moltiplicar ne ver irebbe m. 1 1 per- ché àl'tr amenti fegutrcbbe contra il prefuppofito . ■ Similmente fi prona la quarta regola , cioè che a partir m. per m . ne verghi più, perche fe partiremo m. 1 9, per men 3, ne venirà p.6, perche muìtiplicandoipoi il partitor, quali m. 3 fiati numero proueniente, quali p.6, ne deue venir ilnumero,che fu iittifio,onde ne venirà m. 18, come fi prima proporlo, & venendo altramente feguirebbe contra il prefuppofi to. La qual cofit era da demoflrare, & così fono dìmoflrate breuemente le dette 4 regole, per le quali faperai operar, & concluder il veri anchora neUi bihomtj,& tccifì finti, con de radici come de altri dignità ilge - bìàticc,& con quefli me^j leniremo all\4lgorifmode binomij veri, et r enfi, per il quale fi metterà in oper adone il decimo di Euclide . .U» : Del quinto Algorifino, cioè fummar fòttrar mul • - tiplicaV , 6C partir de binomi) i Se- r recifi. Cap. XI. :■» » Del {ultimar de binomi) , Se recifi , i mo atto di eflo Algorifmo ,U> . V u Viui lettore ti c 1 muiene alga* alquanto pii del folito le vele del intelletto , perche ernia darai entrar irei gran pelago delle lince irrationali, de quali tratta Euclide | nel fuo decimo libro per la intelligenda del quale,qucflo . Rigonfino de birtomij, & recifi infime con lefue cftrat doni de radici ti porgerà gran lume , venendo adunque ad primo fuo atto, qual è ilfummaredico,c7je effopuò otcorrere in molti modi,ma li principali far Unno fin, che pii frequentemtnte-interuengon • ridia pr attica , & vfo di quelli 4 L\ Et prima à fummar vna quantità di yrhfitló fM’*#*; binomi** * tue r recifo , onero multinomio , & quefto può occorrer in tre modi, ciò} ouer, c he quella quantità d" un jol nqme farà communicante con uno dei nomi del detto binomio , ouer refiduo , onero che farà communicante con trno,& l'altro nome del detto binomio , ouer recifo, onero con più nomi .fefarà multinomioycljc è il fecondo modo, curro non farà cotnmunicante Jean alcuno de detti nomi, che è il teytio modo » il quarto modo è a fummar .q yn binomio , ouer refiduo con un’altro binomio, ouer re/iduo , & quefto !l può occorrer in 3 modi, cioè ouer chèlidoi nomi detto binomio,ouer re/i- duo faranno communio anti olii nomi dell’altro binomio, ouer recifo,ouer che unfol nome di l'uno farà communicante a unfol nome dell altro ,oue- fòche nell'uno nell' altro nome non farà communicante Con alcun nome ---il vs lei a btT +** ti + - • • . : .1*1 a .h/r t in jbSp dell’ altro, di lli quali fei modi ordinatamente ne daremo chiari i mani- LI LI fèfttcfftmpi, acctochcdel tuttofi habbia, perfetta cognizione . *1 J ?r ( o . -«tM • \ .-n A I i>.. «I« {\ Sii * IotìS ~~ sT?? ,Ìk\ ,W.1 .<$ Ci Come fi fumma una quantità d’un Còl nome con qualunque fpetiedi bi- ti-W-' f ‘ :-m,, : . 1 1 r \ .ri. nomio,ouerxeiiduo. ; > -rTZT^ST taO cAvi\ t; w 'i> Lul. ’.i'v -r ■ , 1, lift H, Auendo adunque a fummar una quantità d unfol nome con unbi- • , , a nomio,ouer recifo,ò multinomio,cbe fia communicante con alcuna quantità del detto binomio , ouer rcctfoy, quefto può accader in doi modi, a cioè ò che farà conmunicanteiu longhrrja, onero ififiofentia, comma - ,7 j nicante in longhexpia farà, come uqat^^r^ con un^Anuqtero integro, - ì C. ' VI* ouer rótto, ma commumcante in petenti? fé dirà quando li loro quadrati # . quantunque irrat tignali haueronne proportionc, come numero quadrato annumero quadrato, come farebbe rad. 1 S con rad. 32 quantunque fiano irrat tonali nondimeno hanno proportiqnof/n loro,comt ga\ió, che fono quadrati, & cofi/mendiraidellaltrefpefie • iwn Vj r i vera Et per. darti e/fempio frinì a del primo modo del corqrp /enfiar vnq rad i+ p. j quantità et n filtra pWgfi» eh? vu/fam 6 rad. in p.q.agg:on?fir<mi*9* 6 farà tuttofi fqq»g{Oiuq far a rad, rad. a4 p. 9 24 p.9>& per ejfer $,& fi puri maceri fono comp/qnuaufifi longliegj^ -fa, come aedi in margine, ma volendojummar il itUofi con uno refiduo £ come farebbe rad. 14 m.} aggiongi ó ion m. 3 f (ronfio l? (fr.^ regpìq rad- i+m> » del fummar dcp.& men,& farà rad. 24 p.3, come uedi in margine. ' ^ May olendo- fummar rad. 6 col detto binomio rad. 24 p. 3 fchiffando H‘ ‘ 24 P* * trono, che rad.fi è communicante ir ad. i\,& imperò li fummarò infic- 1 Uh 2 me DeftAAritlim èrica rad *6 ^ * rnefertètevilèpttt nel fummar de rad. communicanti, &faraHn»taJL ______ _ 54 alla qual ponto quelli p.j far Anno rad .54 p.3, et cofi fe l'hauefli gioie 144 V to col fuo reci fo, cioè conrad.x+m.f batterebbe fatto rad. qqm.i. 1 2 7ò Et per dar l' esempio dei fecondo membro della prepofia diuifione pon~ * 24 go,chefi uoglia /animar rad.} ì p.rad. 1 8 con rad. 8 vedi, che rad.% è com 24 rad. 5 manicante a ìuna,& l'altra quantità del detto binomio, onde la poi fum- rad. 54 p. } mar con quale tu vuoi , hor poniamo , che l'habbiamo fummata con rad , rad. 24 m. j ^ , taie f,mma farà rad.’jx p. rad. ì 8, & fe l' aggiongeremo con l'altro nome del binomio, cioè con rad. 18 tale fnmma fava rad. 50 p.rad. 3 x tal- T.ìd. 6 lad. 01,5 mente,che quefle due fumme farebbono eguali di quantità , cioè rad. 72 i^32 Prad * P'r*d- 1 8»#* rad. 50 p.rad. jx, & uolendo faper fe fono eguali fumnut- * * _ Uc ' - riti li doi nomi infieme deWuno,& del? altro binomio feparat amente, cioè — 72 p~ r 1 ? rad.’jx p.rad 1 8, quali giorni infieme, perche fono communicanti fanno fa r 3 o P r ' * ra<*’ 1 6x,et ftmilmete rad. 5 o co rad. 3 a fanno rad. \6x,che fono eguali. aè'*OP|4d*,Z Et v°len<t° fummar rad. 17 con 20 p. rad .3 fummerai rad. 17 con rad.P;7 " 3 radiche fono communicanti farà rad. 48 , alla quale ponto quello 20 TJTj^TùT^g fitrà zo p.rad. qS. ' soni, rad / Ma feuoUjli fummar la detta rad, i-j cqn io m. rad. 3 auuqrtiffi , che rad: 27 p.conmcn giontò (empire fe abbàttè, drpnò fottrarefli rad.j de rad.zq ao pT rad. 12 refi ara p.rad. 1 x, quale giunta con li ao> fari io p.rad. 1 1. Ma quando, che quella quantità d'un folo nome non farà communican- te con alcuno de nomi del binomio, cuer multinomio , oucr rccifopropo • < p. rad. 2 fio , all bora ferà di neceffità aggiongerla col termino del più talmente ft prima era binomio fi farà uno trinomio, fe farà trinomio fi farà quatr§- <p.r.2 p.r.) nomio , cioè fempre un nome de più , come fe uolefii fummar rad. 5 con# oucro pt rad.i farà 6 'p.rad.i p. rad .5 onero 6p.rad.% p.rad. z , che tanto fà 6 P,rj Pri mi è meglio mettere fempre primole maggiori quantità. 6 m. rad. 2 ^ fe tale binomio fùjfe flato reci fo, cioè 6 m.r ad. x aggiongendoli rad, rad. j 5 farebbeó ra.r adice x p.radicc 5 ,ouero 6 p.rad .5 M. rad. x che tanto • p.r $ m.r.2 farebbe. Et uolendo fummar rad. 6 con rad. la m.rad.6 ricordati, chef. & m. mpre s'abbatte, & perche rad.ógionta con m.rad.6 fa nulla, et rimane •| > la fota rad. i a ,et cofi offeruerai in filmili, et ik ogni fpecie de radici , tofi cube, come relate, et rad. rad. féruando li loro modi pofli nel fummare le rad.communicanti,ma fe non faranno communicanti anchora, quelli ag~ giongerai col termino del più, fi come delle radici quadre ho detto acciò ti Jiano ejj empio, et regola in tutte le altre fpecie, perche longo farebbe , et fuptrfluoa uoler dar effempio in molte fpecie de radici. 5 t . a t +£ > -irai «nw •H iti A . sai "Sii’i- *>»#• u'i itHr*; • MoJo f Lìbrò Tcrzo. 123 * * Modo di fummar qualunque fpccie di bino- . A , piio,ouer refiduo con qualunque al tro binomio, ouer refiduo. ; ■ Olendo fummar uno binomio con un'altro binomio, che li -f— doi nomi del uno fi ano communicanti con li doinomit. jo p.r.jt dell dldro , come fe uolcSlc fummar rad. 18 p.rad.i con r. «s p-M rad.yopirdd.^lyUedeiai, che tutte ifuefte quantità fono t.uj.p.i 7* communio anti, et imperò lipotrai fummar in più modi , nàie fummar ai d modo contmune , cioè ponendo l uno '{otto a l altro come uedi in margine. hor fumando rad. 50 con rad. 18 fa- t72 }9X to rad.9% p.rad.pi, che doppiandole , cioè multiplicandole per 4 fanno rad. 3 92, et perette rad. 128 p.rad. 72 for fi non ti appareno eguali a rad. f^ìiiJkWnOraimfiernc, pèrche fohò communicdnii, et trouerai, che fan- no fimifinente rad.) px,per tanto fapendo fummar qno binomio con l'al- tro, quando, che li nomi delTuno fono communicanti alli nomi dell’altro molto meglio fapenai fummar ne uno nome, et quelli, lite non faranno com r p r 7 manicanti li funnnarai col termino del piu, fi come molte uolte è flato det rad. t. p.r $ to,come quefli doi binomi], cioè rad .3 2 p. rad. 7 gionto con rad. 8 p. rad. 5 r.7i.p.r.7.p. fanno ra \. 72 p.rad.’jf.rad .5 nel quale [diamente rad. 8 dell' uno era' com m munte ante con rad. 32 dell'altro , et li altri fono congionti col termino iad.7. p.r.j del p. co me uedi notato . rad. 3. p r 2 Ma fé nè l un nè l'altro binomio haueffe quantità communicanti, li ag r-j- r’*p.r>t giongerefli col termino del p. come fe bauefli aggiùnger rad.7 p.rad *$ p,r’2 co* rad; 3 p.r adii, farebbono rad.7 p.rad. j p.rad. 3 p.rad.l, cioblerad. dell uno giorhe con le rad. dell altro-btnornio, ouer rccifo. Maje battelli aggiùngere 8 m.rad. 2 7 con 4 tn.rad. j.aggiongi li nume j. m. r>27 ri faranno t2,et poi le due radici communicanti faranno rad. 48 , che 4 «"• r 3 faranno m.et tale fumma farà 12 m.rad. 4$, come uedi in margine . n m. r. +g ^SS'onS* 8 m.rad.27,con 4 p.r. 3 per far quefla fumma aggiongi li nu gm.r.27 J inerì, come difopra fefìi, faranno 12, poi fottra rad. 3 de rad. 27, comera- 4 p r.j dice reflerà rad. 12, perche p.hón m.gionto femprefe abbatte, £ r reitera 77 la maggior denominatione. adónque tale fumma farà >2 mandile ti, co- me redi . - ì 'a ‘ 5 . Aggiongi m. r. iz ; . . DelM ridi tri e fica - m. poi aSfi e 7,COn 4 m;rair’ i aMionS‘ U "••neri faranno til 7~~ ; r>r * ^ & Pra<*-*7>c°nm.rad.3 foltrando la minor della mattnor,ter minai ione adonque tal fumrha farà ixp.r.n, ni^mf^aìarw^i^^f'' ^ : perche le due ródi fono comma ùfZ'Z^ *P r.17 r.j2 m.j 9 p.f-8 r-72.p.6 r.20 m. 2 r11^- tanno Venie che fara tale ftmmafolamcntt 1-44.45, - _ r f tfrbauefli aggiùnger rad. } m.rad.ì.cpu gp.rad. fili fratìoti^erefli ,/fg <u»w«ty jy, ouecomiocf anelinomi chiù aggitngtpcufi'c aitramtme baturebbono dtuerfifenfi,& <fucjlofe£n<bko fatto amodo dfparerte/fc, aI,?VM ^ 7 "**7* auertindoti (bacio cbebdet&'dellerad. and , . . ilf ^ '"‘^rtantbora altra, forte di rad. che a darne Ctf- ‘{S * '«« «ì^Ma/u <■» /«uc^Imì rfuuX **”* *'*'”'. 1U«1 * •& Am l\« ? 1 V>f* V,.1 V.‘t? <«» , V)«Uimcj^ *J» ,* *,Uv* 8Q;fej»t a» Del fecondo atto detto fòttrar debinòrnìj’^ recifi in tutti li modi con fuoi eflèm- ifia) .k .Ltt ttbotfcfLitt’i *>"{ :t i i-v-- r <1 , 1 . t i-».i • 1. 1 recifi in tutti li modi con Tuoi eficm- pij- Gap. XI I. oucui i.t jwì . t\,«. ( sh ovmvc , ,j U'j i:.tu ,ot *\-\\ ^ ( ;.W* 5tài.v.-,«o*‘.iti mi, jSita ■>$«'> y,cl; L fattrar tfr binomii, &, reci/i può occorrer, in molti rno- di , ma piu frequentemente in feimodfcomediceffmio di ( °pra nel fummare, il primo e a fattrar ma quantità jf- vnfolo nome da mo binomio, ouer rteifo, & qucfto può occorrer in 3 medi, cioè ouer che quella tale quantità fa «• ^ • - r* commun frante con va di nomi di queUq tale binomio r ouer recifo,ouerofard commutante con l’vno,& f altfottomedd bino mio, ouer recifo,oueronon. j_ • ’ il fecondo modo 3 cioè a fottrar nno binomio , ouer reftduo i vit altro . m binomio, ouer refrduo, fimilmente è diuifo in 3 membri , come aneborafi detto del fu rumar, cioè ouer che H dui nomi dcll'vno fono communicanti aliidoi nomi dell aitilo, onero che tu jol nome dclivno farà comma meati •'» ■«. . 1 tea "infoi potate t onero ali doi dell' altro, ouer 0 che nelflvno nell’altro fri rà per alcun modo communicante ad alcun nome dell altro, & di tutti quefti 6,modi ne daremo manifefli cjfemptj , che contici [amente proupr ranno rLibro^Tcrzo. rI 124 ilifoprapofli dei prima capitolo nel fummare, feruanìo V ordine fer nato nel fummar e . : • Et prima poniamo chehauefli da Jottrar 6 de r.i\.p. 9 metti l vno fot * *4 P * to Valero per. fetuar U communi formile filtrare, poi pecche p. Q < •& 1 p.6 fono communicanti all'vno, & V altro modo , cioè in longlrrt^ga , &■ r ~+ P 3 potenti a fi filtrano fimpliccmente il minor del maggiore, & reflerà que Pf~ r f4lf^ fio binomio , cioè rad. 34 ,p. 3, come nei primo effempio del fummar M<** *♦ P * 4 pparft ; — 7 7 . Et volendo cattar 6 de rad. 24 p. 3 fot tra 3, de 6, cioè dal numero che 11 ' in" vuoi cattare remeranno m.i,chel tutto reflerà rad.z^m.$,ftcomefù prò pofìo nel fummar e ■. Et volendo fottrar rad. 6,de rad. iq,p. qfòttrerai rad. óderad. l4»ta4 J+, pJ che fono communicanti reflerà rad.zq.,& quello 3 apprejfo,cioè rad. 34 Md.6 p>l,ft come fu propoflo net fummar e . Md 2+ t> * Et volendo fotte ar rad.6 de rad. $ 4 m. 3 fot tra rad. 6 de rad. 5 4, che r}+ m. 3 fono communicanti r citeranno rad. 1 4 m. 3, come nel fummare apparfe . nó Et volendo fottrar rad.% de rad. 72 p.rad. 1 8, per effer rad. 8 comma 1.24 m. 3 nicante con Vvno,& Valero de dot nomi dtlbinomio, & minore,dell’vno dr dell'altro, lo puoi cattare da quale ti piace , ma fottrando rad. 9, dal r-71 P- rI* maggior nome r efler anno, poi rad. 3 2 p.rad. iS, come nel fuo effempio po r< - fio nel fummar appare, qual fù il quinto per ordine, & fottrando la dettarcAit- **• P- rad. 6, del minor nome del detto binomio, cioè de rad. 18 reflerà rad.fx1'11 p. rad. i, che V vno reflantefarà eguale all’ altro, il che prouerai fe fum- mcr ai lóro nomi, fepa * atamente, che ciafcun di loro fdrà rad. 9% . Et valendo ftftrar rpfl.27, de zop. rad. 48 ftxuando le regole date JQ +s refleranno zo più radice. 3, come nello effempio feflo del fummar fìt r.idt-> propoflo. _ zo p.ttd ) Aia volendo fottrar rad. 17 de 20p.rad.12 fottrarad. 12 de rad. 3 7 10 p” j j — refleràm.rad. 3, &giongilt il 2 o reflerà lom.rad.j , fi come nel fum- r.z 7 mar appare. >' rell 20 m.r.^ A la quando che quella quantità d'vn fol nome non farà communicante con alitino delti nomi del binomio , ouer ricifo propoflo all' bora farà di mceffttà fottrarlèttol termino delmen, & tal reflo farà vno reftduo tri • nomiate fatuo fe tal quantità non farà eguale a vna di quella del binomio come fe voteffe cornar rad. 7 de 20 p.rail.yfln queflo caju reflarebbefola- mcmezo.cioèvn Home manco, & fe volefji cattar rad. 5 ,de 8, p.rad. 1 2 , p.rad. 5 reflerebborto filarne ute doi nomi , cioè 8 p.rad. 12 , ma effondo eguali, fi può dire, che fono communicanti perche hanno proportene fra loro come da vno a dvno . Aia volendo fottrar rad.$ de 6 p.rad. 2 quale non ha communicantia- con alcun nome del propoflo binomio, reflarà rad.6 p.rad.i,m.rad. 5 ,cioi • «•--» . de - •1 »i-*> r « S I Dell’ Ari thmétita wd. 6 p. ut. detratta la rad. 5 della furnna de rad.6 con rad.it & /><r nonequiuoeaf f*d. 5 fe gli fà vn fegno à modo di parentefis innanzi alla quantità , che fi r 6 p. r. 2. m. vuole fottrarc . ■■■>.. r \ \ «d. Et volendo fottrar rad. 2 de rad. 1 5 m.rad.} ne fottrarò la detta rada 1 dal detto recifo, & reflarà radi l % m. rad. j m.rad.% , & tfuefla trino- mio ba queflo [enfi, cioè che prefa la rad.de ry, da quella cattandone r,‘ 5 bx rad.de i,& di quello reftante ancbora cauarne la rad.de 2 quello vU — ■ ■ r-— — : timo reflante è quello, che cercauamo,talmente che della rad.de 1 yuefi-. m. tad.a” *" detratte due altre radici [epuratamene, adunque fi poteua ancbora fot proua surra trarle congiontamente, & tal recifo farà rad. l j( m.rad. 3 p. rad.1, citi ptid.z toltela rad.$,& la rad. 2, & tal fumma fotratta de rad.i$ farà Unte-» ims m.3.3 dcfnto recifo, in quantità, mafie gli pone il fegno innanzi alle duequan- 2. modo . , tità,tht fi fottranno unitamente,come vedi in margine, acciocbe non s in-, rad nbr'3 ^ tendeffe, che prefa la rad.de },& quella detrattale r ad. 1 al refiau^ Tid. 2tcfi doueffe poi aggiogo • la rad.de 2 ilquaUfenfo molto farebbe repugnau te al vero ,fi comepoi prouar per te fleJfo,fingendoti vna quantità ratio\ r. t s m. r. j naie da effer canata da uno recifo finto,& r ottonale. * .... Ta Ex uolendo fottrar da rad.%o quefio binomio, cioè rad.} p.rad.i refia- rad.3 p n.r. rà 2o(nhrad. 3 p. rad, 2 ,cjoè men la quantità del binomio- 2om.ra.j p. Et cofi volendo fottrar de 20 quefio recifo, chi rad.y m.rad. 2 refi 4- 2 rà io(m.rad.y m.rad. z, & cofiofferuarai in ognifpecie de radici. a\ *S ' .• . i.i rad. 0 m Come fi fottra qual fi uoglia binomio, ouer recifo da qual fi uoglia binomio, ** n. a» ii* ..ii OJOrrri? » - .* ir,S .< Oc CWA^itn ouer recito ; < ^ HTTVlV nVn.l J*V*. C <{ ... tt>E rche il fottrar de binomij,ouer recifìpub accader in mollinomi qua* X li volendoli narrar farebbe opera fuperflua,ma bafia a chi vuolfar tali fottrar ioni a inueftigar quali quantità fiano communi cónti , et quali non communicanti,pcrchc le communicaftùfi fot traranno fecondo lefue regole date nel fottrar de rad. & quelle, che non faranno communicanti fi fittraranno col tcrminodel meno feruando fempre le regole date nelli r. \ t o'nIX - algori fini fopr aferitti, per tanto venir ano alli cjfempi , volendo filtrar. rà jo p t.32 rt>d.lSp.rad.Sderad.iti p,rad.y% lo puoi fottrar in più modi, perche non filamente li nomi dell’uno , & l, altro binomio fono communicanti fra loro, ma ancbora fono communicanti con li nonfi dell’ altro.binomio ,per. tanto filtrerai rad, li derad. iz$,cr reflarà rad.}o poi filtrerai rad. 8 de rad.y 2 rcjlaranno rad. 3 2 talmente, che ne reflarà queft’ altro bi- nomio. ite* ' * I .rie» so •!« » • .« i.r»i • In» t-i m o*. » dLibraTttrióv;Cl 125 MHoick>ér>dd.'fop.rad.}.i, fi tome fù propoflo difopra nel fummar de bmomtj , &<ju<fla fottr attionc farà prona di quella fnmma.fi pot cuano melma fottrar rad. 1 8 primo nomedtl minor binomio de radrjz fecondo nome del maggior, & rad.8 fecondo nome del minor binomio de nuLl aft • prùno nome del maggtorbinamio, & refiarebb'e vrraitro binomio eguale in quantità al primo, cio^a rad.)<*p; rad. Jt;-»., r^.oi \ <. -tonvVì-. - ? % oEt /ipotecano anchora fitnmtar li' nomi del minor binomio , fwr rad. 18 con r. 8, perche fono comunicanti, & farne uno fol nome , gSr queflo poi fotbrar lo dalla f ultima deUi altri due nomi deW altro binomio, che fino fimi bnen te communicanti , & farebbe reflato uno folo nome.quai è rad» 16 ufi come foanebora a fummar rad. yo con radi i, cb&refiò a auto* Unno binomio, deli altro foprapofh. tv.' t)«I • • .»- 0 Et uolendo fottrar rad. 8 p.rad. 5 da rad. 72 p.rad.j p.rad. }prh*a *-7* p.r.;.p. 'dedi. c he nell una l altra parte t p.rad. j quali fottr ondali per effer oguaUteftarà da fottr or f ilamput rad. 8 da r ad. ji .p.rad. 7. bora fot tra u3, *• p,f'* noi rad-% da rad. 7^, per effer communicanti, & reflerà rad. ji, onde tal ^,r'7 reflantefarà rad. 1 z p.rad. y, come nel fummar debinomtj,& re ci flap-. — pntfe.ér qùtfloè la prókadiqaeUa,comc aedi in Margine, • r<>rH r‘i2 P't,p ’M Ma fé haneflid* fottrar rad. 3 prai.x>'datfuefio trinomio, ciokrad.? f*7-p-r.j(p.r. p.tad.f (p.rad.% p.rad.z,leuane uiarad.ip.rad.*,cbe fumo gionti dal *•?■*•* fegkoverfomaa éeflraffy refiarà rad.jp.rad.$, fi contenti quarto ef- r *Pr-- fempio del fummar fìt propoflo . reto r. 7 p.r.s Ma fetu hauefli à fottrar 4 m . radice j. de tim.r adice 48 fottr e- IJm'4* rai li numeri,^- poi ledme radxommunkanti, &-refl*rà $ m.rad.zy,co- f 1 me nehfuHno rffenrpto del fummar fù propoflo, k,t n\ ; « MrwSVj * ahr‘27 --Etìolmlnfòtùrahq pjad de Li *1. rad. ±za fetta f uno fatto t*f- prO,c»mefì ficaie. puoi fottr a 4 d*~l* refiarà A poi aggiungi rad. 1 1 con 1 s nut.i a farannàrmEny, come radici,md farà però fottratta p.rad. j dem, 4P-wd.» rad. iì,& reftaramo 8p.rad.zy, qome ncifeflo effempip del fummar Pietà per pronai c.Uj-irjt v ; u> Et kolendo fottrar. 9 p.rad.S de rad.yxp.6aflet_(a furto binqmiojqf-, t p. nd.zt tot altro, fottra rad. 8 dcrad.yz, che fono communic4ntifi$lìqtanuo*ad, i^./a.p.6 ~ iz. poi fottr* pip de<p\ 6 refiarà vt. 3 , fiche rifarà queflo rcfijp , rad. rp; rtd. e ?* m- ì » come mi fot timo efiempio del fummar fu propoflo ^ t77:nr.~j ' ^ Et volendo foftrar.z p.rad. 5 de rad .45 fottr trai rad. 5 de rad. 45 rTj^s 1 ' , rcftaranao rad. io, poi [ottrancp.z refiarà queflo refiduo, cioè rad.to , *pr.id.j . m. 2 , come nel ottano rfs empio del fummar apparfe. MO.il 1,2 Et uolendojuttrar rad. j m.nad»z,-de8 p.rad.6(p.rad. 5 m.rad.z,che * p.r.6^.i.j fumo congiùnti col fopradetto fegnofieuarai cioè che ui fà aggiorno dop - ni rjd-i po il detto fegno , & rcftaranao 8 p. rad. 6, come nel ultimo effempio del r-*m t ìJ-2 f animar fh propoflo . «rta «prò '• i Dell'Àrithmdidi 12 pridts Et volendo fottrar qm,rad.% dcit p.rad. ts ,caut qde\i refierè 7 , poifottram.rad. 3 de p.rad. 1 1, tannai fottratione fifa col f ttmmar. f j 7-P mmm ^ w - i / ” • ^ g — - - 1 • / — W i. r. 27. CMnr nd.dr refiernm 10 7 prad.tj,<p-fi lo vuoi prosare aggiùngi $ m. rad.^cmj pirati ;ty faranno 12p.rad.it, comefù propofa;' . .. ràd*°P 6 " ^tfivoU0rfottrarrad.9xìm.3dejrad.tdop:6 fottrarad. %o,der. 1 80 rcftano rad. io, poi cauam.3 de pi 6 rtflamp. 9, onde ne retteràqnt ’ p.r. 20 yjo recifo, cioè 9 p. rwkto, & volendolo pronar aggiùngi 9p.rad.X0 a' rad. Bo m. J, & ritorneranno rad. 1 80 p. 6, come prima erotteti Si ^ Et volendo fottrar raJ.j m. rad. 5, da rad. 5 fottra prima m. rad.f^ tad j m. r. 5 de p.r ad. y vfando ilfummar de rad. fard rad. io, poi cauanerad.3 re- V20 mi.) faranno rad. Ho ni. rad. 3 , & volendone far la prona aggiùngi rad. } m. rad. 1, con rad. 26 m. rad,j,& fard rad. 5 , comode prima peritando leve . , ; gole date . A gXxn.- • '•'» 2 .V ■ »,'j 20 p. ra«rjr «Et valendo fottrarVno recifo da vno binomio , come farebbe 8 m.raL 3, de xo p.rad.8 affetta ti minor fotto' l maggior, poi fottraSJt 20, refi a «ttu.» np* tf.rtfa l*,p.rad.t p.rad.f, perche fi ne fottrtm. 3 è porga, che ne retti 3 + depiù. Et nontrouandpfi alcma contmunicantia tra li nomi, che fi volato CO^ i'.t •; -tRur tonti nomi dalli qitldi fi vuole far la fottratione bi fogna, che fi faccia 5 •’ • iole firn attiene col termino del men, onde tal refiduo connerrd effer tatt -'■'-tinomide più quanti fono nel binomio, ouerrefidno che intendemo [oi\ ' 1 _ 'Ltrar, come difopradilji. _ : irar,comc aijuvra 1 1 - Et perche alcuna voltaoccorre nelle *4 Igebratiche operatami <r fòt- — — ’ - - trotina quantità maggior devna minor quantunque fia impoffibiUfimr x‘ ,n " plicemente confideranio ,ma perche a tale minonefi'gli afpetta^nalcht altra aggiorna per la quale non fard poi pofjibilt tale detrattianapertan * »•«•« tO noh bì fogna pigliarne alcuno fiondalo fé fratàntafi fitueaffipertpo\ ’bn * -godei termino del men alcuna quantità maggiore r tomedtamndofi^fol trar rad.S,p.x derad. 14 m.rad.iq,rrflerà ratb *4 wW. «d24i p'r'i4 8 p.x,cioè men, quel refiduo, fegnato cosi ( omero rad. 241 m.rad.l&p,t ■ p~;; m.rad.9, che Ivno & Poltro trinomio fimo eguali, kuptbltofafipW** rn>r 7 pi come vedi in margine . "\ i'.r,v.i:vl,MiSr.Ui Eir24PJJ4 £/ quefie operatimi fi pvfono far in ogni' forte faradici : j. r M ben fi batteranno amente li loro modi del firn* j t \ f am r t - mar,et fottrar, et cofit Mgorifm*dcl \ > < . ^ • ri p » , p. et tu. non fi potrà fallare, I «cita r. 2**1- la qual cofa era da .Cpo* ’m jxv.: ,s.~t v>», -j ?.tvi effer atmer \.i u ,va«-ì 1.14, i •;£ i«\VrtV ». 1 t n ■. a od Jr • fli&roTctóÒìjC i Min k\o)\v U6 V r. VI IM'WHV.U » U'MiMWlW^.i \„t V'/ Del multiplicar <Je binomii, 6C rccifiquale il terzetto dell-ÀIgorifmo. ;Cap. Xiil. • fiFantunque {ImultipUear de binomi! , & rccifi iwgarij , t-.i r i\ & molti-medi pofifia occcorrer nbdimeno,c/ji fumerà ben * • anmtt Udoi precedenti algori fm'i,cioèdcllc radica & • del più, & meno, non troucrd oleum difficoltà , maac- T dà, eh* e aittbora di quefloatto fi babbi*# iena notitia lo $ 'pffcinpfificaremQaimanepdn 7, motivali fcr ordine^ guano il primo farà a multipli car rena binomio per r>n nq\ne fola , come hantniòfi da mubipbcAr rqdA p.j fia \m(tfiil ìfiuto il q, fecondo il tpmmune cofiutne del moltiplicar ,e*r tira fiotto lo [olito linea, pot multi-, *- plicj%fia $ f, aramo is,qu<tlt metti fiottala linea eoi fiegnodelp^poimul^ &nfTfà tiplicarad-B fia 5 quadrando prima j petjifiufU multipli canti fii mprc ad 'una medcfima.naturj,C' (ptcie,onde batterai da moltiplicar rad, 8 fia ràd.1 farà rad. ìoo, quali metti fiotto I9 rigp, ,apprefifio al 1 5, (ir tale x s „ lv, produco forerai, loop. 1 5 Moltiplica. rad. 1 1 ni. j fia 3 1 effetti il } fiotto al recifio ? che hai da mul f M(n . tiplicarc,fi comefefii difopra co I binomio facendo il ) ,a quadrato per , moltiplicarlo con rad. 1 2, *fi tale prodotto farà rad. 1 08 m, 1 5 .... « * »»* nvij * Moltiplica rad. top.) per r.id. 5 metti fiotto rad. 5, al modo detto , (fi quadrerai fi farà 9 . (èT fiero andò le regole del p. (fi tn.talc prodotto fara rad. 1 00 p. 4s , cioè 1 o p. rad. 45 . «Pi tf lOpMj Moltiplica rad. 7 p.rad. j per rad. j offerua, come difopra fù detto co fif p M mirici andò a moltiplicar da man diflra "per fio man finijtra de chi legge, ta làd 1 le prodotto farà rad.xtp.rad.it. . r.. r Tu. pt.,t Moltiplica rad.yp. rad.c0.3per rad. inetti rad.? fiotto al binomio, 17 p. ntu.fi poi quadrerai rad. co. 3 /ara rad.q.cu,pf(fi cuberai pad, 1 farà rad. cuba »*d.» quadra S.poi moltiplica 8 fiag fura rad.co.q.-ji, qual metti fattola ng* r *4 p-r-cn. col termino del più, (fi poi moltiplica r*d. 1 fia rad. J.fararad. 14, (fi qoeflo metti appreffio a K>cu. q. 7 j verfio pian finiflra,& tale prodotto fia rarad.iqp.rad.cu.q.jì, & coti cfferucrai in filmili r educando fiempre li produe enti a vna medtfima Jpecic di radice con quella, che fi vuole moltiplicare, ^ Moltiplica rad.cu.70.rad.rcl.ua I per rad. $, metti il 3 fiotto, come r.cu.7 p r ie difbpra^ifi poi moltiplica rad.relata 5 fia rad. fi, ma prima r daterai ra. ,JM t 3 farà radice relata q.2\t, (fi quadrerai rad.relata 5 farà rad. relata r’ 9 quadra *5,0' faranno l' vna, (fi l altra d'vna medtfima /fi. eie, cioè radi ci.quadrat(. rclai erbora moltiplica l'r. ta fia l'altra, cioè 243 fia 2$ farà « •’ / i ‘ 2 rad. «m i DeH>AnB!icn0li£i rad. retati quadrata 607], qual metti folto la riga col terminodel pii , poi cuberai rad, j faà rad.q. cu. *j, ép quadrerai rad. cu. 7 farà rad.q: cu.Of9.hofA che fono ridotte a vita mcdcfmt (peci* moltiplicherai t vna con V altra, cioè a^r fiu^fyiatépmlurto (arShmtq^MÌ t ji j fjrad.re- * lata quadra 607 5, & così furai in fimiù . r «« rp- wd- Moltiplica rad. cu. 7 p.-rad.rdata 5 per j, metti il $ fatto come dìfo* 1C’U * pra,& per tnultiplicarlo con rad.relata, lo ridurrai a relato , & farà - — — - a 43, qual moltiplica per radice relata J farà radice relata 12 1 J , qual lelau 1 1Ì5 fegnarai fotte la riga col termino del più.poi per multiplicar .3 , con ra- dice cu. 7 lo ridurrai a cubo farà a 7, qual muUiptica con 7 cu. farà i%9$ & tate produtto farà rad.cu.1S9p.rad. telata 12 1$ , 0- così offer aerai nelle altre {fede . • * 1.7 p. itili j Moltiplica rad.jf.rad.rad.i per rad. } farai rad. 3 a rad. rad. fari Ta-» rad.rad.9i bora moltiplica rad. rad. y con rad. rad. 9 faràrad.rad. 45» nai p. i quai metti fitto la riga , poi moltiplica rad.7 fia rad. j farà rad. a r, Ò" tale produtto fararad.it p.rad.rai.tf,& così hai moltiplicato tuo bi nomo, per vno filo nome in diuerfi modi . • • 1.45 m.r. 17 Moltiplica rad. 45 m.rad. 17 per rad. 3. metti rad. 3 fitto alpropofh recifo , poi moltiplica li doi nomi faranno rad. 1 3 y m.rad. tt,& perche r.ij> xn.fl rad. i7i& rad .3 erano commuhicanti, potrai cauar la rad. de 81 , che fura 9, onde tale fumma fora rad. 1 3 5 m.9, & cofi tutte quelle chef ara , no prodotti da numeri communicanti produranno radice difcrete nelle : rad. quadre , & così nel partir l'vna per l altra , ma nelle altre fiecie dr t radice , come cube , & relate la conmunicantia feruhra folamente nel ' ** “ • i fummarle,& fottrarle,& così hai molti ejfempq di multiplicar vno bi - / ~7 > > nomh per vno nome filo, drquefloin doi modi ,cioè che tale nome può ef fir r ottonale, & irr ottonale . . ♦ ' «no modo il ter^o modo dclli 7 propoli farà a quadrare vno binomio , onero re 7>p. r. $ f duo, cioè moltiplicarlo in fi ìnedefmo , come fi bauefti a multiplicar 7 * 7P-M pr/iAqfa 7 p.rad.j,& queflo lo puoi far commodamerte in doi modi, P-r «4° P- 5 cioè moltiplicarlo a modo di fc bacchierò, & per crofetta, ma offendo fi- ?,£’ °“"f burnente de doi nomi lo moltiplicheremo al modo di erbetta, moltiplica*. 140 pTj,cioè do prima rad.$fia rad. 3 fare 5, qual metti fitto la riga col termino del 54 p. n* 140 p.poi moltiplica in croce faranno rad. 3 $ p. r.3 5 » Hua^ doppierai per rt- iur quefle dot rad.'m vna fila farà rad. 1 40, cioè moltiplicandola per 2 . • quadrato, quatè/\.poi moltiplicherai 7 fia 7 faranno 49, & haueraiprt main queflo produtto 49, p. rad. 140, p.f, & perche gli fono doi nume ri rat tonali, cioè 49, & 5, li fumtnerai infteme, & haueraiqucjla fum- ma ridotta in vno binomio, cioè 5 4 , p.ra d. 1 40, & cofi ojferuerai nell t rteifi , & multinomi], benché difitto de tutti ne hauerai lieffempi] • • * * Et valendo quadrare uno reeifi, come farebbe rad.j,m. rad.i par.y — m.rad. è • A Libro Terzo-? ! 127 m. rad. 2 metti t uno fono l'altro, & poi multiplica rad. 2 fia rad. 2/h- r_ m M{j^ * *,& quello metti fattola riga col fegno del p,poi multiplica in ero r.7 m.md.2 enfia 7 faranno 14, & que Ri doppi arai piultiplicando per 4 faranno 7ro.r.j6p"; p.rad.16, quali metti appreffoal 2 uerfo man finifira.poi multiplica rad. 7 fia rad. 7 farà 7 hauerai prima nel produtto 7 m.rad. 56/1.2, bora aggiùngi li numeri rationali,cioè 2, & 7 faranno 9, & tutta la funrmq farà 9m‘rad.q6,ondequadrando uno binomio farà binomio, elf uno re- tifo fimilmente farà reci fo nelle rad. quadrate, come uedi in margine, & ’ quefio modo è fondato nella quarta del fecondo di Euclide. Mà li quadrati dclli binomi), &• recifi,compoJli de rad.rad. onero, che . ' fimo di nomi fia rad. rad. & l'altro rad.ouero , che C altro fia numero , onero de rad. cube, onero relate,& mille di quefle diuerjc fpecie Jaranno trinomi), come per efperientia veder ai. • » • Hauendo adunque a quadrare rad.rad. 5 p.rad. 3 metti l'uno folto tal p-r.j tra, poi multiplica rad. 3 fia rad. 3 farà 3,& quejlo metti folto la riga col rf* P,nu* * fegno del p.poi multiplica in croce facendo rad.a rad.rad. farà rad.rad. 9 qual multiplica fia rad.rad.^ farà rad.rad.qi, qual doppiami multipli- * condola per rad. rad. 1 6 farà rad. r ad. j io, qual metti apprejfo al 3, da man fintftr a, &■ poi moltiplica ratLrad. 5 fia rad.rad. 5 farà rad. 1 ,& fa- ['*' ** rà in fummo quejlo trinomio,cioè rad. 5 p.rad.rad. 720 p.3. — — — Similmente fe hauefti quadrar e, quello recifo, cioè rad.rad. io m.rad. I’ V"*' * ’6+* % Metti l unufotto $Èftro , operando, come difopra farà quejlo trino - mio, cioè rad.rad. 1 o rn.rad.rad.6qo p.q.come uedi in margine. Et co fi fe rolefli quadrare rad.cu.j p.rai.cu .3 feruando le regole tcu.7 p.t.c.ì dette difopra, farà quejlo trinomio, cioè rad.cu.q9 p.rad. cu, 168 p.rad. r cu 7 Prc* cu.p. auuertendoti nel doppiare una rad.cu.di multiplicarla per 8 , cioè r cu'49 Pr- per 2 ridotto a cubo, et co fi o/feruarai nel quadrar ilfuo recifo, cioè rad. 1 68 p' r" cu.jm.rad.cu.3fardrad.cu.q9m.rad.cu.168 p.rad.cu.9, come vedi : ■ , " ■ m margine. 7 Etfappi che nel multipli care di qualunque fpecie di quantità, bifo - *. c.7 m r c. ? gna femore, che ciafcheduna delle quantità difotto multiplichi tutte le r.cu. 49111. t. quantità difopra, & poi di efji prodotti particolari ridurli in una fumma, «•■«** P ta* Jccondo la fpecie delle quantità , che faranno , 0 rationali, onero irrat io- cu^*9, na" di qualunque forte effer fi uogliano , & quello dico per non perder tempo nel efprimere ciafehaduna uolta il modo del multiplicare. tr-5 Prr-2 Similmente uolendo quadrare quejlo binomio derad.rad.cioè rad.rad. rr-5pr-- j p.rad.rad. 2 offeruando le date regole farà tale quadrato rad .5 p.rad. j,"5 *>r‘r' l*° rad.i6op.rad.i,& ilfuo recifofarà rad.im.rad.rad.160 p.rad. 2, co f'*'* fri me uedi in margine. ™ 5 L a mtdcfma regola ojferuarefli nelle rad. relate, & feconde relate, & . r m qualunque altra fpecie de rad. , il quar- a modo. i f’ tid * a p rat# t ;o p r.go Dell’ A ri ehm etica li quarto modo delti 7 difopra pronte (fi è a multiplicar mio binofoìj} onero recifo da vn' altro binomio,ouer recifo da lui diuerfo , come fé hai I miti a multiplicar 5 p.rad.^fia qp. rad.ì metti I nno fatto f altro bino* mio là andò poi [otto la linea (come difopra diffi,') & offeruando ledati, fi jop.uo regole trotterai, che farà qurfto quadrinomio, cioè a o p.rad. io p. rad. $ o p.rad. to,& quando nonni fono quantità comm unicorni li produtti faran- no tanti nomi, quante fono le quantità multipli tate, cioè quelli difotto coti quelle difopra. v \ » ”‘j 24 ** 3 volendo multiplicar rad. 34 p.j fia rad. 6 p. 1 metterai l'uno bini» H'- * p' 2 . mio folio l’altro, poi multìplic ale fecondo le regole datèdifoùra)&'fifran p rV6 p «54 nvPrima ^ur^° qnatrinomio, cioè rad. iqqp.rad.^p.raT^p.6, & éi7<an |g perche la rad. » 44, è i» ,alquale giontogli il 6 farà r 8, onde già batterai p.r. 294 ' ridotto li 4 nomi a 3. nomi, cioè ì 2 p.rad.n p.rad.96, & pereberod è communi caute con rad. 96 li aggiùngerai per le regole date difopra al r.iu.cp.r.f.j fuo luogo, & faranno rad. 294, & co/t bauerti ridotto il detto quatrùto* r cn < p re a mio a qurfto binomio, cioè i 8 pdrad. 394, & cefi offerutrai in fimili. \ ». <u. jo p *. Et hauendo da multiplicar rad. tu. 6 p.rad. cu. 3 fia rad.cu. 5 p. rad. cui tU' 1 5 * affetta ! uno fono l'altro al modo ufato,& ojjcruando il modo fopra dtt TttV " * ■ • ,0 troucraj, che farà, qurfto quatri/iomio , cioè rad.cu. )Op. rad. cu. 1 5 pi ~Y •/ ' f . rad.cu. ìì p. rad.cu. 6. ■ . < r'[ 5°pfr! Stn.ilmme moltiplica r.r.ao p.r.r. 3 fia r.r. 5 p.r.r. 3 faranno rad. r.io p r.r ij 1 0 P,r’r' J 5 p.r.r 60 p.r. 3, & cefi offèrnarefli in fai quadri, C primi 3 p.r 1 60 p r. j & fecondi relati^O’ in qualunque fpcciedi r adiri, inueftigando fctnprt fe 4 m r.t 20 m.r jo maroinr .ittftar-. m. r jo p rad. 10 r 24 m. j r fi m.a 1 f ni. r. 194 ' gli fono quantità comtuuuiianti, ouero rcducibiliaduna fin.plicc radice, li come r.r. 1 o oruol dire rad. io, et r.r. 9 vuol dire rad. $ , come difopra ' in margine appare. Similmente voloido multiplicdrvno recifo fia un' altro da lui diuerfo . cambiar ai fidamente tornirti dclpiu in m. fecondo le regole date, come • fe uelefti multiplicar 5 m.rad.) fia qm.rad.2 farà 20m.rad.iom.rad» • qóp.rad. 10. >1 ;* • Et cefi uolendo multiplicar rad. 34 in. 1 p.rad. 6 mi. 2 fummàdo le quau r r °< ni r.c" 2 tn* ec mmH,,uant' » cone difopra fk fatto netti fuoi binomi) , faranno i $ TuT-o 'ni i mra<l.‘19^ qual tril fuo recifo , et uolendo multiplicar rad. cu. 6 m.r ad» cui 5111.1. cu. cuffia rad. cu. $ ni. rad. cu.2, operandoper Icregolc date difopra farà, 1 2 p. i.cu.4 qucfto quadrinomio, cioè rad. cu. jom.rad.cu. I ; ni.rad.cu. ì a p.r ad. cu. 6 icu fl pjtCT F.t fimilmente volendo multiplicar rad.cu.q.9 m. rad.cu. qi 4 fia rad. tu-q4 . cu. q. j m. rad. cu.q.2 affetterai f uno fiotto l'altro, et per eftrr d una me» i njq jrat. definì fbccie Hrnulùpltcherai, come numeri fimplici, et faranno prima- il-0' - -■ — mente, qurfto quadrinomio, cioè rad.cu. quadra iq m.rad.cu.q. 1 a m.r ad» "’mrcu X<Utl'*Pr*d. CU.q.2. 1 1 p.r. 2 Ma perche di l primo, et ultimo nome fi può cauar la rad. cu. et non In < i,s . quadra «MttliiiK ' ' ' ' l( n }{ i* Il h. i jìUbfó Terza.! 12* punirà includer ài, chetale prodotto fitfcia rad.f m.rad. cu.q. (a »//. tad. cu.tj. 1 %,p.rad. 1. Uu • •Similmente fcvolefiimuUiplicnrraJ.rad.tom.rai.rad.; fia rà. ra. rm, i| w.hr. j affetterai t vno fatto t altro, come negli altri fù fatto, & fcr f T } n>-r r^ le ragade del fuo genere faraona prima quefio quadri nonno, cioè r. rr ,0° m-rr* r. iot>», r,n 1 sm»r,r. 60 p.r.r.p, & rejUingtndolo aUe fue fimplict ÌVr’/’doi raAci , otte ft può reflringere fari r. ro w.r.r.i 5 fli.r.r. 60 jfttffe j, dr r,o mir.i, quelli e/femptf bafiino quanto al moltiplicar dot diuerfi binomi j, óutrm.1.6» p.t.j recift. Il quìntomodo delti. j » danoi promefft e a muhiplicar -uno binomio fu vno refiduo, dr quello, può occorrer in doi modi , cioè ouer che faranno egualtdi nome, onero ineguali, fé. faranno eguali,& de r. quadrate, cioè t*d.t p. t. .« della prima fpecie, ne venir à de tale pradutto vn numero r ottonale per nd t wu la 1 1 j, del decimo di Euclide, comefe volefli muhiplicar r.g p.r.% fio fa «.m.t» il fuo recifo,quaÌè r.tpn.r.2, metti il recifo fatto al fuo binomio , & co *• tnincia muhiplicar rad.t fia rad.2,dr farà a poi,perche le multiplicatio ni in croce fono eguali, drlrnaèp, & l’ahra è men , fottrandok una de I* altra reflanno nulla in orni forte de radici , rejla folamente a muhipli- cor li primi nomi,cioè rad.9 fi* rad. 8, sfaranno * talmente che l ditto prodotto farà primamftc i m.z,cbe vuol dir. 6 qual è r ottonale, & così ^ ■■ v errano quelli di numero, & r ad, come 6 p. rad.t fia 6 m. rad.*, faran- , J4* • ,4 Ma volendo muhiplicar rad. rad. io >p. rad. rad, 2 fia il fuo recifo,cioè rrto '• rad. rad. iO,m.rad.ratLx,oJferitando le regole fopradette faranno recifo r.r’zo.m.r.r'~ ■della prima fpecic,cioè rad. io, m.rad. 2. t *o m.t.t Male rad.cu.gjf relate no cambiarono fpecie quando li bittornij faran r.c.«. p r.c.2 *0 multipli coti con li fuoi proprif rtcifi, comefe b.utefli a muhiplicar rad. t è.Ojm.tx.z cn.6 p.rad.cu.t fia rad.cu.6,m.rad.cu, 2,farà rad.cu.{6,m,rad.cu.^.et r cu js, m 1. cosi rad.relata 6, p.ra.rdata 2 fiarad.relata 6,m.rad.rcLata 1, farebbe ™ + <ncd.relata 36 m.rad. relata.\, & cosi offcruarcfli nelle ahre fpecie da r.rcU, p.r.re Ccfie defeendeuti, come fono feconde *, 0 terre relate , & cube de cu- Uu J‘r KÌ?‘ 0C. ,T u 6,m.r rel.z Mafcl binomio non farà eguale al recifo,come fe hauefli a multipUcar r f L }6, m•,• q,p.rad.6 fia 5, m.rad. i. affetta l' vno folto t altro, 0 offer nandù lerego ** * fe ■■■ le più volte addutte fura quefio quadrinotnio,cioè 5 .fi.rad. I $o,m.rad. ?^t z p8, m.rad. n,0 qiirjìt non fi po'lfonu ridar amanco de quatronomife no n.r., JO incafo, che gli fuffero quantità communicanti per rifpetto della d'tuer fi- xtLiitjau ri* tàielbiquantuà. * • ^ 2~; Et y olendo muhiplicar rad. to, m.q, fia rad. 6, p. 2, affetta tutto folto ró.p » •J altro, {ir opera amodo ditto farà quefio quadrinomio , cioè rad.i 20, p. r.i2o,p t.*o 'Jrad.80, m-rad.$^, m.6. .e.. m.r.j+,m6 ì» **C'; ì ‘ * Et DtirArithweiica t.xo p.5 Et volendo multiplicar rad.iop.i, fi A Tài.%m.rnd. IO affittatimi x g ma io fitto t altro. poi moltiplica C uno doppo l'altro al modo [olito, cr farà tale i.- 640 p.40 produtto prima rad. 6 40 p.qo,m.rad. i oo.m.rad. 1 so, ma, perche fi'può k> i- 100 in. c avaria rad.di 100 ,qualè io, qual fottratta de \oreftanno^o,il ditto r.j 50 ' predetto fi ridurrà primamente in quefto trinomio, cioè rad. 640, p. $0, docjop.r.90 m^radm2^o,&poi veggo anchora,cbe6^o,Cr 2 so, fino communicanti t • 1 . per queflo foltraro ràd.'i'so,detad.6+o, & retlurà rad.g^yond efori fi- * . P r‘ 0 nalmerfte ridotta a quello binomio, cioè soyp.rad.90. <J "tp • tltì ma!* Et y olendo multiplicar rad.S,p.rad.lo,fiarad.6,m.rad.2. multipli - lì 4g j>. r 6Ó. «*' per te date regole faranno rad.4V,y.rad.6o,'imraJ. 16, m.rad.xo, rn.rai.i6mi cioè, raJ,qS.p.rad.6o, m.^,m.rad.ìO, qual è fimilmente quadrinomio rad. 20 • ’ , ma fi è canata la- r ad. r ottonale del 1 6, che fece 4; cr per non abondar tu _ . v_; ‘ effcmpdj fuperflui il medefmo modo offer varai in natele altre fpecie de radici . ?i.*« a. . < ■3^wu.j ,s.tun'i w 6. modo. Ilfeflo modo delli 7 ,propofti principali modi <fe multiplicar binomtf et recifi, è a multiplicar uno binomio over recifi fia rn multinomio,comc . *°P -^Pr^ fe hauefli da multiplicar io, p.rad.6,p.rad.j, fia s,p.rml.i, Crpertffer - P~ 2 — - ut molti nomi farà più commodo a multipli Carli a mòdodifcbaccbtro,ho p°f.£ p 'S ra metti Ceno fitto l'altro maggiore per piùfaaltta , cr faranno soy. aoo p5hi2 rad. 1 so,p.rad. ys,p,rad.200,p. rad. ix,p.rà<L6, citofono 6, nunuprov p.rad.6 . 4uttt fam ? , di/opra fiali 1 , difètto, che fanne 6, nomi conte difopra di fi • 1 per trouar il numero de nomi alpiù,ihe poffono effere,Mafe nel produtp to faranno quantità commvnicanti, che fiano fegnate col termino del più ouero col termino del men,li fummarrfìi feconda lafua regola, & fi l'uva '■ rr < . fuffefegnata col termino men, etl'altradelpiù lefottrartftitruudal'al ~ tra per la detta fua regola, Cr rtftarbbono manco nomi j t.is'.tu 1 v : Similmente volendo multiplicar il f addetto, multinomio , cioè èad. »o a“T| 77, p.r.óp.r.j , per il fio reci fi, -cioè per fnr.r.i, fi procederÀper cime jo,p.r.6,p. r. j defmo modo feruando le regole dell' rigonfino del più, tr meno , Cr tro- f-s-™ r-x virai , che farà so p.r.t so p.r.qsm.r. 200 m.r. 11 m:r.6,ouero . J°,p r.i >0 dirai, che tale produtto farà 50 f.r.150 ^.r.75 men( r.zoo, p.r. 12 P- *7 i p.r. 6, cioè men quefto fecondo trinomio fatto del produtto dem.r.ijCÒl mir.uini.r.o iett0 multinomio, & peròlhauemo fegnato col figno vfato difoptra a modo di parente fi, Cr farà equivalente all' altro produtto , ma qneflafe* tonda è più elegante ri fiofla, come per te fleflo puoi provare fingendoti . multinomi i, Cr- recifi de quantità rationaliji come prima fu fatto nell’ - n ^ilgorifmo de più, Cr meno . > Et bauendo da multiplicar r.CH.9 p. r.cu, 4, p.r. x , per r.cm 1 6 m.r. cu. 3 , allctterai il recifi fitto al detto trinomio y ouero qualunque multi - '•'Ì 1 - nomio fujfe, & multiplicherai fecondo le regole, Cr modi , .più volte date, Cr farà prima quefto multinomio de 6 nomi, de quali 3 .fai anno prodotti À • Libro Terzo. I 129 produtti dap. r.cu. 1 6 fegati co! p.& li altri j produtti dal m. r.cu.}, faranno fegnati col men, che il tutto prima lìar.ì così, cioè r.cu. 144 p. r.cu. 64 />- r.c«. ?. a 048 m. r. cm. a 7, m. r.CM. 7 1 > come vedi difotto , wad.cu. 9. p.r. cu. 4p.r.% r..>- r o: rad. cu. 16. m.r.cu.} ^ . T racLcu.ij+.p. r.cu. 64, p.r. cu.q. 2048, m.r.cu.iy,m.r.cu.i2 m. rad. cu, q. 73. il#4 perche fi può cauar la r. eu.de 6 4, qua tè 4, &la rad.cu. de 37 , qual è j^qual detrattole 4 retìerài, onde remeranno 5 nomi , quali fo- no r.cu. 144^.1, p.r.cu.q.104%, m.r.cu. \i,m.r.cu.q.ji , etfempre bi fogna inuefiigarfe gli fono quantità communicanti per poterli fummar, ouer fottrarl'vna dall'altra per le fue regole difopra infegnate. Et ti fet timo modo principale , cioè del multiplicar vno multinomio per vn altro multinomio, per non effer differente dalli altri fe non nella quantità delti nomi , non lo ejfemplificheremo fe non con vno folo esem- pio dedri multinomi! de varie Jpecie de radè compatii pàr maggior m- ftruttione . Ter tanto poniamo, che haueffmo da multiplicar r.r.to, p. r.cu. t 6, m.r. 8 fiar.r.q,p.r.cu. 4, m.r.%, metterai t vno fotto l altro,& multi- flicherai fecondo le folite regole , & modi , come per tanti ejfempif già dati molto bene puoi hauer intefo , & farà prima queflo multinomio de p Homi,pcrche 3 nomi fa j altri nomi fanno 9 nomi , come nella regola vniuerfaliffma del multiplicar dijfi difopra, quali fono r.r. 100 , p.r.r. cu.q.yijiooo,m.r.r.^>o,p.r.r.cu.q.204Zooo,p.r.cu. 64, m.r. cu.q. 8193, m.r.r.So,m.r.cu.q.i04S,p.r.i 6. r.r, io, p.r.cH. 16. m.r.S , r.r. 5, p.r. cu. 4. m.r. 3 I ■ .1 i ‘I p. r.r.\oo,p.r.r.cu.q.'jiiiooo,m.r,r.ilo. p.r.r.q.cu.i04$,p.r.l6. Et perche r.r. too, vuol dir r.io,& r,cu.64,vuol dir 4 ,et r.x6, vuo le dir altri 4 , fi ridaranno fidamente a 8 nomi , cioè r. io, p.r.r. cu.q. '*}23iooo,m.r.r.}20,p.r.r.q.cu.204$ooo,m.r.cu.q.iipi,m.r.r.8o, m.r.q. cu. 3048, p. 8, il quale multinomiopiù commodamente fi multipli card a modo di fchacchiero , come nella feguente feconda moltiplica - tione vederai . \iv Kf, r.r. 3 : i Dell \A ridi m etici r.r.io, p.r.cu. ié, m.r.t r.r. j p.r.cu. 4, m.r.* m.r.r. 80 m. r. cu. q. 204$, p.r. 16 p.r. r.cu.q. 2048000, p.r.cu. 6 4 m.r, cu.q. 8 1 91. p.r.r.xoo.p.r.r.cu.q. 7232000, m.r.r.jio. fumma p.r,r.cu.q.723200o,m.r.r.So,p.r.cu.Ìft,m.rjr.32,nt.r. cu.q. 1048, m.r.cu.q.% 1 i.r. 1 6. p.r.r.ioo.p.r.r. cu.q. 2048000, quali ridotti in 8 nomi fanno , come difotto. C toc rad. io, p.rad.rad.cu.q.72 j 1 000, p.rad.rad. cu.q. io 4% 000, in. rad.rad.120 , rn. rad. rad. 80, m.rad.cu.q.ìi 9i,m. rad. cu.q. 204$, p.S, & perche, nel fummar vno multinomi al modo , che fi fi ammano le mul- tipli cationi fatti per fchaccbero , cioè cominciando da man defhra yerfo man finiflrapotrebbono ejfer tante , che non (larebbono in una fola riga però meglio farà a cominciar a fummar da man finiflra yerfó man de- flra de chi legge, perche fi potranno difender ordinatamente feugafert- uer indietro, alia Giudaica. Toifia auertito all' inuefligar fe in taliprodutti fono quantità comma uicanti,& tali fi debbono aggiùnger ouer fottrar fecondo, che b fognar a, feruando le loro regole ordinarie ampiamente date difopra nel fuo trat- tato, & queflofia ballante fin qui quanto olii predetti. 7. modi del molti- plicar binomi; multimonu,cr recijfi. Del partire de Binomij , & reci/ì qual è il quarto atto del fuo Algorit- mo. Cap. XI III. — 'j • . .*>0 . .-t.f . I 1 .. [ Erche,il partire , è atto oppofìto al multiplicar,per tanto fi farà in tanti modi l'uno quanto C altro , perche come dice,il Filofopho , quoc modis dicitur vnum oppofi forum tot modis dicitur, & reliquum . et imperò H partire è la nera prona del moltiplicar , et il multipli- car del partire,percbefono atti conuer libili, fi come nel ladichiarationene degli altri ^ dlgorifmi ampiamente fu detto, et perche fccon- i t. Libro Te kzó. 130 fecodo il detto del Filofafo, cognito vno coorrarioru facile cognofci- tur, Se teli quii, feu^a far longa efpofitione del partire otte farcivo aba- fla-fa li ejfempij li vf aremo, et prima quando fi vuole partire uno binomi» ouer rccifcouero multinonic per un Jolo nome ,et poi gli altri modi prin- cipali andar emo di mano in mano dimafirmdo con regole, et ejfempij. Toniamo adunque, che tu fia propofio di partire , quelle trinomio, cioè rad. 6} p.r.r.ioop.njt,! comincia da man finifira uerfomaa deflraa partir l uno, & poi l'altro di nomi del binomio , ouer recifo , ouer multi- nomi, che vuoi partire.adunq; parti prima rad. 63 per 3 facendo prima Ì a quadrato, & farà rad. 9 per farli duna medefma denominatine , dr ne venir à r. 7, poi farai il detto 3 partitore a quadrato di quadrato, ouer cenfo di cenfo,come nell'algebra fi dice, & farà r.r. 8 1 hor parti p.r. r. 1 00 per r.r. 8 1 ne venirà p.r.r. 1 -j? , poi parti p. tip 3 ne venir anno p. 4, onde ditale partitine ne venirà quefio altro trinomio, cioè rad.j p.r.r. 1 £,p. volendone far prona multiplica il detto trinomioper il filo partitore,cioèper 3, & faruando le regole date del multiplicar de binomij, & del piò, Cr meno ritornerà il trinomi, che fa diuifo,cioé rad, dj p.r.r. tot* p. ti, come vedi difotto in opera. & quefio folo ejfempio ba flerebbe in quanto per infegnar a partire ano binomio , ouer recifo , ouer multinomi per una quantità di un fai nome ,‘rna per maggior infir unio- ne propongo anchora di partir un multinomi di diuerfe Jp cete de radice comporle per una quantità ir rationale d' un folo nome , come doppo Ccfa /empio di quefio uederai con doi altri ejfempij . 1 i *V>4*Wd -r\a rad. rad. 63 p.r.r. 7 p.r.r. 9 100 p. ir * -£/>• 4 nr.Si 3 prona rad. 63 p.r.r. 100 p. iz W « J. 'V.'v.'v' , ... - .. ^ * •» » - \ '* I ♦* % ‘ * 1» arti 18 p.rad.90 m.r.r.uo p.r .cu.óopr. y farai prima 1 8 <x qua- drato farà rad.jiq, qual partiper rad. j ne venirà rad. 64 -fa poi partii rad. 90 per rad. 5 neuenirà p. rad.18, poi parti m. r.r. io per rad. 5, ne- venirà m.r.r. -fa, poi parti rad. cu. 60 per rad. 5 quadrando rad.cu.60, che farà rad.cu.q. 3600, & cubando rad. 3 farà rad. cu.q. 1 1 5 per il qua- le parti r.cu.q.36oo,ne venirà rad.cu.q. 2 8 -fa, pertiche di detta parti- tione,ne venirà un'altro quadrinomio, cioè r.ój-fap.r. 18 m.r.r. -fa p.r. cu.q.t8 -fa , et volendo prouar detta partitine multiplica ciafcuna quan titàper qual nome, che fa partito, & ritornerà ilmedefmo multinomi , ouer recifo, che fa diuifo,comt difot lo appare in figuratine. Kh. » rad.i DeirArithmetlcà . ' I ig p. r. 90 m.r.r. ao p.rad.cu.6o raa •> I 18 60 r4<f.5|?a4 r.^.c«.|i2 5(3<Soo | 28 ». rad.64-}- p.r. 18 m.r.r. -\-p.r.q.cu. 18 -f- rad.5 rad. 5 r.r.aj rad.cu.q. 115 rad. 3 24 f.r.jo m.r.r. 20 rad.q.cu.}6o ‘ ufj.t a i.run ( i ui * * O *1S* fi ? O * Ma quando hauerai multiplicato per rad.^partitor dealcurttnomi bt - fognerà cauar la rad. come multiplicando r.6q. -f- per r.^ne venir à rad . -, 324, del qual cauerai la rad. & ne venir à 18, & moltiplicando rad.q. cu.18 per r.<,.ne vcnirà r. q.cu.jóoo.cauanc la quadra farà radxu*, 60, per che la cuba non fi può cauare, perche 60 non è numero cubo, onde hauerai prouato la detta partitione, & ritornerà il multinomi , che fu diuifoyrio'e 1 8 p.r.90 m. r.r. 20 p.r. cu. 60, & cofi farai nelle altre fper eie de r.eome relate, & cube de cube,& feconde relate,& altre in infine to, & fe delle partitioni ne venir anno quantità communi canti quelle ag- giongerai, ouero filtrerai fecondo, che farà bifogtiopcryia delle fue re- gole date difopra , che quiui non trouer ai altra difficultà fapendo lecofe precedenti quanto al partir per un folo nome. Et volendo partir 6,p.r.cu.io,m.r. 1 o,per r.cu.2, farai 6, a cubo fa- rà ai 6, qual par ti per r.cu. 2, ne venir à r. cu. 1 08 , poi partir, cu. jo, perr. cu. 2, ne venir à r.c.if, poi parti m.r.to, per r.cu.2 cubando ilio, & quadrando il 2, ne venir à m.r. quadra cuba 2 jo ,chel tutto far a cà sì r.cu. 10%, p.r. cu. 1 5 ,m.r.cuaj. 2 50, laqual partitione fimilmente prò ucrai multiplicando il numero proucniente,per il fuo partitore,come ve di di/otto . rad.cu.2 6 p.r.cu.io,m. r. to 6 IO ì 6 6 100 IO 4I 1000 216 l 250 2 r.cu . Libro TcftélC ni T.CU.loStp.r.cu.i q,m.r.q.cu.2$à^ ; V a . » r.cu.1 . ....... . . i . . • ... ■|nM ■ 'vi* «», C\jj> r.CM. ii 6,cioh6 r.cu.q. iooo aì, , r.cu, 6,p.r.cu.jo m.r. io Et fappia,cbe non è differenti in dire radice quadra cuba,& rad.en. quadracene be dellifuoi prodotti alcuna volta fi può cauar folamente la raduuba, & non la quadra , & alcuna volta folamente la quadra , & non la cuba,& fempre finita la operatione fi deueno cauar quelle , che fi poffino.per dar più chiara rifolutione parti fimilmente rad.rad.6o, m. i,per rad.rad. 3, trouerai , che ne verrà qutfl' altro recifo, ciokrad.rud. io,m.zad.rad.^ -f-, come vedi difotto con la fua prona . t I r.r.6o,m.t s. * 4 1 r I r.r.io,m.r,r.y-fr 1 4 - - 4 lH* *.*> ... . ; 5 + Dé partir vna quantità per vn binomio . T X/f ^ "Polendo partir una quantità per vno binomm,oucr recifo ì nccef AVA fario trouar vn numero, che multiplicato quello binomio, ouer re. afo produca numero rationale . Et per trouar effo numero fi mutano li termini del piundli termini del meno, & ilmen nel pin(come per effempio) volendo partir 16 per rad. i,bt fogna trouar vn numero, che multiplicato col detto bhtomio prò - duca quantità d un foto nome o fia rationale onero irr ottonale gene talmente in ogni forte di partir per piu d'un fol nome , & per trouarfi 1*r<u del binomio il fuo recifo, &fel fuffe recifo ne farai U fuo binomio * multipUca adunque l,p.rad.i,per il fuo recifo, cioè per 5, m.rad,z,per li modi datti del multiplicttr, il che fi farà breuemente filtrando il quadra- to del minar nome, cioè il quadrato derad.%, qual è 1 , del quadrato del maggior nome qual quadrato è i^reflaranno ì3,& quello fi caua dalla l'J, deldfC‘r»o di Euclidei quello 2 j farà partitore, fimilmente mul- tai,cavai la juànutafihc fi vuol diuidere, cìol il ^6, per ilmedefmo reci fi, per ,1 quale multipluafli il binomio, cioè per j , ni. rad. 2, accio fi ferui la medeima multiphcita,cbc era tra il partitore, & la quantità, che fi v0 le partire per ladecmiaottaua del fettimo libro di Euclide, & ne venir* quisio altro recifo, cioè 1 80, m.rad.2 yj2, qual poi parti per 23 feritali do ; 1 Deti'Arithirrètica io le regole date de partire ne venir* 7 ». rad .4, cefi offer. uarai in fintili, come vedi difetti per operationc.la prona farai multipli . cando effo proueniente perUfart icore, cioè per ferodi 2, ne ueniranno, $6,come fu propollo. oooi.f.v. , Vìcn t bir i Ì\ .. .’.C a 1 ! ' — — }6 t$o,M.r.t$pi — 1 % uy.nt^wo»bvjfc^3w:Ui.i ' » t • inV vity*' \ <ù «i»'! ■• 1 k itf ' • .w «o< ye '.i ..V'V«V."iì' '■Viri' ; <\W.ó\n v;V\fa 1 r-' 10É ><\ Vj*k " 5 $ rtiMittt ■; - — . • w vO » ! 1-1; O* i\jk : • r*f Vv j, . - 'j- J «Jf-C 387 a|o r. » ? + % ? b:. e ■ — T-4 * » 5 9 2 * 8 * \ S » 1 4 I t i 441 f 8 + m. r. j <£- 5 P- r- * 7 7 4f , *H — 7 ; ■ — ■ ' J/~" v.f *r? 4 4 i ‘-)J ‘ 41 -f w». i'. ni, p.r.u}6 & fy', 9 * m.r 1 1 Ul 3 m.r. li * * * * jij j j <Vf ry-- • -r ù«in btj u® 1 9 V‘-v *•’ ' 4 $ 9 1 4 & m x M' * Et acciò pappi fecur amente fot qnefla proua,multiplicherai 7 |f- men rad. 4 fa vm. rad.*, farà prima qjtefto quadrìmonio, cioè 39 ij-ww» r<K/.i22^m. r.9. p.r. 1 1 » $$ . Et perche la feconda , & la quarta fono eguali, & ? vna èm.& l'altra p.fe annullano Ivna l'altra , onde ne tefìerà folameme queflo recifojioi 3 9 jj-m. r.Q&,et perche di quefio vt timo nome fi può cattar lafua radice, qual ferà j v\- quali fegnata coirne, per tanto fotenndò 3 if- * 3 9 *f- » M r faranno 3 6, qual fu il numera diuifo , Ó" così trotterai li altri inuefligando pel fi può cenar alcune ra dici,& poi fel fi può aggiunger, ouer fottr or alcune quotiti comuni cauti» Talli 1 a\ * "tr t 1 .p'*» ?-£ ì V-i- ri ' .^''n Del partii; vn binomio per vn altro binomio . 6«l( a>' r\ viv \m.\ ■ •' '• ■ Sì potcua in quefto tuogoproponer di partir vna quantità fola, onero di più nomi per vno recifo , ma perche mtepo il modo di partir vna quan- JLihioTBrtòibG i2< quantità , per vn binomio facilmente fi può intendere anchora il modo di partir per orno recifo, per tato per non abbondar mfuperfhti cjfempu. oue vna regola fatisfi per molti , proponerò vn' effempio di partir nano bino- mio per -pii altro , il qnbl modo ben inti fo {aprirai anchora partir vn re- tifo per vn altro recifo,& "uno binomio per vn recifo,& conuerfamente yno recìfo per vn binomio, perche le medefme date regoli feruir apoju tutte quefte varietà demodi , che fi può imaginare , pur che pano draik medefina jpecie di radici , ma quando faranno poi di diucrfe jpeciede fa- dici,comede r.r.& rad. cube & relate, fi procederà neldiuidert per re- gole diuerfe,comc difetto a pieno intenderai . k-Ror poniamo , che ne fia propofio dipartire i oo, p. rad- io, p.rad.t. "Prima perii mododeiUprecedente, troverai vna quantità, che multipli ^ cdta per rad. io. p.rad.t, produca numero raùonàle onde troucr (finche v quella ferà il fi/o recifo,cioè ■ rad. 1 o,m;rad.t*hc moltiplicata fi.t rad. io> p.rad.t, farà 8 qual è mi fido nome, et rat tonale qual fcruataper tuo par titore,poi moltiplica 1 oo, p.rad. i Oj per il mede fino recifo , fioè per rad,, lo. m. rad. 2 ,per la ragion della decimaottaua del fettimo di Euclide * et farà rad.\ooooo,p.rad.iOO,m.rad.iOOOO,m.rad.toilqualquadrim mio partirai per $, che difopra fernafli ne venira queflo altro quadrine** mio,cioèrad.fi6*'-{- p.i m.rad.ì la rad. -fo, et volendo pr ouar effa partir ione multiplicarai il detto quadrinomio per il fitto parti tore,cio 'e per rad. 1 o ,p.rad.2,et ne donerà venir la quqntità,che fu divi - fa,cioè, 1 00, p. radice 10 operando, come fu detto nel multipli far de bitta nif, et recifì, et come vedi di fiotto. : . ' „ ■ . ; numero pervenire rad,i$6% -£■ p.l rad. 2 1 2 -f- m.rad. | ^ Tar litote rad.\o,p,rad.-i ■ "■* •■'■■■■• . 1 1 » T rad. 1 562 Syp r.^,-f- m.r.6t^m.r.-f- p.r.i j.-J- m.r.j 125, p. rad. 2 1 » 5 ,et levando le quantità eguali, quando luna è piu, et l'altra è m. refìarà prima queflo quadrinomio, cioè rad. 1 5625 ,m.rad.-\- p.rad. 2 5 -f- ,poifòttrarai m. rad.óx %,derad. 1 5 6 2 f> per che fono communican ti, et reilar/trad. iooo, qual è 100 poi fott tarai m.rad. \-derad.i j -j- al modo detto nel foUtar de .rad.communicanti,& reftaràrad.io, onda finalmente farà la qmxntita che fù divi fa , cioè 1 90 pjraxLio , fi come fu propofto,& così furai,cr proverai le f'mili,& queflo fummare , & fot - trare de rad. communicanti fi può far per J Fregole datt e difopra nel fina algori fmo. Ma la più commoda mi appare la terga Fregola, & così me-' diantc quelle operai ioni fiiperai variarli in molti modt,fenga che più di’, tra mi eflenda in quella fpccie de radici. r. \ 1 O 1 6 De Libro Terzo.* ■" ’ ■ ■; : • + 6 p.r. 7» p.ì m. i 4* r.4oop,r,joo,m.r.*oo r- 72 P- 7 r. 72. m. 7 \9.Qa r. 72 m. 7 r. 43 2 00, p, r. n5oo, m. r. 14400 49 m. r. 29400, i».r. 14700, />. r. 9800 I 3 J 49 6 7* 49 fanno 49 3 *47 49 2 9800 *440* |no * X X 4 fi X X X ®l4 4 X ^4» * * 4 fi * X * X fi XX fi fi 4 X X X li* x X * X jU ~A ttr &.«•», < 4 * » fi o 3 5 „ f X fi * X X 6 X t 4 4 X X fi * * X X X * X i\s xupm X X 2 XI XKfi jJi. iln Gl* *47 » 3 » 3 6 9 4 4 6 1x 519 9? JÌL *X*+ i_ x‘x x j>|® 1 Ili j|4 XX* fidanti* «|4 3 *4X**\t7 4|« 3 *xxx *xxx *x *x Auertimcnti circa la proua del partir de binomij,& recifi. MA auuerttjfi, che di tale multiplicatione ne verranno 18 nomi par te fognati colm. & parte col p. & quelli, che faranno eguali in quaruità,& chetano far a più , & [altro meno Ci laveranno da parte- perche rtflano nulla, & poi confiderà, quali radici fono ratìonali,efferi- tnentàndo,col cauarle,et ridar tutta laquStita rat tonale in -ma fiamma , & dnchora inueiiigar quali fiano comrnunicanti fra loro, & quelle fura- marie infieme, ò fottrarle fecondo il bifoguo, CT fe due faranno eguali , Li &fc- , Dell'Anthmctica & ferriati, con vn'ifteffb termino, cioè ò del pili , à del meno , baftera a dop piarle, cioè moltiplicarle per 2 fatto a quadrato, & cefi fi andar anno di minuendo e(fi munì talmente , cIh ucli'vltinu operationc reflerà la quan- tità , che fili partita , qual fi* 1 o,come anchora nella precedente fu ope- rato,cbe per breuità ti lafiààquefia prona per tua effiercitatiane , & in - iufiria. Auuertimenti. • Sjtfpia anchora, che quando fnjje propofìo partitore difficile da ridur aduna fola quantità , qual non fapejli ridurre , allhora ponerefti la quantità da effer diuifiafioprauna virgola , et il partitore fiotto efifariga, ouer virgola,et in un fiubito haucrcfli data fiolutione a tale diuìfione<Ji co- me fi fa nel partir un integro minor per un maggiore, qual fi ragprefcnta a modo de rotti, come fie alcuno dicefse partimi . rad. 4 8 p. rad. cu. j. per r. 1 j ,p, r.cu.6 m. r.q Direfili,chefà rad. 48 p.rad.ctt.j. rad.ii,p. rad. cu.óm.r.i Et queffo modo fi ufa nel fioluer molte queflioniper Algebr a , per che fi trouano molti termini diuerfi , et quafi impoffibile de partir per al- tro modo. Del partir vna quantità per vno binomio ? ouer recifo cubo , ouer mifto di radice cu.òC quadra. ET per che non fi può tuìdenttnente canore" da Fuclidril tiadfidipar tir una quatità per uno binomio, ouer recifia cubo, ouer mifto de rad. cu.& quadre , ouer retate, et altre fipccie di radice,n'e da alcuno „ Ruttore v ebe io fiappia , è fiato mfegnato . Ho uolnto in queflo Trattato dar regolo per la quale potr affi trouare una quantità,che multiplicatafia vno bino- mio cubo,o derad.rad.ouer relato, ouer mifto dtquefti,produca quantità rationale. >v/ Come per effempio,pongo,cbe uolcftipartire io, per rad.cu.6ip.radice 0».4, bifògna prima trouar vna quantità , cbcmulupUcxtafixdetto bino*, mio produc annumero rationale , & per trouar la bifogna prima trouar j f quan- A. rlàbtoTiottO^C] 1 3 4 fuintità contìnue proportionah nella proporùone , djeidarad.CH.4 i rad. cu. 4, onde operando al modo della feconda dell ottano di Euclide mul tiplicarai la prima infcflcffa.cioè rad.cu.6 farà rad.cu.^6, poi effa prima tnultiplica fiala feconda,cioè fa rad. cu. 4. farà rad. cu. *4 poi moltipli- ca la feconda mfefaoè rad.cu .4, farà rad.cn.i6. per il che hauerai tro- fate Quelle 3 quantità, cioè rad.cu. j6,rad.cu.t4,& rad.cu. 16 , con li qualimukipUcarai rad.cu.6, p.rad.cu^, ma prima fegnarai la feconda tditcrnino del w«,dr/’ altre efireme col termino del più. ondemultipli - tarai rad.cu. 36, m.rad. cu. ìq., p.rad.cu.16 , fa H detto partitore , cioè Yad.Cu.6tf. rad.cu. q,& produrrà quefiv feinomio , cioè rad.cu.i 1 6,m . radati, Ispirai. cu.96,p. rad.cu.i 44, tu, rad. cu. 96, : p. rad.cu.6 4, qual finti omio defalcando li,mrleUi più,cr J'umniando le rad.rationalicnhe,tro Mrflfaefarà 1 o,qual falua per tuo partitor , far a moltiplica anchora ìi « Qtfbe tu uoi partire per la detta quantità trinomi ale trouata, cioè per t*d*U.j6,m.rad.cH.t+>pjrad.<u. i6,&farà rad.cu. 3 6ooo,m.rad!cu. %4oo0tf.rad.cu.i6ooo, & queflo partirai per quello 1 o,che faluafii ne centra rad, cu. 3 6, m.radxu.i q,p. rad.cu. \6, cioè la fopradetta quantità tkreuata, <jr queflaèper effer fiati eguali il partitore, & la quantità da tffer partita, & uolendola prouare moltiplica la detta quanti td,cioè rad . €Um$éjn.rad.cu.2.4,p.rad.cH. 16 fa il fno partitore, cioè fa rad.cu.6,p. jrtd.cu. 4 ,0" ne uerrauo io, cioè prima la foprqfcritu quantità de fa monti quali fanno 1 0 ,cme diffi di f opra, & come aedi di fato . tad.cn, 36, m.radjcu.24.,p.rad.cu.i 6 rad.cu.6, p.rad. cu. 4 j ■ t— ■ ■ ■ radfcu,i,fa\ m.rad.cu.i^pjraiUu.96 p.rad.cu.tq^,mj-ad.cu.p6 , p. raduu.6^ depenna li dot radeu. 1 44, perche l una è più, et l'altra è tu, et così quelle altre <fae eguali, cioè rad.cu. 96, perche luna è p , et Calerai nten,et rcflarafoLtmeate rad, cu. ai 6#. rad. cu. 64, cioè 6p.+ , cfa fanno IO qual è numero rat tonale , 1 1 Tertanto fappi , cbcnel binomio de ratLcu. bifognatpouar 3, numeri 'Continui proportionali,et nel binomio fatto della dignità fequcntc, cioè de <Yad.r ad. Infogna trouarne 4 /nuca cita fiìnàli propor donali , & ne l'altra proffimafequentc(qual'è il rclato,<>,& nel fequcntc qual'èilcu. quadra- ■ io trottante 4,4? nel fecondo Telata, qual' è in or dine, come laiiSbifa. gna trouarne 7, &\ncl cc.ccxc.quoL'c come t a 1 jó kìfogns trottarne 8 , rr coti af tendendo de grado in grado delle dignità uilgcbratice ne ere fa raivna qualità di più dell antecedente fi:niìj proportionale nella propor tione,che trouer ai li nomi de c/fi himmii omero retifi propofii, come nel proceffo intenderai . Ma pèrche nelli binomi», & retifi delle radice qua- ' Li 2 ire. l5eirArithmctica dre,fi multiplica il binomio per il f no recifo et il recifo f il fuo binomio Jb forano ò luna ò l'altro partitore per più brenna no è per quello , che non Maglia lamedefma regola uniuerf ale, cioè, che fi può trouar due quantità proportionali fimili al binomio ouer recifo quadr. chefuffe propofioper partitore di qualche quantità, per le quali multiplicato il detto partitore produca una qualità d’un folo nome fé non rationale almdco irrazionale. , che quefia differenza non importa, perche non impediffe il partitore, co- me fe voleRi per quella regola fopr adetta trouar una quantità, che multi plicatafia rad.y,p.rad. 1 produca una quantità fola, dico, che operi per U feconda del ottauo di Euclidc.trouando due quantità fimili proportionali aitinomi del detto binomio partitore multiplicando rad. 7, in fé, &poi nel fuo confequente quaf è rad.i, farà q,m.rad.\$, qual multiplicato tei detto partitore binomio , cioè fia 7 ,p. rad.2 farà rad. 3 47 p.rad.g 8, w. r ad.tS, quale in ultima farà rad. 17 5 ,& queftofarà tuo partitore , Ma perche più facilmente fi troua il partitore rationale , & di un fot nome multiplicando per il fuo recifo, angi fottrando folamcnteil quadrato del minor nome dal quadrato del maggiore, cioè 2 de j , chereftanno 5 per tuo partitore rationale fi lafcia in quefia prima fpecie l'ufo di tale regola vniuerfale, perche come dice il Filofofo frufirafit per plura quod potefi fieri per paueiora,ma nelle altre fpecie è neceffario a ufar la detta regola uniuerfale, la quale accio la poffi ciafcunopiù facilmente metter mvfo , qui pongo in pr attica la detta feconda propofitione ouero problema del ottauo di Euclide, et pogo,che fi uoglia trouar 5 quantità cotinue propor Zonale in tale proportene comi è 2 al 3, et per trouar le multiplica la pri mainfe farà q,& la feconda per la prima farà 6, & la feconda in fe fa- rà 9,& hauerai già quelle j quantità,cioè 4 1 6 1 9 poi multiplica ciafcu na di quefie per la prima di quefie primamente pofle , cioè per 2 , &poi f ultima per la feconda di quefie, cioè per j , & hauerai già 4 quantità continue proportionali fimili alle due prime, cioè 8 | U | x 8 1 & 17, poi per hauerne, 5 ritorna a multipli carie tutte per 2, cioè per la prima del lepropofie,& finalmente l'ultima per 3, che fu il confequente del 2 batte- rai quefie 5 quantità continue proportionali, cioè 16 j 24I | $4! 8lt talmente, che f ultima fi multiplica due volte, cioè per l'antecedente, & per il confequente, & così potrai proceder in infinito così nelle rationali come nelle irrationali quantità. jtuertiffe anchora che quando hauerai trouate effe quantità propor- tionali fimili, & minimi di tale numero de quantità per multiplicar det- to binomio par titore,fempr eia prima s'intenderà piu, la feconda fegnerai col menta terza, colpiti, & così alternatamente procederai , così nelle quadre, & cube, tome ntlT altre fpecie che feguono . * „ . . - ^ Auuet- . i ^ tibro Terzo. 135 '• *"> fjor 'i ir r .' . . r, . J r V .0 -.oò->E *•< Auuertimento. Sappia anchortiiche quando hauefii trovato quella quantità per la pre cedente regola canata dalla feconda delf ottauo di Euclide, con laqua lemultiplicafii il detto binomio cubo,cioè rad. cu. 6, p.rad. cu. 4, laquale fu ra.c.^6,m.rad.cu.2q, p.rad. cu. 1 6, qual produffevno [cinomio , qual finalmente fu ridotto in io, numero rationale, fe tale numero r ottonale •puoi trouar breuifftmamente , bafla a fummar il minor cubo , quali 4, col maggiore.qual'i 6,& faranno 10, & così farebbe [chinata molta fa* tic a , & così nel fuo recifo cauarefli 4. cu.de 6 cu. reflerà 2, partitur ra- tionale, dr quefio ti ferà di gran giovamento per infir unione delle cofe , che fi hanno da dire . Polendo anchora partire io per quefio binomio di ce. ce.cioè per rad. rad. 6, p. rad.rad .5. Troverai prima ma quantità, che multiplicata fia H detto binomio produca numero rationale, onde per la detta regola efirat ta dalla feconda delT ottano di Euclide , troverai quattro quantità conti- nue proportionali fimili a quelle del binomio detto . Et per trovarli multiplica prima rad.rad.6,p.rad.rad. l,farà rad.rad. $6,p.rad.rad.\o, & poi multiplica rad.rad .5 in fe fieffa farà rad.rad. 2 5 * & già ne haucrcfli 3 quantità continue proportionali , & fimili q quelle del detto binomio, ma perche gli ne bifogna 4, ritorna a multipli - car quefte j , per rad.rad.6 , & C vltima per rad.rad . y , & ne farai 4. quali fono r.r. 1 1 6, r.r. 1 80, rad. rad.i 50, rad.rad. 125. quali alterna- tamente le congiongerai col termine del più, ér col termine del men,& fa rà rad. rad. 11 6,m.rad.rad.i$o,p.rad.rad. 1 5 o,m. rad.rad. 1 1 5 ,et que fiomultiplicberai fia il detto bino mio, cioè fia rad.rad.6,p.rad.rad.^, & troverai che compenfando il m.col p.et fottrando,ouero luminando le rad. rad. communicanti chel farà vno apponto , qual ferà tuo partitore , &• quefio ferva. Et per trovarlo brevemente cava y , minor nome del 6, maggior nome & di fimile fpecie reflerà vno , &• così farai quando le quantità propOr- nali fimili tr ovati per la detta feconda dell' ottauo di Euclide, fer anno nu- mero paro, come è quella che fono 4,,ma quando fono in numero difparo , come furono quelle 3 del precedente binomio cubo, li aggiongerai, come fu fatto rad.cn.6,con rad. cu. 4 , che fecero io, numero rationale. tìora multiplicherai anchora io, qual vuoi dividere per le dette 4 quantità continue proportionali, cioè per rad.rad. 2 16, m.rad.rad. 180, p.rad. rad. 1 5 o, m. rad. rad. 1 2 y , perche così fempre fi dette operar per la decimaottaua delfettimo di Euclide , & faranno rad.rad.2 160000, m. rad. ? ? D.cjrAdtlw^tici _ __ rad. rad. 1 800000 ,p. rad.rad. 1 500000 ,m.rad.rai. 1 1 5 OoOO, et qut* i lo partirai per q Hello 1 ,che faluafii , & ne venir à la medefma quantità perche la vnità non crefce,nè minmffe, ma fef uff e fiato qualche numero farebbe variata . Et tanto concluder afiche ne varrà partir io, per rad.rad, 6, p.r.r ^ & volendola provar multiplicherai la detta quantfià,cbe fù dùtifojCoqkq difopra per rad. rad, 6,p. rad.rad,^ partitore, <£r trotterai eòe farà iq apponto , . • ■ . <■ ■ Et per le regole date difopra potrefii partir egri altra quantità che 14» così rationale , come 'mattonale Ima ciò ho fatto per brevità . -,•* ;cy- Et volendo partir il detto iQ,per il racifo 44 f addetto binomio, ciot per rad.rad.6iVt.rai.rad. q,hautrefii trovate le medtfmequattrp quan- tità continue proportionali per la detta regola delia feconda dflp9tt4M di Euclide , ma hauercfti multiplicato il detto recifo ppr quelle eougiorttq M ter mine del più, 6' non alternatamente , come nel binomio, & fareb- bono fiate quefie^io'e rad.rad. 2 1 6p.rad.rad. l %o,p.rad.rad. 1 j 1 $ . & haurebbono fatto fmilmentc 1 , qual breuiffunamente pupi an- afora trottar filtrando ilmnor nome del maggior del detto rccifa cioè j de 6,cbe reflaho vnoxqual'è partitore poi multipli arefii ancboraxo, per fidato quadrinomio, &qu<lla protetta purtirefiipcr ildptfo 1 par- titore rationale, & ne veni.riarad,rad. 2 1 óoooop./adarad. fSoOQOC^ f, rad.rad. 1 soooQotp.tad.rad.i^oooo, cip'elimcdefmi nomi , come difopra+maperò concienti col termine del più , et volendone fin la prona multipli caper il f ho partito re, cioè per r ad. r ad. 6,m. rad.rad. 5, et never ranno 10 ,fe ben opererai col fummar, et filtrar di r.r.communicanti , Et volendo partir vna quantità per vno binomio relato, come per ef- fempio volendo partir yo,per rai.relata 4 t p.rad.reL}, trotterai fimil- mcr.te vna quantità ,<he multjplicata per fi detto binomio produca. vnn quantità rationale, onde per trottar detta qualità hifogna trouar cinque quantità continue proportionali fimili alla proportione del detto binomio relato,come difjì difopra, cioè che nel binomio di radice quadre,fe ne tro- ttai, nel cubo 3, fieli* rad.rad. 4, et nella rad. relata 5, & per trouar le offa- aerai il modo delle antecedenti,^' trouerai, che fono quefie, così al? * ternamente ordinate per moltiplicarle col detto binomio, cioèrad.rtla s- fa 156, m.r.rtLi9i,p.r,rel.iqa,mjr.rel. 10% , p.r.rcl. Si multiplicate per r.rel.q,p.r.rel, 3 faranno prettamente j, qual farà partitore, et tale partitoreper effer prodotto dalle quantità continue proportionali,qua- l' inumerò diffaro, breuiffimamcntc fi troua giùngendo il minor col mag- gior^r ciato, cioè 3 con 4 fanno q^jualferua , poi moltiplica anchura fi 10 per il detto quinomio de quantità proportionali facendo prima lo fi relato, & farà rad. relata i ^600000, m.r.rcl.ipiooooo,p. rad. rela- libro Terzo. 1 3 6 èét 1440000 o,**.r.re/. r 0800000,/».)'. rei. %\oaOoo,& queflo partir hi per quella 7 ,cbe fthtafii facendo priora 7 a relato , & ne venir J qitefft altra quantità quinomia'.c, r. rei retata > P-r.rel Effigi m.r.rtl. JStfg» , p. Knt. . il quale quinomio non ho partito per 7 , ma latamente pofio fotti il firn p.trt it ore, cioè H 7 redatto a retato, perche quando fi voleffe multipli cor per il fuo partitore per far la prona fé fuffeben partito, farebbe dibi- fogno a ridurlo in modo di rotto rifoluendo la par littorie col multiplicar per il fuo vinco partitore, come vedi difopra . ; Amrcrtimentr circa le cofe dette, rè fiC da diri! . Ordine ET volendo partir per uno retifo di qualunque forte fi voglia, farai come nel binomio, fatuo che li numeri proportionati,chc fi troueran no fi cangiongcr anno col termino del più, & quelli del binomio alternata- mente col più, &■ col meno . Et amhpra per tremar il numero ratimile,che faranno, fi fottra fem- pre il minor nome del maggiore del recifo . Ma netti binomij fi fiuta il minor nome del maggiore folamente, qua» do le quantità proportionati trouate fono in numero paro,ma quando fo- no in numero imparo femprefi furnmano infieme,come difopra dit]i,& per offa regola vniuerfale per partir ogni quantità per qualunque fpecie de quantità irrationali,qui:ii ho reputato ejfer degnadi e fi ere replicata . 'Mpterai anehora, che lordine di trottarti numero delle quantità pro- fortionali, che ferueno nel multiplicar ti binomij , & recifi di qualunque (fede, fàcilmente fi può raccogliere nella tauola delle radici, et fuo ordine co fa di trottarle poflancl z.lib. cioè che' l binomio de rad. quadre uuole 1 nume ccnfo ripropor lionati, le cube }Je r.r.q, le prime relate j.le cube quadre ólefe cut,° tondcrclaterj Ur.r.r.ouer ce.ce. ce. 9, & co fi feguedo in infinito f : condo ” '^1. l’ordine principiato in margine , qual puoi augmentare quanto ti piace , Cc.cu. per tanto non perderemo tempo in dar effempio particolare netti rccifi fe a- reL l bautremo dato netti binomi, & queflecofe fono fiate occulte fina nofìri «*.ce.c.»j« — * tempi, & anchor pochi fono quelli, che ben le fappianno . cì' icl 1 o ’2 9 Mora chtfei intimità delle predette regole, feguirò ponendo alcune al- }, rèi. 20+rè m uepartitioni con mancho parole Jelfitito,& fia per gratta di effempio } C.CC.CC4096-12 che tu bauelìi da partir fmiimente to per uno binomio fatto di cen.cn- *192-11 ■ho, cioè di rackcu.quadre, come farebbe per rad.cu.q.^ p.r.cu.q.z,laqua 14 U dignità è la fejla in ordine cominciando iallaaofa, qual è la prima r.t~ 5 . p 7r .c.cj' z dice ,<£S' perche quefia dignità h, la fcjla vuole anebor 6, quantità continue -i_ piQ- 2- -ì 4—2 *— j 16— 4 JZ — J 64- — 6 128—7 ■ M'.a u . **r I * e- .tg o* •pe ^ •* 1 : t • • :.c i » - !• *^T *irr Dcll’Arìthmetlca proportionali fìniili a quelli del propoflo binomio cern tubo', per hquaU mult'tplicato detto binomio con li termini delpiù,& meno alternati pro- duca quantità rationale, quali o Peritando la detta regola della feconda dd H.di Tue lède trotterai, che fono le infraferitte 6, cioè r.q.c . jrij m.r.q.c , ii<,op.r.q.cu.<,oo m.r.q.c. 200 p. r.q.c. So m.r.q.cu.32, lequalintul tiplicateper il detto binomio, cioè per r.q.cu.f p.r.q.c.t fora j numero rationale, & udendo trouar detto 3 per uia della multiplicatione prodie- ra prima 1 2 nomi , quali poi con tua induflria li ridurai al detto 3, ma uolcndo trouar detto 3, per quella uia breuiffima,ricordate, che ejjcndo 6 quantità, che fono numero paro baflerà a fottrar il minor nome dal ma? giore,cioè il 2 dal $,& rcflarà il 3 già detto difopra,qual ferita, & cofi fuggirai quella laboriofa multiplicatione,& reduttione . fatto quefto mul tiplicherai il detto io per le dette 6 quantità facendo prima il detto io ace.di cubo,& farar.q.cu.jn^oooooom.r.q.cu.ii^ooooooop.r, q.cu. 300000000 m. r.q.cu.20ooooooo,p.r.q,cu.iooooooo m.rad. q.cu. 3 aoooooo.e^ quello feinomio partirai ftr il detto 3, che feruaft.lt facendo prima il detto 3 partitore alla tnedefma dignità, cioè a ce. di cu» bo,qual farà 729, & troueraichenc verrà quello feinomio , cioè rad.q. «*.4*86071 y±m.rad.q.cH.ijiq67j£l p.rad.q.cu.6S^S7i f^tnen rad.q.cu.2743qSV?9 p.r.q.cu. 1 09739 ifj m.r.q. **.43895 H»> C K tanto r.e v evira a partir 1 o per rad.q. cu. 5 , p. r.q.cu. ? , & .volendone far la prona, multiplicadetta quantità proveniente compofla de 6 nomi , perii jfuo partitore, & fora I o appunto, & taleprodutto prima far ài % nomi, quali ridurrai finalmente a io, fé faperai benfummar , & fottrar de rad.cu.q.onero q.cu. che tanto è. Et intefo tale partire de binomu fernet dar altro effempio delti fuoi re cip, per le cofegta dette lifaperai dividere, & così d'ogni altra {ferie di radici , & dignità ^ Algebratiche . Et occorrendo a partire poniamo, 1 o per r.3,p.r.rel.i,che fono diuer fc di (fede, le ridurrai a una medefma (ferie, cioè relatando la quadra, gir quadrando la rel.& tale binomio farà rad.quadra rel.2q3,p.r.q. rel.q, onde per trouar per quante quantità continue propor tionali pmili a quel le di quello binomio fi debba multiplicar detto binomio con li termini del più & men alternatamente pofli, comedifopra fu offeruato , vedi per la tavola foprapofla in qual ordine di dignità fi troua il cenfo relato , & gli troverai all’incontro il numero io,' cioè che farà la decima dignità della cofa fegnata per il2,& il delio 1 o batterà da man pniftra il fuo ceti, re» lato, qual' è 102 4. pertiche concluderai , ebep donerà trouar 1 o quantità continue proportionali fintili a quelle del detto binomio cen. relato al mo do detto, per le quali compoflc alternamente col più & men,p douera mul tiplicar detto binomio, cioè rad.q.rel. 243 , p.rad.q.reLq. acciò ne venga vno rjiiiibrbìrtóioCT j jj Un* numerorationalr pe)- partitore, per trattar adtnrefc ledette i o quoti *it4ty^rth»aliymHkiplic*nrclat^i)3iptHrcfotafaprn»<t per n poi r.ret^jiitfefiejfcffri burnenti già j: quantità <p-opor- M*n*U, ciaèTJ-el.f.wo4% ( rar^9jz, tixeLéf. i6t<srpcr batterne ~+an»ltipfa:*quefU % per Caprina di quefie^aèp^r taneLq. a**, ér /><« f-vltana peri altra del btnoptto, cipèperrdd. rel.qwxtr ne batterai 4 * che fora tue r.ral.q. ìA^i9Q?ìryreLq^6i96trjn;Lqii^i^i r.rel.q. 6+» **$*•? ttt /m/ 4 quàtità^ct p b aucr nt 5 ritorta xmuluplic.tr tutte, que 'J9*jq\ per Imfmmq. i ikdemm binomi y ^ vxùdtta volta f vilumi ded$jtt f^bfiiondadel.lrìnamio,c:'>iprrir.'*el.tf,fy\fr- batterai quefie 5 quitti •«h'r. Swi~,rjrel.j>x 56, et quefief.muL/pbca pet là pur ima, ria l: p à.rek ■q.zqfaér iyltiìntper r.ralyyfcne batterai* » ypawpf, cioè r.reL q è 'tr2?4X8^o'9'44^^.V^.^l^Q47l 37604» y^aftwS» <fatS{(rt.JìvrtÌMutcJi r/^*^<h^*^prrr, riLq^rrxc hauerai Vaptàvtnàjmiltxtaè ili :e(«w 71? « 0077^109 464^tà.W.^.^89»» 5 44 i 7 77 J . nkwiliHwifrp-eLqvtfwìaoqajjdltq. tyvzi o*44-K«*»;*<44&8j w.ret.q.40 96, & qurflc 7 , fimilmente multipli, ctterat f&f drel^Uf? ppi CvUiMq.mekórtper hVèP.^efne’bàuerai 8 quantità fimih proportio iati, cioè r.rel.q. 4: 0634878808900707. rtrel^&xi ***»»*» 135^661775 io, SH. r. relata q. Mìtri+w66L*,t.ttel.q^ifiM20i()2 9faa$. tàÒfàtj&lfSreL a. 99iJ t^,r.reLq. 16384 .fimilmente replicandole multiplicationi per 2°o1 16/80395 998828, r.rel.q. 3294; 581135 14384, rad.reLq. 542*6471 o&wu rsrdif.^i fi , 6806656^.^. 1 460 3 2 80768, r.rel.q, ,xy&6 4 704trtKl.q. 3981312, r.ret.q.6^ 16 fet\ cacando Le militici trafittiti .a/ rimi*.. I. .. : t.. . / I • . • * r -» — -//•^-■'7>/'-'.'«.0.8oOjo47ZIS8- 39953 12.»w.»'.re/.<7.| 3 17703 24540 j7536,/>.r.rc/.tf. 216905 88401 - g8g®aKSxss«Ba»tì Ss&pstsszszi iistSPssz ueaquanttu *, ,«**,** WA, /< 5 cì/o.rt colm.fi ridaranno finalmente a i 1 squali rationale, et queflo Cerna ver parmoffjpol mfllfjHttq ahebora il 1 o,c/»f v«0/ ditùderepcc ledette io *"***? “ninne proporteli per remar la eq^tiU.ei facendo prima M m il DcirA'rithmdtica. il detto ut a quadrato telato yhauer ai quefte altre loquacità, cioè rad. rel.q. 248 38 06R964JO703 j 69864? oooooooooo,m.r.reJ.q^iSqt>- 661836227715 20400000000100, p.r. rel.q. Hoo^oq jn $8399 3 1 20000000000, m.r.ral.q. 1417701 245405754600000000004 f .r.rel.q.i 16905 8 8 4017408 000000 00 00, m.r. rel.q. 3 j 7046721- 66i40oooooaooo,p.r.rf/. 5877)1230710000000000, m.r ai. rel.q. 96 74588160000000000, p.r.rcJjL, 1 5915 2480000000000, m.r.rel.q. 2621440000000000, et que/lo partirai per 139 y thè fa» pra[cruàfti,qualft trova fottraada 4 »m'tw nome del 24 f, maggior nome del proporlo binomio partitore, non voiendomultiplicar le dette io qua titapar il detto bmmio, per Jcbiuar qneHugoande tnultiplicatione, thè produce zo «orni, dr /a redattioue a queRoaumcro eationdt^paU finale meste trovatelli per quella laboriofamuUipìicatione eterea ì9,& quo» fio fi doveri ridurreajquudrato relato 9 per farlo /nude alle quantità da efferdimfe, ir fòri queRo partitore 1 finètfo8«Oy6o033 11*65 1085- 09601, per ilquale partirai le (addette xo, quantità , w ne venir armo quefte altre 1 o infrafcrktc y ir tanto ve vaniti a partir io, per il detto omoma, chi per radica quadra 3 yp.. radute retata xj < . r v, „ „ ! jjj-8*70M9*»©f«8247«**77 Cioè rad. telata q. 408449923 40810)609) JI 26) 10I S 09 601 • * • il/, • ' . f m.radjrekta q. 79980 1 vivrei «Wi'V Ar /. rad. retata q. 1 3163 «. nrrf. retata q. 2 1 6 f. r<«/. 3 ». r«f. relata q. fk. rad . retata q. 172796246 166 1 402IUO2* 40810)609)) 126) 108)09601 5 530802 125 10496*88 1 2203.7 ;n,'l 40(10)60933126)108509601 419)22925021096561026,14 1.'. jv>; fO-t j-.l s- 4o8lO 56093 3 126-, 108)0960* ’Vn • »m ìl Ai* 34474201,2 M 02(4674*7 .1 *«9 ur>i 608105609331^65101 50960* ' • . ' * . , ; (176467*1*6 MPOOOOOPOOO 60(105609331265198 509601 i(77 »» *30720000009000 ». rad. retata q. mV. 60(10560911 1 265 io* 509601 '•{,» «. |Vi? ifl 9^74 > SS 160000000000 6o(l O5609) J 1265 19S5096Q2 p.rad. ■v; 1 i -n m t'i'ìWTèaa* , . «k cno' uu' .'.r. iknoUM irmnu i\.iìntwìHcltl'',fV t niyt4tt*r**oW f. rad. re ta q. •dfrojtfojjjiKj’ioirsdjtfcn uSp non ilIcbTO^r165'0^0960' Et così offeruar cflì in ogni forte de radici reducendo il partitor, & la wmmtitàda effer partita ad. yna medefina frane* & fermando It rtgpt date dtfopra ridurraiogniémerfità de raditi a numero r ottonale in eia * feuno binomio propofto-.detle quali operai toni non fi iroua aleuti j comare- moratione appreffòsegfi antichi, i/rnuuioufue anèfiittempi. Tritolo Tan- tali* ne habbia [cristo qualcbecof*,ma alquanto pm oficuramence , ped tanto non mi diffonderò più altra tonnfftmptj <tp ere he qtufi ij aranti® /uffi- cienti a ogni cafo , che poffa occorrere nel partire de binomij,& recifìtet volendo prouar la fndetta par titiwevifjalMpr ai Irrotti delle io, quantità prouenienti, ponendo fino il fitópamtore , frttltiuhiplicarai per ilfuo binomio qual fu rad. rel.q. 1 4 3 ,p. rad. rel.q. 4, & neyenirano prima so m minali fi. ridurino fitmlmentr*' xo^naffu U numero éiuifs operai '****!!Z^feomCo teregph date. w* ’-W **« * «A l ■ ) '«ho orjsinu & «mwu»# U» Vuoi t .o.j, •; *.v. >.v ' • ^ Delle Regale del conofècr li 6 Bmorhij , & rea-- fi, & fe hanno radice quadrata, ouer nò . Cap. V. . prarimnrn.bfii oubDj'i nnboiqrnòM ’ djyi cognitione delti 6 Binamij, & reci fi con le eftrattioni - 1 dille lóro radicri di tartta iitipoftahga, che efiiàfi quella fda l fufficìtnrt a f otuef ttrttt le diffìcultct del libro Deci ’ Mo di Èrftfidértftó*? prtrti» fràlttf dette qnàrttitàUiddtètti' '^^^"qMdfdth & furti radici, poi deUlBinortiijy&fireràdicì, \k jjp0i delli?elffóM>ytfììfifc& fke tddki. &k te ra- dici delti mediali quadratamente i come -polendo cauar la radiò fi dira che egli è rad.réiy-frondo fieh ramano nella prmtieatàdki de radici , & le radici delti binomv\ dilla prima fpecie fono bìnomtj, & fi come le radi ci delti binomij della feconda jpcac,trddlo terrea fono bimediali, cofi le radici dilli rt fiditi della prtitla (pitie fono refidui . Et le radici delti' refidui ouer rtcifi della feconda terga fpecie' fono Shnediali refidui.' ’• 1 Ter M m » *45» 12 pg 161 » £ I Ter tanto fi come delti numeri rationali alcuni fono quadrati, & alai ni non fono quadratico^ delle quantità binomiali alcune fono quadrate t & alcune non fono quadrsteì& fimilmente delle quantità refiduale . Regola per conofcer li binomij , 6C recifi 11 quadrati dalli non quadrati. Xi «'to'.1- uhttnaiyi hv'iit sL si «s\ ikj» ri mì> (%rri tS SE là differenza itile farti dell* quadrati; cioè del quadrato del mòtoa i nome al quadrato del maggiore baucmproportionc alla tnaggiorpar te, cioè al quadrato del maggior nome, come da numero quadrato a nu- mero quadrato farà tale binomio ouer rcftduo fengadubio quadrato , ma fetale propartiove non fara,tomc da numero quadrato a'mtmero quadra* totale binomio, ouerrefiduePtntfipa-quadrato. • ijwoip i vv\yjyt 'o , HRjui'i'l i\> vi iWit'A" • iVl wy< k IwA Eflèmpioderàd p.rad. OC I * WU -t Jw > •' 8W«U»»lfOÌìm :Q Poniamo, tbe volemmo faperfe qutilo binomio, cioè rad.Ji.pjrad.?% fia quadrato ò nu» quadraió, [offra il quaórùtù dtl n/{npr nome del quadrato del maggiore,#" rcflaranno j de differenza, qual ha proportio- ncalys maggior nome , comeda numero quadratoa numero quadrato , cioè, come da i al %$,ilfkefi troia partendo tipetti J i$erlaAifferenza che è * , & ne viene z « aual'è numero quadrato , per tanto è ncccflario , chc’l detto binomlolnìbia ròjtfrf ijùàtfrìtbì ^ 1 u ‘Ji * ‘ .V .qnL) .ón E (Tempio d’un refiduorad.m numero. Slailrefìduo rad. 1458, w.36 , qual volano Japer fé gli è quadrato 9 nò , fottra il quadrata del minor del quadrato del maggior nome r cioè lif6dc lql%reflai6i de differenza, hor,parti 1458 per 161 , & ne venir a 9 qual l numero quadrato,onde concluderò, che'lditio reftduo babbia radice quadrata, ebe fi può cauare. j u Eflcmpio de numero, p. rad. ^ ET fìvoleflifaperfcqucflo binomio, cioè 44, p.rad, 11 ji ha radice , cioè fe gliè quadrato òriò , quadrai' una , <jr l altra parte faranno 1936, & tifi fottra il minor dal maggior rcflaranno 7$ q, qual [chiffon / do y iibroflTi^zó/ r 139 io troverai, chehauerà proponimi* aI wrf,gome 49 am, cioè, come sg da numero quadrato a numero quadratole Ukntceffita che l detto bi- l*Z notaio babbia radice quadrata. - , , ^ ,, , . J * - l' DcIla condì tiene del binomio della prima lim™ B- ipede, different^dagli altri . bculr" ' ' AWritai» ouer r ef, duo farà della prima {pece, et la differeiu- r . V deUefoe.parti far annumero quadrato , come nel fopr aferitto ef- fempio.oue la differenza fu 784 qual è numero quadratogli bora necef- iartamente quello binomio ouer retifo hauerà radice quadrata , M/PMivomioouer reftduo fora d'altra (fede, che della prima , & lila'n¥ delt!Juadralti Sparti fin numero quadrato, all bora t tmpo]fibile,cbe quello tale binomio, ouer refiduo fu quadrato. * _ . . . •> Le eftrattioni delle radici di tali binomij 3 & re- fidui fi fanno perla infraferitea Regola . Primo eflèm pio. * . » < tamii» v.% t* *T.M**,1 %x- • *nnv> • 1*<JV • a .141; Sia da cavar la rad . de quello binomio primo , cioè de * 8 p.r. 188 ,pi- gliaro, prima damiti delli tot partii faranno 19 p.rad.71. '■ ^fttdanJm&tc quadrato effeparti piume faranno #61 0.7 lt et fot ttaro la dalla maggior, cioè 7 j 1 reflaranno iS 9,la cui rn- dice trono efler 17,, qual fervo’. Wmfl 1 9, cioè la miti della parte maggior del binomio probo - JtO;£? qucjlo aggiougerò olla rad.fetuata , cioè al 17 faranno 16, & di que^a fumma ne cauarò La rad. fara d, &. quella farà la prona patto della rad. del binomio 4 *, * 1 j <ajn°f°“rarà ejjb 1 7 dallq 4- della maggior parti del bmomio,cioè un9 fYcr*nno *>«tr.l*rad. di quello rimanente farà la feconda par té . ■ rM-dclpropo/ìo binomio, qual g, onta alla prima , cioè al 6 col ter- mino del piu fagà 6 p. r.z, & queflo binomio farà la rad . quadrata del propojto primo binomio, cioè de } 8 p. r<tixU,come aedi difotto operato. n'ii JfjP • ^ Ir. «Sat • VltUbl iva StU lìJ OHV-VjAH NI i.fcv 'n '4.n .\c\ e -V'. •» ii.jntvivpNv UjVw 4<\i' q tuta, a » * V> E I DdtfÀifthtìftnca 3 8 pi. r. 2 8 8 ' r '■> 1 9 p. r. 72. ; - - - MOtt ?» • ..i iloti n.«v'4 tvn2,T riva». 1 quadra fanno j 6 1 p. 7 2. /bttn* 7 » ip " j;mi . * o i ,*• 1 rw$ * Aqatlb <a*aldrmt/k j? légjtmgi W 1.9 fard- ■ 36 caualar. 19 * i /a 6 pr. parte fottra 1 7 ' ' ■> ■» - * catta la radice fa radia * patte feconda rad.del binomio 6 p.r.t lt volendo farne prona quadrami 6 p.r.t troverai, che fard il fitdetté propojlo binomio, fieò 38 p.r. 288, come vedi qui operato i ' 1 \ >1 ’ •’-iVi.nv or>MUA tiyiv»» >., iV A^rvri^vbtA'itta i4Htyrà*\Qttà>Ui <5Ì^j#yTÌ 1 I 36 . 6 p. r, t | _£ •01 ./§ t jfrrof; ir! i Ini ;b bibsi no ìnirJ^ • ' l8‘ .c.nru. :! *j oiìi n*! Et volendo cavar la r. quadrata di quefio refidvo della feconda (pKÌS* - cioè de rad. 18 w. 4. 'r V rima piglia la -f* <ù‘ fard rad^q -{-»*.*, grqvtflo quadrar ai faranno 4 -\-m.4 filtra lutto quadrato delle parti dalT altro, rtjierà Ct di que/lo cava Ur. fard r. +,qmalferua.f oi piglia la —del quadrato della maggior partadi effi binomio^ chelr.q^.^ qneflaagpoHgi allè r. , , chef ’ruafti,per che rad. 4—, & r.^ fino tommunicantfonde per Jummar tale rdd. benché difopra ntUi precedenti trattati fia pienamente flato infognato farai così, aggiùngili quadrati infime faranno 3 pei trivi ttpUca r. 4 r.-f faranno r.j-^-ei quefio ci oppia muli iplicando pei' T r* ^ cauanelaraifard 3 , qualgiongi alla flemma delti quadrati , che fecero ^perche 4 fanno 3 il'Mtofard 8, & la raiLrad. 8] ara la pnmaparte di effa-rtid. dèi ditto binomio,*# per trovar Tal fri P4VtC fottYHY/n nitrii n m Ari! re Arme ~ .. .1 iV 1. ...fl IU euu.jura rau.icwov m.raa.raa.2, i*'. L Et per provarlo multiplicarai in fé e/fa radice binomiale,cioè rad.rad. 8 tn. rad. rad. 2 fia rad rad. 8,m.rad. rad.z fard rad. 1 8 m.a, come fi prò fo/lo il che "vedrai difillo per operatone. » rad. Libro T erzo. VT.iJiO' ‘ i\ , i 'j t b.vtiwfjptift. t >1 r. i% m. 4t r. 4 +• m. *• quadrati 4 4- ut. 4 ' *fe 4-4-^^-V- 4 + 3<s + r.9 ■ 1 f*ì 5 5 ? _3 t rad .rad. 8. m. rad. rad.z taproua 140 r.r. t vi. rs.i r.r. 6 m. rjr. 1 r. S vi. r.i. 256 p. r. a aggiungi r.8 cw r.a /inno r. j 8,yju/jj *a«- ta con la r.r. 2*^6, che è 4 col ter- mino del m.fara r. 18 m.4, coiwf fìjiropojlo. \ I 4 .&3* Terzo elTempio I. ET volendo cauar la rad.di rad.32,pjrad.*4> qual è tertphinomip , prima, comedifopra fu fatto piglia la -f farà rad.S , p.rads6 poi fottra l’uno quadrato da t altro, & del reflanre cauane la rad. farà rad, 1 poi aggiongi rad.S alla rad. i,che jono comnunicanti faranno rad. 1 8, & di quejio piglia la radiar à rad.rad. 1 8, qual è la prima parte. poi fottra- rat la rad. 1 ( che fu la radjel reflante frenata difopra ) da rad. 8 aual . futa 4- dell a prima parte del binomio propojìo , & rcflarà rad. 2 la atti rad. è la feconda parte,onde tutta la rad.farà rad.rad. iS,p.rad.rad.iiCt per prouarla multiplica htfefteffa effa ra ii,p,rad.iq,comc vedidifotto. r. p. r. 94 r. 8 p. r. 6 6 r. * i$f. r. 1 : r.r.t&,p.r.r.» ! rr r.r.it, p.r.r^ r. 1 8,p. r.r.qyóffjìig. 1 T. i$,p.r.2+,p.r.z,ag giongi radice 1 8 alla ra dice 2 , fanno rad. 3 2 , p. radice 24, quat è bi- nomio tergo. ragione di quefle operazioni applicherò la radia? del binomio poflotLfopra nel primo effempio a fuperficie quadrate pongo adunque , che vogliamo quadrare la lutea ab » la qual fia diuifa in due farti, cioè a c,qualfta la r.i , minor parte della radice del binomio , tr cb,fta 8 « 1 6 1 » 0 1 **■ % ' 16 "4 57<5 J8 2 18 4 20 s: n 3» ‘ ■ 1 D cIKA ri tKmttìcà • eh , fiat maggior parte del detto binomio, hor volendo multiplicare in •fc6,p.r.i produrrà 4 parti, ebe compiranno il quadrato a b de, & la */mm c b farà il quadrato f b, aitai farà )6,& il quadratole rad,*, fa r à il quadrato df , qual’èz , chegionto afjó farà 38 li altreduf fppcx pcie,cioè f e ,£r f a faranno eguali per la 4$ del primo di Euclide , che ciaf cuna forar. Jz. j .»lV. • s» d -t è. IV > v' *s a f rad. 7 » e . i.Wl .'but oìqrnaìb oxwT 0 _ysM 4 ,f> t .W s J •<\ t 8 .1*1.1 i*ih\ ^ feUtl<1 <\ ollu\ w\ :.i<^ al oiwWy (r,W,L-Sb\i'Ut.V\ X..-W > ',vhti>,x 1: ; «-V» { . l&Wbvt ò •t*'' i'Htòrn "tj tf'iV'^ot^oiwouvlVvb ji ... ì~ ► J: & j v l*\ •v* .£ .bai. bt.t 38 bai il .bai «A ;<><m «krj?e«f (lb i>mo* i il. 1 fl'lÉ vv._u..-5ti r' 1 Pm bvt quali gioii te inficine fanno radice 28 8, o«rfr tutto il quadrato ab d e,fa- rà 3 8 , p. radice 2 8 8 , dal chef co riprende , che la media propor donale tra il quadrato della minor parte,& inquadrato della Jtuggio>'tdr>è trai farà rad.'rtythe viqncgfleìr la mitqdcl minor 3039 e fi yfq qua- drato binomio, cioi dirad. 2 83- & perche jppr trouar le parti dglla fu a jad.fi dviidcrad.i’Bt , in due parti fenrà-r-ad.pi, perche fi rifolucMgni cofa per quella uia,cbc cglie compofl*i& itfuò quadrato fà 7 j , qual fì( fro- dano dalli doi quadrati dell e par ti dnuLr adii? , che-tutte due infiemefan no 3 3. adonquepcr trottarle fcporj\amcutc farai de 38 due parti, che Tf;ult!plicatq luna ntllXtlt) a fataané 72 , & per farquefio pigliala — de $8 farà 19 moltiplica in fc farà 361 cauane 72 reflanno 289 , & di quello piglianela ritdieftMt-b% J icr-V'igiongilìf-al deità ''i#fàrà'f(9 f{ it traanebora r7 de 19 reé.us'rmz'ìZJ hrìctice'atiquifiySfafotàtàd.Vf p. 6 fono le parti della rad. 'del binomio propotlo fi comi difbpra trouafHf et per quefia via potrai trottar la ragione delti altri. H^1 *" ' '* ^on \ ... ... . Hf- * 'Libro Terzo. 14 1 ' Regola generale di cauar la rad d ogni J binomio quadro. •X j Olendo adunque breuemente cauar la rad. fogni binomio quadro tic V ni quella regola ferma, cioè fempre farai del maggior nome due ta li parti , che multiplicata t vna nell' altra faccia la quarta parte del fuo tmnor nome,& le radici di quelle due parti • tonte infieme, farà la radice di quello tale binomio propofto . 1 ^ M»h v- JL IMO ,"n» TVV. , l .ib Poniamo di cauar la radice di quello binomio , cioè a 8 ,p. r.yóS, qual è binomio primo,per che la differenza delli loro quadrati è numero quà drato,et perche il f uo maggior nome è a8, farai de a8, due parti che pud tiplicata t vna nell'altra faccia la quarta parte de quoti 1 92 . 7® °Pnaado tòn la euidenza della quinta del fecondo di-Euclide,piglie rat la-}- de 1%. farai moltiplica in je farà 196, filtrane 191 , cioè il numero che vuoi che faccia reftanno 4 , del qual piglia la radice farà 1 qual giùnta, fi r detratta dalla-*, del 28, cioè dal 14, hauerai le partì', tioè i6,& li , dalli quali trattone le radice farà 4, p.r.i2, & quefio bi- nomio primo farà la r.delpropoflo binomio primo, cioè dii 8, p r 768 la prona fi farà multiplicando q,p.r. 1 z,infe medefmo,drfarà *8, 0 r 76»,comeuUfipra fu propoflo. r j |( i 16.OIUO. . jJ, ■ "V* 1 0; *\ t \ «rii r ■*>. * Vh/iY"» ’-. . V*. - A -. j»W Eflèmpio. De binomi), <3t rad.vniuerfali . Cap. VI. tAuendo difipra nel quinto capitolo introdotto il modo di conofeer fi vno binomio è quadrato , ouer nò vmjìeMc con la regola generale di cauar la radice fogni binomio ! quadr°t là qual regola ferite anebora a cauar la radice dl. °&™frccie de binomi > , quiuifucccffmamenteappare , .. .. . ' .. doucriaponcr le dijfwitioni de ciafebuna frode de butomqtf pot la firmattone , & modo di trouar con numeri ciafihuna de dette freae,quali fino f et per numero, & nel terrò loco poner fepara- lorojlrattìom deradici , confi prone loro , ma per che nelle dette p> tuie, che fi fanno col quadrare fi loro radici ; fàdibifogno faper arieggiare vnafirtede quantità compofia de nomi irration.iL, chiama - i 1 1 Doll’Axitbro’ctica te radice yniuerfalc, per tanto hauemo giudicato per non confunder far* t uno impedimento . " T-tw : ' . ■ «tc It\4 ■ :«'»n{ .'Tr-Wlifct.< ■ Chccofà fiano radici vniuerfeli , Se cUlfup AlgoriCno. ,Y *« sii ( ■^.mrwickwh ..... . . ..... \V T E radici vniiierfali adonque fi formano, quando che in qualche oper <t X-/ tione accade a rapprefentare la radice di vna qualche quantità di duoi , ouer di tre t ouer di pik notti eompofta anchora, che tale quanti- tà non fi poffa ridur a vn fol nome, & mancho cauarne realmente la radi ce, il che occorre ffeffe volte nelli difficili quefiioni % & faccialmente di Geomet ria, come per grada di effempio pongo che vogliamo canaria fai. di quello trinomio 1 0,p.r. q.p. r. 5 v faremo la radice xniuerfalf. ponchi dendo che farà rad.vniuerfalo io, p.r.j,p.r.l à*quat ba que/lo fenfo\ etiche fi in fende che canata la rad.$ ( fefufft pofftbile ,) &lar.y. & quefieduegionteal io, & della fummo diquefie 5 quantità* fin canata la radice, quefla tale radice di detta fummo fi dirà effer la rad. v.io,p.r-7t pjTi 1, & quello fi fi acciòcbc l'intelletto noflro poffa intendere queUo,cbe vogliamo dire quantunque non lo pofftamo effltc-ve con vnofolq termico di qnantìtài^r acciò meglio fia intefo ne porrò vn altro eflempio foto di quantità dffcftte, chefipoffmo r durre a vna fola , cóme fia di càuar rw vniuerfale 1 1 ,p. r.g,p. r. 4, vuol dire, che fi piglino le dueraè.cioò rad. a, che fono j,dr 2 che fanno 5, & queflo 5 giorno olii 11 fanno 16, & la r.di quefio 1 é è 4 , fiche concluderai, che lap.v. 1 1 ,p^r^}fi.q fia preci fornente acciochevon incorri in qualche tàiiiìlocation r, h qual [noie partorire molti errori non folamente in quefla fcicntia, ma anchora in ognidltrvcosì Mathematica, come naturale morale , & divina , fia auuerùto,eiyetale radice non s'intende la rad, della fummo delle dette •( -, quantità , ciollar.de 4, tbeèì,& la rad.de 9, che è 3, che fanno 5 , & lar.de 11, qual non fi può cavare , ma ben s’intende la fiamma delle dose vltime, ouer più gionte all 1 1 (fenga che prima fi cani la fua rad.) , & poi di tale fumma,che fa 16 cauando la rad.qnal è 4 tffas' intende la rad. vniuerfale di tale trinomio t nella qualcofa erad" auuertire al curiojo lettore. ' Etfe pur in qualche operatione fi haueffe da intendere, che fi debbano cattare tutte ad vna per vna & della fiamma , ouer refiduo fé gli far a qualche r ceffo cauarne Ur.fi deve confiderare pecche occorrendo a mul- V tiplicarlex 4 i>Libw>Terzo^ 142 tipi icario onerò à partirli bìfògnarà ufar diuerfa operatione c orr effon- dente alla intentane dclC operante, come fe mi fuffe propojla quella qual pongo rationalmente per pater meglio lignificar il mio cane etto, cioè f e nel predetto effcmpio haueffe uolulo intender , che fi douefse cauar anelar a ta rad. di quello t i bauerei ietto r.v.r. n p.r.f) p.r.q, & non r.v.i i ptr.'fp.r. fi come in qutjf altro efsempio r ottonale s'intender i, cioè r. TriHffìrl$6in.r.t6,cioè tolta la rad.q.9,cheby,& la r.j 6, cbeè6,cbe fanno IftiP la r.i 6, che è 4, qual fottratta del 1 jrefianno 9 ,& lar.de - 9, qua? è 3 s'intende la r.Trniucrfale delle dette ^.quantità, tu poi of ser- ver ai quello conuiene allibinomi, & alli reci/i, cioè giùngendo , ouer fot- trdvetó ouefiabifogno, fimilmente banendo a cauar queH'altra,qualeper tbd'ìnlAigenià pongo in quantità difcreta,cioè r.Te. r. 64, p.r. 49, p.r. 36 ,f> 4, che rwnvuoì dir altro che 5, ildre fi trotta cattando la r. 64 , che vuoici, % r. ^9 che è r.^6, cheè 6, che fanno 1 1 , & giùntoli quelli 4 numeri fa iy,lacuir.è 1, come diffi difopra. • im.V. .t\ ,òl.i • ' .r • >. ••• w‘ -, ;:«(U\V-.v froderò 4 pittai. 4? p. rad. 3 6 p. ’ 4- Wr .fàJbvi 7 Alt.t'A 7 - 5 v.V tfck.v.fctn Òt{ * <MWt\ ^ C ; \»£ i «W ÌU’t). -YìVjYì Vi * i.U S vA» rAcnr.i^ ^-4 > 1l\vw m 'hXst*'» n tt '*■ *• ■ *' l?„ A*,lv 'A» 5 « ■ Sappia anchora,tbe effe rad,imiuerfali,poffono accadere in molti Mo- ài, cioè in rad. quadrate eube,& retate, sc altre fecondo le diuerfe mten, noni, delC operante. • '• • -*j 5 Et la rad. ir. cube ftpoffono intender almancbo in dai modi , cioè , che propojla vira rad.v, de 2, ouer 3 nomi cubi compofla fi debba finalmente iella fumma cauar, ouer intender , che fio canata la rad. rad. quadrata , ouer, che fi debba cauar la cuba, tr queflidoi modi poffono occorrer fe- condo t interi tion e dell'operante come per caufa di effempio tallonale fi a propojla dicauarla rad. Te. rad. c*. 2 1 6,p. rad. cu. 27 la qual intefa alpri mo modo Teol dir. 3 , cioè prefà la rad. ai 6. cu. qpat è 6,<& la rad.cu. ij , qual' è 3, qual gionta al 6,fà 9,& diqueflo 6 prefala rad. quadra farà j, quale la rad.v.del propoflo binomio, c. rad. Te.tu.2X6, p.rad.cu. 27 , 1? intendendo al fecondo modo. ,• 6 Ì \ rf JCVI,. « iV 1% rad.9 11 * . : * ftfìi si 4 DcirArithmetica ria propofla di cattarla rad.v.cu.ratLtyp.rad. 9 , farebbe 1, per eh» la rad. 2 5 farà $,&la rad.g farà 3, che fatino 8, & di quefio S prefa U rad. cuba farà t,& quefla farà vita rad.v. cuba cauata da lafumma dt due rad.quadre. , Ma volendo aggiùnger il tergo modo j* intenderà uno binomio ouer» trinomio de rad.cube,dellafumma de quali fi debba cauar la rad.v. cuba , comerad.v.cu.rad.cH.tlóp.rad.cu.ó+s'intendc la rad.cu.io,cioè ca- vando la rad.cu.t\6,qualb 6,& larad.cu.ó^qualb sfaranno io, <T di ejttefia f marna prefa la rad. cuba farà rad.cu. 1 0. la qual cofa non era da tacere. - ; \ H avendoti propoflo li modi più communi , & vfitati dellerad.v. per maggior copia di effemp^ne metterò alcune altri diuerfi , che fi trotta- no alcuna volta feruati nella pr attica di Arithmetica Mgebratica dalli, noflri antichi, ponendoti le fue interpr et adoni nelli noflrirationaliperpià chiara intelligenza . ... Sèi fi trouaffe quefla rad.vniuerfale,ciob rad.v. 1 o,p.rai.\6 ,p.Ì,P» rad.64.vual dire prefa la rad.64,qualb larad. i6,cheb 4,& i>coc fanno 1 $,& quefligionti al io, fanno i^,&la rad.di queftofarà i,cb* b la rad.v. di queflo quatrinomio. Et occorendoti vna rad.v. complicata, come farebbe rad.v.ijp.rad. v. 5 ,p.rad.v.\4,p.rad.4,vuol dire,che prefa la rad.v. 1 4p.rad.4 , cioè prima la rad .4, che b 2 gionta al 1 4 fi 16 , & di quefio 16 , prefa la rad. che è 4,& quefla gionta al 1, fa 9 la cui rad.b 3 qual gionta al 1 3 ,fd 16, & di quefio prtfa la rad. che b,4f*rà ^ rad.v. compite ata . Ettrouando rad.v. $,p.rad.v. l,p.r ad.legata qgp.rad.i6,p.rad.4 , piglia tutte le rad.legate,che fono le } vltime 7 |41 2, che fanno 13, qual giùngi al\,fà 16 la cui rad.b 4, qual anchor gtongi al 5 primo termino farà 9, la cui rad.b 3, & quefla b la fumma delle due rad. vniuer/ali , & congionta. ... Et trouando rad.v.7,p.rad.\6,p.rad.9,p.rad /\, s intende 4, piglian- do tutte le rad. eccetto la prima , che fono a | 3 1 4 1 che fanno 9 ,& que- fio aggiùnte alla prima, che b 7, farà l6,lacui rad.b4, &fe volefii mul- tiplicar detto quadrinomio per 3 ,farefti 3 a rad.rad. & li multipUcarefli tutti , cioè per 8 1 , & il 7 , folamente per 3 fatto a rad.folamente , cioè ptr9 » - Della rad. dirti nta, LA rad. di flint a b,come quella, ciob radicei.f.p.rad .4, p.^. vuol dir, 1 3 Ì>fi Pu° anchor dir rad. p,p.rad.4,p.f, cioè io, numero . Libro Terzo . / 1 4 3 Et quando fi trouajfe una rad.l.con ma rad.v. come farebbe,rad.l.y. I o,p.rad. 3 6,p. rad. v. qo.p.rad. ili, ha quefìo fenfci, cioè prefa Cvltim* rad. n l,che è it,& quejio gionto al 70 fàii,& larad. diqueftocbe è 9,& queftoferua. poi piglia la rad. $6, che è 6, qual gionto alio, fard Itila cui rad.cbe è q,gionta al 9 fopra feruato farà JJ,& tanto fi detta rad.legata miuerfale. Et perche le rad fono quodammodo correlatine alli loro quadrati, qui- tti hò pojlo le pii v/i tate rad. v. quadrate , & cube con li fuoi quadrati , che fi trouanoyleuando il fegno della vniuerfalità , che così è notato, v.o- uer vniuerfale v fondo fcmpr e numeri difcreti,per poterti certificare con la efperientia . Il quadratodi r.y.i ip.t.9 p.r.qfarixi p.r.9p.r.q, perche effar, y.yuoldir 4,& Ìlfuo quadratoè ió,comene poi far prona fenfibile. ' il quadrato di rad.v. rad.qp p.rad.$im.rad.l6 farirad.qpp.rad. 36m.rad.16. Il quadrato di r.v.r.óqp.rad.qg p.r.36 m. 5 farir.6qp.rad.q9p • rad. 3 6 m. 5. il quadrato di r.v.r.cu.i \6p.r.cu.ij fari r.cu. *16 pjr.cu.iq. il quadrato di r.v.r.cu.216 m.r.cu.iq farà r.cu.i\6 m.r.cu.zq. Similmente il cuboder.y.cu.r.i$ p.r.pfaràr. 25 p.r.9, cioè ila cui rad.cu.èi. llcuboder.y.cu.r. ifm.r. 9 farà r.aj m.r.9. il cubo di r.y.cu. r.cu. 64 p. r.cu.iq farà r.cu.óqp.r.cu.iq, & que- fto fer aerai non folo nelle quadre, <T cu. ma anchora nelle cen.cen. relate, &c. * * * ' * *•» * • ' '* '' 4, "* * \ *• * % • Del fummar,6C fottrar de rad.v. Parche il fummar,& fottrar nelle quantità irrationali fifa col termi- no del più , & del meno , come nelli binomi j , & rad.amplamentefù detto. non faremo altro trattato particolare circa quejli doi atti dell'^flgo rifmo, ma acuiremo fubito alt atto del mulùplicar. Del mulciplicar vna rad.v. per numero, ouer per rad. Volendo mulùplicar r.v.qp.r.3 per a farai t a r.per mulùplicar il 7, & per mulùplicar ili lo (arai a r.r.cioè a ce. ce. & farà r.v. zUp. r-qS, perche quella r. 3 vieti effer canata due uolte, perche s'intende, che i Dell'Aritlimetìca che fi debba cattarla r.de j, &• quella aggiùngerla al 7, & iella fittimi foi cauar la r. quella farà la Y. uniuerfale. Et -volendo multiplicar r.v. 7 p.r. 3 p.r.t dirai 2 fia 7 fanno farai rad.2 a r.r.fiarà r.r.q, qual multiplica per r.3, perche nelle rad.it. quello fecondo nume s intende r. Y. & farà r.v.i 4 p. r.itì& tofifernerà* in firmili, & non altramente. , t . - ; HwV. , primo r.V.j p.r.} I fecondo r. ». 7 p.r. j v;' . v a ‘ n affiempio x J efifempio r. x ; • •• ‘ — — .... . , , • r. v.28 p.r. 48 r.v. iqp.r.it • 1 ■ ** Et nota ,cbc alcuni dicorto , tljcfi deut quadrar la r. ». levando il fe- gno v. <&■ quadrar anchora il x, poi ruultipUcarlo , conte radici fitto- pliti , •& del produtto cauar U r. uniuer fiale ponendogli rqutfio fegno », ma qurflo non è il nero, perche multiplicando r. 7 p.r. 3 quadrato con t. 4 farebbe r.v. x%pjr.\x,chc farebbe fialfio , comcpcr le cofe dette puoi facilmente batter intefo. .7 ■ >~ . . 1 * . 1 "" " ■ i. < <i Et bauendo da multiplicar rf».cu.r.cu.6q p.r..cu.2j per un numero, ouer r.hor poniamo per 1. Tcrche feintende, che dobbiamo cauar due uolte la r.cujficomei* quejlo, chela r. cu.de 17, è 3,er la r.cu.dc6 4 è 4 ,cbegiouti mfieme fan- no 7,& la r.cu.j è quella , chediceffmo r.v niuer file del detto binomio, laqualmultiplicandolaper xfiappiamo,cht farà r.cu.^6. Ter tanto dico,che debbiamo ridur quello 2, a cubo de cubo farà 5 12, & per quejlo douemo multiplicar r.v.c.r.c.6 4 p. r.c.iy,& farà r. v. c.r.cu. 3 1768 p.r. cu. 138 24, «ir volendo faper fefarà rad. cu. 16, co- me difopra difji caua le r. cu.de quelli doi numeri, la prima farà 3 x,& la feconda 2 squali aggiùngi infieme faranno 56, & la r.cu.di quejlo fa- rà r. cu. 5 6, la quale fù dtfignata , gr intefa nella mente per quella fai, ■vniuerfale difopra,& quejlo ho ejfemplificato per farti conofcere ilfenfo di quejle r.vniuerfali . Et fe batte ffe detto r.v. cu. 64 p.r.cu.xy, & non r.v. cu. r.cu.64 p.r. cu. 2 7, batterci multipli calo folamentc quella r. cu. x 7 per 2 fatto a cubo de cu.cioèpcr 5 1 x.typoi 6+folameote per 8, cioè perii tubo ie)i, per- che alt bora s intenderla, che fi douejfe aggionger lar. cu. 27, che è ì al 64,che farebbe 67, & di quejlo 67,tauar la r.cu. cioè dir r.cu.67, ilebe fu auucrtito anchora difopra parlando delle rad. quadre, cu. 5 li r. ». r. cu. 6 4 p. r. tu. 27 ^ multiplica per 2 fèto " acu.cn. Farà Libro Terzo. r\ 144 Tari r.v.cH.r.cu.ji'jóS p.r.cu.i j Sicché vuol dir finalmente rad . & quella eoqfider ottone gjouaajfei nefieq urfiSovi difficili* K, D Et nelli altri numeri,?? r. ti [f 2 + [operai facilmente gou erri are ' r ‘ 4 - ' - - ,1 •.Mtv v-( ' rad. cu. 5 .16 ~w it /è bauefii moltiplicata r.v.cu. r.cu.64 p.r.ij p.i per 2, hauer eb- be fatto r.r.cu.fó p.6,& fe fufiefiatom. 3 hauerebbe fatom.6, il qual numero ponto non mi batterebbe dato altra difficoltà, ho voluto mette - re,quefto effempio de rad. cu. uniuerfali da cffer moltiplicate per qualche numero, ouer rad. acciocbe molto più [scuramente ,.& fàcilmente pofli ver [are nelle più facili. Partir una rad vniucrfàlc cuba per un numero . ‘ •' • ; \ ET fe volefti partir r.v.cu.r.cu. 32 769 p.r.cu. 13924 per uno numeri (poniamo per x) farai il detto x a cubo de cubo, & farà r.r.cu. 5 1 1, per il qual partirai quelli doi nomi del detto binomio ne uenirà r.v.cu.r, tu.64 p.r.xjicomedifopra fù propoflo , & cofi farai in ogni numero, * * * * A • fi * * ? * fi X\ 64 * f g ? 4 | x 7 * * fi ? | — * * pc pt | * « 4 * * * ■ <’• J_ '» fà r. cuba 7 al primo modo,& al fecondo modo X • fadr.cu.63, t* f %y> V 7\ w ‘ Etuolendo partir r ad.v.i^p.tt, per rad.z, perche s'intende il t+, haucr vna'fola radice da cauar , &■ dal 1 2, fi catta due volte, cioè la radice radice, per tanto partirai 14 per radice x, & il 12 per radice 4, cioè per radice x fato a cenfo cenfo,ne venir à rad.vniuerfale J.p.r.^.la prona [arai multipU radice x , cioè mul- rad. 2 tiplicando H 7 per x , & il 3 per 4 ritorne- I — — r dii numero che fu diui/o, j. rad.v.14 p.rad.n. i >• • j .•.-•'.m- , Come fjiA i DcirArithmetica . - •blk'» • ; ,v >,T > * Come fi multiplica uno binomio de radice vni- ue riàie fia il Tuo proprio realò. Et volendo multiplicar urtar ai. uniuerfale fia il fuo recifo,quadrarai l'una,et l altra , et poi multiplica il quadrato dell' una fia il quadrato dell’ altra, et la rad. di quello ptodutto far àia quantità da noi affettata . Come per effempio volendofi multiplicar rad.v.q.p.rad. io fia rad. ». 4 .m.rad. \o,quadra luna,& 1‘ altra, far anno 4, p. rad. 10 , & 4, m.rad. 1 o, quali multiplica infime al modo pik breue infognato nel rigonfino de binomt],& recift,cioè vpultiphca 4 fia sfanno 1 6 ,& di quejìo caua io rcflanno 6, & di qucflo 6 cauane la rad farà rad.6,& tanto farà, et così farefti nella altre fpecie di rad.v.come cube. ce.ce.et relate, et altre,cioh nelle cube multiplicar ai il cubo dclT una fi t il cubo dell'altra , et rad.cuba di tale produtto farà ilprodutto da noi ricercato,et così nelle altre fpecie. Jlche molte volte occorre,et fpecialmenu nelli binomi], et re ci fi, et loro r. come difotto meglio intenderai . r. v. 4 p.r. io r. v. 4 m.r. 10 V —quadrati ^ 1 / 1 4 m- rad. io rad. io 6 o m. io •VH \ T * fà r. H] . ■ • » y "** ** ’ A *, * T / • Et fobaurfli a multiplicar r.v.cu.6+,p. r.cu. 27 fia il fuo recifo , cioè fia r.v. cu. 64, m.r. cu. 2 7 cuberai f vna,ct l’altra parte, et faranno l’vna 6 4, p.r adice cuba 27 ,et l’altra 64 m.r adice cuba * 7 ,et metti Cvno cubo folto féltro , così 6 4 p. rad. cu. 2 7 6 4 m.rad. cu. 2 7 r.v.cu. 4096} m.rad. cu. 729. CMtVi Toi multiplica 64 fia 64 faranno 4096.fi 17 fin 27 faranno 729 , et dirai, ebefarà rad.v. cu.4og6.m,rad.cu.qtp,cioeprefa la r. cu.de -729, qual è 9, et detratta da 40 96 reftarà 4087 ,et la r adi cu. di 4087.. farà il medefmo produtto, detto difopra.il che fi può facilmente prouare, perche rad.v.64,p. rad. cu.2j,vuol dir rad. cu. 67, et rad. v.cu.Ó4,m.rad.cu. 37, vuol dir radice cuba 6 x , et multiplicando radice cu. 64 fia radice cu. È CI 145 tu, 6i farà rad. cu. 4087 , come difopra bauefiì, & con farai nci- l altre. . > v. A. .~-l . >’• ' • 1 M'òdòdj pàrcìrWià tadiCe'vhkierfàlc per maltrattcUiniucrlale . r.-» .cj t * ,a 1 .1 r .v. ,bvt A jkWW»\.A ET, accorrendoti. a paxtix vnar.v.per vu altra, rad. v. come farebbe fé volcjli partir radice v. 3 3 p.rad. 9 per rad. v. j ,p.rad. 1 , quali b» p$fiq.r attortali, acciocbccan la ejferietrga. folapofft certificarti della Ve- ikki i\ Ai.» lA v- J ' * a k-.-M m uaI.'ìm »;r-i . > \» :jTpima quadrerai 1'- vna * tir 1 altrui cioè il partitore , tT U quantità d&effefiparfitdi et-bautrai 9, dapartir per yìpjifiy etperridu* il partitor avito fola nome , lo multiplieberaiper il fuo reci fa , cioè per et farà a per numero. fimilmeute\mnltiplicberai 3 },p.r.&pcr iiwcdefmorecifo . . ,tt £tfitrà pj>, p.r 81 ,w.r.ioSp,>«.r.9,(7M ali 4 nomi partirai per il par Citare. bruco trovato, cioè per 8 ,nc venirà p.r. I 17 * per numero, perche la rad. l fai -^dy quali Càrii.jj-f* > qnalferaa,et la r.oy- ^-'^quàTè 4-J* gio* /a con l'altra rad. , qual' è -|~ faranno m. 4 per effer quelle 2 viti * nìc fogliate col termine del m. quali detratti de 13 4“ remeranno 9 ,■ et la rad. di 9, che è 3 , farà quello, che viene de detta diuifione , et così farai hi fintili.} t.« >7’ V„;t.v\> :»..•«'» - W- uv».\j '.v.w^V. ;u.. tv; ' ■S'flii , ». 951117 \ > .cfl vj\;i ». :»«r i j oh,c\ Del fummar, & fottrar delle r. vniuerfali ;v‘ * PErcheil fummar et fottrar delle quantità irrationali,et de mofii nomi compojle è fiato a baflangainfc guato tulli u llgorifmi delle r.et bino mij, e recifiT non mi eflenderò con moìtp parole nel inf ugnarli in queflode r.vniuerfali,percbe fulameute fi duoi terminerei più nel fummar , et del men nel fottrar fatisfanno,a tali operai ioni, come per e ffempio.v olendo ag gionger vn numero, ouerr.avna rad,vniUerfde,ouer vn altra rad.v»al- f altra fivfaH termine del più, comefe volefli aggionger 14 a r.v.j,p.r, io direfli, che fa in, p.r.v. 7 ,p.r. 1 o ,et volendola fottiyr de 14 dire^ finbèl rc/U i^,m.r,v,7,p. f.io vcioèmeittum qtstUobinomio der. v. « volendo , aggiùnger rvv },pj.t*\K.v, i $ ,p. r, 1 ^direfliprùy* l* Ptagf giornea poigli aggionger ejh la mi>tor cbl termine del più, et farà r»*»«*S* p-r-l&,p.r.v.}tp.),2, rivolendo fottrar la minor detUikaggior farà *'i5>p'r.lÌ,n^K,V.l4hWieAcoiì ofieruerqijn qg/ii altra. tfWf.&ifr O'o coft ? DcllArtflimctka *ffi quadre, come cube reldte, et 4è\,ce. fatuo le rad. communicanti deUt quali al fuo luogo affai è fiato detto . ' ' ’ ’1 *><; *!)!/ * !*jt* < \fM- Y’J&P ?**: 1 8 • 1 . , rad. v. 3 , p. rad. a. - *jl:. • j u : nv l.c< cu .. !/■ :u - la fummo fa rad. v. i 5 ,p. r. 1 8 ,p.r.v. 3 , p. r.a lafottratiouefa rad. v. 15 ,p. r.tS,m.r.v.q, p. r.a . » . .. I.. .. A \ . . . . w. 1 IW •? i,”» ^ \ \y\ f i . iti'l Hor tornando a quella rigala pofta difopra nrl quinto capo fendala quale non fi può cauar la r. delti binomii ne recifi, et per la quale fi viene uelivfo dèlie radici vniuer fati , benché alcuna volta interuiene few^a radici vniucrfali, come nel detto quinto capitolo hai intefo , perhauerla applicata a quantità rat tonali . ■ • • A la efiendoti propofie quantità rrraticnali,comenellì binomii , et recifi interuiene farà forila, che caggia la folutionein radici vniuerfali , fico - me veder ai velli infraferitti cafi,onde femi fuffepropofio da fi# de r.a 8, due parti, che multiplicaial ma nell' altri fàccia 4 , parti ( per ladettM regola. yr.zt, per a fatto a r. ne venir à rad.-j , et quefìo quadra ftrà-j* cavane quello q,chq vuoi che faccia r celeranno 3 , etdiqurfioq cauala rad. far a rad. 3 , quale giunta , et tratta dalla r. 7, haucrai le dette parti s cioè rad.y,p.r.q,pcr lamaggior,etrad.j,m.r.$,per la minor , quali fo- no binomi! . Et volendo prouar detta opcratione multiplica il binomio col fuo reci fo,cioè la maggior con la minorarne vedi difotto,et faranno 4 , comefù ,i jlljb timol s& .inriira li) feG rrto-.j i parte maggior rad. 7 , p. rad. j parte minor rad. 7 ,m.rad. 3 1. : ' v £1 va’1 • r 1 n al’qt. . vwii . , . ■ ... ir. )\m* l i>ii$ì é t .\w^r.vn A V * 7'j'di, j, bbvj ri»«i; 'i. v’. .'rtfU prothutoriantttMti'\'^y èia è da faper che mai fi può divider vna quantità in due parti , che nmltiplicata ma nell' altra faccia , più cbe'l quadrato delta mità di effe ■quantità diui fa . \ < 1 •' Et volendogliele parti d’ una quantità fiano compofle , ouer difgìonte éeradiee& numcro^r onerai due quantità, fi come quefla , checauando U numero del quadrato della mità rrjti quadrato, fanne dir. 31 due parti, •che multrplicata f una nell'altra faccino 4 parti r.- j a per a fatto ar.ne venir à r.tJ quadralo fati 8 cauanc il numero, cioè 4 reflerà 4, et dinne- ‘ fio 'V • V " À EXflwofTctótfcÒ 14$ jfo fatata ruftrà %yqual gioia, et tratta de rAfi dardle partì,cifiè.r.t> p.iyctrad. 8 ,m. i,cbc nudtiplicate Cuna ned' altra fanno 4 , teme medi ..>w. yVv <>r i t uan< \.t ò.Vi.'t.iv ..Wu iij .aì«tv.'- V'w j4ris.d.liM t.uvV' .>> 1 ì)T»i $ •Mijfcibi.ijt •> i^wW/sm v.^ ’.ìiiiiv i\tut \ \ »i>.»<v.iì iyt-'i ' ' *<»«?• lui-.iu.i r^^-«^.,'yuA.w • ìk'.'ov1 '*'1 wrrr. tt.iui.* iif'rr , wiktpjj mfa >wniW iùwti 10 ìil<^ «Wkju 7^i»»fcWi\ a\t'ó\yi 8jp W.4,à im> V^-*.kn- w> vi •>• i»v .. •• V 1 prodotto i !> cn « > , <•„ •« c Ma J e ptvp onerai due quantità, irratiomliycioè la auantità da effer di uifa , & il produtto , le parti faranno rad. vniuerfali , fi come nella fe- quente . agpftHf 1 *& 1 • : ^«rùrffl!88fffr * fot\*:ajbtàcr*ìnir<mn/i T4f/.-*r ,fy<ntefto qua- dralo farà 2», cattane H numero, che deue farey<ioè rad 6 | rejierà u,m. rài.&y èrdl qUeflo tifiti fi (fede pigiar laradfotà \rad.v. 2i,)m.raH.ISì&‘ ftfcjtfl&A faeaggwijgereqlht <ìf de!laerad,%^ cioèa rad^p | & farà radjtl,p. rad.v.i2ym.rad.6y& quefla farà la,maggior parte,adon- queper la detta regola la minor parte farà rad. » ■bjm.ra'kvTdhl, mi. r. 6, cioè C vna farà rad. 12 , qual fu la della quantità diuifa più la detta rad.vnÌHerfale,l altrapur rad.i2.mcn l'a medefma rad. vniuerfale,qu* leagnifa de binomio s' intende pfr vno fola termino da/ffer aggionto,& tratta dalla mità della quantità diuifa per conflituir le dimandate duo, parti . Et volendo multiplicar le dette partì [vnfi. conKfaUratauucrtirai}(ho quella rad .6,s' intende rad.radxomechìdramente diJJìtdifAfirqy& far am no 9 quantità, le quaUvUirnamemeftndurraimoiftvudy mè.n rad.6%. adonque lafciando df narrar ti modo-di.queila produitionedt ptei\ ejfer ajfaimanifeftaa chi fa bene multiplicar de binomi, r.(ufi,veiir*, 4 cocludcrUiCd quella breuitàychefia poffibUe fonedo fatto tff parti, cioè tv •»'.»- ,iu«y .1! , t',y. ,j» \ .1 .Uì'.jHM 1 ?ad.22,p,r,Y>ll, lU.Tit» / t ? > oì&ìIj'-h^ Vv f < ,W. * i\v A’ . Qito-itawtt ns\ i ’Ayjuà \> t.uui nv;> ''ivuvm > <nn v -.or. owmi.1^ ■ioiv VMlbfct ■ i . •. • A/4.6 V edit che mnluplicàd^i» c*ocerad\ *1 dtfopra fia.r. xxdifottol’.vnth, frodano b ruoti. * & l'altra è più , perii che refìam nulla, vedi poiché*. m#ltifi!i(,andd fitti fibra craw, cioè. dj, radice lu.difuUo jia rad,6.difo^ fra, ór p, radi# *• » a dtfopra fa m. radice óydif<*ti« , f he [vno è. men « &x [altro ì piùjper il che f milineUd ft anuuUafl0 1 angi firn muUifilw cando rad. * 1 difupra fia la radice v. difotto , & rad , 1 fi Sfotto fra-, la, rad. ■v.difitpra ppjr cjfcr i' vna,w. ^l\altr<^i(f{aqtmÌldV%,\ d? andigra ' Ò 0 2 rad. Ddl^lFhìwidca ràJ.it, difepra fiardà.iidifettófennop. & la r.it fecónda difeprajcM la feconda difetto ferino meli tónde quófle altri dite quantità fi annullano',. & follmente gli rtfta m.rad.6 difetto da multiplicar con men radifró.'di /offa, li quali per intender fi rad.rat.o9me$àdi(Ji faranno rad.6,percbe m.fia m.fa fenrprc più, per tato fegdtdM prOpòfito, cioè, che bafta a multi .plicar quelli vltimidoi termini , TVthn.rad.ófhrm. rad.6, & del produt to cauarne la rad.chefarà radice 6JPt¥+eg8la rifelut.jfima infermili cafi, onero cauarai il quadrato dii WtiUof tornir del quadrato del maggior, chèli, m.rdd. 6, del 2 ì «&)tflar*p!YXrtf,fe beri ti àrKotdìdelfeottrar <ielp.& m.pofbmàhif ni frolkogo, iteti eYàdanmferaie.' iUWÉV Dèlie cìlfìFT n i 1 1 ohf ' <f él fè Ir 3 firìtó He quali due - fono dette rationaliy&tealtfe 1 3 fono irra- tionali,& fimilmentele 1 3 altre fue rad che fono in fumma i 6 linee irrationalijcome di- , loJttO li dira. ^ " 4 Iu \4 prima delle 1 5 linee fi chiama ratiànalc , & fradice di ■J quadrato inferro ouer rotto, cornei è radice di i],& i-f- 6~~- , <& quefìa tale linea è ratìonale inionghegga , dr in potei tfv.tkK» il «VnV. > -*•' de numeri è rad.de w , & quefla tale linea è ratìonale inionghegga , & in potenza, cioè in quadratura per la 1 $ del x.di Euclide, & feappia ciafcuno.che ogni qui. ftfj //può chiamare lineai&fUpèrfivk, fecondo la ini entione dell operan «5- pèrche fefi caualar.di vHo binomio quello binomio feftippone per fu- perfide, ma fe'l fi moltiplica per qualche altra quantità,oueró fa fem/edef mo,in qucflo tafeo fi fupponc per linea , & quefiofeidittftr lettor iena fri noia quijlione, che da alcuni fi fuole propone r . • • »• ••OV* : . I3 '' * La feconda linea è detta la rad.de numero non quadrato, comt rad. 5, rad.% &ci ma fidamente è radunale in potenza, cioè in quadratura , & è detta ratiorrdt^erche fe ma linea farà rad. 5 , il fuo quadrato è 5 , cioè 5- quadretti lunghi Uno, & larghi 1 per ciafcheduno quadretto . La terga linea è chiamata mediale, cioè r.r .de numero non quadrato, com'è r.r.i,oUer d'altro rtumeró,et è chiamata medi alt, perche lafuapo- tenga,cioè itfuo quadrato è r.d'un numero non quadrato, com è lapoten ga,ouer quadratura derir.jè r.j,etè detta mediate, ouer media, penti tglie media fra due fuperficieproportionai/nenit, come'tra rad. q,et-r. 6, ri cade la media pYvpoYtionale , quaCè rad.rad.30, pereti il fno qua- drato t radice ;o. ■ 1 ■ Le altre 1 1 linee fono li 6 binomi], et li 6 recifi {noi cor r effondenti, le Alfe Libro Terzo'. 147 iìffinìtioni de quali 6 bini/tno fono contentiti nella 41 del decimo di Elicli de etatrouarli infegnano la {i\ 4 [441451 4^ | .* la 4 7, del detto io li bro-or dinatamente s ma Perche le dette dtfjtnitioni non fono molto facili in e fio Euclide, qui ni con efiempi) chiari,!* replicheremo a una per vna. Le 3 prime linee delle prime fei, cioè le prime j fpecie de binomi) le maggiori por tieni fono più potenti delti minori ntl ti quadrati delle linee eommunicanti iti Ungbejja alli medefmi maggio ri por t ioni , onde la quarta linea, qual è il primo binomio, cioè numero più rad.cvm'è q p.r ad. 7* chela maggior por t ione è 4, et la minor è r. 7, onde il quadrato della maggior, quali 16 auanga il quadrato della minor, quali 7, de 9, qual 9, non filo ha proportionc al 4, come da numero quadrato a numero qua- drato,efsendo l' uno , et l'altro quadrato , angilar.de 9 , qual’ è ) è com- menf arabile in longbegga alla maggior portione, qual e 4, perche fvna, et l'altra è numero . A cauar la rad.de 4> p.r. 7 binomio primo. ET polendo cauar la, rad. di efso binomio primo, cioè di 4 p.rad.y fa- rai per la regoli fopr adetta, di 4 maggior nome cfuc par ti, che multi- pucata l'una nell altra faccia la quarta del quadrato del minor nome,cioè faccia 1 quatè il-y de 7, et per far quefìo piglia la 4- de 4 farà j multiplica mfefa a,cauane 1 -±- reflcrà dì quello piglia la rad. farà i~- qualaggionta,&- tratta de 1 haucrai le parti, cioè etia n.di quefie due partì gionte infieme farà la r.del detto binomio qual r t -r-p.r.-i Perche miiltiplicando 3 farannd-', -L, plicando in Je jteffa r.j 4- p.r ad. 4- farà qp.r.q, come utdi quiuidifotto. - . . . ?i*i r. del primo binomio (r‘ $ P‘ r' ,< io ài o Xft n 5J3 ioil , 4 M'. ' v . > J -* 0 s tW « 1 . , JAijjWwuH» 'T, »v>:. t i .1 Vl*s> ' 3 4- I 4 4 O WW 4 7 froua 4 p.r. 7 ? Et perche talemu Itiplicatìonc è infegnata nel jtlgorifmo delti binomi) quiui non la replico, J apponendo , pbe fi debba bauer a mente li jllgo* rifinì precedenti. n >- [- T tfi come la r.del fvpradetto binomio è fiata vno binomio de r.pìù r.\ potrà auc bora alcuno binomio primo bauer la fua rad. che farà numero 1 • \ v piu PelIfAritbnjstidl più r. per (be come dijjì difopraciafcun binomio , qUalvuol delle 6 fp ed* multiplicato infe fleffo produrrà fempre binomio primo . Hor prendi U radice di quefl' altro binomio primo, cioè di 7, p.r. 45 • cioè piglia il f de 4% fard ii,& queflo ferua poi piglia la -\- de 7 fard. j -~-qual quadra fard 1 1 £ canone 1 a [opra feruato reflerà & di quello calia la r.farà 4r , qual aggiungi a } -f fard 4 , & la rad. di 4 , qual' è 2 fardi! primo nome poi fot tra -\-dcj^ reflerà },&dì queflo co, na la radfarà r. 3 , quale il fecondo nome, onde dirai che *>p. r. J fari l4. r.de 7 ,p. r.q.i,qual"e ftmilmente primo binomio , come per prona quitti iifotto reterai. > 0 j ’ 4 nj. / 2 p. rad. 3 • . 3 (• binomio primo, & ^ 2 p. rad. 3 v. v> .o'";'; *’»,o’a*\V» radice li'vn' altro hi — • ■ . n<mio primo. 4 .nv.s» r- » » prona -%• p. r. 48 Ver tanto concluder aixche la rad. del primo binomio, , farà rnq delli liypai«RwwVWj f Ideila quinta linea, ouer binomio fecondo. s , . ,t .1* ,s •. ■" . . v, • • t»\: . . .Vi. wVl i.U L^A quinta-linea quali il fecondo binomi*, cioè r, più numero , come r. 48 ,p.6, perche 48 auan’ga 3 6, cioè il quadrato della minor por itone in fi, qual ha pr,. panìone con tffat»aggmportione,cio'e al ^,C9 meda numera quadrato a numero quadralo , alche fi. trofia, fcbijfand* t.%x& qi,fhel 4& lo contiene Sfolto, ouer dirai , come bai al 4 henr cbeejfo iì,ó~ ^,-npnfiano numeri quadrati* fiewtc fumo nel primo., binomio . J. j; -iV* • j| . # Cauar la rad.dd fecondo binomio, f\t{de. r olendo cauar la rad.de queflo fecondo binomio , cioè de rad. w 48I/?. 6j frmilmmLe perla dttLt regola farai del maggior nome due parti chemultiplicata Ima nelT altra predano la quarta parte del quadrato delminor nome, ppde. piglierai la -j-de r.48 farà r. 1 » multi- plica infe farà U cauaft'- sciale la. quarta parte de 36 refieraanpiì et la r. 3 giùnta alla detta qual fùr,\i .ira r. tt,p.r.},& traU4.dcUa detta -J- , cioè del detto 1 1 reflerà r. 1 , onde mulfipflcapfa, fte duepaxd brnnneifaltraifiobx^lx^Md fùir.x*,m.r.ì faranno 9 , come fù detto . "X i LibroTerzo: ( 14* aatuu osi» rad. li, p.rad. 3 \rad. il, m.rad. $ rad. .t«V> t\ j r~\\ limolili li TP.) 3 ’• fanno 9 a ponto. Et perche rad. tx, fi può congiongcre con r.j per tffer communi canti faranno r.2j,& ilfuorecifo , cioè l’altra parte refierà r.j ,cioè fottran do rad. 3, de r. 1 2 ,onde tutto nueflo comporto farà r. 2 j,p.r.j,& la fica r.farà r.r.7j.p.r.r.j,quiilèlinea bimediale prima, perche $ fi a 27 fanno fi , la cui r.r.è $ ,perche contiene fuperficie rationale . *** Ter tanto moltiplicando in fefleffa effar.cioè r.r. 27, p.r.r. J farà r. r.*ì,p.6,qual è binomio fecondo, come difot to appare . ^ * 7 1 1 » S r. 4 8 p.6. 1 8 r. r. 2 7 , p. r. r. 3 r. r. 2 7, p. r. r. 3 r. 27, p.6, p. r. 3 * 7 3 8 1 9 3 - Multiplica adonque r. rii 7 ìnfe fà r. 27, multiplica in noce r.r, 17 fia r. r.j, farà per vnverfo r.r. 81, cioè 3, per l’altro anebora 3, ■ che fanno 6, poi multiplica r. r.j in fefarà r.3,0 ndehauerai r.ij,p.r.g, p.6,& perche r.i^ér r.j fono communicanti, aggiorni infteme fanno r. •48, alqudgtontoil 6 prodotto dal incrociamento /àrir.48 ,p.6, Come difopra hauefti, & così farai, spronerai le fimiti , ^ ^ ^ % Y*r * V * * "* ^ . *^*T ? * Della (èrta linea qual e binomio terzo. 11* * ili' * K .'i-J;. «Ir *1 », 1 « i., \ «ft\ 1 ‘.rrMiv U T fetta Unta delle 1 5 dette è chiamata binomio tergo , & è compo- -I— * fìa de doi nomi de rad. cioè rad.più rad. come rad. 1 $, p.rad. io, per- che la differenza delti loro ouadrati, cioè dal \o alti fono ì, qual 8 ha proportene al iì, cioè al quadrato della mtaggior portionc , comoda numero quadr ato a numero quadrato , cioè tome 4 al 9, le r. delti quali fono »,& 3, communicanti in longbegga. Cauar *> DdTArithmetlca Cauarla rad . del terzo binomio . — . * f ; ^ ; ' .MITt , ET volendo cauar la rad.diqueflo tergo binomio furai fimi Ime te del maggior nome due parti , che'l produtto d'vna nell’altra faccia la q. urta parte del quadrato del minor nome,? virtù della quinta del fecodo di Euclidt.per tanto piglia la de rad. i Sfarà rad. 4 -J- , & poi piglia U s-J- de i q farà 2 + ,& quejlofottra de 4 -fr rejlara 2 , & di qnejlo cavala rad.faràrad.2 , qual aggiongerai a rad. 4 ~r ne veni ra rad .4 p.rad.ì, pervnaparte, l’altra parte fararad-q^r m.rad.z,^r que- lle due par fi, che l vna è binomio, & lai tra, è U fuor e fi fi multiphcate luna con l’altra faranno » 4- > come fù propojlo come; vedi difittf fduandq il quadrato del minor nome del qua- • < 7*—:* u 1 drato del maggiore, cioè zdc 4 4- reftano 1 4- I rad. 4 , p.rad. 2 [ rad.q-j-,m.rad.t 1 i y .t .*\ c - ^ .i S .x . s t .1 .2 J_- 4 + * t_~i; - - w , & • .< ■> ,r: 1 £j que/ìo 2 ~r- IhaucreWt anebora potuto trottare filtrando ra- dice 2 de radice q-±-, & rellarebbe radice -i- , & poi giongendo rad . 2, con radice 4 farebbe radice 12 -{-f perche fono communitan- ti onde multipUcando rad. 1 2 farad. 4* > nè ucn rad. 6 £ la qual |^> .dice, f/milmentc fa' z -J- , comedifopramala multiplicatione del bino-* mio, nel fio recifo è più facile. ,£t volendo trouar lar ad.de l detto binomio,aggiongi rad. 2 alla rad. 4 , che fono communicanti, & faranno rad. poi fitti» raiLt de rad. 4 rollar anno rad. -V > & di quelli doi cattar ai la rad. & farà rad. rad. 12 » p. rad.rad > & quella è la rad. dclfqprafjcritto bino mio èbcf VSip. radi i&Jiiqual rad.rad. ri 4" 'pìrad.rad.- {• /? chiama bhnediale fecondo , & della multiplicatione delle fue partine HcKad.rad.-ir- farà il detto binomio tergo, cioè rad.i8,p,r. \ tonfante redi quiui per operati onte. - • — *■ - • iMrwì . ?.utZ> Lìnea «r.»M *,.L. ; 16 r. r. 6 £ .v*«i . ) ..t. . .. r.r. ioo t’tltoTcteòi I 1 49 linea thnediale feconda r.r . là 4- P* W4 r. r. u-r p* *.*4* ■* &?< rii*' '4* p. r. io* p. r. •}* " • . .i 4».- • v » vt.«<nu<»Utt\tl nvjìHf 11 _L 2 & *3 -i * /!!.C 4| »5-±- r. 6 4 ftoè multi plica r.r, lì r. 18, p.r. io binomio tergo . i fé farà r. i x , poi multiplici r»r. i à f U r. •— , ifitutL Mr, U -5- j/cr ry/cr ivr/irnn/iua/u+ faranno r. 18 ymtal giunto alT altro nome che è r. ìofarà r.i 8, p.r.ioji come fi propello, & cofi cauerai la r.d’vn’ altro binomio ter^o. Hora per maggior pr attica delle cofe dette poniamo anchorada effer sfratta larad.it a, p. radice 84, fuaCl binòmio targo, che la differen- za di loro quadrati qual' è 28 è còmenfurabile tnpotenja col maggior no m^qual "e 11 2, perche hanno proportione tra loro come 1 alf,: TI* 84 rota r.ioy p.r. 7 jara m maggior parie, ry la minor j ara r.20 , m.r.y, _ O" perche h 2 8 , & r.7 , fono cowmunisanti} aggiongiti infime forami) r\ 63, &tar. della r. de 63 forila maggior parte dettar, del binomio — — terzo* ciohr.r.61 - fimilmente cauerai r.q.de r. ìSrèfievauuor. 7, & 19^ la r. della rad.?, cioè r.r.*], farà la minor partei ella r.del detto binomio, ^ 1 4 farà aionque effafua rad. cofi [fritta cioè r.r.63. p.r.r. y,quat fi chiama *4 linea bimedi ale feconda * ; 1 ' Et volendo farne prona, multiplica htfe rad. rad. p. r,r. 7 tìnta r'r,^Ì faranno fe ben operirad. m , p.r. 84 rad. rad. 63, p.r. r.7 bimc 35 bimediale feconda 63 0 >-'H - 63 i ■ ■ di, x r.r, 6 3, p.r. r. 7 70 21 31 «3 7 441 21 7 tr.f3ip.ri2q,p.r.7 r- 44» r. 21 4 .w Q » ÌÌ3 112 «4 Tp fiòb DelTArìthmcrica Cioè far mito prima ra.6j,p.r 84 venuto dalla multiplieatione in eri ce duplata,& p. rad 7 ,& giùngendo poi rad. 7 , alla rad. 6} farà radice 1 1 lycome fu proporlo . - Similmente trouarefii U rad. dii ter^o recifo, cioè che de rad. m,m. rad.S^lafuarad.farcbbcrad.rad.63,m.rad.rad.7j CSC foit lirccifife* guono lifuoi binomi;, in ognrfua.fr cric . Della Tetti ma linea delle 15 quale binomio quarto. Ljl fetthna linea delle i$ è numero più rad. & fi chiama binomio p quarto, a fimilitudinc del primo binomio, ma in quefte 3 vltime cioè quarto | quinto | & fettimo binomio, le maggiori por tioni fono più poten- t i,che le minori, cioè hanno maggiore quadrato, talmtnte che li eccedono fecondo li quadrati delle linee non communicanti in longhr^ja olii medef mi quadrati delle portioni maggiori , fi come 6 più rad. 24 , quali bino- mio quarto. Terche il quadrato de 6, quali ì6, eccede il quadrato de radice >4, quali 24 de differenza de 1 j , & la rad. de effo 1 3 non ha proportene al detto 36, come da numero quadrato al numero quadrato . ? * v . *% ,* ! «.(»-• . . 4 * . # f Del cauar la rad.del quarto binomio: . : PEr tanto volendo cauar la r.de 6 , p.r. 34 , qual per le ragioni dette l binomio quarto, far ai de 6 due parti eòe multiplicata vna nell’al- tra faccia 6, cioè la quarta parte del quadrato della minor oortione, cioè piglia la de 6 far a },<£■ queflo quadra farà 9, canone il numero, cioè 6,rejlcrà },& la r.3 gionta alla 3 del 6, cioè al 3 farà vna parte:l' altra farà la rai.j tratta del detto 3 , cioè vna farà 3 , p. r.g l altra 3 , m.r.3, tome tnultiplicando veder ai difotto, . 3 p. r. 3 Et faranno 6 T r, ’XJbmTefezttin 150 » . -| fai eanalar.li quitto quadrinomio, cioè t.V.f, f.t.},p. b.V. ) ,m. V.}, & qucflafarà la rad. te *>p,r. iq,qnal quadrinomio è chiamato la linea maggior, peri* 5 < del detinm di Euclide, le parti della quale non fi poffano fimmare per non e far communkanti,come fumo quelle del ter- binomio difopra , parò v olendole prouar e quadrerai {vita parte, & {altra leuando,lar.vmuerfalc, &gioogtr ai li quadrati, & haueraili duoi quadrati ielltx parti tvno }#. r.j, {altro },m.r.g,chegionti infie me fanno peonie vedi qui difotto in figura, ’ n V 3 p. rad. j .< ’• j m.. rad. 3 v‘ • U afcup aorril s'ì 'Aìffthtà .Jill'jCI • t Et quello 6 {aggiùngerai addoppio del prodotto deWvna parte nelTal tra, qual fi trouà moltiplicando r.v. 3, p.r. 3 fia r.v.q, m.rad. 3 ,dicendo <a fia ? fanno g,fkuane il quadrato del minor nome che è $ refieri $ , & far. di 6, doppiata farà 1. 14» qual aggiongerai al 6, che fu lafumma del '{s quadrati delle parti, cioè del binomio, & fuo tecifo,& farà 6,p. r.x 4* fi camelli propofio,& quefio vedrai difotto in figura , > &. cofi ojferuerai ùejli altri fimiU. . Lincamaggbr r. v. 3.^.3 , p. r. v. 3, m. r. $ . i • .oimònìd iJ i£ejk> bel V.vimnf t uufc)tA<f«fR>fcw J " 1 r. t\i! u\: Si» wnn\ f'.'.tn. r.’f > tA 6bncbt»\,t 3.c-v. 04.W1 ' \ 1.1 ,^)\\ 11. pi v-\r-* rs t >' < t aggio ruoli r.i+ fanno 6 , p. , t. >4 binomio quatto <> ivv.3 , p. r.% »'i » •. .feti ! in -J- iA u» • .r.v.}, tu. r.g ttf\ '.Vili tctt\ (.s.iiiA «A» !.\tnrt 'ls .EWi.1 *j ! ■> ■ j : ,j\_ ini» vSi8.nh'«.JK.j i.bt.i -soriani 9 1.'. . iblK avMJ-iiò il. ,1.^/1; \v£ T.V.ÌUJII 3.V.m.i ,4-t Wt rad. 6 8.W.1 4 H «.Wcft rad. 24 & Et fe'l fitffe vno binomio quarto , che la parto maggiore rationale fuf fe 4, & volefli faptrf qual deue ejfer la pertioneminor irr attortale, di- 1 '• i'Vvi • -.-i..- Tp 2 rai Defl’Arithmetica •ai per Li prcportìout deidetto binomi* quarta, fe 6 mi dar. 44, che mi darà 4.opera, & trouer alche ti darà r. 1 o -f- 'talmente, thè 4 , p.r. 19 •^■farà binomio quarto; & 4 ,m.r. io farà ib quarto recijfó retatolo al detto binomio, La qual regola ti permea atro mar li antecedenti, & eoo feguenti pigliando laproportionede fpecieinfpetnededi 6'btnoimj, & cofi udii fuoirccifi,la qual cofa è degna, dbauuertimento. ..■> li v ■ 1. \ J ^4-p, r.ios^- binomioquarto. Et chi voleffe trouar la r.de 4, p.n io , dirà che fiar.v^t j>.r. r perche quadrandola, col lemar la r. miuerfale farà 4, p.r, io, & cofi fi fa rebbe in limili che non hanno altra r cognita ► Della ottaua delle ! j linee quale , binomio quinto. • : •f«W «WniVvM'àat fcuim • Ìi Ji ottona linea, qual è binomio qubi»rqual'è rad. più numero JS e » a me rad:$S,p. 8,H elqual è il quadrato della maggior po rttone,quak. Sè' g6,aHctnga il quadrato della minor quoti 64,™ j* de differenza,# perche la rad.de j x, non hapropòrtione alla rad.de^6t>,come de nume- ro a numero > perqucjlo egli e al ijlcjfoyà. incommenfur abile in longi- tùdine. t .-r a Del cauar la rad del qjufnto binomio. • H, fluendo adonquqda canar la rad. ddfydftto Binomio quinto, cioè- de rad.g6,p.&,fecondo la regola più -molti detta, farai del quadra to della maggior por tione, quali rad. p6ducparti,che moltiplicata luna nell'altra faccia 16, cioè la quarta patti del quadratole la minor, quale fu 64,ondc pigliar ai la 4- ae rad.^6,qual'è rad. 24, dal quale fottrane ef fot6reftarttmto%,& larad.2gionta,& trattade rad.i 4 farà ditte par - ti, cioè la maggior rad. 2 4, p. rad. $,& la minor rad.iq,m.rad.%icbe muL iiplicata luna nell altra farà 16, come aedi difotto * rad.X4,p.rad.% {• rad.xq,m.rad.% 4: 24,01.8 8 Va> •slt.a.ihvt .1 ■» « >11»» 1 , t* Vtf',13. 4 • » > '-*■ -rt» .auwnwrn fanno 16, . ». z jfdonquc J Libro Terzo.! I 5 I r n "Monqut cattando htmd.di queflo quadrinomio compoflo dcrad.vni-l . Uerfali.ncb rad.v.i^,p.rad. 8,p.rad.%4,m.ra.8tfarà U radice del quin- to binomio, qual è chiamata linea potente in rat tonale >& mediale . ' i Et n olendo prnuat,quitdr arati' una, & l alt rapane del quadrinomio ~.far.annorad.2^,p.rad.9\-&- radn^m,rad.S,& aggiùngi tn (iene li dei quadrati doppiando rad. 24 faranno rad . 51 6 j & queflo aggiùngerai col doppio dell una partoneU'akra,qual farà 8, & farà rad. 96#. 8 , come fu tptopoflùtciob dirai rad.2qfia rad. 14 fanno 24 dal quale caua 8 quadra- to della minor pontone, reflaranno 16, & la rad. 16 doppiata farà rad. *64, quali 8 , farà-la detta portione minore* ationalc , come vedi difbtto Sfigurai f quadrati /r. 14 , p.r.t 4eHepani\rr 24» m. r. 8 Uio'v — W.-j ,4 ,C*.u 1. 1 . >!>■!... U-'.J r. v. r. 14 , p. r. 8 r.v.r. 24, m.r. 8 *4»»». * 8 iww ai fimmar. 96, portione maggiore *>t; : ' • 1 '' ••''«kivi \<mY. iU^eVa y»?. *. t6 :\tn & t» ,*t»i S'\'j ;S>i j , iì-f.1! 1. • 'i'il t 4 " ■ rj.t.l ' r 1 Ìm -.,t Jmea potente in ra< r. v.r.24, P-r- 8>pi r.v.r.t^m.r.S r.64 portione itittuUe,tt mediale è r. del q.hinomià m.\ 8 minore T »’ - t*; i.tt\ v . .. r, ©ella noria lirtea delle is* quale il A i- . . 1 lelto binomio . !♦ ' ' i.: T n<uta lima delle quali rad. pià rad. come farebbe rad, 48, r * -prrad. ^tiqual è binomio fcjlrfipercbe il 48 auangail 3», de 16, et pere he la natLde x 6, quali 40011 hrfptof*)* rione alla rad. di 48, come da numero quadrato* numero quadrato , n*lla rad. 48 alla r. 3 » è comenfu - r abile inloftghe^ga,rffri chiamato bmorrmfvfto,cr rfftrad.de tri, che nuan^a è detta irti òimcnf arabile in longhtTgd a radice 48, maggior portione . t- rad.deIfefto bi.pptnio^ , ,, E71 PpkndO'hmaqMrad.iel dtturfrfio bimnio fecondo iarcgoUfo- pr adetta iprtmafaraìdei maggtor nome, chirruL^. due parti,che « ' mal- : ! DcirArittmiefica multipli cala luna nell'altra faccia la quarta partì del quadrato della mi ttor, cioè faccia %,qualè ii-J- de j i, per tanto pigliala -f- de radice 48, fari rad.it, moltiplica in fefara 1 1, cattane %, riparano q,& di queflo ’Cauald rad. farà 2, qual aggiongi alla rad.n, &xfarà rad.tt ,p. t, quali la maggior parte, & la minor farà, rad. 1 t,m. t qucjle moltiplicate l una nell altra faranno 8 , come vedi difottq . .1' - \\ ■ *»r t>.3 c’j ; -< i. t ■— n <t» i éh> V. k jìi^i . t t.;;* ■»*.: • ^ '.t.*. f; .•iu'j.' a j .\.i .?!{.; ’j.-j \vwb ; rad,it,p.% .V •r'v ■•‘'O »*ii i-v 'J'| ' cwoU(o\ rad.it,m.i fri* £»•• -*v-ìV. itt «y». J< l i r-4 ■' | 8 . . . \ .v .t 1 — ■ 2 - . : . i ? .1 .*) r.s .i\ fcfe-ditvvT. ■ Et la rad.vniuerfaledel congionto di dette parie farà r. del detto-bino mio fefio, che farà rad.v. rad. i2,p.t,p.r.v. rad. il,mjt, la qual è c bia - mata linea potente in dot mediali, perche ilfm-quodrato fi rad.pjrad.cn medi [opra. — **'" ?’.'*}• vrw'° • Qtnu«;i \ Et ttolcndtUequadrare aggiongi li duoi quadrati delle parti, ciò è rad. Il, p- 2, con rad. \i,m.2, faranno rad.^8,qualè U maggior portione,et poimultiplicaluna parte nell altra, cioè rad.v. 1 2, p. 2, con rad.v. li, m. 3, dicendo printarad. 13 farad. i\ fanno n, & m. i,fia pii , fannom. q,qual fottra del it, rejlarano 8, et la rad. didi farà il prodotta dell' una parte nell altra , qual doppiar ai farà rad. 31, qualèla minor portione , che gionta aJlbi>n j^ior>c])eJji .r4<j.j82 fati che fu il propoflo binomio fefioicome uedi quitti pifotto in figura . .OI/TIOXliq Dibi Linea potente in rad.v.r.xi,p.% p. r. v. r.X2,m.i due mediali . r.v. r.np.'x. T ^ rad. lt,p. 1 — ■■■ 1 — — — — J aito .'(..,,.1.1 ;Hs. *ud. tn. 4 k .t ic> j fv< -.Ui. 8|.b cu. il tu** 4 •»> • ' • ; r»:;?nu i'' : . 1 - *i 1 . .itat rad. 48 portione maggiori .v, v]^nfeiàuw:. v 4 . «invìo* • C-\Xtf appio, che quello i-.è>VintttO ratiénalei capa , perche U differenti era ^numero quadrato, ma non farà x ottonale htogni cafo'w’ . * Et Libro terzo! 152 • Et coti larad.dclfuo recifo, cioè de rad. ^2, p.rad . 3 a farebbe flatta qucfta,civè rad.v.rad.i2,p.2,m.rad.v.rad.\x,m.%. ' - ’ • ' Delle altre.6*ipccicd^kmiate rccifi . . ’ C ' - • • L£ 6 ffcciederccifi fono filmili alle 6 ffecie de binomi? in tuttofala» che li nomi del binomio fono congionticcl termino del piti, & li no- mi del recifo fono di/gionti col termino delmen. del rèflo hanno le medef me condi doni, & inuentioni de r. cioè che'l primo. recifo è fintile al pri- mo binomio, & il fecondo al fecondo, & il tergo al tergp,& cofide gli al tri come vedi qui difotto perla rj,& 18, del decimo . I Binomio .primo 6, p. rad. 27 Binomio fecondo r. 108, p-9 Binomio tergo r.io2,p.r.p6 Binomio quarto J2 , p. r. 96 Binomio quinto rad. 9 6 , p. 8 Binomio feiìo'r. 48,/». r. 32 Et co fi haueranno fimili anebora le loro radici & fi come mult/plican do ciafchuno delle 6 jpecie de binomij in fe fanno binomio primo, co fi eia fchuna fpedede recifi multiplicata in feftejfa produrrà recifo primo . Et volendo formar tutte le 6 fpecie de binomij , fecondo la dottrina di Euclide dentro d'vno circolo, deferiuerai vno circolo che'l diametro fia rationale, poniamo 12 mifure, & diuidcremo effo 12 in 3, & 9, cioè che vna parte fia Inquarta del tutto,ouero la terga parte dell’altra , che tanto fà & piglieremo la media proportionale tra il 3 ,& 9, & farà rad. 2 7 ,poi diuideremo il detto 1 2 diametro in q,&2,& piglieremo il me\ go proportionale, qual farà r.j a, CTpoimcnaremo le linee oppofte a gli angoli retti ebe faranno 4 , & haueremo le quantità de tutti li 6 bino - nptj, come difotto appare,defcritto . Recifo primo 6 , m.r. 27 Rpcifo fecondo r. 1 08 , m. 9 H/cifo tergo r.tod,m.r.9S \ !{<.cifo quarto 12 ,m. rad. 96 Becifo quinto rad.g6,m. 8>/ j pecifo feflo rad.\2 , m.r. 32/ ' f wwn-1 vA v:> i. .V., \ .Y;,\ u- hu; ivt »-* ■ - 1 <8*4 n ù . *v.Va>i i\ r Vò,' * ó ; •w,A »A . ; * 0 e ^,5» v-;«- - :vvn ».« Sij&lt'tt) * *X\- . . • • ** \** IL V.V4 ^ (8 ire t Wf, . ’U tjv .tì ' U1: . i r»i a ’-.'Ji V id 4^**1 > *.9 itti ’it q V. '-'Vi ,8 iS$|64f(}tlV IftUy'tlftft Od- * Bia- m 0; ci DcIl'Arithmcftcà Diametro a d[iz , lakmcaa b 3\ ac +| bd o \ cd8 /r. ar fd r. 108 Ne r. 46 «d r.jxs. ... . .. . -, Cioè trauaremo per la 48 onero pautel primo di Euclide, che la line? a f farà 6, & ta bffarà rad.iq,per tffer media froportionàle tra la a Ih tbeè %,& la b d,cbeè 9, onde aggiottgenio 6 co» rad. farà 6, p. rad, 27. Binomio primo . Ella linea fd,con lalinea b d faranno rad. 108 ,p.9,che farà binomio fecondo, & la fd, qual' è rad. 1 08, con la e d, qual'è rad. 96 faranno rad. J 98 ip.rad.96, quali binomio ter 20, et la detta a d,cioè 1 2 con la radice di.qualè rad.96, faranno I2,p.rad.g6,qualè il quarto binomio,& la de cioè rad.96,con la c d, quale 8 cioè li ~ del diametro far à rad.96, p.8, qual è il quinto binomio, & la a e,cioè rad. ^8, con la c e, quali rad.qi fa ranno rad. 4 8,p.rad. 32, quali- il fejlo binomio, fi che diuiderai il diame- tro in due parti l macche fia del diamctro,et l’altra, che fia -f- dcldet i LibroTerzo.' 153 todiametro,et dalli poti delle diuiponi menar ai le perpendicolari alla cir conferenza del circolo diuifo fecondo la quantità rationale, per la decima del 1 .di Euclide,et menar ai le 4 linee oppofìe a gli angoli retti delle det- te due pnpeniicoUri,et applicando li fuoi numeri alle dette linee trouati per la penultima delprimo di t.u elide, bauerai la inuentione delle 6 fpe- eie de binomi] ycome quiui per ordine ti ho deferitto „ Af, & b f f d. & b A f d. & d e Ad,& de De,& cd A e , & c e 6,p-rad.aj rad.ioS ,p. 9 rad.io8,p.r.p6 la, p. rad. 96 rad. 96 , p. 8 rad. 48, p,r. 3 a Binomio primo . Binomio fecondo » Binomio tergo. Binomio quarto . Binomio quinto . Binomio fello . Et così potrefìi pigliare qual diametro de cìrcolo ti piaccfjì , pur che fuffe numero rationale , & diuifo in tali parti y ma ho tolto il 1 a per ba- tter la commodi tà delle parti aliquote. Et quejla operatione contiene quello che opera la^\ , del decimo di Euclide y con Le altre J fequenti cioè fin alla propofitione 47 del detto decimo . Et la 48 ydel detto decimo dice, che fe rno binomio primo farà multi- plica.opcr yna quantità rationale, &■ del prodotto fia cjlrata la radice , che quella radice farà binomio, cioè vna delle 6 fpecie de bìnomu, perche tome è detto dijopra, multiplicando in fe qualunque fpecie delle 6 de bino- mi) fanno binomio,primo - PeirAlgorifmodi proportioni, ÒC delle fpecie, regole di proportionalità tratta- to brcue& vtile. » * LA proportione è vna certa babitudinc tra due quantità del medef- mo genere,fccondo Euclide nella terga diffinitione del quinto libro , qual hauemo efpoflo con breuifjime iimoflrationi , Qjtefla è diuifa in a generi,cioè rationale, & irrazionale, la rationale è quella che è denominata da qualche numero, & è tra le quantità com- menfur abili. La irrationalc è quella, che non è denominata da alcun numero , & è tra le quantità iacommcfurabili,come tra la co(la,ouer lato,& il diame < t. fl,q tro DeirArithmetica tro del quadrato, le quali fono incommcnfur abili, perche fé t uno è rattorta le,l altro neceffariameme farà irrationale, & conuer fornente . La rationale è diuifa in due generi, cioè di equalità, & inequalità. La propor tione di equalità è quando le quantità eguali fi cop arano tra loro, benché quefta può ejfer anchora nel genere irrationale. La proporzione di inequalità è anchora diuifa in due altri generi , cioè della maggior, <& della minor inequalità. La proportione della maggior inequalità è quando la maggior quan- tità è comparata alla minor , come f e 6 vicn comparato a $ , Ji dice dupla . Ma la proportionc della minor inequalità è quàio la minor quantità è comparata alla maggiore, come fe'l j è comparato al 6, fi dice fubdupla . Et Ir no, & l’altro gcnereè diuifo in quefie 5 fpecie, cioè in Multipli- ce,fuper particolare,fupcr partiente,mulciplice fuperparticolare, drmul tiplice fuper partiente , & quefie ritiine due fpecie fono compofle, ouer fub alt erriate dalle 3 prime, & hanno li mede fini nomi, fe non che olii no- mi della prcportion della minor inequalità fe gli propone la propofitione f ub,dicendo fubmultiplice, fub fuperparticolare , fub fuperpartiZte , ere. le quali fi efponeranno con fuoi dijfinitioni,et éjfempi ad ma ad mural- mente, che intefe le fpecie della maggior , faranno intefe anchora le fpe- cie della minor inequalità. Onde la proportionc della Equalità tien il meggo tra li detti doi gene- ri della inequalità, imperoche la proportionc della maggior inequalità fee m andò fi appare , che s' appropinqui alla equalità, & quella della minore inequjlità cref tendo appare , che s’ anicini alla equalita, quantunque da qualunque proportionc della maggior inequalità fia vn infinito defeenfo alla equalità, éx da qualunqueproportione della minore fia parimente v- nu infinito afeenfo ad effa equalità . Si come la proporzione dupla i,9& 2 , fidiuidein fexquialtera , & Jexquitertia,cioè,comc 2 al 3, et 3 al $,& effa è diuifa in altre due, cioè nelle proportioni dal 6 al 7, & dal 7, al 8, & ciaf cuna di quelle è diuifibi le in altre due, & così in infinito. talmentc,che non fi verrebbe mai, così diuidendo , alla equalità, la qual cofa è mirabile . Et fi come la dupla, come aggiorna alla fubdupla , come -J- produce la proporzione di equalita, qual atto fi fàmultiplicando al modo de rotti con ~~ fà che fono eguati,così ciafcuna proportionc della mag- gior inequalità aggiunta alla proportion della minor inequalità della me- dtfma fpecie couìlituijfe la propor tione di equalita . Et effa equalità co/i fottratta da qualunque proportione,comc aggionta , non fà alcuna muta- ttone nè per multiplicatione,nè per diuifione . Delle i Librò Terzo; U4 Delle proportioni della inequalità , ; '' ^ ÒC loro 5 Ipecie . ET ■ polendo rapprefintar le proportioni della maggior inegualità fi mette il maggior termine foprailminor co/i- J- , & ntllaminor inegualità fi mette il minor /opra il maggior cofi-f-, perche il confiquen te è partitor del antecedente, quando fi vuol trouar le denominationi di ef fé proportioni in tutte le fue fpecie . Quando adouque il maggior numero contien il minor alcune volte pre tifamele, cioè finga alcuno auango, fi dice multip[ice,come è la dupla tri pia quadrupla , & cofi in infinito , per la feconda diffinition del quinto di Euclide . Ma quando il maggior contiene il minor vna volta, & oltra contiene Vit i parte aliquota di ejfo minor, fi dice fuper particolate, come il } con- tiene il i vna volta , & 1 de più quat è parte aliquota del minor fi dice fexqu ìaltera, & per parte aliquota s' intende qu elli, che multiplicata per qu tube numerointegijo confiuniffe precifamente il fuo tutto, come ? tol- to 4 volte conjlìtuìffe il i 2 , fuo tutto, ouer stolto 3 volte conflituijfe fi- tnjbnentr detto ri',' che Tunoè detto la quarta , & l'altro la terga parte fu ejjo i 2,lh?fino partì aliquote dì'effo I 2, onde fi contien il minor vna y''" — ^ volta, & mega fi dice fixqnialtcra,fc vna volta, & j- fi dice fixqui ter- ( tia, fi 1 volta, & dj- ft dice fexquiquarta, & cofi in infinito . Ma quando il miiigiat contiene il minor vna volta, & appreffo alcu- ne parli aliquote di ej fi minor, come 2 tergi, 3 quarti , 2 ouer 5, o«er 4I v quinti,// dice fttperpdrth nte,fi come il 5 contiene il q vna volta, & 2 ap- preffo, che fono 2 tergi di c/Jo j ,fi dice batter proportene fupe, partiente^, che fi chiama fuperbiparticnte le terge , & in Latino fuperbiparticns tertias . •’* Et, quando il maggior nùmero contien il minor più volte , & alcuna parte aliquota di effo minor , fi chiama multiplicc fuperparticolare, come quando il 5 contiene il 2 due volte, &mcg^ea fi chiama dupla fixquialte ra,i@\fitl //faggio^toniicneil minor 3 volte,& meg^ga, fi chiama tripla fexquialtera , come il 7 coni iene iti, & cofi quefla fi come le altre (fede tcndeno in infinito, coinè tripl a fixquiter tia, quadrupla fexquiquarta fe- condo la fua compo fittone delle 2 prime, cioè dalla multiplicc, & dalla fu- ferp articolare . ! ( La MttUipltce fìtpcrp artiente fimilmcnte compofia dalla multiplicc, & dalla fuphpartiente abbracciando tutte le fpecie di fuoi componenti è , quando il maggior numero contiene il minor più volte, et appreffo alquan te parti aliquote di rjfi minore , cornei contiene il 3 due volte, & due ZJ ' QJI > ttr~ DeirArlthmetica ter%epartidieffo 3 i &fi chiama, dupla fuperbipartient tertiatj& co fi fi dira tripla quadrupla quincupla fuperbipartiens tertias fupertripartiens quartas fuperquadripartiens quintas , & così in infinito fecondo lifuoi componenti.fi come vedi difotto deferitto con loro denominatone. Denominatori , Multiplice fuperparti fuperpartiente mult.fupparti mult. fuperpar colare J_ 2 ciliare 1 « tiente 2 1 1 2 1 3 2 1 ì Le fìgnationi [delle dette 5 fpecie della maggior inequalità. 2 s * 3 jr_ 8 T t X T Le fìgnationi del * 1 7 a minor inequalità .Al Offcr aerai anchora che le icnominationi delle proportioni non fono rot ti de vnità conte ( per grada di effempio) la denominatione della propor tionedell'i I al 4, quii fi trotta partendo tt per $,che ne vien a vuol inferir che il 4, è contenuto dalli 1 due volte, & appreffo j , che fono li -J- del 4, onde non fono de vnità, ma fono le $ vnità , che auanjano olirà le due volte , & cofi intenderai delle fpecie dell' altro genere , cioi della minor inequalità dijìinta nelli nomi con la propofitione fub, come di fotto vederai . t- Le fìgnationi della maggior inequalità della prima fpecie detta Multiplice . & I dupla f-l" 1 quadrupla 1 quincupla 1 fefcupla , &c. Le A Libro Terzo 1 5 5 Le fignationi delle fpecie fuperparticolari . X _4 3 4 C s 7 6 fexquialtera ^fexquitertia fexqquarta j fexqniquint j fexquifexta i I X X I 3 Li Tuoi denominatori, c i 1 1— I 4 1 1 f luctquotiéti. i I 6 Et quefìi rotti fono denominati dalli numeri , ouer termini confequen- ti di dette proporzioni . S_ 3 Le (igni f_ j itioni delle fpecie fuperpatienti . 9_ I H 1 H 7 9 »* fitpbipartics i fupbiparties f upbipartfés^ fupbiparties j fupbiparties tertias quintas feptimas j nonas vndecimas Li Tuoi denominatori, ouer quotienri . X 1 'l 3. 1 7 .| I \ ( 1 I II Et cofipoffono effer fuperh'tparfienti fuperquadr'tpartienti procedendo in qualunque denominatione fi voglia jeruando la dijjinitionc de loro fpecie . % Le fignation ideila nr 7_ 1 9_ 9 I 4 jultiplicc fu] II 1 er particolare 11 6 dupla fexqu i altera dupla fexqui tertia lupla fexqui quarta lupla fexqui quinta dupla fexqui- jexta Li & DeirArithmctica i 1 X I » T Li Tuoi denominatori, oucr quotienti . i 2 T I a T i a 6 Et coftfe fujfero triple,quadruple, quintuple, [upparticolari in infinito, Le fìgnationi delle fpecie della multipli- cefuperpartiente. i * i* 7 »© ~9 *4 li dupla fuper- biparticni tertias dupla fuper bìpa r tieni quintas dupla fuper biparticns feptimas dupla fuper biparticns rionas dupla fuper biparticns vndecimas a 3 t 2 f Li tuoi quotienti . 2 7 x a 9 i li Et cofi friniranno le duple, le triple, le quadruple fiipertripartienti, etfuperquadripartieti in infinito fecola l'ordine deUifuoi coponeti. Trouar li minimi* termini di qualunque proportione prò polla. ' x*3 T7 T fc'l fuffe propojlo di trouar li minimi termini di qualunque propor L itone, come por grafia di efsempio di vua tripla fuper tripartente^ f ertimi, che in latino più comniodamenlefi dice Tripla fupertripartient ftptimas, prima hauer ai il 7 per il minor termino, & percbeil maggior contiene efso 7 tre volte,chc jànoo 2 x,& 3 appreffo , che fono 14 adun- que 24 comparato al 7 fe dirà hauer proportione tripla fupertripartien- tc li fittimi, cioè, che il 24 contiene il 7 tre volte, & li dieffo 7, & co fi fàcilmente tr onerai li termini di ogn altra proportione, cofi delle fpe eie della maggior, come della minor incqualita in infinito, * , - Della "V ì \ Libro Terzo. Della Proportionalità. I Sé LA proportionalità non è altro , che vna difpofttione di proportioni eguali per ineguali numeri,ouer quantità, ilebein fo/langa diffcEu elide nella quarta diffinitione del quinto libro , cioè che proportionalità è "una fimilit udine di proportioni, onde e/fa proportionalità no fi può trouar in manco de j termini di proportioni , perche la fimilitudine non può (lar in vna fola proporzione, perche è rclatiua,& la proportione non può ftar in vno foto termino, per che parimente, & e/fa è relatiua. adonque per al manco conuien , che la proportionalità confi/la fra 3 termini de numeri che'l primo habbia tale proportione al fecodo qual ha il fecodo al ter^o, come il 1 è al 4, come il detto 4 all 8, che l'una,et l'altra è dupla,per tan to la proportionalità fi diuide in 1 generi, cioè in continua, et difeotinua. La continua fi troua per almanco in 3 termini , come per effempio 3 | €\ 12, perche il fecondo termino è cofequcnte del primo, & antecedente del tergo, onde fi genera vna fimilitudine di proportioni , cioèl’ejfer il 3 al fi J come il detto 6 al n fuo confeguente, onde ne fegue, che tante ono lefpecie di dette proportionalità, quante fono le fpecie di effe proportio- ni fopranominate . Ma la proportionalità difeontinua fi troua per il ’ manco in 4 termini , come fono quefli 2 | t$ 1 4 1 1 2 , perche tale proportione ha il primo , cioè il tal 6,cheè tripla,qual ha il 4 aln, che fimilmente è tripla, benché il 6 fecondo non ftaal^\ tergo, come il detto 44/12 per e/fer difeonti- nua, & no è la medefma proportione dal primo al fecondo, qual' è dall'ifief fo fecondo al tento, per queìio fi chiama difeontinua proportionalità . T volendo continuar vna proportionalità fecondo doi termini di qua -* lunque proportione propofta, quantunque (iano date più di vna te- gola, nondimeno lenirai quefta per la più facile di lenir a memoria, quale per vno fola effempio mtÒderai,come voledo continuar la proportione del 2 al },qual'èfcxquialtera in quanti termini vorrai fenga rotti, dirai così per regola del 1,fe * mi danno 3 ,che mi darà e/fo 3 multiplica , & parti fecondo la regola data al fuo luogo , & ti darà 4 £ . ma perche il tergo ' termino vien con rotto rnultiplichcrai li detti 3 termini per ii denomina - tor del rotto, cioè facendoli .in megjJ, ^liaucrai qui/lt 3 1 cioè 4 1 6 \ 9, Continuar li termini di qualunque proportione . DelTArithmfctica poi per trottar il quarto procederai fìmilmente per detta regola, dicendo * fe 6 1 mi da 9, che mi dura effo [ 9. opera, et ti dar a 1 3 -1- ondemultiplicbe rai li termini trottati per il drrmmhiator del rotto ret batterai qurfli 4 ter miniydoè 8 I 12 I 18 1 17 , coturni propor tionali,et coft procedendo per det ta regola f emprc batterai rno termino de più inagrì fpccic, de proporti» nc cosi della maggior, come della minor inequalità . v ' Et così potrai anchora trottar li termini della difeontinua , Della continua ne par la Euclide nella decima dclfeflo. Dicendo, fe fa ranno 3 linee proportionali il rettangolo contenuto fotte la prima , & I4 terga farà eguale al quadrato della feconda, come fia la prima 2 la fecon- da 4I la terga 8. tanto farà ilprodutto de a in 8 , che è 1$ quanto il qua- drato de 4 fecondo, che fìmilmente fa 16. Della puffi ine della difeont 'mua parla il medcfmo nella 1 5 del fejio di * c endo , fe faranno 4 linee proportionali , il rettangolo contenuto fot - to laprima, & vltimafarà eguale al rettangolo , vuerprodutto della fe- conda nella terga, come fefono 2 | 6 | 4 1 1 2 1 tanto farà la prima, che hi fia 1 2, eh’ è la quarta, che fa 2 4 1 quanto la feconda ncllaterga, cioè 6 fip. 4, che fìmilmente fanno 24. ‘ Et nella decimaquatta propofìtione det quinto, dice Euclide, fe faran- no 4 quantità proportionali , la prima fia maggior , che la terga, è di necrfftrà, la feconda effer maggior, che la quarta , &fefarà minore, an- chora farà minore, &fe eguale , aneborajard eguale , onde ne nafeono 6 ftecie di proporzionalità, cioè Conuerfa,Vermutata, Congiùnta, Difgion- ta, Euerfa , & Eguale, quali diffinifee Euclide dalla duodecima alla deci- mafefla difjinitione del quinta libro . La conuerfa è quando faranno 4 quantità proportionali , come 2 |6| 4 1 1 2 | fe farà la prima alla feconda,come la terga alla quarta, anchori farà coniterfamentc la feconda alla prima,come la quarta alla terga, cioè , fe 2 | è al 6 | come 4 al 1 2, farà anchora 6 al 1, come 12 \al 4, ilqual mo do di arguii e fi chiama per la conuerfa proportionalità . La Terminata è quando faranno 4 quantità proportionali , cioè 2 al 6, come 4 al 1 2, farà permutatamele il primo al tergo,come il fecondo, al quarto, cioè 2 al 4, come 6 al r2. La congiùnta è quando la prima è alla feconda,come la terga alla quar t a, cioè 2 al 6, conte 4 al il, farà cogiont amente la prima & feconda gion te infime alla feconda, come la terga & quarta gionte infime alla quar ta, cioè 8 al 6, comciól al 12. La Difgionta è quando la prima è alla feconda, come la terga alla quaw ta,farà tecceffo della prima fopra la feconda a effa feconda, fi come iec- eeffo della terga fopra la quarta a effa quarta , curncfc 18 è al 6, fi come 9 al$, farà difgiontamcnte 12 al6,ficome6.al 3» La. T -r • '• , . - à j<LiÌmT«&oi j< I 157 *AÌÀhtftfa.k^tumdpU primtrl alia feconda,/! come la ter tj alla quar- ti, farà la prima all’ ecceffi fuofypra la feconda , fi tome la tcr?a aWec- ceffo fuo fipralaquarta, carne fegliè iz al 4, comtpal j farà cuerfa- mente it aW8, coni! ilqaló. . \j.ii tignai proporùanalitài quando fono propelle molte quantità tante altre applicate nella mede fina preporti (me all incontro, et poi leuart dotgual tornerà ddli mexji da l vnn,cr L' al trapar u, fi trottano li ef ire tmÀe, l'Urna, ér l'altra fiori? proportio/uUi cioìpejfer ima fonile propor- tiene dellicflremi,come fumo $ 1 4. | a in erta ordine, & 11 1 6 I3 nell' al * trottiate alenando il 4 media da lima parte , & il 6 da l altra , fatal- mente medio , farà 1$ al a, come il 12 al 3, cioè li eliremi proportiona- li, anebora , che fujfero molti medtj , come in queflo eff empio fi vede de %Ì l . ' ' 3?* tncilqS al6 ,& 3 6 — *0* \ bb al 6,conie 144/ 48. } 6 . juoV.ìvQ^ vi> oi*. p 1> " r< ;pue Regole della continua proportionalità , st, yv<m' * ancnora dilopra addutte. •» ..y, va. -l\aÙ^.-0 «'• -> «v*. >i;Vt(Ò . V.:.VOfc JI \jAl “<0,0 o‘*a V V, £ » V- h Plfmta fé faranno 3 numeri contimèpropartumali U prodotto, ddli e«t fremi farà eguale al quadrato del medio, teff empio hauefli difopra. Seconda,& valendo trottar l'vno di ejlremiignoto, partili quadrato del medio per i altro eftremo nòto, rie vtnirà fah'rb cjhefno ignoto. Et fe'l medio farà ignoto,multiplica li cftremi infieme , & del prodotto catterai la rofuadratajtauee ài U nmtfaowne veir duella decima fifa frdf pofnione del fifa libro diEtHÌide,eomefc fuffiro 4 f 6 riprodotto dtfa li efirtmi fa )6,& la iad.fita è &,& partendo 3 6 per 9} ne vie n 4, <Jr ■' partendo 36 per ^nevien 9, cioè l'altro eflrcmo . . 1: vj .... .• .» i - • <\ Rcg<4a «Iella t)jf^iou3lp«r,.lfc!VÌgF%?3 dd àttimo , <H<er,t y , di Éuclide. * V SE faranno 4 quantità propoì'tionali il prodotto contenuto fato li 1 » eftremiferà eguale a l prodotto contenuto fittoli 1 medtj ,, come vedi *' ‘ Kr in DeR’Arithnsétiìa in quefli 6 1 j 1 4 1 1 che tali prodotti faitno il spartendo il'proddtto delti medij per vno delti ejlremi noti,nk lenirà l' altro r(irc>no ignoto, '& co fi partendo il produtto dalli eHrcrni p&r£ altro medio noto, ni -menerà l'altro medio ignoto, come pr ouando per te fieffo per l'tffempio trotterai . Et da queiìofiegue , che quando il pmdntto de % numeri fia eguale al produtto de doi altri numeri, fe quefii 2-ft condi numeri ftano ir.trrpofìial li 2 primi, onero li doi pr 'tmi'alli i fecondici detti 4 numeri faranno prò* portionali , come utili 4. detti difopra <5 | 3 1 4(2 ponendo il 6 , dtp il 2 tra il $,& il 4 | faranno j| 6 J 1 1 4> ancbora proporttonali, quantuk que mutino il genere , cioè che paffano nella. proportione della minor inequalità , 1 . Hf .MM , li Regola dalla quale fi cauaìio le prouc del 7 *tSk 9-- * ^ 1 5 * ■ f ' iwìrt SE dui tutto al tutto farà proportione , che è dal detratto al detratto , farà del refiduo al refìduo la proportione, cb( è daUutto al tutto, ef-. f empio, fi come 11 ,& 8 hanno proportione fexquialtera ftano detratti dalli detti 2 numeri doialtri,cbebabbianola medrfmà proportione,comc dal 12 fia detratto p,dr dal 8 fia detratto il 6,refteranno 3, & i,cbefi- milmente haueranno propórtene fexquialtera. ln" \ Algoritmo de proportioni . t.nvvsr» DElla reprefentatione delle proportionii.ajfai detto difopra , & co/i della loro reduttione nelli minimi termini fu detto nel fichi ffir de rotti eftratta dalla prima, et feconda del fettimo libro di Euclide, recami dir della additione, fottrationc,multiplicatioYie, & diuifionedi effe pro- portioni. Ec prima della addittioficVoUfer aggiongerc, oaer Starnare de proportioni . / *- ®i f 1 — " * Volendo aggiongerc ouer fummar mna proportione con un'altra ouer con altre proportioni, multiplica li nominatori f un con C altro, cioè quelli, che fono [opra la virgola,# il produtto poni fimilmente / opra vna t virgola,# parimente li denominatori, & il produtto poni fiotto tffavbr- „ gola kj Librò ccfzòiCI 15 * goladd modvdei mutifticar de rotti, & batterai U futUmaouer aggreg j- 99 de ditte ptoportioni +. u\ v '• * -.\ fc .'»**> *u 1>V Efflmpio, conte fe volcflraggioitgere U proportione del 9 al 4, con U proporzione dclyd 3. fumerai ti umfltgutnti fiotto tifuoi antecedenti,co/i -4* > *f* ,'<r dirà# 7 fé 9 fonò 6 f , quaiponi [opra vh altra virgola al l incontro, & cofi 3 fia sfanno tignai poni folto aló3,& dirai che tal fumma,ouer aggiorno farà la prof catione, che i dal 630! 12, quali qui* tupla fexquiquarta , come vedi -$* -f- ' Vi n; ìBT perche il fottr are prona il fummare, ouer aggiongere,fi come la di- uifion prona U muti iplicatione,& conuerfamcnt e, adonque fottr ondo uni delle dette propor tieni aggionte da detta fumma reflarà l altra,ilqual atto fi fà al modo del partir de rotti.adonquc fottr andò la proportene del 7 al 3 dalla proportione del 63 al 12, come fe volefli partir per -f- a modo decotti ne venirà i|* qual fcb\ffiato fa^jf , cbcft't altra pro- portione aggiunta , & coti offeruarainel fottthredé proportiom, & nel prouareil fummare. Sottrardeproportioni. m." v . > .. . ■ • Onero volendo fottr are la proportione detta del 7 alt de ditta fummo, qual fu muterai li termini dilla detta proportione, che vuoi fottr are, cioè -Jj , iyflfrr ponenti», dti^qpello di fiotto (vprai& quello difofidp [otto la virgola, cr poi farai,come faccfli nell aggiùngere , che fifa al modo del mutiiplicar de rotti f& rrflara- U rf£— ÌL1'^ J.*l.fchj/ra « medifmo,cofi . i» 7 84 u J 4 » i Et quejlo modo è dì minor fatica, qual ojfet iterai nel fottr are vna pro- portione dall' atira, & ditto aggiongere fi caua drllla quinta dell ottano di Euclide, cioè, chr-de tutti li numeri compofèi la proportione de l vno a lai tró vien produtta dal- 3 7 ■ - m 1 Mfc; ‘ ** rÙWÌ^Lt ■'7* 1 1 A \ÌT^.Ì*’.V;W i ■ - 1 ..(‘1 ? v • -A 9 9 *' V:w)i le proportioni de fuoi lati, come nel fcquente effcmplo fycilmctc ve dèrni appiicadole det- ti figure alla dettaope >.'u^ *ù ? yj \ -f* ■— kìóitmpr. fatta .dt ^‘i>u\uu\ -iV> «boi .\*w-<z> »-*- -J- ^ iedqcréttangotiX V» c::.ii.^MÙ».yKwW. ;t.o-v.-»iV\u Et fe li detti numeri foffero nella proportione della minor inequalita,pn ni li minori f opra li maggiori, cofi -f- f- , & faranno 4t • Toniamo ancbora,cbc volefli fottrar la proportione del 2 al t , dalla proportione del 6 al 1. farai cofi per la feconda regola del fottrar del ira- 0:1 3 \r 2 fponer DdL’Arithnhctica fì/oner quella difotto in guellndifoprAiXfa i-f* m »fr»' pdndud» tapi* ^ portionefcxcupla dalla quale vuoi cauar la dupla , càfief* Hft- 'fiat* " ;i- * tefitrà.vmttriplA^bor. pronai* detta fatrattimt'ptr Tri* del l aggiungere, cioè aggiangk madupéa ». eoa vaaJriplx, ro/?-r >4*- + dj iati 4« , cioè vn*fcxt*$Uitsr*apirnto fatua.) tf xofifempre.ojfèrtO^ rai,aucrtendo,che ft cornei l furmtutr di propor doni èfimile almultipti- tar de rotti, c oft il fattore è limile al partir de rotti » volendo affamar il primo modo del fottr are de pxoforùon^, ài» »■.>■ », ''V f'\ •'<' . Ala quando per lofatraiiont fi muta il genere, bfegno, cbehtprlpor- tiove far atta h maggior di qmeiUMitrqvfa /r vuole fatto axc,ciok <putn+ do fi pa/fa. dalla tnaggior aUamitivr inCqualitÀt enfiavi centrar ioitbck daf opere , ■ V. V".. le proportioni ha due regole, cioè f una per multiplicarla per numeri inte gri, l'altra per numeri rotti » PEr il numero multiplicante,ponerai tantevolta la pwport'nomdaijfcr moltiplicata, quante vnità contiene ejfo numernmulùplicant ej dtpn moltiplica li nominatori infieme , & fnnilmente li denammatotàaàmodà. deLmultiplicar de rotti,rt il prodotto fcbijfarak fe fi puaf.dnffaeo,trfa rà finita e/fa multiplicatiotm ii\ '.V . nln si Come.fe vole/tt moltiplicar la proportene fexqtùaluracouìh^ pet ^.fonerai ordinatamente 4 volt e rff a proporzione, cafi -f -{--f-f 9*^ moltiplica a modi de rotti, & farà -f; > & fimilmente dolendo multipli* car ma fexquitertiaper 5 ^cioè -f- per 5 la ponertù < volte,co/ì -p -f' -4- -f- -5-j & moltiplicando a modo de rotti farà -^l\~ , tir qucftenml tiplic at ioni potrai provare quando hauerai imparato il frn parure, peri» .firn. l'uno è prona de faltrfr nel fuo genera t».\ . ..»> »IV5 t \«* ; « ' •.,» V in4»»\ K* **•%« IH .0 » «I» « J.» >'•. >VV. , ki 1 >’•' ■»R*. »!. .\|J . 1 1 . . Della muftiplicatione de proportioni. 1 * ‘ •ti -^"v Regola del multiplicar le proportioni ^ Rego- 1 * 159 toegoI*j<de| fìtaf tfpttdaf 1 te jp^wrich^ ni ntttì»lil«[ti.- f^ìmaiwntèmuttiplica la propòjla pròportioneper ilnittièróMi Te- IT cónti few&ófe fata dffoòra', poi del prodùhùfkitò t'dutrài la rJdi- tè di queftà fpetieidhèipkprefenia il derìfMìhatto di cfì'a-firoportione co mttrefltotptomm mff. ■ llA *0 c"WiM4i . s iy 4 prima Donerai i volte cfTa prooortinne. rinl -ii .li li' Ì>A ; — Z — ' “ “ ,nuaa ae Tom> « tauàndàne ter ad. cuba , del dàibmìnaX ore>zr nommatoie,perche il 3 difottola virgola rapprefenta la rad.cu - te, c ome di) opra diiji- ■ ■ , . _ iraiaj i."»Dnfòrj*Tf otto:* ircup *3x1013 mi jól sani*! D«lf*dmiftoiVeddlepfopt^i(^. - 'n ♦T-m-J-sdij . « 5 S7 come difoprafu multiplicata vnaproportioneper vn numero, & A jprodutta vna propor rione , co/ì partendo quel pr adulto per vna pro- poniamone yenira l'altro pcoducéiite, cioè il numero, et non Ut proporti ne,& ratnumcHi frtA ■q*otlbite,doi numero delle volie,cbe effapropor itone Mantenuta nel produtto. ‘ 1 ■ - ti r r Ma quando fi diuiderà ejjo produtto per il numero producente,ne ve- nir a proportene per. ^ fi cotn^knndo/r multi plica y braccia di panno per 3 fiorini il braccio , fi produce i j fiorini , & partendo i y per 3 fiorini nevienil numero delli braccia quali & partendo il det- t0 bra“m ne vengono 3 fiorini , che fono del nomi del nume- «jr»T Pti. su Ddl’ijfkhmctka P nmaregpja de diuid0:cAc fifcprirtiptìÉ * . proporti q^.m Sqttrej^fnpTOportionediuidente dalUpnpoxfionetbe.yprrai dinidf ferfantf Traile, ebeti rejìila proportiont di egualità , onero che fik W?° li JffÒfh ‘te f'fte dinùnore pkguaUt^fi rfmù in ma^iore* & fe di maggiore fi muti in minore, &per ct^cadMna volu}cb<f*r& Wwefeitt*- £*- lf- ' i,'. , , >fctnv'o<yno i *© i.ì-\;w« .1 ,o- v ii- *.\ wU{i\ f ttvjtt .m ! , Eflcmpio della occorrente egualità*^ ‘ -fcnVt- !> "4) ,1'i’^Tf .'V' ' (iy -£ . . tf -wo'mogftti»-- ... ^wMOTfKf comincierai a far la prima fottratione: feconda il modo da- to dijQpfa del fottrar delle propor f/ohi^ .(onte vedi difetta.^ 0' ; vi a\cl>à\}^ fcU »àT<y\,5KfltwA«w* ’OiVio* Prima (offranone, qual faccio mutando li terini ni> 5^99^)19 ^j^pra , . &conuer(àmente, cioè -f in -p* i> “ìl«<roitiauv.* ' .-vtftu. • '.'■■)•;■ . k „ a t.Wt w - ^ - — 7»? . -— 1&K*. — •t . . KliOI , . i 1 ' 3 ~ -yt avv .>ry>i vliitK. ( li) ìi y . .. u .» - Hi , l.5,* 'AVj.' VÌ.-4X.’ J.u.nw.«t *w* ■'■•*. fann9 — fchijfa fanno 1 r'ou ■ì;..*s VpyiOU .Ws*. jfov',. i*'v . Seconda (offranone. , ■ «* ' :• i om«i \VVùitoSV ? «^àafv>»»<V ••t ••» — —141^ — ìvf ir *•" •• 1 ••.’ t?**- *5 • -L finne — fMfafan -h>"' * * 9 .nvrim ofro\rt> v*v* •m Terza #£ibtt> Terzo * « 1 6 o t%j tiht nc«^'- wi^ nw» si saWii in »r* /• „ tu • (i'ivnucmvMiii'.^ -v vV ' Terza (boranone. I^tjc ur;^ottiikw*V»-»V -aòVW>sk»£ I • 9 3 * 3 : 16% ': •■ »i«Tr V '.\ — /àwrao febiffa ^ Itf 48 « Q^objmioì £/ciicI ' uarta (boranone.- *7 — . U fimo — — fi biffa fanno t Pt 7T:f1 J Jv Quinta (bttrationc. 18 * li òt fanno — • fikijfa fanno i I.I'.V) : 3 * Setta (boranone. X — : x» fanno — proueniente equolità . • ' Ai n.v . 4 an 4- ' -.Vi Concluderai adonque che la proportione propofìa , cioè-{-idefl fix- quialter a entrerà precifamente 6 voice nella proportione del j 19 al 6 4, *o« notata , perche venendo alla egualità non avanza cofa alcuna j onde dirai cbc-%- /àia fefia parte • cioè -7-diZff, come di proportio- ne, & non di rotto yonde il numero quotiente di tya diuiftoneè 6 , perche fono fot feti diuifionij quantunque per via di fittratione, tramutando li termini della proportione diuidente per fegui* la ferola del filtrar di prò poriioni data difipr a . E (Tempio quando non occorre la equalità . p T qudndo operando per tale diuifione , come difofica,dòn occorre la ^ equalità, ma fi muti filamene il genere,* fegno, che la proporte- ne k oò ì s DdKAoflhmdtiìa ne diuidente non è parte aliquota della propor tione da ejjcr diuifa,percÌh non la numera precifament fi ^ - Comefe folcili dividere \ptefta prvportvmc, cioè — * { per ^-proce- derai al modo dato difopra per più commodità, mutando li termini della proporne diuidente, cioè m ^—perfoUrar kprmaregeda del fot * trar dep*opoi%kvù datadifopratòfi. u a\ * . ^ t òi l Prima fottratione. '.9fl0U£?)1Ol ClIBliP - ’ t. Secondi fottratione. * »r- $ — 8r - 1 6 anali fard 64 8 43* niijp fchijfa fanno « * Tcrzd fottr<itionc ♦ — — - — -i- "j*i: -7iy, /i„«, ♦. ir » ______ f4 * f'edk'èhAtn quefiatuga fottratione fi muta il^anarc, perèbouenen- do -f paffa nel genere della mlnorinequalitd-, pertiche non fi poteua far tale fottratione , ma perche fono fatte due fòttrationi feruato il rntdcf- mo genere, Potrai .dtìrtjvhel* propor tion e entrerà t folti netta prò- pori ione , & reBerà , come fedi difopra febiffat & quella rimanente proponitene è la terga parte della propar tigne diuidente , cioè de AZ- ,adoncfuedctta detta diuifone ne venir ebheo. , quali dupla fcxquitcrtùz, cioè tra , ^Fondendo prouar ebe-b- fia la terga parte -de ll~ farai al modo difopra procedendo col fottrar de rotti traffvntndo li Urtatili del dividane enfi wo .vi mwmV < .subite v S Ì'.ìhUim ;• .* , Prima fottratione. r ~ . t,;nKr:p3r.bnr>jDO non obrir.tfp oi<jmwa fardi vtafrù fibijJhfittm^^Y } yT •tìh'.v.'..» V w— *- ■6 * -4 tis* gdyn* V- ’V Se- à •'.•ì.sTa* vi» c ■ *tr! \ v* • in’!ii - • '* % } 1 Libro Terzo, « i6t w,.v.4< Jv-^ \; Vf i'*v’ mrtiivu-w- ,. v -, Seconda fòt trattone. r — fiord /'biffa forno -|- Terza (bttradone. j_ fòri 0 (quotiti ' C» ... » .* Vlv' *\v:a . Vedi adonque che fluendo 3 fottr ottoni ne viene la equalitl , &peri twuluderai,cbe la torta parte dei*- farà -l-> che è il propofito, potetti anchor farle dette dmtfìoni per P altra via del fottr are conforme al par tir de rotti, ma farebbe alquanto più proliffa . .« •■■>... . - 1 | ^ |AS ‘ J1 4 • itk'Z ^ « « V i T . U'.V.T '«*’'* ■'. # q W Regola de diuider le proportioni per • .h,, _f>ume^iintegri..: . PEr il diuifore eflrarai quella radice , che per tal numero i rapprefen tata nelP ordine delle Ugniti ^il^ebratice.eff empio, come fe volefli di fòdere la proportione ^flper 2, perche il 2 rapprefenta la rad. quadra- ta in detto online, adonque dett'vno,ct Poltro termino de detta proportio- ne eflrarai la rad.quadrata,&fltrà , & così farà diuifaper 2,& no tendala diuider e per 3, caverai la t.c. perche il 3 rapprefenta la r, cu. nel detto ordine, et farà*\-,& valido dividere la proportione che è trainò, et 81 ,cioè per 4, qual rapprefenta la r.r.cioè chela r.r.èla quarta (pe -de de r. eflrarai la r. r.dell'vno, & t altro termine de detta proportione , et ne ventri -f-, & .volendo dividere la proportione per q,vedi netti- ordine detto jpmC è la quinta forte de rad. & troverai che eg/i-è larad.rt lata' adonque errerai, -ouer caverai deli'vno,& P altro termine de detta proportione latad.relant,& farà -J- , et volendo dividere la proportio- m 7-^ per 6, troverai ', che lafefla rad. in detto ordine è la rad. quadrata della rad. cuba qual eflreraidc detti termini al modo dato nella feconda partc,ne venir a 4* > & volendo dividere la proportione per 7 caverai la feconda rad.rclata perche egli è la fettima nel detto ordine, et ne ventri la proportione -£• > cioè fcxquialtera,& così delie altre fa- rai in influito, le quali oper attori injìemc con le fopr adette delPaggiongc - -1 Sf re. DdTAtf&PfrQfica re, et Coltrare, et multipli care de propor tio>u,po(Jòno occorrere nellaMm fica , <tr nella <Ar cbitettura, come dottamente accena Boetio Setter ino, Cr Leon Battila Fiorentino nella fua dotti/fima jtrcbitettura,& nel limi- tare il predo delle gioie, & in alami queftti de meriti a capo d'anno . ' ■*< i"Vrf ' *’* **" i **\** " * • — « Regola dediuidere vnaproportionc per rotti.» PErmuteraili termini detratto diuiieritealirtodo che faceti difopra nel fottrar delle proportioni , & poi opera fecondo la regola della muli iplicat ione data difopra delle proportioni per numeri rotti , come per ejf empio, fe volefli diuidere la proportene -p per -J- tramuta il diui- dentefnrà -*• , poi opera fecondo il multiplicar, ponendo detta propor- tene 4 volte così ^ *f- '-f-t & inni tiplic andò al'modo de rotti, fa- ranno , poi perche il denominatore ì\$,eflr arai ddf vno,et l altro temane la rad. cuba quali la terga nel detto ordme, ne venir à f* -per tanto la proportione ^fdiui fa per-\- farà & coji far efii netti iute gri , & rotti riducendoli al fuo rotto, & tramutando li termini , coi- rne difopra* ro^<uai»h^biuiL‘>b£'^ò^ Della proportioni! de rotti. P3fii dai rotti , & poi ridotti ad eguali dcnominatori,farà la propor- tene dell' vno,& l' altro, come quella, ctye farà trottata fia li fimi numerai ori, come tra -y-,dr -J- èproportione fex jnioiiaua, perche ridai ti avito denominatore fanno «f* > & ft*. v.wu:. 1 ! £1 anchora da notare che pofia qualunque ordine de numeri Ja propri (ione de gli ejtremi è produtta dalla fomma di tutti le propor twm inter- tnedie,come 3 J f 1 6| 8| 12J 13 |i q,quella propur tivù, cb't dal 14 al 3 è raccolta da tutte quefle feguenti , cioè -L -f- 4- ’-p Jr- ij“ • & gi**r te al modo del multiplicar de rotti,refuUa quejia Intima, cioè KVj£ > fclnffate fanno ip , quali fimo li elìr emide detti numeri, cr tosi fi fa- rebbe in ogni altro ordine, perche ciafcuno delli termini fuperiori annui» lano li. {noi eguali nelli inferiori, co + /i 8 t? tj 14 me replicando la detta fumina vedi. Tjf foli il 1, & iqnon depennati , la qual cofa è notabile < r • ? ' ^ - » * ; ' \ * ’ *. .l • ’ I V»tìr \ i\«jj vhiai fc.W òr '• tv ** *9 k ' .:\w\ • * I \'hv \t0l 4w v\ ■»' • libro Tetzó: ' M *r.* *V ti9 »• v O* v - \t>* • • * v« l’V'ìtrt ’ s* « li V i>.- •' • » i » '•» ? *v ;*/, *• 3 »u. »' ^ Delle proportioni irrationali . i6l O r ‘ ' ’• • Giù proportene de numoro raùonale a numero irr ottonai e è irrati • naìe,mo non ogni proportene de numero in ottonale a numero irrd fiottale h ir raùonale . Ma ogni proportene de numero r ottonale a numero raùonale è ratio - nale,come nelle quantità inationali trattate da Euclide , nel decimo li - . biro, 0- da noi in quefia ter^a parte, ampiamente appare* . k , V 3 il •> *1 Della proportionc hauente il mezzo, &duoieftremi. Cap. ir non laffar in quefto trattato cofa alcuna, degnadi confider ottone pertinenti alla materia dcpioporùoni, rejlami da parlar, & difeor rere di vn altra forte de proportionc , qual fi chiama da ThUqfophipro- portionc hauente il me^go , & doi cflremi , & da Frate luca Taciolq b chiamata diurna proportionc , & quefio per hauer cinque conuenien^e, onero fimilit udini diurne. La prima de quali è leffere ma fòla proporzione . La feconda h per chexontiene il ternario folo,& perpetuo La tori* è per tflcre inefplicabile . ? • La quarta perche è immutabile . La quinta è il dare C c/fere formale alti 5 corpi regolari . "Perche fi come iddio gloriofo dà te/fere formale allecofe vifibili,et in uifibili, elementari, & cele fuco fi quefia diuina,et vnica inefplicabile, &• immutabile propor tione da t effer e formale allì 5 corpi regolari , che fono fimiU olii element i, & al Cielo, che per quefio è chiamato quinta effenùa, come decorre il piuin Vlatoue , nel T imeo , & noi nel prefeute trattate con breuità , & con qpella facilita , che circa tale materia farà poffìbUa tratteremo, mofirando trcdeci memorabili effetti di quefia proporti/me . , Maprima infegnaremo il modo diuidere vna linea fecondo detta prò por tione fecodo che infegna Euclide nella undecima del fecodo libro, quote tunque iuì nou parli de propor turni per non cjfere anchora aggiorna al quieto libro, nel quale trattaf articolarmente delle proportimi » &pro- pQKtionalttà , .5. > - f per più facile in trotini tienefinnan?J che fi diruofiri quefia operatiti ne per la vndecima del fecodo libro, prima foluerò tale diuìfione per la co fa. poniamo adunque, che babbiamo da diuidere iojn due tali parti, chi Sf » td tjit 01 •1 TT > | r tr 1^0* io. m. i DcirArithmcfìca tal parte fia la minor della magg ior,qual‘ è la maggior di effo io, perche cofi faranno 3 quantità continue proportionali. pongo adunque, cbe la mi- nor fia 1 co. La maggior farà io,m. 1 co. & ejfa maggior farà tal parte de io » quali 1 co.de io»», 1 co.& perche de 3 quantità continue proportioàatb co. tanto farà il produtto delti doieflremi quanto il quadrato del medio termi io.m. «.co. no per ia decima dd feflodi Euclide, adonque multiplicando 1 co. fia 1 o fa» 100. m.io.c. rann0 io co. & queflo produtto farà eguale al quadrato de 10 ,m.\,cot p,I*cc’ che è ioo,m.io co.p.t,ce.& aggiùngendo a Ima, & [altra parte io co.hauerai 100. p.\, ce. eguale a io.co.bor feguedo il capitolo dimenale I0 co.farà i$, quadrali fanno ni fottraneil numero, cioè 1 00 , reflarqnno *j.m.r.i2j . la i,& laradÀi queflo fottrarai Jfillamita delle co.hauerai ij, m.rad, 1*5 ìptr l* minor parte del detto 1 o diuifo, & per hauer la maggior fot • tra ii,m.rad.i*i,de io reflarà,rad.iii,m.i, qual farà la maggior par te, onde hauer ai 3 quantità continue proportionali, la prima li, m.rad. Hi, la feconda rad.ni,m.i,la terga io, ondemultiplicando li eflreml limo con l'altro tale produtto farà eguale al quadrato del medio termino che lvno,e!rl altro fà iio,m.rad.iiioo,comcdifotio vedi operato per le regole date difopra nell A Igorifmo de radici . \ 1 y , m.rad. iti rad. 125 ,m. 5 125 »5 rad. iaf, m. 5 rad. i»5, m. 5 15 , m.rad. 12 5 IO fumma fa io 625 *25 150,1». r. 12500. 250 _ 2J tlk) . v-. J125 1 150 ■ ' i n ir ufcùun 2» \ •“v 4 " ti _ 12500 Et per ridar ejfa regola in breueprattìca,di megga tòfii, multipli - cainfefa 13, & queflo aggiongi al quadrato di 10 farà iaj> & la rad. l»5 tratta del 1 ogionto al 5 fina metà, cioè dal 1 5 farà 1 5 , m.rad. 1*5» tr quefla è la minor parte , & la maggior farà il recante /mal 1 o,«oè rad. I a 5, m. 5 , & così opera in ogni altra quantità, che volejfi diuidere fecondo tale proportene . A fimile operatane fi venir ebbe operando per la vndec'tma del fecon- do di Euclide propofla , che fia vna linea , come la linea a b, che fiato » deferiuo il quadrato di effa linea, qual fia a b c d , Et diuidero U lato b d in parti eguali nel ponto e , & produrò la linea a e , dr la e b produrò in fino al f, talmente, che la linea e f fia eguale alla a e , & fopra la b f portane eflrinfeca deferiuo il quadrato , il quale / 163 y i 1 l / sisl YyJ. e ì S Libro Terzo / kjtudc del lato a b refeea vna por tione eguale alla b f, qucljta b h , & il quadrato def erutto fia b f g dico , che la a b , e ofi è diui- L fa nel ponto h, che' l protratto fot- to de tutta la linea a b iteuapor'J tione minore b a, è eguale al qua- drato della linea b b maggiore, & t media proportionale, onde ponen d do a b io. la eb fard salali tira « *« per la penultima del primo di Euclide farà rad. li], onde la li- ' tfea b f farà rad.iìì,m,q, per effer la \c f eguale alla a e, l altra adonque farà il reftduo fin al i o, che farà 1 5, m. rad.l 1$, cioè la minor par te, che fi il propofito,& cpfi geometricamente operar ai in filmile diui fione, fecondo la detta diurna proportione, & la dcmoflratione cederai in Euclide nella detta vniecima del fecondo . r' ■ k > »“• Hora per effemplificare li detti ij fuoi notabili effetti, ad vno ad vno , Oper a, come difot to iptqndtìw , ; . Cr e r. Del primo effètto della detta proportione . ì.*\ rA àr>:> «33(1 »\fcV J IL primo effetto adunque di quefia proportione è, quando vna linea rei tafta dikifa, fecondo la detta ptopor tione, f e alla [ita maggior parte fé aggiunga la mila de detta linea, il quadrato de tale congiùnto fetnpre farà quincuplo,cioi j tanto del quadrato de detta mità , onde vfando il propo- fio eff empio Je aggiongi 5 alla fua maggior parte, qual' è rad. 1 tf,m.^, fa- rà tale aggiorno, rad. 12 y,eir il fuo quadrato farà 115 ,qual'è 5 volte tan to del quadrato de 5, qual è la mità de tutta la linea, perche 5 fia 2 5 fan- no a ponto 125, come fu propoflo,& quefia auerra in ogni effempio , & quefii fono efiratti dal deurnotergo libro di Euclide , & giouano alla prattica,& Theorica di ejjo decimot ergo, come nel proceffo intenderai . Del fecondo fuo eflfentiale effetto. siiti U- % ..vVA~ i »r $ t*: » ì j* 1 • ' V* IL fecondo fuo effetto econuerfo al primo, per il quale fi folue tale quefi to, cioè fami de to due parti, & fopra vna pofioui vna quantità tal meni e che' l quadrato di quefio congionto fia quincuplo al quadrato de detta quantità aggiorna . Onde per la precedente la detta quantità farà f, cioè la mità di io, pro- -jdr i Dell ;4ùri eh luètica .1 ,< » kl Del terzo fuo effetto . V -A» Pi tril terzo' fuo effètto fi [olierà tale quefito fimile,eioi fame de io due partii che alla minor gionta la mila iella maggia, il quadrata dieffh congiortto fia quincuplo al quadrata della mità de detta maggior* Ter topo piglia /#aì-, cioè deri i»5» in,} farà radè) i £»*••* ~r » qual aggiùngi corti f,m.r.H5 furila J- w.r.311 t. qual quadra f 3 7 r £•» tu. rad,} qual farà quincuplo al quadrato de } i -y- » m. 2 4r , cioè a ) y 4- , m. rad.ji i£, & » olendolo pr onore multipli' <*n 4-# m.r.7»i-^per} farài8y^tm.rad.l9}3l’jr» cbeèil propofito, & queflo ì il terzo effetto . , crv' Ju.iv»b* ikV.i'r^ .Vnuiuùcir • Del quarto fuo effètto. * C'é-' Ma quantità? fi àmie fecondo fife propiftltrtie fe diutta detta ^ quantità fi aggiongerà la fua maggior parte, farà poi detto congion {0j detta maggior porte parti di vn’ altra quantità dittila fecondo tajf proportene, per la euidenza di quella eoncùffione foherai queflo qne(k- fo, ir fintili , cioè fante de, 1 9 due parti , chegionfo effe io alla tnagr gior il c'ongionto fi a in téle, pròportione a effo iq, quali io alla minor parte, opera, aggiongi igar.lt },m.}fararad.p »5»M» t^quefloèm tale propor none af ip» come io alUmnoreiqnal‘kl}%T9,t.\%^y& q**t floè il quarto effetto. 1 . Del quinto effetto. 1 «15» cft t V*» M b va 1»^ «mw' SE *na quantità fia ffiuifa fecondo ladetta, proportene fetypre il con gionto Hi! quadrato deità minor parte eoi quadrato de- tutta la quan tità integra farà , triplo al quadrato della maggior parte per la quinta deidccimotergp di Euclide-,., ■ -\ f Effempio fia 1 o ditti fo in 2 parti fecondo effa proportene, come di fi. pra , la maggiorerà rad. la minor farà I J » m.r. l»S« di- co che' l quadrato de i$,m.r.ia$ gionto col quadrato de tuttala quanti- tà, qual quadrato è 100, & il quadrato de i$tm.rad.l2},è 350 , m. rad. A ? Libro Terzo 164 rad. 1 1 2 joo ,chc giùnti infteme fanno 4 50, j».r. 1125 00, eSr fwffld _/*»* ma è tripla al quadrato della maggior , cioè 4 1 jo, m.r. 1 250 o,proualo multiplicando 1 jo,»i.r. r 1 500 , €?• faranno 450, m.r ad. 1 1 a joo , & quello ì il quinto effetto . UM 1 f lirti. C. ■ * rJNV- iJ.W.,. ' c* . U n. «Jior fjo m.rad. \tifOO prona j 9 450, m. r*rf. 112500 •«\n. ■*v • U- Del fcfto effètto. TLfeflo effetto, onero proprietà è, che numero alcuno non può effer diuifo A fecodo qucfla proportene, che l'nna,& l'altra parte non fiarefiduo, V irrationale, per lafefla del decimotergo di Euclide, & queflo ftdimo- ftraper la decimafefia del nono del detto Euclide, le parti fono le fopra- fcritte,cioè ij m.r. lay minore ,& ràda 15, r». 5 maggiore. D.vtc; Del fettimo effètto . •MW1 IL fettimo effetto è che fé il lato del ejffagono equilatero faggionge al la to del decagono equilatero deferirti nel medefmo cerchio, loro congion tofemprt farà vna quantità diuifa fecondo la detta proportene battente ilmegojt dui eflrmi.ee la fua maggior parte farà il lato del effagono,et la mnot fati il lato deldecagono infermo, come ftfl lato del detto eff ago no farà rad. r 2 5 , m. j U lato del decagono farà rad. 1 2 5 men 5 ,et il dia- metro del cerchio fia rad.^oo,m.to,cioè il doppio derad.wt,, *1.5 , et la minor parte farà l$,m.rad.tzj lato del decagono , et queflo vie» in vjo a . lolomeo nell Almeg'fio , onde per queflafoluerai queflo quefito , eioè.egli è uno cercbio,chc~l fuo diametro è ra.joo.m.io. dimando quan to far dii lato dttf effdgòno', '& il lato del decagono infermi nel medefmo tercbio,per.foluertque£to-parti d diametro del cerchio per a , nevenirà, rad. 125 ,tn. 5 , & tanto è il lato del effagono,cbe è la maggior parte di ie- na quantità diuifa fecondo quefla proporzione . poi doppia quel j fà io, quoT è tutta la quantità diuifa fottra. poi la parte maggior da efj’t 1 o re- fe*<*15 ,m.rad. 125 .qual farà il lato del decagono infermo, nel medefmo cerchio , che fu il propoflo . DA -*rAi Dell'Arithmetic* Dellottauo effètto. SE ma linea farà diuifa fecondo [a detta proporti one, fempre la mag- gior par te farà il lato del effagono , & la minore farà il lato del de- cagono deferitti in vn medefmo cerchio . Come fei fuffe propqflo vno cerchio che'l lato del f no effagono fuffe ra, dimandafi quanto fia il lato del decagono de fritto nel me defmo cerchio. Fa co fi doppia quel 5 quali la mità de tutta la linea-ffarè • io, cioè tutta la detta quantita,iauant la fua maggior par te, cioè ra. 12$ m. 5 , reflerà i $ ,m. rad. n^,& queflafarà la minor , cioè il lato del deca- gono nel medefmo cerchio dcfcritto,& queflo è lottano fuo effetto, t "<■ ■ ' '• !» o Del nono Tuo effètto, - j * : •• « w * * \ ■ " » ■T'' • • r • » * i—y’W .1 • \ * 1 % ‘ 1 T L nono effetto è, ebefe nel cerchio fi diferlue >no pentagono equilatt» •1- ro, & dalli fuoi propinqui angoli fi fottotendino due linee retteci ne- ceffità quelle fra loro f e diuider anno fecondo le detta proportene, & la maggior parte farà il'làto del detti fltàafrrló,pèr tff empio. fia il pentago no a b c d e , &• dalli ponti c , & a fi tiri la corda a c fottote - fa all angolo b , & dalli eflremi b , & e fetiri l altra corda b e $ qual fot tenda l'angolo a dico, che qitefte due linee a c , dr b e fediui deranno fra loro nel ponto f fecondo la propor tione hauente il mego,Ó* duai eflremi.è lamaggior parte de ciafcuna di loro farà il lato del detta pentagono, onde netla'tipea a * la maggior parte fra ef ; c jr laminar fa , & lamaggior della linea b e farà la e fi & fb la minor? & ciafcuna di quefle maggiori parti faranno eguali allato del pentagoni dato, per tanto fé ciafcuna delle dette corde fuffe \o,diuidcndo io, fecon- dola dettaproportione,lefue maggiori parti farebbono ciafcuna rad.ii$, m. storne la Iblea ef, ouero c fi ? & co fi farebbe il lato del detto pentagono equilatero, & fi minóri parile iaè la b la a f far eh bptio. le minori par ti dedetta Linea, cioè » <^m.*ad. i a j, gjr queflo è dimo flratoperlaaì,deldecimotergpdi Euclide. V 'tv. . . 7 .tt-, <• - vt r- < . t -Et per queflo nono effetto potemo per la notitia del lato pervenire alla notitia delle fue cor de, dr de tutte le loro par ti, dr conuerfamente perla notitia delle eprde potemo bauer notitia del lato , & delle parti dedct-\ w'il VA Li Libro terzo.’ 1 6$ ti ^-rdd diametro del cerchio moltiplicati per U-\- 'della corda del angolo pentagonico produce f area del pentagono def crètto nel mede fina cerchio perla feconda parte della ottaua del 14. di Euclide , ouermul - tiplica laperpendicular , che vien dal centro del pentagono conia £ de fuoi 5 lati , hauerai tarea del pentagono . rad. 125, m. 5. 15 , m. rad. 12$. fumana fà io, per illa- to b e del ifoceìe b de a onero la linea ca,ouer bd Et più breuemente fe multiplieberai il diame- tro del cerchio nella linea fottotefa alt angolo del pen tagono, & poi pigliar U -f- del prodotto , hauerai la fuperficie del penta- gono. JOiJ iiVi 1' Del decimo Tuo effètto.* ¥ L decimo effetto è quello che prona Euclide nella feconda del decimo- M. quarto* cioè, quello che accade a ma quantità diuifa fecondo la detta proportene hauente limerò, & doi eSlremi,accade anchora in ogni al- tra quantità finalmente diuifa, cioè le medefme proprietà effetti, & paf fioni fecondo ognifrecic di proportionalità, cioè conuerfa, permutata, con lenta, difgtonta , enerfa, & eguale fcr quefto è il decimo . ~ Del vndecimo effètto r , r. i r " a — >come,feil lato delC effagono fuf- — § 2» * C°f‘ dette \a fi? maggior parte farà r. 1 3 5,1». 5 , qual farà -2L Ì La,\dc deC£OHOianeÌ ™'def™° ‘“‘Ho defcrittofil diametro del quale £?*• ! , arte farebbe 20, & quefto fi dunoftra per la ter V del decimoquarto di Bacii Tt de ,m. 5 <ar Dell’A ridi mfc cica ie,& volendo per la notitia del lato del decagono , quali r r.' trouar il lato deWeffagono, doppia, m. 5 , fuo minor nome farà^ io, &co-: sì bauerai il lato dell esagono ,qual' l eguale alf midiatpetro del cerchia* doppia quello 1 o farà aó, &- tanto fitrà il diametro del cerchio, cr vo- lendo per via del lato del eff agone trottar il lato del quadrato quadra io farà 1 00 doppia farà 20o,drlafua rad. cioè r. 100 farà il lato del qua 1- drato infermo nel medefmo cerchio , & cofi fi potrebbe anchora per la, notitia dellato del decagono trouar anchora il lato del pentagono , & la fua conuerfa , qual e l’vndecimo notabile effetto . Del fuo duodecimo effetto.' IL duodecimo effetto è che fe'l fi diuide vna quantità fecondo effa proportene, fempre la rad.del congionto del quadrato di tutta la quan tifa, & del quadrato della fua maggior parte hauera tal proporzione al la radJel congionto del quadrato de detta quantità , & del quadrato deh- la fua minor pasquale ha il lato del cubo al lato del tnaugolo del corpo de 20 bafi daUamedefma jpbera circonfcritti - , • Effempio.fia comedifopra io, la quantità dtuifa fecondo Mepropor- tiene, che la fua maggior parte è rad.i25,m.$.& lammori?,, m.rad. 12Ì,& il quadrato di tutta farà ioo,& il quadrato della fua maggior parte farà 1 5 o, m.r. 12500, & U quadrato iella fua minor parte, cioè di i5>m.r.ia sfarà 3$o,m.rad.ni’}oO, horàfoprail quadrato della maggior parte pongafi il quadrato di tutta la quantità, qual è 100, fard 2Ìo,ni.rad.i2soo,fimilmentcilmedefmojoopongafifopra tlqua- drato della minor qual era J jo,m.rad. 112500 -farà poi 450,1». ra<U 1 12500, bora dico che la proportene della rad.del primo congionto eh* è 250,»». rad. 12500 alla rad.dell altro congiunto, cioè de ^o, m.raitct I j 2 s 00, farà come la propor tione del lato del cubo al lato del triango- lo del corpo de 2Q bafi da vna mcdefmafphera circunfcrkti,& le r Je ta li doi congionti fi chiameranno r. vniuer fiali , onde per la nona del deci» moquarto di Euclide fidimofira che il lato del cubo bautrà proportene al lato del triangolo nella medefmajpbera de fcritto, quale ha r. v.ì 50» m.r. 12500, alla rad.v.^o,m.r, 1 lajoo, & quejloèil duodecimo M tabiliffimo effetto di tale proportene . Del decimoterzo effètto di detta proportionc.- IL decimoterzo mirabile effetto di quefla proportene battente ilmego* & dnoi tfirmiit(befcn^a lei non fi può mai formate il pentagono* A Libro Tersso. 166 noccrohìoper regola demofiratiua, & mancbo II corpo de x ì bafi pctt- tAgonali,qual ficodo Tlalone è comparato alla quinti effettua ouero aldi lo, perche fi none la virtù de celefti corpi confifle nel Zodiaco de 1 i fogni, onero imagini celefti, mediante il corfo delli 7 pianeti , co fi nel formar il corpo de 12 bafi pentagonali gli concorre la operai ione di auefla mirabi- le proporzione, fernet la quale non fi può formare in vna fphera iflcffa li 5 corpi, de qnali li primi 4 fono comparati a gli elementi, & il quinto forma • tode 12 piramidi pentagonali , li coni ouer cufpidi de quali terminano nel centro della fpbera.fi come fé diuidem anebora li ri pegni celcfij, che con li lor coni , ouer cufpidi terminano bel cornatane centro , quali il centro del Mondo . Ter tanto volendo fermar il pentagono jn vno cerchio per vigor di ef- Diametro fa proportione ricorri alla decima del quarto libro di Euclide,\& trouc ■ ‘J6*» cerchio r ai, che diuidendo H femiibametro del cerchio qual è eguale fempreal lato la del effagono da e ffo cerchio circo// ferina , fecondo il modo dilla vndcci- hauéte mero ma del fecondo qual opera in virtù dellaproportionc dettala fua maggior & 2 cftrcmi . parte farà il lato del pentagono , & ciascuno delti angoli della bafe del triangolo, che la fua bafe è il lato del pentagono farà doppio a l altro fuo angolo, come effo Euclide propone, & dimoftra , & qucflo è il deetmoter - •go effetto. * v - *i :W m ' 1 _ Laproportione del diametro del cerchi 0, al lato del pentagono equità- 1 terodefcriUo in quello , è fi come 40 alla rad. vniuerfale 1 odo, m. rad. ». 200000 , la qual proportene in minor sumeri farebbe , comi da 4 alla rad. vniuerfale 1 o,m. rad. 20. \ Terchefcbiffandola per io fi parte ilqo,per io, ne vìe ^.poi quadrati do il 1 o,farà 1 00 col qual parti rad. 1000 ne vien rad. io,& partendo f . n“?“tro * aoooocyvr il quadrato de 100, cioè-pcr 1 0000 ne vien rad. a o. ta«ono ccoÙ Egli oVn pentagono equilatero, che il fuo lato è 4 mi futi fi dimanda me+,l.itodd quanto farà il diametro del circolo jche lo circonftriuc . pentagono t D' ogni petagono equilatero il quadrato del diametro del circolo oueè v*«a,ni.r.2o. deferitto, al quadrato del fuo lato è come i6\ a 1 o,m.ra. 20, ouero come 4 a rad.vniuerfale io jn.rad. tosone è detto difopra.per tanto dirai fi ,0‘rn*r'2° lo ,v,.rad. 20 mi dà 16 quadratole darà 4 rtccalo a rad. farà rad. 16, fT‘—° - queito anebora quadra farà 3 56 da partir per io, m.rad<20, onde mul ioof m. 20 20 tiplica li efìremi per il fuo proprio binomio, cioè io, m. rad. 20 fia io,p. go rai.20,farà io,quol farà partitore. poi multiplica 2^6,p.io,p.rad. 20 I0,p.r.20 mr comincia a moltiplicar per io, farà i^60,& poi multiplica 35 6, ma as6fC, prtma fatto a quadrato farà 5 5 5 3 6 , qual multiplica per, rad. 10, farà jb»«o 13 10720, bora baucrai da partir 2 5 60, p. rad. 1 3 10730 , per 80 .però 70125 «o J P* " '''per io, ne venir a 3 2, poi redurai 80 a quadrato farà 54000 | * *’ *1* - farti quell' altro nome, aoè rad , 13 1 07510 ne venirà.rad. ' „ ' Tt 1 304 yf DeirArithmetica 2 i 6 204 -f- fi che,ne ventri queflo binomio, cioè rad.vniuerfale fityp.rail 2 5 6 J04-J-, cioè che tolta la rad. 104-*-, & quella aggiorna al 3 » poi « 5 J 6 de tale fomma prefa la rad. farà il diametro del circolo , che contiene ta- 280 le pentagono, cbt'l fuo lato fia 4, & cofi far ai le filmili. 6 5 5 J 6 2 O *3 107.^0 5 v OlW Xw » t -r fi * t*1 * V ci ibwr % l # rf 2 o|i04-f fi 4 0 pi fi pi 4QH1SIÌ tt ' , ir.jstoi & fi A fi fi fi A . <«' ift ‘.tali 5 1 * * •* . ■ « «-> . nvi — — 3* 4 ' > . ■ < j • 640 4® 7 ' ■ c Egli è vno pentagono, che lafua corda fottefa al angolo fuo è IZ fi di- manda quanto farà il lato de detto pentagono. [appi, eh e partendo ejfit chor da.cioè 1 1 fecondo la proportene bancate il mrgjo, & ioi eflrcmi.la fua 1 44 maggior parte fard il lato delpentagono,<T per trottar dette parti multi J 6 .plica ìa ,in fefà 144, et poi rnultiplica 6 miti de 1 1 in fefà 36 giongilo a 1 2 1 2 1 2 6 1 » r. 1 80, m. 6. 144, farà iSo,& La rad.i%o,m.6,farà la maggior parte, & la minor fa- 1*. m. r ilo r<. l2,m.rad. iSo,& perche la maggior è rad. ilo, m.6 tanto farà il lato del pentagono, & co fi farai le filmili. Etfe per mexjp de detto lato,quaTè rad. 1 80 ,m.6 volefii trottar Ut — - chorda,quadrarai 6, farà 3 6 fottralo de 180 refa 1 44, & di qiufo catta to'dcl’peiui* ^ radfarà 1 %,& tanto farà la corda. sono cord* fottotefa i «2. I » O 3<i *44 Et f apendo, che rad. 1 80 ,m.6 fiala maggior parte, per trottar la nor doppia 6 fari 1 1 al qual aggio ligi il detto 6 farà j 8, & queflo metti .perii primo nome,& rad. 1 %oper il fecondo,& dirai, chefarà 18 ,m.r. 1 80 , onero per trottar detto 1 8 rnultiplica quel 6,che fu pofio nella mag- .gior parte per 3. & far a 18, come difopra. Se il lato del pentagono fuffe 4 , che farebbe la corda , che fotto tenie [ angolo pent agonico . Ter che fii detto difopra,che diuidendo la corda fecondo la propor tione t.20 p 1 è la Munente il mcgo,& doi eflremi lamaggior parte farà illato dclpcntago- corda che fot no,adonque è da vedere il 4 , de qual quantità cofi ditti fa fu la maggior totéde Min parte. goto pena- Et pertrouar detta quantità piglia, che numero ti piace, bor pjgliere- genico, m n me(tefim qual diuideremo fecondo tale proportene al moto detto. rXibroiTcrzb. 167 ■& trouo,cbt la maggior par te farà rad. 2 o,m.2,drpo\ d)to,cofi per re- rad, io ] re. 2 gali del 3, fcrad.iOtin.'i, maggior patte vie» dà 4 tutto, da qual venira 4 maggior par tc,0- procedendo y eome fi dette fitrouerà , che venir à dà vno altro tutto, che farà rad:io,p.x,& tanto farà la corda,chefottoten del angolo pentagpnico.U lato del quale pentagono è*, & co fi farai le COtdar-*°.p- fu mila . * x, & + Ut» Et opera, comedi fotta multiplicando li eflrerniper ilfuo binomio. ìwTdd Si rad. 20, m. 1 j mia | 1 1 iberni dora 4 multiplica 4 /rè 4 farli «oorcolo r: 16, bor parti 16, per rad. 20, m.». ■ r r.3,,P.nd. 6 , m. r. 20 minor parte ». » o ,p. a maggio* parte ■ OJ •refa** ‘rad. 2 o, p. 2, 20, m. 4 4 1 6 partitor n r ottonale rad. 20, p. 2 1 6 2 5 6 \ 204 -f- r. 5 120,^.32 «1 >0 a. 4. «i i . • »•'* » H) * ■<! 1; V. • * 4 > T’erti r.5 1 20 per 16 fatto a quadrato, cioè per 2 5 5, ne vien r. 20 , poi parti 32 per 16, ne vien 2, cioè ne viene r. 20, p. 2 , & tanto fu la corda Juttoiefa all’angolo pentagonìco, & chi disfiderà r.to,p.2 fecondo Pale propor (ione la fua maggior parte donerà effere 4 fecondo il pre- fuppo/ito . * ’ . . ■ < , £ Et trouata la corda effer r. 20, p. 2 , fi potrà breuemente trottar illa to del pentagono, perche difopra fù detto per regola del 3, fe rad. 20 m. 2 vien da 4 tutto , da qual venir à 4 maggior parte , & fu trottato che veni H4la r.2o,p.z,bora fono 4 quantità pvoportionali , & multiplicando la PerJa jo.dd prima nella quarta, & Uprodutto partendo per vna delle melane ne ve- gT ® * E“ nira L altra^ctoè 0 la feconda, ouer la terga , bora multiplica l, eftremi , ' ' -J (tue r. 20 , tn.i per r. 20, p.2, ne vien 16 , qual parti per 4 r.evenhrà 4 maggior parte di tale proportene, come difopra, talmente che partendo per lajeconda ne vien la terga, & partendo per la terga ne venir à lafe conda , qual operatene è breuiffima . ^ura. trouato ^ corda per viautet lato del pentagono effer r. 20 ,p.2> ■CT fimi Intente trottato il diametro del circolo, che lo circonfcriue effer r» vntuerjale 32, p.r. 204 refi* a multiplicar effa corda per il diame- tro , cr del produito pigliarne lt + , & farà l'area del propofto ~T. T pentagono. • rr £&U è vno pentagono, qual è 4 mifure per lato. dimando quanto farà il " " . diametro del circolo , che lo circonfcriue , & quanto farà lafuperficie di effe pentagono . r 7^7^- Tercbe LO* ti Jt^f •; ‘Itti; fi * » z ui , ci .U.i \ h i D.oIl'A/ifkmfetlca !84 ....... . pentagpwe* fitUis^ jd.diam*#o delfino cirerfoJìprodutà lafaperfiàc 4i efio pwagóno* «n,! •>"* , Terò uolenf{o natjr fpftmaggior breuùà nW intento n<$r*f bi fogna ha -ì r fiios .ver famigliata uno pcntagono,che Imb Iva notò il .fu latoi& vncb/or lidia ~ metro del circolo , che lo circonf crine , & quefto fi può hauere per. le co fa i &ià dem+m vffrem» 4- beneplacito Quello dei fù^^fi fariK^olémeo latajìel fax ftflfalmegtjlo,one dice,clje quando illatd i<f penta fato fu ffknóm. rad. . tagona io, loffdiàmeiro del'cerchio nel qual fujfa deferiti a farebbe ra\&ifioè'^& m ; r-<°- - quantunq; noi hauemo detto nella nofìra prùpofta, che il lato del pctagono faocctcto^ nofiro ^ 4*1^°* potremo ufar per maggior comi* adita, quello dt-T ohmico adunque prendi li-\- de rad. 1 6,multiplicando rad.ipfcr y fatto* rad/ farà i%,qualduttoin 1 6 farà $oo,qualparti ptrS -latto antérrbe ferri poi rad.ò^ne renirà rad. 6 -{■)hora dirai-fer regola del i,fe io m.rad. 20, lato del pentagono di T olorfeo mi da# ad. 6 ~ , cioè del diametro delfino cerchio , the^nidarà 4, cioè il lato del pentagono da noi propòtto, onde multiplica 4/n fie farà 16, qual multiplica per rad.6-~- farà io, cioèrad. 100, & quello rad. 100 parti per io, m.rad. 20, moltiplicando frima li tfiremi per ìlfiuo binomio, batterai per partitore tìo,ccLqualpar Hr ai, quefio binomio, pipe iooo,p.r.iooopo, & póma partitavi poi per 8 oncvoiirà 1 ì -V-, poi partirai labro nome peri a fatto etr. cioè p$r, 6400*#: neycaird raffi l che fiar anno enfi Uiohti^per rad. 3 1 -y->^ tanto e il quadrato delli del (diametro del circolo,che circo H ferine il pentagono , che tien 4 tfiij ure, per lato, bora trova la corda del . angolo pentatonico per la eutderr^a della undecima del 1 J. di Euclide qual dice,fe la corda fiarà. f luffa fecondo, la proportione haucntcil mesg- ’zh.c il ni dot effigi la fa* maggiorparte furàjl lato del pentagono , poni u 1 ' adunque per trottar tuttala. pOxda,d>ela minor parte fiat co. la maggior J|rc°o: farà 4, per tanto per la 16,'dd fefilo di Euclide multiplica l co. fia a p.i 16 co. cioè laprima nella terga , cioè in tutta la corda, farAp co, p. t 4 co, qual farà eguale al quadrato della feconda , qual e 16 quadrato dd rad.2o,m.2 4, hautraiqco.p. ico. eguale à ìó.fegui la equatiorte,la co. vaierà oucro, come radice 20, m.2,qual'è la minor parte della corda,qual aggiùngerai col 4 4 difottot tqaggiepr parti far* radice 20, p. 2 , iT tanto. farà tutta la corda , & quefia multiplica per fi del diametro > che fono le -f* p. radice ji -|- quadrando printarad.io, p.t, &f*rà 24, p.7.3 20,. bora multipLica il 4 ■‘p.r.3 1 -{-per t+ip.r.fip, uff perfarquefio multiplica 12 -{-fiatq farà 500 poi multiplic’a rad. 320 fia rad.}i -—farà rad. 10000, canone la rad.farà 100 quale aggiùngi col 300 farà 400, poi multiplica 24 fia rad. 3 1 -±- facendo prima 24 a r.farà r. 18000, poi multiplica 12 -{-fia 24 p. 1. jio. T.3 20 quadrando prima il 1 2 -{-farà rad. 50000, & taleprodutto ftar [■ ^ ri 16 2 r. 20 p.2 r 20 p.2. 20 .4 4 V i i libro Tcrzbv ’ j 6 % ri co fi, cioè rad.uniuerfale.y»o,p.ni8ooo,pjr.306oó^t perche quelle > dite ytd.fvna cotnMtumcatttt,fi ridar aiuto in mafola.fetche hanno profior tktft,fW>ut.9*Uir\tìifa farmho Mi.40©, p.r. fa8ooo, &. tanto fari' la fupèrficie del pentagono, cioè r.vm uerfale 400, p.r.iiiooOit'hefafi^ qudftì 7 T-,dr coft fi quadrar anno li pentagoni equilateri, et equiangoli. Et per f animar le dette ultime ducraefChe hanno propottiontieottie da' Stalli z$, rana le r. de^&iz 5 faranno 3,& % quali gtonte fanno 8, poi dirAÌ fé 3\midarad. 18000, iberni data 8» chèla fummo del j, & del1 squadrando la pronta, & vltirka troucrai^dhe ti darà rad. 1 28000, quello tnodo.fi riducono le quantità conrnnrtiicaktìin una fola. • ' Ma per. /chinare tante difficoltà alcuni Matematici f hanno ridutta ' in quella pr attica, per trottar la fuper fitti del pentagono , multiplica- no infe medefmo, comequeflo che è 4 farà 16, qual per regola generale fi- moltiplica per so 36, & Aproduttoftparte per t939>& ™ "entra quafi 27 quale farà la propinqua fuperfteictki pentagono , & cofi fit - vaile fìmili. . - H' >- Jo .. * Et itolendàla fupcrficiede moke figure equilatereper una regola pra- tica,offeruerat li precetti iufrj feriti i . •Prima per trottar la fuperfìcic deltriangolo equilatero, quadrarai il fuo lato, dr il prodotto moltiplicherai per 13, & tale produtto ultimo partir ai per 90, ér ne neutra la fuafuperficie propinqua al nero. Et per il quadrato moltiplica ilfuo lato infejieffo , & il prodotto fa-, ri tarea. Sa V A -n.no-.'. f — j*: ^uv.-x . • i\ Et perii pant'dgpno^nultiplicaàlquadratodel fuo lato per 30361 & il produtto dividerai per 19*9, & quello, chene neutri fora la fila fu- perfide, ouero area. *1'*’. .£ ■ ■ ‘ - - *‘V Et per leffagono equilatero multiplicail quadrato del fuo lato per 13, & ’ il produtto f arti per s ,& ne venir ài area di effo esagono . Rt per Beptagono multiplica il quadrato del filo lato per 341 90, & il produtto parti per 9 4 1 3 , & quello, che ne uiene fard l'area del heptago- no, doè della figura de 7 lati equilatera . Et per l ottagono muliiplica il quadrato del lato per 1 1780, dr il pro- dotto parti per iqqi,& quello, che ne uiene farà l'area del ottagono. Et per la figura de 9 lati , cioè nonangola multiplica il quadrato del fuo lato per 18075 , & il produtto parti per 1914, , & quello, che ne uiene farà far e a . Et perii Decagono multiplica il quadrato del lato per 283313, & il produtto parti per 3708 a ,rt quello,ch e ue viene far a t area. Et per Cvndecagono multiplica il quadrato del lato per 1 485 6 , &il 'prodotto parti per 1 j 87, & quello,che venir a farà l'area. Et per il dodecagono multiplica il quadrato delfuolato,per 37485, il ' a a t D^l’A rt tkntbdci ilfroduU<>partipe*-n49,& ne venerai arr. f jvitiVnvùww.W: ScY>tìya i.< - Et per il trtdecagMo moltiplica ilquadrdx^ddfuoUtoper H prodotto, parti. per rùtila torta dettai figura.' dei j, M\ equilatera. j t ^ ,om. vàY v A<r«^. t*;uiyuv\o i. hVlAvs*\til . Et per la figura de 14 lati equilatera mulerpllcAti quadrato tdH fuo U~ to per 7586, « il prodotto parti per 49's ne venire torta. Et perii quindecagono mulf ippica il quadratoci fito lato per tfj-f, il produttq parti per $6. Etite y entra l area, et de tutti cono crteiidotópefr • rottone perr ria della loro area fjt trouora.il frodato, et pepeffer te operai tioni facili trala feto li effempq . etgtncralmentomnkipUcando.iaGne*^ perpendicolar e, che viene dal centr o di qualunque , figura equilatera-; et equiangola alla -J- delfuo lato, per la mìta deUa fua circonferenza, fi tro~\ ua t area fuptr fetale di effa figura, et da qui ne viene la ragione di quadra. - re anebora il circolo, cioè multiplicandotl femidiametro con la mito del - ; la cir conferendo fi troua la fuafupcrficic scarne infegna il gran Mathfrnqt. fico Archimede SÌracufano . ;vt Conofciuto il. diametro di alcuno circolo "dolendo fapcrillatodi qua- lunque figura inferito a in ejfo circ olo, pr atticamente multiptica il diame- tro del cerchio per il numero defignàto a tale figura nella tauola in fir aperto ta,et quello.cbene mene parti per 10000, cioè tagliando le 4 vltime figtt l re da man deflra de chi legge,ouer ferine, et quello , ciré ne viene de detta k diuifionefaraillatodieJ}afigUraJE{pempio*mV^Q\>A\ i.o Sia vno cerchio il cui diametro fta 1 3 voglio trottar il lato della figura de 1 1 dati equilatera,# equiàgola.muUiplicàrò 13 p i2iq,cóme vedrai nella tauola fanno }66i,etqueflo partirò per xoooo ne venera 3 . —**55* et qu eflo farà il lato del vndecagono , & è regola generale in tutti fimili. . . ’V . - . Diametro del circolo circcmfcriuente 19000 y U JMd del triangolo Vi laiVjj «t « ' - Lato del quadrata ,if^ 7071 ■; Lato del pentagono 5878: -, Lato del e/fagono 5000 Lato del beptagono, cioè day lati- , - 4 3 ? 9 _ • Lato del ottagono - . . u (, >h t \'\À 0 ìi> c- v 'j 8 » rfc . Lato del nonangolo .. 1 . u. t ii ò , {^08 1 3 4 » 0 - Lato del decagono .*.)•> o 9 O Lqtoc del vndecagfino -V..^ Vn. vA^Vviw w :'v* 8 lx J. Lato del duodccagono iì,o\Ymf V'.cfco^ - a J 8 8 Lato del tredccagono ■. r. ioiIyiW <x .■>*/• • * 3 9 4 Lato del quotordecagano \ • vv . i 1 2 1 { -f ilato del quindecagono f\~. uq * 0 7 9 £ibroTdtzol! Cl 169 xì\fj'tared'iel 'torchio fi troua quadrando ti diàmetro j &'iLprodutto wMtiptica por \'i\&quello,che ne viene parùpet 14» & nevettirà fa* rea feparato.il modo da defcriuere in vno detto cerchia il lato del effa- gono, del trianfrlo.del quadrato, del pentagono, dei beptagonot&, del de - cagono, &alt*i dà queÙì iefcendenti . y ? •« , .Vti*» ■v,»\ > >; ìVi\jm3L\Ib — — - -l,TÌU’.\ .ù\X\ ?. •• . / * l. • 5-'*wì \ ?SX O mV. 01 Diametro io femidiametro io. lato del esagono 1 o.lato del decagono g f rad.iij, m.]. lato del pentagono t fO,m.rad. 11500. fd Diametro, a f femidiametro eguale al a b lato del ejfagono b d lato del triangolo. 0 d lato del quadrato, b d lato del heptagono , ouer figura di 7 lati equilatera, f e eguale a\e d c e eguale al e g f g lato del decagono, c g lato del pentagono . Hd lato del eptagono eguale alla mità del lato del triangolo fecondo Alberto Durerò Vittore, & Geometra. Tira la linea e g eguale alla c e > & dal punto g al ponto c tira la linea c g qual fard lato del pen tagòriò equilatero , & là linea g f farà lato del decagono nel medefino q a r DeU'AriibfoetiKi cerchio iéf et ttti,eme li nitrii <">è effagono hefttagàno trÌ<tngoh*&rgua Arato, la qual figura ferve neidcfcrt nere piante di- fortini difatW* campagna, & altre cofc pertinenti ad Mchiìetìtii & ingegneri t^\ iy( rj'i if , »*.$ o?juv.!*ti}$ )tdi,u.d\\b<n\f'A,(\ <f\a* il r. i*5ti».$ que.QAtodtàfrperU ptn.ielpriim ■ I, — di Euclide adonque ge farà rad. izy, 125 /Vàr<* r.i 15 , ui.f , il fio quadra- % j *0 far a 150, m.r. 1 2 500 , a/ qual gionto _____ 1 r ^ ~ riquadrato die f, quoti xoo faro tjo 150 , r. IVJÒO ». r.i 2 j 00 /«fo pentagono, & il dia metro del cerepio è 20, &pertrouar filato g d giovgi r. 1 2 5, ». j, al IO farà r.t$1,p.t>&j>'rtrouar a g fottra r. 12^, p.fxde 20 refìerd 15 ,m.r.l2 5, cioè laminor parte del femidiametro diuifo fecondo la prò portione hauente il mei^p, & dai cftrcmh N 11 fine dei Tctzo Libro dellArithmetjca . :tm* • tr Al 0 3» o C / / 1 3 >» n,. I ...I .(3 1 Ai.' 071 . ^ 3 3 II Uibl vi uium»'- il''. V' * Il ' «ni: ' ' *0 ^ r 1 ,\i»i-.w,oj 1 .»« > «> tmoyjtfnUV <i\\À «J s> IviW-Jiy» a.viViWi'fV i»‘\ V. l> «V .nv. t ;i'A b « ru\uj.;>i.v>: Vicini1 1» ù * a lu akvjs 1 3 i ’l1' aVv 1 a o.' \ *rt> i\ ' . okv:' .Mrq i'iat’ ■ & a .on«^b2*h VA t\4 X obnow\ otajfljjkV** Jak vu\ Y>'»: f.Àwt r.'At aYnn®* Wb <.i%\ aU tignato.* :a > t*vv\ t \ MÌ'V ,s.t:a Urti) "<© v'’i .1 òrj .» ó’»>ivrHv_ rtyj\ j- n /.M :-i\l a - U'v v > ■!<•.> ji . Via cimatisi wli fc : ^ y ' tì : DEL- flV * m fi’jhdfnrbiiÀ'IbG 170 DELIBA R CTHM ETICA DI GIOSEPHO VNICORNO b\ »V.UVJlWAm> ' q t J’.j ibv LIBRO Q^V A R T i i '■ • i. j\_yr.v^j> ' -1 r.'. ’ or>V’ « ìfitlhil € fi tam arduum , atque diffìcile , quod non I Deo adiuuante plani fiimum, atque expeditifì- * • aJ ^ V - * . r\ • a ri’ .. • _ . % ♦ v'5 mum fiat, tn qui t Dtuus Aumftmus m prima Z.ZMkroarbnrio. ; i. w\Wìm i\ul :>'Vi rj t «' t <\v« rfi ’""*n;'uDclla Regola del 3 ,'~ * t Tc 1 1 D B nella vigefima propofitione del: fettimo libro dimofira,cbefe faranno 4 nume . ri proport fonali jantofarà/lprodutte del /<s, condo ;er^o , quanto farà il prodotto del pritno nel quanto, come fe } al 6 b « la propor- tene, come 4 all'%,tanto farà 4 fia 6,quato $ fiat j, che Imo, & l'altro fàp.4, &, perche multìplicando li medtj nùmeri , cioè il fecon- do nel ter ’^o , fannp il profitto delti efiremi, adonque partendo U prodotto del fecondo , nel ohm Samiw ili /fu «u «a /’ > > *-»■- *■ J.. -- ^ - f «• il primo numero ne lenirà il quarto , cioè l'altro producente Mal forn ii numero ricercato, &farà deUa natura del fecondo numero. ‘Pèrche, fi come il primo fi chiama antecedente del fecondo , co/i il tcr-r» XP farà antecedente del quarto, per tanto il primo, & terzo fono antece-, denti, & d'vno mede fino nome , oucr almanco fpecieò natura , & ilfit- , condo,& quarto fono confeguenti, & d'vno medefmogenere tra foro,4Ì neceffìtà . non è adonque per altroeffa regola fe non per trouar il Cèóff-ì guente del tergo de 3 numeri propoli , chef a in tale proportene a effo tergo, come il fecondo aI primo rioj1rt:‘> „fr., .. Diremo adonque per e ff èmpio trito, fe braga} v aleno t.6,cheValera- UO braga 4. bor per trouar detto' confluente, cfoèHì preclùde braga 4 tnultiplicafi 4fià 6 fanno J4 , qual per la ragion fopr aferitta parti per la prima, cioè per j, ne vten 8» et Liìvaletanno, onde poi far qrmo notili 4.' numeri propor t tonali , cioh 3 | 6 1 .4]$» quali fi potranno trouar a vuoi V u 2 a vno 1 ■m % t OTr A a** DcU’Arithmctica „ 4 ^«o Apponendola notitia de gli altri 3 , come per ejjctnfio dipoi fi fk Et quella regola fi può chiamar aurea, per effep la chiane’ de tutte le queftióni r/iathematiclye, & quantunque per Ut regolh dcUtpofitioni chia- mata algebra fi rifoluino molte più difficili quefiioni, non dimeno non fiv no di tanta frequeph,et vfo alle immane commodità,& olirà di ciò C al- gebra non fi può generalmente effequire ferrea la virtù di effa Fregola chiamata del ?• Hot alpropofito volendo perla notitiajk 3 termini tro- var jl quarterie effo quarto farà il tergo nell ordine foprafcritto,clfC fui | 6 f 4,| 8 ,multiplicando li eftremi infieme,cioè'i fi* 8 fanno *4 , & queflo prodotto pretendo per il fecondo poto, cioè per 6 ne venirti- 4, cbeljl ter go nell'ordine fopr aferitto, bcche noi refatiuamente cbiamiàmo il quarto » ciafcaduno delli 4 rifletto a gli altri 3. Si cbè ftpponeuda,cbe vno de me dii fia ignoto, fi multi plica li eflrcmifra loro,& il prodotto fi parte per il medio noto, ne venir à falera jnedifo ignoto , qual farà il fecondo ouer Et Apponendo l'altro delti efìremi ignoto jnul faticando li medij infie- rite ,& taleprodutto partendo per t efiremSnoto , ne venir à l'altro cfìre- mo ignoto , che farà ò il primo ouer il quarto, et polendo per la-no tùia dei fecondo , tergo , et quarto trouar il primo multiplicando li medij l'%n coté l'altro, et itprodutto parti per il quarto termino ne venir ì il primo dctA le 4 quantità propor tionali, come per effempio difatto fi vede . „ 4 ■ * 3|<S|4|8| 3|<*|4|8 3j*HI« ? Vi quarte } 8 8 I 24 primo] 3 6 1*4 t«^o| 4 4 1*4 I 6 I * Ter tanto è daftper nel foluer li quefiti,che quello che è della natura dii fucilo, che cerchiamo, farà da metter per la fccoda quantità, et quella, cbe& aucremo trouatafarà la quarta in quello ordine,che la volemo vfare,et^ . H effa feconda fi deue tnultiplicar per l 'antecedente di e/fa quatta ignota,et ? il produtto fi deue partir per l'antecedente di effa feconda, laqual feconda k fintile alla quarta, che defideriamo trouar e . Quello, che s’intende per anteceden- te , & confeguente • > . . ET acciò, che ogni termi ne fia manifeflo è da faper , che antecedente chiamiamo quella quantità , che mi da rn’ altra , & confeguente fi ■- - ■ » . chiama » 9 A LibroTcrzò. I 171 rinoma queìT altra, ebeviendata,cioè quella, che fegue, cóme nell effcm- piopoflo di fopra ftbraga. j de panno valenti. 6, che -paleremo braga + quello j cbiamafi antecedente, chcmida il 6 fuo confeguente noto , & quello braga 4 fi chiama antecedente della cofa ignota, cioè delle L. 8, che fono la quarta cofa, onde il prima fi chiaria antecedente della cofa nota , & il fecondo antecedente,' cioè la 3 quantità In ordine di detta regola , fi chiama antecedente della quarta cofa ignota , il primo confeguente qua- Uè la feconda cofa è chiamato confeguente noto , il fecondò cònfeguentèjb detto confeguète ìgnoto',cloè la quarta cofa, che defidenamofapere,H che a più copiofa dichiaratane de ditta regola era da noiar . ■ 1 E' anchora da faper chèla prattica di effa regola del 3 fi può abbre - uiar in 3 modi,ciob fchiffmdo la prima, & terga quanti là, fé fono numeri \ compoitrira loro, onero la prima, & feconda,ouAc a fono, Caino mo> do,Je fono compofli,cioè che non fianowumeri primi, deUi quali nella pri- ma parte della noflra opera diffufamente fu trattato. ••• im 1 JJclla Regola del 5 cònuerfo. perche alcuna volta accade nelle cbfe naturali , et artificiali che, edente quando fard maggiore mi darà il fuo confeguente tate conuerfamente quanto farà minore,tanto maggiore micau- nfeguente nell ordine di detta regola,onde bifogner a procede ropurtionalicà , cioè multiplicando la prona nella fe- partendo per la terga, ne venirà la quarta ignota , et molti cafi nelli quali queflo effetto potrà occorrere, \ « «rimo cafo . T L primo eafo afffòque proponeremo,quando accade, che li piflori volt 1 no trouar lìpefo del pane a ragion del valore della fama ouer altra mi furaje condo la diuerfitadel paefe. Come quando la foma del formento valeffe L.l 6, & fi dejfeonc. io di pane alfoldo, <Cr voleffimo faper, valendo la foma L. a a, quante onc. di pane fi dourcblp dar al foldo , nella quale propofla anchora che le £.34 feano più,chc 16, nondimeno darà tanto minor confeguente, perche quan- to più è in predo la foma , tanto manco onc.fi daranno al foldo, & perì diraift L.\6 irridano onc. io, che mi daranno L.t 4, onde moltiplicherai ìófia io fanno 1 60, qual prodotto parti per la terga, cioè per 24.nr ve- nir anno onc. 6 -7. tante onc.fi doneranno dar alfoldo, & cofi conuerfa* ■i. mente ? ? A*. ì ’v I D^rArkkm'etlcà mente, quando fu/fero propofie lei* 34 damo onc.6 -^f^tbtmi darmnm L. 16 valuta della j omaìoperatidoadctto modo fi trotter i,chc fi dorami ♦> otte, io al folio, cr cofi far ai le Jimili . v\i t8 1 iiUh t v'i fA.»' "■ sto»m (.ttnuh i\+ i.j>- .«1 oA>u^ ». ,*P< %Y*\. tv-v. >#iqieCQnao.. •„,,•• \\ , -• ••, fi j. Awù' .' ' Via ’ ■ . . i. v-.: i'-.tv.- jt n <-.- «■ u\i C/w Unente quando mifujfepropofio,cbe vnafuHa con 1 3 remi fd'd firn *3 “piaggio in giorni tS, dimando andando la detta fùfta con io remi in quanto tempo fardilfuo viaggio* ,< . .• » V. » . •.Ondeidàfaper , che quanto è maggior il numera delli remi tanto pii prefio fa ilfuo viaggio,per tanto multiplica la prima tofa fiala feconda*, cioè izfia 18 faranno i\6,& auefio parti per là terga,cbtò, 20 neve», turano giorni, io -f- nelli quali fard ilfuo viaggio con remi coti of fcrucrai infunili . . . l h o r jì Gafòitóiaòt >i :à i -j ^ ■<u «r . f forre anchora a vfar detto modo quandi batieffinio a far vno i w «oro, che per gratia di ejfempio , eoa. 15. b uomini flttefj 140 pertiche di terra in giorni 14 ,ft dimanda in quanti.giorn ra farebbe Uuorata dai 4 buomini , e£“ perche quanto è maggi A nume ro delli lauoratori tanto più prefio faranno detto lauoro^però dnk fe lf buomini fanno detto lauoro.ru giorni 14, in quanti g tornilo faraq p bui 1 mini 24, onde multiplica la prima fia la fecondai cioè^L fi a i«T no, quali partiper la terga,cioì per 24, «e vengonem tanti giorni li 24 buomini lauprcranpo detta terra, oWtfaranno detti lauoro,& cofi opera in filmili '. j J vV t . ,s' ri «k vr.’ a '-rsttOfir X iA\>! uarto.1 pr ‘ 4$| I J| 5° tegjl* del gnomone, ouer di qualche arbore ,ouer edificio, ouer torre t\\ 1 5 che mi daranno gradi 50 altana del Sole, onde moltiplicando la prima — nella feconda, cioè 1 5 ^«45 faranno 675, & quello parti ftr jo rf>e è . 67 J ( /« tergale venir anno bragia 1 3 £ , <awi bragia dr ombra fora ' li “sr ^ allegra, ouer edificio, & quefio, occorre fptjje volte nelle caufe, & li - Libro Tèrzo T.- r\ 172 ifWtigif fòtenfi , come famo,chifha prouato, perche quanto è più alt 'è il Sole tanto fa minor ombra, & quanto è più bafio fa tanto più long* ombrai -tome accenna ifrpocta nella Bucòlica T dicendo , MaioreS^ue cadunraltis dcmontibus vmbrj . • Cafo quinto. 1- 1 K-Jrsr * ’ UUU A Tfchora la medefma pegola accade nelle ragioni defufioni de ori ■A, elargenti, & per esempio pongo , che mi fùjfe fatto queflo que- sto, io ho oro de bontà decaratti 23, qual pefa onc. 8 , io lo lafcio tanto al fuoco, che torna de caratti 24, cioè oro fino , dimanda fi quante onc. farà refìat 0 a pefo,per tanto dirò fe caratti 22 , mi danno onc. 8 , che mi daranufófrattj ^4, onde mùUiplicdndo li ciratti 2 2 fio le onci 8 faran- no onc. 1 7 £,ét quejìo partirò ber 24, cioè per la tergane verranno onc . 7, caratti 3, grani o, & tanto vefierà a ptjoper rifpetto del calo , che fà a fin ar fi al fuoco, & così farai le filmili , & conuerfe a qucjla , come nel trattato demetalli chefeguirà fi potrà hauer copio fa infir unione * M»- >0<\*vrjiV 1 .-nV" ' :À • A » , nYi su»;.. 45^3 U Cafo fcfto. ,v'^' Win u irjn •o.uaò irt'j, i*! *f aaO %♦* '.Ulf ;uf" OCeorre anchoraeffa regola del ; conuerfa in trottare il predo de ai cune tele di bombafo , quali fi fanno de Certa lànghr^a determi- nata,che chiamano portate.percbc tjqfchednna tela effendo de 60 porta- te, quanto fono filate più fottìlnicniejatilo manco pefano, & tanto più V aleno, a eguale m{ fura, perilchefupponetemo , che ne fia fatto quejìo quejtfo1, egli è vna tela de onc. 9, qual vale 2.7, che vaierà vn' altra che pefi on%t8 delle medefme portate . v > - Terilcbe ditaùfe onc. 9 > mi danno 2.7 , che mi daranno ona8 , onde imdtiplicando la prima fia la feconda farà 63, quale partita perla ter- tuttofa, cioè per onc:8,neveniranno 2,7-f-, che fono 2.7 ,f. 17 ,d. 6, & tanto vaierà quella, che pefa fenon onc.$,per ejfcr più fiottile. 9i0!f & « / I Calò àttimo . *Ì4. gfT \C corre anchoraeffa regola in faper la quantità del panno, che bifi> gnaffe in far vna vefla,ouer altra manifattura filmile, a rifpetto de. diuerfe altegje,perche quanto è maggiore Caltela del panno gli fogna manebo bragj^a^ come fe vno dicefic bratta 7 di pano alto de li ne hi bra V •.ti DeH’ArkhmetJcI fji I -J- fanno Vna Vefta,quantihra'^a gli bagnerebbe di quello che è alto bratta 2 ^ . operando , come di / opra ,gli ne vorrà rmo brasca 4 -f-*a fkr la mcdefma vetta» la prona fcmpre potrai far* connettendo Uragione, - . . • j . > • >L i. ; 1 w j .f, ' tu* .VIO ■ 1 7 1 * 1 7 1 I 3 21 4 O? il! Lf P i , ‘ 4 - «bW ). '* Ett ‘1 *tì r 1 , -t S «V *X •’ « tv'.rsx tltmihjrfr A r ^ 'o x\. JÌ o tc. «ri 04 ,V h.t.tr- > tt Mvto i 'v^4 «nt)/. \\sk •Jlift irli • V “ Della regola del 3 > doppia detta da aku- ; : ni Regola del j. n ir. Vitti .Jf | r ..... _ ^ *V STcJfe volte accade indetta regola utili negocii di mer canne» & trafi chi, & altri quefiti, come de meriti {imputi , & col tempo, & tutte quelle regole da ejji dependenti , come de refii» [aldi [conti, rcccar avito di molte partite, & cambij ; & altre particolarità , chebifogna operar due volte , per tanto peneremo alquanti modi diuerfi,ndli quali occorre vfar detta règola, dequali ilprirqo [ard ii feguentc ■» ivi. v: / \ ii'ni.òtv :«\ vaiar. , v .> -t iSV.nw » Cafoprimo. -VMfip -: .ìc.^oC s lì- — • ^ — — • - v - • * 4 i ' - . v «. SE alcuno dimandale,. [e ^ moliniìn giorni x $ macinano fomeqo di [ormento, quante [ome macineranno 7 molimi iti giorni 21 . Terìlchee da faper che quefle ragioni puoi [ar in doimodi, cioè con - giontamente,& di[giontamentc,& per [aria prima d'ifgiontamaitc,qual modo ì più intelligibile, ma più proliffo di operatione,èr C altro è mancho intelligibile, ma più breuedi operatione,per tanto diraijrìmaft 5 moli* ni mi danno [ome 40, che mi daranno 7 molini, multiplica,& parti, & ti daranno[ome 5 6 , & qutflp s'ipfende m giórni 15 , ma volendoli per giorni 1 1, dirai [e giuriti 1 j mi danno [ome 5 6 , che mi daranno giorni 21 ,multiplica.& partiti daranno [ome ji , & tante [ome macine ranno h 7 molini in giorni n,& fi chiama regola del 5, perche fi propm ne 5 quantità, & con quella, che fi ricerca fanno 6, onde detta ragione, fi può mutar in 6 qnefini,cioè trottando ciafcbcdunodiloro per la notitia delti altri y ,Ji come fu fatto delle 4 quantità propqrtionali difopra , &. t r . -pò- r labro QirìrtóV 175 volendola [òr più brevemente per il [ctonio modo, dot pervno foto par titore, moltiplica li 5 molini perii fuoi giorni 15 fanno 7 s » /i 7 moli* ni fimilmcntc perii fuoi giorni ai fanno 147, & poi dirai , fc 75, m danno fome^o,chemi daranno I4j,multiplica, & par ti, & ti daranno fòittcy'i fr-, -come nel primo modo fu conclufo,& così qtteflarcgola del ehi ben faperà operare, fi potrà ridurre a vno folo partitore . - -■»'* 1 j ai ... S 7 'r L 7 5 U 0 *47 ? * ? ^.o fonte o j 7 5 I 5 8 8 o o f7g -f- I <5joi “ 3<t • , ,1.1, ■ ] 1 o o ■ H * * Ter tanto bifogna in fimiliconfider arguendoli farin vno folo parti- lore,(]uali [arano quelli numeriche [arino partitori in tutta quella ope- rai ione, & moltiplicandoli fra loro il produtto vlthno farà yno folo parti tore, & cofi quelli che hanno da efferpariiti,multiplicaìi fra loro faran- no yno folo numero da cjfcr partito, onde fi faranno li conti doppi con yno filo partitore, & qutfla via ben confiderete, & pofia in pr attica farà yti Ufiima in ogni forte di ragionici qualunque materia. < Et perche alcuna volta accadono quefle ragioni doppie , che la prima 'folta bifogna vfur la regola del $ conuerfa,come fiì fatto nelli 5 cefi prò- pofti difgpra.& t altra volta v far la direttamente, per tanto io bòjropo fio yno fimile cefo, come dicendo. -, ■ *u 'Inforna del [armento v olendo L.ii, fi danno otte, io di pane al foldo Dimando valendo Inforna L.i ì quante onc. di pane fi douerano dare per foU t d.6, onde prima dirai perda tonuerfa, fe L. 28 mi danno onc. 1 o > chemi daranno L.Zì.multiplica 28 fio io fanno 2 8 o, quali parti per a t, ne venir anno 0/1.12 4r> & poi dir ai per la detta regola direttamenteje f.vno mi dà onc. 1 a -fi , che mi daranno fol. a ,d. 6 moltiplica la feconda nella ter^a, & parti per la prima ne veniràno onc. } I -fi , & tanto doue rà pcfartlpaneda f.i,d.6,& cofi farai in fintili. Et volendola far per vno folo partitore, moltiplica L» li, quali fon» partitor della prima volta per f. 1 qual’ è partitor della feconda volta fa- rannopur a, t poi moltiplica £.28 per fi -[■ quali fono li moltiplicatori della prima , & della feconda volta Sfaranno 70 , onde dirai fe L. a a mi danno onc. lo « che mi daranno jo.multiplica ip fa 70 fanno 700 qual X x parti l i BelKA0thmctica partì per ttne verranno onc.$ i -fjV & tanto pane fidófterì dar pftjt 2 -y-» come difopr a hakefiì,& dicendo fi. fe 1 5 huomitii mangiano fonn 3 oinmefi io, che manierano % yhuaminiinmefi al fi coda modo.'p&( farlo con vrn fola part icore, mulxtpUcaJ.1 1 5 huamw col fuo^tempo , cioè conmeft i o#c venwano i iòipoimutiiplic* fimtìH*fif elh2,$ bua nuùfy li mefi ^^ne vengono 850 , onde dirai feiyomi fanno fonte i tocche pft durano ’èfo.multiplica , & parti trouerai,che ne vèrrannbjome 170 ,et tanto mangieranno li 25 biiQtuiniin.mefi 344 detta ragione , come ve- di difot to , \ l I 5 I o Ui’4 3 ?! ? V y Ijo fome % o s o- ; 0 00 ; 04 — -\vn. ■\C\vSy1 zi jU&;mub .~.\p ; v . ' V» Ott 15500 ' .':ì: omjUo? hA k'vVioo « 170 /orni : K.ru. •. *n*T ■ .V. i^c vv 'WS • if 'f cr.wj ' ' v -, .1 • \ .• imV.Vmk .f <•: . n i Et è da faper ebe detta regola doppia occorre affai volte nell* meriti fiàche in altri cafi,come chi dicejfe, vorrei faper quanto pagano 1.2700 in anni 2 mtfx 8 a ragion dcL.l per 1 00 all'anno^ per tanto volendola fa* per la fopr adetta via,multiplica le L.per il fuo. tempo,cioè JLiaù ferme fi 1 2 fanno 1 200, & L. *.700 per mefi Ri fanno 80400 , poi dirai fe 1200 tempo, & dinari mi danno L. y» chimi dorano. 86400 tempo , .& dinari, ondcmultiplica , & pani troueraix cheti daranno L,^6Q^oUfrp moltipllcali 27 centenar a per 5 fanno 135 quali moltiplica per anni % fanno L.^6o,mala breuifima farà canfiier andò, che a 5 per 10O fi l'anno la L.paga fivno^r perche mefi 3 » fono anni %~fadonque multi * plica L.z'jooper f. 2 faranno f. 7200 .parte peno fanno. L, 3$0* flpwrftfiJilV i iti f fi 1 f 1 j 1 » ,<o Lr.'Aiki^nv vi 14 o 0 7 05 Ò «f- l » »- t r> < rr vU , r 1 .iv i*r . . 4 tv»' • ,;}’4 O O . ‘ : W *>V 18 0 0 -w* 1. e,\ vi ‘A.v T‘ ' ' 8&,r ffliV'.uTj ( V.nV !•> •4 AV 7 2 o I o. i.J ol ' v.nv^i 4i ' .uvjjì', '• . ~;«w .V-«àr^.o «■ -. 8i..> '• • V •• t*.Oc'0"Vt V rW, Tet r/JLibro 7 Qócirtó [ 1 7 + < ' Ter tanto occorrendo affai 'volte detta regola del 3 doppia udii meriti fard coffa vtiliffìma d'inuefligar la maggior breuità,cbe/ipuò vfar ih del nì>perationi,per il chenotarai quella cotlufion e, quale darà agiato gran- difftmo per abbreviar ogni ragione de meriti, féndallc pr attiche, che da efft meritidcptnderiOiCome fono le narrate di fopra,qiuti‘è ; :■% . 1 j % Tante Li quante paga II cento all' amo, tanti quinti de ff. paga vnaL, ali' anno, & tante L. quante paga il tento all'anno , tanti quinti de dina*. . ri paga là L< al mefr , onde a 5 per 1 00 olii anno la L.gnàdagna, ouer me ritaf oidi vno aWanm,& almcfed.\r& tanti 5 persoci all' anno fanno tanti foldi all'anno per ogni L.& tanti d. almeffe perogni L. pertanto ffolutrai queflo quefito per e^ueffìo modo. \ 'Wv . <>■ \.*t $\ Quanto pagano £.774,'*/» anni j,me/i 7 a ragion de 5 per ioa alTan HO1, - ptì fiche multiplicherai L. 754, per d. 7, perche fono mefi 7 farad fioi. 5178, che fanno L.il, f. r 9, d. I o , quali ferua , poi multiplica 754 ,per gfq r perche fono 3 anni fanno $. iitSi , che fanno L. 1 1 5, %. 7 1, alle quali aggiongi le L. il ,f. 1 9, d. 1 o fopraferuate faranno di me • tifo indetto temaoL. 1 3 5 .f 1 , d. i o,ouer farai li anni 3 ,mefi 7 , in mefi 5178 che fdr anno mefifs & con quefli multiplicar allei. 774 faranno tanti 4 36, d.10 denari quali poi farai in L.& farà poca differenza difatica , come nell* trattiti dceambq ampiamente farà trattato# ' '•»•? • - ■>< ; .t « Tante Z. quante fi pagano al anno cantine quello, che refia faran- no tanti di'ti dì, come fe alCanno fi pagaffb t. \ 2 canone reflaranno 8 , & d.Z fi pagaraalgiorno,& fe all'anno fi pagaffe fc. ouer altro va Ufre lopotrai far in L.èr Concluder, come è detto. Yt fitfuffè detto fèti. q<s guadagno»)* 1x7 in mefi $, in quanti mefi fa - ranOoguaSdgflafìÙtS da l£<>,ondep\Hm* dirai. feLijfonoguadagna- . , teda L.^oldaqtfànt^E.fattpmo guadagnate L.zSjondemulnpiicaniola feconda netta partendo per la prima trouaratache faranno guaa daguate da LYXoQipoì dirti fèt.i Òo mi danno tuffi 1 ,chemi dar turno Li 80, onde operando donuer fornente per detta regola al contrario detta pri- ma ne ventanni mff t in tantiùtefi faranno guadagnate L.ìt dÙTftó a detta ragione ,\pérth& quante pine lungo il tempo tarpò fono manto leù.-tlft'fciiad*gH*noVk'nttra quantità, cioè chedopendo effe* guadagnata akOh* qu>>H)tdàe<*L. da yna puoti^a altra quantità, gli hi'- J fogna tanto più longo tempo, & volendo prouar detta ragióne lo puoi far in due volte direttamente. £ : ò Dicendo fe L. }o guadagnano l. 7 in ràffi che guadagneranno L. 80 in mefi 1 2 -J- . Ma per ridurla in vna fola volta per il mododetttr difo- pra , multiplica ciafcuna quantità per li fuoi mefi, cioè L. 50 /><* liknefi 5 faranno a 5 0,6' le L.’èopcr li mefi la-*-. • Horàdiraife i$omi danno L. 7, che mi daranno 1000 tempo, de- l * X x 2 nari DeE'Afithméti'ca nari.multiplica, & pàrti fecondo la regola, trotterai , che guadagneranno L.i8,comefà profittilo.. Si può anchora -panar tale quefito in quejlo modo dicendo, fe L. jo guadagnano L.q in tnefi 5 da quante L .faranno guadagnate L.28 in me/i 1 1 -±-. prima dirai fe Z.7 fono guadagnate da L.^oda quante L. faranno guadagnate L.ì8. opera direttamente troverai, che fono guadagnate da L.zoo. ÌV\ Toi dirai per la feconda volta femefi 5 mi danno L.100, chemi da- ranno mcfi 1 2 opera per detta regola conuerfarnente multiplic. la pri maglia feconda,#- il produtto parti per la ter ga,cioe per 12 ~> ne ve niranno L. 80, ftcome fu proporlo. La prona puoi far perla regola del 3 doppia direttamente, fi come fu fatta della precedente,però fappi,che effondo infimilió quantità fi pojfo- no far 6 quefiti doppi de quali 3 fi faranno parte per la regola direi ta,fir partcpcrlaconuerfa,& li altri 3 direttamente, fi come ciafcuno per fe ftejfopratticando può conofcere . jtnchora effa regola del 3 doppia fpeff evolte accade in ttouar il predo delliori,& argenti diuerfi di fincgga,come fe f uff e detto, Mar che j.onc. J <T argento di lega di onc. 8 valeno L.91, che vaieranno marche 2 onc. 8, di lega di onc. io, la qual ragione volendola far per vno falò partitore multiplica ciafcheduna quantità per la fua lega, poi multipUca,& parti, trfarà rifolta, fi come fi veder à nel trattato particolare di leghe di ori % & argenti copiofijftmo . Accade alcuna volta vfar tale regola del 3 nel trouar la valuta del panno, ouer altre cofc di diuerfe altegje,come nel feguente eff empio» - S e alcuno propone ffe quefto quefito.br agjga 6 de panno alto bragjf » quarte 1 valeno Z.43, che vaieranno bragia 12 della medefma bon - ta alto bragia 1 -{■ , onde per far quejlo vedi quanta è lafuperficie del - l'vno , c 'r l altro , poi opera fecondo il f olito , cioè vedi quanti bragga quadrati fanno bratta 6 de altera de braga 2 £ moltiplicando 6 per * i fanno 13 -J- , & poi moltiplicando bra^ga 12 /m 1 4- fanno bra ^ ^ax8 quadrati, adonque dirai fe bragia 1 3 4- valeno, L, 43, che vole- ranno bracai 8. multiplica,& parti ne venir anno JL, 57 f. 6, d. 8, & ‘ tanto vaieranno li bragia 6, ebefiano dj altera- bragia 1 -f , come vedi qui difotto. I. Libro* Quarto. 17 S I J ^1 vatenoL. 4 3|ì « « - * {•: ••' 1 ~ 2 18 * > 2 * 7 *r ■ • l*V. Vfà . Ti : K? .1 k* 774 2 a < A ? 4 8 7 f * J4* f*7 ■+ ctobL,tf,f,6t d.S v 19* * ^ f * 5 4* fst I ! 9 8 '.vi\ rnvUi.. »•> itti A. vj " r^iS tWs : crrtWr L flitrtmt'j i n^vj \v#.V'^ Della proua della Regola del 3^. «,v x+ii' t** \ : "p T volendo prouar le riponi fatte per detta regola, moltiplica là fri ma nella quarta, & il prodotto dotterà éjfir eguale al prodotto del- * la feconda nella terza, onero piglierai la prona del 7 della prima, quale1 multiplica con la prona della quarta , & donerà effer eguale alla proua della feconda moltiplicata nella ter-za cofa , & quelle in ogni quantità . Etperche difopra fu infegnato nel panno di diuerfa altera come per ejfa regola fi deue procedere nelle fnperficiali quantità, per tanto mi apm- pare conueniente di dar anchora vno ejfimpio col quale pojfi cono fiere * come per -pia di ejfa regola fi debba procedere nelle quantità corporee » ouerfolide,& però fi ti fujfi dimandato , vna balla di piombo , che ha di diametro^ palmi pefa L.qq , dimando quanto pefera va' altra balla di piombo, che babbia de diametro q palmi . Ter far quella, & fimili ragioni , cuberai dette balle, ouer altri corpi, onde il cubo de 3 farà ij,& il cubo.de 5 farà 12 5 , pertanto arguirai conte vedi per ejfimpio 1 w* •jtjO v 3 3 -a. "i fc', 1 •*> f'-C • 5 v ‘ * ■*. ' ■ t * ì' . «j?i ^i bv t .**.■>•» 0 T( *2 >1 •ÀniH’ìirt ttjv.jV»,:.» ;> xi ,T^> 2' ■ •>*<*?• ■r.r *!i***'-.1 ' ‘ A . ' A. t »ò«it v»*-*»»35 i, ■f<. ft> -, i-V v ti"' +>■■■■'* ir*..# 9 3 » $ y -r ; \^f- Et • , '* v. - » - • -K Hr. » *v V - viUafcj . iSJt “ * . - > -tr- ’Jr r c ^ D.oH’Ari^h indici * 7 I L. 54 I 2 s » ylKtf.S .0 |*. f;$ o feferé 5 4 | 3 I 3 5 | r- . — !..., — o o < 5 o ^ z * 5 r il .fc \ M .1 i»b -f • :S +*>!! « \ T s « 3 v> i j Et volendo prouar ejfa ragione penda fua conuerfa dirai,egli è vn4 balla di piombo, che badi diametro palmi $ , & pefa L. 250, dimando quanti palmi hauerà di diametro vn altra balla fi Olile , che pefi L. 54 , vtultiplica 5 cubicamente fora n 5, qual ipullipfaa fia L?% 5 o faranno ^ L.6qqo,qualrfai^per^\',7U^emrdrt>t0 ijirftÀll'cadd'la rad. cuba , ne venir anno palmi ; , & tanti palmi battona di diametro la detta balla, & così opera in fimili . % \rtfhcMapbteutÀrgmr Còfifci,.$±wdapnopnlmi 3, cheéùddrfyp* noL.iqo'Mtdtiplua j cubicamente fòri venali multipli enfiai^ ofm rtó ój^Otcptaliparti per 54 ,ue>vetnranno 1 adequali catta ba rad.cu - ba,& fard. vi & tanti palmi fard per diametro, quella cbepefalxì yó',v* nt&difopra fù foppofio. 'O, * 1.. > A*'- ■'* \^énjtboxa,pottm dire, fé vna balla, chehà de diametro palmi 5 pefdL» vyp^atuopefaravn'altr^ohefia.dedtametropalmiq, & quefta fard v^rattàemrcòtttt^rfa allàprimaipircho'in tvka,& takraftricerca tifi fi) permealo d elianti fura, ontdecubarai il 3 farà *j\,qùal multiplic* péri fo,ne venir anno 6jy<3,quati partiper q cubato ;cioèpert'ty >*e venir anno £44» & tanto pefamta detta bada, come nelpram effempur fu fuppoflo,& co/i offeruerai nelle figttre foUdeftmtli fra loro .' <■> , Hara quefit tofègidbc* intefe, potrai ad ogni fìmplice qutfko rifpon dare pervia regola r if<dubtte\per. tanto ne por rmo alcuni cafipià vtilì) &■ accecarti amrreanti,Mtne nd inueftigarc ikguadagpOitirfftdStay et Offrale: de quatiit primo ^ Mit.'.y.v.tit.u 1 \* l.w'j.3 l <1 lb fcd M» tl.iir.Ìj.^MYÌ.TÌ\'i^.lMSvU^>rO?C.l0n Quelito primo/» IO comprò vna mercantia,pcr fc.6q.dimaido quanto la douefò vender a voler guadagnar a ragion de 15 per iod, pertiche dirai, fu 100 di- uergono 1 1 y, che diurno- anno 6 4. opera fecondo la detta rcgotTffiuerai, che ne venir ano fc.-jj-f-,& tanto ft donerà Tender a voler fitadagnar a ragion de 1 y per io o. i 10 vendo vna mercaqtia per fc.j J (j- > j con guadagno dei] per i oo, dimando per quanti fc.la comprai. ' ^ Diraifefc.il 5 capit/fle,& guadagno, erano 100 capitai t> quanti era nofc.jj -f-. moltiplica, &partl,& trouàraì , che erano fc.(^, et per Unti feda comprai, et quefia t Idconuerfa della precedenti. ' \ •• ^ * v • ». . ... ( * • . v . *. . j c\ J*r. de pomo honga braga 48 peri. 2 tj .dimando quanto douero \ der libraio a voler guadagnar a ragion dei] per 100. Ter tanto trouarai prima il capitale partendo 11 5 />er 48, ne venir an no L. 4 /.p den.y,& tanto vie» il bra%zp , poi dirai fe L.1 00 diuentano L.l\ ], che diuentarano L^fol.g den.q, opera rifluendo lieflremiindi nari, & moltiplicando, €r partendofecondo la regolale venir annoia foL] ,d.~, , dr tanto fi donerà vender il bracco volendo guadagnar a ifl- gion de J 5 oer 100 - .1 ; i. ■CT volendoli fkr in vna fol vbUa,multipUca il partitor della prima ■*-* che è 48 fia ihpartitor deltafeconda volta che è 100 far ano 4800 poi multiplicailprecto che fumo leL. a* 5 fiati] capitale , (ir guadai gnoycbe fu multiplicatoredtlla feconda volta, farà 14725 , quali parti 3 \ per 1 ' DeirAflthmerial per 4Ì66, ne vengono L. 5 ,f 3 d. come dif opra, ii efpediente per fòt le ragioni con fomma breuità^.^ I qual modo h il pii ;c,‘ Quefito fcfto. ,<>Ol :V\ « Ir» o*'^w i.it 1É 0 ] T 0 compro vna mercantia per D. nonfo quanti , & poi lavendo fc.q 4 con guadagno de 11 per 100 , dimando quanto la. mi cafU . . Diraife ut erano 100, che erano 1 4, multiplica, &• parli, & trono, raiycbe erano D. 48 ,f 16, d. 6,valendo il D. L. 6, f. 4, & .quefioautft to fi può formar in quello modo, & farà il medefmo fotto diuerfe paróle* dicendo, per quanto debbo comprar vna^mtrcantia , accioche riuenden - ; dola fc.$q, fi guadagni a ragionieri pertoó. V Qucficò fetrimo . svu ^ .U l' :>vw <rti' • l IO comprai il braggp del velato per Ltanti,chefe io Chaueffc compri to pr L. 2 di più, CT poi riuenduto L.iy, io baueria guadagnato à ragiondi 1 2 per 1 00, dimando per quanto lo comprai, & quanto guadi gnaiper 100. -roucrai prima il fuo.capHale dicendo fe ihprano 100, quante era- fpL. 1 7 .multiplica, & parti trotterai , che erano L, 15 jf- fottrane L'.i re flanno Z.13 jf- poi dirai, fe L. I j ritornano L. 1 7 che ritorneranno le L. 100. multiplica , & parti trotterai, che ritorneranno I.128 ff| ,& t auango delle L.100 faranno il guadagno per 1 00, che fono L,tH .00 1 > t 20 f. ^ ■3S'3Ji'*V T ’f ucy i^ii 3«J . * - ; . ^ r.vjttwT atte i-'kWfiQ v juciito ottauo. % VI *\ ^ M ' w • ’< » ■! I P V*^, i I * , r ’ * Vendendo vna mercantia per fc. 32, lo guadagno a ragion de 15 per 1 00, dimando vendendola per fc* j 7» quanto guadagnerò per 1 00 "Prima trouail capitale , così felli, erano 100, quanto arano 32» multiplica,& parti,et trouerai che erano 27 }f- , poi dirai fede 27 *f- ne faccio 34 , che fe faranno de 1 00. multiplica , et parti,ne verranno fc.i} 2 |f- cauane il capitale / eiòèjdo rìettatoùfi. 3 2 fi-, et tanto fi gua- dagna per 100. $ Ma volendola fir breuiffimo,dirai fe il mi danno 1 il, che mi daran no 27, multiplica, 0- partine venir anno fc. IJ*. Jf-, come difopra.fi fnuo in due volte, V aivinv»? w ;\o<r t*\ jw' v,t nt “ r i 1 5 J A ? ? Lib^tjtóàAc??^ 177 t»Tl *&.fc v*4 « » a £01 *f- OOCf V 00 d H< 1 00 3* 3 * |ooJ I I 5 o>ó^ — - **- 80500 34500 oo8f Ì.-U v >°t t ìàjÉj fcVvtartt»«r.\i«Q * ooòt? rj 5 -uh uniL ilo-y. fi* ^ . * *XfrxU\ ^ Ti>5,l. ,\ , T.»vì'i\ i,,« ^ ooè 1 R buji^ tvA ,| j?ncuv i v-,,11.^ - ' v^-, ™ ftftoà"*19 della feconda, ridia tonfi x fìtti partitore del produtto del - Mprinutl iCr • fefla, et qÌMte,i& pongo la quarta ignota notatapcrji . >1 ” 'v « ' ?“V «v v . . ?-"’b Av' -‘t1*'. (SnU/Ji-rt nArtr, v-<\a\wi; i?ò *i\u.«^,vjrrjt r, • tV^UenlJO nQtì£Ui(V* ooit3 ,aA jlo,n il tettivi r|J , 13 r!m<* **** quanto valcno bra^fa j , dìcetMo fe b*t*r<*M v*jn no f7£k^mèli*alerkntio l>rnqjg4 tumulti frllca\&" psftli'-dr'-paleranno & » rÌF$i>}i per Caper quanto fi gàtthgtfa per 1 avvitirai fede L.13 /«"> ne facc,° ^-*7» c^fÀ farà deL.'rGv, rrmltipijca,e^j»trtii& fi fa- ranno I * 5 \\j , & fanatico de L. 1 00 farà tlguadàgno^ cioè £.25 Jt, & li rotti farai in f & d. fecondo il modo foiito . n \rt y^endda fa^ny^o foto partitore ponccai ordinatamele 7,quan Mptófhmdal)mj}MiU^iiàt^é\ QTft&èU foMfyott, Wapi tifilo precio i^ij^rbbkìlaquafjiìè d^6UlqÌNÌeidifepyio per la teiera *A, & il fuo prccio,qual'è L. 1 j è noto, che è la quinta quantità , & il Joo,fup conferente è ngto, che è la fefta, ma il guadagno per 100, che • itnn ^ u W$j/ '.wiwwO T y Tritna prima feconda ^ 3- 4* 5* - - n r^V’Tn^t^ io ■ j I fc 48 bra^a v aleno £. j 1 7 1 che palmo bra'^a^i^l I £. 1 71 1 o<* ? — • 4t <6*l r 1 1 ^»****0*' " o — 001 4800 . >'•*? x7 ‘-Vf*— OCJC? rd>-kc tr 8-16 00 niranno L.\ 1 5 & , fi come fà trouato difopra, onde dirai che fi gitad - otta L.i 5 |H, per xoo , Cir cotica brenta Muerat finali sfalda ne venir à la fettima quale era ignota, la quale è L . 1 2 S P SS mi *** il& Tolomeaai • 1\ !*»«$ - fr ‘ «Jf £V Ul^i: . i u 4s\2X*\lU4iJej.\u»* ■V: _.,Ht,r tt.*« V' ,4v d4 partirfu ìt *t'M ; »'■ > • 7 t I l>MOrt \\ 45 • V t|‘ ' ’i « *»* ** , Delle 6 quantità proportìonali pofte da Alchin do Phiìofppho » la, ètri dottrina c vfata da Tolomeo nel Almegefto. Vi nj ; »> .rt.vÀ ». . />'*" ‘«.v 1 *c " ATfirefioaUa^m&ii^^ A Mra»«/c del 3, mi} aputfoiòfa conuemente aggiongerli r Mi- rabile virtù delie proporzioni pofièin6tcrmini,ìidottadaHeber,W a* Gioitami de Monte Fregio a 4 quantità proportìonali, nondimeno trono. Inbro-QiiàiiÒ bri r 7* tchihJo , j& da Tolomeo hi 'ó quavtitài\oo0io difanotoarfi'etupij ■fi farà mari fifa , & prihta quando la proporzióni d,tl prónodemùneiU facondo dello 6 ■quatulùfopuvdcite\faràtùmpaffa Aalfapri>p.onnae,<fal <oj>o |4|»|if J Uwp al jHaMi& délquwto alfaffaà far* Uproportiouadel prima al | f | fecondo compoflo dalla proportene del ter^o al ftjio delqumtt <4 ■quart^mftfranrtpA^cmbihationrdfeòrnpa/ittOiùpofabUix^tmtfe'i 9,1 1,,'‘ J,J ■ptWQteiMÙntfja&Cì , il fecondo io+ilterrf)^ iUquarto*» il quinta J» proba fi manifejla la proportene fafatma, qnaCè tra 6<i) . e5* ì o effer comporla dalla tripla , (ir dupla , cioè dal i $ > al 5 , che è A 1 5 , <r/ quarto che è t ,che componendoli infioneàlmodùdehttuUiplicat de rotti fanno fimilmente vndfefcupla . Ter-la intelligenza di qur [U resole è dafaper cb?f • Ì(MA i parato al jccondó fi mette &to termine co - ub> (fa- rotti, & il fecondo fi mettejfapr ‘a M lie/fempijdati,ilpr moieqi\ _^L.I-.. -_t- . „ fi ferine così j£> che fa vna fefcupla , ma il IO comparato a 60 fi fai « »f cojJ fé-, cioè fempre il primo fatto la riga, ouer yirgola,ìlche intende Ji. ct'ÙT\kV il.*..- Ji'ii -. r ò ®viV,QVU(Wy':. vLty .j*.\ -J V» ^cu.ni\bkiM . 'kti l\ WWW *v-r IV 7 J- rifalli tlftitiitti. , pf i ici\n . .*v i 5\ . ^ ì«V - iTOMmu *t* ;■ • ",'b , 4<*> ». »0|ÌO|J ^L |'2 -| .t>» | 1 4 " ,l -f- 4- Tr---rf- li> '-'-élp ■ f-h <•» ,*n f. jtnchontlà proportene dal prhnoai UT%o farà coMpofia dtUaprdr portètttìiti facondo iti quarti, &<lclqMnt&àbfffloW <• v *\\< Eflcmpio. *AV»l v?w» ir _ - 1 ir» /Jliì b\s "O -, ’.l V « i ; i\ \ i\> '1 - w : v.V t. \ .* j-, ir 1 y k «»W^bV . ijTOù<n<\i\vt!.j •• * U^K. ? 5 ry 3 a Si* * f *i * i DelKAtityrbetìiàT :-i<s sia. cmtrti\fópt6>1*pr4poYtiovc dal prmb'ot térfy aloè del 6oèfcfc qual è quindecupliilc'hè r$-, & del fteomf^al quatto, tool lòtti 2, bidè <,U( Jotloi ^j.tSr.thtl quinto al fefì^cioèdafiy^l-^^bè^multiplicando-f^^ ù'| * t .► £.>. fl. WK». tnmt im -1 r**^l,jA i.iii , /«ww y conte fiù propoflo effex il pr, Urto termine al fecondo , cioè ip, ■cbc fiwilrìfante fti ft-p ojf Vjbwoilvo^im i."^ oiv ^twoic\i.voy>\ *c,,#> ^ZSaràla detìàftoportionc dalprjmo debr^o) àoè compofia dalla proporzione dtl fecondò qlf^lo^àloèJa 4*i &■ del qùintoal quarto y ehi • frìpetMibe nuiltipiicando ,y- (ìa^fanho fehijfatoz\- , cóme fu prd~ pojhvuì '■>'■ « ? I Ubioh , *0 < V Uo^u.> -n\;i 01 'ò1 jr'. taprtpotkkne del prpnb aljpnvtPìciw^ farà, contpcftdée/lk pwptip notte del fecondo ahfcflò t'chèp.^C &<dalttrjò alquanto i «Aie'fcidk cor ^petchcrtiuitipl ipandfr 4Ì Zfa -Jt fit$ \ cdmpofltiòM 'lèt- te, p/ajtortioni fifa colmultipUcar.de rotti,' vto , s \ 1 ■» c r.n{. la « \ 1 . *WrJ\|Vttw orR^iV.pnalj «irì'vV»t>clA«A 0 J> » 'iftfi’? J • ’. j jj v*y'jT g jnttv < t 1 _ y I '.\tcnVv',lU 1’ 00 lc» ®4 ,0*o{ i\ òò a ctTW •■*u » Alt j *J> oh» t^U Jtoi p^nri^'U V. 1 ;« . ai \; A <V ? iw t\ tà v-« iwvri\ Si irto WUV ucnS\\b-«^(n\^ '» 6. La proporzione dal primo ai-quinto , cioè £ è compòfla -delta ffiopoYl tione del fecondo al quarto, che è -j-, &'dcltertfalJeJlokbeè 4nl cioè -L- . multiplicato per [agnina ^ r.quul jqjti/fato fa cqmg 7. La proponine del jìcqjido al attaitifyche è -’r fi™ còmpojla della proportione del primo àlter\o , che k pf- > dFJaTJejlo al quintq termi- nc,cìoè dal 5 al if, che Tjt^i -f . jtrebe m&ligticanM 'rf fubtripla farà ,.qud(chJfalofar« -ì s Xomt\fipWpWWM *U<h tiplicando vna quindefupla'cpa vnA ful&lpld fdTi y/M ■- \ .oiqmffl3 r-Ti T,f‘bV‘» f- 8. La detta proportione del fecondo al quarto* cioè -f- .4 compofta della proportione del primo al quinto ^quat è -*• , comefirrede, & del [(fio al 0, qual è -j- , perche whlplic&do -f fafiio&f, «f Muin terX°>. . - enfia, come Ji propone . - x ì fiWff* \ J __ J _*» J za c t li l* £Ù LA fiibro:Qiftttoc 179 fioè vna fubdupla con vna quadrupla fa vna dupla. I * . •f—dvpl&è compo- ìo'e quinacctiplq, & riiùlL. ,perjbemul 4 j o. La proportene fc/ fccp fìa della proportione deprimo . dal quarto,cbe è 4 4 Iqn tiplicando jf- fia 4~ far V *oìc\v" ì t.* i.-. * j -<u*\àù il.. . Uf biffa? far i‘ 4- •• c 1 **»* wjo^iswi -i- v\i>i jov'j , l\t> .<*• 5\n. 'ii-.y - tu^>3*4- ,4m \i5 t V , j 4 y.l> . {i \i t i»\> <y,ÌH\,'«tfTìw\ n\4*» etau.V)ta4m <* ,U v.m IO | 4 ! 2 [ 1 * * 5 .0Pf;CÌ'\. \ ir| uV.n 60 1 1 un II .La proportene del ter^o termino alfluarfo , quotò , cioè dupla è 3£ I compofla dalla proportene dipi primbalferondo,cioè-^-fexcupla , & del 1$ | ; fefto al quinto,che fi ferine così ~ [- ouer -j- , cioè vna fubtripla, come di- ■ 1 J vnaf^ipU con vnafefcuptq 6 I farà £ , cioè vna dupla, S\> -vi ,o sxvt<\ U» »Wv>\ JL *• tt f V»J : «iv •(/ .il il* 1 6 ■e n,f- ,v , ■ìfewpknr ' TvfmtyW* fi 4** . -, . , U- I una, t ' ... \i\f -fNj.Où^l io; Vt T , q^o^eò^^ur dai Jcjìo al fecondo tcrrnino , checfubdupla'cofi -7 > perche componendo -rcbn -i- /rfrà v«4 </«/>/<! , coft come fu propoko-j- fi —fchiffato fa • La medefmq dupla ò compila d fila proporzione del 60 al 15 , & dal 5 al io davrtàjjuddrnplar&'ify vna fubdupla,coft 4. -f* fanno »55 fchijf andò fanno j, cioè vna dupla. ' Vil\ vjìv , • .v.r.fK ì' >■’ dupl?hi-\?. »\.T\ Trfjf/TVfff Vv- ."-ut''. ÌV>‘\ttt.0i - . ' $ • ■ , •-. '.•'V) xo, ; ;'.v. ‘-"V*- roportio I j . La propor tione del ter jp ’ termino al feflo farà- 0 ne del primo al jecondorffr dal quarto al quinto . Come la proportene itti 4 al f qual'è Jubfexquiquarta cofi -£- è compo u.Tl ^ | rv Q’vt KcnVie^ov^vl ;é i Ss f. i .Ìis» wV*b 1 4. Sarà la detta proportione del ter^oal feflo termino compo(la della prò portiom del primo al <pàntox& delquarto al fecondo. . — SarYadonqueJapràportioòedci'+alì , cioè coft compofla data 4 proportione del 60 al 15 , che è >& delibilo, enfè ^cquate puh auincupla, perche moltiplicando vna quadrupla fi*T>na fubquincupla fa là come fu fuppoflo, ? } : \, | 01 1 ot |.0t •• , t — fojcfqutquwta * , , £. ( 4 - u -£■**{ i ■ • 5 ò t'-qè la proportione del quarto al quititó Ytompòfìa 'deBàpfoportione del _L fecondo al primo, & del tcr^o al /èflò ter/bino. ’ ’?"u O Comf nelli ejfempq fupcriori,la proportione del l al X J ,cioè del quar- , to al quinto !, quafèfuhfecitpla frfqutalrtra ^ compofla della proportio- | , . _ np dpi IO al 60, cioè del fecondo al primo, quatè fuhfefcupla così -f- > &" Ìdel 4 al $^ioè Aeltcr%p hi fiflo^quafè fubfcxrjuiquàrtd, ciùèfèg’iata coft ' JL, perche componendo -f1 (op 4- fanno j*feomcdifoprà fupropo* ffo, cioè TrnafeptHplafexquipUerai * ,->o»v,( ; .» .-V ^ . • " B ■ 1 " r 11 t '■ fa *W«. *X 7”. ; rr:,ftmqto}a — > * ▼ T . \ i, c f l' l |W« o)i itf. la medefmà proportione del quarto termino al quinto > cioè *v /<*r£ compo/la della proportione del ftcoqdo al feflo termino, qua? è dupla coft . deferìtta del ter^o al primo coft 41 fthiffktincioè fuhdecima qum «■ ta, perche multiplicando -j- con Sfanno qualfà propoflo, & ftchia* tnqfubfetivpla fcxquiahcra. 'VJ v.» ow«n>: y«* U • »' » ij u n •a; -3- ' 17. £* ji%9 Quarp?. 1 so ty. La profiQrtipqt del quinto termino al fello è compofla della proporti* ne del primo al fecondo, & del quarto al terrò tentino, come peretta»* piò difetto -federai* , óoTìo f 4I il ijjj LV Ter chela proportene del i$.al 5 è tripla, quali compofla della pro- pofitiqnedcl 60 al io,& del 1 ala, perche multiplicando 1 a yna fex- cuplafia Ynafubdupla fanno vna tripla, coft -j- * -fa -J-,et fchijfato fi -j- , cioè vna tripla, come fu propoflo, perche dal quinto al feflo termino è tripla, & del 60 alio é fexcupla, & del x al 4 è fubdupla adonque fi a -Sfanno • 104 41 o | onero ^ 2- -2|_ 00 1 ix| o 3 1X0 fibifiatoj f- ' • 1 Slav 1 8. L a propor (ione del quinto al feflo termine farà copofla della propor - tione del primo al terrò, & dal quarto, al fecondo , perche la proporzione del i$al<i quaPè tripla, cioè è compoflo della proportene del 60 al 4, qua? è ifi del 4 al io squali [uhquincuph coft -f- pertanto multi- ple andò rf- con-— fanno -, j- cioè vna tripla co fi ~ come fi propoflo . 'Ì.%’ febiffa fi X- 0 ij 6o » 1 ut ' " 3 Effempìo. componenti . Et effendo qùefle compofle 1 8 proportene le fue cotiuerfe compofle da f uoiconuerfi termini faranno 1 8 altre, che faranno 3 6 compofttioni di- uerfe, et queflc compofttioni de proporzioni fi fanno col multiplicar di rot ti, féruando ti conuenienti fitti delle duple, & fubdupte ; voglio dire delle too?gÌQ{,&. minor inequdità, come è flà ofieruato.hor quefle cofe effem- pliflcate prattjcalmente con 1 8 t fieni fu mani felli nelli numeri rat tonali - volendo faper la fifa dimoìlraiione ricorrerai ad le binilo, del quale fi mentione Ù£uersoe,cbè effe lobi dimoflrate nelle 6 quantità irrazionali : ma conuienti fàper,ch e alla compofitione di effe proportioni fopr adette gli fono necejfarij 6 termini, & 3 proportioni,delle quali la prima fi chiama com~pofita,& Patire due compone ti, come nelli foprapofli efiempq hai ve '.sfitto, dico pbe quando de 3 proportioni due faranno cognite, cioè vna com pofit(t,.& l'altra de componenti allhora partendo la compofitaperla co- ppnentZ ne venir i P altra componente , come per efiempio, la propor 1/0/1 tripla è' compofla della dupta,& della fefquialtera , adonque diutdendo la 1 detta 02 l DètTAfldiltife , cioè vna fefquialtera , & volendo prouar quefla opèratiórtìCl^lAttf. plica le componenti infume , cioè la dupla conriafeCquialtertnOE^enirà la tripla, chef» compofia da quelle, come vedi dijorn l1* ' ° dupla 1 Ttipla <vy'' frfquialtera , componenti Et nota, che difopra nel componer dette propor tioni non Iti fàtlo di(fc renila alcuna nel metter il maggior termine dfotto la virgola,outr il mi nore delle propor tioni, pur che nel tejlojla tentila l'hàbiiudinc 4M ter- mini diftinta . Et quando f>no delti termini di vna proporzione farà noto infieme , còti òffa proportene facilmente fi compera [altro . Come fe'l maggior termino di vna proportione quadrupla fujfe fi l'al- tro minor fi manifefòrà arguendo per la regalia del ] dicendo, tifi dà' 6 denòtiiìnatàr della quadrupla, chemi darà i, 'nopri ita tariti ' effa tipadrù- pla multfplìcand&, spartendo mi darà i j fanale ilmìnòticrmifc'rtì (petto al 6 della quadrupla proportione, onero partendo 6 per 4, ne veni - rat -4 > thè è l'altro termine f- - — Et fe il maggior termìheticllaprofjòpioiìè dupla fefquialtera fujfe 6 partirai Jìmilmente il 6 per eh e.cflàeuomi nator di cjfa proportione a modo de rotti nc venir à 2 che è t altro termine cop . . _ t ?r .t .v • ,) .laviui . Dj v.Vv^ 't:t»^4«\osu>yp'tìL ■ 1 — — fa ■ — |» . — aV • '• . nit'.nv' \ .nv'- :vnv’,M>»l‘bb Et offendo poi noti li 1 termini ne rifalla la proportione mèttemfàll tiiagvpfX^r^fno Copra la virgola, nella proho f [ione della maggior wièu qualità, & il mìnoi folto, & neon tritìo fatila tìroportbòtl ctèUa niinorttii qualità', comcla proporti.,,, Jd 5 al3 tofft , %. detf alj,eoti^ perche vùUùdoirpù&ìFdcnohjinator* detlapropòrtibmdt pàrt'tVàriZF- c'edcute per il confeguent'c , & quello che ne viene, farà il fup dtho- 'malore::" ’V™ y Et e fendo 5 termini noti, 6' cbCnoufappiarhotaptoportioniper tà'itìf libro Qiiartòì i ss Conjlituiffi il fejlo termino Ignoto conuertedo per le dette regole tf^Al thindoyal modo, che fi dira djfoittKdipOi multipUca ilter^o nel quinto, et quefio produtto nel fechtidoj& il prodotto partirai per il prodotto delpri no nel quarto, & ne venir à il fejlo termino. x i i * h i ci i Sj] t* J.4. 5* *• ‘ (opo | n | y Come fi trouano tutti li 6 termini a vno per yno per ditta regola. Ter ejfempio fia la proportene del 60 al io capotta della proportene del al 3, et del 1 5 al s.cioè la proportione del primo al fecondo compatta del- la proportene del ter^o al quarto ,& del quinto al fejlo termino, come fi fupponein tutti li effempi de detta reg ola dMchindo . ' Et nonfapendofileproportioni ma foLmente 5 termini, pur chefifap- pia,che habbino tale ordine de propor tioni fra loro, & fia ignoto il f etto termino qual è i,cbe fupponeremo ignoto . Et per trouarlo multiplicaremo tt ter^o nel quinto, cioè 6 fiali faran no 90, &• queflo prodotto per il fecondo, che è 1 o faranno 900, & quetto ferua,poi multiplicaremo il primo nel quarto, cioè 60 fia } fanno 1 io, poi parto 900 per 1 80 , ne vengono 5 che è il fejlo termino ricercato , & qucfta è la ver a operatione,nel ot Imegejlo, perche non fi ricercano le prò - j>ortioni,mà folamente, chetali proportione fiano compojleeontaleordi- ue,comedifopra,& difetto in figura, • 1 ai 3 4 s 6 . 1 J quinto ~ 6 ter^o 60, primo } quarta éo 4 - if 99 90 — f -, J~ 77 io fecondo partitore 180 180 | 900 ( 5 fefto termino trouato , fex cuoia compofita j componenti , cioè che vnafexcupla è compotta da vna dupla, & vna tripla • Et nonfapendo U primo termino, come per ejfempio del 1 5 modo , che la proportione del quarto al quinto è compotta della proportione del ter- %? al fejlo, & del fecondo al primo,adonque il primo termino otteniraA fejlo loco,per tanto fi ordinerra,come difetto , * z$, Pri- DelMfìthmétifca nari. multiplic a, & pàrti fecondo la regola, trotterai , che guadagneranno L.i%,comefìt propbflo. . Si può anchora variar tale quefito inquejlo modo dicendo, fe L. jo guadagnano L.qin meft 5 da quante L. far anno guadagnate £.28 in meft 1 2 -j-. prima diraifeL.y fono guadagnate da L.^oda quante L. faranno guadagnate L. 18. opera direttamente trouer ai , che fono guadagnate da L. 200* Toi dirai per la feconda volta fe meft 5 mi danno L.200, chemi da- ranno meft 12 -i- opera per detta regola conuerfarnente multiplic. lapri maìn-lla feconda, & il produtto par tiper la ter ga,cioe per li 4~> ne ve nirannoL.8o,ficomefupropaflo. La prona puoi far perla regola del 3 doppia direttamente, fi come fu fatta della precedente,però fappi,che ejfendo in fimili 6 quantità fipojfo- nofivr 6 quefiti doppi de quali j fi faranno parte per la regola diretta, €r parte per la conuerfa,& li altri 5 direttamente, fi come ciafcuno per fe ftejfopr attuando può conofcere . * Anchora effa regola del 3 doppia fpejf z volte accade in trouar il predo dtlliori,& argenti diuerfi di fineg^a,come J è fu/fe detto. Mar che }.onc. 5 <T argento di lega di onc. 8 valeno L.91 , che vaieranno marche 2 onc. 8 , di lega di onc. io, la qual ragione volendola far per vno folo partitore multiplica ciafcbeduna quantità per la fua lega, poi multiplic *,& parti , 6 farà rifolta, fi come fi veder d nel trattato particolare di leghe di ori , & argenti copiofijfimo . Accade alcuna volta vfar tale regola del 3 nel trouar la valuta del fanno, ouer altre cofe di diuerfe alteg?e,come nel feguente eff empio * • Se alcuno proponete quefio quefito.br agjga 6 de panno alto bragia » quarte 1 valeno L. 43, che voteranno bragia 12 della mede fma bon- tà alto bragia 1 4- , onde per far quefio vedi quanta è lafuperficie del- l'vno, &l altro, poi opera fecondo il folito , cioè vedi quanti bragia, quadrati fanno bragia 6 de altera de braga » £ moltiplicando 6 per 2 4 fanno 1 3 4- , & poi multiplicando brag^ga 1 2 fi* 1 -J- fanno hra ^ gai8 quadrati, adonque dirai fe bragia 134- valeno, £.43, che vaie- ranno bragia 18. multiplica, & parti ne venir anno £.57 f.6,d. Z,& tanto valer armo li bragia 6 , che [tono d‘ allegra bragia 1 4-, come •pedi qui difotto. Libro Quarto. 1 3 *H intimo L. 4 3 1 ’i 8 175 1 t i ~ S 2' x 8 •> > * 7 774 0 0 < > . ' - • 2 ? s • * 7 f * 5 4 * 1 5 7 + cioi L, $7, /.$, 4. 8 v 1 1 9 8 ' r,»r •9 •• 1 vo’»- ''..t' ìV -« ?\ . t-V. r*,S , Tr .. .. > ‘IHI ' > - . ' . ‘ f H u : > ' V"{ M’-.T" ■ i'!» n'r;Mvt. vUftW»** Della proua della Regola del ^ ET volendo prouar le ragioni fatte per detta regola , multiplica Idpri r ma nella quarta, & il produttà donerà effer eguale al prodotto del- * la feconda nella terga, onero piglierai la proua del 7 della prima, quale* multiplica con la prona della quarta , & donerà effer eguale alla proua ■ della feconda multiplicata nella terga cofa , & quefle in ogni quantità . Et per che difoprafu infognato nel panno di diuerfa allegra come per ejfa regola fi deue procedere nelle fuperficiali quantità, per tanto mi apn- pare conueniente di dar ancbora Vno effempió col quale pojfi conofcere t come per via di ejfa regola fi debba procedere nelle quantità corporee * ouerfolide,& però fé ti fujfe dimandato * vna balla di piombo , che ha di diametro^ palmi pefa I.J4 , dimando quanto pefera va’ altra balla di piombo, che babbia de diametro 5 palmi . Ter far quella, & fintili ragioni , cuberai dette baUe,ouer altri corpi » onde il cubo de 3 farà 27 ,& il cubo de 5 farà 12 5 , per tanto arguirai come vedi per effempió A ri li )UU r 3 ' 5 3 5 9 » 5 3 5 . à^.*.wì 0 T v 'ili*®.' • i •«Ti* &>&.■ ’■ fi» Et \^S' r i xi D.dl’Aiijhindicà i 7 | L. 54 I 2 y » 7l|"<S^-3 0 M- f? 0 fe/ìr* 5 4 I tf * 3 5 I — r- "■ ■■■ — o o < 5 ° °K\ gz a 5 r » ù W .1 là* -f- P li <l^>? i \ X c 3 * i J Et volendo prouar effa ragione penala fua conucrfa dirai ,egli è vnd balla di piombo, che ha di diametro palmi 5 , & pefa L. 2jo, dimando quanti palmi hauerà di diametro vn altra balla fi mite , che pefi L. 54, moltiplica 5 cubicamente! fora n «,i qual mUifliffiJt L*% 5 o faranno L.6qqo,qualt^Mpcr$\‘,iìtfemr'a7tri6 17 ar<fuaÙ'càd<tl\i rad. cuba , ne venir anno palmi j , & tanti palmi haueua di diametro la detta balla, & così opera in fimili . . bùdhcMa pottui-àrgubr. Còffe q mi danno palmi $ > chehùdSra/p- no L.tì orniti tip lic a j cubicamente foia iy\quali multiplica fia r%ofak no 675 o,qmqlipartì per 74 ,nev mira uno 1 15 de quali caua ht rad.cn - bai& faràiì& tanti palmi farà per diainetro,quella else pefa L»lfó',v* fV tdifoprafù foppofl». . ^éncborqpoteni dire,fe vna balla,che bà de diametro palmi qpcfi.t.% ypo^MaMopefara vti altroché fta.de dtametropalmig, & quefia fórà ^anUmectoutrfanlUprma,pbrcht'in lvka,& t altra ft ricerca lift ft pernierò dettami fura, .onde cubar ai il q farà 27V qftal multiplica pòri fo,ne vèniravuo èjqo, quoti partipcr 5 cubato , dot per i»y y ne venir anno £44,' tìnto pef arala detta batta, come neipram tffempié fu fuppoflo,& co ft offeruer ai notte figure folidefimili fra loroo> ,o-V.t'n ftara quefle coftgUbcu tntefe, potrai ad ogni fìmplice quefho rifpon darcpgnefi* règola rf<dulild^r.tìmoneporrmoaku%ica(Lpiù utili* &uecèffmi a mercanti, conte nel inàtfiigare il guadagnoiàSr perdita, capitale: dequati'Uprmo farti q*tjh,ckà . v/.'.nnU-.««.? 1 1 t ? •-.v.;;mJuw w\ vta , . 1 Mhtt ^>to f t .Aon Quefito tààM*l+m*mrm, IO comprò vna mercantia,per fc. 6q.dimaìdo quanto la douefò vender a voler guadagnar a ragion de 15 per 1 od» pertiche dirai, fe ! 00 di- uergono 1 1 y, che diuener asino 64. opera ferendo la detta regotTFTóuerai, che ne venir ano fc.71 -f~, & tanto fi doueri ifender a voler guadagnar • ragion de 1 j per 100. I i \ , ^ » ' { 1 *f rt Librò Qua tto i 17*~ w • i«? 5^ ,n.V''.r. ^ (^cntò1(cucòn3d^ ‘ ^ IO compro v»<< mcrcantta per fc.J£\ porta vendo fc.73 -\- dimando quanto fi guadagna per 100. lìÉMiyc 64 guadagnalo 9-f- i ciéèla diffèrcntiaVe!lf6$Jtltì'ff che guadagnarono ioo,multipiitdlafec6tidit rìéU iér\a, ór il produco fàtiipbr la prima,ciob per 6 q,nev enirannof6t.il , & tanto fi guati a- ètàièr 100. n" -r •'.•• ,0* • T-/v'\ v‘,i - ’-V.-j’. . . iUiO.Ì..- . »nvv«'PTiM wvvtiei r ì: \ .v • ' • Qupfi CO tei*ZO,», . - .^c- 'siAuk IO vendo vna mercaqùa per fc.-j ; j con guadagno de 1 y per 100, dimando per quanti fc. la comprai. * ^ Diraifefc.11 5 capitale, ór guadagno, erano 100 capitale , quanti era nofc.’j} -\-.multiplica,&’parth& tróueì-ui, che erano fc.i^, etpér tanti jfc.la comprai, et quefi'à è comierfa della precedente £. A' !‘ ^ rtsir.-, T^el» ’ U.\» ti - i'V ! 1 Qucfi co quarto, v !... ' " M.Acnfcv’vÀj , • 1 "ò k: '"V •rei Ti in : ! . T)Oj peir le ragioni doppie pongo li fequenti quefiti.io compro vnapegf i; s [a de panno longa braga 48 perl.t tj . dimando quanto dotterò neri • der il brago a voler guadagnar a ragion de imperi 00. Ter tanto trouarai prima il capitale partendo? 1 5 per 48 ,ne venir an no L.4/9 den.7,& tantovien libraio , poi dirai fe L.100 diuentano £.115, che diuent arano Li 4 fol.9 den.j. opera rifluendo li eftretni in di nari, & multiplieando, ór partendofecondo la regola , ne venir attuo L<$ foL ór tanto fi dotterà vender il brago volendo guadagnar ag/h gion dei ^ per 100 .ir. 1 i I .*?’ ? 1 iìjv\'u>ì» r i tmcnfrisx* \1p\1* » ‘.' j ti V. nwt.no ; ■ \ >■ . • - ,, i.c ; "*r . v IV. l « t-tf : ; .QltffifO qUlHtO 1 ET volendoli far invnitfol volta,multiplica il partitor della prima che è qi fia ibpartitor della feconda volta che è 100 /arano 4800 poi multiplica il predo che fumo le L.ail fidili capitale, & guadai gmtycbefù multiplicatore itila feconda volta, furi 34725 , quali parti - 1 fi ex • 1 77 uns ^-T>l5| TO<?|^;|^|-J7f>bO ' fi J * il- , OOI I x^-r-' p ) V ^ìVj<'s| ri t Qfij'rt l f II» 008 f TI 00 a r * 1 00 3* 3*M tfi'S 1 1 5 o>oà ^ -M* 80500 34500 Oo8fr.<! . 'Or '.i. 1 tT.^nkw - t«0 ! « 00Ò18 07«vié\.~i $*b *\<j>xc »t. a v* itu »c<- jnufth-wito C> * t * à 1*'^ fcfcwoviVUs-h , Ì9f.l 5.U ; ivi' VV> 9*f ih, 1 oob 1 R ma<\ , 1 jjjcur ■ u' { li iai »v . si • 1 . v.\j ■’M "■£ - • v. A ìwwiy, «m r^rit» iTproduit&jella féióttda^'ndla ttrxpi fari partitore del faddutto del- ttprìmaìty ftfta, et qu'mta,& pongo U quarta ignota notata per A . * wntevv - v. 1W - gl ^.u Cirri nrinÀ ' '' i^ò 1. • v^UClltO nQn,Ó, • ^ 00^18 jnai-'. ,4 >' • ,, , IWeòivbrQ ^Vapc^a deputino longha brajj* v|S-} pw(l.» 1 7, poi »f vdido'ÒMQàrqì per ti tji- dimando' fi guadagno, oner perdo, & qttdntoptr ct i.-'.hiìs, vS : - >i >i»^u u«<j3 i\ ,u\ . “Prima trotta quanto veleno bragia j, dice>Mo fe b»d%X* 4% tabe* no'i:2\y^bt>alePkHnd *.mkipdlcA& partir' valer anno & » rfl*- *P*‘ per faper quanto fi gàfìfogtfa per 1 óxs^dirai fede L. 13 /f-> ne faccio L. 1 7, che fi fard de L.'reòr, muiripijca, spartii & fi fa- ranno 1 2 5 1 & fattatelo de L. 100 farà il guadagno , cioè L. 2 5 JJj, & li rotti far ai in fi & d. fecondo il modo foìito . n’M colendola fax con -pqo folo partitore ponetai ordinatamele 7, 0 uan ^tipto^MdaU?)l^àiU)fm^é\ UfèftStM'ai foidìgtioù, mà\>A il fino predo i^dhifaftbbkUoiquatJkìi: igpótaiqbairldifegno per la letera , & il fino predominale L. 1 7 è noto, che è la quinta quantità , & il .100, fitp conferente è noto, che è la fefta,ma il vuodarno per 100, che 'ter chiamo è IgiWfi** y . ^ v • uo8u('m« 0 hi t‘uov‘ alvina. ;.^ u 0 ig) sl«oiA <& *.«t»kj»0*O Ty “Prima feconda 3. 4. frìma feconda 3,4. $. , /mi ér<*^4 *a/cno Ì. a?7 1 chèf^o^agp^UA |‘Z i^To^ <Wt' J l 1 *~V 0 o j c 3 4t o f> 1 4800 s? 17 ’Òf t t 8-1 6 00 Oi rtde moltìplica la prima eòe } \&fa bfifla, la quale t- ìoo/ari 4800 & quello anchora multtpUca pft> ,lf quinta che è 17 faranno 81600 * qual ferua, poi muùiplica leL.%tq , che è la feconda per librala $ * chetila ter^a quantità faranno 6) 1» bora parti Z1600 per 6^1, ne ve nirqnno £.1*5 » fi come fA trottato difopra , onde dirai' che fi guada* gna L.% $ ff* , pfr ioo , ciir cotiquefia b renila fiotterai fintili quefifi da pochi o0mtati,per non e/fere autunni, per (opto, offe/uerai quefia «Hi clufione,che ejfendo dljpojle 7 quanti tàproportionali, come le fopradeìte in ordine fe partirai il prottutta della premanola fefla , &• nella, quinta * qual fece 8 1600, per il prodotto de&t feconja nella terga, qual fu 6 fi ne venir a la {ectima quale era ignota, la quale è L. 1 1 5 J4y ponendo la quarta ignota per la(it con quelle , che fegui viglia, fi come appare'jp- 1 de', & Tolomeo i\ aitasi' n > rj- ' «ptarolr > quieti »« ivi r-utr.V 48-f^U fypejU oef* fiotto, dftta circola V - : *tv\ ai****- •' ■iWi.uio vHp' \UtpM*3o. ‘ 1 1 ft : *■ * it 1 IV J 11. l.ll-JI [ T-}^- ? t ' o,«MU !.. .ì'”? tW’t) ’ * TtWJ» *i'v v** 8 *i Delle 6 quantità proportìonali porte da Alchin ;do Philofopho ,la cui dottrina è vlata da Tolomeo nel Almegefto, j irr.v.y Jfctnk- s.. Tww •'.** 1 1 L’U-.v • T, , j n ì , :1 • , A Tp efio alla trofia xegoUdelle ^quant\tÀ, proportìonali dettarvi ■aV. garrente del 3, mi è apaxfocofa conveniente aggiùngerli f ammi- rabile rirtA delle propor tioni poflè in 6 termini^ idott a da Heber,& da. Ciò nonni de Monte Regio a 4 quantità proportìonali, nondimeno trova. w ~ • ta LilnorQbàtidbQ 1 78 fctda Mohindo, &da Tolomeoln.6 <fuamitài{eo0ie dffantnwrefi'eìuptf fi farà mwifaSfa >& pritna quando la proposito* iti pranodtmùncal facondo de tic 6 juatniùfoputdctteifaràtcMififà dalla proportronc.dql <o]*o |4|»|tf fawp al.q» amt&’dcl quinto alfafiafa far* faproportiooedel prima al | r| fecondo compojìo dalla proporzione del ter^o al fifa delquttào al ^rìiartraafcemunp Ztymtfa'l ' i,,*, ' ■ptwaxexmÌAt jia&p > il /cfq»4« io, U ter 7^4 { il quarto »> il quinto .ISìilfaJl» i,prnhpfimanifefta la proportene [efcnpla, (jnaCètnóo^ . trio effer cumpofìa dalla tripla , & dupla , cioè dal 15 , al 5 ,cbe è il ^pfato al [(fiondai 4 atfrpbeè dal torero ol^ttario\ (mOmente fard fa detta fefcijpfaicifiè dal primo che è 6^[al ftóondtf ihèi Ito* compoiìadài lApyopprtfancdt Uerxp^clinl 4, alfe/ fa, c beiq,€r del quinto { chei 15, al quarto che è 2 , che contponàidoliirfittntAlmodùdelmimplkat de rotti fanno fimilmente vnaffcupla . Ter- la intelligenza di qutfie regole è dafaper che' l primo termine cor parafo .al fecqndcrfi n — * -1— i^4=r A* rotti, & il fecondo fi 1 j J mette dito tfl yìfZofa~'pfcr Ucrfprùi rotti,& il fecondo fi mette opra tieJfempijdati,Upr mo deqimi cr...r-.-,- ^ - J fi fcriue così jJ> che fà vna fefcupla , ma il itJ comparato a 60 fi fai i ue così {*-, cioè fempre il primo fatto la riga, ouer virgola, ilche intende tqittfUiatofam».. o P.ó.i. ffWiy. ■ . 5» ■..•••■> . v*j,v' *. wsf ìoi * 4. Hvóà I >it| s-\ *J tou»a\U*«« . -f *«* 1 T V- s J ... , ! i\ ' *,yM> LHfc\ i u\ ' ' 1 ’ re '»• •* ' *1® 1 '*%'*•} : '% -f-n i <to < 7 jr;?r' V* »• ' ,»n ^.Vtnchoréfa propàiihitt dalprimoaìttrxp farà conìpofia dtlfapr*., po rttont del fecondo à/ quarti, &dclq»i wtoalfrffa d i .vn>. -r.' ;ì 17**7 Esèmpio. fcVrtV» 1 .1 4^'.'.:- .? U «|ft 'O >m\5u.gì , | tVt. k f U- wW^foti IO | ‘ 4 f ^ 1^5 ' •• ••?•.'•; t - * 'i. •>i <0 t» I_ i JL -L JL * ì u j 3 2 Sld *^i DelFAritltrh-etica^ Sia emedifòpraiaprapoYtione tisi prhttòvt tèrfy aloè del 60 quali qn\ndeCHph)rìoè r^-, <&dcl fteondo-alquatto, cioè tòlti 2 iti Si 4i{cU|ot|p) tyj'&.dal quinto al fefl^eiocdafiyal.gid^è^tnufytplicando-f-^ h| fanno y come fi* propone effe* ilftjkto termine alfeionia fA té £tf|f Jp* irìw fimilnfmt iMiùS oiv ?\k<03 o\i.vjjts\ dettàptoporti&tc dalprimo d&rxpì -tini: ^ compofta dalla propor Mone del fecondò alfeflo^àioèJa -»t«P de. del fùintoal quarto y ehi ' . f~, pertiche mnltipHcando — fia^\fanhofthiffato-x\- , conte fu prO- faflo&tì ^ « ?I Ubidii ,w^v.V. *0 »•' : :V- *rj\\3 oi \7 ti dtlprimè'.al aiànta^cioè^farà. compofl Addii prtffy 'tièneid fecondo affe(h,£b^^'} &<daiitr^ò nlffnvts, j ebe'è-'dP- ter r'^perohc-iiutlti pittando, ^i^a-rt fit^'&lacànrpo/kiòM'vltf- ÌAV teproporth'm fifa colntultipdicar.de raUt^^t , s > 'm' iuiv ^ *\ì , mmr'.iwtft orn^l ittotab »u«n IO r. ’l \\ 00 a ww ,r- 2t« t '0*0 ì'i'b oC:!> ub i r ; *>< il s. i :\r. Aititi a ^>T |prl 4.-^*. 1 1 1.m ittltfl ,J vSO, l i.('A W5W t\ l : t\9V? < U ^thìot k+u 3 M\ um v\U,tu>i v^itn'ùaU 1 .u\ \. i\»\ mir t\ «V\J^ìvw'svn'n\^, . ov.il owN^Hvt^ttrfti n < *' ilo* .1» . Laproportionc dal primo aLquinto , cioè £ è compòjìa itti* pèopùVy .Ione del fecondo al quarto, che e -f- > &del terrai (eflo'jcheè qui $ cioè -J- . multiplicato per -j- fafrima jfc rquU fcgfffto -V]® <V*S fi propone. . — s , ^y da*?* * còmpofla della uintq termi - Job -ìr 6 tionc fubtripla far àj\r ,quaif chinata farA'^f , '.Comf[ftpWpWtr<fM*- Vfulf ùplicando mia quindceuftta.cmvnA frl&'lpU fa ì JWHf (MtówR < \ oiqmffia ’-fcWfi f- ortione del fecondo al quarto* cioè -j- fa compofta della 8. La detta proportene del fecondo al quarto* cioè -j- .4 compojta della proporzione del primo al quinto, quat'è -J- , come firn ede, & del f($o al ter%p,qual'è -f-j perche multiphc&do far)no6j f , cidp dkdquin cupla, come Ji propone . — . " - fchijfafa J S J I " 4 ..*> ’ 5 J * \t v r t» o. •A La C*È A. ■ jJLibro.Qirattoc 179 fi Tede, » i ? * * t - i »j", j fioè vna fubdupla con vna 4-1 4 ' x quadrupla fa vna dupla. ^ , t x f I o. La proporzione mi Jeepntio al-ftfte trunijw, **>)-*' dupLtè compo- fla della proportione drfjfrimo aUprfo,qutne^- , \ioè quinc ccìtplq, & dal quarto, che è 4 àlq muffole tj 1 c\fiJNefójriia , petslfemul tiplicando jf- fia 4~ faraona d upla\ xiaè-jf , come fi propone. i wn.m^oivA Vtoji'nìVvV sitolYio^o it\ ov>l tS i .vyi. > s fc».u* -L- ì\m^ovi , j »> 1% olitici cr )»\ :u . " -'ÌkV • tmya-t- -Jfl-j ,4,, \i$* $ sta . $j\*. . t L,;u};l-,oCkC'i^ * *ì\ u\rf\-,. . j.vv«* oUu.-/}\cr\«tu stavi* ,U\»j..uw 60 I io I4I 2 f i)l S r,ww ,-J- II .La proportione del ter^o termino al/juarfo , quatè -l , cioè dupla è 3£ compofla dalla proporzione dfi qr imkalfcr ondo, cioè -%-fexcupla , & del ff fefto al quinto, che fi fcriuc così ouer-j- , cioè vna fubtripla, come di- fottotfncb&toppMe/idQAct f a/**,, Moè ^M^iplacon vna fé# cupk farà cioè vna dupla, ciniìfìiprapoflo. , , x\s\ •.<,/. ..m h\,v>v.c wj\.X k r'-ii j«K ' A/. • 3 4-.«v , - , •• vi'. I., . ",1. : I U " . '.«Nj.OOh «*i ■•• • V> \tiha al èrtiti. ^duplafor rà compofla deJl^ppprtione fo{prtmq al qumtq^hc è dal fijlo al fecondo terniino , che c fubdupla cofi, r^yR perf he componendo -J- cbn farà vna ditola . cali carne fu Droòafin-Z- fà — fchiffato fi 4- ó V. « \ I 1 3 6 l vn.\ ” 4«>, e. '4i^ta * X >v 4.mt t.\ 1 • ■ o'. fopla fchiffìtto ' ' 1 ' '' *'• • - > 3^l<fc 1 i - .. •' ni' , • i- . • '■ au*n <>'r ■ • Jf ’ ■ v - i' j 1 3 . La proportione'del terjo termino al fcflq farÀ copojla dalla propor tio ne del primo al fé condo, & dal quarto al quinto . Come la proportione dii 4 al 'q.qual'èfubfexquiquarta cofi è compo fia »ò ,r \ l Q DeMtòtithfnéfièa » »* ir i-i’t "CiS .’ VV'. I J.tt* i\ Wfy- « t- *»— 1 1 *AI ,) , i -“7 - , • . *_ . >v(\ VjfiiiMVieiun \ .h r -o>v > l 1 ir.' ^O'j IO- I 1 e 1» 1 ‘V’P*. 4v^J 2. i " o‘.i- > l\ porliom del primo al quinto,& del quarto al fecondo. Saràadonqueja proportìoée deÌ4 al f , cioè coft compo/la dalli proportene del 60 ahs , che è > & ìd tìal io-, cèdi -^-cqualti fuh- quincupla, perche multiplicando vna quadrupla barena fubquincupla fé rà , come fu fuppoflo. ?«r(:U|oi|oò \ i'Vij’t *• ^ • è AI m * ' ik J't. ■*. vV: ^ViSA- * (j’Virso^ *\ ,ii l>\, •<;, , fctnirc Ai'à'fàfr, n V' ■ > v-ì. -f-tnn. J- l*» '»i3^\VWltWnv .■•W.cTvil i'5.' la' proportene del ■ quarto al quitaó è compòfla deBapteportìOtHdt fecondo al primo, & del tcrjo alfeflo termino. J 1 VUl ,,'"r _ > • r ‘ Come nelli effempq fupcriori,la proportene del tal X S,cioè del quar- to al quinto., quafèfubfetupla fefqutalrtrà ì tompofla della proporte- ne dpi io al 6o,cioè del fecondo al primo, quali fubfefcupla così , & del 4 al 5 ^ìoè del ferino al f èfto, qual'èfabfeoètfuiqudrtà, cròi fonata cefi -J- , perche componendo coq -J- fa/ino -j1 ,comédt/bpra fùpropo* fio, cioè vna feptuplafexquialtera', 1 “ * > !” r>. lì ;».» y . y . \Qi. : i.W\ 1 o.-M ‘ • y ì\t mw tt-'T*. $.'5 x>fchiJ3*f0 fi .57,0. > .fctyjhjkvf , •£ or-. vj$' *•>? 1$. la medefma proportìonc del quarto termino al quinto , cioè •> farà compofia della proportene del fecondo alfeflo ter^ino^qual è dupla co/i • deferìtta del tcr^o al primo cofi \ÌfthifJbtOiCÌoè fubdecima quitta ta, per che multiplicando -f con Sfanno 4* qual fkpropoflo,& fibbia* toqfubfettuplafexqtt'takcraS V"* * * •' V';v- -t • » »T tf c vw» 4y i\->i ■ -JC'- t. F ^ ;£%<? Q«aiW‘ « 80 17, Lapropprfyqt del quinto termino al {etto è compofla della proporti» ne J c! primo alfe condo, & del quarto al ter^o termino, come per effem- pio difetto federai, . . 60 [ IO I 4l il Ijls .1WV l»s Terehc.la proportene del 1 5 .al 5 è tripla, qual i compofla della pra ^ fofiZtqnedel 60 al io,& del a a/4 , perche multiplicando io vnafex- cupla fia vna fubdupla fanno vna tripla , cofì \-fa -c,tt fchiffato fi -j- , cioè vna tripla, come fu propoflo , perche dal quinto al feflo termino è tripla, dr del 60 al io é fexcupU, & del lai 4 è fubdupla adonque fa -l fanno -f * i. . i_ fchiffato e 6a 1 i*| o j ' " onero ■ 18. L a proportene del quinto al feflo termine fari copofla della propor- tene del primo al terzo, & dal quarto, al fecondo , perche la proportene del i $ al.i quatè tripla, cioè -f- è compoflo della proportene del 60 al jjquafè -rpyfir del a al lo^ualè fuhquincuph cofì -fper tasto multi- pittando ,-f- con-— fanno j^- cioè vna tripla co fi ~ come fu propoflo* 5 4 io 40 r L'/r e\ * — 7- — — — fchtffafi — 0 %'« . 60 * , »*• u 1 componenti Et eflendo qùefte compofte 1 8 proportene le fue conuerje compofle di f uoiconuerfi termini faranno 1 8 altre , che faranno 3 6 compofttioni di- ucrfe, et quefle compofttioni de propor t ioni fi fanno col multiplicar di rot ti, féruando ti conueniénti fitti delle duple , <& fubduple; voglio dire delle maggior, &. minor inegualità, come èfià ojferuato.bor quefle cofe ejfem- plìficatA prattjcaLmcnie con 1 8 ejfempij manifefìi nclli numeri rationali - •polatdà faper la fifa dimoflr alene ricorrerai ad *Alchindo , del quale fi meni ione iter r oc, eh e cjfo le hi dimoflr atc nelle 6 quantità irrazionali : imi conuienti faper ,chc alla compofitione di effe proporzioni fopr adette gli Jono neccjfarij 6 termini, & 3 proportioni,delle quali la prima fi chiama compofita,& T altre due componiti, come nelli foprapofli ejf empi] hai ve -iduta, dico pbe quando de 3 proportioni due faranno cognite, cioè vna com pofaa, ,& t altra de componenti allhora partendo la campo fila per la co - ppnent^ne ventri l altra componente, come per ejfempio , la propor tjop tripla è' compofla della dupla,& della fefquialtera , adonque diuidendo la -detta' Libro Quarto! 1*5 Conflituiffi il fejlo termico Ignoto conuertedo per le dette regole cT^fl (bindoli modo,chefi dira difoitiudipoi multiplica il ter-go nel quinto, et queflo produttu nel fecbndof& il proda fio partirai per ilprodutto delpri mo nel quarto, & ne vcnirà il fejlo termino. ì ! ?! | < h ! 01 -1 '■ ! . 2. $.4. 5. 6. • *0|jo| 6^1 M |j Come fi trouano tutti li 6 termini a vno per vno per ditta regola. ‘ \ :■ C : \ . H’ ’• * * Ter ejfempio fia la proportione del 60 al i o cipolla della proportene del al 3, et del 1 5 al 5, cioè la proportione del primo al fecondo comporla del- la proportione del ter-%0 al quarto ,& del quinto al feflo termino, come fi fupponein tutti li effempi de detta reg ola d Mchindo . Et non f apendo fi le propor fio ni ma follmente 5 termini, pur che fi fap- pia,che habbino tale ordine de proporzioni fra loro, & fia ignoto il feflo termino qual'è l,cbe fupponeremo ignoto . Et per trouarlo multiplicaremo il ter%o nel quinto, cioè 6 fia 15 faran no 90 ,&• queflo prodotto per il fecondo, che è io faranno 900, & queflo ferua,poi multiplicaremo il primo nel quarto,cioè 60 fia } fanno 1 80, poi parto 900 per 1 80 , ne -vengono 5 che è il feflo termino ricercato , & quefla è la vera operatione,nel ^tlmegeflo, perche non fi ricercano le prò - portioni,mà folamente, chetali proportione fumo compofle con tale ordì - ne, come difopra, & difotto in figura. . I J quinto 6- ttrjp 60, primo 3 quarta io fecondo partitore 180 180 J 900 | S feflo termino trouato • fexcupla compopta \ componenti , cioè (he vna fexcupla è compofla da vna dupla,& vna tripla . Et non fapendo d primo termino, come per e/fempio del 1 5 modo , db» la proportione del quarto al quinto è compofla della proportionedel ter * al feflo, & del fecondo al primo,adonque il primo termino ottenirail feflo loco,per tanto fi grdinerra,come difotto , u* “ ‘ * Pii- r * DclTAnthmetia 'i! ' y>.\ oiì’.'» u.-jì ? •. T‘*5ni^lv.*> Prima difpofitionc; .fftttft'Al cip\ ^ ‘WWC •«> 'Ì>lD VtK»^.Ì3W OM |6o|lo|é| J|i5l5 Polendo trouar il 60 primo termine , bifogn * rìdur il 1 5, nodo al fri no, con tale ordine di propor t ione, facendo che ti quarto dell'ordine fopra poflo fia il primo dell'ordine fegucnte, tome difetto, & il qdinto fia il fé condo, et il ter%o fimilmwte il ter%e, et. il fello fia il quarto, et tifiti» 0 io fia il quinto ,et il primo fia il fefio in quejlo modo tranjpoflo . \ ji- * Cit^l . • O I ' 1 CÒ \ ' VH'VVV': A -mA • \ • I. 2< }■ ft'l 5»v Ór;- — — >. ■ ■' ■ ■ — . ' — 3 I *5 1 6 | 5 [ io| 60 ■iA ,Al‘ ^ V'* I&s Tirchi volendo, che laproportione del quarto al quinto fia composte . gitila propor tione del terop al foflo , etdel fecondo al prvnoibifogn a- far *1 “ J ebecffv termini firmo come laproportione del piripto al fecondo fia campo fia della propartiomdeL tett ai quarto, et del quinto alfeBo, adonque per detta regola multiplica 6 fia io faranno 6o,et queflo multipl ica fia Tiferanno 900,/» 0» multiplica 3 fia 5 fanno 15 * cioè il produttodelprt^ J no nel quarto termine,et per queflo parti il 900 , ne venir tomo 60, che ì il primo termine dell’ordine di fopra, qual fit fuppofto ignoto . ■ 1 •■l ' 6 o primo termino Il medefmò feguìrà tranft>onendoti,cofi come difetto : r 6. f «J I. ì. 3.4. fé *u;..J,l»6 f 1 5 | 3 r «o| 60 T arche feguitano li medeftni pr od ut ti, per che multiplicando il terzo, ohe b-i$- fiali quinto, che è io farà 150, qual dutthiiel fhontlò, che è 6 farà 900, qual partito per il produtto del primo che è 5 fia inquarto » che è 3 farà 1 $ ,onde partendo 900 per 15 ,ne venir anno 60 qual fi il primo fuppofto per igootd. Trefupponeraffi adonque in quefto fecondo ordine di trottar il prim . . termine, ctìe} il'ÓÓ, che la proportione del feflo termine al eer^ofiud^ pòSÌ a della pTóportknc del quinto al quarto, cedei fecondo 4I primb','to ose fi propoflo difopranel 1 modo , fiche l a prima tranfmut ottone è da- »5* modo-, et quefla feconda è del 13 poflo difopra . V Ma accio che fi (offa meglio apprehenderc quefla regpla li metteremo "X . . * i tjlàlntfcQu&ed^ ì s 5 fui difetti per ordite tatti' li iU modi con le fuc traufmutaiioni . V*. i. modo , la proportione del primo termine al fecondo è comporta del- laproportione del terog al quarto, & del quinto al fefio termine ♦ , ,m^\u •- . .% rm 1 j. *«<f San t k« i. x. ). 4. 6. 60 1 10 1 4 | t | 1 y | j .a .} .f. ■{ .g .1 V’ — " w ì |n IH0* I f l°* fcxcupla dupla tripla _ * ^ ^ Ai. • 1 4 — ■■ ■ . | *. '•» . . •{ "■ »» o > \ .. 1 ■iati »,** )Ms4 \i V\ ’ ì obi adì -wif^ V tfrrubtà r ‘‘ i’ r’0^ '' » V-'.1 iibVitnv ©ii * ,0 . 1 kni^ s > no i> . ìitY.'.' h>\ 1 . toitno qcriiW oS\S*\i w. 91 "Perche multiplicando vna dupla con ma tripla fa ma fexcupla, in- tendendo multiplicar di rotti qual è fummar de proporzioni . 4>o . di'. I i l ?• i t I 4- I Cl pamore^ QÌJh. Jifysouioi cjj’ol \u ùw\ . . \ ,.~i i^iAi.it.'< h. . oVau\> \s ou\ . u.ìjl 1 > 9V.«wjVi j joolóloo ^ •6!£i0rrilarj) oirjrf, jnN tf* *. Si troua x fefio termine qual era il quarto tranfmutado come difopra per dettaregola,cioi multiplicando il tergo nelqtrìnto,et ilprodutto per il fecondo,farì6oo,& poi partendo per iìprodutto delprpno rkl quarto che fa 3 00, ne venir ano a, qual è il fefio terminrdi^uefto vltkno ordine , tome chiaramente fi vede. 0 1 ^ Sarà anchor la detta proportione compofttr della proporHxtit diltfrì jjo al fefio termine, et del quinto al quarto .< > ? 1 •419 . *>-•? Effempìo tranfmutater. ». 3. 4. y. 00d| 00. I. a. 3* 4- <* ' ~‘-T-U I"- nnr v Z*L 1 Dcll’ÀjtìthnicHca & tramutato come difetto farà la proporzione del primo al fecondai cioè quindecupla compojhi della proportene del tento al fefìo, qual è du- pla, et del quinto al quarto qual' è ‘J-percbe moltiplicando *\rfia -j-fa* rà « cioè ma quindecupla come nell ejjempio difotto appare . ,f . * •* *1 1. ». 1 • 4- 1’ <• *ÓJ 4 j/°M *1 I f * . Et volendo trottar il 5 che è il Jeflo termine fe Ifuffe ignoto, multipli- ca il f.chcèii fiail tergo, cheè io farà 1 50 ,etqucflo multiplicaper 4* che è il fecondo,farà 600, qual parti per il produtto del primo che è 60 fia il quarto che è 2 farà 120, onde partendo 600 per 120, ne ventrali no che era il fefto termino fuppofto ignoto in queflovlt imo ordine. 60 | io | 4 I » I *5 I 5 I J . 4. Sarà laproportione del primo al tergo compofla della propostone del fecondo alfefto,et del quinto al quarto . : Eflempio tranfmutato. foUliohMjl* partitore 300 1 ■ -r v« itr 1 lfo,uc^KfW^V'r' y>\ ■; r.K?.- .'SVn«tCtì<tVni'V 2 • £ ri V*» ; ■r- eStf.tf» '*Yp H»; *£} * ■ -t * * t; ' • • - ■ * u r • " 3 OOl$ lOO .{ ? 1 1 quarto temine innangi la tronfiti* - catione t et il fefto nella trafmutatione 5. la 1 o 1 50 4 Libro Quarto .* i s 7 la proportene del primo alqumto fard compofla della proportene del fecondo al feflo,etdel terzo al quarto . tranfmuutione. \ ,j*| | o| T \ A- \ 2. * Quarto termine del quarto modo, S & 6, in quella yltima trouato • ir ni 300 ìuli • My JOO 4 o « 5 6 00 -a • * 7 * • t 6. X ard anchora la detta proportione del primo al quinto compofla del - laproportione dal fecondo al quarto, & del terzo al fello termine. primo al quinto] 60 qU’tnjecjma jj io MO ^ 4 , » 5^ io7 compofla fecondo al quarto terrai fello come fi propone, ^ 120 1 60 | o componenti at*H' /J 5 frflo termino trouato, come per come efperimentando al modo °° 4° le multiple ationi yedi il modo delle fopradetteft può fapere. — L£ iao|6o|o 7. La proportione del fecondo al quarto , fard compofla della propor- 5 itone del primo alterco, er delfejto al quinto termine, della feguente tranfmutatione . ~ ' * . Io 60 4 5 40 | o o ■ a 4 ojtfoo * J IO ^1. fubdupla £ primo alterco feflo temine compofita ftflo al quinto Ter- s / T ? i DellcAiiAjÀcticfi I Tìercbe.èq fnèóporftonedel fecondo. alqtiarto dal primo 4 ter \P ^ «~irt dalfcjlo aiejuinto £<4*: ondernukipiuando^fia^fatà + coipc fit propojlo, & fi vede nella fopraferitta dfyofaionc della quale vè- lenSo trottar ìlfiefto termino, fimultiplica 60 fia 5 ,cioè il tergo fia il qui» to farà jooytìr qitfjlojlmultìpli^tpev il fecondo] 'dve t farà &otsffpQÌ fimultiplica il qitarto,d)e è 4 fia il primo ebeti 1 abòrti 4<xparfitor(£(MO tendo adonque 9oè per 40 né&hgono 1 j , qual' è il fejlo termino di que- ftafettima diffofitionc, come vedi difopra . g . La propor t iqne dc\ fecondo al quarto ti comporla della proporzione del primo al quinto , &M l fefio al tergo termino, nella fequente tranfmuta- tfflUe.&e termiti.. k cwit<\ s.UiV» M jjioìmb L'nft: d .a*i\OTtv eH \k ■'òjCV' k Ù!R0ì:ì\kb3iv<jiVs3Cp>-i^*il _Aì 1 - *ISL Tercbe la proporzione det fecondo àTquàrtóT-xg , et del primo al qui » ' to ò -j- , & del fejlo al tergo è j\- ,& perche multiplicando ~-fia fa feguita ijpf opofito, ertosi opinando in[utte n^fpràertàweèa^ ledo trOuar Lvfrffitin quefbottauo'Trdihe,lnuftìplicJ 5 fia 60 farà ;oo et queflo mlfiplicqpex gy^ififper U feconda farà 500 tfualfafia , poi o 1 'multiplitd il primo fia il quarta leonino , cioè io fa 1$ farà 1 5O) bora *“ parti 600 fopra feritalo per*fifoM& yenirà 4, qual' è il fefic\ fa fi teflp oh qybwmauelqiwrtp^vk^ pofioffifUergafemm rCOMt fiicil r£_ a* otawÙvtavk . uV<\ Wvul . vV.Vj :.V. . wiì\ < 4*fc«iyk tVoiiV Vk iioht .Tf _ •ih t^hiWVji c3B;f \ «* -O t . Cit xo ij JOO I VOI , v.tìio|54-k V °» 4 fejlo di quefta trafmutatione,& quarto del quarto modo difopra ~ ~ 9 L apropdhtòMfclcl feconÀal fejlo terinino è compost della propor- zione del primo al quinto, & del quarto al tergo . " ' , q - 0*. U’.^'p t5S\_ 0Ì\*\ O Cp.o r» tranf- \ X i i'crt ve uat > aejcriuc coji -i- , ciocjexquiquarta, , compofia dal 10,& dal i,cofi defcritta-L. , cidi quintupla, & dal \ 5 al 6 o fi ferine, cofi-L-, cioè fubquadrupla. onde cotnponenSò 5=}- con A-farà-±, come fifupùofio. x , . . * * *. — -i c* v.v ■ \ IO ài °,)à ! — p-P—. futìtw Ijo ho' isolitelo prófmhiUdehMf. , r , < 500 AK05'- \!i. * \ » f l * I Onde per trouar ilfeflo termino#? llfitfle ignoto, mulriplica il terrò , thè è 60 fi a il quinto, che è 2 1 fà 1 io r& quefiomitltiplicapér il fecondo che è s faràjoo,poi multiplifà il quarto elicè l$perjìprimo,cbcè\.o farà 1 SO,hor parti 600 per ne rien^.chei il fejlo in queflo àrdine & fu il terreo *el quafìq tpodo . lo.Laproporfione del fecondo alfejfo termino farà compofia dalla propor tiene iH ptirhà altero', &del qakrto ài' quinto nella finente trai fi vtutationc. . ,j ■ — ..J. *— , -, £ 4 .• 1 <> s Uo + 2 1 IJ- T °f, ^ v \ ^ \^r quinto, ciòe dal i r a ir— . — 4 al 1 1 e dum r 1 * wnpfiilk-'- * 'V* pia -f La proportene del fecondo fllfefio, fio# dal 5 al 1 5 è cofi -J- compofi ta>& dal primo al ter^o è -j-, & del quarto al quinto è dupla per il che ' -*;i DeirAdthm^tica.' che componendo con-}- farà -f- cofi --fchijfato fi-jr> finn* * propone* 1 **■ — - — r-*-~ -- " — • U !' XI I oO 1 VI ° 1 - '.oinM+i.if» yy ritedo tfoiiar t 'ritmo terminaci il J, (fi fi* imt*.fim,AM ToìlZZpor il dot 60 por , foro ,00.» vofiopor il frondosi Sfarà hf, piparti poi il prodmodol r"m?n,l^°dÌ?.Z ■ duna nel 4, che farà 4o,nc venirì de detta portinone Ufejto.cbt fù il quinto nel quarto modo difopra. ~ ~ ‘ v' +• * f ' f- 'Miri* * u. effempio io| 5 |tfo| .j| a IJ 4 ® ■- V *1^“ 110 ... -J -i’nwr'iV H'»> partitor 40 | — | iì,cioè‘dfc(lo. termini. ^ n ,La proportione del ter^o al quarto termino è compojla della propor tiene del primo al fecondo, & delfefto al quinto termino . tranfmutatione, ^ ! » J 4 J < vi > 4J a | é»Mo | $ 5l\i$ t V f : ’ * % 6 3 * I compoBa £_ componente — — j- 7- , 1 fexcupla componente componenti Cioè, cheli proportione del terrò che è 60, al quarto che è I oM-> cioè vna fexcupla è co mpofìa della proportione del ^ al 2 che , ir 15 al j,cheè +- pertiche multiplicafldo , cioè componendo -p con -*r farà-*,-, comclapropofla r -v. ^ «tL -r‘\ A dupla • i- ^ tripla j. ftxcupla compoftU^ f fy* > •* 1 1* ? UV componenti " . • Mt-tU-J-i oiwr y. . • •• . w‘> «^4 * 1 LibrorQùafto irl 189 K -polendo trotter ti feflo termine , come {e f effe ignoto-, multipli ca ti tergo per il quinto, cioè 60 /Sa $ farà too, & quello per 2 fecondo termi ne farà 600 , & poi multiplica il primo fia il quarto, thè 4. fa 1 o, farà 40 .bor parti 600 per 40, nr -venir anno i^,cheè ilpropofito. It.La detta proportene del ter go termino al quarto è compojla dalla prò portionc del primo al quìnto,& del feflo alfaofaa^ermnt , .. •gj -f- lii trcmfmuatioae • ,0c. . , 5 f ^ ’o t v « . i> r t\o J\5 ^3» p w\^i\ uw yhfo \\o1 *®. ofc\e%ot<\ U v.\ “i <h v tojr«V C>VW*»1 ‘ Perche è qaadrnp quadrupla — 3-; Wmo t-ial feflo al fecondo — — ' r .1 j componenti s ti f proportiohc del tergo termine al quarto , cioì dal 60 al 1 j )/<* ffef cofì è defcritta ~t& del primo al quinto, cioè dèi 4 al 5 efuhfhfquiquarta cofì defcrika & del feflo al fecondo , cioè delio al 2 è quincupla cofì -\- per tanto componendo quefle dite, cioè — c&" -|—, cofì fanno ~ , cioè-1}- fc biffato come difopra fìt propoflo , cioè che li componenti fanno la propofla compofìta . 1 - \ .yio^nri^ujiT ; . y T s vi EtV<^ cailtergO' m il fecondo che è 2 farà. 600, póìfììnultipLcail quarto, che è i5 fa il primo, cheè±farà 60, onde partendo 6oq per 60 ne venir anno io ,che è il feflo termine, trebe fìt 'il fecondo del quarto modo difotto innanzi, 4 | a | | 60 1 1 5 I j | io ‘ 5 4 _ . • t-VWpwi-à * _♦ _ . 1 s ’ 300 60 ò t Od 13 T I' oPM- sh . 6|c|6o[o « >? jo vlt'mo, onte feflo tentùne-è ->» -^aa 13. L* 1 v 8 1 Dell’ A mimetici * 3 . la proportiont del ter^p termine al feftoè campofìa della proporte- ne delprimo al fecondo, & del quarto al quinto termine, fecondo Uft* gutnte tranfmutationc . . .'V \ • < 1 1 M '.'T Vj^<jaù •< ’.*. Of <•. .. , • *. -ty Trt \ a, iwt in *i*ti 4 1 j \ 5o 1 >ioTaf* J; c ■ ■ -V luùvnq cioè che la propor tione del 6o al ij è quadrupla coft -f compofla,& del 4 al 5 è fubfcfquiquarta, coft ftiuta^^Ér de^r»aLi^quincupla cofi -h pertiche multiplicando^-fia^c farà *-f- , </& vnaqua druplachefu il propofito 1 j I i y j x. i 4 j so I 4_ quadruplo J. -il-.;- V .f.r- \ì.--7"'';F' cuff?J-F • I t * t i. £f volendo trouar l'vltimo termine, cioè il i f, moltiplica il ter-^oper il quinto, cioè 6o per a fari iio,& que/lo per il fecondo, cioè per 5 fa rà 600, qual parti per il prodotto del primo nel quarto , che è 40, ne ve- nir à il I $ quefito . 14. Sarà la detta proporzione dal ter^o al fejlo termine compofla dalla proportione del primo al quinto , & dal quarto al fecondo termine . Tran fin uta tione. M»*C- c-. 60 1 1 s Z 1 ^ L V » . 'A' li A .. twny«p> ^12. • jr / Ot \i 1 : 1 ^ 1 ^ ' t|- comporta 4_ *1 60 | 6o|o componenti » 5 | io vltimo, ouer fejlo termine,& fecon do termine delprimo ordine r-V) jj . £j Vèr tanto fi vede che la proportene del ter^o al fefio termine è & , \ . cioè i UbrorQuafta' ‘7 190 chpfefciipfa, & la proportione del pr ono al quinte è'-fVtf* dal quoti rt)al fecondò termine i l^:pet tanto moltiplicando , cioè.nmponciidò--G\ con fanno , come fù la compofìta,& fcbijfando fard fefcupLx,onét\ è manifcfto il propofito . ordine. 20, & . /> t 9 r 7 — j*%w ** a •v)^/ quejto multtpùca per il fecondo, cioè toer 5 fard 600, & quefio parti per il produlCQ id.px.itm, nel qiuxio,ciolpex 4 fia^^ebe fanno 60, ne venir d 1 o vùnhoi ottfrj^lo,^ fecóndo del primo èrtine . 60 io ultimo, & fejlo termine , s-J- mWi\Uo3 V* * ViVmeHf • r \ i La proporzione del quarto al quinto termine, è compofia della bri pomoue del fecondo al.prkno,& del terrai fcflo termine, a idi ad i ,i!*w < i.nV'.i ■jcIj « ownr>~\ ittmo^iwoi -J-vli E (Tempio dqlla tranfmutatione . * ^ » J.14WC V , ? t 1 J I 5 I IO | 60 I 4 I j ctoi-dbela pjroportìònc del 6 6 al 4 è co/i <2- , cioè quindecupla , et del I $ 4/ 2 è co fi *£- , & del 104/5 e co fi A- , ondemnltiplicando li com- ponenti fe tot. i$.coji'l\tf,imite difopnt faraAmx 4f-Vk tiobla compofi- ta come fu- propolìo,<$ypcr*traMar th$ vttimo termine , come ignoto ; moltiplica iher^o , choc io . fia il quinto che è 4 fard 40 , eSr qnefio per ilfetandoicbte 1 5 farà 600 vqnal {erua , poi multtplica il primo, podi quatto, cioes 1 fia óo fard nos bora partir aióop per 120, ne Ve nir annoi fcflo termine .. *Jj£Ì oj-al o 1 imv f Artitnc ' 1 ò[ o joò j 01 i -fv_ O ! W» iiOÌVxO^Ot^ fcihil S>$\n^tfo3 5 P?\i\ itWWtt^ Ìli •.nu.VO^G’l^hl J • MÌMVri ojnn in ovmfty V)ii \j ò;m I 2 o | 60(0 -i;j j|/è/2o termine qual erafuppófio ignoto% ,Aaa 2 16. La tEvi, \ 4- J 60 - i t o ! c*ò CToela proportione del 5 al ^quatte fefquiquarta, cosìfcritta -{-e compofia della proponine del *5 al 60 che Ir £ > & dal ioni* % cioè dal ter^o al primo , che cosi fi ferine ^,\àdonqne malt 'tplicand • i /*« -4- componenti faranno -J-, cioè la Jua compofita , cowf propofto. . . TJXX lup) fcljpboi^H <! | { | O è j ! < 1 ] ; 1 _ t Vii' li ,l-'\> doi -vvj 1 il olita Vuoviiu V componenti ~ compofita .Etper trottar il^b vlrimo termine , quale nel primo ordine fu pofto il primo , moltìplica sfiato fard 40 , noe i/ trr^o i/ quinto , fi*- flo 40 ,multiplica per Iftche eil fecondo termine fard 6oe>, qual parti per il prodotto dclprimo nel quarto , tioeper iotne venir armo 60 , dot il fefio, quale nel primo ordine fà ilprmoycomefacilrnétefi può vedere * V. I ■ , f-ClMi.U/. j quarto 10 ter%o 2 primo partitolo ±JSL‘i li. ! ■j LrU* iirnA io Jóoj o temine fefio 0 t *UI‘. v*K-.r?* 'Vis i »• vjVj,; 1 vw -Vt V.: ** t r.v> Et DelPAritbmctica 16. La nedcfmnproportioue del quortotermineal quinto farà compè- fta della proportene del fecondo al ftfto * del lenp al primo tee • mine . ■ ' " .Oli Eflcmpio dclll termini tranfmutati. 17. Laproportmedet quinto al fefio e compofia della proportene del primo al fecondo * Ó_del quarto alterco termine . i ttàritr t: Libro Quarto. 19/ Esempio dclli 6 termini tranfmucati . • • '’MIMU • 1* s» 4* T* ^ ”M 4 4 , La proporzione del quinto al 6 fa-$- &: Saiprimo al fecondo è -f-, et dal quarto al terzo termine è , per tanto multiplicando fia -J- fa- rà -f- , come fu propoflo. .1 •» .f .j Et volendo trouar il fefto termineyfitpponendo, che fia ignoto, multipli cail terzo fia il quinto , cioè 60 , per 2 farà no, & quefto multiplica per il fecondo faràóoo, qual parti per il produtto del primo nel quarto, ebe e x $ o,ne venir à 4, qualè il fello di quefio ordine ,<p- H terLP pri tuo ordine, come facilmente puoi provar e. \ • • • .j. • 18. La proportene del quinto al fefto faràcompofta della proportione delpnmo al terzo, del quarto al fecondo termine. • i ' ’• ■ E (Tempio dclli 6 termini tranfmutati . »\l MJy , « 1- * . \ i*a\| 'iS K U ' ''Ltftj » » I 4 1 f k : ì»V-. «5| s 4 *>UI »J *o ; j ci ! 1 6 •> óllUlt \ • La proportione del quinto al fefto termine e fubquincupla cofi de fi gnu ta -J- effenio compojla della proportione del primo al terzp,qualè -I-, et del quarto al fecondo , qual' è ■^-pcrilcbe multiplicando £ con -f- farà •J- , cioè vna fubquincupla, come fu propofto. * * * ** *,*.J • C ’ V Uìs i-M.'r ‘\ ù\ - L .* 6 o i;\ ters'o ' » • • quinto l j primo ^ ' •’ 4 quarto » • :A «*■> iso ■■ 5 fecondo 6 o »Ì#2»\*V.3»SW- 1 1 "V V ;^Y' • . ,t\ .1. 6 o I 6 o I o , . it?j I i o | fefto termine trovato, • >> f i. • ? x s Et volendo trouar il 6 termine ,cioè io fe'l fuffe ignoto, multiplica il terzo per il quinto , cioè 6a per a farà io o,<jr quefto per j , cioè per il : * ' ' fecondo . =Ì)cli’®riihd\etica fecondo termine farà 600, qual ferita ,poi multiplica il primo che è 1$ tramimi il fefto t'ertrtiiìèirouàió, & ìt primo (tei primo órdine 1 mutationc. * .} .1 1 .1 , che'i 1 tranf- Primo ordine che fu póftóihnanzi -j • i '-y\\ la cranhxiutationcy Ui> u\ J. OWftl Vii { rinvisi c^vn tal» *. ». j. 4. f. 6. .oùe^u- S\ 4* **T ~~6<r I tb j 4 I 5«¥ ir I 1 * ÙfcVtl «Uàlov li •* ’• MI»\V '3 , cri i.-i' s V;' C ' •} •• »oi V.t.:'. ojiMUti | T ira fìpuò chiaramente f opere per li fòprapofii r8 tffektp^tr infinto O tati , comedifopra trottar e,qual vorremo deili 6 termini multipli * conio doppo la tranfmutatione fecondo le dette regole d\Alcbindo peonie difopra nddècimoottauofeguirà perla decimaottaua pegola fitróuéti il fecondo termina , cioè il t o» ehe era innanzi la tran(mtteatmne1&’éo* sì farà manifello il modo vfato da T olomeo nel ^tlmageflo. yltimameflte ,iChé tjroMndofi dbi teimmi e^dli^a loro in propor tunc nelH drtti 6 termtm , aUhora tjji o ji riducono a 4 termini Icuandonc li detti termini eguali, come per cjf mpio . 1234 +_1 — 1 10 | io | 8 | -i 1 6 r| 1 1 b , #• Iettandone li primi Due eguali rcflaranno li quattro coft 8 { 4 1 6 1 lì,& perche’co/i fe hà il primo al fecondo, come iitcì'gò al qnartojfeguita , che li detti termini fo- no proportionali,adÓque perula notitia delli $ fi può trouar,qualfi vuota detti come ampiamente è detto difopra nella regola delle quattro quanti tà proportionalì detta delle j cofe. . 1 j,|- Et fe il primo delli detti 6 termini fta eguale al tergo termino , fa- rà per il fettimo modo la proporzione del fecondo al quarto compofla delia proportene del primo al tergo, & del fejlo al quinto. Ma la proportione del primo al tergoeffendo di equalità non aggiùnge ne fminuiffe,adonque la proportione del (fecondo al quarto è come la pro- portene del fefio al quinto termino . Et per manifeflar queflo con effcttoìtranfponeroquefli doijnodi fèguem ti, come difot to appare. o j o ò , o ò • . on soil Mutimi oSf\, o 1 { I » ? 4 5 6 io| iò|8|4 | 6\ I» 1 * 3 4 ? * Et faranno cofi difpófli, cioè ior| 4I io (8 [ (2 1 5 Cioè È f 192 Cioè che in queflo vltimo fono accommodati li termini talmente, che la proportene 4el fecondo al quarto, che è cioè dupla fia compoHa della propor none del pr'npo*ltertjr,ci<>b detfcjlo al quinto , thè frij- adonque multiplìcando -£ con ;f componenti , faranno ,{* , che fchiffati faranno imi dupla, dòme fh pttyofìo , adónqueper il precedente, capitolo conofciuti 3 termini fopercpio ìl^artofenga fatica, ftano eguali doi quali effer poffino , che non fi cafo, come anchorainfcgna Ciouanni de Monte Fregio . bit «tt ' %TA io | 4 J »o| 8|iaJ6 «Uiu. io | io | 8 1 4 1 6) 1 1 itranfpofiti . V' M\ S-.V; , v v.lfetfW* Leuando adonque ilprmo,& tcrfo termino, che fono eguali,& met- tendo chSl ter^o difotto fta il primo,cioè S primo, et che’l fecondo fia pur il feridoecioè 8 1 . 14 1 . j & il quinto che è •* 2 fia il tcr-go in ordine nouo co fi { | 4 | \%\ & il fello fia il quarto in queflo ordine nouo fiaranno tifi 1 * 3 4 ridotti à 4 termini proportionali, come anchora fu detta dafopra. \h ."""ili *1 r • I ♦ \ .» 1 « WU) f. u.’ Epilogo de dette Regole. V|£i/t fopr aferitte Bugole gli bifognano neceffariamente 6 termini, & -i- x 3 proportioni, delle quali la prima è compofita, & f altre due com- ponenti, & fupponendo, che la propor tione del primo al fecondo termino fia compofla della propor tione del terrp al quarto terviino,& del quinto alfeflofeguitano 360 conbinationi,il qual numero fi troua moltiplican- do li numeri aaifinal 6 dicendo cofi 1 fia 2 fanno 1, & 2 fia 3 fanno 6 > & qfia6famtozq.,& j fia 24 fanno i'io,& 6 fia izo fanno 720, & diqucfio piglia la £> ne vengono le 360 eombinationi, delle quali 36 fono neceff arie, cioè le joprafcrite 18, co» lefueconucrfe,& 12 fono impoffibi li,& le altre inut ili, & tutti li fopr aferitti 18 modi fono transformati del primo, & il primo fi può tranfinutare in tutti li ti modi, & perche nel- le dette tranfmutationi tutti ti 6 termini indngi la traxfmutatione fur- ilo tranfmutati nel feflo,fcguita, che per la detta regola fi poffono trouar ciafchuno dclli detti 6 termini feparatamente nel ordine, che fi trouomo inondi la tranfmutatione.La tranfmutation feguita l'ordine del proferire le dette proportioni , che hanno le dette 6 quantità , come per li ejfcmpij polli difopra facilmente fi può intendere . u ,vV.. t \ V*- 1 i v £• ‘v * V, - \ > Fi 4 rtn» ,tw * iym { it Della w s \> 1 hù DdfAtìiÈmcM •.nv Della prima, & feconda Regola delle fai- OSI Uv fe polmoni chiamata da Ara- bi Helcataym. U\A^\ » oW.OT.l ;Vuts\0^ VT Afct dalla regola delle quattro quantità propor tionali chiamata del dNi tre, vn' altra regola detta delle pofitèoni falfe,elnamata da strabi Helcataym, la quale è duplice,cioe della prim<*,& fimplice pofitione, & delle due pofitioni,& chiamafi falfa pofitione , perche propoflo , che fin ■uno cafo ouer problema, fubito fi [appone, che fui vn numero fecondo il piacer mio , benché non fia tirerò, & per la proportiont;,cbe ha qutflo numero finto,con quello r ero, per detta regola operando fi trouail nume- ro vero pertinente a talefolutione,al modo, che fi dirà difotto, & perche, fecondo il detto delTbilofopho , in ogni dottrina fi deue cominciar dalla cofe più fnciliìpcr tanto cominciar emo dalla prima-parte quqf è lafim- plice pofitione, per la quale fingeniofi vn numero a piacer noflro, & a ca fo, mediante la detta regola del 3, alla prfmp pofiàone potremo trouar (a verità più facilmente, che per C altra delle duefalfe pbfitioni, benché tot tc le queflioni,che fifolueno,per la prima, fi pofifono foluer anchor per la feconda pofitione, ma non conuerfamente,per la qual cofa bifogna anert» » re, che le quantità irrationali difficilmente fi pojfono accomodare fiotta- effe regole,& fimilmente le propor tioni ) andate in più de 4 quantità , dr quelle che fervano l' augmento difforme, ma quelle , che fiotto giaceno alla pegola delle 4 quantità propor tionali più fàcilmente fi pojfono rifolucre col NIKI delle dette pofitioni falfe doppie ouer triple, adonque è da fape • re,cbe'l fondamento di e/fa regola è fondata [opra la regola delle 4 quam tità propor tionali, come facilmente per li quefiti,cbefiproponermofi pa tra comprendere . Primócafp. u.fto n yìt "V t A SE alcuno dimanda ff e, io hopofto vna quantità defe. in baneboper ni 6 a ragion de fc;6 per 1 00 al anno, & al fin de detti 6 anni il barn cheto mi refe fra capitale, & guadagno fa. 500 Dimando quanti fumo . lidetti fc.cheiopofiinbancho. 1 \ Ter trouar li io mi fingo vn numero, & pongo, che fuffero too , quoti in anni 6. a 6 per tooal anno ritornano fi. 272 fra-capitale, & guada - ifiiyl ; * gno. Libra QuÀrfoCI 1 9 j gnt^pnche^tutdàgnàiiofcì’pti & qnefii douerebbono efier^oo.ndonqne arguirò fer regola del 3, co/i. fe *71 capitale., & guadagno erano 100 capitale, quanti erano fcu.% 00 capitale, & guadagno, onde rnukiplttando CT partendo fecondo dtttif regola trouerai ^therrmofe. góy rf», & cofi potrai far lefmili „ ii\tr t-.JVovin-n \i' Tfc ,d *.•$» ni « £ aprono farai dicendo fife. 1 00 in anni 6 fi fanno fc, t jó a 6 pér iott . atuanò ,xòe fi faranno fG.i6y ^ opera * 4r trinerai, tbcrUornant fc.f 00. . oiV«\v« 4 i»>n " v .0» vn.VV-iUv.wVV , u vu\ v^troi o.w Secondo cafòj » A 1\0 poipprklmegeafo ibbomad»onc.^U£.dearit,itpér fc.y la L.tqB » paialU'medtfoptr^iàn ho comprato altro argento pir fc.6 laL. Di- mando di che bontà donerà e jfer per L, .< ’ -v. Q*deioppn$o,fyrfu[fc4p bpnta dconc.% per Lira per tanto arguirò cofi fe'ònc.9 mi danno. fcj, chetai darà onc. 8. moltiplicando , & partendo trotta, tbt.midarafc.6-%, et federò cofifiatifi.B farebbe pofio Uve* ro^t pertanto arguir a va' altra voltato fi fe fi. 6 )y-]mi danoopne. 8 de bontà, che pii daranno fc.6,onde multipiiaai/do.et partendo io trono, che midar anno mc^y-fade bontà del fecondo argenta, et cofi i ri folto il cafo. Il chefi polena far in 1 vù fola volta dicendo, fel predo de furj mi do labontadeonc.p.chemidaràilpreciodefc,6.opera, & trouerai, che ti darà la bontà de onc. 7 cqmpdifopra* ii il vi W vvi r.w.\u>'i u* • x »• ti: uU.>v •j1«tìÌ'jÌ« tik imoiii ; ;> « IO ho comprato alquante L.f argento debontade onc. 9 per fi.y la Li & ne ho comprato anchpnti.Ai per fc. 100 alla mcdefma ragion di bontà, fi dimanda d( qual bontà farà quefìo della feconda compra *\ - Qniui fono 4 termini , che fi .po/fono ridar a 3 , perche LA 5 enfiando fc.too vengono fc.q larverò dirai fefic.jmida onc. 9 di bonta.che mi daràfaq multiplica, & porci ne venir anno onc. J-i-> & di tale bontà faranhble A.-ljiér cofii rifoltott » vi > , j . n '* ..ni* .0 K Quarto cafo. '\7‘?^(o vuole ma finarefiarà $o,& per tnafinarlo più pr elio, che fi può * lo mafina con 5 molini » che t vno mafinarebbe fiarà 7 per hora.il B bb freon* Defl'Arithmetìca fecondo fiora il ter^o Bara 3, il amarlo flora 2, il quinto flora 1, per hora.dimando inquanto tempo farà mafinata da tutti 5 cominciando tmt ti ad vn tempo , bor poniamo che le mafini io 3 » horeadonque il primo . molino ne ma finera flora il, il fecondo fiata t.yil tergo flar ag.il qnar> to fiora 6, & il quinto flora 3, fummali tutti infieme fàknoftata 34,0 noi voleuamo flora. 30 adoiujue diremo fe fiatala * mi danno bone 3 , che mi daranno flara 50, moltiplica, 0 parti ti daranno bore in tanto tempo faranno mafinati li flora 50, & così è rifolto . Gafo quinto ^ \T*lp fu debitori divn altro-, & quando bebbe pagatola £ -f- f V del fuo debito gli reflò aneboradebitorede L.9.4, dimando quanté- fu il debito . ■‘r> • '.i"’ , x Triwd m>W4 rw **rmrro , che labbia la 4“ 0 -f- leni* rotti,- Hche fi troua moltiplicando li denominatoridrejfe parti dicendo . 2 fia\ 3 fanno 6, & 6 fia 8 Janna 48 , bor poniamo dbdl debito fujfc 48»*** ManelaJz,&H’\‘tet Jt che fauna 46 restano x,etqurflo vorrebbe effer x 4, per verificar il cafa , adonque dirai per la regola del 3 ,fe 2 re» gatto da 48 , da che veniranno 24 , moltiplica , - Ot parti veuirannodm J7 6, et tanto fù il debito ,et cofi farai le filmili. >'»• »■ >•' V ì,‘UjL ’« c •> ' Cafofcfto. •’ ' 4a^ • ,<)« V? ’ TJo haiteu a vna botta iè Vi»o, iella quale ne fu canato la 4-» et il -f- , et reflorno dentro brente 4, dimando quante brente tenuta la detta bòtta. - : \-t • *_•* v‘ \ Trimatrouavn numero, che labbia la -J- * et il fruga retto» modo fopr adetto, et far a 6, che la fua \-,etil fuo 4- fanno $ gionti tu firme, quali detratti da óreflano 1, bara dirai fe 1 vien da6,cbcbquc- mo poflo che tenijfe la botta,da che verranno 4, moltiplica , et parti, ed ■ vaniranno dax^.et tante brente dirai, che tenitt a quella batta, prona et uandola -{-che è 12, et il j-, che è 8 fanno xo, che detratto de 14 re flato 4, come fu propofto. «» r-'vrcVw'b Libro Quarte!? CT 194 »•’ t ’ ''ìt ",W;„ Mìa ^ eKl ’ '*•*'•* Calò fectimo. \fW* dimandò a vnoportinaro.iyn contento di Frati , quanti Frati * fete roi ? Bjfpufe il portinàiro,fiatnb tanti , che fi fu fimo altri tan - ti, et la miti, et la quarta parte di più fare fimo 55 , fi dimanda quanti Frati erano . Toni chefujfero 4 Frati, il doppio fanno 8 , et la mità fanno t , che giorni a III 8 fanno 40, et la quarta parte cbeh 1 faranno X t,et quefto vo rehbe effer $5 a verificar H cafo,ouer quefito , adonque dirai per regola: dei q',.fe 1 1 vengono da 4, che io pofi, chefujfero , da quanti venir anno 5 j,multiplic*,et partine vaniranno 10 , et tanti Frati dirai che erano in quello contento, et per protrarlo doppiato fanno qogiongili la -f-, che fono 10 fanno jo , giongili ancora il £, che fono 5 fanno 55 , come fu propofio . A i V u tì \ Vsv\v Delle due falfe pofi doni. 04 . > «001 vjfy •ttwjihr.-KV o > 1 lì) «t - 001 V. ; ; Ì!.«v 1 . ; nella feconda pegola detta copofita onero delle due falfe pofitio 4 "4 ni concorrevo 4 quantità falfe, de quali due fono fuppofle,& Pol- tre due fi trovano feguendo il proposito delta qkeflione propofla, & que- fle due, che fono poi trovate, onero, che tvna, & l’altra eccedevo il nume roricercato, ouero che fono excedutey& in quifliioi cafi li exceffi ouero diminuitovi , fi fontano l'.vno da l'altro , cioè il minore dal maggiore ex ceffoni*}* ' Etfe l iena de ditte quantità trovate ex cederà il numero ricercato, & Ualtrafiaminore del detto numero ricercato, all' bora fi fummano infie - me y tir bora batter imo due altre quantità de quali la prima è l'ex ceffo ouerp difierentia delle due falfe pofitioni, &, la feconda foràìtxttffo del li auenimenti, ouero la fummo. feynafarà più , &\ f altra meno del detto numero quefito, & la terga farà t auenimcnto di quella che è più propina qua alla que fitta ver ita, far anno adonque 7 quantità dalle prime 4 de qua li fi trouano l’vltime $,& da quefie $ vlthne fi troua la verità del que- fito oneramele la differenza della pofitione più propinqua alla verità, fia adonque vno effempio triplicato, fecondo li 3 modi, che poffono accadere, cioè fecondo il più,& mtn,cbefemprefi aggioge,& men,& men femprc ' Bbb x fi ab - DcU'Arkfimctica f rabbatte , & più , & piùfempre fi 'abbatte, & qucfie diuiderem ♦ m cafi fecondo il cofiumc delle prpcjdcpti S\. £ , .,Y •% •% Piimó calò. •> » ov*w •<: •’!' C fcVd'n.twft! (;*/[ \7 •oV */••« IVA ” V ’ \ ji- - ' 1* \ »• * * \TXp nobile baueua 4 feruitori, quali fliptndiaua diuerfamente.alpri V iho proni effe *H4 quantità de f :udi , al fecondo promeffe il doppio del [alarlo delprimo,& a più, et al ter?* il triplo del primo più J. & ut quarto H quadruplo del primo più 4 ,et gfi diede firn tutti quattro fc. 1 00 da part irfi fra loro fecondo la conucntione , & pnmteffa fattagli dalpà»'' trone^dimarulaft quanto toccata a ciafchaduno di loro fep aratamente 1 Toniamo adonque » cb’el prhnodoueffe batter fc.x dal p ottone, adon— que il fecondo douera haucrne fc.q+cioè il doppio più 1, & iltergo fc.6. tr il quarto fcu.%, quali gionti infieme fanno 19 , & noi voleuamo fa* 100. adonque fono 8 1 mcno,& queftqjè il primo errore » da effer notato col termino del men coft m. 81. . Toi furai la feconda pofitiane,& metterai per, C(tf>, che [primo hauef fe d' batter fc. 3, il fecondo adonque nhautraS, & il tèrgo il, et il quar- to 1 6. aggiùngili infieme faranno 39* & quefii douerebbono effer ioo* douendofi "verificar il quefito , & perche dal 3 9 al 1 00 manchano 6 1 » adonque il fecondo errore noterai effer men 6t , & per no & l altro errore men > filtrerai tvno dall altro , cioè 6 1 81 refieranot 20, qual fi chioma ladifferenga de gli errori > poi fottra anebora Ivna pofitione dall'altra , cioè la minor dalla maggiori cioè t da 1 remeranno x,& queflo chiamerai la differenza dette pofttio - ni, pertiche dirai per regola del 3, fe 20 differenza de glierrori procede dal 2 differenza delle poftioni,ia qual differenza procederà 6 1 » fecondo errore , ondemultiplicherai 2 fio 61 fanno 121, quali parti per io, ne Tengono 6 , & tanto doucua hauer il primo di più, che non fu pofto- nclla feconda pofitione, ma fù pofto , che haueffcfc.3, adonque hebbefe, $i£rt& il tergo hebbe 30^ i& il quarto hebbei'bautr 40 itr » fionti inficine forno ioo,come fu pròpqfto* • l'V* ?rt>Y eit» nbtà tv a'i • ir. ) ; :V> ltlVft'f v 1 twu j.^y.invK ' a \ ,’*l‘ *t Ìl«Vr'j»ì\,v ®'*<K V ■■■'j tr- •>•<«« <>.• -, :.3ì.r >\ vòa^iW eyt . .. a t- fi « v , Vrm* J . Libro Quafro. t9$ pàma^primo I pofitione primo j feconda pofitione * ">primo 9,1 %.> fetido 4 .c fetido Z . i fetido 10^ v^‘: terz? 6 terzo ti +dijfJipofitioM terzo ì Ori- *r.toipjM»*ftì»'.v.ì<\ quarto ló ..im M. quattone tv~ . — y V >. ’ ' trup Ai*/ ■■ 1 • \ i \' 19 ■ ft *amiidi{6t io oproua -•J\ V» .ov i t#oV >'' ,ntji • >. Moo ■' i \i ft > '■ * primo errore il fecondo errore 6i » ±0 I* I 2i — ' > . < j, >Y* 1 lomtn r W.i ■\ i q ttmiy ■ . * r. • • i "J ivéffj oì . .r, • :■ v..^ |i 2.0 differenze dòli errori daótf 5 Pri- • » £f quefio è il primo modo di operar in detta pofitione doppia per vi* iella differenza delle pofitioni , Et volendola fare per altro modo , cioè per via del mnhiplkare,oJfer uerai la medefma operatione , ZT figura fin alla in uentione del primo » & fecondo errore,poi multiplicberai in croce, la prima pofitione per il fecon do errore, & la feconda pofitione per il primo errore, cioè \fia 6 1 fanno 6l,& 3 fia 8 1 fanno t^},& filtrerai il minor prodotto dal maggiore, * 4 $ cioè 61 da iqyrefler annoili, per ejfcrfvno^&t altro men,& quefia - <5 1 differenza partirai per la differenza delti ertoti , qual' è io trouataper . ■ ■« fottrar 61 de Zi, che refiano zo,partendo adonque 1 8» > per io, neve 181 mràfc.9 4', & tanto donerà batter il primo, & perche il fecondo dare haueril doppio più 2 adonque hauerà 20^5-, Zr il terzp f 30 ,$-» quarto ne hauerà 40 -,t- , quali gionti infume fanno fc* lOQ,fi come fu propojlo, & così offerua in fimilr . i. pofitione primo f *4J t ór primo prima pofitione / 61 ih £ fetido fecondo 4. ^ . / — — • * terzo icW* ^ 8 zo|i8[i quarto L . i. M ’ ; r primo errore 8 J fe fondo erro re 6 1 43 ” 6L Pl*o 40à-quartè fc. 100 /roiM. ‘ Ì’.’-'JÙ’ .Jtvfc.-? wp*1 • vi - *5 a Jtii ,.c i- i. . ; ‘ 4 » V < v! i - Dcll’ArithmétSca Et cofi offtruarefti qu andai. vno, & l'altro errore fujft fiato più dell» rarità , ma quando Imo fu/Je flato più ,, & l'altro meno, aggiougerefit f vno errore con l'altro , <& quella fumma fermar cfii per partitore della fumata delli produtti delli errori nelle pofitioni moltiplicati ù i croce, come de atomi trotterai li efiempij nelli fluenti quefiti . • Però è, eh: [spendo operar per Jtlgebra molto più prefto fi [alitereb- be tale qucfito, ponendo, che il primo feruitor douejfc batter i co.il fe- condo batterà z co. p. i, & il tergo batterà 3 co.p. i,& il quarto batte- rà 1 co.p. squali giùnti infieme fanno 1 o, co.p. 9, & quelli faranno e- gitali a loo.fortrapdc too reflanogi partilo per io co .ite vengono 9 r^-, & tanto donerà hauer il primo, il fecondo 20 il tergo 30 t**# & il quarto 40, che giorni fanno ioo, come difopra . 1 co. 2 CO. p. S co. p. 4 co. p. 2 J 4 IOO 9 i *JW'. . J dipm \] t» \ io co. p. 9 - \. 4 ! eguali a ioò. *0^9 iV pri”" Cafo fecondo. r'.oLivsk Vù l*i v\óv‘\ «vi ..i r'v : tm-\ l ?. u\ f s*v„»\?1 jc-*V lò 4* 12 *1 0; .15 3 . • • I- T- ’ ’ * • Re hanno dinari, il primo ne bama quantità , il fecondo dii tonti del primo più $,il tergo, nepa tanti quanti, ne ha il primo, & ilfecon do giorni infieme più 6 , & fra tutti tre hanno D. 44, dimando quanti D. haueua ciafchuno per fe . . *. Toni adonque che'l primo baueffe 2 . adonque il fecondo ne batteri 8» & il tergo ne batterà 16, quali giorni infieme fanno quefli do uerebbono effere 44, adonque fono 1 g meno.pepdanpo dirai , che' l primo errore farà meni 8, poi forai vn'glhq pofitimtc potando cbe'lprmo ha . ueffe 6, adonque H fecondo ne hauer à k5,£f il tergo ne hauer à li, qua li gionti infieme fanno quefìfxorràbbono ejfòr D.qq, adonque fono ’ 6, più dellaverità adonque noterai chef feto ndò enorf/tà 6 più , onde multiplica il fecondo errore fia Imprima pòfitionè^ «<*• 6 fia 2 fanno li, & la feconda po fittone, quàlfùd da il primo frror^che fù 18 fard 108 , & per' effer vno piv^f& l'altro meno aggiùngerai mfierne quefii l produtti fatti, multiplicando in croce „ cioè lì,. & 108 faranno 120, & queflo partirai perla fomma delli errori, quali fono più 6 , & mcn 1 8 , che fanno 24 , col qual partendo 1 10 ne vengono ducati Libro Quarto. f 96 5 , et tanti n'bebbeìl primo, adottane il. fecondo n’bebbe 1 4 « et il ter^p hebbe fi. a 5 ,quali giorni infieme fanno 44, fi come fit propqfto , & come redi qui difot to in opera. -Ach*. oft 1 .pofitione i.D. 2 \0^T T 'V'miI 2. 3* 001 IVIYìk. * ■in.it- . primo t.«rror|i8 m. fetida 1. errar 6 fummo. >4 MC I) Cw « oooc ,0008 --•n-.l V \i . f 0 -•^,*.3 \jr< J \ U 1 1,1 * 00 1 I. fi. < 16 3 &-f»« 3* fecondo errore p. 6 prima pofitione 2 3 £4 4114/ facendola pe tf Lq pofitione della co fa , fi rifolucra molto ptà preflo $ ponendo; che 7 ùrimthqbbia 1 co. il fecondo batterà a co.p. 4 adunque il terjo. batterai co.fUo^qitali giorni fanno 6,c<^p. 14 eguali addetta li 14^(44 fejìanno jo quakparùper 6. co. ne leniranno 5 , & tanti D.h ebbe il primo il fecondo ter^o 2/ che gionti fanno fi.44 , tome nella precedente haueflu t^».l f8.i\ 0:1 00: oc : Càio terzo. ET fe alcuno dictffe fono 3 compagni quali voleno comprare vno co- . uallopcr fc.<&oo,&,nifiuno di loro per fepu'o comprare ilcauallo , modi primo dice alfecodo.dammi la -{-de tuoi dinaritche batterò il pre- eio del candii, il fecondoÀice alterco dammi il de tuoi dinari, che io oompraro ilcauaUo , ilcfergp dice al primo dammi de tuoi dinari , che iac comprato il cauallo , dimando quanti feudi haueua ciafchuno pctfei i. nifek-..! a 11 Ter foluerqueflo poni, che l primo hauejfefc.60 adonque per batterne ^ v> j DcH,Arifliinerick/ 'tao gli rie mancano 40 , che pino la — del fecondò, adunque il fetondar ifb<tuKbbtl<Xi & perche gli ne mancano 10 a fitr ipo , che fonò il'-gri\ del terrò compagno,adonque il tergo compagno • rihaurcbbe 60* dr ftr^c \he effbdmian4ttilr&. alprimo , che fùpponeffemo batter 60, adonquc dandogli il -f\che Jono 1 5 ,il tergo ne batterebbe 7 j, & quejli vorreb- bomfèffet'l oo,per verificar ilcafo , adonquc fono men 2 j della verità » quali poner ai per il primo errore . Httra pòni’vn' altra volta,che'l primo ri haueffeUo, per batterne 10O gli ne mancano xo,quali offèndo la £ del fecondo il detto fecondo compa gito ribalterebbe 40, & perche dalli 40 alti 1 op gli ne mancano 60 qua- tifar ebbonò il -^- del tergo, adonquc il tergo c ompàgrto ve* & ià ’bavtr t8o, ma volendone anchora il % del primo che è 20 rihauèrebbepot too,adonque ribatterebbe 1 00 de più di quello, che fi ricercai ttdmquo. notatoti p. 1 00 per ilfecondo errore, bora refla a multiplicar in croce la prima po fitiónc per il fecondo crrore,vioè6ofia 100, ebe faranno 6000 ~g!r la feconda pofitioneper ilprimo errore, .cioè So fiati favo tooo » quali fiamma infieme per effer l'vno più, & labro meno far anno 8000 » hor aggiongi anchora men 2 5 (oh piu 1 00 fanno 125 per li quali par- tirai il congionto dclli dot prodótti, cioè Hooo, ne venir anno 64, & fc. 64 batterà il primo, adonquc il fteohdo hé-tb aiterà 72, et il tergo % 4, per- che dimandaio il £ al primo Tcbc fomnrirnrb auerà poi loo, <CT cofih verificato il quefito,come vedl qÙiSifotte irt figura . primo ’d »\ « •>•**&>* ' «'060' Wi *5 fecondo g \p.*co\ H, ti Tt. ì> : 1 ■> o> 12#]8oooJ (•'* t*f- r&gb « ■-■6'*' Ctttrjy’ » } - -- ■" r- ' r.j: v. 1 \Vi 5001 64 fri M» ,U\:v.r.' 3 «u-i «:• oty 5 loo 180 j.; C fc. 7» fecondo I. errorem.z j( 80 jOSVpi OJ 200 64 100 36 ,o' . •< y4w u» v,y..too |<jo- i ÌMttib *-»*'■<• v>,C'q-' V'* j L ' tal cì yù^atnb ìp*viVi-y-V. vtattn>b oj^mir» Altari» ( fattói un il» goekr' «eVt.iir-jiiov » 1. ciMwiVh oV-tuvrb , ui ^ji b annotati conkpkr ti dimandate atlìabrii^ W- ni «1 «. , . otr; • 4 - W..\v. c ooi • . / cafo fc. 84 fcr^o ♦.01 oh owh^ mkVì'T b'o tbidh?&q*dtì fie&Jilcua P* Ù ‘Q ^xCafoquar •y^Oi bommì hauèupno ’t>,\oo fra l altro QOfo il - J de fuqi din(tri,ma ma vinto eh rim&,&da l'altro per rido quinti 4f. Bauekàcipf fi aduno de '"0 • fami»; de^rpo due parù, che prefa la f- della trinar, li Alleila filmina aph\na Uè deftefarti iqf> apKm\' \ o coltra coriuerrà e/Jer 90, perche 1 1 o. imi bauèupiio^\c giocò ta Puoi dity*{t H vinato re fate la — de cioch ■vno, & fi tWtfruà.iy.tbo\\rli detti giocatori ipangj, cbegiocaj Qiicflo non yuol c -j- della magnar » & gionta a giunta a dittf fi<n'tì,fJccmo eji Toni, ficja paggi or fit {f e t & 90 fanno uopfiipr pitta ih — del 1 ^^vien j 5 .piglia anchora il gQfarà ]Otejuali giunti con f ij,& di quefli piglia la V. che fanno 42 4- > & 1**R* dar«* <«/ c heguteo la '^ , f wa/ fi trouò anchoraìHtùra -{- , che fono jj7 Z7*rìhauerà poi 97 -j- , & quelli voletbtuoicffer too.mil fon meno 1 -f .quali il prunp errore , che nc fegue pestale pofitone , bora farai vn altra pozione , ponendo che’l 1 primo hauefft-ro^. adunque il fecondo conuerra bauer 96. -piglia la -J- de 1 04 f trèfr tfir il j-de 96 quali }ztaualÌ£tonti iufi&nc fanno 84, & quefli ftdeumo partir per mìta , & darlìa fatti doi.q ionque la de 84 quali qrgvmta alti 5 i,chc rimafero ai-prima ne haucxa pai 94, & quefli vorriano*ffer ioo,adonquefono 6 rfan<idc quello <fhc fi ricerca nelquefito,fcr tanto notar ai m.6,per il fecondoaerrurefiora reftada mul . tiplicar in xrote il primo errore fia la fecondalo fittone , cioè 1 fia 104 faranno 260, & quello ferua , & poi multipltca ilrfecottdo errore , quali 6 fiali pryna pofitione qual i 1 1 o faranno 660 fiora fot tra 2 60 de óóojeflgnoo 400, abb atti anchora m.i de m.6per-efl*rlvno,& l altnrerrormtn,reflaranno j per la quale differeQiiq par tir «400^ & ne venir ondo n'4 , & qnèflafiyrà la maggior patto de wo '& f< tanti fcfiaUèita il primo giocatoci altro haueua tUeflanu fin. alti 100 fi- che fono 8 5 , Tir perche il prhn&gtocà la adpnqq&giufò B\fa -J- , & l altre* giocò il -J- t/e 8 5 4f- ,(chefono 28 -—-(erjatito Mg'ongi inficirie lì dèi primo , & il -f-.de labro, àoifavfa- , & >8 ^-fatan no 85^-f- dcfjualr pigliala + farà fatanti ns Oggiofigmtia Ivno, et Pàltlìo dappoiché hanno giocato, cioi aggiongi 42 -j- allt $7 -y-, che r^florno al primo doppo il gioco, far anno zoo , et finalmente al recante de l'altro faranno 1 00, perche battendone 8 5 vjr-, « gncjtvdope ~*-,c/W 28 glinereflanno 97 -j-afli quali gionti l. ^x^\-ffino fi . nu! 'nen tei oQ,comc fu propofto,et come ppdi djptto . . . r tei' Trìrm o » DcIKAnwtóctka Trima poptione primo no feconda poptione 104 • r.i A~*t ^opolBy^— '•A tu lA.ÌAtlPYimtJJx^ f iC/BT Al ia-f della jumma > • . J.: V '.V A m?r,W' 'K 'u,"> W' ^ N c ><2 1* fttmma gionta ■ <r*r ^/'ViArf/ftwtC f 4 • ® *»?•$ J . A ,Olt 'vi'il'j Ì.-«TO1 Sii/ OB . '•••.jl'o’b- 1 ’ 'ili VUIV) .1 .. . ^ '-• . -* ? h«j ivn« »., ‘«-.o^s^ore Wtéf , grimo errore. %Xky \fhkv>- Xf ortut'. '5 . l *4J» , -, - T > iuC^ ctto\-ji\i , -f- ftTihH4i»-so.'/3UJ. óvu >t 5\, - yVs , 1% v i*c 4. JiiT. s^>, -J- t <>niM tii\ iiuioui lì, * Mfc-st v 'v' ìVa V . i . % >5?" ■>■':•' t ivij!\rnA . ip- v.\. - '.• . »<S -i r;M « V; •Mir.v -A» .. A •'» . \»n<\ ti 308 ot ^t* ii,: A. ••' ' v 4- „• ••• «' j ;tbH*a T* ’ • *t» 4 ■ r-r «i-tì n6o ■ite' ; •>"• t> ’." ■■i,ri W ®- : 1 >h X 1* Jl «VfS a$ o dif. 3 *v- ' «© 400 '. <■ V, V - .r*' •<:Qfù.'.v»«ra-'P < * • _ - * ’. . • Ut v t •> ' 7^- «*\ 1- • .' •>• - , » *• 90» * • .. . 7 I B o o _i |£| g: T™ t I a A ■ te / evi MV I I 4>-i > -A'.-i.'OJ l * \i ’l - 1 ■ 1 \ « I-/I. rfe/ 2 8 5 4* *£*'**» 4- '«• J-7 rf» rimanente ,57 -f a 8 IT 4* -f rimanente 57 v : r* *- *4«» A ‘ ~"f. : — D. 4*4-: :D-|8j, JL prona 100 -, • ■■■■■— j. ■■ ■ . — ^ miti D. 42. JL '- »/ primo hebbe 1,14 » • 2>tfe. 100 proaa confarne 7 ; il fecondo hebbe 8 J T SJpAT* 1 4 7 «ì/<r 5 7 -r-AV/u rrr* ì aitanti, chegiocaff ero, £t alieno cafo \ fìmilmentefi rifoluera per Algebra , leggiadramente ponendo che tvna parte fia t co. l'altra farà 200, m. I, co Jf queflapon* remo per la maggior, perche con men fatica, et manco operationi di rotti . «9* fi può pigliarne la J-, qual fard ioo m. -J-co. horgiongila eoi -f-deL I tf aci co. quando ne fu detrat 'ffuyipnjptrà 50 p. co. et qurfla . ... J/i / /v À /» t A/A v et fi m ba^cfac ta la j fyp»tafar _ ré^o yo,qualp uot.partc. adonque pW\ opdefiùfacilm o? « 100, fegu/laequaifpncfleuatido $0 de 100 rr/fc* Trtnc ventri Sf- 1 c o 1 * et tanti D. fu la mi baueua D. 1 1 ^ prona farai come difo~ f rifolta per la cefo, t ♦ O £ ftSAt£L ' Calò, quimop. V * OQ "C yrHS compra vn/ pezza dì panno, & f^fao conto , che pagandola -y ~f. 19, »7 brafóoJi aubo^ano L.£f. IO, ér pagandola f 1 3 '7 bfàp$o li\manthaho JJ4, dimandoqoanti hrggg*.«rajonga, & quante L.in dinari bau tua f °s Qnefljtxon vuol dir altro , che trouamrrrrnumcro , cbemultiplicato peri 9, & giontolif. 50 faccia quanto ttudtiplicatofer z?,cr detratto nrfr 90, qucfl&iruiheVo farà la longhc^ga di detta peoga di panno, & d numero che fatàaguale,farà li dinari , chehaueua . o 'fior poni che la dettaptìgfi fuffe longa hra^ga 30, multiplicaliper 19 fanno yqo.gioagili fyntto 6to , horvedtanchorafe fanno tanto multiplicandoli per 1 3 , eJ* trattone 90, moltiplica adonque bragia 30 per 2^ fanno 690 cauane 90 refìano 600 , adonque fono memo , dff queUqdifopra,& qutfio) farà ilprimo errore,ùoèm. afl. \?>* ^ Vài poni ornaUrarùlta 9 elee fuffe Jongì# .bnaz&d moltiplica %Opcr. faX9 faranno 3 80 gtongilt y o {am 0430.0,' . o? Hor-vedi feaHibora\/mhipluandokpcr%i,& trattone 90 voleno far tanto, adonque moltiplica li bracca 20 fialif. 13 fanno 460, caua tteporeflano 3 70 fanone» 6q del sumero dtjopra, citi dì 430, per tanto noterai in. 60, ferri fecondo orrore, hor fatto quello multipli ca in croce , il primo errore , chi me» xo fia lat feconda pofuìonc » fù ancor io faranno ^00, et quefbferuà,et poi moltiplica U prima pofi- tiontyckefù. 10 fia m. 60 fecondo errore faranno^ 1800 dalli quali fattr a ne li 400 reflano 1 4Qatqualipartif U differenza djj gli errori f ciofper, 40, ne venir anno 3 5 , & tanti bramita fù longba la detta pegpgf di pan no, hor per prouarla multipli cali 3 ^ per 4 1 9. ne venir anno f. tftf 5 , giongili p. 5 o faranno 7 1 o ,'èVé folto L.^yf: lf>,& tanti dinari haueua. Hor prona multiplicando brazja 3 5 per fol. a 3 fanno 805 fottrane f 99 ce/lanqf.j 1 y.chejono ftmilmente L,i j f. 1 y, come difopra, come .vedi dif ìttóoperaiiV . *! ■*' ■ y, f -x ''*'?€ \ tri* 4 tf o . PO 370 430 m. 60 430 370 ■m. 60 *?< DeffArMìtaetici .... -, -‘ A . ,-J- .«* co- s. ; Trima po fittone bra^ja f « • ' i .h.v. .c» ii', «v *.ì .»> •. — (>? -ìt\y» jOi'-V o I ;*r ’ ’ > é(- iiUtt V» , v.ttoi jnti\ wim^ broT^a . . H <s$0 ;i Vi j : i .'• •Vii ,*<» «V ri ‘ «ittu-tf a o <ruw..^ c .-iù-Kv. • f V*»-1 ,'A ' "•• ao *2. 0?> 04Ì j£J« r/2o m/o / potata anchora rifoluere per vn altra più brette cioè fottrandò li f. 19 *fli» ? «e recano 4 , pel- li quali fe partirai la' firn ma delli f 5 o, rt 90, cioè,cbe anonimo >et mancano,cbe fà 140, »rw nirannóbraja 35, rt tanti fùlonga la detta pe%jf dipanno,la prona fa r ai, come difopra . : . Uora potrai per via de qucfli 5 cafi ouer quefitifolueme hntumerabt Hypofli in tale forma [otto diuerfeparole, tr cafi, che pareranno alla vo ce diuerfi,ma in fofianga faranno fintili . 1 Hora por cremo alcuni quefiti,ehe nifi pojfono foluer per due pofitìo- ni fole, fi come Cinfr aferitte, quali fi chiamano pofitioni replicate , onero - - '■ - rLm c— Ai maggior difftcultà,cbc le precedi ^afo fello. .no dicejfejono f compagni, che hanno dinari, & voléno com- vno cauallo per D.ao, ma neffuno di loro ha tanti dinari , che ' M* : ' È Libro Quarto! 199 j beffa comprar il laudilo, onde Jiffe il primo a gli altri dai, datime la -J- devoftri dinari, che io comprarò il cauaUo , dice il fecondo agli altri dot datime il -j-de voftri dinari, che io comprarò il cauaUo,dice il tergo a gli altri doi datime il £ de voftri dinari , ch'io tomprarò il cauallo,dimando alianti due. batteva ciafchuvo perfe , » . . ' « < ‘ Ter foluer quefh,poni che’ [primo hanejfe due. 4 per tanto cofi argu r attenendo beuer io con la -f- delti dinari de gli altri doi, bifogna , che ejfa mità fia 16. adonque li altri doi,cioè il fecondo, & tergo b aiteranno g 2,& perche il fecondo vote il del primo, & del tergo per hàuer D. IO, adunque aggiorni li dinari de tutti 3 infime faranno jó.bor il fecon- do hà tede parte de quefti 3 6,cbc giontoli il —de l'altra parte de 3 6, cioè delii dinari del primo,& del tergo compagno faranno io, per tanto farai de 36 due parti, che alla minor gioatoh il -\-iella maggior faccia 20, & queflo potrai fare con va' ai tra pofitione doppia, come fono le precedenti, ma fi può far aneborapiù breuemente fenga pofitione per quejìa regola, cioè fottra 20 de 36 rejiuno 1 6, & quefti 1 6 vengono effer -de l altra parte, ma per trouur qual fu il tutto moltiplica 1 6 per 3 fanno 4.8 ,quali parti per i,che è fopra la virgola ne venirano 14 , er cofi dirai, che la maggior fu la minor per neceffità farà 1 2 .per iliht giongendo alti •1 2 il -J- de 2 4 qual’ è 8 faranno io, adunque poncrai che l fecondo hauef fi D. li, quali affettar ai Jottoallì 4 del primo, & perche quello 24 fono li dinari del primo, & del tergo, ma il primo poneffemo hauer 4 adonque refìa che'l tergo habbia io per fé, ma perche dimanda il — del primo, et del fecondo per hauer 20, la fumnia del primo,& fecondo fà 1 6,&.tlfuo i è ^aggiungendola olii 20 del tergo vien poi hauer 24, che fono 4 piti di quello , che fi ricerca nel quifito' , adonque notarai più 4. per H pri- mo errore. -u i Voi poni per la feconda pofitione, che'l primo haueffe D.% douendo ha uer logli ne manchano 1 2 , adonque il fecondo, & tergo infieme haueua no D.zq,pcrche diffe voler la -f degli altri doi,& perche il fecondo di- manda il -j -al primo, & al tergo compagno per hauerne io ,aggiongerai olii 24 anebora li 8 del primo, che faranuo 3 i,cbe hauer uno tutti 3 infic me. adonque farai , come difopra nella prima pofitione , de 32 due parti, che alla minor giorno il -\-della maggior faccia ió,& volendola far per yn' altra pofitione lo puoi far, ma meglio a farla , come difopra fot tr andò lode 32 reftano ìi,cbefono li -y dclprhuo, & del tergo, perche hanno dotto la -—parte al fecondo compagno, adonque vedi, che baueuano depri ma moltiplicando 1 2 per 3 fanno 36 qual partendo per 2 ne venir anno 18, Cr quefti fono li dinari del primo , Cr del tergo, & quelli del fecondo farebbono 14 alti quali dandogli il de iS,che fono 6 fanno 20, & per fapcr * 00 c I>eIi’AfItIiméb‘ca ffptt quanto hautrebbe iberno pcrqueJbp«fiti»tttfiXfa*wJi& rfffal mo dalli 1 8 , che haùeuainfiemt col terzo rejlaranuo U),& tanto haue^ w ebbe il terzo, crpcrchc vale il -%-dtlprimo, & del fecondo,fioè dei, et 14 ,che fanno » t .cheilfuo -$-è 5 -i-per batterne 2 o adonque j àggjmgffc jdo 5 -falli io bauerebbepoi 1 J -f,& quefli vorebhonoeffer i 0,«<fo* . quenhaaerà 4 fmancho di quello, che fi ricerca nel qu^fito, perforiti ponenti nt.^-f per il fecondo errore , fatto quefio. moltiplica fecondala regola la prima pofìtione del primo fia il fecondo errore , cioì faranno 18 ,& il primo errore fia la feconda pofitione,cioè 4 fia ìf*SHh no 3 2, quali aggiongi con l altro produttore fu 1 Zper ejfer l'uno piu,et l'altro mena, faranno 50, bora fuxnma il primo errore, che è più 4 coniai tro fecondo, che è m.q-\- farà S-f per il quale partirai 50 ne venir anno 5 1 tanti D.baueua il primo, & per trottar quanti n hebbe il fecon- do mnltiplica fimilmente la prima pofitione del fecondo,cbe fù,i2 fia lift condo errore,che fu m.q -f-farà $q,qualferua, & poi mnltiplica la fc* conia pofitione di tffo fecondo qua l fa 1 4 fia il primo errore » che faqfdt ramo 36, 'quali aggiùngi con li 5 4. per ejfer t vno più , & l'altro men far ranno 1 io , quali parti per la fumana de errori, che fu 8 -j-,come difoprq ne venivano 11 \y- , & tanti D.hebbe il fecondo compagno , fimilmente per trouar quelli del tergo moltìplica La prima pofition del tergo, cbtfa 20 fia il fecondo errore , che fu tn. 4 faranno 90, & la feconda pp fi- tion del tergo, che fu iofia,p.q primo errore fanno 40 quali aggiùnti alfi 90 fanno 1 3 o,& q uefli parimente partirai per la detta fantina degli er- rori, cioè per 8 4- ne venir anno 1 5 , & tanti n'baucua il tergo con pugno, concluderai adonquc,cbt>l primo baueuaD.% it il fecondo D. 12 et il tergo Da 5 f-$- , come in figura veder ai difotto. , , Et fa poflo nella prima pofitione, il primo hauer 4,»/ fecondo 12^& il tergo | 20, &■ alla feconda pofitione, il primo hauer 8 , il fecondo 14» «Jr il tergo io,& il primo errore fu p.q,& il il fecondo eram.q fi come vedi difotto con la prona. • •' - » - C* prima pofitione »• .ti • " 100 a o M: i % v . *o ■t- ' «*Ì4U> n\ i ■ 4 ^ ' *11 ;1‘H1 vi* *■ w ‘^Sj V • i . * 3. prodotti atf© .<* al iìlin Libro Quarto. » ■ br -:’V 4 v , } «v — * * ' '•>. V 3 <*•■» N .'rtli ’nvt n\i «t- «?: t' *$* I*$ 4 { . 4 5 6 f»: « 54. >:w»5ft _ Ul. **, iW: ..IJO :U\\w\ f t • 5 2 ; i.i| fecundi produtti 210 \\ primo irj ' f i7hoo|«j. 751 I7I no | : \ 16 17I j,6o|__ ?r - . ' -i. fecondoD.lt il f.D.t 5^7- O! » luti ì'.»J J- l* Et perprouar la detta oper attorie giongi infteme quelli D. del fecon- do, & tergo,cioèii , & x 5 ff- faranno a8 ,-f- di quali piglia la £ fanno 1 4 j-i- , quali aggiùngi a quelli del primo, che fono 5 faranno io, come fupropofto , & per provar il fecondo giongi,quelli dal primo con qnelli del terzpiciol lift, con 1 fanno il -fa di quali piglia il -jr che è 7 r~-t quali aggiongi a quelli del fecondo, eh e fono 1 x fanno ao tome fu propofto, drper verificar quelli del terger,fumma quelli del fri mo,ér fecondo , cioè 5 }J- con 1 2 fanno 18 — di quali piglia^ far4 4ff , quali aggiongi a queUidelter^o, che fono fanno 20, & co. sì fono prona ti tutti hauer 1© franti le dette conditioni , & cosi far ai le ftmili . VX Cafòfettimo.' • >i' ; u:. irw*,' ì .» il» -•y .'.ily u<m\ sl»U. aitt- Urtati * QOno tre, che trovano yna borfa, che haueua dentro fcu.73, diffe ilpr O mo alti altri doi,datime li dinari della borfx,che con li rnièi,hauerò il loppio di voi, diffe il fecondo aDi altri doi , datimc li dinari della borfa , che con li miei infume hauerò il triplo di voi , diffe il tergo alli altri doi intime li dinari della borfa , che infume con li miei hauerò il quadrupli, .. ... . /• • <* » 1 /* /* y» f • » * _ • J.ft. di voi,dimandafi quanti fcu.haueua ciafcunoper fe, f eriga li dinari deio la borfa , & queflo cafo non vuol dir altro , che queflo in queflo fenfOj, cioè trottami $ numeri » di quali il primo gionto con 7 3 faccia il doppio delli altri doi , & il fecondo gionto con 73 faccia il triplo detti altri dèi] et il tergo fimilmente gionto con 7 3 faccia il quadruplo delli altri dot* Et per trovarli poni prima , chc'l primo haueffefcv. v no ^qual gionto* - * ' • . * 1 • * * • *7} • 200 Libro QuaSSI? CI *ot dei fecondo, giongi adonque li f tei primo ro» lì, r* -y-iet fecondo fa* -npiy -J- , & quefti mu(tiplica per 4 fanno 6i,et quejlt doyerebbono ef • J& chefajpì 6 -±- mknebo della Verità- adonqu^ penerai m. j5 ~bP!?' *f fffondAjPht{tet per feguirt C operatane, multiplica fecondo la rtgdl-t ilfirimopérrore,thcèmen 54 fiala feconda pofff ione che è 3 fard 1 64 ^ , poi muliiplica il fecondo erirore,xloè (li. }6-r fia 1* prima pafittone ebeè 1 fard pur^ó-^-v et per effer tvno , et l'altro produtto mcn* foctrttaof vno produtto dall' altro, cioè j 6 -{-di (64-^- refieran * no i-»7 qtteflo partirai per da differenza degli errori,quaT è 1 8 £ M( ì (coiranno 7 ,et tanti feti, baaeua.il primo , poi per trouar quelli del fecondo, multiplica la prima pofition del fecondo, qual' è io -f- fi* H fe- ^ fcu.j condo errore, che è 36 ~ ne vien j 74 , poi multiplica la feconda 2 ,fCu. 1*7 ne venir anno 17 , et tanti fcu. haueua il fecondo i poi per trouar quelli del tèrzo rimici plica la prima po/itione del tergo, che fu lòffia il fé» condo crrore^che fn 16 ne vien 976 -{- ,poi multiplica là feconda po fittone del tergo , che fu * 5 fia il primo -errori che fu 5 4 fanno *396 -j-fottrane ilminor produtto che fono li 976 -J- reflauoqx 9 ‘J-, quali parti per 1 g via 1 zi, et tantifcujidueua il tergo compagno. Dirai adonqùe,tM primo hanefiefeu.jyil feeendafeu. 17, et il ter- go fcu. tg: — ^ t. ** <> - Et per prouarlo figlia quelli del primo , che fono 7, et gìongili j; fan no 8 o,poi vedi quanti fanno il fecondo,et tergo, cioè 1 7, et 2 j, che fan no qo.quali fono la^ dotò , poffninmif II primo che è fedi tergo, che è 23 fanno 30, poi pgha il fecondo che è 17 giongUoutf “73 fanno 90 , quali fono il triplo degli altri dai, che fono 3 o,poi giongi il primo col ter go fanno i4\et giongi igcor?73' fanno 96 , che fono il quadruplo delti tqj cioè del primo, et del fecondo, et cofi fi verificano tutti, fecondo, che fu propello . > Et nota che quadctfùtrouato il primo fi polena fenga replicar It multipli Cationi fiotti ite trote trouar li altri doi al modo, che fumo trottati nelle pò fi t ioni: perche ponendo il primo vero,farebbeverificata la optr attorie * -C Ma quefi» fi è fatte per deferiuer Unto do più vniuerfatt , eè tanfi- i Utile a!ìa inuentione del primo , come in opera veder ai di fiotto . t C . - iUdÙTt^u/i . -tITUfcV. V, , MtO'ÙVrr . . -rt wb‘!V • i'i .*1 ;»•» .t > v v 1 opera vederai difotto . \ ■ ti;'v'v. 'H* v;»T * I t t \ H Dii Prima * • 1 « r 6 2 DeUviridKfnoriai *' ! “Trama po/itione primo i prìrno 3 fetoda 54 164 V f ^ rf ■ 1 3<s *- ,t -f ‘“-kyr'""1*1* r \ differenza- _ 1 1 • • -• *?nv «otot ,8t . % ‘V - 26-2 t Ó, ' '.vH».cm)rw»f4 3. * òi’U. 4c>b - 5 4 Ujjwi) iut' \.t 'ite*?1 *t««vii r •• v«» w. 164 + \ .» > . W^OrJJ j- 1 . . i ■» *■ T — “-—••* m. 36 t_ prima poftt. s *' mr‘*+mì o* 36-fr \u: t> \ -• I Vilo • '»' Ul«\> .jrt , -j j»r j •i?- 1 ’•'•••, 36-+- ' . 4 ,»■ I! V *ìr - 4 •*\* •; 4 > #*;•. ..Wv tot jtvtV'- •'••'>. v£& , ‘ ' 1 v. 5** ? tV» 1 • O «4vjl ' or « IK4MS»A,U3 •# •* , «HW/ ■ '■<• ‘ìVv*- i X J2 047 j D. 7 delprhno ^ ^ v©«i,m.*4 | ooc|- tl*‘.*<* IVO- •:> 1 1 Lanqrratìone manife- D, 1 7 feconda . 1 ( •; ' . ,f "U la fìgur aliane \ , fl.aj fierzp*.'. pS-i»;; ? ’ v.j l: !*• ; >, <''V.l l 1 1 ' *■ ■' '« ' . Vii fr. f.pfltf ' ? 3 V * .»vAt ; •VwfwNif 47 t«\ TO fi 7>lota ancbora , cfce7 r/io<fo trovato per inu^iigarli dinari del {esatti». 1 compagno neli'trna,cr nelTaltra pofiaone pofla di/opra , che dice , fami di 3 8 due paniche la minor gionta con 7 3 faccia il triplo della maggior, la qual maggior vie q adeffer la fummo del primo, & del terzo compa - gto, è fondato Jopra l'opcratione.della cofa,oner algebra, ponerldotcè» la minor fia 1 co. la maggior farà 3 g, m. I co. giongi 1 co. 4M 7? favt» 73, /M co. poi multipiua 3.8,»», 1 co. per 3 farà 118 m. 3 co. eguali «7J p.t. co, aggio itgi j co. alL'ynat& l'altra parte, haueraì 75 p.q.co. eguali 114, <1114 Usua li (up rifluì bavera/ * co. eguali* partilo perone ventri 7 J w tanto Jiponer idre baueffr ilfeinndo* a*r il refiante cbefo « ■ «a *7-4- farebbe U fpmmadel primo , dcfter.zp.adonqnr detratti 4* quelli del primo, che fono 1 rcfìano 26 -J,, che per pofitione hauerebbeil terzp,& firn limane fu operato nella feconda pofitione , il che è da nota- re,ir con qu.fft.tffemptj fe ne potrano fumare di limili che per quefirt Via fi foneranno . *1» tfcf? Li 1 Libro .QaartoJj io* - f.ì antichi Matbcmaticifi fólcuano fcruire delle duéfaifepofitioni nel , filuere li quefiti tulli quali non intenti enatt alcuna radice i'. quadrato, ouer altra quantità ir Tallonale, fittine cenfo,cubo,reiat<ti^t'* fmili,ma onciali dignità s'intcrpotteuaHO, con grantfedi^if ulti per qut- fla regola fi efpediuano,come difipra hauemo « ietto,veH i t h&ólcwnim» \ derni fidano poi ampliata' effa regola trottando il modo di filutr niobi \ cafi,ou£ int eruengona radici quadrati, et cubi, fi come ha fitto il Gemma Trifio Mathematica moderno EcceUentt(fimo,et Michaelc iti fello Gem& no doppo lui, nella fua Mritbmcticadi vefligif di quali fegueódo porremo nel f refinte trattato alcuni cafi,ouer qui fitti di fintile forte; et poi pori**' irto la follinone delli mcdefmiptr ^Algebra , '' r n\ ■ r ouA» Quefito, ouercafoottauo. L ‘ ^ K SI ricercano doi numeri fittòTTpnpù**imfJ^quiaIfirayclul produt- to di vno nt d'altro facèta t$ \ f , 1 T’." 0 o Ter far quefio poni,cbe I nno (ìa 2, l'altro farà } , quali fono li minimi termini della proportiotffcfquialtera. Hor multiplica l vno ita l'altro fan *to 6* et fuefh) douctebhe far 1 944» filtrerai adonque tìuàrjp44 refiano ì9l%,<tt\qucflo fegnaper ilprimo errore col termine ddmen >- eroe men 1 93 &■» poiponi vn' altra molta, che l vno fuffe 4, et l alttofarà 6, ptu Iti*- pittai vno nell'altro farà 24, et quefto donerebbe effer 1944, #** i menfi ebo di 1 9»o, qual' è il fecondo errore, piglia la differenza delli errori che farà 1 3j qual poi farà partitor, poi in cambio dcllepofitiènimetterai li lo t&qnadrqtiiqioè fi comperano i,& 3 metterai q,& 9, -&-m cambio del li altre, dtoi, cioè 4 ,&ì.6 metterai 16, & 3 6, quali multiplica in croce con li ertoriprima troiìati^r filtrando l vno produtto da latino il reflante partirai per la differenti*, delli errori, difipra trouati ejfer-eSi bora mul- tiplica q prima pofuio/tc, quadrata per 1910 fecondo erfottj farà 7680 poi multiplica^ fimitincnte in croce il quadrato della fec8ndn\ poftione, che è 1 6 per ilprimo errore,cbe è 1 938 fanno 3 roo8,t fr-fittrtrit minor produtto dal maggior, cioè 7<S$o 'dt l toV&n fiat attuò rftxS^qualpar ti per 1 8 ,chefi la differenti* filli errori , ne verremo 1^9 6, & af qurflo caualarad,nevcn,\6> CT 16 fdrà ilprimo numero qui fitti (y volendo trouar l'altro dirai per regola del q,fi 2 primo termino delta proportion fefquialtera mi danno }6,che mi daranno } termino naggitr. Multiplica & parti ti darà 54, cr tanto farà ilmaggior termino di effa proporte- ne, ter volendolo prouart mtdt<plic4jfifia faranno 1 944 1 contè fi propoflo . Vero è cbc^ultiplicando ti atirifii termini pofii nella* prima, & fiti- Lifoa Qtoàrtd* jG 2 oj e tn.ntPenirà ig96,dequalieauaUra<LfarÀg6, che furi primo termi' no, qual multi plica per i ±{arà <,4,che è Umaggior- termino de detta prò por t ione, & co/i con fumma breuità iti folta il quefito .- . «* • Con q\tefia wqiffma operai ione follerai il fequetuettafo,vno eompra duepeg^dipam<hchéfvnahyjttant9)& meggo-def altra & paga la prhnp a tanti [aldi il brago, quanti br icca era lougaf altrdi & valfe- roL.9jfpl,4*cioyii braga della minqr, dimando quanti braga-eia lon- ga ciajcbunaaclle dette pegje di panno, quello èl medefino qui/ito fatto difoprà.per tanto farai L. 97 fol. 4 infoldi faranno foljy 44, quali parti per 1 -a- cen,nc veniranno 1996 delqual caua la j tuffar à 36, & f altra braga 14 1 lC'.,. "-—>—2— Cafònono. 'Jm w .a»i ^ . ' ^ TRpuami 3 numeri fotto la propor tion dupla, che multipl atto il pri- mo col fecondo, & que/lo col tergo facciano 2744. fi dimandano effi numeri . ../• ^ , $ >;-:•? . vt:.\ H c j Vvs -s Farai pofinone } cheti primo’ faffe 2 fil fecondo farà-4 , H tergtrfkrà 8 bor multipli (ali infime fwm & qucflidouCfebbono far'2J{4.a- donque gli mancano 2680,0' quejio farà il primo crrorc,cioè m.l68o , Voi farai vn altra pofttione ponendo,cbe' lf rimo fù/fe io, adonque il fecondo farà jo,& il tergo farà 40. multiplicalt infteme/ Manno gooo, & quelli douerebbono far z 744 adonque fono de più 5256, qual nota- rai col termino de più per il fecondo errore , co/i p,-jzjór^r quefla fari la prima parte di effa pegola, poi giungi infteme li detti doi errori per ef- fer Ivno più,& l’altro men faranno 7936 , qual farà partitor de tutti quelli produi ti,che faranno fattinelli incrociamenti. ; Tot in cambio delle ■ pofìtioni fatte metterai lì/uoi cubi , per tanto in cambio dilli numeri della prima pofttione , che fumo 2 1 4 1 8 hauerai 8 Ì 64. } ftt,& incambio delti numeri della feconda pofttione quali fur- »o\ 10^ io] 40 ponerai fimilmente li fitoi cubi r cioè 1 1 000 1 8000 1 &> 64000, &con queftìmulttplica il primo errore feruato difopraper lafe fonda pofttione cubie aia, & il fecondo errore\feruatodifopraperla pri- ma pofttione cubicata , & il minor produtjo del primo numero farà 42048,0- il fecondo farà ìóftoooo, quali giùngerai infteme, per che più & tn.fi aggionge,& faranno i 72204 if^qlfpartirai per la fumma de 7936 gli errori /opra fcruata, qual fu 79 3 6, ne venir ano 343 del quale poica- partitor uarai la rad.cuba,quale farà 7, & tanto farà il primo numero, & fenga primo 7 far le due multiplicationi in croce peti trouar li altri doi numeri bafla ito uar li altri termini confequentim tale proportene, dirai adonque chdi primo l o s Dell? Aritftmetfói primo farà 7 H fecondo I14.& ili farà 18 , fiMdtMfàfdTtie fi* l'altro faramo 1744,// come fu propojìo.&fofi farai in ftmili queliti il che era da mo{lraretcome vedidifotto in figura , * ro 4 » o Sa- — ^>?!!S>sooo 8 4_o s t 2 ■'■rr' 8000 w.1680 ; •' ». 5^1 •* 6A 1744 1 1000 v • ••sV?t‘v' &' •. **. *744 ^^7 - ~"T' w,*«so 3680000I W.Ì68Q — jj, pr partttor’1916 4 io 6 f ^ communc cuba 2722048 *•»* . . . V/' ■' • ’ . *• -n«m« r faX?* ' .f ; ^£0 i s." «•>••■• '*< ... -o . i' -• *j 1 •! V - -j ci.; *• ?3f??*4% I J4J larad. 343 è . 7 . primo numero . . nu;\i^» : j ..U • 14 [ fecondo numero : \ »' ^8‘/er^o numero mV.< 10A ^ j. »,i-ivTx". 7 i • '^V 'Y ;OiO**' .'.-v. . IV;; "»V» ■ +f >«.»'- / prona 98 : .dj ? 28 .. > .fci. -.dy x» LiO, ».\ >im» ■ '■ ■..■•>«•• •!•• v/^U#i^ùi<rtb'4J'Mii«*i I >i \ .t 784' li .e: V* > 9 5 ';y> , «■ •. i.. > • u •itoti . ; ■'l V ri\ | * 7 4 _4 |«K»nro 8ro8o/?r» ' l l ' “V | f iv.il ?rv »* • i II medefinopcr algebre troucraì, ponendo, che’l primo fiaj co. &il fecondo farà » ».// /?r* 4 co.multiplica in fieme faranno 8 cubici qttefi faranno eguali a 4 7 44 parti il numero per li cubi > tifi per B >ne ve. niràno 343,& la rad.cf*badi que^o fitb 7 farad primo numero*. é\A fecondo | 14,& il ter%o J 28 prona, comedifupraviultiplicandoqutfitfa ranno 1744, come fù detto. \UM iv« V ?£&*> «•'••• .«ù\ Cafo decimo. iSVHU -MW • • V > x. W> { (i. J ,V. ; . i.O -1. -.H • ili Ì..\ . roflìi r.T'i "Z .iti' « , . i t,-,i ' • . j,tì. Tuonami 4 numeri de quali dui minori fiano fotto la proportene ftf* quitcrtia,& li doi maggiori (otto la proportene fifquialtera,& li X. i tifccoQLrartòijCi 7o4 dèi intermedia fatto laproportione iupia,cioè il faconda, \& il ter%p , er àmltipkcati fra loro infume facciano 1152. . a -.»i .... -t 'Pwài-admtqfe ebeti primo f uffa 6 donando iffar l’altro fefquitertio al primo fard 8.^ ilferxp dauendo-effer il doppio diti facondo fard 1 6,>dr Udaartòfarà AtVtifa ftfqutafano al \6. fiora moltiplica quefii numeri mfipne fra lo** faranno .*,8432 ,■& queRodauertbbe efer 1 15 j. « tifane- dcr al /juefi(4ifatfpp$v;2&a4i fini* adonqut il p timo errore di queftapo fawMsprX-jrlfai. ul'ì-i. oH<5\’ - j Toni ^donane vn’ altra volta , che' l primo numero f uffa 9, [altro, dal prefiippc^ftofamì i il terzo farà 14, il quarto farà jfcbor a inkit ip fica quefii numeri infume fanno 93312 -/uali douere fanno cjfer 1152 ,mà fa no dv-piùypuGo qual è il fecondo errore.bpr'fottra il minor errore dal maggiore reStanS 74880, ^«<2/ farà par titor delli. prof urti fatti nelle mul tipìicationi in croce, come vedrqui difotto. ùXVll 6 ——4 8 <MT6 osi l' a 4 6 8 ^.18432 -2 4" T-T*y-2 9 tt 2 4 '**' ' «*| 0 8 “* 3 fi> •“i.o \ o 2 4 \ ■> ò 9 3 3 1 * 1 1 q x 4 3 » » rir 3r° 7 * itefrore1 17Ì80 i.errorc 9*160 p.' ''259 i°S' 3 * ~ < 1 1 p. i7»8o 7 iiii} 8^' ,r^ ò h >. vesti. j 0 8 8 f 7 _ __ p. 172-80 irv'vif.fe differenza delli errori 74880 partitorcommune o.’pWi^ •>» w»- — — * -8t- Toi in cambio delli numeri co fi della prima, come della feconda pofitio ne metter aiU fuoi tfitadrifa'defaóxdiraÌT, onde nella prima pojrtione haue- rai quejli qnumcri,eioè vz\ 96 per il primo,& per il fecondo 40 96, per il terzo 6 li 36,*% far il quarto 3 3 ! 77 6,& nella faconda pofitione bauc- raiqiiefaiìUTf quadrati de quadrati, cioè 6 5 6 1 perii primo ,*oq 36 per il fecondo ,3 ^1776 per U terzo, & 1 6796 1 6 per il quàrtb,per fiche mul tiplicarai il primo della prima pofitione Ha il fecondo 'errare, cioè 12 96 fi a 92 1 60 faranno 1 ! 9439360 , & poimultiplicarabilq>rimo numero ' delia fé conda pofitione jia il primo errore, cioè 6 j 6 1 go faranno '33 749801* qufllfatMrÙM vjlaran- 11 no ?0^/* « »r ;ii V* I •>vr*A ‘v.' 20T tt Volando foluer il fopr aferitto quefito per algebra poni che'lprimo , Jia i co.il fecondo farà i -f- co.il ter^o farà 2 —co. il quarto farà 4 ‘ C’S co. cioè va tanto,& me^ro del ter-^o , quali moltiplica infierite , cidi 1 C0‘ 4 cù- -f- co- 4- co.farauno 4* ce.cexguali a 11 fidarti perii cen. tea. ne v taira 8 t,la cui rad.de rad. farà j,ér tanto fit il prhno.adonque per lefuppofitioniil fecondo farà q,& il ter ^0 g, c 'rii quarto farà 1 2 Jecondo,cbefùpropofio,qualfiprouerà al modo della precedente, & così <onbremtà farai le firnili . ' . ti 12I * 4 il un 1 2 8 9 6 I a : ' i» \ l < prona t i’j 2 A. v .rk' i’ tis* 9 128 I 10 } 6 8 I Zi -ee.ee. .. I I*8 hr-r-i ì OO A. •>\ 'V »•.• 4 . i'i( .V >i\ 'ti ra, ■«*«« *. r- , . uU.’.W'j r. , :un> 8 I » bi.S Quefito oucr cafo vndecimo ; ' : *' ->y>\ ? TT *m!,eri HeBa proportion dupla, la multipllcatìone di quali **■ ‘■rnofialakro infime faccia 148832 . 7 Vwcbj'i prmo numero fia 1 .il fecondo farà 2. il ter^o 4 . ;7 quar unru in j teme faccia 145532 . V • 1 *« r n?m*r° fia 1 M fecondo farà 2. »7 K&fr*. i/ quar 2 { 8/f T®*» /** *«'» ™kpM infime fanno i oi , §pL tZZlZ". £ SS ! *!* H7»o>.ìuiifJutrL errore della prima pofittone. 1-A - £25 f™.l*f“°ndaP<>f“'°ne ponendo cbe'l primo fia t\& ilfecon H^UÌÈt° * ’ ^¥^11 infime fanno *2S»f yojrebbe ejfer 24883», mafonomenozióoóÙuaìi T: rtlT ,lf'COnd° P” effer Pvno, & l altro meno della ve rlrA I "" ,lmmor dtl f»m‘or reneranno 3 17 M>&quejlo numero JZ‘ c™mSneP*"‘*oredi tutti li prodotti delle multiplicationi fatti in redi difètto ttTAt0 Vn° ProdHtto dalr altr0t c*mePn la prima parte 7 il tee Voi D«^AtìtRmfetIca i . .j . V ( ^’.ÓV' •» V»* 13 g- *•• •$*-$- t v.«’.fe'j ■ . V..-. -; 4 ;•• \ r‘ TTT f \\ui i,v\z\' •» ;» rroti.L J^.'n Juw^s. !.U . olìjT • *J ' 'H'-r- li 4- r ,f1 • -- fr~. , . tt »;\ • •&,$*. 'ii'.-j ■'a'yiini.'iiii ’■»* ^ v, . • • i o»a- «p?* * g - * I '3 - v • ^ , V.*^-;** W •? P*'.V * — *-"T" /?>«** 2 4»s*v * *‘8 8 j.V. x , , — i l. errore 34*7808 m. 1 1 6064 fecondo errore * 1 0 1 4 rejla m.z 1 6 d £4» 1 xV 4 Xìffcr enjj delli errori 3 1744 «ir commuti partitore . 1 \ f) 8ò r 4 P<ri w cambio delti 5 numeri pofli nelfvna, & nell' alt r<tfo fittone po netai li loro relati,& quelli multipli eh er ai in croce,cioì U prime pofitio ni relate fia il fecondo errore, & le feconde pofitioni relais fin il primo errore y& liprodutti fottrerail vno dall'altro , & tutti li rimanenti di tali fottrationi partirai jier 3 1 744 commun partitore^ he fu la differen %a delli errorii & diqucUiprouaiientidi dettepahhiopi catterai le fue radice relate fecondo il modo già infegnato nelle eflrattioni delle radici in infinito ,& batterai li detti 5 numeri ricercati * ma per abbrettiar /ìt- tica baflerà a multiplicar in crocffolumentela prima pofititoecol feci» do errore, & la feconda, colprimo errofCj.&poifoU tartina predutte deU' altro, & il rimanente partir per il detto partitore conimune pofio di fopra,& dì quello, che venir à, che farà 24’ catterai la rad . relata thè farà p,& quefìo fera il primo numerosi trouato filprimo peti tantuntm duplatione trotterai tuttele altre, onde la prima farà 3 , la feconda 6\ la. ter K* 1 quarta fard la quinta far Ì48 , conte quiqlfmcWià tt*** i' . y.{t v\tvM » o«. ’ * * . .jìitnrn't .•> i Vv» Ó .'»««**» «'••••••'• V' ** ''«*• tl . .. ■% 14J t. ù\vìv.ì»1.y<‘ ' .11* <• v ir« « '. A > » ''-A ;'j , tfi'ta'i' -l» uunVjjm ip f « wU* *>2 A “t» « " *’ -• . juì'Ui^-f •f * / t JUbro’QdiatWl ìnt< -J* 1*011^ ifc V. PII-*® ry. . ... • : ..u :t _•* ìrtl»»C',ccv\jik> l©«2 »'. IV' ' S _ ^ ^.r' ■3^-SV, . ;,*4-8X7 ifitym nuw*98 i§f r *>% J.’\ • *; ^jvi4.f'» Hv>l i»t»“ 3X76* nfj * »ofai7<r W-/! 44- ) 2 Ì»6o6', 1 ' ■4- », errore. .,_. w _ __ »•>!'> il i - 4 9 5 6 16 : nr . »< ^ * \ftoi n -ì.ùViV ’ ;{ 74 j 414 9 ? f ? **« ’••;• V»b ?!•*** 1&V,** Ì.T. • p< ’ • It ,»$? 0 Ic&ptkl’) » -i**' • >' 7929856 t * y * * i'i v'. a **-4 • * * 9 V * f Tt 1*4? la r. relata Uu\\’,i\ . i #**4444 diquefloir il fu» 7 7 J J 7 9 * # t.* 4 4 duplo il 004. «ma', .<S •»> ; '. -,v .11 j. X; 7 1 . \ ■ fecondò ! ■ > 5 v» • c':vi\k»\^ •»«'.•■•.• : ivr.'.i, ks‘ o.cui "■ ter%o t 2 quarto * 4 quinto ' 4 8 t pjjfarenia dep/odHtti della pròda pofitlone nel fecondo fetore, & nella fecond a po fittone nel primo errore, da effer partita per ? r 74 >. & Vfu ien xaj, la cui radice relatdè 3, per if pròno, il fecondo 6, U terza . ' 9*ar‘o %4*il quinto 48, cbemulttplicdndoli Imo con t altro fan. aio 248832, v\ar.*N I05\i\alu*£ •« . \t.'. hi IMII 3 *<1 18 48 WMifol Vtsntf n/lltu.*}» va I X » >W. f - I » 4 .1» \V.').i3 4..^ 4 7 * 116^ 10734 •’r i,v-V , \ttmo *'*,4 ut i.nVv»v.^ ui\ iàiLwiÉilUlA^l iM1- »'[ >f8 8 fi numero propojlo, I1 ' =' *'»HI 5 * 44 ’* \ prodotto dalli 1 propo/H. | (f •Wriv > ’i\» i-^hvi'iì • 'vk\-t- 1 • » ■ ■ ■'-T. jB vis, ,ì a» « iit^ il, < » 1 oi*\sivi\yt 4 owò\ (umiQ ' . • .ni a A 4 , « SMaUiplicdraiadonque l' prima pofuione relata con 4 t6o6±,àhe b H Jesoudo errore farà, l mede fino, pot Ìnuttiplica^t feconda popone fra d ntii E e e 2 primo «los Deli’Ajkh mitica primo errore 24J%o8.farà79t9%i6 Jottfa fvnoprodiitto da l'altro re Slaranno 77 1 37 92, quali parti per 3 1744 differentia de errorine yen* ra.no 245, la cui rad. relata è 3, che è il primo numero. li altri continuerà no in dupla proporzione, come*» cdi difoùra m Qpefa,^r cofi offeruarai in fimili [eruando lordine delle- dignità atgebràtrte' fecondo li numeri propolli. 8 ^ il mcdefmò per ftlgtbff futilmente fi.rifolue ponendo, che Aprimi) fin X.eÒ'.ìl facondo far a 2. coTmmttplnalvno ne l'altro fard 2 cen. quali mm tiplica fia 4 co. fard 8 cubi quali multiplica per 8 co. cioè per il quarto fa " rd 84 cen de cen. quali anitbor a multiplica per 16 co. cioè per il quinto numero 1 024 primo relato.pUrti adunque 2 488? a per *02 4, ne verran no 24} del qual cauargi (4 rad. telata, qual tmuepai effe? 3, che è ilpri - mo.il fecondo farà 6 1 4 rougij i%.ftquam \ y*4lqoint*\farà 48 ,iUht era damojlrare . ^ i \ ♦ 1 b r •' Q ' Q "• tAlqtnialfù questi pone Frate Luca Vaciolonel trattato de pofitioni f alfe, quali nonfi folueno falamerite do li duefalfe prrfitioni, ma con l'aiut to de Regola parti co larf,oiKfO ajtafià, come il queftH de X 00 animali da comprale per 400 feudi pagandoli a diuerfi precij , pur cheftano 400 li animai, & coflino anchorafc\oo,& vn altro fequente nelii quali bi fo- gli a fepuare integri li annuali, ma per feruar tate integrità bifogna vft re qualche altra indujìria. anchora che fia poffibileajar tante pofitioni » che venerano integri fe fard pojfibUeper le pofitioni, come pik volte hò prouiUp ut fimili cafi. -v. ' - "‘AV*-® . Et acciò, che co» facilità fi poffano foluer fimili cafi il Cardani Milane fe Mathematica eccellottifii/no poncvna regola, per trottar le parti aX- quote de alcuni numeri, per la quale fi potrano foluer molte questióni- pàP tic ol ari, come per la infr aferitta . Ca(£> duodecimo,. fc ♦ O POfii quefli 4 numeri, cioè >4 3+4-J 7 1 volerne t pojfono venire per la multipticatione di cfjt * 8 1 \ trouare quanti numeri r di effi 4- numeri fra loro , & per far quefìo, come effodice.tr or ò I £ Io pongOychc Uprogreffion dupla geometrica , 1 he comincU dalla vni- tà de tanti termini quanti fono li propofli numeri, thefono 4 | cioè 1 1 2 | 4 1 8 per tanto numera te vnità,cbejono in detta progre(fione,che troue- rai quelle rffer e i$,gr di queSìaf noma filtrane il numero di effi termi- ni , che nel prefente eff empio fono 4 refieranno lì, & però dir ai, che ne Venir anno 1 1 numeri delle multiplicatiom, che fi poffono fare, con quefli 4 numeri, 2 lji$ \7dclli quali l'vltim, & maffmofard numerato da tutù Libro Quarto; 203 fattigli attrl,& -potendo faper quanti numeri numerano effo ritimo , & tnaJìmo,redi quante rnìtà ha la dupla proporzione geometrica, che co- mincia dalla rnità,che fono if, come dijopra fù detto, onde concluderai , thè' l detto ma/fimo nùmero bauerà i f parti aliquote, & co/i offer parai in tutti, il che può giovare in mólte belle fpeculationi de numeri. ! .i\ fiora ppr trovar dette parti trouaprima il maffimo numero, multipH- tando effe quatro parti, cioè dicendo a fa j fanno 6,& j fia 6 fanno jo, & 7 fa 30 fimno no per tanto quefio numero imbaverà ij parti a- liquote, che fono le infra- > fcr itte, cioè partendo , & tra li dtuifori , tr prove- nienti fono 15 non ponen- do effe x 1 o, perche nejfun tutto è parte di fefleJJo,ma ben la rnità è parte (fo- gni numero denominata dal ifle/Jó numero per la J’uurta communi fernétta elfettimo di Euclide, & con quefta regola troverai le altre di qualun- que numero compofito . p" 140 nerica i; ■M «v . , -v per 105 *( ' a T «4 » k: ■ # per 70 3 V ; . J per 4» • 0 . 5 8 per 35 •V 6 7 per io \ 4 J ' — • per at .. IO 1 1 parti per *5 14 aliquote »oi Cafò deci motcrzo » Frrno 20 perfone,che andorno a rnhofiaria per far eollatione,trale quali erano homini, donne, & fanciulli .li h uomini pagornofol.t per tiafchaduno,le dome fot. 1 perciafchuna , & li fanciulli d.6 per ciafcba duna, talmente , cheque/le ao perfone fpefero fol.ìo a ponto, fi dimanda qu ante donne, & quanti huomini, & quanti fanciulli erano? Tono , chefujftrro Donne 4, che a fol. 1 1 rtra pagorno foLq. Et huomini •'* 6 che a fol.i pagornofol.t* '■•Et fanciulli IO cbcd.ól'vnopagornof.q v • -v. .*.v ?•:.{. < u»» •-* 1- ^fggìongo le perfone fanno to', mali fo. fono fol.ti, che fono piu 1 del yerò, & quefio ferivo per il primo errore cioè p. 1. Toi faccio mi altra pofitione , & pono che le donne tufferò . 1 che pagano fol. a li huomini 8 che pagano fol. 16 U fanciulli 1 o che pagano fol. 5, & ponti infieme fanno a o perfo ne,& foL tq,cbe/ono 3 de più, che non fi voleva /pender. àdonque pono p. $-per il fecondo errore. - ; ' Toi ; o ? DcH? Àri0mei5di .JPoi multèplicojl prhnoerrerc,cbc fùf. i depiù per le feconde } pofi doni f anno %}&,& io, quali fcruoi . . ,v ' . w Tùimuliifilico il fecondo errore, cioèp. |t per le <j prime po fittovi, cuti fer 4 donne | $ buomini,& io fanciulli fanno quefli 3 altri produtd,dob li \i2,& }#,& per effcrfcgnaùcol termino del più fottrmrO.il primo produtto dal primo, il fecondo dal fecondo, & il rerty dal reny» perche pik, piùtf ab batte, cioè li x-Jallii £ rt(lanoio,& ti 'ideili 1 8 reflano anchqr ipi ef li io df Hi 30 reflano io , &, questi reftanti parto per U di fferentia delti errori quali i, perche il primoerrore fu l>cS rH fecondò fù 3, eh e rrflop.adonque partendo io pe\r 2 ne vengono 5 dorme, «ir il fe- condo 1 o pero, ne vengono 5 buomini i & il fecondai perite vengono 1 o fanciulli, tipr vedi per prouar, che y donnea fot. y pagano fol 5 » <Jr 5 buomifi pagano folio. & 1 afanchtlli pagano fot. $^<he fono 10 perfo ne,& 10 foldi jntieri,& quefìqfiù la più commoda operàtiomyma accio (he fi poffa meglio comprendere queflo modo lo replico difotto con ordii ne debito de numeri, & di multipacationi fatti in crocedii primo errori nelle feconde 3 ppfitioni,cioè de donne de b uomini, & fanciulli, & del fe- condo errore con le prime 3 po finioni, dot de dome de buomini, òr de faro ciulli,con lifyo refidui de prodotti ,come chiaramente difotto fi video prima pofitione Donne 4 fol. 4 feconda.donne i\ ‘Vv i -X' £ buomini 6 fol.n buomini 8 follò fanciulli 19 fol 5 fanciulli ro, -, fol. J perfine io fol.21 perfine io fi>l-*$ 20 IO ' \p\ l primo errore fecondo errore 3 fi p. I primoerrore moltiplica con le tre feconde pofitioni 2 11 fa qucftrtrcprodutti p. 3 , fecondo errore mutiiplica con 8 V 1,8 té tre prime pofitioni , fa qucfti tre altri produtti dai 40 3 0 filtrando. ordinatamente il min^r del maggior, cioè il dal liti dal 1 ilio dui 30 remeranno quefli in ordine . , io Quali partiti per. x differenza i o delli errori faranno quefli tre fcVi 4;V>V'*W-Ì £s»V'. ■« . .vltimi , cioè J donne fol. % .r. io... yhomvfi folio . \o fanciulli fol 5 ; .. \ 0 '..' sìjictperfine folto . Cbe faranno precifamente ao perfine , & folio, ma fé f afferò pofii in fingo fi vedtrcbbe le multipticationiin croce , 'come, nelle altre fatfa pifitiont, & qurfiafi può aocbora farm qltri modi , & numeri , come vedi difolto. Cbe ft'A' Libro Quarte* ■ Che donne 14 pagorno fol. , , homini * pagorno 'fol . fanciulli 4 pagorno fot. JÒU *♦ ì- 204 10 ► perfine ip y„„ • t-v * & di po filóni chi non fi cut affé della integrità ctelUànt nfaht onero delle perfine fentpre li numeri >enirebbono eguali' fi# tir-' %a.dj pwpo rtioni -, <jr della fua regola , «u /a difficultà confifie , rtfjMf PcrJor>e,ouero animali integri trottando numeri , che habbinopar' tialir/iiote. pertiche è da notare, che quelli che propongono talUiuefiti con offeruatione della integrità delle mica, li hanno trottati dafepenfan done alcuni con li furi prectf, & perché li vlcitpi numeri erano in fua li- crtAfi far, che fujfero tanti animali (come p cjfcmpio dirò) 1 oOj et che yalefjero L. I oó, non glifi molta faticala ben farebbe fiata a quelli al li quali fi proponeuano,pche il proponete è infacultà d ogn'vno, ma il fot 1 ter e è officio filamete di peritilo fi in quefle, come nelle altre difcìpline. &»tcitni ai fitnili fi potrebbono proponete , che farebbe impoffìbile a Joluerh fornata la integrità delle co fi apprecciati,quado non f afferò efeo gitale dapreponeti,ma pofti fenga inuètione, et efperiega del propofito Cafb decimoqiiarto propoftp anchora dal Tartaglia . c V Tip padre haueua alquanti figlioli, fece testamento, & fra le altre f . co/*fi ritroua rena quantità de du cali in caffa, & dette de detti di nari vnu ducato al fio primo figliolo , & anchorala parte del rima- nente,& al fecondo gli dete ducati 2,& la sporte dd r imamente, & al tergagli dete due.), &■ pur la patte del rimanente, & cofi procede fempre conquefio ordine, eccetto, che aCvltimo figliolo , al qual gli dete tutti quelli,che gli erano Yefiati, et finalmente tanti ducatti fi trono l'vno come l altro, ho r dimandafì quanti ducatti baueua in caffa il detto Tadre & quanti figlioli haueua ? Ter foluer quello quefito,confìderafi, perche glidafimpre 1 più,chc al precedente, & poi C parte del refiante,fittra r del 8 , cioè del denomi natotele è fono la virgolaci effa parte refiano 7,& tanti figlioli baite tut il detto padre, poi per trouar quanti ducatti haueua incajfi,quadra il detto 7 farà 49, & due. 49 dir ai, che haueua in caffa, & cofi fi Ihaueffe detto, che gli dete il del rimanente hauerefii fottratto 1 de 7 , & fa- rebbono refiato 6,& tanti figlioli haurebbe hauuto, etr il fio quadrato > che è 36 farehbono liD. che baueua incaffa , & cofi furetti le fimìli. figlioli "Si due. figlioli 6 due.-*- « t- > t Dell 'Ari thme tua! La prona fi farà jottrando i de 4? refi arabi 48, & dandogli anchoTt la ottaua parte quali 6 , che fanno q, quali canati de 49 refi ano 42 , de quali i, ne da al fecondo celiano +o,& poi gli day cioè la ottaua parte de 4<j,eJr rejlano 35, de quali fene da 3 al tergo. reflano 32,^ 4 appref fo, cioè /' ottaua parte del rimanente rejlano l%,de quali ne da 4 al quarto rcflano zq,& ancbor la ottaua parte de 14, che fono 3 refìano due. 11, de quali ne da 5 al quinto refi anno 16, de quali gli ne da a rejlano 14» &. poi 6 rejlano %,& poi 1 ,cioè la ottaua parte de. 8 refìano 7 per l ultimo fi gitolo, & cofi ciaf ebano ne ha 7, & qfiglioli,et 49 duc.baucuain caffo. Quefito decimoquinto . ECliè vno,che impretta a vn altro due. 300 per anni 3 , ma non fo a quanto fi conuiene de pagarli di merito al anno, ma fo ben che non dandogli ogni anno il merito tra loro conuenuto, lui voleua,che tale meri to vi fuffe meritato alla rata parte del loro acordo delli p rimi due. 3 00 , accade, che il debitore finiti gli anni 3 gli refe due. joo tra merito, & co pitale, fi dimanda quanto pago de merito per 100 al anno . , Ter foluer quejlo quefito è dafaper, che li due. 30 o in f anni formano 4 termini continui pioportionali,delli quali li detti due. 300 vengono ef- fer il primo, et li due. 500, che gli dete fra merito , et capitale far ano il quarto terminò. per tanto tra 300, et 500 bifogna trouar due quantità proportionali nella cotinua proportionalità ,et p trauarli breuemète par - tiloo,per 300, ne venir anno 1 y-, et la r. cu. x farà il denominatore di ejfa propor tione che hano effe qualità tra loro, bora p trottar il fecodo termine cuberai 300 faranno 27000000, qualmult'tpma per r.cu.t -j- farà r.cu. 45 0000OO , & qttefia farà htfecoda qualità', la qual multi- plicarai anebora per r.cuii — fard r.cu. 79000000 , & quefta farà la terga quantità, et la quarta farà di D. 300, et per trouar quanto paga di merito all'anno dirai p regola del g,Je D. 300 ritornano alfine del primo anno D. r.cu. 43000000 tra meritori capitale, che tornar ano 100, cu.il 100 farà r. 1 000000 jttal multiplica nella i.faràr.cu. 45000000O- 00000 ,qual parti per il cubo della prima, cioè p r.cu. a 7000000, neve nirano r.cu. x 666666-j-, et tanto fatano ritornati D. ioo tra capitale, etguadagno,etper fqper il puro guadagno oucr merito, cattane il capitale refierano r.cu,i66d666 ~m. 100, et tato pago di merito p 100 al anno. Et volendolo prouare dirai per regola del 3 feD.300midar.eu.4io- ooooo,cbemidaràr.cu. 4iooopoo,multipliqando, & partendo, <Jr del auenimcnto estuandola r.cu.qe venir anno D. j 00, come fu propoflo, et còsi fi faranno le filmili, con quella maggior Inclini, ebe fia pof bile . ' *- - S<gh Il fine del Quarto Libro delTArithmetica. - LARITHMETICA VN I VER.S AL E DEL SIG. IOSEPPO VNI CORNO» MATHEMATICO ECCELLENTISSIMO, Parte Seconda: CON PRIVILEGIO. In V inetta jappr e ffo Francefco de Frane efebi 1598* ' Con licenza de Superiori . r * J \ iT' r*)| |ì , 1 T , « < \t } il • x ...» 2 «1 ' ? K -> *■ * . 7 "\ i i T n i r % f i* 1 I A C- "13^ O” K ! - .£ •»* * v* ìy-ÌJ.' U f • i .»•••' 1 . ’ ‘•i */ * - ?.)’• *,ì^» , . V'V-W-; , 'r.*y*v- > V*. va.' m -r - • * , * . * ' • • . * <*»!<»* A. •' • • ' ■ ' 7 * *.r ALL’ECCELLENTISSIMO 2 10 PHILOSOPHO IL SIC. LVCIO SCARANO LETTOR PVBLICO IN VENHTIA Iofeppo Vnicorno. OLTE caufe diuerfi fighono mouere li S crii tori di qualche ar- te jouer fcierìXa nelle dedtcationt delle loro Opere, de quali alcune. paffaro con filentto , per non effere fecondo lintentione mia , ne per ri i petto del Autore /ie della per fona à chi fi dedicano ; Ma due principalmente figliono ad- durfi; la prima de quali con fi fi e nell esplicar le laudi, le dignità. & utilità delfuggetto , che in quelle fi contie- ne , ilche volendo in quello propofito profigutre, fareb- be fuperfhio , & ( come per prouerbiofidtce ) vno in- ftruir Minerua ; benché per amonitione delli Sìudiofi Lettori ,fi è narrato ampiamente nel Proemio ,£f per tutta la prefente Opera; l'vltima caufà e propria & conuenientifiima che mi moue à dedtcare quejìa Ope- retta à voflra Eccellenza e } che conofiendomi obliga ; tifiimo i tifino à V. S. Scceìtentìfitma^fer lefue egregie yfr tn3 & dottrina in ogni pari t de Fiufifia» &-perlafuA autorità & riputai ione apprejfo a quefio ò erenisfimò Senato Veneti ano, zf per l'amore, che mi ha moflra' to ne (procurar , che fono slamp. ite quefi e Opere , & favorito talmente , che con qucjìi tre vali di sf imi infiro menti Dottrina, Autorità, et Amore mi è stato vno Atlante nel fi (tentarmi questa impressone . Et que fio dico non perche io non fappia , che V . Eccellenza non ha bifogno de mie lodi , perche non fi pub aggi erige- re lume al Sole, am(i per la fua luce rtfi tende ogni altra stella, ma piu prefio per non incorrer nel vitio della in- gratitudine, perche è manifefto, cheV. Eccellenza ol- ire,chefia ornata di facondia, & di lettere Greche, & Latine, & oltre (Fogni forte di ‘Dottrinale pur <vna fila la può far degna d’ immortai lode, fi come fumo Tuoi antichi in quella parte d' Italia chiamata la Gran- de Grecia, già celebrata per el fludio di Tythagora,& Archita T trentino fommi Ftlofofi& da molti altri fà pienti di gran nome, & di piu trouandofiV Eccellen- 'Za in quella cccelfh, opulentisfima , & inuitta Città y per l’VniuerJb mondo tanto temuta, amirata, & cele- brata di Venetia ; Reputo , che la cafa & albergo fio fiacomevn altro fonte d' Hehcona, dalquale può ogni jìudiojb in qualunque difiiplina liberale beuerare fidar la fete ad ogni fuo defiderio . P er tanto mi tro- uo àvofira Eccellenza tanto obligato , che non e f uffi- ciente la mia debile fortuna fio disfar àfitoi grandisfi- mi k mi meriti, fi il me de fino fio amore beneuolen\a non mi rende e/cufito fi io non pojfo rendergli le debi- te grafie ficondo h faoi meriti } Reliami nondimeno di adempir la Legge in far quello che io potrò per amarla , per honorar/a, & defiderarh dal Jommo *1) attor d o - gni bene vita felice in terra , & in Cielo gloria eternaf vero fine & immortai premio de fie bone & fluite operationi. T>i Bergamo il 12. di (fitugno MDXCVIII. TAVOLA DI QVANTO fi contiene nelli dui feguenti Libri, deirArithmetica; L I *R O Q V I N T O. •'* Buttato delle leghe di metalli,e delli lor pcfi,comt oro, ar gcto,rame,inuefiigation delli ptegji delle gioie, e la pro- portion eh è tra loro, e molte cofe di pr attica , pojle io molti quefiti da car. 105.4117 Modo di far conti per quelli che (tanno alle Zecche , per far danari a infanga di Trineipi. 117 Far lega con aggiongimcnto di argento, per far monete diuerfe,e intorno à ciò molti quefiti. 1 1 8 Trouar il valor delle leghe à ragion di qualche lega, onero à ragion ii fi- no,generalmente, & intorno à ciò varii quefiti. 1 1 8. HO Del trottar il pregio delle gioie,alcnni quefiti. iti ' Del modo di calcular le compofitioni delle medicinefiecondo il grado del- le calidità, e frigidità, rifpctto alpefo loro, per faperin qual grado fa- ranno venute cofi campo fi e , fecondo Galeno , & jtuerroe. car. ili.. 213.214. Jìella proportion ji eli' acqua à qualunque metallo , e pietra , vtilealla confideration di leuar pefi , e nani fommerfe nell'acqua » & alle ope- re fu fili ,& alte e mirabili pr attiche, efiratte dall' muent ioni di JÀr- thimede. v. 125 conofcer ilpefo di molti corpi per via della lor mi fura, e la mifura per via delT acqua. 12 6 Di vn altra inuention di Archimede, per la quale conobbi l'oro effer mi- fio con r argento. 126.117 Di vn datio fopra le perle,altra volte poflo dal I{e di Terfia. 128 Varq quefiti circa le ordinante di faldati, & altre cofe pertinenti alla di fciplina militare. 228 .fino olii 235 Trattato di Cambre fuediuifioni in tutti li modi. 135 Di alcune cofe da conofcere prima che fi venga alli quefiti di Cam - bij. 136 Di quattro forti di Cambij. 237 Ifftmpio di lettere di Cambio. 23 8 Di quattro forti i inganni,cbefi fitanno alcuna volta nelli Cam bij. 240 Del Cambio fccco.car.14 1 .Quefiti tifino à car.l 49 Cafidiuerfi occorrenti fopra il cambio reale , & altra forte di paga - w • , menti. i JP TAVOLA. Menti, car. 2^.9. fino à 254 legioni di lettere di Cambio,rifipetto olii danari, che fisborfano. z 5 f t arij cafi, ouer queflioni,chepofifono occorrere fiopra il cambio comune , ouer minuto, applicabili à molti altri cafi , canati de molti peritilfimt */ irithmetici . 2 5 6. fino à 164 Quefiti di cambio foliibili per algebra. 1 44 T rat tato di meriti f empiici, & à capo d'anno, & altro tempo , con tutti modi con tutte regole breuififime.car.2~1 ^.notando rtiltjfimo. 27$ Cafi di meriti. 27 7.279 Delli fi conti femplici,ouer ricompenfiationi,rarij cafi. 279 Del faldar partite in diuerfi modi. 2 82.2 84 Del modo di ridar più termini di pagamenti a rno falò termino, il quale atto fi chiama reccar à vn di. 28+ Trattato del tirar in refio ma ragione di ma,ouer più partite di meri- ti,ouer fitti, ouer lineili, cofi in tempo, come in danari. 2 86 Van\ cafi, fecondo varij modi di pagamenti, fino à 297 De Ui meriti à capo d'anno,ò d’altro termine, in quattro modi. 297 Delli fi conti a capo d'anno , ouer altro termine , in quattro modi eC ope- rare. 300 Cafi diuerfi di meriti, e preflange. 302 .fino a 308 Trattato rtilififiimo,di tranfporta tioni,c compre, erendite diuerfe,quefitl diuerfi. 3 08.3 o 9. ìli LIBRO SESTO. I{e gole di comprar, e render con determinato guadagno, e dell'inuefligar li capi tali, e li guadagni, e perdite, in tutti modi, vtilififimo à M er ca- dami,c ragionieri, diuerfi quefiti. „ 310 Dell e trafiportationi delle monete , pefi , e mifure da ma prouincia in ni altra, e dell' innefiigar il guadagno , ouer perdita delle mercantie, equantoper cento, trattato motto necefifarioa mere adanti, car.31 3. molti quefiti. Delli viaggi, che fi folueno per algebra , & altre rie (peculatiue , rarij quefiti. 3 I ì-fino alli 3 19 Qaefiti de parti, che hanno danari, e de trottanti vna borfia . car. 3 1 9. fin d 329. alcuni quefiti circa il render, c comprar diuerfe cofe à numero, à diuer - fo prezzo, come fono ruoui,& altre coJe,tolti da diuerfi Ruttori. 3 39 Quefitoni fi opra braccia di panno, & altre cofie. j 3 2 .fino 4338 Quefiti diuerfi [opra diuerfi giuochi, efir atti da diuerfi Ruttori. 338 le Dc ¥ + k ir r« • L')Uft io s DEL L* A R I T H M ETICA DI GIOSEPHO VNICORNO Vv .<» LIBRO' QV.INTO. jp *j<i m Tfitt k k z i à queflo Libro, -fi fono fatti, di vani quefiti pertinenti a tuttili negocij del mondo , e negli altri tre Libri primi , cioè 7{el primo s infogna i <Algorifmo di numeri integri, cioè rileuar vn numero quantunque grandi(Jimo,come di qo.ouer 100 figure, & di diucrfe forti di numeri . Il fecondo infegnal\Algorìfmo di rotti in tutti li modi da operar con quella breuiti che (iapoffibile . 7qel tergo t'infegnal‘*Algorifmo dilli z termini più, & meno,& C- *Algorifmo delle proportioni in tutti li modi, & C Rigonfino diradici quadre, & cube,& relate in tutti li modi . Et al fine C^lgorifmo di binomvi , & recifi in tutti li modi, & di rad. vniucrfali, & tutta la prattica dei decimo libro-, & decimotergo di E» elide circa la proportione bauente il megjgo, & doi efiremi , & a catti» *■ ogni forte di rad.colfuo approffimamento nelli tolti , & irraliomli, & appreffo fu trattato dijfufarnentedeUeprogrejfidni^ritbmetice, & Geo motrice , onde in tutte quefte opere legerai cofe non mai dalla antiquità ritrouatc, per quanto fi vede nelli libri che alprefente fi trottano . Trattato deleghe di metalli, & ff>ecialmcnte\oro,et argento, & rame, & della inueftigatione del predo delle gioie, & finalmente della proporg- liene dell acqua a ciafchadun di quelli, & quale proportione b abbino tra loro j con alcune pr attiche eflrattedal grande Tbilofopho Architnedt Sirabuf ano, eJr d' altri celebratami autori antichi, & moderni, onde. Trimaè da con fiderare la natura delli metalli,&poi il pefo loro, vo- lendo effequire eioche Carte delle loroligationi infogna , O" quefio fiotto breuità Ter tanto fon • li metalli di fette fpede fecondo il numero, & Proprie tàdelli pianar che generano efjì metalli , per virtù delle loro influente, che haùno fopra 'quejle cofe inferiori generabili,onde toro più appiccia- to degli altri dicono ejfere della natura del Sole, l argento della Luna , H rame di fc-c/tfreìil fogno di Gioite, ilpiompo di Saturno, il ferht di Mar Fff te. DeirArithmetica ^ v/«o rf; Mer furio ,&per tjuefto li ^Uhìmifti^ominanóW neratìone ^ ^ K°W‘ rie eueuoia natura ì<trg£ ^t°lHZr lorpefo abfoluto è dafapere, che alcuni fi ofierUanó a marche, i uni a onc.onde vna marcha ef oro, òuer d argentò cottene on. orto, et vr ' Cottlen d'2 t'ì'P'J*' & rno denteitene g~ 2±, onde onc.vna pefa f „ ' ^r-.' j* , PeJ‘ (* °fer "ano principalmente in Milano, et in molte at tre cita di Lombardia, ma in Venata fi pi fa a onc.et onc.vna fa 4 quar U,et v no quarto pefa carati i ,6, et tuo earatto pcf agrani 4, onde otte. * fa firn, Intente grani 576, che li loro fegnift fannocofi, cioè in Mila 0, mare. onc. den. grani, et in Ventila otte. quarti,caratti, grani,et bar gemo fi pefa in molte Città a oncMonc. 12 d' argento fino 'fama libra qua fi ice tga de 1 2, quando tutto il pefo è argento puro , et li metalli , ** a c°nfidcrattone fono l'oro, et Ì argento nelle le^ht, onde toro, hamifitone alcuna volta d'argento, et alcuna volta di rame od altro me tallo, il quale nel prato è riputato di neffun valore , et alcuna volta effo oro è mtjio con argento, et rame idficm- , et fmlnuntr con C argento tot vo tu t m fio tirarne il cui prato non è tn alcuna cortfideratione,n:abcn fi confiderà il pefo, et ntU'oro fi cor fiderà quanto fia mi ilo della cofa de ne finn valore, et di poi quanto tien d'argento , et ned ai gaio fi ricerca quanto tiendi rame,pcr faper poi quanto fia il rr fidai dell'oro puro, et la fura a di effo oro fi determina in caratti *4, nel pefo, et quello ibt m art eba di oro puro di *4 caratiti tanto peggio di fino * come fi bautffimo ^ 1 "rr’ ^ Larattl *4 dimifiura d’oro,& altro metallo, & che in quel- la tufferò t caratti de altro metallo, dire(fmo,chc‘l detto oro fmffe di bore ia di caratti 2 1 filamene e, onero, chefii/fr j caratti peggior di fino , & e fia per fettunte di caratti 14 contiene grani 96, per che sgrani fanno y no earatto di pefo, & di fittela, perilc he in effe due fini di metalli , Jpccialmcntc fi ricercano due co fi , cioè il valore della mifiurt , ouero. mafia, o a lega,oucro confilationc delle monete, ma del valore prima- mente diremo, & fia per gratia di efitmpio, che baueffemiflo, ouer le- ga 0 quefìe due forti di bontà,ouer per fettione infume , cioè marche »j>, onc.7 d. Sgrani \9 di bontà di caratti 1 9 grani ; marche 5 ó.onc . l>a \9 grani 22,de bontà de caratti sgrani 1 ->- voglio faper di qual on a fara tutta la maffa&uer mifiura,& poniamo che fiam'fio con or genio, sj- per far queflo rifileremo fi prima, & feconda mafia in rra- m,per via di muliiplicqtione,& farà fiprima mafia grani 1 2787 f,dr fi feconda mafia farà grani 259102, bora muUipltcherailvna, & l'al ra fiontna per fi fia bontà nfilia in grani.adonq ; rnultiplicafi fi prima 'hÌal'ri*rram l9^ fard grani 10961061 finalmente multipU- f ((Onda mafia nella f uà bontàtcioè per grani -J- farà gra i liibrorQulhloC 20 è m I 10^2364 4- quali aggiongercmo con quelli della prima mafia farà no grani 19033427 , quali parti per grani 96 cbeè tutta la finegyt , ouer bontà ne veniranna grani d'oro fino in tutto 30243 1 )V > thè fan- no marche 6 3 onc. 3 d.i grani -j{\- , quali fottrerai della fumma delle fopr aferitte due majfe che fanno m arche 8 6 onc. t d. 4 grani 1 7 refleran no marcherò onc.^Jen.} gr.9#- d'argento, à di rame ò di altra miflu ra, ma fe vqleffimo le bontà feparataniete,le aggiongeVemo infteme cioè cor atti 19 grani j -p con caratti iqgr.l fanno caratti 3 7 grani 1 A ,de quali piglia la -fi farà caratti 1 8 grani 1 & quefloquando • le majfe fuffero egualt di pefo . . >'.• '» Et volendo la bontà, ouer faegga di tutta la maffa aggiogifi infìttole li grani dell v no, y& l’altra, dop grani 137875 dellaprima, con grani 2591,03 della feconda, faranno grani 396977 , & dirai per regoladel hi fi grani 396977, di tutto ilmiflo, mi .danno grani 302431 Jf- di oro pure*, che mi daranno caratti 24, cioè la bontà di caratto >4 , multipli- càndo 30243 1 fi- per x<\,& il produtto partendo per 3969773 ne rèni- lanno caratti 1 8 , & quefia è la bontà di tutta la detta ma(fat\ horafìai faputo quanta tengono le dette majfe d'oro puro , & quanto db altro metallo, & qual lega, ouer bontà rifiliti dalla mifìura deH'vna, et t altra malfa, & quale bontà rifalli della mijlur a di cgualpefo , & così potrai faper ancora il fuoprecio , arguendo per la regola delle tre quan- tità, come difetto vedrai, fìmilmcnte proluderai per trouar la bontà , ouer legha dell'argento, & quanto fra di finty in vna majfa, & altri quefi ti come nel prefente trattato fi folueranno, & quantunque qucfti fiano dpparfìprohffi quejla fi è fatto per maggiore ejjercitaiione delli jludioji fratti ff, ma molti fì.prtponerannoper l'auucnirc, piàfacili da operare, ma nella inumione faranno più induftriofì, & fòttUi. ’ ' ■ »w ittik vlv^bow - r Stilili?' 1' '"i'1 ku (i £\uiVv Quefito fecondo. ■1 rO ' ,1 . ; v.';. ■ . 1 '•» , •. j , :-.o i\} tv Vi •- .. tt I 'T dicendoli io mi trono vnamaffacf argento di bontà deleghe yiciob de onc .7 da fino per libra, la qual muffa pefaL.qi dimanda fi quan- to tiene de fino ity tutto-i è* » ■£< 5 per cnc.il fino quanto volerà detta majfa . Ter fair quefìo, multiplica lc,L,qx per lafualega, cioè per 7 ne veni- vano onc. 5 04 , quali parti per 1 a , cioè per la totale finegga ne vengono L. 4i,ó~ tanto fiat de fino, quali multiplica per L.6q , perche a L.% per onc. la libra vale L. 60, e r nc venivamo L. 2520, & tanto vale detta majfa d'argento, et co/i offeruaraìfe f uff ero più d' vna muffa, & ftfufff- ro onc. & farti de onc.rifolucndo,comc infognano le regole. i Fff * Et ?itf. ir K k Et nota, chcloro,et largendo fi affina in doi modi, ttòè eontpótieridofo eoi pii finopit anchorafiaffafiiolo tanto al fuoco, che fi confami!' impuro, et fpecia Intente l’oto^et tjfo fermata inpefo,tna ertfeera in finexftfi, et la cornpofitione de metalli, fi chiama dalli tintori confi olatione i qual fi fa à certo valore, et bonu^nefeendonuer fermando / * V '*• '■ , A y olendo adonque fiipcre la miftione 'de due ouer più forti & argento, fi raiicomr dtfopra facefii nel oro, pigliando il puro , et l impuro dìcendo,fè libre tante di mrflomi danno libre tante de fino , che mi daraltuo £. V* , qual' è il numero de tutto il compofioi moltiplica, et partii rt f batter ai, ctk - me bauefli nel oro . . ' ■ » . v i £&yv tendo ne di nerfeleghe d‘ argento farti e-vn a detta quantità de irne» detta ltga,feugaaggiongerti rame pnrópr* argentò, pur che effalégàVort fia maggior chela ni.ggjar drile date leghine minore , chela minor delle dette kgbc,perche e/fendo co/i farebbe Hhpojjibité tdle tompofitione ma bifogna, thè delle dotte leghe alcunafia maggior, et alcuna minor del* Ulegj,thrrkercomo difare,et metter le differentie delle minori dótte al la lega,cbe vo temo, fatto le maggiori leghe della no fin legai et la diffèren ria deile maggionafia detta nofira lega folto le minori, et tutte gionger ti infici):*, et poi dello fummo fattóióigiriremol t quantità, ebevolemo,dq (i facciamone difotto yedetafi per effempioi '*•*? iKiVtU t iti'rtAAri COme fé voleremo far vna lega de onc. 9 , che fufie a pefo L.roocfe quefie 3 leghe <T argento,cìoè de onc.xo.de onc. q, et de onc. 5 ,altho ra Jottfa la lega de One. 9 , che volemo fare della lega de todatta mag- gior della nofira,reflarà 1 , qual metterai fatto alle minori leghe della no - ftr a, cioè folto al $, et fatto al q,poi fot tra le minori de pjia è fio 9, cioè 5, et 7 reflaranno q,et 2 , quali metti fiotto alla maggior de 9, cioè fiotto la le- ga de 1 o, et faranno onc. 6 de lega de onc. io, et onc. 1 de lega de 5 , et' onc.i de lega de q , che tutte infieme faranno onc. 8 compofle de queJU 3 forti de leghe, ma noi ne volemo £.1 00, adonque diremo per la rcgoUtdn ìfieL.i volendo L. & non onc. mi danno L.6,dc lega de onc. 10, quante L.mi daranno L.xoof multiplica 6 fia 100 fanno 600, quali, parti per 8 ne vengono L, ji,& tante L. bifognerà pigliar di quello di io leghe , pai dirai fe L. 8 mi danno L. 1, de 5 Ughe,chemi daranno L.too, muftì- plica, tìr parti, neveniranno 1. 12 -f , & tante L. piglierai di quelle di j leghe,& tante altre di quelle ditcgbe q, che faranno L^oo, coma fìlpropofio, come vedi difotta. e ** - , ■ ' qt' \ uefito terzo. : «nrtbatvo» &*}* ,àl~ Libro Qaintoi io 7 ■ .oriBupoii mV**: +*J%h'tnT U L. i 2 ~i~ de leghe .«ni • h iiV.‘.u>4 H’.V a\ • ‘ ' - l. too, de 9 leghe": » , i • lega de 9- ' mn'llio; «1.9 ‘ oò.i Aj , r.v ■..•jfe «yf.atiaboi lUaVtli. ^ivu j a\o»1t fi ;H\tj Uj A Si . oìp^V1-. »•*•■*»•>. - * : » ' ■ tv 5 I io "4 1 V-'’’ %?A ’ %’i' w' ' ^ V***° ’' "n -- g ì'x\ , . : Vl> ’ nv«l«r' i < > > ©*•*• t-, ^ in o^.A ,«".1 vvij'.vi.«'wt>\v.v’ :>s\ *»v u.oo li'- >;• Jj , -t- à tre « xav.. 3» ptu .} •> ' ' al» i iii.iMtr’j .v/jt; •’ v ». ■ ■ . • « i .. ai fiun*. t'.c ilii .-j- O HiHO 'il. u/ 'i là l ■ ^ «• ■ i « - S* \ ni « > ■ ••*> ->1 - \ ^ fe 8 mi da € j i o o .A,~*w»»$ vi^ 8 /«mani . "» •* ~ *iaf •." 4 ; ■■' > , i' »••• ; 1 i ■ .. ..— .1 ,1.1 \.-\ • l. n ut . Valili» „ >>V.'. ifi/r;. -i-ì. '1 j I }r i *'*. 1 8 I <J o o t l*i 1 i o o «mini 4 r .<* I - 9 1 « * i Ciò A » ’*• '■ '*> * “ * U, . - v.JnX ? 1 * T . * V f 6* Ì‘lb. "X Vii i>.V >1X.' 7 5^1»' I'i'< r f 4 nàtali o£|». A r,J*Taù"?\v vm.', ,o8-. \ i‘o> •.i'“|'^-n.-i*40\ ? L1 ■ 1 . 12 4 12 Ctln\ iV\ II 1 ,-•• òiwii 8m - .’■ - \vAhv.» , .1. '1 I • *■'•»' ? I HOC ; .. A ,.. Li 1 o O f. , ' ' ‘ -• I. < ;*-5- '\ (dui -j- 1^.1 • ' ■ v . s i*ti , - vH'm «-■••« oc* y olendolo prouare multiplicaremo L* i oofia la fuaìegd , eiolpet \ 0 wu. 9 faranno onc.90o>et tanto donerà efferii fino del altre partitadout : , y qurmultiplica L.71 fi* io fanno onc.j$o, et L.ì2 fia+-j fanno onc< 87 £. la -} j fanno onc. 6ì 4* yvdfi 7 produrti inficine ag~ giorni fanno onc. 900, & cofifarai,et proturai le fintili anebora. — Et cofi.offeruarai in componete ogni forte de ori argcnti,et altri metal ? 0 '' 4 1 : lii anchora ferne quefla regolala compofitioni de fj>iciar ie , dr altre mer+_t tantie fecondo la yalnta,de ciafibaduna a fame tante L.cbe vagliano to- mo determinato predo fot tofopra,et cofi adiuer fi forti de fede Unetet for . mentiy ogli,canelle peuerejgarofoliiCome per effempi tegnenti veder ai. . r f ? li Qge- laT » 2 / - 460 3 onc. Quefito quarto. [T "polendo de diuerfe date quantità de diuerfe leghe date per l'ag- 'giontq divpqtpis\o ridurre tutta lat fo mma delle dette quantità aa ■pna determinata lega , come fehaueffcvtp f.yo da leghe 5 d'argento , et L.60 da leghe 6, et L. 70 da leghe ,7, e( volejjemo aggiogerui tanto argen tode leghe , de onc. 1 , che mi faccia tuttala maffa a lega de onc. 3, quella regola è compila dalle altre prime règole ficaia alcuna aggionta, a queflo modo.per la p< ma regola }) multipla ciaf cuna quantità nella fua lega, cioè L.$oin 5 farà 2$jd,& L.60 in 6/ara j6o,& L.70 in 7 farà 490 quali produtti aggiongi inficine, faranno 1 1 00, et quefta fumma parti per la fumma delle dette { quantità , che èL.i 80, ne vengono onc. 6 -j-, et co fi dirai , che'la lega eompojìa delle 3 dette quantità d'argento farà de onc. 6 -^-.dappoi per lafccondaregola dirai , io mi trouo due majje £ argen to,de quali vna è di legefde onc. 1 , et l'altra è di lega de onde 6 -Jr> cioè per L. voglio far de quelle ducforti vna maffa de leghe de onc. 3. dimando quante L. ne pigliato de f vpa j^et quante Loie Ijaltra'n & òfieruundo il modo della precedente trotterai, che prima della lega de onde 6 -f- fi ne ricerca on.i.& della lega de on. 1 fe ne rite**a-onc. 3. ~~ , onde arguì raiper regola del j/èpnf. a , ’cipè de lega da. 6 y- ni vpleno onde j -f de leghe de onc. j , che vorrano L. 1 80 .multuilica 1 80 per 3 -J- faranno |l 3 ò 0 5^0 ,et quefti par tip er 1 ne venir anno I,i8p» citante L.de lega vnabi I 1 i 5 fognar a aggiongcnalle L. 180, che faranno in tutto Z..460 deleghe 3. So , Et per prouarbp multiplica £.460 per-% faranno onc. 1 3 80 parti per 6 * 1 % fanno L. 1 1 5 de fino , et multiplica le L.ijteper 6 , et il produtto x o 80 parti per onc. 1 2, ne v entrano Z.9 r -j- de fino,& moltiplica leL-ìiopcr 2 o onc. I ,et il produtto parti per ime venir ado dc\finu L. 1 3 quali gion- 1100 _i_ tialie'L.gi S fanno L.i I %'defino cguàli alle L.qóa-dc j legbe^etcofì * per aggiunger alle Z..1 80 det&gbeó -^.leZ. % 80 de. leghe vna batterti 9i a 80 I 12 |a 80 a3- fttttovnavmjfadrfi.qùQ, che farà dckgadeonc.t'perL.&rilrolindo [*• per quanta fitrààlrjpte fo^rU-lo 1. 1 iydefi>^ ,/tbc fono nHlc dette 460 dc.lrgbef dalle dette L.afùcì ftslorcuto L. j 45 ,ct tpntofarà il rami fc 'ètcofifaraincUiori,et alttcèofe,ccmrinfigHradiftUoapparc * yr.w yv&u <j : ita*» v.v'VvwawA • L. Il 5 'jC.py.tftqwt U br.Utf''. . ... ... 1 > 91 t ili A vs.^rrA i\ •jV'ii. .itc\ i.v\ ;> owùsx*’»* *3 5 .-3n£> **4T * libra! <}unit6I. 208 /\ '«* ? 3 -*• i danno, fi * I t> -i- b .» * i 8 o 3 4® V . A V n t» c 8 : j 8 o 2 8 O nix 6 o de 3 .leghe 3 ■ - — <3 o. rr^~j — r 5 6 a-...:.. ,lTi t,j!8o i8oy » 8 O’ dì lega *na J L.x'i J 6 3 2 0 I I 3 | 2 8 O L. 23 I 4. 1080 20 ìiftiupolibup \IIOO Z.p.-f 3-h ; L. 1 1 5 » - V 1 IKH . . : , i r 'Et fe i/i luogo di argento di leghe di onc. 1 volcfli aggiùnger rame , ae- tonnnodcrai la lega di onc*} , fotta la /piale metti la lega di o,che è il ra me y & la lega di 6 , <&■ metterai la differenza che è dalla o al 3 , 2nalè ] folto, al'6-~ -, & la differenza del 3 al 6 -J- qual' è 3 folto 1 o notata per il rame, & arguirai , come nella precedente dicendole 3 .de lega di 6 , ne vuole ) i- lega dii rame , (he vorranno 1 80 .multipli ca 1 80 per 3 -jg- faranno 5 60, quali pani per 3 ne vengono L. 186 -f , & tante L .di rame conuerrà arviongerli. [ So multipli- tate per 6 et it prodotto partendo per 1 2, ne venir ano L.qì -r » co- mefUpropoJto. * \ , - 7- iiéntev.-j'! &rò\Ui\attY v> «f -'r ;- Vi . . *wo.jiV ■ IWlTV.vh 1 £ III] 211 JQ. :\*i 'muli.'. W K- ’ • _ ' VA ?*ì V. . ■'••■'• 'Wi . > ÓVi^V H c» n\ t ih‘m.V.Vy 4 ** -m . ,ìxì\ A- 8 1 niuivj 'Ìi'.Aj 1? , * .1? 3 H" M Ol .1V\ ' <V\<iV.::f\l\ . '\j.[ -l\ ,1t fe x I mi danno } -J- 1 che daranno 180,. i-j* ......... 3 T , ,1> V- K- .■: prit I ; j « . ’ j »ic 1 i.iV >. 5 4 0 : ini. ;/4 ,01 VnVv . , ^.■>«0 o'.uA'j 1 <71 l 6 Q \ j,Ai 11 ' \ 01 .imo ».iU^;\u:a i'i , y ? i ' \\' . c< \\ hv.*»uy«'T ìs c rv ■ ,y. . *1 . ^ : 5 h'.t. ri. il Lì5'’4 9 un, usi ni\V' . ' “ii. V. ■ . l-Tlt fl'M'JT.'S V prona .C£XiÌr » 7°° i s . I L.j $ o argento puro 180 180 ». 6~r l. f 3 o onc. 1 o tri f 3 > 0 1080 10 J £.4 4 1 -f- ta I 1 1 00 . ' A \ ,-A- 1 s mima ’& Àtavi I Z. 9 1* a^Q«fr v»*m.uY ub«;*w>Uì\ 4ti lUur..^ ii «V’“ ! - * Timi [mente farai contoro operando per carattipcr quefta regola in virtù delle precedenti . i 5 o 44*-t .* niv nv t i \\ V Qucfitofefto. ) ^i»m\ " y'u •> iIit* iV. wrt vi Ut ,9 V>«E.}U (U-nilIviU fr . ’i....; • , • vi. • •!. •• * r volendo leuar argento, ouer oro da oro , come alcuna volta acca 4 de per veder quanto refla , & di che bontà , ouer lega,offer aerai , come nel quefito infr aferitto , cioè , io mi trono onc. 17 d'oro di bontà di farai ti n ,dal quale ne vanta cattarne onc, io per far vna colana dibon tà di caratti 18 £ vorrei fàper quello oro che refla,di quale bontà, ouer gela farà i Ter far que/h multipli c a le onc. 1 7, per la fua fine-^a , cioè per ai farà caratti 3 5 7, poi multtplìca leone. 10 della colana per la fuafintr- ^a, ciò è per caratti 18 -f- faranno caratti 185, quali fottra delti caratti *5!iP cSS 357 ?C® 1 1 - D^A'rifflrtScfldi 3 57 re faranno caratti 172 di fino, cioè di caratti 14, quali partir ai per 9 7, che rollano a cauar onc. io di onc. 1 7, ne vengono caratti 24-^-, et perche la totale finegj^a non può efferpiu di caratti 24, et quefla fareb ben 7- dirai, che il cafo è imponibile, ilche anchora fi comprende per- che dalli caratti 1 8 -J- fin atlÌ2f fono caratti y ---di impuro, qual mul- tiplicato per le onc. 1 o far&taÀatti 55 , et dalli caratti 2 1 alli caratti 24 fino, gli è di impuro caratti $ , quali multiplicati per 17 fanno dal qual 51 farebbe ddfottrOr Fmpnto della cotona che è caratti f f,ma non fi può, adonque quitto cafo fi arguiffe di impolfibilità . Ma dicendo fortu me, tjdi caratti 21 del quale ne voglio cauar onc. lo,dicaratti io,d infondo di che bontà farà l'oro che refterà . Trima fottra Ioni*, to delle onc. 17 rejlano onc. 7 , poimultiplica onc. 17 fia caratti irffràfiffB Caratti 157, et multiplica onc. io fiaca ratti 20 faranno caéatti 200 , fittali fottra delti caratti, refiano caratti 1 5 7 ,qnàti partititi per k ònc.% che reftomo ne vengono caratti 22 pertiche concluder ai thè Itone. 7 faranno di bontà di caratti 2 1 , et fofifii faranno le finnili,bencbi dlT operare dell' ar tifico potrebbe ejfer ira fusibile , ma quanto alla dfmoflr adone Mathematica la ragion vera. i c i il) ' _ 0Qqc(itoièttimo. .,0,1 :i ; a ; , ET dicendo/! io mi trono onc. t, di oro di bontà di caratti 2 1 et lo voglio ridurre alla bontà di caratti 22, fi dimanda quanto oro pu- ro gtibi fogna ? V • Vtrrfar qurflo confiderò che dalli caratti 2 1 -J- all ! caratti 2 2 gli ma cano caratti -f- , et perche tal proponiate è da pefò à pefo come dafb- ncgjjt a finegja, dirai che -J- fono den. 9 di otte, fi thè gli aggiungerai den. 9. far anno onc. 2 d. 9, Ji che gli aggiongeraid.9 di fino che faranno poi onc. 2, d 9. di bontà di^deatti ia,« quifl* folntioncè brcuiffima , et fi potrebbe far al modo dette altre leghe fatte difopra . Et volendola prouare vedi quanti caratti di fino tengono le onc. 2 4 • dibontà -di caratti 2a> muitipUcando effe onc. 1 per carattil ìfaUn tecaratti £ , et tanto doneranno far diftmramenrc, cioè le tric.2, àrea tatù 21 -y- fanno tarai» 4; £ fino, adì quali aggiungendo It c aratri p1, *ke vengono tffer de fino /a mio caratti 5 2 £ t tome quelli di f «fra, che è ■ifipropo fitto. q ! "*1‘ * Onde bifogna auuertire che caratti 24 non fignificano in qurfli affi pe ■fo ab folate, ma pik prtfto propor rioni di pefo di pnreatf impure, rioègr* dtkdibotitàycmerfmcx^a, ivi r.) -vr;- . ri ìì. \ .s{ir •*.'/- ’ut>« •+),‘u,u ; 'o .ivo vs ^ si '• . . •-*- 81 .vao o’\*. Qucfitoottauo. 2 IO A 0* \Vu* P» Tjièenddfi, tomi trimbL.dÙtJrgeàtb di legajid. 1 1, granì rf,f*r onc.li vorrebbe far di lega di d.za. dimando, quanto argento puro b*g, giongerò., , •• i. > • ••<(• r r ' Untila non è di ferente dalla precedente , ne in numero , ne in moda di operar,, mafokmtnteinqiieflo^be la liga dell oro era per -ria di carattù & quella d'argento \pf? di4^ì,all'onc. onde fatta vna fintile figk. ramarne ntll6prfti4eutI trouer ai,cbe dtn.2, dilegadi d.n grani ij rat leno grani ?,di lega di dcn.iq,ciol di fino, però dirai per regola def j, fo den.xvoleno grani? di fino , che vorranno L. 2, cioè di liga di den. 2 1 , grani ij. farai J? L.2,inden. farannoden. yjf , qualimultiplicaperg faranno 5 1 84 , parti per ddU.-t, ne vcniratm grani 1591, quali fatti in onc. partendoli per 576 , ne vengono onc. 4 -J- di fino,& tanto ne aggio» gerai alle dette L.i, ttfarà poi tutto ont-xì ^ cipì L,x,ent.+ bontà di d.xx, per. onc. tome in figuradifotto vaierai.) uv.noii\U» I ^ OUMUÌU k { zi \\, jnH? .«y iU.M'i, 'Ìj ,!•! >• > 1. ‘ , f.’.V.ì -h .U-M V.‘.nuh {1.1110^ M 1 • >3^ » O’.ofci \ TJK ”5.0^ r '•'■'0,8) il i\)1 V)*v.ULV;'>i!ttiy £i'h >lrt^ t » óan , t/uinut^ rt Otto Jjiif 'itt f. ; nS)Ì "t> j*- O f 1* ittSJ» > ? » van , 1.3,11-m. din.it, gr.i$ d.xdgr.p Mqnii^nv '*tt £ i •is^aon t» Ti?; n . ‘ti, •. “ feX j vuolgr. m J che vorrà L.x 1 •yA v.3,1 1 fi > \ ovur^tc:; ó v . Lui _ ><\ * M ■ ,!. rtU.1- _ . . | 1 Oh £ I ORO no Irti 3} ! * 4 » 4 WH in Vi JVW!n.,‘ ‘ v ;2'f^ur^k 'i '-1 ' • \ fa jlpl 57« i,! jr**i 5^ 4 WdF’É; ii,H 'us,t*‘ ® » ? 1 * ✓ * | 4 4: • A M . di d. I2f per onc. E( per prouar quefto problema pedi tutto ilmiflp,che fono onc.xt f' óUa>}to a}-g^rébìfmfh?nt'ìa i^ipvrcto'f.farannp d.éi J, duali patii \ pi ^ifke ^ènMthà ■oatì'O'-'ti 'àt'pnro,pói vcdUcbr'dèt. i stài onc. xl fah 70 dcjkm\fmfrWiU:2 -f iWftóofWi «V.'S to faimo^t^tff'^tafrpfrti per 24 tie'vmiru)trtò bni.'id f - 1 215 fanno J oo, & queflo parti per caratti 1 8 ne vengono càbatfi rfc'-ff , & tante onc.cra prima, che lo mettefli al fuoco. Et volendola prona r dirai, io ho oro, thè pefa onc.\6 & lo voglio affinar al ftiico tantoché mi tomtonc. r $ de tonta AecurAtii so, diman- do,di che fineoga ouer lega era prima. onde operando per la regola del j conuerfamente dicendo feonc. 1 5 mi danno caratti 20, che Mi daranno onc. 16 — , & ne venir anno caratti tSJi còni f nèUàTprecedente fu fup pollo, & co fi fi far anno, '& ptòuèranno le limili 4 . ... Quelito vndecimo* p « = ET fe alcuno dìceffe io mi trono oro de bontà de caratti 1 $,che pefa onc. j+,al quale gli.bo aggiorno oro, ma nonsòdi quanto pefo, nedi Cale bontà egli f uff-, m,t sò ben,chc la bontà fua era caratti J de più, che onc. del fuo pefo , & bora è ritornato per tale aggionta dibontadeca- ratli 1 8 .pertanto fe dimanda quanto pefaua Coro, eh e gli fu aggiorno, & di quale bontà fujfe prima, & per far quello pongo,che t oro,cbe gli fu ag ponto fu/fc 1 cofade onc.& perche la fua finr^ga ouer bontà era carat ti j più, che le onc. che pefaua , adonque fù de bontà decaratti 1 co.p .5» qual multipli co per fuo pefo,cioè per 1 có. farà 'caratti 1 ce./). 5 , co.de fino,fìmilmente mùliiptico te onc . infiala fua bontà , cioè fia caratti 1 J farà caratti a 1 o fino, quali aggiongo con li primi faranno in tutto definp caratti aio p. 1 cen.p. 5 có.bora per faper quanto tienper ónc.aggiongo inficine lipeft faranno ohe. 1 4,/>.i ,co.de miflo,hora.dico per regola del j fe onc. 1 4 ./>. 1 co. demiflo tien de fino caratti 2 io,p. 1 ce.p. co. che teni rat onc.i rhtfltiplico,& parto ne venira caratti a ro p.i cc.p.f, co. efimi de óhà.i'fyjt co.iloè 14 p.tico: & queflo fati eguale a caratti 1 i,leuo il rotto multiplicàdo iSfiaon.i^p.i co. cioè col fico acnominatore ne ve irifà'nó eaà.2 5 2, flit coeguali acar.uop.i ce.p.s, co.lcuo li fufflui,re Jflerflnp -42 t. cen.éhhe’r^o li co. fanno 6 -J- multipÙdì tSfiféfìhho'J^^-f&’que/h'Uggiongoidl numero, cioè a 42 farà 84 -f dMbngodHk ràditi la -f- , dettelo, fari rad. 84 -~-p. 6 & tante onc. era loro,eheglt fù aggiontd,& perche fù detto, che era carat - tryde picche le onc.adonque era de bontà de caratti p. 11 & xofi foluerai lefhtiìli\per te regole date nella noflra algebra, & volendo la proua vedi fe' tanto bil puro fepdtatamente, quanto congionto , onero fe compartite le quàntità dHpnro fopta tutto U compofito venir à la botta ta de caratti 18 , & tali tfueflioni pcjjòno alcuna volta effer impofjìbili , quando li caratti fufftroftii de *4. - l.ftt. ir; k {Ii DcU’AriitJrwwM •t) , wsQi,in«c v\ S . S 'A • u ^ <co l I CO. oyv.iUftfvV^ >»« *'V»*V • r L • '••'n*>«tt ****** JWjd»,',. '.«ol c*xnotc oi c ■ •* o l . • * * "> ■ .. . , I ce . fu J M*p*rQ 00$ & ,*.q pm oof. M f «%. c VkWal^*0>\ ■> . "o w-i^ t.p *?/• ’»■»*•> • ;■> >"■' ;„. m 'Q**' 1 «ff i Pr f w u\\» »imnb(ouno% iiBytól i MIMI. J USI 3 < t ° 1 ■ ‘ " 1 n . b«. !*,.£, » CQ* £#^<t 5fr ri.0^ iHultiplico in croce per leuar il rotto' fari caYatti a 5 a />. i 8 co.egualia car. zio p. pce. p. J co. a i o #orr pDDay 03 fl o ux a'.ìtì { i\v al^QWO'rtm oii^ntb onui\t> riy f ’JT rilavo 4 2 ù. x 3 co. \ ce. Ume^t le co.finhot-lfr & (juefto quadro fc“^ ** — ' flW rà Sa, & alla rad. qual aggiungo din fidata. b\oi i iftjA o\rKHjv- i ntor~*a1»tiivi:ftaVj i\ aa^wo^u , «mtfcnSfa/rittt&afó'Wta? n Quefitó duodecimo. V» %T ^orefice belbt oro di bontà di caratti iq^che pefyuqotfc. *0* <Jp A ne pigliò vna parte di que fio & [affino tanto , che ridotta alla bontà di caratti t &.poi la fundi col refiantti ^cofivlfi^.fn/af^ dì, boutade, caratti li, fi dimanàaquaflle Mc.pigfiqdftlic dette f»f.40* & quanto fy la mafia de tutto cofi tingo , (etr^afiftark di tmacotf l aggiunger oro . •< . >c .. \$ ! a»o« Volli adottque, che lapaftc detratta f»!fc\ ffU&PWpeJkk tvi'tf W alla bontà de taratali ponmkMM^mA^^^ùik^^X J<SlOj di H>'& ljfonl?Qfmr*ir{kf p^àgnio^c.dt^upk^md^i^-^e Troika mz^tmfrt mi adunque fatto WtA quello * * MNf qme TaultiflicMne'VhfiiitMdm WAfi CO.de oro fino* fimi mfifiiipl'mofa;^ icp.#:frfW«aQ ,. ckfi. pa Iq. fi vàe&dl? .«W&f t<x4c* fica bon^ajarantifi catoni. \ TÀ caratti 8pQ ,p. ì*cq.d9,Q*<M 8 §0 ypt66^o.caraifiJ<itttqlwt1*\ freo. m cioè dutte in a 4, che fanno 7 a .le 66,cfy*eth „ refi atto 80 eguali a € co. parti $0 per 6 co. ne vengono 0 nc. 1$ -f-> & tante DbrwQitónb'I1^! ut tMkte ItH.ffoto iettine delti ohc.^o,& pceehe fàpofio,the tutte leone, fk/fero la Valuta dell* co. fu 1 3 -s- de puro,adonaue j cd.valena ertelo tdonqueloro puro, tir jfrnticbe gli fu aggiùnto, fu ditte onesti, j- cbeiktt» Infiem fa one.Sà decaratti z %,ciòl tutta là muffi, &tdfi fìttati Irfimiti , & vrxz’fintlletoeite PrdtelàcdJitl trattato di qttefia materia ma la [ohe con maggior difficultdiet f appi , cbt tMó Vale n dir d.i^per drtc.d' oro, quanto de bontà de caratti ij.t'opcratlottc in figurai lefèguf* tfyonUfnaproHdJòtMÌdrìgadiflmgitente.' > òt " •l:" .A . . om«»\ tini 2, .1 M Crfy.t Vj «aVti^ uw- •\i" r; ' ' hi '«<"5 tn\ ù ^ hi* ►mV'. *\?v.b'jOTyif'v c t'-- #***”' gn.fo^J's ao: «*»•'*’ 1 m vìì; * ? 0»C. 4 O p. J. CO, 4 O caratti 2 % .10 — — * — > — ^ '• c* ‘ ieaMtr 44 ù p. 6 è co. 1 9 o o p. ì ed. ehi (fthitttt- ‘ ni ».TW U I 8 00 ,,fuv * eguali a 8 a o ^ co. caratti 6 6 6 coA fSo1 » ? ^ vai ^ V ‘ u multiplka per j oro ,/foì» •;i4 ;/&r# ow.4' 0; v che gli fi aggio *»1 wrr. i g •- rtr. 4 ». * 4 f ? fv< 1 f v<l «,o<> r a o I j -f cv 9^a J&# \*« ■ — ..4. i .*>; *,<•* # \ ■ ,«-w* .in-'Vì • « '\'.iy J 2 O * 1 ^ l1' J li'** -* 13 + , '2 <3 <5 ^ ■ * ■* • • <£ <3 131 *' — *■ caratti ua6 f 9 6 lift i40 11 fa a^ -A w; 1 2 i 6 etmani i *» 1 * • r> \* fumiti cor. 1 760 in tutta la mafia eguali cor. 1760 mafia fatta 4* Orto • : i>. - 1 fc volando franar la fopr aferitta ragne, otterfnfhojfrhim vedi *• /* s * DcH'ArkhlftetìcO fede ortc.l 3 -y- de caratti 20 infime ^qu le onc. 40 di finn fpinpi*#*'. df fino, quanto le onc. 5 3 -f , cioè Ufummadii} -J con.anmultipfad\ to per onc. laonde trotterai che onc. 13 detratte deHe onc .44, df Mti ratti 20 fanno carditi z 66 -{• , <3“ le onc. 40 di fino fanno caratei 9S0, . c/>« gionti con li caratùx66 y fanno cerotti 1 1 26 rp, tanto fanno, ancora le onc. $3 -\-multlpluatc percaratti 2 3 , poi moltiplica le onc. x6-\- , ebereftorno per li fuoi coralli io, fanno caratù 5 j 3 li gionti aldi caratti 1 2 26 fanno caratti 1760 in tutta la mafia , &. tanto fanno anchor le onc. 80 multiplicato per caratti 22, cioèc. 17 So, & cofi è prouata . . r ■ Ma Je la prodotta proporla diccfie*che ne prefe una parte, & t affino al fuoco, farebbe flato proceduto per aìtrojnodo , fi come dice la infra - fcritta,qualè di Frate Luca a Carte 1 8 yr • Quefito decimoterzo . IO mi trono onc. 100 <T argento di leghe 7, ne piglio vnaparte,& l’affi- no al fuoco tanto che tóma di leghe 1 I» p-j cofi raffinata l’aggiopgo al reflante delle L. & ritorno iotutto cofi aggionto di leghe 9 , dimando quante onc. ne tolfe,& quanto peperà tutto Cofi miflo infame . Et per far queftoi pongpi , che ne toleffi 1 co. di onc. fottfalo delle onc. \ooveflanooncApb,m.\ co. &perchel co. di pepo di 7 leghe tornò a lega di 1 1 ,' VÌdi quanto farà tonnato apefo, onde dirai Per regola del J conuerfa.fe la lega di 7*. mi da onc. 1 co. che mifiara lailcga di IL. multi plica la prima nella, feconda, & pqrtiper la terga ne venir à onc. £-co. a pefo,& (jueflo aggiongi al reflante,cioè alle onc. 1 00, m. 1 co. fottr andq fL.io.de i co. farà detta fumma onc.ioo,m. jl-ca.xr queflo ferua per p'arìitofe Tpoi multiplìca ciaf eh aduno pefo per la' fua lega, cioè leone. 1 00, m. iml. per 7 tarà.joo,m.7 co. & multiplìca -fr-co.per 1 1 faran^ no p. 7 eo^jqali aggffiggf alle 700, m. •pto.faranno 700 a ponto, & quq fio parti per il partitor fcruato,cioè pef iop,w. rf-co. farà .700 1 fimi Jxxoo, m.^fr-co. che flarà cofi 700 *5 f Et quello farà eguale alle onc. 9 ,.£benedoueua venire di fittela , ouer di lega, leu^ancora iL rqtto moltiplicando iqo, to; -^rco. pcr 9 oac.ne vien 900 jn. & quèflofarà eguale a 700 kualìfuper- Jlui,cioè 700 , dÌ9Qor(efia 200 eguale ajLtf so. parti perii co.ue vieti onc. 61 -f-, & tante onc.ne tolfe delle onc. 1 00, hor per faper quanto pefana tutto Uinifìo, dirai fé la lega di 7 mi daonf, fri, -f- , che mi dar a i -S- . Libro fQuìritb lì è 1 3 Ixle^a divi eortuerfamente operando mi darà a pefo otte. $8 di bontà di leghe 1 i squali aggiongi al primo reftante , cioè alle o nc. j 8 -f- fanno onc. 77 , & tanto pefaita tutto cofi miflo ,fi elv dirai , ne fu > no tolte onc.6 1 -J- , & torno in tutto onc. 77 -f- cofi miflo ,& cofi farai le fimili P ' 1 Et V ol'èndolaprouarc moltiplica le onc. 1 00 per la fu * lega, cioè per 7 fanno onc.joo.mùltiplica poi per le onc.77 J- , che rimafie. tutto cofi mi fiófienga aggionta d'altro metallo perfua lega, cioè per 9, farà ftmilmen tc,onc. 700, onde fi conclude la detta ragione ejfer veramente conclufa. Qùefìto decimoquarto del medefmo Frate Luca . , * ,, , 1 *-%*< *. * • ' j VX? orefice fi troua onc. r 00 d'argento de leghe 7 , & ne prefe vna parte, <Jr l" affino al fuoco tanto, che ritorno de leghe 1 1 , poi dette quefta quantità cofi affinata ad vno fuo lauorante, & effo la fondete per tal m odo, che ne fece one.i 00 infime con quello auango, che gli re fio de onc. 100, & rimafetuttode 6 leghe, mài’ orefice fapeua , che non offendo ingannato dallauorantedoueuaritornar tutto cofi miflo de 9 leghe , mà glidggioàfe rame,dimandafì quanto argento gli robbo il detto lauorante è Etp.etfar quefio, bifogna prima fecondo il modo della precedente tra uar quanto ne tolfe delle onc. 1 oat il detto orefice,accioche affinato al fuo- co,& ridotto alla bontà de leghe n,& poi quefio aggiorno al reflante del le <mc,* 00 faceffe yna lega de onc.9,ondefrouerai,che‘i detto orefice per la precedente ne tolfe onc. 61 ±,& quando fuaffinato,& ricotto a le- ga de 11 torno onc. 38 -y- le quali dette pelle mani del lauorante, poi per fap'r quanto ne rostro il detto lauorante'dirai cofi , ja >ni trono argento di leghe 9,lo vorrei far di leghe 6, dimando quanto rame io gli aggiùnge rò,' ondi operando al modo detto, trotterai che onc.6 ali 9,ne volcno onc. 3 dixame,outro, che la mafia di onc. 9, ne vuole onc. 3 ,di rame, adenque la mafia di onc. 100 ne vorrà onc. 31 -j-. di rame,& tanto rame gliag - gionfe, & queflefollrate di onc. 100 r filano onc. 66 , & tanto refio cofi miflo di onc. 6, & perche quefio douyta efiere onc. 77 , come 7tell4 precedente,adonqfterobbo tanto argento quanto manca dalle onc. 66 -7- fin alle onc. 7 7 -J-, che: (itone, n , j&- tanto argento robbo draghe 9,p- alrfiiante aggionfe oye+i ) 71 di rame , che con le onc. 66 fecero fipc.ioo fatta.,:. d: . , M ' v Jft per, farete >pMU*brejtemente» pedi fele onc. 6 6 -7- dileghe g infie onc tonde ati$.l l-y- fitnilmente di leghe 9, che gli robbo fanno tanto di fina, quanto fanno le onc. 100 a lega di onc. 7, <&■ trotterai che ciàfc.tna Hhh di Deli' Aritmetica di quefie parti fep turatamente otte . 700 di fino , come vedi difetto per operai ione , onc.61 -\-tolfe delle onc. 100 a lega dì 7 , il quale tornò ««•38 -y- a lega di li. ioo 6 I c; recidane. 3 3 -J- 3 8 -f o»c. 7 7 f 10 _ìt. 6 6 ~r fc 9 | mi da 6 | 1 o o 6 onc. 7 7 *| ~ di 9 fottra 6 6 -y- 6 o O jl_ 6 6 1 onc. 3 3 4 aggiorno alle onc. 6 6 — de fighe 9 per farne 1 o o *6 leghe . rejia onc. 1 1 -j- di 9 leghe che fu robbato . vt onc. 6 6* £_ * oirt. 600 /roo wit. 100 fino onc.' 700 Trotta onc. 1 I 4 9 * onc. 100 fino '*J • } - . ^ fi | eguali alle onc. 100 7 ’» - ' 700 tirtwi&VlVnSiìl Quefito decimoquinto. IO mi trono onc. 20 d'oro dicaratti 16, ne voglio cattar onc. SÀifidOo dimando di che bontà , c/oè di quanti caratti rimarrà il refiante. Ter far qntfla moltiplica onc. 20, per la fua finc?pa,ouer lega, cioè per 16 farà car atti 320. poi muli qlìca le onc .8, che voi cattarne futi* fua finrgpp che è car atti 24, fanno caratti 1 92, quali fottratti dalli co- rattiy 20,reilano caratti 1 2%, poi fottrale onc. 8 dalle onc.2orefiano^ onc. 1 2 yonde partirai 138 , per leone. 12 refiatai ne venir anno corona 10 -j- , & di qurfia lega faranno le refiante onc. ì 2' » la prona fi fa- rà moltiplicando leone. 20 di caratti 16 faranno caratti 320, &po* mulciplica leonc.12 reflanti per la fua bontà, cioè per caratti io -y ne venir anno caratti 1 2 8, & le onc. 8 « che cauafii di fino fanno caratù ■ • ' • V - - i • 19** Libro Qiiintò;. I 214. 191, quali giontìconli caratai 128 fanno caratti fio, & tanto feceru ancorale onc.x o*. multipli cute , per la fua bontà , cioè per car aiti 1 6» che b il propofua , & così farai, ter pr onerai le fintili . v 1 onc. 20 • ii otte. & arte, x » 16. » 4 onc. & — 320 1 caratti 1 g 1 1 % X 9 x X I i 1 8 _* 1 o » prona onc. 1 2 1 o caratti 128 t 9 * f aratti j 2 o' da caratti, l o -}• — o«. 8 * 4 192 onc. 2 o caratti 1 6 caratti j 2 o Qucfi to decimofèfto. IO mi trono onc. 1 o a’ oro di bontà di caratti 1 8 fio fondo con onc.i $,di rame, dimando, di che bontà farà tornato f1 Ter far qui fio . moltiplicale onc. 20 fia la fica bontà che è caratti 18 faranno caratti i6o, & t/ueflo parti per liuto, iicongìonto , chefà 20, con ij, che fece 1 5 ne ucnirà caratti 10 J , & di tale lega, ouer bontà farà tornato, fatta.. La prona farai moltiplicando n fia caratti 10 -7- faranno ^60, fi come fece le onc Xo fio. li caratti tS > perchcle onc. I J , di rame fono di lega di nulla, & cofi intenderai le fintili . Quefito decimofèttimo. IO mi trouo onc. 20 d'oro, ma non fa di che fine^afia, mi y>i aggiùn- go onc. » 5 di carata 1 8,dr in tutto tornò di caratti 1 4 > dimando di che fine^ga erano prima le dette onc. 20. Ver folùer Ifttcfio quejitoyia mulupltcherò le onc. 15, fia taratti 18 H hb 2 fanno r DcIFArithmcdcà ! fanno earattì 170, £r qucflo feruo, poi multiplico la fumnia delle onc, che fono 3 5 per la fua finora , cioè per j 4 ne vehgono caratti 5 10- dalli quali ne fottro li caratti 270 feruate,reiiano 240, quali parto per li onc. ao, ne vien caratti ii,& ditale bontà erano Le onc.ro, fatta. Trotta multiplicando le onc. 35, per 14 faranno 510, & tanto faranno le onc. 1 j .multiplicateper caratti 1 8 , & le onc. 2 8 multiplicate- per caratti 12,& giorni liprodutti, come vedi . 3 5 4 onc. I ; onc. 2 0 1 4 7 1 8 1-2 4 9 0 270 caratti 2 4 o-- 2 0 240 J I 0 5 1 0 s* 1 At t I Quefitodecimoottauo. 0 mi trono argento di leghe li ,al quale aggiongo onc. 4 di rame, et tor- nò tutto di leghe 8 , dimando quante onc. eraprima il mio argento ? Ter foluer quello fottra leghe 8 di leghe 1 1 refìano leghe 3 , poi mul' tiplica 4 fia la legadi 8 farà 32, qual parti per ildptto 3 differenza del' le leghe,ne vien onc. 10 -y- , & tante onc. era il mio argento fatta , dr coft farai leftmili, alcuni lo folueno per la regola coffica,laproua farà facile . lega 1 X lega 8 lega 8 4 refla 3 Ugw 3 1 i * 1 * 0 i ti Quelito decimonono . IO mi trono onc. 12 d'oro de caratti 12 , & gli aggiongo oro ne sò di che fineTja fia, ma era de tanti caratti, quante erano le onc. che gli aggionft,& è ritornato de caratti 16, dimando de quanti caratti era quel lo, che gli aggionft, & quante onc. vi aggionft. Toni che l aggiorno fuffe 1, co.de caratti, adonque aggionfe 1 co.de on. bora moltiplica l'vno,cr l' altro per la fua fine'gjji.il primo farà caratti fecondo farà caratti 1 ccn.giongi infime ejfi cKtatti faranno 1 4*$ p. i* A Libro QuinitdJ 2 1 $ fjtyCtlt.iapàrttr per la jumma dcpefi,qual‘è lt,p. ì,eo.& perche quel lo, che ne viene farà eguale a caratti 1 6,lcua il rotto hauerai 191 p.ìó-, eo. eguale a 244 più i.cen.fegui la equatione hauerai 48 ,p. 1 6. co. egua- li a 1 cen. dimena le co. fanno 8. multiplica infe fanno 64. giongiti il numero farà 111. cauane la rad. farà rad.11 7, & aggiongi lamelle co.t rouerai, che la co. vaierà rad. 1 1 t,p.S,& tante onc.viaggioh/i, & di bontà de tanti caratti, cioè de rad. ut p.S. ' La prona della fopraferitta que filone fifa cofi,cioè multiplica Poro ag- giorno per la fua bontà , cioè per rad. 1 1 2 , p.% fia fad.ii 2, p.S faranno I yó,p.rad.2Ì67Z olii quali aggiongi li caratti de! primo, cioè sfanno 320 ,p.rad. 2 8 67 1 de fino, qual parti per lafumma delli pefi,cioè per rad. j 12 p.S gionto conleonc.it che era prima, hauerai detto partitor effer rad. ut, p. 20 ouer per dir meglio to,p.rad. ut, & per ridurlo a vn no me folo multiplica per to,m.rad.\tfuo recifo ne venir anno 288, multi • plica anebora 3 top.rad.66qt fia detto recifo,fara finalmente detrattele quantità fuptrflue 6+oo,m.rad.}2iit6+ da partir per 288. Et perche quejlo recifo è de quantità rationali lo potrai partire fenga ridur 2884 quadrato, cioè partendo prima 6400 per 288» ne veniranno ai_i. poi cauala rad. dell’ altro nome,cio'ede 3211264, & ne venirà 7792, qual parti ftmilmcnte.per 288 ,nc vengono 6 ~ quali fottratti del Hit -ì- reflanno 16 caratti, come fùpropofto, & co/i farai, & proucrai lefimili. . Et perche fupponemo,che quando illettore farà aggiùnto alliqucfiti da- effer rifolti per algebra habbia imparato li principi!, & regole di Mge bra,non perderò tempo in difponer tutte le operazioni, che fi fannoper tale folutione,perche hauendo con parole a baflanga fupplito giudico tale fa- tica effer e fuperflua & difficile ad effer Jlampata, ma Ci altri primi quefif ti,che fi folueno jenga algebra fono po/li per commodità de quelli, che non hanno imparato algebra, & nondimeno reflar anno fatisfatti nelfoluer li cafi più occorr enti, & per confequente più facili , & tale coffume v/are- mo in tutti li altri trattati, accio che li fludiofi, & pr attici non refiino di far profitto,anchor che non fiano inffrutti nella algebra, che de tali fé ne trottano rari angi Tariffimi, fe non fono d ingegno più che mediocre', come dice il Bombello Bolognefe , nella fua amplffima, & fottilffima opera d'- algebra. T • t • “ .. » r • k , f 1 Quelito vigefimo. IO mi trouo argento de 4 forti, cioè deleghe 11 de\ode9,& de 6, io voglio far vna quantità de leghe de 8, et voglio , che gli fi* dentro L. ~ 20, - ? ' Dett'Ari&mtt&ri IO, de quéi* de \o lcgbfi& tutta la quantità ouermafdfin dèh. TOOtf dimando quante L.pigliarò de eia j caduti a. delle altre . Ter falucr queflo quefìto,legar ai prima quelle da tl dey &rde6,ca* me vedrai quitti in figura,#- haute ai a moda detta, che L.% rnifte dele- ghe ti, de g,& de 6 danno L.a,dt6,& L.z de 9» er alare L.z da li .poi legar ai quella de 10, e. in quella de 6 , riducendole alLadctU lega de 8 « modo detto hauerai,che L.z da 6, et L.z da 10 far anno vno mi fio , oun mafja de L-.+da leghe 8 ,et ione vorrei L.zo da leghe 1 o,adonqueper la equahtà della proporzione batterai antbora altre L. 20 de leghe 6 * cbt faranno L. 40 quali [iterar ai delle L. ( 00 refluiranno L.60 Intra. faraiyco me nelle altre dicendo, fe L.S mi da L+ da 6, che mi dorano L.6o\operV(f et ti daranno L. jo, et perche nel altra lega gli ne volfe L. za per campa gmrlo con le L. 20 deleghe \o,f or anno L. jo delega de 6 fai. fimilrncm- te per l altre dir ai fc L.% mi fremi danao L.z, de 9, che mi daranno L.60 opera, et ti dar anno L. 1 5 ,& fe L.% mi danno L.z da n, che mi daranno L.60, opera, & ti daranno parimente i.i 5, ohe conle-L.ao deila feconda limatura de lega de onc. r o faranno in tutto L. r 00, com4 vederti anebedi folto in operatione, fiche Infogna legarli in due volte, Infoiando fuara quel la , che ha vna determinata quantità de L. & legarla, con- vtàahra, per fe come vedrai. 8 * *!,» 4 o li. 3. o da 6 L. I 5 di 9 L. I 5 da il L. 60 L. 1 » o I l } da 9 L. 50 da 6 S filò 0 / » 8 | 120 I 1 * . L.z o da 6 ~ <j 9 ao IJ L.z o da i_o 1 » I L. 1 0 0 in tutto da 2 ~ 100 onc. 800 dì» prona fi trottano eguali 10 jo _6 6_ no 1150 onc. 80* T* I Iifaié-Quinro. Quefito vige (Imo p ri uro. Z16 0 m unito ficcar 0 da fol.n la L. garosi di fòl. ]*. [andati raffi d a Jul. z^macts da /0/.14 noc* muffiate dafol.io Ramila da folj6l)&’pe perù dafol. 12 , joi'^erusda jol.i 1 la Li &■ io vorrei fare L.^otbe fpectcpefle, & metteruidentro de ciafcuna detteforti, cJìc fotte fopra nifficro fui. zi la L, dimando quante L» pigliare de ciafcuna fort&dc da» te robbe. ' Ter far quefia farai almodo in figaattrdifopraytioi metter ai>lif. \2i valuta commune,& fatto lifuoi prectf , come fu fatto neUeleghcéargm thfàr ori, tir ponirat le dtffcrtntie del 22 alti maggiori del 21 fotta olii minori,& le differente delti minori fotta limaggiori , poi giongeraiinfie me tutte le dijferentic,tìr ne farai v/t corpo qual propovttonotai altcL» 50, come vedi difot to. OJlbiip I Q 8 * Z 4 DeirAnthiìietica Onde piglierò L. 6. pie Jòrte diqwelli thè fono ntaggiondt'precik di fax 2, per lira, cioèUi /.? i , fi lùòf.aó > & j. T^,,£toi.nt piglici ri*f- per forte di quelli che fono minori M prato f, 22, dai: de f. 20, f. lùiflt,etf.l I» per lira , & f fati a % . r.rn cUu.v.ùii .3 ' (7sk j sEi, per prouarU, mnhrplkherai cìaftukafakteper il filo pnecìo, & do ueranno far tanto ghuic infime, quanto fatino tutte le £.50, de rniflo <r f.22:U lira, che faranno £, $ j,j/c ticr>ari9& Untò vaieranno^ multipli cando elafe una forte perfc%&. poi gkmtc infime, cioè. £.6 -'*U-Per fr» Z. 5 &ep*nlttnt*oriprccij+&: poifmvati, & cgfifi faramto 'U fi itili. \ "KTTfoha^ forti de fomento, dot de 5 prectj , ne ha da fol. 3 2 il fioro, V da fol. 36, da fol.}8,dr da fol.^z,il Haro,& ne vorria pigliar tan to de ciaf chaduna forte , che faceffefiarà 80 , che venijfc fotto) opra fol, 3 7 il Raro. Dimando quanto ne pigliarapcr ciaf chaduna forte. • Trina metti fopra il predo, che voi far, al modo della precedente,che hfol.i’j,& vedila differenti* che è del 32 al 3 7 ,che farà j quale metti folto alle maggiori del j 7, cioè fatto al$$,& al 42 fimilmente porti la dif fercntia del 36 al sfotto al detto 3 6,‘& fz^jtoi pvfmutatamcntò - metti radifferentia del 38 al 37 fatto afj z,& 36, perche fono minori del}? <ièè 1 ùmilmente la differenti* del 41 al 37 che è 5 fotti le detti minori prectj, haucr ai fotta ciafebadun predo i,& i,che fanno 6,& perche fo- lto 4 prectj far ano 2^,&,perche queflafumma vorriaeffer 80 fior a, però dirai fffiara ìJ^mi dantto 6, che ni daranno. 8 o, opera, ti daranno flara 20, £r tanti fiora doueria pigliar per ciafcbaduna forte delle dette-q per fkrne flara 80, cbevagliadofottofopra fol. 37 per flaro,eome vedi difetto j poi farai la prona multiplicando ciafcbaduna forte per li fuoi predi. fe fa- ranno tanto quanto flara 80 multiplicato per 3 7 farà giuflo,éffofi farai leghe in ogni altra forte, come vedi nella fcquente operatione. vi s klv* irv. : .0^ Quefito vigefimofecndo escili *>• 1: : . Le > qv ì 7 V • n» -Wb •u-'5?‘y\ j -,ùN oW^o'i i\ tvròt i\ $.000 12^ :A <2Uoi i‘ci\ I 4iS{v«^v.vk ‘Wt'jttVf *jm r • V* O’tv'oV 4 «WlVh'sA Libro Qarntò^ G 217 n^/nT ’. >*r>bS\ . V‘ i«\Ò£ . 1 ’i\\ M- VX OMO j'SSWjìaA ‘\rh i.‘.'.^(j*r , V <V.r>-o -ù),yj?v iilÀ ftJmc /f 24 8 O 1 6 I _M_ »4|4 8 o wa.vm* Trow yr. 3 7 fi 2 o iTVa.St 2 o per forte ow»V»<\ d fe ,, 'u. ^ /• ? i fi i 6 I 3 8 fi. 2 6 a o 20 T75* 2 O * 9 filo £• 1 4 3J 6 4|o 7 1 1 0 3 $' 3 2 3 <5 3 8 4 2 7 6] o i- 3 « 8 4,° 4 2! ■ l'JijiJib l/JvXjC>(n iÌjÌ L. i 4 8 cioè che la (imma di ciafcuna forte fà L. 148 , & fimilmen tefiara 80 af. gf) il fioro mttftp l. i^dncw) è ff+ojtato.' ■Modo di far conti per quelli che ftanoalle ceche per far dinari ad inftanjria di Principi . , 4-^Vii «> n i’ V -wy.^r, i Quefito vigcfimoterzo. 3V> ■w » . ' v - :J IO mi trono L. 12 di argento de leghe 7 , cioè de onc. 7 per L. & L. l S A lega dx. oH. 6, et L,^6a legade on. 4, io voglio far vno bolzone, otte* mafia yourr panno, che il meìèfmo //gallica , thefja de lega onc. i per far nottua ab tate, logajhmando quanto ram e gli dotterò aggi ougtr , •> , «'• 2 lii Tef r i - DeirAritbmeticà Ter far queflo confiderò, per che la lega,che io voglio far l peggiordet- le'date leghe, gli bi fogna aggiùnger rame, per tanto multipli caro tutte le- propofle quantità per le fueìcghe, cioè L. 1 1 per onc.j L.iS per onc.6 L, 36 per on.q.f arano giontewfieme on.jjó de fino, quali partirò per lafum ma delle L. che fono óó.ne vengono onc. 5 -i, , etdi tale lega faridetto bolzone , ouer panno per fqfepzjt altra *ggonta di rame, ma perche voglio che fia dii tèghe, io par iole onc. 1 36 di fino peri ne vengono L.i6%,<& tanto donerà pi far il panno di lega dì onc. 2, & perche le L. date fono 66 fòllmente , però fot tr aro lire 66, delle lire i6%,refìano li- re 101, & tanto rame donerò aggiùnger per far dinari de 2 leghe fatta,. & coft farai le fintili . Laproua faro aggiùngendo le date lire 66 col rame , che è lire 1 01 > farà lire 1 6Ì,qualmultiplico per 1 fua lega, farà onc. 33 6, de fino, co- me era innanzi che aggiongefi il tome . X l 0 t> A, L. 6 6 prime o'a ^ i X. ioi aggiùnte j- * V — — — -»■ -• 1 L. 1 6 8 a lega de 2 fanno fimiltnente onc. 3 » 2 de fino.. ' _ Far lega con aggiongimento d’argento, per far monete diuerfe. proaa 1 6% •r onc. 3 j 6 fino mv Quefi to~ vigefi moquarto; IO mitrouo lire 20 d’argento a lega de onc. y, & lire 1 7 a lega de orti 3, & lire 25 a lega de onc. vna , & le voglio fonder infime per far moneta a tegadiont. IO; dimando quanto argento fino li donerò ag- giùnger,per foluer queflo, vedi quante onc.de fino fono in tutte quefle li- re che fono lire 6o,tnultiplicandó ciafcuna per la fua. lega y sfaranno onc. 170, qua li parti per it fuopefo, che fono tire 60, ne venira la lega de onc. 2 -J- , bora lega 2 -f finezza con 12 , che è la totale finezza > ri- ducendole a lega de 10 , fecondo il modo delle pajjate, tr ouer ai, che onc, 1 de lega de onc. 2 voleno de fino onc. 7 -J- , però dirai per regola del }, feonc. 2 voleno de fino onc. 7 -J-, che vorranno onc. 60 per che tal proporzione è da lire 1 altre 60 coinè da onc, 2 alle onc. 60, onde muL r “ tiplica Libro Qxuntb/I 2 1 8 tìplicaóo fej-fifannonfa.pìvtUopcrt ne vengono /iVPafj ,-}irtan te lire d' argento fi doueri aggiùnger alle Hre 6ó per far lega de òhi. i o > che in tutta fara/mo tir «75 de léga de otte. io. — — Farai la prona multiplicgnda le lire 1 75 ^411 -è, fanno tfti£zj$o de fino, & lire 6a.fia.onc. 3 -j- /unno onc. 170, & lire 2 1 y duttc nella fu* fine^a^ ciob in 12 fanno 2^0 , che gionte con le onc. 170 fanno onc. 2750, come difopra , adontitele parti fono eguali, et coft farai, et prouerai le funili. ? S 1 •i 2 * l L- *7 5 »l 5 - '*&o onc. 1 0 1 1 2 2750 *y8o ✓ 120 170 50 * * j . '2750 i 170 r. “Quefrto vigefimoquinto. 8 1 A i ,; <1 X I 0 mi trouo lire 40 d'argento di 5 leghe , et lire 2 y de 7, et lire 80, ie 1 * » voglio metter dentro tanto di quello de lega de onc. -f- che polla far quattrinide lcg4 de onc. 2. dimando quanto gli donerò aggiongerdi quello de onc^^ — i^y, J - ; 4* o .1 "Prima vedtdiquantafag* tonfi lulto qneflo Miflo inficine, multiplt- cando tutte le lirqper lafnalega,*ioHìte 40 per chef anno 200, lire 25 per 7 , che-fan»? 175, efl lire So^ped vi .. che fanno 880 , quali gionte infieme fanno onc. 1*55, quali parti per la Jutnma delli fuoi pefi che è lire 1 ^,nevenirà la lega de onc. 8 J|- , bora ligarai onc. 8 Yr con lalegadeoncj cf le farai a lega dii per viadcdiffercnticamodo fo lito, hauerai che onc. 1 -\-de lega de onc. 8 [J- mi da onc. 6 di quello dj 0.^krf% 1 foto? \r+.M<*'fcl*th 4-W» da lire 6 Jf- da onc^ che mi daranno lire 145 .opera, et ti daran- no lire 643 -f4 , tt t auto) piglierai dì ‘qUéÙo de 'onptr-^ ; \fkali gionte con le prime lire 143 fmuo^in tutto y/iy ppnnp,OHcr bolzone, de lire 778 > col quale faCerno quattrini' faranno a lega de onc. 2, come ve di difolto. La proua farai ccne.leUftC precedenti, cioè trottando il fino congion temente, et poi feparatamente. et faranno di quantità eguali . v XJ**v\**ji*nwi •• . • ' r. J ™ ' - * | .A*# \ 0 -*> i.SjTjI 111 2 1.40 DdrArkhmedat l- 8 *> £,4 £ z- 4 4 *• * f ■£. 8* L,4 » ; 6HC' -5; '■ *»f, 7 ; X - £i*y,idìt * rrr-r- t**» £.« O i‘ ic‘ 1 °° «»c. 8 8 o . ' U ? 1 : • s > ‘ù , 1 x 7 5 — , * ^ ^ f “ - - 11 - — - ** v»o>^.a ^00 £.141 fotofit* 145 j ™c. 1 * S 5 I 8 J$ Jftjtyfci li * 7 .oinijjpo/nn^ivTjJouJ t) I 1 ,r1 ~ i™T7'* r 6 . <s’ v ; : . ' i • , • Ì-A 1 f ^ 174 1 P *'ic vii t.> A. :\i oV » 9 f '• - 4 won tT ! A ibvi^uo^.-.t óit ,rj’> '• oV-.. . ,vu %. 9 'in\ ■£.643 -*- f e piglierà I 'Vi y^d prodotto ' ? • u^T rie «te» 1 64 >«5^. 1VU\ Wm • ■ " w {• — -*•’ » |A < 1 ;5«c 443 swoi^ -jÌ^j\uiv,*ìw \\ de tega dp ou»r. £ 1 87. ivi ,co: cv et le lire i,-»^ .j faratr «W\ «2?. w de leghe, 8 ^ Ai mi -»k* in...» v. Vv. iì , woì-^'c aov. • vi v; , •{ filili) ó\ oVovm s.‘> v-.t i> '.. Vitif 1: \ ii. tet* A ftmèo 7» 78t--ft>;-o»ki^j\v4 X -j ò ;t\ • '» *! ~ •? i4 ‘ ; 1 .V" rouar il valor delle leghe a ragion* cfe qàal- ’ ^ v Jcga , ouer a ragioni de ,£»; ',^nUs ' . . ; 110 Seralmente . Quelito vjgcfirnolèilot' ii. . A iho ^.'-A. . LI « • r5 r \r^ arZent 0 P°Pu^no » che in Fiorenza era onc. 11-7 va~ UJcudi <5 /li 8 den, 6. ponendo il fat* valer lireófoL 1 7, che va- • . •> leranno à £ librò QufottO. 2\9 faranno L. io onc. f [ den. argento delegade onc .5 - Sjfeftofipuo far tndoi tttDdi,cioi a far le i. 1 o,onc. J d.7 -fi in i.& Moltiplicarli per la fiia lega, & cattarne il fina $oi arguir per regalatici f fe onc. li -fi vale fck.6f.i2, <1.6, ebe valer ano facile onc Je fino, che fo- no eHratte dalle fopr adette. L'altro modo è a mal tiplicar lel.i o,onc. 5 d. 7 -fi per fc*J6f.\&,à.6r come fe f afferò de onc. 1 1 -f- , & poi arguir per regala del 3 , fe onc. 1 1 -V Mi damo qucflo valor di dinari , ebe mi daranno onc. 5 -f- , & ope- rando ti darà il valore di tale lega facendola in due volte, <&• qucflo T il piu generale, & più cfpcdient e modo , per trottar tale valore, ma per più chiara iutclligentia.lt faremo a tvna,0i a l'altro modo . . *Adonque per il primo modo vedi prima quanto argento fino tengono Le i, 1 o onc. 5 d.y -j- facendole prima in d.depefo al modo fopra off croato cioè, che onc. 1 2 fanno vna lira. & d. 24 fanno onc. vna,farannv d. jooy T~ poi farai vna lira,cioè onc. 12 in d.farà rf.288, onde dirai per regola del f fe d.2bS tengono otte, j -fi de fino, che lenir fino d. J007 multi - plict^cirparti trouerai, che lenirono onc. 57-pfì- de fino , bora dirai di nouoje onc. w 4" v aleno fcu. 6 foL 1 8 d. 6, che valer ano onc.yj ~rfjz » onde operando , cerne alfuo luogo ì flato prima infegnato nella regola del 3, ampiamente trouerai , che ti daranno fc. 3 o f&jdjì , & tanto Valerano L.toonc.f d.j -fi d'argento d e lega de ove. 5 -fijp.ar l'altto mo do diraiprima,fe onc. 1 2 v aleno f cu. 6 fol. 1 8 5 , che valeranp 4. 1 o onc. 5 d.y -{-ponendo prima, ebe fia tuttopopnhno, cioè de ove. 1 1 -j~> & operando a modo detto trouerai . che ti darùpxima f-6q fffd' -{7 poi dirai fe la lega de onc. 1 1 -fi mi da il dettp valore , titani .darà lo lega, de onc. 5 -7- operando ti darafc.30f.S7 d. 8 — , come nella paffata , 6 coft farai le fimili, ma volendo abbreuiar naurai tutti li partitori ad vno folo,muliiplicandolì inficine ,& finalmente de li multipltcaiori ne fa- ta yno fola non folamje/ue in qucflo cafe ma in ogni altro , & eoo qucfio> auifo potrai abbreuiar wnumaabih conù,comc rulli feguenti meglio ikr tenderai^ > : -, ot ; . ^ •. , ■ •' .ui,- Qu^iìto vigcfimqfèttima. orefice fi uouaJjauex3quantÌLÀdiargento,ma non sò di che le- y ga fiano, cioè L. 30 d vna forte, & L.+od’vn' altra, <&• L.jod'v- n altra forte, cr ditte leghe fono tr odoro proporr tonali , cioè che U lega di L.343 ù alia, lega.de J.^ thfkflù la ifiefja figa de L. 40 è alla figa 5°>& cofìui le fundette tutte infume , & ne fece vrtft panno f'figke de «b.8 per lira. dimando, a che lega era prima ciaf una de quelle y qualità. ' P Pfeh o * .rtell’AritTimetìca 7 \Jel far pofìtione in fìntili cafì bifogna aùertire,'che ponendo ijitantiti proportionali non faccino liprodutti tanto grandi, chepartitapoi la fum- mo per la fummo delli pefine venga vna lega maggior della totale fua le ga, cioè maggior de li, che far ebbe pai impofjibile tal folutione , però metti vno manco delli numeri, che tale proporlione denominano , onde r/1 fendo L.io,& 40, & $o, tato è,comc L.g,& q,& 5> onde metti, chela- prima lega fuffe 1 co. la feconda farà },co.cioèj meno,che \,& la terga perforga farà 4 -~co. quali moltiplicati con li Cuoi p e fi faranno 405 co, dapartireper lafummadc 3 o| +<>,& 5 O, cioè per no, che faranno ]^| co. & quefli forano eguali a 8 leghe, leua il rotto multiplicando Sfia no fata 960 & queflo farà eguale a 405 co. Hor parti 960 per 405 co. ne> vicn ì tanto v alfe la cofa.adonq ; 2 co. valfero co.^ , & 3 co, valféro onc.j -J , & 4 -f co. vaifero onc. 1 o , & tante crono dette le'gbtrdc prima. * « » U •,« la co.vale 1 4* z . i« iu\ .4 r*w M . 4». 1*. •• t v k * ’* I ;:T-?.woc«r fi -• A e tf. T \ v * ' J 1 * “ * . w * : * ' • •.ao.tJbif 4 0 5 co. 8 . .. 7" \obdtvMTt; •• 120 8 . .il* . uotiKìlri v 1 1 ■ ■■■ ■ ' <’ "3 ' 3 t)(«‘ 4 O 5 I 9 6 0 I » 4; ; ; -« V 1 5 0 * - S. > {Ho 0 * 2 co. valeno 4 » 3 co. valeno y .~pn 4 r$- co baleno iatf-i a rw* ? Ol. I tnu u ii V "V ÌÙNÌ\» n i -è ■ • ’• i i • > t.u-, ;v v,'. o Et volendola prouare multiplica detti pefì <per le fue leghe ouer fineg-- ge,cioè 30 fia 4-f> fanno 142 , & 40 fia 7 4r fanno 284 - 50/14 io -L fanno 5 } 3 -j- quali gionti infìeme fanno onc. 960 de fondi . ture, quali parti per la fumma de pefì, cioè per 120 nc vengono onc.H,to- . me fupropofìo. .or:r:.; •* u , _ , . ;'*} O ‘V I 2 0 1 9 6 0 f 8* o o . v • . , — — i — ■ ■ — Et fi come hauemo detto Z. 3 o | 40 fe ^o,cofìpoteuamo dire 3,& 4 , &f,che fìmilmente farebbe venuta la legade 9i & cofifarai le fimilib hauendofì la detta cautela. ■ i'i \ i: -i \i... ..^'J.SO Qse- i Libro Quinto i ; 120 * f > \ ^ . J ; « . . Qùcfito vigefimoottauo. / * » ■ V7fo fi troua j quantità d'argento, che fono in propor (tonalità ronti- nua, la prima quantità è de leghe t,'la feconda de leghe j,/j terga, deleghe io, & co fluì le fondete tutte infieme , & fecevno panno ouer ma/fa, che tencua de fino in tutto onc. 24.0, et la funivia de dette ? quanti- tà era L. 6o, che vene ad effer tutto co fi mifìo de 4 leghe, per che partendo onc. 2 40 per 6o,nr vengono onc. 4 bor fi dimanda quante L.fk ciafchadu va de dette quantità i Quefla è come fcdiceffe, fame de 60 J 're parti proportionali,che miti tiplicata la prima per 1 la feconda per f,la terga per 1 o , & giorni que- fii produtti infume faccino 240 ,la folutione di quefla vedi in Frate Luca nella diflintione ftfla , tratt to fi fio numero f fio a Carte 9 1 , ma la puoi folucr anchora per vn altro modo, cioè prendi } quantità continue proportionali a tuo modo ponendo però fempre,che la prima fia 1, cioè la ynitàfimpliceja feconda farà i,co.& la terga farà 1 .cen perche quejle 3 quantità, & dignità ^4lgebr alice fono propongali, & moltiplicatala prima per 2, la feconda per $,la terga per io. fanno in fammi tp.q co.p. IO cen. et quefla funivia doucnacjfcr eguale alle onc. 240 de fino, quali fumo produtte dalle onc. 4 in le lire 60, che pifano tutte infieme , adon- que multiplica ancor 4 fia 1 p. 1 co.p. 1 cen.farà 4 , p. 4, co.p. 4, cen. qual produtto per la prima cowmune fententia dotterà cfjer eguale a 2, p.^co. p. io ccn. per ejjtr lvno,et l'altro eguale alle onc. 240, de fino, adunque haurremo 4,/?. 4 co.p. 4 cen. eguali a 2 , p. 5 co. p. 1 o cen. et leuando li fuptrfiui liauerai 2 eguale a 1 co. p. 6 cen. et riducendo tutta re flavo -f£, c/uè -j-, et cofihaucrai la cofa valer -j- il fuo cen. vaierà ji , adonque ejfendo la prima 1, la feconda-^-, laterga farà £ , chegio te infieme fanno 1 l t n°i pont ffimu lire 60, adonque dirai per modo di compagnia, fe 1 luffe 60 ,che farebbe t , et che 4"» « che £ , Optra tr ouer a) la prima effer lire 54 -i , la feconda 17 -j-, la terga 8 -y-> che giante infieme fanno lire 60. Laproua farai, multiplicado ciafcunpcfo per la fua lega, et la fumma loro farà on. 2 qo, quali partendo per 6o,ne venir anno onc. 4. di lega, co> me fù propoflo , I.J4 0^1 £. 3 4t T rotta i 7*. 8 -L DellfàrittónetiaS » 4-7- » < h onc. 6 9 — I 07 éncV 8 j 7 onc. 8 j f L. 6 o 8 5 4 » •- ~ ' 8 |onC. *40 cttc.t 4 o I 4- de fino per lira. * Quelito decimonono. ty...y few» ’T'». * .WV» X 7 T^o orefice fundcitcoro onc. los dì bontà de camiti ib , et olir toro ■ *di bontà di cor atti ai , et altro oro di bontà de cararti \&,et fb fat- to vno bolzone , ouer panno deotrc.9 o de bontà de caratti jg ,fi diman da quante onc. fumo quelle , che gli aggtodfe de bontà de caratti ai , tO quante fumo quelle di bontà di caratti 1 6. Ter foluer quefto fottra le on. 1 o dalle on.So rtjlano on.70.poi multi plica le on. tolta la fua bontà, cioè per car . 2 o cor. 200 , /xw moltiplica It onc.iofia la fna bontà, cioè fia caratti 1 8 fanno caratti 1440 ,-lclliqua£ Irfottraraili caratti ìoojreftano caratti 1 140, quali parti p& le atte. yt% che reflor no pernottar la fua bontà, ne venirane caratti 17 •§- de lega ouer bontà . Mora farai deyo dite parti, che t vnamuUiplicata per caratti 21 , & l'altra per caratti 1 6, & giùntili produtti infime facciano le dette onc. l2^o,cber tHornOfCome difopra, ponendo ette l’ una fia x co. C altra farà 70, m. 1 iCO.UfialtipUca ciafeuna per li funi caratti , l'vna farà 2 1 co. Or l'altra 1 120 ,m. 1 6 co. quali gion te infirmefaranno 5 co.p. 1 1 ineguali a. 12:40 .lena il meno ddprà bauerpi $'co. eguali a | no, patti \20per lu- ca, cioè per 4 ncvitn onc, 14 , & tante fumo le onc. de bontà de tararti il, dr il reflaute fin a 70 fumo onc. 26 decaratti 16 , che dentro vipofe. Et volendola protiare moltiplica onc. 24 per la fua bontà, cioè per zi: fann%caratii 504 ,ct fimilmentc Itone. 46 per caratti 16 faranno curata ti 7 36, che quelli 2 prodotti fanno caratti I r+O.W te onc. 1 o -fiacaratm 20' fanno caratti 2®a*< he giorni con L altra fumrna fanno caratti 1440»* quali parti per le onc. 80 per trouar la fua bontà ne venirà caratti 1 8,c*~ ne fu propefio,& cefi farai,& prouerai le fintili . {j'J '• ^ v s\ 1 4 1 1 • 1 *» ‘A J IO* ; ■ - ' . * ,Wt f E.1 Del X 1 f Libro' Qnihto. 221 T • ' • • JL "1 Del tróuar il predo delle gioie (è* ' condo Nicolo Tartaglia . Qùefi tb treiitefimo ^ PEr effer le gioie più nobili, & più preciopt,che ogni altra materia: ina nimata , & comporta , mi è apparfo conm niente a collocare il fuo trattato doppo li metalli, et loro ligamento , acciocbe fi proceda dal men perfetto al più perfetto , Por ottone infime con la cofa , babbi augmen to, & non detrimento. Dico adonque , che le pietre preciofe fono apprezzate non folamente per la pura grandezza,*** ancora perla loro bellezza , et finezza,& forma, & però non poco fi difeordano dalle altre materie, che fi vendono ttpefo, nelle quali tal proporzione è della cofa più ponderofa alla men pon ierofa , quali dal valore ouer predo de [ vna al predo de Coltra , ilche non fegu ità nelle dette gioie. Terchefe'l farà ( poniamo ) vno fmeraldo , chepefi vno c aratto, & che vaglia D.jo,vn’ altro fmeraldo maggior della medefma bontà, et f or- ma, che pefajje caratti 2 doucria valer D.6o alla ragion defaltre mercati . tie,ma in fatto fi trouerà valer molto più,ma per faper il fuo verò predo bifogna hauer notitia del predo de dot fimili di finezza, & forma, ma di - tterfi in pefo. pongo adonque, che f vno de detti fmeraldipefi vno car atto, et vaglia D. to,etf altro pefi 2 caratti,et vaglia D. 40 , fi dimanda, che vaierà vn‘ altro, che pefi caratti 8 della medefma bontà, et forma, et per folutione cotinuerai la propor tione delh pefi fin che troni li caratti 8, che faranno caratti 1, caratti %, caratti 4, caratti che fono q numeri con- tinui propor lionati, bora fimilmente continuerai ti preci) fecondo la lo- ro proportìone, & hauer ai 4 numeri continui propor lionati di pr e ctj , cioè Duc.io, Duc.4.0, D.lóo, & D.6 qo, nella quadrupla proporzione , & Ivltimo termine farà il predo di quello che pefa carditi 8 , cioè che volerà £.640, fecondo il detto Tartaglia » ^.V‘'hTÌN4V',4‘il \iU«. V> » *} m* { >;.,*< Vi, . V v. ;..Vìì* \i’ r i-.< » y-‘ u’V " !«( . Ifc t," ' .. \ \ C ! Del : s DdfAtìthiiacdca Dd t rouar il predo delle gamme, facondo Frate Luca^acqolorj Quelito tj-cntefimop^rno. \T7lo gioelero fi trotta hauer vnapcrla, chrprfa i caratto , & vale V d. xoo,& ne ha vn' altra che pefa cor tùli 2 , & vale D. i 000, ne bava-altra che pefa caratai 3 , dimando-quanto' la donerà valer alta ragion delT altre due. ’ ■« '■> <*' ••• '•» Terfaltur quefta dimanda, tratta vrì altra feria, ebe, fiala cantina^ proporlione alla fecondatomi la feconda alla pròna, dicendo fe carota 1, mi da caratti 2, che mi darà cerotti 1, multipUca, spartiti darà ca ratti 4 , & quefta è la quarta perla, tir perche la prima valeua D.ioo, la feconda valeua D. 1 000 , cioè 5 , volte tanto, adonque la quarta volt ria D. iooo,bora dirai fe fra 2, ri 44*0 fogo j,fbe debbo poster fra 1000 & 5000 , troua adonque il vero mexvqp proportumale fro 2, ór 4» & trouerai,cbcfarà r.8,et la r. Sfarà il me^ogmfioifmi troua Untelo prò por ti anale fra 1 ooO,Ór 5000. moltiplicando 1000 ,fi* tooo , & de prodotto catterai la rad. tale me\%p farà rad. 5000000, bora dirai per regola del 3, fe rad.S. vuol effer 3 , che vorrebbe effer rad. 5000000. moltiplica 3 ridotto a r. farà r.gjia r.5000000, farà rad. 45000000, qual parti per rad.S,ne venir à rad. 5 61000, che fono qua fi fcu. 2371 Jy ór tanto donerà veder quella che pefa 3 ekratti , & qnefla.fii propojla dal detta Fritte Luca a carte 90 tana non l'ha finita, & la p<n trai operar ut ogni forte de gioie, comi rubini, diamantì,%afiri, balaffi» finir aldi, iacinti, óre. ET ancora fecondo il mododel detto Tartaglia. fa’ I fuffevM diamo» te, che pcf affé grani j , & valeffeD.il , & vn altro, che pefa fe grani 1 a valejfe D.60 , fi dimanda che dotterà valer fecondo la debita ragione vn' altro diamante, che pefafe grani 24. Ter foluer quella, continua la proporlione delti pe fi, cioè grani 3 gra ni 12, fin che troni , fe puoi grani 24 , ma perche continuando detta proportione quadrupla fi vicn al tcr^o temine a grani 48, cofi 3 1 11 1 dbat ' ' .Cl Al i.VK.^1 .^02 Iw'f. ». tOl.'-v/' '» ni Mt\ AWlfc iJltyWuW; I LibraQuinfo.J r 222 4&> quali avanzano grani 14, del quale defidero faper il "valore . jPjrw canfiqva/gncprali fuoi pi'Cfij ffdk/^òpraqloriiaBe quote quia cupi*,, cioè dal 12 al1 fa, y entrai a 3 { cimba, che farannq D.il, D.6q, B.-$ oer, quote l vitimo termine y&‘ porobafithau cffiiux.diBC*tt H'W fon d' vidimante -che ùeUfeg^m 4^faceÒbeJfat,q itfuo rqfarqfi. jdóf ma perche volbno faper il valore di vno che pi fi grdrilì g,ihqtc- fb caffi b) fógna confiderà* , la p\»portionejiht è dal \i»ei %ft,cbc pen- te fia della proportione, cbel dal detto li al oper andrai modo ifi fegnato,ne U'^ilgorifmo de proportioni,è pfeiif amenti la miti ekHitprifi- p or t ione, che è dalli al 48, cioè che vna dupla è la -f- della quadrupla thè filtrandola due volte la dupla della:, quadrupla fi peruitn& a%i egualità , & però farà, fubd.ipla , cioè la -±- pcreffer il 24 medio proportionale fri 1* , e£" 48 , qual fi troua . multiplicando 1 1 fia 48 /ari 5 76, c>* la fuaradiceè 14., & però fimilmente ti conuicu illùdere per miti la proportione delti Due. 60 aUi D. 300 , trouando ilmedio proportionale tra 60, C r 300, qual fi troua .multiplicando 69 fia }Oo,farà 1 8ooo,cr di quello cavando, la r. quadra furar. 18000 , gual'ècirca D.IJ4 \{ry&quefio..farà'iLvaLor del detto diamante , che pefa grani 24. j . ; t Et quando la proportione <fe quelli graniti alli 14 fuffe fiatati -J- della proportione dclU.detti grani 14 dilige ani <\% , tùbauerefti trovato la ter?a parte della proportione delli'D. 60 alli D.300 , & ciò farciti trovando il fecondo termine dclli quattro termini continui proportionali ponendo che l primo fta.6o,& il quarto 3oO,&" per trovarlo quadrale fiióo farebbe 1600, & quefto lo multipitcarefii fia il quarto termine ohe è 300 farebbe 1 080000. & la rad. cuba di quello farebbe la fecon- da quantità, ouer termine ,&• per confeguente il valore dimandato ,& co «.• àfapendo partire de proportioni trouarefii ogni altro precio. di quefto ve ditlf mimo libro del generale trattato dot detto Tartaglia cominciando- - dal duodecimo capo fin' alfine, <& ini troutrai materia vtile a queft a con ; fiderai ione, la quale potrai più ampiamente trattare v -Toteui ancora per più generale regola trovarti della detta propoli tionedelóo al 306, partendo 300, per 6oyne vitti y, & la rad. cuba 5; multiplicata per 60 farebbe finalmente rad.cu. 1080000, la quale regA la ègenerafiffhna per trovar ogni parte dtpropovtioni,et da pochi auuev tità, perche le proportioni fono- vna manco, che li termini fempre , ma db qpteflo ri bautmo trattato ampiamente nelle proportioni V OÌM-ì ■ \ ■ ’u « . .V jV.CIt"." 'Vi; .. •■ì.\Wi si "tanVwi*- -v 3 -mui* t<vu>nb W n u, - . “3 Aw'?\ M ' : : ' DcirAritlimcrici ,* *» à « ; «• • . , # V.. ^ »1Mt , ;0, Del modo di calculare la compofìtione del* le medicine fecondo il grado della calidita,8c fri gidità ri (petto al pefo loro, per faper in qual gra do faranno venute cofì compofte» fecondo,Ga» leno,6C Auerroe. * « H, fluendo fi di/opra trattato della compofìtione di metalli di diuerfe leghe, ouer finche, & ancora de altre mcrcantic de diuerfi pre* cij , &■ bontà, mi è apparfo cofa conneniente,et vtile trattar ancora del* la compofìtione di diuerfe medicine , fecondo la diuerfità del grado della loro qualità & pefo, cioè delgrado della calidità,& frigidità, onde è da faper c, che quattro fono li gradi della intenfione di calidità , & tanti al- tri di frigidità, onde lecofe frigide,ouer calidenel auarto grado fecon- do li auttori di medicina fono eccedi ti, per tanto in brevità proponeremo Pinfr aferitto problema , ouer quefito . Quelito trentefìmoterzo . AT 7^ Medico vuole componer vna medicina, & gli vuol metter onc. V yna di medicina calida, nel tergo grado, & onc. J di medicina cali da, nel primogrado, dr onc. 4 de frigida, nel fecondo grado, & 5, dicali da nel fecondo grado,& onc, 1 di temperata, & onc. 1 de frigida nel quar to grado, & onc, 1 j de frigida neiprimo grado, & co/i li pifta ia/ieme, & nefà de tutte que/le vna fola co mplif/ione. pertiche fi dimanda in qual grado di calidità, onero di frigidità fi troverà la detta compofìtione . Benché quefta ragione jia naturale s & il principio fio appartenga al Medico, nondimeno polli li principe, la folutione poi appartiene al* t \4rithmetico, ma però è da faper, che circa la folutione di quella que* filone fono 3 diuerfe opinioni , impero che altra è l opinione di Galeno, 4I tra è di u iuerroe , & altramente fente richiudo Medico, ma prima met teremo, la folutione fecondo y4lchindo,qual vuole , cbe'l primo grado di talidità,ouero di frigidità fia doppio al temperamento, perche il tempe fomento non è caldo , ne frigido fimplicemente , & il fecondo grado di quefle due qualità attiue è doppio al primo , & quadruplo al temper alo, fi r il tergo grado è doppio al fecondo, & quadruplo al primo, & ottuplo al temperamento , cr co fi il quarto grado e doppio al tergo, quadruplo al .. X z . ftcondo Libro Qmritò's ’ 2 1 $ fecondo, Ottuplo al primo , & feidecuplo ahtcmperatotnto > cioè come 16 Alla -finità, dopoi mifcia nel temperamento la miti del freddo, & la mi- ti dei caldo, et nel primo grado della caliditi la miti del freddo, et due miti del caldo, cioè che nelle medicine temperate intende , che fta grado orno de caliditi , et grado vno de frigidità, onde nel primo grado di calidi m tà è de frigidità , et doi gradi di caliditi , et nel fecondo grado è vno grado di frigidità,» + gradi di calidi ti,nel tergo grado è vno di frigidi - ti,et 8 gradi di caliditi,» nel quarto grado intenfionale è vno di frigi- dità,et 16 gradi di caliditi. Et volendo calculare la compostone di effa medicina fecondo H detto modo,multipUcarai il pefo di ciafcuna medicina per il numero, nel quale il grado della int emione contiene H temperamento , cioè multiplica prima onc.i de caldo in tergo.gr ado per S, perche il caldo nel tergo grado con- tiene 8 volte il temperamento, come difopra fu difeorfo fecondo l opinione del detto autore, & delli gradi del frigid o per le onc. g di medicina calda nel primo grado multiplica per 2 ,perche è dupla al temperamento, farà 6 poi multiplica le onc, f calde in fecondo grado per 4 faranno 20, perche H caldo nel fecondo grado è quadruplo al temperamento , poi multiplica le onc. 2 calde nel quarto grado per 1 6 fanno g 2, perche il caldo nel quarto grado è al temperamento,comc 16 alla vnità,poi multiplica onc.2 de me dicina temperata per 1 farà pur 2 per effer il temperamento, come la vni tà,poi multiplica le onc. 4 de frigida nel fecondo grado per 1 farà 4, per- che nel fecondo grado fic frigidità fono 4 gradi de fridità, & vno de cali- ditàyperò multipliiaonc. 4 per ilgrado,che tiene da catidii à, & faranno 16, poi multiplica onc. 1 de frigida 8 fi quarto grado peri. farà pur 1 ,poi multipkcaicon.il de frigida nel primo grado per i.faràpur 1 $, perche il freddo nel primo grido, ha vrio grado de calidirà,& 1 de frigidità, on- de haueremo da vna parte quefli numeri de cahdità,cioè 8 1 6 1 20 1 gì J 2 1 4I I 1 1 g> C?" da l'attra parte qurfll altri 8 numeri della frigidità cal ■ culatta detto modo,cioè 1 |gj J | z | 2 | 1 6 | 16 1 26, che gionti infume quelli deila caliditi fanno 86, & quelli della frigidità fanno 71, come ve - ■ dr ài di folto,' poi fottrarai li gradici dalli 86 riparano 1 5 decalulttà , ■ quali fé fu flèto reflati altri 7 l gradi farebbe slata tal medicina nel fine, ouer nel perfetto primo grado de caliditi, perciò per le cofe dette il primo grado de caliditi è doppio al temperamento , & finalmente il primo gra- éo de frigidità, ’& f e fujfe refiato nulla, farebbe reufeita meditimi tempe- rata,adonque quello 15, che auanga farà tal parte de calidità,qual è: 15 de 7 1 ,cioè del fuo contrario , perche itprima grado fi cslendeda 1 fin al Ìi,in queflo iafòoltrà la cquatità de detti gradi, & cofi s'intenderebbe Ila frigidità , quando li 1 5 f uff ero gradi auangati della frigidità ,cbc fa- rebbe talpartedtl primo grado integro , qual fuffe il numero refidun del > onc. 1 1 J numero JBT J .5-10 s't* DeftlAritSttmSci manne detratto ìtioè brqual opinione da ale unii reprobatlbfntmdime^ »o dette effer caiadata a qvofio modo, volendofeguirfecomlo-la Stente doti iato <aì chiuda,- •.v.'.vìi.I l'.feiWit/teW . jwi' Vi-. v> aa ù.* V«k u ’ Et è differente in quefto^àabif altre, prrehefrtortdotui e flit compiiti# m farebbe nrbprincipiodtiprintograd&db calidità, & fecondò altri f&. wbbe ntl principio delppimo-Qvyto defrigiditùìib che più prefle> credo prir I* ragioni, cbcajfegnaHo\eoMcntila-frg*#Ue\.' <■• ' ; r. •K -\ . itó saldo 9 freddi t • -'i> mtcJr 't babbi interger^ t\. '"vo'UM» «IdtoW Aw . '• . ent:-^\:ealdrinprimt» ‘ - A; j. lo.v ette, f caifo.n fecondo farècabhr^fi w>w jr n> •/..»; t. i ^ yffn- me. s calde, in-quarto* deh u*gra dt calidità (H’iiuivl'. > 2 . \\<r ^ ri'V \ lì* 1 6 ni’ÀI » me. 2 temperate .vau ? < imr * ' — i.vtC oc 01 n ,>no ' 'ili \ i. . r ■ — — - ■ . . . ( j nf -l> otte. 4, frigida in fecondo ■ > .»•» , i j. fc« ànc. l>- frigida, in quarto r — ‘ » ma. v\ t ' V.|,m,ii>ì., oàc. tjì frìgida in prima .-ir" baldo # 6- • ■ fredq'jn^t* *■«" — ' !•" freddo «. ; . i *s s.wo : ; 1 v r. ■(; . ■ » i ■ iiW.tr. . ìòpon \u •» >. kWf£ - ■s. attan-ga 1 -f decaliditè . mì\ù . -ite L < ' * ts^i «>: !\V n • » >u<\*uur u^.U Mododi Trourar il grado delle calidità , Òc frigia dirà nella compofitione de diuerfe medicine in grado.òCpefo i i \ 0'lSl;.lt'\U fecondo Galena. c /.no ? 1 j.z «•* \> ,*i l 1 |f 1* | ftfcyiyMf. ,t.c ; ■ il j - I J . J * -W'* <mk*k»uln-» Mi volendo frinire tate frittone fecondo l opinione di C aleno mede co preJÌ4ntiffitoO,&noniN4ggH>tre faal (à.nntltipUcarat cùrfmno pefo per il gradò fuo,nn tiendo fepu ratamentedi produtti f atti nellì gradi, della calidità dalli pruduitt fatti nelli gradi della frigidità%Liff 'andati wa- fer amento da parte , perche noni freddo ne caldo,hduerai 24 gradi de caldei & ì 5 gradi de fredde^ e quali detratti li minori gradi refatà'gm do 1 de frigido, cioè fottrando 24 de tq frigido, qual partirai per lafurn^ ma detli ptft (rigidi,*? caldi , cr temperati, che fono onc\}j,ne vtnirà -f, de frigidità,onde detta compofitime venira ejjer nel principiti delpri ma grado, de frigtduà,& fenel partire fuffe venuta la vmtà, cioè che # gradi daejfere partiti fu (jfcro frati eguali *1 partito^ farebbe fiatatala cm- /iDiXibo^ìQitìofO. 2 24 t«mpofitionfjiigi4a yel fina del primo gvodo,<& ft in -recède 1 ,ehe tua*, gpfopra 3 1 fuffe auangjito farchòeilata tale medicina cofi campo* fitjrigida nel megjo delprimògrado,& cofi direfii,clre fujfvro c alide in tal grado, feliauangj fiiffero fiati gradi 4» c aliti ttà, come difi otto fi può Mere infigkrafepatatanmteaouehauemo mnltiplicatoonc. x demedici Ha cdtda a#tertr»peri,& ? in primo per grado 1 ,& $ calda in foco*, do per z,f* j o,ejr onc.z calde in quarto fanno 8, che gioate inficine fané poi 4 de frigide in fecondo fatto &jonc.l frigida inquarto fanno 4 nc.x 3 frigide in primo fanno ij. ;iUt. ,, énc. i tolde interno fa 3 vnc.4 frigida infecondo fa t onc. 3 calde in primo fa 3 . ove. 1 frigida in quarto fa+ » . -ime, f calde in fionodofam onc, 13 frigidi ut primo fati . * calie inquarto fafi : * f* " 1 ,t' .1-4* fiamma dm. 14. c alide i\. . fiamma fa . ^ frigide •o.'.y A temperate 1 9 rr* .. onc. i . tw I* .1 1 l • il u spi lf \»x cvtv: dcpejehpfrfaire, fa 3 impacci ^4«sc. ! /Wgtf« * -*V ■’ ‘<-*wloàq>« Un degrado frigido tiene latita compofitiam, * & edamrtrtycbeogai gradala j fiationi , oot principi*,mer7o,& fine,il.prutcipio i intende quando!* parte £ minor delia miti del fuo tut- tofi me^gpè quando laparte è la mitd dql tuttofi, fin è quando anan- •gp meno ,c bela nntàrttoè nella terga fiction di calidua ouer de frigidi* td,et quando nelpattir U gradi per 4 pefo fuffe Venuto zinali gradi f ufi /ero Itati de cahiita,direjli,che tale medicina comporla fujfe calila nél fe &Jè 3 nel tergo, & fe 4 nel quarto , & cofi degli altri , Cloe della frigidità intenderai fittali gradi duùfi f afferò attengati de frigi dda, & questo modo è affai più fadcM più approvato» et è fintile alle le goe, et Aue%$e ddl argento, & dd oro-w Della opinione di Auerroc circa quello calculo. T Opinione di ^duerroeè che la medicina frigida nel primo grado re* mette la medicina calda nel quarto grado, della calidità, et rimette la caldanel tergo grado al fecondo grado della callàie. ì,tt la calda nel fe- condo grado al primo de caliditàfiupponendo anchora, che onc, 3 di medi etna r » -» • 'Dèff Aììrhtficflca eìnd frigida nel prhno grado compoftecon vna otte. dimedutHltialià net tergo grado compongono vna medicina temperatale fari ode. 4, et che ia duplicata portione della medicina calida nel tergo farebbe iena mèdici na calida nel quartogrado,et farebbe veneno, . A Et vuole, che la medicina nel primo grado rimette la medicina calida net tergo, cioè la fa manco calida , che non fa la medicina temperata, cioè, che la temperata diminuì ffe più la validità i chela calida nel primo grado, et molto piu la frigidaii per queflonon la rimette precifamcntemi feconda grad o,ma al fecondo, et alla mita del detto fecondo , cioè a gradi 2 ~ di validità, ouer circa, et che la calda nel fecondo grado , rimette poco la cal- da nel tergo gratto, et ìmancoda remette , cioè fa feemar la fua validità, che nan fa U med teina Calda nel primo . '«*• f Ma quella pofttìone olirà, c bei repugnante alla verità è repugnante tmchora afefteffa,et olir a di quefio è di difficiUoperathne,et ritorna nel- la opinione d‘ ^lUhindo,qualcimpugna. - - Et pefò-vltimamente fi conclude che tale compofitione farà onc.i 1 fri gide nella parte -*j del primo grado de frigidità, feguendotaopetation firn data nella fua opinione qual fi tiene per falfa -, però non perdo lentpo in quella in quefio loco , perche fe'l doppio dettacalidità nel tergo grado, s’- dgguaglia nella operai ione alla 1 ilidità nel quarto, adonque arte, t degne caro 0 d’altra co fa calda nel primo grado faria veneno, perche effo e'I dop- pio del tergo è eguale al quarto, et il doppio del fecondo è eguale al tergo» et il doppio del primo è eguale al fecondo, et il quadruplo del primo faria egual e al tergo, et cofi [ottuplo del primo faria eguale al quarto grado , ma vna dragma di Euforbio , è veneno, adonque ont. 1 di guccaro,che è- ottupla alla dragma faria veneno, perche fecondo effo oduerroe teneria ta tode calidità vno quanto Caltro,per li fuoi principe, ilche farebbe grande inconueniente . U-- A ' Poi fi contradice,perche fe onc .3 de frigido nel primo vaiano onc. 1 , de- caldo nel ter?o nella mittione,adonque non bifognaria duplicar it caldo- nel tergo grado per farlo caldo nel quarto.ma battaria a metter onc . 1 -|- del caldo nel tergo grado acciò fia equiualente a onc.vna de quello , che ì caldo nel quarto grado.nelle altre cofe anebora erri circqquefia mate - ria, & a qutftafcntentiafottofcrijfèil dottarne fr. tono . C\ » » ' fi 1 X 3 4 oV,SVT’ Dff - '-l lvu sArtg-'A iltV.A !«. tV »■» (fe'.iuà'n :.V: ’al .ayj zuim r « re U‘ kt *À l**-« Vi rb 1 wiliW vi** } 0 tiifpjpx ntrp >31 A J:* * 1 • •>4twfc tri 2 .. ..vi; Bei à: Idbro QùintòuO 225 WiOV.Uji’Ol >. i > ito i \N ** 'ìAfTì ; Della proportionc dell’acqua a qualunque metallo, ÓC pietra,vtile alla confideration del Ie- uar pefi énaui fommerfi nell’acqua, & alle opcT re fufili , ÒC altre mirabili prattichc,eftratte dal- leinuentioni del grande Architetto Archimede Siracufàno . > . Propofition fètti ma di Archimede nel libro delle cofe che ftano fòpra l’acqua. V'.') . . \ . ...\ otkilCM t.j r . . « T E cofe più graui , pofle nel h umido difendono tanto , che vanno ■*”v Sfondo, & fi fanno tanto più legeri nel humido , quanto è il pe- fo del humido , che babbia tanta grandezza quanta è la grandezza de dette cofe , ouer corpi più grani pofli nell' acqua . Dalla qualpropofitionefe ne cattano le in fr aferitte conclufioni media n te f cfperienga, la quale è maeflra delle cofe . T rima la differenza del pefo della pietra cotta pefata nell'aere , alpe , fa della medefma pefata nell'acqua è quafi dupla, cioè come dal 2 all' i. Ter tanto quel vacuo, che potrà foilener vn corpo de fimili materia nella fuperficie dell acquai di neccflità , che fio. almanco doppio al det- to corpo Ltaccioche fi po/fa poileuarlo fopra la fuperficie della acqua è di ne teffità che' l detto vacuo fia almanco quadruplo al detto corpo. *• La differenza del péfo della pietra marmorina pefata nell'aere al pefo 4tlla medefma pietra pefata nell'Acqua , è fi come 7, al 2 ,per tanto, quel . vacuo , chepotrq foflencr vn pefo di fimile Materia nella fuperficie del - t acqua, de ue effer rii' area corporale della detta pietra , fi come 7 ri t,co me fe quello vacuo occupaffe 7 piedi cubi, chela pietra occupi z piedi cubi, er co fi intendo le fimili . 3 . La differenza del pefo del ferro pefato nell' aere , al pefo del medef- mopefato nell acquai fi come I9#l 3, & quafi la medefma del /lagno t . onde trieh laproportione di effi metalli all' acqua, che' l vacuo, che deue folleuar tali pefi-affa fuperficie del£acqua,deue effer^ril' area corporale di effi corpi come dati 9 ri 3. 4. La differenza del fefa del rame pefato nell'aere ri pefo del medefmp ìli pefato DeH’Àri&mtffidà f e fato nell acqua è fi come 1 j ali, per tanto la proportion del pefo fuo a li acqua è fi conte *$ al *, fluita ancor come nella prima, ir fecon da, eroe che il vàcuo che. dette folleuar detto corpo fuor a dell'acqua fi.i co mot ì olì 1, madia fupmfieurtìoètè if-klij..- I 'J j’jf’r, .'ft La diffèttn^tdel pefo del piombopefatp julfaete al mede fino pefatp nell'acqua è coinè 10, al i,& tal è la proporzione del pefo del piombo at ptfó deli acqua, & pttcé matite) là ptbpoMtfii d’eli argento all acqua, un de il vacuo iti c deue folleuar e tat pefo’di piombo, mer d argento af la fu^ perfidie deli acqua, bifbgtta che /la all acqua , come da t o atta vmtà ', & per trarlo fuori dell'acqua, bifogna che fia ali acqua, com lodlamkd, cioè che occupi io volte tanto luogo . 5. Finalmente la dtffcrcnya-del pefo dell oro pefato nell'aere al medsf- mo fièfitto ntìdacquetèfi come t falli trirfà, & tate fard arìdor diapiro - portione del pefo dell oro alpe fo dell aCqua,ct il vacuo, che dette folleuar ejfo pefo di oro alfa fuperficit dell' acqua fard all area corporal dieffooro come il 17 alla vnitd, & per trarlo fuori dell acqua farà il doppio, cioè come ^4 alla vnità. ' T E fendo adonque la propor tione dell oro all acqua come iq aliatiti- tiif- & dall'argento al i&effa acqua fi come io alta vnitd, fard laprofior tion del pefo dell'oro al pefo dell'argento ,fi conte 17 al io , ehefitrous partendoti io per 17 , & per queflo modo data la proportnme del pefo di qualunq; corpo al pefo dell acqua, _ fi potrà trovare la proporzione det pefo , che hanno tra loro). Et'queflc confiderai ioni fono di gran momento nel folleuar corpi film* merfineii acqua, come foncrnaui, galere, barche ; & altre wacbùt . " - é. Dolche fi comprende, che fe vn corpo fuffe & laltrof iù leu» fuffeL.% a egual mifura,cofi il piu.lcue faria 4 mifure,& il più graue fà ria $ mifure aegualpefo . 7. Tertartto tr ouandófi Ut proportene del or» alt acqua come dal rf* a(lavnitàs& dal argento all acqua come da io alla vinta, cioè decupla, & che fi trouaffe vtufcorpomiilo doro , & d'argento, chefuffè tmc.ì iy & che baurfle propmionall' acqua, come dal inaila vnitdjper trouat feparat amento la quantità del oro, & dell’ argento, {Orai pofitiom fusai* do de 11 dire par ti, che t’vna fia doro, l'altra d argento , & fettine* rai che laequa gli fia come 1 al ia faranno le farli dell'ero, CT-dettar gerito, ilche farai per htfiofitìon falfa, onèro per algebra, ouet som'e ab- cuti dicono per la cofa, ■dicendo fe l'ént.mifte d argento fuffeto 1 ceAeone* doro farebbono n.tn.i co. pigna [J- devna co. farà J*- , eo.de abqtidi ehi lenirà latgemthpoi piglia rjb dà'*», m i comari ff m. -&fioe.dèac qua per la parte del orojumma infteme £-10. certi ^ m.-fì- co.fottrando unteti del pè fard ìj- fà yfrcMf aequa jU quefieftrd egpdk a -$2 ~ ' *” * ' ~ ' * ~ de Llfaro Quinta* *j 01 225 ieoniJì Acquàia quali fono comparate le onc.ìi di mtjlo a ragion c/v 14 ikifto è comparato a a di acqua , onde Sfolto -f- lena f$- de -*r refUnu eguale a co. parti il numero per le eo.ne venir anno onc. j genio f& U reHante ebe fono onc. 8 farà l'oro, & cofi batterai trotta to fé paratamente le parti dell'oro, <jr dell'argento nelle dette onc, 12 ,de PniJlo,inVÌrtù de detta propofitione (Tjtrchiniede . ’ La prona di quefio problema fi fard dicendo fé onc.ij d'oro , occupa - Ho illoco di onc.i, di acqua, che occuperanno onc.8ffi,& feonc. io d'or gerito occupano il loco de onc. t di acqua che occuperanno onc. j , ou . de tr onerai, che l'acqua comparata toro fard Jj-, & t acqua compara ta *V argento farà , quali gionti infime faranno -f- de onc.tf acqua, che fono in proportene de onc. 11, de miflo, a ragion, che 1 4 de mifto oc cupano il loco de onc. 1 di acqua , & coft far affi in ogni altra miftura de metalli. . . , , .. . . , « ’ìlqnalrpodob piu fattile et fpeoulatino , che quell' altro del rncdcfino «Archimede -quando conobbe la fi jude dell'orefice nella corona d'oro , che fece far HÌerone I\i Siracufano per offerir al tempio difuoi Dei per vna ottenuta vittoria . . •. }'■ ' .li. A condfce^ pdbtli mdki aoppi per1 tia <tì- , la Tua mifura , & la mifura per } via dell acqua. »u\ ». . . O *^‘v H<JTV»ytVr, Ut. U Vt K Vt \ì. ,<H -Y.' t. Vj. Mft . • \\ -va \VUV Al T*\ Alla detta propo fittone, et fua dilitcidatione fi può venir in eognitio- XS ne di qualunque pefo di qual fi voglia .materia, purché [1 po/fa metter inacqua, onero lutarlo da luogo a luogo toner 0 ponendo Iti' acqua a tomo, pur che fiamalto minore del’ acqua . *t.iì..|-nv.\ia i>.r .moot Quelito trentcfimoquinto. CW‘.K Mljil IT Olendo adanquepefurlquaUhe grande^ fa, poniamo per ufo dipie - V tra mamorj»a,la màUer4Ì nell'acqua, in vuo vafo menf arabile, et poi vedrai quantopefa-bacquarchefi fplvidcKia uicUcadoui dentro qitc- iftagratuie%$arfierf canaria levandola fuori di detto r\qfo, la, qyalfio^ yCMpar ebbe cauto f d'acqua, che fi vohtrcbbepor pffi zoo,la det ^apietramarpwrànap^aw^fi 700, bavendo tale praporsme^ì ac- \ ' ìli i qua * DeirArithmctici qua tome 7 al 2,& fe laequa riufeita fuffe pefi 90, dirai per règola dd. 3>fe 1 mi dà 90,chcmi darà 7. operaci darà pefi j 1 j,# tanto pefareh he la detta pietra per le cofe fuppofte di fopra , & cofi fatifti in ogni al* tra materia, conofciuta chefia la proportione che ha con laequa . Ma per far quefto t benefaper aneora,quanto pefi vno braccio cubo di acqua,ouer altra mifura fecondo il cofiume del paefe,oue occorrere tale bifogno,acciò faputa la quadratura della grande-^ga, che fi vuoi pefare per mcjgp della quadratura di tant' acqua a mifura, fi pojji faper il fuo pefo, come facilmente fi potrà fapere,# per quefta operatione può occor rer molte volte a pefar corpi, che per altra via farebbe impoQibile, one- ro di grandiffima difficultà a pefar li , fi che tali con fider atiom babbino li profeffori diMrchitettura. Di vn’altra inuentione di Archimede per la quale conobbe loro eflermifto con fargenco . Quelito, ouer problema trentefimofefto • SCriue f'itruuio nel nono libro, chefdcgnato Hierone Slracufano della fronde fatta nella corona d'oro da quello orefice f opranominato, com- inelle ad Mrchimcdcyche inuefligaffe con qual modo fipoteffe trouart,#- chiarirfi del inganno,# penfandoui fopra quefto per alquanti giorni in- darno Mrchhnede, a cafo poi effendo andato a lauarfi in vno vafo pieno di acqua, & nel venir fuor a del vafo auerti, che tanta parte di acqua a mifura vfciua fuori del vafo, quanto era la mifura del corpo fuo, # fabri cando fopra quello fondamento venne perfettamente in cognitione quan- to oro, # argento erapofto feparatamente in detta corona , adunque ba- ttendo fatte duepalle, vna de oro puro , & l'altra d'argento del pefo della detta corona, l vno , & l' altro feparatamente pofe nel vafo pieno di ac- qua,#- cofi dipoipofe anche la detta corona , & offeruò quanta acqua yfciua del vafo per la impofitione de eia fc badano de detti 3 pefi, cioè dal- le due palle , & dalla corona ,& poi argomento nel modo infr aferitto . Toniamo, adunque per gratia di effempio , chela detta corona pefaffe L. 1 10, & che la palla d'oro anchora libre ito,# fimilmente quella d'argento,#- che del detto vafo pieno di acqua mettendoli dentro la palla toro fino faccia riufeirefuora L. 40 di acqua,# poi riempito, & pollo gli la detta corona faccia riufeire I.47 di acqua , # poi ritornaro ad im- f*r ' Libro Quinto . m tir detto Vafo , & mettendogli dentro la palla d'argento faceta riufcire \.6o di acdua , onde per [aper quanto argento tien la detta corona, redi trimaqua?partclonoL.vdeliio,par tendono per no troueraicbc fono -y- , &■ cefi redi qual parte fono L.6o de L. i io, che pefaua lacero na,& ciafchaduna palla, trotterai, che fono la±. - Toiponiycbe nella corona fujje i cofa d'argento, adonque l oro, che fu dentro farebbe i io, m.\, co. multiphca i co.fia -yfarà , co.per f ar- gento,poi per Coro multipla \zo,m.\, co.per -f- faranno 40, m. , co. \iongiquefte parti infieme fanno I. 40 m.-f- cof.+ co &f^ando J- cofa de co.reftanoL.Aop. -r co.& queflo pefo è eguale a L.tf d acquaie fece rfeir fuor a del rafo la detta corona , feltrando adonque L.A.odcL.47 reflano 1.7 eguali a -L-co.parti 7 per — COJtemen 41, & tanto ralfe la co. chef* C argento , chepofein detta corona in cambio de oro,& perche tutta pefaua L. 120 fottrando adonque L.4 2 de L. 120 r en- fiano L.7%,& tanto fu Coro , che ri meffe , & il refto , cioè L. 4» <t- arglUhèr olendo prouar redi, che effondo L. t»0 la palla d'oro/a riufci rei. 40 di acqua , adonque ogni L.3 di oro fi rfeire L. l di acqua, adon- luc L. 78 di oro fi riufcire -j- di acqua.che fono L.i6,& perche ogni L. 1 •nfrir. r i di acnua.adonaue L.42 i argento fanno rtujct tion delle L. 78 d'oro , fanno 1.47“' *c?ia ,r. metterai dentro la detta corona, & cofi far ai le fimih,main rece de L. fi polena metter onc.et pur il cafo farebbe reificato nelle libre . Il medefmo fi potata anchora e]fequire,& facilmente per la regola del lepofitioni falf, ponendo, che nella detta corona fuffero L. 48 f argento, et perche L. 1 20 fecero riufeir di acqua L. 60, adonque per ogni 1 LaTargen to fece riufeir del rafo lire ma de acqua, cioè la — , adonque L. 48 fe- cero riufeir del rafo I.14 di acqua , & perche il reftantedaL. 4b a L. HO fu oro,cbe fono L/]i,& ognionc.3 d'oro fanno riufeir d acqua onc. I per quello, che è fuppofto di fopra, adonque I.72 nof anno riufeir , che fono L.i4,che infieme con quelle L. 24, che fece riufeir C argento fan no L.4%,& quello rorrebbe effer L. 47 adonque ilprimo errore fu L.l > tome vedi difotto per effempio . Trim* / ~ ^ . 'J&cll’àriihfhfltlca Tr ‘ma pofitione L. 48 argento T2T> I. 48 54 /I. 34 dCjUM 1 51 » £.72 oro — — 54 I. 34 acqua 66 L.96 no -. . . — 54 42 1. 48 affiu £. 4; argeto L. 7%\vro primo errore, p. 1 . * *««•»*-• w -• * 04.X Hor perla feconda pofit lane poni , che ki'detta > coro** fuffero X 54 <t argento , eie danno a detta ragion L.t7 de acqua, H[ refto .farà oraria 54 alti ito, che fono L.66,cbedanno il -f- diacqua, cheftmoL.22, che infteme con le 27 fanno 49 di acqua , & perche fu trouata effer Z..47,*- donque il fecondo errore fu 2 più, muttipUca 2 fra qSprima pofitionefan no L.96, et 54 feconda pofitione fa t primo errare fanno pur ^4.. fot tra li dalli 96 reflano +t,qualiparti per 1 differentia dellierrori,neyevgono £.42 , & tanto argentoni pof e in vece di oro , et l'oro fu.il refto fin « £. 1 20, che è L. 78 ,et quefta poiprounre al modo della precedente. Ritrouar il medefino per via della mrfura. * IL mede fino fi può trouar anchora per via della mrfura eguale, fi come fa affli difopra per via dipefo eguale, cioè d'oro d'argento, -et di effaco rona^mapercbcpotrefli dire, quefla operatione effer e difficile da fare, M poi ritrouar e la mìfura delle palle d'oro,et d'argento fopraferitte per via de P acqua, che fagno riufcireicorifidcr andò, che lamifura del oro fra 4*, £t'dcLargento 60, et della corona 47» onde farà tale proportione della iif feremia del oro al mifto , cioè alla corona comparata òlla : differentia del argento alla detta corona,quaPè largato de effa cor ma alforoiche in Offa fu poflo,vedi adonqut,chcla differentia del 40 al 47 è 7, vt del 60 di det to 47 mifto è 1 3, che giorni infteme fanno to, per ilche dirai fe 20 de mi- fto mi da 1 3 d'oro, ciré mi daranno L. I ao pefo della corona , & mi darà L. 78, éf tanto oro fu in detta corona,poi dirà fe 20 mifto mi da 7 d'ar- gento , che vii darà Lazo, opera ti darà Z.42, & tanto fu l'argento de deta corona,come difopra per altri modi fù tr ouato , & quefta mirabile , & facile operatione è f nudata foprala infrafcrittaconclufionc,cioèfe fa- " ‘ / ‘ v— ■ T' > • VV - *T . . a .pofitione -Z.54 argento 2 7 aqua fecondo tnvrep. a m». 1» t Libro; Quinta. 228 faranno Storpi egttali,deUì quali doi fiano fimplici,ma differenti in gene- r£,&vn'altro compofto de qutfli doi, & fiavno dellifimplici più grane, che l’altro fecondo la fpecie,farà la proportene dclpih gratterai più lene* che fono nel miflo,fi come la proportene della differenza del pefo del mi- fieni. fcfó del più leue-aUa differenza ^ fif0 & P‘^ gì atte at pcferìeL detto mijlo . Et quantunque la detta propofitione prefupponga ridetti dei corpi ine guali di pefo, ma eguali di mifura , & noi habbiamo fuppoflo , che pano 1. no ciafcaduno. Tfonchmeno hauendo pofio la ineqnalità del- pefo iett acqua, eberiefee dal vafo,ponendotn detti corpi feparatamente, bi- nerà la medefma propor t ione, che hanno li detti corpi, quando fiano ine- guali di pefo, ma eguali in mifura, come nelle prepofitioni del detto Ar- chimede fiproua. De vno dado (oprale perle , altre volte porto dal Re di Perfia . Mi Quelito trentefimofettimo. \T 7{p mere adante volendo comprar perle, & non potendone tr anfpor- V far più de a o per volta per editto del Signor di quello pa efe, haueua dapafj'ar per 3 Città pagando la decima parte delle perle , che lui fi tro - uauapcr ciafcuna a lor datteri, fi dimanda quante one. nedouerà com- prar , accioche lavandogli per ciafcaduno dclli 3 datif che ha da pagar la decima parte del pefo che fi troua,gli ne rimanga al fine on. 1 o. Ter foluer queflo volendo dttrar la j£- parte aggiùngerai al io la -f parte eh e farà poiu -\-et a queflo ancora aggiungi la parte de U -jr, che è 1 farà 1 a jf- alqual aggiùngerai ancora la Jua parte quali 1 ir 3 & tante on. dotterà comprar, accioche pagando 3 volte la li-' pórti delle perle, che gli reftanno per ciafcuna itili 3 Città,gli ne auanzino onc.\o,&per provar detta ragione piglia la ,-±-'parte de onc* 1 3 , qual' è 1 jV9 , et fottra la dalle fudette onc. & rifiatano onc. 1 a , et di auefie anebor pigliala parte, quaCò 1 ^ qual fottra dalle fudette vltime refiano onc. 11 -J- i et di qucfle dnchora fottrano la -Jr parte quatti -%-jreflanoioaponto fi, come fùpropofìo, et cofi farai , et prouerdi le pmili . • # Hoc a curiofo lettole hai battuto in queflo trattalo , quanti cafi pofjo- 99 in tale fogetto occorrere, nc più copiàfamente non potrai battere da -*-r— *■ qua- DeirAritFimetlca qualunque altro autore che fino al preferite babbia ferino , che io fapl pia , & molte cofe appreffo aggionte,verò b che come dice il Tbilofopbo , che tglibfacilcofal aggiùnger alle cofetrouate . \ /" ’■ V 1 < ^ vii. tei vv. ;v?M Queliti circa le ordinanze de foldati , & altre co fé pertinenti alla difciplina militare. PErche b necejfaria la notitia de numeri a voler con ragione , & non A taflo,come molti vfano, metter in ordinanza vna copia de foldati . Ho penfatoeffer cofavtile a fcriuere fuccintamente alcune regole vtiliffi me a tale negocio, per tanto b da faper, cheli follati alcuna volta fiordi nano in battaglia, & alcuna volta per farli con ordine c aminar e,fe fi fan no c aminar e fecondo la largherà del luogo , & via,per la quale hanno da poffare, fi determina il numero delle fila ,& fe fi voleno metter in or- ' dìnanga in occafione di combattere, queflo può occorrer in diuerfi modi , ma fpecialmente in doi,ciob in ordinanza quadra di gente , & quadra di terreno, & l vna, & l'altra fi può fare in doi modi, cioè fimplice,& mi - fio, de diuerfi ordini, & qualità de foldati, ciob conia fronte de tante file de corfaletti,ouero Archibugieri, onero pieni nel meg$o,ouer vote, & per dar effempio de detti modi, prima pórremo vn ejfempio foto , che fio inflr unione a tutti li filmili circa il caminare , & poi delle or dinante ^fe- condo Cordine, chehauemopromeffo per quanto partienea profejjofi di Aritmetica, & Geometria, l • a ~ '*> uiii.vtt», i.' sì * Vii Quelito trentefìmoottauo.V ' ^ \T Oglio fi abominare fanti numero 1 1 So a fanti 5 per fila, dimando V quanteWe faranno Torti 1 a 80 per j, ne vengono a j , et tante file faranno. W, ri 5.TM Et per prona di quello, parti 1288 perle file trouate, ciobper a 5 6, ne venerano 5 , et tahti fanti fono per fila , ouer moltiplica le file *56 per. $ fanti ne venir anno fan ti xzio fecondo ilprefuppofito, , Quelito trentcfimonono. | Voglio metter fanti 6qoo , in ordinanza quadra degente , dimandò quanti fanti far anno perfila,et quante file faranno. Ter far queflo catta la radice del numero propoflo » thè è bora 640 o , 229 ne veni ranno 8o, & tante file faranno , & tanti fanti Merlato > ouer perfila, & xofi far itile fintili* >S\* G . j\ \7 oc ? r A « f»nii un»!. u 8t*y y i e © — • t i tiu .i il; •• sgrare :is v ll\. Vii'?' e\3J,^i YO ZI \ . tv. »\ QueAto quadragefimo. J. 4 Xf Oglio metter in ordinanza quadra digente fanti 25, & che fiotta •» .X circondati da armati de corfaletti , dimando quanti f oliati faran- no per latQtfdv quanti , faranno li armati de corfaletti, & quanti faran- no li altri. Ho voluto metter quefio effempio in piccolo numero , acciò che ciafcu no poffa comprender meglio il modo di operarin fimHi, arguendo che fi il lato de corfaletti è 5 ,ilfuo quadrato fard 25 » <& perche il lato delti altri è cioè 4 per fila,adonqne li altri fono il quadrato de 4 , che finq tanti fonali fanti fin^acorf, dietto, & quefio quadrato Coltralo dell altro, cioè de 2 5 remeranno 9, & tanti fono li armati di corfaletti. Etfc haueffe detto che le file di corfaletti circondanti e/fa ordinanza fu/fero i,duplarefli il 2 faria 4, & quefio fittrarefi ideila radice del 25, cioè del ì,rtHarebhe vno faldato filo fenja, corf aleno, c r li corfn- Jetti farehbano 24, come redi in quella figura, nella quale li corfaletti fi nofegnatiper laliterao , tir linieri fanti per la litera 1 nellvno, & t altro effempioyonde chiaramente vedrai che nel primo eff empio li cor- faletti fino lótdr li altri fanti fino 9, & nel fecondo eff empio li corfa- letti fono 24 , ÌSr poi li fanti x , pqfio nel mexgo della ordinanza qua- dra de numero . prima figura. .1 il . feconda figura . 0 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 X X « 0 0 0 e .. , {1 <0 ■© Cttsr - - -i f 0 f ASt'lll I'. F* i'X 1 X 0 Ul 'J-iV-fcVI M ‘ - ’i) • 'W.. ìF\c--j© 0,1 0 0 1 1 * A*- 1 ' y> coi; < 0 I 1 1 0 .■>V‘ :Ù'.<ÌV08'V t} O O -V 1 0 0 !»• *iV tt*. Vi, 0 O 0 0 0 ** - * ^ft fH} 000 0 . 0 sfr. Mmm \ / . » Que- ■*3 y . • ... V-4*. , o? - DelFArithmeticà JT . ... *"* 1 «.** Quefito quadragefimoprimo . \TOglio metter in ordinanza quadra di gente fotdati 2500 circondati V da tre man\y ouer file de cor faletti, dimando quanti faranno li cor- faletti , per fe, & quanti faranno li altri faldati , quali porremo effer tante piche. Ter far quello, & fi mili, come nel paffato quefito haucmo fatto,caua primamente la radice quadra dciqoo, qual fari 50, dr tanti tutti in- fieme faranno per fila. & tante file ancora faranno , & perche volemo , che fia circondata da 3 file de armati de corfaletti,adonque cauandone f, per tefla renano le picche efferc 6 file manco , cioè 6 mancho per lato della ordinano^, fottrando adonque 6 de jo reflano 44, citan- te picche metterai per lato , quali auadrerai faranno 19 j6, & tan- to faranno le picche in detta battaglia,ordinata, le quali fiottandoli da tutta la fiamma, cioè da a 500 ,refleranno 564, & tanti faranno li [olia ti armati di corfaletti, & cofi ojferucrai in ogni numero, qual ejfempio può fornire in ogni altra mifiura, come de corfialetti,archibugieri , <& al tre forti de armati , come fpeculatiuamente poi comprendere dalla figur- rapropofia. Et cofi fe f ufifero fanti 3600 circondati da due file de corfaletti, ca- lta la rad.de 3 600 farà 60, & tanti faranno per lato tra corfaletti, & altri , htr caua a file per fronte , & a altre per coda faranno 4 , quali detratti da 60 rifileranno 56, quali quadra , cioè mulliplica in Je fanno 3 Hó,& il rejlo fono corfaletti, che li circondano . ^ k » • * ' !■ . V> * rl'ì’3 V» * • ' • 1 4 • • ' , Quefito quadragefimofecondo. V « Vrtlli./W L* w ET volendo far Tri ordinanza quadra di terreno de fanti 3200, che da fpallaa fpalla fia vnopie, & da petto a fchena fta piedi 2 , cioè che fia in dupla proportione, dimandafi quanti foldati faranno per fron te, & quante file faranno . Ter far quefio al modo più vfitato,et facile,no in tutto giufilo. doppia li fanti $aoo ,cioèper tal denominatore de proportione, come fi ricerca , fa- tano fanti 6400» de quali caua la radice qu idra, ne venir anno fanti | 80 per fila , & la mito , che fono 40 faranno lefila,onde faranno il doppio per fronte del numero delle file . Troua multiplicando file 40 a 80 faldati per fila, far anno foldati 3 aoo & quefio e'I modo, che vfiaua,& infiegnaua Hicroritmo Cotanto nouarie- fe ne fiuoi libri. J s labro^bintòi* 230 . Et perche dijjì,ckt non è in tutte giufto,cofì lo prono, li intervalli pofli frà faldati io, fono 7 9, ci oi 1 meno, che li faldati, & cofi t inter Halli de 40 file fono 39 , quali doppiati fanno piedi 78, onde multiplicando 7 9 fia . jò,cioi lalonghegja fia la larghc7gta,chevno lato è 1 meno, che Val- tro,nen può far numerò quadrato , per che è ncceffario per la diffinitione del numero quadrato , che li lati fiotto eguali, & per confequente non fa-* rà perfettamente quadrata, vero è,che volendo foluer fimili qucfttigiu- Slamante non fi può faluar fcmpre il numero de faldati integro, per rifpet to,cbe non faranno fempre li lati delnumero quadrato, che fi propone, co me JicMfegucntica.fi chiaramente intenderai . ÌT .Quefitp quadragefimoterzo. < t. \TQUado far va ordinanza quadra di terreno de fanti 100» che fia il * doppio fpacio da petto a fchena,chedi [palla a (palla, rana la rad.de 100 fanno io, giongili ifà 1 1, piglia la mita de 10 fpacij farà 5 , giongi t. farà 6 fila , & per ogni fila fono il fanti , & perche il fpacio de Il fono lomifure , come farebbono piedi, oucr altre mifure , &il fpacio de 6 fanti da.petto a fchena fono J piedi doppii, onde farà il doppio da petto a fchena, che da fpalla a fpalla,& faranno è fila, & per ogni fila faranp fanti 1 1 ,che faranno 66 , & ne mancar ano 14, perche in quefto problema non fi può feruare la quadratura del terreno, & del numero faldati, & quefli , che auangano fi potrano difponer in altro luogo ò per antiguardia ò per retroguardia. Et perche io fpacij, che fanno 1 1 foldatiper vno lato,& 5 fpacij dop- pi itili primi fanno fimilmente 1 oi & io fia 1 o fanno 1 00, onde 66 folda ti occuparono vno quadro di terra,chefarà io mifure eguali per ogni la to,fi che è d'auuer tir e, thè quantunque il 1 fiala % de io per numero,non dimeno farà aguale a l'altro lato, che è 1 o per mifura , et quefto da molti pr attici faldati non è annerino , perche fi fatisfanno con le tauule di fuoi manipoli, ma quelli fargenti,et capitani a quali ho infegnato quefto modo fono reflati fati sfai ti dime, facendone cfperientia , la quale è maeflra delle co fi . 1 » . Qtfefito quadragefimoquarto. ’ “Jl'i • ! v 1* ■, ’ c r . • c * t « ' • • * , • • v ' ò V* v ■ SE voleffi metter in ordinanza a 00/ oliati, & lafciar vn quadro va- cuo nel mcTgzp de 5 file,dimando quante file faranno d intorno. Ter far quefto quadra j farà 25, cioè il loco de 25 faldati, giongilo alli Mmm 2 300 : DelVAiitKmctica! 200 faranno 22$, cauane la rad. farà 15 ,rt di quefio canone il $ rejtari to,&di queflo pigliane la -J- rtfiatto $,onde dirai, che [arano intorno 5 fitta faldati 1 "yper fila . Troua.q file per tefia a 1 5 faldati per fila fanno faldati 7 J,dr pere*, da altri 7 5 , & dalli Lui t-fper lato „ che fanno fo , quali aggiùngi olii 150, pcrehefono yf per ttjla , òr 7J per coda che fanno 150. faranno imtntto 200, conte fi propone. . Et tutto il quadro coi vacua di farà 12$ ,cioè d quadrato de 15.. »S 5 75 r • t * h 1 r'", r 5 '5 Vhéi[ 'i ' • 25 5 25 5 1 75 Vcl’*..-* 15 75 pertefla H pereti* 15 da velato 15 dall' altro lato 100 [oliati intatto. V Quefito quadragefimoquinto . Olendo metter fanti 3 a in ordinanza quadra di terreno, che dafpal la a [falla fianopiedi $,& da petto a febena [tono piedi 7 per quelli che portano le picche, dimando quante file faranno , & quanti faranno per fila . T-er far quefiobifogna trottar vn numero de faldati che aUifpaajfuoi ir olii fuoi Af-giontoki 1 , & multiplicata l'vna [annua con l’altra fac- cia }%jper far qiufle, poni , che quel numero fia 1 cofa, giongilit fura 1, co.p. i , & li-$r de 1 co. fono de co, giougili 1 farà -y* cop.i>qn* li muUiplica fia i co. p.i faranno cenfip. •£- co.p.i co.p. l eguali a 32, lena il numero , cioè 1 dalli ejìrerni rèflcranno -f- cen.p.i q* co.egna Ita in, parti tutta la cquaiion per li ceti, cipò per cen.ne venir anno i\ ce p. 3 -L- co. eguali a 71 -J- . piglia la £ delle co. ne vien 1 y quadra li faranno a -J-. aggiùngili al numero , cioè a 71 -i- ne venir anno 7 5 cauane la rad. farà 8-5- , et di quefia cauane la -j- delle cofe , cioè I -p reflano 7 fpaefi per fila larghi piedi 3 , che fanno piedi 21 per faccia . parti 'poi ilu per 3 ne venir à 7, che faràilfpacio da pet- to a fchena, & il quadrato farà 21 per lato , che faranno piedi 44 li ir per faper quanti faldati fono per fila, giongi, 1 al 7 fanno 'èfoi- iati per fila, ir per l'altro lato del quadrato fona 3 Jpacij da 7 piedi per v , ■ . . fp*ù* à tiferò <3uirft6. 23 1 fpacio,conuìen chele file fiano 4, cioè ma di più che lifpacij> ouer intet valli, pertiche fi conclude che in detto quadrato faranno 4 file , che affi- dati 8 per fila fanno faldati, ouer fanti 31, & il detto quadrato fari per lato piedi *i,che'lfuo quadrato per numero farà 44 », «fef à />ro/»» /fra, come difottofenfibilmente fi comprende, & quejto modo è dtmoftra tino, & per confluente certo . Et fpactf 7 a piedi 3 fanno anche piedi a i per ogni lato , et cofi farai velli grandi numeri come netti piccoli » Quefito quadragefimofefto. SE vno voleffe difpuner fanti jjóinfattaglia quadra digete , et di ter reno,chc tanto fia da /falla afpaHa,quanto di petto a febea* Di- ì c fi DeirAritfi^netici b tritando quante file far anno, & quanti fanti per fila, & quanti q#M\ dretti occuper a detta battaglia,per foluer qutfta,ct fintili problemi, que fio fiati per effempio vniuerfabe , et più brute, cioè prima cauala rad. dtx 2f6 farà 16, et tante file de faldati faranno , et tanti falda fila P°ì^ fòttm x de 1 6 refta , et t j quadretti faranno perciafihadurilqto ^ quali quadrerai faranno 2 a 5 , et tanti quadretti oct«p,Q*à dattabatta* glia, perche li quadrettifono 1 meno, che li foldati. fatta . * fV C. % 'T - . T W Quefitoquadragefimofettimo. ? SÉ-vmo voleffe metter in ordinanza fanti a 3 1 » che la fua longhe^a fìa doppia alla larghezza. . rtr Dimandati quante mifure ò di braccia, ouer piedi 0 altre fimile, fard la Longhena, et quante farà la larghe 73*, et quante file faranno li fal- dati, et quanti faranno per fila ? • . E da Japer come difopra fu detto, che li foldati faranno vno di piu , cheli intentala, che fono mifure, cofipcr longhezja, come per largir^ 7 a, cioè faranno vna di più ancor le file , che non fono li interludi delle mifure, adonque haueremo da folucr vno quefito cofi propofto , cioi. tro • itami vn numero alquale aggiorno 1, et alfuo duplato aggiontouiancor, 1, et poi multiplicato l' vno contri f altro faccia 131, cioè il numero e foldati propofto . . c , Et per folucr qUeflo,poni, chela larghejjafta 1 co.aggtontoui ifara 1 co.p. l , et il fuo duplato, cioè la longbc^afarà a co.p.l , horamulti- pUca l'vno con l'altro farà a cen.p. 3 co.p. 1, et queftopr adulto faU egua le a a j 1 .lettane 1 dall vna parte, et f altra, hauerai a cen.p.} co. eguali a 2 ìo,parti la equation per li cen. ne venir dnno 1 cen. p. 1 -3- co. egua ia 1 1 5 .piglia la -f delle co.fanno | , et qucfto quadra farà rJ- , et qiiefto aggiongi al numero farà li 5 cauanc larad. fura 1 0 "T euane 4 ’ cioè la -J- delle cofc reftano 1 0 ,et tante forno le mifure della largherà adonque la longbcgza farà 10, cioè il duplo, che iqultiphcatal vna ncl- f altra farà aòo, ma li faldati fona i ydi più per. Urghepd, adonque fa- ranno 11, et per longbcgja 2 1 , cioè ai foldati per fila , et file a 1, quali mìiltiplicati inficme, cioè il fiali fanno a 3 i , et è rifolto liquefilo, et coti ofteruerai in ogni forte de proportene della longhe^ga alla larghe ^ •za, quali è cofa degua da notar. appreffo al perito Sargehte. Et chi baueffe dimandato foiamente', quali fi li » numeri ielle mifure, che t vna fu doppia al' altra, che multiplicata l vna con l' altra fecero 200, poni che la larghezza fia 1 cofa, adonque lalongbe^a fora 2 co. multiplica C vno fu ìaltrofarà 2 cenfi , cioè 2 quadrati, parti 200 pet.j. .. 4 ccn. to? Librò Quinto. 21 2 ceti, ne vìen 100 cattane la rad. farà io, eh e è la largherà, adonque io farà la longheg^a , & cofi foluerai le firmili , & ponenioui de pià 1 batterai anebor con fummo, brevità il numero delli faldati , & del- 'le file . «r» * Q T •* K Wi . ,3 i\r, ** Quefitoquadragefimoottauo : \T7Ja compagnia de cauallieri, numero 1 500 fanno vno bottino a lor V nemici, che fìt venduto fico. 6400, de quali nepcruienalfuo capita- no la decimaparte. dimando quanto tocca a ciafchaduno de detti cauallie rij'à cofi, catta la -fc parte de 6400 fà (S40, & quefti toccano a loro ca- pitano.fottr ali delli 6400 reflano 5760 quali parti per 15 00 ne vienfc . j-fJ , « tanto tocca per vno . Quefì toquadragefìmonono . y TJftgnore vuole pagar cavalli 6600 permefi tS a ftu.n per larga V al mefe. dimando quanti fcu.vi andarono. Tortili cavalli 6 600 per perche j cauallieri armati fanno vnalan ga fecondo l’vfo de alcun paefe,, ne vengono 2200 , quali moltiplica per la fanno fcu. 16400, et quefì 1 multiplìcaper mefi li fanno jcu. 475200, et tanti fc.glt andar anno inmefi 18. Qucfito cinquantefimo. io.. V'H. ftgnore vuole pagar cauallieri jooo a ragion de fcu. 9 per larga al mefe, et vuol J pender /cK.75000. dimando per quanti mefi U pagar a . Tarli prima caualli 3000 per j ne ven Unge 1000, quali moltiplica per 9 ne vien 9000 .poi dirai fe fcu. 9000 mi danno mefi 1 , che mi daran no 7 $ooo.opcra,tr ne venir a mefi Sgiorni 1 o, et cofi farai lefimili . Quefito dnquantefìmoprimo . * Avalli legeri 15, et fanti 18 hanno fatto vno bottino rfr/c.a 75. i/c« vallo bade paga al mefe fcu.]. il fante fcu. ^.dimando quanti fcu. tote ano olii cavalli » %tet quanti olii fonti 18. MuU \ uff i A * a » ( » . -DtirAYldirhdtìca • Moltiplica ciaf cuna compagna per il f*o pagamentp}ciof licauafii fer 5 fanno 12$, et li fanti per j fanno 54 .giongili infime fanno 179 >p*i ■dirai per regoli del ife 179 volato fcu. irf.%tfhe vorr$no 1 2 ^.opera tt;o iterai, thè olii caualli » 5 gli toccar ano fcu.192 7^ > etil refiante alli fanti iS. che fono fcu.iz fummando le parti la proucrai . .jrnoorr: il :-r. oìibijp i 9 1 — 17? v . - Vit\« rH 8 2 — ùnjft^àKvj iiJrCT[ T (»{.? 1 v ‘.''.Vn j»r ì'n-rsw V -tot tv\t 1 :o .O' «Vi •i-i v -•> j diìij.i« . k..H7 tibia, wiì» ,)tÌMk]K^b t\ MI fcu. z7y ftona ■ ,t). q - . iVjjft i6{i ■ • ... , oc: •*. iitaVv\-<v Quefito cinquantefimofccondo. \TVo catleB.il- affiditi» ,&t ha dentro fantilnumcto 300, et trouano, V che dando onc. 15 de pane al giorno per fante, fi poffono tenir ntefi to.ac corre . che cptando furnop affati mefi j giorni 1$, gli viene auijo, , thè l foccorfo non può venire fe non a giorni 2^ più , che non pcnfauaqo, dimando quante onc.di pane fi dottorano dare per fante accio fi pojfino te uer fin alla v erotta del foccorfo. Ter dar folutionc alquefitojattra mefi 7, giorni 1 j de mefi 1 o refiario mefi 2 4-, che mancano finmefi io , ma perche bifogna, che afpcttìno^ giorni 25 de più, aggiongi li giorni 25 olii mefi i -J- fanno mefi 3 giorni I o ,et tanto doueriano flar inam^i , chevengafifoccprf) , per tanto dirai per regola del }.Jc mefi 3 gioriii io fitffèwme fi 2 giorni ij. chefarcbbo- no onc. 1 5 de pane.multiplica,et parti trotterai , che farebbono onc.ll et tante onc.fi doucrano dar perfimte acciò fia ballante finche ven- ga il foccorfo. ' Jlnchora fi patena arguire per la regola del 3 conuerfa,fi come fi fa f trottar ilpefo del pane da vi io oneri/ old. a ragionile foma euer Jlaro,di 1* ceudofe mefi 2 4" v oleno onc.i^-de pane, che vorranomffi 3 -j- multi- plica la feconda nella prima, et il prodotto parti per la ter^a^ioì per | -j-ncveniranoonc.il q,come de prima. Et perche quefla afpettatione di foccorfo può flar inÀoi modi,lvno è feemando d pefo del pan a thefiiaua a ciafchàdunb faldato algiorno,ouc ro feemando il numero de f ìldati,f mga minuir il pef j del pane , come nel {cruente qHcfito fi proporne . ... • : 1» . .fs: ■ r~\ - •• - • ■ > ' v J -•V\\ X 4 V * , » I Que- i LIbroiQuiht67I ' *** fri Qucfito dnquantefimotcrzo. CE in vna fo rtcgjga fujf rro foldati 7400 affcdiati, « cSr aitando me fi l lta vm,r “fccorfo fi poffana mantener per il viuere , «confa , che hanno auifo, che non può venir foccorfo , fi non doppo mcfi a 5 , fi diman ^quanti faldati fi debbono mandar fuora di detta forte? 7 a acciò , ùof fino viuer fecondo il folitofin olii detti mefi 23, comprefilì meli 11. Dirai co fi per la regola del 3 conuerfa , fe mefi 1 1 mi danno foldati 7400, ?*»>««/ </«r«wo mefi a 5 , 7400 /«nw»» 8l400,cr quefio parti per 2 3 , »c ventranno 3256, tanti foldati fi deueno tener nella. foriera, &Hrefloche fono 4,44 fi debbono man- dar fuora, perche quanto è maggior il tempo del foccorfo tanto minor conuien,chejia il numero de foldati . Et perche occorre nella guerra computar le ffefe di I, omini, & canal u 4 raZlon di tempo, per tanto ho pollo alcuni cafiaqucflo pertinenti . • Qucfito cinquaatefìmoquarto . C E cau allieti fpendeno in vno mefe con lor caualli feti. 60 , quanto Spenderanno 3 5 cauaUieri, in mefi j , giorni 27. 1 Ter far quefio farai tutti li mefi in giorni,poi dirai fe 1 3 in giorni io Jpendonofc.60 quanti fcu. /penderanno 33 in giorni 1 1 7, per farla bre- tjf mente multiplica li 1 5 per li fuoi giorni, fanno 430, & li imperli Juoi giorni, fanno 409 3 ,poi dirai fe 450, mi danno fcu. 60, chemi darai no 4095 . moltiplica, & parti, & ti daranno fcu. 34 6,qr tanto (pende- ranno li 3.5 cauaUieri in mefi 3 giorni 1 7,& così far ai le filmili . s.; A k *{, 15 l?o|6o| J3 1 1 17 •p*’1 ' ,< .'..ivn'ii’/j f 'ó * MPwfc'Tltyt IH»»' , 1 V . . • • ■fjv <8 C * T v 1 H" • r, t M**'- ■ ::U -ii.c.. Hivl. -u..| U' {• ! }'. •'ÌOì'.y , ! . hi 12 1 ?? . 7T7 i • • t 1 - li • £ l • <4 5|oh 4 jj h ? 1 4 o» 9 30 ' •jb *1- otutuiv'- .i • o 6 ! : j*I - il 'j » • • •. . i • itfbitf?.! \ in giorni 117 • * 'Vv Il U\jVi v- . *Vwt 2 0..7 * 7 r ; - DdrAritfimetlca Ff perche nelle guerre occorre alcuna volta a dar fungo a termine tontra nemici òper bruttarli la munitione, onero per far mine che fi feoppino a temperar ai a menteall'infrafiritto quefito .. Q uefito cinquanrefìmoquinto. I 0 trono , che braccia 5 de corda bragia [otto terra, oucr in altro deter Minato loco in bore 1 ma io vorrei , che fi accende ff e vn fuoco in- ternine de bore 7, dimando quanti braccia di cordagli bifogneranno di fallile gruferà t & qualità ? Ter t antonimi fe bora 1 -\-mi danno braccia 5 , di corda, che mi da ranno bore 7. muUiplica , & partane venir anno braccia 23 -f-, & tan- ti braccia di cor da fogli donerà accontmodare,jcciò fu brugiata in ter- mine de bore 7, operando con canaletti forati per far e xalar il fuoco, fi come conuiene a tale artificio . V Quefito'cincjuantefimofefto. Capitano ha 60 faldati ìnftcmecòn efio,& voleno partirfi feto. 54> che hanno guadagnato tutti in fumé, talmente , che1 1 capitano babbia il -j- di piu di quello che tocca a ciafchaduno de gli altri, eccetto al tambonno,al quale tocca -j- manco di quello che tocca a ciafeadun at tro degli altri faldati, dimando quanto toccar à a ciafc aduno difiintamen te delli fot. 5 4. Terfoluer queflo caua fuor a il capitano che vuole -J- più, & il tam *» burino a chiperuienc -J- manco,refiano 5 8 faldati , hor poni, che queflr 58 babbinofe. j per ciafchaduno. adonque t uni infieme li 58 hauer anno- fin- 1 74» M capitano volendo -f- di più de j,hauerà fcu. 4, &• il tambu- rino àouendo baucr ~ manco de 3 baucr à fcu. 1 , hor fumma infieme fcu. 1 74, & fcu. 4. de capitano, crfiic. z, del tamburina faranno fiu. 180, & quelli vorrebbono eficr fcu. 54, bora arguirai per la regola del 3 cofi > fi fiu. \%0 fu fiero fcu. 54, ciré farebbono feti. 174, & ebefareb bono fcu.^& chefcu.i,& troueraiche li fcu.ij^farebbonofcu .5 1 -J- dr tanti fcu. toccarano atti 5 5 faldati, & al capitano prouenirà fiu. 1 -f- & al tamburino de fcu.proualo ghngen- — do infieme -L de fcu. furano fin. 54, come fu propoflo, et partendo li fcu. 52 •j-pcr j8 faldati ne venir à fcu. , cioè tal parte de fcu. per ciafchaduno delli 58 faldati, tr cofi farai le fimili » 5 » I' : \ 1 fu. 5 4 ■ $ £uc- À librofQustó»; -a a3 + Q^efitodn^Mjlatcfiipofetti trio i SE fujjcro doi efferati, & che trio fu(ie cantinato inauri a l'altro mi- glia 6o,& faccia ógni giatnamigUa J2,& l altro, chtó recato adii t> o faccia ogni giorno Miglia 40 , dimando tn quanti giorni aggimgeta quello, che è inangficbe tatnhta al giorno fittamente miglia js. Ter far quefio trotta vn mnnero,che tanto faccia multiplicato per 3 1 & giontogli 60, quanto che multiplicato per 40, quefio fard il nume- ro delti giorni,poni adoiiquc,chc t" aggiunga in i,cofa de giorno, moltipli- ca per $a farà ji cogiongili 60 farà 3 a co.p.60 eguali a 40 co. letta li 30 co.de 40 co. r filano $ co, eguali a 60. peti ti óoper 8 ne 'vengono gior nt 7t> &”ht tanti giorni, t aggiongera.proualo, trotter ai, che tanto fà 3 a multiplicato per 7 -5- , & giontoui 60, quanto farà 40 multìplicato fCf 7 T» chf l vn,& l' altro farà 300, cioè miglia, che batteranno fatto. Si potata anthora far più breuementq faticando li miglia 3 2 dalli miglia 40 rcflano 8 de differente al giorno farti adonque óoper 8 ne 'vìen 7 -f- giorni,come Ufopt-a . '.'ir : i Et nota,cbc da qttejlo problemafcpe puq cattar molti vtHi per trottar' li affetti de pianeti , tome per qucflo effempto potrai comprendere, pongo che la Luna fi mona al giorno gridi lue telar irsele in vn giorno fi moua gradoi,& che precedi lacuna tfe gradi v6%.fi dimanda in quanti giorni fi farà la congiontionc del Sole, & della L una . Ter far qtiefio fon+a-it ntoto diurno deè Sole dal moto diurno della Lmttf cioògradi 1 degradi 1 j, regimo gnedè T2. parer gradi 16$ per' vxlRf- ferentia delii moti loro, ne venimmo 14 , er in giorni- ti fi farà fa Con- giontione delli luminari, & cofi farai le fimili,faìuo pero le dir et t ioni, et retrogradationi negli altri Tiancti da co tifi derare . « 4ncbora,cbe fin bora babbiamo profiofle ntoltf quefiioni militari, & fpccialtnente de ordinante quadrate, nondimeno fi fanno alcune altre or- dinamge- triangulari de diuerfe maniere,deqttal}pcr brevità, ne ponevo due, co» lefue figure. " Quefito cinquantefmtootfauo . \lll\ Tj* Glie ma ordinanza ouer falanga triangulare , che comincia’ dalla mita,& finiffe in 1 1 per kitheti continuamente difpari de faldati , fi dimanda quanti faldati far qn^t nella pfopofia falanga. Ter far quello, & fimili aggiongi 1 al 1 1 , cioè il cono alla bafe farà impigliane la -5- farà 6 > 1 &qUeiìo quadra far et ^6, & tanti faldati fa- ranno in detta falanga.^ j ‘ t j 1 1 x 1 * V^Jin 2 Et Ddl’Arithmcdca Et la conuer fa farà, come di (òtto ; • 1 *• ,« uit^ . O ' f \T Oglio difponer fanti } 6 in ordinanza triangulare che proceda per thf V meri dijpari. dimando quanti foldati faranno nelli dot lati, & quan- ti fatano nella bafe.a far quefio caua la rad.de 36, ne vengono 6,& tanti far ano per ciafchadun delti 1 lati minori , poi doppia il detto 6 fanno II cauane 1 reflano n,& tanti far ano nella bafe de detta falanga, come qui dijotto appare. Ordinanza de foldati triangulare, • 6 6 1 2 tonuerfa 1 1 z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 I I X Z I ZZI zzili! I I Z 1 I I I z I I I 1 I z n»i* 2 I 1 2 6 6 U l&i. 36 fanti Et fe vna falanga cominciale dalla vnità fin' alli io fecondo la progref pone naturale, giùngerai 1 alli io fard ii,& queflo multiplica per 5 ,cioi per la mila de io farà 55,^ tanti fanti co menerà, come difotto vedrai , I ; 11 zzi falanga deOa 111 progrejjton naturale zzi ’ é . ■ . . - 1 I z 1 I z 1 1 . I 1 x I 2 X X 1 o I I 5 < I I I ZZI Z I I x lizzi X X X X I » l'Jl!' 5 5 /«■*» tnl. fuse k-.l, _ _ I -ti. Libro Qoìnto.4 23$ f*l1> '** | W , f ' t Ì * * Quefip? dnquantefimonono.’ r.fcl.j 'Hi Mr-u Gli è vna falanga de faldati qual comincia nella cima, ouer corto da ’ t,& ciafcunafila è 2 più cbe la precedente, ma ne fonodue eguali, & poi a altre feguenti,& eguali : a più ciafchaduna che leprecedenti , cioè cbe'l fecondo paro tic file èS^il tu paro è 12, et il quarto paro 1 6 et co fi va cotinuando,cr finiffcin ì^uinenfe Sei" vltfmo paro è a 8, co me vedi nella fottppofla falanga. Amido Quanti fanti farà detta falanga. Ter fapcr qucjìo mnltipticà la bafe, quatt i 4 perda fuamità, cioè J'tr 7 farà 98, poi' foptra li fanti tpoflinèUà cima' dalli 14 polli nella ba e ridiano 12, quali aggiùngi al$Z detto fanno llo,et tanti fanti faran no nella detta falanga . vi:»: V.U-.4 X X * ì5Vi ,0 I x ir 1X11 «ii* 1 V 1 ■ • . • • • ■ 1 iw rr^iir v»kf f 1 ■ : ~ t&wiff i <{ .fsw i ■ ' - * bafe i 4 . 7 mità della bafe [•'f’fntr: uh rrtrr* — I 1 I 1 I l • • t p 8 i- ■' .i3 i.l 1 2' IIXIIIIX X t t I I ì I I >1“' «•’« -1 $t* X I vi I X I X X ,vv '• I I I X I I I I X I •Wfc* j I X o fanti de det ta falanga. M vi X I I X XX I I I 1 I X 1 1 1 I l i 1 1 11 I I 1 ii . .. 1 i 11 11 1 11 ili 1 1 'X 4 ultima 2 x x x x I x 1 1 1 X X X I 1 reflknofYpnma Qucfito fdTagcfimo comieifo al precedente. T \oubni vn numero, chemultiplicatoper lafua mità , & poi al prò A dutto gionto effo numero faccia 1 ia, cioè t più che t io, poni che quello numero fia 1 cofa , multipliea perla fra mità farà -}- ce.gkn •* ■ 1 2 Dcfl’Aiiflimcflài gili i co. farà cen.p. x ,co. eguali a 1 1 2 , parti-la equation per li cenfè ne venir à i , cen.p. a co. eguali a * 24, dimena le f 0. farà, \ quadra farà pur giongi al numero farà 215,' cauane la rài Jfnrùjt %,dal quolctt uanc.i mità delle cofe reftano \q,& tanti fanti fu la bafe.cauane 1 re fi a tl,& tati erano piato, dot < lato9& li 3 peri' altro èfatpq. Et nota che iiffi i hm vecedi x 1 o, perminnhr difficoltà nella «pii* rottone . Quelito felTagefimopri mo. / ' * ; ? 1.*; «Va Wlt^wUr^ U' ’)VX SS ma peqzp d ortiglierìa, che tic» de diametro divalla onc. ) dirn- fura,vttolf'. di peJuen- £. %,dmando l. dipoi nere donerà ha ■< ¥*r v» aln-o pCT^q-, Emetto di balla on(.^ di eguale? .«(• longbc^pa . Ter che la poluere è come corpo cubo, dirai fe onc. ) mi che mi darà onc. y mifura.cubarai la prima, & la ter%a,t danno 1.8 pefo cioè il 3, & il f faranno a 7, & 125 poi dirai fe 27 mi danno L.8, che mi daranno 125. rnultiplica,et partiti daranno £.37 -*r di pUuire\ & cofi farai le fimi li, & conucrtenip fpeqitq prona. 1 X 1 1 •'&’ RlUv f ( * Trattato de cambij / et faé dibifionì *’ ? in tutti li modi! 1 1 i i i ì i i i i Tettole cationi hanno due forti <(e 4inqrinufrapefunja,cioè fifa,& mobile, et la pecunia fifa s intende quella , che ha fempre alle fuo parti vna medefma proportione,chnàe firSbè iPdikalo de camera in Ali lano vale fempre L .4, & lalibrafolfii }o,& ilfoljlo ifinpripiccioli 1 1, Onde il ducato di cameravalera fio, che fono d.960 . Et in renetta il ducato corrrnh vhléfcnipre l.ófot.ql & liL.valef. 20 r&ilfol.vale d.n piccioirpalmintp clfe'ld^te^dufapo qortrenteva- Icria fi m,ibcfono d. 148 8 de piccioli . Diuidcno-anchora il ducato1 corrènti irìzif pkrtl , èh e1 ciaf eh aduna la chiamano gr Ojfiytfo ct.ragiondeif. *2 4 />f r drufto, vqlefiajl gjrofofol. J d. 2, & ciafcbaduno grof ovale piccioli 32 , & con quejla fanno loro contratti. x. . ~r ^ ' r\ HÀnnéamohoravn».Atrd "finte ài monéta fìffacbt ’fcilfktia UUpfibt vale ducati io, & con quella incantano li dati- j gabelle la più parte pertinenti alla Repubhca, & cefi fi f tram anqht^^Mtpche^bc vfk no ciafchadwm onc. % dora affli maneggici IqJppradeuaC.dega lare de dut.io fi chiama L, nota. ... l . # Et i. Libici Quinto. 23 6 Et fùtilmente per la Tofana fi vfano 5 forte de moncte,de quali f vna Fiorerà è detta ducato, l'altra fiorino a oro, la terga fiorino a fiorino, la quarta fio tino a papali,& la quinta fi dice fiorino a piccioli, onde il ducato non firn cificando altro fempres intende Ventilano, foprail quale figoueruano la F;or;ni più parte delti traficbi,et contratti, et il fiorino taro 1 intende fio, et il fiorino a fiorini vale, f.ip, et ti fiorino a papali valof. 90 quali, vfala ca- rriera di Terofcia,ct ti fiorino a piccioli valef. 1 00, cioè L. f , et qitcfia V- fa la Citta di Terofcia nelli fuoi traficbi,& altri luoghi di T ofcana, - Et in Venetia il ducato a oro vale graffi 24 , et ti groffo vale piccioli D.aoro Ila oro , et lire vna a oro s intende due. 10 , et fol. t a oro s intenti e grafi grojfo 2 4 il, et a piccioli vale L. 6 fol. 4., onde tanto è a dir fio a oro quanto f.i-o Lr.a 02 A furino, et quanto fol.90 dpapali,et quanto fol. 100 a piccioli . fad. io. Et cofi in venetia,tanto è adir L. 6 fol. 4 de piccioli, quanto che fol.i a oro ouero graffi 24 , et quefle fono le monete fife di quefie $ Città con fuoi adhercnti , quali fi hanno da vfare nelli fcqucnti qutfiti de cambrì, che copiofamente fi trattar anno . Ma le monete mobili fono di due forti,cioè d’oro, et d’argento, et quefle cambiano ti valore non folamcntc per rifpctto delle monete fife, mi anco- ra per rifpctto delle fue parti, come il ducato d oro valeua altre volte iti Milano 1.4/. j ,cioè,f. 8 5 .dipoi crebbe tanto, che venne al valore de L.6, che fono f.t 20, et fimilmente in venetia il ducalo d’oro altre voltevalfe L.6 J.^cioi f. 1 24? et poi afeefe al valore de L.y, che fono 140, onde qnc- fio fi chiama mu tot ione a rifpctto delle monete fife, mà variano anebora arifpetto delle monete mobili,imperoche il ducato d’oro valfe altre volte in Milano 4 tt frani, & vno foldo,ct dipoi crebbe tanto, thè valfe ^teflth- ni,&fol.%,& 4-tcfloni a f.i% per tettane valenaHo fili, adonqueè ere feiutto il predo del oro fopra ti predo del argento , et il teflone valeua fé nonf.i\,ct horavale fiS, fiche è crefciuto il -y- di quello, che prima va - lèua , onde la moneta , che prima valeua vno folio de fifa al prt- fente doueria valer d.i6. adonque la monetai' oro de Milano è de dinerfi predi. ma fupponiamo,che' l ducato doro vaglia L.6 de Milano, et ti teflo- ne fol. 1 8 ,ct il fiorino fol. 84, et ti mocenigo fol. lo, et al prefente valcno t 8 4. 4 L.’j.cioè ti due. detto, et il fiorino f. 96, et ti mocenigo f. io, et queflo bafli » 8 per e f empio delle monete quali fe hanne la più,parte davfar nelli fequcn * li quefiti de cambij . 1 1 z- De alcune colè da conolcere prima , che fi venga alli quefiti de Cambij t PFjma è da fapcre che li cambij delle monete fi confiderano in doi mo - di, cioè fecondo la proporzione dcll’eccefo del valor, del quale fi di- rà. CC VtjiA A lX i.' *8 l Vi ' . fàelPÀnfhthÀica rà difottO , & fecondo la vera equalità , la quale confifle nell’oro dì eguale bontà , & pefo,nel quale poco , ò niente fi perde, nel tr apportarlo da vno luogo a vrf altro, per la facilità del portarlo , perche fi porta con manco fpefa, & pericolo . 1 > .. t •’> Secondo,& fe ben valeffe meno in vn luogo, che in vn'akro, ancora le altre monete,et mercantie valer iano manco, perche la eflimation del? oro fecondo il commun' corfo tira feto tutte le altre cofe propor tionalmUteì Terga fe volefli ridurre la equalità a vn altra forte di moneta , one- ro a moneta fifja, allbora per rijpetto della varietà del valore in vna re- gione nelle monete mobili pervenir efli alla perdita, onero al guadagno al cuna volta della terga parte, perilche fi cohclude , che non è migliore equalità,quanto la uavfmutatione dell oro della medcfma bontà , & pe* foìn diuer fi luoghi, er chi credono altramente digrtmlonga t inganna- no.percbe i oo fcu.d'oro,ouer ducati in Milano , fono 100 feudi ancora in renetta, Lione, & Londra,& altri luoghi,onde auuiene,che fi tira la proportene d’vna moneta fiffa d'vno luogo a vna moneta fifj'a d’vn’ altro luogo, come faria fe' I ducalo d'oro valeffe a renetta L.y.et in Milano L. 6, adonque effendo la propor tione dal 7 al 6 fcfquifefia,farà la libra Mi- lancfefefquifefht alla t'cnctiana , ctcofi valeria la lira Milanefe fol. ij -f- della monctadi renetta , et il foldo di Milano valeria d.iqii moné- ta di renetta, et la lira renctiana valeria fa della libra Milanefe , che f ariano fiq fa di quella di Milano, et a quello modo dalocp ft potrano •ridure tutte l altre monete, alla cognita propor tione. 1. Ter effempia adonque delle fopraferitte valute, hauendo poflo, chela- -L.veneliana ifa della Milanefe, fe volefli trouar vna L. Milanefe qua m ti f.r milioni valeffe flante quefloprefuppofìto,multiplica fi 0 per 7 de- nominatore farà 1 qo, qual parti per 6 nominatole ne venir ano /li j et tanto valeria la L.de Milano de moneta reniti ana, Màfe volefli trv uar quanti f. da Milano valeffe la L. de renetta , moltìplica fol.oo fiffa, per 6 nominatore fanno 1 io , qual parti per 7 denominator ne vengono -f.i'j ~7 , come difopra , et tanti fol.al corfo de Milano vaierebbe la L. remtiana,et cofi volendo trouar quanti dinari de Milano valeffe f. i,di renetta, moltiplica d.iz per 6 fanno 71 , qual partiper 7 ne venir anno d. 1 o fadel corfo de Milano, et il f.de Milano valeria d.iqde quelli de renetia,cbc fitroua moltiplicando 12 de fiffa per 7 farà i\,qual parti per 6, ne vengono d. 14 ilche off érua fempre in filmili. •à. I J ; i, i . T, 1 .) 1 '^1 fr il; : [icir.nr.v. jij i ibuD illfixj ’ u i \ì £ ili art / . . ; ♦ *. p * J' 7 20 libro Qulntofc^ 2 37 a o /.io 7 6 X 2 6(140 • 7 I I 1 O 6 ( /• * 3 t daVenetia | f l 7 -j- de Milani 7 1 7 » 1 a d. 1 o -y- de Milano 7 * 6| 8 4 I d. 1 4 de renetta. Quìnto.Oltra di quello è da notar , che colui che vuole cambiar in eia ’febaduna forte di cambio, gli bifogna fapertre cofe principalmente, la prima è che tale è la proportene de L. aL.fi come da f. a fi comparan- dole a forte per forte, & cofida d.a d. quando la L. valej.zo fiff,& il f.d.tz filfi . La feconda è che gli bifogna faper il valore de ciajcbaduna moneta tanto fiffa, quanto mobile , & la proporzione cì>e hanno tra loro, & la equalità detta difopra dell'oro , & l ecceffo , onero differenza nel dqre,et nelriceuer diuerfe forti di monete, & fìmilmentc l'vfanga, & coflume proprio delti baneberi nelle fue monete fife, del quale guadagno fi diri difot to . La tergaò che fi come per la moneta fiffa,fe fanno li cambile vendi - tioni,ù ■ li patti, co fi tutti li pagamenti fi fanno con moneta mobile , & non fiffa,imperocbe la moneta fifa è folmentc vna <ofa imaginaria per rcgular la quantità della pecunia , & li pagamenti, s intende fernpre a * *no de 4 modi . Il primo è dare vn tanto di moneta fifa del luogo ouc fi fà il contratto & nella monetafecondo il valore del detto luogo , comcfe'io riceueffi L. 100 in Milano, per ritornarle a Lione altre L. 100 pur al corfo,& valor de Mìlano,GT quello rare volte occorre . > Il fecondo modo e come s'io riceutffi L. 100 in Milano promctcndogli dar in Venetìa altre L. 1 00 Milane fit : ma però al corfo della moneta di Venera, & queflo rartffime volte occorre . il tergo modo è come feto riceueffi L.100 in Milano promettendogli dare L.ii6-~- Venctiane, perche fanno tante de Vcnetiane a ragion , che la tira f'enetiana fia della Milancfe , ma però della moneta che Cùrre in Milano,& quejio tariffimi volte occorre . •• , '• Il quarto è come s'io riceudfi L. 100, in Milano con patto de refiituir gli in renetta L.lló -jj, (me difopra, perche tanto fanno de V eruttane, ^ Ooo ma - 1 DcH'AHrfìmcticJ ma però al corfo delia iponcta V enitiana,et quello uccide alcuna volta * 7. Et volendo faper la commutation delle monete tra doi luoghi , ojfcr- uando le cofe dette, & quelle che fi diranno nelli primi quefiti facilmen- te lo potrai faper e, & fono fi iuta la equaliti de doi luoghi, per quella medefina via potrai trouare lacommutatione tra tre , èr quattro, & quant i bifigneranno, come fi volejfi cambiar tra Milano, Ó" Liane, & Londra,C(Hiofiiuta la ragione de Milano, et Lione, dipoi da Lione, & Loft dra faperemo la ragione della tranfmutationeda Milano a Londra ,& co sì de quanti luoghi vorremo , reducedo la moneta di vnaalla moneta del t altra, & da qucfia a vn altra, & queflo era da notare . 8. £ da faper e per regola generale, che in tutti li cambi \, & tranfmuta- tioni, tanto vno perde quanto C altro guadagna, & conucrfamcnte tanto vno guadagno, quanto l altro perde, onde fi io guadagno 1 o,f altro per- de io, cr co fi conofiiuto il guadagno di vno fi conofce il danno dell'altro, & imperò fatisfa vna regola fila per conofiere ilguadagno,ouer danno ’tjfolutamente parlando . Ter che fi vno perciò guadagnaffi 20 per 1 00 l’altro perderla 1 6-p per 1 00, onde volendo faper il danno dell' vno per il guadagno dell'altro proport tonalmente dir ai, fi 120 erano 1 00, quanto erano 1 00 . multipli - ca,& parti trotterai che erano 83 , onde fi vieti a perder 1 6 -f- per 100, et tosìvoledo il danno dell' vno trouar il guadagno dell altro dirai fi 83 -f- erano 100 tra capitale, er guadagno,quanto erano 100 , opera per la regola del 3 trotterai che erano I io, onde il guadagno ì 20 p 1 00. *ddonque tanto ab folut amente quanto proportionalmente conofiiuto il guadagno fi conofce il danno, & conuerfamenteconofiiuto il danno di vno fi conofce il guadagno dell' altro ò abfolutamente,o rifpettiuamente » ilche era da notare . »■ De quattro forti de cambi). v, * a. -V* ù-.v»' un' \ > iu *. . tó’:*- w t4 viin nr*i. 50no li cambii di quattro forte, cioè minuto , reale , ficco » & finto » quali fi diluiranno a vno per vno . il cambio minuto è Vna tranfmutatione de diuerfe pecunie in vn me- defmo luogo, come s'io portaffi a vno banebero tanti ducati, onero feudi, & farmi dare la valuta in tanti mocenigi , ouer altra moneta. Et circa di queflo è coflume dargli vno per 1 00 , onero vnofoldo per ducato, ouer per feudo , & fi la fummo è grande fi cofluma dargli anco ra mancho , come faria j per 200 , & tale guadagno di banchieri è licito, Mafie alcuno gli porta moneta da tagliare > cpme adulterata , ouer » fcarfit i I V\ libcof^Jdlitò^CT Jcarfa ài pèfa, àUhoranòn fi può propriamente chiamare e ambio , ma venditione . -t « *•. \ II cambio reale è quando fi riceue dinari in vno titolo per altri dati in ’ ■tri altro luogo, & perche qurfìofi fàpernecefjità, & a communc vtìli tà de mere adanti,# vrandanti,per quotiti liciti, & conceffo dalli Sacri l Dottori, perche ogni crfa ncceffaria è anche licita mentre fi eserciti ret * 1 tornente , &■ fen^a frauda di alcuno , <jr cofi la militia è lutea fc egli h 1 fatta con ragione,#- giufin defen flotte . Ter effempio di qurfla pongo, cheiohabbia dihifogno de dinari in Lio * ne di Frauda, & che io babbi li medefmi dinari in quantità , & valore 1 ioMilano, io numeraro a vno banchiero , onero ad altro mercadante tan tapecnnia,qùanta ne hodibifognoin Lione. & in qucfio'cafo,io fon il dà * tote, ouerÙ cambiatore, & quell» banchiero , onero mercadante , che i rieeue limici dinari fi chiama il principale, perche è principalmente dehi{ tote, & tale fermerà vna lucra a Vno fio amico* Lione, la quale a me ' darà, acciochela mandi a vno imo amico a Lione , il quale per vigore dì *" ejfa lucra feoda dall'amico del principale qbe/ta fummo de dinari, che to ’ gli numera i in M ilano , onde in tale cambio fi ricercano quattro prrfone » '■ cioè il datore ,# il princip ale^he prima bd ritenuto li dinari , fornico del dottore ,<# l'amico del principale . ■ < ■ ■ a Mafeiovado inperfona a Lione con la Utero del mercadante, onero principale a fcoderli da quel fuo <tmico .allhora faranno fot amente tre perfine, perche non mi bifogna altro feoditore , & qnejto è da notare . * 1 . tir catti queflo è da con/idcrare che l cambiatore incorre in ? pericoli , de quali il primo è cbdl principale non inganni il dottore delli dinari . Jl fecondo è quando l'amico del principale a cui è cornmeffo che [borii U dinari aW amico del cambiatore non ti voleffe, onero per qualche fint- ftro cafo non U poteffe efborfare, il ter-gp pericolo è quando l'amico,ouer agente del datore, aver cambiatore non me lircftituiJfe,oner rimandi li dinari nella quale remiffìone occorre pericolo . •' • Circa il fecondo pericolo è da notare. Ih erudite volte accade, circi- amico dei principale non voi efborfare li dinari, onero chenon può refi tuir all'amico, Oueragcnte del dottoresche fi trono in tale Città,# allho . ra lamicojoucr agente del dattore, rimanda aeffo-iatote tre cofe, cioè le Hit ere de cambio , et la protejiatione della dimandata pecunia, et ne- gaia dalT amicoM pweipak, et ti valóre dell* fiottmìa- fecondo il va - lor del luogo j nel qual fi deboe far là refliiutione , et non del luogo , nel quale prima fumo efborfati e/Ji dinari • Màfc l'amico del principale non voioffed.tr ti dfnaifdel cambio, vdUbota il datore medban ti èffe tittert riman datt,o per altro vigore effe* Sfitti dinoti dadffoprinsipalefotto-l» fbtmadeì volare, noti del tuogtf Dell’ Ari thmetlcd bue fhorfo li dinari, mà del luogo , oue fi doueua far la refiitutione, come feto haueffe datto a vno mer cadute in Milano devalorcdcfc.6$,accio- cbe fia ritornata a vno mio amico otter agente in Lione , & che al tempo della refiitutione valeffe e/fa marca <f oro nel cambio fcu.fi. In queflo co. fo è obligato il principale a riflituirmc in Milano ficu.68, cioè 3 de più ,- che non bà riceuto da me , quando non li baueffe reflituiti al amico ouer agente mio in Lione , come fi afi>ettaua,& circa di ciò nota,cbe la confine» tudine del rendere li dinari in Lione, come faria due. 6% per martad'oro » è che fi exborfano la mila in oro , & t altra mita in moneta d'argento fe- condo Ut p iu parte, po che diuerfi luoghi l>anno diuerfi cofiumi . Circa il tergo pericolo è da notar e,che per la più parte fe haueffe dat- toin Milano fcu. 65 d'oro ad vn merendante , cherne li babbiarichiefli promettendomi reflituirli in Lione, fe lui me li nfiituiffe a Lione per Inte- ra di cambio, atlhor a bauerò f blamente fcu, a Lione, onero poco più, li- quali me bifogna hauerli in Milano , & per queflo mi bi fogna ingegnarmi di tradure efft dinaria Milano, onero per vn' alito ricambio dandoli a Lione ad alcuno amico, quale cornetta per lettera di cambio ad vn altro fuo agente,cbe babbia in Milano,cbe me Ciano pagati,& quefla è ottima ttanfmutatione , onero, che attualmente fiano tradotti efft dinari a Mila : no,& queflo è con pericolo . Il tergo modo è, fe fi comprano mercanùe con quelli dinari in Lione » € ’T quelle condurle a Milano, & quindi ne nafte il prouerbio,con la trat- ta fempre è la rimeffa . Et nota, che la forma de tali littore di cambio è breuifftma,& contiene dentro tutte qucfle cofe,cioè il tempori giorno, il no me del cambiatore ». & del amico del cambiatore,e'l nome del Vrincipale,cioè di colui,cbe ha riceuto prima li dinar i,& il luogo nel quale è fatto il c ambio, & la cau- fa di efjo cambio,& di fuori illuogo oue fi deue fare la refiitutione, & ih nome del amico del Trine ipale , alquale fono indriggate effe littcre di cambio, .« Et fe per la prima non pagano, replicano con vn' altra del medefmo te- nore,& fentimento,& perle medefme parole, f e non che gli aggiùngono » fe per la prima ouero per la feconda non hauereti pagato , per quefla paga. rcte,&c.eomedifotto. . -jjj . v , / . %v. • t • *3, » SN * Ài U Esempio de lettere di cambio . £ ' . ì $ 7 a adii Maggio in Milano . PEr quefla prima di cambio pagar eti al Mag. Sig. u ileffandro adorno QcntUbumo P^manq ducati cinquecento di «mura per la valute de \ i j :>! Libro Quinco. 239 de altri tanti ricettati qui dal Magnifico Signor ^iluife d ^ida, et poneteti acconto noflro,& fatto il pagamento datine atti fo, che de altri tanti vi fa- remo creditori , che Iddio da male vi g nardi, - ' r-' viù.v .><• '. .?*'■*' : * 'Un • • roflro Incarno Vecchio in Milano* » <\v. . • ■{ Mo’ 1 (1 • !,•». V*i .or , • r M. r. * Et di fuori della littera figillata. » • d t x » * , « • f t it *t * \ I I1 * « 1 jt M. Incorno Manilio , & Compagni in 1{pma , • 1 6‘Et da qui è manifi fio, che'l fine del cambio reale propriamente è In tranfmut aliane de dinari da vno luogo a l'altro. Sono li cambiatori mol- te volte effl bancheri,& alcuna volta per il contrario li cambiatori fono merendanti,*? li banchieri fono li principali,cioè quelli, chtpigtiano di- nari a cambio da reflituirli poi in altro luogo, fono adunane doi modi, & tvn, & f altro modo ft può variar in doi atiri modi,pcrc))c ouero, che co - lui, che dati dinari hldebifogno di cambio , ouero che colui, che li riceue bà debifogno di cambio , fono anchora doi altri modi non cofi frequenti * cioè quando alcuno, che non è mercadante,mà nobile riceue dinari da v- n' altro trouandoft fuori della patria, promettendogli di reflituirli per ti fuoi amici ouer agiti nella patria, a vn' altro amico oner agite del bachie- ro, onero di qualunque altro, ciré gli ha datto tali dinari , ouero mangi* che fi parta darà dinari a vno bancbiero, acci oche eflo baghero gheli faccia reflit uire, nel luogo al quale vuole andare per. qttalcbe amico oue- ro refpondente di effo banchero,ouer datore de tali dinari , Sono adonque 6 modi, conte difotto appare di cambio reale. primamen te il bancbiero da al mercadante dimandante dinari accioche eflo mer car- dante ti renda ad vno amico, ouero agente di eflo banebero , in Lione ò ab- tro luogo noto . • Secondo il Banebero da a vn altro mercadante difua volunta , accio- che detto mercadante li rendi a vno amico di eflo Banchero,cbe è in Lio- ne ò altro loco notificato. ’i Tergo il banebero da dinari a vno nobile, che gli dimanda prometten- dogli eflo nobile di reflituirli ad vno amico ouero agente di eflo banebero, che ha in Lione . Quarto il banebero riceue dinari , quali gli offerifle il mercadante ac- eioche eflo banebero li rendi ouero faccia render e ad vno amico di effo mer con te,cbe ha in Lione ò altro logo. \ Quinto il banebero riceue dinari dal Marcadante richieflo promcttén dogli effo banebero reflituirli ad vn’ amico, ouer agente di effo mercadan- tc in Lione . j \ > Setto V.’gH <?£* . ff)c)l!SrKblnèrica Srfio il banchtro riceue dal Tubile li dinafi,che gtioffni(fe.,Ac^ cèto affo banchtro gli ritorni, ouer faccia r effondere ejji dinari a effo J^obile» quando farà in Lione,ò altrologo notificato, come difopra. Hora quefte cofe confederate debbi fapere,che la condition di colui, che riceue dinari,òpih,et meno buona per cinquc caufc, perche vno farà sfar jatoa pagar i j per 100, vn' altro folamente 2 per too , & 'un'altro niente, & un' altro anchor aguadagnar a 1 ouer 9 per lucrati ricte er di nari, benché colui, che dà li dinari,ragioneuolmente doueria fempre gua- dagnare,pcrchet tfponelifnoi dinari a pericolo, oltra,cftc fi priua del vfo di quelli, & de mille occajioni per le quali potrebbe guadagnare hauendo li Juoi dinari, adunque le dette j conditi otti fimo Ifinfraf ditte j ' -VÌI ijyla prima tondrticmebla perf<ma,intptroibcdbanchcro,perckt pra\ prianientcè deputati* quefto officio,-» noie pili guadagno dal utcrcttntcì} che i mercante da cffo banchero , & ilrner conte itole piùdal ì^o bUe* 'che' l nobile dal mercante , perche U nobile è più remoto da tale officio » che‘lmercante,& il mercante più,che'l banchero. ve'. La feconda condìtione è di quello , che richiede il cambio :* bnperoche* benché lui exhorfì li dinari, nientedimeno, perche lui ricerca li cambio in fna utilità, è deterrvr c ondi t ione del quer ente, che de colui jlaL quale è di* mandato il Cambio. totoitoi^ v\ob«MKm ovd»*» La terga condìtione è la dimora del tempo.perche quanto più tempo >4. le lenirli dinari il recipiente ouer principale, tanto • più di ■utilità gli di* manda il cantbiator ouer datore. > - La quarta condìtione è il receder li dinari nel Inogoy me allhora.td\ carcJlia,ouero abondantia, & futilmente nel fendergli, imperoebe ifeam biatore vuole più, fe darà fuori li dinari invnluogo, oue fia maggior ca -refliade dinari, che noti fta nel luogo ,oue>ft habbino da reitituire efjì di) nari, ma fenel luogo, oue da rffi dinari ne fta abondantia, et nel luogo , oue lihadareceuer ne fta careflia, allhora volentieri li darà il cambiai core ancora con poca vùtità,ricercatada effo principale, perche rifguar- -ia al grande vàie, ebe ne bauerà d oppoi, chtli haucrà feoffì dal pribi cip al e . twe* > 1 r\i. v OK La quinta condìtione b accidentale*, come faria al tempo dell? guerre che li creditori lem modi perdere li fuoi dinari , onero per leconditioai del recipiente,ouerprincipaIe,quale alcuna volta è pouero , onero perfoy na, che non mani reo fede, oueto Contumace pagadore, onero perfond tan to potente, che non fipuòeffequire , fi crefee ancora la conditiontfqnando fono tolti,ouer leuati li dinari dal luogo, oue fi douetfbbok» effer d*ti\ ci m rutti qutfiicafiì granata, citerò dìf'grauata la viitità del datore, tal- mente,che alcuna volfa concorrendoti più cattfe, colui cheticene guado gnerà dal cambiatore, onero datore più de io per 100, et que&oaccadf nelli - • *ti/ J iibroQuiutÓv" *40 i veti nobili cht voleno peregrinare^ v aleno ricever li fitoi dinari quan- do fono aggiùnti al luogo defiderato, talmente cbe'l bancbero , che riceue fi divari Malora non pub bauer rtilità dilli datti dinariper ilpocho tcm po,che li tenne, onero che in cofi poco inter Mallo di tempo non fette può Valere, oqde vedendo la neceffità di quello nobilc,cbc b per partirfc , farà patto di rcfiituirgli fcujauer ducati 90, per ogni :oo r ice mai dal detta «o bile, et cofi il nobile venir à a perdere io per 100. |g. Et imperò circa di ciò noterai due cofc , la prima , che alcuna volt t a cafo li cambi) crefcono a quello modo , perche conuengono li mercanti nelle fere , et Hatuifcor.o diuerfi preci) alti cantbif in diuerfe Città , et luoghi fecondo la condition de tali luoghi > come per gratta di efftm- pio, or dinano, che la marcha dell oro per Milano fia pagata ducati 63 » et per Brugiafia pagata ducati 62, et cofi in comune comodità pongono di uerfi preci) olii cambu , et però tale augmento è a cafo , ò maggiore, ò mi- nore, fecondo che li mercanti , et accorti banchieri fi sformano a tira r di nari dalli luoghi , oue n’è abbondantia , & remettergli olii luo- ghi, oue cartoli a , & quefio fanno con diuerfi ingegni , et arte, al- cuna volta col tranjportar effi dinari da vn luogo a vn altro , s ii viaggio è ficuro , imperoebe ne i luoghi oue è careftia de dinari fono molti ricercanti, et li riceueno con maggior vtilità del datorc,ouero cam biatorcyonde in doi modi vien a ere fiere il guadagno del cambiatore, ma alcuna volta ti cambiator perde per cambiar dinari nel valore intra il il tempo, nel quale li hà dati, et al tempo , nel quale f amico fuo li hà ri - ceuutifdalC amicp del principale, et quello a diuerfi modi . 1 9 dunque il cambio fi f d in doi modi cioè con certa vtilità,oucro fin-ia.con certa ytiliià,come farebbe (pendo vublezaucr 4 per 100, de fermo,et lvn,& l'altro di qucfti modi accade in 4 modi, el primo de qua U è cbe'l cambiatore darà vna certa jumma de ducati finga efiimatione acciò gli Ciano poi refiituiti h mede firn ò poco più,ouer meno nella medef- ma ragione de ducati,tome onge d'oro, per onge d’oro, marche per mar che, fiu. dal fole per fiu.dalfole,& quello modo, come hauemo detto di fi pra è piu propinquo alla equalità,cbegli altri, benché quelli, che non in- tendeno li veri fondamenti di\Aritbmctica fi credtno patir gran danno fe'l ducato ouer fiuto fi fminuiffe di valore,& gran guadagno quando ere fee di valuta. il fecondo modo è quando che finga vno certo guadagno f limano l'oro fitto minor e flimat ione del tabio,che non può e/fere,dr vogliono riceutr li dinari fecondo la efiimation del cambio, che corre allbora, come per ef- fempio,vna marcha d'oro vale ducati 6$ ape fi ,nepuà valer maneboe danno adunque due. 65 d'oro con patto di riceuervnamarchatCoro,nel - leproffime Fere fecondo il valore che farà filmato nelli cambi), & allbo- ra <5 « Defl'AVlffimctlA raper fortt*»alerà nel cambio ducati jt,& enfi fari conjlretto Sdebiti rea pagar per la detta march a d'oro D. 71 hauenionerìceuuto fe non duc.6$,& dicono, che queflo guadagno è incerto, md non è incetto Ugna dagno,ma beirla quantità del guadagno . il tergo modo b, come faria , quando il banchero darà fot. 100 inoro , td maggior predo di Mitano,come farebbe per L.)jo,ct non nomina feu . d’ oro ma libre, dipoi ne vuole rictuer a renetta tante altre alla valuta de Milano, ma ejfendo L. ? de Milano di valuta L. 4 Veneti atte a ragion de moneta minuta,pcrche il foldo de Milano vale il-~- de più che'l foldo de V enetia,comedijoprafù condii fo. Ter tanto farà conjlretto a reflituirli -\-pin nelle lire VenetianetOnd» de £.570 giùngendoli -j- faranno Z..760, et valendo il finto f. r tedet te L.jóo fanno fcu.tx 1 , et cofivcnìrefii a guadagnar fcn.ti per 100 fenga appai- enfia di vjura. il quarto modo è quando il banchero ò cablatore da in Venetia il vaio redefeu. 1 00 d‘oro,chefono mocenighi 58 $ valendo il fcu.L.’j,et il mo . cenigo fol. 1 4, et vuole,che gli fiano renduti in Milano tanti mocenighi , quanti gli ne vano a far fcu. 1 00, che fono 600 , et coft de L. 5 87 lui guadagna 1. 16 -y-, et qurfii fono li modi , il piu delle volte vfaù benché nepoffono occorrer anchora molti altri a coloro , che tali maneggi fi-equi tano, quali fi cono feer anno per le regole, che fi daranno : mala più parte pretendenoqualche ferma vtilità . Dequatro forti de ingannile fi fanno « alcuna volta nelli cambi] . /A -,n> Hi C E fanno netti cambi] molti inganni , et fraudi, per li quali li inefpcrti ^ di quefle cofe fono robati , fri li quali ne narraremo ulmancho qua- tro, acciò non appariamo tanto voler infegnare , ma anchora auuertire ? incauti di quefii trafichi, et negocij . tl primo de quali è, quando col cambio incerto pnjlo difopra nel fecon- do modo, gli aggiungono anchora,* ouer i per too,intperocheche(come di fopradilfi) quello cambio fempre guadagna per fi: fleffo, et aggiùnger anchora ad vno fermoguadagno vn' altra certa vtilità, finga dubio è va fura , et cofi in tutti li altri modi , oue non è poffibile à perdere . Ma in qurllì,che fono fottopofii à grandi pericoli, fi conclude altramente . il fecondo è quando il banchieroò cambiatore, fi paga per l' v fura del medefmo capitale, che exborfa al principale, come fe volejfe 100 feudi dal cambiatore , et che volejfe io per 100, et per qncflo mi deffefola- menie Jcu.po,et detti 1 o/ì pagajfeper fuo guadagno, volendoneperò alpi- • <. fine Libfó<3bìiitb^,'I 2 4 1 ’ fitte ieV anno riceuernedal debitore altri fcu. i oo , per ilche non guada- gna fidamente io per ioo, ma 1 1 perche io, bla -L. parte de 90» gr cofi to pagaria 1 -J- di più per ioo,di quello, che fon conuenuto . il tergo inganno èjcbe preponeno il tempo fin' alle fiere divno mefe tome fé tufferò 3 . imperoebe non ticeueno il conto affoluto foprail tempo. ' di quarto è,cbe pongono patti nelle monete a oro con modi incogniti M recipiente, per li quotiti mif rro principale paga alle volte più del dop- pio di quello, che fi peofa . ai. Fannofi alcuna volta nelli xambij reali, & più frequentemente nel li fecchivfure intollerabili , fi come quando danno vna marcha d oro , & voleno fcU.qq, alcuna volta in ? mefi,& alcuna volta anche più, per che quefto veneria a ragion de 6 r Per 100, & quella è nefanda v fu- ra, & liorribile atlc città, & c< immune r ulna de nobili, & ignobili, & tale vf are fono fitte da homini , che non tengono conto dcW anima loro come infideti et perditi. aa. Et quando alcuno nonè bandiera ne cambiatore, & fpontaiteavien- tedà dinari ad vne bauchero per riceuerli in vno altro luogo dal? amie* di quello banchero, allhora non può riceuer e alcuna certa vtU'tt et, per- che dóndoli defua mera volumi, quello non li riceue fe non a tempo, qual nonfipuò difponere fecondo [mento del principale, nefottenendo altra fpefa, per qucfli dinari non può bauerne certa vtilità da effo banchero , che non fia vfura . Del cambio (ècco. *5- ,T£ cambio fecco fifàafimilitudinc del cambio reale conlalitterà & patti, ma noni portata al luogo oue fintamente è indr iodata &per quefio fi chiama fecco , angi refta in mano del datore delli dinari » per fin al tempo del pagamento , & il principale non ha perfona alcuna , che fia per esborfar dinari per lui in tal tuogo, oue farà fintamente dri ^ •gita la liner a,ma farà vna perfona imagi nata, &• finta, & non pagan- ia a tempo il principale, il datore farà venir alcuna volta vna finta prò teflatione, & con finta liner a del valore dilli cambtj, che per forte fari ttneor molto crefciuto , & per vigor de tali protefiationi , de quali fe ne tiene grande conto a Magiflrati in efequirle , feoderi li dinari dal prin- cipale fecondo il patto, nel luogo, oue li hauera dati , ma affai volte fan* no più r agioneuolment e venir vnalittera dal luogo nominato nella Ulte radei principale d*U' amico onero agente del datore, qual profilerà qual mente non ha trouato il tale amico del principale in tale luogo , oue era de patto di refiit tórli tali dinqr'wnerq b*nendolq anche. trouato, che dice Tpp non * DcH^ntfctactféi vcn bauer a far con tale principale in cofa alcuna , & per tali ptbfcfla-* tioni fmtnariamente cffrquiffc li dinari da effo principale . Et permeglio effer intefo porterò pereffempio di effo cambiofecco^fhe • vno effondo in Veneti a habbia dibifogno de ducati J oo, ÌT_ trottar a ypno banebero,Quer altra perfonarUercante, tir quefio hanchero y edera A in qual Città il cambio fia, bpn mercato, & poniamo, che trouiin\Liontr& che la macella dittile C tuàfiaa<djtcaù 60, & cofi quefio bancber odici io ti ( emiro di quefli ducati joo a cambio di Lion, fecondo che al prcfett tfi vale la Marcita in Li oli, che- / ariano ^,marche,XSr turni refiituiraff^ àttic a marcire <d predo. , che vaieranno alla Fera dogni Santi in Lion* UT qm/io farà perebetonofee* che litantbù fono più cari al tempo di *1 le.Eara,chein altro tempo. delli attuo, nia<d principale aflrettodal bi/ogtK^ accetterà tale partito,^ farà vnaiut era di cambio al datar delli dotati 300, attero marche d'oro > direttiva a qualche imaginata perfona H| Lion da effer pagata a qualche amico di coflui , che esborfa li dinari in V cnetia per la proffinta Fera dì ogni Santi > & cofi lui riteneva la det- toliucrx , 1 «2r quell, altra principale riceverà li-ducati 300, & corttq li hnarianderàafin^lifitttt furi . tiotqponiama+thf alla Fiera d'ogni, Sxwrtiibcamluodi Liim fra andato a-ducaH 76 la war.cha , talmente cbft ledette marche 5 vaieranno ducati ^S o. ritornandogli adunque in tale {crmincducati 380 glùreflituirà lafua liltera. • nv. Ma non ritornandogli li due. j So, ouero marche 5 d'oro che tantova- leno alllrora, il dator delli dinari per vigor di qualche fuo amico, che ba- tterà in Lion , farà matpfax vnoù(ot0Q infame con la detta Intera, che gli binerà mandata, opponendo che colttll'a’chford mandata non l ha vo luta accettar, ouero, che quello tale non fttroua in Lion, & cofi il dato- net con tale proteso aflringiràil principale debitore a dargli nontjolflr mente la valuta delle dette 5 marche d oro cioè lifcu,}io> ma ankhora € pagarli ogni ffefa danno, & inter effe, che gli ne fia feguito,permu dar; gU tali dinari fecondo lor patto, & a quefio modo sinUndeno Ucambn tocchi, quali f* faranno faiticon tal conditione, che! cambiatore* twer^ datore ebano li fuaidinari al pericolo di perderli „ fi può tollerarA,<^ mettere per giufio, mafie altramente*, fecondo la tutenttone dello 4gWtf farà più, & meno contratto vfurariou. ■ . a4. Et quefio cambio feuo è ordinato per 3 cofie., cioè per Jchiuare 14 infamia, & il pericolo, & coprire la confcientia,pe*cbe procedendo con finte littere , et protefti (otto nome ùicambio, non fono chiamattyfHM? r(f> ma hanch ortottero cambiatori, & fiuggene a quefio mode tlpe rteo* lo della lege, la quale probibiffe le v fur e, fotto pena alcuna volta di per derii catutalc,& farebbano tenuti infami. %5jU che il tabio fuco (offa effer vfura.peffmafitmaoiftfio f +ragtonu A. j?4s «• Zd^rMit^nhein qutfto beffala èaufa finded^tmbèd redle^^ Zò fà effar licito , ' che è la tranfl.uìone dalli dinari da sminato ad va ' al - tro con peritolo di perderli, èèmvdifapra fu detto , & qutfia.eokfa ceffa nebtàmbifr féetO',percheià Ytfiitatióai vieti fatta noi ruvdejmo otte fur arò fteèmifi ti dinari, fcd^a alteo pericolo di viaggio . ■ *• ha facvnéacauft^iperchedelli } pericoli del co tubio raàlt detti dipo* fra, il cambio fcccofchiua li 'aitimi dèi, perche del primo , clic è a darti dinari al principate,'Cbe li richiede , notigli è conceduta alitili aleuta , perche tale pericolo} ancora communc allo imprefliro , Ouer mutuanti qual mutuo non blìtito ad e/fequirne alcuno guadagno. adotttjHcil cam- bio feicoè vfiira , <2r qnefli pc'icoh del cambio tènie l' bauetno detto di - '* ;ì .il . ì j. > .. . > la ferini cmfa-'e perche in Wfiggiorlempofa maggiorgnadagno, «ir ìnniinoT tèmpo minorguàthguo , tfu la efjattionc pecuniaria temporale è vfura . • 1 ^Li'ifUirrta è, perche ftft fà tAcfcrhtura com’è ihenore del teièra con ìieafioni, althora non fard admrfja la repctìtione de talidinarìdalla le- ge‘,tna farà reputa , <& tenuta per tfura jadonfue la ynutactone delie férihàtv fatimela reale oonnentùmc' fatta faàloroj, »io* facendo contrai hòfifelìtlto ,^chef?ima , ««s^jOnt prefta portale fattone fa fieri» mé 'mettdntCi*%giw!g«ndo mèle a putir, èonanifeflo , che qitefto cambio fecce ì vna 'verde vfiirtt,&'iia alanti è chiamato cambio morto . 1<5.‘ ATt Hvambh finkh, èvée'finto,fa\fiì in quella forma, dSr modo^cht fi'faltetòambiv retitei feódo,tpr<t*t» allcparolti ecenttrlafanone , et "è pèr la maggior pHrtepeggiove, cbe'Uambio fcoco, fatuo fé non i fot* Tóper nrrOre^elklebkoré contumace s. tome farebbe fa imo vendeffe m vn altro vna mercantìa in renetta per valore de ducati. ^.oo, non termi ne dipagar a Tfataleproffimo , con patto, che non pagando a tale termi ne,il creditore li poj] a tifptf ut4-iqtc>\cff^ fai debitore a cambio feccoin qual luogo gli piacer àptomè farebbe per LwncpJuero jtnuerfa,oucr al - troue,et fempre s' indurirla il creditore di tuorli, ouero finger di tuorli in jfcdjjktf, oUe> ti cambi atlbora fonò atifaffopricro, dòn cafa, tbèltkbittom venuto il tthdint di pagar, nix polla , èubr no» v-r’lia. pag.tr li detti thè- -catiiQOidllhara ilertditore gtifainiender \-tihe battendo dihif ugno del- ti ‘fatpidinàriè ^fanrplo irtHorli ti (ambio fècce , per.Licme.,euer altro tièogbfpé»ifical<r;*t<mfi fìfa^ftit^vnadtiteiH -dia ambio ,\cht debbi e fate pagata a tal tcmpo,et a tal luogo, ouer Città, oue ragioneuolmente il calti bio debbe efser caro, et fé a tal tempo convenuto nella luterà, ouer farti to di mano non lo pagar à,allhora s' intender a con qualche fuo amico, oue- ro agente,chc haucrà , ouer fingerà d'hauerli tolti a cambio (poniamo ) per Lion,che a tal tempo ti cambio fia bon mercato, poniamo a ducati 60 •y^> Tpp t per * ■ 1 DelTAritfimetfca J 'ftr marchi, et inoltrerà dhauerli fatta vna litera di cambio per il dettò per tante marche che vagliano a D. 60 per marcha D.joo, che fono marche 8 —■ da efser pagata alla Fiera di Tafcbaproffima , nel qual lem po li cambi iuifono più cari , et però il debitore farà tenuto, al detto ter mine di Tafcha a pagar le dette marche 8~j~* quello predo, cbe corre- rà tale cambio, et non pagandoli farà tenuto a pagar fecondo il protefto fattogli dal cr editor d ogai danno, et mercfsc . ; ' * Tiù altra è dafaper, che'l detto cambio fittitio fi potria tramutar in cambio fecco,pcrcbe fe al timpo del Tfatale detto difopra per ejfempio,il debitore non trouajfi il modo dipagar li detti due. 500, & che per vigor della liner a fattagli , il creditorio potria ejfequire , nondimeno tal volta per fua vtilità potria covucnir con lui di nono de tuorli a Cambio fecco, facendofi far yna lit ter a de cambio per quella città,che a lui patera, cbe'l cambio fiameglior mercato,da ejfer pagata al tempo , che l cambio fune effer più c aro, in tale città , & il debitore la dar a al creditore, qual tem ira cjja litera apprcJfodife,final termine del pagamento, al qual tempo, fe l detto debitore non la voleffe pagare fecondo la valuta che all bora vaie- rà tale cambioper tale Città, anchora,cbefuffe venuto più caro, il credi- tore farà venir per vigor di qnalche fuo amico , che hauera in quella tale Città , vno proti fio autentico con la valuta del cambio , &Jo rffequira non folamcnte per il capitale,mà anebora per tutti fuoi danni, & ìnteref- ft.Ver tanto appare effo cambio fittitio ejfer molto peggiore del cambio fec co,& (peci altri ente.quando non ì fatto per metter timore, al cattino debi- tore, ma realmente è cflequito con danno di ejfo debitore , & fin qut fi a detto a bajlanga delle 4 jfiecie de cambtj,ton le fuc diuerfe conditioni,co- tnc difopra, hor venivemo a diuerfi cafi oper itiui, circa , il cambio comic- ue,ouer minuto . Quefìri de cambij HOT ji \ . Et perche delle, cofe più vtili , & ntceffarie ciafchtao dette principal- mente tenir conto, che de cofe giocofe,ouer troppo curiofe. Ter tanto porremo prima alcuni cafipiù vtili,& necejfarij alla mate- ria dclli cambii, cominciando anebora dalli quefiti più facili. attefo, che in ogni dottrina ( fecondo il detto del Tbilofopbo ,) t da cominciar dalle co- fe più facili, • ' < •'«■* ' • • ' \X%\ •!}«- • 'ttfct *l« S»;. A- tK Ifcì V. <imi ì •» ‘„r(» liti Qtic* 1 • ' ' CTÀ^bt'Kiìii»; ••Libro Quinto;’ ^Qucfito primo. ’ '< t».> :.«v<v4 utin tsiM< tiVrl< 243 \T 'K? tolfe da vn bancbero alquanti ducati a ragion de 5 per roo'al t: V r anno,& in vn’ anno gli refe tra capitale, & guadagno duc.^oo’jii mando quanti duc.tolfe a cambio. * ^ Teffàr queflo arguirai co fi per la regola del 3 .fe i o J erano 100 deca pitale quanti erano 500. multiplica , & parti trouerai , che erano dui. 476 -jr , & tanti due. quello mercante riceui dal detto banchero,& coft farai le fimili. ; . :5 , Et perche ti pagamenti fi fanno de due forti, onero che fiamo obligatia far il pagamento comma certa, tir determinata pecunia, come farebbe a dir tanti fcu.d' oro, ouero altra determinata moneta, & all' bora non oc- corre altro configlio in cofa totalmente ncceffdria, onere, che fiamo obli- goti a dar la valuta, & cofi è da ridure tale pagamento, a libre del Ioga •, oue volemofar il pagamento, ouero in altre forti de libre, pur che fi feriti li patti fatti tra mercanti. Dovendo fi adunque far vno pagamento in qualche forte di moneta fif- fa , & cheti ritroui hauere dueouer 3 forti de moneta mobile dediuerfo •valore a rifletto del pagamento , & a rifpetto de! luogo oue fi ha da far ilpagamento,ouero dal luogo, dal qual fono mandati ù dinari, femprefo - ìd rifarai con quefia regola , cioè multiplicarai il valore delti dinari della forte di che fi vuol far il pagamento per |oo, &■ il produtto partirai per •quell a forte de dinari , de quale non voi far il pagamento , & quello che viene de tale diuifione ferva, doppoi confiderà de quale ne verrà maggior numero, & con tale farà da far/i il pagamento, & l'altra tenerai.doppoi fottra vno proveniente da l’altro,& la differ ernia multiplicarai per 100 tr il produtto partirai per il minor termino, & quello, che uè viene farà Uguadagno,chefà il capitale per 100, & fe vuoi fapere quello, che gua- gnat ulta la fummo del capitale, multiplica effo guadagno del 1 00 per tut to ridetto capitale, et riprodotto partiraiper 100, ne venira tutto ilgua dagno,chcfà effo capitale, <Jr acciò, chela detta regola fia più facilmen U intef a porr emo Vcff empio. POnìamo, che' l ducato d’oro vaglia in Milano fol. ilo, cioè L.6, & il mo tengo {ol.zotciQÌ 1 de Milano, et in y ernia il ducato do- Qucfito feconda t. ro viglia de fuoi fol. tjo,& il moccnìgo f. 2 4 de fuoi, & poniamo, che io voglia pagar in Veneti* Venkiànif&t'fya de dette forti de mo« te, che mi ritrovai bauer in Milano, fi dimandò con qual forte mifarapm Vttle,ovtromen danno a far il detto pagamento 0 con li ducati d oro,oue- motoon li mocehigl/técr quanto per i'OÒ ,& quaiitomiiupòrteratn fitjo \U«*p»taledcZ.loa,ottdtJi*Mcndopartrto ii queftojn^ parti,.in tante altre faremo la rifpofia . ' . .1 U:' . "f xr- Ter Lt primatadinquedirai,feiul.i »o in Milano ini ftmo wWml faL\qo,themi fitrtmiafoL 100 Jn Veneti* de qiadi ^he mirar ouaij \Màlcflo*mulùpliai,'&pa ni, efr ne caimano faf.i t 6 &>cpftjefq£ rotuttcL. & non foldi, mi darano L. 116 -f- in Venata portando oui T ■pagando eanducjti\om^òr quiftdferuaibor'Xedt per^L-rnvcetughitfr di ■jràfe asili Milano mi fanno 14 m V netta 4 cbcmùfaamvoanb .netta de qnellidi MiLmo,miditpltoa,& perù troverai thè a 001 o Milito -fanno .1 ao m Veneti*, portando mocadghi , «S r portando duc-d oro nupd x>nuuto fidamente 1 16 -f adonqne è piùòaHe apngar.catrnuaciitgln^he con ducati dterojpàxhe mi fami maggior mmervper koov 'volendo faper quanto per ìoomièpiù ville, fot tra de tooi > ettano $ — de differenti per 100, cioè per ogvi folcovtr L^i 1 6 .^ vtKUw efe neguàdagnano 3 f-V enei tane de propagando -cm mocemgbi, dir pagati io" con ducati d'oro .A ' ■ ■ 1 r'^w ’ ) V.ì C. \ Et per faper quanto per 100 fi audnga pagando con mocemg ndirat :.fen6-^mi.dano * -j ,rbemi darano \ 00 òfiano <L .pner foli non fica • fo,mxltrplica,'& perii nc.vuohamr^^', ty (bfidifttfvthc.per Qg/Ufy ■ ioo vemtiane,tv ne avanci t.i ^- Venitiane piando danvncetàgty* & non con ducati d oro, & volendo faper quanto fcauangptatti j capUate,chcit.loo,midtiplicaU!.t-2typcir ape* effer eoo U tripode *aaf*r*mio%r*~, tir tante L.Vcmtiaae.anaagarai mdetiopegamtq- lto,dedL~9omp*9‘Vidoiconeuocenigln,isr rtt attendo Hducat indoro, £/ e&t fimi itefÙKà£jMiimh'ir.cqm Quefìto terzo. .obaojjl oiitauO ET volendo fvpponer, che io fi* in Veffttia con fot. & mocemghi Ve nitiani, & che volejfe de dette mone te pagar leL. $ 00 in Milano, alcorfo de Mfiànopr oppierai alcofkrarìoeòfi :n El ducatoderoVak m Veneti* fffl.iqo ,&^U hàcctpgtfol.**,^ m Milano liferotQwSnfto. 2 44 Milano il bucalo d'oro vale foL 1 ao ,cr il mocenigo foLicr, dinianda va^ kndo pagar 1. 300 in Milano, con mocenighi. ouero conducati dona tolti in Veoetia, con (inali dinari fard più vtile,auer me* dannosa far ripaga* mentotoon ducati d‘oro,ouer con moccnighitV crindituù /« 1 40 diano L.0 pano [oidi, in Vcnetia mi fanno in Milano 1 20 | quvtùmi faranno, iooh pur in Milano ,multiphea,& parti fecondo Insegala trauorai^ehefittan- qo<85 rfi in Milano, mù fin qui non. i ancborafeguita comparatisi Moli- na do mcgliorc ouer peggiorc,perà dirai ancbutraje *4 in renai ami fa* no 2Q in Milaao,c))ejni fatano *00 -in Milano, multiplica,air pam'fiana do la regola trotterai, che fono 8 3 in Milano , per tanto e/fendo più 8 5 •♦Jr- j che 8 3 -j* farà meglio a pagar il ietto capitale in Mìhwavemdkc, doro, ohe con mocenighi, per chela propQùtione del ducato di renetta al ducato di ìrfibut(Kk maggiore n che'l mocenigo in renaia al mocenigo in Milano, & volendo fapar quantaper 100 fottr arai 83 -J- dei^ no a -|r fiche per ogni L.S} 4- fe ne guadagna L»4j de Milano Spen- dendo ducati i.oro,et lenendo li mocenighi, et peufaper quanto fe w gua- dagna per ìQodirairfeS} -p mi datato 2,-fr > che mi cUrano 100 , opera fecondo la .regola detta del 3 troucrai rche tidarài -yr , tir co/idtraè, che per ogni 4.1:00- da Milano guadagnerai L. a -f1- de Milano , pagando con duc~d‘<trOf tolette retrctia:ì)vA\ t ; 1 « 'Et volendo fapcr quanto importuno dauantaggwper le L , 300 dirai fe 1 0 0 mi danna r -y- , vite mi daranno, 3 00 , opera moltiplicando a per 3 faranno 8.-^- , et. tante L.auanjarai indetto pagamento dando ibi coti d'oro, et riunendo li mocenighi , perche-tanta farà il guadagno d'vno quautoJ a perdita del altra, perle cefo dcttc,ciui efit quottoauantaggia, tke'mìportano li mocerughidà villano a vcnetia quello medefmo tot por tano li duc.d' oro da venetiaa Milana, rdatiuamento ,■ et cofi- farai le fonili. < Quefitoquarrd. i< ^ ^ 'j SE alcbuno propoqeffie quqfh qucfito,diccnd<r>4 ducati fanno 5 rbenefi et 6 r bene fi fanno 3 doppie , et 7 doppie fono 41 tefloni, et 4 tefloni fanno vno feudo, et 1 feudi fanno 1 1 mocenighi, dimando 100 mocenighi quanti due. far anno . Simili quefiti fi poffono fa fiqr la rtgojpdxl 3 molte volte replicata per le molte traìifmutdtibniiche gliforio, nientedimeno fi riducono anebo- ra a vna fatile operatione,riducedo tutti li partitori ad vno filo numero, thefi famuliiplicandolr, utfietpcdal'pnma fi* a Ìvltimo,et fimilmcnt&i num crit che boatta drt'effcr,duùfift.fann% ad. vm fola multipli condoli Vrf- Dcll’AricfehicricJ firme, & cofi batteremo vna fola diuifione , ouer partitone da fare, 4r il prodemente farà la folutionc del nofiro quefito , & quefla regola ferite in egni rifolutione di quefiti,oue interuenga pluralità de partitori, & de numeri da ejfer di ut fi, cioè moltiplicatori , "polendo operar con quella bre aita, che fia punìbile . \ Ter tanto ordinerai li detti numeri nel modo che vedrai quiui in fi- gura, cioè ciafcttno confcguente termine fono al fuo antecedente * come dicendo 4 ducati fono 5 I{henefi,li 4 ducati chiamo l’antecedente, li 5 rbe nefifono il fuo confcguente, & però in quefio feguete ordirteli dijfoneYai. 'V* r • ' «fc Antecedenti ducati rhenefi doppie tefloni feudi moctnigQi 4 6 7 4 2 100 i rhenefi doppie tefloni feudi < mocenigbi Confegnenti '5 ■ 5, ■ 41 1 ir c • . , , - 1 * T* * ^ Et ilprodutto fatto dalle multiplicationi delli antecedenti Ivno nel? al tro farà il numero da effer dhtifo , & l'altro prodotto fatto dalle multi» piicationi delli cohfeguenti Ivno nell altro farà il partitore; pertanto moltiplicherai li antecedenti , cioè 4 in 6 fanno 14, & 7 fia 14 fanno 162.6 4 fia 168 fanno 672 , et » fia 671 fanno 13441. 100 fia 1344 fanno 134400 ,& quefio è il numero da effer diuifo , qual ferva , poi moltiplica li ioufequenti,cioè 5 fia 3 fanno il, 15 fia 41 fanno 61 1.6 1 fia 615 fa il mede fmo, cioè 61 j & finalmente 61 5 fiati fa- ranno 6765, & quefio è il partitore; horaparti 134400 per 676% ,ne venir anno due. 19 }ji, et tanti ducati h ouer ai per li mocenigbi 1 00, cofi òpera in fonili arguendo dal prono a C vittimo come fanno li divieti * i per C argumento chiamato fiorite t . ' i.q - .o'u. . . ó»»t 5 1 ' fi * * * X + s <t’p V ìf \ fcbl/fati. ^ ,’W. . ij. fi * 0 ) '■«!■■■■■ ( <' ' H» '<• »> Ci fi * fi 1 tdj;» IST^OO! tu. A \ li t«l‘ r u ’-A\ . •. ma it\ .1 V-h i t« i Vi»' Quefito quinto. , ; .•taf AìtUti : ."■'n ti SE il fcu.d' argento vale in Bergamo.L.y,et in Milano L.6,et la monor ta che vale in Bergamo fol&o in Milano vdefoLi 6 dimando vo lem do * -tf /Vi • 4}*iHÌ^on tki-< Libro Quinto. 245 io [pender dinari in Milano quali f arano di minor perdita a portar a Mim lano ò li fcu.d argento, ouerola moneta da foLio. Ter far fim'ili potrai cominciar da quali vorrai, bor cominciamo dalli fcu.dicendo per regola del 3. fe foL 1 40 J mi fanno in Milano foL 1 20, che mi faranno fol.io.multipUca,et parti,ér trontraì, che la moneta da fot. 2 o douendo effer eguale alla ragion del feuto da L. 7 doueria valer foL 1 7 m Milano,, &.cofi fi potrebbe portar tanto f vno, quanto l’altro^, ma per non valer fe non fol. 1 6 fi perde foLt-^dc più , che non fi doti f- rià perder fe fujfe eguale alla ragion del feuto d' argento, adonque fi con- clude, che meglio è portai- il feuto da lire 7 » & lenir lamoneta da fol- di 20. Et volendo faper quanto per 100 perde vno più,che l altro, proua t v- no,& l altro arguendo per detta regola del j dicendo fe fol. 20 perde fa, che perderà 1 00. opera trotterai , che perderà 20 per 100 portandola moneta da fol. 20, & poi vedi l’altra dicendo, fe 140 | perde 20 1 cheper - dera ioo.trouerai,che perderà 14 -%-pert 00, qual"e manco perdita , et filtrando 14-— de 20 rejlerà $ & tantomancho per 100 fi perde portando li fcu.daL.7, <fr tenendola moneta che vale f. 20, & potrefli ancora cominciar delli dinarida filo, dicendo fe 20 mi fanno 16 in Milano quanti faranno 140, & troucrai che valeriana L. 5, f. 12, mav aleno L 6 adonque vale no f.2, de più di quello che valcrebbono ef- fendo eguali con li dinari da fol. 20, l vno, bor queflo difeorfo fia bajìan te per fimili tranft;iu(ationi . Quelito Tello . SE alcuno diceffe, il bolognino in Fior caga vale piccioli i6,& in Tiro fia vale piccioli $o,di quella forte, & valuta de piccioli.vno vuole pagar in Fiorenza L.ioo, de bolognini portandoli daT ero fìt, dimando quante L. de bolognini donerà pigliar in Terofia,acciò fiano in Fiorenga L. 300, oucro quante L.mi donerà dar in Terofia . • » In quefle folutioni de cambi] bifognaben diflinguere li termini, acciò non fi incorra in quale ly cquinocationi , che fono caufe di errore cofi in quejla fcicntia,tom*n ciafchun altra, & però vedi piccioli %6, che par te fono de lira,& troucrai, che fono ffj perche piccioli 240 fanno vno. lira, poi vedi piccioli 30 che pari e fono de lira vna,& troverai) che fa no -f- de lira , bora dirai per regota del 3 feper 44* de lira Fiorentina io riceuo -j- de lira Terogina, quante nc riceverò per L. 300 t* ouero dirai .fe 2 6, mi danno Z..joo,c/;c mi daranno 30, opera.fi daranno L. 34 £ d.o Jj- da pigliar in Terogia al caffo di F brenta, pèrche il debito fù in * Qjq rio- EklTAfitfimdica fior ruga, & cefi farai (e fmili quando li denminttfóti fimo eqtt*U\jfi «fera , urne fe fulcro integri , Qucfito feftimo. \ \ . .v '& • • * ' > a . r>« . . .r. Ài i^tl. iujcli 04 VT'f catta da Ter egra fiorini 1 00 per pagarli in fiore*?* r & itti M fono dati fiorini 104. dimando vedendo portar da fior mg* fiori- ni 45 , & metterli tu Terogia, q nauti gli ne farà dati ? Dirai feper 1 04 da Fior erga rivene in Terogia 100, q frantine rice- tterò per 45. multiplica , & parti trotterai, che ne ricetterai fiorini 435 4r in Ter agi*, le prone fi faranno concia- tendo tutù li qnefiti J. » o 4 I r p o I 4 j 4 S *vì», . ® 0 4 1 4 t ° ° I 4 ? -»£ I 3 4 o 1 x 8 Quefito ottaua. 1 i.V>uf>to'V i ri-- 1. *•<*.'.} i<* J • -4 tm4.V-Sì V7^ vuol pagar per me fiorini 150 a fiorini, & trouafi in Fiorcn gai. & lui me li vuol dar in Terogia, & 1 00 di Fiorenza vogliono in Terogia 103, dimando quanti-fiorini mi pagata in Fiorenza , acciò ne habbia in T erogia fiorini 150 a fiorini . Dirai per regola del 5, fe per 1 03 in Terogia tue fono pagati in Ptv venga 1 00, quanti ne debbono effer pagati per batterne 1 j o , multipli - cut, <&• parti, trotterai, che ne dotterà pagar fiorini 1 45 f£,- in Fiorenza *pt*l rotto farai in f. & pie doli fecondo il fijlito,multipluanio per 29» & partendo per \o},.&e. attenendoti del valor delie monete fiffrtbeff nomineranno in quifii qui fui principalmente, cioè . il ducato Venetiano corrente vale L.6, fi 4. {j o'tfi 1 14, < mero fceffi 14, & vnogroffo vale piccioli 32 . Et il fiorino à oro vale fol. xO. il fiori n A fiorin vale fol. 19. .ri ■ li fiorino à papali vale fol. 90, otter di corner*. , •' j fi fiorino a piccioli vale fol. 100, cioè L. J Et in Veneti a il ducato a oro vale graffi 14. Et il groffò vale pitdoli $» «or» • Z» libro Quintana 24 6 Et Tire lena a oro vale datati. i o contenti . f J. L' <s ( • Et fol. 1 a oro di quelle da ducati TOj correnti vale groffi & , ouero £ ducato corrente, & fol.t a oro fotta J.. 6, fol^, cioè vno ducato, t t fi * < ~ t S^v<! £ o t "Questo nono.- ' ^ «i <? O ? I • • % O I \TJtydiedatafu'*ltro ut V enetia fiorini 300 , il croditort li vuole * in Fior*Mty,'& di disiati di Venetiain Fiorenza fono -poggio^ per UOQfdittfa$jo (faa/Uijtorviiglidoucrddatc in fiioren'za^l f - . — Qperaper lanegolxdcl 3 dicendo, fcjo 4 <4j Veneti afono 100 in Fio - rey^a, quanti faranno $00 i* Vcnctia . muluplica, & partii & faran come tedi difotto . . _ o t ojt ( u Q f I t~o 41 1 o o h o o Q | o b 1 8 t 1 ! 8 ì f M- O O 8f U t 1 l o <4 | 3 oba-oUS-8 fyfMffatofai^ l i * K ? » t j -* I E fe t. & P 2 Oj — 880 48 b t I j , i : Qacfito detono; « t < < « * t ♦ t « 1 VN ha canato da Terogia fiorini 150, fot. 1 o piccoli 8 a oro, cioè a fòl.20 per fiorino, &-li ha pagati in Fiqr errate quali gli fono fcrit- ti per fiorini 259 fol-M!fffit+'ù*rt,fi»nnmfo‘ vóldttio io cauar da Fioren 74 per (pender in Terogia fiorini 60 , fol. 1 1 ,d.6 a oro , quanti me ne do- neranno ejfer dati, ouor fcrimin Terogia? . \7 Dirai fe per fiorini 219 f. 1 4 di F ioreMga,io batterò in Terogia fièri •ni 1 50 , fol. io, piccioli Ruttanti oc haucro por fiorini 60 , fol.12.phr - •doli 6; farai li fiorini ,& fi&d. in parte de fiorini , come, poeti de L. poi dirai co/i , fe fiorini 25 9 mi danno in Terogia 2 30 , che-mi daranno fiorinido’-f^.ntnUÌpiica,&pBrti,X> ite baueraifiimnt yZf.9 piccioli $ fmffifie* ouer (chiffon. ««hril-tta?* .. 1. . 1*8 t.S vv^tViT 1.8 1 v ìws^Ip:&\quwMI 8 M\ci.WU* 1 • '■ A !^qq 2 2 S 9 DelTArithmetica * J 9 "+ I * 5 » eh I 6 ° dr . u . : 4 1*5 l ® • v-v j SiiviRb i « 3 SI -:x 1 o 3 9 12 0 3 7 1 « « f 1 5 0 3 2 4 » 5 4 » f » Jl2- il» 2 1 4 4, * 8 |x> 7 P < O S2oi5< 60128 5 • * * * 9 ****<> * P t fi fi * 9\ * ? rf fi * *\ itf.yplc.t t pr 4: fi » 8 \ * ? A # «l« 5 9 0 8 o|» 2 O 74905 j|o 11468(11 8 160I l 5 9 4 8 1 I 2 o 3 < ix448 » » f » 1 * 1 r 12468(71 376^5 9036 7 T > « « } 9> au« Quelito duodecimo: v \ffH° ha pagato in Terogia per vno mercante Fiorentino fiorini 1 xp 1 ■ fol. io, piccali g a fiorino , & quello fiorentino gli ne fà dare in Fio~ renga fiorini 1 jo/o/.ro a fiorinoydimando fél volejfe pagar inTerogi* fiorini 50 fu Idi 154 fiorini , quanti gli ne doueria ejfer rijpofti in Fiorenga . Dirai fe per fior ini 1 2 5 fol. 1 o piccoli l,daTerogia me ne fono dati in Fiorenga fiorini 130 fold. io , quanti mene faranno datti per fiorini 50 fol. l i,multiplica,& parti fecondo la regola,tronerai , che gli ne donerà" effer rifpofli fiorini 52 foUxS piccoli 11 ^ a ragion de foLzg per fiorito* daTerogia. da Fiorenga daTerogia fiorini ix} fol.io pinti 8 1 fiorini nofoLiolfiorini jo/o/.i 5 Quo- Libro Quinto.» ' Q ucfito duodecimo. 247 T TX?. menante da Veneti a rimette in Fiorenza fiorini 400 Venitia- V nt,cbe fono peggio,che li fiorentini fper 100. dimando quanti ne bauero in Fiorenza per fiorini 5 00 Venitiani . Dirai fe per fiorini io 5 da V enefia ne bà 100 da Fiorenza, aitanti ne bauera per fiorini 500 Venitiani.multiplica , & parti fecondo l 1 revola trotterai che n' bauera fiorini 47 6-^, come v edi difotto . 5I IOJ JiooJ JOO * * ax | 10000 | 475 4,. l5o | IJO 4 tt nota, che queflo peggioramento vuol diré, che ogni roo fior ini Vc- nìtiani fono di peggio onero di manebo, che fiorini 100 Fiorentini tanto quanto fono 5 fiorini delti medefmiVenitiani,adonque 105 fiorini Veni- tiam, fanno 100 fiorini Fiorentini, ilche era da annerine, che inanelli equiuocbi alcuni errano . Quefito decimoterzo; T 7 fiorini da Venetiafono peggio S per too, che quelli daTerogia, di - 'M-J matido per fiorini pi Verogini quantifiorini baucrò in Venetia t Dtratfe t o° di Verogu mi danno 108 diVenctia, che mi daranno 9* / erogia. nini a plica, parti ne venerano fiorini 99 -*r » & tanti ne donerà hauer in Venetia, & alcuni dicono 1 00 , ma non è'I vero, per che I O o I I o 8J 9 2 . - . 9 » "r-. ai 6 9 7 * forbù 9 9 I U_ 00*99-% li «o Qge- “'I k j «i DdTAiifiiflttSbl Quefoo deciwiasjtftèto .' Slmilmente arguirai in quefia, rioè.ìl morteti» rf* mwwi flRglfe che l redditi [pugna 5 ^*cr t 00. d munito per maroniti 95 Kenìripni aitanti reali batterò, opera come difopra dicendo, femarcetti 1 09 forto ri* si io fi quanti redi mi daranno mar celli 9 $ .vrulciplrcu, Or partine ve- nir pino reali 99 4, Usi» n'hauerefìt prrmertvih *9f • :1 • V. . ,-V ; •• • v IO0I105I95 95 °'>’ ÌJ .ì. fc'fa OOOOI j IX 1 £ / 5 2 5 ; ùii 945 °*x ■ 4- 9 9 1 7 r _ reali 99 per mar celli 9$ . -V OC 1 ’ V)f *»'.' <• éW»n> i; ì . 001 ».•<.. j . , \Ù»' Quelito decimoquinto : i 1 ■ -U‘« oisn. 7 >> » — j ■* r * / tanti marcelli baucròffmilmcntc far ai lafcquente, -it v:\>. « r V v- ; Quelito decimolctào . 1 T t J t XQ «r raiio du. 3 00 rfi renetta, opera ti daratib duch‘p6?>etogini,& cofi farai leftmili . ' ^ Quelito deejm afe t timo. \T7[o mercante in TBrùgi* bapt(g4tófioleM vuolevna lite - ▼ rd cambio per renet ia, trattole in pagamento L.de graffi, ma li ' dinari :Liì>fO Quinta. 24$ dinari di queflo mercante fono peggio in renetta 6 per lOO, ciocche gli ne vuole 6 per 1 oo a farli eguali a quelli de y cnetia/Hmaiido quante L. de groffi gli faranno date ? ? , Dirai per regola del 3 . feper fiorini ia£ di Tcrogiaione hò fiorini joo dt~yenetia, quanti nhauer'o per fiondi r©oo ,di V erogÌA,multipUca,. & patti ,& n'bauerai fiorini 943 -i| dea? etteiia>& quefli parti per ro per farli in L.degroffi,ne venivano L.p^fol.6, cioè Z.94', & duc.j,e^ -fide due. a oro,cioè de grojji. i- 2 J 1 o 6 I I o o|l OO o 2 % l I $ 21 lodo|, i o o o o 0I94 D.$ groffip-fi » X ft I — — * 24 4 6 o o| * ? 5 o 4 1 t 87 5 J * 9 *\9_ * * ■ U 9 < |o t « fr[a Quefìto dedmootrauo . \T Vo ha meffo in bancho a Venetia due. 8 00, & vuole vna Intera ai * cambio per I{oma, & il bmclrero virole 5 per 1 ooJimando quan- ùduc.gti far anno dati in RpmatToni 5 fopnr a 100 faranno 105 ,poidirai fe per due. 105 io ne ricetto in Rpn/a 1 oOyquami ne ricetterò per />. 800. multiplica,& parti- et trotterai, ciré ne batterai in Rpma 7 6 1 Et quando il banebero ha tt effe detto , io ti voglio far buoni li etni dina, via 5 per 1 00, batter efti detto fe zoo in y eteetia mi fanno ioj inHpma quanti mi faranno due. 8 QOyCt faranno due. % 40* Qucfìto dedmonono . IO mi tram 3 40 fiormytbc fono meglio, che li fiorini d va' altro 3 — - per 1 00, cioè che voglio tanto di cambio per 100, dimando quanto mi vien di cambio perii fiorini 3 ao. dir ai fe 100 mi danno 3 — , che mi dorano 3 papera ti daranno fiorini 1 2 futtayet eofi farai le fimili. x 00 DeU’Arithmetica - ro ■»ì" v 1 ° °l -fi ì 4 o 3 f»l IVtà I I ° o| Ì7|l±l2 cioè fior ini n 4j pormi 1 2| jo| o ' * < r- • • '• ?Vv. ».i* Della eletion de monete . 'j Quelito vigcfimo. ° - i T i , x o ■ • ) • • * . • ■ * — ( r. * - - v / * •• \T'Hp deue dar a vn' altro in Vcrugia L. 3 oo de moneta Fiorentina , et y v orria pagar con vna de due forti de monete , cioè con Bolognini onero con graffi, et il Bolognino in Fiorenga vale piccioli a 6 . Et in Ventar già valepicciolifyo,ct ilgrofjo in fiorendo vale fai. 5 £,dr in Verofa fol. 6 dimandafi con quale di quelle due monete farà meglio a pagar detto debito ò con bolognini , ouer congroffiì & quanto per 1 00. Et per effer la medefma proporzione da L.a L. dice da fol. a fol. & da piccioli, però dirai ,fe con L.z6 di Fiorenga fi pagano L. 30 in Verogia quali fe pagar ano con L. 300 di Fiorenga, & non-fàcafo f e fi. ino fol.ò fiorini, ouer L.multiplica,& parti ne venir ano L. 346 qual faina. Voi per ligroffi dirai, fe <, f^di Fircnga valeno 6 £ in iJ erogia, che vi leranno 300. moltiplica , cr parti, & vaieranno lire 340 -jj, & perche con lire 340 4? de graffi io pago il debito de lire 300 in Ve- rogia , & a pagar con bolognini gli ne bifogna lire 346 4r adonque è meglio a pagar con grolji , che con bolognini , Zt volendo f aprr quan- do per 100 fta auantaggio,fottra 340 4* de 346 -frettano 5 ^\,&pe. ridirai fede 340 41 ione auangpL.} ^quante ne auangarò de 100 opera per regola del 3 trotterai allungarne L.i 4j per 100 , & co fi fa- jrai lefimili. a 6\ 30 (3 00 con 3 4 6 -i, ? 4 o 4; St-:|6ÌI J O o con 340 4 h ooìXdX. *- - — — iViMiluO** ;itt\ -■•.ca... refiano 5 ,-ij > che fi auangano in 3404? ’f * pagando congroffi . Que- ** v * • Libro Quinto, * 249 Quelito vigefimoprimo, \T'ty> vuol far vtto pagamento in Genoua de L. 5 00, de Germàni, et hi V fiorini (Toroyér bolognini,il fiorino d’oro , che Vale in fiorenga fol. fide moneta Fiorentina vale in Genoua f. 54 de moneta Genoucfe , et il bolognino d’argento , che vale in Fiorenga d. 2%, vale in Genoua <f, so de Genouini , fi dimanda qual fard più vtile a portar , ò fiorini d'oro onero Bolognini d’argento ? • Arguirai come nella precedente Je a pagar L. 5 4 Genouini mi conuien pagar lire 71 di Fioren%a,quanto mi bifognerà dar a pagar lire 500 Ge nouim , moltìplica, & parti ne venir anno lire 666 -j-, & tante li re gli hi fognerà a pagar lire 500 in Genoua de moneta Fiorentina a fiorini £- 0 ro,& queflo ferua , poi per li bolognini dirai feL.io Genouini fono pa- gati con L. 28 di Firewga,con quanti farano pagati L.$oo,dc Genouini, perche tale propor tione è da d.a d . quaCè da L.a L. però multiplica 500 fiai8,& il produtto parti per 10, ne venirano Z..700 de moneta Fioren fina a far il pagamento de Bolognini d’argento, & perche a pagar a Fio- rini d’oro io pago folamente L~666 -j- per tanto i più vtile a pagar tal debito a fiorini d’oro, che a bolognini, & volendo faper quanto per 100 fottrarai L.666 ) deL.700 refiaranno £.3 3 j- , poi dirai fe L. 666 4 mi danno d’auautaggio L. 3 j , che mi daranno L. 100, multipli • ca,& partici daranno I.j per 100 ,di auant aggio per portar Fiorini £- oro da Fiorenza a Genoua, & cpfi farai le fimili. Cali diuerlì occorrenti (òpra il cambio rea- le , & altra forte de pagamenti . Quelito vigelìmolècondo » ; V'hf altro hà da fare vn pagamento da Fiorenza a Genoua de t* 50O de Genouini, & troua che't bolognino valein Fiorenga d.28, ' tr in Genoua d. 20 ( come difopra) de Genouini, & il Fiorino d’oro va le in Fiorenza fol. 7 2 di fuamoneta,& non vale inGenoua,fe non tanto, che a portar Fiorini d oro, per far queflo pagamento, troua, thè fi auan* V1 L 3 3 -f- di moneta Fiorentina, fi dimanda quanto vale il Fiorino d'- uro in Genova? Dirai prima fe L. 20 di Genoua fono pagati con L.18 di Fiorengjt, con quanti faranno pagati L.$oo,di Genoua, perche tal proporzione è da L. ■4" J^rr 4L. Dell’Aritlimeoca al. comedo foia fol. però multi plica , & parti , troucrai che faranno1 pagati Z.. 500 di Gettona, con L. 700 «/< moneta Fiorentina, & perche di ce, cheauaugp L.3 3-~-apagarafiorini,adonquefottreraiL.3 3 de L.200 remeranno L.666 di Fiorenga,adonque portando fiorini d’oro gli andana folamcnte L.666 -j- a pagar ledine L. 500, di Genoua, hor per veder quanto valfe il fiorino a moneta di Genoua dirai,fe con L.666 ~~ fi pagano Ls 500, di Genoua che fi pagerà confim. moltiplicai & parti troucrai che ne venirà /I54, & tanto valfe il fiorino doro iti Ge- ttona, come fu propojlo nella precedente, la quale è prona di qucfla. fe L. 6 6 6 - j | 5 o o | 7 1 3 } 4 I 2 16 1 o | 1 8| ; o o l 8 2 0 OO /• 5 4 1400 L. 200 3 3 L.6 6 6 Quefito vigefimoterzo . merendante Fiorentino ha da far vno pagamento in Bologna de L. 300, de bolognini,& il bolognino vale in Fiorenga den. 15 , &■ in Bologna den.i 2, & il fiorino vale a Fiorenga fi 3 9 de piccioli, & irt ologna fol. 31 de bolognini , fi dimanda qual moneta farà meglio a por- tar,^" quanto meglio l’vna dall' altra , li bolognini, ouer li fiorini ? Sempre in filmili procedendo per la regola del $ partirai per quello numero che vale la tua moneta nel luogo , oue fi vuol far il pagamento ,. come fù fatto nclli quattro precedenti, per tanto dirai fie L.12, di Bolo- gna fono pagati con 1 5 di Fiorenga con quanti di Fiorenga faranno paga ti L. 3 00, di Bo logna ? Ecco che la prima, & terga fono filmili , & lafe tonda è filmile ali* quarta, perche faranno le L.di Fiorenga, che vi anie ranno a pagar L. 3 00 di Boi ogna,adonquc multiplica, & parti fecondo la regola follia, ne venir anno I.375 di Fiorenga , & con tante L. Fio rentmede bolognini pagar etti le L.300, in Bologna, gir perche ilfiori- no vale f 3 a in Bologna, & in Fiorenga fol. 3 9, per tanto dir a, fie 32 di Bologna fono pagati con 39 di Fio renga , con quanti faranno pagati le L.300 di Bologna: multiplica , & parti trouerai che faranno pagati con L.365 •£-, che fono L.9 -f mancho , adonque pagando a fiorini fe auan- gano L.9 f de più che nOn fifa a bolognini , per tanto fi conclude che . • - . T meglio \ Libro Quinto. 250 •Mèglio fari ieL.p a portar fiorini, & cofi farai le fintili .auertcndo anc bora cheli f. fono fuppofii per Lira per Ut ragione più volte addati* di /opra. ”1-11 j o o ì 5 o o - • k'i 7 1 ‘‘-VA'' ; ? '3 6 y 3 »Jj 9l J o o *i 7 S 3 9 TT Myt rstiiM's1 lui. . 6 7 5 » JJ auan%o. L. 9 ,* /l • Qucfìto vigelìmoquarto 81* 9 m -f iLj <* 5 V^1 ▼ idi _ merendante Tifano bada far vno pagamento in Bologna de t. ▼ ‘ 300, <?e bolognini, & il fiorino vale in Bologna fot.} 2, de bologni ni, & il bolognino vale in Bologna den. 12, di fu a moneta, & il detto fio riho vale a Tifa f. 40 de Tifoni, & il bolognino Vale in Tifa d. 15 de Ti foni, fi dimanda qual fia meglio portar per far ditto pagamento , ò fiorii ni, ò bolognini, & quanto meglio . Vedi fubìto il numero del luogo, oue fi vuol far il pagamento , che è fol. 32 valutarci fioVino in Bologna, & dirai, fe 3 a di Bologna fono pa- gati con 40 de Tifa, con quanti de Tifa faranno pagati 300 di Bologna, opera,& trotterai, che faranno pagati con 375 de Tifa de fior ini, & que fle puoi mettere per L. fe voi, perche hanno la medefma proporzione, co- me più volte è fiato detto, poi per li bolognini dirai, fe 1 2 di Bolo %na fo- no pagaticon 15 di Tifa, con quanti de Tifa, faranno pagati 300 di Bo logna '.opera, & faranno pagati parimente con 375 , cioè L. cr perche quitti fono pr ottone mi eguali, tu potrai portar de quali ti piacerà, che non vi è alcuno vantaggio , come vedi . 3 2 | 4 o | 3 00 t 2 | i 5 | 3 o o 4 | f | 3 ° ° fchiffapcrbrcuità 3 | 1 5 , 7 5 * 1 I 7 $ 1 1 5 5 J — fchiffap faranno L. 3 7 5 breuità ne ventri 1,3 7 j l^rr » Tor. D eli* A ri tli m etica Tortando qualevorrà di quefle due monete pagar i il debito de in Bologna con £.3 75 deTifani . 1 1 Ui Quefito vigefimoquinto . VT^o merendante trottando fi in Venetia vorriamandar in jìuguftce fcu.ìooo, li quali in Venetia valeno L.6 fol.i g l'vno,& in Jlu- gujìa valeno fiorini 1 -J- l’ vno, li quali fiorini valeno folini ao tvno , tir •pno felino vale bc-gi 2 o, & li cambu vanno al prefente a fiorini 1 3 j per 0 gnf 1 00 ducati correnti di V enetia,perilcbe fi dimanda qual i pii* vtile a mandar lifcu.de contadi, quali hanno de fpefa per il carrier, che li porta £ defcu.per 1 00, onero rimettendoli a cambio ì Vna filmile queflione fu propofla al Tartaglia Breffiano , perrifoluer quefla , vedi quale di quefti dot modi ti rende maggior quantità de fiorine in ^iugufta, ir per fapcrlo farai li fcu.ìoo tf oro da L.6 fol. 1 8 in ducati torrenti da L.6 fol.q l'viw,& trouerai,ihe faranno due. correnti 2225 -jl , bora vedi quanti fiorini ti rifpondeno in ugufla , rimettendoli a cam- bio alla detta ragione, dicendo fe due. 100 correnti mi danno fiorini 13 $> che mi dar anno due. correnti 2225 -^{.multiplica, & parti, trouerai,che ti daranno fiorini 3004 , & tanti mi rifpondeno l. fcu.ìooo in *Ait- gufìa , rimettendoli a cambio, bora vedi quanto mi daranno mandandoli per il corrierofil quale volendo -J- de fcu.per 1 00 fin fcu.ìooo vorrà fc+ ( m 5 quali detratti da 1000 refìano 199$, li quali a fiorini 1 -{ per fcu. fa- ranno fiorini 2992 £ > & per vi* ài cambio fono fiorini 3 004 . adon quefxrà meglio a rimetterli a cambio,per che faranno maggior f.nnma de dinari, & fe ne voi faper quanto piùjhttrarai li fiorini 2292-5” dalli fio- rini 3004 4* reparano fiorini 1 a bora multiplica quale 2 1 fopra la riga per ao )olini,cbcfà vno fiorino, & quello, che fà partiper 62 , cioè per il fuo denominatore, ne venirano folini 6, et auangano 18, quali fimil mente multiplica per 20,(3“ ilprodutto parti per 62, ne venir anno begi 15 , & auangarxno-j{,fi che rimettendoli a cambio auangara fiorini 1 2 folini 6, bey 15 , et cofi farai le fimiti . Quefito vi gefimofèfto. .,eR£> ^ IL detto Tfjcolo Tartaglia pone quefio quefito nella fua opera di Aritb melica nel trattato de Cambi] occorfa realmente, comeancho la paf- fata,cioè. jld vno merendante Fiorentino , quale filanti aua in Venetia , gli vieta data. i Libro Quinto. 251 iatavni cornmìffione da vn' altro merendante Fiorentino fuo amico, qual {lauti aua in Anuerfa,la quale comm ijfione permutato il modo fuo di dire ha queflofenJo,cioè. Se voi trouati , chi vi dia in renetta duc.ióono contadi, & che in An uer fa fi ano pagati a chi gli piacerà a groffi 6 ì -J- per ognvno di efji ' duc.& vn'altroyche voglia da voi gli fi fidiic.ioooo per far ni pagar incorna per ogni due. 100 di efji due. 8 j-*- di camera , ò con raguaglio di tirar, & rimetterò, fatilo per conto mio,cr auifate,hor accade,che cottili trouaper Hpmaduc.iq -f di camera per ogni duc.ioo di t'eneiia, fi di- manda a che predo debba trar d'Anuerfa a voler, chetale commìffione vengbi raguagliata,vedi quanto fcapita per f{oma,& altro tanto vedi di auangar alla rata nel trarli diAnuerfa , onde tu vedi, che di 87-* di camera ne vien in due. 87-7- pur di camera , & però dirai fe ducati 8 7 •A- mi danno duc.Sj -{- , che mi daranno graffi ouer d.6<y - j-. multi plica , & parti ti dar ano due. 6$ , & cofi trahendo li due. 10000 d- Anncrfa a ragio de groffi 6 5 -jjff- per due. corrente di renetìa,& rimet- tendo poi tali dinari a ì\oma a ragion de duc.%q -*• di camera per ducati 300 di renetta, tale commìffione farà ragli agliata fecondo la prima inten tione, perche fe ben fcapita per {{orna r /{petto alla prima propofla, alla medcjma rata di talefcapito, vien ai auangar nella tratta d'Anuerfa» De fratre Luca nella decimaterza delii Cambi] . [ * ^ Quefito vigefimofèetimo.; * » LA L.di Fiorenga è meglio, che la Teroginapic. %%,&la L.deVe- rogia è meglio , che la Pi fona piccioli jo ,&la L.dcVifa è peggio thè quella de Siena piccioli 1 j , dimando L.$odi Siena quanto faranno peggio alla Fiorentina ? Trima vedi quanto ciafcbaduna di qitefie ritornano in fiorenga, et di- rai fe la lira Fiorentina e meglio della Verogina pfcfoli j», che fanno ful.i,den.$ cioè fot. ì ~ adonque fol. 30 da Fiorwgà fanno fol. *a -f- da Verogia , & ({fendo quefla daVerogia meglio , che la Tifana pic- coli 20, che Jono fol. 1 -j adonque fol. io da Verogia fanno fol. Tifa, et fe quefia L.de Tifa èpeggio , che la Senefe piccoli 1 1 , adonque fol. zo Vifani fono fol.ii ^ di Siena, hor vedi qllàrfto tor - » a ciaf duna di quefte in Fiorenza, et dir ai fol. 20 Fiorentini v aleno fol . DelfAritTimerìcà 22 -j- T erogati, et fol. 20 Terogini v aleno fol,z 1 -\-Tifani,rt fol.roTì fatti fono fol. 18 -J- Seneft, dimando 1. 50 disiena quanto valevano in Fio renditi- quanto faranno peggio, bora volendola,& con regola effredien - te, far ai, come nella quarta di queftafopr aferitta , ponendo li antecedenti numeri in vna riga,& li confequenti in vn altra pofii folto li fuoi antcce denti ciafcuno al fuo relatiuo , et multiplicherai li antecedenti per no - uar il numero da effer diuifo , et4i confequenti fimilmentc multiplicarai per trouar il partitore', cioè fol. 20 Fiorentini con fol.ro Terugini fanno 400, & qurflifol.ro Tifani fanno 8000, & quefliper li 50 Sene fi fa- ramo 400000, benché non ftano fol. ma lire nondimeno corriffronde ran noin fatto come fé fuffero fol.per caufa della proportione ftmile, poi mul tiplica li conseguenti, cioè a a -y- fan & qucflo produtto con 18 farà 44** , et qucflo farà partitore del fopr adetto produtto delli an- tecedenti,1 he fu 400000 , ne venir anno lire 43 col fuo rotto,qual fchif fato farà lire 43 ffr che fono lire 4? fol. 8 den. 9 fi, alcuni diffrangono in vna fola riga, vnu antecedente, & poi il fuo confeguente , come vedi, et poi multiplicano li antecedenti infieme,et poi li conseguenti , et poi parte* no, come difopra . Prima difpofìtione. Fiorentini antecedenti 2 o confequenti 2 2 '-y- Terugini Verugini Tifani » 0 20 2 1 4- Il± Tifani Sentft Seconda difpofitione. Sentft 5® il refio >cdi nella narrai ioni, Qnc* j éi-Vf ' QI, , ; * . „ f , > • Quefit' Libro Quinto, fìto vigefimoottauo . 252 Ljt lira deTifa torna in Fiorenza onc. il , et la lira di Fiorenza torna inTerogia onc. 1 3 , dimando la lira di Terogia quanto torne- rà in Tifa . Difl>* nerai li antecedenti, et li conferenti al modo fopr aferitto, et il produtto della multiplicatione dclli antecedenti farà il numero da e/fer diuifo,et il produtto della multiplicaro ndelli confcqucnti faranno il par titore,et quello che ne venirà di efia parlitione faranno le onc . che farà yna lira di Terogia in Tifa . fio ferua,poi moltiplica 1 1 fiali fard 14), parti 1728 per 14 }, ne ve nuannoonc.il , et tante onc. tornerà in Tifa la lira di Terofa. IL 100 di Terogia torna in Siena lire 90 Il 100 di Siena torna inTifa lirei zi V. Ilmoo di Tifa torna in Fiorenza lire 9 5 Jl 100 di Fiorenza torna in Bologna lire 96 Dimand 0 il 1 00 di Bologna quanto tornerà in Terogia . Farai come difopra,multiplicando li antecedenti T vnofia l'altro, et Ivi timo produtto partirai per il produtto delti confeguenti , et quello che ne venirà farà le lire che'l 100 di Bologna torna in Terogia . u tianque muli iplica quelli cinque centenara /’ vnofia l altro,giongen ioper breuità io nulle, oucr %eri alla vnità faranno 10000000000, et queflo ferua,poimultiplicali confcquenti t vn coni altro, cioè 90 fa jzì fanno 10890, et queflo per ps fanno 10345 50 , et queflo ancora per 96 faranno 99 3 ié8oo , et per queflo parti il numero fopraferuato ne venir anno lire 1 00 » et ta»to farà tornato il 1 00 di Bologna in Terofa, come all' incontro appare. adonque multipli . cali fiali fanno 144, et iz fia 144 fanno 1728 ,etque Quefito vige fi monono. DeH'Anthmetlca Terogia, Siena, Siena, Tifa, Tifa, Fiore-fa, FiorV-^a, Bologna Bolog. 190 I 90 I TOO ! f2 X 1 100 \sr I & 0 9 fi 6 8 j 1 o o o c 00000] £.100 sìJ'jyJ 0683200 Qucfito trcntcfimo . \ T r r IL 100 diTerofa torna in Siena L.90 il 1 00 di Siena torna in Tifa lire 1 20 r . il 100 di Tifa torna in Fiorenza lire 95 il 1 00 di Fiorenza torna in B ologna £.96 Dimando il ioo di T ero fa quante L.farà in Bologna , perche non fi di - manda, come nella antecedente quanto ritorni il 1 00 di Bologna in Tcro- già, ma il contrario , cioè quanto ritorna il 100 di Terofa in Bologna, & però quefia farà differente dalla precedente in queflo,che quando hauertà multiplicato li antecedenti,cioè li x 00, eccetto l' vltimo, quello produtto fa rà partitore fi come nella precedete fu il numero da effer partito, et il prò dutto delli confequenti con l' vltimo centenaro farà il numero da effer par tito,fi come nella precedente fu partitore, et di tale partitione ne venir an - ito le L.che farà tornato il 100 di Terofa in Bologna, come vedi quiui di folto in oper adone. w Terofa Siena Tifa. Fiorenza Terofa 100 -|- 1 00 |- ioo-|- 1 00 |- o numero diuiforef 9 o — — 120 — ■ — 9 5 — — - 9 6 — |- 00 numero da effer diuifo Siena Tifa Fiorenza Bologna , Multiplica adonque 100 fia 100 fanno ioooo,et queflo per 1 00 fan- no 1000000, et qucHo anchoraper 100 faranno 100000000 , et queflo farà partitor qual ferua, poi multiplica le L.90 da Sienafia L.l 20 de Ti- fa, fanno 10800 ,et queflo fia g6janno 1026000, quali multiplica anchor per L.96 faranno 95496000, et quefti anchora multiplica per £.100» cioè di Terofajaranno 9849600000, quali parti per il produtto delli an recedenti feruato difopra,cioè per 1 00000000, ne venir anno £.98 iff » et tante lire ritorna, et 1 00 di Terofa in Bologna . 4p6|ooooo 62 fchiffato pg — — — fatalmente 1 00 o| 00000 li 1 peri Quc; partitore 100000000 i a Libro Quinto.' cfito trentefimoprimo . 25 J V7{o fa ****** vno fiorino, che vale a bolognini 40 ,et ad Agontani Tale io y et a groffi vale t6, et lui vuole 2 tanti agontani,chc boi 0 gnini , et 2 tanti groffi, che agontani , dimando quanti ne bauerà de cia- fehaduna forte . W Tonache a bolognini ri babbi quanti voletmà per piu commodità dì ope r arponi chen'habbia 1, et perche fk dettOy che 40 bolognini fanno 10 agontani , adonque 4 bolognini fanno 2 *Agontani,et 1 bolognini fanno f agontano yperò haucrà prima 1 bolognino, et poi 4 bolognini, che fono ft " agontani, et perche vuol 2 tanto grojji, che agontani,adonque ne hauereb he 4 fefuffèro eguali, ma perche v aleno t tanti, et megp li graffi, che li bo lognini, perche 40 è 2 tanti è melode 16, adonque 4 graffi v aleno io b+ legnini, cioi 2 -J- tanto, bora fumar ai infieme 1 bolognino 4 bolognini, et io bolognini , fanno 15 ,et quefle J valute vorriano effer 40 bolognini per tanto dirai per regola del 3, /ir 1 5 bolognini vorriano effer 40, chef* rebbe 1 bolognino.multiplica,et parti ne Tener anno bolognini tanti bolognini bauerà, & perche vuole 1 tanti Agontani, multiplica % -j-per 2 faranno 5 -j- , & tanti Agontani hauerà,& perche vuole an- chora 2 tanti groffi, che Agontani multiplica 3 -J- per 2 faranno io -£- et tanti groffi bauerà,che tutti quefii infieme per le ragion dette valeran no 40 bolognini. Et per prouarla diraiffe 15 mi danno 40 bolognini, che mi darà 4. ope- rati daranno bolognini io -j-poi dirai, fé 15 mi danno 40» che mi da- ranno io bolognini.operatt daranno 2 6-y.horgiongi infieme 2 -j-, con io , & con 26 -j- faranno 40 bolognini, come fù propofio , &cofi farai le fintili. X 4 1 2 6 .4 o bo legnini. La medefm i pptrrffì f olàerc anchor per àltro modo, ciol poni, che ha- Ueffe bolognini 1 qual è de fiorilo, & perche vuol 2 tanti agontani, a- donque bauerà a agontani che fono T J- de fiorino , & perche vuole an- t%e 2 tanti groffi, che agontani adonquehauerà 4 graffi che fono £ de fm ìtho, hot giongi infieme quefle parti de fior ino , cioè 4“ I > & sfavar» 1 Sff no Defl’Arith mctifcar re -L de fiorino , adunque dirai per regola del } fe-\- de fiorino mi da T bchgnino, che mi farà vn fiorino-, opera ti daranno bolagnwi 2 y, poi dirai fe de fiorino mi da 2 agontani , chemi darà w? opera ti daranno 5 -J-, & tanti agontani hauerà . poi diraii fiorino mi danno graffi 4 , che mi darà vno fiorino i opera ti daH^y^J) -y- , Ó* volendola prouar vedi ci afe urto de qnefli che parte fonò de fiorino , & giungi infume dette parti, tremerai , che faranno vno, fiorino integr ovve- ro farai la pr otta al modo pollo difopra, & eofifoijkpiù facilmente fa- \ rat le fintili, * " f * v <■; ■> : Qucfito trentefimofccondo. LI f Tifami v aleno 7 tornefiffp tornefi valeno 1 1 volterrani, lilj\ volte r ani v aleno 17 Luche fi. dimando L.i oo,deTifani quante va ter anno de Luchefi, farai al modo della vigefimaottaua , & vigefimano. na, &■ trotterai che L. 100 Tifani faranno L.2 23 T*J a Luchefi , come Vcd rei difotto operato . 585 5 39 445 1309 100 f : J J O © O ' Quefito trentefimoterzo de Frate Luca . « . LO flato del gran ovale folli, & fol. 1 7 valeno tiara 2 depanigo , $■ flora 9 de panigo y aleno flora 5 de noci,& 1 1 flora de noci vtf ■ ~ - - Icno A Libro Quinta.* I 254 Imo fol. 74, & 74 fol. valevo i fiorino, dimando per Rara 100 digranot quanti fiorini fe batterà t per farlo difi ovili numeri almodo iella prète- dente, & opc~*fimilmcnte,trouciai che per ioo Rara di grano bàtterai fiorini 1 ì . *• Qucfito trcntcfimoquarto . \T T^o vuol far cambiar fcu. t oo in tre forti de monete , ciò} in dinari ' * da fol. 6 l'vno,& nurceSida fol.it Ì vno, & dinari daf. 1 8 l'vnot & vuole t tanti tnarcclli che dinari da fol. 1 8, '& } tanti da fol.6 , che mar celli, dimando quanti n'hauerà deciafeaduna forte ì Ter far aueflo poni prima, che nbabbia vno dafol.\i,Cr t dafol.it 1 che fono fol. tq,& 6 da fol.6, perchene vuole j tanti da fol. 6 , che da fol. n, che fono fol. J 6, per tanto fumma infieme 1 8 | 1 4 , et 3 6 fanno , fol.qS, poi dir ai fé fol. 78, mi danno d. I da fol. 1 8 > che mi daranno fcjtt 100 fatti infot.afol. 1 40 per fcu. che fono fol. 14000, multi plica , parti ti daranno 179 & tanti dinarida fol. 18 Cvnohauerà,et per- che ne vuole il doppio de quelli da fol.it, adonquedupler ai 179 j f-faran no ì 58 }|-, et tanti n'hauerà da fol. 1 1, et perche ne vuol 3 tanti da fol. 6, adonque triplerai 358 faranno 1076 }f-, et tanti n'hauerà da fol. 6, et farà fatto il cambio . ’ Horper prouarla vedi li dinari r 79 £*- da fol. 1 8 f vno quante L.fan no, et trouer ai che faranno L.i6ifol.io\~-,etdinari^S\L dafol.n C C vno fanno L.t 1 s fol. 7 j|-, et dinari 1076 da fol.6 1 vno fanno L. 31} foL 1 quali [ammutì infieme fanno lire 700 , che fono fcu. 1 00, dafol.iqo l'vno come fu propoflo, et co fi farai le fimdi, et proverai. fol. 'fol. fol. fol. 7 8 i 8—1 a 4- a 7 8~ — 5 1 5 I fol. 1 o J£ l* a 1 3 2 5 fol- 7* 7 3 fol. jr 19 8 9 prova L. 70 o fol. cioè fcu. 100# % 4k Sff a Quc- r DelTArithmetica Quelito trentefimoquinto, porto da Frate Lucaaicafo vigelimofettimo .ia non ben rifolto . "tX fiorino rate 1 i tome fi , et 3 Aquilani , onero -pale 8 tome/i, et 20 X Aquilani che tanto fanno, lo faccio cambiar da vno banchero, et mi dete in cambio qtornefi, et 4 Aquilini, et fot. 20, de più, dimando quan- ti fot. ualfe il detto fior ino <* Dirai prima 1 » tome fi, et 8 Aquilani ualtno 8 tornefi, et 20 àquila ni, dimando quanti Aquilani vale il tornefe , onde fottrerai li 8 tornefi dalli 1 2 tornefi refleranno 4 tornefi , et li 8 aquilani dalli 20 aquilani re flcranno 12 aquilani , ondehauerai che 4 tornefi faranno eguali a 12 aquilani. parti adunque 1 2 per 4 tornefi rie venir anno 3 aquilani quali fo no la valuta de vno tornefe.trouato queflo,cioè eliclo tornefe fa 3 aquilani yedi quanti aquilani valeno l 2 tome fi, et 8 aquilani, per tanto multipli tali tornefi per 3 faranno 36 aggiongtli 8 aquilani fanno 44 aquilani, et tanto valfe il fiorino, onero lo trotterai ancora per l altra parte,cioì 8 tornefi vaieranno 2 4 aquilani alli quali aggiungi li 20 aquilani faranno fèrtilmente 44 aquilani, et perche fi dice che gli dote il bacherò 4 tornefi * et 4 aquilani et fol.20 vedi quanti aquilani fanno 4 tornefi , et 4 aquila- ni a 3 aquilani al tornefe trouerai , che faranno fol.16 aquilani. adonque 16 aquilani , et fol.io fono eguali a 44 aquilani che l'vna , etlaltrapar te è la valuta del fiorino, fottrerai adonque 16 aquilani de 44 refiano 28 aquilani eguali afol.io.parti a8 per folio ne vicn l -j-, et tanti aquila ni fanno vno foldo, onde dirai fei~ aquilani mi danno fol. 1 ,cbe mi da ranno 44 aquilani che è la valuta del fiorino, opera ne venir anno foL 3 1 A-t, et tanti fol.valfc il fiorino . Trotta uedendo fe 4 tornefi , et 4 aquilani , che fono 16 aquilani che a 1 -f per foldo fanno fol. ! 1 et fol.20 appreffo,che gli dete il banche ro federo fol. 3 I -f- come fu propofio,et cofi farai, et prouerai le fimiti. Quelito trentelimolèfto, porto dal Tarta- glia a numero 5 o , & da Frate • Lucaalcafo 3 3. IL Tornefe gr offo vale 9 Ceno nini, & il mede fimo vale iqprouegrtani, & a bvlognini non fu ebe raglia frodo dal banebero, & cambio vno i ' Librò Quinto. 155 tornefie,& mi dote 4 bolognini \prouegnani,& 4 genouini, dimando che valfe il Torntfe a bolognini è Ter folucr qucfia oltra li altri modi , per li quali fi può foluere,tien quefto modo, confiderà fe'l tornefe vale 9 Genouini , & il bancbero gli ne da qgenouinivien a dargli -f- della valuta del Tornefe in genouini , & •dandogli qprouegnani gli veneanchora , cioè -j- della valuta di ejfa tornefe in prouegnani,hora giongi inficme quifle due parti de tornefì,cioè faranno detorncfe,& il reflanteper andar al tornefe in- tegro farà ■$,& quejto rotto bifogna,che fia la valuta delli 4 bolognini , che gli dete oltra li 4 prouegnani,et 4 genouini, bora per veder quanti bo lognini vale vno tornefe integro dirai per la regola deli, fé "fi tornefe mi da 4 bolognini, che mi dar a vn tornefe integro, cioè fe j 7 mi danno 4, che me darà 63 , operane venirano bolognini 14-}$, eir tanto vaierà il tornefe a bolognini . La prona farai vedendo fe 9 Genouini valeno 14 bolognini, et fe 1 4 prouegnani fanno li mede fmi 14-^, che fono la valuta del tornefe groffo» Ragioni de lettere di Cambio rifletto aili di nari, che fi sborfàno; ; 1 Quefìto trentefimofettimo. \T ? qo mere adante fi troua hauer in Lione Marche 1 2 onc. 5 d. 20 gra- V ni 16, & li v or ebbe dar a cambio, & rimetter tali dinari i n Vene - eia a ragion de due: 7 4 -y- il marco, correndo co fi il cambio, fi dimanda de quanti ducati fidouera far la litteradi tale cambio . Dirai fe marche vna vale d.ji -j-,che valer ano marche 12 onc.$.d. 20 grani 1 6. furai la prima, & terga cofa in grani,& opera,tr onerai fi- nalmente, che tale litera di cambio in Lion per Venetia fi donerà far di ducati correnti Vcnitiani 943 grofji 19 piccoli 11 -j-, & co fi far ai le fimili . Quelito trentefimoottauo . VJ(p merendante fi troua in Hpnra,& ha i andar a venetia, & var- ivi dar duc.j90 di camera a cambio ad' vn' altro meicadante per Venetia ■ m • ; i Dell’ Ari mmdica Veneti a a ragion de due. 8 7 £ di camera per ducati 100 correnti Ha Veù netia.fi dimanda per quanti due. cor remi da Venetia fi donerà far la lite - radi cambio ? dirai fimilmeme per regola del 3. fé duc.87 y-di camera mi danno due. 1 00 cor remi di Venetia, che mi daranno d ut. 790 di come _ ra. multiplica , & parti ne venir anno ducati correnti Venitiani 90* graffi ao piccoli 18 ■$-,& di tanti fi donerà far la litera di cambio, & cor fi farai le fimili . ' , „ ^ 1 % ^ ’ * * . ^ 1 ‘ *C Quefìto trentefimonono . XT jqo mercadantefi troua in {nuerfa,qual vorria metter a cambio m * Venetia L.jii fol.l 6 di quella moneta d^Anucrfa., & tal cambio fi troua a fol.6\-j- di quella moneta per due. corrente di Veneti a, fi dir muda per quanti due. correnti di Venetia fi donerà far tale litera di cam bio direttiua a Venetia,dirai fe fol. 6 a mi danno due. 1 corrente , che mi daranno Z..318 fol. 1 6. far ai laprima,& terga in j- defoldi. tro ae- rai,che ti daranno due. 107 groffi f piccoli 7 , & di tanti fi donerà far la litera de cambio in u inuerfa direttiua a Venetia . , Quefitoquadragefimo.- VTfo mercante vorria rimettere la valuta de due. 1530 correnti di Venetia in Londra per litera di cambio, il quale cambio fi troua ef- ferc a Steriini 67 -j- per ducato corrente di Venttia.fi dimanda per quél to fi debbo far tale litera di cambio a quella moneta di Londra ? Dirai fe D. 1 di Venetia corrile mi da flerlini 67 -%-che mi darà D. 153» multiplica,et parti ti durano /lerlini 1 02701 ^qualiparti p \l ne veni ranof.8f<,Sd.i-j-, & quefii parti per 20 , ne v entrano Z.. 41 7/! 18 d. 5 perche in Londra 11 Steriini fanno vnfoldo,comeanoi 1 a denari, & f .70 fanno vna L.mafono di maggior valuta, come veii,per tanto per li D. 15 30 correnti batterà de Londra L, 417 fol. 1 8 d. 5 ■*"» < *r di tante L.fi donerà far la litera di Cambio, & cofi farai le fimili . • Qucfito quadragefimoprìjno. VTqp mercante vorria trans ferire Z.730 fol.ióda Londra a Vpk. tia di quella mortela da Londra, & il cambio fi troua effer a Stè r ni A Libro Quinto. ■ 2S 6 , ni 6 9 £ per ducato corrente di V enctia.fi dimanda per quanti due. corren ti di Vcnetia fi donerà far la litera di cambio. ’ Dirai fe Steriini 69 5 mi daduc.vno corrente di Venetia, clienti da- rann oL.y^o fol. 1 6. far ai le lire 7 3 o fot. 1 6 in ~ JìrAini.fi comr fare - fti a farti in -A- d. far anno 350784 megi fìerlim , quali parti per 119 me7j I ìerlini , ne -penarono ducati Vcnetiani correnti 2523 iroffi 1 5 pic- coli r*9 > & de tanti ducati fi donerà far tale litera, di cambio, & cofi fa rai le fintili de Città! a Città intendendo il palare di vna eguale al valo- re della moneta de l'altra . . Varijcafi,ouer queftioni » che poflòno occorrer (opra il cambio commune, ouer minuto ap- plicabili a molti altri cafì,cauati da molti pe- ritiflimi Arithmetici. • > » Quelito quadragefimolecondo . l IL ducato Ventilano d'oro in oro pale foL 1 5 4, & a moneta de Milano valefol. 1 1 5 Milancfi,rado a cambiarlo albanchero,& voglio , che mi dia tanti fui. Milanefi, quanti V enitiani,dimando quanti me ne da rà per forte ? Ter far queflo vedi di eguagliar le parti, onde dirai fe fot. 1 1 5 ±-Mi lane fi mi da ducati vno,che mi darà fol. 154 pur Milanefi, opera troue. rai,cbe faranno due. d'oro 1 lialtrifol.1^4 V enitiani fanno an- ebora vn altro due. d1 oro,adonque due. 2 mi danno il doppio def. 154, cioè fol. 10%, tr onerai adonque quanti te ne darà due. vno , cioè dirai fe duc.t fanno fo!.q 08 tanti de Venetia,quanti de Milano, che far anno due. vnotopera, & ti daranno fol. 1 3 2 traVenitiani,& Milanefi, piglia- cela -j- faranno fol.66, et tanti me ne donerà dar per forte , et cofi farai le fimiti, come vedi quifeguente. DeH'Arithmetlca t i s J_ mi dai | I J 4 a x * J * 1 5 4 1 * 3 1 1 3 o 8 1 1 *_ _ yy 7 7 308 P * ’-hlM 3 ù 8I* r, < je ~1~ 3 fui. 0 6 1 r_ » r il L jj r 7 | 9 » 4 La prona farai cormertendo la ragione 2I fol.i 3 a d 6 fefol.30 8| 91 2- ouero fe 3 o 8|a-J-| 1 3 * * -f * 4 4 4 *3* la «54 1 134308 308 I r* vna 3 o 8 | 3 o 8 I due. vno. Quefito quadragefimoterzo. IL fiori n foro valefol.19 a fiorini, et fot. 45 a piccoli , et vno fi troua 3 00 fiorini d'oro, et li v orria cambiar , et vorria tante lire a fiorini quante apiccoli, fi dimanda quante ne bauerà per ciafch aduna forte . Ter far quefla argumenta come nella precedente , ouero multiplica 45 fi* » 9 fanno l ì<>$,poigiongi infieme 43 , et 19 fanno 74 , li quali cambiandoli al modo detto fe haueria fol. 1305 per forte , ma perche ne volano cambiar fiorini 300, però diremo per regola del 3, fe fiorini 74» mi danno fol.i 305, per ciafcadunaforte,chemi daranno fiorini 300 ,ope ra,et daranno fol. 5*90-^, quali fanno lire 164 fol.iod. 6 jJ- perfor te, et quantunque habbiamo detto difopra nel principio di qucjto trattato che" l forino a piccoli vale (ol.ioo,et quiui l hauemo pofloper fol. 45 >e perche può effer che fol. 100 in vua Città vagliano fol. 4? ** altrat per tanto cofi ojjeruamo in fimili . Que- t 1* libro Quirite! ’ ' * vili’4. W \\ Vv .*•; <)', **.ì ’V'/ £ %W' Qucfi to quadragefìmóquarto . 257 tVt^o vuol far cambiar vno fiorino foro in rauegnani , rt ht tomefi , ▼ rt il fiorino vale fil.qx de rauegnani, onero per fol. 76 de tomefi, et vuole unto di vna forte quanto dell'altra Jì dimanda quanti n'baueri per ciafcadunaforte . ' farai come difopra prefupponendo che lifd.qi , et tifol 76 frano fio* rimonde multiptica li 7 6 fia li 41 fanno } 192, ctghngi 76, et 41 fanno ti$,onde dirai per regola del; ,feiii fiorini mi danno fol. 3192 , per forte, che mi darà 1 fiorino,mntiiplica,et parti, trouerai, che ti darà fot xqdep. ffr per ciafcadunaforte, per fiorino vno.la prona farai conncr - tendo au «Efi. ..1 1 *\v » iti*. \\ ;o> .1 !•»'. • •"> A Qucfito quadrageflmoquinto.1 •>» > ; .t T\ \ \\\ ' lo' \ « , ' il ‘ - % "Vv ••• A .T \TXP r>orrìa cambiar lire 400 rfi moneta in ducati cechini, che vaglio v noL.Sr vno,dr in fiorini,che vagliano lire yCvno, & in certi al- tri megi fiorini che vogliono lire j l'vno ,& vorr urtanti diyrno quanti dell altro, fir dimanda quanti n'hauerdpet tiàfch aduna forte > Ter far qucfla,& altri firmili, aggiongi infime le valute di quefie tre forti de dinari, cioè lire 8 lire j, & lire? fanno tire 16, per tanto dirai fé lire 1 6 mi danno 1 ,per forìe,che mi darà tire 400, opera ti daranno li reis, dr tanti ne batterò per ciafeaduna forte, la prona farai come di - (opri, ■' • • JL Quefito quadragefìmolfcfto w . % ,4 VX? hayno fiorino d‘ oro, del quale ne può batter tomefi \i,& fot. 16 de piccoli, dr colini lo cambia ,& ne ha hauuto dal bancherO 8 tornefi, dr fil.iq-\ de piccoli, fi dimanda, che vaierà U tornefe, dr fimilmente il fiorino a piccioli i Ter far quefio vedi , che 1 1 tomefi più fot, 1 6 fono eguali a Tomefi S^piu fai. 24 -J .per tanto fittr eroi fol.xd de fol. tq-f- refleranno fil.% t P°i filtrerai 8 tornefi dalli 1 1 tornefi refleranno } tornefi eguali a fol.S sparti fil.S -{-per $ tomefi ne vengono f. 2 , che fono fol. % den.io, cr tanto vale il tomefi.adonque tornefi 1 1 a fol. 2, den. 1 o per tornefe valenojol.q \ d,f,aili quali aggiongerai li fol. 1 6 faranno fiLqj. d T 1 1 den. 2, *12 Defi’AfitFihictlti ien. tyOuero piccoli 2,& tanto valfe il detto fiorino d'oro a pìccoli, & il tornefc valfe fol. i , dai. i Qj^fil^fpitcqli p^pfdf^f^endo Jc a quel predo g tornili, & /ù/.24-f- v aleno fot '47 piccoli 2. ■ Quefito quadragcfimpfcttimo.; V uù'is V'. Mro. & v\,’- uV. >'» eir.t.u-'- iV»v*.* & IT. fiorino d’oro vale 1 o tornefi grò (Jì, & vno fi trottò bàtter fiorirti 24ÌÀ a’ oro; fi quali torri* cambiar in tome fi graffi in tal mocfg}ehe'gti ri- nanchino tanti fiorini in bar fa quanti forano per numero li tornefigiòf fi, che h alierà hauuto per li fiorini catnbiatiyjìdimandu quanti fiocini1 Jc.ii/iiio. 1', . ‘.t'n. ' t OH , 1 Dirai foni de. 2 42 duepani, che laminorimdtiplicaf èrpeti r ò^òM nifi faccia la maggior, cioè li fiorini che refteranno in borfa ~Tórii adori que, che la minor, cioè li fiorini cambiati fia 1. co. li altri faranno 242, m. 1. co. moltiplica tco.fia iptwncfiffar$rjj)f ccu eguali t(\\i m. r co. aggiùngi tn. 1 còlaRepart?, hauti ai jt eguali a 1 f {.'pari loffi 2 per 1 1 ,ne •periranno il, & tanti fiorini cambio in tornefi, & li fiorini rima/i ór bri fi fumo, 220, quali gìonti olii 2 *■ fanno a42, come fìepfopofl&l ~\T -Vi. . m -ò .C'-f A ? v«;.\ '' • -v: ■ wui3 •il r.Wo quacfragefimoottauo I »*u\k ’L fiorino d’aro pale fola? a fiorino, onero fól. 38 d piccoli, & vno ff 1 , trotta 1 fiorin d'oro, &• lo vuol far cambiar ,&■ vuole 4 tanti futdrà\. fiorino, quanti a pie coli. fé dimanda'; quanti ne batter à'per ciaf adiri# forte ? • * ‘ V'I Ter far quefli , & ciafcurii altri fimili, piglia 4. volte tanti folditt fio > òr, quanti ne vale il detto fiorino' a piccai. , ma il detto fiorino vale fui. 3S a piccoli,adonque pigliane il quadrato de 38 , c/sSè fui. 152, & quesìi pigliali per f>[. a fior, de quali ne vanno fol. 29 al fior.& volendo veder quanti fior, fanno, parti li detti fui. r J 2 per 29 , ne vengono fi off 5 if- al/i quali aggiungerai qui l fior. per quelli fot. 3 8, che vale d picchi faranno fior. ,ielli quali cambiandone vno in ful.a piccoliicieèinfol; fi, il rcflante faranno fior.$ — , quali cambiarai a fól’. defidrimohiplbù. candoliperfol. 2p,& giùngendoli quelli fbL 7 nominator f opra la virgo la del rotto, ne vedranno fol. 1 5 2 a fior, che fono il quadruplo 'de fol. }8 a piccoli, ma perche quefli fono fior. 6 ff-, & noi vogliamo cambiarne' filo vnojliraì per regola del g.fe fior. 6 mi damò fol. fiychenii darà fior. 1. multi plica; gjr parti ebeti daràjol.6 upiecoli.fi cheli qaaitw fio diqueflo faranno fii, 24 fan fior. UT Iflttti ni bautrai afiòrìho:U"cbé • ■ * " ' " ~ fi M I tiI)raQ[iìntoJ.r fi può trouxr dntoradicendofc fior. 6 danno faL^i j là fiorini, Me mi darà fior. i,& batterai ibpedefmójl? qualir.oui porrai fate in den,fc- vorraiper le vie v fate dijopra . Et volendo prouar farai li detti fol. tutti £ vqafoqt^. Hor facciamo Ufolt « ^ à - frftiifjW folfd ffXì mcendo fe 38 de picca li fanno 2 9 a fior. che faranno 6 {*,, opera trouerai , che faranno fol. 4. 7f{ fchiljati a fior, li quali giorni ioti U/Utxifol. 24 faranno precifa -, mente fol.29, ciob quanto, vqlt^ilfiori^q afiorwo . Votati ancora far li dettiJoUn parte defior.etfummando poi il rotto delle parti f ariano il fin tino intiero . . ili* . iVac.; v tt iklb\iy«a *2>iV \w ’ji» »- l .V» £ Quefito quadragefimonono . . orimqorriiblfii^ptiD cpibuP XT'H° fi trotta hauer due forte de fior' ciob da fol. 30, & da fol .3 3, e* .TC» tuttiinfieme fono 12, & li cambio tutti,cr ne bebbedi cambio^ tutti fol. 3 8 1., fe dimanda quanti nhtbbe per forte . Dirai prima fami de 1 2 due parti , chela minor multiplicata per 30, & l altra per 33,& giorni quefii prodotti infime faccino 38 1 ,poni che la minor fia 1 co. I altra farà 12 m. 1 co. multiplica 1 co. per 30 fa 3 O co.poi multiplica 1 zm. ì co jt er 3 3 faranno 3 96 m. 3 3 f otoiongi infie me 30. co.cSjfàm.^kò.fdrdmo 3^,691.3 cbi&tjuefltfaranno egtta liafol.38 1» feltrerai fol. 38 1, de 396 refianofol. 1 5, quali parti per 3. *o.«c venir amò fior.<f,& tanti, fior.da fol. 30 erano, & il refto che foni 7 fiorini erano da fol. 3 3 fatta, & cofi farai li fimtli . 1 co. 1 i m. 1 co. i|WM .1 33 ^ A » fcWp. I ‘J t »». ;.>■>■! Rii I i.i » J.vi«r . ó\t»l a)\;.rq 0\.± 3 O CO. 3 9 6 m. 3 3 co. . ouukitT\ 3 o 1 a "‘f 3 8 I o itti vù\ k&i r^t \ ^ • l . 0\T*VÌw f * jj'/’ ii-i v» ’ ixjj 3951». 3 coeguale a 3 8 1 i — I ] fior, s da fol. 3 o jffor. 7 da foU 3 3 ,11 <. "m.1 ■ . 1 „ - ' m 3 o 1 ; o a 3 * 5 9 oVurnV*' *fctv. hdfcWM 3 1 7*f< 2 La Libro Quinto. *5 9 Quefito cinquantefimoquarto . \jnyp fa cambiar vn fior. d'oro , & il banchero dice che gli darà fol.qo ▼ de pifani,ouero fot 6odcT ornefi , & lui gli da il fior, et volfe fol. 14 de pifani, & il rcfto de T omefi,dimando quanti tome figli dette, Quefla fi può far in più modi , ma per la più breue vedi quanti tornefi vanno a far vn fol.de pifani, dicendo fe fot. 5 o Tifoni fanno 60 tornefi, che farà fot. x pifano.trouerai,chevn f.pifano,nefà 1 -J- de tornefi , bora dandogli fol. 24, gli ne mancano’ a far 50 de pifani fol.26 pifani , adonque gli donerà dar tanti tornefi, che vogliono f.16 pifani per dargli tutto il valor del fio rino.multiplica adonque fol.26 pifani per fol. 1 -j- de tornefi faranno fol. S I de torn. & tanti tornefi gli doucrà dar olirà li fol. 24 pifani a cam- biar il detto fiorino .fatta, & co fi farai le filmile , & la proua farà a farli tutti ò in pifani, onero in tornefi , Quefito cinquantefimoquinto. EL fior in d'oro vai groffi 11 da Genoa , onero parpaiole 20, che fono fol.dcl Rè di Francia, & vno va a cambiar vn fiorino al banco , hbtbbe groffi 3 di Genoa,& parpaiole et bolognini io, dimando quan- to valfe tal fiorino a bolognini. Ter far qucflo vedi che groffi 3 di Genoa , che hebbe fondii di vno fior. & parp, 8 fono li -J- <f vno fior.giongi infieme , & -J- fanno de fior, ma a compir il fioragli manca , dr quefla parte gli dete in bo- log. io, onde per veder quanti bolognini valfe tutto il fior, dirai fe mi danno bologn. io, che mi daranno vno fior, intero multiplica 10 fia 20 fa 100, parti per 7 ne vien 28 -*-,et tanti bolog. valfe il fior.et cofi farai le fimili . r Quefito dnquantefimofcfto .• \7TVofi troua hauer 4J firà tornefi, et aquilani, il iorn.Tytli.tft&t* V quilano valed. jz,coftuì li fece cambiar tutti a d.^otvno fottofo - fra, fe dimanda quanti tornefi,et aquilani hauea e quanti fumo . Ter far qucflo vedi li 4 5 pegjj de dinari a d. 40 tvno fottofopra quanti d. fanno» cioè multiplica 48 fia 45 fanno d. 1 8 00, bora dir ai, fami de 4 j dueparti , che laminar multiplicafaper & la maggior per d.j if&gioti que B u > s. DdrArithmetlci Jlidoi produrti ìnfime facciano d 1800, onde poni adonque,che la minòr otier vna delle parti fia yna cofa,!,’ altra farà 4S>»-1 co. moltiplica 1 co. fia 48 farà'^i co.pòimultiplica ^iim.x,c<ì: pt^qi far/FfleX^Q , m.)2 cofe.giongili inficine faranno d. 1 440 p. 1 6 co.et quefli faranno eguali a d. 1 %oofottra li 1440 deiZoo rcfla j6o , quali partir ai per i6co.nev^^ • ranno 21 4 -,et tanti tornefibcbbc dal bar.chero,ct perche quefli fono la 4- de 45. adunque bebbe.tanti altri aquilani fatta et cofi farai le filmile. La medefimaridutta in piu breuita. ^ , , . . 7 ■ * • r » * C T -Ntefa la redola della fopraferitta ragione la potrai ridurre in quefla 1 bòtte pratica, cioè multiplica d. 3 1 fia 45 f anno ilo, quali Sottra* rai drlli dai. 1 800 reflanno 3 60, et qucflo ferita, poi fot trenti d.}2,de,d. 43 rèjlano 1(5, et per qucflo 16 partirai li ji5o foprafcruati, neveraunè a 2 4- tornefiyCt 22 £ aquilani per il cambio del fudetto fiorino. , . \ \ Quefito cinquancefimofcttirrio. T L bologninogrorfovald.il Sf.de pi fani, et il tornefe grò forai d.» 1 I pur de pifani.fi dimanda per 600. lire detornefi quante lire do bk- lovyì hauera, per far quefla multiplica lire óoodeTorn. perii den.^o J-, che v aleno fi vno deTiffaranno 30450 Tifarti, quali partiraiperU den. 1 5 4- pifani, che vai il bolognino grojfo, ne verranno L. 1996 fi- de bologn. & cofi far ai le fimili» # OC L Ì&1& f Quefito cinquantefimoottauo \ Tat fol.de bolognini vale piccoli 24 di renetta, & vnfol.de Milano V vale piccoli 1 6 di renetta, fe dimanda per L. 1 2 de bolognini quan- te LMilanefi l’hauvà . , Farai come nella precedente perche tal propor tionèdaL. al. cometa foia fai. & diti, a den. d‘ynjtmcdefmo genere, • t • • . i* ^ : li . • Ji r/ /•«# /il ~ cbcvabil fai. di Milano, rie rzru , — -- — . " ucrà per leL.12 de bolognini, & quefli fi potnano far piu longhe perla, ' regola delle 5 cofe, ma più intelligibili . H n A ' Jv83-.il Y: \i.lUV.i Quc- y Libro Quinto.' r» 254 T.’W i Quefito cinquantefimonono . 260 "\T T^o bnnchero in Vcnetia compra v.na quantità de ferrarini a ferrar- * 7 per 5 bagarini',#" lui li riitendete poi a g ferarini p 7 bagarini. fe dimanda quanti bagarini inuefìite in ferrarmi battendone comprato , et fmenduto tanti, che guadagno bagarini 3 2. \ • " T La miglior, et più commoda via per far qucflo,fia' l trouarvn nume- ro, che fi poffa partir per 7, et per 9 fenga rotti, etfitroua dicendo 7 fia g fanno 6\% bor poniamo che lui habbia coperato ferrarmi 6 3 , vedi quitti bagarini gli coflano, dicendo, fe 7 fcrr. enfiano bagarini f, che cofle ramo ferrarmi 6 3 , opera che ti cofteranno bagatini 4 1, et perche lui li vende a ragion de 9 ferrarmi per 7 bagatmi,vedi quanti bagatini neca-\ ua, dicendo fe 9 ferrarini, mi danno 7 bagarini, che mi daranno ferrari ni 6j, multiplica, et parti ne verranno bagarini 49, et perche alla prima compra fumo fola bagarini 4 5^ adunque riuendendoli ne vieti a cauar 4 bagatini, et lui dite bauer guadagnato bagatini 3 1, ixtr per faper quan tine inucfUce, dirai fe 4 bagatini fono guadagnati con bagatini 4J , con. quanti Jono guadagnati bagarini 3 z, opera che tr onerai che fumo guada gnati cpn bagatini 3 60, et tanti bagarini infierite in ferrarini . • Et volendo faper quanti ferrarmi compro , dirai fe bagatini 5 midan no ferrarmi q,cbe mi daranno bagatini 360, opera che ti daranno fer- rarmi 504 ,et tanti ferrarini compro con li bagarini 360 . *•*9 1-7-I • 0- 5 •‘•*v 1 7 V* vH va hi'll » ■■■ V 'V'f 7 | i 1 5 . . v u 4 5 bagarini 4 4 I . 4 s> bagatini . " U t m • ono»!‘j-;n ' fé 4 1 4 fin.vrxiii»G • 4 bagarini ' • } a t ■ r f r- 1 P VMrJ 1 4 4 0 360 bagarini inueflite. Et volendo frenar dirai come qui fatto fi vede,fe gferrani valeno ba- gatim 7, che vaieranno ferrarini 504 , y2 8 ~ *>.■•0^ !. . »»• *f i.tu-. 3 _ u. i »" «t o '.i.’t; ; W.I 3 9 * tauafi 360 Ter - *> LìbrOiQuìntft* r a tri Tercheftyeie,the ogni fot. 20 a fior, mi danno foLxo apiccoli , et fot. 9 a fior.de più, adunque cauando quelli fol.$ a fior.dellijol. 20 a fior. r elle ràfol. 1 2 a fior .valer foLzo de piccoli , et perette il fiorino d'oro valefol. 29 * fior .onde dirai fe fot. 1 a a fi or. vai fol. xode piccoU, chevalera fot. l^f^^^P^etpartitchc valer afol^ d.4 de piccoli fiuta, et y nelle Jimìle * A.M ■'Ut. ti’» ù r.^v* Qucfito fedàgc fimo fecondo LA L.de bolognini da de cambio a quella de pifani 30 pifani. fe diman da, che vaieranno L. 200 de Tifa L.dc Ulog. per voler vna L.de Tifanti lane nero vorrà L.I de bolognini, et d.^odc pif appreffo li qua- li fono fol. td.6 depifani, quali cauando di vna L.dc pìfrefiaranofold. 1 7 i- de pifani valer vna L.de bolog.per tanto diratfe fotvj depif.vale no fol. io de bologn. che vaieranno L.ì 00, opera che vaieranno L. 218, * 1 » * jr de botàg. et ferrea far quelle L. 200 in foUpera,come fe li fi 1 7 •r foJJ'ero L.con li altri fol.2o,et cqfifeguerai in tutte . iuv!\ f . *.£1. V:< V,? ;.l.»\.f 1 ì’.i> Ai t'TJf • fi 17 -» jfol.xo Uìoo -ai vài x\v„. -.ì 4 * « 2 0 * coVM luV»T ... ì f ' *\ . OJi3i( 4000 „ 2 . «JKVt T ono t — 3.1 1 0 o|" . . A -f- AA. wnlft* J 0 o 'i l l 1 .\c\ CVU-; -J o, Ì A aiPiouP 8 o o o I Z. 1 1 8 -f i/( bolognini • ■"’.uA l t: tOlfc'f'C'Aa c VA Quefìto fèflàgefìmoterzo: ; ornnrjlorniìo^Tlji orilo up T A lira de bolognini riceue di cambio dalla lira de pifani pif. jo.</Ì- mando? £.200 de pif. quante lire de bolognini hauerò.gion^i din. 30 pifani alia lira dtTif. farà fol.xx & dirai fef. tx+icpifJni danno fol.xo de bolognini, che mi daranno lire 100 , de pif. opera ebeti daranno lire 1 77, fol.i & den.6 -p de bobgntm, & cofi farai le fmiti . .•ZiS P Puh Quc- t 7> s Ddl?A'rit|JmaScÌ "JSV'n oi.V\o«ia\jiut tòt^u o ; .\o\infr ,ikvr ^adlro T _ _ r- rr r* : v v^uelito lenageiirnoquarto. r.r.’ i SI . L'otlirade bolognmrhtue dì cambio de quella de pi farti , tfJéx de pi fan i,& la lira de Tifa ricette di quella dcLuchefi fatiate tifi cbefiydimando che ricetterà de cabio la lira de bol.de quella de luch.dirai fefol. io pifanifi^er.efòf^ieluthefi, fhefialrrantJfoI.zi -J- de pif. perche fu detto che la lira de bolognini'valcua fol. i -f 'de più che li pi - farti, onde tanto è adir fol.li,den.6 de pifani^quanto la lira de botognis ni, adonque moltìplica 22 & il produtto parti per 20, ne niranno fol.15 tfcn.to de Luche fi, fi che diremo che la lira de bòlo- ^ vnìni ritener Ade cambio della lira de Luchefifol. t,den. io-'-, cioè che, batterà toni 0 di vantaggio, fatta . Quefico (cflàgcfimoquinta. •i ! 1 ET chi die effe, lire 1 i.fol. 1 5 ,dtn . 6 a fior, quanti fiorini fanno , farai le dette lire in foldi. chefartn&foltf. 2 5 j -Jì , quali parti per 29, che- vaie il fiorino a fiorino > ne verrànnofiorhti 8, [old. 1 J, denari Sa fio- rino . Quelito (cflàgefìmofcfta. IL fiorino a bolognbnval fot. 4? -^-.f e dimanda fol.i-j- a oro quanti fie ranno a bologrini, dirai fe fol.20 a oro v aleno fol. 45 — de bologni ni , che vaieranno fot. 45 ,d. papera che vaieranno fol» 18 » den, 1 1 -p iebolognini. Quelito (cflàgefimofcttimo; ili 0: FI fiorino vate fol, qì,dcn.6 debolognini. fc dimanda lire 3 7 fol. 1 r,dr A bologpini quante faranuoaorojiraifcfol. 4 j A de bolognini,mi da * no fiorini 1 , che mi daranno lire 37 fol.11, de bolognini, opera fecondi • ti [olita ti daranno fior ini 16, fol lO,den.i £ a oro. ■ O t» a \ Quc- / / UbmQyldWW 2 52 j ’..‘i i.n\.ouv'm5i w< sb '>::.i,ot .r*A'<8 .' ' <.e Quefito fefragefimoottaùo. Tl fiòYino valehrea. fol. j den. li, de bolognini. fe dimanda lire A fol. i a ,den. $ a fiorini quanto vaieranno a bolognini, dirai fe fòt. a p 4 fiorini v aleno lire ì fol. ^,den. il, de bolognini rche vaieranno lire 36, fol.i2,den.j a fiorini, mkltiplica,& parli, & vaieranno lire 5 7 fol. 19 den.q. fede bolognini . i-vjWf £ ,i« ' ,r o\ r.,u • ì.t ò) ' ' Quefito (è ffagefimonono » h,tT ■\r\ y T u fi^Oldi a I den.pa fiorini valenofol. ja -J de bolognini. fe dimanda, che ~ pale il fiorino a bolognini, dirai fe fol.i 1 , dea. 9 4 fiorini valenti fa. -3 :-j- de bolognini, che valer anno f. 29 a fi ■ ,'tno . opera, & valer an~ ■nofol.+i i/^7.4 a bolognini, cioè (bei fiorino Valeri fol. 43 ,dcn. 4 4 &>- legnini 3 Quefito fèttuagefinuv •*\v' ’Ò.U Soldi 1 3 dcn.>4 a o)‘Qvaleno fal^i,<kèJ de bologuifiLfc dimanda che vale il fiorino a bolognini, dirai fe 13 -f a oro vale fol. 31 -i- che paleranno fol.xo, cioè il fiorino a oro, opera tr onerai cfidl fiorino a om valq fol.47,den.3 a bolognini . 9 ‘U'T ^ Quefito fettuagefimoprimo. T 1 fol. 7, den. 6 a oro valenofol , 16, denti, de bolognini. f e, à fai. iq, den. 6 a fiorini quanto voleranno a bolognini, vedi foLy,d '6 a profano^- de fiorino, cioè de foLìO,& vedi ancora , che fol. 144, 6 afiorino fono J fiorino da fal.ig adonque dirai fcfg de fiorino fono Jol. 16 denti, de bolognini, che mi dora fiortno,multiplica, <$■ parli nt ^cnirMnoJplaZiie^. a-\-tk bolognini, & cosi farai le fintili . ‘ ^r* ì ' L *' ii • * j £ Q uefi to fettuagefimofecondo* Tfcà’i'n ft.Vi .^aVn'ììijji.Vj 1 1 Vb\ d rrt<)t!ìiut> LJ foLS,dcn,6 a oro., & foffydcn.} a fi orma vaiato fai. 5 4, debbio gni ti, fi dimanda che valfe il fior in a bolognini , vedi che parte fo - •or»J> V un a no •i DelFArìtKmetica no fol. %,den. 6, de io ,cioè de vno fioriuo.farà poi vedi, che parte fo- no fol.7, dm.}, df ^9, cioè de forino a oro, & farà £ , qualgiongi con farà |y-, poi dirai fe *g-de fiorino mele fol. 3 4, de bolognini, che vale - rà 1 fiorino, opera trotterai xcbe vaici à fol. 50. dcn. 4 -ff- de bolognini a & coft farai le fintili . Quelito fèttuagelimoterzo . . ili LI fol. 1 iyden.6 a oro,et fol.j,den.} a fiorino valeno fol.+i £ de bo- lo gnini, fe dimanda cito vaieranno fol. +,den. io a fiorini, & fi 6» dcn.it a oro a bo tognini ì Vedi prima, che parte de fiorino fono folcii, dcn.6 a oro a modo difo- fra. trotterai che fono de fiorino, & fol. j den.} afiorino,& trotterai che egli è -J- che gionti infume fanno -f-» & fimilmentevedi li fol A, den. 10 a fiorino, che pdtte fono de fiorino, & trotterai che fono -J- de fiorino, 6' fol.6,den.i a oro fard—, che gionti infilane fanno fiori- no, hor a dirai fe de fiorino fono fiqi -5- de bolognini quanto farà -jt fiorino multiplica,& parti al modo de rotti, et faranno foL 2 4, den.} -\ de bolognini, & cofi farai le filmili . Quelito fèttantefimoquarto . > ", » . ' • . *. • ■ t.jt LI fol. 2 1 d.9 a fiorino , & fol. 4 de Bolognini valenofol. 1 7 d.6 a or* men fol. I den. 6, de bolognini, fe dimanda , che v alfe il fiorino a bd- lognini ? , , Ter far queftaaggiongi a lvnaparte,& l' altra fol. 1 d.6 de bologmm per ri fiorar iidiminuti, baucraicbelifol.il d.9 a fiorino più fol.S ±dc bolognini faranno eguali aUifol.17 d.6 a oro . Hor vedi fol. li d. 9 a fiorino quanti fono a oro . Dicendo fefol.i 9 valeno, fol. 10, chevaleranofol.il multipla, <jr parti, valevano fol. 15 a oro, che fono differenti, dallifol.ijd.6 per fol. i d.6, per ricetto delti fol. 5 -{-de bolognini, che valeno de più, adon- tile hauerai. , che fol. 2 d.6 a oro valeno fol. 5 d.6 de bolognini. per tanto dirai per regola del 3 fe fol. 2 -j- 0 oro valeno fol. 1~i~de bolognini , che •paleranno foLio a oro, che è il fiorinotmulciplica, & parti tr onerai jhc valer a il fiorino a bolognini fol.^,0" cofi farai lefimid » Toteui anchora li fol. 1 1 d.jf,& li fol. 1 7 d.6 reccar inpartt defivri- no, come fù fatto nelle prece denti, & poi arguir,comed 'tfopra . L r Libro Quinto. 26 3 Quefito fettantcfimoquinto. LI fol.16 d.S aoromcnfol.i6d.iafiorinovalenofol.il d.gdebo- lognmi. fe dimanda quanto valfe il fiorino a bolognini . Pedi per q nello, che è detto difopra,ne Ìaltre,che fot. 1 6 d.S a oro fono -J- de fiorino a oro , & fol. \ 6 d 8 a fiorino fono -J® de fiorino a fiorino qual per effer men fotte a de -L-, refìano -j-J de fior ino, bora dirai per rego la del J,fe-fj de fiorino vale fol. 1 1 d.g de bolognini, cioì fol. i i -J- ,cbe •vaierà i fiorino, opera per rotti trouerai,cbe vaierà fui. 45 rf.5 4- debo lognini,& co/i opera in fimili . ■ • Quefito fettantefimofèfto. LE L.2 fol.\\apapali , & L.J Jol.6 d.S de p.valeno L.2 fol. \g d.6 de bolognini. fc dimanda, che valfe il fiorino a bolognini, & f appi a, che' l fiorino a papali vale L.qfol. io,& a p. vale L.f, cioè fol. 100, co- me fu detto nel principio di qncflo trattato , vedi che parte fono L.2 fol. 14 de fol. pò, che vale a papali il fiorino, & trotterai, che fono li , & che parte fono Z.3 fol. 6 d. 8 defol.ioo,cbefono li de fiorino a piccoli -•* giongili in/icme faranno fiorini 1 Hora dirai fe fiorini 1 4f mi danno L.2 fol. 19 d.6 de bolognini, cioè fol. 5 9-ì~, che mi darà fiorino vno,multiplica , & parti, & darà fol. 46 d. 1 1 -i* de fiorino, & tanto valfe il fiorino a bolognini, & qucfto fi pote- va far anebor per altro modo. v 1 1 Quefito fètantefimofettimo. LE L.2 fol.j a papali, gr L. 1 fol.i } d. 4 apiccoli valeno L .3 fol. 2 d. 6 de moneta Milanefe,fi dimanda quanto vale il fiorino a moneta Mtl anefe ì Vcdi,che L.2 fol. $ a papali fono fiorino, & L.l fol.13 d. 4 a picco- li fono -j- de fiorino a piccoli, perche il fiorino a piccoli vale fol. ioo, & a papali fol. 90, chegionti infime fanno -J- de fiorino, hora dirai fe de fiorino vale L.i fol. 2 d.6 de Milane ft, che valer a vno fiorino, multiplica & pani trotterai , che vaierà L.3 fol. 1 J de Milanefi , & cofi farai le fimili . Que- w f 0 1 DeirArìthmetìftll ' . Qucfuo fectajitefimootcaU0.* Fiorini io,& 14 tornefi falena tZitomefimen a fiorini., f e dimanto ' aoo fiorini quanti tornefi valer ano. - 1 Sottrarai prima li 14 tome fi dalli 1 82 tornefi per levarli fupcrflui, re fimo 16S tornefi, & giungi li 1 fiorini a f vita, &, ( altra parte perriflo rar li diminuti faranno 1 2 fiorini eguali a «68 torneft,hora dirai.fe tifa ritti vSIPno tornefi i68,che valer ano fiorini aoo , multiplica , sparti valerantuornefi 2800, & toft farai lefimili uguagliando le parti a da- to modo. i .^cV Qucfi co fcttantcfimoooot) . \T7fo fi trova batter vna forte de fiorini tf oro alemani ,.'tbe vale. bole- ri gnini 40 , ouer jlgontani io, ouer groffi 1 6 ,& lo fece cambiar id bando, & volfez tanti agont ani, che bolognini,& 2 tanti groffi, che a- gontani.fe dimanda quanti n' Irebbe de ciafcbaduna forte, quella trotterà rifolta difopra per altro modo con la proua . 1 ' Ter tato poni jbebaue/fe vno bologHÌno,quaTè de fiorino* & per- che vuole z tanti agontani , adonquc batterà 2 agontani, che fono -fi de 4# f adonque dirai fe L. da 1 bologninOfCbemi darà 1 fiorino ,multiplica,& parti, ti darabolo gnini a -J- , poi dirai fé-}- de fiorino mi da a agont ani, che mi dar a 1 fio- | J \ ~ OS JJ • provare vedi ciafcbunn de quelli , che parte fono de fiorino, & gionggu infume, trotterai de faranno vno fiorino integro, ór coft farai leftmih. -o. Queficoottantefimo. -•li -• ' . •. : v t r. EL fiorino d'oro vale 2$ pedioni, &fol.q debolognini, ouerfoL)6 de bolognioi,ct 6 pedior\i,fe dimanda, de vale il fiorino d'oro a bo- lognini,& quanto vale a pecbioni . .. ,» Ter far quefla confiderà prima, che zi peccchioni p.} bolognini vale- ■ j no A Libro Quinto . I a 6 4 no bolognini 36 p.6 picchiotti, onde Iettando li fuperflui, cioè li ópicch. idilli picc. & li $ bolognini delti 36 bolognini, batterai n picchiotti e - guati a 33 bolognini, & per trouar quanti bolognini fanno vn picchione parti 33 peni, ne -vengono bolognini 1 -f a far vno petcb. bora vedi 36 bolognini , & 6 peccb. quanti bolognini fanno, moltiplicati é picei). p*r » *r bolognini fanno bolognini 9, quali aggbngji alti 36 fimo 4 ; bob bolognini vaierà il fiorino, poi per veder quanto valeapicch. vedi li 3 bolognini, quanti picc h. fanno a detta ragione partendoti per t V » ne venir anno z piccbioni , quali aggiongi a 28 pie eh. far anno jc,a jcpiccb. vaierà detto fiorino jatta^t la prona far ai facilmente . Seguitano li queliti de cambij folu- v * bili per algebra . •r ' j Quefitoottantefimoprimo.La quadragefi- mafcfta de Frate Luca . vVw Vi . •» .' . T* 1 #<‘V» '* »%f ;• J*. . :fcff§*»c r l* ■ -v fiorini 20 tf oro, vn' altro ha tornefi 100, quello datornefi cam * bia a fior, et quello, che hà li fiorini, cambia a tornefi alla medefina ragion,et quando hebbero cambiato, fi trouano tanto /' vno quanto l'altro per numero, dimando, che valfeil fior. a tornefi . 1 Voni,cbe valia vna coJe tornefi. adoqneper io fiorini n'bcbbe 20 co. de torn. poi l’altro vedi quanti fior, hauerai per vna cofa de tornefi, cofi dicendole z co.de torn.mi dà fior. 1, che mi daranno fior. ìoo.multiplica fior.i fia zoo tor.fà 1 00, quali parti p vna co.detornjte venir anno 1 00 efimi d ' vna co. de fior, cioè fior.'-*?- co.perchela quarta dette effer della na- tura della feconda cofa, qual è fior, t co.quejlo è eguale a io co.de torn. le Uail rotti) muhiplicando 20 co. fia il denominane del rotto, qual è ici.fi rà 20 tauet qurftifono eguali a 1 ock parti d numero, cioè 100 per 20, ten. ne venir amo $,etla rad.de 5 fono tanti torn. che valfeil fiorino. La prona farai cofijVedi 20 fior, doro quanti tornefi fanno, multipli- tondo 20 fior. fia rad. $ tornefiyfannoator. rad. 2000, vedi anchoraper torn. 100 quanti fior. hauerai partendo li 1 00 torn. per la valuta del fior, cioè per rad. j, bora fiorai 1 oo.a rai.farà r. 1 0000 parti per rad . j fa- ranno fior. rad. iqqo, et cofi fono tanti li fior. quanti li torn.et cofi opera h m’ fimiti. Dell ‘Ari thmetki Quefito ottantefimofecondo. La quadra- ^ M <w - hebbt genouini comprò fior, I' uno, et l'altro a duna mede firn a ragione, et quando bebbero cambiato, quello che baueua li Genouini fi irono genoid •ni io .più, ciré quello dalli fior, io , dimando quanto valfe.il fiori, 4 genouini . Ter far queflo poni , che' l fior, valeflc I co.de genouini , adonque per *0 fior.n'hebbe SO , ta.de genóuinUet tanti genouini poHiithc bàtte fife per li io fiorettali fdlua,poi compra li fior, dicendo fe t co.de gehouini mi dd 1 fior. che mi daranno 30 gciiouini.multiplicatt parti ti darà 30 eftmide I co.de fior, cofi co. e fimi de fior, et quefia quantità valfe genonini io, più, che le 10 co.dc genouini, fecondo la propofla,adunqttc aggìongi io al le 20 co.de genouini fanno io co.p. io, et quesìo farà eguale a quello rot- to,cioè a Ili co.efmi de fiorino, lèuk il rotto multiplicando 10 co.p. io per il deneminator de detto rotto, quafè 1 co. ne venir a 20 cen.p. io co. eguali a jo.parti la equatione per 20 cen.ne venera 1 ten.p.r\-'a>Jtgkc£. le a 1 -L. , di mega le co. fanno ~ moltiplica in fe fanno 4y giongtlo tri -— fanno 1 -*j , et di queflo caua la rad. farà 1 ~ cauane ~~ , cioè la -5- delle co.rèjta vno,et tanti genouini valfe il fiorino . . * Laproua è facile, perche 30 è io de più, che so, cioè che que&ojbt ha ueuali fiorini . • »\tV io!-.» XT'H0 banebero ha due forti de fiorini , f vita vale il tento L. f 00, et 7 Poltra forte vale il 1 00 Zi 3 00. vengo, et do al bandiera L.^Q,et litfmi dete fiorini j 00 fra f vna,et l'altra forte,et fujfemo eguali, dimando quanti me ne detede fvna,et quanti de l'altra forte , quefia è fintile alla quairagefemoottaua pofla di fopra. « . . n. > Ter far qurfia,anchora che Frate Luca, operi per altra via, farai cofi, vedi chef e vna forte de quelli fiorini vale Z.500 il cento, et f altra Z« 30o,ilcento,è tanto, come fe diceffe,t una forte vale Z. l,et l'altra Z.j, adonque fumo fatte de 100 due parti,che la maggior multiplicataper L, 5, et la minor p L. 3, et gioii infierite quefli 2 produtti fecero L. 450 , poni adonque, che la maggior fta 1 co.l' altra fam 100 m.l coMultiplica i co. Quelito ottuagefimotetzó . .0 1 «-.fe r i OOTUÒ, t.Siftf J fia 5 i Libro tjuiritoi 255 fa f farà $ eo.& t altra minor per 3 farà 300,01. 3, co. giongili infime fanno 2 co.p.300 eguali a 450 .Jottra 30 o de 450 rtfianho L. 150, dr quefii parti per x co. ne vien 7$,& tanti fumo li fiorini da I.5, & il re - fio, che fono x 5 fumo deL.lt vno. fatta , proua. multiplìcando L.7 J per j & lire ti per 3 faranno L.^o,comefù propofìo . ' . V». A. •il 1 ili M*4 -t> fi% ‘:p; mu.-I 375 7 j * ^ .tiiiiail ojitofl’krn, _7 5 7 r s 2 y 3 %y • ^ -v. ' v, Quelito ottuagefimoquarto. * . EL fiorino vale x6 r enilianì, &• 1 6 piccioli infime, &• tanti pieci»* li -rale il V eruttano, quanti Venitiani vale il fiorino , dimando, che aife U fior ino a reniti ani, & quanto v alfe a piccioli i ■ Quella mette Frate Luca al cafo 4 2 . P Oli, che' l fiorino valejfc » co. à Vcttìliìni.àdórtquc i ronfiano vale • 1 co.de piccioli, adunque x6 rcnitiani vaieranno 26 co. de piccioli giongeli i6piccioh,thc vate il fiorino olirà li t6 renitiani, farà 26 co. p. 2 6 piccioli, ir tanti piccioli vaierà in tutto il fiorino, qual faina . Hors per bauer pofio, che' l fiorino vaglia i co.a r enitiani,vcdi quella co. a re niti ani quanti piccioli lavale, diraife i Venitiano vate i co. te pie- doli, che vaierà 1 co. de V eniti ani. muluplica , & parti vaierà 1 ce.de piccioli, & quefti fono eguali a xó co.p.ìó piccoli feruati difopra , adon- quehauerai i ce. eguale a 2 6 co.p.ìó.fcguita il capitolo pigliando lai de ì6 co.fanno IJ,& moltiplica in fe fanno 16 9. giùngili il numero, cioè ‘*6 fanno 19^, & la rad. 193 p. 13, cioè più il dimenamento delle co.val fe il fiorino a V enitiani,cioè valfe r cnitiani rad. 1 9 5 p.i 3, & il reniti* no valfe piccioli rad. 1 95 p. 1 3 volendo veder quanto vale a piccioli, mul tiplica rad. 195 p. 13 per 26, et al prodotto aggiongi 26 piccioli, trouerai quanto valje il fiorino a piccioli, cioè farà rad. 131820 >>.364 a piccioli. & cofi far ai le fimili. 5: CelTAàtft mette* •Vt »& ;v • ' coi ' . { .' • ..V V Ù.1 Ivwi lns\* Quefitootttiagefìmoquinto « Et fiorino -pale a Carlini $,& a gri ffi vale dai tantip. 2, cioè il grof fi, & ad agontani vale 3 tantoché a grofji p. 3 ,cioè 3 9 agontani, et io l'ho cambiato alle 3 dette forti, & hcbbi tanto del'vna quanto de l'al- tra. dimando quanti n hcbbi di ciafchaduna forte. Queftopone Frate Lucaalquadragefimo- primo calò, ma non lo finilfe. PE r far quefla la puoi far per la cofa. Ma più commodamcnte proce- derai co fi, cioè volen do tanti di' vna forte quanti de l'altra,metti che habbia carlini q',cbe fama vno fiorino, & gràffi 3', thè fanno de fiori- no, & agontani 5, che fanno -fede fiorino: giorni infime fanno fiorini 1 fchiffato,hora dirai per regolale fiorini 1 — mi dano 5 per forte, che mi darà fiorino vnotmultiplicar& parti ti dar a 3 gj»» & tantl & tanti groffi,& tanti agontani batterai , & cofijarai le fimili.la prona fi conofee dalla itteffa operatione. Toteui anebora fcn%a ridurli a rotti multiplicar 5 carlini fia 1 2 grof- fi,& qutjlofta 39 agoiitaiìi, faranno 2340, quali metterai , che nhaueffe tanti per forte. hor vedi partendoli per 5, che ne vien fiorini 468, & per iitne vienfiorini per 39,nevien fiorini óoquali aggiongi infie tne fanno fiorini 71} hor dirai per regola del 3 fe fiorini 71$ mi danno 2340 per ciafcaduna forte,chemi dar a fiorino vno.tnultiplica,.& parti ti daranno 3 $ per ciafchaduna forte, & cofi potrai far lefimili . 7 •’ Quefito ottuagefimofefto pofto da Fra- te Luca al calò 40. Vjxfo ha vno ducato,che vale tanti reali quanti fe ne guadagnarla pcf iooj cambiandola per reali 1 1 .fi dimanda quanti reali valfe detta ducato . Toni, che valejfe i co.de reale, adonque fi guadagnerà per tool co. & per ogni i oo reali fe ne faria 100 p.i co. de reale, bora troua il capi tale de 1 1 reali,dicendo fe loop.i co.era too , che erano i i.multiplica l ifia 100 fanno i ioo qual parti per toop.l co. ne vien co. e fi mi, & queflofarà eguali a i corame fu pitto , lena il rotto multipli- 7“ cando Libro Qui ritol f! . 26$ tonilo t C0.fi* ìoop.l co. farà 100 co.p.t cen. eguali a 1 100 .dimtx^M le co. fanno 50. mulùplica in fe fanno 15 00. giùngili ai numero, cioè* 1 1 06 faranno 3600, & di quello piglia la rad. et ca nane UAbneegam en-, to delle co.farà rad. góoomen ^o, che fono io, dr tanti reali dirai, fbt valfc quello ducato fatta, & co fi farai le ftmili. La proua farai dicendo fe io diuengono tinche direneranno lOOOr pera,et diueneranno 1 io ,oi\(ie fi guddagn* xo per zoo, cioè tanto qua * to vai feti ducato a reali. \ t,j ■ 1 Quelito ottuagefmiofèttirno pollo da Frate Luca al calò 3 8. EL fiorino vale t quantità de groffoni, di' vale i tanti, & i piu graffi v<tcbi , & g tanti, et 3 più agontdji, chcgtaffoni,et 4 tanti, & più 4 bolognmi,cbe groffoni, & andai albancboatambiàrlo, (irmi dette il banebero de detto fiorino groffoni 4-J- , & s graffi veccbiy& ì agonta- ni,dr 5 bolognini , dimando , che valfe il detto fiorino a ciaf chaduna de dette monete . Ter fa quefla confiderà prima che fe'l fiorino valeffe 1 groffone , fe- condo che fi proponevi vaierà 4 graffi vecchi, cioè 2 tanti, & 1 più, & vaierà 6 agontani, cioè 3 tanti, & 3 più,cbe groffoni, & vaierà ò bolo gnini, cioè 4 lami, dr 4 più che groffoni, poi confiderà che li groffi vec chi fono li -j- dclli agontani,’& il numero ielli groffi vecchi è la -J- delli bolognini,dr perche dice, che n'hebbe 5 agotani,vedi quali groffi vecchi fanno, cioè piglia li de 5 agotani ne vengono 3 -f- groffi vecchi, et pchc il nu.di detti gr. vecchi è la de bolog. adonq. Uolog. 5 che n'hebbe di cabio fanno i-^-gr.vecchiiquali giunti co 3 -J -gr. vecchi fanno gr. vte chi <, -%•, dr qiicfli anchor giùnti con li 5 grafi 1 vcccbi,-chc n'hebbe di ca bio fanno IO -4- groffi vecchi,/} che hai hauuto per vno fiorino groffi 4 -J-, dr 10 graffi vecchi , & de 4 forti di monete l’bautr ai ridotte M ?ucHe due furti, fatto quello paniche l fiorino valeffe a groffoni 1 co.vm- cndo a groffi vecchi 2 tanti , & 2 più,v alerà a groffi veccloi l co.p. l» Bora vedi cbfftjTtA ic fipriwfiebfie in qttefle 4fft forti dt monete, & hauerà a graffo»] 4 J r(nì1\ .^W<~ a groffi vecchi, bora ag giongiinfieme queflidoi rotti a modo di rotti mulcìplicando in croce farei ■ no io *£> co.p.i £ cop.%fifd*partir per « ceu.p.i co. bor aggiongi infie me 1 o co.con ri co. tomo 1 9 .jj- co. & Iettando il rotto facendone di quello l altro efireuto batterai 2Sf»,p.% co. eguali a 1 9 -[-Cop.B J-i * poi fot trai, co, di 1 9 adunerai poi 1 ccn. eguali 917 cp.p. . ; X x 'x 2 re- DelFAnthmctica refurrai,poì tutta la equatione ad vno cen. partendo tutto per z etn. har aerai i cen.cgualc a 8 ij- co.p. 4 dimena le co. & mul tip fica infe & aggiongi il numero farà az-fiér» & della fumm a piglia la rad. che *4{t» & quella aggiùngi aUatnità delle co. qual' è 4 i>- hauerai la co. ■valer 9, & tanti groffoni valfe il fiorino , & perche ne vuol 1 tanti, & : 9 più, furano io graffi vecchi, et perche vale il fiorino 3 tati agontani,et 3 più che grofjoni, adonq ne pigliaremo 3 fia 9, che fanno 17 , & 3 più , che fono 30, & tanto vale ad agoni ani, & perche valcua 4 tanti, <y 4, de più a bolognini,che a grofjoni , adonque maltipHca 9 fia 4 fanno 3 6 , giùngili 4 più fanno 40, dr tanto valfe a bolognini , la prona potrai facil niente far riducendo tutte le 4 forti de monete a vna, cominciando da qual vuoi. fatta, & cofi farai le flirtili . I groffonc 4 TkV to j- 4 graffi vecchi ICO. rSico.p.2 6 agontani * * ;i * 8 bolognini 8 -i- co.p. 8 p. io co. efimi ■ ■■ 1 * ~ ** "* » 2 ce. p. 2 co. lena il rotto conte fi dice difopra . Li -p delti agontani, & la -J- dell i bolognini.— de 5 agotani fanno 3 grojfi vecchi la -J~ de 5 bolognini fono 1 groffi vecchi fumma fanno 5 -?• grojfi vecchi. Tsfpta lettore che bauendo cfplicato ogni numero nella folutioni di qut fili quefiti, non pongo le operai ioni fiotto per leuar la difficultà alti flampa- tori, perche le folutioni fatte per algebra fi prtfuppone che fianopro- ’poflc per quelli, che hanno conofciute le regole di algebra, et li Rigonfi ini de radici, et de binomij,ct quelli, che fi poffono far fenga ^Algebra fo no communi a tutti, et fono più vtili, et ncceffarù per la loro facilità , ma per fatisfar a tutti nc ho poflo in tutti li modi , ma prima le più faci li, & poi le più difficili digrado in grado, come fi vede . Quelito ottuagefimoottauopofto da Frate Luca al numero trentefimoquinto. IL fiorino vale a tornefi vna quantità, et vale 2 tanti, et 2 più a Vene tiani, che a tornefi, et vale 3 tanto , et 3 più a bolognini,chc a tornefi et a cam bio n'hebbi dal banebero 10 tornefi, \oVcnitiani , et 10 bolo- gnini, di mandafi, (he valfe dttto fiorino a ciafchaduna forte per fei Toni i Libro Quinto.: 2 67 'Poni come nella precedente è operato cbe'l fiorino valeffe 1 tornefe, adonque -vaierà 4 Venetiani,cioè 2 tanti, et 2 più, che a tornefi, et vaie- rà 6 bolognini,cioè 3 tanti, et 3 più che a torne/ì,et confiderà che li Ve- netiani fono -J- delii bolognini, adonque perche a cambio nhebbe 1 o bo lognini, piglia li -J- delti 1 o bolognini fanno 6 -j- Venetiani, quali gion- ti con li 1 o Venetiani che hebbe fanno 1 6 -j- Venitiani , fi che baucr.v battuto per vno fiorino io tornefi, et 1 6 -j- Venctiani, hor poni cbe’l fi» tino valeffe a tornefi 1 co.et valendo a fol.V enctiani a tanto,et » più, va lerà 2 co.p.2 a V enetiani,hor vedi, che parte de fiorino Ibaucrà in que fie a forti de tnoncte,par tendo tornefi 10 per 1 co. bauerà a tornefi, * ° Cf-™ì etaVcnetiani — — aggiongi infieme quefle due par- ti a modo de rotti, multi pile andò in croce faranno prima, - -ì . piovi li 16 4- co. co le 20 co.kaucrat de 2 ccn. p. 2 co. 00 — 1 — — 20 lena il rotto facendo il denominator per Cal- de 2 co. p. 2 co. tro ejlrcmo, batterai 2 cen.p.2, co. eguali a }<S -f- co p.20.leua dalTvna parte, et l’altra li fuper fini , cioè le 2 co. re fileranno 2 cen. eguali a 34 -j- co. p. io, riduci a 1 ccn. partendo tutta la equat ione per li cen.baueral 1 cen. eguale a 1 7 co.p.xo , bora fegui il capitolo de cofa , et numero eguale a c enfo, cioè piglia la ~ delle co. farà 8-y-, multipli cale in fé fan no 7$ giungili H numero, cioè io fanno poi 85—, et di queflo caua la rad. farà rad. 8 f -j- , et giongili la j delle co, farà rad. 8 5 p. 8 -f- et tanto valfe il fiorino a tornefi , et perche a Venctiani valfe 2 tanti , et 1 più chea tornefi ,multiplua rad. 8; -J-/>.8 -f- per 2, et aggiongeli 2 rtducendo il 2 a rad. quando fi vorrà multi plicar per la rad. faranno radice 3 40 , />. 1 9*-J- , et tanto valfe a fol.V enetiani , et perche a bo-, lognini valfe 3 tanti, et 3 più , che a tornefi, adonque multiplica rad. 85 -5- />. 8 -j-per 3 , et poi al produtto aggiongi 3 farà rad.j6 5 , p. ap > et tanto valfe il fiorino a bolognini . Si che dirai che a tornefi valfe rad. 85 p, 8 -f . ./ d Venitiani valfe rad. 3 40 p. 19 -J- jl Bolognini valfe rad.qó^ p. 29 Confiderando la narratione potrai operar facilmente fe farai prima in Jìrutto mediocremente nella „ àlgebra . < JJl a No- V % ✓ Deli'Arithm etica N otando (opra quefte operationi per leuat in parte la fatica. SE ma quantità fi hauefe dividere per 2 partitori,et quello cheti e rii ne aggiùngerlo infume. Dico chela medcfma fumma hauerai fe pi- glierai tal parte di ejj'a quantità da effer diuifa.quaC è il minor partitor del maggior, et ejfa parte aggiùngerai a tutta effa quantità, et li f inuma partirai per il minor partitore,ne renna la detta fumma , effemptoje ha utflida divider e 20 per <,,etpot p 4 .ne r evirano 4, et tubefanno 9M rafe tu pigli li de 20, che fono 1 6,& aggiungili alh 20 faranno 36, quali parti per il minor, cioè per 4 ,ne vengono 9, come fu detto . Quefito ottantefimonono. poftodeFratc Luca nella trigefimalèfta. IL fiorino vale ma quantità a groffoni , & vale » tanti, et 2 più a grof ft vecchi, & vale 3 tanti,& 3 più agroJfelti,& a cambine ho hauti t0 4 groffoni, 3 grcjfi vecchi, & 9 grofjtlti, dimando quanti groffoni ralfèft fiorino j . . . . . Ver far qucflo farai come nelle 2 precedenti , cioè prima poner ai cltel fiorino va&ia vno grojfone, adonque valendo 2 tanti più 2 graffi vecchi vaierà 4 groffivtcchi,& valendo j tanto, ór ; più groffeit , che grof foai vaierà 6 grojfetti. Hora vedi che ligroffi vecchi fono -f- delh grof [etti farai adonque li 9 groffetti in groffi vecchi pigliando li -7- de 9 faranno 6 griffi vecchi, quali giontialli 3 chenhebbe a cambio far an- ■ fio 9. mra potrai dire,cbe per detto fiorino n'hebbe 4 groffoni, et 9 grof fi veuhi,& quelli vedi che parte fono de fiorino .ponendo cbe'l fiorino valeffe 1 co. de groffoni. li 4groJfont faranno JfYfZdf fiorino , 9 ** «cebi fremo come frcpceacercU.Jn cedente, bora aggiùngi infume quelle i parti tf vn fiorino a modo di rat- „ fi, rem. "f’; *• elei ‘fi* frette i fa- 1 J e finn de ì.ce.p.2 co. de 2 ce. p. 2. co. rino.lcua il rotto ponendolo per l'altro diremo, hauerai 2 cen.p. 2 co. e - gualia 17 co.p.S, leua 2 co.dall'vna,& dall'altra parte hauerai a cen. eguali a 1 5 co.p.$,ridnfe a 1 cen. partendo il tutto per li cen. hauerai 1 cetLcguale a 7 -\-co.p. ^piglia la -J- delle co. farà 3 multiplica in fe faranno J ' Libro Quinto < 26% faranno 14 ^ , & a quello quadrato aggiongi il numero, cioè 4 far annoi 18 1 j- 1& dj queflo cauane la rad. farà 4 aggiùngili la-± delle co. che fono 3 faranno 8>dr tanti groffoni valfeflfiorino, adonque valfe 1 8 groffi vecchi , cioè 2 tanti più 2,& agrojfetti Valfe iq,cioè 3 tanti più 3, che agro (foni . La prona farai fummando le parti, & veder fe fanno vn fiorino per - thè n'hebbe a cambio 4 groffoni che fono la 3 de vn fiorino k & 3 groffi vecchi che fono -j- d’vn fiorino, & 9 groffetti che fono dvn fiorino a rifletto di quello che vale il fiorino a ciafc aduna forte, adonque aggiongi quefte 3 forti de fiorino -j- faranno vno fiorino integro , er co/i farai, &prouerai lefimili. Et Ì antecedente per via de rad.ponendo fatto la valuta del fiorino, & fopra per nominatore quelli, che n'hebbe a cambio, & volendo la fa- tica tr onerai, che finita l operai ione il denominatore farà eguale al no- minatore,& cofi farà vn fiorino , \\ t 1 groffone 4 efìmi 9 efimi 4 polloni vecchi rjco. r co.p. 2. & groffetti »“ ‘ * 1 7 co. ■> i 7 co.p. 8 efimi- 1 co. — — 2 ce. p. 2 co. * 5 S co. eguali a iy co.p. 8 33 ce. eguali ay co.p. 4 4 4 * 8 groffoni 18 groffi vecchi, & 27 groffetti diuif amente Quefi to nonagefimo. T7 L fiorino vale a tome fi vna quantità, et vale 2 tanti, et 2 più agon- tani,& vale j tanti, & più 3 yenitiani,et vale 4 tanti, et 4. più a I^auegnani,et vale f tanti,et y più a bolognini, che a tome fi , et nhebhi die ambio 2 torneft,3 agontani,p y enitiani,et 5 fiauegnani , <&• ^ bolo- gnini.dim andò ,che valfe il fiorino a tome fi . Farai, come nelle altri fintili precedenti, ponendo prima , che’l fiorino ■Vale 1 a tome fi, adonque valendo 2 tanti,et 2 più ad^dgontani vaierai, et valendo 3 tanti, et 3 più a yenitiani vaierà 6 a Venìtiani , et valendo 4 tanti, et 4 più a fiauegnani vaierà 8 a Rauc guani, et valendo j tanti, et 5 più a bolognini vaierà io bolognini, come qui vedi in ordine . DcII’Arithmetica i a tornefi 4 agontani 6 Vemùani 8 Rgtuegnani I o bolognini a 3 9 S 5 a adontarti i-t- 6 1 V? \ fc'i . ‘ i ’ “ r-Y »r Hom ridurai tutte qucHe y /òrti a due, cioè a tornefi , tf fontani, et per ridurli poi ienir diuerfe vie, bora confiderà quanti bolognini fanno v* agontanoyilcbe troueraipartendo li bolognini io della po fittone per 44- gontani,ne uenira a bologninia a far vn agunt ano, nachera parti y bo lognini , chebebbedal banchcro per 2 [ ,ne vien 2 agontani, quali fe- gna, poi vedi 5 rauegnani quanti agontani fanno, et trotterai, che fanno % partendo 8 Rauegnani per 4 delia pnfitionc,ne ve n x,& poi partendo 5 per 2, ne ven 2 ~ quali fegna,hòr Vedi quanti yen inani fa vn agiata noverche li agontani fono li -p dclli y enitiaa.ipiglia li — - de 9 Vcmtia ni faranno 6 agontani, quali fogna f otto li altri a quali aggiùngi li f agon tani, ballerai, che 3 agontani, et 9 yenitiani.et 5 J\auignani,et 5 bologni- ni faranno ridotti ad vno ad vno a far 1 3 agontani, fi che poi dir e, che per vno fiorino haurfli 2 tornefi,et 1 3 -* agontani, bora ponenti, cht‘1 -fiorino valc/Jè f co.de tornefi, adunque ad agontani valer a 2 co. p. 2. bora vedi fvna, et l'altra forte, che parte fino de fiorino partendo li 2 tornefi per 1 co.de fiorino farà de fiorino, et partendo \ 3 agontani per 2 co. p. x faranno defiorino.boraaggiongiinfiemeque de 2 co. p.2 01 fie due parti de fiorino a modo di rotto multiplicando in croce, faranno prima * C° « c0, tcbe giùngendo le 4 co. con lei 3 4 co fanno climi de 2 cen p.2 co. poi 7 co.p. 4 et aurfli far anno evitali a vno fiorino. lena il rot- eimi! de 2 ce. p. 2 co. to multiplicando il fiorino fa 1 cen.p. 2 co.bauerai 2 ccn. p.2 co. eguali a 17 4 co.p. 4 levale co. da ambedue le parti hauerai poi 2 cen. eguali a 15 -j- co.p. 4, parti tutta la equatione per li cen. hauerai 1 cen.eguatia 7 co.p. 2, bora feguita il capitolo de to.et numero eguale a cen. cioè dime •gji le co. far anno 3 -jr > er rfurfl° multipliea in fi fanno 1 5 -Ji aggiùngi il numero farà 1 7 4* 1 aitane la rad. farà 4 -J- alla quale aggiùngi la -* delle co. cioè 3 -J~ fanno 8 , et tanti tornefi v.tlf ? i l forino , et fecondo il propofito vaierà 1 8 agontani, 2 7 yeniriani, 3 6 ì{auegnani,et 4 y bologrii ni , come fi può prouare al modo della precedente, et a quefìo modo fi tro uano le valute di queflc monete, et fi riducono in due forti, come fi è fatto in queflo in ridurf e tutti ad agontani irouando prima a detto modo quan- ti È 1 l Libro Quinto. 26 p ti ne ranno a forte per forte a far rn agostano, et quefia h lapin leggia - dra ria difoluer qucjli quefiti, che altramente farebbono molto difficili, rero è che per ridurlo ad agorttani fi poteua anthor far per altri modi. y alfe g tornefi,il fiorino J ouer 1 8 agontanifol.ty Venittaui, 36 Ra uegnani 45 bolognini. f v " '■ f • ’ ' ’ * Quelito nonagefimoprimo, pofta da Frate Luca al numero trentefimofècondo ma fatta per altro modo . • T / , * . •> EL fiorino rale 9 tornefi,et 1 Rauegnano, et raU 1 tornefe, et \\ra uegnani, lo cambio, et nhebbi tanti tomefit quanti rauegnani apon- to,dimando,che ralfe a tornefi,et che valfe a Rauegnani , et quanti if- bebbi per forte ? "Prima tr ouer ai quefio,cioè 9tornefi,et 1 Rauegnano r aleno itone* fr,ct 1 3 Rauegnani, dimando, che ralfe a Rauegnani, leua il tornefe dalli 13 Rauegnani bauer ai 8 tornefi raler la Rauegnani.parti adunque li la Rauegnani per li 8 tornefi,neueniranno 1 tanti Rauegnani fanno rn tornefe,adonque 9 tornefi, et rn Rauegnano fatino 9 -£• tome fi, per- che fé ranno t ~ rauegnani a far rn tornefe, adonque il rauegnano è -j- de rno tornefe, et cofi 1 3 rauegnani, et 1 tornefe farebbono 1 4 raue- gnani,per che il tornefe vale 1 -V* rauegnano, et perche hebbe tati de rna forte quanti de f altra,tufai,che li 9- f- tornefi fanno rn fiorino,redi an che 9 -j~raucgnani,chc parte de fiorino fanno dicendo cofi, fé 1 4 - raue- gnani fanno 1 fior ino, chef iranno 9 ■j-rauegnani.multiplica, et parti fa- ranno -y de fior. bora dirai rn' altra volta f regola del i,fe t -5- fior, mi da a cabio 9 *i~ó rauegnani ò tornefi cheinquefto non fà cafo,pcbe fi ruo le tanti dell' rna quanti dell'altra forte, che mi dark 1 fiorino folo,multi- plica,& parti ne venir anno 5 -f-, & tanti tornefi hebbe , & tanti altri rauegnani, & il fiorino ralfe 9 -±- tornefi , & 14$ rauegnani. fatta . La proua farai vedendo 5 -f- tornefi che parte fono de fiorino, Or fi- milmente 5 -f- rauegnani che parte fono de fiorino, anteporti aggionge rai infime faranno mo fiorino a ponto, come vedi difòtto . « i ryy Quc- DeirArithmctica 1 f I 0 4_ I 4 J. * J 5 1 «01 15 Jl 7 5 5 8 MS 9 3 *3 5 1 0 1 z 1 4 5 rN1 4 r * quando li denominatori fono 8 7 eguali fumma li nominatori S 8 come integri,» farai pre/lo. MS fumma fanno j 145] I145I 1 fiorino Quelito nonagefimolècondo; Et e di Frate Luca al numero trigefìmoprimo de cambij , qual e fallò. * I Lì 12 fiorini valeno a quella ragion li i $ fiorini v alena L. \6. Dimando quante L. vale il fior ino? Et lui lafolue co/i per al- gebra , cioè , poni cbe'l fiorino vaglia i co.de L.adonque i a fiorini vale ranno li co. & li 13 fiorini vaieranno 1 3 co. bar vedi che parte foncy L.iede ti co.& fonò 1- cf-™1 ep" coft L.16 fono li efnn* & f,aufè * de» a co. de 13 co. do la mede fma ragion quefle parti, faranno in propor tion eguale l'vnam „ . , , 240 efimi - - . t altra far a parti 140 per 15 5 ccnfo , ne vieni rr > & de 1 56 «ni. ‘ ” la rad. * ff vale la co. & tante L.valfe il fioi ino aL. Ma a me appare che li iz fior ini valendo L. 1 3, che alla medcfma ra- gione li 1 3 fiorini vaieranno L. 16 £ perche 1 a fiorini valendo L.ys leria il fiorino L.i £ » adunque li 13 fiorini valerobbono- L. 1 6 £ fup- ponendo chele lire fiano d'vnamedefma forte, & non ejfendo d vitame defmail proponente era obligato a difiinguere, come dice il Tbilofopho, Cuoi rclpondenti proponiti^ multiplex quòd non incelligitur ci licet dicere nonintelligo. 'n '’o ■vV Libro Quinto.* 270 -Ùft4 ’mw\ »r) t «» - '•V'Ur:''A^- •«iwjpiid Vi *\ì »x.l, X 2 fiorini al. .i. 1 * L 4 1 4 jb ^ » owfcupom «* I 3 r, . r ' • ; 1 r* ‘ 3 • ? ♦ • — c , 15 prona 1 6 . tiV JDtr. TSÌ v^uc/Ito nonagefimoterzo. Et è de Frate Luca al numero trentennio . . )Vt*jy/ . ii :a u • • * ’ . »?. .»* , [‘V \T\ofi trotta 4 bolognini, & vn' altro 6 pirati, & de quelli 6 p:fani * ne vuol far bolognini, & vogliono rambidr a vnq mede foia ragia , & quando bebbero cambiato, quello èhebaurua li 6 pifani fi trono ha* ner tanti bolognini.che furon la rad de li pifaniche \ bebbe l altro per li 4 bolognini, dimando che valfe il bolognino a pifani ? Ter far quella poni, che'l bolognino valefft 1 co. de pifani, hor vedi quanti pifani bauerai per 4 bolognini dicendo, fe 1 Bolognino mi da 1 co. de pifani che mi darà 4 Bolognini, mult iplica & parti, ti dar anno 4 co. de pifani, poi vedi quanti bolognini batterai per 6 pifani, dicendo fe 1 co. de pifani mi da vn bolognino che mi darà 6 pifani multiplica , '& parti 6 e fimi tidurà dTTTZ dehoHn'nh& quelli faranno eguali alla randelli pi* [ani che bebbe quctC altro per li 4 bolognini, adonque faranno eguali a r. 4 co.. de pifani, bora lena la r ad.multipUcando li eflremi in fe medefmi , cioè m prima ^ ^ in fe faranno — ^ & poi multiplica in fera . 4 code pifani, faranno 4 co. Mora io ho eguale a ± co.leua il rot to, multi plica itilo 1 cen.fia 4 co. farà 4 cu.g? quelli far ai ino eguali a ]6, parti il numero , cioè jóper 4 cu. ne vien la rad. cubapdirai, che fumo tanti pifani . Et per prouarla dirai coft . fc 1 bolognino mi da rad. cu. 9' pifani , che mi darà 4 bolognini, multiplicà, & parti ti darà pifani rad,cu. 5 76 catjf la rad. quadra de 5 q 6 farà 24, & la r. cu.de 24, quali circa 1 «f fur- no li pifani, che h*bbc 1 altro per li 4 bolognini, che coft lo tr onerai die f dofe rad. cu. 9 pifani mi da l bolognino che. mi darà 6 pifani, mitliiphca Yyy a &■ parti Dell’Arithmetica tJr parti al modo de rad. cu. ti darà bolognini rad. cu. 14 , fatta, & cofi farai,& proverai le fimili. ' ' . , . . . £tofr farla più breve quadra li ópifam farà j 6, parti per li 4 bolo- inini ne venir à p,& la rad.cu. 9 valfe il bolognino a pi foni , fatta . Quelito nonantefimoquarto , & de Frate Luca al numero vigefi monono ma per altra via. . OXT3lO.'i»i • ’Of" '.V> El fiorino vale ìó goffi, & vale 11 agontam,& vale 44 bolognini, io lo voglio cambiare a quefle j monete , & voglio tanto deCvua quanto de l altra, dimando quanti n bavero de tiafeb aduna forte i Toniyche nhaueffe i6gro(Ji,& 16 agontani , & 1 6 bolognini , vedi , che parte è ciafchuna de fiorino , onde 1 6 groffi far anno vno fiorino , <J r 1 6 agontani fono t*- de fiorino, & 1 6 bolognini fono yf de fiorino.fumma inficine quefle 3 partifanno fiorini l &- , poi arguirai per la regola del 3, cofije fiorini 1 ù- voleno 1 6 per forte, che vorrà vno fiortno.multiplica, & parti , ne venir anno 7 ih & tanti n'bauerai per forte . La proua fi farà vedendole parte fono de fiorino ciafchaduna, & la fumma de ditte parti faranno vn fiorino , comedifopra in altre fimili fa operato, & cofi farai le fimili cofi in parti eguali, come in parti non egua li, come in dupla, in tripla,& in ctafahun altraproportione,& queftavia mi appare lapin facile, & expedita per foluer fimili quefimi. graffi 16 1 fiorino \ agontani 16 rf- bolognini l5. jf- . ■.? P fiorai TT | *6|* vorà 73- Quefito nonagelìmoquinto pollo da Frate ^ Luca al numero vigelimofecondo. V7 qo fi trova 100 fiorini, che valeno 1 o tornefi V vno,& ne ha cam biato vna quantità a t or ne fi, & furon tanti li tornefi,cbe n hebbe che loro quadrato fa eguale alli fior ini,cbe gli rtmafero, dimando quanti $ ne ritnafe, & quanti ne cambio • i- Libro Quinto *■ 271 ber far quefta poni, che ne cambiale i co. adonque gli ne rimafe 100 m.1 co. bora vedi quanti tornefi hebbe per i co. de fiorini a io tornefi il fiorino, dicendo fe i fiorino mi da io torni finche mi dar a i co.de fiorino , multiplica,& partici dara i o co.de tornefi , qual quadra faranno i OO cen.de tornefi , & quefii fono eguali aloom.x co.chc glirmtafero,agua glia le parti aggiongendo alle parti i co. bauer ai 100 cen.p.i, co. eguali a 1 00. ridufe la equation ad vn cenfo partendola per lì cen.bauerai i ce.p. 5, eguali a i numero. piglia la —delle co.fow ^ de co. multiplicain fe fanno giongili il numero .che è i fanno 1 & la rad. di que- fio menu -J- delle co. vaierà la co. cioè rad. i m-£ì ». & tanti ne cambio , il retto gli rimafe , ma prrfaper qucjio reJiante,fottra quello — | delti 100 dalli 100 fiorini, refiano fiorini 99 £ cattane la radice 1 refiano fiorini 95 ~>n.rad.t.& , & tanti fiorini glireftor- no.cr perche li tomtfi, eoe n'hebbe de canuto furno tanti, che l'oro qua- drato fu eguale a quelli fiorini , che gli rimafero, adonque n'hebbe la rad. vnikcrf.99 £i*n.rad.i — )|ij, & tanti tornefi n'hebbe a cambio, la pro- na potrai far a più modi,qual. lafcio per breuità . Quelito nonagefimo(èfto,&di FrateLuca al calò vigefimotenzo ma non fi- nita da fòluer. EL bolognino vecchio vale afettini vna quantità, & ileamertino va le a feflini li -f de quello,che vale il vecchio, & il rimine fe vale la rad.de cioche vale il vecchio,& ileamertino inficine, io faccio cambiar vn bolognino per ciafcb aduna de dette forti, cioè vno vecchio, vno camer tino,dr vno rìmenefe a ftttini,& n'hebbi de tutte j in tutto fefiini 12, di mando quanti fefiini vale ciafchaduno de detti holognini . Ter far quefta poni, che' l bolognino vecchio valeffe 1 co.a fefiini , & perche il camertino vale li -f- afettini di quello, ehevale il vecchio,adon que vale -f- co. & perche il rim ine fe vale la r.de ciò che vale il vecchio , tr il camer tino, adonque volerà ri -f- co. bora cambiane vno per forte a fefiini, hauerai per vn bolognino vecchio 1 co.de fefiini , per vn camerti no co.de fefiini, & per vno rimine f e rad. 1 co. fummo infieme que- fie 3 forti fanno 1 -4- co.pcr rad. 1 ~~co.& quefta fummo farà eguale a ' 11 feflini, leua la rad. ponendo prima 1 — co. dalla parte delti 1 1 feflini col termino del men,hauerai rad. 1 -±- coeguale a 1 2 m.i -f- co. multipli- cali efiremi infe medefmi faranno 144 rn. 43 ceti, eguali DeirArithmetica 4 t ~co. df a queflo modo è leuata quella radice , poi reflaura le partì giùngendo a ciafcuna parte 43 -}- co. hauerai 45 co. eguali a j JL-cen.p. Impartì tutta la equation per li ccn. hauerai 1 cenfo p. 44 J- eguali a 1 3 -f* co'^ora opererai fecondo il capitolo de cen.et numero eguali a co. piglia la j delle co. fat.no 6 fj-, quali multiplica in fé faranno 48 j{* , et di qutjio cauane il numero, cioè 44 rrflano 1 et di quejlocaua la rad. qual farà 1 remeranno 5 , et canti fcflini vale il bolognino , et perche il camer tino vale li ~ , adonqne il camertino vale 4 /" -flint, et perche il rimenefe vale la ra. della fumma dclli bolognini, et ddli corner tini, cioè de $,tt 4 che fino 9 la cui rad.i 3 , adonque il rimenefe valfe 3 feftini, et coft è concia fa . felaqueflionefujfe fiata come irrationale direfli la cofa vaierò *5 m.rad.j JJ-* , cioè 5 feflini^ct cefi farai le filmili, che fono belle, et fot ttli/fime operai toni. I co. -j- co. rad. 1 -j- co. 1 co. co. rad. j fumma fa 1 -7- co.p.r. 1 dLco. eguale alt tronfioni 1 co. hauerai rad. 1 -f-co. ——li»**» 1 S- *n farà co. eguali a 3 j<- cen. p.i ^.redufe a 1 cen. hauerai 1 cen.p. 44 -J- eguali a 1 3 -J- co.Jegui il capitolo hauerai,come difopra fi conclude. Quelito nonantefimofettimo porto da Fra- te Luca al numero 24. U £ popolino valea tornefi afenrfi vale 3 1 mcn la rad. detti fe A-' ne fi, eh e vale, dim andò quanti fenefi vale detto populino. . Toni , chea fenifi valcjfc 1 co. adonque aggiungi rad. 1 co. fòpra j co. farà 1 co.p.rad. 1 co.& queflofarà eguale a ji.lcua la rad. multìplican - do li efìrtmiinfemedcfmi, m i perche volendo multiplicar 1 co.p.rad. I co.infe ilprodutto faltarebbe in c ubi, che fono più difficili da maneggiare per tanto trafiortartmo 1 co. a t altro eflrrmo, cioè al 31 col termino del meno, haueremo poi da vna parte fulamente la rad. 1 co. eguale a 32 m. 1 co. fi come hauemo operato nella precedente , bora quadr aremo rad.i co. farà 1 co.&po. quadr artmo 3zm.i co. farà 1024 ,m. 64 co.p. farà 1 44 1*1.41 co.p .3 -f- ce. ^ , ... eguali a 1 n flera le parti , • Libro Quinto. m I ce. & quefli faranno eguali a i co. cioè al quadrato der.j co. reflora le farti giogedo a lvna,etl altra 64 co.hauerai 6 5 co.eguali a t ce.p.ionf. di melale co. far ano 32 4“ multiplicali in fe faranno 1056-4- cattane il numero cioè 1 or^,reflano 3 2 la rad. 3 2 ~ fottrarai dalla -^-del- le co. cioè da 3» 4- et refleranno 32 4- m. rad. 31-^-, &. tanto valfe la co. et tanti Sene/i dirai , che valfe il detto populino . . La proua farai aggiongendo «i 32 -j m. rad. 3 i-^-la fua rad. qual è rad. 3 1 farà 3 a a ponto, come fi propone nel quefito, cioè fot. trando l' vna, che è più, et l’altra che è men reflerà nulla , et fottrando -j- del 3 a -ì- reflera 3 a, fatta . Ma volendo trouar la rad. 324 m.rad. 32 -J- farai come infogna Eu elide nella 80 propofition e del decimo libro, cioè piglia la -f- del maggior nome, cioè de 32 -f- farà i6-~ , et quefìo quadra farà 264 j4~> polpi glia la -J- del minor nome , cioè de rad. 8 tj- qual ancor quadra farà 8 i« -et quefìo cauerai dal quadrato della -J- del maggior nume J opra fer- vuto che fu 264 TJ- reflerà 256 , et la rad. di quefìo che è 1 6 giongi alla 4- del maggior nome, cioè a t6 ~ farà 3 2 -4 » et di queflo la rad. farà rad. 32-J-j qual ferua, poi fottraeffo 16 dalla -J- del maggior nome, cioè de 1 6 -J- reflerà et la rad. di queflo che è -V* fottrerai dalla r. fopra feruata,cioè da rad. 32 -4- reflera rad. 32 —m. 4~j quale aggion gendo come fu fatto difopra,farà 32, et co fi ficauano le rad.del primo re cifo per la 80 del decimo libro . Quefito nonagefimoottauo. Et del medefmola vigefimaquinta. IL fiorino d'oro vale a piccioli vna quantità, et a fiorini vale fol. io meno cheapiccioli,vno cambiò fiorini 20 d'oro , et n’hebbe L. 40 de piccioli, et L. 40 a fiorino , dimando che valfe il fior in d’oro a piccioli , et quanto a fiorino . Toni che valeffe a piccioli 1 co. de L.adonque a fiorino vaierà 1 co.m. -j- L. per tener la ragion a L. hor debbi confiderar , che chi partile L. 40, più per la valuta de 10 fiorini di' oro a piccioli, che ne uer ranno li fio rini d'oro, che cambio a piccioli, et c ofi chi partiffe L. 40 a fiorini per la valuta de fiorini d'oro a fiorini ne venir ebbono li fiorini d’oro , che cam- bio, a fiorini, adonque quelli doi avvenimenti , che faranno tutti fiorini d’oro,gionti infieme doneranno far fiorini 20 d'oro,chcil quefito propone thè cambio, queflo intefoponi che'l fiorino a piccioli valeffe 1 co. de L^ per tanto parti 40 per 1 co. ite yien *^~r- de fiorino a oro , et poi parti I co.tn. *o co. m.20 cfimi de i ce.m. 4- co. DelFArithmetìca parti L. 40 a fiorini p i co.m. -V- L.che vale il fiorin d'oro a fior. nenie* — quali gionti infime a modo di rotto fanno a ponto ** ** fy r . . ' . > che deue ejfer eguale ai o, leua il rotto , multiplicando il partitori cioè i ce.m.-Z- co. per 20 farà io cen.m. j o co. eguali a 80 co.rn.io, per la io delfettimo di Euclide, reflaura le parti aggiùngendo a l’ una parte, et f altra io co.et io numeri,hauerai 20 un.p. io eguali a 90 co.riduje la equation ad 1 cen.h onerai 1 ccn.p. 1 eguali a ^ £ co. di mega le co. fanno 2 ■— , multiplica in fe fanno 54-, et la rad. di quefto più il dimenamento delle co. ciaèp.i £ volerà la co. cioè rad. 4 —p. » -i-, et tante lirevalfe il fiorino a piccioli , et perche ualfe a fiorini fot. io meno, che a piccioti,fottreraila da 1 -J- refi ano 1 | , onde dirai che a fiorino ualfe rad.4 $-p. 1 poi per te trouare quanti ne cambiò per ciafc aduna parte . 4 ° 1 eo. 4 o 1 co. m. 4- 8 o co.m.i o 1 o 4 o co. 4 o co. _ ^ .1 8 o co. m. 20 1 ce. m. -j- co.eguali a 10 3 O 9 O co. eguali a 20 cen.p.zo,redufe ai cen. partendo per li cen, 4 4 co. eguali a 1 ce.p. 1 rad. 4 "m* P‘*-t~ r*4 ri-p- t a fiorino. ( Quantunque fiano pofle alcune opcrationi in figura, fi po/fono ancora intendere nella narrai ione chiaramente a chi ha no tùia delli Mgortfmi Ulgebraticipofii da noi, nelle altre parti precedenti a quefio ultimo trat tato de quefiti,nel quale concorrono tutte le parti precedenti. Quefito nonagefìmono , òC la vigefi- mafcftadcl detto Frate Luca W" cambio fiorini 40 d oro a tome fi etn'bebbe una quantità. dapoi * tolf* 60 dequeUi tome fi, che n'hebbe di cambio,et ricomperò fio - 9 < Libro Quinto* *73 ritti, & li paghi vno, vno tornefe di più, di quello, che lui n'hebbcdi catti bio,& fatto queHo la famm i di tornefi , che gli refiorno, perche non li ri tinelli in fiorini tutti, ma folamente 6o[ come diffi di [apra ) -ionta con la ' fomma de fiorini, eberibebbe per li detti tornefi 6 o, feci 50 per numero fra tornefi, &■ fiorini, dimando che valfe il fiorino a torn efi la prima voi ta , & quanto valfe la feconda ? Ver folucr quefio quefito,poni elici cambi affé il fiorino la prima vol- ta a 1 co.de tornefi Ì viti), adunque per 40 fiorini n’hebbe 40 co. detor- nefi,de quelli pigliane 60 tornefi, refiano poi 40 co. m. 60 tornefi, quali fatua, bora cambia 60 torni fi a fiorini d'oro, & danne 1 più per fiorino che non hauefli tù arguendo cofi per regola del $,fe 1 co. p.i tornefe mi danno fiorini 1, che mi daranno 60 tornefi, multiplica,& parti ti datari n° TTo^r 60 efFcrPartltl Per 1 co.p.i, & qttefli fummerai con 40 co.ni.6o, che gli refiò a modo di rotto, ponendo per denominatore fot io il 40 co.tn.6o la vnità per ejjcr integro da fummar con l altro che è a modo di rotto, onde fiata quefia f anima così -° r^in‘ *° C0‘ m‘ <5° 1 co.p 1 r A V | V ì A hor multiplicali in croce feruando le denomina tioni.Atge(n at ce, far anno óop.qo cen. m. 60 co. etimi . prima co ■■ ■ 1 & perche fono in dot luoghi 60 nu- meri vno col p. [altro col m. vanno annullati , & fimilmente fottrerai 40 co. più de 60 co. mcn,refieranno men ao co. fi che fummati haucrai 40 cen.m. loco, efimi , n. r ... . , , t — &quefii faranno eguali allibo, che fece tra de 1 co.p. 1 tornefi, drfiorini,horper leuar il rotto, multiplica 50 fia 1 co.p. 1 farà 50 <*./>. 50 />er numero, & qurfli faranno eguali a 40 cen.m. io co. refio ra le partì aggiungendo ao co.a lvna,& l'altra parte, haucrai 70 cop. 5 o eguali a 40 cen. parti laeqmtione per li cen. haucrai 1 -±-co.p. 1 ^ eguale a 1 ctn.fegui il capitolo de co. & numero eguale a cen . cioè piglia la delle co. fard -f quadrali farà & a quefio aggiongi il numero , cioè 1 jj; farà a cr alla rad.di quefio aggiongi la delle co. farà r. 2 -fi-p- -y-> Or tanto valfe la co. & tanti tornefi n'hebbe per fiorino, al la pr ima volta,g<rnct ricomprar li fiorini gli cofìorno a lui tornefi ra. 2 àrp. I -j- per fiorino , cioè vno tornefe de più che lui non ti cam bio , per faperpoi quanti fiorini comprò, & quanti tornefi gli rimafe , lo potrai per te per via della regola del j ritrouare , & cofi le filmili . ~ ° ^0 eo‘ nt' fa,tno ^0^. 40 ce.m. 60 co.p. 40 co. m.6o ico.p. irN 1 1 1 co. p. 1 1.3.0)..;: - Alili) t»4 ce. hi ao l.to.p.l eguali a JTÒ ZW 4OCV. DeH’Anchmctica 40 co. m. IO eguali a 50 co.p.^o.teua lifuperflui, & riflora lidiminuti hauerai 70 co.p. 50 .eguali a 40 cen. ridufe a 1 et. &c. Ter veder quanti tornefi n'hebbe dirai,fe 1 fiorino mi da rad. a p - -j- che mi darà qo,& trouati ne fottrerai li tornefi 60, &c. Quelito centefimo, ÒC la vigefimaot- taua de Frate Luca . IL fiorino vale I o tornefi più alquanti populini , & vale 1 5 populini più tanti tornefi quanti lono la -J- delli populini, che Valerio più de 1 o tornefi, io lo cambiai al bancbo,CT n hebbidal banchero 8 tornefi,& 8 populini , dimando quanto valfe il detto fiorino a tornefi in tutto,& quan to v alfe a pupuliui * Ter che dice che’l valfe I o tornefi più alquanti populini , porri adonqi che valcjfe in tutto a tornefi io p. \ co. bora di quefio canaio 8 tornefi chi n'hebbe,nfianù 2 tornefi p. 1 co.& quefio conuien che (fa la valuta cicli, 8 populini a ragion de tornefi , bora per veder quanti populini vale- più de ì o tornefi, dirai fe tornefi 2 p.t co. v aleno 8 populini che vaierà. I co. de tornefi, opera, & vaierà -f li- f}™*. & tanto vaierebbe il fiorii J r de 2 p 1 co. no a populini, poi dice che vale 1 5 populini più /«-{- detti torncfi,cheval fe l. populini più de 10 tornefi , adonque piglia la -5- delli populini , che vaifero più de 10 tornefi , ne vien i-f quefio aggiongi con 15- ' ne 2 p. 1 co. populini farà popu lini j * ^*1 — ritmi tome fi. bora ridurrai li 15 popo- lini a tornefi dicendo, fi 8 populini valeno tornefi ip.t co. che valer anno- iò populini. moltiplica ] 5 fi a ) p.l co.fanno 30 p. I S co. de populini , quali parti per 8 ne Vengono 3 -J- p. I -J- co. & quefio aggiongi con- 4 co. rfii*j_ cfje fono pUf totnefi a mo(i0 de rotto ponendo (opra vna vir - de z p.i co - _ p gola li 3 -1- p.i -j -co.& fiotto la virgola la v/iità cioè 1, & poi dall et. tra parte <2r fiaranno co fi ì±tl±L^é A— ^lipoi r de ì p.i co. » r ^ 2 p. 1 naturi, fai anno prtipa 7 tornejip. 3 co.p. 3 ^ co.p. 1 -j- '■‘• r; efin.ù de z p.l cornali 1 p. I co. fimetteno fiottala riga per denominato- „ . .. . 1-i-tor.p.u-bco.p.i-f- &i. re> Jfoifiumma le co.pofie in 3 parti beerai “ quefio Libro Quinto. 274 & queflo rotto fari eguale a io più i cofa, leua il rotto, multipli - canio io più I cofa fia il denominatore de detto rotto , cioè fia a co.p. 1 farà io p. ix co.p. i ce. eguali a 7 £ tornefip. n-}-co.p.t j- ce. agualia le parti leuando lifuperflui , cioè li p.da vna parte dalli maggiori p.de l altra, hauerai cen. eguali a i a -£-/>. £ co. ridurai a 1 cen.parteu do tutto per rj- cen.bauerai 1 cen. eguale a 1 4 -f- p. co. bora fecondo il capitolo de co. & numero eguale a cen. dinega le co. fanno ~ multipli ca infe fanno ^ gongili al numero, cioè a 1 4 faranno 14 -i* & U r. di queflo p.la ~ delle co. valfe la co. cioè rad. 1 4 -ii -S. , ^ ponefti , che valeffe tornefi top.l co.adonque aggiongeli io,& faranno rad. 14 -tfrp.io-i onero io *$-p rad. 1 4 -£i , & tatuo valfe il fiorino a tornefi & volendo faper quanto valfe a populini, cauane 8 tornefi reftaranno a -T P-rad. 14 -ij , & tanti tornefi valeua ancbora li 8 populini, che beh be con li S tornefi, poi per ridar tutto a populini, dir ai fe tornefi a p, rad. 14 -Jl valeno 8 populini, che vaieranno 8 tornefi , che lui bebbc con li 8 populini, multiplica 8 fia 8 fanno 6\,& queflo partirai per 1 ~ p.r. 1 4 facendone vn fol nome , cioè multiplicando x-y p. rad. 14 ^ col fuo recifo,cbe è x -y m.rad. 14 faranno 9 — rat tonale, et multi phcan do ancbora il 64 per ildetto recifo faranno ^.58848-^^1.146 -i-, quali partirai per 9 -y ridotto a rai.ne venir a rad. 704 m.i 6 giongili 8 populini reftaranno rad.70qm.8,& tanti populini batterai per detto fio rinoin tutto,& cofi farai le fimili, avertendoti delle operai ioni, che fi pof fonobreuiare affai per via delfcbiffdre majfime nel partir de l' ultimi rot to, come per fe ftejjb ciafcbun potrà vedere. Quelito centefimoprimo. U 1 fiorino vale io tornefi più alquanti populini, & vale 1 5 populi- nimen tanti tornefi,chefurno la -f* le populini, che valfe più de io tornefi, io lo cambiai, & n'bebbi,come difopra, cioè 8 tome fi, & 8 popu lini, dimando , che valfe il fiorino a tornefi, & quanto a populini ? * ' Qucfla queflione non è differente dalla precedente, fe non, che in quella fiaggtongeua la detta in queflafi caua,per tanto fi efbonera fuccin tamente per effer fiata efplicata f altra di pafo in puffo . Ter tanto poni,che a tornefi valeffe io p. 1 co .de tornefi per la valu- ta delti populini, che valfe altra li io torncfi.cauane 8 tornefi, che itheb- bereflanoxp.t co. tornefi , & queflo fù la valuta delti 8 populini , che n bebbc. t Horaper veder quali populini valfepiù de 1 o tornefi vedi quella co. de tornefi quanto vale a populini dicendo, fe a p. 1 co. tornefi mi da 8 .po- Z \\ a pn lini. DeirArithmética 8 ^ cCttA ^ * » *i M ni, che mi dura i co.de tome fi. opera ti dar a - — . & tanti pò de 2 p. i co. pulirti dirai , che valfe più de i o torneft, de quali prendi la , ne vem 4 co. c fimi ^ {2// tornefiyjlfem.de 1 5 populini, bora farai 1 5 populini de 2. p. ico. j in torneft dicendole S populini v aleno ip.l co. torneft, che valer ano 1 5 populini , opera valer ano 3 -f p.l -f- co.de torneft ,de quali abbatti 4 co. c [imi ^ mQ(to deipottrar rotti} reftaranno 7 p.} co-p. I jL'èen. e fimi de 2 p. 1 co. eìr i faranno eguali a io p.i co.multiplica il partitore ycbe è 2 p.i co.fia l'altro eflremo,cioèfia top.i co. perleuar il rotto farà 20 p. 1 » co. p.i cen. & coft hauerai 7 -£3p. 3 4- co.p.i -f-, cen. eguali azop.11 co.p. I cen.agualia le parti leuando li fuperflui ha - uerai-2- cen.eguali a 1 2 p,S~co.ridufelaequationa 1 cen. hauerai 1 ce.eguale a 9 -f cop. 14 -7 feguita il capitolo de numero,& co.eguale a ccn.tronerai la co.valer rad.\q > & ***** tornrfi valfe ilfi° rino p.de io torneft , ado^que giùngendoli anebora li io torneft valfe in tutto 1 4 -f p.rad. 37 ■%,& per faper c quanto vale a populini abatti li 8 torneft della detta valuta rejlanno 6 — p. rad. 3 7 , & \antl torne~ fi vaifero li 8 populini.poi per faper anebora quant i populini vclfero li 8 torneft dirai coft,fe 6-f-p. rad. 3 7 -fi torneft v aleno 8 populini, che vale - rano 8 torneft mnltiplica,& parti al modo de binomij, come nella prece- dente fù detto , & trotterai, chevalerano 8 torneft a populini 48 mjad. 1 6932 -j- , & quiui finiffe il trattato de cambij . Trattato de Meriti Amplici , Sta capo d an- no , Se altro tempo in tutti li modi con Regole breui Aime . Volendo inquejlo prefente capitolo trattare demeriti prima diremo , che cofaè merito, perche fecondo il T hilofopho la diffinitione del fu licito i il me^zo della dcmoflrationt,poi diuideremo effo merito nelle fue fpecie ouero dtjferentie. Merito adunque in quefV arte è vno accnf cimento onero vna certa quantità de dinari acquifiata con vn altra certa quanti tà de dinari in vno determinato tempo . _ ' Come per gratin di effempio.fe 300 feudi in vii anno guadagnafferoje. I j, fi direbbe , che'l merito delti 300 feudi fujfero li 1 f feudi, & perche ogni 100, ne guadagnano 5 feudi , fi direbbe,cbe li detti feu.^oo guada- gnaffero fcu. 1 5 ih vii anno a ragion de fcu. 5 per 100 al anno, & li fcu» A Libro Quinto. 275 100, fi chiamano capitale delli feudi 5 , & cofii li feudi j 00, ca- pitale delti feudi 15 , onde quefti doi nomi , capitale , c5“ merito fono quodammodo relatiui , perche pollo l'vno s intende effer anchora t altro , & da qui fi comprende, che la caufa materiale, & neceffaria del merito fono li dinari, & il tempo,perche il tempo non merita fenga li dinari,nc li dinari fenga il te n po,hor quefte cofe intefe, dico che il merito è di due fortiyàoè fimpllce,& col tempo, fimplice è quando delli dinari guadagna ti col primo capitale,non ne nafte altro merito, come fcfcu.qoo in 3 anni guadagnano a ragion de 5 per \oo,ilmeritodel primo anno , quali 20 non guadagna altri dinari per li anni fequenti,ma follmente tante volte quanti fono anni, che farebbono in anni 3 feudi 60 . Ma il merito col tempo, come a capo d anno ouer altro termino è quan do finito detto termino non hauendo il debitor pagato il merito, effo meri- to fi aS&‘onge al'capitalc , & guadagna a ragion del primo capitale , tal- mente,che del merito , ne nafee vn altro merito , come fé li detti fcu. 20 non fuffero pagati al primo anno, per lauenire fi pagaria fopra fcu. 420 a detta ragione, perche del detto merito fé ne fa capitale . Et fe la prima fpccie , che è il merito ftmplice è prohibita per le leggi diurne, & immane, faluo che in certi cafi particolari , come farebbe per caufa de dote, & cambi reali, molto magiormente è prohibita, et donata la feconda fpecie,che è il merito a capo danno', ouero ad alcun altro tem po, ma quantunque fiamale, et peccato efje cr abile il commettere ftmili forti de vfure,non dimeno non è male il conofcere tali contratti, accioche quelli poueri bomini,cbe da tali vfurarii fono opprefff appiano almanco, quanto habbino a pagare fecondo tali fuoi conuentioni . Tertaflto fi fanno le ragioni di meriti in 3 modi, delli quali il primo è per la regola del 3 doppia, et è la più longa operatione,il fecondo è più bre ue,& il tergo è brcniffimo,horaproponeremo vno cafo, quale folueremo per ciafcbaduno di quefti 3 modi. Cafo prima. Sia aionque, che haueffemo da faper quanto pagano Z..850 in anni 6 me fi 8 a merito fmplice a ragion de L.<, f 100 al anno, operando per il primo modo, diremo prima, fe L. IOO in vn anno meritano L.$,che me- ritarono L.9^o,ondemultiplicaremo la feconda quantità nella terga, et ilprodutto partiremo per la prima fecondo la regola del 3, & trouare- mo , che meritar anno L.qìfol. 10 poi per vedere quanto guadagnano in anni 6 mtfi 8, dir ai vn' altra volta per la detta regola, fe mefi 12 , che è vn'anno mi pagano I.42 fol. 1 0, che mi pagar anno li mefi 80, cioè li an- . ' •ni DeirAritlimetlcà ni 6 mefi %. multi plica , & parti, & pagar ano L.tSj fol.6 d. 8, et tanti meritano le L. 850 in detto tempo, & a detta ragione . El fecondo modo di operare è alquanto piti b reue, & facile , & fi multi plica la prima per il fu» tempo, ciò) per vn'anno onero per iz mefi otter- rò per giorni 3 6o,fegli faranno giorni, et co fi la terga cofa fi multiplica per tutto il tempo , che fi vole meritare ò fiano anni integri, ò mefi ouer giorni , & poi fi multiplica la feconda nella terga , et il produrlo fi parte per la prima, & ne ve tir a ad vno folo partitore li dinari mi ritati indet- to tempo , come nel propoli» cafo , multiplica L. 1 00 per mefi 1 z fanno 1200 ,et le L.Zjoper lifuoimefi.cioè per 80 faranno 6S0J0 , bora di - raife 1200 mi danno L.$,che midaranno 68000, multiplica, et partiti daranno I.z8 3 fol.6 d $,come difopra,et feglifuffero fiati giorni fi fa- rebbe moltiplicando la prima per 360 .et la terga per il tempo , che fi va le mcritar,ridotta ingiorni . iAl tergo modo, fi er,nfidera,cbe tante L. quante pagano il 100 al anno tati quinti de dinari paga la L.al mcfe,et tanti fol.paga la L. al anno, per- che a 5 per 100 al anno, la L.ven a guadagnar il j—difemedefma, che è fol.vno , adonque in vn me fe guadagna d. vno , volendo àuauque faper a queflo tergo modo le £.850 quanto meritano in anni 6 mefi 8, Fedi quan to guadagna L.vna in detto tempo, che affi. 1 la L.al anno, et d.i al mefe ven a guadagnar fol.6 d.% adonque mulciplicarai /e £.850 per fol.6 d. Sfengafar li d.in fol.ne uenirano Z..183 fol.6 d.S, come difopra, et que- fi a via ojferuaraiper ejfer breuilfima anchora quando altra le L. gli fono fol.et d.et nel tempoli anni mefi, et giorni fi faranno commodiffmamentc come intenderai nelli e(fempi,chc fi daranno difotto, et tutti li qUefìti,chc fi proponerano in termini rationali fi foluerano a queflo tergo modo di 0 - perare,ilche era da dire . Et però, chi diceffe quanto meritano L. 880 in anni 3 mefi 7 giorni jy a ragion de L.$ per 100 al anno? Fedi prima quanto guadagna vita L.in detto tempo a detta ragione, che guadagnerà fol. 3 d. 7 +• ,4 dunque multi plica I.870 per fol.3 d. 7 f- nuUipiicanio, come nella fopraf cri tta,et co me nelli primi Algori fmi fu ampiamente infegnato,mcritc anno £.157 f% 13 den. 9, & cufi farai le filmili, come ancor vedi difotto . 870 8 7 0 i_ s 3 7 » 26 IO 6090 5 4 3 43 5 • •> , V • r ' N 3 1 5 ] zz 1 6 3 a 5 mentano L, z J 7/. 1 3 d.$ 343 den. 9 . > r t Libro Quinto.* 276 Et volendo faper quanto pagar amo, oucr meriteranno L. 86$ fot. 1 6 den.6, in anni 3 mcft 7 giorni 1 o,a ragion de 5 per 100 all’anno, prima vedi quanto guadagna la lira in tutto qucfio tempo , che per quello che è detto troucrai, che guadagna fol.} dei;.? -y, cioè afoLl all'anno, et d. I al mefe, per tanto multiplicbcrai prima le lire 865 feivga li fol.& den. perii fol.} den.-j al modo della precedente faranno L.ijó fol .3 den. 7 -j- , bora per li Jol. 16 den . 6, piglia tal parte oucr parti delli foL 3 d. 7 -y , qual' è fol. 1 6 den. 6 de vna lira , ilche poi far in più modi , ma pi- glia la -i. perii fol. io, che fono la -5- d' vna lira farà fol. 1 den. 9 -J- , quali metti folto alli altri, poi per li Jol. 5 piglia ancor la £ di quejli fan no den. 10-j-, poi per il fol.piglia la -y- parte delli fol.z , & poi per li den.6 piglia la -f- de quejli v Itimi fai no den. t ,J-, bora Jumtna ogni co- fa infume faranno Z..1 56 fol. 6 den.yyi-, <&• tanto meritano le L. 86 j, fol. 1 6 den. 6 in anni 3 me fi 7 giorni 1 o . ^Ai.corahauercjìi pojfuto pigliar il -j- aeUi fnl.3, den. 7 -yper li 4 fol di delli f oidi 1 6 perche 4 foldi fono il -J- de foldi 10 che fanno den. 8-j-, quali moltiplica per 4. perche foldi 1 6 fono li y de vna lira, & faranno f.ld. t «icH.io qi-ali metti fatto alte lire 1 3 6 fol. 3 den. 7 -L, poi per L len.6 piglio 40“ delli fol. 3 ten. 7 -f- perche den.6 fonu-± ie lire 1 fa ranno den. 1 ,y , quali atgiongiraijotto li altri , & faranno ùmilmente I re • v * Jol. 6 den. 7 ~Tt*k vno, & l’altro modo , come vedi difotto in Qptrauunc quantunque la narrazione potata bajlare , L. i s 6 fol. $ den. 7 - j- fol. 1 den. 9 y- per li fol. j o den. 1 o per li fol. 5 J den. 2 y per li fol. 1 den. 1 -|x per li den. 6 • merito L. 1 56 fol. 6 den. 7 J- Et quegli tali ragioni de meriti volendoli far per il primo modo dato di f opra , cioè per la regola del } doppia far ebbono molto più longhe da operare, & a qucfio terzp modo fi faranno in vn fubito , Notando vtiliffimo. reflo ancora è di grandiffima vtilità in quejle ragioni , che fe ha- urjli propofla la detta ragione a 1 5 per 1 00, ouer ad altro merito più a tjiciU,hauerefli fatta prima la ragion a 5 per 1 00, & al fine l' batic tefit moltiplicata per farebbe fiata concìufa a ragion de 1 5 per 100 f‘n- I DeH’Arithmetica fa ga’altra fatica, comefe mulriplicafli le dette lire i^Sfol. 6 den.j r»- p-rr j faranno lire 46% fol. 1 9 den'9 quando fujfero meritate a 1 2 per 1 co, hauerefli doppiatele dette L.i$6[ol.6 den.j & gionto hit Ó" hauerefli la conclufunj a ragion de 1 * per 100, ouer direfli gàttraimcHttper la tegola del ; fu 5 mi danno L.1^6 ffl.6. den.j, che mi daranno 1 : per toc, ouer aleni numero, & moltiplicandi, et parten do fecondo la regola hauerefli f intento tuo in ogni forte di merito, [tuga farete lire multale nc in fildì,nein denari , ilquale auuertimento èdi mnpocomomento perlcuarla fatica delF operante in ragioni di ineriti , f conti, rrfìi, faldi, et reduttioni de più partite in v ia fola . Notando vtiliffimo. QP'ando ti fuffe firopofla qucfla ragione , dicendo mcrit ame f cu . 515 in anni 3 mefi 7 giorni 15 a ragion de 1 2 per 1 00 all'anno . Trcfupponcrai che li detti fcu.fiano lire , et che paghino folamente a ragion de 5 per 1 oc ,alC anno, cioè a fol. t la lira ali anno, et den. 1 la lira al mefe per cjfer più facile da operare , et fatta la ragione muliiplicarefli le lire meritate per 12, et partir efli per 5, onero le moltiplicar efli per 2 — , rhe tanto farebbe, et trouarefl: quanto djuercbbono pagare a ragia de 12 per \oo,et perche laragions intende doner effer fatta afcu.fiippo ■iterai che le lire meritate a 1 2 per 1 00 pano fcu. refta folamente di ca biar il rotto delle L.fcgli farà per forte auangato, et queflo farai pigliati do tale parte della valuta del fcu. qual parte faranno li dcttifold:,etdina ri auangati de vna lira, cioè de fol. ao, come fé la valuta dclftu.fuffeL. j, et che fufft rauangato fol.S den. 4 li mulàplicarrfli per j,et farebbono L. 2 fol. 18 din. 4, a ragion de feudo, al fine della opcratione che farà a ragionile 12 per 100 all' anno, ouer per ehn>3 -y la lira al mefe , et coft far efli in fintili ile he apparerà mirabile a chi non conof :t la forga ddle proportioni . Ma per moflrar inoperatione la detta propjfla,multiplica li fcu. 5 *S per fol. 3 den.j -j-, comefe fujfero L.neveniranno L.9ì,fi>L} den. 1-J- & qucfla a ragion de 5 per T 00, et volendoli a ragia de 12 per 1 oo,mul tiplicali per 2-j- faranno L.12Ì fol jd.ó’tetqH ’ili fol. j d.6 auangati t/iultiplicaraiper 7, perche pontmo che'l fatto vaglia L.J, et faranno L. * fol. 1 xd. 6, bora concluderai, che in detto tempo li fcu. 525 paghino a i 1 por 1 00 fc. a 2 8 L. 2 fol- r * d.6,ctcofì con qveflo foto ejfcmpro papali àjp perar nelli altri anchora,fc alti fcu.fuffe applicato qualche rotto,opovatt- do, come banano ampiamente infognato nelli rotti faperai far dette ragiù ni fenga fatica* \ • 'V*1 “ - Et i Libro Quinto. 277 Et per maggior infir unione deile cofe dette,et di quelle, che fi hanno da ■dire ,» tal: conti di meriti,et ficonti fialdi,et refii^t fitti,et altri filmili no- tarai quelle 8 regole ficquenti . Prima regola. de L. quante paga il ioo alTanno, tanti quinti de dinari Pag* l*ura al mefe, & tanti quinti de fol. all'anno , onde a < per I oo all'anno pagar i f quinti de dinari, che fiino vno dinaro per lira al mcJe,Qr Jol. i alTanno , aionqué tanti dinari, cioè dea. quanti paga la li- ra almefie. multiplica per j & tante lire pagati il i oo alTanno, onde fie pagafifitrden.% la lira almefie . multiplica li den. j per 5 tiranno 1 c. L.i$ pagati il 100 alTanno* Seconda Regola. TJ* T conuerfiamente chi dice/fe a lire 1 1 per roo alTanno quanti fiol.pa gala lira alT anno, & quanti den.almefie. partirai li fol. i< pere ne ventanno i,&fol.i pagati latita alTanno, & den. j pagati la lira ./I W» 1 Terza Regola; . ; r: / V Ogliofapere a L.it alT anno quanti dinari piccoli fi pagati al vior - . . » «« « -T- * *8 .«*»« www «e * emrà 12 ,& tanti dinari * cioè Jol.vno fi pagaci al giorno . conuerfia fiati dicendo a den. 1 j al giorno quante lire fi paga all' an no ì moltiplica 1 i,come numero per ifprodutto parti per i,ne ve- nir a 18, & L.x 8, fi pagati alTanno . . .1 i.V ; J |Ì l.V; Quarta Regola. L. q 6 alTanno vorrei fiaper quanti fiol. fi paga al giorno, parti %6 PV 5 *» ‘T W'W.fipaga al giorno. la conuerfia fùraimulupUcando li foli. 2 che paga al giorno per 18 , ne venir à lire 30 au anno, 1 c - . . . j. ■ i « Aaaa Q±un« , - ^ Dell’A ri thm etica \ ' c . Quinta Regola . AL. 1 8 al mefe quanti fot, vien al giorno, multiplica 1 8 per a per re- golane vengono ì6,dr queflo produtto partirai fempreper 3 , ne vien I2,dr fol. 1 2 paga al giorno, cioè li delle L.cfte paga al mefe fa - ranno li foLche fi. paga al giorno * , ■ r Sella Regola. Afoldi 1 2 al giorno quante L.vien al mefe , multiplica fold . 1 1 per 3 fanno 36, & queflo parti per 2 ne vien 1 8 ,Ò* tante lire dirai cbà vien al mefe . 1 • . ;M.r. Settima Regola. IL 1 00 air anno guadagna L. 15» dimando quanti fol. guadagna al Me- fe, niu Itiplica leL.t$ per $ femprc fanno 75 , & queflo produtto par- ti per 3 ne vengono fol. 25, & tanti fol.fi pagarà al mefe . Ottaua Regola conuerfò alla precedente. A fol. 2 j al mefe quànte L. pagaci 100 all'anno , femprc multiplica per 1, & il produtto pani per 5, ne vengono i$ ,& tante L. pct- 1 00 all' anno, cioè L. 15 per 1 00. Cali de meriti. Calò primo. SE la L. guadagna d. 3 al mefe, fidimanda in quanti anni farà raddop- piata ogni quantità, thè guadagni a ragion de d.i.la L. al mefe. Sempre parti 20 per tanti denari , quanti guadagna la L. al mefe, & ne veniranno tanti anni , che farà raddoppiata la fummo .adonque partì ao per f, ne vengono 6— ,& in ami 6 -j-, che fono anni 6 mefi 8 rfd+- ranno raddoppiati , & cefi farai le filmili « la caufa è perche tanti quin- tetti paga cl 100, ali" anno per. la prima regola » & 2 (sèla-f- parte de 100. v., Caf» Libro Quinto. 27 8 Cafo iècondOi V Orria faper £.500 a ragion de den. a la lira al mefe in quanto tempo guadagneranno L. 400. ? Terfarquefìa vediaden. a la L.al mefe, quante L. guadagna il 100 air anno, che per il principio di quefio trattato fu detto che guadagna tan Vai 5 pi r 1 00, adunque guadagna lire 1 o all'anno , cioè a fa 3 ,dr 5 ernie wri d /ire io all' anno guadagnano lire jo, bora partirai lire 400 per lire 50 che è il guadagno del capitale (Tvn'anno.ne poliranno ami 8 ,et in tanti anni le 5 00 guadagneranno le lire 400, a detta ragione , & co fi farai le fintili . * • ; > Ter altro modo ancor lo puoi fare, vedendo le lire 500 quale lire gua lagnano al mefe a den. 2 la lira al rtiefe , &■ guadagneranno lire 4 poi dirai fé lire 4 -J- fono guadagnati in mefe vno da quanti me/i faran- no guadagnate lire 400, opera trouerai, che faranno guadagnati in mefi 96, che fono anni 8 , & così potrai far le filmili in ogni quantità . Cafo terzo. Lire 100 guadagnano lire 14 all anno , quanti den. guadagnano al giorno ? per la terga regola po/la difopra piglia li de 34 fanno 16, & den. 16 pagano al giorno . Et la conuerfafarà laproua,cioè multiplicado 1 6 per 3 farà 48, qual parti per a ne venir anno le lire 2 4 , che pagano all'anno le lire 100 > co- me difopra. Cafo quarto. LìA lira guadagna den.6 al mefe , dimando quante faranno quelle lire che guadagneranno den. 1 al giorno ? Dirai fe den.6 fono guadagnati da lire vna in giorni 3 oda quante li- re far amo guadagnati den.x , in giorno 1, Multtplicalirevna fia ligiorni ?o faranno 30 giorni, & dinari com- poni injieme, bora dirai fe den.6 vien da 30 tempi, & lire,che mi darà den.\. rnu triplica, spartiti daranno 5, quali fono compofii de lir e, & giorni, perche la quarta è fintile alla feconda quantità, quali parti per l giorno ne vegono L. 5 >tt tate fono queUe,cheguadagnerano d, 1 al giorno. xA aaa 2 Cafo 6 - l DeH’Arithmetica Cafo quinto. Ljl lira guadagna dcn.6 al mefe,dimando in quanti giorni lire 5 gucc danneranno den.i, dir ai {eden. 6 mi da 30 , cioè tlprodutto deli- re 1 in giorni 30, chemidarà den. 1. multiplica, & parti ne venir à 5 produco de giorni , & lire, bora parti 5 per lire 5 , ne venirà gior- ni vno, & in giorni vno le lire $ guadagneranno denari vno , etcofi farai le fintili , & permeglio praticarla farai quefi' altra folutione, cioè, lire 3 o guadagnano f.9 in vn mefe,& giorni 1 o, dimando in quan- ti giorni lire 1 8 guadagneranno fol. i6,dir ai per la più breucviaffe fol. 9 fono guadagnati da lire 30 in giorni 40 , in quanti giorni faranno gua doganti fot. 16 da lire iirhor multiplica le lire jo netti giorni#} faran no 1200» numero comporlo de giorni, i? lire* bora dirai,fc J ol-9> midan no laoo» che mi daranno fol. 16. multiplica, & parti ne venir anno jijj j_ produtto de giorni, & lire,& perche le lire fumo 1 8 partirà 21 ^ -1. per 1 2,nevenirà giorni li 8 , & in tanti giorni le lire 18. guadagnornv fol. 1 6. La prona farai conuertendo la dimanda così, fefol. 9 fono guadagnan- ti da lire 30 in giorni 40 da quante lire faranno guadagnati fol. 16 irv giorni 1 1 8 Jj-, onde dirai fé fol. 9 vengono da 1 100 tempo, & dinari,dct quante lire venir anno fol. 1 6, multiplica , <Ù~ parti ne venir Mino come difopra , cioè 2133 -±- giorni, & L.'compofli, & perche li giorni fumo 1 1 8 g- parti 2 1 3 3 - 1 1 8 ne venir anno lire 18 , & datante li re faranno guadagnati li fol. 16 in tanti giorni « Calò fefto. PEr fimile modo farai queft' altra, pofla da Frate Luca a carte 174». cioè. - .... Vna quantità de lire guadagnano in anni 3 mefite giorni io ,lire 100 a ragion de denari 2 la lira al mefe , diman do quante erano quelle lire l Ter farla conbreuità vedi che la lira a detta ragione in detto tempo guadagna fol. 6, den. 8 -j-per tanto vedi quante volte fol.6 den.% -j -in- frano in lire 1 00, & intreranno 297 fh v<>lte , & tante lire fumo quel- le, cioè lire 297 fol. io den. 4 {£$, & cofi farai lefimili, & i fimile all* ' precedente , & olla quarta pojla difopra . Cafo i Libro Quinto. *7* • Cafofcttimo. i y / LIre 4*4 guadagnano in anni 2 mefi 6 lire 5 o, dimando a che ragion fù preSlata la lira almrfe è qucfiapuoi far in fin modi, ma -vedi 2 Mante lire pagano all'anno , partendo lire jo per anni 2 -J- ne ■ vengono re 20 in vn' anno, bora dirai fe lire 42 4 pagano all'anno lire 20, quan to pagar 4 lire vna in vnmefc , multipli ca la prima per 1 2 me fi , cioè fia 424 farà jo88,tgr la tcr-ga per vn mefe farà ì, qual multipliea perla, feconda , cioè per 20 farà ancor ao, qual parti pir 5088 farà -IJj T de lire vna al mefe, qual rotto farai in den. multiplicando 20 per dea. 240 faranno den. -JJff , quali fchiff ali fanno den. & tanto pagar a la li- ra al mcfe,iUht puoi far ancor aper altri modi . Cafoottauo: DVcati 60 meritano d. j in mefi 8 fi dimanda ducati 1 00 in quanto tempo guadagnerai duc.io.multiplicaduc.6o per mefi 8 fanno 4Òo,poi dirai fràntati 5 vengono da 480 tempo, & dtnari,da qual pro- durlo veniranno due. io, multipliea, & parti, & venir anno da 960 tem po,& dinari ,mà perche li dinari fumo ducati 100 partirai 960 per 100, ne veniranno 9 & in tanti mefi li ducati 100 guadagneranno li ducati 10, cioè in mefi 9 giorni 1 8, & quefta è filmile alla quinta poSla difopra . Quefitonono. VTqo ha tolto imprefiido da vno bebreo d.96 a ragion de d. 4 la L. al mcfe,& coflui tenne quefli dinari mefi j giorni 2 J,/f dimanda quanto pagarà,fnrai come è flato infegnato nel principio di queflo tratta to, & trotterai, che fi pagar à due. 1 2 -(j. Et cofi hauendo a mente quello, che fù detto fopra la regola del 3 fim- plice,& doppia, potrai folutr ogni cafo fopra li meriti fimphci,bècbe mol ti fenepotrebbono aggiùnger , quali più prefio partorirebbono faftidio ebe infiruttione,hor vegnamo olii / tonti . DelPArithmetica Dclli fconti fimplici>ouer ricompenfetioni. LO [conto i vn'atto contrario al merito, perche quando fi merita crt- fee il capitali , & quando fi [conta fi fminuiffe, & fi come fu detto del merito, eofl.anchora de[ [colo fi dice, che la materia è tanfata dal tem- po , & dalli dinari, & fimilmentt fi-diuide in [conto fimplice , ó~ a capa, d‘anno,ò d'altro tempo,onrle fi verifica il dett-o del Thilufopho, cioè qnot modis dicitar vnum oppoficum,tot modis dicicur & alterimi . \ Si come adunque il [conto fimplice è oppnjlo al merito fimplice, cofi il [conto a capo d'anno, ouer ad altro tempo è contrario al merito a capo d « annooucr ad altro tmpofpcrche quanto pii crcfceil nterfio a capo d’an- no , che l merito fimplice , tanto più [capita ouer [cerna ilfcopto a capa d'anno, che l [conto fimplice. f Et perche nel trattar del merito a capo d'anno gli bifogna molte volte la cognitionc del [conto fimplìce,per tanto nonfia marauigha ,[e prima fi trattari del fimplice [conto, inai tei che fi venga al trattato delli meriti a capo d" anno, o d'altro termino . ■' Et imperò cominciaremo a proponer alcuni cafifopra hfcpnti [nnphciy- comcpiù facili, & come primi nel ordine [noverche ogni fimplice è pri- ma cbc’l fio compofito . Primo cafo. . ✓ •'•-***♦ VISTO mideue dar L. 360 in termino de anni 2 mefi 6, ma io hauendo- nedebifogno al prefentc gli prometto di [contargli a ragion de io per 100 all'anno, dimando quante lire mi donerà dar al prefente* 'Prima vedi quanto meritano L . I oo in detti anni 2 mefi 6 a detta ra- gione,che a io per 1 oo al anno meritano L. 25 , quali farebbono tol fuo capitale L. 1 » 5 , ma volendole [contare dirai [e L. I 2 5 [contando > cjlano L. 1 00, che rcflardno L. ? 6o.multiplica,& parti fecondo la regola, & re- faranno [contate LtSS,& tante L.nti douerà dar alprefente [contando a detta ragione, anchora per vii altro modo poloni [contare le dette L.ve dendo prima quanto merita L.vna in detto tempo, perche pei le co [e dette difopra nel principio di quefto trattato a L. io per 100 al annoila L. me- rita d.i al mefe,&fol.ì al anno,adonqne in anni a £ mcritaràfol.<>,on- de de fol.20, ne faccio fol. 2 5 meritando, Mafcontando de fot. 25, ne fac- cio [ol.zo, dirai adonque [e de 2 5, ne faccio IO, che [uro de $60, opera, & faranno £..%%&, come difopra . ^ • Notando i 1 Libro Quinto; 280 Notando vtili filmo ad ogni forte de ragioni . Nota, che -polendo abbreuiar dette operationi,bifognafchiffar -in que- llo c. ifo.il 25, & ilio, & faranno $,& 4, &'ptn direje 5 mi le- ftano ^.fcontati , chemireflaranno 360, & reflaranno L, 288 , come difopra. Totali anchora febiffare la prima, & 1‘vltima, cioè 11 f col 3 60 il pri mofarà 25 ,& l'altro 72, & poi dirc,fe a 5 mi danno 1 00 ,che mi daran- no J2,ma perebe poffo anchora fchiffar la prima con la feconda, come di fopra fu detto, adonqae fchijfando la prima farà 1, la fecondarla terrea farà j2,adonque multiplicando la feconda nella ter-ga,et il produtto par tendo per la prima, che è 1 ,farà fimilmentc 228, & tante L.mi donerà dar, come difopra. & quefla regola ferite in ogni ragione per la regola del 3j oue f: poffàfchjfare la prima con la ter%a,ouer la feconda con la prima * ouer a lrnaìt& [altro modo, perche le operationi venirano molto più fa cili,& breui,fe ciò occorrendo farai aduertito. Notando vtile. Nota anchora, che quando vno de doi guadagnati -J; ielfuo capitale , l'altro perde folamente -fa , Ù" non il“-fe, come alcuni penfanoper poca conftder atione, perche fe vno de 100, ne fà 1 IO queflo guadagna il -ri del juo capitale, ma quello, che de ito, ne fà 100, perde folamente del detto fuo capitaleyvero èche egli è il-\i di.quello,cbc gli è reJlato,& in ciò alcuni errano. Et volendo prouar il fopradetto feonto , redi quanto meritano le lire 288 a io per 100 al anno, al modo dcttonclli meriti, trouaraì, che le det te lire 288 in anni i me fi 6 a detta ragione ritornano le dette L.360 , come difopra. /e I O 1 1 | 2 8 8 -y- . -■-> » ^ ; Mus > • -«-a *.•> „ : ' fìtto C i ~l n6 1-;. H.vv> ’ 1 . • 144 L. 7 » O ' 2 88 * L. i 6 O ritorna Secondo' r 1 ■ iO Pj DeH’Arith inetica Secondo cafo. Uiit téH -Si \T7tidcue haner da rii altro a termino de anni i mefitd.yj1t& ed V /«i/tf ofcrifje a darglieli al prefente f contandogli a ragion de io per ioo al anno a merito ftmplite, fr dimanda quanto gU donerà dar al prefente . Merita prima vn ccntcnaro in anni i meft 8 a delta ragtone,& fra- nerai (bel 100 tornar à 1 16 poi dirai fe d. 1 1 6 -f- fenn tondo torna- no lire i co, che tornar ano lire ? j$,mnliplicax& parti tornar ano d.3 zi -A- , er tonto dotterà pagar al prefente , Tot cui ancboraprefupponere,ehefuJfcrolireycbe a io per 100 al an- no pagano d.l la lira al mefe, adonque in me fi aO meritano d. 40 , che fo- no fol.ì *$- quali giorni al capitale fanno fol. 1 3 , adonque dir ai fefoL 23 -j- tornano fol.io,cbe tornar ano 3?\. operatone fe Udnc. fufferof. per la ragion detta in altri luoghi, & ne venir ano d.3 21 -f- » came di~ fopra,& cvfifarefti in ogni forte di moneta. ^ La proua farai meritando d. 327 y per anni 1 meft 8 tornar ano d. 375 , onero f apponendo, che fi. ino lirje a fi la lira al mefe ritornar aiuto il tncdefmo , Terzo cafò. v.« (Vì? ' WT F a y± VNo dette dar a vn * altro lire 640 foli 6 d. 6 a termino de me/t zo,& giorni 2ij> & li vorrebbe al prefente fcontandogli a ragion de *5 per 100 al anno fimplicemente.dimando quanto gli doueràdarat pre fente, vedi chea a 5 per 100 al anno la lira merita d.5 al mefe , adonque in meft 20 giorni 1 a 5, che fono meft 20^ la lira merita f.i d. 7 -A- quali gioitti olii folio fanno fol.ii d. 7 -L , adonque feontando dir ai,fe fol.z% d. 7 -A- re/lano folio, che remeranno lire 640 foli 6 denari 6,multipli- ca, cr parti fecondo la regola del g troucrai , che refleranno lire 447 foli den.i jyf , & tanto gli douerà dar al prefente . la proua farai me- ritandoli per detto tempo , & a detta ragione, & faranno , come prima erano . £ T i Sipoteuana .in eh or a meritar lire 100 per meft zo-%-,& oper ar, co- me difopr a fu fatto in alcune folutioni . JeM u • ^ obno:^ Quarto l Libro Quinto. ; 281 Quarto calò. \T 7{o donata hauer da vn' altro ducati 684 groQi 16 correnti reni - ▼ timi in termino de anni fameft 4, & giorni if,& li vorria dar al prefente [contandogli a ragion de 1» per 100 al annodi dimanda quanti gli ne donerà darai prefente i Ver far auefia ragione ve li quanto guadagna la lira in mefi 40 \- a den. 1 -fa al mtfe, cioè multiplica 40 -fatta 2 -f-, ne veni ranno fold.% d.iy quali aggiongi alli fol.10 faranno fol. iSd 2, bora dirai fefol.tS 4- rejlanofol. *0 ,cbe refi arano lire 6S^faoperando,come fe tifoidi fuffero ducati, ne veni rana d.4%6 , che fono duc.^ió graffi 3 piccoli in fi*, & co fi farai le fimili a vno di quefli dai midi, qual ti parerà pub cvmmodo . r c * 1 • # • ' ■ ■ » 1 •- Quinto cafo . IT Ni» deue hauer da vn' altro lire 1 50 in termino de anni t,me/i fagìor V ni q cojìui li vorria al prefente fintandogli a ragion de 8 per 1 00 al anno, dimando quanto gli donerà dar al prefente. ycdìytbe a 8 per 1 00 al anno la lira paga al mefe d 1 fa hor vedi qua topaga la lira in me fi 19 -J3, cioè multiplica (9 ]g- Ha d. 1 -fa, & ne venir anno fol. 2 d.6 -$? quali aggiongi al capitale, faranno fol. tzd.6 ’f-, bora dirai fef » 1 d. 6 )\-reJlano feontati fol. 20 , che reftaranno lire 1 5 o operando come fe fuffero tutte lire, come diffi più volte, perche l eruano la medcfnaproportjonc, & ne veniranno lire l}2 fol. 19 i. -fi} fa, benché Frate Luca la infegni far per altro modo, a chi volcffe febiuar li rotti, la prona farai, com e nelli precedenti cafifù fatta , TI £ LIO ’ rr~ rv' -, p . % . ^ i4 . • -** ? Scftocafo: / l . 1 . 1 • rf»trir« J \ *.-» ■* * -*• ■ » J * i. I • 1 i . i l r ; r> mfiià. “iliL L* A v • . / . ' -t' IfN® iottcua hauer da vn' altro d. 243 a termino de anni ì,mefi 8, co- ■ g fini fi contentò , che gli dejfe al prefente d. zoo fi dimanda a quanto fumo feontati per 100 al anno a f conto ftmplicc ? Quefio lo poi far in dai midi, cioè prima per la regola del 3 doppia,di- cendo fe 200 guadagnano 40, quanto guadagneranno 100. pera,& gua- dagnerai io , poi per la feconda volta dirai fe anni 2 -fa. ni danno 20 , iberni darà vn anno , operali darà due. -j -fa & a tanto fumo f 'contati '-V • B'ubb il 100 DeirArithmetica il ioo al anno. Tuoi anchora multiplicar li due. zoo per 3 a me fi faran- no 6400,^ li due. 100 per li fuoime/ì, cioè per 1 a fanno 1 100, & poi dire fe 64.00 produtto delti mefi,& du.mi dano 40, che mi durano izoo produtto dclh du.iooinmefì 1 z. opera ti dorano due. 75, come difopra. T > Settimo calò. VJ^o deue dar a vn' altro due. 340 non fo a che termino,ma colini gli dà al prt fonte <fuc. 300 [contandogli a ragion de $ per 100 alunno fijnpli temente, <jr fù f 'odisfatto, fi dimanda a che termino era tenuto a pa gar ti detti due. 3 40 . Ter far qucjlo vedi quanto meritano due. 300 48 per 1 00 al anno , ee trouerai che meritano due. 14, bora dirai fé due. 24 vengono da meft iz da che venir anno due. 40, cheguada^norno per il fconto,multiplica, & parti, ne v entrano me fi ao, cioè anni 1 meft 8, & in tale termino era te- nuto a pagare. Totcut anchor far a quefìo altro modo, perche li due. 300 guadagnano due. 40 in tutto il termino, vedi quanto guadagna il 100 partendo 40 per 3, ne veti 1 1 -~,hora dirai fe due. 8 vengono da meft la ,da che veniran- no due. 1 3 -j-,rHultiplica,ct parti venir anno da mefi 20, come difopra. La prona farai dicendo fe 100 paga 8 in vnanno che pagar ano 300 in anni i-i-, multiplica, et parti, et trouerai, che pagar anno due. 40, quale giorni atli 300 faranno due. 340 come difopra. prima 24I12I40 feconda 8 1 1 2 | 1 3 -J- ir ti 34 1 480 8 I 1 60 | io mefi | 10 mefi. Et quefte cofe liano dette a baftanza quanto alh Amplici meriti, & (conti , & poi daralfi v- na regola di trouarfènza dimora ladiflfèren- tia de doi tempi , poi fi proporranno molti queliti circa li meriti. PErchenedle ragioni de meriti, et fconti,faldi,refli, et riduttionj adv- *0 filo tcrmimo , motte volte bifogm frenar la difjcrcntia da v» i Libro Quinto. 282 tempo a [altro , per tanto conuemente cofia mi è parfio d'infiegnare pri- ma vna regola, con laquile à fìmditudine degli altri modi difummare, et fiottrare,fenzp andar a tafioni, ne numerar fopra li deli delle mani fa- cilmente fi potrà trottare la differenza de doi tempi, nelti anni, me fi , et giorniffenga pericolo di errore, il qual modo Tritolo T ortaglia homo flit diofifjimo nelle due prime Mathematiche dice batterlo trottato , ma io so ben d’bauerlo vfato molti auni inattci,chc io fapejfc dtlla fitta inttcntionc , perche le inuctuioni fieno communi a tutti (fucili, che fi affaticano d'inue- fligarle,anyfi fecondo il detto Ad Comico Toeta, niente è fcritto>ne detto, che non fia prima da alcun altro ficritto , otter dettò : perche neffiuna co- fa è nouA fiotto il fole, come afferma il fapicntìfftmo Salomone . H or a dico, che volendo trouar la dijfer ernia da vno tempo a vn altro refieruado il mille fimo fecondo il cofiume del paefie,bifiogna fiegnare li mefi co li fitto numeri, come a noi,che cominciamo [anno da Cenuro, notar emo Cenaro p \ ,Fcbraro a ,Margo %,Mprtle 4 , Maggio 5, Zugno 6,Luio 7, ■u igofilo 8, Settembre 9, Ottobre io,T^puembre n,Decetnbre 1 a, et fie al modo di Vcnetia volemo cominciar l anno da Margo, metteremo per Mar?o 1 ,per aprile a ,per Maggio },pcr Zugno 4 , et cofi feguendo fin a [ vlttmo di Febraract accioche ogni precetto fia manifrflo,con e/fiempio, profaneremo , che vno voglia trouar la differentia dal giorno di Santo Martino, che viene alli 1 1 di 7<{ouembrio,ct fia dd anno r 561 infìtto alli 13 Luio 177 1,0'ndc feguendo il modo del fiottrare polleremo prima [an- no, cioè il millefitnojpoi il me f e, cioè il fi io numero, poi li giorni del mefic , perche prima fi metteno le maggior quantità da poi le minori ver fio la man delira, de chi ferine, otter legge, fi come fiponeuano prima le lire,poi li [oidi, & poi li dinari , come vedi qui di fiotto , oue prima fegnaremo il maggior tempa^ioè quello, eh e è Hata dappoi, cr poi fiotto il mitwre,cioè quello, che fu prima,per tanto metteremo prima anni 1573,^ poi mette remo tutto Zugno notato per il numera 6,ó' poi giorni \ 3, che fono di Lu 10 feguente , bora fiotto a quefti anni , me fi, ir giorni metteremo li altri , che volemo fiottrare,cioè li anni 1 56 1 mefi ! o giorni 1 1 , cioè 1561 al- 1 1 TApuembria trottati al modo detto , & daranno , cofi. anni 1373 mefi 6,gior. 13 \$6i mefi \o,gior.u Et refiar anno, come vedi anni 1 r , mefi 8, gior. a Et la prona fi farà, come le altre fummando le duC vltime righe, fiaran no come la prima, cioè xq-j^mefi 6, di 13. FA qnefto efj'empìo farà baftante faccialmente aUi periti , & ver fiati itx molte maggiori pr attiche, che quella prefente. Et chi voleffe affienar fi meglio j noterai li mefi de’l' anno con li fuoi B bb b z numeri DeirÀrithmetica numeri {opra prima per quelli che cominciano l armadi Cenato, & poi per quelli che cominciano di Mario, cofi . 5 6 7 Cmaro Febraro Mario aprile Maggio Zugno Luto . 8 9 IO 11 . 11 , jtgoflo Settembre Ottobre Tfoucmbrc Decembre Poi per Marzo comincia come dilòtto . i j j 4 5 6 7 Mano aprile Maggio Zugno Lttio Jlgofto Settembri 8 9 io 11 ** Ottobre Tfouembre Decembre, Cenar o Febraro. Et nota che fi v fa in quefte ragioni de meriti,& [conti, et alcuni altre fiutili mettere so giorni per mefe, cibarci* per giorno ncUicafi del la- vorare a giornata, et parte de giornata, ma nelli altri cafinonfi filmano th°Et fe volefii per più facilità dell' operare metter il numero del mefe con li fuoi giorni, lo puoi fare,pur che ilmedefmo fi fervi ancora nel ter» po che fi vuole fottrare dall'altro, et rrfiarà la mcdefma iiffer mia: al- tra mente farebbe error eterne fe volefii fcriuere li i j Giugno fi mette- rla meli 7 giorni 1 s, benché fiotto fidamente me fi 6, & giorni i j, « fa- cendo ilmedefmo nell'altro tempo che fi vuol fottrare non feguirà error alcuno , ani i farà più facile , come ciafcuno può provare per Jefiefio* Del faldar partite in diuerfi modi* HAuendo già infognate il modo di far le ragioni de meriti ,& fonti fimplici , & il modo di abbreviarle , bora infegnaremo il modo dt meritar molte partite de dinari datti , & ricevuti, il quale atto fi chia- ma faldar partile de dinari datti, oucro ricevuti indiuerfi tempi: & ac- ciò meglio fia intefo,proponcrà diuerfi ejfcmpij circa tali ragioni , le qua- li poffono occorrere al manco in 4 mod^quali fono I» infrafcntti . Vrima accade, chevno mercadante imprefiarà dinari ad vn altro , 0 per caufa de trafico de mercantie,ouero per caufa de contracambio, one- ro per caufa de dotte, & fi convenir anno a pagar J, over 6, & pm, et meno per 1 00 all'anno, & gli darà detti dinari in vnafqla volta LibroQuinto, *83 mino dì pagarli doppo alquanti anni, ouer me fi, & lòfi ti riceuerà anco- ra in ma fola v otta, & all bora non vi occorre altra ragione , chele fo - prafcritte,cioè difuper tanti dinari, cioè lire , onero ducati , ouer fiorini quanto pagaranno in tanti anni, & ni e/i, ir giorni f e gli faranno, ara- gion de tantopcr i oo all' anno, & qucfio è il primo modo, cioè dar dinari in vna fola volta,& nceuerli in vita foli volta. il fecondo modo è quando vno donerà hauer da vn' altro vna quanti- tà de dinari,che gli babbia dati,ouero che'l ne fìa cmditor finga batter- li dati per caufi de dote, & poi li ricene in diuerfi tempi , ih he Jpe/fo accade, & fevorràfapere in tale giorno fra loro flatuito,quanto gli vieti, de merito , oucro demerito, & capitale,dal principio di tale credito fin al tal giorno . Il tergo modo è quando che vno impreflerà ad vn altro, ouer li doue rà hauer in diuerfi termini, & poi li riceuerà ancora in diuerfi termini , ilche ancor può occorrer in doi modi, cioè, ò thè faranno li medefmi ter- mini nominati nella obligationc,ouero altri diuerfi, et forfi più per nume ro,che non era per conutntione fatta tra loro, pur bifognerà a certo deter minato giorno, faldar la ragione a tanto per i oo all’anno , oucro a tanti dinari la lira al mcfe,come faranno conuenuti . il quarto è quando vno donerà hauer da vn’ altro certa quantità de dinari in diuerfi termini , et li riceuerà in vn folo termino , et pur bifo- gnerà fin a quel termina , ouero ad vn' altro giorno fra loro flatuito fal- dar la ragione a tanto per joo, ouer a tanti dinari la lira al mcfe,comc faranno conuenuti. Et perche de tutti volendo dar effempio farebbe cofa più tedio fa che nece{faria,dareniQ i effempio folamente nel tergo modo, il quale be intefo , gli altri facilmente fi potranno intendere . Sia adonque , che vno I rabbia impreflato ad vn’ altro li infr aferitti di nari nelli infraferitti termini, cioè . Scudi i*5 adì 15 aprile 15 6t, Et feudi 145 adì IO Luio 156*. Et feudi 175 adì *0 Settemb. 1563. Et feudi 185 adì 15 Margo 1564, Et fitano d'accordo di pagarli di merito a ragion di lì per 100 all'anno , et pongo che babbia ritenuti li infraferitti dinari in quelle diuerfe pofie, cioè . feudi 80 adì ib Settembrio 1561. feudi 185 adì 20 Margo 1564* feudi 71$ adì 15 Maggio 15 65. Et feudi *5 adì primo Luio i$6 $. Etfiano <T accordo di far vn faldo per faper quanto gli debba dare di merito , et quanto gli refii debitore di capitale fin olii 1 J aprile 1 566. 5 ■*. DdfArithmetica Et aedo- che tutti li auuertimenti dati difopra nei principio di quefla, trattato cot orrino in quefla ragione, acciocht occorrendo ci afckno prom-, do Lettore fin auuertito.folucremo quefla ragione, quale fiaper effempio a tutte £ altre ragioni def aldi . supponi adunque, che li detti fendi ftano lire, et che paghino fot amen te a ragion de 5 per 1 00 alt anno,perche finita l'opcratione li rcflituirai infeudi, fnpponendo folamente chcfiano fendi , et ri ducendoli ancora a li per 1 00, multipli candol' ritinto numero per 2 -f» perche 11 è dot tanti, ct-j- de più de 5, come ancora dtffincl principio di queflo trattato, et poi fc gli auangaffe rotto de lire, fol. den. facilmente laridurrai al fine della tuaoperationeadvn rotto de fcu. cioè che fiatai parte de rn feu- do,qual farà queflo primo rotto parte di ma lira, come vedrai al fine di quefla ragione per effempio . - < Fingerai adonqne,cbe babbi da vedere quanto meritano lire 1 n ro - min dando adì 15 aprile 1^61 fin allixe, aprile 15664 ragion de j per loo all' anno, onde fottrerai 1561 dal 15 66 rcfleranno anni 5 a ponto , hor vedi quanto meritano in 5 anni a ragion de dcn. 1 , la lira al mefe , cioè a fol.i all'anno , che in 5 anni , la lira guadagna fol.g, adonquelire 1 1 5 per 5 fanno fui. 61 5, che fono lire 3 1 fol. j, et qurfti comincia amet ferii nella partita prima delli meriti del creditore, cofi li ahrimcritcrai dal tempo, che fono creduti fin al detto termino delli 15 .Aprile 1 <,66, et qucflc partite de meriti aggiongerai inficine , et feruarai tale f mma . Toi comincia a meritare a detta ragione le partite del debitore,comin ciandfi dal tempo, che fono pagate a vnaper vna fin al detto termino del- li 1 y .Aprile 1 566 . Et quelle fnnilmente fummarai infume, di poi quefla fiamma fottrarai dada furnma de meriti del creditore , & quello refiantemultiplicarai per per ridurlo almcrito de 1 2 per 100, <& batterai quanti f tu. gli farà debitore de meriti , pertanto comincia a notar la prima , dr poi l'alt re fotto quello di tempo in tempo a queflo modo . Trima dalli 1 5 Aprile 1 56 1 fin alli 1 5 Aprile 15 66 fono anni g,nel qual tempo le lire 1 15 a ragion de 5 per loo al xnuo.ouer ad. ila lira almefe.cbe tanto è, meritano lire gl fol.g d. . ? . k Seconda dalli 10 Litio 15 61 fin adì detto fono anni urne fi 9 giorni 5, nel qual tempo le L. 145 a detta ragione meritano Z..17 /. fd.p~ Terga dalli 10 Setfébrio I 5 6g fin adì detto fono anni 2 ,mejì 6, giut ni zg.net qnal tempo le L.ljgm evitano a d,etta ragione L.22 fi 9 d. 7 Quarta dalli 1 5 Alargo 1 564 fina di detto fonò anni z,mcfi 1 , giorni nel qual tempo le L. 185 a detta ragione meritano Ì..19/.5 d. £> fittali agvionti inficine fanno L.loof.$ d. i o Et tanti fono li meriti dellepattut del creditore. , % Toi Libro Quinto. 284 “Poi ritorna alle partite delli dinari datti dal debitore, & redi quan- to pagano lire 8 o » ebe è la prima partita dalli j o Settembri o j 5 6 1 , firmili 15 aprile 1^66, (he gli fono de interuallo anni, mefi, giorni, trova ti al mododifopra , cr troucrai,tbea detta ragione de denari 1 la lira al *mefe guadagnaranno lire fol. d. Et quefle cominciarci a notar per la prima partita,et cofi notar ai fat- to l altre partite ordinatamente di tempo in tempo, dicendo aqueflo mo- do,come redi di fot io, cioè . • Prima dalli io Settebrio 1561 fin alli 1 y aprile 1^66 fono anni 4, mefi 1, giorni 5,n<7 qual tempo le L.So a detta ragione de j per 1 00 al anno, cioè a dot. 1 la L.al mefe meritano . Z,. 18/74 9 Seconda dalli 10 Slargo 1 564 fin alli 1 9 ^Aprile 1 jfi6 fopradetto fo no anni », mefi, giorni a 5 ,nel qual tempo le lire 1 8 5 meritano a detta ra- gione ■ iire 1 9f.2d.u-j- T erga dalli 15 Maggio i 565 fina di detto fono anni, mefi n, giorni, nel qual umpo le lire 215 a detta ragione meritano lire 9 f. iqd.l Lìuarta dal primo Luto 1565 fin a di detto fono mefi 9, giorni 14, nel qual timpo le lire 15 a detta ragione meritano lire /. ipc/.S -j~ Qtali fiminati infume fanno lire 4% f.7 d.$ Et quefla fumma de meriti delli dinari del debitore fottr arai dalla fum ma delli meriti del creditore fopra feruata, cioè de lire 100 f y d. io» et reflaranno . - L.^lf.lid.^-{- Hualimultiplicarai per 2 — per ridurle al merito de 12 per 100 al anno, faranno poi lire 1 24 fol.i 2 d. 2, quali chiamar ai per feudi, fi come fumo propofli nelprincipio,riduccndo d rotto de lire a rotto de fiuto del la medcfmaparte,et cofi ridurai ogni flrania operatione demerito alme- rito de 5 per 100, cioèa d.i la L.altuefe, a al fine la froportionarai a quel merito per 100 , che li farà bifogno , come fu detto nel principio di qucflo, la qual multiplicatione volendola far con brevità, multiplica lire J 1 fol. 1 8 d. 4 peri, far anno lire loj/o/.ié d.9~~,el di quello piglia il -5- faranno lire 20 fol. 1 5 4 4 quali aggiorni alle lire io j fol. 16 4 9 -j- faranno lire 1 24 fol. 1 a <Lz,etcofi le bauerai multiplicaie per » -j-, et ridotte a ragion de } 2 per 100 al anno . bor per ridurti rotto de lire, cioèdefol. 12 x Ì.2, che fono ■$, de vna tiratoi rotto avara parte de feudo, multiplica la valuta de vnofiudo,che fono fol. 140 per 7 3, et il prò duttopartiper 120, ne venir anno jfol.ii d.giciohTtre 4 /0/.5 d.2,che fo- no tal parte de vnofcnto,quale erano {.2 d. 2 de vnu lira, onde conclude- rai, che fi deue pagar de meriti fcu. t i+lire^fol.) d.2 fin alli 1 5 ^ ipri- te 1$ 66 . Et perchè il capitale del creditore era feudi 6q o, et ne ha battuto fc». Y>5gli refta antbora a dar de capitale fiuti 1 a 5 ,rt de meriti , aiterò in- < terufurij DeirArithmetica - ' terufurij fcu.iulìrè d.2, comedifopra d jfi,che fono tra merliti ,t capitale fcu. 149/^4 /b/.J d.2 , et tanto gli farà debitore aitili • ^E^dapoUenendoi» debitore li detti fai. 1 2 1 per l annerire, pagati Marnane [oprali detti [cu. 11? a ragion detta de 12 per 100 all anno je condo il patto,et l’altro debito dellifcu.il Aulire 4, fol. 5 ,den.^Jtarifer mo,percbe è faldato, et a quello modo con grande aggeli legga efpedirak ogni altra ragione de [aldi, tenendo a mente quello, che fu detto nel prua pio [opra il merito fimplicc, il che era da moflrare. Et volendo J aliar a capo d' anno, meriterai h dinari a capo a anvo,ec il medtfmo poi ojferucrai . ^ capitale fcu. 1 2? - -k- ;i . c.‘, 1 merito fcu. 114 L.^ fol. 5 den.i •'r«TÓ — — ■ — ' “ ■ : .'4 ^ 1' •> 4-'r merito, et capitale fcu. 249 L. 4 fol. 5 den. i bu,, - ■ faldato fin alli 1 5 aprile 1566. Vèti ancora, che le ragioni delli [aldi , fi debbono confiderxr in doi modi, perche fe fono dinari impreflatifi deue meritar ciafeaiuna partita del ereditate dal tempo che gilè imprefiata final giorno.nel quale fi vuo - Sfaldar Li regione, et poi fummar li meriti di effe partite, come nella pr e cedenti fù affnruato.fi come v faro tutti li auttori di jtrithmetica . Ma fe fono dinari defitti di qualche proprietà, ouer poffeffione, che fi debbano hauer in più icrtnini, allhorafi deue meritar tutta quella quan • tità dedinari, ouer credito, dal primo giorno, che comincia ejfer credito • re ,fi» al giorno.nel quale fivuol far il [aldo , perche in quello cafo s in- tend^fCbeli molti terminifiano fatti folamente per commodità dipagar il C4t>ìtale,ct non per fminuire il merito, ouer fitto di c/fa proprietà, fatua fi ro la conditane dellt patti delli contrahenti, ilche fi deue confiderare . Del modo di ridur più termini de pagamenti a vno folo termino^! qual atto fi chia- ma rcccar a vn dì . 1 - » r — - * 1 *■’ "*» Calo primo. • . òò r * I L modo , & regola di ridure molte partite de pagamenti ad vttfrfola partita, ouer pagamento, è non folamente vtilci màancbora nectjf*- . rw» 1 Libro Quinto. 2 8 s rìo,& per coufequente licito, perche in quello non interviene fronde , ne inganno alcuno, come netti cafi,che feguirano farà manifeflo , & accio - che ancbora in quefto fi proceda fecondo il coftume noflro dalle cofe più facili . Sia per effemp'u>,chevno mi debba dare duc.xóooin doi termini, noi duc.700 a termino de anni a, meft 4 , & li altri due. 900 a termino de anni x,mefi io, & per certa fua commodità t' accordano di ridar quelli doi termini ad vno folo pagamento , dimando quanto tempo donerà flar a pagar tutti li detti due. 1600, per tanto è da fapere,ch’ quefle fimili ré gtonì ftpoffono rifolutr in doi modi , il primo di quali è quefto , cioè vedi quanto meritarebbono li primi ducati 700 per anni 2, mefi q, a qual ra- gion per 1 00 ti piace, bora poniamo a 5 per 1 00, che operando per le re gole fopr adette trovar ai, che meritano in detto tempo d.St , quali fer- Ma.poi per trottar quanto meritano li reftanti due. 900 a detta ragion, ope rondo, come più voltei ftatto moftrato trouerai,che in anni 2. mefi 1 o me titano due. 1 17 4 , quali fummarai con li altri duc.9 1 -j- fopr a fervati faranno due. 209 ~,hora vedi tutta la fummo del capitale , che fu due. \ 600 in quanto tempo guadagnar a li detti due. 2 09 -j- a detta ragione , qual farai vedendo prima quanto guadagnano in vno anno li due. 1 600 a detta ragione ,& trouerai,che guadagnano fcu.to , bora dirai fe due. 8,0 •tengono da mefi 1 j ,da quanti meft veniranno due. 209 opera, & tro neraiychc veniranno da mefi j i,-\-,che fono anni 2, me fi 7, giorni 1 1 ^ tr in tanto tempo faranno guadagnati ti due. 209 — dalli due. 1 600, per tanto concluder ai, che in termino de anni 2, mefi q, giorni 1 1 ±fard tenu to a darbii tutti li detti due. 1600, fen%a danno alcuno del creditore , ne del debitore, & cofi potrai far le fimili . Il fecondo modo è affai più facile da operare , per tanto volendo per quefto far la detta ragione, multiplicarai le part ite detti dinar i per lifuoi tempi, & la fumma de tali produtti partirai per la fummadelli dinari , cioè de tutto U capitale , 0“ quello, che nc venir a farà il tempo nel quale me li donerà dar tutti . Come per f effempio fopr aferitto, multiplicali duc.700 per li anni 2 , mefi 4, cioè per meft 2 8,»c veniranno 19600 compoflo da mcfì,& duca- ti, cofi multiplica li due. 900 per li anni 2,mefi io, che fono mfi jq,nr Veniranno $0600 compoflo da mefi,& ducati, quali aggiùngerai inficine col primo produtto compoflo faranno yo»oo,^r quella fumma partirai perliduc.i6oo,ne veniranuo mefij i,-A- reame di fopr a, cioè li anni 2 , mefi q, giorni 1 1 %,comc difopra, & in quefto termino farà tenuto a pa- garli tutti li due. 1 600, & quefto ojfcruaraiftomc modo più efbediente , & facile. Dell’Anthmcricà Cafo fecondo. ir?» i\u ,ì U 7^0 mercatante date hauer dentri altro li in fr aferitti dinari netti ▼ infr aferitti termini, & lui li vorebbe ridure a 7 no termino falò per. pacarli tutti in 7na fol volta , fen^a danno a' alcuno delle parti, fi di, manda a ibi- giorni fi donerà far tale pagamento, fibèi. 340 adì io Cenuro 1 560 l- 260 odi 15 aprile 1561 LA6.foLid.yA- L. 364 adì a 5 Luto 1562 L.+6 fol.s d.i L. 425 adi 12 Settembre 1564 L.99fol.y d.i -f- \ f ultima L. I a 8 9 fumtna L. 1 6 1 fol. 1 9 d. J *' Qucfla anebora, fi come diffi nell a precedente ,fi può rifolucr a doi ma di, W per effer fbeaficati li giorni, & mefifipuò far fondamento / opra la. Prima, & anebora fopra l'vltima partita, ma per fegnirc la comune con* fuctudine facciamo fondamento [opra la prima , qual’è deidi io Gettarti I $60, dico adonque,cbc volendola rifiluerc per il primo modo, meritare- ino la feconda partita, & fimilmente la terza, & quarta,ptr quello tem- po,che a vna per vna farà difiate dalla primario} dalli 1 o Cenato 15 60 a quanto ne parerà per 1 00, al anno, ma per più facilità mcritaremo a ra. gion de 5 per 100 al anno. Ter tanto pedi quanto tempo è datti 10 Cenato 1 ytfo fin atti 1 j .Aprì, le l $61, onde operando per li modi dati difopra trouaremo , che vi fonti, anni 1 , me fi 3 , giorni 5 . nel qual tempo vidi quanto meritano di dinari della detta fetida partita, cioè le Z..360 a detta ragione, & meritar anno lire ib fol. 8 d-7 -j- ,& quejio merito fi deue mettere al incontro della, fua partita, cioè dilla feconda,percbe la prima non ha alcun tempo,et per, coni equente non ha alcun merito. Inficiando però per breuità il rotto delti dinari, fatto queflo pedi anebora quanto tempo feorre dalli medefmidi io Cenuro i 360 fin alli 1 y Luio 1 563 della terza partita, onde operan do per li modi dati trouaremo , che vi fono anni 2, me fi 6, giorni t$,& in qui fio tempo le L.^ó^adetta ragione mentano lire q.6>fjl.i,d.2rfuali fi- nteti erano al incontio della fua partita, & enfi vedremo dalli giorni la Cenuro 1560 fin alli ia Seitcmbrio 1564 della quarta partita, che gli fono anni q,mifi S, giorni i,& m quejio tempo le lire 43 1 meritano lire. 99 f°l-$ d.y fi da mettere al incontro di effa quarta partita, et fatto quel fio fumila,- li detti 3 meriti, & far anno lire .1 6 i/o/. 19*/. 5. fatto queflo fumma anibora inficme quelle 4 pari. te de lire del capitale, che fi deueno, pagar, & far anno lire 1 a $9, tr quefie vedi in quanto tempo meritano le * J> » dette libro Qùitièò; ' 2 8<s dette lire ttoi /àt rpirf. f a detta ragione, operando, come nella precede» fr,Ó* trauaraijcbe li meritar anno in anni 2,mrfi 6 giorni 4 , «ir qttrsio tempo aggiongcrai f opra li 1 o Gettare 1 5 6o,chc fit l i prima partita , trouer ai, chele dette lire 1289 // dotteremo pagar alla t+de Luto f 561, in tale tempo faranno aguagliate le dette 4 partite . - £/ /è inangi olii 1 o Cenare 1 5 6o,fnffc altro merito bifognarebbe me- ritar anebora la prima partita . i Aia volendo foluer quella medefma ragione per il fecondo modo, multi plicarai le lire 160 della feconda partita per quelli mi fi 1 3 , giorni %,che fono dalla prima alla detta feconda parlila facendoli tutti in giorni, che fono giorni 45 $, & faranno 1 1 8 joa, proiutto compollo de giorni, & li- re. Voi muUiplica le lire *64 della terga partita per ilfuo intervallo di di tempo, che è anni i,mefì 6,giorni 1 5 , che fono giorni 915,0* faranno 3 3 J060 pr adatto compojlo de giorni, <y lire, poi runltiplica anebora le trt 4 42/ ptr'kfi*} tempo òucr intervallo dalla pi ima, cioè per anni 4 , me fll,g;ornii> che fatino giorni 1 6$ 2, & faranno 714850 produtto vl- timo compatto ae Giorni, & lire, bora pmmarai infierite qurfii 3 produt ti, far aito H66uo,qnalipar tirai per tuttofi credito delle 4 paniti, che fit lire 1 289,0* ne venir anno giorni Qaqfcvgail rotto, che faranno an- ni z,mefi 6, giorni squali a^glongtrJi 'alti Ito GnttCro 1 y6ó al modo dat to difopra, faranno adì 1 4 Litio 1 562,0* in tale termino fi doucranno pa ' gart fiutile lire 1 iSo,comedrfopra,(Jr cofi f arailc fintili ,& vi fono alt chàra altri modi di operar quali li fiudhft per feflefji trotteranno . «k:ì»u* wi* »»*£••• CiCct rrr/n vrtM :o: v-aio terzo,. . XT^Joba imprefiado a vn altro fcu. 6% o a di primo Gettavo 1563, con V patto di reflituirli in 4 termbrìfcioè . fot. 170 adi primo Geoaro 1565 F.tfcu. 140 adi primo dettò 1368 fcu. 230 adì pvirtuf detto 1571 fcu. 140 adi primo detto cofiui ti vorebbe pagar tutti ht vno termino , dimando in che termino li douera pagar tutti. In quejla vedi, (ite eia fc badava delle 4 partite hanno ti f noi termini , perche comineiafi a meritare dal tempo, che gli furono impreflati tutti Rdinan,& nàia precedente ragione la prima partita non hatteua tem- po,per il quale fi itoti effe nmltrplicar,b»ra per foluer quefla,vedi, che dal pi-imo de Cenuro 1563 fin alla prima partita , ha termine anni 2, adon- qnctnnftìplica li feudi 1 70 per 2 fanno 340 tempo, & feudi , & quefh ferua, poivediicirefin'altemfrodellaftctmdapartua, che è del 1568 fono *••>■* Cccc 2 anni 5, DeirAritfimcticà anni f , adonque multiplica li fcu. 140 per 5 fanno 700 tempo , ó" fcu. qual metti [otto 1‘ altro produtto,cioè fatto al j^o ,poi vvdi3 che dal 1 $6j di Cenato detto al I 57 1 del detto mefe,che ha termino anni 8 , adonque multiplica li fcu fo della tero^a partita per 8 >Fari tS+o, & quefiomef ter ai anchor fotta li altri doi produtti ,poimultiplica ancbor li fcu. 140 della quarta partita per ilfuo termino ^quali dal primo Cenato 15 6$ fin alti primo Cenuro 157}, che fono anni j o sfaranno 1 400 pr odiato de fcu* et anni, qual metterai folto li altri $ produtti , & li f ammarai infieme,et faranno 4280 tempo, & fcu. quali partirai per la fantina delti fcu. 680, ve venirano anni 6 -Jj, cioè anni 6, me fi $, giorni 1 5 -fr» che piotiti alle primo Cenuro farebbono adi 16 ^ipriti 1 56 9, pone do il rotto per vno giorno, & in tale giorno doucrà pagar le tire 68q» fatta* Trattato del tirarin retto vna ragion di vna » o- uerpiù partite de meriti ouer fìtti ouerliuel- Ii,cofi in tempo, come in dinari >& della Tua diffinitione,6Cdiuifione. T)Erche fpeffe volte a quelli, che verfano circa f impreflar, ouer pigliar -I- dinari da vn altro a vn tanto di merito per cento al anno, onero co- pra,ouer vender proprietà , ouer far lineili, gli occorre tirar vna ragion di due ouer più partite in refìo,cofi in tempo ^om e in dinari ,per f chinar le confufioni,& diffcrentie,che in longo andar potrebbono nafeere tra il creditore , & il debitore, per qutflo linofiri antichi *4rithmctici hanno infegnato il modo , & regola di tirar quelle tali partite in vna reflo fola da efjer notato ncllt fuoi libri ordinari^ ouero fcritti di mano , & quefio occorre quando vno doucrà hauer dinari da vn’ altro, òper caufa di ven ditione,oucr per caufa di prcflanya,con patto, che' l debitore gli debba per gar in termino di tanto tempo tanti dinari, &• non pagando in tale termi nofia tenuto il debitore a rifiorare il creditore-dei fuo danno, ouero , che pagando inondi al detto termino, fimilmente il creditore debba rifiaurar il debit or e, per tanto, quanto importa il fuo danno, et inter effe per hauer - ti sborfati inanxj al termino dato , & cofi in doi modi quelle ragioni al- meno poffono oc correre, fe adonque il debitore hauer à pagato vna parte, del fuo debuo doppo il termino tolto, alfhora il creditor metterla spar- tita del debitor tatuo tempo inanq al termino dato , che ti dinari, che re ila hauer guadagnino tanto di merito,quanto hauerebbono meritato ti di turi * cheba burnito , feglifufjero finti dati al fuo termino a quella me- defima i Libro Quinto, r 1 287 de fima ragione, ma fé pagar à inan-^i al termino tolto , il debitore doveri cffcr afrettato tanto tempo doppo il detto termino a pagar il refio delti di- nari, quanto il detto rejìo tenerla a guadagnar il merito delti dinari pa- gati inan%j al detto termino tolto, & cefi le ragioni feguirano con debita egualità fen%a danno alcuno delle parti, C quefle ragioni poffono occor- rer in molti modi, perche onero che il creditore farà vno foto termino al debitor,ouer molti, onero che l dehit or pagar à vna parte della dinari ini- ziai termino dato,ouero doppo il termino, ouero chepagarà in piùparti- te inangJ,ouero in più partite doppo il termino, ouero che pagar à in alca ne partite inangi al termino, et in alcune doppo il termino,per tanto por- remo alquanti cafi in tutti quefti modi, che pofjono occorrere , come rede- rai nelli feguenti. Ca Co primo , quando il debitorpaga vna parte doppo il termino dato . XT'HP vende -vna pofjefconc ad va' altro a di primo Cenaro 1563 per V L. 5790 con patto,cbegli debba dar al preferite L,q.$ 90, & ilre- fiante,che fino L. 1 aoo gli debba dar a di primo di Ottobrio 1 564 , & tivù dandogli tulli a tal tempo, debba cffer rifiorato del danno cofi in di- nar’,urne m tempo.accade che flette fin olii 1 5 maggio 1 567, & poi gli detc fc „oa L .750, dimando in qual giorno fi donerà far debit or del reflo che fono L. 4>'0 , cioè quanto tempo innanzi al primo Ottobrio 1 5 64, fi donerà fa, deh itor delle dette L, 450 re flauti, acciò fia refiaurato del del danno, che l>a burnito per non haucrU pagate tutte al tipo promeffo f Ter far quefii ■, & altri firn ili, redi prima quanto tempo è dal primo Ottobrio 1 %6q!in alti 1 j Maggio 1 $67 al modo infegnato nel trattato de meriti, cioè fottr andò anni \^6q,mefi io,«/ì 1, da anni 11,67 , me fi 5, di 15, & refleranno anni a, mefi 7, dì 1 4, & tanto tempo il dehitor gli ritenne le L. 7 j o, olir a il patto , hor redi in quefio tempo quanto guada gnarebbono , a ragion che ti piace per cento, ma per più facilità mettia- mo a ragion de 5 per 1 00 alt' anno, cioè a dcn. 1 la lira almefe , & per- che fono anni 2, me fi 7, dì 1 4, che fono mefi 3 \ y|- guadagnar à ancora la lira den .} 1 per tanto multiplica le L. 7 50 per dot. $ 1 -fy faranno den.i^6oo,che fono L.ySfut.ó den.8, ouero Z..98 -f-, quali vedi in qua to tempo a detta ragione far anno guadagnati dalli refiantiL. 430, veden do prima le L. 450 dette quanto guadagnano all'anno a detta ragione , & trouerai che guadagnano L . 1 a ,fol. 1 o, bora dirai per regola del },feL . ■xifol. 1 o, fono guadagnate in vno anno, cioè in 1 2 mefi,in quanto tan- fo faranno guadagnate ledette L. 9% -f-, opera frenerai t che far anni» Z*«~ f - - « \ * DelfAritKfoetréà* guadagnare in anni <4, me fi 4 giorni 1 j & per tann rmpdlmmgì al primo di Ottobrio 1 564/J donerà metter debitore , » in libro, oner in ferino de matto, adunque fottrer ai anni 4, mefi 4, dì 1 yfiafeiando il rota * tv dalli ami 1^64, mefi io, giorni 1, & remeranno li anni 1 560, mefi 54 dì 1 9, che cominciando l'anno al primo di Genaro , verrà il pagamento delle reftantcL. 4 so, atti 18 il Maggio 1560, & cofif*rÀrift*rato del tèmpo, & agguagli ito,qu efla ho voluto mettere efflicà tornente per e firn Pro, & tnfiruttiont detti feguenti quefihnl , > ' ' • ? . i ‘iy<54 mefi io, dì r lw 7 ' • 1 ** — anni 4 mefi 4, dì 1$ . ■**-* _ A 1560 mefi 5, 1 7 £/r ette donerà effer poflo debittr d< L . ip‘o,4& fP MaggjprdjpC an- no 1 y6o, come qui vedi. ! * 4 _ * * * * ‘ 1 ‘ fc. volendola far più predo, multiplica leL. 750 per li mefi 31 , c^f /i ritenne il debitore contra la co>!ncnt'ronc,faranno 3 ;6oo proihtttv compofio delire, & mefi, qual partendo per le reftanri lire 45 ói, ne veni rannomefi $2 che fono anni 4, mefi 4 , giorni 1 j , quali detratti dot. frirno Ottobrio 1 }6qreflatà debitore alh 1 8 Maggio 1 1 60, come battè Jtiper il primo modo di fopr a, &" quello e affaipitt efpeiiente, & facile, & l'ojferuaremo nelle feguenti raghnide refti, come vedi difotto. I. 7 5 o ì ì 1564 mefi io, dì t . 4 mefi 4 , dì 1 3 \ 7 5 o a a 1 o o 3 5 dell anno 1560 mej? y; Jì 18 3 cioè. alli 1 8 Maggio 1 J 60, ‘ 45 1 0 1 * ! ? tf o I o O 1 .5 2 4 2 O 1*» r j fto, r f_ . Jl ■ • ' t» Cafo fecondo, quando il debirorpaga vtia * parte innanzi al termino * * VTqovendevna cafa avn' altro per L.6 5 5 y ,a dì primo Aprile del ' Canni) Ij6y, &gli dà al prt/dìPe hrtgiq}, &dclrejitr,cbeè l.\ • _ . 3500 iibro QuifìtÓ : \ 2S8 3 $00 gli fà termino fin olii 15 Magg.o 1568, &non dandogli in detto termino vuole ql?«'l pfigbi.a ràgàm de 6 fir lO&alf anno , WfrilcUbitor per non pagar uterini alitino , & per francar la, detta cafa, non aff etta il termino d^.tkkì&i&vJdlwWpitmbtie 1506I. 1SÉ0, dimando quanto tempo doucrà effer affettato dvppo il termino, a pagarli queflofe tondo reflo, ouer auan-fp, (he è L.t 640? , t- ' 7. . Ter fuluer quefla ragione non è diiufogno Unir conto de tutto il pre- do della detta cafa, cioè de Uè lire 67 5 j,»c del tempo, nel quale fu ven* iuta, le quali parole fono pofle per narrar ilcafo, ma f blamente b fogna confi J trare , che vno deve batter da vn‘ altro L. 3 500 alli 1 5 Maggio 1568, & ha ritenuto a di ìoTqoumbrio i$66£.i86o, pertiche fi di manda, in qual giorno doucrà pagar il reflo , cioè le L . 1640 . Ter tanto ' Vedi quanto tempo vi èfcorfodalti 1 5 Maggio 1568 alli ao 'bfouembrio 1 5 66 paffato, &• trouerai per li modi dati, che egU è 1‘ intervallo de anni vno, mi-fi ógiorni 2 5 > che fono me fi 1 8 -J-, bor vedi le L. 1 860, che gli ba dato quanto meritano, a quanto per cento" ti piace , che non fa caffo , ma par. più facilità vedi quanto meritano a 5 per 1 00 all anno, cioè a d. l, l.i lira al mcfe,ptr tanto multipli oberai le L.1860 per den. 18 fa- ranno de». 3 5030, che fono lire 145 fol. 1 9 den. 2 , bor vedi in quanto tempo il reflo che è lire 1640 gnadagnarcbbe le dette lire 145 fol.19 den. . .2, che a den 1 la lira al mefe meritano den. 1 640 in vno mefe , adonque dirai feden. 1640 mi danno mefi 1, che mi daranno den. j 5030 , multi - plica, tr parti trouerai, che neveniranno mefi a 1 , giorni io che fo- no anni 1 ,mefi 9, giorni 1 0, lai dando il rotto, ouer mettendo il rotto per integro faranno anni I, mefi 9, giorni 11, & quefio tempo aggiùngerai altcrmino dato, cioè alli 1 J Maggio 1568, & faranno a di 26 Febraro i$70,& ih caldi donerà pagar il reflo, cicè le Z..1640 , & non pagando fqrà tenuto a pagar doppoi a ragion de 6 per 1 00 alt anno , come vedi » & cefi farai le fimil* . 1860 1568 me/15, 8/15 1558 mefi 5, dì 15 ... 18 i- 1 mefi 9, din 1 $65 mefi 11, dì io ’ » * J " - ■ L wmnmm r . 14880 1570 mefi a, dì 3$ d. aj 1S60 1 - r .. 33480 ,-t 1568 mefi 5, 8Jif 1530 1 mefi 9, diti 14(35030 1570 mefi 1, dì 16 39. 1 198.3 douei à pagar ilnflo a di L.i^j.19 d.2 26 febraro tyjo 8.1640 Jwe//i| 8.35030- t 1640135030 I ai I ijool^w mefi. 21 dì S “fcro" ». DelfAritbmetica Calò terzo, quando il debiror paga vna parte innanzi al termino in più partite. TT 7 '{odeuc dar a vn’ altro per reflo i vna pojjcjfione comprata datai V per due .i 830, quefli dinari fi obliga a pagarli alU 1 5 Zugno 1565, con qucflo patto , che fe indugi al detto termino gli ne darà qual» che parte, che’ l fi a obligato a rifarlo di quello tempo, che gli darà inangi al termino,nel refiantc alla ratta parte, & cofi il creditor fu contento . hor accade che quefio debitore a di io di ^Agoflo 1563 gli dette duct I * 30, & a di 1 8 Settembri | 1 5 64 gli dece due. $ 20, & adì 15 Decmt brio 15645/i dete due. r 80 .fi dimanda a che tempo farà tenuto a dargli il refiante qual' è due. 9ZO t \V, : - * Delie dar a di 1 5 Zugno 1 5 6 5 ' , due. 1850 ■'* A> • ■■ j - -t., Ha datto a di io *dgoflo 156] due. 1140 ' </ Et atti iS Settembre 1564 due. 520 ,i fumma due. 1950 - Ter far quefla ragione vedi quanto tempo vi f corre dal tempo decla- cadunadclle ? partite al termini commune, che balli 15 diZ.igno 1565 al modo già detto,& qui di fatto e ff empiiscalo. 1565 mefi 6, dì 13 1565 mefì 6, dì 15 1565 mefi 6, dì ij 1565 mefi 8, dì io 1564 mefi 9, dì 18 1564 mefi iz, dì 15 ■» ■ — — — — ■ 1 ————— ' 1 ■ ■^wui mefi iodi 5 • mefit i dà ij mefi 6 . • . t * VA ( v t >, .w f è i l •'* K f * * E’ trouerai,che dalla prima partita, cheè dalli io ^igojlo 1563 final li 1 $.Zugno 1 365 termino comune,vi fono anni 1 ,mefi io, giorni 3, Aor vedi quanto mentano li due. 11*043 per 1 00 al anno, ouer ad. I la-lira al piefe ponendo che fiotto lire.mcritarano in detto tempo,cioè in mefi *2 -y- lire llìfol.lìd.t , quali ferua , perche al finevitornerai a metterli per ducati. poi tmuerai,che dalli 18 Settcmbrio 15644/ detto termino co mane fono mefi ft, gioirti 27, per tanto vedi in quefii mefi, quanto merita- no li due. 510 iella fua partita alla detta ragione,-& modo,& trouerai , che meritano poni do lire per duc.lire 19/0/. 3 d.%, quali ferua, fimilmen te vedi quanto guadagnano li due. ito dalli i5 Deetmbmiyó^ olii 1 $ u'i*. /■ Zugno A Libro Quinto . 2*9 Zugno 1 y $J, che fono mefi 6,& trotterai , che guaiagUm due. 4 ~ ma pongo lire 4 fot. 1 o, conte ricopra <//$, horgiongerai odierne li meriti del- ie dette ? partite, cioè lire 11 j fol. 1 2 d.i della prima partita, & lire 19 fol.% den. 8 della feconda , & lire 4 fol. io della terga , gr faranno lire 137 fol.yden.9, & queflo vederai inquanto tempo faranno guadagna- te, omero meritate dalle L.9%q recanti al moda delle precedenti, qu Mpo go per lire ,& non per due. per la ragion più volte detta, thè a detta ra- gione faranno meritate in anni » mefi 1 1 giorni 15 *£ , quali aggiùnge- rai al termino cotonane, cioè olii 15 Zugno 1565 al modo detto, tir tra- merai, che il refio fi domerà pagar a di io Zugno l)6d,&cofi farai per il primo modo, danno den. 9 » o\mefi I | L, l X 3 fol. s i deh. 1 mi daranno mefi 3 5 , giorni 1 5 *J-, cioè anni », mefi 1 l,dì » y, * ,4 l $6y «e/t 6 , dì t f cn » mefi 11, dì 2 5 " J « S 58 mefi 6, dito , cioè olii io Zmgno 1568. domerà h.iuer il refio , cioè due. pio. . Et per tirar in refio li detti dinari al fecondo modo moltiplica li dmc. * *30, per mefi n-J- faranno 17263, quali ferma, poi moltiplica due. fio per mefi 8 -f; fàvio 46 18, quali ferma , poi moltiplica li due. igo della terga panna per lifuoimefi,che fonoó, fanno 1080, & qutfii 3 prodotti compofli de mefi, & ducati aggiùngerai inficine , <& faranno ÌZ97 ì, quali partirai per li due. 910, che gli redo darete venirano mefi } ? > giorni 2 s ;J-, che fanno anni t , mefi 1 1 , giu ni 2 y Jj- fi come fu di - fopra trouato, quali aggiongerai olii anni 156J, mefi 6, dì 1 y ,cioè al ter mino dato, farà il giorno iodi Zugno 1568 , & in tal giorno gli domerà pagar il refio fenga danno delle parti, & cofi farai le fintili . I J 6 5 mefi 6 dìi 5 2. mefi 11 dìx y • <•, dell’anno 1 y 6 8 mefi 6 dì 1 ò . Calo quarto , quando il debitor paga vna parte doppo jI termino > in più partite . 'W’ T^pdeue dar ad vii altro per vna poffejfione veduta firn. 1880 adì ... Pr,n>0 Margo iy6j, & gli ha dato [e non fcu.óio, in quelli tempi tifi «feruti, cioè. ' 3 r ,vu\ t) ddd jldi Dcll’Àrithmctica jt dilftÀgoflo IJ65 fcM.it 9 -d di lo Màggio 1557 [cu. ili Jt di il Scttembrio 1569 [cu. 28 5 DimaJo in qual giorno donerà effir notato per debitor del refio qual'h fcu.it 00 ? Hauendo ìnfignato il modo di far effe ragioni de rejli per due regole r bora, per non abbondar in molte parole, folueremo le feguenti folamente con la più breue , & e ff cliente regola » cioè moltiplicando li dinari di eia [e ad una. partita.per l intera. ìlio, che è dal termino dato comnune,a quél la : veder ai adonque quanto tempo è feorfo dal primo di Maroso l$6$, che è il termino communc fin alli 1 J j. igofio 15 66, & trouerai che gli fio no anni i, mrfi 5 , giorni 14, che fonomeft I7tf-» bora multiplica li fcu. i2o per li detti rtiefi 17 ,?- fatano $.144., prudutto compofiodefcu - di,& nefi,qual.jenia:pui vedi quanto tepo l dal primo de Margo 1 565 detto alli 1 o Maggio 1 567, & trouerai,chevi fimo anni 2 ,mefi 2 ,gior ni 9. che fimo nufi 2 6 per liqualimutiiplicaii fcu. 215» & faranno 5654 j produtto compilo de me fi , & fcu. qualferua. poi vedi quanto tempo c dal detto termino, cioè dalprimo Maroso 1565 fin alti » I Set- tembrio 1569, cr trouerai che vi fono anni q,me[t 6, giorni 20 , ebefo no me fi 54 -{-.per li quali multiplica li /rK.285 faranno 15580, produt to de feudi , & me fi . bor [ammarai infieme quefli 7 prodotti faranno 3 43 78 -x-, quali partirai per li fcu. lioo,che gli reflò dare » ne vanta- no mefi 20 giorni 9 che fono anni iymefi 8, giorni 9 , finga, il rot- to > quali fottrarai dal primo Margp 1565. cioidaanni 1565 , mefiti» giorni 1 ,refiarà alli 22 Zugno 1563, & in talgiorno domerà effir pofi» debitor de dargli il reSìo,cioè li fcu. ìzoo alli 22 Zugno Ijdj. Calò quinto, quando il debitor paga vna parte innanzi al termino dato,& vna parte dop po il termino in molte partite» XTUo merendante per vno certo fuo contratto refiò debitore ad vii al * tro merendante de fcu. 1260 a di 1 6 aprile 1 5 6$, con patto,che fe in detto giorno nongh de/fi tutti li detti fcu. ta 60 di pagarlidi merito di quelli a ragion de uper 100 ali anno , ma con quefio altro patto , che occorrendogli fa comodità di dar qualche parte di quelli,cofi innangi,c» me doppo il detto giorno, fia tenuto a ricopenfarli quel tempo,ouer il me- ritOjpcr quella parte nel refio fuo,etcofi rimafero £ accoriothor accade? che il debitore gli ha dato in 4 pofie , & in diuerfi tempi parte innangf, <r parte doppoil detto termino fcu , 8so, come difitte appare , dot fcu . k libro Quifttfr»'! *90 fé». 140 a di primo de Mar?p 156}. - \i' fcu. 280 adì zi de 7. ugno 1554. . fcu. 150 a di 16 ^igoflo 1565. Et altri 130 adì zi Settembri 1565. Si dimanda in qual giorno do uerà dargli il refio, ouer effer notato per debit or del detto refio fetrga di no delti conto abenti,qual re fio vico ad e/fere fcu. 440 f , <, • Ter far quefia ragione vedi, cbe follmente la prima partita delti fcu. *40 è pagata innanzi al termino dato, tT per tanto redi quanto tempo i dal primo de Aiargo ifój fin al detto termino , cioè fin alti 16 jtprile 1 164, & trouerai, chegli fono anni t,mefi 1, giorni tf, che fono mifi 1 ì -\-,per li quali multiplicarai li fcu. 240, & farà 3240 prodotto com- pofio de fcu. & mefi, dr quefioferua , "Poi redi quanto tempo è dalli detti 16 aprile 1564 alti zt Zugno i$6 4, & trotterai che ri fono mefi 2, giorni 3, cioè mefi 1 -Jf ,per li qua- limultiplicarai li fcu. 280 faranno 6 06 y produtto de mefi , & feudi, & quefioferua : fimilmcntc vedi quanto tempo è dalli detti 16 aprile I J64 fin alti 16 jt goflo 1 565 |Cr troucrai, che gli fono anni 1 , mefi cioè mefi 16, quali multìptica conti fcu. 130 faranno 2400, qualferua. fimilmente redi quanto è dal detto tremino , cioè dalli 1 6 * Aprile 1 564 fin alti 2 1 Settembrio 1 3 6 5 , & troucrai , che gli fono anni 1 , mefi J , giorni cioè mefi 17-J- > per li quali multiplicarai lifcu.i 50 della rito- rna partita, & faranno 2575, qual produtto aggiongerai con li altri doi produtti feritati difopra, cioè aggiùngi li 3 ritmi produtti , cioè 60 6 y dr 2400, dr 2575, & faranno $ 58 1 -j-, della qual fumma ne fottra- rai ti 3 240 produtto della prima partita pagata innanzi al termino , & refiar anno 2341 -j-, quali partirai per li fcu. 440, che gli re fio debito - ?e,& ne venir anno mefi 5, giorni 9 IJj , quali fot tratti dalli 1 6 aprile 1 5 64, che fu il termino dato , al modo di fopra infognato, faranno a di 7 7{ou ombrio 156}, & in tale giorno douerà ejfer pofio per debitor delti r efianti feudi 440 per effer date le 3 rli'tme partite doppo il termino, d r coti breuementc farai le fimiti . Et feti prodotti eompofli delti mefi , & feudi delle partite pagate in- nanzi al termino fuffero fiati maggiori,allbora li anni,dr mefi, <jr gior- ni,che ne fuffero venuti fi farebbono aggionti al termino dato', fi corno effendo minori fi fono fottratte. ^incora potresti far la medefma ragione riducendole partite delti <L dati a vno falò termino , dr poi operare , come nelle poffate fu ojferuato . Ter tanto vedi quanto è da ciafcaduna partita alla prima , & trotte- rai,che dal primo Mar-go 1563 fin alti 2 1 Zugno 1 364 fono anni 1 ,mefi 3» giorni 2o,cioè mefiti^ -j-,per li quali multiplicarai lifcu.zSofaran «04386 -j-, quali ferua, poi vedi quanto è dalla prima alla terga par - Dddd 2 .tota I Dell'Aritlimetica titd, doliti primo Margo 1 563 fintili 16 ^igoflo 1 troue/ai, thè gli fono anni i, mefi Sigiami 15, dot me fi 29-J-, quali muUiplica per li fcu. 1 sfaranno 44 i$,aual ferva; ftmìlmente redi quanto c dal detto primo Mario 1 563 fin alti 2 1 Settembrio 15 65, & trotterai, che gli fono anni », me/itf -J-, quali multtplica con li fcu. 150 far ano 4600» quali aggiongi alti altri doi prodotti fopraferuati faranno 13411 -p pro- dotti de fcu.& me fi, quali partirai per la fiamma delli fcu. dati, che fono Ìio, ne vcnirannomefi 16, giorni io , quali aggionti al primo Mar - 73 1 $6} faranno a di li Luio 15*4 ,&■ in tale giorno venne H pagarne» to ridotto ayno termino , bora dirai yno dee kauer da vn' altro adii 6 aprile 1564 fcu. ji 60, & ne ha ha unti fcu. ito aditi Luio 1564, di- mando in qual giorno gli venne il retto . Ter tanto vedi quanto i dalli 1 6 aprile 1364 fin alli 1 2 Luto I J6q, & faranno mefi 1, giorni 1 6, quali multtplica fia lifcu.$zo,ne veniran no *350 "p> quali parti per il reflo che è fcu. 440, ne venir anno mefi 5» giorni io,qualt fottratti dalli 1 6 aprile 1 j 64 , ne venir d g di 6 Tene- bre 1 563» & in tal giorno farà debitor del reflo , che fù fcu.440, & fedi fopra pialli 7 T^uMembre 156 3, cioè vn dì de più , è flato per Confa delli rotti delti gio mi pretermeffi , del reflo ì con fot me all'altro modo di fopra cJferuato,& cofi potrai con due vie foluer le fopr adette ragioni, fi come ancora la feguente , & fe li tempi fuffero flati eguali flarebbe firmo il ter mino dato. l$6gmefi 6, dì 21, z mefiti, dì ig, mefi <?, diti 1561 mefi 3, dì 1, is<$3 mefiti ,dì 1, 1^61 mefi dì t anni 1, mefi 3, dì 20» annn, mefite, dì 1 j, anni i, mefi 6^dì 20 280 150 »JO IJ 15 -r 29 + _ J° 7- X 4 4200 186 1350 3005 4500 f IOO *4® 'osili uxx 43815 -f- 7 4600 44*5 4600 1341 ' T 3 4425 820 ? l6qo 2460 71Q ZAr&ft* mefi 1, dì 10 *X*6 13 6i mefi 3, dì 1 1 mefi g, dì io jm. 40» 2350 7° J* 1564 mefi 7, dì za 1^64 mefi 4, dì 16 xs6g\ili6 5 | io mefi 2, dì z 6 lS6l\ltÌ6 . » * " : ^ ^ adii Tqouemb. 13 63 ' A - Cafo 4 ♦ ♦ * « 4 4 4 4 4 Libro Quinto; 291 Cafò fefto, quando il creditore deuchauer di- nari in più partite,& ne riceue anchora in più partite parte inanzi,6C parte doppo li termi- ni dati. DOi Mercddanti battendo fatto alcuni contratti inficine, fatti, che beh bero li f noi conti tra loro,tvno rrftò debitore a l’altro de fcu. 860, con patto de dargheli detti dinari in quefli quattro termini,cioè . fcu. *20 a di tó.Febraroi }6f fcu. I 8 o a di primo Zngno 1564 fcu. *10 a di 6, ^igefio 1565 fcu. *50 a di primo, Settembre 1 5 66, & fe a tali termini non pagajfe detti dinari, fu poi tenuto a pagarli di merito a ragion di io per 100 al anno, ma con qucflo altro patto, che trouandofi la commoditi di poter urne dar qualche parte di quelli co fi inauri , come doppo li detti termini, fia tenuto a ricompenfarli per quel tempo, & per quella parte nel rcBo alla medefma ragion di merito , & cofi reflorno <C accordo. Hot accade , cbe'ldebitor gli ha dato in quatro pcfte f & in diucrfi tempi fcu. j 50 ,come difotto appare, cioè fcu. 1 2 0 adi 1 5 . Marjo 1564 8 6 0 fcu. * ì 0 a di primo aprile 1564 5 S 0 fcu. « 5 0 adi primo Zugno 1565 ■ ■ ■ - fcu. I 5 0 adi 16 Ottobrio 1167 3 1 » Si dimanda in che giorno donerà dargli il reflo, oucr donerà e ffer no- tato per debitor del reflo, qual è fcu. 3 io, fen%a danno delle controbat- ti parti t Terfoluer quefla ragione, prima ridurrai le prime partite, cioè quelle àfWh/tuer avn dì, al modo dato difopra , meritandole tutte per il tempo che fono disiami dalla prima, & per far qucflo redi quanto tempo è dalli 1 6,Febraro 1563 al primo di Zugno 1 j6^,& trouerai,chevi fono anni l,mefi | giorni 1 j ,cbe fono mefi 1 5, £ bora prefupponerai,cbe li fcu.fìa no lire, come più volte è fatto detto nelli meriti , per tanto multiplica le lire 1 Soperd. 1 j -i-.c/ò ad. ila lira almefe,perche fono mefi 1 5 , et faranno d.2 790, & qucflo ferua. Tot redi quanto tempo i dalli detti 16 F ebrard 15 6$ fin alli 6 ^tgo- fl» DclTArithmctica fio i f6l,& trouerai,che vi fono anni i,mefi 5, giorni 10, che fono me - fi 29 -j-,che a detta ragione fanno d.i 9 -j- * q utili multiplica per li fcu. 210 della terga partita ponendo che Jianolire, & faranno danari 6130, quali ferua,poivcdifimilmente quanto tempo è dalli detti 16 Febraro 1 563 fin al primo Scttcmbrio 1566 , & trouerai, che vi fono anni 3, me fi 6, giorni 1 f, che fono mefi 42 -j- , che a detta ragione fanno d. 4» -f- , quali fimilmente multiplica per li fcu. 2^0 della fua partita , V faranno d.1061 5 .bora aggiùngi quefii 3 produlii izfizmt faranno d. 1 964 J yhora dirai fe due. 860 , chc'è ilprodutto de Z.860 ind. 1 la lira al mefe, quali lire erano fcu.mi danno mefi 1 , che mi daranno d. 1 964; , partirai d. 1 964 5 per 8 60, ne venir anno mefi x 2 , che fono amii i\ mefi io, giorni 25 quali aggiùngerai al tempo della prima partita , cioè alli 1 6 Febraro 1 563,(1/ modo più volte detto, & faranno tùli ,1 1 Ce naro 1565 lafciando il rotto, & cofi haireccato a vn dì le partite del deue bauer, per tanto la ragione fard ridotta alli termini falla prcceden te, cioè dir ai,vn deue hauer dava altro odi 11 Cenaro *565 fc.86o,et ne ha hauutofeu. 550 nelle pofte, come difopra fu detto, dimando in qual giorno deue effer fatto debitore del r elio, qual' è de fcu. 310, per tanto vt di, quanto tempo è dalli 1 5 Margp 1 5 64, che è la prima partita dell; di- nari pagati fin alli 1 1 Genaro 156 f,& trouerai,che vi fono mefi 9,gior. ni 2 6, che ad.i la lira al mefe, fanno d. 9 -jf , quali multiplicarai per li fcu. 110 della fua partita ponendoli per L, 120 faranno d.n 84, quali ferua, poi vedi quanto tepo è dalli detti 1 1 Genaro 1565 final primo pi- pale 1564,(1 trouerai, che vi fono me fi 9, giorni 1 o, cioè mefi 9,-ld qua li a detta ragione faranno d.9 -f- , che multiplicate con le lire 1 30 , eh' erano fcu. della fua partita farannod.mj -j-, qual; aggiunger ai\con li fopra fcruat i d. 1184, faranno d. 2 3 9 7 -f- , quali ferua diflintamcnte , per che fono pr adulti delle due partite pagate inangj al termino vniuerfa le , che fù alli 1 1 Genaro 1565. Toivedi , quanto è dal primo Zugno 1565 fin alli 1 1 Genaro 1565, cioè l'interuallo, & trouerai d'interuallo mefi 4, giorni 20, cioè mefi 4 che a detta ragione fanno d. 4 -J- qua li multiplica per fcu. 1 5 o come lire,farano d.-j 00, fimilmente vedi, quan to tempo è dalli 1 1 Genaro 1 565 fingili 16 Otto brio t j 67, dr trouerai, thè vi fono anni », mefi 9, giorni 5 , cioè mefi 3 3 -y- , che fanno a (letta ragione d. 3 3 -5- quali multiplica per fcu.t jo, che fuppor.i per lire,faram no 4.4975, quali aggiongi con li d.joo de l'altr dipartita antecedente, fa* ranno 4.5675 , & quefiedue partite fono pagate doppo il termino , cioè doppoli 1 1 Genaro 1 565, dalli quali fottrarai le prime due pagate ina** gi al ietto termino, cioè fottrarai d. a 397 — dad.^iyj, ne refiaranno. i. 3 ijj-j- de quelle, chefono pagate doppo il detto termino . bor vedi il refio, che fono fcu, 3 i 6 ponendolo perlite,quanto paga in vn mefe a det- Libro Quinto « «92 ta ragione , & trotterai , che paga d. 31 o,hora dirai fed.$ io mi danno yno mefe,che mi daranno d.3277 ~, & ne y entrano mefi io, giorni 17 -jf q *a/i laf dando il rotto li fottrarai dal termino principale, cioè dalli 1 1 . Cenato 1 365 per effer auanjate dalle partite pagate doppo il detto ter- mino principale, & reflaranno olii 24 Febraro 1 564,^ in tal giorno do neri batter il refìo , cioè li fot. 310 , come in parte cederai difotto operato. */ idi 24 febraro 1 j 64 £ debitore delti refiantifcu .3 10 1564 we/J 6, di 1. 155$ mejfi 8 di6 1166 mefi 9 di 1 tfóì mefi 1 di 16 15 63 mefi 2 ,di 16 15 63 gufi i,diié anni 1 mefi 3 dii} d. 2 7 9 o 6 2 j o x o 6 2 5 «»»/ 2, mefi idi 20 anni mefi 6 di 13 I 5 6 f mefitici il 156 4 mefi 3,dii$ mefi 9, di 26 tnangj deter- mino 1365 mefiti di ix 1564 mefi 4, di 1 mefi 9, do 10, fummad. 1 96 de prodotti « i$6}mcfi6,di 1 1 doppo il\i}6jmcfi io di 16 m 1 365 fflf/f i ,di it termino |iy6y | mefi 1 di 1 1 i/wnsy d'2]97 “T mtfi 4 rfi 20 anni t,mefi 9. di j al termino. E da aduertire, che tuttala operatione non può flar in quefla charta ma balìa efferpofia ogni cofa nella narratione,anchor che non fia repli- cata in opera, & figura, perche farebbe alti fiampatori fatica grande, & quafi fuperflua . La medefma ragione, & lefimilifipotrebbono anchorafare riducedo a yn dì, non folamcnte le partite del hauere,mà ancora le partite pagate : Cr fecondo la mia opinione far ebbono più fecure dalli errori, perche fi ri- daranno a due partite fole , cioè ima detdeue hauer , & V altra del ba- tter hauuto,per tanto reccarai prima le partite del creditore a yno dì oue ro termino folo,al modo {opra offeruato,et trouerai, che alli 1 1 di Gena - ro 1 56J/I creditore donerà hauer dal debitore fcu. %6 o,li quali feudi po nerai in operatione, come lire, come diffi difoprafm fino alla fin della tua operatione. refta adonqueda reccare le partite del debitore a yn dì,&* poi operare.come fu fatto nelle prime ragioni de tirar in retto : Et perche il debitore ha pagato in quefie 4 pofle fcu. 350 ,cioè. fcu. 12 0 adii} Mar^o 1 564 fcu. I j o a di primo aprite 1564 fcu. 150 a di primo Zugno 1565 feti. 150 a di 16 Ottobrio 1 $67, per tatuo comincia a meri- Dell’A ri th itterica tare Tire 130 dal tempo della prima partita alla feconda, ciob dalli tf Alarlo 1 564/m al primo . Aprile 1564 ad. 1 la lira al mefi, & trotterai prima,che gli corretto Giorni 1 6 , per li quali multiplicarai le lire 1 ;0» che erano [cu. & faranno 1080 quali ferua , poi vedi quanto è dalli t % Mar^o 1 5 64 fin al primo di Zugno 1565, cioè dalla prima alla terga, et trouerai,che vi fono anno 1 tmefi i,dì 1 6, che fono giorni 4 j 6 , quali mul tiplica perfcu. 1 yo , come lire della terga partita, et faranno 65400» qual fimilmente ferua, poi Vedi quanto tempo è dalli detti 15 Margf l 5 64 fin alti 1 6 Ottobrio 1567, cioè dalla prima a Cvltima partita. Et troverai , che vi fono anni 3 , me fi 7, giorni l, che [onogiorni 1291» quali multiplicaper le lire 1 5 o della quarta partitaci farann c 1 9 3 6 50. bora aggiungi in/ieme quejii 3 produrti faranno 261 1 30, & quella firn ma partirai per lire 5 y o ,cioè per lafumma de tutte le partite pagaie , et ne venir anno giorni 474 -*} per effer detta fumnta produttade lire , et giorni, quali farai in me/i, et anni,et ne venir anno anni 1 , meft 3 , giorni 24,laJfando il rottoci quali aggiongerai al tempo della prima partita del debitore, cioè alti 1 y Margo 1 564, al modo più volte detto , & faranno a di 9 Luto r y 6 5 , & cofi faranno ridotte le partite del debitore a vno dì, cioè a dì 9 Luio 1565 auuer tendati , che C operai ione fatta a ragion de merito de den.t la lira al mefe,è vnamedcjma in fatto con quella, che fi fà multiplicando li den.col fuo tcmpo,cotnediff difopra , bora batterai ri dotto la ragione in due partite, come difotto , & dirai , vnodcuchauer da vn' altro fiu.%60 a di 1 1 Cenato 1 y6y, & ne hahauuto fcu. yyo a. di 9 Luio 1$ 6j, dimando in qual giorno deuebauer il reflo, che è fcu, . $ io ? Ter tanto vedi quanto tempo è dalli 9 Luio 1 36 5, alli i 1 Gcnaro 1 565 prima fcorfo,& trouerai, che vi fono mefi y, giorni 18, hor ve- di quanto meritano fcu. j jo, come fefuffero L.in mefi %, giorni 28 ,ad. I la lira al mefe,cioè mul tiplica L. yyo per den. 5 jf, & far anno denari 3263 -f-, qualfcrua,poi vedi quanto meritano le rejìanti L.fioa detta ragione in vn mefe,& trouerai che meritano den. 3 1 o.hora arguiraiper la regola del i.dicidofeden. 3 1 o fono meritati in vn mefe, in quali mefi faranno meritati den. 3 263 -j , multiplica, & parti ne venir anno mefi 10 ,giorni i.j J-j-, ebe fino quafi mefi io , giorni 1 6, quali fottr trai dal 11 1 1 Gcnaro 1565 per effer pagati doùpo il termino dato, & reftarà debi torcdclli reflantifcH.3 io,alli iy Fcbraro 1 y64, & fc per l' « litro modo fètrouato debitor alli 24 Febraro detto, quello procede per bauer lava- to li rotti delti giorni , ilche fra mercatanti è tenuto di poco momento , nondimeno fi poffono ancor metter li rotti di vno giorno per vno giorno integro, quanto la parte è vicina al fuo tutto , l' operai ione più brene che fi fui vedrai di fitto. .5-1 Q\5*ì ontano fet ;ìj » •u l .1441 ' L, 130 1 \ 293 Libro Quinto. I. 1 } o L. i 5 o 1. 1 ‘5 o i j d 4 mey? 4, dì r, ó^me/i 6,dì i, t 5 tf 7»»?/? io, dìitf, I 5 ó+mefijtdì 13, 1 $ 3, dì iy, x S 6 4mcfi 3, dì iy, o mefi- dii 6, anni x,mefi 2, dì 16, anni 3, mefi 7, dì 1 , X. I 30 1 5 4 j6 I 50 X 2 9 I I 5 o 7 * ** 5 produttoi o So.produtto 65400. produtto 1936 50 */4?fd I x 5 JJ- «5 400 * 193650 ^4 $ cioè quafi — K6& giorni lt, fumma de lóti 30 dapariire per 5 50 ptfix t 3 |4y| 4 produtti rh. t v *«K- ** mefits,dì 14, fi- no 1^64, mefi 3, dì 15, cioè an.i,mefi j,dì 24$- 5 li- 1, mefi 3, dì 14, —15 61, mefi giorni 11, flutto 3 iÓ3filumma ^6$, mefi 7, dì 9 Wfy? r0, £/ornì 5, 1565, mr// i,</ì ri — 1. i5Ó4,mefi z,giórniii , -me/i 5, dì a 8 cioèalli 15 Febraro 1564, 'fatta fono Cafò fèttimo, lènza fpécificar l’anno ne il mefè per nome , ma folamente per numero . V lieue ha«'r da mi altro fai. 3 50 a termino de mefi 9, delti quali ne ha battuto fcu. 1 40, già mefi 6, dimando in qual tempo vien il re fio,che fono fcu. zxo. ( : Ter far quefio breuemente aggiongi li 6 mefi innanzi con li 8 mefi dop po, faranno me/i 1 4, onde "vien kauer dato li fcu. 1 40 innanzi al termino me/i 14, bora multiplica li detti fcu. J40, per li mefi 14., faranno i960 produtto de fcu. & mefi, quale partirai per il reilo , cioè per li fcu. 2 1 o, ne leniranno mefi 9 -j-, & tanto douerà e/fer affettato doppo li 8 mefi v aggiongi adonque li mefi 8, con li mefi 9 -j- faranno anni r , mefi 5 -j- > onde dir ai, che da quello giorno , che comincio e/fer debitore fin aldi anni *» mff\ 5 -r donerà bauer il refto, che fono li fcu, 210 , & co fi far ai le* fimtli, come vedi all'incontro . Eeee 3 50 DcITA ri America j s o 1 4 O 2 il® 14 0 « 4 21 rst 0 1 1 .* tv > ,y r. <■*.' mefi 8 mefi I 7 -j- doppo il credito, do- uerà dar ilrcfio . . Cafo ottano. \T'H? deuc batter da vn' altro lire 180 già me/i 10, (irne ba battuto Y lire 100 gii 3 rue/ì , dimando in che tempo gli donerà pagar il re- fio, che è lire 180. Ter foluer quefto cafo,Fedi , che hà pagato lire 1 007, mefi doppo il termino, che fitroua fattrando mefi 3, de mefi 10, pertanto multipli cali- re 1 00 per li 7 nufi,faranno 0joo,quali parti per il rrfio , cioè per lire 1 80 ,nc venir anno mefi 3 , et qutfii aggiongerai allt mefi 1 o, etfaran no mefi 13 -y-, fiche dirai, ebe dette effer fatto debitor delire 1 80 già me fi 1 3 -i- , cioè per anni 1 , mefi 1 , giorni 26 -y inany » et co fi / turai te filmiti. ^ Cafò nona VJ^o deue hauer da vn* altro /c« . 4 J ogià 1 8 mefi , et ne ha battuto /cu. 1 30 già 2 anni , dimando in che dì gli vien il reflo,che è feu- di 320? Ter foluer queflo cafo ,fottra mefi 1 9, de mefi 34, reflano mefi 6 , et già mefi 6,gli rende fcu. 1 30 .per tanto multiptica lifcuAìOper mefi 6 , fanno 780, quali parti per li fcu. 3 a o che gli refio debitore , ne vengono mefi 1 /f-, quali fot tr arai dalli mefi i%,reflanomefi 1 J che fono *nni X mefi 3 , giorni 1 6 et co/i dirai,che rcflo debitoregià vn' anno, et me fi J» giorni 16 -J- deficit. 320, et co/i farai le filmili . Cafo decimo. VHjdeue hauer da vn' altro fcu. 3 60 già 10 mefii,et ne ha hauutoficu » 1 80 doppo 6 mefi. dimando in qual giorno gli vien il refio » che 4 fcu. Zio è Ter A . \ Libro Quinto ; 294 Ter foluer queflo cafo,aggiongi li io mefi inondi con li 6 mefi doppi , fanno 16 mefi,per il che vedi , che gli rende fcu. 1 80 piti tardi ió mefi , per tantomultiplicalifcu.\8oconli 1 6 mefi , far anno 2880, quali parti perii reflo,che è fcu.rto, ne vengono mefi io -y-, quali aggiongi alti 19 mefi de prima faranno mefi ao y-, fi che dirai ehe'l reftò batter li fcu. Ho già mefi 10 cofifaraf le fintili . 360 180 ISO i 6 * 1 1802 8|o|a 8 8 I o OO [ I O y- . 1 , mtfi 1 o ~ reftò batter li fcu,% 8 o -3QW] < • giamefiio ' . «: !. , Cafo vndccimo. "ir T’KP deuehauer davrf altro lire j 60 a dìprimo deLuio 1564, & V n'ha ha unto vna parte a di primo jfprile 1 s 6 J , et refiò batter la- uà n^o a di primo di Febr aro 1 764, dimando quante L.pago in quella par tifa , <& de quante lire il reftò debitore ? Ter far quefla ragione,vedi quanti mefi fono dalli primo de Luio 1 564 fin alli primo Aprile 1363, & troucrai,cbegli fono mefig,^r tantime- fì flette più tardi a pagar ,chdl termino dato , poi vedi quanto tempo è dal primo di Febr aro 1 3 6 4. al primo deLuio 1564,^ trouerai, che gli fono mefi 5 )& fanti mefi fu fatto debitor del reftò, bora farai de lire 360 due parti,che f vna rnnltiplicataper 9, cioè la minor, faccia tanto , quanto la maggior mulciplìcatapcr 5, & per far queflo breuemente,multiplica L. 360 per 3 far a 1 8 00, quali parti per la fummadelli 9 , & 5 mefi , cioè per mefi 14, nè venir anno L.28 \ . Et tanti n'ha hauuto a di primo i aprile 1565, & del reftò, che fono ture 13 1 \r reftò debitor a di prlmq Febraro 1 564 , & cofi farai le fintili, v ^ v 1 1 -■> ,r v\aw * $ . ? ; u iv«4 à 0», »ì» ' — : — .. -’x 1 it i \ » toiv./a . o t o 1 Gj c à 1 T*. . *1*» Ù3, I 01 iO E eee 2 136 5 DcH’Arithmctjca l J 6 J mefi ^giorni jj 360 1564 mefi 7 giorni i, j me fi 9, giorni 1 4 1 1800 f 7I900 1 L. 1 2 8 V 3 60 128-$- 1564 mefiy,dì r refio debitor L. 231 1564 mcfi 2, dì 1 & pagò 1.128-$- rr/?<* y mefi prona fiamma 360 Calò duodecimo conuerlo al prece- dente, & proua di quello . \f'K° dm hauer da un'altro lire 360 a di primo Litio, \q6q,& ne ha V battuto a di primo aprile 15 65 lire 118 dimando in qnalgiox* no farà da ejfcr poflo debitor del refio, che è lire 2 j 1 Ter tanto roderai quanto tempo ì dal primo di Luio 1564 fin alprimo d'aprile 1 5 6ì,& tr onerai, che gli fionomefi 9 , quali multiplica perle lire 1 * 8 -$-» faranno 1137 -j- produtto comporlo de mtfi, & lire qual partirai per il refio, cioè per lire 2 3 1 & ne venir anno mefi 5 j quali fot tr arai dal primo de Luio ] 564 al modo più volte detto, & r efo- ri debitor del refi 0 a di primo Ftbraro 1 5 64, come difiopra fu propofio. I i6imefi4,dìt 1)64 mefi 7, dìi v*»; 331 -f vr 00 N M 7 9 162 1 0 1 1 5 * - 7- 5 » ^7 tv*? »M7r 7 16 2 18 mefi 9 I 5 6 4 mefi 7, dì 1 fiottra mefi 5 1564 mefi 2, i/i ! rf/?u a di primo Ftbraro 1 jdif I o | o debitor de li re 23 1 •$- ojj mefi 1 va :4 Calo 1 *95 Libro Quinto. ; . \ ft v*. . • .1 Cafo dccimoterzo . T 7 Hp doueua batter da vn' altro a di primo de £«<01564 lire 3 60, & V ncpagò vna parte doppo alquanti mefi, talmente che tirando la [uà partita in reflo il fu fatto debitor de lire z 3 1 -J- a di primo de Febraro 15 64, dimando quante L.furno pagate in quella partita} Quefta è conuerfa alla precedente fecondo vna parte, & per foluer la ve- di prima * quanto tempo è dal primo di Febraro 1 5 6q,nel qual giorno fu fatto debitor del reflo, che fono lire 2 3 1 , eir trotterai che gli fono me fi Si & quegli 5 mefi fi trouano a partir il produtto dclli me fi , che pagò doppo il primo Luto \<,6qfia le lire, che pagò che fumo lire 128 \ ,cioè il reflo , che è dalle lire 231-4- a^e ^re 3 60 , adonque per trottar detto produtto, tnultiplica li 5 mefi, che ne vennero flati partitor , che fu lire 23» , & ne veniranno 11 yj-j-, qual parti per le lire ii8-*-,ne ve- nirti \ altro producane , che fono mefi 9 , quali aggiongerai al primo de Luto 1564,»* venira il primo di aprile 1565 , & in tale giorno fumo pagate lire 1 2 8<*$- , & cofi farai le firmili , & de refli fin qui fia detto a bàflanga i n tutu li modi, come hai intefo . 1564 mefi 7, dì 1 Ljji | jtfo-f 1564 mefi », dì 1 5 >31 ” 'fi 5 d‘— 115 5 _ meli 128 ■ * ** i«57t 7 900 9 loo| 8 ilo o \mefi 9 I. 1 564, mefi 7, dì I, 9 „v 1 56 5>Wf//4»rf» «> ciob a di primo ^Aprile 1 j 6 j pagò L. I 2 8 -f Cafo dccimoquarto . p Spediti fin qui tutti li que fitti de meriti , & {conti fimplicijaldar rrt gioni,reQcar a vn dì molti pagamenti , & tirar in refio , in tutti li modi, feguitaao alluni cofi realmente occorfi / opra li meriti , & {conti fimplici,^ altre ragioni mifle,& poi fi trattari di meriti, & {conti 4 topo d anno in tutu li modi . Vno DeirArìthmctica Vno vendete vnapoffeffionc a vn' altro per fcu.i yoo, cominciado a di primo Settembrio 158 6,&gli fece quefìi termini, con patto, che doueffe doueffe pagar a ragion de io per 100 all' anno , & non pagando a detti termini debba poi pagar a ragion de io per cento fecondo la parte del tempo , & delti dinari che non batterà pagato , cominciando a correr il fitto a di primo Settembrio 1586, & che debba pagar fot, j 00 1 a di primo Settembrio 1 5 87, cioè finito l'anno . Età di ditto 1588 debba pagar altri tanti, cioè fot. yoo Et a di ditto 1589 paghi fot. 500 Età di ditto I 590 fcu. yoo Et a di ditto 1 j 9 1 fcu. 5 00 Occorre che'l debitore paga a di primo Scttcmb. 1588 fcu. yoo > Et a dì ditto 1589 paga fcu. 500 . '_i Et a di ditto 1590 paga fcu. 500 Et a di ditto 1 591 paga fcu. 500 :j Et a di ditto 15 9 3 paga fcu. yoo Dimando quanto fari debitore demerito a di primo Settcmbr.i^gj. . ■ Per far queflo,& frmili, vedi prima quanti fcu. pagar ebbe feruando li patti nelli quali fono conucnnti,pcr tanto pagando fcu. 500 a detta ragion nefanno fcu.i) pi anno, & fin al anno iypi fono feorfi anni f,che fono di merito fcu. 1 2 y. adonque li altri fcu. yoo per anni 4 pagano fcu. i o o Et per anni 3, fcu. 7 y ■ — r Et per anni x, fcu. 5 o Et per anno t, fcu. 1 5 Che fono ~fcu. j 7 y in tutto de meriti firumdo li patti, « Et perche duueutt pagar Jch.$ 00 a di primo Settembrio 15 87 , & non H paga fc non a di detto 1388, adonque non pagando a termino , fi come prima cranofcu.xi, far anno a 10 per ioofcu.^o,Cr queflo fcrua,& per - che paga ftu.<,oo del 1593 ,& non paga l anno 1591, che doueuapa- gar, adonque fi come far ebbono Jcu. 2 $ coft faranno fcu. 50, eheconlipri mi fcu. 10 fanno 1 00 de più, che non farebbono fe haucjjc feritati li tempi fecondo il patto, adonque fi donerà fcM.ìoo allijfcu . jy y faranno fcu. 475 che donerà pagare àc merito in qneflì aftrì 5 annt,& qucfla hò poflamol to fàcile, accio poffa ciafchun comprendere la ragione de gli altri ftmili , perche variando il tempo , cioè li termini (tedi pagamenti, & la quantiti delti dinari, che fidine pagare, la ragione fi fàpiù difficile, però vedi de- parte in parte de pagamenti quanto gli mane ha di tempo, per feruar il pai to, et quanto de dinari, perche póffono. efjèr eguali in dinari pagati, fi co - , me è nella pref ente queflme , & non eguaUm termini , O* poffono effpn ' eguali Libro Quinto. 296 tguali m tempo, & non in dinari, & pojjono e/fere ineguali in terni ini di tempo, & in quantità de dinari variata dalla conuentionc fatta, &■ quttn do qutflocafo occorre, vedi che pagano di merito tanti dinari in tanto tempo mancato, & nota di parte in parte, & de termino in termino, et alchuna volta [upplira il debitore il mancamento del tempo con laggion ta de dinarifchc faranno più, che non fono conuenuti di feruare,oucro che f upplira il mancamento delti dinari con l’auantaggio del tempo in vtili t a del creditore, & in tale cafofideue dettragere dal creditore,ma a ra- gion de 5 per 100 in quefo cafo, cioè della ragion conuenuta , perche non fono conuenuti che' l debitore pagando di più, che gli fia ricompenfato * ragion do io per 100, ma folate, ente alla prima ragione, che in quefo ca- fo fù a 5 per joo al anno, ma è ben conuenuto,che mane bando di pagar a tempo debba efftr accrefciuio il merito , come in qurjlo c ifo a ragion de I o per 100, perche effendo il creditore fuora del fio paefe,& non bauen do li fuoi fitti ouer meriti a tempo, è sfamato a far fu le fiefepcr ejfer fuo ra di cafafna,pcrche li patti fono delti gt ufi, & ingiù fi dalla giufia ouer ìngiufa intcntionc,& uolunta de contrahcnti,cioè fecondo il fine fuo, per- che come dice S.^tuguflino nel libro da diuina Trinità! e, A&us volunta tis determinatur àfine,^ la difficulta de quelli operai ioni fi leuarain parte riduccndo li diuerfi termini dati al debitore , a vnofolo termino,/! come hauemo infegnato al fuo luogo . Cafo decimoquinto realmente occorfo in Ve- necia>& porto dal Tartaglia nelli meriti . T/"7S(o deue dar a vn’altro due. 450 in termino de 50 mefia due. 9 ogni “ mefe,& cofui li vorrebbe sborfar al preferite a vn altro che hauef fe a pagar lui quefo debito, vero è che lui vorria sborfarefe non tanti due. li quali meritandoli a ragion de 9 per ico al anno, che tal debi- to , & dinari veniffero a refiar annullati. dimando quanti ducati douera sborfar e al prefente. y olendo foluer quella , & altri ftmilì,bi fogna reccar quelli 50 paga- menti a vno termino fola per li modi dati nel trattato del reccar a vn di più partite, eccetto,che in quefla la prima partita ha il fuo tempo feorfo mangi, ebe è vno mefe,& in quelli altri la prima era fenga tempo , adon- muc comincia a multiplicar li primi due. 9 per 1 mefefara pur 9 , & co fi li fecondi due. 9 fia 2 mefi faranno 1 8 .li tergi fia li 3 mefi fanno 27 , cip toft procedendo fin alli 5 o mefi finalmente lijummarefii infume. & quel- la fumma partirteli f li rf.450, et ne venir anno mefi 2 j tale ter-, mino fi doneria pagar li detti du,tf o in vno folo pagamento%et p abbre - Dell’-A ri thm etica uiar fatica ricoglierai tutte le vnità de vno fin a ^9 , per la regola iettct progre/Jionè naturale,cioh aggiogi i olii 50 faranno fi, qual multiplica f la mila de 50, che fono tf faranno ifjf>& quejla è la fumma ielle 5® imita, & quefta fumma, multiplica per li due .9 fanno 1 1475, & quejla ila fumma de auelle 50 multiplicationi per 9 fatta in lana fol volta, quà le partir ai per li duc.qfo,ne venir ano me/i 2 J come fi detto difopra et in tale termino gli dotterà dare li due. q$o,in vnofolo pagamento. Et perche quel tale debitor li vorria dar a qttcHd terga perfona atpre ferite, f contandogli a ragion de d.9 -\-pcr 1 00 alV armo , ér che lui poi habbia a fatisfar quello debilo,per faper quanto gli debba sborfar al prò- fente, merita duc.iooper mefiif ~ aragiottde 9 -J- per ioo;<£r tornò rano due. 1 20 -L tra merito, & capitale, bora dirai, fe duc.no -Jj feon tando tornano due. 1 00, che tornar anno due. 450. multiplica, cJ“ parti trourai ,che tornarano due. 3 jqgroffi 9 piccoli j o fe? fchiffati, c > tanti ducati gli donerà sborfar al prefente a f conto fimplice , & co/i farai k fintili . 5 * fe !20^-| erano 1 o o | che faranno 4 50 * 5 1 6 25 5 192$ 4JOOO 102 1 l 6 ■ — _ ■ . . : 3*075 O 1923 I 720000 I? 74 fe mefi 12 \midaD.9±mcfi »s "ir! >4? 10 *1475 8 490 79 8 D. 374 -Uh-» */• 5 moritur fe 48 1 19 1 J I 19 969 Calò decimofefto , occorfò reai- , mente in Barri; • *\\ cwf^v. • i': . <«.*\ \T7jp mere adante ha dato a vna vniuerfttà due '4 1 Soo, con quejli pat- ti ti, che quella vniuerfttà per 8 anni gli dia due. 4*0 ogni anno , d* al fine delti detti 8 anni li detti due. 1800 fiano ejlinti,& annullati, GT che il mere adante refi fadisfatto , dimandafi quanto guadagna per IO® all'anno il detto mercadante defuoi dinari t Tir far queSia,r ac coglierai tutte le vnità da vn an»o. fin alli 8 per W . • gola 'W . Libro Quinto. 297 gola della progreffione naturale, cioè aggiùngi i al 8 farà 9 , qual multi- plicaper la ± dii, cioè per + fari J6, quali multiplìca perii due, 45 o . faranno 1 5 1 io, quali ferita ; poi vedi quanto fi paga in armi 8 , a ducati 4*° a[ anno,& faranno duc.336 o, irora parti 15 no per li due. 3 360, ne venir anno anni 4$, & tanto farà a dargli li detti due. 3360 in ter - mino de anni 4 -L» quanto faria a dargli in 8 anni a due. 4 *0 all' anno ? & per tanto fottrando Scapitale, che fono li due. 1800 dalli due. 3 ;óò reflano due. 1 5 60, cr tanto guadagna il detto merendante nelli détti an ■ nt 4 4- con h duc.i 800, bora per trouar quanto vien a guadagnar per 100 all' anno, dirai, fe due. 1 800 in anni 4 -f- guadagnano due. 1560 che guadagneranno due. 100 in vno anno, opera, multiplicando 1800 ' per 4 -L- faranno 8100, & 1 %6o per 1 00 faranno 1 $ 6oqo , quali parti per ii j 00, ne vemranno 19 j£-, & tanto vien a guadagnar per 100 , cj- cofi farai le filmili . r me- ter- Cafo eferimofettimo, occorfo in Vcnctia nell anno 1545. ' [ 0 ho co™p*ato vna mercantiaper due. 400 de contadi, & quella * dejma ho venduta immediate a vn' altro per due. ss Giacendogli ter - Ter far quefla ridurrai prima li detti j pagamenti ad vno foto termi no, come nelle aUredue precedenti fu fatto, cioè aggiùngi ras fanno 6, JZ? ' che$lt,daal1 anno, farà 1*50, et queflo produtto de lem po,& due. par ti per li due. 5 J o ,nevenhranno anni 3 ,& tanto farà a dar gli in 3 anni due. 5 $ o, quanto a dargli due . 1 1 o all'anno in anni % & fjr trottar quanto guadagna in tutto , filtrar ai li due. 400 del capitale dalli due. s so, & reflaranno due. 150 , quali ha guadagnato in Zanni &P”‘rouarquantoguadagn*perxoo,diraifefondu^ fi guadagna due. t fo, quanti fe guadagneranno con due. 100 in vno an •1 . » *\ ^ o o | in ami 3 ji 5o|ioo/*i ? I Z O O J I 2 o O I I S O | o o ^ » I due, 1 2 5 guadagno riso 1 400 • a- 1 50 x 5 Ffff HO I 5 itfjo Cafo , DeirArichmetica ; Cafo decimoottauo . tolfc vna poffeffione a fitto per anni y a ragion de due. 90 all'an ’ no da effer pagati de anno in anno , &• alla fin deiranno , & fatta l'ìnflronftnto di tale lo fattone, il patrone battendo debi fogno de dinari dif feal finitale, fe mi voì dar tutti li dinari delli y anni al prefcntc,te li vo> gito feontar a ragion de io per cento all anno, dimanda fi quanti due - io •• uerà dargli al prefentc ? Ter far quella, er altri fmili,ridurrai quelli y pagamenti a vno foto, comenelli 3 precedenti fìt fatto, cioè aggiongi r al y farà 6, qual multipli caperla -%-dc ebo è 1 -\-fari l$,Cr queflo multiplica fia li detti due. 90 fari 135 o, & queflo ferua . Tot multiplica li detti due. po fia li y anni farà 4 ? o, bora partirai I J 50, prr 450» ne -venir anno anni 3 , eJr «/? /imo ridotti ad vno foto pagamento , bora feontar ai li due. 450 per anni 3 a ragion de io per cento all’anno dicendole 1 30 mi rcflano due. cento feontati per 3 anni, che mi riflcranno due. 4.30, multiplica, tfrpar ti, & troneraiyche refler anno feontati due. 346 yj- , & tanti duc.gli do- nerà dar al prefente . Et volendo ridar li y fìtti ad vno folo termino fempre aggiongi 1 fa- rà 6, & ftrnpre la -{- thè è 3 farà li anni , fi che in anni 3 faranno dm. /contare* anni y yc anno 1 y x\6 per 3 anni fi deueno {contare ' 450 . !.• 1 1. ub-pir • due. 130 due * 1 o o | 4 y o» IOO . . 3 I 0 I 4 due. y o o | <r , n 3 4 P \ — - donerà sborfare al prefente Delli meriti a capo d anno ò d altro termino, iti quattro modi .Caio dedmonono, 4 MErito a capo danno rò ad altro termin o è quando de merito fu merito > cioè che finito il termino di pagar il merito, & non pa gandolo ejfo merito diuenta capitale , come per ejjetnpio , fe vno bauejfc impreflato 1 Litro Quinto. 29 8 imprecato fcu. 300 ad vìialtro con. patto di laffargheti 4 annffpagaudoli a ragion di io per cento all'anno a far a capo d'anno, cioè che non pagati do il mcrito,e)Jo merito debba ni tritar a ragion del capitale a . dirai fefi .unto, ite faccio 110 per vii a mio, che farò Je 3 00, multiplica, & parti neveniranno 130, & tanto faranno tornati li fcu. 300 alfin ddl’annoa ditta ragione, cioè fcu. 30 de più, li quali non pagando dira, fc fcu. .100 mi danno fcu. 1 1 o, chem daranno fcu. 330. opera , cr ne veniranno fcu. 363, & tanto pagar à il fecondo anno , poi per trouar quanto paga - rd il ter fp anno, dir alfe 1 00 mi danno 1 j 9, che mi, daranno 36) .opera fimilntcntc ne venir anno fcih 399 fi-, & tanti ne pagar à il tergo anno fra merito ,&• capitale fempre intendo. poi per trouar ilmerito , ir capitale del quarto anno y dirai ancora Je cento mi danno 1 io , che mi durano 599 ji-, multiplica & parti ne veniranno fcu. 47 9 *4 +,& tanto gli douerà pagar il quarto amo tra meritori capitale, cioè fc.300 f ila pitale folo, et fcrt 39rL,f il guadagno’, òuer merito de inni 4 a capo 1 f an no.Et perche nel far ejfe ragionigli interuengono molti rotti, nel ridurre la prima, & terga qualità a vna medefma denominatione , li quali fono fatica all' epcrante,per tanto, fé farà poffibile bifognarà fchiffare la pri- ma,& feconda quantità,& operare al modo fitto , & acciò meglio fia intefo replico il medefmo merito , cr per trouar quanto farà debitor il primo anno tra merito^t capitale diirai,fe 1 o rni danno ( r , che mi daran no 300.per.che tale proponiate è<Li io alt iiquafè da 100 al no ton- de operando per regola del 3 trouerai, che pagarà 330, et cofi per il fe- condo anno dirai, fe tomi danno 11, che mi daranno 3 30, et operandoti darà 363,01 cofi replicando ne veniranno per il tergo anno fcu. 3 99 , i-, et per il quarto ne veniranno fcu. 4 5 9^ , maperche non fi può fempre fchiffare, per quefio hòpoflo la prima per regola generale, et queflo è ilpri mo delti q. modi. Del fecondo modo . JL fetondo modo di operare nclli meriti a capo d’anno , è che fi confide- ri, cheparte fia il guadagno del capti ale, & tal parte s aggiùngi a ef fo capitole tante volte fuccefjtuamente, quali faranno li anni, che fi vuol meritare, carne nel precedente effempio hai intefo, che a guadagnar io per loo , fi guadagna il ri~ delfuo capitale , adonque a voler meritar feudi 300 per anni 4, aggiungi al 3 00 il faranno 3 3 o , et tanto farà debitor al fine dclpnmo anno, poi piglia auebora il tJ- de 3 j o farà 3 j, quali finalmente aggiùngi allijat.330 faranno 363 , et tanto pagarà al fine del fecondo anno,fimiltnentc alti detti fcu. 3 63 gli aggiùngerai il 4* tfff 1 che DelPArichmetica che i 36 tJ- , et faranno fcu. 399 -fe , et tanto pagar à al fine del terreo an no,fimilmente piglia il rf de 3 99 7*-, quale 3 9 , et queflo aggiùnge- rai nlli detti 399 -\i faranno 4397»» et tanti fcu. dóuerà pagar al fine del quarto anno, tra merito, et capitate, come ancora baurfli al primo mo do, et queflo fecondo modo poffendofi ridurre tal parte a commoda deno- minatione,comc in queflo ejficmpiofù ridotta, che fu il r<- del fuo capitale è affai facile, et breue,comc vedi per operatone . 1 o | 3 o 0 3 30 363 3919 -k 3 9 9 -f, o 3 3 3 6 i 9 Va 3 J I O 36 b 3 9|H* t 3 9 Us Del terzo modo di operar . T) Er il tergo modo fi poffono meritar li detti fcu. 300, per anni 4, cioè A meritando prima fcu. 1 00 al fecondo modo detto difopra,cioh aggio n gendo al 100 capitale la \T parte farà I io, et al 110 ancora la » g-farà ni, et ad ejfo tii,la detta parte farà 1 3 3 fy» e t al 1 3 ; |y- finalmente la detta parte farà 1 46 rh » et tanto farebbono tornati li fcu.l 00 al fine del quarto anno, poi diretti, fe fcu. 100 mi tornano fcu. 1+6 che ri. torneranno fcu. iOO. opera,et trouerai,cbe torneranno fcu. 439 co- pte difopra,et cofi far ai le firmili fe queflo tergo modo ti piace . Del quarto modo. A'\cbora per vn quarto modo potrai fapere quanto tornano li dettr fcu. 300 al fine del quarto anno tramerito ,& capitale alla detta ragione de 1 o per 1 00 al anno,a far a capo d’anno, dicendole 1 o ritorna no 1 i,cbe ritorneranofeu. 3 00, & perche queflo operar per la regola del 3 fi ha da vfar quattro volte,pcrcbc fono 4 anni da meritar, per tanto ri - durai le 4.,multiplicationi in vna fola, cioè moltiplica 1 1 fiati fora 11 1, & qurfte fono per due volte, & poi multiplica 1 a I fiata forino 14641 & quefle fono per 4 volte, bora multiplica li fcu. 300 per 14641 faran- no 4391300, & queflo farà ilnumero daeffer partito,poiper far ilpar- titore,multiplica infime quefli 4 partitori, cioè io fia io fanno 100, & quelli fono per dot , & 100 fia 1 00 faranno icooo , & quefli fono 4 ri- dotti in vno.per tanto partirai 4392 300 per 10000 ,ne veniranno li fcu. 439 rll,& tanto donerà pagar per 4 anni a detta ragione tra merito, et capitale Libro Quinto. 299 capitale, & queflo è il più finirò modo di operar fernet rotti, perche fi par tema fola volta . r 2 000 0 2 o o | o o | fot. 4 j 9| »? o o oo t ì . Cafo vigefimo . \7‘ 7(o imprefla lire 6oo ad vn altro con patto, che'l debba pagar a fa ? Slon de d. ila lira al mefc a far a capo de 6 mefi, & li ha tenui i an- ni i,meft 6. dimando quanto gli donerà dar tra merito, & capitale al fine de detti anni a ,mefi6t Ter che htuefli difopra nelli meriti, che tanti dinari,che paga la lira al mefe tante v olle 5 paga il 100 al anno, adonque ad. 2 la lira al mcfe fi guadagna 10 per 100 al anno, adonque fi guadagna j per 100 ogni 6 me fi,& perche 6 me fi introno 5 volte in anni i,& mefit 6, che fono JO mc- fi,per tanto per lo quarto modo, come piu facile meritar ai lire 600 a ra- gion de ypcr 100 per ogni 6 mefit, che fono 5 capi, & perche tale propor tione farà dalli 20 olii a 1, qual è dal 100 al ioj, che è capitale, & gua- dagno,per tanto moltiplica 5 volte io, cioè dirai, 10 fa 10 fanno qoo,et queflo i per a capi de 6 mefi per capo,& 400 fio 400 faranno 1600000, & qucfli fono per evolte 6 mefi ,poi moltiplica anebora 160000 per ao furano 3 iooooo,& queflo è il tuo partitore, cioè per 5 volte 6 mefi , qual ferua,poi per trottar il numero da effer partito, multiplicar ai ancho ra 5 volte 11, cioè dir ai, 31 fia 21 fanno 441, quello è il produtto de a volte, qual moltiplica anchora in 44 1 farà 194481 , & queflo è' l pro- dutto de 4. volte 21, qual anebora multiplica per 2 1 farà 4084101 , che fono 5 produtti ridotti ad vnfolo qual multiplica per le lire 600 faran- ■ ' no 2450460600 » & queflo parti per il partitore feruato, che fu 3 2 00000, ragliandone 5 ligure, & poi partendo il rimanenteper 32, &• fchiffando ne venir anno L.j6<, , che fono qua fi lire 765 et tan togli douerapagar alfine de anni i,mefi 6,trà merito, & capitale , & co fi farai in ogni fintile cafo . Cafovigefimoprimo . \f 7{o tmprtfla ad vri altro lire %6ofo.\6 d. 8 a ragion de 1 o per 100 ▼ al anno a far a capo tf anno per anni 1, mefi 9 -±-.dima ndo quanto gli donerà dar fra merito , & capitale 2 » Ter DcIl’Arithmeucà Ter far quefia ragione, ma ita prima fcu. l oo per anni X,mtfi 9-3-4 ragion deioper 100 al anno, a far acapo danno , al modo tergo datarli- fopra,cioè piglia il~9 de 100 farà io, qual aggiogi al capitale farà 1 1 o ,et tanti farau/10 al fine del prima anno tra.fapuale,& guadagno, poi piglia anebora il 4* de 1 io faranno 1 r, quali ùmilmente aggiùngi al fuo viti - mo capitale faranno 121 , & tanti faranno ritornati alfine delli 2 anni poi per li rncft 9 fappi,che pagando d. 2 la lira al mef ? faranno d. 19 quali multiplica per le lire 1 * x Sfaranno d. 2299, d,e fanno lire 9fol. 1 1 éf.7 quali aggiùngi alle lire 1 2 1 faranno lireijofol. 1 1 d.y,& tanto fa ranno ritornate le lire ioo in anni 2 mefi 9 4*> bora dirai per regola dxl $,fc lire 1 00 ritornano in anni 2, mefi 9 -x-lire 130 fui. 1 1 d. 7, tb epi- tomar anno lire 8 60 fol. 1 6 d. 8, farai ogni cofa in d;uari , & poi multipli ca,& parti trotterai , ebene veniranno lire 1124/0/.! d. 4 r,l partendo per repiego per più facilità, & tanto gli donerà pagar tra mcrito,& ca- pitale al fine delli anni 2,& mefi 9 -f-,come fu propoflo , llcbefi poteua far anebora per li altri madama quefio mi eparfo più agile , & cofi furai .le fimili, (ferialmente quando è patto de tenerli tanti anni, & mefi f tuga altro (conto, onde è da notare , ebe qttefìi ragioni de meriti a capo d anno quando attangano mefi olirà li anni integri , fi pofiòno rifoluer in doi mo- di,fecondo ladiuerfita del patto fatto tra il creditore, & il debitore, per- che fe il creditore ifiiprefìa le dette lire 860 fol.iód.S per anni 2, & me fi 9 sfiniti li 2 anni, udii quali il debitore gli delie dar le lire 104» fol. 1 2 d. 2, le ditte lire fi deueno meritar a detta ragione per li mefi 9 ,& quello, che meritar anno, fi deue aggionger alle dette lire 104 1 ,fol. 12 d. 2,& faranno lire 11 24/0/. 1 d. 4 7\l.comc difopra: perche il merito vien 4 guadagnar alla ragion del capitale non effendogli altro patto. Anebora fe vno doueffe baucr da vn altro fcu. 1 00 per anni 3 a ra- gion de io per 100 al anno, a capo danno, & che ildebitor per non pa- gar tale vfura,doppo 6 mefi voleffe pagar , dico , che in talecafo donerà dargli fe non fcu. 105 tramenio, & capitale, quando effo debitore (fonia neamente offeriffe il pagamento ,er non li deue (contar flantc la conditio- ne del requirente, altramente feguitarebbe, che il meritar a capo d'anno fuffe di deter ior condii ione al creditore , che a meritar fimplicemente,pcr quella parte del anno , che maneba a finir l'anno , la qual parte deue meri tar a ragion de l' altre , perche colui , che voi meritar a capo d anno lo fà per batterne maggior vtile del fuo capitale, che a meritar fimpliccmente, & cofi repugnar ia alla intentione del creditore , come anebora fi può ar. guire per lalege Qui Romx. ff.de verb.oblig. Ma feilcreiitore,cbe doueffe baucr le dette lire 860 fol.iód.B ,co- me dàfoprapcr anuj 4 che finiti li 2 anni , & mefi 9 4 dimandale al dtbitor,cbegli voglia dar per qualche fuo. bifogno, in . quefio cafo è obligg * oo libro Quinto. to a /contargli per li mefì,7 -f- , che gli mancbano a finir tanno, perche tra prima obligato a lafjargheliper anni 3 integri , perche il querente è di dote rior condilione,cheil r equi fico in fimili cafi, & impero folueraila detta ragione, come difolto, venendo il cafo , meritarai le lire 26 o foi 1 6 d.S per anni ffilche farai facilmente fe gli aggi onger ai fucceffiuamente la fica -,5 par te, fin che frano finiti li 3 anni per il fecondo modo infrenato [opra il meritar a caùo d' anno. and* in d>ip d* riatti ,***>•; « • ». ' ' per /ar (fiujiOyPcai y eoe lire I in detti me fi a detta ragione de io per ( 00 al anno , che ad. ila lira al mefe torna fol.io d.3 ,onde feontando cofi arguir ai, dicendo, f e fol.20 d. 5 {contati per detti mefi tornano fold.zo, che tornar anno lire I r 4 5 fot. 1 5 •*•4 + opera per detta regola,#- tornar anno lire 1 i2ifol.j,d.Z $ , & tanto gli donerà pagar in detti anni 7, mefi 9 -J- a detta ragione,in cafo , che l creditore li richieda dal debitore, perche le parole cofi operano , co- me fonano, fecondo li giuri fconfulti . Siche fi coclude,chein alcuni cafi non effondo finito l'anno, fi deuefeon in alcuni fi dette meritar alla ragio- delti ami integri, la qual que filone fenga diftmguere non fi polena detcr minare, & in quefio errore fo no m cor fi alcuni jtrithmeticipr attici , perche fecondo il vulgato detto dellefchclc,Qui negaediftinguere negar feire. Et quantunque quefla forte de meriti fia prohibita dalle leggi humane & diuine, nondimeno Stanti filmili conditioni tra li contradiccnti,mi appa re, che fi debba operar a quefio modo, per che l^rit fonetica pr attica m- fegnali argumenti con ragione in materia de numeri, fi come la Logica tnfegna in ognifeientia probabilmente arguire r Dclli (conti a capo d anno ouer altro ter- mino in quairo modi dioperar . Cafo primo. C I come il {contar fimplice è conuerfoal meritar fimplice, cofi il {con* , tar a caP° à’ann° * (onuerfo al meritar a capo d'anno, & perche nel la operai ione del {conto gli occorre il merito, per quefio fu debifogno dop po li meriti trattar dclli {conti a capo danno, perche come dice il Tbito- fopbo , a quanti modi è detto vno delti eppofiti , a tanti è detto ancho- ra f altro . Et ' D clì* A ritli metìcà Et imperò fi come fumo infegnati difof>raquattrómodi di meritar a\ capo d'anno , co fi fi dimofirara anchora il f'uo oppofito in quattro modi , ebee ilfconto a capo d'anno, ór accio chefia d ogni cofa inanifefla notitia. poniamo, che vno debba hautr da va' altro' lire 160 in termino de 3 an~ ni,& trouandofì il cr editor in vno certo fuo hi fogno, dice al debitore , fe mi voleri dar al prefenteli miei dinari, te li voglio / contar a ragion de io per i oo al anno a far a capo d anno, ór il debitore fu cotento,dimaa do quante lire gli douera dar al prefiente . Primo modo. ^ ET per foluer queflo quefito al primo modo filmile al primo dclli meri - ti,dirai,fe lire i io feontando a io per i oo al anno, tornano feonta te L.ioo, quante torneeranno lire }6o,multiplica,& parti trouerai , che, tornar ano finito il primo anno lire 327 » poi per il fecondo anno dirai , fe lire 110 rejìano feontate lire 1 00 , che reflaranno lire ? *7 *Vi> mul- tiplica, ór parti trouerai, che faranno reflati alfine del fecondo anno lire 297 ■$, poi per il ter^o anno replicarai dicendo, fe lire no reflanno feontate lire 100, che reflaranno lire 297 , onde multiplica,ór parti , Ór reflarano feontate lire 270 -ffjr» qual rotto potrai far in fol.& d. al modo [olito, ór tante lire gli donerà pagar , volendogli feontar a detta ragionc,maper breuiar il conto febijfarai 1 io con 100 faranno li, & io, come nelle precedenti . Secondo modo: ET volendo f contar e le dette Ure 360 al fecondo modo, filmile alfecon do delli meriti, vedi che de no fe ne fa ioo,adonque fi perde ouer f capita la frparte del capitale , la quale nel meritar fù /c-f. , adonque delle lire 360 cauane la vndecima par te, cioè ^-qual'è 3 2 -4t > & refla- rano lire 3 27 fi-, & tante reflaranno in fine del primo anno , & di que- fie anchora cauane rf-, qual è lire 29 -4}, & reflarano lire 297 ‘h* Cr tante reflaranno al fine del fecondo anno, ór di queflo finalmente,ne caua rai che fono lire 27 » & reflaranno lire 170 -jìjp > & tante lirtglidouera dar at prefente, volendole feontar per anni 3 adettaragio ne, ór cofi potrai far le fintili . Tcwo I tatttt/V» cW Libro Quiteòr'l V» • hr.-Tftì . wwm j.5 - 3oi a nry » w.' «w n i:fcrf^» , ‘iì^Àjtn I4felb \\ 'lX.\W\ qVt^IO*? Y3L‘ ‘ÌaSKs! modo quarta de meritar . cvi^w T volendo feontar prr-it tcr^a modo ledcttefire 3 60 per anni ri ’ detta ragione, vedi che [e 1 io tornano lire ioó / contando ,ado'n~ qne f volte bifognarebbc thiHtiplu j,- per 1 oo,& arie bora 3 volle bifo- gnatebbepartirpet iio,& per ridar li multiptiiatorì àvno foto & co fili j partitori a vno fola partitore mnltiplicatai y volti ìoq,& 3 voi te 1 io, ma perche febi/fan do no con 100 fanno li,&- 1 6, per tanto di rat io fia io fanno 1 oo,eir quejiefono due volte, & poi iofia 100 fan no 1000 , & quelle fino 3 volte. per tónto hiuUip^a%Mfia-\oòo fan- no i 60000 , & quello fard il numero da effer diuifo, poi per trottarti partitor dirai, 1 1 fia 1 fidi ì'tfaUnu Hj#' qSAo è tvltmo partitori à-è 3 partitori rid< ni arn fola. bor parti 360000 per 1 ri», «* voteranno lire t-jo Jl^conteitifopra ptritnhHdolfnoii • tro**llt,& tante lire donerà pagar alprefettte,& quejìo è modo più fai le per fughe li rotti. , > 1 r J OT3 « «00 tóll hi It . ^ » * 1' »,r V. I " • « ■ V Quarto modo di (contar fintile al terzo de meritar . V/f i volendo rifoluere quefia ragione per il quarto modo fintile al ter IVA -p delti meriti pofto al fuo luogo difopra , a capo d'anno , il qual modo bfpeciedélla fhnplice pofittonefalfa, fe trotterai vn numero, eie fi pof].r 3 volte cauar la vndeeima parte fuccefftuamone fenga rottola fi - érti in Vit fubito, fetida pigliar L. ioo,rt qual numero fara i 3 fi còme di'- fopr.i. piglia adontitela vndeeima parte, cioè ,f- de i 3 3 1, qual' è 121, et refiar antro iz 1 o ,poi catta de quello 1210 la parte , quaPè 1 1 o refld- ranno 1100, et di quello ancora cavane la detta parte -fi-, quali iòO re ftaranno ro 00, poi dirai fe mi refiano 1000 Contando, che refiar anno r 1 aia . . I ° *SÌÌL° ^‘1 }6oooo I L.IJO % AiPli' W» OÒSti tW 51380 10 1 I I \JZ aìihW'f wj/jo. 10 . &<antii> %\ vur.kl: a i: OtfJO- •wa* Uvi^lWii 001 TìSot ibttc'<w u ».t y, ,«.i 1 O o 1 CSSS ttiVwWiv. Et 4 DeirAritfun$cica Et colendo prouar la detta ragione , offendo il meritar a capo d'amo tonuerfo al [contar a- tapad.' anno, Cvnofqrfi prona àflfa^ya, pertanto meritami I.170 -*,* $-pèr anni}, et trotterai che ne venir anno L. 3 60* et per v far il quarto modo del mer itar atapo d anno , multiplica 11 fi* . li cbchaucfiidifopra,farài2i,etpoin fia in fanno lJ}l*chefoni) 3’»» meri multipli canti ridotti ad vn foto . . Vero multiplica le L.270 -“f peritine venir amo 160000, qua li partirai per il produtto de 3 volte io, che fono 1030 ,nc vcniranno a- ji-e 360, come erano innanzi cbefuffiro fiorate, et co fi pronti ai le finti, ti conncrjanfente . ’ Cafofecondo de (conti a capo d anno. < \rHo datceua batter da vn altro lire 300 in ter muto de anni z,et meji V fat il tr editor trouanJofi in bifogno de dinari trjfe al debitor, fe tu me li vuoi dar alprefir elogilo [contarli a ragion de io per 1 00 a Jan no a far a capo danno, dimando quante lire gli douerà dar alprejente . Opera per ilter-go modo difopra , dicendo, fe no erano 100, quante erano 300, ma prima fcbijfa 120, et too per breuità faranno 6, et 5» adonquc multiplica 6 fia 6 fanno } 6, et quefio farebbe ilpartitorpcr tro uar li 1 armi, poi per li meji 6 , piglia tal patte del guadagno Ptr to° » quali me fi 6 d'vn' anno, che farà 19, jet col capitale infieme fara I IO, et fcbijjandoh prima, et la feconda faranno il, et io , pero dirai fe li erano 1 oMonquc multiplica ancora il fia ^6 fard 39 6, et queflo fard tuo partitore per trottar in vnafolapartitione quàto rejltr turno [cor#! in anni i,mefi 6, poipcr ridur ancora ymuUiplicatoriinyno fola, dirai. 5 fia $ fanno 2f,et io fia 15 fumo 2 <,0, ctqucjlo multiplica fra iao fa- ranno 7500 p, quali partirai per 396 ne verranno lire 1 89 fi -,qu^po trai far infol.et duutririfictto al rotto , et tante lire douerà dar alprejen te, fiorandoli per anni x,mcfi 6# detta ragione ,et fefujfiro fiati 3 ”**/* hauerefii tolto il £ de io, che fono 5, et moltiplicarlo con li altri, febif - fimdo, quanto fi può , et farai la tfiq operatone breuiffima , et volendola prouar breùf niente '.moltiplica le Lire 189 jHper 3 9Ó partitorejic vetri- ratinò 7 i ooo,qual parti per 150 ne venir annoia e 300 , come et ano pr* ma, ctcofi confomma breuifà provami Lcfintth . t . Cafo terzo, ó * y r , 0 l . r t ioueuadav ad vt.'altro lire 360 in ierbuno de anm x,mep},. y giorni 20, ma il creditore li dimandò al debitore , che gli yolefje dar allbora,cbegli filoniana, a ragion di 20 per 100 dtf unno , et il de bit- V ' .4P* •> v,,. * ", ■ • tWt"' Vy^V ' 1 -••T'T tèrni emptaque ^ dimando quante lire. gli douera dar alprefente,. Ter far queflof conto, vedi che [contando il ìiO, rcfla 190 , adonque fchiffando 1 1 reflano io, onde per li modi dati iifopra , multiplica lifia u fanno in, etquefio farebbe partitor per 1 anni, et poiio fia io fanno 100, et qucflo farebbe folo multfpUcator per 2 ami, ma per che fifone ancora li mefiti, giorni io, per trcuar il tergo partitor, et il tergo mul- tiplìcator, Tedi cioè parte fono mefi 3, giorni 2 0,cU vti'anno, et troverai che fono ^ d’vn anno, et tale partp piglierai del lo,cioè di quello che fi peonia per iób,ét far annoi. Bora dirai, che fqont andò /irkioj ,-J- refler.ir.no f. .100, et q'ncjlì riducendoli ad vita fola denominatone, et al- ti minimi /< Tràini dirai , cheli j 7 1 [coniando refian 0 360, bora il 371, multiplicarai col 1 21 farà 4489 1 , et qncflbfarà partitor Jota dell: anni 4 \ mefi f ìfydrìii zò': poi rnult iodica h 360 jia 100 faranno 36000, rt quefl &f.ir afolVì/hiiiiipftcato/ t,mc]i ) Sforni ao, horapotraf reflaranno L.$6oi mul tipi n:, et par!:, tremerai, cioè ti reflaranno L. 28$ -‘J’jì il qual rotto fa- rai ih fol.et dcn.et tante lire gli donerà dar al preferir, et cofi farai le fi- ntili in ogni parte dell’anno, et ancora fe gli fuffiero lircJolM den.appref fb,& a capo d‘altrotempo,percbe il tutto non fi può fcrfcerc, et volen- do'a prouarc cambia il partitor nel multipli cator , & il mitltiphc.it or, nel p.n-trtor, poi feguita, che Veder ai breuiffima proua . Et volendo far il detto [conto al modo di Frate Luca, merita prima L . j 6 o per me fi 8 c he man ebano a finir f anno aden. x la lira al mefe , che fono den. 16 j- da multiplicarper le lire 3 60, et poi far fi in lire, ne venir anno lire 25, quali aggiohgi alti 36 (^faranno lire 385 per anni j integri a detta ragione de 10 per cento atfatjnq , che fono a derni la lira al mtfe,&riduccndo lì dumeti ad vh' folo partitore, et ad vn folo mul - tiplìcator nc venir anno lire 189 \*n,ett.fhtc tiri gli doucrà dar al pre- fentc, volendo feguirpiu prefló I vjo , che la ragione , ma volendo fegttir la ragione, opera come difoprUi ». ìtWm - ftnuib uO 17 7$p deue batter da vii altro L. 300 ,in termino de 5 anni, delti quali ▼ 5 anni, 1 debbano andai bacai , ei $ pagatori , cioè al fine de anni 3 iebbe pagar lire 1 00 , & al fine de anni 5 altre lire 1 00, & finiti li 5 an ni debbe pagar l’alt re Hre\oO,& il creditore hauendo deb'ifogtipdé (fini ri dijfe al debitore /c mi puoi dar al prefentc le dette lire 300 fio te lo io glio [contar a ragion de io per tortai anno > a capo d'amo , & cojlui fi contento , fi dimanda , quante lire gli donerà dar al pref ente, vna fimilc Oggg 1 fi* » DeirAntbrocrioi fi proporla a! T ortaglia da vno H ebreo in y enetia.Ter far quefia *l(i taf radunano fi j pagamenti ad vn termino foto , ilchc flaejabene , fi fivo- lefpe / contar le dette lire joo fimpliccmente,mà volendole [contar a capo a anno, bifogna [contarle in j volte, cioè le lire i oo vi t ita e per 5 poiL.too per 4 anni, et le prime L.ioo per j anni, altramente [perderti np molti capi nel [contarle a [conto [implice ,adonqne cominciar ai a [colar le vii tuie lire 100 per 5 anni al modo offeritalo di [opra , cioè reducendo per ciafihaduno d etti [tonfi, che faranno J a vno [olp partitore, gravito [olo muttiplicatore,onde volendo J contar pre 1 00 per anni 5, a detta ruoti nc,diraife lire 1 io [contando mi refiano io©, che mi rcHarano lire 100, & [biffando la prima con la [cc onda [anno 1 i,ó~ io>> tdoncfuc moltiplica rai 1 1 fia 4 altri 1 1 vno doppo t altro ,&• faranno I$I©SI, 0 quejlo [a ràpartrtor per far il [conto de tanni, & fimilmente , multiplicarai io fia altri 1 o vno doppo t altro [ucccffwamenteitfr faranno \qoooo,&- quefio fimilmente [ara il moltiplicatore per far ildet(o [conto de 5 anni » adoqtie lo multiplicarai per le lire 1 00 farà looooooo, quali partir oip il desto partitore,ne venir anno lire 62 [0l, \ d. 1 o J»»-*, , & tanto reite- rano [contatele lire 100 per 5 anni, quali [erua , poi per trottar il [conto delle Urei 60 per 4 anni , multiplicarai 10000 qual è il multiplicator Jetli detti 4 anni fra lite 1 00 [anno iooOooo qual parti per 1464 1 par titor de 4 anni trouato al modo [opradetto , ne venir anno lire 6S[ol.6 d. “uìtì « tanto refìar anno [contate le altre lire 100 per 4 anni, fimilmen tc il multiplicator dclli j anni, qual e loop, multiplicatoper le lire ìop faranno 100000 quali partirai per i,cioi per ilpartitor fatto per il [conto de j anni a modo ietto , ne venir anno lire 7 5 [ol,t d. 7 , 0- tanto rtjlar anno [contate le lire 100, che fi doueuano pagar il tergo anno bora aggi onderai infieme li 3 proui nienti, & faranno lire 20 }fol 1 o 4> J> Infilando ti rotto, per breuiià,g*r tante lire donerà dar il. debitore al cre- ditore al prefentc [contandogli a 10 per 100 al anno, a far a capo d'anno conle dette condii ioni , & co fi farai le fintili •> come la narrai ione mofira. Cafi diuerfi de mcrih,ÓC preftanze. Cafò primo. VX0 a ™'*hroitr' 1 80 per me fi 1 ©,<*• in fine del detto tenti f » M iene receder lire 195,/w effer pagato fecondo il patto fatto tra tiroJmando « (he ragion fu prefiata te lira al/nefet ‘ 2U Libro Quinto. : -i 303 Vedi prima , che le lire \%o guadagnato lire i j in meft io , perche fottrando 180 de 195 refiano 1 J , adonquc dirai per regola del} dop- piale lire 1 io guadagnano lire 1$ io mefi tofihe guadagnarono lire 1 f io voo mefe ? Multiplica lire 1 io per lifuoimefi io faranno 1800, & cofi Le lire Imperi mefe farà pur 1 squali parti per x2oo,& poifcbìffa, tu rene ranno de lire al mefe, qual rotto troucrai,cbc fono d.tyC" ad. ila l. al mefe fu preflata,& coft farai lefimili. fx per prouarla vedi quanto guadagnano I.180 in meft io ad.2 la lira al mefe, cioè tnultiplica 180 per d. %o,ne ven d. 3 600, quali fanno L. queflo guadagno aggiorno a lire 180, cioè al fuo capitale farà l. ipi, come fù propofio . Cafo fecondo .* VE loprefia £.150 aden.z, la lira al mefe , & finito il termino il de bitor li rende L, 1 9 $ ,dimado quanti anni ti tenne a merito fimplice. Ter far queflo redi quanto guadagnano L. 1 50 in fu mefe a detta ra gione,multiplicando L.l^oper 1, fanno d. 3 00, quali fono fol.% 5, c ioèL.’ I 4 • poi dirai fe lire vna £ fono guadagnate in mefi 1 , in quanti mtfi fa ranno guadagnate l. 45 ,cioè la differenza de L. 1 50 alle L. 19 j, multi - plica, & partine venir anno mefi 16, che fono anni j, & tanto tempo li tenne a merito fimplice. La proua farai moltiplicando L. 1 50 per fol.6 all anno, cioè afoL 2 la lira ali amo, & faranno £.45 de guadagno in 3 anni, quali gionte al ca- pitale faranno capitale, &■ guadagno . Cafo teizo . • O \7 ~h{o prefia L. 60 per mefi 1 6 aden.j , la lira al mefe a merito fan- * plice, et alla fine del detto termino gli dette in tutto tra merito capitale fiorini ii, dimando quanto valje il fiorine ? Ter far quefia ragione , vedi prima quanto guadagnano le dette lire 60 , per mefi 16 a denari 2 la lira al mefe, & trouerai per li modi dati difopra , che guadagnar anno lire 8 , quali aggiùngi al capitale , cioè alle lire 60, far anno lire 68 , & tante lire vaifero li fiorini 15 bora partile dette lire 62 per 1 j ne venir anno lire [oidi io ,deaa- ri 8, & tanto valfe il fior ino . Calò PO t l*. T> ,'Q» vìpJV ? A tìo"*>W DeirAritlimeoti J- ■ Cafo quarto. oV-f an)Vì\ *&»»£. Qgjt 1NÙ QOI«T tst «(..Li \J “H? Pre&a i. 34 ^6 per anni j . poi s'accorda , che'l debitore gli dìa V al preferite lire zooo [contando a capo d'anno, fe dimani^ a che ri gionfù fcontatala lira al mefe, vna ftmile propóne Frate Lucttndla de- cima de meritis,ma falf amente la conclude . Onde per farla quanto più breuemente fi può , parti Ulne 345 6 per 1000, ne -venir anno 3 detti quali cana la rad. cuba farà t & dirai chf la lira guadagna il del fuo capitale, che vien a ragion de 20 per 1 00 all' anno, cioè a den.4. la lira al mefe che tanto fi , & cofi è rifai ta con tanta breuità.quantofia pofibile . Et volendo far vna prona breuifjìma , parti lì 3456 per 1-*- ne veni ranno 2880, cioè la terga delle 4 quantità continue proportionali Ke& quefta ancor parti per 1 -J- ne vaniranno 2 400 , & quejla è la feconda quantità delle 4 continue proportionali, et queflo finalmente parti per t 4- ne venir anno zooo, cioè la prima come/i propone . Terche partendo la quarta, per la prima, la rad.cuba del proueniente farà il denominator della proporzione della prima alla feconda , & trouà to quello li tr onerai de molti anni, & quantità, perche fé faranno molte quantità proportionali Je dirà che la proporzione dalla prima alTvltima ejfer comprila da tutte le intermedie fecondo la dottrina di Euclide Calo quinto. QV ante furono quelle lireche in anni 3 meritarono L. 1 5 o a dai. 1 la t lira al mefe a far a capo d'anno . Ter far quefio,vedi quanto guadagna la lira in tutto il tempo de 3 an- ni} & trouerai , che lire vna guadagna fol. 6 adonque de fol.zo , fé nefaf.26 fj-, bora dirai, fefz6-\'9 feontando tornano fio, che tornarti no lire 1 50 . lajfq la prima, & feconda in fol.& la ttrgà in lire, & mul Zotica , c ir parti trottar ai, che furono L. Iti et tante fumo quelle lire , che meritorno lire j 5 o a detta ragione . . ‘ Laproua farai multiplicando 1 1 2 per i j 3 i,<*r aggiùnger 528 fari 1 50000, quali parZi per 1000, cioè pery partitori, checiafcuno è io, & ridotti ad yno fanno 1000, ne venir anno lire 150, per il quarto modo da noi vfato nel meritar (t capo danno , quale la conuerfa della pre- cedente . Cafo 1 3 04 Libro Quinto. \ . iM _ì "l » • •»- Cafo (èrto, porto da Frate Luca nclii mcriti,nella decimaterza . Lire i io fumo [contate a dcn. a la lira almefe, & reflorno [contate L.iii 4> dimando per quato tempo fumo [contate fimplìcemcte? “Per far quitta , vedi quanto guadagnano lire 1 1 5 -f- in vn mefe a d. a la lira al mefe, ouero in vrianno a [ol.i la lira a IP anno, multipli cando le dette lire 115 fol.% ne venir anno [ol. ajo }p» per tanto dirai [e fol. a jo )%-fono meritati in vno anno, in quanti anni faranno meritatili rJ3 4-V,. cioè la differenza che c dalle lire 150 alle lire 1 1 5 {p. opera facendo li (/tremi in 1 3 efimi de fol.nc venir anno ami $,& in tanto tem po fumo [contate le lire 150 , che reflorno lire 1x5 > & cofi opera infìmili . Cafòfèttimo. \T 'H? ^eue hauer da vn altro finiti anni 3 vna quantità delire t & il "• debitor gli dette al preferite lire 3 6 1 , [contandogli ad.* la liraalme fea far a capo a' anno, fi dimanda quante lire gli pretto prima . Queflo quefno non voldir altro ,fenon, merita lire 3 6 1 per anni 3 a d. a la lira almefe , che fono 10 per 1 00 al anno. opera al quarto modo del meritar a capo d'anno ,multipUcando lire 361 per 1331 faranno 480491 ,quali parti per 1000, ne venir anno lire 480/0/.9 co- me trotterai utili altri quefiti rifolti a queflo modo, benché poteui ancho ra meritar vna lira per 3 anni a detta ragione, c ’T poi operar per la rego la del 3 .ma quetto modo è più facile . Quefito ottauo. \T T^pprefla lire 361 per anni 3 a far a capo d anno, & finito il termi V no il debitor gli refe in tutto fra merito, & capitale lire, fio dimando a che ragion fù prefiata la lira al mefe , quefia pone Frate Luca nella decimaquinta delli meriti nel quinto trattato della nona difiintio- ne,ma falfamente la conclude. Et per rifoluer tale quefito, bifogna trouar la feconda quantità prò - por lionate delle due medie pofle fra le lire 361 ,& le lire 480 fi co "e /è operato nella quarta di queflo trattato, cio^multiplica lire j6 i in £ DeirAriihtìctìcst I femedcfmi fanno , 1 303*1 quali multiplica fia la quarta quantità, che br 480 -tfsrfaà 6*6l$odf -fòrquaterifilntraintl fuo rotto multipli ' fondo per 1009 ,et aggiùngendoli 6 1 1 Jarà -*-**-’ '*J2'J del quale cauarai larad.cuba, ne venir anno lire 397 tante lire erano il fecondo ~ an- no,bora dirai felire 361 mi danno lire $91 fìsche mi darannmlire 100 mul:rphca,& parti , ne venir anno lire tio,adontruefi guadagna a ragion de xo per »oo al anno, cioè aden.z hftraé' tntfe , & ddfl furiale fintili . . ' r . . • ■ .no ' la.iAA n\ t , ' ' y Calò nono. . J • - T XTjyopreftaa vt^altro due. *0 a Capodanno per anni it & finite il \ terminagli dotte due. 31 -\-tra merito ,& capitate, dimando quanto gli doueua dar al fine ielprimo anno tra merito, & capitale, fra ragia li di quanto per 100 fu talemerito . Confiderà, che fono 3 numeri continui propor rionali ,de quali il primo b duc.t o,& il ter^o è due. $x £, & per trouar il fecondo , multiplica 3 1 fia io fanno 6ì$.cauane la rad. farà if, & due.* 5 doueua dar al fi- ne del primo anno,fr volendo faper quanto fi guadagna per iòey>dirdip 50 guadagna due. 5 ,cbe guadagnar armo due. 100, & guadagneranno 2 f, & tanto fu il guadagno per 100, potevi ancora partir j 1 jj-pfr *o,» cioè per la prima, sfarebbe 1 lattartela rad. farà I -J-, fiche dirai che fi guadagna il ~ del fuo capitale, cioè *S per 100 , come difopra,fr quejlo moilo èpiò facile, che ogni altro . u Cafo decimo. c ' 1 % . . / « r‘t v v V7\70 hnprefia ad vn' altro lire 27 per mefi 2 1 a capo d anno,et al fin del termino gli ritorno lire 4; tramerito,et capitale, dimado quato pagana per 1 00 ,et quato pago il primo anno per il merito delle lire ijt Sappi che fefuffero * anni integri hauerefti 3 quantità continue prò - por lionati, comenella procedente hauefìi , ma fono filamento anni r £de anno, adonqueponi, che teière v? pagaffero 1 eo.de merito geriamo di rui per tremar il merito delti mefiti, (elire 2 jmi pagano lirtzq f. X* co. eh e pagar anno lire 27 p. co.pcrcbe ti 9 mefi fono ~f ddf anno, pt' rò multiplica 27/U co. fia 27 p.-\- co.f iranno 7*9 p; 47 jP't: da partir per 27» et poi faranno eguali a lire 47 V che fiatarti* efifi^ 1Z9 p-.tZÌl°: p. un. e fini cguaU a Ur e^Utu ihwo»mfitifi{i- cando rLibroQuìntò. f 305 41 batterai poi 719 p.tf J- co.p.-{-ee.tgkdlia Ut) fott- io il minor numero dal maggiore, cioè 7 39 de it 1 5 batterai poi 47 ce.eguali a 486, par ti tutta la equation per li cen. cioè par -A- ce. blaterai ój co.p.i qep.eguafi 4648 ,di piega le co, fanno ? 1 , multi- pua :le in J, e medefmi fanno 992 £ giongili il numero farà 1640 £, (fi- /liquefo caua la rad, farà 40 di queflo cattane la -J- delle co.ciot 31 - \~reflano tanto guadagnorno le lire 27 al primo anno, & per faper quanto fi guadagna per 100 dirai, fe 17 guadagna 9, quanto gua ddgnarà ioo,multiplica,et parti,tronarai che guadagnò 33-\-per 100, loft farai le firn ìli, fe faranno ratio itali . i&tfe yoi,prouarla,T>edi quato fipaga al hnedelprimo anno, Irà merito, tt capitale, cioè aggiogi 9 alle lire 27 fanno 36, & tanto pagaria iljfecon do anno,dr li 36 mcritanolitc ia, che farebbono poi tirchi ini anni, ma perche non fono fe non li-f- del anno , adonqtie meritano folamente li ^ de lire 1 1, che fono lire 9, quali aggionte alle 36 fanno lire 45 , conte fùpropoflo. Et volendo trottar li megi de due quantità efìreme continue propor tio n ali propofle,vcdi nelle dignità ^ilgcbratìce po/le al fuu luogo inangt,che tatergpi il ceri. per tanto multiplica l’vltima per la prima, cioè per vita dignità meno di quello, che rapreftnta il numero eguale alle dette quanti- tà propofte, adunque multiplica 3 fiaty fanno il, cr perche fono 3 quantità continue propor tionali quello 8 1 farà la terga, cioè cen. adttn, que cattane lafua rad.quadrata,qnalfarà 9, (fi- tanto farà la fecoda quan tità,& trottata la feconda fi po/fono tro uar tutte per Ix regola del 3 fun data nella vigefima del fettimo di Euclide , dicendo fa mi da 9, che mi dar a 9, & mi darà 17, cioè laterga,& ejfendo propofio laprima,a quar la delle 4 quantità continue proportionali,vedi, chela quatta dignità è il cubo cominciando dal numero defignaco per la vnità, adonque per tro- ttar la feconda far ai la prima a ccn.cioè a vna dignità meno, che effo cu ho,per la quale multiplica e/fa quarta,®- del prod'ittjo cauarai la rad. cu 94, perche fono 4 quantità, continue pr opor tionali , & la quarta dignità Mgebratka cominciata dalla vnità è il cubo,adonque la rad. cuba de ta leprodutto farà la feconda, come per ejjenpio, fiala prima 3, la quarte 8 x farai 3 a cen. farà 9, qual multiplica fia 8 1 farà 729, del quale caua la v ad. cuba, (fi- farà 9, & .tanto farà la feconda , (fi- trouata la feconda per regola del 3 potrai continuar dette proporzioni fin che ti piacerà , (fi- fe faranno 5 quantiche la prima fia 3, & la quinta fia 243 , vedi nel ordine delle dignità . Mgebratice , che il quinto termino dal numero è il cen.de cen. cioè quadrato de quadrato, & il quarto è il cubo,ciat vnogra do menomi adonque per trouar la feconda, multiplica la quinta, per il cubo llhbh della \Wfca 1 * «- • Dcfl*Ari&ménca Ma primd,cìoò fatta a vn grafo meno, ehi la quinta, éiobmubipllia *7 fia 243, farà 6361, et di queflo cattane la r ad. r a. qual trovar ai ejjer 9, et queflo fard la feconda delle dette 3 quantità, onde fetnpre ridurai la pri- ma a lana dignità minore de 1‘ vltima vno termino , & con quella moki* plica l' vitina, tir del produtto cavar ai la rad. denominata dal1 "ritmi* dignità Algebratica , cornine indo dalla -unità, come per li effempij datti di fopraciafcbuno a pieno potrà intendere,& quefla regolai fondata netta. dcfimaoltaua,& decimanona diffinitione delfettimo di Euclide . Aia Sfolto più facile farà quejla altra via da trouar le medie quantità • “tra li cjlremi de quante vorrai quantità continue proportionali, porchetta proportene della prima a l vltima frano quante fi voglia farà compofia de tutte le proportioni intermedie co/i continue , come difeontinue per la detfpiahoi^i diffinitione del feltimodi Euclide . Onde partendo Cvltima per la prima quantità delle continue propor» tionali,ne venir à la dignità, che farà in tal ordine delle dignità Algebra, tricc, cominciando dal numero, che è la prima,qual farà lavnita dal nu- mero di effe quantità, & per effer megli intefo . Sia per e/fempio 3 la prima de 3 quantità continue proportionoli, tì* la ter ga fia a 7 , bor per trouar il denominator della prima alla feconda partirò 17, che è la tcr^a per la prima,cioè per 3, ne vengono 9, & qua fio è Ci nfo,ouero quadrato, perche egli' è la ter^a dignità per effer 3 quan- tità,& per faper la feconda ne piglio la rad.qualè 3,& queflo farà il de- nominatore della detta proportione,cioè della tripla -.adonquemult iplica- rò la prima, che è 3 per 3 ,ne venirà 9, che farà la feconda delle proporle quantità, & fe'l detto 9 non haueffe hauuto rad. difereta ouet rationale, baucria multiplicato 3 fa rad.9,& farebbe rad. il', tir tanto farebbe la feconda quali pur 9, & de 4 quantità continue proportionali offendo la prima 3 la quarta 8 1 per trouar la feconda partirò 8 1 per 3, ne vengono xq.& perche il cubo è nel quarto luogo delle dignità Àlgebratice, adun- que la rad.cuba de tifar* il denominator della propor tionc della prima alla feconda : adunque per trouar la feconda , come fefufji hrationalt * multiplicaro 3 fatto a cubo, che è laprima fia rad.ij cu. ne venir a rad» tu.jt9,la cui rad. cuba è 9, che farà la feconda quantità delle 4 continua proportionali , & fefuffero 5 quantità continue proportionali, partendo la quintaper la primate vtzisa il ce.de ce. ouero quadrato de quadrati del denominator della loro proportene, et fefuffero 6,nevenirebbeilpri tuo relato del denominator della lor proportione. Talmente, che partendo E vltima per la prima de quante vuoi quantità continue proportionali,nt ■vev.iravna dignità denominata dal numero di effe quantità, fi cheoncho ra per queflo modo fi potrà trottar la feconda, & per quejla feconda fi po- ttano trouar tutte l’ altre per la regola chiamata del 3 , mabifognafapet cauax A libro Quinto. 306 vana r le dette rad. come nell » nofiri algori fini battito infegnato a cauar ogni forte de rad.in infinito. Et accio che le predette cofe fieno pofle in pratticatfroponerem* C infra ferino quefito amaggior intelligmia pafio da frate Luca Tacetelo nel trattato de meriti C ritinto cafo^nà fdfamentc conclufo . • x-n; Cafo vndccimo . OCH \T'K? ha impreflato ad vn altro L.t$,& infine Jt anni J, gli ritornò V fra mcrito,& capitale a far a capo d' anno L. I oò, dimado a quan tiden. pi prefiata la lira almcfe,ouero quanto pagauaper ioo,& quan to gli doitcua dar al fine del primo anno tra merito, & capitale, & qpan to , il terxp,& quarto , & quinto anno i prima bifogna auuciffrn, che effendoó anni, che fanno 5, interualli di tempo, faranno 6 quantità conte nue proportionaliyde quali la prima è 25, la fella è 100, bora per tro- ttar la feconda quantità , ledi qual dignità (Igebratica è de nominata dal numero degli anni , cioè dal 5 cominciando dal numero tronetai^pho. la quinta dignità è il ceÀe ce. bora ridurrai 3 j a ce.de ce. farà j 90619 , quel mulliptita fin la feila qu.nuuà,ehè fia ten.farà *$062500, ef que .fiapoi farà vita dignità dettomi /tata dal numero della quantità che fo- no.6, (ioè vuo grado piti alta clte'l numero multiplicante. adonque diruti, thè farà V no primo retato, qual' è la fefia dignità per ordine cominci jn- ' do dal numero , adonque la radice retata de quello prodotto , cioè de 39061500 faràla feconda delle ó.quautiià continue proportionaii, et* volendo faptr quanto fi pagana per cento alt 4nno, dirai per regola del q, feij mi da de guadagno rad. relata $9061500 m. 15 , quanto mi darà tento, multiplica prima per cento, facendo cento a relato fori rad. relata 39061 5000000000000 m.i 500 > quale partir ai per 1 5 facendo pri- ma 15 4 relato per partir Ut prima quantitài& l'altra, cioè il 2500 par tirai fimpltcemète^cioè parti 590615000000000000, per 9765625, cioè per il relato de 35 , & pài 1 J 00 , perii ne ventri 'radice relata 40000000000 m. cento,et tanto fi guadagnerà per cento , & partendo per 5 ilguadagno,chefi fa per cento, ne venir anno li dinari , che guada gna vita lira al mefe,come hauefti nel principio deili meriti , & troice- rai che la lira guadagna al ìetefenfl. retata llUòoooom. 20, ma per Irouar la terga quantità, dirai , fé 25 mi da rad.relata 390 62. 5 00, che mi darà rad.relata 39062500, muitiplica,cr patiti, tr onerai, che là tèr ‘ga quantità farà rad. relata i 563500 00, poi per irouar la quarta qitau tua 1 dirai, feti mi da rad.relata 39061/00, elicmi darà rad. retata 15 62 5 0000, multiplica.tr parti ti darà rad.relata 625000000 , et* tinto forila quarta, pai ptr trottar la quinta Slmilmente dirai , fe il reta t: Hbh h z to ò o £ DeirArithmetica todez 5 mi da rad. relata igo6i^oo,chemidarà rad.re.óifooooooi. multiflica,& partiti darà radice relata a $00000000 , & tanto fard ' la quinta quantità* Et volendo prouar ft la fetta quantità è cento, come fu propoflo, dirai Ùmilmente, fé rad. relata 9765615 mi dar ad. retata 59062500 , che mi darà rad.relata 2500000000 ,multiplica,& parti ti darà rad.reLt- ta 1 0000000000 , &tmto farà la fetta quantità , la quale dirotta farà cento, come fu propoflo . ' relato 1 0000000000 [ioo_ prona. • la lira guadagna rad.relata d. 1 2800000 m.20 al mefe. " \'\ . 1 T * ' . » > % ) T* * Cafo duodecimo. ’KT'HP impretta ad vn" altro lire 6 , et colui gU rende incapo de 1 anni V l.io a far a capo d'anno, dimando a quanti den. fu prettata la lira . al mefe i Quefio quefite propone Frate Luca nel trattato de meriti al cafo 43,. per tanto volendolo foluer rettamente debbi confiderar,cbe fono ì,qua n tità continue proportionali^le quali la pr ima è L. 6, et latenza è lire 30. onde per trouar la feconda per le ragioni date difopra, multipli cu la prb- ma fio la terga fanno 110 et la r. no farà la feconda. onde dirai che L.6 tornano alfine del primo anno tramerito,et capitale lar.xio, adonq ; f fapcr quanto ft paga per cento,dirai fe 6 mi da rad. 120, che mi darà cen to, multiplica,& parti al modo de radici, trouar ai, che’l cento tornar à. rad.}$33} -J- tra capitale, & guadagno, adonque il guadagno foloper cento farà rad. 3 ? 33 3 -f- m. cento , cr perche fu detto che partendo il guadagno del cento per 5 ,ne venir à tanti foldi quanti guadagna la lira al mefe, adonque partirai rad. 53353 -J- m. cento peri facendo 5 a qua- drato par partir il primo nome, ne venir à rad. 1353 -y-m.»0, & tanti dinari guadagna la lira al mefe, & co fi farai le filmili „ Cafo decimoterzo . mA • \f prejla ad vn’ altro dinari nonfo quanti , ne a che ragion la lira- V al mefe, ma quante lire gli preflò tanti mefi gli fece termino , & a tanti dinari fu meritata la lira al mefe, Cr alfine del tempo riceuete de mer ito puro fol.ii, dimando quante lire gli prefiò,& quanti mefi gli fece Umino,Cr quantidinari pagò la lira al mefeì Qucflo propone Fratelli. libro Quinto-:! 307 «* nel trattato de meriti al cafo 3$ , il anale quefito foibe per algebra , ma volendolo folucr breucmentc farai li foldi in dinar sfaranno den.z 1 6, deUi quali tonane la rad. cuba farà &,et L.6 li prcflù, et a dai. 6 la lira al me fe per me fi 6, et co/i li fonili, etc. La prona fiir ai fàcilmente che lire 6 in mefi 6 la lira al mcfe faranno foldi is. Cafo dedmoquarto > pofto da Frate Luca al cafo dedmofèfto de meriti. v " ■ » ♦ ,», . t x ft. ., . . . - y y , • \f 'tfprefla a vn altro lire no a far a capo de 7 me fi ad. 2 la lira al me ’ fe> dimandali quanto farà prefiata la lira al mcfe a far a capo de 6 me/i, in me/i 7>€&" quefio quefito ha quefio fenfo , cioè lire 120 guadagnar- no vna quantità de lire ad. zia lira al mefe,a far a capo de 7 me fi, diman do le lire no a quanti d.la lir a al mefe ne guadagnarono altre tante in 7 mefi a far a capodeómcfi. Ter folucr quefio quefito al modo fuo,merita L.i2oad.i l alita alme fe in 7 mefi,et meritar ano Z..7, quali gioie a l capitale forano Z.. 1 27 trà ’ merito," capitale :hor poni che la lirafia prefiata a 1 co.de d.che in 6. me fi fono 6 co.de d.che fanno fthijjando co. de L.et tato guadagna L. 1 in 6 mefi, et per faper quoto guadagnano L. 120 piglia -4 ‘co. de L. 1 20, ne ven 3 co.de liie,& qtiéfio è per 6 mefi, tefìd a meritar per vn mefe, ma prima merita per altri 6 mefi al modo fuo , onde meritarai lire 120/M caper co. far anno 3 co. delire p.^ cen.cioè dirai per la regola del } , f*l<™ l mi danno cu.de lire in 6 mefi, che mi daranno lire 1 200.2 co. dot: ti daranno 3 co.dc lire p. -J# cen.come difii, quali aggionte a lire 1 ao p.3 cc.f.nno lire izop.6 co.p.-\*cen.& quefio è tra capitale,& meri- to in capo de 12 mcft,& noi debbiamo meritar per 7 mefi , & habbiamo meritato per 5 mefi de piu a 1 co.de d.la lira al mefe , & però dirai in 5 mefi lire 1 merita 5 co de d.che fichi (fan do fono -*j co.de lire, onde feontau do dirai lire I p- -Jj co. in 5 mefi tornano lire 1 , quante tornaranno lire liop. 6 co. />.-*. ccn.hor muluplicalire 1 fialire 120 p.óco.p. ce. fanno quel medefmo , qual parti per lire 1 p. ^ co. ne venir anno L.iiop.óco.p.-^cen. „ „ •fimi de L.Tp~d~cò. * & <ìuWe fararìn° eguali a lire 1 2 7, come era- no l altre, lena il rotto multiplicando lire 127 per il denominator delrot to,cioiper 1 -£j tco.farà njp.t co. & quefio farà eguale a lire 120 p-6co.p.± ce. agguaglia le parti leuando da* vna lire 1 2Q,& dal' altra, le a co. refiano 3 co.p. fy ccn. eguali a 7 parti la equation per li ten, cioè per •^pce.nevcnira^q.-j^co.p.i cep.eguali a 93 -f- dimenale. co*. , ■*. DcH’Arfth metili ro. & moltiplica in [efori 500 -rfj/- » <Pt^* aHS*onP ^ numeri, cìoìa 9i -f'/arà 593 ffjy-, & la rad. di queflom. la-f* delle te» r altra U toj'a.ctotrad.ìvi m. 22 *{f, & tomo guadagna la L. al mefe. Ma facendo qucfla ragione al mode voftre infegnato difopra neUimeri Ù a capo datuto, quando fi volmerkar ima parte del anno , per il quale fi conformiamo con Tricot 0 T artaglia, cominciar emo inchor,eomedifopra, a meritar lire no ad. 2 la lira al mefe per mefi j,& tornar anno fri me rii 0,0' capitale lire 1 3.7, lw pongo, cip UUrajfia merit^tq ebehi 6 mefi [anno 6 co.de,d. che jcbijf andò [orto co. de lire , & tante guadagna lire 1 lrì6ntfl,&per‘fAptrq»itr>gfiddaffiàn*lirc ito piglia ’ —co.dc 1 20 ,ne venirà 3 co.de lire, & quello è per 6 mefi , refia a meri tar per vn mefe, dicendo fe lire 1 mi danno- -fa co.de ltrtf ebe mi dat&l- noltre.iop.j co. multipUca,&' partine veniranno^- co.p. 4* cen.qdalt aggiògerai al capitale, cioè a lire 12 op.J CO. faranno lire lìop.J i c9- f , p. -fatai. eguali a 127, lena li fuperflui batterai 3 -4* Cd.p.^t cen. eguali a 7, parti la equationper lieen.ne vemrauno ±fkrcA.pA\cen,eguali 4>$ 69 dimena le co.fanno 140, multiplica in fe fanno 1 9600 giongilo al nume roycioìt a j6o,ne vira 20ìóo dalla rad.del quale cavane la-fa delle cofe batterai per la valuta della co.ra.201 60 m,i 40, et a tanti dinari fùpre fla la lira al mefe, che fono qitafi d.i,cr cofi farai le ftmili. Vtt ’T; Cafo decimoquinto: T ‘ ' T . ■ • - • • « * . # , \T7ft imprefia ai vn' altro fcu. non fi quanti , ne a ragion di quanti V per j 00, & al fine del tergo anno colui gli refi fra merito > & ca- pitale fcu. 64 meritando a capo d ' anno, & gli lafciò ancora dot altri anni alla ragion delli primi , talmente, che al fine del quinto anno gli refe trq. merito, & capitalefcn.11 3 -fa, dimando quanti fcu. gliprcflò il primo ankt>,& quanto fi pagò per iùo di merito, & quanto fò debitore tl feco do,& tergo,& quarto anno ( Ver folucr queflo vedi, che tra tifine del ■tergo anno, nel quale pagò li fcu.64, & il fine del quinto, nel quale pago ti fct». 1 1 3 — gli è di megp il quarto anno, nella continua proportiwut- lità : adonqueper trouar il merito, & capitale delquarto anno, multipli* ca 64 fi a 113 faraif.no - del qual cattane la rad. tic venir à 8 j -p> & tanto gli era debhoY al fine del qttlno anno ir 4 meritò , & capitala bora tu ba i l' ultime 3 quantità delle 6 continue proportiondi, per jnegp de quali potrai trouar tutto l altre, adunque metter ai cbc'ió^ct 8j -fa fi ano le due vitine de 3 quantità proportionali, delle quali volendo tro- uar laprima quadrarat la mcganatcbe i 64 , & farà 4 096, CT queflq parti per l'altra, cioè per 85 rr *?■ b £f*»M delle. f*«*r s i ✓ LitóQafiitoV r 3 08 te 3, fi che finhora dotte 6 quantità ne bai note f -ultime quattro , cioè 48 1 64 ^ &5 -j-, & 113 -f-, & con qnrfle poi veder quanto fi paga per loo di merito, dicendo fe 48 mi da 64, che mi darà 100, & troverai, che f paga di merito 3 3 -j -per 1 00. fimilmenteptr trovar H merito, dr capitale del fecondo anno dir ai fe 6 4 mi da 48* , che mi darà 48-1 òpera troverai che ti darà 3 6,& tanto fi donata pagar al fine delprmo anno, tra inerito, & capitale, & per trovar il capitale futilmente dirai fe 48 , dii da Jfi thè mi dar à ) 6. opera, £r ti darà zj, & tantifcu.gli pretto il primo anno , a ragion de 33 -j-per too,& cofi hattemo ri fiotto a tut- te le dimande intorno a queflo quefito . v ' . - V 1 fecondo terzo quarto quinto fello anno primo anno fin. 17I3 <5)48 4I8 y-f- |i 13 -J-| Cafo decimofèfto . V ff flit \TìÌp imprefia ad va’ altro L. 100 a rdgion de 10 per 100' alT anno a V capo d’anno, & li tenne tanto che al fine gli ritornò L. 200 tra me- rito,& capitale talmente che indoppio il capitale, dimando quanti anni li tenne a ponto . Ter far quefia ragione redi quanto tornano le L. io q a detta ragione tea merito, & capitale il primo anno, poi il fecondo, & poi il terzo fe fia bifognofin che troui ami integri, & tro aerai, che in anni 3 faranno tor nati £.172 -f- per li modi dati difopra in più luoghi, hor redi quante L. mancano per aggiùnger fin alle lire 1 00 , & fottrando , trouerai che gli mancano lire 27 -f-, quali ferua. Voi redi quanto torneranno le dfyc lire perii quarto anno a 0.0 per 100 all' anno, dicendo fe $ tornano 6, che tornaranno 172 -j-, et trouerai che faranno ritornate lire toj-t. ,fioiiredi quanto tornano le dette lire 1 72 per il quarto anco , dicendo fi 5 tornano 6 , che tor- nar afino 172 ~ , & trouerai , che faranno ritornate lire 207 ~ la differenza de quali è 3 4 ji- , qual'l il guadagno d'vno anno integro del- le lire 172 -}-,per tanto dirai, fe lire 34 §-mi danno pomi 360 , cioè »»’ anno per trafficanti cotnmune, <! Y-pfato , quanti gtortfi nudarti»- «olire» 7 *L ,multiplica , & parti, & ti daranno £«n-ni 283 , che fimo mtfi j} giorni 13 quali aggiorni atti anni 3 , faranno anni 3, tue fi 9» giorni 13 -J-, & tanto tempo fi dette tener ger indoppiar il capi- ule, <jr fieno tornate lire aco . * ~ Et k set DeH’AritHmetia':! i Et volendola prouare meritarci tireioo , per anni 1 > IHtfi 0 » £*°r* vi i j -j- a *o per ioo all'anno a capo i' amo , ouer aden. 4 la lira almefe,& ritornar anno lire »oo aponto, & per far lo, vedi prima qua* to tornano in 3 anni a detta ragione, & tornarttnnp lire ijifol.ió,cioè, lire 17 2-J-, poi vedi quanto meritano qmflc a den. 4 latita al mefe in meft 9 giorni 1 3 -f , cioè prima troucrai , che la lira guadagna indetti mtfl dr 7* v^mWMmmaÉarn^ $5*8,. faranno lire: den. j 7 1 172 -r *** *ti\ un* »-rA — 8640 L I b 1 2931760 34® 9 ftbWT, 7«w Si?!8+ : rj parti perj 19584 | • s 34 :n»V. '««m 34560 15920 : - ,93760 fanno den. 6528 >7 .5 **cfi9-9 fai- 544 L. 17* fot 16 aden.a,W • , !.. 27 fol.-i 27 fol. 4 ' — — tornano L.100 fol. ; .. r 3 6 Vtoi?k4felto»bAct^oWn -.r-T • * TOrnn\ttw» v. /,: la lira guadagna den. *74* Trattato vtiliflìmo de tranfporratione , 6C ' compre, & vendite diuerfe. > r * r -norn^oc Quelito primo V. oaVYWM OW*W^ -lai V.U , b DM •,n D à."1' A msì t&Tw^n » V ,-*• '.-rfy •> *4- \H •V "ì t -S- J^vià-WTt *v .C T quanto per 100 « '• * -v» -Jfueflo fi può far principalmente in doi modi, cioè vedendo pgHta qua* to vien la lira a due. 1 * grofjù9 il 1 00, & poi veder fc cofia più , ouer meno de trofi 6piccolh,& poi veder quanto guadagna , ouer perde. x Per ‘ i 1 ^ ' ' « % • t;:.* • I ' i f - Libro' Sefltf.1 CT 3 o 9 per 1 00 • Mi fw facile farà a veder a grani 6, pice. 2 la lira quantp vienil ioo,che moltiplicando trotterai, che vien d. 26 grani 1 , onde di- rai fcduc.ij grani 9, tornano d. 26 grafi 1, che tornar anno due. xoo. fa- rai tutto in groffi,& moltiplica , & partine vem iranno grofji 267 ) $• quali tornar ai in duf.ne venir anno due. tu grò. 9^. dalli quali fonta- ne 100, rejlanoduc.ii. grò fi 9 $ fchiffati , & tanto fi guadagna per 100, & quefla fi patena anchor far per altro modo,& le fimili . * V-; Uv'.i ■ • .»■ • , »■ Quefito fecondo. IO compro il peuer per due. 96 4- il cargo , & vno cargo è lire 400 , & poi lo riuendo a minuto per grofji 5 ~ la lira, dimando fé guada- gno,oucr perdn, (Jr quanto per 1 00, & quanto guadagnarò, ouer perde- rò in carghi 14 -j-, Terchein quefla ragione fi dimandano 1 tofe, vedi prima fé tu guada- gni, onero perdi in vno cargo, però moltiplica lire 400 per grofji S j,«t venir anno grofji 2200 , quali parti per 24 , ne veniranno due. 9 1 -J ; cioè ducati 9 1 , groffi 1 6, & già è manifefio che fi perde , & per faper quanto, fottraduc.91. grojji l6,de duc.gó.grofjì 12, rejlano due. 4. grofji 20, & tanto fi perde in vn cargo, & per trouar quanto fi perde per 1 00, dir ai fe in due. 96^, fi perde grojji 4 che fi perderà in 100, moltipli- ca & parti al modo de rotti, trotterai, che fi perderà duc.q.groffi o, pic- cioli 6 |-J* per 100, & volendo faper quanto fi perde nelli carghi 14 -j-, moltiplica 24 -J-per due. 4. fchiffati, ne veniranno due. 1 1 7. fj- , dr - tanto dirai chefiperde,in carghi 24 cioè due. 117 grofji 14 piccoli ti -j-t, & cofi in fimili. Quefito terzo . IO ho comprato lire 8624^ fapone t>er due. 14 -J-/7 100, & poi lo ri- uendo a minuto a fot. t , den.6 la lira a moneta di Vcnetìa , dimando fe guadagno ouer per do, & quanto per 100, & quanto guadagnar», ouer perderò nelle dette lire 8 6 24 . Trima vedi quanto viene il 1 000 a ragion defol.2, den. 4 la Gra.mul tiplicando 1000 per fol. 2 & partendo per fol. 24 ,cbe fono Gre 6 fot. 4 valuta del ducato corrente, ne veniranno due. 20, & fol. 20 , & com- prandoli per due. 14 -j-, cioè per due. 14, fol.62 , fi guadagna due. q.lire 4, fol. it per migliaro . Voi per faper auantofi guadagna per cei to dirai fe ducati 1 4 -f guadagn ano ducati ),lireq, foldi 2 , che guadagnar anno Uii du~ L Dett'Arithmetica ducati te», entra (chinando d'traì,fe 14 -*-»/ danno- fatati q *{• che, n, daranno ducati Joof* mnluplica , & parti ai modo de ivM trotte- rai, thè guadagneranno due. js> & tanto fi guadagna per cento, & per faptr quanto fi guadagna in tutte quelle lire 861 adirai, fe m lire io®, io guadagno due. s g-, cheguadagnarò mlire%6 24. opera «rfmoiodi rotti, & trotterai che guadagnami duc,+9 gnffi 19 cofi far a ' le filmili, atti fondo il lettore di quejlo libro, cheinnan-gjche agpon- gi a quelli quefiti , prefuppono ebefappia li Mgorifmi (ferialmente de integri , & rotti infognati nella prima parte di qutfla nojlra odrithmeti- ca integra . Il Fine del quinto Libro dell" Arithmetica . J - . 0 .! .’t * ' ~ * ( • : j. :r:; *•: . C- . . .v * |f - • *»• • v •* , ..i i- . / ■ J 0*1 * » "A* » ‘ «t,«4 1 c . - «w3-'' ^'5 . o i* , ! O UX-Vftb 3M » 5 *V W>» r Ìh«<\\\ t*J»l -i; it'o * w Ws't^ ■ w w ^ » J . OO I ->n ‘-VJ; • • ,»Vi l\ 3*.' j 1 -t ° O » ! • ^r-. V-ià 0 »-V- i l », \ ÌVuO * *'* •. f * 1 . . ** • « ♦ •' V (\i u U. Oi' O- | A emnw t o'.*,iv. - ?%.-S;5,VV^ ••• iróau-t .lì1 Cl'< ;> .t, ■. rj DEL.- che venir a lire 6 15, bara dirai [e jp6 , erano 1 00, che trotterai che erano lire > & tante Ut e v alfe, cioè n ro, & ponendole f.er lue éjol^jfe vaniranno ducati DI GIOSEPHO VNICORNO •viirna a. Regole di comprar ,& vender con determinato guadagno, ÒC del inùeftigareli capitali, & li guadagni, òcperdite in tutti li modi vtililfi- '<j linea mercadantì,&: ragi oneri . Quelito primo. | £ n quanto debbo comprar il 1 00 del ■gucca-. roj me rivendendolo , poi due. ji il 100, io guadagli a ragion de n per 100 . Dirai per regola del] fenz fujje 1 00, che farebbe 38, rnultiplica , & parti trotterai chefaranno due. 3 3, grojfi a , piccoli a 5 & per tanto fi donerà comprar volendo gua- dagnar a ragion de 12 per 100. Et volendo provarla dirai io comprò il 100 . __ MI ^uccaro per due. 3 ) grpjji z.piccolì 2 5 che ridotti in parte de due. fono due.]] j*- come viene nel primo parti - mento, & poilo vendo due. 58, dimando quanto ft guadagna per 100* <T dirai fe 33 ’J- vengono 38, che venir anno 100," rnultiplica, & par- ti ne venir anno 1 la capitate, & guadagno, ■& coft in J imili procederai. fecondo. trovo a guadagnar a troverai ° ? DelTArithmcticà T * ^ A r' ì 1 T H ì . T T£I /' A J Jl .hi C-t AJilJ1QUefitotcrZo. r . « __ r . r~§ ' i ».* ✓vt r^v T /'tf ? ** ▼0 >eti^o il panno baffo per fol.^6, il brago con guadagno de 6 per ioo X per lir animando quanto mi coftò il bramii . Dirai fe foLzf capitale ,& guadagno erano fol. 20, quanti erano fot. j 6 , multipli a, & parti troverai cheti cofiò il brago fol.27, den.8 ij-, <jr tutte le pr onorai fapendo conucrtirevna ragion nell'altra, come am- piamente fu ditto nella regola del 3. . Quefito quarto. 'V * -* IO ho venduto vna mercautia per due. 46 con perdita de 12 per 1 6o, dimando quanto mi cofiò de prima.Jottra 12 de 100 recano 88 , poi dirai per regola del $.fc 88, erano 100, quanto erano li ducati a6,mul- tiplica, & parti trouerai che erano due. s 1 -*7 > & tanti due. mi cofto . Quefito quinto. PEr quanto pagai la tira della canella, che rivendendola groffi 1 J la li- ra io f capitai groffi x per duc.cauarai groffi a de groffi 24 ,che va- le il due. reflano graffi u.dapoi dir ai, fe groffi 22 erano groffi 2 qcheer* no groffi l 5 ,multipHca , & parti trouerai che erano groffi 16 piccoli 1 1 JL, cJr tanto coftò la lira deprima compra . “ Et volendola prouar fottra groffi 15 de groffi \6 p. il if reftanogrof ftlp.lt jj-, per tanto dirai fe per groffi 16p.11 fi perde groffi 1 pie coli 1 1 t£-, che fi perderà in groffi 24, mulyplica, et partine ventri, grof fil, & tatto fi f capita per due. come fi propone . Quefito (èrto . VEndendo il giucaro fol. 1 Ione, mi trono a perder 4 per ieo> diman do quanto mi coftò la lira . Fedi prima a fol.l l‘onc. quanto vieti la lira, che ventri fol. 24. poi dirai, fe 96 erano 1 00, quanto erano fol. 24, multiplica, & parti trote rai che erano fol.z<i,& tanto coftò la lira, <*r connettendo la proverai . Quefito («timo. 10 vorrei comprar caneuagjo a lire 14, il 1 00, cioì braga 1 00, per lire 24, dimando volendo guadagnar fol.q per lira , quanto lo debbo ✓ vender i Libro Scfto. 311 vender il 100, dir nife lire vna fi fanno fol. 14 , che fi faranno lire 24 , multiple a, tr parti faranno foL 57 6, quali farai in lire faranno lire 18 fol. 16, & tanto fi donerà vender il 100. Onero multiplica fol. 4 de guadagno per lire fia lire 24, faranno fol. 96, che fono lire 4, fol. 1 6 , quali aggiongi olii 24 de capitale faranno li re 1 5 fol. 1 6, come de prima t Quelito ottauo, IO còmprola feda per lire 9 fol.6 la lira , dimando volendo guadagnar fol. 18 .per feudo che vale al prefente lire 7 , quanto la douero ven- der la lira * Dirai fe de lire 7 ne voglio lire 7, fol. 1 8, che vorrò de lire 9 fol. 6. fa rai tutte le quantità in fol. poi dirai fede fol. 140 faccio fol. 1 j 8 , che fa- rò de fol. 1S6, multiplica, & parti ne venir anno al fine lire io fol. 9 ,den. tanto la donerò vender volendo guadagnar fol. li per fendo. Quelito nono, IO comprai il 100 della lana per ducati tanti , che fethaueffe pagato per due. 5 più , & poi riuenduto per due. j2,io batteria guadagnato a ragion de 20 per cento , dimando per quanto la comprai , <Jr quanto guadagnai per 1 00 . Ter far quefta,& lefimilitroua prima il fuo capitale dicendo, fe ilo era 100, quanto era 32, multiplica, & parti trotterai che era 16 -y- del qual numero cauane li due. 5 reftarà due. 2 1 per tanti due. lo com prai, hor per faper quanto fi guadagna per 100, dirai fededuc.ìi * ne faccio 3 2, che fi far a de due. 1 00, multiplica , & parti , ne veniranno due. 1 47 r f-cauane il 100 capitale, reftarà 47 jf- , Cf tanto fi guadagna per cento . Quelito decimo . 10 comprai il lino per tanto il pefo, chefeChaueffe comprato per fol. 1 6 depiùchenonlo comprai,& riuendendolopoilire ],fol. 10, il pefo , haueria perduto a ragion de 14 per 100, dimando quanto lo pagai de prima ? Trima troua il capitale fot tr andò 14 de 1 00 refi ano 86, poi dir ai fe 86 erano loo, quanto erano lire 5 fol. 10, multiplica, dr parti-, & troie rai, che erano lire ó.Jol.'], den io,& §-,delli quali cauane li fol. i6re fileranno lire fol. u,dcn. io jfr, tanto lopagai deprima, & volen do DelfArfrhmctica do fa per quante fi perde per 1.0 a, dir ai felire q,foL l ifaenàc mire fiéwhrc %,f<d.io,chc mi r faremo iire ioo,& operando tramar ai, quanto fi perdeper i oo ; fottranio quello che ne viene del \oo . Quelito vndecimo . Tft comprai il i oo della cantila per due. tanti chefe f hauejfe pagata 1 per due. J de più, & riuendendone poi lire m per due. I 40 io haue- ria guadagnato 1 o per toe, Amando quante lopagai il cento ? Troua prima ti capitale de due. iqo,dicendo fé no erano 100, qua» ti erano 1 40, multiplica, & parti trouerai » che erano due. J 27 i{-, poi per trouar il capitale de lire 100, dirai felire $45 falena due. va'] iV*. dte voleranno lire ioo,multiplica,&partinevenirAnm> due. }6 $ , & per tanto tbauerebbe compiala fe hauejfe guadagnato a ragion de 1 o per cento, ma perche la pagai 5 duc.mancojper tanto cavane due. 5 reHa ranno dui. 3 1 & tanto lapagai il cento , ; . Et quando fi dice felhaueffe pagata due. f de più,f e inferire che non fùpagata per quelli 5 de più, fi che fi deve auuertire in quefleprepo fitto ni condii tonali. * Quelito duodecimo - ? ' T [Endendo il cotton per due. 1 5 il 1 00 , io mi trovo aguadagaarA ra- Y gion de io per 100 Rimando vendendolofer due. 18 quanto guada gnaròper 100? Quefto fi può far in dai modi , prima in due volte trouando il capitale de 15 , dicendo fe 1 io erano ioo,quanti erano 1 5, multiplica , & parti trouerai, che erano due. 1 3 -fi poi dirai fede due. tj nc faccio 18 ,tbe farò de 1 oo,niultiphca Sparti ne venir anno duc.i }i tra capitale,#" guadagno, cavane il capitale quale 100 reflanno 3 1,& tanto fi gua- dagno per 100. ■ Ouero dirai fe due. 1 5 mi danno 1 1 o capitale , &\ guadagno , che mi daranno 18 capitale, & guadagno. multiple ar& parti ne venir anno due. 1 j a .cavane 1 00 capitale, recano 3 1 ,come difapra, & cofiìfaUajn le- na fola voltala- vigor della congionta proporthualità . Quefito decimoterzo. V Endendo Ivua paffa a fola lira io mi trovo a^uadagoar fai- a ±pcr defcna,dhnandt> vendendola fol.6 quanto guadagnar 0 per deferì»* far aicafi Aggiungi a alkdefcoafaa 12 poi dir ai fa A capitele, &gua. Libro Scfta. 3 1 2 & guadagno mi damto I2t capitale, & guadagno, che m diranno fisi. 6,multiplica,& farti ne uniranno fol. t 8 d.p capitale, & guadagno, c a urne io capitale rtftannofol.%d.9,& tanto fi guadagna per defena ve* dendoU fot. 6. fatta . . I ■; 1 tei Quefito dedmoquarto. \TEndendoilZibibofol.$ la lira-io perdo i j per ioo.dimando vende* V dolo fol.6 fe guadagno ouer perdo, & quanto per i oo. Sottra 15 de 100 refiano poi dirai fe 8 5 erano 1 ao?quanti erano fai. 5 moltiplica, £r parti trouerai,che erano fai. 5 > & tanto mi coflo la lira,& perche la vendo fol.6 fi guadagna.ma per faper (piato per 1 00 dirai fefol. 5 -f yrfuffero fol.6 , ebefarebbono io®, opera tr onerai che fa- rebbono fol. 101 tra capitale, & guadagna.c aitane 100 r e fiatino fol. 1, et tanto fi guadagna per 100 vendendolo fol.6. Si potrebbe anchora far iu vna fola volta cattando 15 de 1 00 refiano 8j. poi dire fe j mi damto 8 5, che mi daranno ó.multiplica, & parti ne veniranno 101, cauane 100 refiano i,& tanto figuadagrutper 100 . Quefito dcamoquinto. V Elidendo le mandole fol.} — la lira io guadagno a ragion de io per 1 00. dimando vendendole fol. 3 fe guadagna ouer perdo, & quanto per 1 00 ? Trottar ai prima il capitale de 3 ~ dicendo.fr I io erano 1 00 qua*** . erano 3 ~,multiplic*,&' parti trotterai thè erano } -jj-, & tanto cofior no.adonque vendendole fot. 3 fi perde de fol . Vero dirai fe in (0L3 -fr fi perde ±j- che fi perderà in i oo^nultiplica et parti treuaiai,cke fr per- derà 5 ■$-,& tanto fi perde per tooi Ma volendola far in vna fola volta dirahfe 3 -4- vengono da i io ,da quanti veneranno 3. opera, &'-vener anno da 94 ■— ,adonque fi perde,^r per faper quanto fottra 94 de 100» refiano j -f , & tanto fi perde per ioo,èr cofi farai &c. . ■ r t Qucfito dedmofcfto. V Elidendo 4 per j io guadagno io per 100 dimando vendendo jiptr 6 quanto guadagnare per j 00 * Ver far quefia ragione trova prima il capitale de 3 dicendo, jt miete- rono 1 co, che erano } multiplitaytr parti trotterai , cht tram 4 -f7 poi ditaife 4 v aleno 4 -fi capitale, che valerano J multipli**, apparti tro- tterai. DcIPArithrriècici r ver ai, che vaieranno j *# , fiche vendendo il detto y per 6 fi Vinàri 4 guadagnar, & per faper quanto per i oo dirai, fe j •/,' mi damo 6 capita lc,èr guadagno^* mi daremo ioo? moltiplica, CT parti ne veniranno. IOS Hh delli quali ne fottrarai too capitale, reflano $ , & tanto.fi. guadagna per ioo , & cofi farai le /imiti , benché fi può far anchora per altri modi . fe n \ er a i©| y I fe 4 1 4 4 jy volino 5 jf 5 r 5 è I £ de 4, èt 6. è t -f- * 5. SO f' flrl^l 100 4 rr- 1 o S 100 + refla y timida io che mi da rà 1 -j- mi darà 9*-\-ca uane 4 refla 5 -f- come ’ difopra . Quefito decimofèttimo . IO compro vna pcg_ga de panno longa bragia 48. per fcu. j 7 -j- .poi ne vendo braga j per fcu ,4 -j-, dimando fe guadagno, ouer per- do, & quanto per 100 . '■ 'Prima vedi quanto valeno braga 5 -J" a detta ragione dicendo, fe bra ^548 valeno fcu. 37 ±chc vaieranno braga 5 -4~> moltiplica, & par ti ne veniranno fcu. 4 j-Ji , & perche 4 J- è più che 4 , adonque fi guadagna» & per faper quanto per cento , dirai fe fcu. 4 Jj^ de capitale mi tornano 4 -j-capitale,& guadagno, quanto tornar anno )cu.ioo,mul- tiplica, & parti, ritorneranno fcu. 1 02 & di quelli fottrane I oo, che è il capitale reflano fcu. 2 -fìff , et tanto fi guadagna per 100 & volendola far in vna fola partitione ricorri al trattato della regola del } difopra . Quefito decimoottauo . IO compro vna pegrga de panno longa bragia 3 6 , per fcu. 33, poi ne vendo tanti braga, che vaifero fcu. 7 con guadagno de io per 100, di- mando quanti braga ne ho venduto . T rima troua il capitale de fcu. 7, dicendo fe ito erano cento , quanti erano 7,multiplica,& parti, et trouerai, che erano fcu. 6 4» poi dirai fefeu. 33 mi danno braga $6, quanti braga mi daranno fcu. 6 if » tnul- tiplica,& parti, & ti daranno braga 6 , et tanti braga ne fumo Ve duti de detta peg^a . t * Libro Serto. ' 313 la prona farai dicendo febra^a }6 vaino fcu, 33 che valer ano Ira 6 Kt* multiplica & parti trotterai , che valer anno fcu. 6 jf-, come difopra,fitroua,& quefiofipuò far in più modi . Delle tranfportationi delle monete, pelì,SC mi- fure da vna prouincia in vn altra , ÒC del inue~ ftigar il guadagno, ouer perdita delle mercan- zie, & quanto per cento, trattato molto necef fario a mercadanti : T) Erche nel trasmutare diuerfe mer canile di vna Città neW altra, bi- -*■ fogna fapertranf mutar e monete, pefi,& mifure de diuerfi luoghi , che tra loro fono differenti, & quelli, chenon fono pratticiin quefiima - *eSS1' Ipeffe volte perdeno credendofiguadagnare,per tanto auiui ho po- fio alquanti, quefiti, che imparandoli faranno fiacri di conofcer il guada gno, et ptrdita del trafico Coro . Quelito primo . T 0 trono che lire 16 di Genetta fono lire 1 ? de Milano , dimando lire 2 7 5 di Vcnetia quante lire faranno in Milano. Dirai felire 16 mi danno lire 1 3, che mi daranno lire 175 , multipli- ca, et parti, et ti dorano lire axj j%~di Milano,et per trouar quanti fol. fanno , multiplica il 7 per 20 fanno 140 fol. quali parti per 16 ne vie fol. 8 , et avanzano j a che fono li | de fol. 1 , cioè den. 9, fi che dirai, che fanno lire 223 fol.S den.9 di moneta de Milano, fecondo però ilprefuppo fitto, perche molte volte fi mutano . I % Quelito fecondo. C io trouaffi che lire 1 di Breffa fuffierolire j di Milano , dimando lire ^ *75 M 8 den.6 di Milano quante rtre farebbono in Breffa, dirai per Ugoladeli.fi Ine 3 di Milano mi danno lire 2 di Breffa, quante lire di Breffa mi daranno lire 1 75 fot. 8 dcn. 6 di Milano j multiplica ledette li redi Milano per tfen^a farli in dinari, et ilprodutto parti per 2 ne ve- ntanno lire 1 1 6 fai 1 9 den. o , et tante lire faranno in Breffa . Et volendo prouar multiplica le dette lire 1 16 fol. 19, den. per j, et il . > E h'iik pro- /, • ' ■' V ' : : , . DeirArithmetica produtto parti per 2, neveniranno le dette lire di Milano , dot lire I75 fol.ì, den.6, et perche ampiamente fu trattata quefla regola ncllicam - bijx baflano poche parole . Quefito terzo. ET dicendo fi lire 386 fol. 1 5 den.6 di V enetia, quante L.fanno dì Ber apponendo che L. 3 di Bergamo fanno L.\di renetta. Veto dirai fe lire 4 di V enetia mi danno lire j in Bcrgamo,che mi da- ranno lire 3 86 fol. I 5 den. 6 di V enetia, multiplica per. 3, et parti il prò duttoper 4 ne vedranno lire 2 90 fol. 1 den.y -f , et tante lire faranno in Bergamo, le quali volendole ritornar in lire de renetta , multiplica per 4, et il pt odutto parti per i,ne vedranno le lire 386 fol. 15 den.6, tor- me difotto fi uede . y 4 I 386 fol. 1 3 den.6 L. 290 fol. 1 den.j l\6o fol. 6d.6 3 I 1160 fol. 6 den.6. I.290 fol. 1 d. 7 £ in Bergamo | 386/0/. 15 den.6 I\.ii Veneti* Quelito quarto.' Lire 1 6 groffe di pefo di renetta fe fu/fero in Milano lire 6 graffe da- onc. zi per libra x dimando lire 47 3 di Milano quante lire di pefo fa. ranno in r enetia . Dirai fe lire 6 di Milano fono lire 1 o di renetta, che faranno lire 475. opera, & faranno lire 791 -f-in r enetia, & volendola provar multipli li per 6, & parti per 1 q ritornar anno le lire 475 di Milano » Quefito quinto. Libre fottile ioc V enctianc fono in Milano lire 92 fot tifi, dimando 425 y enctianc quante lire faranno di Milano . Dirai fe lire 100 di renetta mi danno lire 92 di Milano, che mi dar a» no lire 425, multiplica , & parti ti daranno lire 391 & tante lire fa- ranno in Milano . Et per prouadirai, fe lire 91 mi danno lire 100 ,che mi daranno lire 39 1 . opera per regola del 3, & tornar anno lire 42 j di r enetia. eonuer -, Wìdofempre il partitor nel multiplicator . A t Libro Scfto. 514 Quefito (cfto. IO porto lire 1 00 da renetta a Milano , & per rifpetto delle monete mo bili, che patifcono accrefcimento, & calo fecondo i tempi , & luoghi co/i in oro, come in argentoni ritornano lire 1 09, cioè crcfcono 9 per cen to, dimando portado lire 78 5 da Venetia a Milano quale L.accrefcerano . Dirai fe 1 00 crefcono 9, che crcfccrano lire 785 opera,& crefcera- no lire 70 fot. 1 volendola prouar aggiongi le lire 70 .fot. 1 i,che han no guadagnato al fuo capitale,chefono lire fanno lire 655 fol. 1 J. Voi dirai fe lire 1 09 erano L. 100 quante lire erano lire 8 J 5 fol. t $ multiplica, & parti ne reniranno le lire 785 di Venetia . Quefitofcttimo. IO compro in Cenoua lire 780 deguccaro.per condurlo a Milano , & trono che lire 1 00 di Genoua pcfano lire 94 al pefo de Milano , & co Jla a Genoua lire 80 il 1 oo,<£r lire 4 di moneta Genoftefa valeno lire 6 di moneta Milanrfe,fi dimanda quanto valerano le dette lire jSopcfo di Genoua a moneta Milanefe ‘, &" quanto vale il 100 di Genoua a moneta Milancfe,et quitto vale il 100 di Milano a moneta Genoitefe, et quanto vale il 100 di Milano a moneta Milanefe , & quanto pefa il 100 Ati lanefe al pefo Gcnoucfc . Verche in quefla ragione fono molti qucfiti,per rifpondcre al primo, ri durai le lire 78 o di Genoua al pefo di Milano, cioè a lira Milanefe, Dicen do,felire 100 di Genoua a pefo fono lire 9 4 in Milano, quante faranno L. 7S0, multiplica & parti trouar ai, che faranno lire 733 -\-in Milano . Hor vedi anchora tire 80 di Genoua qunue lire fono di Milano , & perche lire 4 di Genoua fono lire 6 di Milano, adonque fono vno tanto,et meTtp le lire di Milano, che quelle di Genoua a numero > adonquc alle lire 80 di Genoua aggiongi la -£-» che fono lire 40 , fanno lire no di Milano . Et perche qucfle lire nodi Milano fono ilprecio delle lire 94 Mila- ne fi cquiualcnti al cento di Genoua dirai, fe lire 9qpefo di Milano valeno lire 120 di moneta Milanefe, che vaieranno lire 757 -\-de Milane, mul tiplica,& parti tr^uer ai, che faranno lire 9^6 fol. d. & tanto vaieran- no le lire 780 di Geno ua a moneta de Milano . Et perche poi fi ricerca quanto vale il 1 00 di Genoua a moneta Mila- nefe , perche fu detto che valfe lire 80 di Genoua ,& le lire So fono lire 120 de Milano, adunqueil 100 di Genoua a pefo vale lire 120 dimone ta Milanefe . Rkkk * La DeirArithmetica La ter^a dimanda è quanto vale il 100 Milane fe a moneta Cenouefe l perche fu detto,che lire 94 de Milano v alenano lire 8 o di Genoua per ef- fer equiualente al 100 di Genoua,adonque per faper quanto vale il 1 00 di Milano a pefo,dirai,fe lire 94 pefo de Milano ualeno lire 80 di Geno- uà, che vaieranno lire 1 00 de Milano.multìplica , & parti , tr onerai » che L. 100 de Milano valerano £.85 /.a d.i -il de moneta di Genoua. ' La quarta dimanda è quanto vale il 1 o o Milane fe a moneta milane- fe, & perche difopralrouajli , che lire 100 di Milano , valfcro lire 8 $ -dj di Genoua, bora voi faper e quanto v aleno a moneta de Milano, per tan to farai le dette lire 8 5 -Jy Gcuoucfi a moneta de St iano, aggiongr adoni la — J-, come fu fatto difopra,£T faranno lire 117 le Milano, & tanto vaieranno lire 1 00 a pefo Milanefe,a moneta Milanefe . Et perche nella quinta dimanda fi ricerca quanto pefano lire 1 00 Mi lanefi al pefo di Genona, confiderà quello che fu propello nella queftione , cioè che tire 1 00 di Genoua erano lire 94 in Milano , adunque dirai per la regola del 3 fe lire 94 de Milano fono in Genoua lire 1 00 , quanto fa- ranno lire 100 pur de Milano multiplica,& parti fecondo la detta rtgo- la,trouerai , che lire 100 de Milano fono l're 1 06 -J* al pefo di Genoua ». & co fi hauerai rifpoflo alli detti 5 quefiti,dr cofi ojjer uarai infunili. Quefito ottauo* •T 0 mi parto daBcrgamocondinarì,& vado a Venetia,& compro car- ■A ghi li. lire 144.0nc.4de peuere a ragion de duc.124 gr off % il cargo qual è lire 400, eir pago tra meffettaria,& fachini in tutto due. \ 8 gtojfi 6,&per datiu di vfeita due. ógrofji 8 in tutto, & la conduco a Bergamo» et pago di conduttu)'a,et pajfaggi lire ifol.16 a moneta di Bergamoper ogni lire 100 di quejlo peuere al pefo di Fenctia , et in Bergamo pago di datio lire 4 -\-de dinari per ogni lira 1 00 del deto peuere al pefo di Ber- gamo,ct trouo,cbe ogni lire x 00 .di fienaia pefano lire 92 in Bergamo,et li dinari, che portai meco pcrfpendcr a Fcnetia fono fcapuati a ragionde 1 a per 1 00 .dimando quanto debbo vender la lira da onc, 1 a del peuere in Bergamo volendo guadagnar a ragionde 20 per 100 . Ter folucr quefla , et ogni altra fimile ragione de viaggi bifogna tenir. conto particolarmente de ciò, che hai {pefo per conto di tal peuere a mone ta di Fenetia,per tanto v'di prima, quanto monta il detto peuere de pri- ma compra a due. 1 a 4 graffi 8 il cargo , dicendo fe carghi 1 vale ducati 1 24 grojf 8, che vaieranno carghi 2 2 lire 144 onc.^multiplica et parti fecondo la regola j olita trotterai, che vaieranno due. 27 So.gr off 4 picca- ti i) , et fotta qucfti metterai ti due, 1 Sgrojf 6> che pagafti fra meflct uria} 4 Libro Sefto . 3 1 5 torta, et fachìni, et fimilmente gli metterai quelli due. 6 groffi &,chepags fti per datio della vfeita, et fumma infime quefle 3 quantità faranno duc.2S04.gro/f1 1 8 p.i 3 , et qwfti li trarai a moneta di Bergamo,la quale bifogna crefcere 1 2 per 100 , come fu propefto. per tanto dirai fe 100 di Vtnaia erano in Bergamo 11», che erano due. 1 804 gro/Ji 1 8 pie. 2 3 et pcrchegroffi vno fanno f. 5 d, 1. valendo il duc.Jol. 1 2 4, cioè J- def. 1 14, far ai prima li groffi 1 8 pie. a 3 4j ,n lire (le moneta corrente mettendo il rottopcr -J- per effierpoco più.per tanto dirai , fe piccoli 32, che fono vno groffo mi danno d. 62 dì moneta, che mi daranno grojfi 18 piccoli 23 ~,multiplica,& parti, ne venhanno d.n6\ ,J-> che fono lire 4/0/. 16 dcn.g.laffando il rotto,& qucjìo ferua . Toi farai li due. 2 804 in tire multiplicandoli per lire 6 fol. 4 che fono lire 6 -j-, ne veni ranno lire 17384/0/!. 16. alti quali aggiongerai le lire 4fol.\6 den.p.chefcrua/li difopra,far anno lire 17389 fol. 1 2, den. 9. Hora dirai per trarli in moneta di Bcigamo,fe lire ioo in Venctia era no in Bergamo lire 112, che faranno lire 17389 fol. 1 1 den. 9 in Venetia moltiplica, & parti trouerai, che erano in Bergamo lire i 9476 , fol. 7, den. 10 ìf-,& tante lire hauerai jfiefo fin hora in Venetia per conto del detto peuere,CT quefii ferua . Toi vedi quanto fi paga di conduttura, & pajfaggi, dicendo fe L.xoo pagano lire 3 , fol, 1 6, quanto pagar anno carghi 22 lire 1 44 onc. 4, mul tiplica, & parti riducendo prima li carghi 2* lire 144 0nc.4a0nc.0ue roa~Y de lira, fecondo le regole date, trouerai, che pagaranno lire 3 39 . fol. 1 7 den. 8 jy- , & tante lire fi pagar à di conduttura a moneta di Ber gamo,quali aggiongerai con lefudette lire 1 9476 fol. 7 den. io faran no lire 198 16 fol. 5 dcn.6\^- laf}jy^o il rotto de alcuni denari . Toi ridurrai quelli carghi 2 2 lire 1 44 onc.q al pefo di Bergamo dicen do,fe lire 100 di peuerc in Venetia fono in Bergamo lire pi , che faranno caigbi 22 lire 144 onc. 4, che fanno 107332, moltiplica, & parti ti re ftaranno lire 8228 onc. 9 fj- , & queflo ferua . Hora bifogna veder quanto monta il datio in Bergamo a ragionche lire 100 di pcuere al pefo di Bergamo pagano lire 4 fol. 10 di datio, per tanto dirai, fe lire 100 pagano de dinari lire 45, che pagaranno lire 8218 onc. 9 u-, moltiplica, & parli trouerai , che pagaranno lire 3 70 fol. J den.lOjtìf quali fimilmente notami fiotto le altre, & fummar ai ogni cofa infiumc,& faranno lire 20186 fol. il den. 5 ri? > tanto mi veni- va il detto pcuere condulto a Bergamo a moneta di Bergamo, il qual pe- vere al pefo di Bergamo fu tuonato ejfcr lire 8 12 8 onc. 9 Jt- . Horpcr faper quanto debbo venderla lira fottile,cioi da onc. lì avo ler guadagnar a ragion de 20, per 100, pojfo operar inmolti modi, ma per lapiùbrcue via fi dira, / c lire 100 tornano lire ixo,cbc tornar anno r \-':r , , . ' ' - ' “ Aire DelPArithmetica ìire ioi8 6/ol.n den.$ , & fcbijfando fedirà,fe 5 mi toma 6 , chi tornar anno lire 201,86/0/. li den. 5 lavando il rotto per breuìtà , & fen^a ridurli in foine in den. ma multipli c andò per 6 , & il pr odiato partendo per 5, ne veniranno lire 1421} fol. 17 den. 8 -J-, & tanto fi do ucrà vender tutto quefio peuerea voler guadagnar a ragion de 20 per 100, onero per maggior breuità, aggiùngerai il -j- alle lire 10186 fol. 1 1 den. 5 , e> veniranno lire 142 1 j fol. 1 7 d. 8 -f- come difopra, hor resi a, ci vederequanto viene lalira,ct per faperlo dirai je lire 8128 .onc.g il pefo di Bergamo valeno lire 24213 fol.iq den. 8 -J- a moneta di Ber gamo, che vaierà vna lira , cioè onc. 1 2, onde farai le dette lire in onc. et nel fuo rotto de onc. onero Jolamcnte in onc.lajfando li rotti,quali in que- fto cafo fono di poco momento , & ne veniranno lire l fol. 1 8 den. 10 & tanto fi douerà vender la lira da onc. 1 1 in Bergamo volen- do guadagnar a ragion de 20 per 100 , <&" cofi farai le fimili , & per- che in quefie ragioni conuien ejfer il mercante prattico per quefio non bo fcritto le oper ottoni difiefe,giudicàdo ejfere fuperflue olii periti ragio- nerà & allifiampatori difajìidio , & jfefa, benché nelT originale le bab- bia polle. DcIIi viaggi, che fi folueno per Algebra,& altre vie fpeculatiue . Quelito primo . \T Hpfadoi viaggi, al primo guadagnò duc.i al fecondo perdete atta % V mede fona ragion, che guadagnò al primo , et al fine fi trouò in tutto due. 11 -p, dimando con quanti ducati fi parti de prima . Toni ebe prima fi partijfe con 1 co.de due. adonque al primo viaggio hebbetra capitale, et guadagno 1 co.p. 8 , et perche al fecondo viaggio perdete alla ragion, che guadagnò al primo, però dirai per regola del j, fe I co. mi refta 1 co.m.%,cbe mi refiarà 1 co.p. 8, multiplica , et parti nt venir à - ccn' m‘ f* ef,m}jL et quefio ferà eguale a a I -f- » lena il rot- to multiplicando 1 co. fa zi -j- ballerai 1 cen. m. 64 eguali att -j- co. refiora le parti , bauerai 1 ccn.eguale a 1 1 -J- co.p. 64 fegui la equa • tione , pigliandola delle co. che farà io -f-'» et quefio quadra farà quali aggiùngi al numero , cioèaó+farà 177 ~,del qualca nane la rad. farà 1 3 -f- alla qual aggiùngi 1 o -j-, cioè la -j- delle co. fa rà 14, et con tanti due. fi parti de prima . Etperprouarla ragione dirai cofi fe 14 reftano 1 6, che reflaranna 12, quali mi trouai al fine del primo viaggio tra capitale, et guadagno % multiplica,et partine venirannofcu.i l -j-, come fu propoflo, et vnofi , u * mile è Libro Sedo. I 16 mite quefito propone Frate Luca Tacciolo, ma concluja ftt quantità ime Manale, nella cui prona entra il partir de binomio . Quefito fecondo .« \T 7qo fa doi\rìaggi, al primo guadagnò due, 12 al fecondo guadagnò al V U mcicftma ragion del primo, & al fine fi trouò in tutto due. 5 4, di mando quanto fu il fuo capitale <* poni cfie'l fuffe 1 co. de due. adonque il capitale del fecondo fu 1 co.p. 1 a , bora redi » che tomarà 1 co. p. li fra capitale, & guadagno a ragion che 1 co.torna 1 co.p. 12, per tanto dirai fe 1 co.torna 1 co.p Ai, che tomarà 1 co.p.i2,muttiplica,& par- ti trottar ai che tornar à 1 cen.p. 14 co.p. 1 44 e fimi de 1 co. cioè da partir per 1 co.che flaranno , co fi ^_CC^P;24 C0-P- *44» g. parann0 1 co. guali a i+.leua il rotto multìplicando I co. fia 54 farà 54 co. eguali a x cen.p. 2 4. co.p.m.leua li fuperflui , cioè 24 co.dallrna,& ialtrapar te, bauerai 1 cen.p. 144, eguali a 30 co. di me%a le co. fanno 1$, multi - plica in fe fanno 225. canone il numero, cioè x^reftano 81, & di quefto cauane la rad. farà 9, la qual aggiongi al 1 5 , cioè al dimenamento delle co.farà xq,& tanto fu il primo capitale.il fecondo fit 36, il terno fu 54 ma fimile pone Fra Luca, ma irrationale nella quarta queilione de riag gi, fatta &c, Quefito terzo. '\f'HP fi 3 riaggi al primo guadagnò fcu. 6, al fecondo , & alterna V guadagnò alla ragion del primo , dr il guadagno del terno riaggio fu fcu. 10 dimando con quanti fcu.fi partiper ilprhno riaggio ? Toni, chelfipartiffe con 1 co.de fcu.adonque guadagno 1 co.p. 6, dr perche il fecondo guadagnò a ragion del primo dir ai, fe 1 co. mi da I co.p. 6, che mi darà 1 co.p. 6, multiplica 1 co.p. 6 fia 1 co.p. 6 ne renirà 1 cen. p. 12 co.p. 36 , & quefto par tip 1 co. ne renirà — cen‘ 12 C0‘ I co». cioè da partir per 1 co. poi per trouar il guadagno del terno riaggio pur alla ragion delprimo,& fecondo, dirai Je 1 co.guadagna 6 , che guada- gnar à 1 cen.p. 1 2 co.p. 36 , onde multiplica 1 cen.p. 1 2 co.p. 3 6 per S faranno 6 cen.p."] 2 co.p. 21 6 f fimi de 1 co. quali ancora partirai per ix co. facendo de doipartitorimo foto, multìplicando 1 co. pax co. fa ice*. firhph/iumti qurftn rntin ^ cen‘P-~i C0-P- 2 1 6 e fimi ^ fng. •gualca io -f*. lena il rotto bauerai 6 cen.p. 7 xeofa più nd eguali DelPArithmeticà * io -f- ccn.lcua lifuperflui batterai 7 2 co.p. 216 eguali a 4 -j- ce. ridar rai la equaùonc ad r ccn.partendn per li cen. haucrai 1 5 Af co. p. 46 -|- cguah a 1 cen. di mega le co & multi plica in fe,& aggiongi il numero haucraiin 'piuma rad.—' *-*- p 7 -J-, cioè 1 o p. 7-^- che fanno 18 , & tanti fcu.valfe la co.\S con tanti fece il primo viaggio , laproua fa- rai fàcilmente per ejfer ratinale, & vno fintile propone Frate Luca nel trattato de viaggi. rincora fi potata foluer tale quefito per altra via , & più bella. per che tanto fà il guadagno del primo Ha il capitale del fecondo , quanto fa ile et pitale del primo fa il guadagno del fecondo, perche f ino proportianali,& quejlo fante troua il guadagno del fecondo , poi cheti è noto il primo, et tergo, & imperò multiplicaó fia io -f- fanno 64, rad.de 6 4, che è Sfarà il guadagno del fecondo, bora poni che l capitale primo fujfe 1 co. adonque il capitale del fecondo farà 1 co.p. 6, hor moltiplica al primo guadagno, cioè 6 fiati capitale fecondo che è 1 co.p. 6 farà 6 co.p. }6, qual fatua . Toi multiplica il capitale primo fia il guadagno fecondo, cioè 1 co. fin 8 farà 8 co.ouero (laudo nclli termini irrationali haucrai rad. 6 4 cen. eguali a 6 co.p. 3 6 che faluafti , leua la rad. multiplicando 6 co. p. 56 in fefiefftjarà 3 ócen.p .43 2 co.p. 1 296, & quejlo farà eguale a 64 ccn.le- ualifuperflui , cioè li 36 cen.daW vna, & l altra parte hauerai 432 co. p.itgó eguali a 28 cen.ridufe laequatione a 1 cen. haucrai 15 -J -co. p. 46 -j- eguali a 1 cen. di mega le co.fanno 7 -j- , multiplica in fe farà. 59 A* nggiongili al numero faranno 105 *£■ cauane larad. farà io alla quale aggiongi la -J- delle co.cioè 7 y- farà 1 8 , & con fcu. 1 8 fece il primo viaggio . La prona furai aggiùngendo il 6 atii fcu. 18 farà 24, & perche crefce il -A- aggiongi ancora a 24 il-j- farà & a 31 il fuo -J-, cioè io -i- farà 41 -j-, & cofi far ai, & pr onerai le jimili . Quefito quarto. \TK°fa d°i viaggi,^ primo guadagnò la radice del fuo capitale, alfe V condo guadagnò alla ragion del primo, <& al fine fi trouò con ducati 1 5, dimando con quanti due f e parti da prima . Toniche l fe partiffe con 1 cen.de due. adonque il fuo guadagno fk I co. onde dirai per trouar C altro capitale ,fe 1 cen. mi da 1 cen. p. 1 co. che mi darà 1 cen.p. I co.multiplict^la feconda nella terga farà 1 ce. ce. , , _ . 1 ce. ce. p. 2 cu.p.i ce. e fimi p.2 cu.p. i ce. da partir p 1 ce. adoq; haucrai - — ' ~ & quefio farà eguale 42$ -leua il rotto multiplicado 1 ce. fia 2 $ farà 2 $ Libro Serto; 3 ir cen. che faranno eguali ai ce.ce.p. i cu.p.i ce.leua li fuperflui hauerai 24 cen. eguali a 1 ce.ce.p. 2 cubi.fchiffa la eauatione ma yolta per cen. bau crai 2 4 eguali a 1 cen.p. 2 co. dimena le co. fa 1, multiplica in fe fi pur i.gtongili al numero, cioè a 24 farà 2 i,cauane la rad. fard 5, &di quella cattane 1 miti delle cofe refiarà 4 , & tanto valfe la cofa , che ftc il guadagno, & il capitale farà il fuo quadrato ,cioè 16. fatta. Quelito quinto . VTSlofii doi yiaggì,al primo guadagnò li s radici del fuo capitale, al fecondo guadagnò le 3 radici de ciò ebefi trouò fra capitale,& gua dagno-, & al fine fi trotto di guadagno due. 3 8, dimando quanto fu il fuo primo capitale ? • Toni chef capitale primo foffe 1 cen.adonque il capitale , & guada- gno fu 1 cen.p. $ co. & perche dice, che' l fecondo viaggio guadagnò le 3 radici de ciò che fi trono fra capitale,& guadagno, adonque guadagnò le 3 radici de 1 cen.p. 5 co. & giàfe tu fai che Cvna rad. de 1 cen. p. 5 co. è rad.vniuerfalc i cen.p. j co. adonque le 3 radici faranno il triplato di radice vniuerfale t cen.p. y. co. multiplica adonque rad. vniuerfale 1. cen.p. 5 co. per 3 facendo prima il 3 a quadrato che farà 9, baucrai rad, vniuerfale 9 ce.p. 45 co. & quelli aggiùngi al primo guadagno , che fk 5 co.farà in tutto 5 co.p.rad.vniuerfalc 9 ccn.p.45 co.& quejlc faranno eguali a 38, leua le quantità difcrcte dalle parti, cioè le j co. hauerai ri vniuerfale 9 cen.p. 45 co.egualia 38 m, j co. lena le rad. m itici pii c andò liefiremi infe Slejfithauerai 9 ce.p. 45 co. eguali a 1444 , ni. 3 80 co.p . * 5 cen. agguaglia le parti leuando prima li fuperflui , cioè li 9 cen. dalli *5 cen. & poi giùngendo le 3 80 co. alle 45 co.è p. hauerai 42 5 co. egua- li a 1444) p.\6 cen. ridufe la cquationca 1 cen. partendola tutta per 1 6 cen, hauerai 2 6 co. eguali q 1 cen.p. 90 £ , di mega le co.fanno 13 ^ quali quadrar ai faranno 1 7 6 -,l'ij-.lcuanc il numcro,che fu 90 £ rejia - no 8 6 -&Ì5-, & la rad.di queflo,quaCè 9 |r tratta dalla mità delle co. cioè de 13 \r reftano 4, & tanto valfela co. & il cen. che fu il capitale alfe ló.lc 5 r. furno 20, chcgionte al 16 fanno 3 6,&le 3 r. de jó fan no 18, chegionte al 3 6 fanno 54, & di quello trattone 16, che fu il primo capitale reftano 38, come fu proporlo . Quefia propone Frate Luca al fefio cafo de viaggi , ma vi è errore di fiampa, fi coment fono molti altri indetta opera , & parte dell' ifieffo (Vittore. •w» ■> -f .vt ht -U'I .ut .ti) J i J .2 f.«ll • • - • : - , LUI Que- DelTArichmerica Quefito (cfto . \TTio fa doi viàggi, al primo fi rrouò fra capitale, ór guadagno due. t a V al fecondo guadagnò alla mcdefma ragion che alprimo,ÓT li quadra ti di qui fli doi guadagni gionti infieme fanno 52, dimando quanto fu il fuo primo capitale ? Ter far qucfla poni,- che li dai guadagni infieme gionti fuffero I o>» poi dirai fame de 1 co. due parti, che li Ioì 0 quadrati gionti infieme fac- cino 5 j, onde operando con là euidentia della quarta , ór quinta del fic- cato di Euclide, multiplicarai 1 co.infiefarà l ce. cauanc la fiumma delti quadrati, cini 5 2 , rrflarà ì cen.m. 51, ór queflo recante farà il doppio del produtto de yna parte nelf altra per la quarta del ficcodo di Euclide, Ór noi la volemo vnafola volta, aiotique piglia la -fi- de 1 cen. men 5 a farà cen. men 26 , Ór quella b la fupcrficie devna parte nell'altra % che fi ricercano: bora per trouar dette parti, opera con la euidenga del- ia quinta del fccordo di Euclide, facendo di 1 co. due parti, cbemuìtipli- catal'vna nell'altra faccia cen. men 26 , onde per la detta quinta pi- glia da -fi- de 1 co. farà co. mulnplica in fi, farà ccn.cauane la fu perfide fuddctta,reflarà -fi- ce.mcrt -fi- cen.m. 26 per il quadrato della diffrrengii delle dette parti, adonque la fua rad. gionta , ór detratta de -fi-co. mi notificarà le dette parti, & perche il detto refio vuoldire, che fi debba cattare quello 26 de -fi- cen. & poi quello , che refta cauarlo de -i- cen. refìorando,& opponendo fari 26 m. -fi- cen.per il quadrato del L differenza, come dtfopra dfft, adonque la rad.vniuerfale de 26 m. -fi- cea . gionta, & tratta de -J- co. mi darà le dette parti , onde la minor fà rà y co.m. rad.vniuerfale 26 m. -fi- cen . ór queflo fu il guadagno del primo viaggio: la feconda farà -fi- co.p. rad. vniuerfale a 6 m. -A- cen. Ór queflo fu il guadagno del fecondo viaggio . Horaper trouar li capitali catta il guadagno del primo de 12, quali capitale, & guadagno, reflarà il capitale del primo, adonque catta -J- co. m. rad. vniuerfale 2 6 m. -J- cen.de n reflarà 1 2 m. -J- co.nhrad.vniuer fale 2óm. -fi- cen. ór tanto farebbe il primo capitale, & il capitale , d* guadagno del primo viaggio fu duc.iz.l altra parte fi bauer afe aggiùnge rai il g itadagito del fecondo viaggio a 12 capitale farà tip. -fi- co. p.ra. vniuerfale %6 m. -fi- ceti. ór quello farebbe il capitale d’vn tergo viag- gio quando lo faicfje alla proportione dclli antecedenti, ma non lo fà , bora fin qui hai tre capitali, che fono proportionati fra loro, fi corHe li lo ro guadagni, il primo fu itm.-fi co. m. rad. vniuerfale 26 m. -J- cen. ór il fecondo fà 1 2, ór il tergo fu il p.-fi co. p. rad.vniuerfale 26 men -fi- cen. ór perche de 3 quantità proportionali tanto fata prima dotta. nella, Libro Scfto . 518 nella terga, quanto la feconda in fe Jìejft , adontile moltìplica l\m. -f- _ co.m. rad.vntuerfale cen.fia it p.\co.p .rad.pnìuer fiale a6 m.~cen.& quello, che farà farà egualea inquadrato iefla feconda, onero lo farai per vna regola de modo cofi detta dal Cardanoxauata dal- le operationi ^tlgebratice,quat è quella, multiplica quello J2 infe farà 1 44 ,cauane 16 refluita 1 1 8, poi doppia 1 1 fanno 1 4 quadralo farà j 76, qual moltiplica fia 16 farà 14976, & di qutflo filtrar ai il quadrato de 16, qual è 676 rcjlano 14) oo,eJ“ queflo multiplica p 4 farà 57200, & queflo ferua. Voi multiplica quello 1 1 8 che reflò per 4 farà 47 1 pigliane la-^-fa ri 236, & queflo quadra farà 55696, & queflo aggiùngi a 57200 di fopra feruato , fanno \ I a 896, del quale canone la rad. farà 336, & di quella canone li 1 36, che fu il dimenamento de 471 , che fumo li cen. reflaranno ioo,er di quefli ancora canarie la rad. fianco i o, & tanto fu , la fummo delti doi guadagni de doi viaggi detti . Hora per trouarli ficp or sitamente farai de 1,0 due parti,che li loro qua drati giorni infieme facciano 52 ponendo che fa prima fia 1 co. l’altra fa- rà io m. 1 co.multtplica l’ vna, & l'altra in fcflejfi, & aggiongi infie me li quadrati loro, hauerai 100 m. 20 co.p. 2 cen. eguali a 5 x.lcuali fu perflui hauerai 48 eguali a 20 cofiepiù a, cenfo ridufie la (quattone ad 1 cen.bauerai ìj. eguali a 10 co.p. 1 cen. dime?# le co. fa 5 , multiplica in fefa 1 5 'canone il numero, cioè 14 refla 1 canone la rad. farà ancora 1 » & quella aggiongi,& fottra dalla -J- delle co. chef ?» 5 farà t vna q,£r falera 6, & tanti fumo li loro guadagni, perche li loro quadrati gionti infieme fanno fi li capitali facilmente faranno noti. Et volendo foluer ancora quefla fecunda parte per la regola de mo- do, quadra il 1 o farà 1 00 cauane 5 a ,cioè la fummo detta difopra rrfla- ranno 48, piglianela farà 24 fottrala dal quadrato della -J- de io, 1 cioè da 5 refla i,& di queflo piglia la radice farà 1 , qual fottra dal 5 rrflarà 4 minor parto t altra farà 6, che li toro quadrati conte difopra I fanno 5 ì,& cofi offeruarai in fimili fe hauerai cògnitione delle rad.vni- \ uerfali , & qui fottopongo teffempio in parte . u co. m. rad. vnìurrfale a 5w.~ cen. li p.r\- co.p. rad.vniuerfale 16 m. cen. Oliar-. ,0 * 4 4 a 6 ^ 14 4 n • ' 2 6 a 6 4 - t J J 8 i 5 6 5 7 6 . VY*. 4 5 2 , 2 6 LUI 2 2U7'3 J* DcirArithmctica * ] 47 * i|6 76 34 5 6 p • 1 ■ » 115* 436 , ♦ ' 2 ì « M97<* 1416 . f . .4 . ' 67 6 708 47 2 * v 3 0 x 14300 5 5 • . 4 -r-r % 57200 f t?8tffi 1 336 5 5496 • • • 1 — 1 12896 Xfitfifi 236 di megamento delle cofe fi — : refi* tool due. 10 fumma delti 2 guadagni , Hora fifa, de io due parti che la fumma de loro quadrati ì 52 ► 100 5 5 5 5* 5 !_ i_ — — — ■ - £ 4 parte mtnor 4 1 4 8 45 /wf e I 24 24 wwgg/or rad. 1 Et in quefla folutione fi vien al capitolo di cen. de cen. & numero eguali a ccnfo; Quefito fèttimo Porto da Frate Luca » T77(o ha due. 13 , & fa alquanti viaggi, & per ciafcuuo viaggio ra- r doppio li fuoi dinari, & Jpefe due. l^,& alla fin fi trono fenga dina- vidimando quanti viaggi fece . Ter fotuer quefio quefito r adoppia li due. I $ fanno z6,fprndene 14 re- ftano 1 2 , poi doppia 1 2 fanno z^.fottranc 1 4 reflano 1 6, poi doppia io- fanno 20 ./pendine 1 4 reflano 6 , hor vedi , che al primo viaggio, che dr 1 3 reflano ti, dr fi perde 1 de capitale.al fecondo de 12 fene vien in 1 o, onde fe ne perde 2, & de io al tergo viaggio fene vien in 6, onde fe ne perde 4 fiche le perdite fono proportionali, fiche in tutto fe ne perde due*. 7, & me ne reflano folamente due. 6. Et li f * Libro Scfto. 319 lt perche al q uarto viaggio batteria perduto duc.8 , perche le perdite feguitauano nella continua proportionalità dupla veggo , che 6 fono li de 8 , adonque diremo che fece li primi 3 viaggi, & -±-devno viag gio, cioè 3 -L viaggi, tlche coft fi prona. ■ Ter che duplando fi fàdcvnodoi , adonque in -J- de viaggio de 4 f e ne farebbono 7, per che il 7 contien il 4 vna volta , vna vol- ta, adonque de 6 fe ne farebbe 10 £ a quella ragione , &• perche {pen- de anchore li J-rff 14, che fono fimilmente 1 o -*-> adonque fottrarai 1 o -i-delli fudetti io -—refiara nulla , & cefi vien prouata laparteara gion del tutto, & cofi farai in augmento,come in decremento . f'*\l\6 ioi 13 7 i°-h 1 4I42 rio 16 I IO * 14 1 a 2 24 1 r j 14 * 7 1 o 2 due. 74-| 7 . i-Sr 2 o 14 24 6 Quelito ottauo, & del Cardano . Cap. 6. V7(o merendante andò 3 volte alle fere , & per ciafcbaduna volta: ritorno col triplo del fuo capitale , & al fine fi ritrouo col fuo capi tale, il quadrato, dr il cubo del detto fuo capitale,dimando con quanti dinari fi parti, cioè quanto fu detto fuo capitale f Ter fclucr qucfto poni, che andajje con 1 co.de dinari alla prima vol- tale 1 co. fece ? co. cr alla fecola de 3 co.ne fece 9 co. dT de 9x0. fece 27 co.<& queflo fard eguale a 1 co.p.i cen.p.icubo , fc biffando le parti per 1 co.ne vengono 27 numero eguali ap. 1 co.p. 1 ccn.leua 1 dalle parti reftano 16 eguali a 1 co.p. 1 ce.perche quando fùfcbijfdto 1 co. per 1 co. ne venne 1 numero.feguita il capitolo de co. &■ numero eguale a ctn. cioè dim ega le co. & quadra, & il quadrato aggiongi al numero, & canarie la delle co.Lacofa vaierà rad.26-\-m.-*r,& tanto fu il fuo capitale. Et volendo faper quanto fi ritrouo alfine.multiplica rad. 26 -~m. £- per 27 farà rad.ipi 36 -j- m.i 3 —molti altri quefiti de viaggi batteria pofìo , ma non apparendomi materia molto v file, non mi eflendo in qurfti più olirà , et volendone de più legga la fumma di ^irithmeti^a di Frette Luca Tacitilo del Borgo di Santo Jepulchrofin fintile trattato . *■ . 1 rad* Dell’ Aritmetica rad. 2 6 fcr 27 A* . 27 »7 li OtCtiV.I.1Ì<J‘ |X produtto rad. 1 9 1 3 6 -f - m. 1 3 4- eir torni dinari fi r'itroub in ritinta. 7*9 2 6 «U ,8 51-4: ’ f- s V ’5 OTr 4 ? 7 4 14 5 «.»i 1 8 **«%)&* •u *~r rarf. i 9 1 J 6 4* 1 co 1 1 CO. p. I ce.p. 1 cu. ' fchiffafa ip. 1 ce.p. 1 cc.eguali a 27 letta 1 numero delle parti rejiano 1 co.p. t ce. eguali a 26 ‘ - — ■ ■ «7 rad. 16 — m . ^ ^ #i . * Quefiti de parti , che hanno dinari, 6C de trouanti vnaborfa. VT Elli quefìti delle parti,ouero della borfa quatro cofe fi fogliano confi - deraretla prima è il numero delle perfoneflquale quanto è minore tanto è più facile : la feconda co fa è la po/itionejaquale onero i fatta per vita quantità terminata , onero per vna parte cognita,ouero per parte compar ata-.la tenta cofafideueauertire,fegli e queflione fimplice, onero compofta: la quarta cofa è da confederare fc' l quefito fi troui per vna fo- la pofitione,oucro per molte, fi come feparatamente fi dirà nelle fequenti queflioni . Quefito primo. ET prima fé rno dicejjefono doi,cbe hanno dinari, il primo dice al fe- condo Je tu mi darai 5 delli tuoi.hautrò quattro tanto,de quelli,che ti faranno reflatr, il fecondo dice al primo, fé tu mi dai 4 delli tuoi,h ane- to quatto volte tanto de quelli , ebeti faranno reflati, dimando quanto prima haueua ciafcun di loro J* Ter trouar lo porti , cbel primo hauejfe 1 co. dandogli il fecondo s de fuoi,hauerà poi 1 co.p.$,& queflo è il quadruplo del reflantc , pigliane il _» farà co.p. 1 4- , che è il recante, & perche nedete 5 al primo ren- degli , & ne batterà -\-cof.6 4-, & tanti ne hauerebbe il [esodo ;et (che / * lui Libro Sefto . 320 hit dice, che fcl primo gli ne darà 4 de fuorché n'bauerà quatro tanto de lui,adonq; dado pii il primo 4 ne batterà -±-co.p. 1 0 -J- ,et al primo rejla- rano 1 co.m.q,adonq;-±-co.p. ìo-^-fonoil quadruplo de 1 co. m. ^.multipli ca adoqi 1 co. m.+pcr 4 farà 4 co.m. 1 6, et quejli faranno eguali a -J-c 0. p, 1 o ~f-rcftora li diminuti giùngendo 1 6 a l'vna , & l'altra parte , & Ie- ttando -*-co.dc4.co.bauerai 3 \-co.egualea16-\-ridufe tutto a quarti , hauerai 1 $ eguali a 105 sparti 105 per 13 co. ne venivano 7, & tantidi nari batteva il primo , & dandogli 5 il fecondo faranno 11, & quejli fa- riano quattro tanti del reflante dclfecodo, adonquc effo reflante fù 3, che co il 5 fanno S,& tanti n'bebbc il fecondo,percbe dandogli il primo 4, ne baueria ti,& nerejlarebbono al primo 3, che ben farebbono qua ttro tan .to del reflante delprimo, & coft fi arguirà infimili . ’ • primo x co. . 1 co.p.q 1 co.w.4 4 4cf.rn.l6 * trc0- P- 1 "5“ 5 -v ce.p.6 4 0^* nm “4“ co.p. I o 16 4 3 co. eguali a p. 16 4 1 5 co. eguali a | i o 5 7 la co. valfe 7 , & tanto bebbe 5 3 il primo 4 'j r 8 tanti n bebbe il fecondo. Quefito fecondo . DOi hanno dinari , dice il primo al fecondo, fe tu mi dai tal parte de tuoi dinari, quale li tu oifono delti miei , io bavero 5 volte tanti di quelli che ti rejlanotet il fecondo dice al primo, fe tu mi dai tal parte det- ti tuoi, qual parte fono quell i,che mi hai dimandato de tutta lafumma , tbebauerefti bauuto, io ne baueria 10, dimando quanti n’hebbe ciaf ca- dano DeirArithmèticà duna per fe , poni che' l primo babbitt 1 2 .il fecondo batteria x CO. & per- che propofle 2 quantità proportionali , per trottar la ter%a fi parte il quadrato della feconda , per la prima , & ne venir à la terga , adonque multiplica 1 co. in fe fari i cen.qual parti per line venirà il cen. & quejlo farà tal parte de 1 co. quoti ico.de iz, aggiùngi adonque^- ce. con 1 2 farà 12 p. -ft ce.&r quejlo è il quintuplo del r c fiate, qual fù-t\ co. leua il rotto, & batterai, che 1 cen.p.i^q fono eguali a 60 co.m.5 cen. Uc'befi troua multipltcando 1 co. fia quello x 1 fatto la virgola, farà 1 » co.& multiplicando quello m. 1 ce.p 5 quali fopr a la detta virgola farà 60 co.m.$ cen. agguaglia le parti aggiùngendo j cen. eoa rn. 5 cen. far an- no 6 cen.p. iqq, eguali a 60, parte la equation perii ccn. hauerai 1 cen. p. 24 eguali a io co.di mega le co.farà 5 .quadrali fanno 2 5 .cauane il nu mero,cioi 2 4 rcjì.uto \,& di quejlo cauane la ra.farà pur i,qualfottra - ' rat dalla mità delle co. cioi de $,reflano 4, adonque la co. vale 4, & per- che il primo hebbe 1 1 , adonque erano in tripla proportene il primo , Ù" fecondo . Farai adonque po fi l ione al fecondo,& poni, che' l primo habbia $ co. adonque il fecondo hauerà 1 co. ouer 1 -\-co. per la duplice folution di cen. & numero eguali a co. bora poniamo della tripla , dando adonque il fecondo al primo, la terga parte de fuoi dinari, perche ha 4 , che fono -J- de 1 ì,& il-j-deqè 1 --J- dandoli a i z faranno 1 3 -f-, & quelli fono 5 volte tanto de quelli, che refìano al fccodo,delli quali piglia la -j- par te ne venir anno i \ , et quefli fono quclli,che reflorno al fecondo, ir per ■ trouar quanti nc dimando al primo, fottr arai 2 de 4 rcjiano I -{-* adonque ne dette 1 -J- al primo, hor vedi, che parte fono 1 -7- de 1 j -jp ir trotterai, che fono ^ , cioè di tutta la fumma, bora prendi il delli dinari del primo che fono 12 alla feconda pofitionefitranno t ~,&quc fli darai al fecondo, che haueua 4 ,ne hauerà poi 5 4-, & quefli douereb bona cjfer r o, adonque dirai fe 5 -7- tni danno 10, che mi daranno 4, cioè quelli del facondo, multiplica, & partili daranno 7 4j , & tanti ri hebbe iljcco idojil primo n' hebbe ? tanto, come trottai per pofitione de co. adon- que hebbe 1 3 -4j * & cofi farai in firmili. • La prona farai pigliando tal parte de 7 -4j , quath effo 7 -fj de 2 J -fi fiaccando l' vn , & lalt ro nella fua denominatione, hauerai che farà -J-, piglia,adcnque -j -dcy -f,- farà z -ii quali aggiongi al —del primo faranno aj-J’.O' quefli fono 5 volte tanto de quelli , che rcjtprno al fe- condo,quali parti per 5 , ne venir ano 5 & tanti rellorno al fecondo battendone datti al primo % -yj. * V ». Hor vedi qual parte fono 2 fj-de tutta la fumana, che hebbe il primo , cioè deli -f IfchtJJando trouerat che fono , adonque piglia-l9de quel- li del primo , cioè de 2 j -f-, nc vengono * quali aggiongt a queir- li « f Libro Serto in M del fecondo t che haueua 7 fg- faranno io tt ponto * come pi propoli». Onero doppo la prima pò fittone poni che' l primo habbia 3 co. adon - quell fecondo batterà 1 co.adonque darà al primo t -j-, & batterà ij -jr> & perche 1 -j-è il fa de 1 3 -{- darai adonque il Jj de 3 co. ad 1 co. faranno 1 -fc co. eguali a io, parti il numero per le co.ne -venir à 7 *j-per li dinari del fecondo, & il primo bauerà j tanto, cioè 23 -f? , come di- fopra fìt conclufo , Quefito terzo. Y'VO* hanno dinari , diceilprimo al fecondo, fe mi darai 4 de tuoi dina - n ‘Mero 5 volte tanto di queUi,che ti rcSlanotdicc il fecondo al ori mo fe mi darai tal parte de tuoi dinari, qual'è 4 di miei, hauerò il dotpio de quelli, che ti reflano,dimando quanti dinari ha ciafcun di loro è Toni che' l primo habbia 5 co. per fichi uar rotti, aggiongelia , che gli da il fecondo fanno 5 co.p. 4, & quefia fumma parti per j ne vien t C0-P~r> Stanti refiariano al fecondo, & per faptr quanto haueua prì- VbuTfecondò cbeinealfraH0^Mno 1 C0 P- 4*1-» & tanto haue - H or piglia tal parte de 5 co.cioè de quelli del primo, quali 4 de 1 co *«**»***. *£,» . I • £*•£ mi dar a J co. multiphca+fia j co. fanno 20 co. parti per 1 co.p 4 -4_ ne ao. co. efimi r t t ^>enZono rz.p++ ^tfuefiaparte darai al fecondo, che, prima hebbe I co.p. 4 -f faranno 1 co. p. 4 -f/>. eguali al doppio de quelli, che refiorno al primo qual haueua prima 5 co.cioè eguali a 10 co. m.i co.p. 4. leHa 1 eo’ dal1 vna » & l' <thra parte , batterai 4 -f- p. t co. p. 4 -f egualt <* 9 co. nói co.p. 4,4- Multipli" li mtegri del • tvna, & l altra parte per il partitore, quale i co.p. 4 4-, c/oè ùr»»*, ^ moltiplica 4 -f fia i co./). 4 -A- far anno 4 -f co./.. 1 3 -i- , <jp Lefie 4 + "• fi>U *0 /opra la virgola faranno 24 i- f0.p. *3 4l • p®* moltiplica 9 co.dall' altra parte fia detto partitore , cioè per 1 co.p. 4 fanno 9 ««./>. 43 -j- co.onde haueraipot 24 co.p. 2 ? -V eguali a 9 tcn.p.43 -J-co.w.40 co. & cofit farai libero dalli denomina- tori delle dette parti , bora rifiora li dimin, iti, aggiùngendo 40 co.a tvna & 1 altra parte, hauerai 64 +co.p. 2 j -f. eguali a 9 co.p. 4? -\-cole tu ancor hfuperflui filtrando li 43 -f co. dalle 64 -f co. hauerai n ,-co.p.i3 -b eguali a 9 celarti la cquation per li 9 cen. hauerai 2^ Mmutm co. DcirÀrithmcdca H.p.2 *f eguali a i cen.piglia la £ delle cc. fanno I -f , multìplica in /e fanno 1 quali aggiungi al numero, cioè alli t [*- fanno 4 , & la rad, , di qutflo qual’ è a aggtongi alla miti delle co. cioè a 1 -J- fanno 3 -f-, & tanto valfe la cofa, & perche fu poflo che' l primo haueffe 5 co. adonque multìplica 5 fiat -f fanno 1 6 , & tanti dinari hebbe il primo : & per trouar quelli del fecondo aggiongi 4 de quelli del fecondo al detto 16 fa- rà 20, cioè 5 rotte tanto de quelli, chereflorno al fecondo, partilo per q, ne vitti 4, eir tanti ne reflò al fecondo, quando hebbe dato li 4 al primo . ^Adonque il fecondo hebbe 8, qual riceuendone 8 altri dal primo ne ha nera 1 6,& al primo ne reflaranno 8, fi che hauerà il doppio de quelli , che refiorno alprimo,& tal parte fono 4 de Z, qual fono 8 de X 6, coma fi propoflo, & cos ì foluerai le ftmili .. Qtiefito quarto.- DOi hanno dinari , dice il primo al fecondo dame £ p . t detuoidhta - ri, che hauero 9 volte tanto del tuo rejlante, dice il fecondo al pri- mo,dammi la tergapartepiù 3 de tuoi, et hauerò 3 volte tanto di quello», che ti r e fla, Untando quanto hebbe ciafchuno ? Toni,chil fecondo habbia x co. dandone la -\-p. a al primo, gli r diano 1 co.m.x,& perche dice il primo,che hauerà 9 volte tanto, de quelli, che r diano al fecondo, adonque il primo hauerà 9 co.m.iì , <jr perche beh- he dal fecondai co.p.x jottralida 9 co.m.iS,reflano 3 co.m. io, & tan- to haueria hauuto il primo in angj , che riceueffe dinari del fecondo , & perche il fecondo gli dimanda il— più 3 , adonqu e piglia il -ì- de 8 co.m. ao fanno 1 co.m. 6 -j-giongeli ) faranno a -J- co.m. 3 -j-, dalli al fe- condo,che prima haueua a co. hauerà poi 4 j co.m .3 -f-, & quefli fa- rebbono 3 tanto de quelli del primi: & per faper quanti ne reflarebbono al primo , fottr arai 2 -5 -co m.q -J-i la 8 co.m. 20, refiano 5 -J -co.m. 16 •^-al primo, & quefli fono il de quelli del J e condo, quali multìplica per 3 faranno 16 co. m. 49 eguali a 4 -j-co.m.q -y.Leua li fuperflui, & re(lo ra li diminuti,cioi fottrando 4 -—co. da i6co.&m.l -\-dam.49 refla- ranno 1 1 -~-co.rn.qq -j-& da l'altra parte farà O, aggiùngi a l'vna, &• r altra parte 45 —-batterai 1 1 co. eguali aqq -j~,fcgui la equatione partendo qq -^-per il ,ne v entrano 4, & tanto vale la cofa : &per- ebe la equatione fu [opra li dinari del primo haueria il primo 4, ma per- che la pofitione fu fatta [opra li dinari del fecondo, che hebbe a co. adon- que il fecondo hauerà 8, & perche lui difft al primo,dammi la terga par- te de tuoi dinari più 3 ,& hauerà 3 tanto de quelli, che ti reflano, trotta Ttn,numerotche trattone il 3 de più, & quelli giorni a l faccino £ • - - — tanto, ' Libro Serto, $24 gMt» del recante di ejfo numero, & per trouarlo poni, che quello numero fi* l co. cauam -{- più } rcflano -j-co.ra.j, & quefli ± co.p.ì giongeli A 8* faranno ~-co.p.n,& quefli Jono j tanto de -—co.m.}, bora molti- plica -J-co.w. 3 per Rifaranno 1 co.m.9, & quefli fono eguali a -J. co.p. 1 1 , aggiongi a Ì vna, & f altra parte 9, & fottra da C vna, & taira par te \-co.hauerai 20 eguali a i-j-co.partiìoper i-f,ne vien it, et tanti dinari haueua il primo . La prona fi farà dando al primo, che ha is la -f- del fecondo, chef*. ' ra»»opoi i6,&2 appreffo faranno 18, & perche ne reflano % al fecondo hauerà 9 tanti del f no reflante , & poi dando al fecondo , che hi 3 lai partedcl primo, che ha 1 1 hauerà poi lz,& } appreffo faranno 15, &• al primo gli reflano a queflo modo quelli del fecondo faranno 3 tanti di quelli che reflano al primo , fi che farà fadisfatto alle requifite con- dii ioni. 1 Quelito quinto.Qual è lVItimo del Cardano de limili quefi ti, & il 2 4 di Frate Luca 6C li- bro ottauo de Francelco Caligai Fiorentino .* DO? haucuano dinaritdice il primo al fecondo, fé tù mi darai tal par- te de tuoi , qual" è 3 demithhauerò top. del tuo reflante, dice il fe- condo al orimoje tu mi darai, tal parte de tuoi qual' è 4 de miei , hauerà 6p ù del tuo reflanf. Di mando quanti dinari hebhe ciafcbuno di loro. Poni che fra l vno,& t altro haueffero 1 co. adonque quando il primo hauerà io più del fecondo , all bora il primo baueria ±co. p.$, & il fe- condo] — co.m. s , perche quefle due parti fono le parti de 1 co. & fono differenti in 10 numero, fimilmente quando il fecondo hauerà 6 più del pri wo t hauerà ~co.p.j,& il primo hauerà ~ co.m. j, che la loro differe* t:a è 6,hora vedt,che da -L. co.p. i.cbe bcbOe il primo alla fua dimanda a ~Ì~co.m. f , che hebbe il primo , alla dimanda del fecondo fono 8 de diffe- renti* , qual fi troua fummando p. 5 con w.3 farà 8 de differentia,.fimil~ mente il fecondo alla dimanda del pr imo, al detto fecondo alla fua dimoi* farà differenti a 8, come dif otto appare , ) primo (O.p. 5 fecondo co. m.% primo co.m .3 fecondo co.p. 3 differenti* 8 differenti a 8 DelTÀrithmetlca ìire zoi26Jol.it dcn.% » & fchijfando fe dirà, fé 5 mi torna 6 , che tornar anno lire 20186 fol. 11 den. 5 laffando il rotto per breuità , & ferrea ridurli in fol.ne in den. ma moltiplicando per 6 , & il produttù partendo perone veniranno lire 1422} fol. 17 den. 8 -J-, & tanto fi do uerà render tutto quello peuerea voler guadagnar a ragion de 20 per zoo, onero per maggior breuità, aggiornerai il -J- alle lire 20186 fol. 1 1 den. 5 , e> veniranno lire 24221/»/. 1 7 d. 8 -f- come difopra , hor re sìa ci vederequanto viene la tira, et per faperlo dirai Je lire 8228 .onc.g il pcfodi Bergamo valeno lire 24223 fol.iy den. 8 a moneta di Ber gamo,che vaierà vnalira, cioè onc. 12, onde farai le dette lire in onc. et nelfuo rotto de onc.ouerofolamcnte in onc.lajfando li rotti,quali in que- fto cafofono dipoco momento , Or ne veniranno lire l fol. 1 8 den. 10 , & tanto fi douerà vender la lira da onc. 1 2 in Bergamo volen- do guadagnar a ragion de io per 100, & co fi farai Je fimili , c2r per- che in quefle ragioni conuien effer il mercante prattico per quejìo non ho ferino le oper anioni difiefe,giudicado ejferefuperfhte olii periti r agio- neri, & allifiampatori difajìidio, & ffefa, benché nell' originale le bab- bitt polle, Delli viaggi, che fi folueno per A !gebra,& altre vie (peculatiue. Quefito primo . VTfofadoi viaggi, al primo guadagnò due. 8 al fecondo perdete alla mede fona ragion, che guadagnò al primo , et al fine fi trouò in tutto due. 2 1 -f, dimando con quanti ducati fi parti de prima . Toni che prima fi partijfe con 1 co.de due. adonque al primo viaggio hebbe tra capitale, et guadagno 1 co.p. 8 , et perche al fecondo viaggio perdete alla ragion, che guadagnò al primo, però dirai per regola del 3, fe I co.mi refla 1 co.m.S,che mi reflarà 1 co.p. 8, multiplica , et parti no venir à e^im! »_ et quejìo ferà eguale an — , leua il rot- to multiplicando 1 co. fian -J- hauerai 1 cen. m. 64 eguali ati -j-co. reflora le parti , hauerai 1 cen.eguale a 1 1 -j- co.p. 64 fegui la equa - tiouc , pigliandola delle co. che farà 1 o -j-", et queflo quadra farà 113 quali aggiongi alnumero, cioè a 64 farà 177 ~,del qualca nane la rad. farà 1 3 — alla qual aggiùngi io-J-, cioè la delle co. fa rà 24, et contanti due. fi parti de prima. Etperprouarla ragione dirai cofi fe 14 rejìano 1 6, che reflaranno iz, quali mi trouai al fine del primo viaggio tra capitale , et guadagno, moltiplica,# parfine veniranno fcu.%1 -J-, come fù propello, et vnofi * _ - mile Libro Sedo. ne mie quejìto propone Frate Luca T ac dolo, ma concluja IH quantità in * •donale, nella cui prona entra il partir de binomio . Quefito fecondo 2 {0 fa doi\vìaggi, al primo guadagnò due. 12 al fecondo guadagnò al la medcftma ragiondcl primo, & al fine fi trono in tutto due. 54, di mando quanto fu il fuo capitale* poni cbelfujje 1 co. de due. adonqueil capitale del fecondo fu 1 co.p. 1 a , bora vedi , che tornarci 1 co. p. Il fra capitale, & guadagno a ragion che 1 co.torna t co.p. 12, per tanto dirai fe 1 co.torna 1 co.p.n, chetornarà 1 co.p.i2,multiplica,& par- ti trottarci che tornar à 1 cen.p. 14 co.p. 1 44 e/imi de 1 co. cioè da partir per 1 co.che Piar anno , cofi a4 C0'P‘ 1 44» ^ qUejn faranno e- 1 co. 1 VE 1 iw. guali a I4.leua il rotto multipUcando I co. fia 54 farà 54 co. eguali a I cen.p. 14 co.p, t ^.leua lifuperftui, cioè 24 co.dall' vna,& Ì altrapar te, batterai 1 cen.p. 144, eguali a 30 co. di mega le co. fanno 1 5 , multi- plica in fe fanno xx^.cauane il numero, cioè 144 reflano 81, (ir di queflo cauane la rad. farà 9, la aual aggìongi al 15 , cioè al dimenamento delle co.farà x^,& tanto fu il primo capitale.il fecondo fu 36, il tergo fu 54 vna fimile pone Fra Luca, ma irrationale nella quarta queiìione de viag^ gì, fatta &c%. Quefito terzo. ylT'H?fà 3 viaggiai primo guadagnò fcu. 6, al fecondo , & alt erg» » guadagnò alla ragion del primo , & il guadagno del tergo viaggio fu fcu. 10 -f-, dimando con quanti fcu.ft parti per il primo viaggio ? Toni, chi Ifipartiffc con X co.de (cu.adonque guadagno 1 co.p.6, eJr perche il fecondo guadagnò a ragion del primo dirai, fe 1 co.mida 1 co.p. 6, che mi dara 1 co.p. 6, multiplica 1 co.p.6 fia 1 co.p.6 ne venirà t cen. p. il co.p. 36 ,& queflo par tip 1 co. ne y>mirìlcenP' 1ÌC0‘ P- i* • v . • . . » CO. cioè da partir per 1 co. poi per trouar il guadagno del tergo viaggio pur alla ragion del pr imo, & fecondo, dirai,fe 1 co. guadagna 6 , che guada- gnata 1 cen.p. 1* co.p. 36, onde multiplica 1 cen.p.i* co.p. 36per S faranno 6 cen.p. qx co.p. 216 e/imi de 1 co. quali ancora partirai per i\ co. facendo de doi partitori vno folo, multiplicando 1 co, fia 1 co. fa 1 cc*. fìcbehauerai quella ratto 6 cen'P-7* C0-P- » » 6 e fimi „ - ^ de 1. cen. ' ' eguale 4 10 -j-, Uua il rotto bauerai 6 cen.p. 7 xcofapiiciió eguali <a> DeirArithmeticà ao -j- cen.leuà li fupetflui batterai 72 co.p.i 16 eguali * 4 -f- ce.ndut rat la equationc ad 1 ccn.partendnper li cen.bauerai 1 5 -\-co.p. 46 -y*- eguali a 1 ceti. di mc%a le co & multiplica infe,& aggiùngi il numero haueraiin viiima rad.-i-'\*-p 7 cioè io-*-p. che fanno 18, & tanti fcu.valfc la co.cf contanti fece ìlprtmo viaggio , la proua fa- vai facilmente per effer ratianale, & vno fintile propone Frate Luca nel trattato de viaggi . incora fi polena foluer tale quefito per altra via, CÌt" piu bella. perche tanto fa il guadagno del primo fi a il capitale del fecondo, quanto fa ile * pitale del primo fa il guadagna del fecondo, perche fono proportionali,dT quejlo fiatile troua il guadagno del fecondo , poi che ti è noto il primo, et ter%o, & imperò moltiplica 6 fia io -j- fanno 64» & larad.dt 6 4, che è Sfar dii guadagno del fecondo, bora poni che l capitale primo fujje 1 co. adonque il capitale del fecondo fara ( co.p.6 , hor multiplica al primo guadagno, cioè 6 fia il capitale fecondo che è 1 co.p. 6 farà 6 co.p. ì6, qualfalua , ' r • Voi multiplica il capitale primo fia il guadagno fecondo, cioè 1 co. fia 8 farà 8 co.ouero [landò nelli termini mattonali haueraì rad. <54 cen. eguali a 6 co.p. 16 che faluafli , leua la rad. multiplicando 6 co. p. }6 in fefleffi,farà 3 ócen.p .43 » co.p. 1 196, & quejlo farà eguale a 64 cenile* unii fupetflui, cioè li 36 cen. dall' vita, & Ultra parte haueraì 43* co, p. il 9 6 eguali a 28 cen.ridufe laequatione a l cen. haueraì 15 co. p. 45 JL eguali a 1 cen. dtmega le co.fanno 7 -y- , multiplica in fé farà jp -Raggiùngili al numero faranno 105 cauane larad. fara io -y- alla quale aggiùngi la -y delle co. cioè 7 far a i3 > & confcu. 1 8 fece il primo viaggio . La prona farai aggiùngendo il 6 atiifeu. 1 8 farà 14. & perche crefce il _i_ aggiùngi ancora ai^il — farà 3 a, & a 3 a il fuo -J-, cioè IO -y- farà 41 4-., & cofi far ai, & pr onerai le Jìmili . Quefito quarto. \TK° fa doi *’ta&g,hal primo guadagnò la radice del fuo capitale, alfe. V condo guadagnò alla ragion del primo, & alfine fi trottò con ducati 1 5, dimando con quanti due. fe parti da prima . t Toniche l fe partijfe con 1 ccn.de due. adonque il fuo guadagno fit I co.onde dirai per trouar t altro capitale ,fe 1 cen. mi da 1 cen. p, 1 co. che mi darà t cen.p. 1 co.multiplict^la feconda neUa terga farà 1 ce. ce. _ . . 1 ce.ce.p.i cu.p.t ce. e fimi p.z cu.p.i ce. da partir f 1 ce. adoq-, haueraì dVT.cc^ <$* quello farà eguale a i ? leua il rotto multiplicado ice. fia 25 farà a 3 cen. » Libro Sedo.» 3 ir ctn. eh e faranno eguali ai ce.ce. p. a cu.p.x ce.leualifHperfluihauerai 24 ceti, eguali a 1 ce.ce.p. 2 cubi.fchiffa la eauatione iena volta per cen. batterai 14 eguali a 1 cen.p. » co. dimena le co. fa x, multiplica infe fi pur i.giongiU al numero, cioè a 24. farà a f,cauane la rad. farà 5, & di ejuefla cattane 1 mità delle cofe reflarà 4 , & tanto Valfe la cofa , che fh il guadagno, & il capitale farà il fuo quadrato, cioè 1 6. fatta. VT^ofiidoi "viaggi, al primo guadaci li s radici del fuo capitale, al fecondo guadagnò le $ radici de ciò che fi trouò fra capitale,& gua dagno -, & al fine fi trvuo di guadagno due. 3 8, dimando quanto fu il fua primo capitale t Toni cbe'l. capitale primo foffe 1 cen.adonque il capitale, & guada- gno fù 1 cen.p. $ co. & perche dice, che' l fecondo viaggio guadagnò le 3 radici de ciò che fi trono fra capitale, & guadagno, adonque guadagnò le 3 radici de 1 cen.p. 5 co. & giàfe tu fai chetvna rad. de 1 cen. p.5 co. è rad.vniuerfale t cen.p. j co. adonque le 3 radici faranno il triplato di radice vniuerfale 1 cen.p. 5. co. multiplica adonque rad. vniuerfale 1. cen.p. ? co. per 3 facendo prima il 3 a quadrato che farà 9, batterai rad. vniuerfale 9 ce.p. 45 co. & quefli aggiùngi al primo guadagno ,che fil 5 co.farà in tutto 5 co.p.rad.vniuerfale 9 cen.p. 45 co.& quefie faranno eguali a 38, lena le quantità diferete dalle parti, cioè le J co. baucr ai ri vniuerfale 9 cen.p. 4 5 co.egualia 38 m. 5 co. lena le rad. moltiplicando lieftremiinfeSlejji,bauerai 9 ce.p. 45 co. eguali a 1444, m. 3 So co.p. 1 5 cen. agguaglia le parti leuando prima li fuperflui , cioè li 9 cen. dalli 25 cen. & poi giùngendo le } 80 co. alle 45 co.è p. batterai 41 5 co. egua- li a 1444, p. 1 6 cen.ridufe la cqitationea 1 cen. partendola tutta per 1 6 cen,bauerai 26^ co. eguali 4 1 cen.p. 90^, di mc%a le co. fanno 1 3 ,-4- quali quadrar ai faranno 1 76 ~,li^-.lcuane il numero, che fi 90 £ rejia- no 8 6 -&ìr> & la rad.di queflo,quatè 9 Jy tratta dalla mità delle co. cioè de 13 reftano 4, & tanto valfe la co. & il cen. che fu il capitale valfe 16. le 5 r. furno 20, chegionte al 1 6 fanno 36, & le 3 r. de }6 fan no 18, chegionte al }6fanno 54, & di quello trattone 16, che fu il primo capitale reflano $l,comcfìt proporlo . Qjtefia propone Frate Luca al feflo cafo de viaggi , ma vi è errore di fiampa, fi come ne fono molti altri indetta opera ,& parte dell' ifleffo me or e. Quc fi co quinto. . 1 Llll Q,ue- DelPArithmctica Qucfito fèfto . XT'K.o fa àoi viàggi, al primo fi trottò fra capitale, & guadagnoduc.il V al fecondo guadagnò alla mcdefma ragion che alprimo,& li quadra ti di qmjli dot guadagni giùnti infume fanno J 2, dimando quanto fu il fuo primo capitale ? Ter far qucfla poni,- che li dot guadagni infime giorni fu/fero 1 co* poi dirai fame de 1 co. due parti, che li lot 0 quadrati giorni infime fac- cino ìx,onie operando con la euidentia della quarta , òr quinta del fa- codo di Euclide, multiplicar ai 1 co.infcfarà 1 ce. cattane la furnma delli quadrati, cioè 5 1 , reftarà 1 cen.m. 52, & queflo recante farà il doppio del produtto de vita parte nell'altra per la quarta del fccodo di Euclide, & noi la volmo vnafola volta, adonque piglia la-*- de 1 cen. men 52 farà — cen. men 26 , & quella b la fuperficie devna parte nell'altra, che fi ricercano: bora per trouar dette parti, opera con la euiden^a del- ta quinta del fecondo di Euclide, facendo di 1 co. due parti, chemultipli- catatvna nell'altra faccia <J cen. men 16 , onde per la detta quinta pi- glia da -i- de 1 co. farà -f co. multtplica in fa, farà cen.cauane la fu perfide f addetta, refìarà 4- ce.mcn cen.m. 16 per il quadrato della differenza delle dette parti, adonque la fua rad. gionta , c ’T detratta dt ■j-co. mi notificar à le dette parti, & perche il detto reflo vuol dire, che fi debba cattare quello 16 de ~ cen. & pei quello , che refta canario de — - cen. reflorando,& opponendo farà 26 m. cen.per il quadrato del la differenza, come difopra difjì, adonque la rad.vniuerfale de 26 m. cen .gionta, òr tratta de -J- co. mi darà le dette parti , onde la minor pi rà — co.m. rad.vniuerfale 26 m. 4- cen. òr quejlo fu il guadagno del primo viaggio: la feconda farà -f- co.p. rad. vniuerfale 1 6 m. -j- cen. & qucflo fu il guadagno del fecondo viaggio . Horapcr trouar li capitali canati guadagno del primo de 12 , quitti capitale, & guadagno, reflarà il capitale del primo, adonque caua 4- C0t m.rad. vniuerfale 26 m. -J- cen.de 1 i reflarà 1 a m. 4- co.m.rad.vniuer falciò m. -i- cen. & tanto farebbe il primo capitale, & il capitale , &■ guadagno del primo viaggio fu due. 1 2 .l'altra parte fi batterà fa aggiong* rai il guadagno del fecondo viaggio a 11 capitale farà 1 1 p. ~ co.p.ra. vniuerfale 16 m. cen. òr qucflo farebbe il capitale ctvn tergo viag- gio quando lo faieffe alla proportene delti antecedenti, ma non lo fà, bora fin qui hai tre capitali, che fono proportionati fra loro, fi come hlo ro guadagni, il primo fu 1 1 m. -f- co. m. rad. vniuerfale 16 m. A- cen* òr il fecondo fà 1 2, òr il terzo fu 12 p.~r co. p.rad.vniuerfale 26 men cen. òr perche de 3 quantità proportionali tanto fa Ut prima duna. ■'V nella. Libro Serto . 3 1 8 nella terga, quanto la feconda in fejleffa , mfonque multiplica i im. -f- „ co.m. rad. vniuerfale ió m. cen.fia it p.-\-co.p .rad. vniuerfale 26 m. -5- cen. & quello, che fard fard eguale <1144 quadrato icfla feconda , onero lo farai per vna regola de modo cofi detta dal Cardanoxauata dal - le operationi fAfgebratice,quafh quella, moltiplica quello 12 irrfe fard 144 ,cauaue 76 reflano 1 1 S,poi doppia 1 » fanno 1 4 quadralo fard $76, . qual multiplica fia 1 6 fard 14976, & di queflo fotti arai il quadrato dei6,qual è 6 76 reflano queflo multiplica p 4 fard 57200, & queflo ferua. Voi multiplica quello r 1 8 che reflò per 4 fard 47 1 pigliane la-~-fa rdzjó, & queflo quadra fard 5569 6, & queflo aggiùngi a J7200 di fopra feruato, fanno «t 1 2 896, del quale canone la rad. fard 336, & di quella cavane li *36, che fu il dimenamento de 471 , che fumo li cen. rcflaranno \oo,& di quelli ancora cottane la rai.fanqp io, & tanto fu la fumana delli doi guadagni de doi viaggi detti . Hora per trovarli fcpar ai amente farcii de 1,0 duepqrti,cbe li loro qua drati giorni infteme facciano 5 2 ponendo che fa prima fia 1 co.f altra fa- rd 40 m. 1 co.multiplical'vna, & l'altra in fellejfa, & aggiongi infie me li quadrati loro,bauerai rooro. 20 co.p.z cen. eguali a 5 i.leu.i h fu perflui batterai 48 eguali 0 20 cofe più », cenfo ridufe la e quattone ad t ccn.hauerai in eguali a 10 co.p. j cen. dimega le co. fa 5 , multiplica in fé fa 1 5 castane il nume>o,cioc 14 rafia 1 cavane La rad. fard ancora 1 , & quella aggiongi, & fottra dalla -J- delle co. che fi» 5 farà t vna t altra 6, & tanti fumo li loro guadagni, perche li loro quadrati giorni infime fanno 52 li capitali facilmente faranno noti . Et volendo foluer ancora quefla feconda parte per la regola de mo- do, quadra il 1 o fard 1 00 cauane 51, cioè la futnma detta difopra rrfla- ranno 48 , pigliane la farà iq fottr ala dal quadrato della -{■ de io, cioè da 5 rejìa i,& di queflo piglia la radice fard t ,qual fottra dal 5 rrflard 4 minor parte l'altra fard 6, che hioro quadrati come difopra ~ fanno qi,& cofi offeritami in fimilife ballerai cògnitione delle rad.vni- uerfali , & qui fottopongo f effempio in parte . 12 m. co. m. rad. vniuerfale 26 m. cen. ìt p.~ co.p. rad. vniuerfale 26 m. cen. or U1 • : I 4 -li. » 4 2 6 i 4 4,.. ,■ tjf-M 2 6 2 6 4 — — • I i 8 4 J * 5 7 6 - ** • ; *»tl 4 J 2 0 2 6 V v i* .J V - Li II 2 2 1 4 7 J » 47* DcirAntbmctica ÌI676 3456 U5> « 2 ì « 14976 67 6 I 4 I 6 708 47* 14300 4 5 5 -r-r 1 I 33<S 57200 5 5696 r(Jia tool due. io fumma delti 2 guadagni , Mora fifa de io due parti che la fumma de loro quadrati è 52 . rad. 1 Etinquejla folutione fi vien al capitolo dicen. de ceti. & numero eguali a cenfoi \T'K° ha due. 13 , C^/à alquanti viaggi, & per ciafcuuo viaggio ra- ▼ doppio li fuoi dinari, & jpefe due. 14, & alla fin fi trouo fenga dina ri. dimando quanti viaggi fece . Ter fotuer quefto quefito r adoppia li duc.i 3 fanno i6,Jprndene 14 re- ftano 1 2 , poi doppia 1 2 fanno 2^.fottranc 1 4 reflano 1 6, poi doppia io- fanno 20. /pendine 1 4 reflano 6 , hor vedi , che al primo viaggio, che dt 1 3 reflano fi perde 1 de capitale. al fecondo de 1» fe ne vien in 1 o, onde fe ne perde 2, & de 1 o al ter%o viaggio fé ne vien in 6, onde fé ne perde 4 fiche le perdile fono proportionali, fiche in tutto fe ne perde due ► 7» & me ne reflano folamente due. 6. 100 5 3 5 52 5 * I « 4 parte minor 2 I 4 8 25 parte I 24 24 maggior Quefito fèttimo Pofto da Frate Luca It i 4> Libro Sefto. 3is> Ét perche al quarto riaggio haueria perduto due. 8 , perche le perdite feguitauano nella continua proportionaliià dupla veggo , che 6 fono li de 8 , adonque diremo che fece li primi 3 viaggi, & de rno riag gio, cioè 3 -L viaggi, ilche co fi fi prona. . Trrche duplando fi fà derno doi , adonque in -J- de viaggio de 4 / e ne farebbono 7, perche il 7 contienil 4 ma volta , &-X-<Tvna voi- ta, adonque de 6 fe ne farebbe io £ a quella ragione, & perche /pen- de anchore li -{-de tq, che fono finalmente io -{-,adonque fottrarai io -{ -delti fudetti 10 -f- refiara nulla , & cofi vien prouata la parte ara gion del tutto, & cofi farai in augmento,come in decremento . /C4I7I6 IO* n 7 iof 2 4 ! 4* r 1 0 2 6 I * x 4 1 a 2 , * , 24 24 X XI 14 * 7 1 o 2 <f«c.74.| 7 2 o 14 6 Quefito ottauo, & del Cardano . Cap. 6, V7\(o merendante andò 3 rotte alle fere , & per ciafchaduna volta ritorno col triplo del fuo capitale, & al fine fi ritrouo col fuo capi tale, & il quadrato , & il cubo del detto fuo capitale, dimando con quanti dinari fi parti, cioè quanto fu detto fuo capitale t T er fcluer quefio poni, che andajje con 1 co.de dinari alla prima vol- tale 1 co.fece j co. er alla fecorltta de 3 co.ne fece 9 co. & de 9. co. fece 27 co.& queflo farà eguale a 1 co.p.i cen.p.ieubo , f chi ff andò le parti per 1 co.ne vengono 27 numero eguali ap. 1 co.p.t cenjeua 1 dalle parti reflano 16 eguali a 1 co.p. 1 ce.pcrche quando fùfchiffato I co. per 1 co. ne venne 1 numero.feguita il capitolo de co.& numero eguale a ctn. cioè dimena le co. & quadra, & il quadrato aggiongi al numero ,& cattane la -{-delle co.Lacofa vaierà rad.26 & tanto fu ilfito capitale. Et volendo faper quanto fi ritrouo alfne,multtplica rad.i6-~-m. £• per 27 farà rad Api 36 m.i 3 -{-molti altri qurfiti de viaggi batteria poflo , ma non apparendomi materia molto v file, non mi eflendo in quefli più olirà , et volendone de più legga la fttmma di jirithmeiit,a di Frate luca Tacitilo del Borgo di Santo fepulchro, in fiutile trattato. * « > & DelfArithmetica ' rad.ió ~m.y 27 •> \ >rv^ -,K per 17 27 «truv^iui produttorad.19136 -j-w.ij -ir 729 l -5 5 t«>\* * 6 -5- ’ > ;V \ 4 3 7 4 * cr tant i dinari fi rhroub in 1 4 5 8 .» -5- ‘ : > vltima, 18 *-J- < ■ * 1 1 , I * * >t rad. l 9 I 3 6 -y i co| 1 co. />. 1 cc.p. 1 cw. ' j fchiffafa ip. 1 ce.p. 1 cc.eguali a 27 leua 1 numero delle parti rejlano 1 co.p.l cc.eguali a 26 ‘ rad. 26 ~m. £ i * ’ Quefiti de parti , che hanno dinari, ÒC de tròuanti vnaborfa. / NElli quefiti delle parti, onero della borfa quatto cofe fi fogliono confi- derarefia prima è il numero delle perfone,ilqualc quanto è minore tanto è più facile : la feconda cofa è la pofitionetlaquale ouero i fatta per vna quantità terminata , ouero per yna parte cognita,ouero per parte comparatala terja cofa fi deue auertire,fcgli è queflione fimplice, ouero compofia : la quarta cofa è da confiderare fé l quefito fi troui per vna fo- la pofitione, onero per molte,fi come feparatamente fidirà nelle fequenti queftioni . Quefito primo. ET prima fe vno dicejjefono doi,cbe hanno dinari, il primo dice ab fe- condo Jc turni darai 5 dclli tuoi,hautrò quattro tanto,de quelli, che ti faranno rifiati} il fecondo dice al primo, fe tu mi dai 4 delli tuoi,bauc- ro quatto volte tanto de quelli , che ti faranno reflati , dimando quanto prima' baueua ciafcun di loro f1 Ter trouarlo podi , che l primo haueffe 1 co. dandogli il fecondo s de fuoi, batterà poi 1 co.p.5, & queflo è il quadruplo del reflante figliane il -» farà -f- co.p. 1 -l , che è il reflante, & perche ne dete 5 al primo ren- degli , & ne batta à -±-cotf.6 & tanti ne bautr ebbe ilfecodotet pebe ' * lui .1 . i Libro Sefto . 320 lui die e, eh e fel primo gli ne darà 4 de fuoi, che n'hauerà quatro tanto di lui,adonq -, dadogli il primo 4 ne batterà -%-co.p. 1 o -J- ,tt al primo refla- rano 1 co.m. 4, adonq;-±-co.p.lo-%-fono il quadruplo de 1 co.m.q.multipli ca adoqi 1 co. m.+pcr 4 farà 4 co.m. 1 6, et quefli faranno eguali a -J -co. p. 1 o -^-refìora li diminuti giùngendo 16 a l'vna , & l’altra partc,cr Ie- ttando -*-co.de 4 .co.hauerai 3 -L co. eguale a l6-\-rìdufe tutto a quarti, hauerai 15 e guati a lapparti 105 per 15 co. ne venirano 7, & tanti di nari haueua il primo , & dandogli 5 il fecondo faranno 1 t,& quefli fa- riano quattro tanti del refante delfecodofadonque ejfo reflantefit },cbc co il 5 fanno S,& tanti nhebbe il fecondo, perche dandogli il primo 4, ne baueria\i,& nereflarebbono alprimo i,che ben farebbono qua ttro tan .to del reftante delprimo,& cofifl arguirà inflmili . • primo z co. . 1 co.p. J 1 co. OT.4 4 4cf.OT.16 t rrco- P* 1 ■ 5 -L- ce.p.6 -J- 4 -J- co.p. 10-3- 16 3 co. eguali a p. a 6-^- 4 : 1 5 co. eguali a | 1 o $ 7 la co. valfc 7 , eSr tonfo hebbe 5 3 il primo •%\\& : 4.1 11 8 to»/< nhebbe il fecondo. Quefito fecondo . DOi hanno dinari, dice il primo al fecondo, fe tu mi dai tal parte de tuoi dinari, quale li tu oifono delli miei , io hauerò 5 volte tanti di quelli cheti reftanotet il fecondo dice alprimo, fe tu midaitalparte del- li tuoi, qual parte fono quell i,che mi hai dimandato de tutta lafumma , (bebauerefii battuto, io ne baueria io, dimando quanti nhebbe ciafca- dunth 1 Dell’A ri thm ètica duna perfe ,poni che' l primo babbia i i.il fecondo batteria i co. & per* , chepropofte 2 quantità proportionali , per trottar la terga fi parte il quadrato della feconda , per la prima , & ne venir à Uterina , adonque moltiplica i co.in fefari i cen.qual parti per 12 ne venirà -j| cen. & qucflo farà tal parte de 1 co. qual’ è ico.de 12 , aggiùngi adonque ce. con 1 a farà 12 p. ce.& qucjlo è il quincuplo del rcflate,qualfiù-£ co. leua il rotto , & batterai, che 1 cen.p.i^q fono eguali a 60 co.m. 5 cen. iltbcfi Trotta mnltìpltcando 1 co. fia quello 1 2 fotto la virgola, farà j * co.& moltiplicando quello m.i ce.p 5 qual'èfopra la detta virgola farà 60 co.m.$ cen. agguaglia le parti aggiùngendo 1 cen. con w.j cen. far an- no 6 ccn.p. ineguali a 60, parte la cquation perticai, baucrai 1 cen . p.iqegualia io co.di melale co. farà 5. quadrali fanno canarie il nu mero, cioè 2 4 reflano \,& di qucflo cauancla ra.farà pur 1 ,quat fottra- ' rai dalla mità delle co. cioè de reflano 4, adonque la co.vale 4, & per- che il primo bebbe 1 2 , adonque erano in tripla proporzione il primo, & fecondo . Farai adonque po fittone al fecondo, & poni,cbe‘l primo babbia } co. adonque il fecondo bauerà 1 co. oucr r -J-co. per la duplice folution di cen.& numero eguali a co. bora poniamo della tripla , dando adonque il fecondo al primo, la terga parte de fuoi dinari, perche ha 4 , che fono -J- de 1 ì,& il-y-de^è 1 -J- dandoli a i z faranno 1 3 -J— , & quefli fono 5 volte tanto de quelli,che reflano al fecddo,delli quali piglia la -j- par tc ne venir anno 2 J , et quefli fono quclli,cbe rcflorno al fecondo ,èr per <*, trottar quanti nc dimando al primo, fottr arai a -y de 4 reflano 1 adonque ne dette 1 al primo, hor vedi, che parte fono 1 -J- de 1 j -j- 6 trotter ai, che fono ^ , cioè di tutta la fumma , bora prendi il deUi dinari dii primo che fono 12 alla feconda pofitione, faranno 1 que fii darai al fecondo, che haueua 4 ,ne bauerà poi 5 -y, & quefli douereb bona effer r o ,adonquc dirai fe 5 -J- mi danno 1 o, che mi daranno 4, cioè quelli del facondo, multiplica,& partiti daranno 7 -4j > & tanti n' bebbe il fecondo, il primo n' bebbe 3 tanto, come trouai per pofitione de co.adon- que bebbe 1 3 -fj , & cofi farai in fimili. » La proua farai pigliando tal parte de 7 -fj , quatè effo 7 -fj de 2 ? -fj faccnndol'vn , & labro nella fua dcnovùnatione,b -lucrai che farà -J-, piglia, adonque -j- de 7 farà 2 — quali aggiùngi ali} —del primo faranno 25 queflifono 5 volte tanto de quelli , che rcflorno al fe- condo,quali parti per 5 , ne venir ano 5 & tanti reflorno al fecondo hauendone datti al primo 2 ' V L Hor vedi qual parte fono 1 fj-de tutta la fumma, che bebbe il primo , cioè deij -Jfcbijfando troucrat che fono -jj, adonque piglia-d.de quel- li del primo , cioè de 2} -j-, nc 'vengono * quali aggiongt a quel- i Libro Serto ._f* 321 Ji del fecondo, cbehaueua 7 ^ faranno io a ponto , come fh propella. Onero doppo la prima pò fittone poni eh e' l primo habbia 3 co. adoni que il fecondo hanerài co.adonque darà al primo 1 J-, & batterà 13 ~T> & perche 1 j-èil fade 1 3 darai adonque il de 3 co. ad 1 co. far turno 1 -f; co. eguali a 1 o, parti il numero per le co.ne venir à 7 *rper li dinari del fecondo, & il primo batterà 3 tanto, cioè 13 4r , cornedi- fopra fu conclufo , Quefito terzo. T)0' hanno dinari, diceilprimo al fecondo, fe mi darai a de tuoi dina - ri batterò y volte tanto di queUi,che ti rcSlanoidice il fecondo al ori mo fe mi darai tal parte de tuoi dinari, qual'è 4 di miei, hauerò il doppio de quelli, che ttreflano, dimando quanti dinari ha ciafcun di loro ? babbu 5 e0m pCr %hiuar rotti’ *Xg‘0”X'tÌ4 , che gli da il fecondo fanno y co.p.q, &queflafumma parti per n ne vien r cof~r> & t*nti reflariano al fecondo, & per faper quanto haueuapri- & tMt0 h*Ue- Hor piglia tal parte de y co. cioè de quelli del primo, quali a dei co *4 VMM fecondo, dicldofc 1 £ p.tffmi dacché mi dar a y co. moltiplica 4 fia y co. fanno 20 co. parti per \ co.p a-*- ne ^yenZ°no ffo.p. 4-J. ^ quefla parte darai al fecondo, cheprima hebbe 1 «-M -f Jirmm , co. M +p. ‘guoli al doppio de qUeU‘^e0 *1 primo qual baueua prima 5 co. cioè eguali a io co. leM « «- Mtv** > & l'altra parte , batterai 4 j eguali a? co. Moltiplica limtegri del- co. p. 4 > cioè prima , ' 4o.co. m.i co io.co p. 1 co. p. 4 c r-r^ m. 1 co. p. 4 jy- * & l'altra parte per il partitore, quale 1 moltiplica 4 -f jfa r co.p. 4 Sfaranno 4 -f co./)'. 2 3 i , & quefle 4 + «■ *gg‘°ngerai alle io co.pofle fopra la virgola faranno 24 co.p. «1 > poi moltiplica 9 co.dall altra parte fia detto partitore , cioè per « co.p. 4 -J-/Ì7M0 9 ff«./). 47 -f- co. onde haueraipot 14 -±- co.p.if-K eguali apccn.p.qyì-co.m.qo co. & cofi farai libero dadi denomini- w delle dette parti , bora riflora li diminuti,aggiongcndo 40 co.a tvna & t altra parte,bauer ai 64 -f- co.p . 1 j jf eguali a 9 co./) 4 j 4- co /c 4M ancor Itfuperflu, forandoli 43 -f co.daUc 64+co. Intuirai % 1 ,-w./).25 -ir rgMlra 9 celarti la equation per li ficcn.baueraÌ2+ Mmutm co. ' Libro Serto, 524 tanti del riflante di ejjo numero, tir per trouarlo poni, che quello numeri fin I co. coitane -J- P>* 3 reflano -y-to.m.3, tir quefli -i- co.p.ì giongeli a sfaranno -j-co.p. u, & qutflijono 3 tanto de co.m. j, bora mu Iti- plica -j-co.m. 3 per 3, faranno 2 co.m. 9, tir quefli fono eguali a -J- co. p. 1 1 iUggiongi a l'vna, tir f altra parte 9, tir fottra da f vna, tir Poltra par te \-co.hauerai 20 eguali a i-j-co.partiìoper l-f,ne >ien 12, et tanti dinari haueua il primo . La prona fi farà dando alprimo,che ha 1 a la del fecondo, che fa- ranno poi 16, tir 2 appreffo faranno 18, tir perche ne reflano 2 al fecondi hauerà 9 tanti del fio re fante , tir poi dando al fecondo , che hà 8 la± parte del primo, che ha 1 1 haueràpoi 1 2, tir j appreffo faranno 15, tir al primo gli reflano 5^ & a queflo modo quelli del fecondo faranno 3 tanti di quelli che reflano al primo , fi che farà fadisfatto alle requifite con- dii ioni. Quelito quinto.Qual èlVItimo delCardanodc limili queliti, & il 2 4 di Frate Luca ÒC li- bro ottauo de Francelco Caligai Fiorentino : DO : haueuano dinaritdice il primo al fecondo, fé tu mi darai tal par- te de tuoi , quali 3 de mici,hauerò io p. del tuo reflante, dice il fe- condo al or imo, fé tu mi darai, tal parte de tuoi qual' è 4 de miei , hauerà tip à del tuo reflant *. Dimando quanti dinari beh he ciafchuno di laro. Poni che fra l v no, tir l altro baueffero 1 co. adonque quando il primo hauerà io più del fecondo , allhora il primo haueria co. p.$, tir il fe- condo] co.m. 5 , perche quefle due parti fono le parti de 1 co. & fono digerenti in 10 numero, flmilmente quando il fecondo hauerà 6 più del pri mo l hauerà -{-co. pi, tir il primo hauerà -L co.m. 3, che la loro digeren tia è 6,hora vcdi,che da co.p. l,che hcbbt il primo alla fua dimanda a -j-cojn. 3 , che hebbe il primo , alia dimanda del fecondo fono 8 de diffe - rentia , qual fi troua fummando p. $ con wi.j farà 8 de dijfcrentia,.fìmil- mente il fecondo alla dimanda del primo , al detto fecondo alla fua dimoi* farà digercntia 8, come di/ otto appare . primo co.p. 5 fecondo co. m.% primo co.m. 3 fecondo co.p .3 “ ■ ■“ ■ r ^ digercntia 8 digerentia 8 , Mmmm 2 Et -7f DelTArith inetica Et perche ta prima parte è 3,cbe riccue il primo dal fecondo,# la fe- tonda è 4, che ricette il fecondo dal frimo,che multiplicata l'yna ne lai- - tra fanno 1 x, far ai due parti de S,cheela detta differentia.che multiplica ta l'yna per l'altra facciano i 2 ,le quali parti fi trouano in queflo modo» • pigliando la -f -de 8 farà 4 quadra farà 1 6 , fottrane 1 2 refta 4, del qual piglia la rad. farà 2. qual aggiongi alla detta ±farà 6 , cioè la maggior [altra farà 2 minore, che’l produtto de tvna ne [altra farà iz,adonque il primo riceuerà dal fecondo 2 ,e]fendo adonque 2 tal parte del fecondo» qua? è 3 del primo, adonque farà la proportione del primo al fecondo , co- me dal 3 alt, farai adonque la terga poftlione ponendo chel primo bah - bia 3 co. & il fecondo bautta 2 co. & perche il primo riceuedal fecondo a fottrarai 2 de 2 co.reflaranno 2 co.m.t aggiongigl 2 al primo hauerà 3 co.p. 2, & perche 3 co.p. 2 del primo fono io più, che 2 co.m.zdel fe- condo,però aggiongi 1 o al fecondo faranno eguali, & hauerà poi il fecotr do 2 co.p. 8, adonque 3 co.p. 2 faranno eguali a 2 co.p.Sfeguila equatione hauerai 1 co. eguale a 6, adonque la co. vale 6 , & perche il primo hebbe 3 co. adonque hebbe 1 8, & perche U fecondo hebbe 2 co. adonque hebbe 1 ì,& cofi opera inftmili , j co.p , 2 eguali a 2 co.p. 8 ~ tee. Eguale a 6 6 77 3 a . primo hebbe 18 i» hebbe il fecondo Troua 3 fono la feila parte del 1 8 , & 2 fono anchor la -J- del I a aggiongi 2 al 1 Sfaranno 20, & al fecondo reflarano 1 o, che fono 10 meno del fecondo» C 4 fono-^.le 12, et il -j-de 1 8 fono 6,quali aggiontialli 12 del feconda faranno 1 8, & al primo ne reflarano 1 a , che fono 6 de più del reflantc del primo, come ciafchuno per fé facilmente può prouare . Quelito fello pollo anchora de Francc- feo Caligai al fettimo. Doi hanno dinari,dice il primo al fecondo fe tu mi dai talparte de tuoi dinar i, quale 6 de miei, io hauerò poi a 1 .dice iljecondo al primo fc tu mi dai tal parte de tuoi dinari,quat è 3 de miei, io hauerò poi 20, et f— yno, et L'altro infteme baueuano 1 1 .dimando quanti dinari haueuano eia f ebano di loro, feparatamente . # Trima bifogna multiplicar infteme li dinari che fono parti »cioè quel - Libro Sefto. 323 Eófitt quelli j faranno 1 8, & quefto ferua,poi farai de 1 1 due partiate multiplicata l'vna ne f altra faccia r8, onde operando , come nella prece- dente fi infcgnato,trouerai,che laminar farà a, & V altra farà 9 , onde dir ai, che quello che riceue 9 è quello, che dimanda maggior parte, cioè il primo dimanda 9, & perche diJJe,chc hauerà ai ,adonque fottra 9 de al reftarano \%,et il fecondo riceue ì, adonque fottra a de 20 rejìano i8> et tanto hauera il fecondo, et il primo hauerà 1 * . . primo r 2 9 fanno a 1 5 operatione 9 6 S x 81 fecondai % 54- 54- 1 5 4 a 30-}- 3 1 1 8 18 fanno 20 — — 12* 5-r 7|*4- 34- ^ * tettano t * Quelito fcttimo,8C la prima de Frate Luca , & la decima del Cardano. DOi hanno dinari, dice il primo al fecondo , fa tu mi dai tale parte dà tuoi dinari, quai è 5 de miei, io hauerà 7 tanto di te Rimando quan tin bebbe ciafihaduno.di loro i "Per far quefta ragione bifogna trouar li minimi numeri, che fottraudo "»no de l'altro, quello che è fottratto infieme con quelli del primo fa 7 tan todel rimanente „ Et per trouarli aggiongi 1 al 7 farà Z, adonque il primo hauerà li— de tutta la fumma, perche fotte andò 7 de 8 refla 1 talmente, che il 7 è Jet tuplodei , et perche dimanda tal parte de quelli del fecondo, quali 5 . del primo, adonque vedi 5 di qual numero fu li dicendo fey mi danr no 8, che mi darà $,& trouerai che farà li-%- de 5 bora vedi quan ti ne fono dalli 5 fin alli 8 , tir trouerai che gli ne mancano 2 & perche dice, che n hauerà 7 tanto, adonque multiplica a fa 7 far anno- l6,& quefto ferua, poi quadra quello 8 , che fu poflo per denominatore de tale parte,farà 64, quale partirai per quello 1 6,feruato difopra ne ve \ tùranno 4, bora dirai,cbefel primo bebbe 8 ,& il fecondo hebbe 4 , &-■ tuffar ai le fimili . DdTArithmcrica 8 1_ 8 S 7 9 ■ i" i ' .Him rcjlat ltfU4 -, ..LrVJ, 7 T fecondo 4 frano t. w 46 La prona farai perche $ fono li -J- </f 8 , adonque piglia li -J- 4,ffce yòno 2 -J-, quali filtra de 4 r citano 1 4-» & li i-\- aggiongerai ài % fa- ranno 1 o 4^» & perche 10 -V- fino j tanto de 1 4-, ffce rimafero al fe- condo farà giufla . Et fedoppoi, che haueili trottato che 5 fonali \-de 5 -J- hauefti tol- to io m cambio de 8, onrr d!/ro numero maggior de 7, etfottrando 5 -f- de io rifiatano 4. , moltìplica io in fcflrjfi,farà 100, poi muli. plica 7 fia^-j- fanno io, par ti 100 per ^o,nt vien j -f-,et pche 5/* lamità de r IO, che pontfli hauer il pi imo per quefia feconda regola, adonq; piglierai la -J- de ? -j- /irà 1 -J-; qual aggiongerai al 1 o,farà 1 1 -f- » poi fottra l -j- de 1 re/la i -i- al fecondo, & quelli del primo, che Jono 11 -j-fo no Tlfant: de quelli del fecondo,perche il -J de 1 1 i 1 ry-, & cofi po- trai rifondere in molti modi, operando per quefia regola . Qucfitootcauo. ‘ ' - t -,i DOi hanno dinari, dice il primo al fecondo , fé tu mi dai il 4- de tuoi, et che poi ti refiituifea il -j-di miei,cbe mi ritrouarb, faremo e gua- Ultimando quanti dinari baueua cia/cun di loro . Toni che'l primo habbia 8 dando al fecondo il gli darà \,hora tro- ttato vn numero, che giontoli 2, & della fumma tolto 4-, & quello gion to al 6, cioè al refiante de 8 ftano eguali, & per trouarlo pongo,che quel lo numero fa 1 co.p, 2» pigliane il -J- farà -f co.p. -j- frittali de 1 co. p.2 tettar anno -pc°- p.X 4-» & quello farà eguale a 6 figli aggionge rai 4- co.p. -J-, adonque farà eguale a 6 -~-p. 4- co. leua li fuperftui , fottrando 14 -de 6 4~» & -{- co.de -i- co. hauer ai 5 -f- eguali a pftrti 5 4 -per 4- co.ne ■venir anno i6,& tanti n'hauetà il fecondo , &• il primo hauer à%. Queflo ejfer eguali in quella folut ione s'intende, che ne Cynone t al- tro perderà ne guadagnerà,ma fi trouaranno,come deprima erano, per- che fe'l primo ha 8, & dimanda il 4* al fecondo , che ha 16 , il primo foi hauer à i%,& al fecondo gli refiaranno H,& fi poiilprmo ritorni tf-j-dc ti, che fino 4, al fecondo refiaranno 9, al primo , & il feconda hauer à 1 6. come baueua prima . . Ji\ ; . Ma Libro Serto. 322 Ma fe il fecoio haueffe dimandato al primo il che è 2, farebbono re fiati al primo 6,& il fecondo ballerebbe i%,& akndo il de 1 8 , che fono 6 al primo, ne batterebbe n,& tanti altri, cioè 1 i farebbono re- fiati al fecondo, talmente che queflo quefito è folubile in do i modi, fi co- me erano le rifpofìe delli oracoli antichi, & queflo può htuer infinite ri - j ffoftc propor fiottando le parti* Quefito nono. SOno 3 hominifche hanno dinari,dice il primo al feeondo,fe tu mi dai Ut miti de tuoi, io hauerò 7 tanti di te: & diffe al tergo, fe tu mi dai li -j- de tuoi dinari io hauerò 6 tanti di te, cioè di quelli , che te reflarano , dice il fecondo a gli altri doi a multiplicar li miei con quelli del tergo fo- no 3 tanti de quelli del primo , dimando quanti dinari bebbe ciafchadu- no per feè "Prima fi deue confiderare,che'l primo dimandando la ~ al fecondò , dice che hauerà 7 tanti di lui, onde li dinari del primo faranno a quelli , che reflanoal fecondo fi come n ad 1 , adonque de Jparti filtrandone vna 'reflarano 6, adonque il primo haueua per inanimi 6 volte tanto di effo re - ftante Jet fecondo, adonqu e haueua 3 tanti di effo fecondò, perche doppian do il -j-fà -j- talmente , che li dinari del fecondo erano -£■ de quelli del. primo : & perche il primo diffe al terrò, che dandogli li de fuoi dinari haueria 6 tanto di lui, cioè di quelli , che refiano al tergo, adonque de 6 parti , che hebbe il primo il reflante del tergo fà vna , adonque effendo quelli del primo, al recante del tergo, al quale gli reflò -j- de fuoi dinari , come 6 ad vno faranno alti come 6 a 2, cioè, come 3 adì , adonque fot trando ne vna parte reflarano , come z ad i,adonque fe faranno alli-~, come 2 ad 1 far anno, adonque alla fua mità,cioè ad -J-, come 4 ad vno,if donquefummando infteme -£* , <7 £ faranno \ , onde li dinari del tergo farebbono de quelli del primo:& perche quefte cofe feguitano de necef fità per confideratione delle paro le del fecondo compagno, ouero alle cofe predette, poni adonque che’l primo haueffe r co. adonque per le cofe con- elufe difopra il fecondo hauerà co. & il tergo hauerà co. & per- che dice ilfecondo,che a multiplicar li fuoi dinari con quelli del tergo fan no 3 tanti de quelli del primo, adonque a multiplicar -j- co.fia -j- co. fan no -j- cen.farà eguale a 3 co.Tarti, adonque $ co. per -i- cen.ne venir an no\i,& tanti dinari haueua il primo, adonque per le predette ragionici fecondo haueua il tergo li di effoprimo,cioè 9 , chemultiplicato 4-fia g fanno 3 6, che fino li 3 tanti de 12, che haueua il primo , & dando aitila mila de 4 faranno quelli del primo 1 4 , & quelli che reflorno al facondo faranno 1, che fono 7 tanti , & poi ad effo primo , che ha 12 don - " do IL ' ^ % Libro Scilo. 32 j blando al fecondo la quarta parte dei primo,che fono X q,hautrà poi 14?, tir al prpqozli refiq^qnnoy^, onde 1 45 fono 70 de più de 75 che rejlot no alprimV, pitch é ab fonò il de ioo,& jo èil-j- de 1 toc’ come fk propoflo. .I7jLL- Si potrebbe quefto quefito foluer ancora per altri modi, * .1 ' ♦ 1 • r\ Quefito vndecimo, porto dal Cardano. « • . . 1 • ‘ ■ l-o •! i i • i \ Tt{f bomini hanno dinari , dice il primo al fecondo , fe mi darai tal partede tuoi dinari , qual è 4 di miei , hauerò j tanti de quelli che refi ano a te: & dijje al terzo, fe mi dar ai tal parte di tuoi dinari,quali 5 di m:ei,hnuerò 6 tanto de quelli, che rcflano a te: & diffe il fecondo al terzo il quadrato delti dinari del primo, è tanto quanto il produtto delti nojlri infume , dimando quanti dinari bauerà ciafcuno per fe ? Opera al modo della fettima di quejlo trattato trouando li minori ter mini del fecondo, & terzo, tir troucrai per il fecondo 4-^-, & per il ter ZP 5 +» Pani adonque, che l primo habbia 1 co. multiplica in fe farà t tenfo , qual parti per 1 co fa men 4 A- ne venir anno ; * — -- 7 T ’ dei co. m. 4 leua il rotto , multiplicando il denominatore per il denominator del rotto, cioè per 5 , bauerai -'-“"m & tanto poni per il fecondo , tir per il terzo fimilmente diuiderai 1 cenfo per 1 cofa men 5 -L fa- rà prima al modo difopra ridurrai alla denomina- l'ione del fuo rotto, multiplicando per 6, nevenirà - *■' a‘ — tir perche óco.m.j 5. r il produtto di vno nell' altro de ue effer eguale al quadrato del primo, pe ri multipla 1. cen. -fa' 1. cen. ■ faranno i.ce ce. f.co. m.2 4' 6co.to.3j 3 o ce.p. 840 m. 3 19 eo. tir. queflo rotto farà eguale a 1 cen.cioè al quadrato del primo, multipli ea t cen.per il denominator bauerai 30 ce.ce.p. 840 ce.m. 3 1 9 cu.egua- ìia 1 ce.ce. fchijfa la equatione per cen.haucrai 30 cen.p. 840 m. 3 1 9 c°. eguali a » cen.leua lifuperflui , & refiora li diminuti, bauerai 29 cf. jp.840 eguali a 3 19 co. parti la equatione per li cen. bauerai 1 cen.p. 18 efua^ a d t'. copiglia la delle co. cioè 5 quali quadra faranno 3°r eauane x8 refiano 1 yfj , cauanela rad. farà rad.i M , quale nggìo tgerai a 5 J- farà ’, -£-p.rad. I j , tir tanto valfe la co.& tan fo bebbe il primo, fi altri fi trottar anno replicando lapofitione,& dando alprimo in luogo.de t co.il fuo valore, cioè $ +p. rad. i\h, tir haue- rat la J olutione del quefito. 7 yjt n n Que- DT ♦ » . DcirÀrìthmctìca •n*' Quefito duodecimo, &Ia decimate- f fta de Frate Luca. 'T* Re hanno dinari , dice it primo agli altri doi,fe mi date la J- de vo- X firi dinari , io hauerò 90. dice it facondo agli altri doi, fe mi date i <fe voflri io batterò Sudice il tergo agli altri doijemi date -f rfe voflri p. 6. io batterò 87, dimando quanti dinari baueua ciafchuno perft . Tomìche’t primo habbia 1 co.dr per trouar quanto baueua il fecgn- do , & lergofottrarai 1 co. de 90, reflaranno 90 m.i co. & quello conm nini che fia la -f degli altri doi : adonque doppiando 90 m. 1 co. faranno 180 m.i co. cr tanto hauerebbono ilfecodo,& tergo, & aggiorni quelli del primo,cìoè 1 co.faranno 1 80 m. 1 co. & tanti hauerebbono tutti tir . Hora poni, che' l fecondo babbi i quantità,che co/i la depingo 1 quan- tità per trouar quanto hebbe il primo,& il tergo fottr arai 1 quanti- tà de 1 80 m. 1 co. che baueuano tutti 3 infieme , reflaranno ( 80 m. 1 co. m. 1 quantità, & tanto conuien,cbe fta il del primo, & tergo pigliane figliane-—, ne veniranno 60 tri. -f-co.m.-^-quantità giongeli al freon do,quatperfe ha 1 quantità far anno-quantità p.6o m.-^-co. & queflo farà eguale a 84 .agguaglia le parti leuando 60, dalli eflremi,& aggiogete doli -f-co.hautrai quantità eguali a 24 p.-j-co.parti la cquatione per -j- quantità al modo , che fi ridufe a 1 cen. ne venir à 1 quantità eguale a }6p.-Y-co.& tanto bauerebbe il fecondo. Hora poni fimilmente , cbel tergo haueffe anchora lui t quantità fot trala de 180 men icofit, che hanno tutti tre infieme , reflaranno 180 mcn 1 cofa men 1 quantità , & di queflo pigliane il , ne veni- ranno 45 men -J* cofe men quantità , aggiongeli a 1 quantità , che . bà il tergo per fe , ne veniranno 45 men -4- cofe più i quantità, giongeli 6 faranno 5 1 m.-f- co. p.-L- quantità, & queflo farà eguale a ìjjcua li fnperflui fottrando Ridalli rflremi , & aggiùngendoli -f- co, bauerai quantità p. 4- co. eguale a 35 parti la equation per la quanti td hauerai 1 quantità eguale a 48/».-^- co. per il tergp,perchefempre la ■ quantità conuicn,che refii fola da vnaparte,poi che hauerai leuato li fu - per fluì, & ri fiorato li diminuti quantunche gli nevenifiero altre dignità dalla fua parte,ilchcè da notare,borafumma infieme 1 co. per il primo, & peY lo fecondo 3 6 p.^ co. & per il tergo 48 p.-j- co. & faranno 84 p.j-frco.dr quefii faranno eguali a i8om.i co. che prima fù fuppoflo bauer tutti 3 infieme, & la quantità farà leuata, perchepoi che hauerai ridotto la cquatione alla quantità, non fe neparlapiù olera, perche ha fot - io il fuo officio, bora lena li fuperfìut , tr rifiora ti diminuti leuando 84 ✓ • dalli Libro Serto. 32* tflitm,# aggiùngendoti i co.haueraipoi 2 co. eguali a 96, par ti 96 per a -£• ca. «r venir anno J? , er fa/jfo v*//f A* co, fanto bebbe il primo,#- perche il fecondo bebbe j6p y condonane awitngt- ràa }6 la£ de 3 J -jj,cbe è 16-jf farà 52 -f* , & tanto bebbe il fecon- do,& volendo trouar il tergo aggiùngi a 48 il —della valuta della co. . * 1 * “Vifaà &r tanto bebbe il tergo, & co fi potrai operare infimi*. r .1 a , ì \ 1 . . . . "°V ~ ■ .. ' « -V - , JM ia 1 *t. . 1. 36 co. 2_ 4 8 p-~j- co. 41 — ìi c'wn" T fi v«i*. X 1 *4 p.l co. - Quefitodedmotcrzo,&vigefimo/etti- t rr n?o de Frate Luca. T ¥ iìnari' i,ct u primo agli aUri joi » datme 1* 4- * ><>- *5, chf nhautr'° 50. dice il fecondo a gli altri doi , datine il 4- de vofin dinar,, che nhauerò 5 o. dice il tergo agli altri doi, datme il \ de vojiri , chenbauero 50 , dimando quanti n'haueua ciafcuno di loro > Qucjlo quefito fi può foluerper lapofition falfa,ma più preflo P Mie ' *>ra, pon* adonq-, che'l primo bauejfe 1 co.fottralo de 50 re farà. 50 m.t co.#- tanto farebbe la 4- del fecondo, & tergo,adonque il fecondo , & tergo hauerebbono 100, m. 1 co. giongeli quelli del primo, cioè 1 co.ha uerannatutti tre infieme x 00, m.i co. hor poni che'l fecondo habbia 1 quantità fotte a 1 quantità de 100 m.t co. vedranno roo m. 1 co. m. 1 quantità ,& tanto hauerebbono ilprimo, & tergo per qucfla fecon- da pofitione: & perche dice, che dandogli il -f- del primo,# tergo,che bauerà jo , piglia adonque il + de 1 00 m.i co.m. 1 quantità, faranno JJ 4 m*- co.m. j- quantità , aggipngili quelli che haucuadafe , cioè I quantità, bavera, poi 3 } -fw. -L co.p. 'f quantità , & queflifaran no eguali a 50, agguagli lepant, leuandogU j j er aggiùngendoli + co. batterai -y- quantità eguali a 16 -f/r.-f. COm bora parti la equa- itone per la quantità , cioè per -y- quantità, hauerai 1 quantità eguale a * J P- T <0.# tanto valfe la quantità , cioè 2 $ p. ± co. bora aggiungi tnfteme queUidelprmo con quelli del fecondo, cioè 1 co.com^p co che fanno Up.V-\- couhe hanno ilprimo, & fecondo, quali fottrarai de ìoom.i co.chc baueuano tutti (re inf*eme,reJiaranno 7 5 m. 2 4- co «■ t*m hfiiiftepbt il. (Ugo, Gra dandogli il 4. de quelli dd primo , # v - Tfjinn a del DclPArithmecica del fecondo inficine, cioè il — de 2$ p. 1 ~~ co. che fanno co* gongili a m.i -f- co. fanno 81 ■dfim co.eguali a 50, [ottra jo de 9i-%-,reflano 314-. parti 3 1 p 2 't-co.nevien 14 \j-,ct tato valje la prima co.adomj', tanti dinari haueua il primo,et perche il fecondo fu tr » nato difopra hauer 2 Jp. 5 co. adonq; hebbe 1 5 p. 7 -f-r, cioè più la mi - tà della cofa , che farcbbono 31 & perche il terjp fu conci nfo ha - xer 75 wj.2 -J- co.multiplica 1 4 cioè la co.per 2 4- far^ J 6 \j-fot- trali de 75 reflano 3 8 ,-j- , €5" tanti dinari hebbe il ter %o, & quejta po- trai fàcilmente prouareper te medefmo. _ IX primo 14 — fecondo 32 primo 14 — A 4|47 77 1. li ir 38 — * ir sa primo 14 — ter%? 38 ^ ter 387^ 50 1 16 si u-r f ti», |Ìa 1 . *- U »i *'v M S» rr 17 Tt *■ ì2Tt •„ - „r \ 5» prima t co. 100 m. 1 co. fecondo il p.-i-co. 25 p. 1 co. 3|7»£ ter^o 7 5 m. 1 + co. Et quefia quantità è detta dagli antichi cofa feconda. Quefuo decimoquartt^, & latrigefima* nona de Frate Luca. TI{e homini hanno dinotici doi fenica il ter^o homo j j,<Jr li doifen età il fecondo hanno }2,& li doifen^a il primo hanno 27, diman- do quanti ne hanno ciafcaduno di loro i Toni che fra tutti tre baueffero 1 co. il primo , & fecondo hanno 35» adonque il ter^o hauer à il reftante, cioè I co.m. 3 $,& perche il primo* &ter^o hanno 3» > adonque canone quelli delter^p , cioè 1 co. m. 3 5» giongendo Libro Serto. 5 27 gongtniop.il con bf.3 j, faranno óqm.i co. & tantohauerebbe ilpri - mc:& per che il primo , & fecondo hanno 3 f fottrali del primo reflui- ranno 1 co. m. 32, tanti batterebbe il fecondo: & perche il fecondo, & tergo hanno 27 aggiùngerai infume quelli del fecondo, con quelli del ferino, cioè 1 co.m.}i,& 1 co.m.tf faranno t co.m. 67, & queflifaran no eguali a 27, agguaglia le partì, faranno 2 co.eguah a parti il nu- mero per le cofe ne venir anno 47, & tanto valfc lacofa, cioè quelli che haueuano tutti tre infteme:& perche ilfecondo,& terzo haueuano 27 fottraraì quefli de 47 rcjlaranno 20 ,et tanti haueua il pr imo, & perche il primo, & terzo haueuano 3 1 fottraraì 32 *47 rifaranno 15 , & tanti haueua il /econdo:& perche il primo, & fecondo hanno 3 5 fottra- rai lì de tutta la fumana che è 47 reflaranr.o 1 1,& tanti haueua il tir Zp,& co fi opera in filmili . z co. ico. m. jy I co. m. 3 2 p. 1* 1 co. m. 35 / p. 67 m. I co. 1 co. m. 67 27 47 47 47 27 32 35 * co. 1 94 tutti s 'bdno 47 valfc la co. primo 2 o, fecodo j 5, terzo 1 2 , Tiù brcuementc fi potcua trouar la valuta della cofa, fummando tut ti tre, come fono propofi, cioè 2 7 1 32 | & 35 fanno qutfliparten do fempreper vno meno delli homini , che hanno dinari, cioè per 2 cheh men 1 de ine vengono 47, & tanto valfe la cofa, hor fottrali, comedi- fopra vedi operato, hauerai quanto fù detto difopra , cioè il primo 20] il fecondo 15 ,& il terzo 1 2 con mirabile brevità . Quefico decimoquinto , & Tvltima di Frate Luca . TPj: compagni vogliono comprar vn cauallo , & trovano vna borfa con dinari dentro, & fe'l primo, & fecondohaueffero il -j- della bor fa comprarebbono il cauallo : & fe'l primo , & ter^p hauejfero il £ della b orfa comprarebbono il cauallo : & fe il fecondo , & terzo hauejfero il -f-delld borfa comprarebbono il cauallo,dimando quanti dinari haueua- no ciafchuno di loro,& quanto > alena il cauallo ,& quanti dinari crani nella borfa ? ; Toni Dc/Mrithmctica Toniche fuffe nella borfa i co.de dinar t,adonqut fe'l primo, & feCOK do batterà il -f- della borfa, & comprarebbono il cauallo,adonque il pri- mo ha il valor del cauallo m.-f - co. de borfa , & coft per fintile ratio - neilprmo,& ter fo baucrebbono va cauallo m.~ co. de borfa,& u fe- conda , <&■ tergo baucrebbono vn cauallo m.-f co.de borfa, quali giùnti inficine fanno f cauaUi m.~g co.de borfa, quali partirai per i meno, cbf non fono li compagni, cioè per i per la regola detta nella precedente que- fiione,ne veniranno i cauallo m.Jfc co.de borfa eguale a i caua[lo,lc- ua lifuperfìui , & rifiora li diminuti hauerai fg co. eguali a cauallo t pani -i- cauallo per ,-J* co.ne venir à . onde li dinari della co. far an- no 60, & il valor del cauallo farà 47, adonqueper trouar quanta haue- ua il primo, & fecondo fottrarai de 47 il de co. che fu zo,reJlar anno *7,& tanto haueua il pr imo, & fecondo it ficme, & per trouar la fune- ma delprimo,& tergo compagno fottrarai de 47 il -J- co. cioè 1 5, rrfla- ranno }2,& per trouar quanto hanno il fecondo , 0- terga infieme fottra ne del 47 valor del cauallo co. che fono 1 i,reJlano 35 ,& tanto bau* - nano il fecondo, & tergo injteme. Hora per trouar quanto haueuano eia feuno per fe,giongi infieme li 2 7 del primo, & fecondo, & il 32 del primo , <Jr tergo, &• il 3 5 del fecondo, & tergo, faranno 94, quali per la prece- dente partir aiper 2, cioè per vno meno, che non fono li compagru,ne veni ranno 4j,che fono lafumma de tutti, de quali cauandone la fumma del fecondo, & tergo quali; 3 5, ne refiarano 1 a ,et tanti baueua il primo per fe:et per trouar quanti baueua il fecondo fottrarai fimilmente del detta 47 la fumma del primo,ct tergo,qualè j », refiaranno 1 $,ef tanti haue- na ilfccondo:finalmenteper trouar quanti haueua il tergo fottra lafum ma del primo,et fecondo qual’è 27 delti 47 ne reftano 20 ,et tanti ne bar neua il tergo,et nella borfa erano 60, et il cauallo valeua 47 . cioè ~co: »o J cioè — co. ^ cioè -—co. *5 12 reftano *7 reftano 32 reftano 35 47 35 47 3* 47 *7 »7 3» 35 *4 47 . — — J_ frano 12, fecondo 15, tergo so 3 KN 4 t •w borfa 1 co. prhno,& fecondo 1 cauallo m. -J-co. primox0- tergo 1 cauallo m. -4* co. fecondo tergo 1 camallo m. -f- co. ?;X-7 cauallo 4? borfa io »ll ''X i 328 : Libro Scfto. . c 1 1 ì caualli m. —■ co. • T ì cauallo m. ^ co. eguali a i cauallo la co} a vale - Quefitodecimo{cfto>ÒClatrentefimapri- ,p ma de Frate Luca. TI[e hanno dinari,# trouano vna borfa,dice il primo agli altri doi, fé mi date la borfa,io hauerò doi tanti de voi: dice il fecondo agli altri doi , fe mi date la borfa,io hauerò tre tanti de voi : dice il tergo a gli altri doi, fé mi date la borfa,io hauerò quattro tanti de vo i, dimando, che haue ua ciafchuno di loro per fe ? Ter foluer quello quefito fenga pofttione <f algebra per li doi tanti poni -\-,per li } tanti poni -L-,et per li quattro tanti poni -J- , etfefuffe detto altri tanti ponerefli-\- , poi vedi in che numero ft troua -{ — J- , onde multiplicando li denominatori l'vn l'altro fi trouarano in 60, del quale li -f- fono qo,et li -%-f anno 45, et li -*-/ inno 48, chegioti infìt me fanno 1 3 $,de quali ne cauarai per regola il detto denominatore, cioè- éo re fiorano 73, dir tanti dinari erano nella detta borfa,poì multiplica le dette parti di 60 per vn meno , che non fono li huomini,ciohper 1, cioè dirai 2 fia 40 fanno 80, & 2 fia 45 fanno 90 , & 1 fia 48 fanno 96 de quali ne fottrarai ad vno ad vno li q%,che fono li dinari della borfa, cioè 71 de 80 reftano tanti ne haueua il primo,# 7 3 de 90 reftano 17 ,et tanti ne haueua il fecondo , & 73 de 9 6 reftano 2}, & tanti n' haueua il tergo,& nella]f)0rfa erano q peonie difopra fu conclufo . 60 ])) 6 o 4 o 4 $ 7 3 erano nella bor fa 4 * 40 4 5 4 * aia »Jj 3 80 90 96 13 7 3 7 3 primo 7, fecodo 1 7 , tergo » j ttquefia operatone ì cauata dall Mgebra,ma i d'auuertire, chetale quefito può bauer diuerfe riffioftt, la prona farà facile a ciaf cuna. DelFArithmetica Quefito decimofetrimo , & de Fra- te Luca vigefimaottaua. TRp hanno din fri, et andando per viaggio trouano Vna borfa etf duca ti 100 dentro, onde il primo diffe agli altri chi, feio haueffe li dina ri della borfa, ne batterci 2 tanti de voiiet il fecondo dijfeagli altri dui, feio bauejf e li dinari della borfa io batteria 3 tanti de voiidiffe il ternana gli altri doi,fe io hauejfc li dinari della borfa infume con li miei batterti 4 tanti de voi,dimando qtianft dinari baueua ciafcbuno per fé ? . Farai come nella precedente ponendo per 2 tanti- j- , et per 3 tanti ■J- , et per 4 tanti 4- , cioè che'l denominator del rotto fta t piu, che' l nn mero di tale multiplicità,onie li -J- de 6c,comedifoprafono 40-, et per li -J- fono 4i)Ctper li -f-fono +8,chcgionti infume fanno f,del quale nefottrarai 6o,rcflaranno 73 ,per li dinari della borfa,poi mttUiplicarai ledette parti per 2, cioè per 1 meno del numero delli homini , et faranno 80 1 90 J & 96, dalli (quali frparatamente fottratti li dinari della borfa , cioè 7} reftaranno 7 per il primo, et ij-per il fecondo, et 23 per li dinari del ter?o compagno, come nella precedente fù conclufo . . ; Mapcrcbe gli ne fono 1 00, et non 7 },però diraiper regola del j fé 73 mi dauano 7, che mi daranno 1 00 f* Multiplica et parti mi daranno 9 , et tanfi baueua il primoipoi per il fecondo dirai je7i J mi danno 17, ebemi daranno ioo; opera ne veni • ranno 23 yj-, et tanti baueua il fecondo , poi per trouar quelli del tergo dirai, fe 73 mi dauano ìj, che mi daranno 100 : opera come difopra ti daranno 3 1 }f-, et tanti n baueua il tergo compagno , et quello quefito non può batter altra rifpofia per cfjer.de ter minato il numero delli dinari della bjr fa, laqual redola è canata dall' algebra, et fono dette regole di modo , la prona farà facile a ciafcuno operante . Quefito dccimoottauo. ET fe'lfuffe detto, che fra tutù tre, et li dinari della borfa fu/fero fiati 1 200, per trouar quanti n baueua ciafcuno , et quanti cranonelld borfa fummarefli li dinari de tutti,eioè 7 del primo ,17 del fecondo, et a 3 del tergo che- fanno 47, « 73 della borfa, che fanno no, poi arguirefli per regola del 3 dicendo fe no, mi danno 7 del primo, che mi daranno I zoo, et ne veniranno 70 per li dinari del primo , et operando per iettd regola par li dinari del fecondo ne veniranno 1 70, et per li dinari del te 1* go ne veniranno 230. ') Tot i Libro Serto." 329 •Poi per tr^uar quanti dinari erano nella borfa , dirai fé ito mi danno <73 dinari della borfa, che mi daranno l zoo, opera, & ti daranno 7 30» & tanti erano nella borfa, onero [ammarai li dinari de tutti tre , che fo- 110470, &queflifoUr arai dii *00, nerejlaranno 7 30, che fono li detti dinari della borfa, & cofifolncrai fintili qu efìioni, altramente difficlliper queflc regole fncillmc , dette de modo dal Eccellcntifjìmo Cardano , 1 Quelito decimonono, ÒC di Frate Luca 2 s. TI{puanfi quattro numeri tali, che il primo riceuendo il -J de tutti gli altri tre infieme,& il fecondo riceuendo il £ de tutti gli altri tre, tir il ter^ja riceuendo il —de tutti gli altri tr e, & il quarto riceuendo il r{- de tutti gli alti i tre cjjì ftano tutti eguali . Ter folucr queflo quefito ponga/i, che’l primo fia i co. & gli altri tre fiano vanumero pur che habbia il -J- per fugir rotti non importa , hor fia ti, fc adonque il primo riccuc dagli altritre il -f- che è 4,haucrò I co.p .4,0' tutti 4 infieme batteranno i co.p. ì*,& per trouar il fecondo faccufide ico.p. i 2 due parti, che l'vna riceuendo dall'altra il,-j- fac eia 1 co.p. ^ per effer eguale a ciafcun de gli altri,dr per far queflo cauifi per regola l co.p. 4, de 1 co.p. 1 2, reflarà 8 , & queflo partifiper 3, cioè per vn meno del denominator della detta parte, che è 4 ,nc venir ano 2 -j- dr queflo fi multiplichi per il detto 4 fard 1 o -J-, qual fi cani de 1 co. p, li, reflarà 1 co.p. 1 Cir queflo farà il fecondo: & per trnu.vr il ter - %o pex la meicfma règola f.n\n de 1 co.p. 12, due parti , chi t vna rice- uendo il dall'altra habbia 1 co. p.^, cioè fottra t co.p. 4 de 1 co.p.12, reflaranno 8, qual parli per 4, cio'cpir 1 meno della parte qual' è 5 ,neve nirà 1, quali multiplica per il detto y denomina tor di detta par te, far an no 1 o , quali fottra de 1 co.p. 1 2, reflaranno 1 co. p. 2 , &■ queflo farà il ter jo-.& per trouar il quarto, farai fimi Intente de 1 co. p.i2 due parti , che P vita riceuedo il -J- dall'altra faccia 1 co.p. 4 per effer eguale a eia [cuna de gli al tri, onde partirai il medefino reflante, che fi* 8 per 5 ,cioè per vri meno di ejj'a parte che fu 6 , ne venir anno 1 qual multiplica pereffo 6, far anno 9 & queflo cauifi de 1 co. p. 12 reflarà 1 co.p. 2 -y-, & tanto fi* il quarto numero, bora aggiongi infieme tutti, quattro , cioè 1 co. del primo, 1 co.p. 1 -J- del fecondo,i co.p. 2 del terzo , & 1 co. f . 1 -f- del quarto , & faranno 4 co.p. 5 fy— , & quefla fumana farà egua- le ai co.p.iz, che bebbero tutti quattro infieme per pofuione,eir per f£- guir la equatione fottra 5 -JT de 1 2 reflano 6 fi-, poi fottra 1 co.de 4 co. reflaranno 3 eoa eguali a 6 /f-, qual parti per le 3 co. nevotiranno 2 -Jy , ir tanto valfe la cofa , che fu il primo che fi* posto 1 co. & per tro- ttar il fecondo, aggiongi. i.-*- al 2 -f-, del primo farà 3 $-,del fecondo t 0 000 & per - r DelPArkhmetica &fifr che il terzo fù i co.p. i aggiùngi 2 ,«/» fari 4^ , & tanto fù il terzpi& perche il quarto fu 1 co.p. x -f- , aggiùngi 2 --al deto 2 'farà 4 fa,- & tanto fu il quarto, & moltiplicando ciafcuno per il fio denominatore, che fù 45 panerai cbe'l primo numero fù il fecon- do 154, il ter^o 1S4. il quarto 2Q2,& è fatta. Et per prouarlajumma infime fecondo , terzo, & quarto , cioè 1 54 1 84. & 102 faranno 54 o,de quali dando il- J- che fono 180 alprimo , che fu 94 farà 2y^,& tanto batterà ciafcuno degli altri tre , ritenendo le partipropofle,comc vedrai operando. . * prona "n ^ ^ 1 primo 94 fecondo 154 terzo 1 84 quarto 203 .180 184 202 54 203 94 *54 274 3 1 540 4 1 480 5 I 45® 94 { 180 1 liO 1 90 154 — — litir.LV i •' 184 «r ^ 184 fecondo 154 quarto 20 2 120 90 7* é Uj3 1 7» eguali 474 eguali 374 Mirabile problma . eguali 274 Et più hauereipoflide fimili quefiti , ma per effer più prefio curìofi » che vtili,refiai cotento di quefii, et che più ne vuole lega Frate Luca Toc ciolo,& Francefco Caligai Fiorentini,& Vicolo Tartagliay& il Dotti/ fimo Cardano,che ne roderanno defottili(fimi,mà nonpojfono venire per fe in molto rfo,ma però fono vtili per acuir t ingegno • Seguitano alcuni queliti circa il vender » & comprar diuerfè cofe a numero a diuerfo pre do, come fono oui , 6C altre colè , tolti da di- uerfi autori. PErche la effercitatìone nelle operationi è molto gioueuole nelli caft% che poffono occorrere anchora che fia circa cafi infoliti al rfo buma no,non riformo di proponere alcuni quefiti , la folutione de quali potrà giouarc a molti cafi pojjìbili , circa li maneggi del mondo cofide mere»* dantijCotne de altri artefici de diuerfe prof effioni . _ fi Libro Sefto. Quefito primo. 33o \Tl^p compra 3 oui per dinari f,&nc vende 9 oui perd.iy ,& tanti V ne comprò , & attendete , che fi trono de guadagno d. 30, dimando quanti oui comprò ,& quanti dinari vi fpefe <* Trimavedrai quanto vaiato otte 9 a detta ragione, dicendo fe oui 3 co Siano d. qrfhe cofiarano ouc 9, multiplica, & parti ne venir anno d. 1 5 , & perche li vendete d. 1 7, adunque gli fu guadagno d. i, per tanto dirai fe d. a de guadagno vengono da oui 9, che riuendete , da quanti oui verteranno d. 30 guadagnati, multiplica et parti et verrano da oui 1 3 5 , & tanti oui compròxpoi per trouar quanti dinari vi fpefe dir ai, f e d. % guadagno vene dad. 15 capitale, da che verranod.30 deguadagno, multiplica et patti, et verranno dad. umettanti d.vijpcfe. x Quefito fecondo. VTfo compra 4 oui pertanto piu de d.16 quanto li 6 oui li coftò men de d. ri, dimando quanti d. ralfe l vno . Toni,chevale]fe 1 co.de d.P vno, adonque 4 oui vaifero 4 co. adonque tono valfe 4 co.m.16, et 6 oui vaifero 6 co. adonque vn' altra volta l'ouo valjc d.iim.6 co. adonque 4. co.m.16 fono eguali a d.z 8 co.m6.co. reflo tra le parti, hauerai io coeguali apparti 4 iper io co. avvenir anno d. 4 -j-,et tanto v alfe T vno. La proua farai multiplicando 4 oui per d. 4 -j- far anno d. 17 -\-caua- tted.16 reflano d. 1 4-, et cofi multiplica 6 oui per d.^ faranno d. 26 ■f-fottrali de d. 28 refi or attuo futilmente d. 1 -f-> et cofi farai le fimilu Quefito terzo. ET fcfuffepropoflo 3 ouim. 4 d.valerto d.p m.3 oui, dimando che vai fe l'ouo ? Tonache l’ouo vaglia I co.adonque 3 oui m. 4 d. valerano 3 co. w.4, & quelli far anno eguali a 9 m.^co. rifiora le parti, & hauerai 6 co,e- guali 413 , parti 1 3 per 6, ne venir anno 2 -j- , & d. 2 -J- valfe l'vno. Quefito quarto . P altro oui p. 5 d. v aleno d.ti p.2 oui, dimando che vale l'ouo, fot- tra } de ix reflano 2 oui de 4 oui reflano 2, parti poi 7 per 2 Oooo 2 ne Dell’ Arlthmc cica nevied.ì \,tt tanti d. vate l'ouo.et quefìo è operato per vigor della pofi itone della co. come li altri } & tofi farai le filmili . Quelito quinto. \7 7^0 compra vna quantità de oui per d. 7 Cvno , & poi li riuendete V tanti d.l'vno, quanti fumo lioui.che comprò, & fi trouò batter gua dannato d. 30. dimando quanto fumo li oui, che comprò, a far quefio bifo- gna trottar vn numero,che tanto faccia multiplicato in fe flejjo , quanto ejfo numero multiplicato per 7 ,& giornali 30. Et per trottarlo poni,cbe' Inumerò fia 1 co. moltiplica infefa 1 ce. poi multiplica 1 co. fa 7 farà 7 co.aggiongili io fari 7 co.p. $ c,& queflifx ranno eguali a 1 ce. piglia la ~ dej farà 3 , multiplica infe farà 12 i gongili a l numero , cioè a 30 faranno 41 4* cattane la rad. farà 6 4* > & quefio aggiungi alla -J- delle co. che fù 3 -f- farà io oui,cbe ri- ueudendoli d. 10 Imo fanno d.ioo, & coflorno d.yo a d.qlvno , quali fottratti de d. 1 00 rtflano d. 30, come fu proporlo . Quelito Itilo r T 7 Tip fi troua ma quantità de oui, & lì rendete a tal predo, che fe’t V n'baueffedato 6 meno al foldo, che non fece,lià batteria fatto fol.iq. più che non fece , & tanti oui, quamidete al folio , tanti foLdi fi troua at prefcnteidtmando quanti oui haueua in tutto , & quanti folli fi troua at prcfcnte,& quanti ouidete al foldo t Quefio non vuoi dir altro, fe non trottami rn quadrato, che partito per 6 mcn della fua radice faccia 14.de più+ebe tffa radice . Onde per farlo poni, che effo quadrato fia 1 cen.perchc la fua rad. è il numero delli oui, che dete al foldo, la prima rolta,qual ccn. partite per co. m. 6 ne renirà & quefio farà eguale a 1 co.p. z+.leux il rotto moltiplicando r co.rn.6pcn co.p. 34, faranno 1 ce.p.z+co.m. 6 co.r/:. 144 eguali a 1 cer.. lettali fuperfiui , & rifiorale partì,haucrai 18 co. eguali a 144 parti 144 per 18 co. ne vedranno 8, & tanto valfe la cofa , cioè tanti oui dete al foldo, & ne vendete per 8 foldi , & bebbo in tv! io oui 64. II or vediamo fe dandone 6 manco al foldo , cioè 2 al foldo fe faranno fol. impili dei, cioè fot. i 2, fot tra 8 de 31 refiaranno 14, come fu prò- polla, & cofi opera in fimili, & vna fimile propone FrtUe Luca , mali •tu vengono in rotta . Qge- y 'r_ ' / il 1* l' rjr;-- - v Libro Serto . Quertto fetrimo. 33 1 \T'H? fi tr0Ha kauer vna quantità de oui, ir li rendete per fol. 6, ir r fe'l nhauejfe dati z meno al dinaro , che non dcte , li batteria -pen- duti tanti den. de più, quanti fumo li otti, che bauercbbe dato alden. di' mando quanti oui baueua in tutto, et quanti ne dcte al den.la prima, et la feconda volta ? , Ter foluer quello poni, che l'haueffe i co.de oui, et perche vendendo- line fece fol. 6 eh e fono dcn.yi, adonque dirai fé d.yi mi danno i co.de oui, che mi darà den. i, moltiplica, et parti ne venir anno co. et tanti ne dete al den. la prima volta , bora riuendeli ai menai den. che prima non facejli adonque ne darai co.m.\,bora vedi quanti den. ne cana- rd, dicendo, fc-j-t co.m.t mi danno den. i , quanti den.mi darà i co.de oui, opera trouerai che ti darà r — r — et tanti den.ne bauercbbe caute r de co.m.i, to la feconda volta, et lui dice, che n'haueria fatto tanti den. di più, quan ti ne baueria dati al den.adonque li bauerebbe venduti den. ji p. co » m. 2, cioè den.yo p. -*g co. et queflo farà eguale l£Ua il rotto multiplicando il fuopartitor fia l'altro eftremo, ciuè d.qop. -yj co.fia co.m.2,bauerai co.m. i^op.-f.fr ce.m. -fo co. eguali a 1 co.rcflord le parti, fotte ado prima m. fcco.Ui \^-co. rifiatano fcbijfati~l co.p. py ce. eguali a 140 p.i co. leualifupflut fottrado -'J co.da 1 co.rtfi.iràno— co.p. 140 eguali a—Jfj-ce.ridm rai tutta la equatione ad 1 cc.paflcndo - laperli cen.et hauoai 1 cen.egualea 715760/7.288 co, dimena le co, faranno 144, multiplicale in fe faranno 746496 , et la rad. di queflo più la mi:à delle co. farà la valuta della cofa , cioè rad. 746496, qual farà 864, et a quijla aggiongi 144 faranno 1008 ,et tanti oui baueua: et per- che quefli valcuano, come fu proporlo, fol.6, cioè den. yi, parti ioo3 per 71, ne veniranno 14, et tanti oui dete al den.et fe'l n'baueffe dati 2 me ho al den.che'l non fece, cioè 12 oui al denaro farebbono va luti den. 84, cioè fol.y, che fono den. 12 de più, cioè tanti come fono li oui,cbe hauereb he dato al denaro, dandone 2 meno al denaro, come fù propoflo,et cofi fifa ranno l'fimili,la quale operatone ho pofla chiara, et però quiui non la metto in opera con figure,per leuar la fatica, et fptfade Stampatori. Haucua oui ioc2,et ne dcte 14 al denarosa poi 1 x al denaro * f; : • ,1 Que~ k DeirArithmctica Qucftioni fbpra braccia de panno, & altre cofe . Quelito primo. BRa%.a 1 4 àc panno , et cent cn ara li de lana valcno ducati i lo, pii vno brai^o de panno,ct a (fucilo pretto, braga 1 2 de panno, et cen- tenara 14 de lana valeno ducati 1 1 j più vno centenaro de lana,dimando quanto valfe il brago del panno , et quanto valfe il centenaro della lana. Ter far quefio,poni che l brago del panno vaglia 1 co. de duc.il bra- go, adonque braga 14 valer ano iqco.de due. & perche qucBi inficme con n centenara de lana, & vno brago de panno v aleno duc.l 1 o, adon- que la lana fola vaierà due. 1 top.i co.rn.14co. de due. eh e fono duc.no tu. 1 3 co.de duc.& perfapcr quanto valfe il centenaro, parti due. ito m. lì co.per i», ne venir à 9 m.i -jj co.Hora vedi quanto valfe l'altra parte , & trouerai che 1 1 braga de panno a detto predo vale IZ co. de due. vedi bora quantovaleno 14 centenara de lana, arguendo per regola del ì,feiz centenara valeuano due. rionu; co. che valerano centena ra 1 4, opera, & trouerai, che valerano 128 -J- m. 1 5 co. de due. qua- li gioliti conte 11 co.per la valuta de braga 1 2 de panno, faranno ducati 1 2 8 -J- m.j -j- co.& quefti v aleno due. 1 1 j più vno centenaro de lanat Ma il ftntenaro de lanafù trouato difopra\ valer due. 9 m.i ^ co. aggiongi,adonqueduc-9 -\-m.i co. alli duc.l faranno due. izq-\- m. 1 -ft co.adonq ; batteremo due. 1 2 8 -}- m. j -f- co. eguali a due. 1 24-j- m. I -*j codetta lifuperflui, cioè fottra m.x co. dem. j -f- co. rifia- tano 2 rr co. et leua ancora uq-frde 128 -J- refiaranno 4 eguali a 2 *7i co.partìq ~t-p 2 -fc, ne venir ano due. 2, et tato valfe la co. chefù il brago del pano, et perche fù trouato,che'l cetenaro della lana valfe due. 9~ m.i -*y co.vedi quato vale r -*i co. a ragio che t co.vale D.i,etva lerà i-j-quali fottra delli D. 9-~rrilara.n0 B.j,et tato valfe il 1 00 della lana, et volendola prouar vedi che braga 14 de panno a due. 2 il brago valcno due. zS,& centenara j 2 de lana a. duc.y il centenaro valeno due. 84, che fanno due. 1 1 2 ,che fono duc.l depiù, che li duc.l io per l'aggio» ta del brago del pannotpoi vedi, che a quello predo braga 12 de panno valcno due. 14, & centenara 14 de lana valeno duc.g%,che gionti infie- mc fanno due. 1 22, che fono 7 de più , che li duc.l 1 5 per l'aggionta del (tntenaro della lana,comefù propofio . -Si;0 Tanno Tanno braga 1 4 Libro Setto. centenara 12 lana 3 32 braga 11 14 2 7 2 7 t*t. , a8 84" 4 98 v • 84 98 due. 115 ■ ■ ■ zio ■ - y due. m 2 * 12» *— • 123 eguali 122 Quefito fecondo. « T T tifo ba comprato orme fino, & rafo braga non fo quanti, ma torme fi V no gli cofiò lire J il brago, & il rafo lire $ il brago, & fpef t in tut- to lire l oo, & poi riuendè t ormefino a lire 4 il brago, ér il rafo a lire 6 il brago,& auanga di guadagno lire i6,dimattdo quanti braga d'orme fino comprò, & quanti braga de rafo . Terfoluer queflo quefito poni che'l compraffe 1 co. de brago dormefi no,chealire 3 il brago vaierà 3 co.de lire, quali fottra delire 100 refi a vano lire 100 m.3 co.et tanto conuien che coSìajje il rafo, poi perche Cor mefino lo riuendè lire 4 ,adonquede 3 co.fenefà 4 co. & il rafo venden dolo lire 6 de i fenefà 6, che crefce il -f- , adonque alle lire 1 00 rw.j co. aggiùngerai il -J- , che fono 10 >».-*- co. far anno nom.3 -f- co. alle qua li aggiongerai 4 co. che fu riuenduto l' ormefino faranno 120 p. -^-co. per- che fottrando m.$ -j- de 4 reftanop.-j- , & qucilo farà eguale aL.116, cioè al capitale,et guadagno, ouero leuando L. 120 capitale de L. 120 p. •— co.rejtaranno L.iop.~ co.eguali a 26 fimplice guadagno , lena li fuperfìui,hauerai 6 eguali a -i- co.parti 6 per -j- ne vengono 1 5 ,et tanti bra (a d'ormcfino comprò, et volendo faper quanti braga de rafo, multi- plica li braga 1 5 d ormefino per lire 3 faranno lire 45 , et perche gli mancano lire il fina lire 1 00 , adonque partendo 5 5 per il fuo predo , che fu lire 5 ne vengono braga 1 1 ,et tanti braga de rafo comprò . La prona fi farà multiplicando braga 1 5 per 4 faranno lire 60, et bra ga 11 de rafo per 6 faranno lire 66 , che giorni infieme fanno lire 126 , et luì fiefe lire toc, adonque auangò lire 2 6, come fùpropofìo, et èda faper, che alquanti delli precedenti, et dclli feguenti qucfitiifi pojfono an- cora foluer per le due falfe pofitioni , ma piò brcuentcnteper la cofa, Quefito terzo; XT'Hp ha fpefo lire 18 in braga tre de panno, et poi lo riuenie per quel » lo predo , c begli cofiò , et lo difendete tante lire al brago t et appref fo I * Dell’Arithmetica fo tanti altrifoldi, et tanti altri dinari, cioè cbe'l numero delle lire,et fot. et den. furono eguali, dimando quante lire>foldi,ct denari lo riucndeteil 4/rago . Ter foluer queflo, bifogna conftdcrare, che valendo tre braga de pan no lire 1 8 , non può valer più ne meno de lire 6 il brajo , ma può venir delire, fol.et den.con tale rotto de lire, et fol. et den,- con talerotto àppref fo eguale, che tutti in [teme faranno lire 6 integre, onde poni cheloven- daflc i co.de lire, et i co.de fol.et j co.de denari et i co. de lire farà li- re vna,ct i co.dc fol. farà j£- delire , et i co. de dcn. farà -fa de fol. che fà ^ de lire, onde giùngendo -fj con faranno , ebe con lire i infic- ine fanno lire vna co. et quefto fara eguale a lire 6 , però parti lire 6 per lire i ^ , ne venir anno lire 5 fol. 5 den. 5 , et tante lite, foldi,et den. lo riucndeteil brago, che tanto ancoragli tolto . Totcui ancorapartir L.6 per L. I , fol. i,d.i t che farebbe venutoti medefmo, perche le L.f.et d.con li fuoi rotti fanno f..6,tbc altramente no fi potrebbe rifondere, votedolo prouare trouerai che lire $,col fuo rotto . et li fol. f , con fuo rotto fari farà L. 5 » fol. 13 , den. io ti t • vK I ’/’ii'St) —— fol. 5, den. 8 7 6 177 MI froua fanno den. 5 311 et li den. 5, col fuo rotto. 2 76 , l7i ,j«t L. 6 , fol. o , den. o 2*3 n.\- 1 Quefito quarto. r • \f Tip compra panno ne sò quanti braga, et in effo fpefe due. 48, poi ne y rivendete braga 1 2 al predo che gli coflò , et trouò che li ducati cb'hebbe ielli detti braga 1 * fumo tanti , che giorni con li braga de pan no,chegli reflomo, fecero 40 per numero, dimando quanti braga ne com prò per li due. 48. Toni che ne comprarci co.de bra%p,hora riuendine braga 12, dicen- do fe 1 co. co/la due. q%, che cofiarano i2,multip(ica, et parti, et coflaran no ~-i quali aggiongi con li braga, che gli reflomo, cioè fon bra ga t co.m. namodo di rotto,cofi Li0, .w:. 1 * ponendo la vnità fotta 1 co.mu2,ct batter aj i ce.m^x $>co.p. j 76 efimi de 1 co.che fis ri i Libro’ Serto. rr . * - . . . . 33 3 Ù nji — * T* ” et quefiafumma farà eguale a 40, leu a. il rotto multiplicando 40 fìa 1 co.denominator del rotto fari 40 co. egua li «5 76 p. 1 cen.m.i2 co. rifiora le parti, franerai 5* co.egualia 1 ceti, P-VJ 6, piglia lamità delle co. fanno 2 6, quadrali fari 6"]6,cauaneil nu- mero, cioè $j6,eeJìaranno 100, & la rad. 100, cioè totratta della mi tà delle co.cioè de i6,reftari 16, che fari la -galuca della cofa , tr tanti bragj ne comprò > cioè 1 6. Vroua partendo due. 48 per 1 6, ne vengono 3 , & tanti due. venne il bra%o, & ne vende 12 per due. 16, & a lui gli reftano bracca 4 quali gion U con li duc.ì 6 fanno 40 tra ducati ,& brara de panno a numero, some fu propojlo. 0 1 W' Quefito quinto. ; I iU!\ W- ir t m r.«*- ?»• «..1 ", t » ’ VI * 1,1 V|W* >* *1P» W comprato fichi, & n'hebbe 4 al f aldo , & li riuendete a 3 al foldo, & perfichi , & n'hebbe 6 al fol. & li riuendete j al fot. & fpefe in tutto [ol.%,& gli trottò de guadagno in tutto fol. 2 X, dimando quantifichi compro,& quanti per fichi} Terfoluer queflo,poni che ne compraffe \ co.de fichi 4. al fol. v aleno! co.che fi troua coffe 4 fichi v aleno d.i, che vaierà 1 co. & valcrano J co & perdigli fichi et L pfitbi inficine vaifero fol.8, adonque li perfidi foli vaifero il reflante, cioè fol.8 ,n.-± co.horariuende ti fichi arai fol. dicendo f e fichi 3 vaiato fol. t, che valcrano fichi \ co.mnltìplica,& par ti, & valcrano co.de fol. & co fi riuenderefli li pcrficbijc fapefli quatt ti erano , ma per che tu fai filamene quanto vaifero, cioè fol.8 m A co vedi che guadagno fi fifa detti perfichi , penbefe hauendone pertichi 6 al fol. &• rivendendoli a 5 alfoituveni a far de fol.5 fil.6, adontine di- raife 5 m danno fol. 8 m. -^co.cbe mi darà 6, moltiplica, & partine ve- mrattno 9 -L m. r»-co. & tanti fol. hebbe delli perfichi tra capitale guadagno, giongi li fol. cauati dclli fichi, cioè -j-co. faranno 9 » p 4.™ & quefii faranno eguali a folio ff-,cioè al capitale, & guadagno per I thè fi dice, che ffiefe fil.8, & hebbe de guadagno fot. 2 rifiorì fegui la equazione legando hfipcrflui dalli io -fc .cioè 9 ±-dalli 10-^reflaran- no -, eguali a caparti —per -^'.0. ne venir anno io, & unti fichi tempro, et per Japer quanti perfichi , vedi quanto veleno 20 fichi a 4 al ?Z'f7raerH Kd0L-qUe UPerfiebi **lf*roll refio, che fi fol. 2 , Che a 6 <dfol.hauer ai per fichi i9,& tanti perfichi comprò . * Tw'rai riuendendcli,chefcnecauara.mofol.io come fi propo- fo, cioè partendo 20 per 3 neytenfol.6 d, 8, cioè 6^, & partendo x 8 TPPP per r DelTArìthm jriea perette vengono 3 -\-quali giorni con li 6 -j-fvw IO -\\t& oofi farai & prouarai lefimilì . • * • Qucfitofefto. V7£o (pende fol. 1 8 in pafferi,dr n'hebbe tante , che gli par nero trop- po ,& ne riuen dote j 1 a quel pretto , che ti comprò , & fi trono tra dinari , & paffete, che gli auapgomo in tutto- $9 per numero, dimando quante paffete comprò in tutto . Ter foluct qitrp a , poni che'l batte ffc i co.de pafferi al foldo , adonque per fol. 1 8 n’hebbe 18 co. & perche ne riuende li, adonque gli reftono 1 8 co.m. 1 1 paffcre,hor vedi quanto yaleno le u paffere, dicendo fe 1 co. mi da fol. \ ,chemi darà 1 2 ,multiplica et parti ti darà * * e^™*defqua- li aggiùngi alle \ 8 co.m. 12 a modo del ftimmar de rotti faranno 1 8 cen. tn.iì co.p. i- rfimi c-tutpl 4 ^Jettd il rotto batterai 1$ cen.tn.iz.cq, de i co. p. 12 eguali a 98 co. leua li fuperflui , & batterai 1 8 cen.p. 1 2 eguali a t io co.rcdufe a 1 ccn.baucrai 1 cen.p. —numero eguali a fi -jf-co. fottra il numero dal quadrato della mità delle cofe,cioò -j -de 9 reflaranno 8 X& de caua r- & far* * > & ‘JmM ag£l°gi miU dMe e». cioè a 3 -rifaranno 6 , & tante paffere hebbe al foldo,et per ftper quan te fumo comprate ,multiplica 6 per fol. x 8 faranno paffere 108. Et volendola prouare fottrarai paffere 12 de 108 refiarano 96 , &• quefle 1 2 le venderai fol.ì a detto predo, quali gionti con 96, faranno 98. come fit propoflo, & coft è fatisfatto alquefito. Quefito (cttimo. \7'K? (pende fot. 1 3 in narangj,& quanti n’hebbe al foldo tanti folii tk V vendete l vno, & gli guadagnò tire 3 1 fol. 4 dimando qàanti ribeba beai foldo, & quanti tiaran^J comprò i 5>oni che nhaucffcal fol. 1 co.multiplica per 13 fanno X ? co.de uar alt %i, quali moltiplica per tanti fol.quanti fumo li naratr^i.ch’hebbe alfoU do,cioipcr 1 co.faranno 13 cen. & perche il capitale fit fol.13 , adonqup ilguadagno fu 13 ctn.m.l},Cr quitto farà eguale a lire } I fol. 4, cioè* fol.óiqreflora le parti haucr ai 13 ccn.cguah a éyj,partì il numero per li cenane vengono 49, & la rad.ài quijto è 7, che è il valor della cofa , tanti narangi hebbe al foldo, ó' per fol. 13 n'hebbe 91 nar an%i,cbe a fai, 7 1 vno montano lire 3 1 Jol. 1 7, cioè lire 3 1 fol. 4 de più che no coftoraoh perche Ihefe folamentc fol. 1 ìjornefu propvjlo * * - Quftì i Libro Seftó. .•S - ' «sttr.sr.ittrw v Quefito ottauo .* 53 + \7“K? compra panno,& tanti braga , quanti n'hebbe al ducato tanti ▼ </«c. vendete H brago , & fi trono de guadagno duc.i } , dimando quanti braga ne comprò ,& quanti n'hebbe di datato . Qjtefio non è altro che trouar vno quadrato refi: i j , adonquefard t cen.m.i eguale a 13, reflora le parti, batterai 1 cen. eguali a 1 4 catta la rad. fard rad. 14, & tanti braga n'bebbe al ducato , & tanti duc.ri- uendete il brago . Hor vedi braga rad, 1 4 a due. rad. 1 4 il bv ago, che vaieranno due. 14 adonque fpefe due. 1 ,qual detratto de 14 refiagli de guadagno due. 13, co me fu propofio. . , , > r udito nono. VT^p compra braga 7 de robba fra rafo,& ormefino, & fpefe lire 24 in rafo,dr altre lire 14 in ormefino, & il rafo gli cofiò lire lilbra go de pili che C orme fino, dim andò quanti braga comprò derafo,&- quan li de ormefino,& quante lire gli cofiò l'vno,& l'altro il brago. Toni cbe'l comprajfe 1 co.de brago delormefino,qual gli cofiò L.24 , adonque gli cofiò il brago de lire, qual falua,poi fottra 1 co.de braga 7 refiano braga ym.t co.& tanti briga fà il rafo . HOr Vedi quanto volerà il rafo itbragp cbftjfe J m.i co.valcL.24, thè vaierà braga 1, moltiplica Or parti, & vaierà !~4 & queflo Cofiò lire I dopili il bragp,che Cùrmefino,adoqne fottrarai lire 2 da atte fio ouero aggiùngi L . 2 f opra Coltrò, ciré fù^* .*. farà la qual fantina farai cefi a modo di rotto 2 ■+■ ~f annoili - c% & queflo rotto farà eguale t e’tm; [eMa // r0tti moltiplicando in de j m, 1 co. ‘ croce hauer ai prima 24 co. eguali a 1 4 copi. 168 m. 2 cen.m. 24 co.fc gui la equatione rcflorando le farti, & riduccndola a 1 cen. la cofa va- ierà rad. i 56 “ m. 8 -j- che fono 4, & tanti braga comprò de ormrfi- no,& ilrefiodi rafo, cioè braga j,& volendo faper quanto coda libra go l orme fino, par ti 24 per 4 co.ne veniranno lire 6 il brago, & per tro Tppp 2 uar ■ Dcli’Arithmetica Mar quanto vìen il rafo parti lire 2 4 per bra^a tre, ne venir anno lire 8> & tanto coftò il rafo il bra^o,& co/i opera in fintili . ìco.p.z 4 »4 1 co. rN 7 m. 1 coi. 24 co. eguali a \^co.p.l6% m.ì.cc.m.li, co. 48 1 4 co.p. 2. c e.eguali a 168. — *4 48 34 co, 168 m.z. Quefìto decimo. , . \T 'Hp vende a} altre per fone bra?a 12 de panno , & ciafcuno di ; queftì li rivendetela fua parte tante lire il bra^o , quanti furon li branche comprò, & fatto quello fi trovarono fra tutti L.$c, dimando quanti bra%a comprò ciafcbuno di loro . Quejlo propone Frate Luca acarte\g6,& dice , che non vuol dir al» trofe non fame de 1 1 tre par ti, che li loro quadrati giorni infieme faccia- no 5 o, & che qurfle parti pojfo pigliar a mio modo, ma quando poi fol- lie il queftto prefupponevna de quelle parti ejfcr j , e*r de [altre due fa pi fittone, & e/fendo realmente j ,gli verifica il quefìto , ma in fimi li quefi ti poffo trovar 2 quadrati rationali , & non trovando il teryo rationale lo trouarò per for^a irrationale,adonque a cafo Lui pope l'vna effer 3 [al tre due fono 9 poipofe Vvna de quelle 1 effer 1 co. l'altra pi 9 men 1 co.il qusidrato della prima fà g,& il quadrato della feconda fi 1 ce.& il qua arato della terrea fà 3r m. 1 8 co.p. 1 cen.& queflifono eguali a 50 , le- Miudo l:feperflui,& rifiorando le parti haueremo 1 S co.p. 2 cen.eguali a qOjidr riducendo tutto a 1 ccn.hauercmo geo. eguali a lop.x cen . piglia la mità delle co. fa 4 -\-,multiplica in fe fa 20 -^-cavane il numero refta -i-, & di qucflo cava la rad. farà -f" giongila al 4-} -farà 5 , c 'T qut- fin farà vìi* altra parte fottraanchor -±-de 4 -{-refla 4. onde bauerai la. prima ejfer 3,la feconda 4, la ter-ga j,fi che li loro quadrati fanno 30+ • prima 3, feconda 4, ter%a 5, J 4 5 • ■> 2 4 A i ! la* ? Libro Setto. Quelito vndecimo ^ 3 ìi Vt^o vende braga 19 de paino è 3 per fané, & eia fc uno vende la fuu parte per tante L.il brago quanti furono li braga che comprò per la fua parte, hr li braga del primo fono tal parte de quelli del fecondo, qual parte fono li braga del fecondo de quelli del tergo, & fatto queflo fi tro - uomo tutti infieme batter canato L. 133 dimando quanti bratta di panno comprò ciaf uno di loro,queflonon vuol dir altro ,fenon fame de 1 9 tre parte continue proportionali, che li loro quadrati gionti infieme faccino 133, onde per trouar il fecondo numtro,otler feconda parte quadra ip farà 16 1 ,& di queflo canarie la fumma delti 3 quadrati , cioè 1 3 3 refla- no 22%, & questo per regola partilo per il doppio de 19, cioè per 3 8, ne vengono 6, tanto fu il fecondo numero propur tionalc, onde li altri dpi fono 1 3. Hora dirai per trouar le altre dueparti,cioè la prima,dr la ter gafaraide 13 due parti, che moltiplicata l'vnanc l'altra faccia }6, cioè il quadrato della feconda, & per trouarla quadra la J- de 13, cioè 6 -j- farà 42 -* ,cauane 3 6 reflaranno 6 -J-, & la rad.dt quello , qual è » 4 gionta, & detratta d» 6 -%-fcrà le parti, cioè \pcr la prima, & 9 per la tergi, <*• e> farà la feconda, onde concluderai che' l primo comprò braga 4,<y ilfetottjta comprò braga 6,1 ir il tergo comprò braga 9, che li loro quadrati gionti infieme fanno i$^,& la fumma delle parti braga 1 9, co- me fu propojto , cr quefla regola è cattata dall' algebra, & è detta dal Cardano regola de modo , a| 13 • • 6 -ir 6+ M* -i- 6 6-£- 6-\- *JC 1 9 19 361 133 »*_ 11 228 OO 6 medi a ouer media prima 4, terga 9, 361 refi a 1 2 8 prima 4 1 feconda 6 1 terga 9\ fati* Quefito duodecimo . \Jr'H? compra braga nomò quanti de panno per vna quantità de L.& * fàfuo conto, che riuendendolo L.2. il brago guadagna Z.50, & ri- uenJendolo L. I oil brago guadagna L. 9 6, dimando quanti braga de pan no comprò, & quanteL.il brago gli coflò deprima. Toni che compr affé 1 coaie brago, che a 1.8. il brago vaierà 8 co.de Scapitale, & guadagno, cauane I. jo de guadagno rettarà 8 co.m. 50.. quaL t DdTArithmctìca qual fari eguale a lo. co.m. 96 della feconda vtnditione,fegui laeauatio ne.dr ne veniranno braza *u& tanti ne comprò, che a Li il brago ne venir anno L. 5 & tante L.glt cojlo il brago de prima, Jtmtlmen- it lo trotterai muluplitando braga 2 3 per lire io faranno lire 2 30, fil- trane 96 refiano lire 134, come difopra , che fu loro capitale, qual parti per braga 2) ne viene il primo predo, cioè L. y.~ì{,rt i fatta et provata» J, {nebora fi pQteiu.no trottar librala 23 fot traodo lire 8 de lire io, refiano 2, & lire 50 de 96 refiano lire 46, & queii» partiper Uz refU io dcUi predi ^oro ne v*en baga 2 S & rcfl° ò frotta . Qucfito dccìmotcrzo . 0> ‘tU> * * V Tip compra braza 3 de panno, & 5 braza de rafo,per due. 26, dr fpefe inpanno li -f-depiù di quello che Jpefe nel rafo, dimando quanti due. gli viene il brago di ciafcaduno per fé. _ ■ ' Qjtefio non vuol dir altrove no fami de 26 due parti, che C vna fia-y più dell' altra. Toni che 5 foffelarmnorefla maggior farà j,cioì~-dc più, giùngili in/ìeme faranno 12, bora dirai fe 12J mi da j,che mi darà 2ó,&“ poi fottra il proveniente de 2 6 faranno le parti l vna I J ,ciot la mag- gior e, & la minore far a 10-f, & tanti due. coflorno braza $ de rafo , & li braga 3 depanno coflorno due. 1 5 -Jpcioè il reflofin alti 26 ducati , & per faper quanto vien il brago parti io \-per 5 ,ne vien due. 1 tanto cofiò il brago del rafo , c 2r per faper quanto coftò il paimo parti 1 f-^pcr braga 3 ne vien due. 3 Tf-t& tanto cofiò il panno, la prona fa- rai per te facilmente . Quefìto decimoquarto . \T7if fi trottò vna quantità de panno, & tanti braga quanti luì ne ba- V ueiUytantc lire valfe il brago,poi mefcolò con qucfti vno brago d'ai tro panno, che vaiata lir c 27 il brago- , & fatto queiìo fi trono che fotta fopra valeua lire 1 4 il brago , dimando quanti braga de panno haueua prima, & quante lire valeua il brago . Terfolucr queflo quefito poni, che nhaueffe prima 1 co.de brago,* 4- lendo tante lire il brago quante fono li braga,valeramo 1 cen.de lire',et mettendovi vn brago, che valeua lire 27 farà r cen.p. >7 lire, bora per faper quanto viene il brago fottofopra parti per t co.p, 1 brago, che gli fu aggionto nc venir anno 1 <eg.'^' ^5. & queflafarà eguale a li- re 1 libro Scfto. 3 3 6 te Ì4 ,the vene fottofopra il bragofieua il rotto bauerai 14 co. p. 14 egum lini ce.p.zjfleuà li fuperflui bauerai 14 co. eguali 1 ce.p. 13 dinegale co. & multiplica infe faranno 49 panane 1 3 reflano q6,& la rad Ai qut fio, quali 6,gionta alla mità delle cofe, che fono 7 faranno 13 <J* lenti »c comprò de prima, che a lire 1 3 il brago vaifero lire itf $ , eìrrfjf- ffontiui lire 27 fecero lire 1 gó^uah partiti per braga 14 , ne venir an- no lire 14, come /ii propoHo,& cofi ojfcruarai in fintili . altra folutione Trova briga 1 3 I 5 9 OMtr 27 del feudo de 14 * 7 * M| I9<* X. 14 vennero fottofopra 196 reflano 1 69 cauanclarad.farà ij, fatta. * r t ? 1 v“. » 7 lai Quefito dccimoquinto . '> \fnp compra -A- debrago de panno, & dett al drapero fol.+i,&gli V re fio ancora debitor del valore de -f- de brago de panno, dimando quante lire lo vendeteli brago . Ter far quefio fottra de reflano jJ-, & tal parte ne pagò per fol.qi, bora dirai, fe 5 vaifero fot. 42 che vaieranno ir, opera , & tri- nerai che il brago coflò lire $,fol.o, dcn.9- f-, « Quefito decimofefto, de Frate Luca .* V'Ho compra panno, et (pende ducati 6} , poi riuendete il brago du- cati 5, et trouofjì a guadagnar la valuta de braga 14 del capitale dimando quanti braga ne comprò , et quanti datatigli coflò il brago? Toni che gli coflajfe 1 co.il brago, et lui lo riuende q,adonque guada* gnò 5 m. 1 co.per brago ; Et tu vuoi faper il guadagno de due. 63, però dirai fe 1 co.guadagna j iij.i co. che guadagnar à 63, multiplica, et par* <s? de 1 co. Et quefio farà eguale al capitale de braga 1 4, cioè a 14 co.leua il rot to al modo /olito , banerai 3 1 5 tnen 63 co. eguali a 14 cenfot reflora le parti, bauerai jj 5 eguali a 14 ceufo più 63 cofe,ridufe a 1 cenfo 1 bauerai x cen.p. 4 -1- cofe eguali a 22 dinega le cofc nevica a multiplica DeirArithmcttca h luldplica m fe fanno 5 -fr, & quefto aggiongi al numero , etoÌ « U -L faranno 17 -f*, & la rad. ài auefto m.i -\-farà la valuta della co ■» , fa, cioè ì duc.& tanti duc.toflò il vrngo,bor parti 6j per 3, ne ventrata no braga zi squali riuendcndoli a due .5 il bratto montaranno déc.i o J cattano li due. 6$ del tuo capitale,rcftarano de guadagno due. squali fio no il valor de braga 14 a ragion de due. 3 il brago, come sofìa deprima, & è fatta. Ì»QJ ì |*3 braga 11 compri 5 «05 rad. * 3142 ditf. < 1 *7 - 1 4 > 43* 9 4 4* *4 9 14 SVT J 1 1 vrcnittic' * :> 4 v. 5*; 'oVr.iV Mi 7 £ v u-i 5 4- * vai due. 1 coftò il brago Qucfitodccimofctdmo. 7 T7/^i4 de panno rèffn & braga 4 de panno verde valeno due. 36 , C & a quello predo braga 9 de panno roffo,et braga 7 de panno ver de valeno due. 5 "j, dimando che valfe il brago de ciaf eh uno per fe. Frate luca nelle po/i ctoni falfe pone quefta,ma non la infegna a farla, bora qui lafolueremoper lacofa. { Onj:' j'.j <-- ' « Toni che' l panno roffo valeffe 1 co.il br ago, adonque braga 6 volerà no 6 co.de due. adonque il verde vaierà due. $6 m.6 co. bora vedi a queU lo predo quanto vale braga 9 de panno roffo, et braga 7 de panno ver- de dicendo fe braga 6 mi danno 6 co. che mi daranno p,opera,et ti daran no 9 co. et quefloferua . Tviper il verde dirai fe braga 4 valeno $6 m.6 co.che valerano bra ga 7 , moltiplica et parti ti daranno 6 3 m. 1 o -7- co. et tanto vaierà il verde , giongili 9 co. per la valuta del roffo, valer armo 63 m. 1 -j -co. et quefto farà eguale a 5 7 ,fottranc due. yjreftarano 6 eguali a 1 co. par ti 6 per 1 -f- , ne vendano due. ce unto valfe il roffo il brago,adouque 6 braga valerano duc.iq, et il refto fin olii due. 3 6, che fono due. 1 1 vai- foro li braga 4 de panno verde,quali partendo per 4 ne vengono due. 3 il Jrbpgpdtl'verdg* A -J- £- . ^ ■ v f •V31 1 •*j:V * Troua 1 - ^ w libro Scfto. s 3 7 $r0N4.4 q udló predo quanto v aleno braga 9 cfe pomo roffo a due .4 Il brago.valeno due. $6 , et il verde a due. 3 r aleno due. a 1 , chetonli $ 6 fanno due. $7, come fìt propofio, et fi può far pofìtione cofi nel verde , come nel roffo tet venir a la valuta di quella cofa,cht fi pone • Qucfito decimoottauoé lp vendette bratta io de panno per vna quantità de lìre,& poi fpe felire 35 in panno per il mede fino predo , che vendete quelli bratta lo a ragion de brago , fatto queflo fi trouò , che a partir le lire , che gli auangomo perla quantità delli bracca, che comprò ne venne 6 -J- de pià che non vtnne a partir li bra^a , che comprò per le lire , che gli auan - garetta, dimando quante lire gli cofiò il brago,et quanti bratta ne com- prò,et quante lire gli avanzarono ? Ter far quefta rifpofla, prima troua li auuenimenti del vna, et l’altra partitiane,et per franarli , poni che quelli a auuenimenti gionti inficine jfiano 1 co. bora farai de 1 co. due parti, che multiplicata f vna nell'altra fàccia 1, et per farlo per regola, piglia la 4* de 1 co. farà 4- co. multipli ca in fefarà cen.cauane 1 rrflarà -J- cen.m. 1, ella rad. di queflo refi duo gionta,et tratta dalla -f- delle co.farà leparti , adonque la maggior farà 4 co. p.rad.vniuerfate ce.m. 1 ,la minor farà 4- co.m.rad.vni - iter fa le 4- cen.m. 1 , et volendo trouar la differenza d'vna parte, et C al- tra doppiarci la rad.vniuerfale —ce.m. \ facendo z a rad. farà rad.vni- uerfale 1 cen.m. qui fio farà eguale a 6 leua le rad.multiplican do li eftremi infe hauerai 1 ce. m. 4 eguale a 47 reflora le parti, haue- rai 1 cen. eguale a 5 1 , & la rad. $ 1 -J- , qual’t 7 farà la valuta della cofa,& tanto fard la fumma delle due parti, bora fapendo, chela maggior parte b~- cofap.rad. vniuerfale -\-ce.m.i pigliala della co.farà 3 -f» & il cen. vale si -i» pigliane il -£• fura 11 cattane i, perche dice m.t.reflarà 11 cr di queflo ancora piglia la rad. farà $ *V» qualgionta alla -j- delle co.cioè a 3 -y-farà 7, & tratta de 3 re farà che farà la minor parte, adonque a partir le lire che gli auan Zprno per li braga,cbe comprò ne vien 7, & a partir li bra'faper le li re che auanzornone vien j-, adonque la differenza è 6 -$• come fu prò poflo,et per trouar quante lire gli auangorno,poniche fujfero t co.adon que li braza io furono venduti lire 3 5 p.i. co.bora vedi quanti braza n bebbe per lire 35, che rinuefli in panno, (*r dirai fe jjp.i co. mi da braza io, che mi darà 35, multiplica, & parti , ti darà braga ~ Tj ^ tantt fUron ^ braza che comprò , & perche dice , che SLhW fi k DeirArithmctica fepartiffc i co.de lire, cbe li avanzarono per 112-^HL^lne doveri ■ r 35 P « CO. venir 7 , adonque per trovar quanto fi il valor della cofa, multiplica V° fmi p!r 7. cu ìi° ’h'1. +.f.rìi™jù!± & 3 5 p. ico. 35 pi co. de 35 p. ico. eguale a i co. che doueràcffer pattila fetta il rotto multiplicandoi co. fio, 35 p-t co. farà 3 5 co.p.i ccn. eguali 42450. fegui la equatione fmegart do le co. fica 1 7 & multiplicando in fefarà 30 6 -J-, & giongcndo- li al numero farà 275 6 , & diqueflo cavandone larad. farà 52 -£• di quella cauaudone la -j- delle co. cioè 1 7 -J- reflaranno 35,& tan- te lire gli auangarono,& perche fpefe ancora lire 3 5 in panno , adonque hebbe prima lire 70 , cioè la valuta delli braga 1 o , parti adonque lire 70 per li braga 1 e, ne venir anno lire 7, & tante lire gli cofiò, il brago adonque per le lire 35 hebbe braga 5 de panno, & tanti braga ne com- prò, & cofi foluer ai le fintili . Là prova farai partendo li braga 3 5 per li braga 5 ne venir anno 7, & partendo li braga 5 per le lire 3 5 ne vien w 7 fono 6 de più che , come fu propoflo . Ter queflo fù proporlo de far de I co.due parti, che multiplicataf vna , nell'altra faccia x , perche d'ogni dot numeri partedo l' vno per l'altro,et l'altro per l' vno, (ir li avvenimenti n.ultiplicatif aranno femprc vno , perche formano due proporzioni di vna mcdefma fpccic , ma /’ vna è della maggior, l'altra della minor inequalità,fi come nella tripla, & fubtripla l'vno è 3 l'altro -j- , che multiplicati fanno vno, & cofi in ogni prò fori ione* Quefito decimonono » V7^o rende vna fua mere amia per ducati 30, et guadagna vna quark t ita per 100 ,poi vende vn' altra mercantia,chegli cofiò ducati 10» de più che la prima, per ducati 50 , & guadagnò ducati* de più per 100, che nella prima, dimando quanto gli cofiò laprima, & quanto la fé condamercantia, & quanto guadagnò per cento nella prima, & quanti % guadagnò per 1 00 nella feconda, quella fù propofla a Frate Luca, come lui ferine, da vno M adiro . Apollonio nella Città delC ^Aquila, ma non la finiffe di foluer, &■ però qui Vhò polla , Or rifolta a pieno , acciò po(f il Jludiofo formarne de fimili. Toni che la prima gli cofìaffe 1 co. de due. & perche poi la vendette due. 30 per faper il guadagno fottra 1 co.capìtale de 30, che i capitale * et guadagno, rt faranno 30 m.i co. che farà il guadagno folo,etper tro- var quanto fi guadagna per 100 , dirai fel co. guadagna 30 m* ico * • eh* queflo farà Libro Sedo. £ he guadagnar anno ioo , multiplica , et parti 3 3 a & guadagnar Attuo 3ooo m. ioo co. . . , » • . •2L et tanto guadagnariaper ioo nella prima mercantia , «uni de ico. v ^cr quefla pofitione,et perche lui rende poi vn’ altra mercantia per due. JO, che gli coflò due. io de più, che la prima, adonque gli coflò i o p.i co. adonqueper trouar il guadagno caua io , p. l. co.de 50 ,r calano 40 m. I co. et tanto guadagnar ebbe in qucjla feconda mercantia , etper trouar guanto fi guadagna per 1 00, dirai fe 1 o p. 1 co. mi da 40 m. 1 co. che mi darà 100, multiplica,et partì, et ti darà colef,n,l et quefio 1 1 de top reo. 1 farà eguale a 3000 m. 1 00 co. efimidep. 2, perche dice , che guadagnò in quefla feconda mercantia 1 più per cento,che nella prima.adonquc ag- giongi a alh .? a modo del fummar de rotti cofi 1 co. 3000 m. 100. co. X co, — multìplieddo in croce, et giogedo 2 co.am. 100 1, r 1 I U.firU.,eoom-S^mJa jjlofirl eguale. de 1 co. *. y de io p 1 co. t nult 'iplica in croce quefli doi rotti feruando le fue folite dignità, faranno 30000 m.g 80 co.P.3 000 c0.ro.99 cen. eguali a 4000 co. m. 100 cen. agguaglia le parti leuando li fupcrflui,et riflorando lidiminuti,et per far queflopiù commodamente, lena prima li fuperflui ad vno ad rito, et pri tua lena 3000 co.dall'vna, et l'altra parte faranno poi 30000 m. 980 co.m.98 cen. eguali 41000 co.m. 1 00 cen.hora aggiongi a l' vna,ct /' al- tra parte 980 co. faranno 30000 m. 98 cen. eguali a 1980 co. m. 100 cen. poi aggiongi a l’vna , et l altra parte 98 cen. et 100 cen. haucrai in quefla fumma 30000 p. I 00 ccn.cguali a 1980 co.p. 98 cen.fottra 98 cen.de 100 ccn.reflano 2 cen.et bauerai 30000 p. 2 ccn.cgnali a 1980, hora parti la equatione perii cen.hauerai finalmente 1 jooo p. t cen. eguali a 990 co. piglia la-{- dal’ evo. farà 49 5 . moltiplicali in fe faranno 145015, cauanc il numero, cioè 1 5 000, ridaranno 230025, et la rad. di queflo tratta dalla -f delle co. farà la valuta della cofa , cioè 495 m. rad. 230025, et tanto coflò la prima mercantia, et perche la feconda coflò due. 1 o più che la prima,aggiongi 104495 m.rad. 230025 forano 50S m.rad. 23002$ , et tanto coflò la fcconda,ct per trouar quanto fi guada- gnò per 100 nella prima mercantia dirai, fe 495 m.rad. 230025 mi dà $o,chemidarà ioo,multiplica la feconda nella terga cofa farà 3000 , qual parti per 495 m.rad. 2302^ riduccndo queflo recifo ad v no folo no me, multìplicandoloper il fuo binomio farà 1 5000, qual farà partitor poi multiplicp anchora 3000 per il detto binonfino riduccndo 3000 4 quadrato hauerai 1485000 porrai. 2070225000000 , da partir per Z 1 5000, r T k DcITÀritfimetica *5000 , etneyenlrà 99p.rad.9101 capitale, et guadagno de JOO. dot quale cattane 100 fottrando 99 de \oo,et aggiungendoli la rad. reflarà r. 9201 m.i,et tanto guadagnò per 100/4 prima volta, et nella feconda mercantia guadagnò 2 più per 1 00, adonque guadagnò rad. 9201 p.i,et co/i è rifpofio a tutte le parti del que fitto , Et volendola prouare dirai per regola del 3, /è 100 capitale mi da 99 p.rad.9 201 capitale, & guadagno,che mi darà 295 m.rad. 13002$ ca- pitale della prima mercantia. onde multiplicando spartendo al modo de binomi], & rad.infegnati nelli fuoi luoghi, ne veniranno due. 30 capitale , & guadagno:/! come fu proporlo, chef ujje veduta, perche multiplicando quefio binomio co quello reci/o faranno 4900$ m.r. 1 2 5447502 5 p.r. 2 25447502 m.r ad. 2 1 1 646002 5, dr leuando il m.ir tip. eguali in nu- mero reflarà quefio binomio, cioè ^goom.rad.i 1 1 6+6ooi$.caua la r. de 111646002$ farà 46005, quale fottr arai de 4900 refianno 3000, et quefio parti per 100, nevenirà 30, & due. $0. fu venduta , come fu fuppofio . Et eofitrouerai quanto fu venduta la feconda mercantia dicendo, fe 1 00 capitale mi da 1 01 p.r ad. 9201, cioè 2 più per 1 00, che la prima,che mi darà 505 m.r ad. 230025, & operando al modo detto mi doueradar due. 5 o, multtplica adonque la feconda ncllv tergane ventanno 51005 m. r ad. 2 3 464 8 5 o 2 5 p. rad. 2 j 4 $4g 5 o 2 5 m -rad. 2 1 1 64600 2 5 ,onde le uando li p. & li m. eguali refiano doi , cioè 51005 m.rad, 21 1 646002 f > caua la radale C vltimo nome farà 4600$, qual fottrarai de 51005 refia- no 5 000, cir quefio parti per 1 00 ne veniranno due. $ o, comefù p rapo fio effer venduta la feconda mercantia, & cofi puoi vedere difiintamente Uk [oluti one, & prona di quello affai fottile quefito .. ; * Queliti diuerfi (opra di ucr fi giochi eftrat- ti da diuerfi autori; PEr non defraudar alcuno autore del honor fuo, pongo anchora alcu- ne queflioni in materia de giochi eflratti da molti autori, quali fono- nominati, fi come è de mio coli urne cofi in quefia materia de numeri, come, nelle altre da me trattatele quali anchor che non facciano per merenda * te faranno però di piacer e, & intertenmento nelle compagnie, doppo tan- te altre quefiioni,di fonde inucfiigatione,accioche babbi t loco, quel det- to del poeta. Quod carct alterna requie durabile non eft, per tanta ho pillo prima vno que fitto propojlo da Frate Luca nella nona difiin^io— M, della [uà fummo, di jLrilìmetica . :,V. Libro Sedò. Qucfito primo. 3 3 f brigata gioca alla palla a 6oalgioco,& io per caccia, & fanno ▼ pofla due. io, accade per certo impedimento, che non poffono finir il gioco, & f vna parte ha 50, «ir l'altra io.fi dimanda quanti due. toccano per parte della pofla. Terfoluer fintile quefìto efjo Frate Luca doppo alcuni difeorfi fatti cir ca di ciò, finalmente opera in queflo modo,per la più breue, cioè aggiùnge infieme quelli, che hanno le parti, cioè 50, &■ 10 fanno 70. Toi dicefe 7 o mi danno due. 1 o ,che mi daranno 50, onde operando mi daranno due. q-~, & tanto tocca a colui,cht hi 50, & a quello, che hi *0 gli toccail reflo, che fono duc.z , & cofi dice , che fi debba proce- dere in fimili,cofi nelgiocodi palla, come alla morra, & alfagittare,& al tri fimili, & quefla operationt farebbe pronti ffima , & codiente fe non baueffe oppo fittone alcuna. Ma a quefla fua concluftone alcuni oppugnano , dicendo che fe vno dì loro haueffe io,& l' altra nulla,feguirebbe,cbe a quello, che haueffe to gli toccaffe il tutto,ilchefarebbe inconueniente , che fuffe nella medcfma conditione , come fe haueffe vinto il gioco, dicono adunque, che fi debba fottrar lode 50 ,reflaranno talparte della parte del compagno do nera hauer appreffo allifuoi,quaU poniamo che filano squali $0 de 60» cioè di tutto ilgioco,Mà 30 fono la mila de 6o,adonque colui , che hi 50 deue tirar la de l'altro, cioè de 5 , che fono a -J-» che gionti alli fuoi f fanno 7 il refi ante, che fono a -f-hauerà quello, che ha io, talmen- te, che perderla la -—del fuo capitale, &fe vno haueffe 1 o,dr l'altro nul la fottrar ai ode io recano pur to,& queflo io farà la J- parte de tut to il gioco, adonque gli toccata la parte de quelli del compagno , cioè ~é~> (l}e appreffo alli fuoi faranno 5 , & quello, che ha niente gli toc curano due. 4-~j~ talmente, che perderebbe ~ delfuo capitale, & a que- flo modo nonfcguirtbbe inconueniente , come difopra fegue operando al modo di Frate Luca , & di quefla opinione è Tficolo Tartaglia Ma-, tbematico . Slmilmente il detto Frate Luca propone queJV altra queflionc* Quefi io fecondo * Jt 4 Kf giocano di archo,& metteno due, 10 fra tutti feon queflo patto, -*■ che chi prima fa 6 colpi meglio,quello tiri la pofla, occorre, che qua do il primo ha 4 colpi > il fecondo j, & il terqo 1 a , non vogliono ti- ra. DcirArithmctica ra più, et t acordo vogliono partir lapofla , dimando quanto dette hauer eia felino Ji loro delli ducati io ? * Et coft aggiongc 4,& 3 ,t2r- 2 , cioè li colpi, che hanno fatto ciafebun di loro,& fanno 9, poi a modo di compagnia fi partono detta pòfla, dicendo fe 9 mi danno due. io,che mi daranno 4, & che $,& che 1, onde il pri- mo che fece 4 colpi donerà tirar due. 4-%- , & il fecondo due. 3 -j-, & il ter%o tirara due. 2 -J- , che giorni infieme fanno due. lo,& perche fimil- tnente a quefta anebor fegli può far la medefma oppofitione , che fu fatta a quella precedente, per queflo la folucremo per altro modo. Ter tanto Hieronymo Cardano Medico , et Mathematica preftanti/Ji- mo folue la detta qucflione in queflo modo . Trema fottra le parti de ciafcbaduno delli compagni del numero de tkt ta la pofta,cio'e da 6>& reflano qnefli numeri , cioè 2,& }, & 4 » & de tutti quefii rollanti numeri fi trottano le firn 1 i » me del li loro progrcjftoni,come difotto appare -f- — cioè che la fumma della progreffion de 2 far à 3 . quella de 3 1 6, & quel - la de 4 è 1 o,et la loro fumma farà 19 , bora diuide tutto queflo depofito de due. io in 19 partile quali ne da 10 a quello , che ha 4 colpi > C ■ 6 a quello che h.1.3 ,et 3 a quello, che ha 4 colpi ,et 6 a quello che ha 3 , et $ a quello, che ha » colpi, cioè quelli che refiorno mancho ^tirandoli de 6 li dà a quello, che hebbepiù colpi,& quelli,che refiorno più li da a quel- lo,eh’ bebbe nel gioco manco , colpi , onde per trouar quanto tocca a eia - fchuno del depofito, giongi infieme le dette fummo che faranno 19, et cofi arguirai per la regola del },dicendo,fc 1 9 mi danno duc.i o,che mi no 1 o, et poi che mi daranno 6,et che mi daranno 3, onde trouerat , che l primo donerà hauer due 5 -4, » « il fecondo due .3 -\i> et il tergo doucrd hauer due. 1 , che tutti 3 infieme fono due. io, et la demolir mone di queflo è pofia nel capitolo 6 1 , della fua Jtritbmetita . 6 6 6 1 * * colpi » 3 4 2 * * fe 19 danno feu, lo I io io 3_ 19 io l 6 X 9 30 II I 1 19 I 1 9 ico jr _r 1 9 primo hauerà due. 5 — fecondo due Quo i ; Libro Serto.* ■ *>»• V- Quefito terzo. / - T'ilìgfocano infime , et l'vno mette 17 contea 11, et [altro mette 1 j JL/ contra 17, dimando qual di loro gioca con miliare conditione, et quanto per 100, et quello , che ha peggior condii ione quanto perde per too? Quanto alla prima parte dirai, fé 1 7 mi «fe/mo a 1 ,chc mi daranno a j multiplica et parti fecondo la regola , et ti daronno a 8 -J-, et tanto fi do uerà metter contra a 3, volendo, che li depo fitti fiano eguali, onde metten- do fife non 2 7, vien a perde 1 per ogni a 3 de capitale, fe quefio vincef fe il gioco . Et -polendo faper quanto perderebbe per 1 00, dirai fe a j capitale per* de 1 T. f-,cbe perderà 1 00 , multiplica et parti fecondo la regola, & troue rai,c he perderà 6 per ioo de capitale, et [altro giocara con maggior conditione,ma battendo pinto,et volcndofaper quanto ftperdeper 100 a rifpetto de coliti, che gioca con meglior conditione,et rifpetto al guada* gnojche dotterebbe far depiù,chc non fàjfi douerà direfe zi perde 1 -y- , che perderanno 1 00, multiplica et parti ne veniranno 4 , et tanto ftperdeper 100 de guadagno . Et volendo faper il guadagno de l'altro dirai,fe > 3 mi danno a 7 , chi mi dora 17 ,1 multiplica et parti ti daranno 19 -fj* et quefio è tnancho de a 1, adonqtt e giocando hauerà auantaggio x ri per ogni 1 7 più di quel- lo,che mette 23 contra 27, et volendo faper quanto per 100 dirai, fe 17 guadagnano 1 4j » che guadagnarono ì 00, opera per detta regola, et gua dagnaranno 6 $ , cioè tanto quanto hà perduto l'altro a ragion de capi- tale,et cofi farai le filmili. Et nota, che filmile quefito, quantunque fila propoflo in materia de gio - to,è vt Uiffimo anchora per faper [auantaggio et perdita , che fi fa nelle tranfportationi de monete da vno luogo a [altro , più in vna che nc l'al- tra moneta , come nel trai tato de cambij difopra ampiamente è manifefto, et olirà è vtile alle confiderationi circa le compagnic,ct baratti, come per. proua fi conprende . » Quefito quarto. DOi giocano con quefio patto, che chi prima fà 6 vinca il gioco , ponia ino alti affi, et l'vno fà 4 ,el [altro non sò quanto fi faceffe, ma ba- ttendo pofio tutti doi fol.tó gli ne tocco foLto -j-.dimado quanti) fece [al- tro t “ ■ ftdl'Arithmética tre? Sottra 4 de 6 refiano t. trova la fu a progreffione fari f , poi > tii chi parte fono to-f- de 16, che troverai ejj'er -j- 3 et tal parte fu lapr ogreffiu ne dell'altro del tutto , cioè della fumma de Ivna , et l altra prò - greffione,adoquc 3 fu il -y-,et per confcqucnte 6 fu la progrefion dell’al- tro, redi adonqve 6 de qual numero fu progreffione per H trattato de prò greffioni, et troverai, che fù progreffione de adonqve f altro fece j, et il primo fù fuppofio hauer fatto 4. Quefito quinto . SOno dot che giocano alti off co quefìo patto, che chi più prefio rial 1 f vinca lapofia,qual poniamo ejfer fai. 24, et quando l'vno hebbe tre f altro hebbe tanto, che non pojfendo finir il gioco per efferfperfa la ba- rella,fù giudicato con ragione, che dovejfe tirar fol. 1 5 dimando quoti ti n'ha fatto l'altro compagno ? ycdf prima quanti fol. toccano a quello , che ha fatto tre.fottrandé fol. 1 5 fj- de fol. 2 4 rejlaranno fol. 8 et tanto tocca a quello , che ha fatto tre offi, bora fottr arai 1 de 1 8 refiano 1 j, bora troua la progreffion naturale de 1 5 per. la regola data nelle progreffioni,farà no, et poi dirai fe 1 5 j4- mi dano 1 jo ,che mi daranofol.i -Jf , multiplica,et parti ne ve- niranno 66 . troua li termini di tale progreffione per la regola data nel fuo trattato, et faranno 1 1 , bora dirai , qual numero fù fotratto da 1 & the'l refio 1 1 .fot tra 1 1 de 18 rtfiano 7 , et tanti off fece colui a chi toccò Terche filtrando de 18 la parte minor, ne refia maggior quantità al- la quale Joppo f operatione fida la minor parte delti dinari della pofta,et f /vilmente fottr andò de i8> la maggior parte, qual fù 7 r diano 1 1 , qual farà minor fumma de progreffionr.imperoche fa ft non 66 , et l'altro re- fio fece 1 sfornando 3 de 18, et lafua progreffion fù 1 ao, et tornatogli la fua portione finalmente fi da a quello, che l/a pofio più , fi che la parte del primo fi da al fecondo , et la parte del fecondo fi da al primo , perche ehi più ha pofio fà minor fumma de progreffione , et chi mcn ha pofio fa maggior, onde al 66, chiba fatto 7 fcglidannoiifol.il j^-, et ah 10, fe gli danno fenon fol. 8 perche ha fatto fe non tre , et cofi la rifolue il Cardano Mathematica celehratiffimo, vero è che tali concluftoni non fo- no ancora perfettamente determinate , ma fono più verifimili perle ra- gioni da lui a Idutte . * ' Et per trottar breuiffimamente li termini ima progreffione naturale, ' come de \zo difopra, doppia il 1 10 farà 240 cauanela radice propinqua farà li, et auanga ij,« tanti fumo li fuoi termini, etjquefta è vnare gola de modo (firatta dali'^i Igear a . De ** rlibfoSefto.n 3^t ^DégiochiVpcr li quali fi ritroua vno numero ' pen(àco,6Cqucftoinpiùmodi,come i c • r • t r ; ■ , < cu c nelli fcquend queliti appari Quelito fefto. ? * vi v 4 1 ; • f ! l ? Di lift PEr diucrfi modi, fono foliti li MaeHridi ^drithmetica infegnar atro uar vn numero penfxfo nella mente fvn' altro, Mà noi in quello trai tato, qual fi fà folamente per gioco , & ricreatione del animo gii fianco nelle difficoltà delti precedenti problemi^ difficili fieculationi, propone* remo /blamente alcuni de quelli, che fono più mirabili, & curio fi, qlUfcbo * lari defiderofi di fàpere,rif •mandami ai efer eppiófo folamente in aueUi quefiui,che apportano al bimano genere , à più vtilità nelle cofe dtgut. dagno,òpiù jpeculatione nelle cofe oue confifie>la vera, et folida dottrina. * 'Prima adonque proponiamo , che vno voglia in deuinarea vn' altro quanti f oidi fi ritroui hauer in borfa , prima gli dimandati quanti gli *- usavano numerando a 3, cioè partendoli per 3, & poniamo, che gli ne a* uanxjno *,& lui fcriuerà ò con penna borniamente tante volte 70 , quante fono le vnità,che auangano numerandoli a j, adunque fcriueri per quelli ». 140, cioè » volle ■?oìpoigUdiri,cheli numeri ouer parti an (bora per 5 ,& gli dicaVauonj# , quat poniamo , che fanno 63 fatto il Jio.finalmente gli dira, che Fi numeri anebora ouer parti per 7 ,&fi fac eia dir Vammi# qnalponiamo fia 3, & lui fcriueri tante volte 1 5 , cioè 41 fitto al 63,poi furntnara infieme quelli 3 numeri ^cioè 140] 6 3, et 4$ ■ che faranno 248, </«<*/ fumma partirai fempre per 10$, cioè per 1 meno » che non è la fumma delti 3 numeri, cioè 70 | n,& ij, che fanno io 6, Cr quello che auangarà fari il numero delti dinari , che colui haueua in bor fa, adunque partirà la detta fumma,cioè 248 per 1 05 ne veniranno %,& auangarano 38, & fol. 38 dira , che haueua in borfa, onero che bauejfe pen fato tanto, & fe partendo per 3 ouer per y, ouer per 7, ammratfe nul- la non fi muterà , fe non quelli , che auanxano,perche inter uien alchuna volta,che non auanxafe non in due diuifioni.ouero in vnafola, & quella d eue fempre partir per il detto 105, <ome fe non auanxa/fe fe noni ,nel partir per 7,1 iouepaffi partir 11 per 105 dicendo il roj in 1 j entra nul la,& auanxano 13, & il 1 5 farà il numero penfato , & cofi intenderai le ftmili. Aid e/fa regolano n ferue,fenon nelli numeri pen fati , che fono minori ouer eguali a 105 .pertiche fe partendo per detti 3 numeri mai a- uanxajfc numero alcuno , quello farebbe 105 , onero mulupluc de jos per unto farà 1 col tuo giudicio,cbe non fia più, che 105 facendogli partir WpiufiaritfqlfficfUCtSbt advnaper vno fieno minor i, & quefio probi e* i. i^rrr ria DeirArfchmttbi ma fi v fa netti conviti de Trinchi per mdouinar il numero iefruttlo u» ariimali,ouer altre còfe numerabili, &- actio fipòjfa tenie a mente quefiu problen* ho poflola figuratiti fotta . > ■ ; X40 i lauango de } moltiplica per 70 * . li : n j 4 . ■- 1 4 J » 5 3 »>•** > 248 iojj»4« tauangó de t ' ‘multìpfitct per XI louangcr de 7 moltiplica per iy [- 38 numero penfato . icS ,'Xtzn .»>■!.' *iT fi « tru-.io- 11.11" m. Quefitofcttimo * • Fa imiti pochi de numeri appar mirabile, come dice il Cardano, quei lo che fi fà per indeuinare in vno circuito cTbomini ouer di donne ',#» •* tur altre co (e, quale fi baucrà imaginato alcuna per fona . * v* ér . Ti ni amo che fiano 1% hommi pofli bruno circuito. , & "uno dittaci yti altro fuor a di e fio circolo jo ti voglio indo ulnare, quale tu bai imagi* nato de quefti 1 o hommi, ouer altre cofe,onde li farai metter ai 9 rdineim "*no tir colo, come qui fatto fi vede* . .« )4» V A Bor poniamo che fi babbia imaginato il 6, togli dirai che' t cornine* & quale tu nuota numerar fin afucÙexcbcfi hi magnata mhfiuethotr ; vi.-- .*•*'*" fonia- j JLibroSefto h Ci 342 poniamo, cbeecnànci da i numerando Ha a 6. taira 6 ferràio in mente , poi dirai che' t cominci dal medefino l fumando infume quelli altri 6 fe- jeretamente che teueua in mente,commciando a numerar dalla parte oppp fifa alla pròna,#" gli dirai che vadi fin alò z 6,# fard quello, che haue - ri imaginato, & queflo numero fi trona doppiando il numero delle cofe pofiein circuito, qual in queflo cajo è i z.farà xq,& a queflo fempre per regola fi aggionge x, che fanno xó.ficbe cominciando dai infume col 6 da lui penfato farà y,0‘ dicendo y,# 8,Cr 9, et numerando in circuito al op pofuo final x6 ■.toc caratiti detto zé fiora il numero 6, qual dira , che metti nel megjo del cerchio,# tu dirai,chefi hi imagbtatn iTé.ouero , quel nome di homo ò donna ò altra cofa,cbefarà pofli in luogo del 5' , & fe fu/fero fiate 13 cofe bauerefti doppiato ( u chefarcbbono 16, & gioi- toli X farebhono x%,& tu farefit numerar al oppo/ko della prima nume ratione fin al x%,fcruando in tutto Cordine difepra cfpoflo, # per non la feiar intender facilmente jl modo, in vece del 2 8 tirai :l 27, & tu andx- rai al fequente,ciob al iS,cr/hrai che [ari quello, oueroihe paffirai ol- irà quanto ti piace,# potglidirai il detto 28 ritornando in drieto, onde • bora a vn modo, bora a rii altro patria variare, pur che tu non erri nel - bordine dato, . » . Qucfitoottauo.’ e* y ir\ 094 v^vtev**. iSijKufyc'WìWvM iV 'v ?• sfyi \U-vt * A'ìqchora rfafi vno gioco di trouar 3 forti di monete ouer altre ) co . fc diuerfe afeofe in 3 perfone,comc fé baueffem» ? forte di monete, 3 ma d'oro, l'altra d'argento, # la terga dì rame, # voleffemo trouar quale delle 3 perfone haue/fe la moneta tC oro, et quale la moneta if argot to , jdr quale hauejfe la moneta di rame. ouer 3 altre cofe diuerfe in vice di quefìe 3 farti di moneta . Il aiterai 1 8 pietre ouer 1 8 granici fona q <C altra cofa , # facendoli feder ouer (lare in ordine fenga tramutar/!, dirai che in tua abfentia fc il primo ha la moneta d’auro , fe pigli vna di quelle pietre ,'# felha il fe- condo ne pigli z,fe Cha iTtcrgajie pigli 3. poi quando hauerano fatto que fio, dirai che feil pròno ha la monetai argento pigli x di quelle pietre, et fe l'ha il fecondo ne pigli 4 , & /e Cha il tergo ne pigli 6,poi dirai fe'l pri mo ha la moneta di rame pigli 4 di quelle pietre,fe l'ha il fecondo ne pigli '8 fe l'hà il tergo nè:pigli o , # chinon tbxnon ue pigli alcuna , fatto questo vedi quante pietre ouer grani gli fono auangati de quelli 1 8 , # per detti auangi farai iudicio , qual dclli 3 compagni bavera là moneta 4’ oro,# quale batterà quella d'argento,# quale baueri quella di rame onde dirai chcfc audga vnofil pròno bavera d dinar d'oro, il Jccodo qUo o gjr rr a d'or- Pietre : DcirÀrithmcrica £ argento il terzo quello di rame , & fe avanzeranno J, /7 primo haut£ rà il dinar £oro,il fecondo quello dir arnesi ter 70 quello £ argento , & fe avanzar ano 6 , il primo hauerà il dinar di rame, il fecondo batterà, quello d oro , & il terzo quello d' argento, & fe avanzar a 7, ilprtmo ba nera il dinar di rame, il fecondo haueràquello £ argéto,et il terzo batterà quello £oro,& fe ne avanzar ano 5 ,il primo hauerà quello d'argento , il fecondo, quello di rame,et il terzo quello £ oro, & per lenir meglio a me moria quefla regola hopoflo qui difotto quelle 5 ditioni,cbet infegnara k no l'ordine di faper trouar quefle 3 cofe,nelle quali dittioniffono 3 -rotali ciocci E, &0, &lo jl lignifica l'oro, lo E lignifica C argento , &* lo 0 lignifica il rame, fecondo l'ordine, che faranno in effe dittioni, che fa no quefle , Tacebo Beatos Manna Sonantes "Poetai Ehetorafque col Mi mero delle pietre ouer grani avanzati fir itti difotto, come fi vede . Tacebo , Beatos, Marones, Sonantes , Poetai, Jfc torafque l » 3 f 7 S Onde fe dette pietre ne avanzar à vna vedi li meati di quefla dittione tacebo, che'l primo è jl il fecondo E, il terzo 0, che vuol dire , che l , primo hauerà la moneta £ oro, il fecondo quella £ argentoni terzo quella di rame, ouero altre cofe , che rapprefentino effe tre monete , & fecondo- queflo ordine giudicar ai li altri auanzj fecondo le dittioni difopra nota- tele quali cofe benché fìano di poco momento,nondimeno eccitano la gio- ventù alla confideratione de cofe più graui, fi come quelli, che non hanno gufio do cibi folidi,& funi fono provocati molte volte da vna poca {alata:, nel acetf,ouer da qualche cibo acctofo nel principio, del palio » r *Y0 4- *2$* 2.HY Tacebo , Beatoti Marones , Sonantes , "Poetai, Beiorafqus 1 a l * 7 * jqon tacerò in queflo luogo il gioco di Iofcph, il quale, come dicono al ami, trottandoli in Mere in compagnia £ vna Fuegina, venne vnAgrade i Libro Serto . 3 43 & tempeflofa fortuna, nella quale fu for%aa {caricar alquanto la nano gettandone parte nel mare , & ejfo lofepb con la Bigina mejfe la forte tal mente, che faluò [blamente li amici, onde numeratoli tutti per 9 a quel liycbetoccauano ilg veniuano gittati nel mare,& il refto fumo faluati. La qual forte fi proua eoi gioco delle 30 tauole del sbarraino , le quali fi dijpongono con tale artificio , che fempre numerandoli a 9 , & leuando offa nona tauolafi leu ino tutte le negre,ouer tutte le bianche , & accio - chefipoffa lenir a mente effo ordine l'hanno pofio in queflo vtrfo , cioè ‘Populea, Virga , Fratres , Regina, Beferuat , onde fecondo- lordine detti 5 focali T thè fono conuenuti in queflo ferfo,fi dijpongono effe tauo- le, & perche in qu efia prima ditionc Populea è p rima 0 , che è la quar -, ta vocale, pero fi metteno prima 4 tauole negre poi 5 bianche perche y» è In quinta vocale , & pai 2 negre , perche E è la feconda vocale , & poi vna bianca perche *A è la prima vocale, & cofi intenda/} delle altre dit- tioni, come difotto appare in figura . Populea, Virga, Frates, Regina, teferuat, 4| jbli j| 1 i|a a[3 1 2[ a 1 1 Onde cominciando dalle negre, fi leuano tutte le bianche, & cominciati io dalle bianche fi leuano tutte le negre,mà auuerti/fe,che levo cali pofio innanzi à vn altra vocale non fi metteno per. vocali , per che fono, confo - - nomi, come nella dittione virga quello y]è confonante, & in quell altro dittionc referuat quello y, innanzi al^i efimilmcnte confonante,& vo- lendo leuar tutte le negre numerandole per 3, & leuando fempre quelle à chi tocca il 3, . comincia prima alle bianche , & mettili fecondo queflo. ordine [equente . . Bianche, T^egre, Bianche, Tfegre, Bianca, Tfeg^e, Bianche, Tfegre 2 sa issa x Bianca, Tqegr a, Bianca I 1 > “Hegre, Bidche,T^egre,Biacbef}^egra,Biache,7{egra, Bianche,7fegrs 4 a al ia 21 Cioè ponendo alternatamente vn numero de bianche, & poi de negre? & poi le bianche. fecondo che feguiranno, & volendoli leuar per il nu- mero q, diporterai come difetto cominciando dalle bianche cofi J ^ S I X*- • bnbnbnbnbnbnbn *lSS2IlI112a32i Et volendoli leuar per il nifi. I ’ * rara f» * Defl’Arithnletica mero J farai, eome difotto, cominciando dalle negre ti dìfroncrat cò/t. w£ gre b n b n b n b n b n b n b n b n b n i aititi i l 2 a t ( i i i f 4 | u orli però cominciando dalle bianche le dijponerai co/i. nbnbnbnbnbnbnbn Et volendo le* b i ( t Et volendole leu or per j* b h n b n b n unni & volendole leuar numerando per 8 comincia 111331112x143 difponi come difotto cominciando dalle negre cefi bnbnbnbn 3*1*41 i li dalle bianche co/i come difolto . lima n b» b* bnb n b.b nb n & UMe - i attilligli? 224 a, r comincia dalli bianche come difopra fu fallo ,per quello verfo . Et volendole leuar per io cominciando dalle biaebe le dijponerai co/i bnbnbnbnbnbnbn polendole leuar numerando 1135114113111 1, — j.r^bnbnbnbnbnbnbnb per 11 difponi , come difotto r * 1 11121211124.41^3 & volendole leuar numerando per 12 le di fpo aerai-, come difotto . nerre bnbnbnbnbnbn, , . „ 1* , . J 124212123341 &Ptacendotltalt&,ocb,Potrat trouarper tuo ingegno li verfi,ouer parole , che conte fue vocali rappr.è [enfino l'ordine de tali numerano ni, che in quelli più olirà no mi efledo . Fannofi ancora alcuni giochi mentali, che vno batterà in fiupotefta quefli tre numeri, cioè 1 3, & 6, l'altro hauerà 2,& 4 ,et $, et alterna- tamente giùngendo [vno a quello, che l'altro propone, che più pre/lo an- dar à al io o, onero al 50, fi come pattr^aranno , quello hauerà vinte , li quali giochi volendo vincer fono di grande induflria, perche non fi pub [opere, quale voglia proponer il compagno, de quefli tali giochi fà mentito- ne il Cardano nella fua Aritmetica . » Fanfi alcune inuefligatione de. numeri per indouinare al compagne yna quantità per via de propottioni , et proportionalità de quali ne Ite parlato al fu 0 luogo particolare .1 t Ancora per numeri fi può trouar quanti ponti ha fatto vno col gittar de dadi,- et ancora a ritrouar vno anello afeofofra vno numero de perfi- ne, et faper appreffo quale perfana fi ritroua, et in qual mano, et in qual deto,et in qual nodo farà po/lo, ma perche fe gli riucla vno numero prò ; dutto da diuerfe operaiioni, è reputato cale ulo che ogni mediocre fipe- ràfare. . , . . 1,., » s ti "• •' " * àiaCinuefligare vn numero locatilo finita .farfimànififlar vn' altre •_ - \ numero Libro Serto . ; 344 amuro dal compagno, è cofa più degna di admiratione, quantunque fuffe di facile operai ione, fi come alcnne che fi fanno per foraci deproportio- m,etproportionalità, quali propone Frate Luca Taccialo nella fummo diuirithmetica,et Geometria „ Delle compagnie > & (badi in tutti i modi.1 TJ iAuenàogià nel principio di quefio rolume,doppo li jtlgorifmi efpo - f* padelle 4 quantità proportionali, chiamata delle tre cofe in tutti li modi , et apprefjo molte regole, che per quella fi folueno , come de leghe de metalli, meriti, feonti, et reili, et recar ad imo termino pii. par tite,et molte altre regole-. ì{eflami ancor a trattar delle compagnie * etfocidi de bejìiami , quali porremo fitto vno medefmo trattato ,. et poi trattarono de baratti ^materia affai fattile alla pr attica mercantefca ,. Mal farà l' ultimo trattato pertinente alla pr attica mercantefca* quali pmilmente diuideremo in qu e fi ti fecondo, ilf olito „ Quelito primo.. t OOho tre che fanno compagnia, & hanno guadagnato fcUi 1 40,'d primo- hapuflo nella compagnia fett. 7 5, et il fecondoha pofhfiu. 8 i y etili tergo fcu. 91. dimando quanto donerà toccar a ciafc aduno, del guadagno* a ragion dilli loro capitali .. Et perfoluer fimili,aggiongi infieme li capitali, cioè 7 5, Ri, et 9 1 fa- ranno iq%,ct perche quejla de capitaliguaddgna li fcu. 3 40. però dirai** [e 148 guadagnano 3 40,che guadagnar anno 75, capitale del primo, onde multiplica, ct parti ti daranno fcu.iot, lire 5 ,foL 1 % den. 1 operan- do fecondo ibnodo dato di fopr a intronar, le lire > [oidi, et. den. ponendo- thè lire 7 fanno -pno feudo _ Toi per trouar quanto- tocca al fecondò opera fi'milmente dicendole; 248 guadagnano f cu. $qcr,che guadagnarono JjcH.it, multiplica,et par ti fecondo la ngola detta,, et ridaranno fatui 2. Urei foLiiden.Z'fg, poi per trouar quanto tocca al tergo compagno, dirai fé 148 guadagni t- «u/cm. 340, che guadagnammo feu^ 91 è multiplìca , et parti come di- fopr a, et ti daranno fcu. 1 *4. lire i.Jol.ódcn.i et tanto tocca al ter- go di guadagno, et per prouar queiìa, et altre fintili aggiongi infieme le- parti del guadagno di ciafcaduno faranno la. fumma.dtl guadagno , cioè fcu. $ 40, a ponto Et quantunque fi poteffé trouar la parte del tergo compagno fiottan- do, la fumma del primo, et deificandole tutto il guadagno ,la qual > iai farebbe: che potrebb e ejfcr fatto errore nrl primo , et nel fecondo , che fo tirando , x poilafimma loro del tutto reflarebbe ma quantità , che ritornata poi d' aggiùngere infieme farà tutto il guadagno , fiche noni da curar fi di quella breuità,che no ha certe g_ga di demofirationeftlcbe era cTauuertire COno s che fanno compagnia, nell a quale hanno guadagnato due. 340, *7 & il primo ha mefibfcu.no, il fecondo ha mejjofcu. 1 50, « il terga bà meffo la per fona , & gli tocco de guadagno due. 9 5 , dimando quanto tocca al primo & al fecondo de guadagno,et quanto fu filmata la perfona del tergo compagno nella compagnia . Ver far 4juefia,& fimili, fottra il guadagno del tergo, ouer di queliti Che tu fiai,quanto guadagno gli è toccato da tutto il guadagno, & reflari H guadagno del primo, et del fecondo, hor filtra Uduc.93 dalli due. 340 refiarano duc.i^,hora dirai per trouar quanto tocca al primo, & al fè condo diftintamente,fie tyo, che i la fiumma del capitale del primo, d r fie conio, mi da de guadagno duc.itf , ebemidaranno ficu.no capitale del primo . • Multiplica dr parti fecondo la regola , & ne leniranno ducati 10%. lire 5 fioU I o d. 2 valendo il duc.lhe 6 fol.4, che fono grofifi >4 ,dr per trouar il guadagno del fecondo dirai fimilmentr, fi iqo mi danno du~ cati 145) che mi daranno 150» & oper andò fecondo la regola trouerai , che al fecondo toccarade guadagno fi H.136 lire, fol.13 d.9 , & per trouar quato fu fìimara la perfona del tergo compagno, dirat fiducia* guadagno dclli chi primi mi danno fil. * 70 fuo capitale , che mi daranno duc.9q,multtplica& parti, & ti daranno fcu. 104 lire 4 fil.xyd.x —, & tanto fà filmata la perfona del compagno, valendo il fiuto lire 7 ' La prona fi farà come difopra, & cefi fi fax ebbe fi la propella diceffe tl tergo hapoflo non so quanto, ouer ha pofio vna gioia ò altra cofa, trotta refii la valuta in vece della perfona . .•> • ••• \t - : iLt prona primo fcu. 1 o 2 L. fi, fil. 1 5 den. x guadagni fecondo fcu. lX2L.i,fiLx8den.2x2% tergo fcu. 114 L. 5 fil. 6 den. x 1 j5 • fiu. j 40 L, Quefìto fecondo : v De 1» Libro Sello, f 345 De alcuni altri auertimenti circa le compagnie perabbreuiar quello trattato . Quelito terzo,. SOno tre che fanno compagnia, et il primo ha meffofeu. no,// fecondo ha meffofeu. 1 8c ì.iljergo ha mejfo fcu.xoo , & in fine della campa gaia fi trottano tra capitale , & guadagno fot. 147 5, dimando quanto toc ca ciafcbuno alla pontone dclli loro capitali. aggiùngi infume , cioè 120 | 1 8 o | et 100 faranno 5 00, quali detratti delli fcu. 1475 capitale , & gua dagno reflaranno fcu.97 5 \ guadagno foto, poi dirai come nelle altre, fe fcu. 500 capitale mi danno fcu.97 j de guadagno , che mi daranno no del primo poi 1 80 del fecondo, & 2 00 del tergp compagno . Et troucrai che al primo toccar à de guadagno Et al fecondo . Et al tergo . Cbegionti infieme faranno li proporli , t Quelito quarto; 17 7^0 ha quattro creditori, alprimo glideue dar V al fecondo glideue dar al ter'go al quarto ( ■ ? r ^ che fono in fumma , accade che cofiui fnliffe , & fuggendo non fi troua de fuoi beni fenon per il valor de fcu. 140, dimando quanto douerà toccar a ciafcaduno de fuoi creditori * Arguirai dicendo, fe fcu.xóoo fumma de creditori mi danno fcu. no, che mi daranno fcu. 450 del primo, & poi 68$ del fecondo, &• por 7 *0 del tergo, poi 745 del quarto, al modo dell' altre compagnie, qua li lafciò alfiudiofo da operare per effer fàcile da fàre,& pr aitare . * ■- v*V‘ !.. Quelito quinro . ^T1 fie altri fànno compagnia , il primo mejfclire 540 , il fecondo meffe A balle 3 x di lana, il ter 70 meffe ducati 260, & hanno guadagnato in tutto lire 1250 , onde al primo gli toccò lire 215, al fecondo gli toccò lire 371^1 ter^o lire 650, cioè il refio {malli 1250, dimando quanto valfe la balla della detta lana , & quanto valfe il ducato . Sfff Opera fi»- 3 J4 fi»- 53* fcu. ^90 fcu. 1475. feudi 450 feudi 685 feudi JiO fiati 74$ feudi X «00 DeffAftthmétJcì Opera per la regola del tre dicendo, fe Urea y', che toccano al primi ‘ tengono da lire 540 fuo c apitale, da eh t verranno lire yj$,cbe toc cor- no al fecondo ? mnltiplica,& parti, & -periranno da lire 900, & tanto vaifero le balle 3 z di lana.hor parti lire 900 per 31 ncvienlirciS,fol. i,dcn.6 , & tanto valfe la balla, gir per faper quanto valfeil ducato di- raifimilmente,fe 215 vengono da lire 5 40 capitale, da che venir anno li re 61 o,che toccorno al terzo compagno ? multiplica, & parti, & veni ranno da lire i$6o , & quefle fono il valor de ducati 160, che meffe il tergo compagno, adonque volendo faper quanto valfe il ducato partile lire 1 5 60 per 260, nevcriiranno tire 6 , & tante lire valfe il ducato . La proua fi farà conuertendo la ragione , <jr dicendo tre fanno compct gnia, & hanno guadagnato lire 1*50, il primo ha mejfo lire 5 40, il fecon do lire 900, che fumo le balle di lana il tergo mejfe lire 1 560, dimando quanto tocca a ciaf cuna, onde feguendo la regola trouarai , che al primo toccaràlire 225, & al fecondo lire 375, e9* altergplire 5yo , comeftk. propojlo, quali gionti infieme fanno L.i 250 .. Li 2 J ; J 7 5 6 5 a ,* 1250 fumma Etcofi la conuerfionefarà fempre proua d'ogri ragiàne,fecondo li Dia- tetici che dicono, dall » conuer libile alla fua couucrtente è bona confo ■*- ' qnentia * Qucfito fc fto- DOi fanno compagnia nella quale hanno guadagnato lire 410, il prl -- mo Irebbe lire 60 di guadagno più del fecondo, & meffe nella com-~ pagnia lire 140 più deidetto fecondo, & hebbe in tutto lire 240 de gua- dagno", dimando quante lire meffe il primo, & quante meffe il fecondo >. nella compagnia «. Ter far quefia dirai co fi, fe lire 60 dì guadagno vengono da lire z 40,. che meffe de più il primo, da che verranno lire 420, che guadagnomo am bidui , multiplica , & parti fecondo la regola trouerai che verranno da lire 980, & tante lire meffe il primo col fecondo infiemc,& perche il pri mo meffe lire 1 40 de più del fecondo fottrarai lire 1 40 de lire 980 reflui- ranno tire 84 o,de quali piglia la -f- fanno lire 420 , & tanto meffe il fecondo. aggiongi lelire 140, che meffe de più il primo faranno lire 5 <50* «9* ta nto meffe il primo » , . ... Trita» À Libro Setto.» 345 * . cr • ' Trino L. y 6 6 ; fecondo L. 410 Z. 9 8 o La prona fi farà dicendo fe lire? 80 mi danno lire 420 de guadagno» epe mi\d aramo lire 160, ebe mejfe il primo, multiplica , et parti neve- niranno lire 240 , & tante ne toccorno al primo de guadagno come fè propoJio,& il reflo, che fono lire 1 80 toccorno al fecondo, ondefeguita» che quelli del primo fono lire 6o, come fu propoflo» & cofi foluerai,& prouerai le fimili . 240 x 8 o . .. ' j ’ . . .. V . L. 6 o ’ • * "% 1" t* w ' CV Quelito fettimo : TK? fanno compagnia,il primo mejfe lire 4q0.il fecondo fiorini 90.il ter-zo lire 4400 dilana, dr alfine fi trouor no hauer guadagnato li- re 3 yo .al primo nc toccò Uri 1 1 q. al fecondo lire9Ó,& alterco gli toc- co il r .fio. dimando, che valfe il fiorino a lire, & che valfe il ccmodcllala na a dinari . , JPer far quella dirai, fe lire 1 1 j , che toccorno al primo de guadagna mi danno tire 4qo,chc mejfe de capitale nella compagnia , chemi daran- no lire 96 de guadagno, che toccarono al fecondo , onde multiplica , & parti fecondo la regola ne venir anno Ure 37 5 -fj , & tanto doueua met ter il fecondo, & perche ha meffo U fiorini 90, adonque li 90 fiorini vale tianolire$jq , parti adonque 3 7 J -K per 90, & trouerai, cbevalfe il fiorino Ure 4 -Jj qual rotto puoi far inJ'ol.& d.Je ti piace. Toiper tro uar quanto valfe il cento della lana dir ai, f e tire 1 1 5 guadagno del primo mi danno tire 450 fuo capitale , che mi daranno Ure 1 3 9, che toccorno al ter^o,6nde multipUca,& partane venir anno Ure J43 -|i, dr tanto vai fero le Ure 4400 * lana. & per faper quanto vaifero il 1 00, dirai per la detta regola fe lire 4400 de lana valeno lire 545 -4,' « che vaieranno Ure 1 00, multiplica & parti & trouerai chevaleranno Ure 42 , & tanto "valfe il cento della detta lana . Et per provarla fumma il capitale,delfecondò,& tcr^o compagno fa- ranno 91 9 4} . poi dirai fe 9 1 9 volevo di guadagno 23 q, che vorran »o tire 3 7j 4i> multiplica & parti dr trouerai, che al fecondo netocca- Sfff 2 ranno DeirArithmetica ratto lire $6,comefu propoflo,& il refto, che fono lire X toccavano «9 tergo compagno) come fi) propojlo. TRp hanno fatto compagnia, il primo gli meffe due. 85. il fecondo due» 72 .il tergo ha me fio tanto, che del guadagno gli tocco il -j-, et han- no guadagnalo i/wf.540 , dimando quanto ha tneffo qucfto tergo compa- gno in detta compagnia . Ter farla piglia il -J- de 540 fanno ducati 1 8o,c2r tanti due. toccano al tergo compagno, poi fummar ai il capitale del primo, & del fecondo fa ranno 1 57 , & qucfto falua, poi fottra il guadagno del tergo chefù 180 dilli ducati 540, refi ano dnc.;6o , & tanto fu il guadagno delli primi doi,hora dirai per regoLhfe 360 hanno foflo 1 5 J,ihe hauerà poflo 180, multiplica &• parti et trouerai,chcl tergo hauerà pofto due. 78 £ fatta,, & la prò uarai al modo dato difopra .. j Centilhomo haueua 3 botte, che Cvna era piena di maluafia,dr _ :ncua brente 8, l'altra era piena de romania, & tentila brente yLt terga erapiena de vin grcco,& teneua brente 7, accade, che vnofuofat tore,trouò vn altra botta, che tcneua brente 20, cioè quanto fanno infie- vielcdettei bottc,& votoUi tuttein quefta de brenti 20, & ritornando il T airone fi turbò per hauer me f colato quefii 3 forti de vini infieme, & li fece ritornar nelle 3 prime botte cofi mefcolati infieme. Dimandafi quark to lenirà ciafchaduna delle 3 botte de ciafchuna delle 3 forti deyino,cioh Maluafia.I\prnania,& vin Greco. Dirai fe brente 20 tengono brente 8 de maluafia , che tenirà brente 8 cofi mefcolato, multiplica, & parùet trouerai, che lenirà brente 3 -f- poi f cr trouar quante brente di romania tenirà , dirai fe brente 20 tengono reme 5, che tenir anno brente %. multiplica, & parti & trouerai, chete- tii ra de romania brente 2. poi per trouar quante brente de vin greco, dir ai fe brente 20 tengono brente j,che leniranno br ente 8, multiplica & par ti et tenirà brente a de vin greco.f ammali infime tutte 3 forti faran- no brente 8 cofi mefcolato. Voi per trouar quante brente di ciafchaduna forte fono nella botta de J brente, dir ai fimilmente fe brente 20 tengono de maluafia brente 8 ,che tenirano brente 5 ,& leniranno brente 1, & per faper quante ne tenirà de romania dirai fe brente 20 tengono brente 5 che uniranno brente 5, opera fecondo la regola, & tenirà brente 1 £ • Quefito ottauo. Qucfitonono; i Libro Sefto. 347 "Et per faper quante ne tenirà de vin greco fimibnente dirai, fé brente ’ao tengono brente 7 chetcniranno brete $.opera,& trotterai , che leni- rà brente 1 -J-. poipcr faper quante ne tenirà quella de brente 7, dirai ft brente 20 tengono de maina fu brente 8, che leniranno brente j.optra,& tenirà brente 2 -7- . Et per faper quante de romania dirai, ft brente 20 tengono deroma- nia brente 5 , che leniranno brente ’j.operatrouerai,che tenirà brente 1 finalmente per faper quante brente de vin greco tenirà dirai , fé brente ao tengono de vin greco brente 7, che leniranno brente 7 , opera troue- rai , che ne tenirà brente 2 la prona farai de tutte, & trouerai , che faranno in tutto brente 20, & trotterai ancora feparatamente in tutte le quantità de ciafeaduna forte, cioè 8 brente demaluafia , 5 de romania , de vin Greco , come qui difotto appare. Quella de brente 8 tien brente 3 -y- de maluafia, brente 2 de romania , & brente 2 -j- de vin greco . fumma brente 8 Stuella de brente 5 tien brente a de maluafta , & brente j -±- de romania , & brente 1 de vin greco . fumma biente 5 Snella de brente 7 tien brente 2 ì| -de maluafia & brente 1 jl- de romania , GT brente 2 de viti greco. • «fc— « 1 1 1 — — — fumma brente 7 7^p la che alcuna volta non fi fc biffano li rotti per hauer da fum- mar li numeri d'vn mede/mo denominatore » Quefito decimo. TI\e foldati voleno partir fi vno bottino, che valeua fcu. 6\, il primo vuole la -J- del fecondo, & il fecondo vuole -J- del tergo, dimando quanti fcu.toccanoa ciafcaduno . Metti che’ l primo vuole i.adonque il fecondo vuole*, & il tergo vuole ; DeH’Àrithmética ruote i.giongili ìnfime formo 1 1 , bora dirai per redola del f , [e unti danno 64, che mi darà ( ,et che mi darà z,et che mi darà 8> opera, troue rai cbt'lprimo donerà batter fcu. 5 *r- H fecondo • fcu. 1 1 ìr & il terzp fcu. 46 fr- / fumma 64 . .» ; — •> Quelito vndecimo.1 TRp faldati trovano vnobottino,cke valcua fcu. 125. il primo ruote la -ì- del fecondo più 3 , il fecondo vuole del terzo più 4 , diman do quanto toccarà a ciaf cadano . Ter far quella, & fintili fumma quelli più j , & più sfanno 7 fot - trali de 1 2 y r c flati 0 1 1 g, bora poni chc'l primo voglia 1 , il fecondo vor rà x, il tcr^o vorrà j, perche x fono li-~ de 3 , bora fumma 1 1 1 , & 3 fanno 6, & dirai fe 6 mi danno 1 , che mi daranno 1 \8,& ri daranno fcu. 19 -j-, & tanti toccano al primopoi per il fecondo dirai,fe 6 mi dan no 2, che mi dar anno 1 18, & ridaranno 39 -j-, et tanti toccano al fe - condo, et operando fimilmentene venir anno alterco fcu. J9 fen^a l ag- giorna, ma perche il primo vuole la ~ del fecondo più 3 , adonq; aggton gii al 19- f- faranno fcu. 2 x et tanto doucrà batter il primo, et per- che al fecondo toccano Jcu.39 ~~,et ne vuole più 4, che faranno poi fcu. 43 -p, et il terzo ne vorrà j 9, quali aggiùngi infieme , et faranno fcu » 1 2 peonie fu propoflo , "N primo fcu. 2 2-4- fecondo fcu. 43 -J- - v terzo fcu. 5 9 fumma 12 y Quelito duodecimo. / ~\Vattro compagni hanno guadagnato due. 14 j, et fi voleno partir il Q guadagno, con queflo patto,che'l primo debba batter il doppio del fecondo più 3, et il fecondo debba batter 3 tanti del terzo men 2, et il ter Zp debba hauer vn tanto , et mezzp del quarto men 5 . dimando quanto tocca a ciafcaduno . Ter far quefia,ct fintili, più facile via farà a cominciar dall' ritinto , per tanto pongo, che Cvltimo, cioè il quarto banejfe d' batter ducati t, et perche il ter zp compagno deuc bauer vn tanto, ctmez&omen 5, adonq; hauer à ) Libro Sedo.' ?48 bauerti I 4"» m- ~1>et perche il fecondo vuole 3 torto, et a meno,adon que hauerà 4 -J- m. 1 j, per che fe dirà jfia 5 fanno 1 5 , et 2 meno c/?f /<* ra»»o n»f» 1 7, « perche il primo vuole doi tanti più 3 , adonque vorrà 9 men 31 , perche doppiando il 17 fa 3qmen, etaggiongendoui 3 /<xnzn no fe non 3 1 meno, et tanti fupponerò che hauejfe il primo, cioè p m, 3 1, et giùngendo infieme quejle 3 pofitioni faranno \6 men j 3 , ^oi aggiùngi quelli men 5 j alti ducati 145, rt faranno 198, quali partirai per 1 6, ne veniranno due .1 » « teliti nz donerà toccar al quarto-.perche fu fat- ta la prima pofìtionc fopra il quarto » et perche fi dice che il tergo deue bauer vn tanto, et meg^go del quarto men 5, adonque multiplicarò la \c per 1 4* farà 18 *g-, et (ottrandone 5 meno restar anno 1 3 *j- , et tanti ne deue bauer il tergo compagnoni perche il fecondo deue bauer 3 tanti del tergo men », per tanto multi plica 1 .1 fr Per 3 faranno 40 fottra ne li 2 meno refiaranno 3 8 Jj-, et tanti n' hauerà il fecondo, et perche il primo vuole il doppio del fecondo più 3 , per tanto multiplica 38 per * farà 77 r«- giongili il 3 , che vuole de più faranno 80 rf -,et tanto doue rà bauer il primo,et fummandoli faranno 145, comcfù propoflo . Et quefie operationi fono ad imitatione dclT algebra y Quefito decimoterza : * 1 , . j/ SI propone alcune volte vna certa conditione de compagnie in quefitr modo, come la infr aferitta. Sono 3 compagni,che veleno partir fi fcu. r2 o,de quali il primo vuole là —il fecondo vuole il—, & il tergo vuole il dimando quanto toc- ca a ciafchaduno . il quale quefito realmente non fi può foluere ; perche le dette par- ti fono maggiori , che'l tutto , & la caufa nacque del proponete fimili quefiti , perche alcuni non hauendo cognitione de numeri jnctteuano tali conditioni credendole fuffero polfibili . Et queflo /penalmente è occorfo in alcuni tefiamenti , cbevno hauerà legato per tejlamento la 4~ del fuo hauere a vna fua moglie , & il -f* a vno fratello, & il a vna fua forella per ejfempio dico, fenga bauer confiderationeje tale dijlributione fiapoffibile, onero imponibile, Mà per- che era debifogno ad ejfcquire la volontà del tefiatore, li homini periti primo 80 in- fecondo 38 ,'J- tergo 13 jf. quarto ia tf- yt fumma 145 , et prouà. DcH’Aridimetici trouorno Tata, di tal moda, che fuffc proportionata alla ìntcntionc de tali t oliatori , trottando vn numero che habbia qucflc parti integri , cioè la // -J- , & -J- , come nelpropojlo cafo, & per trottarlo (ì mule iplic ano li denominatori de tale parti dicendo,! fia sfanno 6, & qfia 6 fanno 24, &il 24 bavera tali parti.vero è che in queflo cafo anebora il 1 2 hà tali partlper tanto pigliarai la — de 24 farà n,& il -j-farà 8, & il -~-fa rà 6 , che giorni inficine fanno 26, che avanzano 24, onde fi dirà fe 26 mi danno fcu.i io, che mi daranno n,& che mi davano 8,&poi chemida ranno 6,operado per la regola folità fi trouarà,che'l primo donerà hauer fcH.i 5 4j< & il fecondo fcu.16 , & il ter^o Jcu.27 *»i » <Wi rotti al modo confiteto fi potrano far in fot. &d.& fummando quefle 3 parti infie me faranno no, come fù propofio . primo j 5 -f| * 1» 36-fÌ 4 ;; • . • ■ v . • •••■ - »7-?f . » A * ' * t ^ ; , *. 0 * — • ■ ■ — ■ ^ futttma fcu. 120 •; #v*- > # ; Quefito decimoquarto; SOno 3 che hanno hereditato fcu. no, con queflo patto,chcl primo hab bia la più il fecondo habbia il più 4, & il ter%o habbia il -7- men.%, dimando volendo fatisfar alla inflitutione del tejlatore quoti to toccar à a ciafcuno . T rima fottrarai più f,& più 4 , che fono pialli fcu. 1 10, reflaranno fcu. il 1 , & poi gli aggiongerat li 2 mcn faranno fcu. 1 1 } ,hora troua al modo della precedente vnnumero,che habbia la -—multipli cando li denominatori,& faranno 24, or perche anebora il 12 ha quefle parti in queflo cafo piglia la -il- j- , & -7- de 1 2 faranno 6 | 4 , <&* ? » quali gionte infieme fanno ij , & queflo farà tuo partitore , poi dirai fe 13, mi danno 1 1 j , che mi daranno 6 , rnultiplica , & parti , & ti daranno 52 -fj del primo, & perche ne vuole più 5 ag- giongili 5 faranno 57-771 tanti né hauer à il primo, poi pertrouar quanti n' hauer à itjecondo fimilmente dirai fe 1 j mi danno 1 13 , che mi daranno 4 rnultiplica, & parti ne venir anno 34 f*- a Ili quali gli aggiùn- gerai 4 ,cbc vole de più faranno 3 8 77- , & tanti ne donerà baurr U ftcon do, & per trouar quelli del ter^o dirai fe 1 ? mi danno 1 1 3 ,che mi daran no 3, rnultiplica, & parti, & ti daranno 16 -^fottrane 2 men reflaranno 3 4 ~7f, & tanti ne hauerà il ter%o , & per prouarla aggiongi yj J ldcì primo, & j8 del fecondo, & 24 -fj del ter ■^0 faranno fcu, 1 io, come. primo Jm propofio, Sé . * ♦ - ì » / ? Mi 1 rV 'V * - V? • iV* » V r J •« .f IH** |i Libro Serto . P"** J7 A fecondo 38 3 49 «ny> 24 -f, fammi 120 Quelito dedmoquinto . ■ | - I v ■ , Sd»o q,che fecero compagnia , et iiuij ero il guadagno in quefio modo , che al primo gli toccò la -{-de tutto il guadagno, & 1 più, al fecondo gli toccò la —del rejlò,& 2 più, al tersogli toccò la -{-del refio, et j più a l quarto gli toccò fcu. 1 2 .dimando quanto fù il loro guadagno, et quanti fcu.toccorno alli primi 3 compagni . Ter far quejla,ct filmili, comincia da f vltimo compagno, hauedo, adon que il quarto fcu.ixde guadagno, poi che n ’hebbe dati 3 al tergo primi n'haueua 1 5 , quali doppia fanno 3 0,4 quali aggiongi 2 fanno 3 a , et que fti anchora doppia fanno 64, alli quali aggiongi 1 del primo faranno 6 y, et perche quefii furono la -{-de tutto il guadagno, adunque doppia 6y fa- ranno 1 30 , et tanti fcu.guadagnaranno tutti inficine. Et per faper quan ti ne tocca a ciafckaduno pigli la -{-de 130 , fanno 6 i,giongili 1 fanno 66 et tanti ne toccorno al primo, et del refio che fumo 64 pigliane la -{-fan- no li, a quali aggiongi a iitpiù,fanno 34, et tanti n'hebbe il fecondo fot - tra 34 de 6 4 refiano jo de quali pigliane la £ refiano 1 5 a quali aggio n gili 3 de più fanno iS, et tanti hebbe il tergo , et il quarto bebbe 12, ag- giongi infieme il guadagno de tutti, cioè 66\ìq[l^,et 12 faranno Ijo,co* me fu conclufo. Quelito dedmofefto. XT'ffofece tefiamento , & venendo a morte laffo lafua donna grauida, • ▼ & trouandofi in tutto il valore de due. 5 00, ordino , chefe la donna faceua Vno mafebio, la madre haueffe feudi 200, & il figliolo feudi 400, & che fe faceua femina li fcu. 100 fufiero della figliola, & li feudi 400 fu fiero della madre. venne il caf j, che la fece vno mafebio, & vna femina, dimando quanto toccar à alla madre , & quanto al mafebio , & quanto alla femina . In fimili fiempre fidate confìderar, qual parte intenda il teilattr di laf far alla fua donna, & al figliolo, & alla fiua donna, & al figliolo, & al la figliola, reffiettiuamente , adonque in quafiofuo tefiamento fi compre» de,cbe lafiando alla madre due. xoo,& al figliolo d.qoo, che vuole che ’ Tttt la Dell’ Ari thmeriea la madre hahbìala -f- del figliolo ,& facendo feminàt^uole che la figli» la babbi a la -f- della madre , adonque fe la madre hauerà il figliolo ballerà 4 , & la figliola hauerà 1 , quali aggiongi infieme faranno 7 > poi dirai per regola del $,fe 7 mi danno 500, che mi daranno i,multìplica, & parti ne venir anno due. 141-$-, & tanti ne deue toccar alla madri, & al figliolo toccar à il doppio , cioè, 2 85 , & alla figliola toccar anno due. 71 cioè la mìtà de quelli della madre, & per* prouarla aggiogi aucjle 3 parti intìeme furano duc.ioo,come vedi , madre due. 1 41 -f- figliolo due. 28$ -|r figliola due. 71 -7- duc. 500 Et non fi deue guardar ,che la funrna de dinari nominati neltejlamert to ecceda la fuafacultà fi come fà inquefla,che laffando 400 alla madre & alla figlia zoo,farebbono 6oo,cbe farebbono 1 00 de più della fua fa diltà , ma fi deue confiderar fidamente , che parte ha fi vno a rifletto de l'altro, cioè la propor tione,& non il numero , & poi procederai per rego ladel 3, nel diuidere quel tanto ,chefi trouano bauere fecondo la intenti» «e del tcfilatore , J. „ ’ I ! A Quefìto decimofcttìmo. . • ' • TT Traforo fa trjìamento , & lafifa la fua donna grauida , & ordina, » chefe la farà vno figliolo la donna habbia ducati 400,#’ il figliolo babbia due. 1 80', & fiejarà vna figliola, vuole r che habbia ducati 1 50 accade, che la fece vno figliolo , & vna figliola, dimando quanti due. do» metà toccar a ciaficaduno, & quanti ducati lafifio in tutto i "Prima è verifimile , eh di tcfilatore laffando due. 400 alla fua donna, & due. 280 il figliolo, che non haueffe fe non duc.6 io, bora aggiongi in- firme li 400 ,della madre, & li 280 del figliolo, & li 150 della figliola faranno due 830. poi dirai per regola del 3 , fe 8 j o mi danno 6 $0, che mi daranno 400, moltiplica, caparti ti daranno due. 727 Jp» & tanti ne toccar dalla madre, et per trottar quanti ne toccar à al figliolo dirai, fe 8jO, mi danno 680, che mi daranno aio, multiplica ,& parti, &nc verranno due. 2 *p & il refiò toccati alla figliola, cioè due, 122 $}* fumma le parti, & faranno due. 6io eomefiù propofiio » Libro Setto. 350 Et perche tali iutieri* fi tratta più Sottilmente Helle'proportioni,ri- tornaremo alle compagnie . Quelito decimoottauo.* SOno tre che fanno compagnia,nella quale bàlio guadagnato due. 380, & il primo mejfe indetta compagnia due. 1 2 s, & flette mi fi 8, il fe condo mejfeduc. iqi, et fletè miflp.iì tergo meffe due. 9 f,et flette vn an no, dimando quanto tocca a ciafcatiuno de guadagno <? Ter far fimili compagnie multiplica quelli dinari, che hanno poflo ciafcadnnoper li mefi, che fono fiati nella compagnia , et li produttifum mar ai infieme , & talefumma farà il partitore , per tanto muliiplica li 4uc.iZ% ,che mejfe il primo, per li mefi 8 , cbejlette nella compagnia faran Ho iooo,& li due. 1+3 dd fecondo per 9 mefi faranno 1187 , & li due. per mefi 12 faranno 1140, & quefti 3 pj odutti f ammarai infieme faranno 3427 . Htra dirai per regola del $,fe 3427 tempo, & dinari mi danno ducati 380 , che mi daranno icoo produtto de tempo ,& dinari , mult ipli - ca , & par ti fecondo la regola trouerai che al primo toccar à de guada- gno ducati 1 1 ogroffi 2 1 , piccoli 6 -fjiy- » & per trouar quanto tocca al fecondo, diiai,fe 3427, mi danno due. 380, che mi dar anno 1*87, multiplica,& parti, et ti daranno ducati 142 graffi 16 piccoli 3 1 -jig-, cr per faper quanto tocca al tergo , dirai fe ducati 3 42 7, mi danno du- cati 3 80 ,che mi daranno 1140, opera fecondo la regola , et ti daranno ducati 116, graffi 9 > piccoli z j & perprouarlafumrnarai fi guadagni de ciafcaduno, et ritorneranno due. 3 80, come fu propofio, va . tendo il ducati grofji 24 , et vngrojfo piccoli 32 , come difopra in molti lu&gi diffi . Quelito decimonono : « SOno quattro compagni che fanno compagnia, nella quale hanno gua- dagnato due. 484, il primo bameffo due. 140 , et fiele nella compa- gnia mefi 8, il fecondo mejfe due. 1 24>et flette nella compagnia mefi non sò quanti, e tgU toccò de guadagno due. \-jx,U tergo ha mcjfo la perfona , et flètè nella compagnia mefi 1 2, cioè vn'anno,gli toccò de guadagno due. 1 2 ij il quarto hamejfo vna gioia, et flette nella compagnia mefi io, et gli toccò de guadagno due. 101, dimando quanto tocca al primo, et quanti mefi flette il fecondo, et quanto Jfù /limata la perfona del terzo, nella com- pagnia, et quanto valfe la gioia che vi mejfe il quarto compagno . Tttt x Ter v. DelFÀrithmetica . Ter far quefla, prima troua quanti ducati toccano al primo dì guada- gno,in queflo modo , cioè aggiongi infume il guadagno del fecondo, del ter go,et del quarto, cioè due. 17 2. due. 12 1, et due. 101 faranno 59 squa- li fottr arai dalli due. 484, ebe guadagnorno tutti in fiemc,reflax anno dm cali 90, et tanti toccano al primo de guadagno . Toi per faper quanti mefi flette il fecondo nella compagnia, multiple* li ducati 140 che mejfe il primo per li mefi 8 , che flètè nella compagnia faranno 1 120, poi dirai per regola del 3,/r due. 90, che toccano alpri- no hanno meffo 1120 prodntto de tempo,et dinari , che haueranno meffo ducati 17 z,che toccorno al fecondo,multiplica , et parti fecondo la rego- lai ne venir anno 2 140 prodntto detempo,et dinari, onde volendo faper li mefl,cheflette,partirai 2 1 40 f-pcr l’altro producente, cioè per due. 1 2 4 ,chc mejfe nella compagnia, nc venir anno mefi 1 7 , et giorni 7 TmJ-» et tantl mef,y ct giorni flètè il fecondo nella compagnia, poi per fa per quanto fu J limata la per fona del terge) compagno, dirai enfi, fe ducati 90, che toccorno al primo mi danno ino produtto di tempo, et dinari, che mi daranno due. 1 2 1 che toccorno al tergo compagno, multiplica, et parti, neveniranno 1505 produtto de tempo , et dinari, quali parti per t altro producente , cioè per me fi 11 , neveniranno ducati njjJ-, quali farai ingroffl , et piccoli al modo detto , et tanti ducati fu filmato, la per fona del tergo compagno . Toi per faper quanto valfe Ingioia, che mejfe il quarto fimilmcnte or • guirai, dicendo. fe duc.90 mi danno 11 10 , che mi daranno due. 1 o 1 , che toccorno di guadagno al detto quarto compagno, multiplica, & parti fe- condo la regola ne venir anno 125 6 tempo , & dinari , quali parti per li mefi 1 o,che flette nella compagnia ne venir anno due. 125 Jj-. il rotto potrai far in greflt, & piccioli al modopiù volte detto, & tanti ducati 4ù* r ai, che valfe la detta gioia nella compagnia. Laproua potrai fare al modo della precedente, ponendo li capitali , & multiplicandoli per li fuoi tempi , & gli toccarano de guadagno due. 484. di che lajfo al lettore la fatica battendogli difopradatto la regola di pO~ ter formane deftmili. */ il primo tocca di guadagno dite. 90 Il fecondo flètè nella compagnia mefi 17 gior.y -pt*- La perfona del tergo compagno fri filmata due. 1 25 -f* La Gioia, che mejfe il quarto compagno valfe due, 125 Quefitovigefìmo. i Libro Serto» 7$ t primi Sgotto propino aggionfc arte bora nella compagni due. 85, et flette con effo capitale fin olii ultimo di Febraro 1 578. El fecondo meffe a di primo aprile 1 j ■j6.duc.2’j6,& a di primo di Ot tobre per vno fu» bifogno trajfe della compagnia due. 1 2 coft flètè fina l'vltimodi Febraro 1578 , il tergo meffe pur adi primo Margo j J7 6 dHC.i6$,& a di primo Giugno truffi; anchora lui per feruirfenein. certo j ho bifogno due. 140. Ma poi adiprimo Settembre 1576 vi aggion- fe due. iSo,& flètè con quefli fin a Cvltimo di Febraro 1 578 .fi come li primi doi,per finir la compagnia tutti ? ad vn tempo . Dimanda/i volendo partir il capitale , & guadagno alla proportione delti loro capitali, per ejferfi coft connaturi, quanto toccar à a c i afe h adunò di loro, cioè della fumrnma delti capitali, & guadagno ? Ter far cjurfla,& fimili,primaper faper quello che hanno da partir - fiffumma infteme il guadagno con li loro capitali, onde tu fai che'l primo meffe prima due. la 3 , & poi 8 5, che fono due. 208, & il fecondo meffe prima due. 17 6, & poi ne trajfe 1 3 5 ,onde reflano due. i J I , & il tergo meffe prima due. t6i,& poi ne truffe i+Oyonic refiorno 115, &poiag giofe due. 180, che fono poi due. 385. aggiongi adonque quefli 4 numeri inficme,cioè due. 5 80 delgnadagno,duc.2 08 capitale dei primo.duc. l $ I capitale del fecondo, & due. 30 $ capitale del tergo, far anno due. 1 244 li quali fe hanno da partire fecondo la rata parte deUi loro debiti, &veri capitali, fecondo però il patto loro più che per ferma ragione, pertiche ha Menda meffo il primo adi primo Margo 1 5 76 due. 12 ^ , & battendoli te- nuti anni doi nella compagnia, multiplica 1 1 3 per mefi 24 faranno 195» produtto di tempo, & dinari, & perche il mede fino aggion fe nella compa gnia due. 8 f adì primo di ^dgoflo, che fono 5 mefi doppo li primi, adonque multiplica li duc.ii Per w< fi 19, con quali flètè nella compagnia faranno 1615 produtto di.cnipo,0 ' dinar, quale aggiongi al primo produtto,cbe fu 29 5 2 faranno 4$6j,& qucfto fi donerà metter per capitale del primo & perche il fecondo meffe adi primo d' aprile 157 6 due. 276, & quelli le tenne nella compagnia fin alti vi timo dì Settembrio , che fono mefi 6 ,. per tanto multiplica li due. 276 fiali mefi 6 faranno 1656, produtto di tempo, & dinari, & qucfto ferua , poi vedi,che truffe due. xx^adi primo- dì Ottobrio , adonque fottrarai due. 1 1 5 dalli due. 276 reflaranno due.. i$ì,& perche con quefli flètè fin al'vliimo Febrare 1 5.78, che fono mefi 37, adonque multiplica li due. 1 5 1 per 1 7 faranno 25 67, quali aggiorni olii 1565 foprafer nati faranno 4223, & queflo prodotto ditempo,& di nari fi donerà me1 ter perii capitale del fecondo compagno ,fimìlmcnte perche il tergo meffe adi primo Margo duc.zóy, & li tenne fin à l' viri- no Maggio, che fono mefi q, per tanto multiplica quefli due. 265 perii Vtcfi affanno 795 produtto de tempo, & dinari, & qucfto ferua, poi fot- tr.ar.tti DeH'Arithmetfca trarai li ducati 1 40, quali traff?. al primo di Zugno, dalli iut.xflq refla- ranno due. J2$,& con quefli foli flètè nella compagnia fin a l' vltimo d -l ^igo fio, che fono mefi laonde multiplica duc.ixs per mefi sfaranno 375 tempo <y~ dinari, quali anebora ferua,poi aggiùngi li due. 1S0 , chepoft al primo di gettembrio con li due. 1 2 J ,che gli haueua de prima far anno due. jo 3, & con quefli flette nella compagnia final' vltimo di Febraro , 1 578, che fono mefi i8,onde multiplica li due 305 per li mtfi 18 furati no 5 490 tempo, <& dinari. bora aggiongi quefli 3 produtti infieme , cioè 795 l?75 J O" 5490 faranno 6660 , & quello fonerai per il capitale del tergo compagno . Finalmente aggiùngerai quefli 3 capitali raccolti difopra , cioè 4567 del primo .42 2 3 del fecondo. et 6660 del tergo faranno 15450 ,et queflo farà tuo partitori, bora dirai per repola del 3 .fe 15450 tempo , et dinari mi danno due. 1 244 capitale, et guadagno cofi ddcordo,cbe mi darà 4567 del primo, multiplica & parti fecondo il folito, ti darà due. 367, groffi 17' piccoli 1 2 if-Jfv 1 et tanto tocca al primo, et co/i per trouar quanto tocca al fecondo dirai, fe 1545 o mi danno due. 1 244 capitalc,et guadagno , cbi mi daranno 42 23 ,mukiplica et parti fecondo il folito, ti daranno ducati 34 o gr. piccoli 20 > et tanto tocca al fecondo, et cofi trouerai quan to tocca al tergo compagno dicendo, fe 15450 mi danno due. 1 1 44 ,cbe mi daranno duc.6660 , opera fecondo la detta regola,et ti daranno due. 5 36 grofli 5 piccoli 3 6 Tyjyy-. ricordandoti ebegrofft 24 fanno vno duc.et pic- cioli 3 2 fanno vnogroffo, fenga replicarlo tante volte , et quefle 3 com- pagnie ti faranno per e/Jempio a molte altre ouc inter uiene tempo , et dina fi, et robbe. Et per prouarla aggiùngerai li due. che toccano a ciafchadun delli $ compagni . et faranno li ducati 1244, come fu propoflo , come vedi per e ff empio. primo due. 367 groffi 1 7p.l2 fecondo due. 3 40.^.- p.20 74>& tergo duc.$3Ógr.$ piccol. 30 o fumma • due. 1244 ?** ' w » * • * ! f- Jr/ 4 »* *. "f , 4 ' t Quefito vige fi mop rimo; Tl{e fanno compagnia, et hanno guadagnato due. 570» et non voglio - no,che fi fappia il loro capitale, ma fono d'accordo, ebe' l primo deb b a tirar a ragion de io per 100 del fuo capitale^ l fecondo a ragion de 12 i LibroSeftdJ 352 per io A > et il terzo a ragion de 15 per 1 oo.dmaaio quanto tocca a eia fchaduno del guadagno . Ter far quefia,et fintili aggiongì infinte quelli guadagni, che volano > per 1 oo,àoè 10, et ia ,et 1 j fanno 37. poi dirai per regola del ì,fe 37 ni damo 5 70, che mi daranno io, multiplica et parti fecondo la regola, et ti daranno due. 1 5 4 jf -, et tanto tocca al primo , et per il fecondo di- rai,fe 17 mi danno %7o,chemi daranno \ i.opera,comc difopra,et ti da ranno due. 184 {f- , et tanti toccano al fecondo, et per faper quanto tocca al tergo dirai, fe 37 mi danno 570, che mi daranno 1 j, multiplica et par ti ti daranno due. 2 ji-fc, et tanto tocca al tergo, et per prouarla aggion gi infime li due. che toccano a ciafchuno , et faranno due. 570, come fk propofio. primo due. i$4if~ fecondo due. 1 84 tì- tergo due. 251 ~rr t - - t - * fumma due. 570 Quefi to vigefi mofccondo . SOno tre che fanno compagnia,nella quale hano guadagnato due. q6ot il primo ha meffo due. ito , et tftue tirar del guadagno a ragion de 8 per 100 del fuo capitale, il fecondo ha meffo due. 140, et deue tirar a ragion deioper 100, il ter roba meffo due. 9$, et deue tirar a ragionde I a per zoo, dimando quanto tocca a eia fc aduno di guadagno . Ter far quella, multiplica tiafeaduno delti capitali , che hanno pofio, per li ducati che dtueno tirar per 1 00, et la fumma de detti produtti fa rà il tuo partitor , et perche quefia è fimile alla precedente, finga altra introduttione per tefteffo trouerai,cbe al primo toccar anno del guada- gno due. 9% jy-.al fecondo toccar anno due. 144. al tergo due. 1 1 7 jf-, co- me ancor per proua vedrai difetto . primo due. 98 Jf- fecondo duc.144 ; ~ . tergo duc.117 jf- i i . * — * •-'v's 1 fumma due. 360 Quefito vige fimo terzo; SOno tre che fanno compagnia,nella quale hanno guadagnato due. 620 il primo ba meffo lire 74$>cf flètè mefi %,et deue tirar a ragionde iz per £ ' DelIArithmetìdt per 1 oo, del fiat capit ale, il fecondo ha meffo lire S?2» et flètetti efi 9, et dette hauer a ragion de li per ioo, et il ter%o ha meffo lire 75 o,rt flè- tè me fi 11, et dette tir ara ragion de 14 per 100, dimando quanto tocca a ciafcaduno del guadagno. f ... r , Ter far quella, et fintili multiplica quelle lire ,ouer altri dinari rche bauefferopoflo ciaf cadano nella compagnia,per li mefi,ouer tempi , che fono Jlati, et quefli primi produtti, multiplicarai ancora per le parti, che deueno hauer per 1 00 ,et lafunrma de quefli fecondi produtti , farà il tue commune partitore t _ . . Ter tanto multiplica le lire 745 per limefì Z, che siete il primo faran do i960, et queflo ancor aper i2,che vuole per 100 faranno 7lS»o, * queflo produtto de dinafj,mefi, et guadagno per 1 00 fi metterà per il ca- pitale del primo, poi multiplica le lire 852, per limefit 9 , che flètè il fe- condo faranno q66Z,et queflo ancora , multiplica per 1 5, che vuole per 1 00, faranno 1150 io, et queflo farà per capitale del fecondo, poimultt- plica le L.fiodel ter-goper limefi 1 1 che flètè, faranno 8150, et queflo ancora multiplica per 14, che vuoleper 100, faranno 115500, et que- llo farà per capitale del ter?o,aggiongi infteme quefli 3 produtti faran- no 3 02040, tf queflo farà commune partitore, poi dirai per regola del 3, fé 3 01040 , mi danno de guadagno due. 620 , che mi daranno 71520, multipli™," parti, et ti daranno due. 14 «$15— et tanti ne toccano al primo, quali rotti votédo potrai fari» groffi, et piccoli, poi perfaperquan to tocca al fecondo diraije 302040 mi danno due. 6 20, che mi daranno 115020, multiplica, et parti , et ti daranno due. 2 3 6 &’+■, et p< er tro- var quanto tocca al terreo, dirai fe 302040 mi danno due. 620, che mi da ranno 1 1 ffoo, multiplica, etparti, et ti daranno duc.zyj et tan- ti ne toccar à al terzo. La prona farai come nell' altre, fummando tnfieme quello, che tocca di guadagno a ciafcaduna parte, et ne venir anno ducati 620 , come fu prò. pollo, et come vedi qui deferitto . 4uc,——6 20 r li •*ii« 'lOn, 5 SS r Libro Sedò ? v f ' ilhMU aitili ' - Quefito vigefimoquarto: COno doi Malgari, chetano ha vacche 1 6,& t altro 14 tvno medef *3 mo pretìo, & bontà, & volendo pagar il dath non hanno dinari, <m de quello,che baueua le vacche l6ju dette al dottoro vna per pa^ar il dotto, & lui gli refe lire n,in dinari , &fmilmente, quello che rì'bauc- uà 24 gli ne dece vna, & gli refe lire 8 in dinari , dimando quanto pre - domo l'vna di quelle vaccbe,Cr quanto pagorno di dado [vna , Ter far quefiajottra L.Ì,de L.12 refteranno 4, & quefio ferva , poi fottra vacche 1 6 de vacche a 4 rcflano vacche 8,<* cofi dirai, che le vac che 8 pagano de dolio L.^adonqnè pagano fol. 1 o per vaccba di datio,on de dandogtine vna per pagar il dado de vacche 2 4 gli ne perueniuano li re ia al danaro, & liti gli ne refe indietro lire 3 , adonqucvna vacca valf elite 20, ilche fi verifica ancora in quello chcribaucua 16, che do- neua pagar al datiaro L.3 , & dandogli vna vacchagli viene indietro t.x 2, per che il dado era manco tire 4 di quefio , che di quell' altro , come "pedi per eff empio . vacche 24 L. tl vacche 1 6 L. g fv vacche S L. 4 J-.mvc xoi no) MttO J ili Oìittjj ■ Et quefia èfundata fopra la regola 'delù co fa dicendo fi , trovami vn numero, dìe tanto faccia muldplicafo per. 24,& giùntoli 3, quanto mul » ùplicatoper i6,& giontoli iz,venirai ponendo per la cofa,che batterai a 4 co. p. 8, eguali a 1 6 co.p. 1 2. Il . JL « co. eguali a 4 la co/ à vale li- 4 7 re cioè fol. io de dado, ( 1: -41 iol-ivoint”. .fewst.'tt c>; •tiii *. • jr’fi' i»lì cm ■O; «I i X .t/l iit'.* Quefito vigefimoquinto. «bt a uxnn ilU.'.fl ’■ 'Al fj\ OC Sono doi compagni, che tyno ha 42 facchi de gottone fopra vna nane , & [■pltro ne La facchi }$,& quello che ne baueua facchi 42 ne pa gò doi denollo,& il marinaro gli refe indietro lire 14, in dinari, & quel- lo, che gli Ue baueua facchi 3 5 ne pagò vno, & lire io appreffo in dina- ri, dimando quanto valfe il facco del gottone, & quanto pagò denollo perfacco. 7. 2.+ Ter far quefia, & fimìli dirai per regola del 3 , fe facchini pagano y h un facm DeU’Andimeocà tacchi » I ìcnoJlo, che patiranno falchi 3 5 ,mullipUca, riparti troverai» J rac,h[ , * de.notlo „tfpi r,edi quante lire donerà batter & toapprelfoicbefomponncxi-ìrt # p'fo fcrchc non gli da fac- tìn 1 -falla ragion dell' altro %ma 1 damme vnofacco,adonqnc vuole re 2 1 V per pagamento de 4- de facce x adorne -f **/«« raleltre JaccOfpo/ per trouar quanto fi pago de nqUo per faccio, mll[lP£aJ*[ e/-/ ; che gli detc quello, che ncjjauenaiXt per lire lì fj*rA™n 6 S 1& perche gli ne refe indietro lire 1 4 /bur« lire 14 4/®*$ no lire $ 1, <£r JPf* />*£« fo- biacchi 42, /wf* adonquc.Ure 5 f 1 Tacchi Izlncvcnirar, no linvna^dcnolloperfaccop&efatta * ' prona farai multiplic andò *ì per che fi dimenano pagar de noUo al mar maro fe no gli bauejfe dato Iti f C cfez/mH percfej’lidettti X fatebi* che yalf roa dettoprectùhre 6% * & lui gli refe lire 1 A,,che reflorno lire J 1 ,come. fu uarper l'altro compagno , qual. Intuendogli faccht 3 5 dona fi lo a lire vna £ per faccho lire 42+. ™*lU dette fer (acca di gottone,che valfe lire 3* +> & llre 1 ° ‘n dinar, tche furno li - re 42 come fu propòflo, & cofi arguirai in JimiU .. Quelito vigefimofefto \TWo molinaro U quattro molinoci primo de quali V ild',,& la notte fome 1 6 iiformento, col fecondo %o fome 20, & col quarto fome nomando dolendo Irte a vn i mportante ne donerà dar a ciafcuno de quelli 4 moUmJ Et per faZ&mma infime) 16 1 » 8 1 20, * » /«« 7 16 £.tgiogiioficmc le fome (be toccano a tiafcunoxfar f 5. » nefùpropefa ^ ^ ^ fecondo quarto 1 6 ifTvCN t j . Kw| y4 . tf;5» * • Qg«r- -3.\ ». «I 1» \ ;i .\ r\,4 1 5-»U ®tSfnl>HÌ -i 'l-, or «tt *t> ipw ’lW O.H'. Qucfitg vigefynp/éttimo QVattro compagni vorrebbe»!) comprar vha balia de Ufi*, et mute Ji loro ha tanti dinari , cheperfe fole Lt paffa comprare tinafht tutti anatro fi trottano haaer prettamente tanti dinari, quanto munta là ditta balla di tana,& non sò quanto bauejfero ciafeunu di loro, ma so be- ne ebe li 3 fen^a il primo haueuano duc.16, cir li $ focàii felonio Ine ; ueuanoduc. ij,& li tre fernet il terzo haueuano due. 1 %,.et li tre ferrea il quarto haueuano due. 26, dimttndoquanti ducati haueua ciafcun di lo ro , & quanti haueuano tutti inficine , & quanto vaiata la detta balla diigoaf. iliart Vi«t c .< >t?\ j: \ J j \i • w.. Ver far quefia,& fintili, confiderà , cheli dinari de ciaf cuno fono fia- ti computati tre volte, cioè vna volta manco di quello , che fono li detti compagni per numero, per tanto aggiùngi infume quelle quattro quanti » tà,cioc 16 1 17 | 22, & 2 6 faranno 81 , & quella furnma farà il triplo delti ducati, che hanno tutti infieme,et finti Im ente il triplo del predo del la detta balla di lanafper tanto parti detta fimma, cioè 8 1 per 3 , cioè pfr vn meno del numero delti compagni ne venir Anne ducati 27, & tan tfhaueuano tuttiinfiemeon quali càmprorno la dotta balla di lana, bor volendo faper quanti ducati haueua il primo, fottra li due. 1 6, che haue nano, li altri fcn^O l)à delti due, 2% ,*c faranno due. li , <jr tanti haueua il primo,& per faper quanti haueua il fecondo fottra li due. 1 7 delli 2 7 reflqnò dud, t ■& tanti haiieuàiiftxlnd* | poi fottra ìi'ttuc. 41 dalli 2.j,refìane due. 5 , & tanti haueua Ut erte finalmtnte fottrdfi i6 sfotti 27 reftano dycA,& tanto babbitt quarta i prona triterai, éht feconde la propoftayche tutti fofiemt haucranno il preci* della detta balla dii* * ria, come vedi difotto . -h; A òr. I 6 7 17 16 ? 7 ""a » » 7 2 6 aij\u "j» Punti % Que BclTAridimeti^a Qucfito vigefimoottauo, poftoda Frate Luca. Tt{e compagni hantfo dinari, et giocano infieme,tl primo dice agfi al tri 1, mettete fufo tutti li voftri difteriche io gli dirò a tutti,#- co fi fà,& perde, poi dice il fecondo a gli altri a » mettete fufo tutti li -po- ltri dinari,cbe io gli dirò a tutti , et cofi fanno, et perdevi dice il tergo a gli altri a, mettete fufo ancor voi li voftri dinari, che io gli dirò, et cofi fé cero, et perde,etpagolli tutti , et finito il gioco ciafcuno haueua tanti di- nari quanto t altro, dimando con quanti dinari cominciamo ciafcuno di loro agiocare , in fintili fi cofi . Ter che erano tre compagni poni I ) opra 3 fanno gettanti dinari ha neua il tergo, poi doppia sfanno S, cauane 1 refimo 7, et tanti haueua il fecondo, poi doppia 7 fanno 14 canone 1 refiano 13 , et tanti haueua il primo . primo 1 3: feconda 7 fecondo 7 tergo 4 tergo 4 primo 1 3 i.\u ; » 0 ' 4 K » primo 1 3 * 7 fecondo 7 t -f~ 3 Ir a 4 * 4 a 4. EtqueHafolutione de Frate Luca non rifpondeal qucfito, perche quell to che perde non può giocar pii con quelli dinari, Màfipuò ben dire, che perdendo vno di loro reftmo fempre 24 agO altri dot , & fé vince eia » fchun di loro iivincitor batterà %^,cioèlifuoi, & quelli degli altri doi >. & a cfuefio modo la fot ut ione non può hauer alcuna contradiffione . Qocfito vigefimonono .* SOno quattro compagni, che giocano in quefio modo, cb fi primo raddop pia agli altri 3, il fecondo raddoppia a gli altri 3, il tergo raddoppia agli altri 3, il quarto raddoppia agli altri 3, & finito il gioco ciafcun di loro fi troua hauer lire 40, dimando quante lire haueumo deprima . Farai cofi, aggiùngi 1 al numero de compagni fanno 5 , Ur tante lire haueua il quarto doppia j fanno tO,& cauane 1 reftmo 9,& tante lire haueua il tergo , poidoppia 9 fanno 1 %,& cauane t reftano umettato te Un haueua il fecodogdoppia ancora 17 fanno 34» cananei reftano 3.3 * & unte libro Serto.» 355 Unte lirt haueua il primo, giongi infime quelli, che haueuano ciaf cu no, cioè 13 | 17 | 9> et 5 fanno 64, quali parti per 4 ne vengono lire 16, et con tante lire reflorno ciafcun di loro, et noi diceuamo,cbe fi trouornó tire 40 ,per tanto diraiper regola del \,fe \6 mi tornano lire 40, che mi tornar anno lire 3 3 del primo, et lire 17 del fecondo, et lire 9 del terzo» et lire 5 del quarto, onde procedendo per detta regola tr onerai che'l pri- mo hebbe, &il fecondo C il terzp tr il quarto •. Ui- ,H tip ci ìmttìa £. 81 > foldi io £. 41, foldi io £.22, foldi IO £. 12 , foldi io t • JU • , 4 J L. 160 1 A 40 Quefito trentcfmio : iV •f mercatante dimanda ad. vri altro per impreflidoduc. 8t, et gli promette dargli il 4- di ciò che guadagnarti, et cofiui gliprefla, poi gli dimanda ancora due. 90, et gli promette dargli la 4- di ciò che gua- dagnatagli prefia, et de tutti quefii dinari guadagno lire iSo, fatto quello gli ritornò il capitale, et col guadagno fene fugge,et fu dechiara to dal magi firato , che fi poffa pagarefopra i f noi beni , dimando quanto gli donerà toccar de guadagno a computo che quelli due. 8 1 guadagni il -ì“» et Hdnc. 9<xguadagni la — , per far quella / apponi , che fianodoi compagni, che habbino guadagnato lire 1 80 , Imo gli meffe ducati* 1 , et l altro duc.90, proceder ai al modo dato nelle prime, et trouerai che al primo toccarà lire pigliane il -t- fanno lire 28^, et al fecondo gli toccarebbono lire 9 4 Jf de quali pigliane la 4- faranno lire 4 7£y quali [inumati fanno lire 7 j et facendo il rotto in foldi, et denari fa- ranno lire 7 5 , foldi ij , denari 9 j~-, et tanto donerà confeguir fopra li beni del f ugnino, et cofi procederai in fimili » ; L. 2 8 j£ • i-47 Ir rbud 1. igóllcx». bCI * £• 7 J 1,- donerà confeguire • Quefìtotrcntcrimoprimo} • C Ono tre compagni che hanno da partir lire 48 ,de qual-, il primo de- ue hauer la -x-, il fecondo deue hauer il tergo deuc hauer il 4 j accade peìFAft'tfiftìéféii . accade che cofroro vernerò in riffa fra loro nel par tir lì, et eia frutto di tot» ‘ pigliorno di quelli dinari, quanti ne puote pigliare , dipoi venni v>n friq{ amico per accordarli , & fece che il primo poneffe già la T altro ' & il terxp il -i- di ciò che htCueuatto pigliato , & tutto quefrò fu partito come prima fi era propofio, et fi trouò ciaf cuna di loro hauer il fatto fuù, dimando quanti ne pigliarono ciafeun di loro . Ter far rfàifla,poni che'l primo ne pigliaffe che numero tfjàace , nu' perfugir rotifaropa vn numero, che h abbia dette parti mutùplicando U denominatori l'vnl’ dltro,ciòè -j- farà 36 , ma perche 'ancora ti 12 ha quefle parti, in quèfla vfarò il 1 2, del quale abbatendone la -J- chi ponettegià reflari 6, poi pigliar ai il —dai che è 4 ,hor troua vn nu- mero che abbattendole H re fri quello 4. operando t r onerai , che egli h 6, et tanti dirai che ìraucuapìgliato il fecondo, dipoi pigliar ai il de 12 , che è 2, dipoi troua vn numero, che trattone -i- refri 2 co fi, f e 5 mi da 6 * che mi darà 2, & -tornii ràìche fàrX\ tó»n dirai che grappi ti tcrip compagno in quefla pofitione, bora aggiongerai quefli 3 numeri » freme, cioè 1 2,6, et 2 -j- faranno 20 & poi dirai per regola del 70 -y-f afferò ^S^chcfarebbono ixchefà pollo hauer gjrdpfito il primo , lire q,fol. 12 ,den, ri quoti fummati far anno tire 48', corbe vedi defcrilto . . primo .4. a8« foldi 4 f denari 8 ^ U< .T.t SA •et; f. bimoT,'. \i< f> ,-f, I* ii « ,<u> <■>«*> M iw>*> *’ v fecondo L. 14, denari 4 ’-r-v, ^ 1 r Xfr^o X. -5» foldi liv denari il ^ i l!ìi fummo L.^i , foldi f ■ denari, | 51 Del nollegiar barche, & franigli j.; Quelito trcntcfimofèèondo. DOi compagni pigliano vita barca a Mollo por lire % 4, co queflo patto , che fe'l patron leuarà altri che loro,habbino la -f- del nollo, acce- de che ne foprauennero tre altri compagni , & gli prometter di nollo lift ■ ìntefo U patto deili dòi primi promettono Rare oq:>:3.: ròta'} {?' ì6,dri .J» condiltionc, M Libro Sc^o. ss 6 ttndaìotre, che fono li detti doi primi , jp co fi furono tutti d' accordo, tir finito il viaggio il patron dimanda il nollo , dimandafi che donerà pagar ciaf cimo per fe,& quanto toccar à a ciaf cuna de quelle lire 36 , cì>e}ù il nello dclli vltimi tre compagni . 'Per far quvfla deuiconfiderar , che li doi primi fecondo il patto deue- nobauer la 4- di quelle lire 24 > cioè lire 6, per vno, & il patrone deut bauer l'altra £, cioè lire 1 2, cioè che fe il patrone ne bà 2, li altri ne bau no 1 per vno,cbcfono 2,& li altri 3 volendo flar nella rata, oucr ra- gion delli primi gli conuìen hauer 1 per vno , che fono 3 , per tanto funi- ma infume quefte 3 parti, cioè 2 per li primi doi,& 2 altri per il patron , & 3 per tutti li j vltimi faranno y,& poi dirai per regola del 3 , fe 7 fu/fero 3 6,che farebbono 2 per li primi doi , & che 2 per il patrone, &. ebe ? per licitimi 3, onde operando fecondo la regolatrouerai ebe 2 fa ranno lire io -y-, & tanti ne toccar anno alli primi 2 infume , & tanti altri al patrone, & alli vltimi 3, ne toccar anno lire 1 5 , cioè lire % per vno , et per faper fe pagano tanto de nollo iyno quanto l'altro , ■vedi cheli doi primipagano tanto mancò delire 24, quanto è la portione che gli è toccata che fona, lire 18 ,.et tutu doi pagar anno lire 3 7-7-1 ebe fono lire 5 — - che gli toccò per vno « Toi p faper fe pagano tato de nollo l'vno quanto l altro, vedi che li doi primi pagano lire 24 manco la portione ebe li tocca ,the,fu Urxio-t- , efie rejlorno lire 1 3 tutti doi, che fono lire 6 -f per vno ,& agli al tri tre gli toccò<a pagar lire 3 6 manco Udire 1 S che della fua portio - negli toccb,che reftano lire 20 ebefono lire 6 -‘-per vno, cioè il adunque pagano tanto C vno, quanto l altro Quelito trentesimo terzo. Frate Luca nella cinquantefimafeconda com- pagnia carte 154. mette quella queftione in materia de compagnia . SOno doi che fanno compagnia, con quefla condithne,che'l primo metta lire 2000 , & tiri li del guadagno , & che'l feconde metta lire $00, & la per fona x6' tiri li \ dtl guadagno, accade cl/cl primo fopra- meffelire 500,. fi dimanda che parte douera tirar ciafcuno del guadagno. . Zt perche il detto Frate luca conclude talmente, che donerebbe il fe- condo tirar li del guadagno, ne alcuna differenzia fedirebbe metten- do il primo, ó poco , ouer molto doppo il patto, appare, che il fecodo farcb> ,iC, - Ac DeirÀrithmcoca he aggr audio per conto del maggior maneggio, che fi traudrebbe quandi che' l primo mcttcffe de pm del patto, & per tale euidete errore, mi oppa re, thè fi debba Yifoluer in quejlo altro modo, prima è da vedere di qual parte del guadagno delli dinari del primo, nel primo patto vien ad ejjer Limitata la perfotta del fecondo, & per faperlo aggiongi lelire 2000 ,che mette il primo conle Zoo, che mette il fecondo, fanno lire 2800, de quali trotta It che fono lire 1 200 > de quali canone le lire 800 , che mette il fecondo reflano lire 400, bora vedi , che parte fono lire 400 , de lire 2000, & troucrài, che fono il -f-, & tal parte douerà tirar il facondo del guadagno, che peruenirà delli dinari che metterà il primo fiano quan- ti fi vogliono f olirà il guadagno delli fuoi,che fòlio lire 800, perche adori que il primo fopramiffa lire 500, tutte infieme faranno lire 2 j 00, de qua- li pigliane il -f- forano lire 500, & tanti fi metta anno per la parte con Manente al fecondo, quali aggiongi con le lire 800 del detto facondo fa- ranno lire 1 3 00, & qttetto farà per nominator di tal parte, poi aggiongj, , infime lire 2000, che prima meffe il primo , & le altre 5C o , che meffe v poi,& le lire 8 00, che mejje il fecondo in dinari far anno lire 3300, hdjf vedi che parte fono le lire 1 300 dellclire 3100, che è rutto il capitale 4-r troverai fcbijfando, che farà [J-, & tal parte douerà tirar il facondo} dril refiantc il primo, cioè , nora trovata la parte,che peruiene a t nò, et l'altro, fa bauejfero guadagnato vna quantità de dinari poniamo lire 280, per trovar quanto tocca a ciafcuno di loro,multiplica Lire 280 per 1 },& il produtto parti per 33 ,ne venir anno lire I io {—, & tante toccano al facondo, & il retto, che fono tiro 1 6$ per venir anno al pri- mo, & cofi foluerai le fimili . ' ■ Qucfico trentefimoquarto ; faurio compagnia, con quejlo patto,cbe' l primo metta lire aooa, — — * éf il fecondo debba metter la per fona , & det guadagno debba ba- tter il accade chc’l fecondo fopramiffa-lìrt 80ÒJ c fr benha guadagnato lire 280, dimando quanto tpccaa ciafcuno del guadagno fr , . Ter foluer quejlo quefitò piglia il -J- de tire 286 fumo ^6“ , in fanto tocca al fecondo , & il refio che fono lire 224 toccano al primo , perche Metta non è conditionata al modo delta precedente , perche come diconoi htrifconfulti , Res accefforia fequirur naturarci fu* principali* » & perche doppo il patto, ìlprimo ha poflolire Soo, prima donata battei per -j- delle lire 2000, che me(ft il primo, che fono lire 400, CT p'r le li re 800 ebefono in funivia lire \ 200, quali fono li ~, & il primo douèrà ^ batter il refio che fono ti -y- , cioè Uri 2 8 00, fatta . . Que- i tu. ìli £' Librò Serto. ’ Quefito trentertmoquinto . 357 & Otto doiche fanno compagnia con quello patto, che' l primo •3 1000, & debba tirar del guadagno li , & il fecondo 9rimo metta lire metta lire 800, & laptrfona,& debba tirar del guadagno li accade , che'l pri mo fopramiffe fiorini 400,& gli toccò yf- del guadagno , & al fecondo gli toccò il refto, cioè j{-, dimando quanto y alfe il fiorino a lire cioè quan tifoidi valfe . Ter far quella comincia operar, come nella trentefrmaterga, cioè a ve der nel primo pattò quii piree dei guadagnò delti dinari del primo deue peruenir al fecondo, per falario della fua per fona , operando come iuifk operato, cioè fummo, lire 2.000 del primo con lire 800 del fecondo fanno lire 1800, de quali piglia li fanno lire 1100, de quali ancora fottra- r ai lire 800 , che miffe il fecondo reflano lire 400 , bor vedi f chi ff andò, qual parte fono de lire 2000, Cìr trouerai che fono il -j-, & lire 400, fi donerebbe limitarla perfona delfecondo del capitale del primo, dr fe poi fapefli quante lire baucjfe foprapofto il primo li aggiongerefli alle lire 2000, & di quefìa fummo pigliar efli d^-, per faper qual parte per Hen- ne al feconde detti dinari del primo,cioè delle, lire 2000, & delle lire che fopramiffe, ma perche non lo fai,poni che làtteo primo babbi a f oprarne f- fodoppo il patio 1 co.de lira, ouer 1 co.de fiorino, qual vaglia 1 co. de L. Ima pitti lire 2000, p.i co.per 5, ne vengono L. 400 p.-^-co.aggtÒgili te tire f 00 appreffo,chr miffe in dinari il fecondo , faranno lire 1 2 00 p. ~fr co. fumma infume li capitali, cioè lire toooy p.t co. che intutto m'ef fe itprimc,& lire%oo,cbemeffe il fecondo faranno lire 2800 ,p. 1 co.ye diche parte fonoli) e 7 100 , p.-f* co.chc peruengono al fecondo, delire a800,p. 1 co. che peruengono al primo, & hauerai 1200, p. co.efimi de lire 2800, p. 1 xo.& quefli faranno eguali a jf-, lena il rotto multipli tondo in croce al moda comedi f otto . ■ i4oo,p. -f- co. 14 -• v i'jb j Rivivi, •jgbo.p.i co. ri 77 io «-*- ? rj.>’ ij? \ i- . v> ,*r . jj • i «« V ZQ&i .A i\fckn *i»» 1>,< i'-vlVl s , £4 noo,p. -f co. 33 \ 364.00, p. 13 co. ■f-fn- 59 «ii'/'Mti: v. j——- — : — ■ - 1 ... — — __ i. iiv i\iiiìV Hauerai 3 9600, p.'6 -{- co. eguali a 36900, p. 13 ce. 9* 6 . i^°°- 1 3109 * Xxxx Leu a Ddl'Àrithfnttica Inali fuperflui,cioè 3 6400, de 39600, et 6 — co. de I J to.rtflaran no 3100 eguali a. 6 tonarti il numcroptY (1 ca.cioi 3100, per 6 -f- ne veni ranno lire 500 ,et tante lire valeuano li fiorini 400 , parte 500, per 400 ,ne veni ranno tire vna f , cioè lire vna, fotdi 5» et tanto vafft il fiorino, la prona è la fua conuerfa , che fu fa treni e fitti aterga pofi.rdi {«fra, fai no che non fumo pofii li fiorini 400, ma ben la fu* valuta^eb* furono lire ]00,etcofit farai le filmili fecondo il fenfo nofiro molto dijfe rcnte da quello di Frate Luca. Queflto trcatcfimofcfto. QVattnr farma compagnìa,il primo meffe lire 770 , marron sò quatti tq lui bino mejfo il fecondo ,et tergo, et quarto,ma sò ben quando il Jemndo guadagnaua lire 3, il tergo guad agi aua lire 5, et il quarto gua dagnaua lire 7, il primo guadagnaua lire il ,elin fine della compagnia fitrottorno de guadagno L.l zoo, dimando quanto ne toccari a ciafcuno • Tercbeil primo hameffo lire 770 , et quando il quarto guadagnaua lire 7, il primo guadagnaua lire 1 i,per trouar il capitale del quarto corti pagno, dir ai per regola del 3 , fe lire 1 1 guadagno del pr imo mi dano 770* fuo capitai fychc mi daranno lire 7 , guadagno del quarto , multiplica » V parti fecondo la regolala tr onerai che ne verranno lire 490M tanto fu il capitale del quarto,et perche quando il quartaguadagnaua L.f, il ter- go guadagnati* L.), et però dirai per trouar il capitale del tergptfe kt* guadagno vieti da L.4.90 de capitale,da che verranno tire i,tnuUipU cà,et parti trouerai che venir anno da lire 27» -J-, et tanto fi* il capita le del tergo, et perche quando il tergo guadagnaua lire y, il fecondo gua dagnaua L.ì,et però dirai fe lire 5 di guadagno vengono da lire 27* de capitale, da che verranno L. 3, multiplica, et parti fecondo la regola, et trouerai , che venir anno da lire 163 -$-> et tantofù. il capitale , che meffe il fecondo * Hor per faper quanto toccar à di guadano a ciafcaduno fummarat no firme li capitali trouatì^cioi. lire 77 a, del primodire 163 -f del fccort- <*0.1.172 deltcrgo, et £.450 del quarto, et faranno L.169I -V» ** bora procederai fecondo la regola ordinaria, dicendo fe L. 1695 -j- »*** danno £.1100 di guadagno, che mi daranno L.7 70 , cbcmiffe il primo, et poi L.tó3~\-, che truffe il fecondo, et L. 272 che miffe iltergp,et lire 490 cbtmiQeilquano, opera, tet trouerai li guadagni di ciafcuno al modo f olito, et fenga altra difficuUÀ, et periate lafciòla tura di finirla » et /tonarla al modo folito* i lAfO’SeftóloCl 3 5 g CV A • • * r ' «’ "» ' *’ » Qucfito trcntcfimolcttimo. Tafani* compagnia con quelli patti , che' I primo metta due., no*, per effer manco prat.ico degli altri dai ,&• il fecondo metta ducati Soo, gr <7 rrrj'o ^fr r//?r più eìferto degli altri doi metta fot amenti da cali 6oo, dr che la compagnia babbi a durar anni 6, et che in fine ded t ti anni 6, fi babbi a diuider capitale , Cr guadagno per terg^, e r enfi Se- guitando nella detta compagnia, accade che finiti li anni 4. il tcr^c. iom pugno morfe, dr li fuoi heredi volferodimder, cr cauat la fu » parte, con tonfentimento degli altri doitfsr fatto Cinwntario v? trouirno fra capi tale , & guadagno per due . $000, fi dimanda quanto donerà toccar 4 ciafeaduno de dette j parti t- Ter far quejla, & fimiti piglia il -j- della fummtde fuoi capitai:, la quale è ducati j 600, & ne leniranno ducati 856 *- , CT per /he il pri- mo ha mr/fo duetti tzoo,& fkuidendo il captitele in y parti non gl: toc carebbefenon ducati 866 -j-, àdonque vedrebbe a f capitar due. } jj -Jr> & Hfbcooio che mrffe ducati 800 venir ebbe a guadagnar ducati cioè al fecondo, dr ter-gp infime guadaguarebbono ducati );) -j-, cioè tanti, quantifcapita tl pruno, drpcrè direi per regola del } , ft tu armi 6 ilprbno { capite due. ? ? } J- q.miio fcapitarà in armi 4, opera, dr troueraiyibc fcapitarà duerni *22 dr quello falua^oipcr il fe- dendo dirai, fc in anni 6 , auengvrebbt ducati 66 -j- che auar farebbe in ami 4 , opera troverai ohe uuangarà ducati 44 quali aggiùnger mi f opra ducati ioofuo primo capitale faranno ducati 844 -i. , dr per il ter 70 dirai,fe in anni 6 auangarebbe ducati 2 66 — <be auang*- rà irt anni 4, opera, dr trouerai ,<ùeauan^» à due. 1 77 7-, quali ji- milmente aggiùnger ai al fuo primo capitale,che fù due. 600 or anno du- xati 777-7, onde il fecondo, & ter-go guadagnano due. m tan- ti ancora ) Pipita il primo del primo capitale udii detti 4 annuitati fot - •trarai dal fuo primo capitale, che fu ducati izoo reflue anno due. 91 f *jr> « ^ue/li metterai pttrxapkdtdol primo, dr per capitale del fccou do infiltrai Inducati 844 & per -capitale del ter^o metterai Jj due* 111 '/fi come trouafti dif opra, far anno in fumma ducati 1600, bora prò ceder ai fecondo l'ordinario deUe compagnie, dicendo fe deducati* 600, ilrprimo donerebbe hauer ducati 977 , che donerebbe hauer de due.. 3 00, che fi trameno fra capitale, &■ guadagno, moltiplica , <jr parti ^et franerai, eh fi primo donerà hauer ducati 1 1 *8 , &per trouar qua tò donerà bàner il fecondò, dirai fe de due. 1 600 , il fecondo ne frue ba- tter ducati « 44 4- che donerà hauer de due. jooo, moltiplica, & par- ti* tT daut/d hauer due. 97 4 $ , CT tanto toccar à al fecondo, poi per il Xxxx 2 ter’go % DeirÀrfthftictfca tergo dirai, fe dcduc.ióoo deue bauer ducati 777 — , che donerà ba- tter de due. 3000, mnltiplica,& parti trouerai,d>c douerà hauer ducati 897 jj-, & tanto toccarà al tergo compagno . La proua farà [ultimando injìemc quello che deue toccar a ciafeutfd delti tre compagni , & farà due. 3000. ,, :l v^\ - ' ,oo ? primo 1128 — fecondo proua tergo 9 7 4 897 i.Vìrti 39 • t-ìvbò i\,«ì 1 ill.5 rt il tJ » " : A !.ii* M olii «. • £ 39 1 \ » *1 : s W ■*> .lytcm 17 vìy ii i/. rnu.ii »t \iio2 39 «• * 1 t * ìVonn -t 3000 VA Qucfito trentefimoottauo.* DOi fanno compagnia,nclla quale il primo mette due. 8o, & il freon • do metterne. 10 , & per effer il fecondo piu ejfrerio in tale negocio fono conucnuti inficine, cbe'l primo debba tirar iclguadagno fot amente li-j-, & il fecondo debba tirar il del guadagno , & fattoi' accordo •penne va' altro compagno , & diffe , fe voteti accettarmi nella compar ghia con quelli medefmi patti, che fono tra voi , io metterò due. no, & cofitlo accettorno, & infine della compagnia fitrouorno bauer guada- gnato ducati 500 j fi dimanda , che toccar à a ciafcaduno t.del detto guadagno i . . Quella medefma mette Frate Luca Taccioloa carte 155 , ma la con- elude molto diuerfimente . Ala per foluer tale questione è da confiderai, che fe non [uff e venuto quello tergo compagno , & che baueffero guadagnato altri tanti ducati come hanno poflo, cioè ducati 1 00 fra tutti doi,il primo hauerebbe tira- to del guadagno li y- che fono ducati 66 -J-, & il fecondo hauerebbe ti rato il rejìante, cioè ducati 33 -j-, & fe non glifuffc poi fiato patto alcu no al primo farebbono toccati due, 80 , & al fecondo ducati 20 $ cioè tanti de guadagno,quanti hanno poflo de capitale, fi vede adonque , che per vigor del patto il primo cede al fecondo due. 1 3 cioè la differenza dclli due. 6 6 -j- alti duc,iO,onde in quefla folutionc fi deue confederar, she parte fono li ducati 13 -Jr delti due. 8 o>onde febiffando fitrouano ef ftr il -J- , adonqne il primo per rigor del patto concede il-f del fuo gua dagno al fecondo, cioè delti duc.8o,oltra il guadagno affrettante allifuoi due. losche ha poflo di capitale , bora mirando il tergo compagno con IL L e Libro Serto. 3 5 9 mede finì patti, & condittioni,bifogna,che ancor a lui ceda al fecondò la _i_ f,arte del guadagno, & il reflo, che fono due. io di guadagno, & il ro Sto, che fono "ducati i oo, donerà unir per fua parte , onde il fecondo pri- ma hauerebbe li fuoi ducati io, & poi li ducati 1 3 £ , che gli darebbe il primo, & li altri due. io. che gli darebbe il tergo compagno, perche cia- fcunogli da la~l-parte del fuo fimplice guadagno, talmente che fi troua tebbe a guadagnar in tutto ducati 5 3 -J-, perche adonque al primo gli toccarebbe ducati 66 -j-, al fecondo ducati 53 ~, al tergo due. ioo,gio gi infume quefli tre guadagni faranno ducati no , fi come fu la fumma delti loro capitali, & perche il loro guadagno è flato fuppoflo effer due. 5 00, & non due. 220, ne pcruengono al primo ducati 6(5 -J, quanti gli perueniranno de due. j oo, multiplica , & parti fecondo la regola trouc rai che toccar anno al primo due. 1 5 l ff > per il fecondo dirai, fe de ducati none toccano al fecondo ducati 5} -j- » quanti gli ne toccar anno delli ducati 500, opera, trotterai, che gli toccar anno ducati il 1 ff-, & Jimil mente trouerai che al tergo compagno, che gli fopragionfc gli toccar anno ducati 127 ri-, & coft la foluemo . La prona farà giùngendo infteme li tre guadagni, et far anno due. 5 5 O» I 5 I ~ 31 t » I — 31 proua commune 217 due. joo|j3 Quefito trentefimonono. DOi fanno compagnia, con queflo patto, che l primo metta ducati 90 , & tiri lamità del guadagno, & capitale , & che' I fecondo metta ducati 60, & tiri ancora lui lamità del guadagno* &• capitale fi come il primo, accade che per alcune fue difgratie non poterno mettere fe non du catino per >no, con quello patto però che' l guadagno debba effer diuifo atta por t ione del primo patto, et hanno guadagnato due. 85, dimando che tocca per vno alla rata del primo patto . Ter far qucfla,& altre /imiti, piglia queflo fundamento,che mettendo ilprimo ducati 90, £7“ il fecondo ducati 60 , & douendo diuider il guada gno,& capitale per mità , et che al fine della compagnia fi trouaffero col puro capitale qual i due. 150, che toccarebbono due. 71 per vno, onde il grimo venir ebbe a lafciar due. 15 del fuo capitale al fecondo . Uor. DdrArithmcaca l lor vedi fempre che parte fono 15, dtlfuo capitolerai fu due. f, & trottarti che farà il adonque in ogni cafo, & alter at ione de capi- tale,il fecondo per vigor del patto dotterà batter il del guadagno , dtf primo, oltra U guadagno che farà il detto fecondo col fuo capitale perche fi [appone , che qucjlo patto habbino fatto per lo maggior pr attica, che babbia il fecondo in tale negotio , & fe per forte il fecondo non haueffe paffuto metter cofa alcuna, lui per tale caufa donerebbe hauer ancora il -i- de ciò, che fi trouajjcro infine de detta comparnia,mettendo adonque follmente ducati 40 per vno , piglia il ~t~ de 40 farà 6 -j-, quali fottra . rat dalli 40 del primo,che meffe la feconda volta con fintile patto, refta-r ranno ducati 33 & tal parte del guadagno dotterà toccar al primo, quaPè 33 -j- del laro fecondo capitale,cioi delti ducati &o, vedi adouaua i ? -j-> che parte egli è de io, & trotterai fchiffando , che farà fJ-, hot piglia ri- de 85 che hanno guadagnato, & trouerai ette farà due. 3$ ri~» et tanto tocca al primo , et il re/lo fin olii 8 s toccano al fecondo , che fono 49 — . cioè al primo et al fecondo tt" > che tanto fi , chegiouù poi fanno 8 5 ,et coft decorrerai in fimili.faluo, etc. . - 1 - primo 35 i V- • fecondo 49 «J- ducati 8$ Quefito quaranrefiitìo, conuerfo al precedente . DOi fecero compagnia con queflo patto , phe'l primo mette ffe vna cer- ta quantità più chcl fecondo, per efftr il fecondo poi più pr attico nella mercantia, et tiri lamità del guadagno, et capitale, et che’ l fecondo metta ducati 60, et tiri ancora lui U mità del guadagno, et capitale,a.cu de,che per alcune fue difgratie non poter no mettere fe non ducati 40 per Vno, con quello patto però,cbe‘l guadagno debba effer diuifo alla rata del primo pattale hanno guadagnato ducati 8$ , de quali al primo toccor no ducati 3 5 il refloal fecondo, dimando quanti ducat Imeffe il primo nella compagnia . "Per [tluer quejla co» minor difficoltà babbi in mente il modo di fol- tier la precedente compag»ia,et . ricordati, che innanzi , che fi pariifftr» il guadagno, qual fù ducati 8$ , prima toccaua tal parte al, primo delfina capitale vtiimo,qual fù ducaci 80 de tutti dai, qual parte fono ducati 3 j fa delti ducati 8 5 , onde dirai per regola del 3, fe 85 rai danno 3 $ , t hà Libro Setto. 350 mi dar ano ducati io, moltìplica , u parti ne venir anno 3 3 bora tra rat vn numerojthe gì onfo con ducati 60, quali mejfe il fecondo compa- gno, eS r della fumata prefa la -f- come fi finto nella precedente , & quel- tic -J- /buratta da e fio numera, dr il refiante partito per ejfo numero, per veder, che parte vico al fecondo del capitale,dei primo, & tal parte tol - ta dalli ducati to,chepofero per vno,& quella ancora fottratta da 40,. refi ino due. 3 J -f , & per trovarla pàniche' t capitale del primo fuffe f cofa.giongiU alti ducati 60 farà 1 co.p. 60. piglia la farà co. p. $o,& fottraraide 1 co. refiaranno £ co. m.jo,& quefii parti per 1 co. Crper veder, che parte fono delfuo capitale ne veniranno co. m. 30 efimi de 1 co.cofidefcritta .* ° ° & tale parte pigliar ai de 4 o, moltiplicando co. m. 30 per 40, & il prodotto partendo per 1 co. ne veniranno e^mì & quefii fot tr arai de 40 , co fi multtpti- tando in croce, & fottrando zo,co.de 40 co. io co.m 1 200 ku 10 Ì5_ 1 co. rN 1 >10 refiaranno Ì2..C0^’ }}^.° e^nf eguali a 3 3 -t- , leva il rotto baueraì 20 co. m. 1200, eguali <133 co. poi leu, 1 20 co. de 33 -j- co. refiano j 3 f co. eguali a 1 zoomarti 1 200 per 1 3 -A- co.»c veniranno 90 *4 luta della eofa, & due. 90, dirai che fuffe il capitale chemelle ilptimo , come nella precedente fu propofto . Mora dirai fedo mi danno due. 3? che mi daranno ducati $5, ope ta'^f Inoueraiche li darà duc.}$ j-J-, ihe toccano al primo , Cr il rifto * <■ fono ducati 49 toccano al Jecondo, & cofi opera in ftmili. ' Quelito quarantefimoprimo. porto dal Cardano nella queftjone 47* Q^nodoì, che fecero «impaglia, il primo mefe fiorini zoo , il fecondo feudi ioo,& fiorini io valeno feudi 6, & tire vna,et finita la com pagnia,al primo gli toccò de guadagno fiorini 24, de più, che al fecondo. Si dimanda quanto valfe it feudo, & quanto valfe il fiorino a lira, ir quante lire guadagnorno» Gr volendola foluer a fuo modo, poni che'l fiori *0 vaglia lire 3 . {oidi z , adonque fiorini i o vaieranno tire 3 r , tf cofi Mu.6, & lire vita vaieranno tire 3 1 , adonque ti feudi 6 vaieranno tire iOyonde il feudo vaierà lire 5, adonqnefcu. 100 vaieranno live 500,©* fio rtnt a 00 a ti r e 3 , J'ol. 2 f w vaieranno tiro #20 » DeirArithmctiCa Hora dirai, fono doi,cbe fanno compagnia il primo ha mejfo lire 6 io, il fecondo ha mejfo lire soo , & alpi imo gli toccò de guadagno fiorini 24 de più, cioè lire Tifoidi Salire 1, fol. j, per fiorino , dimando quante lire hanno guadagnato, Toni che' l guadagno f offe 1 co. de ltrc,giongi ito fiume li capitali, cioè lire 6io,& lire 500 fanno lire 1120, hora dirai ft lire ino mi danno 1 co.de guadagno che mi daranno lire 6io,multi\ plica, & parti ne venir anno 610 co. da partir per 1 1 20, che fchiffati Jla ranno co fi C— & il reflò farà del fecondo cioè-* C°‘- fottra 25 de }6 56 5t reflano 6 , chejono ~ C-‘ che fchijfati fanno * drqueflo è egu* 56 . 2K le alire qq,foldi 2,fegui la equatione, partendo 74 -f- per ^ perche fol. 8 fono -f- de vna lira, ne venir anno lire 694 fol.S, per veder fe al pri mo gli toccorno lire jq.foldi 8, più che al fecondo procederai come nelle altre fmplici compagnie,dicendo,fe lire 1 1 io guadagnano lire 694 , fot. 8, che guadagnar anno lire 620, & poi, che guadagnar anno lire 500, del fecondo, & trouerai,. cbealpritno toccata de guadagno lire $ 84, fol. 8, Cir al fecondo lire 1 1 acquali detratti dalle lire 384, fol.S, del fecondo re faranno lire jq,foldi Storne fu propofio valer ancora li fiorini 24 alt- re 3, foldi 2, per fiorino. Ala auuertiffe,cht quefiafua propofla no è neceffaria ne limitata, perr che può haucr varie ri[pofte , & varie valute del feudo, & del fiorino » & del guadagno, & pur faranno la differenza de lire 74 , foldi 8, come fe hautfii poflo, che l fiorino valeffe lire 4> fol. 2, li fiorini io farebbono • valuti lire 41, et li fcu.6,lire 40, che farebbono valuto lire 6 -j-j et c ofi fe thaueffe poflo che' l fior ino f uff e valuto lire 6, fofx, li io fiorini far eh bono valuti lire 61, onde li feudi 6 farebbono valuti lire 6o,cbefouo L. I o,per fiudo,& al fiorino , et pur finalmente hauerebbono caufata vna inedefma differenza de lire 74 , fol.S, come facilmente fi pnò prouarc. Quelito quarantefirnolècondo , pollo dal Cardano al 48 ,, > .< ■ ■ DOi fecero compagnia, il primo ha pofto ducati too, & la perfona, et il fecondo ducati 200 con queflo patto, che l primo debba bauer li del guadagno, et il fecondo il reilo , cioè -J- viene vn altro offeren- do fi aUi mede fini patti , che hanno li primi dot, et niiff'e duc.ioo,ct la per fona, ceffandoil primo dimetterla perfona, fi dimanda che parte donerà toccar a ciaf aduno delguadagno,perche nel primo patto a ly primo perr ucniua et al feconda, -j- del guadagno , adonque il primo vieqbaitct b 'Librò SeftÒ/T 3 6 1 poto due. 406, & il fecondo due. 100, perche il primo hauendo £ià pofio due. 300 in dinari , adonque la perfona fu (limata duc.ioo, giongi infre- nici! capitali, cioè 400, & 200 fanno 6oo, de quali la perfona è il dcUafumma deprimi capuaH,adonquc nella feconda comi emione la p*r fona donerà Irauer della compagnia,ouero il delti dinari po(l f per- che foo ponti con 100 fanno 500, & la perfona fu (limata ioo,adoa- eptefù il -f- delti dinari pofli nella prima compagnia.giongi infreme 5 00, <T 100 fanno 600, adonque la perfona è il + della compagnia, cioè de 6oo,& perche il tergo gli aggionfc il valore, & efrmatione de ducati 400, in tutto faranno due. 900. pigliane il fanno 180, quali aggiorni olii ducati 900 fanno 1080 de quali , ti primo daueua hauer per li due. 3oo,bor vedi che parte fono 500 ,de loSo.dr trouerai che farà ,4-, et tante il primo donerà hauer del guadagno, & perche li zoo del fecondo fono jf- de 1 080, adonque il fecondo donerà hauer del guadagno f-, im- perché li 400 con la perfona,cioè con duc.i 80, che fanno 58 o,f chinan- do trouerai che fono J*- de 1080, adonque al tersogli toccamano \—det guadagno, bora aggiougi in freme rf del primo con £ del fecondo*, & del tergo compagno faranno vno, cioè vno guadagno,, l quale di - strio mrai fecondo che farà data la quantità delti dinari\uadagnati «r fintiti compagnie fono da alcuni auttori dmerfamente comlufc, 'drqùefia è cofi conclu fa dal Cardano Mathematica peritiamo, & perche lainten ttone di coloro che fanno patti molte volte ft Or ma indeterminata , non ì marauigha fe ancora le conclufioni frano indeterminate. •»*»**» fwùitó •.4u«w- m i.b.mUw&iì fimo t. («„„!<, ,nv il ~ - ... - r Quelito quarantelimoterzo. T) 01 f**»o compagnia,? vno mette vna gioia, dr.faltro duc.6oo,& ^ gùaddgnano iti tutto due. j 00, &> a quello, che mefift la gioia vii toc W tra capitale, &ìguad agno due. 609, & ai’altro il refio, dimando^ *vutfe la gioia. Toni che auella gioia valeffc I co.de due. aggiùngila con ducati 600, che me'ttef altro, fariin tutto 1 co.p. 600, per la funivia de loro capita - li,aggìongi il guadagno che è due. 1 00 fard 1 co.p. 1 100 tra capitale, & guadagno, fottrane li duc.6 00 , clxctoteorno a quello , che meffe la gioia tra capitakì&gHjdagm re fiat anno ico.p.qoo,& quefio farebbe ilea ¥itale;& guèdagnotidllutiro tompagnoicbegti toccarebbe . \ 00 * Ter lantdaYgUfrat per regola del g, dicendo, fe 600, mi danno 1 co.p. ^oo,che totem latito foiosa captt*fa,tr guadagno, che mi darà 1 co. “’M ' ’ Tyyy che Dcll’Ànthmctica che Valfe U gioia per / ùppo fittone ,multiplica i co. fiat C».p. jtì© fari i confo * più 500 co. ér quefio parti per 6co , ne venirà quefio rotto Tripodi °° t0~ e&Ma^a dHC-6°0 > che gli toccamo de capitale, et guada gito, & parti la eqnatione per li cen fi, batterai 1 ceti. p. 500 co. eguali a ^6oooo.dime^a le coufaranno 1*30, multiplica m fe faranno 625 oe,gio gili al numero faranno 4225 00, & di quefio cattane la rad. farà 6 50 » fottr anc 150 miti delle co. reflano ducati 400 , & tanto valfe la gioia fanne prona conuertenio la ragione , & trouerai il vero . Laproua.fe 1000 | tocca 1 500 | che tocca a 400» { , opera toccar à duc.6oo,come fu fuppofio . Quefìto quarantefimoquarto: DOi fanno cotnpagniafil primo meffe vno rubino, il fecondo meffe va o dimante,chc valfe quattro tanti, che valfe il rubino , & guada- gnor no tanto per cento, quanto fu la valuta del r ubino, & del diamante, & al fine fi trouorno in tutto fra capitale, & guadagno ducati 800, fi di manda quanto valfe il rubino, & quanto valfe il diamante,iu detta com- pagnia » Toni cheli rubino valeffe 1 cofa,adonque il diamante valfe 4 co. già «? gili infieme faranno 5 co. & perche guadagnorno tanto quanto fu loro ca pitale per cento,cioè la valuta del r ubino, & del diamante , adonque gua gnomo 5 co.per xoex , & però diraife 100, capii ale mi da loop. 5 ca* capitale, & guadagno, che mi darà 5 co. capitale , multiplica, & parti fecondo la regola ne venir anno 5 co.p. £ cen. & quefti faranno eguali a due. 8oo, che fi trouorno tra capitale , & guadagno, parti la cquatione per £ cen . hauerai 2 o co.p. 1 cen. eguali a 3 100, dimena le co. & mul tip he a in fe, faranno loo.giongili al numero faranno 3300. canalamità delle co. che è 1 o, della rad. 3300 rollar anno due* rad. 3 300 m.io, 4T la nto valfe la cofa,che fu il 1 ubino , multiplica per 4 farà due. 5 2800 m. 40 » & tanto valfe il diamante ,. che fu il capitale del fecondo nell a Compagnia . Et volendola prouare fumma infieme U capii ali, cioè rad. 3 jo o,m. 1 o con r. 52800 m.^o,ondemultiplicando r. 3 3 00 fia rad. 52 800 faranno t.rationalc,cioèr. 1 74240000,/-* cui r. è 13100, doppiata farà 29400* gionta alla fumma de quadrati loro, qual fumma fù^ÓiOO , faràpoi 82500. la. rad. del quale farà rad. 82500 fffcjo , &quefiaèla fummo itili loro capitali, il quale capitale t quanto guadagno per cento,tra am- èùtui, & però a rad. 825 oo,m,$ g aggiùngerai cento di capitale far anno* Z "• I 'f~ ') “ “ ~ AM. 4* libroScftò^'t;G 362 rad. 8*$ ÒO tra capitale,& guadagno, poi dirai , fe cento capita - let mi dannorad.82ioa,p.ìo, capitale,^ guadagno, che mi darà rad . 81500^.50 capitale? onde multiplicando ratti 2500, tn. 50 farad. Sa 5 00, p. 5 o faranno 8oqpo, qual parti per centotnc venir anno 8 00 » come fi proporlo . < t • ' . » rad. 82500 M. 50 r.;:/. 82500 p. 50 *-*— • 82500 . ytcoa«aUg 2500 sv.\- 'o ,C\;i -■*>-*• 'ir-.L j "'■»»■■■ •' V 1 o o| 8 0 C| OO Delli Ibridi de beftiami . - t >, ^ - v ori vur.: Quelito primo; ,*'jj j i) ^ | ■ 'Vj'T** t \K • r H Attendo fin bora trattato delle compagnie in tutti li modi pii oc cor renti, & pofii molti cafi di quelle, & rifolti per algebra, non ho vo luto eflendermi in molti altri cafi hnpofjihilia venire in materia de com- pagnie,perche quaft infinite fienc petrebbono formare non foto in quefìa, ma anchora in ciafcun’ altra materia de problemi ^rithmetici, per tanto vengo à trattar delli focidide beatami materia poco differente dalle com- pagnie,ponendo li cafi più occorrenti ,& al fine qualche cafo curiofoper compiacer à curio/i, & ftudiofi delle fottdità dell'algebra. Vno da in focido pecore 640 à vnopafiore per anni 5 con patto, che al fine de detti anni fi debba par tir permità tvtile venuto da effe pecore, & il capitale, che fono le pecore. € qo, er in capo de anni 3 meft 6 s' ac- cordar no a diuidere tutto il focido , che fi trono in tutto effer 960 capi d'animali, fi dimanda quanti ne toccar* per vno . Ter foùter queflo quefito,vedi che fe il tempo nclqaale fono conuemp- ti fuffcfìnitcyjioh lì 5 anni, che al pafioregli far ebbono toccate la mità delli 960 capi d'animali, che fono 480, ma perche non li ha tenute fé non anni 3 mefi 6. Dirai per regola del 3, fé anni $ mi dauano 480, che mi daranno armi 3 -j>- moltiplica, & parti trotterai che ti daranno capi d'a- nimali 336, &ìlrefio,cht fono pecore 624 toccar nana a colui , che gli, dentili focido. jM»i- •'« •• P >5 "li - k-v ■ • k '< • ' • : Yyyy » Que- / Vi Deir Ari thmefkfc Quefìco fecondo.’ fro-A ,! j t 17 T^altro da pecore 160 in foci do a vno paQore, che no ni ha alcuna»;, * con patto , che li debba lenir anni } me fi 6, & che in fine del detto tempo debbano partir per mità rvtile , & il capitalc.accadc che doppo anni 3 meft 4 il principale pittronc vien a morte, onde il pecora.ro fù sfor •fato aprolongar il temporalmente che le tenne anni trouafi hauer 340 pecore in tutto, dimanda/i quante ne donerà hauer il paftore , che le ha tenute più che non le doueua tcnir . E da [opere , che fe al fine de anni 3 [offe trouato con le pecore 340 ,ne [arebbono toccate al paflore la mità , cioè pecore 170, & altre tante al patro principale, & fe finito il primo termino , cioè li anni 3 il patrone ritornale immediatamente a dar al detto paflore le medefme pe- core 170, cioè la mità, & altre tante al patron principale, & chepoinon f ufifero augmentate , fencea dubbio al paflore gli toccarcbbono la mità di quelle pecore 1 70 , che fono 8 5, che hauer ebbe quan%ato in anni 3 -J- , ma per non hauer le tenute fe non aqni 1 £ doppo V primi, dir ai per regola del 3 .fe anni 3 mi danno di guadagni pecoy e 85, che mi daranno an- ni 1 4 multiplica, & parti, & ti daranno pecore 3 6 tanti ne toc cara al detto paflore de quelli 1 70 pecore , & il refio alli heredidelpa- tron principale , che fono 133 & al paftore nc toccar anno in tutto- ioó -\-,cioè la funitna delle prime 1 70 > con quelle vltime 3 6 -\-fatt<u <T« t. u V v patrone pecore r 3 3 al paflore pecore » o 6-\- f v.mma pecore 340 Quefìto terzo. 1 v , « . ». •* V7\£ da in [acido a vn paflore pecore 1 00 per anni 5, con patto di- partir per mità l'vtile , & il capitale. accade , thè il paflor non le tenne fiò non anni 3 Jt-, & fi trouorno in tutto pecore 180, dimandò quanti ne toccar à per vno. Ter far queflo vedi, che fi e t bau effe tenute per anni <,,f arebbono toc- cate pervnoprcore 90 ,cioè lamità de 180, ma perche non le ha tenute [e non anni 3 dir ai, [e anni 5 mi dauana pecore po, che mi daranno* anni}] -i- multiplica, & parti, & ti daranno pecore 6 tanti ne toc- car à al paflore , & il reflo, che fono pecore 1 1 7 toccar anno al patrone del [acido, & co fi far cù le fintili, fe non gli è altra conditione , Que- J Libro Sedo , Qucfito quarto. 36J \ "\7" \ altro da in focido- pecore 1 20, con patto che in termino de anni T 4 debbano partir tutte le pecore per mitd , che fi trotteranno hauer, & dappoi anni imefi 5 colui ancora gli da pecore $o,con li medefini pai ti che fumo date le prime , &■ cofloro vorrebbono far vn medefino ter - ptin oper più chiarezza loro.fi dimanda a qual tempo doneranno diuider queflo focido . Ter rifonder a queflo, multipfica le prime pecore, cioè jio per quel tempo,cbe gli refla tenir doppo anni i, me fi 5, fin alli anni 4., cioè per me fi 31 faranno 3710, e2r queflo ferua, poi multiplica le pecore 80 per an ni 4 ,c:oè per mefi 48 faranno 3 840 , perche tanto li deue lenir a conti- nuar il patto , bora aggiongi infieme quefii doi produtti, cioè 3720 , & 3840 faranno 75 6o,& queflo ancor ferua, poi fumma infieme le pecore * 10, che prima gli dette, con le pecore 80 , che gli dette al fecondo ter- mino fanno ioo,horaparti 7560 per 100, ne venirauno mefi j 7 fi-, che fono anni 3 , mefe vno , giorni 24, in fine di quefii doneranno partire il focido, fecondo li lor patti . Qucfìto quinto. V'K ▼ 2C da in focido ad vn paflore pecore 1 20, & il paflore per fe ne ht io, con queflo patto, che in capo de 5 anni debbano partir per m\ti il guadagno, & capitale, accade che il paflore non li tenne fe non anni 4, & fi trouorno in tutto tra agncUi,& pecore capi 260, dimanda/i quanti ne toccar a per vno ì Ter rifonder a queflo, fumma li capitali infieme, cioè le pecore no,, conte 30 fanno pecore 150, onerilo capi de fimilefiecie, poiconfide- rache li j o capi delpajiorefonoil fi- di tutto il focido , adunque finiti lì 5 anni fe non glifujfe patto alcuno gli donerebbe toccar il fi- de 260 ». che fono capi 52 , ZT ilreflante , che fono 208 toccarebbono al patron, del focido, ma perche voleno la mitd in capo de 5 anni , adonqne baite - rebbono capi 1 30 per vno, onde il paflore venia a guadagnar dalli 5 2: fin alli 1 30, che fono 78 capi de animali in 5 anni > hor vedi quanti ne. batterebbe guadagnato in anni 4, dicendole anni 5, tni'Jqnno di guada- gno 78 capi, che mi daranno anni 4, opera feto do il fotito,& ne daranno 63. -f> quali aggio nger ai alli 5 2, che gli toccorno per virtù delle fut 30. pecore, che gli bebbe faranno 1 1 4 — , & tante ne toccarà al paflore ». ebegli hebbeli 30 capi, et il refio che fono capi 14 j fi- toccano al pa- ttane del focido, & cofi farai le flmili . , Ter che ? ' : DeìrÀrìtKmaki *Per che bifogna ben auuertire olii patti, & allecaufe delti pitti, cioè le pecore mejje, & al premio della cuflodia del paflore,perche altra con- clusonefi farà, quando ilpaflore,& il patrone del focido rejìanod' accor do nel abbrntiaril tempo del focido,che prima fuflatuito tra loro, come nel tergo queftto de facididifopra appare , et altra conclufione fi farà , quando manca dal paflore a non finir il tempo giàflatuito tra loro , per- che fi [oppone, che figli laffi la mitàde tutto il focido per caufa del vti • le, che affetta il patrone in detto tempo, et cefi, cbe'l paflore babbi tale parte per rijpctto del premio della cuHodia de detto focido, onde la inten- rione fi deue mani fi flore ,acciò che nepoffa venire giuflu conclufione con nenirnte alla intentane delie parti contrahenù . ' : Perche in fintili quefiti fi commetteno errori non per affinità del Srt\ mcrarc, ma perche non fi difeerne qual {hi il giuflo , et quale l ingiufio / per non faper di fe cenere li cafì, perche come dice ^driflotele, Ad piti- ca refpicicntcs de facili enunciant , per tanto fiorai attento net fe- quente qui fitto , da alcuni ^rithmetici ri folto in diuerfi modi , fecondo- ladiuerfità del giudicio loro , cerne occorre ancora nelle leggi ciudi , eli. nella medicinali altre arti. V • V , v Qucfitofcfto, porto da Giouan Sfortu- nati , & riprefo dal Tartaglia . VT<f da in focido ad vn altro pecore 1 8> con patto , cbe'l paflore gli ne metta 6 >et che al fine de anni 4 debbano partir permità Ufirei - do, accade che il lupo gli ne mangiadue, talmente., chene miffe folamcn- • te 4, et in fine de 3 anni fi trouorno bauer pecore 66, et vogliono daccor do partir il focido, dimandafi quante pecore donerà bauer il paflore , et quanto il patron del focido fecondo la equità . Inqueflo qurfuo,tonfidcra, che fi finiti li 4. anni non haueffero guada girato cofa alcuna, fi bauer abbono partito il capitale per mità,et farebbo-i no toccate al paflore pecore n,et luimcffe fidamente 6, et ti patrone 18. adonq ; il paflore ballerebbe tirato il fi del capitale del patrone, perche 6 iti fide 1 8, capitale del patrone, altra ilfuo capitale che ficantor 6,on de fi comprende, che' l patrone fi contenta laffar tirar il -fi del fu» capi- tale al paflore . Et quello fi prefume, cbe'l faccia per la mercede della cuflodia del fi - ciào, adonquenc donerà hauer ancora il -fi del guadagno contingente al detto patrone fra quanto fi Voglia, et per ciré ne ha pofio filamente 4, al fine franerebbe le fue quattro pecore, et apprtffo il -fi de quelli del patron chefarebbono 6, quali con le fue 4 fanno io,rt le altre u fiuebbono toc * Libro Scfto^ ■{ 364 tate al patroni, ma perche non li ha tenute fe non afinì 3 ,ìl patrone non è cbligato a dargli le pecore 6 , ma /blamente la rata parte.per tanto dirai fe anni 4, mi dauano pecore 6, che mi daranno anni opera, & ti daran no pecore 4 -i- quali gionte alle fue 4, che rncjfe il detto paftore faranno 8 et tantene farebbono toccate al paftore in anni 3, et il reflo fin diti "12, che fono pecore 1 3 4 farebbono del patrone , ma perche fi trouorno pecor e 66, dirai fe a* primo capitale mi danno pecore 84* che mi da - ranno 66,opera,et ne verranno pecore 35 tt tante ne toccar anno al pallore, et il reflante, che fono pecore 40-5- toccar anno al patrone ,fe pur fi connine con la conditionc detta difopra nel quinto que fitto, t et que- lla è la noftra opinione . Quefito fettimo.’ V 'H. vende ad vn' altro vna vacca pregna,con patto, che fe quella fa “ vno mafehio, che' l compratore gli dia lire 34, e 'T fela fa vnafemi na,che'l comprator gli dia lire ìS,Jol.6, den.%, accade, che quella fece vno vitello,et vna vitella,et la vacca vale per doimafchij, et il mafehio per due f emine, dimando quanto fi donerà pagar al venditore. Ter farla breuemente confidera,chefe la vacca per fevale qfilvìtel lo vale 2, et la vitella vale 1 fecondo la prepofla,ct perche hauendo fatto mafehio, et f emina fumma 1 per la vitella, et 2 per il vitello , et 4 per la vacca fanno J, et perche facendo filamento vno vitello vaierà 6, cioè 4 la vacca, et 1 il vitello, et lo pagarà lire qq,adonque dirai fe 6 valeno li re 3 4, che vaieranno 7,cioè vacca con vitello, et vitella, et operando va leranno lire 3 $,fil. 1 3 ,den.q,et fen-^a predar la femina y il cafo feguiua per for-^a, hauendo pofto,c he facendo mafehio vale fife lire 3 4 fatta, et la v acca fila v alfe lire ai, fol.i j,dcn.q, et la vitella valfc lire $,fol.lj » den. 4, et il vitello il doppio, cioè lire 1 1J01. 6, dai. 8. Trattato de Iocationi , ouer fitti di cafc & altre proprietà. . 1 I SOno le quefìioni de fitti di cafa affai vtili > et alcuni fé nepoffino fir- mare di fittile confi der adone, ma noi fecondo itnoftro fililo corniti daremo dalli cafi più facili feguendo il detto del Tbilofopho, qual dice » thè m ogni dottrina fi dotte cominciate dalle cofepiù facili r V > ì t‘ « " DcirAricTimétlèa Quefito primo. V?-l * v . sfitta vna cafa ad vn' altro f> anni 5 ,et paga a ragion dcL.6<,,al- ? anno,commci3do a di primo di Ma riaccade che'l fattale gli dot te innari al termine L. 47, cioè tre mefi innanzi al primo di Margo , di mando quanto tempo donerà ejjer affettato del reftante del fitto doppo t{ termìno,cbe doueua pagar . Ter far erucfla ragione li tuttorì di Arithmetica voleno, che fi meriti le lire 47, che ha battuto innangàal terminerà quanto fi vuole per 1 00 , poniamo a ragion de 5 ptr 100 all' anno. per li detti 3 mefi guadagnar eb- bono fai. 1 1 fan. 9, cioè a den. 1 ,la lira al mefe , poi trouano in quanto te po il reftantc, che fono lire 1 ^guaiagna/famM detti / oidi 1 1 , din. 9 a detta ragione, & fi trouark,che li guadagnarono in mefi 7 ,et giorni a 5, et tanto tempo li donerà tener doppo il termino , per hauer pagato leL. 47, tre mefi innanzi al termino. Ma noi confìderiamo , che fi può far più bteuemente , dicendo per1 la conuerfa regola del 3 , fe L. 47 mi danno mefi 3 , che mi darannolire i'S» 'multiplica ìa feconda per la prima , et il produtto parti per la tèrga ne venir anno fimilmente mefi 7,, giorni a$, perche quanto meno tòno le /»- re tanto più tempo volevo in guadagnar vna quantità de dinari, ilche è cofa manifcfia,pet tanto ojferuarai per hreuità li ietta noftra via quan- tunque poffa ejfcre trouata ancora da altri . Quefito fecóndo. 1 V.r. i.at vtiWn •r iA .1 »T TTV fitta vna pofiiffione per anni 9 a ragion de lire 60 all anno , et II V patrone vorrebbe tutti li fitti innanzi termino per vn fuo bifogno , et gli promette di fcontargli a ragion de 5 per 4 00 all'anno, dimado quan te L.gli donerà dar alprefente. Quantunque alcuni yfoluiao qucfli f fgionf mUltipUcando le lire 60, per 9 anni, che fanno I. J 40, et poif contano te dette lire 540 «ir* 5 per 100 all' anno, dicendo fefol.19 rejlano feeptvi falcio, per anni 9, che refiara no L.<>4o,etrejlarnnno L.172,fol.S,dcn.i J-J-, la qual conclufione è fai fa,et male intefa, perche ne più nemeno pagarebbt il fitrualefc non gli doueffe dar tutti li fitti fe non al fine delli anni 9 , rna perche è debitori a dargli I.60, ogni anno, fi deve ficcar quelli 9 anni a vn termino folo,in - nangi che fi faccia fccyt\>,iUbcbreu<mcn(efifarà per *ia della progref-, filone naturalc,aggiongendo x alti 9 faranno 10, et pigliando la mila de lo, che è j,dirai che fi deueno fcomarc per anni 5 , perche queflo è ilde- 3. > bito i f Libro Seftò * ■ 3 6 5 bìto termino, fcòntar ai adonque le lire 5 40 per anni q, dicendo, (e L. 1 1 q, reflano 100 fcontatc, che rejlaranno lire 540, opera, & trotterai chere- flaranno lire 4) 2, & tante lire fi doneranno pagar al patrone della cafa innanzi Jcomandoli a ragion de S per 100, all' anno, onde farebbe ingan nato il patrone de lire 5 5 ,Jol. 1 1 , dtn. 8 jj-, ilche era da ejfer auuertito . Quefito terzo. \7"N P$‘a vnacafa a fitta per vh' anno a lire 60, all'anno, & comin V eia a diprimo di Grnaro,<? vn altro gli vene a di primo di Alaggio & fia in compagnia col primo fin aUi vltimo di Decembrio , dr vn' altro ter.zp venne a fior con tfuefii doia di primo Settembri 0 fin tutto Decem - brio,pur tutti ad vn mede fino patto , dimandafi al fin dell'anno quanto do- nerà pagar ciafcuno defitto £ ' Perche egli è manifeflo chc'l primo gode la cafa filo li primi 4 me fi, onde fenica alcun dubìo deut pagar per quelli 4 mefi a detta ragion de li- re 60 all anno, lire io , & perche il detto primo gode ancora la cafa per li fecondi 4 mefi in compagnia del fecondo compagno , per quefii paguri filamence lire 1 o,cbe con li primi 10 faranno lire 30 , & il fecondo per li fuoi primi 4 mefi pagar à lire io, venne il ferodo, & fià in detta cafa li vltimi 4 mtfi in compagnia de gli altri doi , onde fra tutti tre deueno pa- gar limo, adunque ne tocca il \-per vno che fino lire 6J0I. t g,den.4, per ilche H primo farebbe debitore in quefle tre matafioni de lire 36, fol. Ij,den. 4, il fecondo delire i6,fil.ij , den.q , perche nelli fuoi primi 4 mefi era già debitore de lire io,& nelli vltimi 4 per ejfer in compagnia degli altri doi,gli ne toccò lire 6, fol. 1 ì,den.a, & il terzo donerà pagar folamrnte lire 6,fol i6, den.4, cioè il -J- de lire 20 , che toccarebbono a tutti tre, gr per confeguente non fi può negar tal dijlributione che non fia fecondo la equità, per'dihc la conclufione de Frate Luca, che vuole che al primo ne tocchi 30, al fecondo »o, atterzo lire io farà falfa, ilche di co per auucrtire li amatori della verità, la prona fi farà come nelle al- tre fi ojfexua . . Quefito quarto. \f'K. P$,a vna cafaa fitto per lire 2 3 all'anno , ma il fittuale impre- » fia lire 60 al patron della cafa a ragion de lire 5 ,per 1 00, all' anno, <& che debba Jlar in detta cafa fin che fia pagato delle fue lire 60, con lo ro riferito, dimando quanto douerà ftar in detta cafa acciò fia pagato del fitto, & del capitale dcllJliYc 60. Tacila fi lutionc. di quefio quefito molti fanno errore , ma franata vn* <’i eJTer ^ ' • l 'i ■ ' J - : - . . “ ' DeìTÀrìthmetica tffer vera dinteefptà Coltre differenti far anno f alfe, dico adunque f&t follinone di effo quefito , che fi debba meritar le lire óopervtf anno a ra gion de $ per 100, all anno,che faranno di merito fotdo vno all'amo per ciafcaduna l ira,onde le lire 60 tornar ebbono fra capitale , & guadagno lire 6 3 : dalle quali fe ne fottraranno lire a ) defitto della cafa,& rete- ranno lire 40 al primo anno, poi ritorno a meritar le dette lire 40 per v- n anno, & operando, come difopra tomarannolire 41 al fecondo anno tra, merito, & capitale, dalle quali fottranfidinouo le lire ij del fitto, refia- ranno lire 19, ancora da pagar al finitale, quali fi meritar anno per vn anno a detta ragione, & tornar anno tra merito, & capitale lire 1 9,fbl. 19, dalli quali non poffendone cauar le lire 13 ,de fitto detto, fi filtrar an- no le lire 1 gffoldi 1 9, dalle lire z 3, & reflarà debitore ilfittuale de lire 3, fui. 1 ,& fittrando il guadagno delle lire 1 9, che finofil. 1 9 delle lire 23 de fitto, re faranno lire 2* > fil. 1 , & tanto gli farebbe debitore il fit - tuaU\lfin dell' anno, battendogli detratto il guadagno che hanno fatto le lire 19, & dandogli ancora il capitale,che fino lire 19, rejìapoi debi- tore il fittuale, come diffi de lire 3, fil. 1* Hor a farai de giorni 3 60, che fi computa Canno in cafi de meriti, & fconti,due parti,, ebefiano in tale proportene Irena a C altra come fino Z.19 capitale a lire ii,fil.i,fimilmente capitale,diccndo per regola del 3, feL.xìyfol. i-, mi danno giorni 360, che mi daranno L.\g,multipli- ca,& parti, & trouerai,cbe ne verranno mefi io, giorni io tan todouera flar indetta cafa oltra lianni 2 , cioè in tutto anni i,mefì 1 o, giorni 1 o & nota che non è differenza alcuna in quefli cafi da meri to finnphce a merito a capo d'anno.perche pagando il fitto ogni anno non. può nafeer merito fipra merito, ilebe è degno di auuertenzjr.. Qujefla ancora fi patena finire operando per ^Algebra trottando vn nw mero de me fi, che tanto faccia multiplicato per if, & partito per 12 me fi delCanno che è il denominator del rotto, quanto multiplicato per L. 19, che gli reflò,& partito per denari 140, che fono vna lira, & quello thè ne viene che farà il guadagno giorno alle lire 1 9, che fono il capitale*. & tati fil. guadagna la lira al mefe quanti 5 guadagna il 1 00, all' anno, fiche pongo, che Inumerò demefi fia 1 cofa, multiplicoper2g farà ij: to. lo parto per 12, ntvenirà 1 co.multiplicò ancora lire 19, per l to.farl 19 co.lo partaper 240, nevien lo aggiùngo alle L. 19,. faranno yy- p. 19, onde hauerai 1 co. eguali a 1 9,p. co ffottrarà y~ de * co.reflaramo 1 {£- co. eguali a 19. partirò 19 per i \l-ne ‘leniranno wefi io, giorni 10|S- come difopra fil ancor trouato,& tan- to, I r Librò Serto.; 366 tp donerà flarih delta cafi olirà li i anni, cioè anni i,m efi i o giorni io perche tanto deueno meritarle lire 19 a j per 1 oo.iu quelli mefi,cr giurai, quanto le lire a j de fitto a ragion de anno, & l'vno, or / altro de quefli modi è breue,ér co fi farai in fimili cafi, a capo d’anno . La prona farai prouando fein anni » , me fi 10 , giorni 1 o 5J- tornano tanto le L.\9 ai per 1 00 all'anno, quanto le 1. 2 j a ragion ut anno . Dicendo prima femefi la, mi danno lire a j, che mi daranno m<-fi 10, giorni xo^J-, & fi truuarà,che faranno lire 1 9, foL \ 6 , den.p. *J7 , er tanto tornaranno ancora le lire 1 9, in qutflo tempo tra capitale, cr gua dagno a del td ragion e, & cofi farai le fimili . c'. ’Vt * r.V* i. ^ Quefito quinto, porto da Frate Luca. • T T T^o piglia ma cafa a fitto, & paga lire 14 all'anno , & il patrone V della caffa -vuole effer pagato per doi anni innanzi per fuoi Info- gni, [contandogli li dinari a ragion de xo per 100 all anno a far a capo d' anno, dimandafi quante lire gli donerà dar al prefente . \ Quella mede fina propone Frate Luca a carte 1 60 , & tal fua folutio nei falfa,perche quel [conto de doi anni donerebbe effer reccatoadvno foto termino, per che il fittuale non deueflar doi anni a dargli li fitti, ma li deue dar in anni doi,adoq ; bifogna ridur li fitti de doi anni ad vn filo te't mino, & poi [coni arii pagamento chegli verrebbe per quello termino, adonqueper trouar detto termino, giongl 1 olii anni a , faranno j , quali parti per 2 numero delli termini ne venir anno anni \,mefi 6, & in quello gli venir ebbe il pagamento volendo pagar per quelli 1 anni in vno filo termino, per tanto [contar ai lire 48, che pagarebbe in doi anni a detta ra gione, dicendo fi 1 20, erano 100, che faranno 48, ma fihiffando , dirai, fi 6 erano .5 , che faranno 48, & reflaranno 40, poi dirai per l, 6 me fi fi I ao, erano t io, che faranno 4 o. fi biffando , dirai, fi 1 a refi ano il, che reflaranno qo,CT reflaranno lire $6 ,fol. 1 j, den. 4, & tanto fi donerà dar al prefente f contando a detta ragione . \ Quefito fcfto, porto da Frate Lu- » ca a carte 1 6 o . !. . , jjjf Vi '• * ‘V u ;M'> ir** m \ VNo ha due cafi, che C vna vale lire ijy, & paga lire ijde fìtto aU l'anno, l’altra vale lire t ij. dimando in quanto tempo ella renderà lire 1 7 defìtto, cioè tanto quanto rende quella che vale lire 137 , & in quanto tempo quella che vale Uro j 3 7 venderà tanto quanto qui ila che » yale DeirArithmetica vatelireiìj , dirai prima [e 137 volerlo me fin in guadagnar tire t7$ che vorranno I.l 1 3 ,operaper la regola del 3 al contrario multiplican - do 1 2 per il produrlo partendo per 1 1 3 , cioè per la terga cofa ne venir anno mc/i 14&), et in tanto tempo te lire 1 tj guadagnaranno lire 17, poi per trottare in tjuanto tempo le lire 137 guadagnaranno quel lo che guadagnano le lire 1 1 3 ,in vno anno,dirai fé lire 137 f uff ero lire il 3, che fari bbono me fi n,oucro felirc 113 volcnomefl 12, che vorranno lire 137, multi plica la prima nella feconda, &• parti per la ter ga,cio'e lire n^per 12 fanno 1356, et queflo parti per 1 ne verran- no me/i 9 jy * , et in tanto tempo le lire 1 pagar anno quello che pagano lire 113, in vno anno, & queflo è fatto fengatrouar quanto guadagnano lire 1 1 3, in vno anno , leprcue farai vedendo quanto guadagnano le det te lire in detti tempi ,perc he quanto è più il valore, in tanto manco tempo guadagnano, & quanto e men il valore dellecafe,in tanto più tempo gua degnano vna quantità . prima in mefi 14 fole feconda in me/i 9 ;** le lire l j 3 guadagnano , lire 1 3 7 guadagnano » • > Quefitofettimo.’ \T P ì$a vna caf‘l a fitto per anni tre , & feru e il patrone innanzi » de lire 300 a ragion de io per cento all'anno a capo d anno ,& il fittuale deue dar ognianno il fitto, & non dandolo,contcnta,che gli flia a intcre/Jc a ragion de io per cento all'anno a capo d'anno, accade che fini to il termino delli tre anni fanno conto infume, & trouano, che' l fittuale deue vfeir della cafa finga debito, & fenga credito col patrone, per tan- to fi dimanda,quanto pagana de fitto de detta cafa . Terfolitcr quefto quefit opponi che f fìtto fuffe 1 co.de lira, bora meri- ta lire 300 a ragion de io, per cento all' anno,diccndo fe de cento fi fan- no 1 io, che fi faranno de lire 3 00, fchijfando la prima, & feconda cof* per brcuità,trouarai, che lire 3 00 tornano fra inerito , & capitale lire 3 30 ,de quali fottrarai 1 co.reflaranno lire 330, m.t co. ilprimo anno >. poi per trottar quanto tornano il fecondo anno dirai fimilmente,fe de 1 o, fi fanno 1 1 ,che fi farà de lire 330 ,m. 1 , co. multiplica , & parti fecondo le regole date troucrai che fi faranno lire 363 , m.i y*- co. de quali ancor ne cauarai il fitto della cafa, che fu pofio 1 co.reflaranno tj- c9* & tante faranno il fecondo anno, poi per il tergo anno fimilmcnte argui- rai dicendo, fede 10 fi fanno 11 , chi fi faranno delire 363 m.zf» co- multiplica per 1 i,et parti per io, ne venir anno lire 399 if m, 2 (U de. co. Libro Serto.' 367 90.de quali cattane l co. che fu pojlo effer il fitto della cafa, reflaranno il tergo anno lire %99 n.] eo- & q'tiilv farebbe eguale a niente, ma reftorando le parti giùngendo a ciafcaduna parte j. co. batterai f Jjj co. eguali a 399 bora partirai il numero per le coje ne -venir anno lire 1 20 ip , & tanto v alfe la cufa , che fu il fitto della cafa all'anno ■, Cioè lire 1 20 , come appare. primo anno lire jfo. m.i co. fecondo anno lire )ó j, m.i co. tergo anno lire j 99 fi- , m. 3 , Et volendo prouar detta operatione,merita le lire 300 per il primo an no a data ragione, dicendo fe io torna 1 1 , che tornar anno lire 100 , multiplica,ct parti, et tornar anno lire 330, dalle quali ne cauarai il fit- to della cafa, cioè tire 1 20 {|* reflaranno lire 209 jy|, poi dirai, fe 10 tornano 11, che tornar anno lire 109 , multipltca, et par(j, et toma- ranno lire 230 y3* dalle quali ne cauarai il fitto della cafa, cioè lire 110 reflaranno per il fecondo anno lire 109 , quali ancora meritar ai a detto modo , cioè multiplicandolc per n,et partendole per io, ne veniva- no lire 120*,*// tergo anno tra merito, et capitale,come difopra,dc qua- li fottrandonc altre tante lire che fumo precifamente il fitto della cafa re (lari nulla, fi come fii propoflo , onde batterai prò nato detta concludo nc tffere giufliffim a, et cofi farai le limili . Quelito ottaucr. fitta vna cafa ad vn altro, et vuole pagar ti dinari in vno foto ter y mino de tutta la inuefliturà, et cofi fecero conto , che gli ueniuano doppo anni 5 ,dimando quanti anni fu longa la inuefliturà . Farai cofi. doppia quello termino de anni 5 fara 1 o, fottrane femprt vno per regola reflaranno 9, et anni 9 dirai che fu longa la inuefliturà. , , et cofi con fommu breuità farai le ftmili . Quelito nono conuerfo al precedente . M. W 1 t ET conuerfamente fe vno fitta vna cafa per anni 9, et gli voglia fare vno pagamento folo. dimanda/i quanto tempo Hard doppo la inuefli tura a pagarli tutti li dinari . Fa cofi.giogi 1 al 9 fari io, pigliane la ^farà <,,et anni 5 donerà fiat a pagarli tutti, et cofi ridonderai in filmili . Dclli DeìrArithmctidi \\ .A t.*. ! $V.»\ .* v.'l.O t Dclli baratri hi tutti i modi IM : ,.,u „ I£ botano non t altro fe non vna commutinone de vna mercanti a in vn' altra con proposto di migliorar conditi ove, & quefla mcdefma diffinitionc pone Frate Luca Tacciolo nel trattato de baratti, ma perche quefla difftnitiorte appare patire contraditione, attcfo cbefevno meglio- la condii ione con l‘altro,ctoè che habbia auantaggio, l'altro appare,che debba feapitare,ouero perdere , & tofi non farebbe quella eguale comma tatione,che conuicne nelle giujìe tranfmutationi, come propone rifiati- le nel quinto dell' Etilica , & a quefla obieit/onebrruemente fi rifonde, che non è inconueniente che vno baratti con l'altro con vtilità dell’ vno, & dell'altro, fi come ancora occorre la più parte nelle venditioni, che “vno mercante “penderà a vn’ altro robba con guadagno, & il compratore la compra con propofito di riuenderla ancora lui con guadagno, ò mag *• ghte ò minore fecondo la forte, che può effer migliore vna yolta,chelal tra, & fi come il denaro fecondo il detto del Tbilofopbo nel quinto libre deUi morali detto , è la commune mi fura, delle cofe commutabili, cefi an- Torà /* vfo, era prima fu* commune mifura innanzi , chef uff e trottatoli denaro, cioè che fi commutaua ma cofa con l'altra , che fujfe molto di-, fpare, & diuerfa di fpecie, & però dijfe nel detto quinto dell'Ethica que- jlc parole . ; * Non enimexduobus Medicis focieras fir, fedex Medico, 8c agricola, & omnino diuerfis,& non f qualibus.fed hi rame j quan di funt. Iccirco ca omnia quorum cfl commutano comparabilia effe quodammodo debent,quamobrem numus accestir, ac quo- dammodo medium tir,meciturenim omnia, quare elianti excef- fum,& defedum,&c. Ter tanto fi fanno 3 fortide comm ittat ioni, oucr baratti, cioè fimplici compofli,& col tempo, fimplici fono quelli , quando fi baratta vna mer- canta coni' altra,compofli quando fi baratta robba con dinari,& rob- ba.ouero robba, & dinari con altra robba, & dinari per gionta,col tem- po quando fi baratta robba con robba, & dinari con qualche termino di pagarla, tf quindi nafeono molte confiderationi in materia de baratti di fiottile inuefligatione, de quali fi trattaranno in tutti li modi, chepofjìno occorrere a merendanti, & prima deUi fimplici, come apparerà orili fe- quatti qutfini. :/ . C t \ ‘ l~' T All t ^ V1 »• *- l> ■ 1 ■ i» ■. q . • ; . . •- . iV.g& o .. r i;:>o ? ’ ' ‘ Que- LibroScftd. Ut Quefito primo : SOno ioì che volcno barattare, l’vno ha panno, che vale L.6. fold. 1 5 dbraxo,& l' altro hafaponr che vale il pefo L. 5 [ol. 13. dimando per braga 57 de panno quanti pefi de fapone batterà t Terfarqurflo,& altri fintili, veder ai prima quanto valeno li bragfi 57 a L.6fol. 1 $,& trouerai,che vaieranno L.} 84/W.l 5 dea. Voi di- rai per regola del j .fe/..^fol.i j mi danno pefi vno di fapone,cbemi da ranno L.j 84 fol. 1 5 den. moltiplica , & parti fecondo la regola detta, & trotterai, che ti daranno pefi 68 Jyy, & tanti pefi de fapone bauerai per le L.} 84 fol. 1 5, che faranno la valutadelli branca cofiojfer- ua in fintili . La prona farai vedendo fe li pefi 68 jjj- vaieranno tanto guanto lì bra "ga 57, che gli dette a baratto, il baratto fer à eguale fenga danno delle parti,perche adonquc li pefi 68 fri a L. $ fol. 13 il pefo valeno parimen- te L. 3 84 fol. 1 j quanto valfetl panno, dir ai il baratto effere giufio. Quefito fecondo i DOi voleno barattar, f vn ba tana, che vale à contadi due, 2 3 il 100, & à baratto ne vuole duc.2j, l’altro ha guccaro , che vale à con- tadi due.} x.dimando quanto fi dotterà metter a baratto , & perL.2$S di g uccaro quante lire de lana batterò t Dirai prima fe due. 23 mi danno a baratto due. 2 J, che mi daranno* duc.fi jnultiplica, & parti trouerai,chc ne verranno due. 3 6 tan ti due .fi donerà metter il 100 del guccaro à baratto , poi per trouar per L.2}ftdc guccaro quante L.de lana hauerò, veggo prima come nella pre cedente quanto valeno L. 258 de gt uccaro a detta ragione dicendo, fe L. ] 00 valeno due. j I ,che vaieranno £.3$ 8> onde operando per detta rego la arcuo, che vaieranno due. 79 H ora dirò feduc.23 mi danno lire 100 di lana,che mi daranno due.*]? operando per detta regola mi da ranno lire $47 -jjiC/ tante lire di lana batterà per le lire 358 digucca- ro,la prona fi farà dicendo fedire 100 di lana valeno duc.i}, chevale- ranno lire J47 |f- operando per detta regola vaieranno den.jp r* quan to vaifero lire 35 8 di guccaro, perche bifogna, ebe le fumme filano egua - li,vero è che piùficuraproua farebbe à vfitr li predi , che valeno a ba- ratto,che quelli, che valeno a dinari contadi, ma farà più difficile per ri- ffietto delli rotti, che vengono nel trouar quanto fi deue metter a baratto , come nelli fequeuti vfaremo , ma fi bautrà però tanta quantità de robbac per vno modo, quanta per Poltra* ** 1 ' Quc- ' fi » “■> c DeirÀritlim etica v Quefaò terzò. DO» volcno barattar ,t un ha peuere , che vale a denari con tadi due. .3 7 il I oo,& a baratto ne vuole due. 4*,/' altro ha veludo,c%e va- le ilbra^o a contadi due.*. dimando quanto ft donerà metter a baratto, & per bra^a $ 4 de Vtludo quante lire de peuere hauerà. > Trina vedi quanto ft dotterà metter il brayo del veludo a barattoli tendofe $7 de contadi, che valeilpeuere,mi danno due. 42 a baratto che mi daranno due. 2. operando per detta regola ne venir anno due. 2 -fi,& tanto fi donerà metter il bratto del veludo a baratto, hor vedi quanto, va leno bra'za 34 de veludo a ragion de due. i fi-ilbrajo, multiplica 3 4 fia 2 fi- faranno dne. 77 tanto vaieranno librala 54 di veludo a baratto , bora vedrai quinte lire di peuere fi hauerà per quelli duca- ti 77 fa , dicendo, fe duc.42 mi danno lire 100 de peuere,quante lire mi daranno duc.jq -fa. operando per detta regola ti daranno lire 183 fi-, et tanto peuere bauaòper li bratta 34 de veludo, la proua far ai, come difa fra nelle altre faccfli, dicendo fe Ure tao di peuere valeno fcu. 42 a ba- ratto,che vaieranno lire 1 8 3 -fa trouerai che vaieranno duc.’jq -fa, cioè quanto valeuano li bra^a 34 de veludo . . DOi barattano, bvn ha canella, che vale a contadi due. 3 y il 1 oo, df a baratto ne volfe due. 4 1 il 1 00, l'altro ha garofoli,et per Ure 2 50 decantila gli dette lire 220 degarofoli,& ilbaratto fu eguale, dimando quanto vaifero il 100 ligarofoli a denari contadi, & quanto fumo mef- fi a baratto , Ter far quefio baratto vedi prima quanto valeno a baratto le Lfl 50 de canella , cioè a due. 42 il ìoo, & trouerai che vaieranno due. io?. Or tanto vaifero ancorile lire 220 degarofoli,douendo effer il baratto tguale,& pto trouar quanto fur meffi a baratto dirai, fe lire »ao dega- rofoli -valeno due. iodiche vaieranno lire 1 00 .opera per la detta regola & vaieranno duc.+j -fa a bar atto, poi per'trouar quanto vaifero a dina ri contadi, dirai fe due, 42 a bar atto erano 37 a contadi , quanti erano 47 opera per la detta regola trouerai che erano due. 4 2 -jj, & tanto •vajfe il 100 degarofoli a dinari contadi : y olendo fàr la prona veder ai fe Ure 220 de garofoli a due. 47 ìoo velano due, io$, cioè quanto vaifero le lirt2$o de cantila, opera Quc/Ico quarto al Librò Serto. T 369 ' al modo vfàto,& trotterai che vaieranno li detti due. io f , onde dirai il baratto effer giufto . •n- ' ^ 1 , i l. j\ i:. it, «v. yj, "y v ' • ’ • Qucfìto quinto. i(Wn is . , fj *.u\ % DO/ barattano,? vno ha mandole,che valeno a contadi due. 18 Hcen to,& a baratto fumo meffe due. i 6: ? altro ha tela , & fu meffa a baratto fol. n de più il braxjt,fhc non valeua a tontadi, &• fu il baratto eguale, dimando quanto la valfe il brago a contadi , & quanto fu mefja kt baratto ì- 0<»! ! .u *r>- . t. ... • • ‘'•Ter far queflo fottrarai li due. 18, chcvalfcto il cento le mandola a tontadi de due. r6, che ftimo poflc a baratto, reflaranno due. %, onde dirai per regola del f,fe 8 differenza venne da 18, che vaifero a contadi , da thè venir anno fol. 1 2 , multiplica, eS* parti , & ne venir anno fol.z 7, dr tanti ful.valfe ii bragc della tela a contadi, bora aggiongi li fol. 12, che fumo pofle de più a baratto, faranno fol. 39, & tanto fù polio il brago della tela, a baratto, & non dubitar, die la prima cofa fta ducati , & la ter gafiafol.perche in queflo cafo non fi ricerca , che fiano dvna medefina natura quanto al nome, ma bafla che fia in quanto al a ugmento di quel- lo, che fi mette a baratto, [opra di quello, che vale a contadi, &perpra varia dirai fe due. 1 8 mi danno due. 26 a baratto, che mi daranno fol.z-fr multiplica, & parti lafciandoli nel fuo genere per la detta ragione troue rai che ne venirannofoL%9ifptfiino ? 2 de piu', come fù propoflo,& co fi offeruarai in fintili . *i-W :.V'teuc. 1 y ìfe ai*--’- ;WVj>Vf -V5.J I ,i,i 'TT\ 0/ barattano C vao Ita lana,? altro ha panno, il braccio del panno va U le a contadi lire 6, & a baratto fi mette L.j,il 1 00, della lana a co tadi vale L .40, & a baratto fi mette L. 50. dimando qual fu meglior ba 'fatto, tr quanto per 100 . . 11 1, j M Ter fdr queflo, & firn ili, vedi prima quanto daueua valer la lana il 'ìoo aftar in baratto eguale conquello,chc baueua il panno . dicendo per la confucta regola , fe 6 a contadi mi danno 7 a baratto, che mi daranno 40, multiplica , & parti ne venir anno lire 4 6 ‘ , tanto fi donerà met ferii 1 00 della lana a baratto eguale, ma perche fernette lire 50 fivien a guadagnar lire 3 -p, onde volendo faper quanto fi guadagna per 1 qq , dirai fe lire 46 -p mi danno di guadagno lire 3 4~ > che mi daranno lire l oo,mulriptica,& parti ne vaniranno lire 7 per cento di guadagno , che fono tire y, fotti ì, detti 1 o -J-* & tanto fi guadagna per 1 00, per che le lire 44 -j- fonoil tapftale,Cr non le lire qo, fi pojfono chiamar giufift *iaaaa c-i- cavi t v Querttofcfto. -OHj’v'I Si 1 DeH’Arìthmetica capitale perche non fiatino di pari con lelire 7, che fi vende il braccio del panno a baratto, fiche auiierti/fie nel rifpondere : & volendo faper. quan- to perde pe r ioo,quello che haucua il panno, dirai fedelire 1 07 -%-fì per dono lire 7 -J-, che fi perderanno de lire ioo, I multiplica, & parti, troue rai,cbe fi perderanno lire 6, fallii 1 3 ,denari 4 per cento cofi opera in filmili. ■ • V ' ,.**r Quefitofettimo. DO i voleno barattar f vno ha cera , che vale il 100 ducati 15, & 4 ' baratro ne vuole due. 18 •A'dltro ha olio , qual vale a contadi due. • t o il migliaro,dimando quanto lo donerà metter a baratto, volendo gua bagnar in tal baratto a ragion de 1 o per 1 oo, prima vedi quanto fi do- nerà metter il 1000 del olio a baratto a voler tìar in capitale con quello ■della cera, cofi, [e due. 1 5,1»/ danno 1 8, che mi daranno 20 , multiplica , parli, tir ti daranno ducati 24 . poi dirai fe 100 mi danno 1 lo, che mi daranno 24, opera come difopra,cr ne veni ranno due. 26 & tan to 0 douerà metter il migharo del olio a baratto conguadagnode 10 per i OO* la prona farai barattando vna parte con tanta altra robba dell' al < tra trinerai il guadagno a ragion de 1 o, per 100, ma perche hormai tale prona è chiara, a te ìaficiò la fatica di far tale prona , 1 v • » v Quelito ottauo*. * • • . . . : «!/» iimv 0 DOivoleno^barattar t vno ha cera che vale a dinari contadi ducati 1 1 il centenaro,& a ttrattone vuole due. 1 2, & vuole li in di nari contadi: l'altro ha galla t che vale a dinari contadi due. 8 il ccntcna- ro, dimando quanto fido urrà metter a baratto , Cr ptr lire 970 di cera,, quanta galla, et quanti dinari hauerà . > . > ». Ter far qucfìopigliali -j- deduc. 12 , che mette la cera a bar atto, fa- ranno %,fot trali dalli 12, e/ dalli 11 rtjlaranno 3, poi dirai fe 3 ,fi tu etteno a baratto 4, che fi metteranno ducati 8, che vate la galla il ma- gliaro a contadi, multiplica , & parti , ne.veniranno due . 10 •£-, & taa lofi donerà metter il 100 della galla a baratto, bora vedi quanto vale- rlo Z.970 de cera a due.} 2 il ccntenaro,che valfe a baratto, dicendo fieli re joo mi danno due li, che mi daranno £.970, multiplica, & parti , et ti daranno ducjv.6 -de quali nefiottrarai li -i- refi arano due. 3 8,-f- & con queflivedi quante lire de galla hauerai a ragione de duc.io-j-il cent maro, dicendo fe due. 1 p mi danno lire ioo, che mi daranno due. 48 , multiplica, & parti fecondo la folita regola, Cr ne veni ranno li- re 36 fi di gaUa,et in din. hauerà ducati 77 -$-> che fono li -j- delli du cali L ;;LibfO 3 7o cari il 6 -j- che vaifero le lire 970 di cere a baratto . La prona fa- rai fummando inficme li due. 77.’^ fon li iffe-t 3 -J} (.Ite furnoil preda delle lire ? 6 3 £ di galla, a ragion de due. io -t- il tentenaro a baratto , et faranno due. u<S-p-, et tanto valfs* o ancora le £,» 970 di cera a rogiti de due, 1 1 il c entenaro a baratto, fi può prosare ancora franando cfk. fla meptaU le parti a dinari contadi, ovèt ' vlunoask Quelito nono. ' » r DOi hanno barattado formaiotet gjiccaro, il formalo v alena a conta- di lire 7 il prfe.ct a baratto fù pofio lire 6, et volfc Lt ^ in contadi , et il lutea™ fi* pofio a baratto L. i 6 4« più il centcnaro di quello che va lena a contadi,» fù il baratto eguale, ft dimanda che valfe il 1 00 del da to x<*ce aro a contadi . Ter far quefto piglia la -J- de lire 8, fanno lire 4,<bc'l mette il fornaio a baratro, filtralo de lire 8 rejlmo lire 4, et fottralo ancora de lire 7 re*, jlano lire ? , et perche lire 4, fono lire vna,depiù de lire i,pcr tanto dii rai per regola del 3 , fc lire vna de più vengono da lire 4, da che v entra- no lire 1 6, niultiplica,et parti, et veniranno da lire <S4.fi tanto vilfe il detto guccaro a baratto il cento,» a contadi valfe lire 48.fi co/i il ba- ratto fit eguale . v ' | Et per pron-ir detto baratto piglia la de lire 8 , che fù po/lo il pc~ fo del formato a bar atto, farà lire +, feltrali de lire 8 rc/ìauo lite 4 , fel- trati ancora de lire 7,fbevalfc a contadi, refi jvo lire ifoi.diraife Ire 3 a contadi mi danno lire 4 abttraUo , che mi daranno lire.^,tnuhiplicaò. tt partuidaxanmiire ó^.qaah fimo lire lòde più che lire 4S, che valfy a contadi, comefù proflotto , ei cvftflronetaifefimfe. \. \ :y.\ • * DOi veleno barattar tvno ha fermento , che vale a contadi lire 18, la fefnà, et a baratti fu pofio firn >4. el-vuoleil -f- in ccntadHt $1 tro ha rìdo, che voi fe il carro t contadi aimfuA 1 di Bergamo lire 1 et a barattò fu pofio fiorini i a, Ctfk il battuto eguale, dimando , che valfe il fiorino a lira . Far arco fi pigliati -j- delire 14, che fono lire 8 » feltrali da lire 244 et poi da lire 1 8 reflano lire 1 6,« lire 10, poi dirai per regola delj , fe lire 10, fi metreno a baratto lire \6,chcfi metteranno lire 27 ,che vai - fi il carro del vino a cotadi, moltiplica,# parti, et vaierà lire 43/0^4, den.o, adontiteli 1 2 fiorini vai fero lire 43 ,fof. 4 , parti , adunque lire Ììifel-W ri ne vmranh L.},feùi,vt tato valfe Morino, * •> • A* aaa a Que- \ o *: t .1 DeirArithmetica • i Quefito vndecimo. ‘I DO/ roteilo barattar l'vno ha pee^eiZ de fuftagno,che vale la pe^ ■ga lire 32, & a baratto ne volfelire 36, & vuole ancora lire 60 de contadi: l'altro ha gottoneycbe vale a contadi lire 48 il cento , fi di- manda quanto fi dette metter a baratto^& per le dette peT^^e 1 8, quante lire dedottone batterà, ohra te dette lire 60, che volfe de contadi . Ter far queflo vedi prima , quanto valcno pegje 1 8 a contadi, cioè a lire 31 la pegja, & poi quanto valcno a baratto, cioè a lire 36,lape^ •ga,& truuerai, che vaieranno a contadi lire 576, & a baratto vateran no lire 648, CT perche vuole lire 60 in contadi fottrarai L.6o,deC vna <&• l'altra valuta , & reflaranno lire 5 1 6 a contadi, & lire j 88 a barat to, bora per trottar quanto fi deue metter il gottone a baratto il centena- ro, dirai fe de lire 5 \6 fi fanno lire 5 88 a baratto, che fi farà de lire 4 8> multiplica, et par ti fecondo la regola, trotter ai che fi faranno lire 54 * J-, tanto fi donerà metter il centenaro del gattono a baratto, acciò fia egua- le, & per trouar quante lire de gottone hauerà per le dette pexge 18 filtra lire 60 , che vuole in contadi dalle lire 648 , che vaifero lepejj %e 1 8 a baratto, & rellaranno lire 588, poi dirai per regola del 3 , fe lire 5 4 |J- mi danno lire 1 00 de gottone, che mi daranno lire 588, mul- tipli ca, hr parti ti daranno lire j 073 , dr tante lire di gottone hauerà olirà le dette lire 6Ó de contadi. & volendo prouar detto baratto, vedi che le pegje 18 de fufiagno a cont idi valeno lire 5 76, & perche riceue lire 1075 de gottone, chea ragio de lire 48 il centenaro valfe lire 5 i6y & poi lire 60 de contadi, che fanno lire y? 6, quanto fu la valuta de feg^ede fufiagno feguit a, che' l baratto è giujìoy »u . D Oh altri v aleno barattar, l'vno ha <gafarano,che vale a contadi du- cati 3%,& a baratto ne vuole due. 36 il centenaro, & vuol dar la jf in dinari contadi: l'altro ha piombo , che vale a contadi due. 16 il mi- gliato,fi dimanda quanto lo donerà metter a baratto, acciò flia eguale co l'altro , & per lire 8340 depiombo quante lire di gafarano, cSr quan- ti due. de contadi hauerà . Ter far queflo , V" filmili baratti,quado colui, che vuol metter la fua tobba a baratto, vuole ancor dar vna parte de dinari , ouer parti , bifo - gna aggionger quella tal parte fopra quel pretto che lavale a baratto, C ancora fopra quello che lavale a contadini cerne quella tale parte, fi Quefito duodecimo. filtrami. I Libro Sdtón ?7i fottrdttada Tvno,ett altro pretio,quado thè quello che “polena barattar •polena tal parte in dinari contadi daW altro, & per trouar tal parte gene Talmente ferita quefla regola, cioè fottra il nominatore di quella parte dal fao denominatore , cioè quello che è [òpra la yirgola di tale rotto da quello che è fotto la detta yirgola , & quello che refla metti fatto vn al- tra yirgola, gir fopraéffa virgola metti il mede fmo nominatore che ca- i lafti da quella parte, perche adunque vuol dare la £ fottra i fopra la vir gola del 2,cheè fotto reflarà i , qual metti fotto vn' altra virgola cofi t* & fopra metterai pur quello primo i ,pcr nominatore, chetrouafii nel detto rotto farà coft -{-che vuol dire, che pigli altro tanto di quello che valfe a baratto, gir perche ne volfe a baratto del gaffe ano due. 3 6 , ag- giongi altri tanti fanno due. 7» , & enfili aggiongerai ancora olii due. 3 a, che valfe a contadi, faranno 6 8 .poi per trouar quanto fi deue met- ter il miglioro del piombo a baratto dirai per regola del 3 ,fc de 68 ,ne faccio 71 a baratto, che farò de 1 6 ,multiplica , & parti fine farà due . & tanto fi donerà metter il migliaro del piombo a baratto , ac- ciò fia eguale il baratto, poi per faper per lire 8340 di piombo quante lire di goffrano , gir quanti ducati contadi hauerà, vedi prima quanto valeno le dette lire 8340 a due. i6{\- per migliaro,& operando fecon- do la regola folita trouerai cht vaieranno due. 141 dalli quali piglia- nela -J- faranno due. 70^* , gir tanti n'hautrà in denari contadi, poi per faper quante lire di goffrano batterà per [ altra -5- dirai per regola de! 3 ,fe due. 36 mi danno lire 100 di goffrano , che mi daranno due. 70 , multipla a, & parti, & ne venir anno lire 1 96 & tante lire di goffrano batterà per le lire 8340 de piombo , & in contadi hauerà due. 70 , gir cofi batterai rijpojlo al quefito , & volendola prouare vedi quanto valeno lire 8340 di piombo a due. lòde contadi il migliaro , gir trotterai, che vaieranno due. 133 JJ-, gir tanto douer anno valer le lire 196$- de goffrano a due. 3 a il etntenaro con li duc.jo *£} appreffo,per tanto vedi quanto valeno lire 196 fi- de goffrano a due. 32 il centena- to,& operando trouerai che vaieranno due. 6 a , quali gionti con li ducati 70 che dete in dinari contadi , faranno ducati 133 '„S cioè tanto quanto vaifero le lire 8340 depiombo aduc. 16 il migliaro , co- me valfe a contadi , quantunque fi poteua prova ancora per conuer- fione , Quefito dea mo terzo. DOi altri voleno barattar,!' vno ha mollici, che a contadi valeno du- cati 1 5 il centenaro, & a baratto ne vuole ducati 1 8 il cento, &■ vuoi DeHIMthtrietìca ■puoi dar li -j-de contadi, & il rrflo tt tfflkit t altro ha genge ri , che v aleno a contadi groffi i a la lira, fi dimanda quanto fi debbono metter la lira a baratto . . ,\ • jn V c Farai come nella precedente, cioifottrade -{r quello * cbel / oprala virgola del ftchtèfotto,tfflarà -r> qpal molte* ai fot io, vna virgola,# [opra gli metterai il medefmo 2,tbtiritna{lifppra il rqtioddla parte, che puoi dar in dinari co Atadhir fiat à eofi -fJ» doè che fi-dtbba aggiùnger, $ doppio di quello, che fi mette a baratto, adoaiqut Jvpra li due. 1 8, aggion gi il doppio, che fono due. $ 6 faranno due. J q,& eofi fopra li duc.i$,ag- giùngerai li due. 3 6 faranno due. 5 1 ,poi diraije de due, 5 1 , ne faccio du-, cdù ^,cht farò io degrcffi 12, multiplica groflì 1 1 per due, sfaranno 6^i, quali farti per 5 1 ,ne venir anno groffi 1 2 rr> & tanto Jidouerau ito metter a baratto, & f appi , che none nece/fano afar li due. in grqffi, perche tal proportene è da due. a ducati, qn.tl è da groffi a groffi La prona farai per la conucrfa dicendo, dot poleno barattar i’ vno ha Zenzeri, cbevaleno a contadi groffi ix la lira , & a baratto ne vuole groffi 1 2 {y > & vuole li -J- in contadi : l’altro hamafiitii che a contadi palino ducati 1 y il ccntenaro , dimando quanto fi doneranno nn iter, abaratto. (i 1 1 01 " ■>'. u ' wyz-c • Viglia li-— de graffi 1 1 faranno 8 quali fot tr or ai delli groffi, 1 2 } —refiar anno griffi 4 rj» fottral* ancora ddligrt jfi i z,che vaifero 4 contadi refiar anno gioffij j-f-, bora per faper quanto f/.dcuaio metter il ccntenaro de mafiict a baratto, dirai fe groffi ÌW a contadi , fernette- no a baratto grò f/L^.,-*-, che fi metteranno ducati 1 5, multiplica , et par ti, come fi trouano,ne venitanno due. iH, & tanto fi doneranno metter^ a baratto, come nella fitte conuertentc fù fuppofio, & co/i farai, ft prone- r ai le filmili, ■ • ' ’ V i n « ' -b\ ?>({ t Quelito decimoquarto. ■•••V. . j” Ci. I 1 J-j b. 'JKMI ti -1!<W -«4> tfr< DOi voleno barattar Tvno ha ore. 1 2 d’argento, chea dinari vale li re 5 I one. & a baratto ne vuole Hre f , & vuoi dar ancora lire 20 de contadi-f altro ha oro filado, che a contadi pale lire 16 I one, fi di- manda quanto fi deue metter a baratto, & per le dette onc. 1 2 d'argento . et lirezo,de contadi, quanto oro filado hauerò t Ver far quello vedi /quanto -paiono la 4dte onc^fd argento a lire f, che vale a contadi , & ancor a lire 7 , che vale a baratto , & troutrai, chea contadi valeno lire 60 , & a baratto paleno lire 84» bora aggion gi a f vno, CT a l'altro predo le lire 2 o, che gli vuol dar de fot adì, f.vfan no lire 80, & 104 , bota dirai fe 80 a contadi fi mettono a barati otti. re ! i ' libre? Setta. $72 'ri TC4,c he fi metteranno lire r 6, multiplica, & furti, & troverai, che fi doneranno metter lire ao -f-, & per faper quante onc. d'oro filado ha vera, dir ai fe lire io m da onc. mia d’oro filado a baratto , che mi da ranno lire \o*,multiphca,& farti troverai, che ri baveri onc. sfanne prova, ’0- venata . . ; ; Cioè vedi che le onc. i a f argento con le lire 20 , che vuol dar a con tadi fanno lire 104 ,et fimilmente le onc. 5 d oro filado a lire 2.0-*- che va le a baratto l'onc.valeno lire 104. onde il baratto fari eguale . * VjAtfcfV . iuyi j r - -|iJ T : * Quefito decimoquimo.’ «I iìfylrtMl V5 «.•»:»» -M1v ||(0 .  im ..V. ~ D< Oi volevo barattar , tvno ha lana , che vale a contadi ducati 20 il centenaro, <& abaratto fi contò ducati 30;/' altro habroccado,che Vale la canna due. 5, & a baratto fi contò ducati 6, et hebbe il -J- in con tadi, fi dimanda , chi hebbe meglior conditone nel baratto , & quanto per cento . . < Ter foluer quella, & fimili quefiioni fotti ,rai de 6,chefono a, et 'tettar anno 4, & quefiot fottrarai ancora de due, 5 reftaranno 3 , poi di r ai, fe qmì danno 3 a contadi, che mi daranno duc.3o,multiplica,& par ti ti daranno due. a a -f-, & perche non valfe fe non due. io a contadi , adonque fi guadagna due. 2 -f- > & queftiduc.i fono guadagnati non folamente con li duc.t o ,ma ancora con li due. 1 5 , che gli dete de contadi per ogni loo, quando reflorno 30, che fanno 35, onde diremo fe 35 gua- dagnano due. 2 J che guadagnar anno duc.i 00» multiplica, & parti ne Venir anno duc.j et tanto guadagna fra dinari, & lana . Fri altro fimile mette Frate Luca, ma lo conclude diuer fornente _ Quelito dedmofcfto , & decimoterzo di Fra- te Lùca , & del Tartagliali 1 9 , di- uerfa mente conci ufo. DOi barattano t vno ha lana,& l altro ha panno, la canna del panno a contadi vale linS,&\a baratto fi contò lire p, & vuole il -*-/» dinari , il cento delta lana a contadi vale lire 30, & a baratto fi contò tato, che quello dal panno Ji trovò guadagnar j per 100, dimando quan 1 0 fi me J] e à baratto . Tetche dice, che quello che ha il panno, fi trono hauer guadagnato a. ragion CeirArithmetfca v 'ragio de 5 f\oo,aionqut vedi quàto guadagnano Urei a ragion de ^ f cento , dicendofede 100 fette fanno losche fi faranno de lire 8, multi - glica,ct parti, et fe ne faranno 8 ±-, poi per fap'er quanto fideucmctter la land, cattane il -f- che vuole in contadi de lire 9 , che fono 3 refiano 6, et il m<;defmo 3 de lire 8 j- reflaranno 5 -j-, bora dirai fe 5 -f- torna- no lire 6, che tornar anno tirerò, ni ult .pitta, et parti, èt tornar anno li « re 33 et tanto douetàeffer mrjfa la lana il centenaro a baratto. Et per prouarlo poni chevoleffe barattarli centenara di lana con detta conditione, che a lire 33 -{- il centenaro vaierà lire 400 ,hor vedi quante erano innanzi tfbf ne f^je. detratto il 7- , ft trouerai che erano lire 600, et tante lire hebbe quello che fiautua ilpanno da quello che ha ueua la lana : hor vedi a lire 9 la canna quante canne gli darà per U dette tire 6 00, partendo lire 600 pdr 9 ne veniranno canne €6 ratto per lire 600 tra dinari,et lana.bvr vedi quanto valef.vna,kt l ai tra pafteà contadi, cioè prima trotta quanto valfeil pano, che fono cane 66 — che a lire 8 la canna valeno lire 533 -f-, & li 1 \centqnara di la na vaifero lire 360 a ragion delirerò il centenaro,che valfe a contadi, quali gionti con le lire 100, che hebbe in dinar ifecero lire Jtfo , & pur non gli dete in panno, fe non per il valor de lire 53 3 -j-, per ilebe quel- lo del panno fece guadagno . Et per faper quanto guadagnò per centenaro fottra le lire 5 3 3 -f- del le lire $6o reflaranno lire 16 poi dirai fe lire 5 3 3 -{- guadagnano lire a 6 -j-, che guadagnar anno lire 1 oo, multiplua , & parti trouerai che guadagnano lire 5 ^cr cento, come fu pi opoflo . iv» .£t toft'fe fufl'c propoflo, che quello del panno perdeffe 5 per cento ba~ neretti detto fe 100 reflano 93 , che reflaranno 8 , fcruando poi l'aùrc fue condii ioni : Q^iefì todcciniofcttimo, porto da Frate Luca DOi altri barattano itine, & panno , la canna del panno vale a con- tadi lire 8, & a baratto fu pofla lire 9, & vuol -'j- in dinar i:il cen to della lana a contadi vale lire 30 ,&a baratto fì contò tanto , che quel lo della Una perdete io per 100, fi dimanda quanto fù poflo il centenaro iella lana a baratto . t>ir ai fe lire ioo,fi fà 90, ouerfede 10 fi fa 9, & quello del panno de ogni 9 fa io, adonque dirai, fe di 9 fifa io, che fi farà di 8 , moltiplica, & parti, trouerai, che fi farà 8 piglia il -j- di 9 farà $,che vuole in contadi, & fot ir alo di effo 9,& di ejfo 8 -j- reflaranno 6 1& 5 hor f*r v. Libro Scfto .7 373 per faper quanto fu pofto il cento della lana a baratto , dirai, fe q -5“ tor nano 6, che tornar anno 30, moltiplica, & parti trbutrai, che tornaran no }o\* , & tanto fu poflo il centcnaro della lana a baratto . -7 Etpcrprouarloponichefi barattale tcntcnara di lana, che a tire so al cento Valerio lire J 6 io, & perche quefli rtflorno li —, adun- que aggiùngendoli la £ de lire IÓ20, che fono lire 8 1 o faranno L.7430, quali partendoli per g, per faper quante canne donerò batterne, ne veni- ranno canne ijo, che a lire 8 la canna de contadi vaieranno lire 1 1 6o, & poi vedi quanto v aleno li 53 centenara di lana a lire 30 il centau- ro de contadi, & trotterai che valeno lire 1590, olii quali aggiongendo Urei 1 o in contadi , faranno poi lire 2400 de contadi in cambio delire ZlóOi chericette,onde dirai, fe lire 2400, mi reftano lire 1 ido, chemi rcjluranno lire 100, opera, dr trouerai,che reflaranno lire 9 o,onde ve- ne a perder a ragion de t o, per 100 , & l'altro vcune a guadagnar tan- t' altro per 100, quanto quefio perdi, come fu propoflo . Quelito decimoottauo, 6c di Frate Luca de- cimofettimo altramente condufo . . * DOi barattano land, & panno, la canna del panno vale a contadi line 8, &a bar afio fi contò lire 9, il vuole il -j- in contadi il centenara della lana a. bar atto.fi contò tire 36, & quello del panno fi trouò hauer guadagnato io per 100 in tal baratto , fi dimanda , chevalfe il cento della lana a contadi . . . . -v ' , ■ ' Ter far quefio, vedi quato meritano le lire 8 a ragion de 1 o per ioo> & trouerai che tornano lire 8 -~-,cauane il -J- de 9, che vuole in conta- di,& fimilmente de 8 -J- reflaràl'vno lire 6, et l'altro lire 5 & per faper quanto valcuala lana a contadi , dirai fe lire 6 erano lire 5 -f- » quante erano lire 3 6 , muli ipi tea , & parti, trouerai, che erano lire 34 . & tanto valfe il 100 de la lana a contadi . 1 Et volendolo prouare fupponi , che vogliano barattar 5 centenara di lana, & trouerai a modo dato difopra , che quello , che ha il panno , da per lire 140, & ne riccue per 264 , onde vien a guadagnar a ragion de io per cento, come fi può prouare . V*iV| -i- s >. , fe2 4\a\ 1*4]* o jo ‘il 5 1 5 j U.T vù\aV\ru 1 iÌT £ ."-H : r.\-J4 i‘i01 “tfjU \\ vinv\ sv.oftaftd * IH *- * 1310 . .&V9 \W 5 i , « 'um ti 11 v\,o. nràV* .( 77; i\ lì -uv. a Bbbbb Qne- DelI’Afithmctica Quefito dccimonono. Oì barattano panno, & lana , la canna del panno a contadi vale li- re 7, & vuoiti -J-/« dinariiilcentenaro della lana vaie a comodi lire 30 ,& a baratto fi contò lire 3 6, & lineilo del panno fi trono a per- der a ragion de 1 o per cento , fi dimanda quanto fi conto la canna del panno a baratto . Ter foluer qu efio, dirai, fe lire 100 tornano lire 90 , che tornar anno lire 7, opera trotterai, che tornar anno lire 6 ,4 , poi vedi quante erano li re 36 innanzi che ne fuffe detratto il -f- il che fi fa aggiùngendo la di 3 6, che è 1 8 (òpra 36 farà 5 H medtfmo 1 8 aggiùngi ancora [opro il 30 farà 48, poi dirai fede 48 ,fi fanno 54 , che Ji faranno de 6 , mult'tpl cq, &■ parti , & ne verranno 7 & tanto fi douerà metter la canna del panno a baratto, douendo perder quello che haueua il panno io per cento. Et volendola prouare poni, che fi bar a t taffero 80 canne di panno, &• trotterai, che perderà io per cento, & quello della lana guadagnari io per cento . Quefiro vigefimo, &di Frate Luca decimo- nono diuerfàmente conclufo. 0 i barattano lana, & panno, la canna del panno a contadi vale lire 8 , & a baratto fi contò fiorini 2 -\r,& vuole il in dinari con- tadi , il 1 00 della lana a contadi vale lire 20, CT a baratto fi contò lire con guadagno de 1 oper cento , fi dimanda quante lire valfe il fiorino. Ter foluer quefio,vcdi che fe quello della lana guadagna io per 100» ejjo de io farà 11. & quello del panno de 1 1 farà io,& però diraiffe de 11 fa io, che farà lo de lire 8, che valfe la canna del panno a contadi , opera, trouerai che fi farà 7 tf, poi aggiungi la parte, che da in conta- di [opra li fuoi preti), cioè aggiùngi la de 23, che fono 1*4- {opra *f fo 15 farà 37 4- per la ragion [opra detta , & quella ifleffa poni [opra *0 farà 3 1 4-» poi dirai, fe 31 -—-tornano 37 4 -, eh e tornar anno 74t» opera, & torneranno lire 8 fa , & tante lire fi douerà metter la canna del panno a baratto: et perche fi dice, che fi contò a baratto fiorini 2 4“ adonque fiorini t vaifero lire i J|j , & per trouar quante lire valfe il fio rino, parti lire 8 {*, Per 2 ~ì~n<: venir à lire 3 tj{ , & tante lire vai fe il fior ino. Et volendo far la prouaper febiuar rotti, poni che barattaffe canne Hi» Libro Setto, i $74 I4J, trotterai, che h alierà ) i cent entra de lana, & lire 400 in contadi, ebe a ragion de contadi faranno in funivia lire 1040, & le dete canne 14} a ragion de contadi vaieranno lire 1144» & però quello de la lana delire 1040 ne vien in lire 1 144, onde vicn a guadagnar io per toc», fecondo la propofia . Et acciò che meglio intendi quefla prona, multi più a le canne 147 per lire 8 che fumo filmati a bar atto, far anno lire i 2Qo,de quali pigliar ned -J- ne venir anno lire 400, che vuole in dinari comodi, & del refio, che fono lire 800 gli darà tanti centenara de lana a ragion de lire 25 il cent entro, che cofi fi troua , dicendo fe lire 15 mi danno l centenara , che mi daranno lire 800, & trouerai, che hauerà 3 2 centenara di lana per le dette lire 8oo,er vuole ancor olire 400 apprejfo in dinari , adon- que vedi quanto y aleno IL f 1 centenara di lana a ragion delire 20 il centenaro a contadi , & trouerai , che valeno lire 640 , & con le lire 40Q,cbc dà a quello del panno fanno lire 1040, & Intricate canne 14 3 a ragion de lire S la canna de contadi, che valeno lire I I 44. & volendo trovar quanto guadagnaper cento , dir ai, fede lire io 4.0, ne faccio lire 1 144, chefarò de 100, multiplica, & parti trouerai , che ne farai lire l IQ, et tanto guadagnò per cento quello della lana con quello del panno fi come fu propollo, et cofi farà effoflo il quefito ad vnguem . Quefito vigefimoprimo. • DO; votene barattar^ vmha cuccavo, che vale a contadi dnc.ta il centenaro, et a baratto fu poi h ducati 3 ot l'altro ha maffiti , che 4 contadi vaiano ducati 1 j il centenaro,et a buratto fumo polli ducati 1 y, fi dmanda,chi de quefii dai fece miglior baratto, et volendo, che tal ha* ratto fia eguale, che parte in dinari contadi donerà haucr colui , che pe g gio barattò . Terfolucr quefto quefito, vedi pr'tma,chi fece meglior baratto, dicen dofe due . 12, che vaifero li mafhcia contadi, mi danno 1 j a baratto, che mi daranno due. 20, che valftil 100 del stuccata a contadi, multiplica , et parti trouerai , che vaierà ducati 25 , et perche fu muffo ducati 3 o , dirai, ebe meglio barattò quello dal guccaro , che de vinti fece tren- ta, che quello delti maflui , che de 1 2 fece 1 5 , & per faper qual parte donerà haucr in contadi quello che ha li m ucida quello , che ha il 'gite caro, acciò che il baratto fia eguale , multiplica li duc.n, che v alfe il centenaro delti maflici a contadi fia li due. ? o , che valfe il gite- caro a baratto farà }$o,et qutfio ferua . poi multiplica li due. 20 , chq valft il guccaro a baratto fia li due. 1 5 , che vaifero L maflici a baratti faranno }QQ, bora fotuarai quegli dot produttt fatti da due multipla a- • Bbbbb 2 noni DeirAnthmetica tionìin croce t vno da l’altro, cioè 300 da 360 reftaranò 60, et qurjlà Vé~ ftante partirai per la differenza de cimilo, che fù poflo il zjtccaro à con* tadià quello, che fu poflo à baratto, cioè de 20 alti 30, chefono io, tic •periranno duc.6,et tanti due. donerà hauer quello dalli maflki per agri •centenaro de maflici, da quello dal zjtccaro,pcr far il baratto eguale , èt per faper, che parte debba tirar in deu. contadi, redi che parte fono due. 6 de due. 1 3 ,che vaifero li maflici il centenaro à bar atto, et traucrri.che fono li -f-, adonque dirai , che quello dalli maflici dotterà batter li -j- in den.conta di,ct il rcflo in zjtccaro volendo fiat- eguale con lri,comeper 0- fcratione fi può vedere . 15 1 20 1 *5 ehiffa — fanno -p 20 $0 X! 360 300 30 j5o 12 15 1 60 12(500 20 300 due. 2 5 — i.y;- ivi t '-t*U 10 f 60 60 t . ai V* tnù\ ^ »ri * “ t I 0.6, per ogni ce tettar 0 de maflici^ Et volendo prouare il detto baratto con quel più breue modo , che fi può, piglia U~.de 15,1 che fumò pofli li maflici a baratto, et ne venir ano 6, quali fottra dalli detti 1 q,ct dalli 11 ,che valfcro a contadi, et reflara- tto 6, et 9. poi dirai ,fe 6 à contadi mi danno 9 à baratto detratta Ut par te de l vno, et l'altro , che vuole à denari contadi, che mi daranno due. ZO,cbe valfe il centenaro del zjtccaro à cotadi,che fù quello, che meglio barattò, moltiplica, et parti ne venir anno due. }o à baratto, fi come pri. ma fùpropoflo,et daqueflo folo potrai formar molti altri quefiti ^ I 2 6 * 5 6 2 O 9 6 | 1 8 o ì O II I 3 0 6 Quefìto vigefimofecondo: DOi voleno barattar l' vno ha pefi 36 de lino, che vale à contadi li- re 9 el pefo, Patirò ha panno , ebe valeà contadi lire 8 el braccio, & è barano ne vale lire 9, <? vuole ancora de contadi lire 30. Diman- do% ' Libro Sedo* 3 75 lo quanto fi donerà metter el pefo del litio à baratto, acciò che'l baratto fia eguale^ t "Per far quello, prima vedi quanto -paletta li peft 3 6 de lino à lire 9 e/ pefo de contadi, & -paleranno lire 324, & perche quello del panno vuo- le lire 10 de contadi, adonque oltra le dette lire j 24, che vale il lino, gli darà anchora lire jo, quali aggiont calle 3*4 faranno lire 3 54. ti per faper quanto fi douerà metter à baratto el detto lino , dirai, fe lire g fi mette lire gel braccio del panno, che fi metteranno lire 354, che gli dà quello che ha il lino tra dinari contadi & lino, moltiplica ti par ti,, tro- verai, che fi doneranno metter lire 39$ Hora ne fottrarai le lire 30 de contadi, & rejlaranno lire 368 & tanto fi doneranno metter à ba- ratto li detti pefi 36 de lino . c T volendo faper quanto fi deue metter el pefo, parti le lire 368 -J- per li detti pefi 36, ne venir anno lire 1 o ti- tanio fi douerà metter ci pefo del Uno, volendo che'l baratto fia eguale, cioè lire io, fol.q, den.j, laproua farai per via delli precedenti. Qucfi to vigefì moterzo . DOi barattano, l'vno ha genieri, che à contadi valeno ducati 32 el cento, ti à baratto vuole ducati 40, & vuole anchora el in di- nari contadi: l’altro ha cera, che à contadi vale ducati 1 5 el cento , ti" à baratto fu pofla ducati 20, ti ha anchora garofoli, che à contadi va- leno ducati 30 el cento, Dimando quanto fi deueno metter à baratto vo- lendogli dar tanta cera quanto garofoli à pefo . Ter far quello, prima cuna la parte, che vuole in denari, cioè il-y- de 40, che è 8 delvno, & l'altro, cioè de 31 ti- 40 reflaranno 24 ti 32, & quefto faina, poi aggiùngi infiemeli dot preti] della cera , & ga- rofoli che vaifero à contadi, cioè ducati 1 5, ti" ducati 30, faranno du- cati 45 , quali ftipponerai , che fiano vn centcnaro folo, che vaglia du- cati 45. Horadirai, fe *4 ritornano ?2, che tornaranno 45, multipli- ca & parti, ti ritorneranno ducati 60 li preti] dilli dot centenara , ca- ttane li ducati io, che fu poli a la cera à baratto, reflaranno ducati 40, ti tanto fi douerà metter el cento delli garofoli à baratto, volendo,che‘l barano fia eguale, & per prouare detto baratto fupponiamo che quello della ceragli deffe vno centcnaro di cera , ti vn ccntenaro di garofoli, li quali montano à baratto ducati 60, come di fupra appare, ti gli darà anchora ducati 15 de contadi , cioè de 60, che vicn ad cjfer il -j- de tutta la fomma tra dinari, e robba per vigor del patto, che faranno poi in tutto ducati 7 5 , per la qual fomma hauerà lire 187 5- de genieri à ragion de ducati 40 el centcnaro, come fumo pofli à baratto. Hora per veder fe'l baratto è eguale, vediamo fe quello, che da elafe uno à. ragion de. O eli* Arithrricelca de contadi rende eguale fomma , & per tanto vn centenaro di cera à cBty tadi vale ducati 1 5, & vn' altro centenaro de garofoli vale ducati 30, che fono ducati 45 , & li altri ducati 15 de contadi, che gli di de patto , fanno in fomma ducati 60. Et perche anchora le lire 187 -{-de tena- ri, che ricette à baratto à ragion de ducati 32 de contadi el centenaro valeno parimente ducati 60 è manifeflo il detto baratto effer flato egua- le, che è il propoflto . Qucfi to vigcfimoquarto , & da Frate Luca altramente conclufo. i*» * ; v , * V • Vi* ' " -v-i r.n>4 V àéCVn* U«;v li ' • -4 I » DOi barattano l'vno ha lana, Poltro ha peucrc & \enxero, el cento del peuere vale à contadi ducati 3 o, & lo mette a baratto ducati 35 el cento , il gengero vale à contadi ducati 27, & lo mcfl'e a baratto ducati 3 i,cr il cento della lana vale ducati io ,fi dimanda quanto fi do- nerà metter a baratto, volendo lui a pretto la — gcn^ero c r l' altra ~ pcuerc, & guadagnar ancora 10 per cento del Juo capitale . Ter far queflo baratto, pigliar ai la valuta de tanti •zenzeri a conta- di, che a baratto vagliano ducati 35, dicendo, fe ducati 3 3 a baratto fo- no ducati 27 a contadi, che faranno ducati 35 multipla a & parti, & faranno ducati & tanti ducati a contadi de valuta de genieri fi metteranno a baratto ducati 35. Horgiongi infame li ducati 30 che valecl cento del peuere a contadi, con li ducati zi-fj del gengero,chefi mette a baratto ducati 35, cioè tanto, quanto vale il pcticr a baratto,àr faranno ducati j8-f? a contadi, onde volendo guadagnar a ragion de IO per cento , bi fogna che de io fi faccia 1 1 tra capitale & guadagno, onde dirai fé ducati 5 8 -E a contadi, cioè pcuer & xen^eri mi danno ducati 70 a baratto , cioè 2 centenara di peuere, che mi daranno ducati ita contadi, che fono li ducati 1 o del centenaro della lana col fuo guadagno, moltiplica, tr parti trouerai,cbe ti daranno ducati I jùjtó" tanto fi do- nerà metter el centenaro della lana a baratto, volendo guadagnar a ra- gion de io per cento, che fu el propofito . Et volendo provar detto baratto con facilità, poni che barattale 1 a S> centenara di lana a ducati l ; el centenaro a baratto, che montar anno ducati 1 694. Hora vedi quanto peuere bavera a ducali 33 el centena- ro per la -j- dilli ducati 1694, ckc fono ducati 8 47, & troverai , che ai hauti ai centenara 24-$-. poi vedi per l'altra -±-tioè prr li detti ducati i 47 quanto gemmerò hauerà a ducati 3} el centenaro a baratto , et ne hauerà centenara 2 5 -J», adunque per centenara 1 >9 di lana lui bauer4 centenara 14-^ di. pévere, et centenara 24 di tinsero. Uoravedi ' quanto Libro Sefto.* 376 quanto baleno cent aura 129 di lana a contadi a ragion di ducati 1 o per cento , et vaieranno ducati 1290, ex per tanta valuta batterà da quello della lana a contadi. Hor vedi quanto ne riceue dal contr aliente, et pri- ma troverai, che centenara di pevere a ducati 30 e l centenaro va- levo ducati 716, et centenara » 5-J- di zenzero valeno ducati 693. che gionti infume con li ducati 726 fanno ducati 1419, onde quello della la- na dà per ducati 1 190 , et ne riceue per ducati 141 9, et volendo trovar quanto guadagna per cento, dirai fe ducati 1 290 ritornano ducati 1419, che tornar anno ducati 100 . multiplica,& parti, & torneranoduc. 1 io, fi che dir ai, che guadagnò a ragion de io per cento , fi come fu propoflo . Et fe l'hauejfe detto, che per l amontar della lana voleffe tanto peve- re a pefo, quanto gengero hauercHi meritato li ducati 1 o, che vale el centenaro della lana, a ragion de io per cento, et farebbe valuta duca- ti 1 1, poi hauerefli fummati li ducati 30, che valeel pevere a contadi con li ducati 27, che valeel cento di genieri a contadi, che fanno duca- ti 5 7, et poi hauerefli gionto inficmeli preti] del gengero, et del pcuere abaratto, cioè li ducati 35, et li ducati 33, che fanno ducati 68, et ba- verefli detto, fe ducati 57 a contadi tornano a baratto ducati 68, che tor- nar anno li ducati 1 1 , che vale el centenaro della lana,cioè con guadagno de 1 oper cento, moltiplicando et partendole venir ebbono ducati 13-Jj et tanto ballerebbe pollo il centenaro della lana a baratto. Et volendo anchora prouar quefto baratto, con quefla conditione, ve- di quanto valeno li 5 7 centenara di lana a ducati 1 3 -fa, che fi mette a baratto per centenaro, et trouerai,che vaieranno ducati 748, poi vedi per ducati 748 quanto pevere, et gengero hauerà, dicendo fe ducati 6 8 mi danno vn centenaro di pevere , et vn centenaro di genieri a baratto come trouajli di fopra,cioè vno centenaro per forte , quoti centenara per forte mi daranno ducati 748 ,che valfclalanaa baratto t onde mùltipli ca et parti, et troverai che ti daranno 1 1 centenara di pevere et tanti al- tri centenara di gengero, et perche li 57 centenara di lana a ducati 10 el cento valeno ducati 570, hor vedi quanto valeno centenara 1 1 di pe- vere a ducati 30 el centenaro , et vaieranno ducati 330, et li li cente- nara di gengero a ducati 27 el centenaro valeno ducati 297» quali gion- ti infime con li ducati 330, faranno ducati 617, et per tanto riceve^» quello flclla lana, et perche non dà fe non per 5 70, che tonto valfela la- na, è cofa tnaniftfla che guadagna , et per trovar quanto guadagna per tento, dirai fe ducati 5 70 tornano ducati 627, che tornar anno 100,1 nol- tiplica et parti, trovar ai, che tornar anno ducati 110, adonque guada- gnata ducati 10 per cento, fi come fu propoflo, et quefto medefima pro- pone il I ortaglia-* . * * E, DeirArithmeticiT Quefito vigcfimoquinto DOi voleno barattarci' vno ha vita tag^ga, oucr coppa d’argento, che pcfjonc.41, che vale a contadi lire 4 l'oncia, et a baratto ne vuole lire 5 ,et ha anchora un fil di perle 80, che a contadi valeno lire 5 l'vna, et a baratto ne vuole lire 6, et vuol dar anchora de contadi lire 14.0:? al- tro ha cera, che a contadi vale lire 40 il centcnaro, et macis chea conta- di vaiato lire 30 il centcnaro, et feda , che a. contadi vai : lire j 5 la lira» et (fucilo che ha la tagga 4' argento, et il ftl di perle vuole tanti ccntena- radi cera, che montino lire 100, et tatui cencenara de macis, che mon- eino lire 3 00, et del rcflante fin alla valuta delle robbc , che gli dd,vuole tanta feda, fi dimanda ejuanto donerà metter a baratto il centcnaro del- la cera, & il centcnaro de macis, Li lira della [eda,et (juanti centena- ra di cera, onero quanta cera s' batterà per le dette lire zoo , & quante lire de macis batterà per le dette lire j 00, & quante lire di feda gli da- rà per il rcflante de detta tagga d’argento, & fide perle , cr lire 140 de contadi . Ter folttcr quefto baratto, vedi prima quante lire valeno a contadi le vomc>45 d'argento , & le 80 perle , & la tagga vaierà lire 1 80, & le porle lire 4 00, quali giorni inficine fanno lire 5 80, alli quali aggiongi le lire 140 , che gli vuol dar de contadi, faranno J 10, & qucflo ferua, poi vedi queflc onc. 4 5 a lire 5, l'onc.che valeno a baratto, Or firn lime» te le perle 80 a lire 6 1 vna a baratto quanto valeno, & trouerai, che ta lefumma farà lire 70 J, alli quali aggiongi finalmente le lire j 40 , che gli vuol dar de contadi, faranno quifie tre quantità gionte infime lire 845. bora per trouar quanto fi donerà metter il loodcllaccraa barat- to, dir ai J t lire 730 de contadi tornano a baratto lire 84$, quante toma- ranno lè lire 40, che vale il i co della cera a contadi , niultiplica,et par ti, & tornar anno lire 46 & tanto fi donerà metter il 100 della ce- ra a baratto , i . • Et per Jxper quanto fi dette metter il 100 di macis a baratto finmlmen te, dir ai felice 720 mi danno lire 84* ,c he mi daranno lire $o,multipli- ta,& parti, & ti daranno lire 3 5 & tanto fi donerà metter il cen- ttnaro de macis a baratto , cif per fintile modo trouerai ancoraché la li fa delta feda che a contadi valfelire 1 5, fi donerà metter a baratto lire 2'9 , bora volendo fapcr quante lire di cera hauerà per lire 100 , di-, r nife lire 46 ‘J- mi t danno lire cento di cera, che mi Uarannolire 200 , rnultiplk4i&' pattici daranno lire 426 fa di cera, & tanta ne hauerà. per le dette lire zoo de dinari, fimilmtnte trouerai quante lire de ma- cis hauerà per lire 300, dicendo, fe lire 3 5 rj- , che valfc il centcnaro ,f dr1 Librò Sellò; 577 del matìs a baratto ni danno lire i oo de macia a pefo, quante mi dar un* no lire '306 adcnari,multiplica,& parti,& ti daranno lirei 52 & tante lire de macia batterà per le dette lire ìoo,& perche quello, che ha latae^jt <C argento, et filo di per le, & L.i^o,dàal'altro per ilvalorcde lite S 4^, & ha già riceuuto per lire 500, cioè lire 200 in tanta cera, & lire joo in tanto macia, adonque fottrar ai lire 500, de lire 8-15 ,<& re ftaranno lire 345, onde vederaiper quefle quante lire di [edabauerà,di cendo,fe lire 29 H* wi danno live una di feda a pefo, quante liremi daran no le lire 343, che fu il rcjlantc del argento, per’e, ir dinari, multiplica, tir parti, trouerai , che ne venir anno lire 11 \$de feda , ir tanta feda haucrai per le dette lire 3 45 ,acciò che il baratto fia eguale, ir coft ope- ra ire. Et volendo protur detto baratto,vcdi diligentemente , fetanto fi di quanto fi riceue, perche ejfendo baratto eguale,bifogna che le commuta- tioni fiano eguali, & cofi facilmente lo potrai prouare . Quelito vigelimolèfto. DOi voleno barattavamo ha tela, che ratea contadi lire 1 2 lape ^ ja,t altro ha mocaiati,chc valeno a contadi lire 48 la pe^a,ir a baratto ne vuole lire 54, ir ha argento che a contadi vale lire 4 6 la libra, & a baratto ne vuole lire <>o,& ha ancora rame lauorato , chea contadi vale lire 24 il pefo,& a baratto ne vuole lire zi, dimando vo- lendo colui, die ha la tela li -f- delfuo amonta ' in tanti mocaiati , ir li •j- in tanto argento, & il rejìantc cheè in tanto ramc,quanto fi doue rà metter la pc$%a della tela a baratto , acciò che il baratto fia eguale . Ter rifoluer quefio baratto , & altri filmili, fupponerai per più com - modità del operare,che valejfe 4 pczge di mocaiato , quali vedi quanto ■ valeno a contadi a lire 48 la pe%j^a,che vaieranno lire 192, ir a barat to trouerai che vaieranno lire 2 1 6 per le cofedete, cioè a lire 34 lapcg. “fa, ir perche li ~ che vuole in argento quello della tela fono la £ delti ir cofi il che vuole in rame èil± delli detti, che vuole in tan to mocaiado, ir però delle Lire 2 1 6, che fi contano in baratto le 4 pe%- %e di mocaiado ne pigliaremo la -J- che fono lire 1 08 > ir per valuta de lire 108 bifognarà dar tanto argento in compagnia dell" 4/w^e di tnoca, indo per quello che vale a baratto , & poi pigliaremo ancora il delle dete lire 2 1 6, che fono lire 54 ,& per tanti dinari bifognarà dar tanta rame in compagnia delle dete 4 pe%je di mocaiado, ir argento per quel io z he vale a baratto: fatto quefio bijogna veder la parte, che dà in ar- gento a baratto quanto vaierà a dinari contadi cofi arguendo ,fe lire 50 Ccccc aba - DeirArithmetica a "baratto fono lire 46 a contadi , cbe faranno lire 108, Optra , & trotti rai, cbe faranno lire 99 a contadi , e. qucflcponerai [otto le lire 19* cbe vaifero li quattro pr^jc di mocaiado a contadi, & le lire 1 08 che fi metteno a baratto le metterai fiotto alti 216, che fi metterlo ledette 4 pe^Sf di mocaiado a baratto, fimilmcnte farai per la parte del rame,che valfielirc 54 a baratto, dicendo fe lire 28 a baratto fono lire 14 a conta- di .che faranno lire 54, operando frollerai chefarduo lire 4 6 & que fili poncrai fiotto li altri doi amontari a contadi , cioè fiotto alle lire 19 a, & 99 i*-, poi fontina li 3 valori a contadi , & faranno lire 3 J 7 ly} fi- milmcnte/ammarai li tre valori, che fi metteno a baratto, cioè lire 21 6, & lire loS.itf" lire ^4. faranno lire 3 78 , bora per trouar quante lire fi debba metter la pe\ ^ ^a della tela a baratto diraifie lire 3 3 7 jjj a contadi fi metteno a baratto lire 178, che fi donerà metter lire 1 2 , che valfie la pe^a della tela a contadi, opera, & trotterai, che fi doueràmettcr lire 1 3 a baratto . Li vna filmile mette Frate Luca nel venie fimoquinlo baratto delfino trattato , ma diucrfiamentc la conclude . Et volendo pronar deto baratto , Capponerai perfichiuar rotti, che fi volcffc bai aitar 5 908 8 pe?je di tela, che a lire 13 la pc-^a,che valfe a baratto, vaieranno lire 793800 , CT perche di quefie ne vuole li in tanti mocaiadi, piglia li -y~ de lire 7938 oo, & faranno L. 45 3 600 Cr tanto montar armo li mocaiadi a ragion de 5 4 la pe^a a baratto > parti adunque le lire 4 33600 per lire 54, ne verranno pe^et^oo, & tanto farebbe il mocaiado, ebehauerà. & perche vuole ancora li -j- in tanto argento , piglia adonq; li -—delle dete lire 793800, & faranno lire 2 26800 in argento. & volendo faper quante lircapcfo faranno, par ti per le Ine 50 , che valfe la lira à baratto, & ne veniranno lire 45 36 apefo di argento, & volendo faper quatipefi de rame hauerà, parti ledet te lire 79 3 800 , per 7, perche vuote il -J- in tanto rame,ne veniranno li re 1 13400 , & quefie parti per lelire2Ì,chtvalfeilpefoa contadine venivano pefi qc$odirame,adoq-,f lepe'^e 59088 di tela hauerà pe^ 8400 di mocaiado , & lire 45 36 d’argento, &pefi 4050 di rame . Hor per fipcrfe tanto dà, quanto ricette, vedi quanto Vale ciaf cada- no parte a contadi , & prima vedi quanto valeno pczgt 59088 alire lì la peo^a a contadi, & vaieranno lire 70905 6, & quefto ferua, pai vedi quanto valeno peTjZj 8400 de mocaiado a lire 4 8 la peT^a a con- tadi, &■ vaieranno lire 403200 , & quantovaleno lire 4536 d argen- to a lire 4 6 la lira a contadi , & vaieranno lire 208656 , & finalmente vedi quanto valeno pefi 40 50 di rame a lire 24 ilpefo a contadi,& va lev anno lire 97200, & quefii tre preti/ f ammarai infime, & faranno lire 709056, & perche ancora tante lire vaifero le pe^e 59088 di te w r w Libro Sedo. : 378 la et contadi, concluderai, che tale baratto e giufio,&cofi farai, & prò» iterai le fimiti. famedi mocaiado 8400 aL. 48 67100 3 3 doo £.40; 1 00 108656 97700 L. 7 09 o 5 6 argenta L. 4 5 ? 6 4 6 17116 18144 L. *0 86 5 6 rame pefi 4050 *4 16106 8 1 00 972O01 pegge di tela 59088 1 1 118176 59088 fgwa/i £.709056 * 5 Quelito vigefimolcttimo, porto da Frate Lu- ca, Se riprefo dal Tartaglia al baratto 3 6 , Se da rvno,Se l’altro fattamente condulò. - DOi barattano l’vno haftrro , che vale il centenaro a contadi lire 6, et a baratto ne vuole lire -j,& fa termino me fi piatirò ha cura- rne che la pelle a contadi vale fol.S, & a baratto fi mette fol.9, fi dimaq da quanto termino donerà far quefio dal curarne a quello dal ferro, acciò chtfl baratto fia eguale . ‘ Prima bifogna faper qual di loro perde in quefio bar atto, però dirai fe 6 a contadi mi danno 7 a baratto, che mi daranno fol. 8 , multipltca , et parti,et ti daranno fol. 9 -J- la pelle : ma non ponendo/i , fe non fol 9, vie a perdere per ogni fol. 9 -p, quel -j-, che èden, ^per tanto quel dal cu rame perde -p perche %ti mette a baratto folamcnte fol. 9 , qutl che fi do ■uerebbe metter fol 4 -ps et ancor donerebbe hauti 4 me fi di temanolo mt l'altro, dovendo efjer il baratto eguale in tutto , aionque quella dal curarne dando la fuarobba a quel dal ferro per manco pretto donerebbe ricompenfar quefla perdita col dar manco termino di tempo a quel dal ferra, da pagarti il curarne, perche quddal ferro non vuol mutar il Juo Ccccc ter - t 4 DelTArithmetica termino de 4 me/i dante la fua propofla , et per faper quanti me/i il ttrZ mino fi donerà dar a quel dal ferro, dirai fé fol 9 -J- che fanno il barat- to eguale, mi danno 4 me/i di termino, che mi daranno fol. 9, mttltiplica, et parti, ne fruiranno mc/i 3 et al fine de tanti me fi, quel dal curarne douerà pagar il ferro, fatta . Et qucfle baratto prouarcmo in doi modi , et prima diremo fe lire 6 , diuentano 7 in quattro mefi,che diuentar anno fol. 8 in me/i 3 multi- plica ciafc una parte per li fuoi me/i, poi opera per la regola del j, ne ve- nir anno fol 9, come fu proporlo: adonque f auantaggio , che ha nel tem- po quel dal curarne è ricompcfato col difàtuntaggio che ha nel baratto con quella medefma conditione, che ha quel dal ferro, il quale determina il fuo auantaggio con li fuoi quattro mefi di termino, adonque deue deter minare ancora quel dal curarne fecondo li iurifconfulti per quella lege che dice . Quando vna dererminatio determinar plura decerminabi- lia,debct ea par iformircr determinare . Ter l’altro modo di pr aitarlo, poni, che barattaffe lire 1 00 di ferro » che valea baratto lire 7, hor vedi quante pelli a baratto gli venir anno a fol.9 C vna, dicendo, fe 9 mi da vna pelle che mi daranno fol. 1 40 , ope- ra trotterai che ne verranno pelle 1 5 hor vedi quanto va! fero a con- tadi a fol.S per pelle, et tr onerai che v aleno lire 6, /0/..4 rr non doue rebbono valer fe non lire 6, cioè quii co vale il centenaro del ferro a con tadi tallonane quel dal ferro dando per lire 6 » vien a riceuer da quel dal curarne fot. 4-$- de più del doti ere, fi che vien a guadagnare fol. 4 -%-ptr ogni lire 6 del fuo c apit ale ,onde quel dalle pelle dotterebbe dar tato man co termino a quel dal ferro ,cbe fi come quel del ferro per rifpctto delli 4 me fi che gli da de termino guadagna quelli fol. 4 -J- , co fi quello delle pel- le de curante dia tanto meno termino a (altro, chepoffi batter guadagna- to li detti fol. 4 ilchebreuementeftfarì , dicendo , fefol.q. fono guadagnati da Jol. 120 in quattro tnefi da quel dal ferro, in quanti mefi Jaranno guadagnati fol. 124-$- da quel dal turarne, multiplica adonque per la regola del 3 al contrario la prima con la feconda, cioè 1 20 per 4» et il prodiero parti per la terga cheèii^ ne feriranno mefi 3 come fu propofto . Et a quefto modo arguirai contra le conclufioni delli doi predetti au- tori, & perche il Tartaglia la rifolue in doi modi diuerfi , in conclufione federai, che alla prima rifolutione,dico, che quello dal ferro douerà far affetto a quello dalle pelle \dvn mefe, onde vien a rifondere a quello che non fi dimanda nella propofla, perche la propofla dimanda quanto ter mino donerà far quello dal turarne a quello del ferro , acciò fia eguale con lui . Et poi alla feconda fua conclufione conuienccon Frate Luca in 3 mefi .. . ' di k Libro Sedo } 379 ii termino, la cui opinione nel principio ha ripftfa, & perche effo Tar- taglia dice che a qutfto fecondo modo fono vendite & non baratti , dicOy che dandogli tanto ferro a baratto per quanto ricette in pelli pur a bar at- to,fintando fi poi a pagarli l' vno a l'altro in quelli doi diuerfi termini, non fi può negar, che ftano baratti, perche fe t vno deffevn centenaro di fer- ro per lire 7 a termino di pagarlo 4 me fi, f altro gli dà pelle 1 5-J- per lire 6, fol. 4-}- da ejjer pagate a termino di mefiti -fi per ilche è da faper che ogni vendita è baratto, onero commutatone di robba con dinari, & de dinari con robba _> . apparendo adonque al detto Tartaglia, che li detti quefiti propofli da Frate Luca, pano più preflo vendite, che baratti, propofe alquanti cafi da effier ri fotti in modo di vendite con termino di tempo, che ciafcum meriti egualmente con li fuoi dinari a ragion di anno com'è t' infra ferino da lui propofto . > Quefitovigefìmoottauo , VÌ(o vende a vn altro vna quantità di pegjtedi corifee , le quali a dinari contadi valeno ducati 8 lapejfa,ma le mette ducati 9 a ter- mino di me fi 1 o. accade, chedoppo alquanti me fi quello dalle corifee com prò da quell' altro lana Spagnuola a ragion di ducati 3 a il centenaro, la qual non valeua a dinari contadi, fe non ducati 30 il centenaro,dimando quanto terminagli donerà far a voler offeruar quel mede fimo ordine, che gli ha offeruato a lui con le corifee datela . Ter foluer quello, confiderà, che quello che vende le corifee con du- cati 8 guadagna due. I in mefi io, adonque veder ai li ducati 30, chcj valfe il centenaro della lana a contadi, in quanto tempo guadagnar anno ducati 2, che la mife di più a baratto, per tanto volendolo far breuemen te, moltiplica li ducati 8 fia ti fuo termino, che è mefi 1 o, faranno 8o prodotto di mefi, & ducati, da che prodotto verranno ducati i, moltipli- ca eJ* parti, & verranno da 1 60 prodotto da mefi & ducati, & quefta parti per ducati 30, che fu vno delti producenti,ne venir anno mefi j-f- & tanto tempo farà termino a quello, che gli dete le carifee , cioè mefi 5-r- Et quefto fi prona perche tanto guadagnar à per cento colui che con ducati 8 guadagna due. I in mefi 10, quanto fa colui, che con ducati 3 o guadagna ducati a in mefi $-\-,che l vno & f altro guadagnarà a ragion di 1 5 per cento, & quefta regola fi può feruar quantunque le robbe non pano eguali di valore, pur che fi feruino eguali meriti, per cento per ra gion di anno * < • « V25 DcirArithmedca dttc.l | 80 J % , T •• *■ •. ss i “ "• » • - JO | \6 o ""■fi | J | -ì- a. Similmente volendo feruarilprefuppofito & conditione del paffuta,: foluerai quefl' altro quefito . Quefito vigefi monono.  r ' , • . v ( , ; "jkj * # l 1 » 1 .1* vende lana ad vn' altro a ducati iSil contenuta a tempo di me fi p, & volendola vender al prefente vale fe non ducati i$,& doppi alquanti me fi il vendilo) compro dal compratore della detta lana vna* quantitàdi peuere,che v alena a pagarlo allhor a dmati j8 ilccnttnaro, & coftui vorrebbe termino mefi iq , dimando quanto gji donerà metter il centenaro dtpeuere , volendo fcruar con lui là metfcfima conditione ,che fece con lui quando gli vendete la lanari . Ter f bitter qutfto , farai come di {opra, moltiplicando li ducati z$ per li mefi p, faranno li f tempo, & dinari, finalmente moltiplica li diteci perii mefi io, faranno }8o tempo, tr dinari, onde dirai fens mi dan- no de guadagno due. 3 , che mi daranno 3 80 tepo, & dinari i moltiplica et parti fecondo la regolale venir anno <ù/r. quali aggiongi alli due. ne -patiranno due. 43-^, & tanto fi donerà pretiarc, volendo fargli il detto termino, & volendola prouare , trouerai, che tanto guadagna per cento all' anno tatito finto, quanto l’altro , Quefito trentefimo. •  \T Tyjo vende panno ad vn' altro a ragion di lire 6 il bratto, pagando- V lo dllbora, & facendogli termino mefi t s lo mette Urei il braghi dipoi alquanti mefi quello che vende U panno, comprò vn cauallo da , duel altro per lire 30, facendogli ternuno mefi 6 , & le vendite furono eguali, r ijfctto aih loro termini, fi dimanda che valfe il cauallo, volen- dolo pagar allhor/cj t Ter foluer quefio dirai, fe mefi 1 1 guadagnano lire 1, cioè la differen- za dalle lite 6, alle Urei, che guadagnarannomefi 6, opera, & troue- rai che guadagnar anno LA', qualghnta alle lire 6, farà, lire 7, & tante lire batterebbe venduto il< bratto del panno a temùno-di mefi 6. hor battendo agguagliato li termini, dirai fe lire 7 vengono da lite- 6, da che verranno lire 30, moltiplica & parti , c 'T veniranno da lire 2 Jt» & tanto libro Sefto. I 3 8o tanto farebbe “Palato il caualio , pagandolo allhornj . Et volendola pronarc , vedi fe tanto vien a guadagnar per cento l vno quanto Calerò a ragion di anno, oucr di mcfe, ér qutfli quefitifi fiolueno, & propano per via di meriti f empiici, A? -quali innanzi b abbiamo am- piamente trattato . f' • • V > A F Quefito trcmefimoprimo. DOi voleno barattar Ivno ha lana , che a dinari contadi fi vende du* coti 30 il centenaro , ma in baratto ne vuole ducati 40: l'altro ha curarne , che a dinari contadi fi vende ducati 10 il centenaro, & a barat- to ne vuole ducati 26, & rimafero d'accordo in quefto mercato , accade vn certo altropartito a quel dal curarne affai miglior del primo , per ilche ritorna da quel della lana, dicendogli, fe tu mi vuoi dar la tua lana, cr affettarmi vii amo, io ti darò tal parte in dinari contadi infieme con li curami, che ti darò, che tu guadagnar ai meco , cofi delti dinari , come del curarne a ragion di 1 o per cento, & lui fi contentò . Si dimanda, che parte di dinari contadi, & qual parte delli curami douerà hauer colui, che peggio baratta per far il baratto eguale. _> . Ter tanto volendo foluer il detto quefito , con quella più breue via , che fia pojfibile, accrefcerai prima li ducati 30 a ragion di 1 o per cento, & venir anno ducati 33, poi metterai 3 j all incontro di 40, che fi ven- de a baratto, & fatto il 33 metterai li ducati ao, che fi vende il curamo a contadi, eir li ducati a 6, che fi vendono a baratto U detti curami ila- ranno cofi , cioè a contadi * Poi moltiplica in croce, cioè li ducati 20 fia lì ducati 40 faranno du- cati 80O, <? poi li ducati 26 fia li ducati 3 3 , faranno ducati 858, fottra li 800 dalli 858, refiaranno ducati 58 qual feru«-> . Tot fottra li ducati ao dalli ducati 2 6, refiaranno ducati 6,hora par- tirai li ducati 58 per 6 differenza dal 20 al 16 ne venir anno due. 9-p, quali vedrai che parte fono de ducati 40, che fi vende la lana a baratto , & tr oucr ai che fono & (al pari e douerà hauer in dinari da quel del curarne, & ilreflo donerà hauer tanto curarne, cioè~f4 del tutto, che fu il propo fitto, & cofi fio lucrarle fonili . - La proba far ai al modo delle precedenti . <5 1 5»_i 9 ì *9 lao 120 29 9' looo Dell! c. c DcirAndimetifca l •m OBT Delli (alari j de* feruitori Queliti 2. » U l »<jlM 0£ t o: i V* V?^ patrone ha tolto in cafayn finitore con patto di dargli feudi 1 9, & vna cappa alt anno, occqffe che'l feruitorenon Siete fenonmefi 8, et volfc effer pagato, et il patrone gli detela cappa , et fu pagato fe- condo il patto et conuentione fua , dimando guanto vali e la detta cappa i Ter foluer. quefto quefito, vedi in 8 tneft, che fono li -f - di tutto il fi- lano £vn anno, quanto gli venir ebbe, et è manifello, che gli venir ebbe li -y- di, feudi che fono feudi li, et anchora li — della cappa, ado*- que da degli tutta la cappa gli vien à dare -j- di cappa di pikfper rifletto delli feudi n, che gli tenne, adonque -J- di cappa v alena feudi 1 1, et per confcquentia tuttala cappa valfe feudi. 3 6. Et per prouarlo, vedi quato gli veniua in tutto à V anno,trala cappa, et li feudi iS, che farebbono feudi 54, adonque per 8 mcfigli veniuafeu- di } 6, cioè il valor della cappiu . ^ - •* ' 1 - Quelito fecondo.' \F'K patrone piglia vn feruitore , & rimafero £ accordo di dargli al - V l'anno feu A 5 , & vna cappa, & quando bebbe feruitomefi 5 fu t forcato per gin [la occaftone a partirfi dal patrone,, & il patrone gli de te fcu. 1 8, per fuo pagamento, dimando che valfe la cappa. Ter foluer quefio, vedi chea ragio de feu .15 all' anno in 5 mefigliper- uenirebbefcu.6 -J-, & de cappa,& gli dete fcu. iS, che fono fcu. 1 1 dtpiù che fcu.6 adonque la parte della cappa che gli doueua dare, cioè rJ- valeua fcu. 1 1 -J-, onde dirai, fe 5 vale f cu. 1 1 che valera- no 12, multiplica,& parti, & vaieranno fcu. 18 & tanti fcu.valfe la cappa . la prona farai fummando fcu.iS con 1 5 faranno fcu. 4$-^ aliati no tra li dinari, &■ la cappa , adonque dirai , fcu mefi mi danno fcu. 1 j -}- che mi daranno 5 mefi , miiltiplica , & parti , & ne venir anno leu. 1 8> come fà propello . Del modo di calculare le condcnnationi nelle fpefe alla rata della vittoria. SE f uff ero doi litiganti, che vno dimandale a l'altro lire }8o,& liti- gando flendenoC vna parte, et l’altra, al fine il Giudice fententi a, che quello «y % vy, Libro Sefto* i$t futllo t ehedimanda lire sto non debba bautte fettoni io, ó~ chele ffrefe fi' paghino èia rata parte della vittoria , & quello che ha vinto le lire tjò haffefo lire 60, & Coltro ha fpefio lire 76, dimando quanto da turi hauer il vincìtor delle fpefie delfino auerfiario oda rata parte della Vittoria , qui bifogna confiderare , chefie colui che dimanda le lire 3 80 pbautffc vinte tutte, hauerebbe vinto ancora tutte le fpefie, che ha fatto , thè fono lire 60, ma perche non ha vinto fie non lire 230 ,gli toccar ebbe fie non la rata par te qual fi troua per laregoladel 3 ,dicendo,fie lire.} 8 o mi damo de fpefa lire 60, che mi darà lire 130, multiplica , & parti tra ttar ai che gli toccar ebbe lire }6,fol.6,den.3 }J-, Ma perche fie'l dimandante , onero attore non hauejfie confieguita alca tta parte del capitale, non folamentc hauerebbe perduto le fine fpefe, che fono lire 60, ma hauerebbe ancora per giufiitia pagate le lire 76, che ha fpefio l'auuerfiario . Ter queflo l'vno, & l'altro deue vincer alcuna parte delle fpefie , che bafatto, però dir ai, fie lire 380, effiendo vinte, perche fi vinceno non pa- gandoli quado l'auuerfiario U dimanda ingiuflamente, mi dauano lire 76, de fpefa, che mi daranno lire 130, cioè il reflantecheè dalle lire 130 al- le lire 3 80, che gli dimandano, multiplica, adonque lire 150 fialire 7 6 & il produtto parti per} 80, ne venir anno lire }0,& tanto vince delle fine fpefie. adonque tante lire donerebbe hauer dal auuerfdrio , ma perche lui fi troua difiopra debitore delire j 6 , fiol.6, den.j tf-feguirà che gli è debitor del rejlante, chi fono lire 6, fol.6,den .} & cofi giudico in fil- mili fi debba fibre,, fialuo la più vera opinione, JegU è alcuna più vera , De tre compagni che fanno vn difnare . SOno tre compagni, che fanno vndifinar iafiemc, & ciaf cadano por ta ficco il modo di farli conuitto, il primo porta fieco dot pani, & fiol. 5, de corneali fecondo porta pani tre, cr fiol.6 de vino , il ter^o porta pani quattro, & fóL\,deoui ,cr qu'ando cominciorno a mangiaregli fiopra- gionfcro dQialtrj compagni a magnar feco,& finito il pafto, ti doi com- pagni gli dettero fiol . 1 6 in tutto, <& dijfiero partiteli fra voi fecondo il giu fio , dimando quanto tocca a ciaficaduno delti tre primi compagni de que- f ìifiol. 16. ' w *’ ' J ■ 1 Ter foluer queflo quefito, fi deue confiderare , che effiendo pagati cgual- mète li fiol. 1 6 dalli x copagni,toccano fol.8,per vno. adonque offendo y, gli fono fpefi in quello paflo fiol. 4 o,gr per trouar quanto vaifiero li pani, che portornoper vno, fottrarai prima fiol. 5, de carne, & fiol.6 de vino, Ù-fol.z de oui, che fanno fiol. 13, de f il. 40 rcfianofol. 27 , & tanto bifo- gna thè valefficro li pani , che portorno fra tutti treinfìeme , adonque Ddddd parti DeirArithmetica parti Z’Jper 9 ne vengono fol. 3, & tanti fol.valeuano l'yno quelli parti, adontane il primo portando pani a valemmo fol.6, & foì.$,de carne che fono fot. 1 1 intutto, & non hauendo mangiato fe non perfol. 8» gli atian- gafol.q,& perche il fecondo portò pani tre che valeno fol.9, & fol.6, devino che fanno foL\$,& non hauendo mangiato fe non per fol.%, gli auanga fol.'j,& il tergo- compagno hauendo portato pani 4, chevalcno fol.ii,& fol.z de oui, che fanno fol.i4,& non battendo mangiato fe non perfol. $,gli auangano fol.6, chegionti infteme fanno fol. 16, fi che al primo toccar i fol. 3, al fecondo fol.7, al tergo foL6,delli fol. 16, che gli dettero li 2 vltimi compagni, & fe la dimanda fuffe che in cambio delli fol. 1 6, che gli dettero li 2 vltimi compagni fu/fero altro numero, come per cjfempio bauejfero dato fql. 5 o > allhora fi compirebbe al modo delle compagnie, dicendo ,fefol.\6 voleno fol.jo , che vorranno fol. 3 delpri mo , & gli toc cara fol. 9 ,& poi fe 16 voleno 50 , che vorranno fol, . 7, del fecondo , & gli toccar ebbono fol. ai al tergo, a che auan - go fol.6 gli toccarebbono fol. 1 8 chegionti in firme fanno fol.$o , & cefi far cjli le filmili, & qucflo cafo può occorrer in maggior impor tango, ^ che ut vnopaflo, come in guerra, & doni fatti daTrincipi , da effer dir firibuiti . •0 t , ' 1 i » , • ti 1 f. i - • •iìM primo foU 9 |- ftconiofd. ai ~ tergo folli j- . t\ÌVik fiv ormt fummo fol. 50 Trattato delle proportioni pertinenti alla mu- fica,fècondo ilCardano,oltral<? cole dette nel fuo algori imo, copiofamente trattato . Definitione* T ul proporzione h vrut certa habit Udine di due quantità ivno medef- JL-t mo genere di qualunque quantità fi fiotto per la terga dcfinitiont dei-quinto libro di Euclide „ Libro Scftoi. <J ' i Diuifione . 382 Lui propor tione è di due forti, cioè rationalr , & irrationaleja ratio* naie è fucila, che è denominata da qualche ninnerò, & è tra le quali tità commenfurabili, come trat,& itra$,& 12, et tra jo,et toctc. La irrationale è quella, che non è denominata d' alcun numero , & è tra le quantità incommenfurahili , come tra la tofia, ouerlato del qua- drato al fuo diametro, quaC è fempre irrationale,<&- comedclli quadrati , che non hanno radice prccìfa . • * 'O ì \ HCOA 7 Defìnitionc della denominatione delle proportioni , &: lue fpecie . Lui denominatione d vna proportene èqucllq che ne viene a partir i antecedente <T rna proportione per il fuo confequente,come la de- nominatene dal 6, ali è tripla perche il a confeguente entra tre volte nel 6 fuo antecedente , & la denominatione che è tra il tal 6 è -J- per- che partendo 2 antecedente per 6 fuo confeguente ne vien co/i in- tenderai generalmente . La propor tione tanto rat tonale quanto in ottonale è duplice , cioè di equalità,& inegualità, come da 6 al6,& di rad.6 d rad.6. La proportene de inequelità è ancor duplice, cioè di maggior inegua- lità, ér di minor inegualità , di maggior è quando la maggior quantità è comparata alla minor, & di minor è quando la minor quantità ò fta ra-t lionate , onero ir rat tonale è comparata alla maggior, eff empio delia mag gior, come 8 al 1, ouer rad . 15 a rad. 3 , ej f empio della minor, come a all'S,& rad.$ a rad. 15 . Le fpecie della maggior, & della minor inequalità fono f, cioè multi - plice, fuperparticularc, fuperparticnte , multiphee fupetparticulare , et muttiplite fupnparticntt . La multiplice è quando il maggior numero contien il minor, alcun nu- mero de volte ; fi come 4 contku U 2 due volte, or 6 contien il 2 tre vol- te,dr le fpecie di quefla fono come dupla , tripla , quadrupla , & co fi fe- guendo m infinite . La fuperpartitulare > quando la maggior quantità contien laminar, apprèffo qualche parte aliquota di ef]'a minore , come tre contien il a iena volta , & apet'tffdUvnità qualeè labile 2, & però fi chiama fef-- qm*l:cra,& 4 contieni $ vna volta, & appreso la vnha,qnal ila ter parte di effe- 3 ,et perbj'f chiama. feff<xortiu,ct cofift procede in infinito. Dddid a La DeirAmhmctica Lafuperpartiente è quando la maggior contien la minor & alcune par ti di offa minor appreffo , fi come il 5 contien il 3 vna volta , & ili ap- preffo, qual è parti di effo $, cioè due t erge lefue Jpe eie fono fuper- bipartientr , le terge parti . fupertriparticnte , le quarte, come -}<al 4 \et fuperbipartiente, le quinte, come 7 al j , & cofi procedendo in infinità. » come fono tutte le altre Jpecie . La moltiplice fuper par tic alare è quando il maggior numero contiene il minor pià tCvna volta, tr alcuna parte aliquota di effo minore appreffo come 5 contiene il 2 due volte, & appreffo la miti di effo 2, cioè la vnità, & però fi dice dupla fefquialtera , & cofi dupla fefquitertia fi chiama come q ali, & dupla fefquiquarta fi chiama come 9 al 4, perche 9 con- tien il 4 due volte, & 1 appreffo che il -i- di effo 4 contenuto , & cofi le fue fficcie tendono in infinito . La multiplice fuperpatiente è quando il tnaggior numero contien il mi- nor, alcune volte & appreffo alcune parti di effo minore, come 8 al },quat fi dice dupla fuper bipartente le terge parti, perche 8 contiene 2 volte il 3, & 2 appreffo, che fono due terge di effo ì, & cofi la proportione dal II al 4 fi chiama dupla fupra tripartente le -i- Darti, perche contiene il 4 due volte, <Cr 3 appreffo , che fono li -ì- di effo 4, & il fio denomi - nator è 2-J-, & le jpecie fue fono fimilmente infinite, come deUc altre . Le fpecic della, minor inequalità fono le ifleffe 5 dette di fopra della mag gior, fi non che a quelle della minor vi fi prepone quefla prop* fittone fub. come fubdupla 2 al 4. fubfefquialtera, come 2 al 3.fubfefquitertia, com'è al 4. fuper bipartì ente le terge parti , com'è 3 al 5. fubdupla fefquialtera come 2 al J. fubdupla fuper bipartente le terge parti , come 3 ali, &■ cofi delle altre infinite . La numeratone delle proportioni fi rapprefenta, ponendo l'anteccden te di tal proportione fopra vna virgola, ò" il confequcnte fotto la detta virgola a modo di rotti, perche il denominatore rapprefenta il partitore . col quale fi troua le loro denominationi, onde la dupla tripla quadrupla fi figurano cofi, -5 — [ & la fubdupla fub tripla, & fub quadrupla fi figurano cofi, -J- — J-, & cofi le altre fpecie della minor, & mag- gior inequalità , Hora lafciando le regole pertinenti a f algorifmp de proportioni pofle nelli precedenti libri già compofli, & diflint amente manifeflati tanto nel- le quantità ratio nati, come ir rati mali, fermerò in quello trattato filamen- ti quelle cofi, che appartengono olii computi della muficaj» . Si come la propor tionaÙtà, quale fi offerua fpecialmcnte nella Geome- trica proportione, & è fimilitudine di proportioni, fi troua anchora nel- le proportioni s Iritbmctice , nelle quali fi confiderano li int eruttili eguali, come la proportione del 12 ah) è filmile alla proportione * trithmetica ; i LibroScftó. 38* thè ì dal detto t J al 1 8 che' l conferente eccede per J "finità Pant e ceden- te , & conuerfamente , & quefla e detta proportionalità ^Arithmetica continua , perche 1 5 termino medio è confcquentc det 12, & anteccden- tedel 18. Della proportionalità Harmonica, oucro Mufica, Regole 6. IL tergo genere della proportionalità Harmonica, ouer Mufica, Uj qual non fi troua fé non in 3 termini come 6\^\ % \ & 6] 3, nel- la quale tali la propor t ione delli eflremi termini , cioè dal primo al ter - go, qual' è l’ ecceffo del primo [opra il fecondo al ecceffo di effo fecondo fo- fra il ter^ò termino, come nel primo, & fecondo effempio appare, cheta proportene del 6 al ih tripla, fi come anchor la proporzione della diffc- rentia, ouer ecceffo cl>e è dal 6 al 3, quali 3 al ecceffo di effo 3 fopra il t qual è 1, che è fimilmente tripla , & cofi nel fecondo effempio oue 6, pri- mo termino al 3, tergo termino ha proportione dupla, fi come 1 differen- te dal 6 al 4, medio termino è alla vn ita, cioè al ecceffo di effo 4 fopra il 3 vi timo termino, che l'vna, & l'altra è dupla, la inuentione della quale fi ha per 6 Hpgolej . Harmonica Harmonica Trouar il medio termino della propor- tionalità Harmonica » Prima Regola . SE faranno li eflremi cogniti dellaproportionalità Harmonica , per tra uar ilmeggo proportionale, fot tr arai il minor termino del maggiore, & il refiduo partirai per vno di più che'l denominatore della proportia- nechc vuoi trottare, & quello c he viene di detta partitione gionto al par— tifare,, r z ? . DdtfAritlittìetica titore farà il termino medio . Esempio vog ' otru il 2Qr & J confiituir vn termino medio nella H armonica propor tionalità quadrupla , fottrarò 5 de xo refìano if, qual partirò per 5, cioè l più del 4» che è il denomi - jwfor della quadrupla ne vien 3, & ejfo j gionto al 5 farà 8, qual è il medio proportionaletraó & 20, H armonico, perche la proportionedal 20 ali è quadrupla 0-rl'e£fitfo dal (2Q al 8 c 22, $*4, è quadruplo al ecceffo dal 8 al 5, quali J, conte fì riceria . Ét interi fri eflt enfi non ca- de fe non vna proporzione ntufica, perche li esìr etiti hanno iena fola com- paratione fra loro , d\ *t.3i\u\A v>ttt» tv»: ..iur tW iiVù-i. •.? . fr > ì»K*5,.»jpval i r 'Seconda Resola. \ 'i -Ó\ o\wi023\ó^Ù\) \b Ofcu>V»\U tOT ET ftm alcun* proportene M tifica hauerai li minimi termini integri? come nella feptupla,fctnpre aggiongi vnal denominator di tale pro- portene» & farà in quejlo cafri» del qual piglia la £ farà 4, che farà il minor termino, & il maggior farà il produtto di ejfa mit à, che è 4 fin tf fr denominator ehjtx 7» che farà 2 8, et il medio termino farà il denomi- ' ttator frpradetto, adunque batter ai tre termini , cioè 28 | 7* tir .4 , che il prim 0 è feptuplo al terzo, cioè il % 8 al, 4, & la differenza del 28 che è ai è frinii mente feptupla alla differenza che è dal 7 al 4, che è } . • ir f •# |* Ma fct'nuiitèè^delta prOftórtionè ton %'gfòliia della 4 ri ita farà impa- re, come nella fefc$pl4 jwÀ f., MntiiptiiU tffì yfid 6 nominator della proporzione farà 4.1, qual' è il maggior tcrmino,il minor farà 6,& Urne dio per laprima regola fanì 12, qual fi troua partendo 42 perj, ne vie ógiongidetto 6 al numero datomhuttOT delta proporzione farai 2 fe- condo termino, come in figura fi vede , ‘sn\?k. Z'J <wt V «fri U WH v«im\ '«» «r.l» ì.i< ^ - ; Trouar Trouar il minor termino della proportionalita harmonica per tre modi fèguenti. Regola terza . XT A effendo noto il primo , & fecondo termino, et che la proportione fia ignota, allbora fottrarai il medio termino del maggior , come nel efl empio difopra, nel quale hauemo po/lo 42 | 1 a , et 7 volendo tra • uarily,et che la proportione' non fi [oppia, che fia fcfcupla fottran medio termino del maggior rcflano 30, et poni che la differenza del'me- dio termino al minor fia X co. adonque fottrarai 1 co.de 1 1, medio termi no reflarà nm.t co.per il minor termino, effendo adonque la proportio ne del tutto al minor, come del refiduo alla differenza, adonque multipli * cando la differenza minor, che 1 co. nel termino maggior che è 42 fard. 41 co. eguali alla produzione della differenza del maggior nel termino minor, adonque la differenza maggior è 30 moltiplica 30 fia il termino minor,cioè fia 12 m.i co. farà 360 m. 30 co. giongdoa^i co. riflorale parti aggiùngendo 30 co. alleai co. faranno 72 co. egualia 360 parti 360 per 71 nevien 5 differenza ricercata fottrapoi 3 deli medio ter mino refiano j,qual"cil minor termino , qual cognito fi conofcera anche la proportione . : u effempio fcxcupU- -- un ,c 42 1 12 1 1 2 m. 1 co.differenza minor 12 diffmaggior 30 360 m. 30 co, eguali a 42 30 Onera . Libro Setto. 2 O maggior 8 t x furrnna iti mag gior conia fra } a differenza 1*1 I S medio its a o 8 minor tcrmin. 3* I 160 I 5 I v Trouar il maggior termino per mez- zo dclli altri doi . Regola quarta. Et fe pofli il minor , & medio termino voleri trovar il maggior come fe’l medio frffe 8, & il minor s.fottra 5 de 8 refla ìfpcr per il qual multipli ca effo medio farà 24 , & quefio parti per la diffe- renza del 5, termino minor al 3, differenza minor, qual differenza è a, cioì parti 24 per a| ne venirà. i», & quefio auuenimento aggrondai 8 medio termino farà ao, qual farà il, maggior termino, della propor Zona- li tà Harmonica,& cofi troverai li fimili, come vedi difot to le 3 quanti- tà per ordine . , > , 1 medio minor termino 8 3 8 5 5 3 24 differenza $ differenza » delle differenti e quadrupla ' ^ ; 8 12 24 | 20 12 ì: t maggior termino, 2.0 8 ^ » . rnuufc Vim«sf1t4fov.b 7 •) ( . iìvi,.;v », \yv > : 1 O 1 ' i*»*.t*« Vr»H5r..l < fe iW.fc . • Eeeee Et Libro Seflo.1! . r ; 3 gg nella proportionalìti ^irithmetica , & l'uno per eaufa di ejjempio , 2 | 5 | 8 | J 1 | 14 | ) 7 , & trotta vn numero numerato da ' quelli 6 numeri che fi fa mulZplicandoU f vn l'altro , dal primo fin al'vltimo , faranno 20 544.0 , & volendo il minimo partilo per 4. ne verranno 52360, perche 2 , <&■ 8, cioè il primo , cr iltrr^o yfi foteuano fcbijjare per 4 , benché non importa fé bm fi piyliajfe o~ gn altro numero numerato da quelli, ma per più brcuità fi piglia il minimo , & diuidcrai queflo per li detti numeri , ne venir à àpar tirlo per 4 primo numero 51360 , & a partii lo per 5 ne viene 10472, &• a partirlo per H nevenirà 6f 45 , & partendolo per li, cioè il 5*360, nevenirà 4760 , & per 14 nevenirà 3740, & per 17 ne venirìf 3080 .fono, adonque 6 numeri b armonici nel- la continua proportionalicà , cioè 29180 | 10472 | 6545 I4760I 3740, & 3080 , onde tale proporzione farà dal primo al tergo,, quale farà la proporzione della differenza del primo al fecondo alla differenza del fecondo al terzo numero,per la prima pegola, adonque per la ventefima del fettimo di Euclide tanto farà il produtto deb 2 6 f 80 primo nel 39 17, quanto 157Q8, moltiplicato per 6545 » cioè la differenza maggior fia il numero minor , farà tanto , quanta ilatumerp maggior fiala differenza minor, cbel’vno , & l'altro pr^ duceioi$Q&ìi6o,cheèilpropofito. . tf l* ? m » JUtl TÌJ . ito* 1*.« y> ,inc:.vtvi j*a ,cs , ■ ‘ ' E'eeee Regola 2 DelTArithmetica Regola fefta. T volendo ridurre tutte le confinante alla proportene fuperpar- ticulare, onero alla multiplice, è da f opere che la ottaua fi chiama diapafon , che vuol dire ma dupla , che panifica per tuttto, fecondo il vocakulo, & confa de 8 voci, et de 7 inter ualli , degnali 2 fino femi- tOhij,& 5 fino toni, et paffando le 8 voci ritornano al medefmo, fatuo la differenti della dupla. talmente, che la nona è quaf fecoda , et la decima è qua fi terga, et la vudecima è la diatc/feron,et la duodecima è la diapète et la quintadecima è la bifdiapafon e qua fi la diapafon , onde ridotte le prime 8 voci, fi ha la rego la di tutte in infinito. Di qmfie è parimele il to no, qual è cena 9 al $,fi cerne la diapafon è cornerai t, et è l' inter uallq di 8 voci, et perche la prcportion di 4 al 2 è idpvfla della proportiondel 4 al j, et del 3 al 2 farà la fexquittnia diateffiron confante di doi to- ni, & dtl Jemitomo nfinore, non però perfettamente , imperotbc 72 }3i| fino 2 toni, er à compir la fexquitcrtia gli manca 4-J- , perche 8 *1 64 è come 4 al 3, cioè fexquitertia, adonque il fetnitonio mi- nore è in verità, come 2 56 al 243, die è la medefima come 8s-f- al 8 1, & firnilmcnte la diapente farà come da 768 <1/512, cioè fixquialtera , . aggiongi 3 toni al 512, fanno j 1; | 576I 64H 729, adonque rollar à il fimitonio minore come da 25 6 al 243, perche è la mrdeftma proportio- ne da 7 6S al jig,come da 1 56 al 243 > ma fi aggiùngerai lafixquiofta - uagtfma prima alla proportione del 2^6 al 2q^,deirahendo 3 dal 243, rollano 240, ne rifultarà il femitonio minore come - jj, & far àfixqui- quinladecima, pertiche il fimitonio maggior farà fino, come dal ijs al 12%, pcbeè liSal i 20, come 16 al 15 ,ct 1J5 at 120, come 9 al S,oer- ilchc 1 j 5 al 1 *8, è fimi ionio maggior, & perche è maggior ì 28 al 12O, che 1 3 5 ci 1 2%, è manififlo, che per participatione il fetmìonio minore diuenta il maggiore è & effendo il ditono, come da 8 1 al 6 4, leuandone vna fi xqu'hM. mago frinì frilnai cioè farà fitto-, dome lo al 6q, qual è netli minimi termini , come jal 4, ér qurfa è la terga maggior , & la fexta minor-, farà tornerai 5, perche compongono la diapafon, cioè moltiplicando con -J- firmo -JJ, &, perche aggionto il tono al -li diuenta -Jj , & cefi fai a la terga minore con participatione della proportione dal 6 al f , pertiche la fixta maggior farà, come dal 5 al 3, perche moltiplicando -J- con filinola diapafon. Confano adonque, per l additi one, ouer per la deduzione della fexquioftuagcftma [i- tutte le confinantie nelle minime proportioni, come vedi . Tono i 6 Libro Setto. i 317 8 tono 5 * 5 f emitonio minor Ditono , oucr ter j maggior 1 6 ~ diapente ftptìma 9 ut di tono,ouer terga minor 6 5 fefta minor 3 f ftxta maggior fexta minor. pi quefle regole fù inventore Ttolomeo nella fua mufica , quefta è chiamata nelli organi participatione , che rende vn dolce concento , & C naturamdat F, B, molle G quoque quadrum. i r vt p natura grane primo et fccodo E / * ^ re primo, et fccodo F s equali ? ri mi f.rZAn r. v I» _4 -J J * tono -IKé*9-. 11 11 xìT^ii i8 9 8 9 SE13W* • <S4 • 8JÌ- *1 85-J- ■f r * 4^- femìlonio minor 5u 768 * I 1. 40 J. I £ J 4 * »o 8 1 ** 3 Fi mi ^•C fa vt Grane s D folte 6 E la mi 7 F fa vt — Graue' 8 G fol re vt stenta 9*4. la mi re io B fa tj mi j^i 1 C fol fa vt- stenta f la Dia folte ( lì E lami ^*14 F fa vt— stenta ^15 G folte vt fopra acuta 16 stia mire 17 a/4 tq mi i$C fol fa « ip D la fol io Eia. primoyctfccodo G fccodo, et tergo *4 ( .u fccodo ,et tergo •’-.t M. ' *_ • ' J *4 u • ; .c iSW v ■% v.m. . *<k \ ; ■ • **ì/ *<V»c il VA'! \Lfll 94^07! 14 7 Ctl fetida. 4 <, DeU’Arithmerìca fetida quella le>oci fono più dure} & più off ere, & cantando fi fa per [ albaffaminto della voce mi, onde fi dette fimpre abbacare perla fef- quioliogefima, eccetto, che nella diatefferon, & diapente, & diapafon, & qarjia la chiamano li Mutici ditfis, nella vote, ma nel tritono nef- Junadiefis può emendare la durerà , ronfiando d> Ita proponitore del 6+y 6- afWpi-J-, ma 9i-j- è difiantedal 96, qual fà la fcxqteialtera, & h 64 diftanteda 8 5 -j-, cui quale fà la fexquitertia fola, tal che non può far tran fitto nella tonfunamia, onde è mamfiflonon èjfer polfit?il<L->, effendo l’aere nudilofo, che fi finta vero concento, & melodia, otte lito- nienti fiotto mtfii per la proportene, come 6| .}{ 1 nella medefima far - r^a & numero, & manco la voce articulata è po/fibile effer fentita , ma le confonantie fen^a partecipatene nclit organi antichi reffano fin al prefente, nt fi paffono dtftgntre, fé non con numeri grandi,& è mani f e frfio La. fettina effer grandemente dijfonapto ,per effet moltoremota dal la fuperparticolare, & dapoi quefla feguita la frfta , la quale admette maggior confonantia,perche la ter^areflanteè fuperparticnlarc . ’ S Come fi trouino le proóorttani del ttìr *l_ no, & femitoniot, comma & Diefis >, J ò ■Jj-V ^ ~ * A- ,f P ; Il J ■*-’ Ì » * ^ ~ C. ■ C » It T volendo fottrar il tono della diapaffon \cioè -* dì 5 vfarai il \ partir de rotti, adonque parti £ per ne venir a ■^fciùè Ycfhtri la proportione che è dal \6 al 9 , perche il fdftar delle prepor ti otti è coincidente al partir de rotti , cr Ufi minar almultiplicar. Sottra ancora -j- , cioè il detto tono dal détto refiduó,' cioè da -*j pur fempre partendo f|- per -,-amodo qome poltra, «< ; vepirà fjy , èfr co fi bai cauato due volte il tono,hor feltra’ ancora -\-dal detto J (condo da 81 refiduo , cioè a modo di/bpra,eir refi ara fono tre toni già detratti, hor caua ancor -£ da rejìarà -** J*— , che1 fono quat* trotoni detratti, & da quejto ancor ajottr* -f- rcitarà , onde fa rà detratto 5 volte il tono dalla diapafoìt , & perche non fc ne può ca- riar più,cbenonreJli vna proportene della mutdr inequalità, diremo, che il tono integro intra 5 volte nella diapafon, qt auara , ile he fi troua fottrando il fopraferitto auan%o,cioè-£f!- da-pirejla] la qual è la minima proportene di vna comma, la quale tàuarkoUt dal to - r Libro Sedo. 386 no, trottar ai quante camme farà r»i tono , & cattandola dal femitoni # q maggwt ouer imnor0tr onerai quante camme farà lvno,& l'altro, onde jP o pigliando la mila della proporzione che è fra 6qs6 al 59049 farà la pro- portione,cbeèda 156 ,<7/145 > laproportione delli loro radici è i~y54 , qual' è la proporzione del femitono minor, onero diefis nclli minimi numeri, equiuocamente chiamati radici, horafapcndo che la proportene dclfcmitonio minor è , tir che' l tono hitegro è come 9 al 8 , cioè fottr andò adonqut da -%• reflarà 4r$ -.partendo a modo de rotti re - filar* laproporùone del femitonio maggior come. dif otto appare . s 1 514288 24J 2048 9 2 53x441 116 1187 tono diapafon comma femitonio minor femitonio ouer diefis maggior. Come ilDiefis, ouer (èmitonio minor è eguale . alla proportione, nella quale la fexq inter- na , ouer diateflferon è maggior a di doi toni . • | » % * > ^ ’t li m < . » tV • » •**.» ' *■ l '* brillìi* f , ì • • » .1;* . ^ ‘ I » % Ev da faper, che duplicandoìltùna , cioè la proponine, che è dal 9 al 8,fitrà la proportione, abe è Salila alóq, cioè ilcheft tro- tta quadrando lite immi di detta proportione, cioè 9 o~ 8 faranno -|4» hor quefti doi toni futtratti dalla fcxquitertia , cioè da •£., che è la pro- portione della conjonantia diate fieron chiamata Uquarta, reflarà lafo- pr aferitta proportione da 1 jó| di 24 j, cioè qual è il diefis, onero femitonio minore al modo di pauir de rotti , per non equiuocare, come Vedi di folto . - - - x- duf lattone — L duplato rX -i- fottratione —L. femitonio mi £!> Ì£.i. liJfJ ’ .tnorj rn c noj uih> ! t m fatta, col par nor, ouer dic- lini cinti fu. ali »> "V l- t.ì\ aUirjb’ -ut ìi- a vin ■ Trotur Libro Sedo. 389 ■nòrf, noi te fneprofvrtioni trottar ai la diapente , aionque per le co fe dette multiplica quefii tre rotti infieme, cioè J- -}- » & che è U ftmitono minore., faranno ,'JJJìJ , quali ridotti alti Juoi mimmi termi mi per via del fchijfar de rotti fanno -J-, cioi la diapente , otttr quinta , come nelli jllgorifmi hanemo infegnato . Trouarla 7- del comma detto (chifina. PE> trottar la y del comma multiplica li fuoi termini trottati difo- pra, cioè 5 3 144I con 514288 & la radice del produtto farà il maggior termino, & il minor farà 524 1 Si,adonque multipl.cando vno te> mino con l'altro ne venir anno 278628139008, la citir adice farà Umaggior termino comparato a 524188 ,oueril minor comparato a i 3 1441 ,de detta proportene, come vedi difotto . 4% fchifma ouer-y-del fchiftna .. V ? r 4 tt# ftoB \ 5*785» • r $31441 .il rn 524288 **244%?. r4 ? *10^448 auon^ano 405 14 4251528 *ìo 4151528 t. 1062882 2 524288 24? 1125764 . 1062882 2 278628139008 t$6 2657205 2 rad. 278628139008 Sommando aionque vno femitonio minor , con vn fchifma battendo già trottate le fue proportioni farà il femitonio precifamente , ma piu facilmente fi potrà trottare moltiplicando li termini della fuaproportio- ne, & del produtto cattar la radice, per tanto multiplica 9 fi a 8 fa 72, la cui radice comparata ali farà il femit ono ginfh, onero 9 comparato Fffff a rad. DeH’Arithmetica «rad. 72 farà fimilmcutc il fcmitono , ouer fmitonio, per tjferrad.'jz* medio proportionale tra $,&• 8> come vedi difottp • . A l U »\U 9\rad.7i\% >b v>V* femitono femitono , Trouar la mità della diapefon ; PEr trouar la mità della diapafon fimilmente multiplica li termini della f*a proporzione, cioè 1 fia i fa 2, la cui rad.ciot rad.i,fe fa- rà comparata al i , farà la proportione della mità della diapafon , ouer ù- fé 2 farà comparato a radice 2 , fimilmente farà detta proportione,, come fi vede . 2, [ radice a f I — della della diapafon- diapafon la qual mità fi trouar à efier la mità della diapente infieme con vno> tbifma . Trouar la mità della diapente j Slmilmente trouar ai la mità della diapente,cioè [emiditono multipli- cando lifuoi termini , cioè 3 fia 1 faranno 6, Ù" la radice 6 farà, ali, fi come la detta mità , ouero il } a radice 6, come vedidifotto ► ••• '* r-v r ad. 6 miti della diapente » Trouar ’ f Libro Scftói. 590 Trouarla-rdel femitono minore. Moltiplica li termini del femitono min-ire, cioè z 5 6 fìa *4 i,fnr<tn- 10 62:08, & la radice di <] tir fio, farà media proportionale fra quejlidoi termini, comedi [otto fi vedevo. £ del femitono minor , termini del femitono minore mila del femi tono minor . Trouar la mità della Diatefleron, oucro Sexquitertia, ouero Quarta., . C Tmilmentemultiplica li fuoi termini, cioè ? fi >4 fanno il, & f* ^ radice 1 a comparata al J , farà la p*oportionc de detta miti , co- me vedi . -VW.l : \j - ' V mira della diateffieron, otter quarta . ■ a ,V! . .. U ^ Trouar la 7 del femiton maggior. FMaì come nelle precedenti , moltiplicando li fuoi termini , cioè a 1 87 fia 2048 , faranno 4478976 , la cui radice farà medi a proportionale tra li detti dei termini per la nona del fello di Euclide , come fi vede. Fffff t 2187 DelFArithmctica f 7 7 6 2.0 4-6 del femitono maggiore . V no ffiefe lire 84 in tante fome di panico , & fa fui conto , che gli vien la fama lire 5 di più, che non fono le fome, che comprò, dimanda/i quante fome ne comprò, & quante lire gli cojlò la fornai , Qjtrjla folueremo per brcuità per la regola di modo , piglio la del 5» che vien di più , farà 2-J-, & quello quadrat o , ne vien 6-J- , qual *ggi°ngo alle lire 84, che cullarono , farà po-~ , & di quefto cauarò la radicc,fà9 \-, & di quefto ne fottraro qucilo 1 cioè In mità di $,re- ftaranno 7, or tante fome comprò, & partendo 84 per 7 nc venir anno lire 1 j, & tanto coftorono la fomaj . Difcorfo (òpra la quadratura del cerchio .* Ella quadratura del cerchio alcuni antichi hanno trattato, ma nin- no ha demofìratiuamentc quadrato cjfo cerchio , peri he fi come il t riangolo è la prima figura de rettilinee, il quadrato la fecondaci pen tagono , la terga , & cofi quefto ordine feguendo in infinito, quanto più, crefce il numero de lati, &■ parimente degli angoli , tanto più la figura laterata equilatera, & equiangula s' anicino di fimilitudine ,& di capa- cità alla figura circolare, pertiche fi può concludere, che douendofi tro- var vna figura de infiniti lati, quella farebbe il cerchio, dr fi coma la pri tua rettilinea figura con fi ile de j lati eguali , & tvliima de infiniti la- ti cofi la prima, ( nflolu tornente parlando) confìfte di vna linea fo- la chiamata circonfercntia, quale viene e/fere principio, & fine de tut- te le figure, il che è mirabile cofa da confiderare,& imperò appare effe- re incommenfur abile al fuo diametro, quale è linea retta, perche dal fi- nito all'infinito non vi c alcuna proportene, ma perche le quantità Ma- thematiche fono aflratte dalla materia fecondo la fua diffimtione , non fi può venire al vfo di quelle, fe non fono applicate alla materia fenfibile quanto più propinquamente fi può, perche fecondo liThilofophi, nelle co fe naturali non fi può dare vera equalità. adunque fecondo Cinuentiom di Archimede Siracufano,qual trottò , chela proportione del diametro del cerchio alla fua circonferentia era alquanto minore , che tripla fex- quifettima,& alquanto maggiore, che tripla fexquiottaua, ma perche /* LibroSeflo; J91 tripla fex quifettima s'auicinaua piti al vero che la tripla fcxquiottau* , reflo più fatisfatto in quella, & cofi condii fe di ojferuare. adunque dato il diametro d'vno cerchio, poniamo che fuffe 1 4 miftre, multiplicandolo per 3 -A- fece qq,& tante mifure volfe che fuffe la circonferentia, della quale prtfa la mità quali n,& multipli cat a per la mità del diametro, cioè per 7 fece 154 ,qual conclufe,& flabili, che fuffe Carea fuperficiale del propoflo cerchio, affai più che molte altre alla vera area ideale pro- pinqua , fecondo ilfuo fuppofìo principio per diligente efperierr^a riero - uato, & quando per linea la volfe ritrouare , diflefe fopra la mità della circonferentia d'vno cerchio con fui tilt [fimo filo, & poi lo ritornò in li- nea retta quanto più diligentemente fi potefj e , & fece vno rettangolo chel fuo minor lato fuffe la mità del diametro di effo propoflo cerchio, & il maggior lato fuffe la mità di effa circonferentia , direttamente efplicata per la diffioitione del fecondo di Euclide, & produffe vno rettangolo eguale al circolo , & quello rettangolo lo riduffe al quadrato perfetto per la ter^adecima del fecondo, ouero per la nona del fejlo di Euclide, & qucjlo quadrato farà eguale al detto cerchio, poflo che la detta mità della circonferentia fta giallamente commifurata: vero è che quefla mede fma oper atione farebbe fiata più facile fe haueffe mi furato fidamente il quadrante del cerchio , & poi con tutto il diametro conflituito vno ret- tangolo,che farebbe eguale alfudetto rettangolo, & poi per la detta nona del fefìo ridotto a quadrato , farebbe il mede fimo , ma più facile , perche quanto meno fi mifura della circonferentia, tanto più giallamente ft può operare,& fatto tl detto rettangolo, & dutta vna linea diagonale in ef- fo, fi può pigliar [" angolo, che fa la linea diagonale, che diuidc effo rettati gola in due parti eguali per la 3 4 del primo di Euclide, & con quello an- golo fi r uato applicato all efir entità di qualunque diametro de circolo propoflo, facendo col diametro del cerchio, & effa diagonale vno angolo fintato per la vigtfimaier^a del primo di Euclide & finire poi la fuper- ficte de lati equidiflanti. quella fuperfeie farebbe eguale al propoflo cer- chio per la medcfma ragione che fu fatto difopra, còme afferma il Cardi- nale Nicolò de Cufa nel trattato de perfezione Mathematica , ma per- che il fine di quefle fpeculationi confidcr ato fecondo la vtilità , & rfo hutnano non fiobliga a riferuare vna infenfìbilc differenza, mi appare, che ancora fuffe ritrovata b perfetta quadratura del cerchio , ma con maggior difficultà da efi'er pofia in opera , non fi refìarebbe di vfartu quella di Archimede, effendo molto più fàcile, & commoda olii vfime- chanici, & commune vtilità, come dice ^driflotile , che il mathematica > fa l'angolo retto per vno modo,& ilfabropcr vn'altro modo pur facile, cioè con la fquadra, come ancora fi vfa nel mifurar leterre,fcni, vini fon: menù » t)cìl’A mimetica menti, & altre cofe, & fimilmente nelli pefi c he fempre tengono qualche errore per rifpetto della imperfettione dclli inflr amenti materiali, liqua- li errori però non fono lìimati,non ejfendo di notabile confideratione, co- me ancora per continua pr attica prouano non folamente li agrimcnfori% mi ancora li periti Architetti , et" qu.fto conjìdcrando il grande Tbilo- Jopho mirinotele diffe nel trattato della relatione , che la quadratura del cerchio era f cibile, quantunque al fuo tempo nonfujfe ritrouata.fjr per- che penfo che non mancammo alcuni , che biafmaranno qui' fio mio di- feorfo dicendo , che non fi mifurano le circonfer ernie con linee rette, materiali, quefli tali leggano il detto di Arinotele nel decimo della Meta - phifica, & del fuo commcntator Auerroe,che affermano U mifure douer t/fere di vnomedefmo genere delle cofr meufur abili: adunque yolaido/i mi furar v n'arco, fi deue far la mi fura circolare, & vninoca a quella li- nea, che yolemo mifurare, & fe non è propriamente mi fura perfetta, {appiano che le cofe perfette re/lano folamente nella imaginat ione , che contiene le forme feparate dalla materia feufibile,ne le i/lr/fe mifure ret- te poffono perfettamente mi furar altre linee r et te, mentre fono nel fubiet to materiale, & alterabile, che fempre tiene qualche imperfettione , & manco cadeno fono il fenfo li ponti ne levrre lincc,ne le vere fuperficit fe non fono vefìite di materia fenfibile, però non è maiauiglia fe man- co le rette poffino e/fere perfette mifure delle curue,nè le curuc delle ret- te, nè che fi po/fa dare vn cerchio aflratto, & libero da ogni fuggette fenftbile, ma folamente dalla ragione comprendile , come ancora affer ma Santo A goflino nel libro de Órdine, & in quello de Qjfantitate ani- ma , perche fe ciò foffe, fi potrebbe ctnchor darevn numero infinito , pertiche fe non fi può dare la quadratura del circolo Matematico, ma fi bene d‘ yn circolo naturale, queflo occorre poco meno nelle altre fuper - fide, per rifpetto della imperfettione delti compaffi, dir altre mifure ma- teriali , & queflo difeorfo vaglia àppreffo olii difereti , & giudiciofi Lettori . C r/ : /,'• fes » fu, ' -V:,Ts  ».\»0 il nyi jum i"V ^ ta *■ >Ai ryv'tln.M n<s ili VMp * V , - 1 /li ' i5t#l • . - * « «..^1 _ iMMhpM ; 11 wB Libro Sedo. 392 fuperficie rettangola egua- le al circolo dato . il dato a c fatto eguale all'arco E F quadrante del propoflo circolo E F G H. La linea C D longbegjgadcl rettangolo jl B C D e eguale al dia- metro F H del detto circolo . Onde il rettangolo B C D, fard eguale al detto circolo . Nora refla à ridar detto rettangolo à quadrato per la quartadechna del fecondo, onero per la nona del feflo di Euclide-». la linea K M , farà il lato del quadrato eguale al propoflo circolo Eefla far rno quadrato fopra la linea K M, per la 45 del primo di Eu- clide qual farà eguale al detto circolo . La linea M L far a eguale allato bd, cioè al minore del rettangolo ad eguale al arco del quadrante del circolo propoflo . ^ La k Libro 5cflov;:)cr UMV] QkM.'gmle A ctonio uvì i^xoui\ 5\ ìmAw^ -jW Njtt*n4o Anfanale* l] f. <\ ì\m» j\l iHWi t5»«Ui > i| . :s , > '•' . ÌV<^!Ì|^n> 1 l •> -J Ci : v. il.: '.. ] '» ,r.y.t f,\ v.^ t") .a ■?»> '. 'H9r) i.U\Kt * V.U mVi» ov.-b^Wu imw & ^4 •■ <>w»ìì\v'»cm4 n>>.v>Vv«v,*\ cutter.".* 1 • i : ' y s\ t JV.-iWiu Vtii i "h\3 tciòy«-j ; ; > ,i' . ..M<5Ì ,J>w 'tv vi j'u'vn .j hb tu ttv-iV u« t o:A*’»>,S. i\r»v ;.i t«Wv> L'itoUj.* «*vW»i.\ jfi — T • »«\J3 *1«W tf'.i .\" R V / NL • .ovVr.ii «u*ev^  1 ; ! DelTAn&faetrA linfa I 4 I I 1 54 Z<* linea A B J 7 . Z<* linea B C \ a . • La linea B D è il lato del quadrato i de f eguale al tir colo , per* che è media proportionale, tra \k B , & B C, per la nona del fefit di Euclide , come anchoxaéh detto nella precedente figura, talmente che Ììuelli quattro triangoli, che andino fuori del cercbio,ciafcuno di qud- i è eguale à quell ai-co del cerchio, che auanxa fuor a del quadrato, fe- condo virchimcdcj . tAnchora per vn altro mqdo fi quadrata il cerchio pur fecondo t in- uentiont di jtrehimede per numeri per linee, come fe fojft dato vn cerchio dpi fuo'diametrp,e 1 4 njijtipljda/i effo diametro in fe medefimo farà ip6, & quefio moli ipfica/J per i i/fàrà a ! ^<5, qual partifi per 14, ne venir anno 154, come nelle precedenti fu fiuto, & tanto farà larea fupcr filiale del detto circolo . EÀ volendo trouar per linee farai fipra il diametro del propoflo cir- cola vno quadrato perla quarantefmiaquinta del primo di Euclide, & qufflo diametro diuiderai in qucttordici parti egual. , delle quali ne pi- glierai il, gir conflit uir ai vna fuperficiedt’ lati equidi(l.viti,& rettan- gola, che la fua longhe^ga fta 14, chi l'ifieffo diametro del cerchio, & la fua larghexjta fia 1 1, & quefla farà eguale al cerchio , ma non farà quadrata perfetta, ma per la nona del fillodi Euclide la ridarai 4 quadrato perfetto , come inan%i fi l operato , & fura* quadrata eguale al propoflo cerchio . » 4 Libro Setto. . Sia il cerchio propoflo c | 1 1 o j e,& il fuo diametro i e, fia qua- lordici mifure , ne letto tre mifure per la linea i K, <& reziario 1 1 mif ti- re, talmente , che il rettangolo b d, h f, farà di tutto il quadrato a d gf, Iettandone il rettangolo a b g h. Et imperò riducendo il det- to rettangolo b h df, al quadrato perfetto , per la nona del fello di Eu- clide, farà fiato il quadrato m n l f eguale al propoflo cerchio cioè, qual di nuouo ho po/lo fopra il fu o quadrato à lui eguale , come appare m ella precedente figura , oue fi reggono li doi cerchi . G C Il fine del SeJto,&,‘vltin7Q Libro dell Arithmetka . .li; Y J l Cl li oT\m* (i o- t * ^ «W rmU fett . v« tvj«\';ti b\bTc* ■5 Vi ,'»J«Vplt\u , JT ,»on( ... ti , . i *t>y JrtVfot l :« yoAououw iU bit, 5 ;r«, *titrcb»V(4 bUv.i IN VENETIA,  Appretto Franccfco de* Francclchi Scnc(c» * * .vi ; DE MATHEMATICARUM ARTIUM VTILITATE DE MATHEMATICARVM ARTIVM VTILITATE BERGOMATE AVCTORE LIBER Penuo euuigatuS,adieao,pr2tcr alia,etiam rerum memorabilium Indice. Inhocvero multa>omnibu$ , nedum fcituperitt- cunda ac admiratione digna j fed ctiani roaximc ae- ceflaria traduntur; B E R C O M I. M. P. IXXXmi Typis Comini Ventur? , eiufdcm j^ji yrbistypographi. 1 1 I AD MAG? ET ILl! E qy I T E M 10. BAPTISTAM GROMVIVM Bergomatem» lofephm l/nicornus S.D. TA^parentena- tura compara'- tumeft,iuxta do (ftiffimorum vi'- rorum fcntcii- tiam, Eques Magnificc, vt vna- qu^eque res ad pcrfecftiorem fui generis gradum, vti ad vtilli- mum & optimum finem con~ tendat. Plantarum namqjpro- prium eftfolia, 6c frucluspro- ducere, qui,ni(iinanimalium prjeeipucq; hominis , cuius be- A 2 nefi- hcficio fummus Deus ceteras condidit rcs, vfum & alimen- tum rumantur,nondum ad fi- ncmanaturainftitutum pcrue nctunt . Quocifca cum fiipc- rioribus annis lucubratiuncu- lasaliquotdc laudibus Mathc- maticarum artium, illarumqj mirabili inter fc cognatione ftu diofaj iuuentuti haud parum profuturas compofuilTem, cxi- ftimaui has vclut luuetutis mc^ fruges , nondum munere fuo pcrfundasefTcnifi typiscom- mcndataj communi lediorum vfui exponantur. Quapropter vifumcft casin primis tuono- minidcdicare, cum inhis(nifi mcproprius fallat afFedtus) ra- riflimi, ac propeDiuini ingenij tui argumenta contineantur : qu^j fiforte vilibuslucrisdedi- tis ^a tq u e h ui u fce ni undan q tra- gedia^illecebrisinuolutis homi nibus nequaquam blandian- tur,nihilpenituscuro. Nam,fi id genus homuncionibus ob^ fcquendum elTet, honefta ftu- diaomnia proculdubio interi- rent.&in eorum locum auari- tia,ambitio, vitiaomniafub irent . Verum in hoc tantum mihi facisfeciffegaudebo, fi,in- genuis inui<5laeq; virtutis {emi- ta infiftentibus viris^gratum fc- cero. inquoru tenumerOj vna cumrcliquisnobihflimaj fami- lia: tixx , quam omncs fcre no- a 3 fce Arx Ciuitatis fplendidifliniam , libcraliffimam, ct omnium Mu farum alumnam vnoorc faten^ tur,video efTe. Quamobrem, cum omnes aliquo virtutisge* iierc pr^diti tuis prrecipue offi- cij/acmcritis tibi deuin(5li finr> cgo inter ccteros tibi plurimu dcberc confitcor , non iccirco quod in cruditorum numcro mc ponendum cxiftimcms fcd potius quod a nemine(exceptis parentibus ) maiora bencficia quam a te ipfo rcar aGccpifTe. Quare, cum ob virium mca- rum cxilitatcmtuis non cxiguis in mc meritis par rcdderc non pofsim, opufculum hoc fub tuo nomine latino fcrmonc(fI tamcn id afTequi pofsjm) cden-^ dum ftatui) vt non folum no- ftrisltalis, fcd ctiam cetcrisna- tionibusfplcndor nominis tui, 6c bcneuolentia tua crga om-i^ ncs ftudiofos facilius innotc- fcatj fimulqj cxcitcntur adole- fccntcs ad tam fublimcs artcs excolcndas, vt^qux prajtcrito- rum temporum iniuria fcrmc cmortuaj fucrint, tandcm rcui- uifcanr. Huncigitur libcllum, tamquam filium cx patria potc ftatccxcuntcm, & in tui fclicio* ris patrimonij adoptioncm pro p cran tcm, li ben ter fu fci p c & va lcj meq, vt foles ama . Bergomi, Idibus Dcccmbris . M. D L. \ A 4 to» lOSEPHVS VNICORNVS AD LECTOREM, Q l^oniam omnes homines^ fa pientum 'virorum confen.^ fu , auadam proprietate , <jua ceteris prejiant anis mantibus , ducuntur ad co£mtionis fcienti£ cupiditatem , in qua excellere pulcrum cxiftimant i humannsafi^us multa quidem fuUimia ftudia fequeres tur , /? eorum vtilitatem cognofceret . ^od in naturalihtiSypr^cipueq. in her= his , lapidihus , mineralihufq. perjpicue apparet : quorum ficognita effenfvi^ resy inpraciofisquidem 'vafculis , pra= fertimad humanorum corporum^ falus tem , necefjaria feruarentur qua alioqui mortalium infcitia, negleBa fxpe pedi= htts premuntur . Jion fecus Mathema= ticis continger^ mihHS^ mirahilium re= rum fcientite cupidi le^ores fciant .^uo cirea lihellum , tjuem de P^tiUtate Maa thematicarHm <Ldrtium infcripfimtts, lo cupktipmo rerum notahilium Indice auctum , a primx impreponis erroa rihus *vendicatum , rurfm legendum in lucem prodire , ti^ in jiudentium manus exire , ac 'vagari liherius permittimUs: ut tam fuhlimium Difciplinarum gujlu ac dulcedine duEli adolefcentes , ad eas excolendas promoueantun excitenturq, faciliusad contemplanda Diuina;fuhit indeq. alij quamplurimi, in hac turhu= knta ac prope languente Mundi /ene= cta , perditii moribus iHecehru inuos luti , ^id 'veram folidamq . doBrinam amplexandam reuocentur. *Traterea, ne alits ad lahorem inuitans ipfe otio tontahefctr£,hifcepfxteritis annis , cum ^ergomea V rhs nouii ac fortiorihas me= nijs cingeretur , ^folumina quadam de mrmrii ac menfuris adeo ampla (sf^ cos piofa , a multk Di/ciplinarum cuU t»dr UrihM exfpe&ata con^epmas , *ut fidn cituumq. du^oribus , Jed medicis , fed fhilofopl)is,fed legum peritis , ttoHpas! rum 'vtilitatis ftnt allatura, Uerum^nii i^narx plehis aliquafax bonorum inge* niorum claritatem perturbet > fecumdi peffum ire compellat s fellem le^orem fapientite cultorem, non ignorare .quaii^ tum honarum artium contemptores , fos li^f 'ventri/eruientes^ac injiahili fortu^ #f<€ fidentes,ah ingenuis ac prope calediet hus 'viris differant .Jtauidem ipft fuari$ ignauiam , ^ prauitatem improhan» dam, talentam fthi concredita infelici* terperditay cum jiultis^virgimhus tanst dem deplorahunt. Prohi autem 'viri laa horumfuorumpramia, ^immarcefisi hilem coronam accipient . Sed T^nter fo» livs mathematicas nos continuijfe exist fiimes , ceterarum lucuhrationum nojlrd rum titulos inferius oftendimw :pratet lihrufnde ^verha Dei.cui nofidum fu:^ fremamrr^anumapfofHimus. Hijunt: J.iber de ponderibus. Commentaria quaedam in Euclidis Ele-- menta. Compendium ludicialis Aftrologiae. Similitudines ex naturalibus mathematicis, moralibusq; fpeculationibus defumt^. Agricultur^ encomium. Liber de Immortalitate animsc. Breuis traftatus de.Diuina Trinitat;e , vt vel vnius diei leftione Diuinarum rerum ftu*. diofi percurrere pofsint,qux magniso- lim voluminibus fummi TneoIoq;i Atha- nafius , et Aug^uftinus dc hac re doc^tiffi- mefcripferunt, y alete a me alia plura ( Deo permittente ) accepturi fi hxc vobisplacita fuilTe co- gnouero. INDEX RERVM NOTABILIVM in hoc lihro contentorum. Achillis ira Musicx virtute repressa. foLf Achilles musicae harmonicf pentus Adconflitucionem civitatiisfex requirunturcortdicio* neis. jrf^ Agefilai Laccdaemoniorum Hegis imago Agatarchus architectus Albertus Durerus pidlor insignis Alexandri Macedonis imago Alpes diu i (a? ab Hannibale Americus Vespucius novarum insularu inventor Amuliuspiftor AmicaeR similitudo dissimilitudo uero contraria. Analogia minoris et maioris mundi anagmainfula angelus menfor templf, Anim^c& corporis compago Artnulus astronomicus qualis Annulus Pyrrhi Rcgis. Antccik i4» Antipodcs qui fint. Apellis piftoris laus; 3 2» Apollonius Pcrgeus Mathcmaticus. 29. Apollonius Rhodius dc Amphione. 61- Aphricj prouincif. 2 1* Apparentes fpiritus fiue dcfunftorum artimc. 20. Araris fluuij pons d Cjfarc uno die fa^lus. ^ 47» Arbor Architefturj. y i . ArcamNoCfidfymmarwhttmanicorporis fafta. 35 Axcha ^Fcades Mufica magnopcrc dcleftati funt. f ^rchitefturam oinnibijsmcchanicispr^ftarc. . ^ychice^tura humapi corporis fimulacrum. 5 s • ^^•chitcftum Diuini operis cmuhim cfsc. 3 6. ^rchiteftMra iriplex,hpmana,mund2na,ac c^lcftis. j 7 ^chiterturam nafci cx fabrica & ratiouc. 38. Archircdtus debet efse omnium artiura pcritus. Archita5 Tarentinus TARANTO (vedasi) architeftus. 3^., j^rchiteftur^ partesduf jaccidctales,&: fubftatiales.^x Architjcolumba. 48« Archimcdes Gcometrainfignis. 29, ^rdlicum & antardicum polos habere annum, ex una tantum die & node artificiah. zo. ^rgus in pauonem a lunonc conuerfus cnr. 6r. ^rion quantam mufica ualuit ^ &cquo|nodoa^elphiiic ucilus. $0, ^riftidis laus. 3». Ariftarchus Samius architcAusf* « Anthq[iecica fermahs. i f , Artemnauigandinouiauxcruot. Artemimitarinaturam. 3 r. ^ries pmnes quodam uinculo collfganta^. i S- . ArtemifiaCarifRcgina* 44. Artis nauigandi utilita$, 79^ Arti niilitan Allrologiamprodcfsc 71. fi lclcpiodorum piftor memoralnlis,. 33. Afifprouipcia?, xi. Albolpgiafubaltcrnaturphyfic^. 71, A ftrologia mathcmatic^tum arcium Rcglna efsc. 1 1 . /iftrologiac & Cofmographix Communia qux. . /yftrologia: fubhiriitas. » jl\(lirplpgia confirmat mul^aspias opinioncsdcl>eo & (lc|iber4 UDluptatc. 77. Aftrologia: nccefsitas. jg. A?hos mpns fe^us i ]^c^[g paMi|[at>iJjs, 47f Atr« & Thycftis ftatrum hiftoria. ♦7» Auftoroc Cofmographig. 1 1. Audlores negantes antipodcs. aj. Babylonia Aliap Rcgio, ax# BaftrianaAfifRegio. ^z, BiciniaRegio. ai» Boetius numerorum laudator. i j . Cabaliftarum opimo de fcientia. i x. CaTusprimorumparentumqualiSf w Cafsander Alexandri dux, ^ 31. Cafpiae portae. 43. Caufadiiierfa?apparentiaefteIIarum, 30. Cerebru m Lunae^ Qc Solem cordi comparari* r. Cacfaris amphithcatrum. 4^. Cxlaris fontcs. 47» Chriffophorus Columbus nou^ru infulmi inuetor zx Chorebus quinum cord^m addidic tetrachordo. 66. Cjlorum interualla muCc^ proportioaibus CQferri.^4 C^ lum fedcm Dci cfse. C^lum tamqu^m Vniucrfi fpeculum. 67* Corebus ian^tifT. chordam addidit tctracbordo; €6. Clcopis pyramidcs. 44. Chcnisinfula. 4^* CTimaquid&quot. i^* Columnarumracio. 43^ Comparationcs Mundi & homlnis. 6» Comparatio fcptcm planetarum cum feptcm faculuti- bushumanicorporis. ^ 7* Coucentus trcs in Mufica tribus hierarchijs pfcrri. ^4. Comjdiae & cragjdiap rcj^humanas & Mupdum ipfum imiuncur. 37* Cret^ labyrinchus;. 4?^ Cur Deus fcccric homiriem peccabilcjBj; 4» Ciirij Theatrum. 4^« Cyclia$pi£loregrcgiui4 73* Cy- Cynctcnfcspopull; . ^** Damnanccs Aftrologiam Epicurels comparari. 79* Dauidis cytharx uircus* D^dali ingenium* 48.&66 Deiprouidentiainorbcrcgendo» if» Demodes archiceftus. DcumdiucrfisdiuerfabonadiftnbuerCi r^* Deumucritatequerecibusmultalccreca reuclarc. 74* Deum efse fuper omnem nacuram. 77- Dianz Ephcfiac tcmplum mirabile. 4 J* Dicrum inxqualitas unde. 2.0* Dignicas fcicntiarum ex quattuor arguitur. 3 f Dion Siciliae Rex ^r* Diuifio ccrrae in cre$ partes>dcindc in quactuor. lu Ecclypfium hypochefcsAedificiorum quinque fpccics. 4^^ Acdificiorumelcftio. I^i^ Elcftiocempohsinpofitioneprimi lapidis itl conden- disoppidis* ^i* ElidisVrbs. Eody mionem cur a Luaa adamatum fingunt . 66. Eol^pili f re? Vitruuij. Aequalicas dierum & no£lium fub xquatorc Ecfubpolis. ^ Eratofchcnis comnucaiio dc icrrenyft Orbis ambicu/* Euclidislaus. Euphranor piftor egregiui. Europ5 Rcgioncs. , Faculcaccs humani corporis planctis Compa- rancur Felicitas humana Secundum pcripateticos qu$- 7o* Finis mclior cft ijs, quc funt ad fincm. 3 f • Gotiatriplcx.  Goomoniccqualisufus* Hc 1 rterocfotus de Babylonis muris. Hieron Rex Siraculaium. Homjncm re, um omniUm crsemenfuram. Homo lemper viuendi cupidus . t' Homo Diumaru humanaru.nq. reru inueftigator. 6s. fiina* ^''^ P-nctrnarum officio lau* minorii 'ncnlar antipodes. ^^' In omn, «d.fiaotriapotilsimum obferuanda. Irislapisqualisf Lacus & fontes Agnppx Laudatores Matliematicarum aftium qui? J / LigneavenusaDeddlofyta. f" Lmear meridunx vt.Iitas m d-fcribcndis locis. U,ci communia trcs conditiones rcquirere ^7 ' I.otus tnplicem habet /ignificatorcin . V' «"'gtcarommcnJatio. * l.»«g.cudo.& l.t,tudo locorum qHomodofBtciligat> Machinarum zru gcnera ^I* Machinx nollri ceporis mirabilcs Magnccis virtus* Magnos viros pidurx operam dcdiflc. J f Malorum fpintuum fallaci*. ^ Marci Scariri Thcarrum. Marhemacicanimvlus,muItiplexinmiIM^^ Maumetiiepulchrum. Maulbli fcpulchrum. Uxnia noftri tempons vtilioi-a. Mcnlurarum nommaab humlnis mcmbris dcnomi- nata. * Merislacu^. ^ Mercurius tetracordi inucntor. J^* Wiluarium aczerum formf diiierff y j * A Muto* » i iftirorum quattuor g^heri. . Muficam prodcffearchitefto.  i Mufica inuititur Mathematicis j 7. Muficacfexgenera. iti Muficx tria genera apud Plutirchum. j 7i MuficacuftodiriRempub.Platonisfententiai J9% Muficxvircs. jp. Muficarahatrimembrisdiuifio. 61. Muficar genera quattuor humoribus & elemcntls com parari. 6% Nauticxpixidisvtilitas. if. Nicias Athcnienfium Dux. 7u NicobusTartalea Nichomachuspiftor. 3 Nitocris Regis j>ons. Nullam iafturam graUiorcm efle quam tcmporisi i j . Obelifci Egypti Oraculum Delphicum Ordiriatio Quid?  Origenis verba de signis catli Orpheus Muficus orthographia apud Architeftiim quid? Paralellorum inacqualitas vnde } io. Paralelli per quas Rcgiones tranfcant. 20. Pafchatisfeftum mobiIecur?exfacra j>3gina Parrhafi) cum Zeufide piftore certamen. 31. Paufanias Duxaduerfus Perfas . Pcricci qui fint. i^.&if. Pcrfpedliuaf problemamirabiie Piftura deleftat peritos & imperitos PffturatCommendatio Pidoreth dccetomnium artium effepcritum FILOLAO (vedasi) Philolaus airchiteftus. 39. Philofophia triplex vcilis archice^o, 40. Philofophi piAores. 33« Phi- iPhiloxenus piftor infighis. yjv& f f. Pompeilpeculum. Popularium Domus meridie3n,porticus Veroocciden- tem Ipeftaredebisnt. Priuatorum acdificiorum quinquegencra Procogenespidloregregius. ja. Pyramides idcrcdibilis magnitudinis Qualis conditio ftatus primorum parentum. Quinquc Zonx quales fint. i f • Qui negauerunt antipodas. Quomodototum plufquameiuspartcs. Quomodo infirmitasanbrcuis^ vcl prolixa fitfufur^ ihdicituf. Rabi loleph. diftum. Regionesa PcoIomeoprgetermiflir. * Rogerius Baccoh. Regulana quinquc corpora txlo & elementis com- parata. Res funt difciplinarum fubicfla. Salomon omnium lcientiarum peritus. Salomonis templu m mirabile. Salmoneus Rex Elidis* j ^[ Sacurhusa loueJigatuscur* ^y* Seiiamfula. Serapistemplum. Simulacrainlapidibusanatura produfta. jj* Simihtudnies piilchrap. Socrates et Accademia pifturae operam dedcrnnt .  ; Sohscolofsus j.* Sola mens extrinfecus homini accidit.^ s Sohs Idolum. ' Sol cur medius planaarum. s[ Spcculorum mira Spcculorum pratftig/a . ^ 2^! Sy ene vrbis vmbra racridiana* % f] Tau- Taiirus ercus iVtempIo Dianx 4f» Templorum genera. 4 4» Thales Milefius» 70. Thebarum portr. 43. Thilcinrulamiraculofa. lo* Thimocheus Muficus. ^o* Timates piftor Zeufim fuperauit Timomachus piftor.  « Totam terram effc habitatam Triplex ratio computandorum nominum fecundum cabahflas TroiaePergama Vmbrarumdiucrfitas. 24. Ventorum numerus incertus* 264 Ventorum natura. 2^;. Vcncorum qnatuor complexiones. »5. Vitruuijopmiode vcntis. 27. Vitellius perfpcAiux autor ccleberrimus. 28. Zeufispidloregrcgius. 31V Zipangrusinfulaorientalis « X lOSEPHI V. bergomatis LIBER De utilitate mathematicartsm arttunu AD ILL. AC LIBERALISS. lO.BAPT. GROMVLVM Bcrgomatem. I quid eft Vnquam, Eques fplendidisfime , quodhu- manse magis admirentur mentes jprofefto ipfa eft vniuerfiex nihilocreatio!: huiufcemodi autemadmi ratio non inanis quidem , fed vtilifsima potius exiftimanda eft. Quandoquidem mortalirm mentes ad inquirenda ex di- uinis oraculis natur^ fux exordia, fsepius excitet,& impellat , vt tam immenfi ope- ris conditorem, aliquando non folum co gnofcat , & cognitum veneretur, fed etia tot malorum caufam ipfiusculpam ,ex primo homine ^tanquam ex male aftefto feminc ia vniuerfam humanam naturant A i pr# propagatam fiiifle intelligat jcafum fuu defleat , Diuinam clementiam inuocet. Nam cum Deus Opt.Max. hominem fece rit , vt dominaretur c^teris creaturis , & fiio naturali lumine cotemplaretur Crea torismaieftatem, fapietiam, bonitatem, fecilTetq; illum modo illius mandatis ob- temperaret immortaIem,voluntate tame liberum , fuaq; libertate falfseinuidifer-. pentis fuafioni affenfiflet , metientis eum «cn* i.Dijs immortalibus parem fore,fi Dei iuf- fa conu^mneret . Proh dolor illa prxcepti contemptio,illaperfuafio tot^tantaq; po ftea inuexit incommoda, vtexfapientc infipieSjex immortali mortalis, morbifq; omnibus euaferit obnoxius , & qui alijs pra^erat creaturis , miferrime omnibus circunfeptus eft erumnis : qui fine labore ihidcmi viuere in seternum poterat , audit iam vindicisDominifui vocem dicentis: Iii fudore vultus tui vefceris pane tuo : C^i fine affliftione humanarum diuinarumq; rerum callentifsimus erat,poft fibi vetiti pomi efum illam rerum omnium,fuiq; ipfius cognitionem , qu^ fumma erat fa- pientia, tam fubito amifit: cui cxtera ani malia non inuite parebant,iIIisprope- modum par euafit , ficut diuinus ille Va-^ tes teftatur dicens:Homo cum in honore flTetjnoa intellexit, comparatus eftiu^ ^ ^ men- fnentis infipientibus , & fimilis faftus eft illis . Verum enimuero pientifsimus pa- ter Deus^a quo omnia fapientifsime ^ter no optimoq; confilio condita/unt , illum ^hac conditione creauit, vt fi in illius man • dato confifteret, haberet qui eum perpe- tuo amaret , fapientiam coleret, pulchri- tudinem admiraretur ;fi vero (\t conti- *git)fuo arbitrio ab illius mandato decli- naret, illius etiamnum clementiam , pie- tatem, iufl:itiam, mifericordiamq; expe- .riri,diuinaq;liberalitate vti aliquando f)oflet5& panitentia deflendum illum ca- um reparari,& vetufl:am illam quam cqtx traxerat labem,aliquo modo ablui,amif- famq;eiuspriftinam immortalitate poft .fnultos labores , & longos gemitus , per holocauftum vnigeniti filij fui reftitui poffenondefperaret:fiquidem(vtfacra  perhibent eloquia,) fic Deus dilexit mun aum,vt vnieenitum filium fuum daret. O incredibilem Dei patris miferationem fummam & admirandam illius vniuerfo- rwn Opificis liberalitatem,qua nihil ma- Barucli ius , nihil munificentius excogitari po- cap.i* teft: nihil melius amari, nihil diuinius co gitari . Nam qui a mundi fapientibus in rot enigmatibus qua^rebatur, in terris po ftea vifus eft, & cum hominibus conuer- Phi iTatus eftj& pro nobis faftus eft obediens; t'^* ^ A 3 vfquc Exo.itf. vfque ad mortem,mortem autem crucis fn hiro f ^•It ^ POPUlo fuo, ex tOt popU- ^ ekdo,quem a tot , tatisqi Dci ca; P^^culis terra, mariq; minitantibus libe «c . rauitjquem toties ab hofte eripuit,cui ar cana reuclauit ; quem toties mannatc in deferto pauit , cuius falute mare rubrum aperuit.vt nos ob inobedientiam ex natu rah immortalitate in morte delapfos per culpam ,ex immortali mortalis fadus , ipfe rurfus nos gratis immortalitate dol naret . Nam (tefteAuguftino) Dminitas Verbi squahs patri , foda eft particeps noftrx mortalitatis , non de fuo , fed de noftro,vt & nos efficeremurparticires fue Diuinitatis,n6 de noftro,fcd de ipfius bono. Jtaqueficutpoft poenitentiam po titus eft fpe reparandi lapfus , itaetiam reftituendam fibi efle aliquo modo fa, pientiam non dcfperauit . Aperuit enim mcreata illa ^terni pafris fapientia ocu- loshominis,& hotionem veritatismu- nus fuum dedit , vt ipfe rurfus agnita x- term parentis miferatione , faftem per fpeculum in enigmate (vt Apoftolus ait) contemplaretur : & ficut in primo illius innocentix ftatu omnium rerum virtu- tem ac difpofitionem in ipfo , qui terr« , Cflorumq; eratexemplar,intuebatur, ita poft origiiialem culpam ncgcfle fuit illi , no» non modo in fudoribus & laboribus fibi ccm x. corporis alimetum acquirere , fed etiam quod longe prseftantius eft, anim^ pabu- lum non fine continua aduerfus carnem , mundum , & Sathanam luftatione adipi- fcijVt rurfus ex diuinarum humanarumq; rerum indagatione in fui ipfius cognitio nem recliret , feq; ipfum potius cxmun- do, qua'm mundum exfe ipfointuere- .^jtf tur . Attan-^en homo adhuc eft interani^^^ ^ malia & fenfuum perfpicacia , & iy^lAi^ kyj^ gentise lumine pr^ftantij^mum.5i,Sd^ua^ tcx/xV creaturarum omnii-m finis & periodus, ^ '^?^* in quo omnia , quafi infpeculo q^^odam^ confpiciuntur, proptereaq; hunc fapien- nlma* tes microcofmon hoc eft minorem mun- dum^no ab re appellauerunt; habet enim eflc 5 vt inanimata ; habet vitam^vt plan- tse ; fenfu viget, vt pecudes ; eft illi intel- leftiua virtusjvt in an|?:elis, a quibus pau lominus diminutus eft, propheta teftan- te : fi elementa refpicis, eft illi in car e & neruis , terra ; in ofsibus , lapides : vnde cleganter Ouid.conuerfa vtens compara tione in primo Transformationum libro loquens de Deucalione & Pirra : Magnaparens terra eft, lapides in cor pore terra? , Ofia reor dici. Eft ilU io hurooribus aquajinvcnis,ac |ipterijs fontes ac flumina; in rpiritu,aer jf in fanguincjignis; funt in eo valles iii corporis partibus dehifcentibus,monte$ & promontoria in conuexis . Si cceluni (peftesjnon minoremDei virtutem,& prouidentiam in hominis formatione , cjuam, invniuerfi conditione reperies, Quo circa extat illudCaleni in.iij.lib. dc Yfu partium humani corporis : Ne mire- ris ( inquit ) Solem A: Lunam & vniuer- fum aftrorum chorum^ fummo artificio ^igeftum efle , neue attonitum te adeo reddat illorum vel magnitudo, vel pulcri tudo,vel motus perpetuus, vel circuitio- num certa defcriptio , vt fi mferiora his comparaueris , & maxime vnum homi- nem , parua tibi videantur,&omni orna- ^u carere. Veriim quo facilius huiufmodi doftrinam percipiatis , quibufdam fimi- litudinibus vtemur , quas obfecro non YPS pig^at animadurtere . Qu^emadmo- dum enim Sol, & Luna, & reliqui planet^ duobus mouentur motibus ,altero qui- deni vniuerfali, fcilicet primi mobilis, ^ altero.quoproprio quifque motu mo/ tietur , ita & humani corporis partes du plici motu moueri manifeftum eft ; vnp quidem vniuerfali, quum totum corpus inouetur ; altero vero particulari , qui ab infitaparti cuique virtute ac voluntatc; pro-5 proficifcitur,& ficut fulgentiffimus So\ & planetarum primus , orbem terrarum, & quicquid in illo continetur animabili virtute, & viuifico quodam fpiraculo ve- getat,temperat,ac fouet , fict in humano corpore rationalisanima vniucrfamcor poream molem vitali fouet fpiraculo , vegetat , ac moderatut . Sicuti etiam So lis motus amiidi exordio incoelo fem- per conftans eft , vniformis & indefeffus, fic rationalis motus anim? tatifper, dum in corpore viget fibi conftans eft , & a for ma ( vt Academiciinquiunt) Diuinitus fibiimprelfa perpetuus omni momento ad extremum vfque vitse aftum eft inde- feffus , ficut etiam idem caloris fons pe- rennismane depulfa noftis caligine exo riens,noftrumq; hemifphcrium illuftras, homines ad confuetas operas quafi de dafsico cceleftium quotidie inuitat ; fic animalis fpiritus , qui in cerebro per fo- poriferam noftem,tanquam in altero lati tans hemifpherio, matutino tempore ex- cuflb iam nofturno torpore , in vniuer- fumcorpus fpargitur,ac difleminatur , omnefq; illius partes de capite,ceu de cg lo quodam colluftrat, & ad labores, foli- tasq; operas quotidie follicitat: idem ab ortu in occafum viginti quatuor horaru (urriculo vniuerfuxu ckguit , motu adeo lento, lento 5 vt oculorum iudicio vix progredi cernatur,non fecus ac humana mens non modo per omnes mundi plagas , per va- ftiflimum oceanum, per abfcondita terr^ vifcera , per cunftos c^lorum ordines ce lerrime velvnius horul^ quadrante ire, redireq; potsft. Qii.apropter non ab re Hebraeorum Cabahitx decem numerare confueuerunt , quibus homini rerum ap- pr^henfio contingit , quemadmodum & abAftrologis decem orbes ,pra!terele- menta,numerantur . Sunt autem illa de- cem^obieftum, Diaphanon, fcnfus exte-- rior,fenfus interior, phantafia, iudicium inferius^iudicium fuperius,ratio & intel- le<9:us5& omnium deniq; fuprema mens., quse in homine inter decem Sephiroth re gni coronam gerit , queadmodum Deus in mundo:fola quippe mens,vt inquit Ariftoteles in fecundo de generatione animalium,diuina eft, & fola extrinfecus homini accedit , a cuius lumine accepto, virtutes inferiores dirii^untur : fed alias iam fequamur fimilitudines . Sicut de So lis beneficio ipfumSolem intuemur>ita ctiamexmentisaDeo influentia ipfam lucem fpeculamurjficut propheta inquit, -35 in lumine tuo videbimus lumen : Luna quoque in maiore mtido fui luminis ori- ginem , & incrcmenta a Sole gratis acci^^ le- pit , vt viiiaerfam terram dic nodeq; il^ luftret : iii miaore autem mundo fimile eftjquum animalisfpiritus/ecundurti Gx lciium , in cerebro refidens velut Luna a vitali fpiritu in corde refidete , ac Solem prxfe ferente, fiiam ori^inem & incre- menta mutuo accipit,vt Jie , nofteq; (imi liter corpus moucat &: illuftret: & quem- admodum feptem planetx licet fedibus » motu , -& aftionibus difclitli,mutua tame confpiratione , fauente Solari fpiritu fic inter fc conueniunt ^ vt in conf:ruanda mundi concordia,rebufq; fubieftis nun- quam deficiant; fic facultates tres huma-* nis corporibus deferuiftes, vna cum qua tuor alijs naturali virtuti fubminiftrates» feptenarium numerum perficiunt, qua? , funt infitus fpiritus, innatus calor , humt dum primogenium^attraftrix^ retentrix^ nutrix & expuItrix5ficetfedibus,motu,&: a<5):ionibus interfe dirferant,mutuatama cofpiratione^natiuo calore & eius fpiritu duccad vltimum vfque vita? niomentuin humani corporis harmoniam feruantSi moderantur. Sed neidquidem filentio^ pra^tereundum exiftimo . Qudd ficut Sol &: I.una , quum a Martis & Saturni mali-» gnis afpeftibus refpiciuntur , aut his per mnrnas eclypfes finiftre copulatur > tura rcbus tum animantium corporibus mi\% rnaxime augurantur , ita etiam quum i flaua bile aut melacholico fucco , noxiis quidem humoribus vitalis ac naturalis facultas in homine pulfantur & cum fan-- guine vitiahtur & per febres,que humani corporis funt eciypfes impediuntur,tum animis tum corporibus maxima jpfefto protedunt incommoda, fi quidem inquit Prolom^US : 6 nV/o^ oV/ my\if CtcjtixhV ^ivat (jLiaf a i^tatKivnyii 4>t/<r/Jc*fV, alia infuper per- iucunda analogiamaior minori mundo Confertur. Nam ficut Solismotus,acra- diusnequit ihtermitti , quo minus infe- riora perpetuo illuftret: qUihimo fi a mo tu ceffaret nulla planta crefcere nec ani- malviuere omnmo poflet, fedmedium c^lipofsidens, vt mediam ecleyppticanl percurrat Uneam , reliquis nuncfepten- trionem nunc meridiem verfus tendenti- bus 5 medium locum teuere fenferunt fy- deralis fcienti^ eruditifsinii homines . (^od ytiq; magno confilio a JDiuina illa ttitntc omnium rerum architedatrice fa ftum eft. NamfiSol medio loco fubli- niior extitiffet, omnes fuperiores ftellas, quemadniodum Martem ignitas redde- ret : fi autem inferiorjelementa exureret, riaturasq; peruerf eret legem . Quare inge niofe Ouid. de Phaetonte loques fic ait: Altius egreflus cdeftia figna cremabis^ Infcrius rcrfas, medio tutifsimiis ibis. Pari modo & cor in medio humani cof jporis refidens ac veluti Rex c^teris mdni bris & inteftinis tanquam fatellitibus vii <liq; ftipatum, quorum in temperanda to tiuscorporis mole auxilio vtiturjfipci? fuas arteriarum fyftolas atque dyaftolas motum fifteret, vel remoueretur, nullunl confiftere mebru poflet nec viuere: Kabet pr^rterea humanu cor ( ficutSoI) duos mo tus^ & totidem orbes a fe inuicem difcrd ros per fyftolen & dyaftoleri ,exquibus infignes ramos uen^ arteriofce, & arteriai venofae vitali fua afpiratione vndiq; Cpzt git.Mirum illud eft etiam tam errantiumi quam fixarum ftellarum numerofam mu! titudinem tam mif abili cohcetu iriuicem fconuenire , atq; Mundi res omnes tempe - rare ac moderari, perinde ac humani cot pdris partes mutua ope vtuntur. Nam e- patialimenta,&chylum pr^parat ven- tricukis,vicifsimq; ventriculo>Iijfq; pzt fcibus fariguinem epaf ,& cum calore fpiri tum miniftratjpulriio aerem cordi attra- hit,cor attenuatum fanguincm illius aii^ mento idonefi condit,ocuIi infuper duo^ dexter & finifter , ceu minoris Mundi lu- minaria,manibus pedibufq; conueriieh-» tem tramitem ofteridunt,fuifq; radijs to^ tiim corpus illuftrant . Aiia J)rjfeterea firidi iitudine, maiorem mundum minori coti- rcr-^ ferre non incniditc poflurtius : nam cum luminarium in zodiacn progrefsio, qua- tuor tum anni , tum mefis tempora quali tatibus inter fe diffidetia etficiat , eadem propemodum in hac vita homini contia- ^ere phflofophi docuerunt: {i< juidem v6r a Solisannua peragratione perprimum zodiaci quadrantem circunfcriptum , & fimiliter prima Lunx ^tas,feu quarta,a fuo cum Sole congrefTu ad primam eius quadratura, humida eft & calida , qualis imprimis eft pueritia : deinde a^ftas , hoc cft temporis illud fpacium , quo Sol pro- prio motu fecundu Zodiaci quadrantem permeat,& Lunx ^tas fecunda>ea fcilicet intercapcdo, q eft a primo eius ytyorofAOf adplenilunium,fiue vt Grasci dicunt 'Tretv-^ rgA/roi', vt iuuenilis aetas , calida eft & fic- ca : tertioautumnus , & ea Lun.r tempe- ftas , qux eft a plenilunio ad vltimam e- ius quadraturam ficcus eft , & frigidus : perinde ac illa aetas , qux proxime ad fe- neftutem accedit, frigida enim eft,& fic- ca : poftremo hyems cum ea Lunx tempe ftate , qux eft ab vltima eius figuratione cum Sole ad proximum nouilunium, non fecus ac hominis feneda,frigida eft & humida . Quo circa fi accuratius & hu- manx naturse , & c^lorum ordinem,qua- litat€S,& motus cxanaiaemus , hominem omniainomnibus pcrfplcucac vdini p^tmd c *  I J ^ *  rcgioneccrnemus. Acceditadhocquod iiultofublimiushumanam natiiram extoU ^^*^'^ lut diuinf illa trinitatis vcrba apud Mofen, q Suf hominem ad imaginem & fimilitudinc ' )ei faftum fuilTe telbntur . Idq^ facri fen=» tiunt thcologi,quemadmodum.n.in Deo tres perfon^patris,filii,& fpiritus fanftiab vtroq: proccdentis fubftantia? vnitate com pleauntur,ita & tres rationalis animx po*: tentif ,memoria,intelleaiis , & vokmtas in folius anima? fubllantia vniuntur: & ficut i PatreDeo^eft filiusac Deus.fic ab hominc alius eiufdem naturse homo licct in hoc, & Cftcrafcoinmuniccnt creatur^.Pr^terea fi^ cut Deus omni prxeft crcaturx , in mundo tamc^lcfti qua fupercxlefti, ita &homo in vniucrfofenfibili mudocaeteris rebus prf fertur,omnia(inquit ^pheta)fubiecifti fub PMt. pcdibus eius: dcniquc ficut Deus vbique eft in mundo, ita anima in corporc fecundum potctiam adeft vbiq-.Dcus ctenim,vt Merif curiusillcTrifmegiftus quada adduftusfi- j'*^^^ militudinc inquit,eft fphera intellcftualis, ^tftus. cuius centrum vbiq, cft,circunfcrcntia vc- ro nufquam. Anima quoq; fccirndum Phi- lofophum cft tota in toto corporc, et tota in qualibet partejgltur O homo qui melio ribus, & fanftioribus dotibus a Deo opti. Max.eib initio ornatus cs, & hac conditio- B nc ne donatus, vt cx infito tux natiir^ Hcfidcs rio quibufcunqipofsis viribusadfumma & optima tendcrcs.ne tuo abutaris finc, cx ii- ino terra! & vitf fpiraculo copofuit tc Dc^ vt&corporca prudentcr cures & fapicn^s tcr amcs diuina,ad id natus es, ad hoc natu- ra & finxitjVt & pcdibus cum bcflrjs ambu lcs in terra, & folus cx omnibus animatib^ crefto capite cum angclicis fpiritibus ac cac lcftibus conuerferis, manus vtrafqjintcr pe des & caputlocauit,vteasadviclum ncccfs firium laborandofigercs in tcrram,& ad vi tam xtcrnam contcmplandoleuarcs in cx lum,ad quarum tutelam oculoru orbcs foli hominimotabiles inditifunt, vtin terram pro corporis,& incaelum proanimi cons» lpiciantfaIutc:enitcrepro viribus tcipfum cognofcerc,neque'tuam defpicias dignita* tem,ex tota mctc dilige illum,qui tead fua fimilitudinem fecit : ne impliccris in mundi voluptaribus & carnis illecebris,qux te im pediunt,quo minus diuina intclligas ^fiqui^ dem concupifcentijs indulgcndo corrupu- tur defidcria fpccuIationum,quibus alioqui naturaliter ducimur & traliimur ad appro* hendendum res fummas & diuinas, q^uantu ad noftram fpeftat beatitudinemjideoqj fa== Cahali* pientifsime humanum fpiritum igncm Ca^s Jhf baliftac vocauerunt.Ignis quippe eaeftna=« tura.vt nifialiquo impedimcto detrudatur, fcmper fcmpcr arccndat^fic rationalis fpiritus cor* poiis fcnfibus impeditus nequit libcrius ad diuinorum contcplationeafcenderc. Cor=i puscnim(inquitSalomon) quodcorrum* S^iT. f ituraggrauatanimam:terrena quoquc in abitatiodeprimit fenfum multa cogitan^s tc. QuocircaRabilorephCabaliftauihor ^''^' tonucisUb.n.vt tranftuhtvir Hebraicc& Grjcc &Latin9pcritusIoanes ReucMin'* u^^y^ Phorccfis,inquithisverbis,fcias,quiaani^ c/;W ma intelleftiuainfufain homincm,& reprc fentas formam fuprema,ipfa vocatur ignis, cui illud Salomonis adftipulatur, lucerna Dei fpiritus hominis.quodetiam Poeta fen tjre videtur his verfibus in lib.Eneidos. 6. Igneus eft oUis vigor & caeleftis origo V/Vfi. Seminibus^quantum nonnoxia corpora  tardant. Terreniqihebctant artus, moribundaquc membra, Ergo antc omnia formandus eft ad vir- tutem animus,& optimis difciplinis inftitii cndus,vtcxtinftis cupiditatum ardoribus fcilicetfuperbia,hypocrifi,auaritia,odio,ia uidia,turpitudine,ad vcras firmasq; diuitias fcftinantes animos rcuocantibus, ad fapicn tiam alacres propcremus,quf in manuolam animam, ncquaquam introibit, Salomonis Saf. fepictifsimi teftimonio, quific loquiturm Ecclcfiaftc:cuftodipcdem tuum cum iueris B 2 ad addomumDci.Itaqucpoft morcs compo fiLos& purgatuma prauis cogitationibus animum, opus crit humanarum quoque ar tium forcs apcrire,poftea Mathcmaticis ac Phylicis,nuincri,pondcris,ac mcnfura? om nisqi motus & quictis rcbus cfTentiaHtcr in h^rcntis notitiam miniftrantibus opcram darCjVt ad fcparatarum tormarum , ac fim* plicium fupcrioris , & intelhgibilis mundi fubrtantiarumcontemplationcm ita man- fucfcat mcnSjVtin ipfa fermc Deipcnctra- Ad Ko ha irrcpat:funt enimhumana^quoquefcic- tixgradus quidam ad capcfccnda diuina, qucmadmodum Paulus ait>inuifibilia cnim Dciacrcaturamundipcr eaquf fafta (unc intcllcftaconfpiciuntur: quadfi cxcmphs quifquam fibi pcrfuaderi defidcrat,Mofes il hafili.l brcorum lcgislator,(Si magno Bafilio us. crcdimus ) priusquam diuinis opcra darcr, Acgyptiorumdifciplinis mctcm cxercuir, Danicl quoquc ille cofultisfimus adolcfces, ''^^^* cum apud Babylonios Chaldcorum (cicn- tijs incumberetjpoftcadiuinis contcplatio nibus fummoftudioanimum adhibuit.Vc* rum,vth2ec omnia quam poflumus minori labore, minufqi arduo callc(nc dicam faci- liori)aflequamur,ordo in primis feruandus eft, quicuminomni ncgotio,tuminhac potifsimum fufcipienda prouincia laborem maximcminuit^quc profc£lo feruabimus» fiab II fiab his,qiixal!arum diiccs funt omniiimqj fapicntiun autoritatcccrtiorcs , difciplinis incipiamus , qualcs funt qux mathematicf appellatur.Nam vt etiam tradunt Hf breo- rum Cabahll:f,quicquidin cqVis cft,non fcit Caha-^ homoahquid exeo, nifiad ipfum modum mathefcon fcu difciphi^arum, vfqj adeo mo dicum.harum prior eft Arithmccica, quf (fi Boctio fidem adhibeuius)per fc conftat nul liuspr^cedcntis fubnixaauxiho,hac tanti ^J/ir^T oh'm fecit Auczoar Babylonius, vtaufus fit Uudes. dicere, eum omnia fcire,qui noucrat numc A«?n. rarc:fcribitetiam Plato in Epimcnide, mtcr ^"^, omneshberalesartes &fcientias contem- platriccs prjcipuam maximeq^diuinacflc PW fcicntiam numcradi.Hxc tanc| auhcus nos ad Geometria perducit, ambf vero ad Mu- ficcn,hap autcm tres ad Mathcmaticarii om nium Reginam Aftrologiam conducunt, qua ad mirabile Dei opificium oftcdedum, ciusque in condcndis c^loru orbibus fapie- tiam,potentiam,maicftatcm,nullaprxftan tioreftjharumcgo mirabilcs vircs&vfum figillatim pro ingcnti mci mcdiocriratc tcn taboexprimerc, vthis humanis di(ciphnis inftrufti.vehit in aquam Solcm vidcrc afluc faftiad ipfam diuinarum fcripturarum lu- cem dirigamus intuitum,iuxta Dauidicum ilhidjucerna pedibus mcis Dominc vcrbu p^ tuum, & himcn fcmitis mcis. , ,8. B 3 Exor^ l^xonatio ad Difciplms^ inqu<tmultiplcx Md^ thcmatic(e oflcnditur utilitus. VOs igitiir, qui ad ueram folicJaq; doc* trinam afpiratis adolcfccntes, & qui nuper cx grammaticis gymnafiis ex- ccfrifHs, fidoftrinf nobilitateinfignes forc cftis percupidi, flatim poft hec Euclidianae lcft ioni animum intenditc . Neq; haec uos abhoc perutili certiffime doftrinx ftudio opinio reuocet,quod in dimeticdis magni- tudinibus,aut mercatoriis artibus exercitass tioncm induftriamq. ueftram non proftitu iftis, quadoquidcm non modo rjs, quihuiuss fce eruditionem difciphna? quaeftus caufa fi bi comparant, verum etiam ad aliarum di& ciplinarum cognitionem tendentibus uti^ lisfima femperfuita maioribus noftrisexi- ftimata,utpotc illa.q & ahisfimaru rc ru fup peditet cognitionc, 8c caetera ftudia omnia cum Grf corum,tum Arabum,L^itinoruq5 monumentis comprehenfa excitet,& iUuf- trct . Cuius rei teftimonium fatis perhibent pUirima Academicorum ac Pcripatcticoru arithmeticis, geometricisq,- dem6ftrationi=s bus,& cxcmphs fcatcntia volumina; quaha fun inprimis illa, quae decoclo, & mundo, de phifico auditu,& quae poftea ad logicam pertinent facultatcm diligcntifsimc fcripfit Ariftotclcs. Quod cquidcm ijs qui aHquam c um ttcus. cum co dcambulatiiinculam fcccrc, minimc j^notum crt,prefertim,cum quod in cathc^s gorqf, quod in co libro, quiTTfefJitpMtyioc^ in- fc ribitur, quod deniqj in prioribus,ct poftc rioribus tradidit rcfolutorrjs,id omnc ad dc jnonftrationisfincm fcripfiflc vidcatur, q mathcmaticis quidcm artibus praecipucper cipitur,& illuflratunQjiod nimirum ingc- nio,acmult/pHcicruditionc praeflans loan ^^^^ ncs Grammaticus cognomcnto Philoponusin pollcriorum commentariorum vc» flibulo manifcfle tcflatur,inquicns, Ariflo telcm pofl: fimplicium vocum, propofitioa num , & fyllogifmorum do£lrinam,dcccn' tcradmodum poftcriorafcripfifle, qucadai modum cnim (inquit) impofsibile eft cytha rampulfarc fimplicitcr ncfcicntcm Lydia, aut Doricam harmoniam cognofccrc , ncc rurfus piftur^ fim plicitcr cxpcrtem, fi acci- dcrit roftratam pifcis imaginem pingcrc: fic impofsibileeft dcmoftratiuu cognofcc^ re fvllo8;ifmum , antcquam difcamus fimpli citcr fyllogifmu . Multa fiquidcm> & in ca< • tcgoriis,& inlibro dcintcrprctationc, ncc non & in prioribusanalyticis,ftudiofis oc ^ currunt,qu2e hifcc difciplinis mirum in mo dum ilkiftrantur.QiiarcjCum hifceclcmcn tis, prarcipucqucEuclidis,opcram dcdcri- tis,confiditc,rationalis,naturahsqucphylo fophic haud contcmncndam partcm fimul & 4 imbi- imbibHTe , immo vt aDiiio Sciicnno Boc- tioacccpimiis^acris hauddubic iudiciiviro^ nullus finc his cffici vcrcphilofophus po- Moetius teft.Taha(inquit illc) ftudia funt ca , q ma* thcmatica dicuntiir, ut fi his carcat dihgcns vcriratis inc|uifitor,vcrum ipfum inucnirc non posfif.quinimmo finc hac vcritatis fpc culatione nuHi re<flc (apiendum cfl:: proin- de qui h^ c fpcrnit,id eft,has femitas fapicn^ tise ncghgit,ci dcnuncio non rertc philofo* phandum.Siquidem phylofophia amorfa^ pientix cft,quam certc in his fpcrncdis iam ahquis contcmpferit Ha?c ille , adeo enim hifccdifciplinis dclc(ftabatur ftudiofa anti^ quitas,vt harum clemcta omnibus, qui tuc liberahtcr inftitucbantuna tcneris tradercn tur^quodCvt rcliquatrafcam ) clareindicat; P/4?e- fymbolu ilKid , quod Plato in foribus Aca« demi? fue pinxifte dicitur,videliceta)^:QM i TfJrTW ovc/^eiWioiTM. quodifto fignificabat cos, quiadphylofophiam accefluri cffenC prius in Geomctria crudiri oportcrc . Ncqj cnim aliquod cligibilius , atquc lucundius ftudium cft, quam , quo rcrum vcritas faci* Vlato. lins deprehcndirur : ficuti fapienier ab eo- dem diftum fuiflelcgimus,honorcm quide omncs eos fequi , qui propofitum fibi offi* cium cxcquuntur,diuitcm cnima multitu* dinchonorari,& fortem & fapientcm,qua propt^r quanta proueniat cx honorc vo^ hiptas luptas,vfu ipfo intclligi 5 quanta vcro^fit in vcritatis contcmplatione fuauiras, folu (en- tirc phylofophum : nuHum rurfus afflucn- tius dcfidcrabiliusque ftudium cfl: , qua quo brcuehumanx vitac tcmpus,cuius iaftura (tefte Varronc) nihilcftgrauius,haudpa- v^rm rum rcparaturquandoquidcm hifcc ftudijs prxduisadolefccniibus , rchftisiis leuifsis: morum Sophiftarum fcntibus, ac fcopulis, in quibus incauti iuucncs a malis prapccpto ribus dclufi totam fcrc cTtatcm fruftra con- tcrcrc folcnt, non foUim ad ca qu? pr^ dixi-.» mus , vcrum ctiam multo propius ad difci- phnasomncs, quarumabfquc Arithir.cti- ccs ct Gcomctri? principiis, neuUaquidc habcri cognitio p6t,in primis aditus patc* fiat. Accedicad hoc quodharum difcipli- narum cognitionccopUircs inCicris hbris precipue in Ezechiclc,Daniclc,& Anoca^ lypYi , ali")squc nonuullis diuinis traditioni* bmlocienodantur,qui ftudiofos, licct ha^ N„ me- rum artium ig»iaros vltcrius tamcnprogrc rorum dicupicntcs plerunque remorantur, qua- Uuda- propter(vtmultarumreligTonum ^apien- tcs taccam ) in numerorum , ac mcnfuraru ^^^^^ adipifccnda doftrina non parum(vt aiunt) Wi^rn" olci confumpfcrunt , olim patres iUi mori* nymui. bus,& doarinailluftrcs,ficrarumquehte:: ^"^H^"" rarufidisfimiintcrpretes Dyonilius Arcopagita, Hicronymus,Auguftiaus, Ambro- fus. fius, KiceU' lTiis,Bafilins, &: cxrcccntioribiis NicolauS ^ dc Cufa Cardinalis, & Caroliis Bouilliis vir /iu5 proculdubio vndccuquc dofti(simi,quc- Nicc- admodum eorum fcripta lcgcntibus vidcre laus de ncdum conticcrclicct , quibus & ftudiofos ^**^': • hortantur , vt hcc optima ftudia colant, Sc ,/ amplcaantur,quantum autcm atTcrantlu* lus. cis m admmiltranda Kcpubhca,m rcgcndis Tuto. magidratibus , in a?rc pubhco curando in ^.rti//fo. ciuihbuslcgibus explanandis maximcvbi Boetius bxrcditatum muhipliccs diuifioncs contin gunt^pr.Ttcr id quod quotidianus vfus fcr<^ indicat, Plato in legibus & hbris dc Repu- bh*ca,& Ariftotclcs in quinto Ethicorum, & fapientes iuris ciuihs interprctes docuc^ runt.Omnia igitur(Boetio Scucrino aflc- rcntc)qua:ciique a prima rerum natura coa ftrufta funt , numerorum videntur rationc formata.Hoc cnim fuit princ ipale in mcn:» teconditoris excmplar,ninc elemcntorum miiltitudo mutuata cfl: Jiinc tcmporum vi* ccs,hinc aftrorum motus,cochquc conucra fio,omniumquc ftatus numerorum colliga tionc,ac proportioncfubfiftit. quinimmo motus,& Vi^io,6c tcmpus ipfum , & quae- cunquctcmporemenfurantur, utconcen** tus,& voccs,numcris , eorumquc conftant proportionibus , ficutipfcphirics teftatut Boetius.Vcrumlcftorcm noftrum ncqua^ quam latcat , mc non iccirco iiU fcripfillci ut vt cos hortarcr^qui fordidis ingenljs pr^ di- ti, ipfaartiiim dignitate qiiantacunque fit niinimc excitantur^quiquc vulgaria qu^ da ncgotia quaeftus caufa fcquuntur:fcd ncquc corum reprchendimus propofitum. Siqui* dcm no fcmpcr cx lapidibus forma,ucl ma* gnitudinc paribus extruitur macerics.neq; (vt dicifolct)ex omnih'gnofitMcrcurius: fedut rcftafaltem & ^enerofain?cnia,ctia mcdiocnamoncrem,atquc accendcrem,ut omnes artes , quas hberales appellant pcr- difcant. Taceohicillasingeniorum feccs> illosdico hominesnauci bonarumquchtc rarum infeftos hoftes , & Reipubhca? for- des,qui fa?pe vel lcuifsimos ioculatores , cc^ rctanosXcurras>impudentcsque mimos fui fimiles doftis viris,& vereTacrofanftaeque doftrin^ cultoribus pr^eferre r^onerubc^ fcuntaiequeenim commcmorationcdigni funtrverum ex hoc quanta fit virtus hquet, nam contempta Uicct, & opprcffa gloria- tur. Vos itaquc^qui ad vcram laudcm afpi^ ratis, nequaquam tantilaboris tcrrcatdiffi cultas.cum pcncomnes, quorum famaper cclebris cxtitit non vnius tantum artis, {ed totum fcientiarum orbcm , qucm Grarci t yKi/KXcTTOdA^ftv vocant,pro v iribus conati fintamplcfti. In quorum numcro cxtitc* runt (uthicnliarum philofophie pnrtium ptnh.^ proccrcs,& Hcroas pratcrmittam^Prol yitrw' m^us, Virriiiiiiis, & Eiiclidcs Mcgarcnfis Socratis difcipulus, qui teftc , Laertio, cum ^udt' ipjQji^pi difciplinarum gcnere verfatus cf-i LrTpr- fct,taclcm ad Arithmcticcn,& Geomctria, $m. aliasq; abhis Hcpcndcntcs artcs tradcndas vfquc adcoappulic animum , vtflcut antc illius tcmpora > ira ncquc poft , qui cum & rcfto inftitutionis ordinc,ac thcorcmatum copia , ac firmitatc xquaucrit.haftcnus vcl cruditorum omnium colcnfu fucrit nullus. Pfo/o- ^a^nanimi quippc cfl ( inquit Ptolome^) magnaparuipendcrc,at puliliannni par* Q^-^ uamagnificarc. Proinde& QuintiUanus ulianus ait,nihil adeo difficilc cfTc , quin laborc , & induftria vinci qucat rurfus nihil cfTe tam facile.cui non fuccumbat incrtia • Pr^terca ordoipfc, quiin difciplinis feruandus cft, plurimum tollctlaboris , omncs namq; di- fciplin^, licet intcr fcdifparcs fint,atquc alise alios habeant ufus, mutuo tamcn quafi nccesfitudinisvinculocolIigantur.Propte^ rca & Poetf mufas forores appcllarccon- Boe" fucucrilt.Idq; clare tcftatm: Scuerinus Boc« tius in principio libri dc cathcgoricis fyllos? o;ifmis,Non cnim(inquit)vnaatquccadcm diuerfarum efl ratio difciplinarum, cum fic diuerfifsimis difciplinis vna atquc eadem {ubrtantia,matcrics:alitcr cnim dc qualibct orarionis parte Gramatico, alitcr Dialccli co difTcrcndnm crt,ncc codcm modo linca vcl o- ba vcl fuperficie Mathcmaticus ac Phyficus traftant^qiio fir,vt altera alteram non im* pediat difciplina. fed mnltorum confidcra* tione coniundla.fiatvcranaturf atqueex omnibus explicata cognitio. Pr^ terea , vt ftudiofis leftoribusgratum faccrem ahos ' quoque numerorum vfus,fecrctioresqi co- rum opcrationes,atque virtutes nonpiguit commemorarc, quibus cognitis pofleiniis multaarcanaapcrircmyn:eria,& mirabiha opcrari, qucmadmodum Pythagorici, A- A^^ao^ 'aophenus,Philolaus,& HxbreorumCa jjj^^ ilifliae multapernumerosnominum per» y^T ^ modumcognitaranoncnafccnti Cnbdu cuilibctexaftrorum compaginatione in- fi'^* ditorum pr^ fcireprofitebatur. Hinc nato« rum horofcopia dominatriccsquc flellas inucniut, hinc profperos infaufiofvc pro- gnofticant cucntus , hinc controuerfiaru, & bellorum cxitum aliaque id gcnus augu rantur , in quibus reconditum cfle aliquod myfterium innuit loannes Euangeliftain Apocalypfi,cuminquit, hiceftfapientia, ^l'^' quihabet intelleftum intelligendi,intcHi-  gat,& computet numerum beftic , numc* rus enim hoininiscft, & numcruscius fcx- ccnti fexaginta fex. Eft autcm numerorum computandorum triplex ratio,ordinis,fci« licct,progresfi6;s, & multipHcationis:hfc cft.vt mihi quidc vidctur,illa diuina Arith- mctica^ mctica, qu? non in vulgaribiis ncgotlis/cd in(iiuinaruin humanarumquc rcrum fpc- ViciU' culationcverfatur, de qua loanncs PICO (vedasi) Picus Mirandula? princeps, vir profcao nuqua fatislaudacus, ad quatuor, et septuaginta quaestioncs cum physicas, tu divinas (c pu- bliccrefpofurum per numcros poUiceba^ tur.Dc hac itacjueadco fiibhmi Arithmeti ca particulari hbro,non nihil Dco optimo Max.permittcnte,traaaturi fumus,vbi nd nulladiuinorum oraculorum arcanactiam inultis cx iis, qui diuitiarum copia , molh^ busqiie veftimentis magis, quam doftrinae nicrito,vulgo fapicntcs habcri ambiut , pc nitus ignorata explicabimus : ncquc cnim J^, ' ( inquit Plutarcus) faciunt cquum mcliore aurci frcni,nequc dctcriorcm fcrrci, ibiquc cni^^maticum fcrupumacomicc Mirandu lano intcr nongcntascoclufionesfuas^- pofitum exolucmus,de quo ipfc ait fcrc ad Jo. P/- verbum, Qux fciuerit quid fit dcnarius in ocs. Arithmetica formali,& cognouerit natu=: rampriminumcrifpherici, fciet fecretum quinquaginta portarum intelligcnti? , & magnilubilei, & millefim^gencratiois, & rcgnum omnium fcculorum , hxc ille.Sed nunc fatis fic hoc quafi quodamlaudu prac- conio ftudiofos monuiffe, vt fciant numc- rorum,ac figurarum rationcm, & pcr fc,cc inonuiibus arcibus,ac fcicntijs pcrcipicn- dis i6 A\s raaxlmiforccmolumcnti , ncc tcmerc Salomonem rapientisfimum dixine^omnia in numcro, pondereA mcnfura ab ^terna illa monadetuiircconftituta. Rcliquu cft, vt lcft orcs moncam,me nihil in hoc,ncquc in c^teris libris, quos dc Mathcmaticis oni -nibu5cdcrccordicft,contraSanaf,cachoa liCcTqucecclcfijefanftioncs ( quod fciam) crroris admifille, quare fiquid emcdationc dignum vidcbitur lcaorcm rogo, vt id po^ tiusuifcitix mcx, quam malc intcntioni trib iat:nam,vtinquit Pocta , non omnia ooilumusomncs. DE VSV ET VTILITATE 'mthcmticdrum dcpendcntim ab iUts <\M- tMor hriihmcticAficomctriA, M«/ic<<, hWrohixi , cr ^imb de Cofmographitt. Tatvervnt vnoco- (enfucommuncm hac fea tentiam maiores noftri , qui rcrum ordincm, natu* ramq^confuicrantcs nihil vnq; temcre excogitauc- runt , nullum agcns temcrc quicq; omni» no agcrc.fccl ahqucm propriae cius aaionis finem intucrt. Qiiamobrcm noninconue^ nicnsforccxiftimaui.quotiesde ahqua rc dicere inftitutii nobis fuerit, eius fimul vtili tatcm ac fincm prsefcrre , vtin honiinura animis fixa facihus , atq; ardcntius aftefte- tur ac (vt dici folct) mordicus tcncatur : fi* AW/l.i. quidcm vnufquifq; fccundum philofophu. E(/«co- cadih"-it,quxcognofcit:ignotaautcm qua fW- tumvisprcciofaneghgit.Proptcrca muU ta quide ingenia egrcgiis , ac fubhmior.bus utiq; fcfe dederent ftudiis , fi artium vfum . ac finc agnofcerent.quaeahoqut tcpcfcunt. atq; defiftunt . Q^anti quxfo facies inftru= mentum , fi non cius callcas ufum f Qiio circa omiii dihgcntia curandum eft,vt poa ftcrz iuucntutis ignauiae locus pro noftra viriu virilidencgctiir. Itaqj vcllcm lcflorcm no- ftrum non latcrc,magnum, & prxcipuuin vfum AritIimcticeSj&: Gc6mctrieccrnijii confidcrancia tcrreni ofbisdilpofitione, ac niagnitudific , cjuorurn doftrinam Cof* niograpliiafn appcllanc. Ncq; cnim ficri potcft vt,nifi pr^gullatis liarum difciphna rum principrjs a quibus ccterx mathemati c^jtanquain riui a fontibus fuis dclabutur , fphcrsc ratioriem dcccmq; eius circiilorum difpofitionem,atq; officium quis (atis intel ligat . Habetprofcfto huiufcemodi doftri na multa quidem principia cum aftrologia communia , a quibus , tanquam feminibus |;>aulatim gcrminantibus, atq^ aid fummum v(q) frugcm cxcrcfccntibus,totius artis frii ftus colligitur : qualcs funt Ecclypiium hii iufmodi hypothefcs, ideft , Solc fcmper fub ccdyptica eflTe linca,non etiam cactcros pla netas,i.Lunam non habere per fchimc,fed aSolcaccipcre.i Terram cfle Luna longc maiorcm.^.Non fiericcclypfimnifi fccun=s dum diamctrum.4 Lunfcorpus dcnfum cf fe,& minimc tranilucidum . 5- . Exquibus coUigitur folisecclypfim tunc contingcrc, quandoLuna intcrafpcsflum noftrum, & Solem fecudum diamctru n locatur : Lun§ vcr6,cum tcrra intcr Solcm > & ipfam Lu- nam ponitur,ecclypfim Lunx vniucrfalcm cffe poile, Solis vcro mininic. C H^c lofcphi Vmcom H^c fimt itaqi Lcftor ftudiofirsjmCjloci illi Jeii fedes quxdam argumentoru cx quiti bus,& locorum diftantunro, & totius tcrrae longitudinem ab ortu in occafium acccpta ratiocinantur cofmographi . lUi naqj quot horis cit]us SQlonatur,nuic quamaltcrici uitati animaduertcntcsjinuencrunt illam ci 4iitatem,qu^ vna hora citius habuerit orien tem folem^quam altera>quindecim ab altc^ la gradibus dillarc,fi duabus horis triccnis, '& lic dcinceps hac obfcruata ratione . Vc* rum ha^c ortuum diftcrcntia cx lun^ cccly-^ pfibus accipi folct,quf licet vno temporis minuto confiftant, nihilominus, qui magfs oricntalcs funt, plurcs horas dc horofcopo abfcindunt;quando quidcmcitius orictcm habeant folem , idcoqub illishorae citius numcrantur,vt Arbilis Affyxix vrbs orica tem vcrfus habuit ccclypfim hora quinta , quando Chartago minus orientalis hora fccunda-.quarecum tribus horisinter fedi- Vtolo^' ftcnt criam gradibus 45.tclle Ptolonieo lib» t^^^' i.cap.4 . diftarc fupcriori rationc neccne cft quorum menfo fpatio , vel faltcm vnius gradus totius terr^ ambitus innotcfcit . Ha Dct mfupcripfadoftrina alias hypothcfcs, cxquibus & totius tcrrac, & locorum latiai tudo a mcridic in Septentrionem porrefta, facilius , quam longitudo arguitur ; quales fuat ill9,qu9 oftendunt circuli ad circulum cftc T^e ufUyCr utilitulc Mathcmdtic. Artiuin. t8 cfle proportiorte,mcdium cx\i nobis fcm- per apparerc,demiflos radios a Sole in ter« diffcientcs partcs paralleloscrte,tcrrara fead totum caelum nabercvclut punftuy, ^qualium angulorum produftas circunfe^ rentias eandem ad circulos fuos habere ra« tionem.qu^ omnia m Aftrolabii , aut quaj» drantis ufu fpeculantur , fiquidem alhola- bii partes obfcilicetsequalium angulorum communitatem,cxli partibus fimiles funt, dcmonftrantcEuclideinvltima 6.Elemen e^//^ torum;quibusconfideratisnon difficilead des. modum fuit maioribus noftris totius terrj ambitum inuenirc. Illinanquc fumptoa* ftrojabio^aut quadrante nofte clara,appa- rentibusquefteUis,& per inftrumenti fo< ramina polo perfpeclo fi^nantes graduum numerummediclinioindicatum direftcq; ^ a mcridie feptcntrioncm verfus eo vfque procedentes, donec in alterius noftis clari tate vifo , vt prius , polo altius uno gradii ftetiflet mediclinium,menfi funt itincris iU lius fpacium,inucncruntque illud( vtva- rias cofmographorum mcnfuras breuitatis caufa pr^tcrmittam)oftuaginta fcptcm cu dimidio miliaria Italica vnigradui rcfpon- dctia.Igitur fi ca in j 6o.gradus duxcrimus, tcrreniorbisambitusconfurgcnt milliaria f/"^'** Italica jiyooo.&rcuilibetgradui^ oo.ftas ^J^^'^^ diadeputandoautorcEratolUicne proue» tatKt, C z oicnc ^ lofcphi Vnicorni nicnt 1 5 2 o o o ftadia . Qi^iarc fi Arclii- nieclis rationem confiilas tcrrae diametriim 1 o o 2 1 . milliaria Icalica iniienies, ciufquc fcmidiamctrum 5^0 i i. Qj^cquidcm viiU go impofsibilia vidcntur^cum nemo lit^ qui tcrrj magnitudinem dimcnfus fit, pela- go, fluuiis , lacubus , fyluis , rupibufque in^ ^acccfsis immenfifqae folitudinibus, aliifque ihnumcris obftaculis viatori ircr dcncgana tibus. Alia funt infuper, qu^ cum in A- ftrologia,tum in Cofmographiaconfidc:: rari oportet. Veruntamen Cofmogra- phia ,rcli6lis illis fydcrum fpcculationibus,, ac viribuS,in tellurci orbis.ciufqucpartiura inucftigationc confiftit . Nam quemad- modum Aftrologiconcauam Cflifuperfi- ;cicm in quinquc Zonas diuidunc, nempe rin torridam, mcdiam , tropicis paralcllis interiaccntem , illa item duo fphcricac fa- ^ xici fegmcnta ab extremis polis circa Mun jtdiyertices defcripta , & reliquas duas tcm- ^pcratas , quarum altcra inter circulum ar^* ilicurn Sc tropicumcancri,altcraintcrcir- ^culuinanftarticum <Sc tropicum capricor- nidefcribitur, icafic, vt fubiifdcm c^lcftita bus zonis toticlcm in tcrraplagx,fingulae Ouid. fingulis pcrpcndicularitcr fubicfta: difpo- Mro. /. nantur , Qj.iod ncmo clcgantiu$,pauciori- mlr% ^'y verbis atqiOuidius in primoTranf:* formationum libro dcfcripfic his vcrfibus , Vtquc T)c ufu^^ utilitate Mdihcmatic. a rtium. i 9 .Vtqj du^ dcxrra coclu , totidcq^ finiftra Parie,fecat zonf , qninia eftardctior illis, Sic onusinclufuin numcro djftinxitcodc Cura Dci,totidcmq;plaf>f tcllurcpmunf, Qiiaruin , qux mcdia non cft liabita-. biliseftu, Nixtcgit altaduas, totidcm intcr vtrafqj locauit, Tcmpcricmque dcdit^mixta cum frigorc flamma. Hac itaquc difciplina pr^ diti inftrumento rum quorundam mcdio , multa inuertigarc poffunt , quf Mathcmaticarum artiii igna* ris faftu impofsibilia iudicantur.Porro mul ti inftrumcnta c]U2edam Tabricare docue* runt,puta quadrantcm ,fcalam altimetria) & aftrolabium.quibusSolis altitudinc,poa li cleuationcm^ locorum diftantiam , vaU lium profundiratem , turrium , montium, aliorumquc faftigiorum cmincntiam ,flu- niinum . ac lacuiun laritudincm ,aliaque id genus fcitu dignifsima pcrfcrutantur. Ex* tat intcrc;etcra Mathcmaticf,& pnTcipuc Cofmographiar inftrumenta niirabiie illud annuli inuentum , cuius fabricam, & vfum dcgaiucr docet Burchardus Mithobius, qui quidem annulus licct digito circum^i fcrri pofsir, non pauciora tamcn cx eo, quam ex aftrolabiocirca fydcralcm fcicn^ tiam pofTunt dcprchcndi , tanti ciuidcm C 3 cft ' lofcphi Vnicorm trt cmolumcnti , iit quombdo hors? intcf^ ^ diu fintinucftigandapjquotgradibus polui quacunq; orbis partc clcuctur , tcmpus ite antc.vcl pomcridianum,SoIis ortum,& oc frafumjdicinoftisquclongitudinem, xqui- roflia foIflitia^Solis curfum, plagaru mun di difcrimcn^rcrum fummitatcs,& mcnfus! ras j & dcniq; quo pafto in dcfcrto via ab- crrantcsin rcfturn itcr fint rcduccndi faci- lccxcocognofcamus.Ex:iisitaque, & p- misfis hypothcfibus cdoccmur, quahtcr tcl luris intcr fc partcs difponantur , quibufqj parallclis fiibiiciantur , porro parallcli pcr diucrfas orbis rcgioncs tranfcuntcs anco- tcricis Gcograpiiif fcriptoribus, ab aequaa tore fcptctrioncm vcrfustriginta noucm, nb ahis poflca quadraginta duo,nouisfime leav de ^^P^^^^S'^^ > qucmad- Ko^as. niodum pofuit D.Ioanncs dc Royas in pla nifphcrib,quod CaroloV.Impcratori dica uit, chmaium vcrbnumcrus mcdictascft iiumcri parallclorum , cflenim climafpass tium intcr duos parallclos comprxhcfum^ totidcmquc parallcli , ab cquinoftiali ver-^ fus Auftrum dcfcribi poflunt ^ qui quidcm jdcoa Cofmographis iiTiaginantur,utrcs> sionum loncitudincm ab orrit in occafuni vfque porrcftam confliluant, finguliquc omncs intcrfccep.t meridianos, quifcfe in^ polis mundi intcrfecantc, & vcrfa vice pasi tallc^ 1 Df ufuy^ utilitatc Muthem^Hc. a rtium. lo rallelos condiuidentes regioifum latitiidi- ncm ctficiunt , quemadmoduni paralleli regionnm conftituunt longitudincm. Ve- rumparalleli concurfus communemlocu non habcntcsalrjs ncceflarioaliis maiores funt , omnium vero maximus a^quator, & ipfi a mcridianis ina^qualibus arcub^ intcr« fccantur,quorum quidcmarcuum propor tio cx totiuscirculi rationc admaximum licct inucftigari:Ex rjs itaq; locorum diucr forum dici , ac nofWs longitudinem inqui-s runt: quocirca fubarquatorchabitantibus (aflerunt) fcraper cflc dicm noftiaequalcm duodcnarum vidclicct hotariim : quia ho rizon corum omncs parallclos^aSolc dcii fcriptos pcr xqualia ad angulos rcftos , ac fpheralcs fccat , ^qualcsq; arcus fupra, atq; infra horizonta rclinquit . Vcriim quo ma gisab aequarore rcmotiorcs funt parallcli Scptcntrioncm verfus ,co funt dicsno^li* bus magis inaequalcs . Quocirca Ptolo- mcusaba^quatorccxorfus parallclos ita df ftinguit,vt quotus quiJibct fiicritab ^qua* torc.tot horarum quadrantibus cius maxi musdies fupcret a^quatorcm vfqiin cum, qui pcr mcdia tranfit Hybcrniam, v bi pro- ptcrfphernppra?cipitcmcoarftatione ^ no quadranribus^vt antca, fcd horarum medic ^atibusproceditur, <Sc vltcrius totis horis, atqucita coufq*, dcucnitur^doncc maximus C 4 dics c 'icfcphlVnicorni dics fcxmcnfibns, totidcrnq; maximanoc conlict. Excjuo fcquitur.mirabilcclidii, ac vulgaribus frpc hominibns incrcdibilc fub ardtico polo cxvna tantumdie & no^ £lc annum cflici intcerum. Dcparallclisautcm Auftraljbus,&: fifu:* pcrioribusnumcro5& quantitate arquales, iingulosq^ fingulis opponi > & coaltcrnas dicium , ac no^lium longitudincs habcrc ipfa ratio dcmonflrct.parua tamcn,vcl nul^s la fitapudantiquoscommcmoratro . Nam iuxta.Ptolomeifentcntiam ab occafu quic iquidcfl: rcrum vltra Hifpanias fortuna* «tasqj infulas id fbi fuit ignotum. A Septc^ trione quicquid vltra fcxagefimimucrtilim latitudinis gradum , vbi Thyle ponitur vU tima , id fimilitcr fatctur fc i^noraflc': qr.cmjadmodum in cius tabulis confpicc'^ xe fas cfl: . Efl autcm Thylc cclebvis quidcm ihfulainfolitis miraculis , vt m.ulri ftripfc- rcgcographi^ idcmq^ anonnullis mcrca^: .toribus':» qui fc vidiflc, atqucaudiuiflc fatcffli bantur acccpimus. Aiuntcnim ibidcm cfle Promontorium , quod pcrcnnibus , vt Acthna, ignibus a^fiuat . ihiquccompcri^ir rifpiritus fefe humanis,;opcribus exhibcna» fts paratos , fubmer+ofum ; rtcm Cnte intcr- fcftorum fpc<flra fcfc notorum hominum congrefsibus adco manifcftc oflFcrri, vt tan qnam viucntcs ab ignaris mprtis ilioru ha*^ bcantur. Dr t^pjCT utilitdtc Mathcmdtic.ATtium, i i bcantiir ,qiubus poftca cuancfccntibus cr* ror dcprchcnditur,cadciTiqifcrunt dc Nor- Corne^ Uicei^fcopulis, idcmq; tcftatur A8;rippa in ^*'"^ tcrtio deoccuitaphilolophia, quod oc Vir ^^^^ o;ilius C^farcm iiuiocans fc innuiflc vidc» f^^^ulta tur. Cum inquic Gcorgicorum primo, fhMc- An Dcus immcnfi vcnias maris, an tua nau /''^'^v^ tap Numinafolacolant , tibi fcruiat vltima J^'^eor Thylc. A mcridic infupcrquicquid vltra ^j^^ dccimum Auftralis latitudinis gradum,ab ortu dcmum quicquid vltra ccntcfimum ofto2:cfimumlon2:itudinis?radum,Ptolo^ ' \ xrco hiit mcxploratum. Qji^e omnja m cius tabulis confpici non difficiic pof*- ,funt. Porro fatis conftat cx antiquorum , pr^^ fcrtimquc Ptolomaei dcfcriptibnibus in .trcs partes diiiifam ciTctcrram. CLinrum Europam primam ,cum cb Maccdonum -impcrium , tunh ob Romanorum porcn* tiam,lcgum.quoquc cultum vcncrandum, & monim prxftantiam, dccufquc maxi- mecclcbratamdcfcripfcrunt, Hanc Pto- lomcus deccm dcfcribcns tabulis cius rc- FwroA* gioncs irigintaquatuor hoc ordinc nu« ^egw merauit Kvbcrnia infula Britannicha , ''Hyfpar'-^ Bethyca, Hyspania Lufita- p/i|, nia , Hylpania Taixaconcnfis, Gallia A- Umeti. quitanica > Callia Lugduncnfis, G.illia • , Bcl^ica, 1 lofeph Vmcom Belgica, Gallia Narboncnfis, Gcrmania txia gna,Rh2rtia,Vindclicia, Noricum, Pannonia superior, Panonia inferior, IllyriS; & Dal xnatia ITALIA, Cyfnus, Sardinia, Sicilia, Sarmatia in Europa, Thaurica, Chcrfoncfus, Lazi«s, Mctanaflha?, Dacia, Myfia fupc:« rior,Myfia iiiferior,Thracia, Cherfoncfus, Macedonia,Epyrus, Acliaia, Pclopone* fus,& Crctainfula, Africa vcroidcmPtolomcus olim pcr* tinaccm Romani Impcrii xmulam fccudo Afriu loco quatuor tabulis defcripfit . Habct au^^gto^ tcm rcgiofies duodecim ncmpeMaurita* nes. 12. nias,Tingintanam,ac C^faricnfcm, Numi- diam nouam, Africam propric Cyrcnem ^ Marmaricam,Lybiam Acgyptum,inferio:i rcm,Thcbaida, Lybiam intcriore Acthio^ piam fupra Aegyptum, Aeihiopiam fub Aegypto. Tcrtio dcniq; loco Afiam ca^tcns qui^ dcm opibus,diuitiarum copia,& magniiu^ p dincprxftantem, hominum prartcrca, cas- rtiusMe tcrorumqi animalium pcrfaccundam gcni- rfo. triccm,in qua rcfcrcntcPomponio Mcla lib.i.c:!p.5.vigintimilliavrbium Amafirca gnanteolim habitata fucrunt rdcmtabulii A/?^. duodccim.defcripfit.cius quadraginta ofto fraMm- cnumcranS prouincias,qua? funt,P6tus & ^xPio'^ Bithynia,qu?propridAfia dicitur,Phrygia lomeo. niagna^Licia, Galatia, Paphlagonia, Pam- phylia^ De t//w,cr utilitute Mathcmdtic. Artiunt. li f)hylia, Cappadocia, Armenia minor, Ci* icia, Sarmatia Afiatica, Colcliis, Iberia^ Albania, Armcnia maior, Cypnis infiila, Syria cana , Phcnicc , PalcRina fiue lud^a, Arabia Pecr^a, Mefopotamia, Arabia de- fcrta , Babylonia , Aflyria Sufiana , Mcdia^ Perfis,Partia,Carmania dererta, Carmania altcra, Arabia Felix Hyrcania, Margiana, Baftriana,Sogdiana , Sace,' Scythia intra I- inaum montcm.Ser ica^Aria^ParopamifuSj Dragiana , Arachofia)& Gedrofia,India intraGangemfluuium, India cxtra Gan< • gcm,Sinarum rcgio, & Taprobaneinfula; funtautcm omncs hucufq; cnumeratrere* ^iones nonaginta quatuor, quaruficxafta dcfcriptionc,portentofa flumina , profun- dos lacus , maria immcnfi> l^tifsimas infu^ las.cxcelfos montes, maximas & opulcnii tas vrbes, prodigiofi animalium tnonftra, rapacisfimas & inuifas vohicrcs , terrificaa ahas,cuni aquaticas, tum ter rcftrcs beflias, & aha mira maximcquc menioranda le^c* rc obleftaris,Ptolomaeum,Straboncm nium,Sohnum, Pomponium Melam Afri ^"0/« cxque nauigationes Volatcranumaliosqj moffram id gcnus fcriptorcs pcrcurre . fhi^» Praetcrea non vos latcat reccntiores Geographos rei Hyfpanorum nauigatio- fiecertiores faftos, fuperioribus tribus ter*i rjpartibus qaartamlongitudinc oftogin* m lofcphi Vnicorni ta fcrmc c;radiuim adHidifle, cjnamollm Jiac prae^iti fcicntia , Diuinoquc nutu, Ameri' ^y^x crcdimus ) dufti Amcricus Vcfpu- Tu^u< ^*^^^ > ^ Chriftophorus Columbus la Chr^fil nucnfis acccpto Hvfpaniarum Rcgun fhorus <auxilio iHucnerunt , qui magnisintcrim €olubit, Maurolici) fcrc vcrbis vtar ) cxpo- Lr/yl pcriculis pcr amplum Oceanum ali- qulrno^ quot mcnfibus nauigantcs , nihilque prx» .tcr marc , c.tlumquc fpccflantcs ad pla« gas tandcm hcmilphcrio noftro oppofi« tas pcruencrc. nouafquc ibi quotidicvr* bcs,nouas infulas, nouashominum ha- titationcsreperiunt , & Euangclii prap* dicationead Chrifti fidcm conucrtunt, quamobrcm a^tcrnam nominis fui mcmo* riam fibi compararunt, vndc parnllaab Amcrico 'nouo inucntore Amcrica dcin- ccps appcllata cfl:. Dchac nonnulliopi- ^'l*'* . nantur Poeram librofcxto Acncidosccci XiiflTchis vcrfibus . lacctcxtrafydcra tcllus, Extraanni folisq; vias, vbi c^lifcr Athlas Axcni humcro torquct ftcllis ardentibus aptum, Eadcq;(vtarbitraturn6nulli cx nristhco lea. I c: logis) Chr iftii fignificaflc , cu dixcrit, ha^ bco alias oucs,qu^ no funt cx hoc ouili, & illas oporict uicadduccrc, quauis dcgcnti bus T^c uiiliutc M.ithcm4tic<p-um \rtiuml 2» biis.adfidc vocadis id dixifle plcriq; fatea- tiir:veruid theologorii iudiciorcliquam». Noiiverihniilctamcn cfli viJetur Dcum paretibusnoftris ipofsibiiia prccipifl^e cii dixcnt.crefcite & inultiphcatc 8c rcplete tcrra , idquc Efaijas his vcrbis tcflatur cap. 4J.ipfe Deus formans tcrram & facicns eam,ipfc plaltcs eius non in vanuni crcauic eam, V t habitetur formauit cam , quod ctia fignificafle vidctur Zacharias primo,pcr vi . fionem illam ^quorum ruforum qui refpon deruntangelo Domini, parambulauimus tcrram & ecce omnis terra habitatur & quiclcit. Vcrum de his aUas Dco fauctc tra- aabimus . Pr^tcr has funt ahi quoque re gioncs , a Ptolomco praetcrmifl^ vt a Sea ptcntrione Islandia infula.Grienland, Pi* lappellandjNoruegia 3c Gotia,qu«fri* plex cenfctur , oricntahs , occidcntalis Sc meridionahs,Gotlandia, & ScaniainfuU, quamPlyniufhb.4. cap.14. Scandinauiam vocat adhuc incompcrtae magnitudinis , ad ortum pretcrca maxima pars Afi^ poft ccntcfimum oftogcfimum logitudinis gra» dum.vt fcribitHcnriciisGlarcanus iniiu Geo»raphia a rcccntioribus adiicitur , in qua immcnfi rcgna, multaq; aha fiintdi* dtu mlranda, aJpiuguntinfularn Zypau* gri,ad cxtrcmu oriente,Iaua JDaiorc, ik ini norc,adnicridic nolha^tatc Madagafcar inco i ^ Xofcphi VmcoYni inco loco pingirur, vbiPtolomciis Me^ muhiam infulam lib.^.cap. vltimo pofiiir. Ex quibusomnibuscolligiturralfam coru f uilTe fcnicntiam , qui opinabantur terracn 'in noftro hemifpherio extantc ita ab Occa no immcrgi , vt cx oppofito tcrra non fit , ^aut fi fit muiimchabitctur,ficut Eratoflhc^ iics,Polybius,ftrabo, Macrobius,& Cicc- ro,&cxChriftianis Laftatius Firmianus, fcnfillevidcntur. Impofsibilccnim ilhs vi^ dcbatur montes,flumina,turrcs^ & rcHqiia scclificia,ciuitatcs,oppida, & animalia,cuii ftasq; rcs omncs noftris obucrti poUe,cu3 -iuscrroris non aliam fuiflc caufam cxifti- inarcm , quam diffinitionis Hcfcenfus , & afccnfus ignorationcm , Vcrum hac no- jiutorei ftra?tate,cumcxpcricntia,tum^ firma ra* gwiffe- tionecompcrtum, inuulgatumq;cft ifturn ^^"^ * terrse globum totum fic fphericum cflc, vc $!podll terra,&aquacommune pofsidcat centru, ' atquc ita circuquaq; terra , pelago, inrulis< fcopulis , fluminibusq; variari,atqucliabi=» tari,ct grauia omnia,quo proprius poflimt circahuiiifmodimoliscentrum contineri, & vcrfus cxVi partcmvndiq; iaftata fiiapte ratura rurfus ad ipfam tcllurc defcendcrc , Nam fi ciuitatcs, & animalia caeteraq; gra- uia, (vtobiicicbantantiquonim nonnulli) in oppofito nobis hemifpheriolocarctur, iniUam(quam dicunt) infcriorcm cadc- rcnt De ttr«,cr urilitate Mdthcmatic. a rtium. 24, rent;parLc,miilt6masis totiis cadcrct elo- biis. atqucKa clcmcntorum grdo confim- dcretur, quodcft inconuenicns. Suntita- que Antipodcsilli adjnuiccm omnes, qui «X diamctro pcdum platas altcri altcris ha- bent oppofitas. Vnde accidit , vt cum no^ bis ornur Sol.noQris Antipodibus occi- dat,& du nos eftas torrct , illos dira hyems opprimat.dum nobis vcr , illis autumnus quemadmodum contingit nobis inltalia dcgctibus, ct qui lauam niinorcm habitat nos cnim illis , & illinobisccnfcntur Anti podcs. Siculorum autcm cxiftimantur An tipodcs.quiAnagmaminfuIam incolunt r • Lufitanorumverohabitantes inful? Scila. f!^r idq, tcltatur trancifcus Maurolicius cundoCofniographif dialogo. Sunt pr«tcrAntipodasali?quoquctcr ^H^tl ftationes quarum incol* Pcricci.fiuc cir cumcol? yocamur/, qui fub codcm meri- diano, codcmqiparallclo circulocollocan tur, cum qmbus communia fcrchabcmus anni tcmpora , dicrum noaiumq;diucrfi- tatcs , hoc vno tamen cxcepto, vt cum Sol nobis cxoritur.apud illos occultatur. Antacciaute ideftcotrahabitates.funtqui in codc mcridiano habitatcs.auftralc latitu dinc habcntcqualc confimilitcrq; xqualc longitudincm, pariaq; nobifcum aguntan ni tcmpora , non fimul tamen, fcd vicifsim ^uo- . Xofcphi Vnicom fjiiando dliicrfos afpiciut polos": nam vtrifi libet diem maximum , & 2eftatcm,folcmq5 habetibus alcirsimumjreli^uis eft minimus dics iSc hycms humihmusq? Sol fupcrcmi* iiet , & utrishbct vcrc gauHctibus , rchcjui autumaum fortiuntur,& ccontrario, & quitvnius figniafcenfio vclcircunfcrcnti^ cil his, exilcm in ilhs cft difccnfio, 8c ccon- trario:^qualcsitaquchabcnc oppofitorum fignorum & arcuum afccnfioncs,dcfcenfio iicsq; , dcniq; quanta his cft dics, tantaillis iiox ert , & econtrario. Scd fi vmbrarum rationcm diuerfis in lo t:isconlidcrcmus,alif quoqnchabitantium fcfcofFcrcnt diucrfitatcs . Nam fub^quino ^ iali circulo habitantibus,Sol in anno bis ; vcrticcm pertranfit in acquinodij fcilicct pun£lis,in quibus cxiftentc: Solc ftylus ibi ad Orizontcm pcrpendicularitcr creftus nullam prorjcit vmbram , ideoqi «qxioi hoc cft abfquc vmbra a Plinio dicuntur,Solc autcm ab a^quatorcad vtrumlibct polum dcchnantc mcridiana ijfdcm vmbra vcrfuni altcrum proijcitur proptcreaq; c<f/,cpi(TrLici hoc cft duplicis vmbr^ folent appcllari,ta:s lcmfcruntcflcArabif fitum, vndc Luca^ nusdc Arabibus adnoftras profcftis re* gioncs , admiratibusqjapud nos mcridia- L'(C4* vnibras nuquam ad Auftrnm vcrgi,ait, m-. I^uotum vobis Arabes vcniftis ad orbem Vmbras De m/m cr lililiUtcMithcmtic. a rtium z y Vmbrasmiraci nemoruno ire finiftras. Porro cum Ampliifcijs fol perpendiculari* ter conftitutus inprincipio Ariecis <Sc Li- brrX niaximc ferueat,minimc vero apud ca* cri, & capricorni cxordia, vbi maxime illis abcft a vertice.apud eos duas in anno apftaai tcs,totidemq;hycmes fieri perfpicuum cft; In tropicoautem vcrticem habcntes femel tantuminanno fol pcrpendiculariter ver- berat,in altero fcilicet folftitiorum punfto rum coftitutus , vbi nulla meridiana vmbra. caufatur,fed fcmperadapparentis pofi par Vlmhu. tes proiicif : huiufmodi tefte PHnio cft Syc- nes vrbis in Acgypto fitus . In qua profun- difsimus puteus m ipfo folftitiafis diei mc- ridic totus phocbeis radijs ilhuTiinaf. Nobis vero cxrra tropicoshabitatibus meridiana vmbra fcmp vcrfus cleuati poli partcs flefti tnr . Dcmu fub cxtrcmis circulis degctibus tradut,foIc femcl,vlteriusver6 pluries fupra horizuta intcgro circulo circuluftrarc atq; ideo ftyli vmbra in horizotis plano mola^ morc circuduci,a qua quidc vmbrac circula tioe Wee/cTKioi appellanf , fed de hi; haftcn^ Qjiaenaautmudi partes (eptetrionalcs, au ftralcfue,qua? itc orietaIes,occidctalefq; vbi 'cognofcere,n6 fatis maioribns nf is pfpcftu fuit. Verii neotcrici,^ prifcoru inuctis Ibm • p nouualiq^d, autccrtius, aut&ltccomodi' addercconati funt, hac difciplina auxcrut, D inucne- lofephi Vnicom inucncruntqi inftrumcnta quscdam nauiga di dodriudC oppido quam ncccllaria.Qiios» rum vfu homincs veluti Thcfei filum fccuti in vaftifsimi niaris,contincntifcjuc tcrrae la.^ ^ byrinthis vcrfari facilc poflunt . Quale eft inftrumcntum iilud, quodnauticam pyx;i*t dem vocat ,ia quo volubilcm ftcllam ofto, (iuc fexdccim, aut duobus,ac triginta radi^s circumfuliam inchidiit,cuius fcrrcus indcx magnctis virtutcaffeftus,& mundi verticc hoc cflScptcntrioncm, ciufquc oppofitum Auftrum, & (ubinde totidcm vcntos, quot .huiufceftcll^ radij cxtant,quafianimata fic indicat:mirandum fanc inuentu,fiecuhfquc prioribus incognitum,ca fiquidem magne- ^tis mirabilis eft natura, vtfcrrumfibiadmo ueat. Propterca huiufmodi lapidem anima^ tum cflc opinabatur Anaxagoras: {cd raul- to mirabilius eft,talem occultam admirabi* lcmqjhuic lapidiingenitam cfle virtutcm j vt quorfum vcrgant Mundi cardines fen- tiatj atque eadem qualitatc,ac potcntia fcr^ rumcius contaftufic incbnari,vtlapidis il^ hus naturam acquirat, cudemqj appetatfi* tum , vt mobihter locatum eodcm cotinuo vcrgat, & rotubm illam pyxidis vctos dc;^ monftrantcm propria vi fccum ad eundcni dirigat fitum. Ex quibus coniicere licet ma gnamfummi Dciprouidcntiam inregcdo prbe quotidic manifeftari« Nam oHmmaio res w^/er utilitdte Mdthcmalic. Arliufti. z 6 TC5 noftri Solis raotum intcrdiu , & fydcru noftu obfcruantcs, nauigabant, neq; alitcr mcdioabcrratcspelago Mundi plagas de^ fpiccre potcrant . At nos longc (commo^ dius illis ) quamuis nubilofo die dirigimus curfum omnem,pro caflo pyxidem Iiac in» tucntcs. Quinctiam in plano fignatis mun dicardinibus , feu vcntorum tradibus lice^ bit protraherc lincam pofitionis duorum quorumuislocorum, pyxide fitumitincris demonftrante : pariq; ratione corum fitum cum tcrtio quouis loco fcrutari . Cucxtri- buslocisjamtrigona^figur^anguli patcat, & pcrindelatcra notam habebunt rationc. Similitcr & quarti loci , ad illoru duo quac- uis pofitiochcictur,atq;ita deinccps duotu duntaxat loconim pohtioncs,atq; intcrca- pedines , ac pcrinde defcriptioncs parcfict, cuius rciartificium indefcribcndis agris no Moii» parui momenti cfTc ccnfcmus. Qj^iandoquia inueme dcm dc corum dignofccndis tcrminis, limitibufqucplurimac litcs,ac controucrfiae(tc** ftecxpcrientia)folcantcxoriri . Attamen inagroru facilcinucnicdis finibusmagnoi» pcrc conducct, fi horologium illud nobifcu ecftaucrimus,in cuius ccntro mobiliter in- fidct fcrrcus indcx magnctc tinftus , qui similiter quatuor mundi plajrascum fibiaf=: ignatisvcntisoltendit.Nonconturbctau- f«r m- tem quequam vcntorum numcrus fupcrius imio. D 1 diucrfi^ rum. \ I • lofcphi Vmcorni diiicrflmodc ufiirpatus,fiquicfcm inccrtus , & indctcrmmatus cft. Nam a quolibet ho- rizontis ciciifcrcntiac fitu Hatus cxoriri po^s tert, ideoq; diucrfa nominaalocis,ubi pri- . us cxcitantur . & corii proprietatibus lor* tus Ma, tiuntur.ldqjtcltatur Albcrtuscognomcto »4.Mf Magnus in 4. Meilieororum lib.cap.i^-. theor. Qiio fit,vt mutato Iku vnius,(Sc ciufdc vcii* ti numcro,eius quoq; proprietas , & nomc clatura cuariet. Nam Scptcntrionales venti nobis trigidi funt, quoniam afrigidaZona huc cuolant- Contra vero Auftrales calidi, qiiiaa pcruftaadnos dclabuntur:huiiis c6- trarium contingit antf cis noftris , ad illos fiquidc Septcntrionalcs vcnti per torridam Zonam tranfcuntcs caHdi fiunt . Auftrales vcroafrigida adoppofitam tranfuolantes frigefcunt',qualcs itaq-, ad nos Scptf triona- lcSjtalcs ad illos Auftralcs pcrueniunt, atq; ita vtrifq, c diiierfo contingit, attamen oric talis,& occidentalis vcnti propriam fcruat vtrobiqi quahtatcm. Quaproptcr vcntorii iiumcrumalius alium pro fuo quifq; com- Uome- modopofuitjArift.Homcr^namq; & Vcr rus, gilius,3c ali] plcriq; quatuor tantum cardi- ?'^- naics vcntos pofucrCjSoianum fciiicet com plexionecalidum,& ficcum, quct^bpovap^ riiojie PcHant ckto THt fewptovTOc , lioc clt ab orru ' Kwws. nucntem> ciufqj oppofitum Fauonium fri- gidum & humidu grxcc fi^pupoy a vita fc=s renda Df ufUy^ utilkdte Mdthematic. a rtitm. 17 rcnda vocatum , aliu Scptcntrione a fcptc* ^ nario prxcipuarum circa polum cxtantiu ftcllarum numero dcnominatum , qui & c<TTc<(iKrm Sc Aoptw ocVo' T?* Ac?? hoc efl- a vocedicitur,frigidus efl: & ficcus.reliquum j Auftrum calidum & humidum , iqui grarcc yoTOK c<«:oTvr voT it/^o^ , hoc cft ab hiimiditatc vocatur, idcm quodaLibyadcfluat nuncupari folct. Qiiiaamaute ofto(prio* ribus duplicatis) vcntos pofuercvt Andro nicusCyrrcfthcs, vtrefert Vitruuius Hb.r. ^ qiii Athcnis marmdrcam turrim oftoijos» "'"^ • rL I I j*^ yentis. nam erexit.oito lateribus,vcntos totidcm, fingulis fingulos rcfpicict^bus. In cuius pin naculo a?reusTriton vohibihs ftabat,qui flantibus intcrdu vcntis coru nomen Cmul ^t^ atq'7 fignum cufpidc indicabat. Duodccim tamen venti,vtphirimum abautoribus dc* ^^»1- {cribiconfueucrunt,dcquibus& Manihus Um. ! aithis vcrfibus. Qiiatuor in partcis cch dcfcribif orbis y. Nafcctejapiumq; dic,m^diofq', calorcs, Tcqj Hehce totidem vcti de partib^ rjfde Erupunt, fxuiiq; gerut pcr inania bcllu, Afper ab axc ruit Boreas:fugit Eurus ab ortu: Aufter amat mcdium foIcm:Zcphyrufq; cadcnrcm, Hos intcr bina? mediis c partibus aurac Expirant fimiles,mutato nominc flatus. D $ Ncc lofcphiVnicorni v/fm- Ncc nnnus idcm Vitruiiius libro prlmo,vU utus de aintiquatuorvcntosdcfcribcre nonincoil uentts, ^ ^ r -n- • i • i ^ gruum rore cxiltnnauit, vbi doccc nguram quandam fabricarc, qua infpcfta fac ile quis Jvftru' omni tcmpore vndc quiuis vcntus flet, fci^ menH rcpotcft. Porro ipfa circulus efl^,in cuiuspe fahriia^ rifcrla venti defcripti funt atq; in ipfius centrocrcftusflylus. linum autaliud,quod ve- fcumur. P^ agitari in fummitatc habcns , idq;. jn adpiftum tunc flantis venti nomen redu citur^auftro fubindc, & borca mctidianam occupantibus lincamiQuc quidc tcs quant magni momcnti fint in condendis ciuitati- bus & oppidis,vtfitusincolis innocuus, & aventorum mabgnitateiibcr cligatur, dodi Vitru' cet Vitruuius libro primo, cap.^. vbi My^ «/«$ de ihilcneciuitatemin Lcsbo infulafatis qui^ ^y^^yi^ dem clco-antcm, & mai^nifica cfle affirmat* fteaut* \ r ' v r >• • i . tae. Vcrum no latis vtiliter pohta: ait.n. huiufcd Vrbis incolas Auftro flate infirmari & cha ro fufflante tusfirc,Septentrionis vcro flaiil incolumcs rcddi, in plateis tamcn, & angi- portis obfrigoris tigorc vixpoflemorarii Sed iam huic negotio finc imponamus,prae fcrtim cum artcm aliqua tradere in piitia no fufccpcrim^jfcd vfum dutaxat earu,atq5 frugc oftcdcre, ad quahifccnfis hortatibus moniti facrae cultores Palladis adolefcctes: pcrucniat,fubindequntelligant, difciplina- ttt vfum,in rcbus omnibus latisfimc patete*. Df YicufUyCT mitiutc Math€)n.itte. a rtiim. neufu Qpticif cr Catvptricifyhoc cfl jpccularijc. QVcmadmodiim omncs Iiiimanf rcs, atq; caeleftes , vt diiius Dionyfius af* Dion;^. fcrit in libro de Cclcfti hierarchia, ''"^ quodam quafi ncccsfitudinis vinculo collis gantur, ita& quxdceifdem rebus traduns: turdifciplin^ quadam amicitiae lcge copU:« lantur : funtcnim resdifciplinaru fubiccta, atq.adeorum qucndaomnisartis, omnifq; inucftio-ationis fcopum(quem veritate mc- rito nommamus)vniuntur>vtrerum vifibi^f lium intuitu,vifibilifq; contcmplationelua: cis, quantum in humanis degentibus licer, ad vnius inuifibilis lucis fpcculationc trasfc ramur,vt pcr vifibilia opcra Dci pcrfeftum inuifibilem magnificcmus Crcatorcm, pro ?faim$ phetam imitantes dicctcm,Mcditatus llim 142, in omnibus opcribus tuis , cuftse namqs rc$ pro captu fuo Dcum ipfum tcftari, ac venc rari conantur,perinde ac numcri omnes coquod vnufquifq;crt vnus,vnitatc ipfam omnium matrcm,fontcm,& originc (licct quidam rcmotius quida propius^prae fc fcr-' rc vidctur . Cum itaq> varia^ multiformcfq; fint a Deo opt.Maximo, coditae creaturap, vnaquaeq; quanto nobilior eft, excellentio rifque gradus , & propius ad pcrfcftionem accedit, tanto in ea diuinae hicis iubar cuidc tius {plcjidcfccre vidcf , Vt igitur covenien D 4 tifsi- tofephi Vmcorni " ti(simiini illu rtrum ordine in cminclandls difciplinal^»laudibus5ac dignitatibus ^vi- j ribusobfciucmus, ficucdciftiusinfihii tcrs r5e,& aqufglobidimefiocfup.ius cojncmo rauimus, rio incoucnicsforc cxillimarc dc pfpcftiuaj&fpccularia difciplina,vtpotc,q circa aerei trafparctifq; corporis materiatn ac formam vcrfant fccundo locodiccre. Ex rjs ncpcartibus ptcr cocm ca^^vtili:* tatcplurinif fimilitudincs adcxponendos facrai^» litcraj^ locosaliquos a facris Thco- logis eliciunf,dc quibus alibi agcrc eft aius^ Nunc fatisfit mirabilcs haru artiu cfFcftus' inathcmatica rone ^duft os in mcdiu ^fer re,vt coF?? admiratioc fiudiofi ad illoru cam pcrucftigada excitcn?:na vt apud Euclide, aliofqiipm fecutospfpcftiuaeartis autores vidcrccft mirabilcs fpcculoru^diaphano^ ruqj corpo^ artificio cflfcftus producun f . Qiicmadmodu mihi per quodda fpeculum vircntc icaplotcrra amcnifsimasfyhias, tur riu,domo^' ac motium flamisafccdctibus, ardcntia culmina viderc non fcmel cotieit, noui ct fabricarcfpcculumexoptimocry (lallojiabcs forma pyramidis cxagonf^qcF foli obieftu cxaducrfo diucrficolorc iride, r\s q in 5 ftiuo tpc ccfsalibus nimbis fub diuo apparcntpfimilc ^iicit.Dc quo ct Arifto- telcs, & Albertus Mag. in eoru metheoris pop nihil tctigcrunt . Vci^: ha^c non oibus. T)e n\\i^& utilitdte ^Uthcmdtic. \rtiunf. 1 9 qphyficcnduraxatolfeccrut nota sut, nifc ct regulariurn,foli(io]^,alioruq;ab liis depc dentiu corpoij^ natura^ac ^prietate cogno ucrint,q fingula Academici llngulis rimpli- cibus corpibus rcferunr, vt xfeTfiftit/^f ov igni, ^pter eius cu ignis acumine fimilitudinem oKTfti^y^pcv aeri,co, jpportionabiliter lcui^ tatc,formaq; pyramidi (ficut aer igni)ypxi^ mum fit Dcooafccfpov aqux ^ptcr eius cofimi lcm mobilitate, cubu fiuc i^aic/^pdv tcrr^ , caeteris fbibilius infideat t^^wcf^Katc/f deni« quec2elo,q) ficutca?lu.duodccim figniscia gi?,& clemcntacopleftif ,fic(/wcf^t)Lattf(3c, duodenis bafibus reliqua corpora,capacita tc fuacircufcribit. Qucadmodii Hypficles, ApoUoni^ Pcrgcus,& Euclides tradidcrut. Exhisfiunt fpccula, qbus miro quoda arti- ficio hoium,& cquo^ ct a logc ^cul 1 acrc rcflcftunf imagincs , quas huiufcc rei i2;na^ riiD^moncs, veldefiinftoi^ vmbras falso cxiftimat.aliactfpcculacoficiun?.Exhis,q bus,qs vidcrcpoteritqcunqjvoluerit ct 4 logifsima diftatia:fabricaf ctaliudfpeculo^ rueenuscocauUjinquocuerfareru fimula ^^r/?** cracofpiciunt,ignis quoq;exeildclolarib ^^^^^ radi^s couerfis in difpofita fubiefta vchcme tifsimc cocitaf, qu;c (vt Euchdcs, Apollo» nius, Vitelli', Archimedej, & alij recctiorcs vt Rogcrius,Bacch6,Ioanes vulgata? pfpc^ ftiuae autor,ct 1 mathematicis, diuinifqj fpc culatioibusacuti igcnij vir Carolu; Bouill^ ^ofcphi Vmcdrm in Opticls.Catoptricifq; docucrut) math* matica, phyficaq; rationc coficiuntiir idq; fcire cupicntibus in alio opcre dcmonftra- turu mc poUiceor . Vcnim alia quoq; funr; qu? vtrum artis j an naturse fint opera non aufim conftantcr affirmarc, vtfpccuhim iU lud, quod cx Oricntis partibus mtcr fpoha Magnus Pompcius Romam dicitur attnhf fc,in quo mihtum agmina vidcbantur, nar- 5§l$nu^ ratctia Sohnus in Pohhiftoria cap.i o. anu luPyrrhi regis,quiaduerfusRomnnos bcl- la gcflcrat non ignobihs fama?fuifle, ciu$ quippe gcmma Achates crat , in quo nou^ Muff cum infignibus fuis fingulap,& Apol lo tcncns Cytharam non imprcfsis , fcd in-  gcnitis figuris videbantur , alium quoq; la- pidcm (codcm rcferctc;dat India nunc nc- morum,nunc animahu fimulachra reddcns! tem, qucm vidiflc ocuhs fauere, & intra o$ receptum fcdarcfitim teflantur. Attamcn cx fpeculisfiuntetia prn?fligia5quibus,ccr- tis yocatis nominibus,furta,adultcria, pro* ditiones , aliaq; panduntfecreta , qu3e cum nonfinc ahquomalorum fpirituum inter- ucntu fieri fufpiccr, ea vcluti impia, mifla fa ccrcfatiusforecxiftimaui, quam mirabilia folius artis , & naturae opcra profanorum commixtioncdchoncftare. Qjiatis autcm artibusacfallacrjs mali fpiritus humanum gcn^circumucnirc,& avcro cultuDci rc^ uocare br «/w,cr utiliutc Mathmdtic. a rtiunt, 3 d llocarcftudcant,vixfaris pcrfuaderi potcft* Acccdit quod his artibus .inftruft i pcrfpc^ ftiua vidclicet, & fpcculariafacilc cogno* fcimuscaufam diucrfaeappar(ftipe fteflaru, & planctaru, ficut Allrologi tcftatur.pro* bantquc , qui ca^li rotunditatcm argucntc^ dicunt fic(fIumcrtctplanu,ftcll^p,Vcl pla- ncta: in mcdio cocli cxiftcntcs \ idcrcntut niaioris quantitatis,quam inhoriirontc; cd quod propiorcs forcnt:qugcuq; cnim pro* piora funt.maioravidcntur ,cuiuscontra* rium contingit , idq; non cx in^ quali c^li diftantia , fed cx clcuationc vaporiim intcr afpcaum noftrum, & apparcntem ftcllam inhorizoritc cxiftetium cucnirc probatuf cxperfpcftiua.Nam cum vaporcsilli fint corpora diaphana,difgrcgantradios vtfus, quo fit,vt ftclla apparcat maioris qiiantita*' tis in ilia parte, quam in alia. Q^icmadmo* dum, fi moneta , vcl aliud quoduis s^rauc iii Vafcpofucris,& aquam limpidam fupcrfurt das,vidcbitur tibimaioris quaritatis, quam fit,imofi vfq;adeo rctrocedas,doncc ipfanl monctam no videas^iubcafq; aliam aquam fupcrinfundi nonmutato fitu,videK?s ad^ huc monctam,quam prius ibidcni cofiften^ non vidcras. Qi^iod problcma docct Euclia dcs, & alii,qui depcrfpeftiuaaiiquid mo* numcntis tradidcrunnalios infuperhulnfcc Wtis vfus fi tc fydcralis difciplinae inueftigii tionl A - • Jofcphi Vnicorni TiHur^ tioni dedcris rii ipfe rcperics. Scd agc ipfam commen qi]oq> piftura ciifciirram^quffireftc cxer ' ceaf no paj^i numcris^ac mcluris,^portioi busq;inlincis,vmbris,& ^quidiftantiiscx^aE mufsim obfcruatis innititur,& Gcometric principia,hoc cft cliffiniti6cs,poftulata, c6 Mber- inuncsq;fni^huicacc6modanf.Qiicadrea tus Du du Albcr.Durcrus i lib. Dc Symmctria hois,. rerus. & Lco Baptifla dc Albertis exaflc docuc-' Leo Ba jutitatacft.n.pifturf gloria, & fublimitas^ ^^'^*^' vt foli pift orcs pitifsimi re^ oium artificcs, vidcanf . Ij naq3 vel arftifsimo fappefpacio, & c^lum ipfum fulgcntilsimis diftinftu fy-> deribus, & aera ferena, fiucctiam nubilofip nunc corrufcationcs,tonitrua,pluuias,nuc ferenitatcm ^mittentia , nitidos itcm dics, obfcuramquc noftem, virentem tellurcm hic l^tifsimis pratis , campisquc planam , iU lic montibus, coUibusqucfruftiferis, lapirj dofisquccmincntcm, alibi vdis , opacisoue vallibus dchi(ccntcm,rurfus dcnfifsimis lyl- uis, iucundifsimisqs viridarijs, & hortis di- ucrficoloribus floribus confitis micantcm^ niariaitcm imnienfa,infulas pifcigenosla cus,flumina decurrcntia , rapidos torrctcs, homincsinfupcr, & bruta, Picridcs, Driai« dcs,& Thefpiades mufas , commcflationes pr^tcrca,fuaucsq-,c6ui<n:us,chorcas,trium* phos amorcs,rurfusq-, pugnas^diraq*, bclla, & hoftium intcr fc conflidus dcccntcr ad^ modum ufu, er utiliuiet}[kthcmutic. Arlium. 3 r modiim fuis coloribus corjfingunt,aliaq', - omnia co^: induftria^ingenio, ik artc mor* talium oculis fpcftada fflicifsime fubrjciun- tur: hinc la^tis figuris afpcais ti fiuric, tri- ftibus vcro triftes manifeib quadam meta^ morphofi cfticiuntur . Hinc vcl antiquifsi* ma^queq, monimcnta in tabuhs , & parieti bus,velimperiiis plcbecuhs , iiterarnq-, ex- pertibus hoibus vcluti piitia faepc indicant, & fiitura vaticinia adpingunt,&(qcFfecus in ali^s artibus c6tingit)periros firnui,& im pitos pifturadelcftat,aios afpeftu recrcat, ^Sc diuextinftipifturaebiificio quodamo^ do viuunt,docent,cxcitantqs aho^^aiosad cofimiha gcftaimitada;c]uo circa rcfert Piu PW- tar. Cairandrum Alcxadri duccm,cum iam ^^"^- dcfunfti Rcgis piftam imaginemintucref, tanii principis memoria cotremuiirc: ^ote reaq-,(vt idem te(hf) Agcfilaus Laccdcmo nius eoq> fe dcformem cognoueratfua efli gicm ad poftcrorum cogniLioncm tranf== .tcrri noluit. Qiiamobrcm , quidam^nius , quid deleaabilius', quiddeniq*, mortalium oculis ipfa pifturafitgratius non facilc vi- deo. Sicnim fecundum Philofophum ars quantumpoteftnaturamimitatur, nonnc ^/^''^* piaura fuperiori ratione aiiarum artium i!T/;i/i ars & imago, dici potcft f Quandoquidcni ^^rtUi inter artes nullaeft,quac naturam inom- iiibus ciiis fpccicbus , qux propcmodum infinicaj Jofcphi Vnicorni infinir^ funt, magis propcnfius /quam ip& imitctur ? Quinimo & ipfa natura pingcn- diartc delcftatur, fiquidcm in marmore, a« lijfqi lapidibus hominum/& brutorufimiU tudincs (xpc vidcntur,ficut dc gcmma Pyr^" rhi Rcgis paulo antc diximus,quo,fit vt na- tura piduram , & pifturanaturam mutuo quodam amorc fcfcfoucrc vidcantur.Eft.n. pi£lura,quxdam ipfius naturacimitatrix,ec alumna,3c tanquam naturaf,artifquc pcdi^ fcqua, funt & cgrcgij piftorcs naturalium, & artificiahum rcrum hidibund.T quaedarn fimi5,funt & piftur5,fircftafymmctria,di:« fpofitionc,coloribus,himinc, ac fitu fingan tur,'plcrunquc ita vcris fimiles rcbus , vt no folumbrutorum, fcdhominum quoquc rationcvigctium, & quodmirabilius ell:,ipfo rum cxcellentium piftorum oculos ita prj ftringant , vt corum etiam pcritorum faepc TUmus iudiciumfallant. Qucmadmoduapud Pli^ pj^^^^^t* nium legimus Parrhafium illu, quijprimus €juorutj^ fymmctriam pifturae dcdit, & primus argii dae^re tias vultus,clcgantiam capilli, & vcnuftatc giaope- oriscxprefsitj&artificum confcfsionc in ra uar- ' cxtrcmis lincis palmam adeptiis clT:, vna cu Zcufidc piftorc adeo celcbri,vtinopum, quas pifturf artc fibicomparaucrat, oftcn* tationcQlympiae, nomc fuum aurcis intcK tum litcris oftentarct , in ccrtamen defcen* iJiflc, & cum Zcufis vuas adco vcrifimilcs, vtad j D c utilitatc M4 themiticicrm a rtium ♦ j z . Vtad easauesconuolarent detuliflet,Par- ^ihafius lint^umatculitarte adeo dilsimula^ ta, vt Zeufis alitum iudicio tumens^flagira - rec remoto lintco dcmu fibi pifturam , qua . ppertam cfle opinabatur,o(tendii& intcllc £lo errore palmam conccderet:quoniam ipfe aucs fefclliflcr, Parrhafius veroartifice, • Egrcgiumprofeftofuit, & magnum aues fallcre,cum piftorcs poftea multiidfrurtra tcntaucrint,maius homincm decepifle, ma ximum talem tantique nominis piftorem^ quiinilla inprimisarteperitifsimus prjdi- . cabatur pariferccum auibus iudicio , quafi magico prafftigioillufum Zcufim fefellifle. Hic eft illeZcufis , qui nullum preciumfuis j^opcribus dignum cxiftimas, illa potius do- nareinftituit, Quapropter Alcmena Agri gctinisdonodedic .Pana Archclaopinxit,, %k loucmin thronoaftatibus Dijs,oc Her- culcm infantcmdraconcs ftrangulantem, Alc mcna matrc c oram pauc te, Sc Am phy trione.Hic olim Agrigentinis tabulam fa«: fturus,quamin templolunonis Lacinia^ dicarctjvirgines eorum nudas infpexit , & quinqj illius iudicio formofifsimasfelcgir, vt quod in quaqs laudatifsimum eflct,pickii ra imitaretur . Pinxic deinde puerum vuos fcrcnte , ad quas cii dcuolaflent aues iratus cft opcri fuo , iudicas quod fi puerum ae-qu<J diligentcr^ac vuas pinxiflet,aucs timuiflcnc accedcrc« \ofephi Vnicorni acccdcrc.Ex: quibus conqcerc llcct quantse cruditionis inpifturafucritTimantes , qui ParrlLifmm Zcufidis viftorc in Aiace pin^s gcndo (iipcrauit . Hic Iphigcnia finxit aris iinmolaiidam parctibus propc lachryman^ tibus , vclato patris cius vultu, quem dignc non potcrac ollendcre. Sed quid de ApcUc Pamphili difcipulo dicemus r Qjiem tanti fccit Magnus illc Alcxander , vt cdi£to vc- ^tucrit nc ab alio pingcrctur, & ad cius offi- cinam frequctcr tantus hcros acccderc di- gnabatur. Inter caeteras cius innumeras ta- bcllas pinxit cundcm Alcxandrum Macca doncm in tcmplo Diauf Ephefij , talcntis 20. cratq, in opcrc vfqjadco follicitus , vc nuUum dicm quibufcunqnicgotiis occupa tum praetcrirct, quinlincam aliquam duce^ j-ct,& duccndoartemcxcrccrct^Nauigauic 'idcm Rhodum ad vidcnda opera Protogc- nis piftoris cxccllcntifsimi , tandcm Vcnc^ Apellii] j-^n^ Qq\^ incoeptam moricns impcrfcftam ^^*"^' reliquit, & qui tam cgregium opus perfice ret poflca inucntus cll nullus , Non pra^tc^ ribo prorfus ahos qiioqj piftores illuftrcs, An7?i- ^^0^^^"^ nomina,& mirabilia opera hifto- dtslaus. rrjs celebrata fuerc,vt Ariltidem Thebanu, quiintcr c^tcraipfius opcratabulam pin^ xit,quam Attalus Rcx ccntu taletis emifre fertur Hic primus figuras animi pafsioncs pr^ fc fcrcntcs,triftitiam,dico, iracundiam indi^natio- 1 De ufu.cT utilitatc Mdthmdtic. ATtium. j j indignationc>timore,gaucliiim,& fpc,fcn- fiisq; omnes in hiimanis vultibus efhngcn- dis mirabiliccr cxprcfsit, Afclcpiodorum, qucm infymmctria tantopcre mirabatur Appcllcs,cuietia Mnafon Tyrannus pro duodccim Dcis mnas tricenas m fingulos; dcdcrat,Nicomachum Arifl:odcmi filium, quiraptum pinxit Profcrpine, & Vlyffem pileatu Apollincm^DianajDcum matrem lconi infidentem,nobiles vaccas arrcptan^ tibus fatyris,& Scyllam , hic fuit in pidura omniu vclocifsimus , habuitq-? cgrcgios di« fcipulos, Ariftidem fratre , Arilloclcm fi* 4ium,& PhiloxenumEretriu, qui ultimus pinxit pr^liu Alexandri cum Dario . Cla- rucrunt &alii piftorejlaudatifsimi, quo$ •cnumerarc operofum nimis forct,et pr^ ter inftitutum noflrum, inter quos non uide^ tur filcntio praetcrcundus Amulius , qui Mineruam tanto artificio pinxit , vtfpc^ ftantem fpcftarct quacunque afpiccre-»- tur , & Euphranor piftor , mcmorabi* lis , qui fcripfit nonnulla volumina dc Symmetria & coloribus : huius Coetaneus cxtitit Cyclias, cuius tabulam Arsonau^ ♦tas Hortcnfius Orator mcrcatus eft talcn- tis. I 44. Extitit& Timomachus Bizan* tinus,qui Aiacem & Mcdcam tabulas C?*« (ari diftatori.80. talentis vcnundauit. Ex quibus vclfaciliimc pcrfpicitur qu^ntum E vctc- lofephi Vnicorni vctcrcs principcs piftiiram magnificcrint, proptcrea &philofophi noncontcncndi hanc dignati fuht cxcrccrc.Siquidem lcgi^ nius Mctrodonim philofophum atque pi- ftorcm magnaecclcbritatis cxtitiflfe, qucm Athcnicfcs mifcrut L. Paulo JEmilio poffc dcuiftum Pcrfeum,pctcnti probatifsimum philofophum atquc piftorem , vt Hbcros crudirct,& triumphum cxcolcrcf.fed quid in paucis immororj^cum multi prxtcrca nobihfsimi uiri,cum diutiarum copia,rc^ ruq; geftaru gloria,tu lapientia clari, huius pclar^artisftudiofifucrci? VtLucius Ro- manusciuis, & Fabius virnobilifs. in vrbc pifturam cxcrcucre, Turpihus Equcs Ro* manus Vcron^ pinxit,Sibcdius,qui ct prj- tor &proconfulfueratpingendofibi noa incncomparauitjPacuuius Poeta Tragi- cusHcrculem inforopublicc pingere no crubuit.Socrates quoque, & Plato philo- fophorum florcs fclcftifsimi piftura plu* rimum dcleftati funt . Acceditquod huic arti Principcs quoquc & Rcgcs non mc- diocritcr ftuducrunt.Siquidcm Ncro, Va^ lcntinianus, Alcxandcr, Seuerus , Impera- tores piftura mirum in raodum deleftati funt , tatum enim apud Graecos ac Roma* nos piftorcs fuerunt cxiftimati,vtnon om nino doftus iudicarctur,qui pifturam non iidiciffet. Loquor autcm hic no dc his pi- _ ctoribusi uJUyCT utilitdte Mdhcmiitic. a rtium. j 4 £loribiis , qui non honoris , & cxccllcntix gratia/cd lucri potius cupiditate,& auari^s tia allcfti, qusecftomnis virtutis mprbus, atqucpcrnicics,pi£lorisnomcn iniuftcfibi ticndicant,fimiles his,quifamc laborantcs, cumprimum cibum inucniunt,non accw piunt,{cd arripiunt, ncc (vtparcft ) inorc prius ruminant,quam comcaant,fed dcuo- rant,fcddig1utiunt,fcd prccipitant: ncquc ■cnim huiufmodi piftorcs opcsfibi multas c6parant,ncc artisKonorcunqua adipifcu tur,fcd dchis potius ingcnuis piftorib^ lo* quor,^ vclut rtrcnui,ac magnanimi duccs i bello gcrcndo non ftatim cu hoftc confli gunt , fed prius viftorise caufas qu^rcntcs, omnia fibi vtilia cxcogitant , ruminant, atqucpcrpendunt, vtfaucntibus humana- , rum rcrum Dominis,tempore,& fortuna, demum triumphigloria potiantur.idq; dc <^teris,libcrahbus,mcchanici5q; artificib* dici potcft Oportct Jgiturpiftorcni cgre- ijium omnium libcraliu artium,prccipucq; Geomctrix eflc participc, quandoquidcm pidurf principiaaquibus ars ipfa ad fum^ mum prouchituraGcomctris mutuantur, ^ vtLcoBaptifta Florcntius in.^.lib.de pi- flura doft ifsimc aflcruir . Habcat infupcr cclcbrls piftor,multoru pocmatum, & hi^ ftoriarum,pra?cipucqnoftr5 rcligionis mc ^oriam, vt fciat quibufcunq-, loci5,quac hi- £ z ftori^ lofcphi Vnicom (lorl{ imprimis conucniant.Non cnim piu videtur profanas liiftorias in facris ^dibus pingere , nequcfacrisprofana locaornari .laudatile.Itaque ficut piftoris integri rcru oniniu,qu2B in mudo funt imagincs rcfcrt finigcrc , ita cos dccct caru artium, qiurum ipk res propria funt fubie£la,aliquam habe renotitia: vcrbi caufa,Mundi (phserapin* gerc fortc c6tingit,oportct piftorc Aftro- loaie^autCofmo^raphixno omninocflc jgnaru, vt rcctc fciat opus clilponerc , cir«i ^ulos fphxrales collocare,& quadraginta^ oft o imagincs fuis locis coaptare, fimihter JAuCkx inftrumcnta,& notas calleat, pari rationc oportct Architcfturx, & opticx non mcdiocritcr efle pcritu, vt ca propor* tionc ct co ordinc.quo iplvarchiteft i debct columnas , bafes,cpiftylia , tcfta, aquxdu^ £lus,ftylobatcs , domos, porticus , amphi^ tcatra,ct facras aedcs,ca?teraqj ciim publica tu priuata ^dificja cogrua rationc cffingerc queat. Ita cnim cognatae funt hx artes , vt .;iltcra fincaltera conftarc,nedum pcrfici pofsit.Itaq;cumita conucniantno tcmc* rc Architcfturae ufum,atq; cncomiii mox huic fubiungendum ftatuimus. DE VSV ARCHTTECTVRiE. eiusq; utilitate tum de mirabili eius en^ cidio , ubi leilor leges mirabilia manuum bominum  ^ V L T A funtlcftorftiidio^ (ifsime, quxpraetcr c^tcra fcicntiaru teftanturdigni* tatcm/cd quc maiori ani- rtiaduerfione digna funt , \\xc mca quidem fentctia, yidcntur (ubiefti exccllcntia,ccrtitudo, vti litas atq, complexio hoc cfl: quando vnius difciplina? gratia, multa? alire neccffario c6 parantur,quas fola compleftitur, qux qui- dem omnia & fi omnium fuprcma pliilofo phia fibi iure optimo vendicet, cum toturn humanae capacitatis numcrum abfoluat ; attamen confidcranti mihi iuxta Vitruni; Pollionis fentcntiam , & naturalcs, & ma* thcmaticas artes omnes in architcftonica cocurreredifciplinam intcr artes illas, quac po tifsimum human^ fufFragantur nccefsi^ tari,uidetur mihi & fubieftirarionc,& vti* litatc nulli pofponcnda,certitudincver6, ct aliarnm complcxione artium multis pr^ fercnda,ficnim vtinquit Philofophus prU moEthicorum,finis nobiliorcfl:, & mclior 'r\s^ quacordinantur ad finem ,finem cnim honoramus , laudamus ca , quaj funt ad fi< E 3 ncm. lofcphi Vnicorni fitm,oportct architcfturam ip&m omnib^ in primis mcchanicis artibus, vt graphida, lapicidina, ftatuaria;plaftica,&captcris ^ culdubio cflTc prcftantiorcm. At caeterf di fciplinae quamuis non parum architcftoni cacancillcntur arti, habcnt tamcn praetcr hunc aUos quoq, vfus maximc pcculiarcs , vt Arithmctica,Gcomctria,Muficc»Aftro logia Cofmographia, Pcrfpcdiua,Mcdici iia,Ph)ficajLcgumq;cognitioJicct negari non pofsit, quin plurimumamplitudinis, & dignitatis affcrat cclcbrisillchamm ar- tium in Architcftura concurfus, quafi cius famulatu tam pr^ clarc dignctur doftrina?. llhiditaq;haudparuam arguit huiufccar^ tis dignitatcm , quodhomines illiusbcne- ficio non modo acaftcrisanimatibus in fyla uis, ac fpecubus habitantibus feparantur^ fcd (quodlongc cxccllit) ctiam immoita- lcsDcos (quantum humanis uiribus licct) imitari conantur.Diuina fiquidem mens ta immcfi,tamq>mirabilis architcftatrix opi ficij rcs vniuerfas contincntis fuf diuinita-^, tis vcftigia humanf imprcGit mcnti. Quaa doquidcm homo pulchcrrimam hanc mu^ di intucns machinam , tata artc,tantoq; c5 fdio conditam figura,fpcclc,& motuu har- moniaornata, tamq; mirabili ordincquafi quadam cecc^nomia diftributa coa£lus cft» vclit nolit , cohtcri Dcum mcntcm actcrna totius DeufucrutilitateMathcmtic. Artium ^6 totiiis immcnfi opctis conditriccm , (apiea tifsimam,optimam , liberrimam,potentif- fimam,rebiisq; omnibiis imperantcm,om- nia conferuantem, omnium dcniq; rcriini fpecies in fuj mentis idcis complcftentcm. Ita & fc mirabilium opcrum faftorc agno fccs ho , & decuius opis ccu de poenu quo da archano tot ^dificia, tot tepla, tot thea* tra,tot mirificas, & propediuinas machi« nas,tot clallcs, tot deniq; vrbcs amphfsi- nias,atq; inexpugnabilra oppida ad huma- n^ focietatis cofcruationcm , dcfenfionem- que produccntem,fecflcDiuinf mcntisf * mulumji & artcm ipfam propc diuinam i Drjs traditam mortalibus fateri nccclTe cft, Qiiocirca conferuaturus gcnus humanum Qe„ Deus, Noem Patriarcham tunc architcftll ramdocuit , vt Diuina Mofeos pcrhibcnc oracula> cumprccepiffetilliarcam fabri- carc , inquicns , Fac tibi arcam dc lignis \t uigatis,& manfiunculas in ca facics,Sc bitil minclinicsmtrinfccus,& cxtrinfccus, & fic facies cam,treccntorum cubitorum crit longitudo cius , quinquaginta latitudo , 8c triginta altitudorfcncllram in ca facics , & in cubito confumabis fummitatem eius : 0< Aium autem arcf poncs in latcrc deorfum, ccnacula , & triftcga fncies in ca . Eccc cgo adducamaquasdiluui} fuper terram , etina tcrficiam omncm carnem , in qua efl: fpiri^ E 4 tusvitj PUS, Xitru -> Xofcphi VnicoYni tus virae fubtcr caelimvHuius porro arcf ,cc humani corporis cliiT*enfiones proportio-» Au^Jli nalcs eflc tcftatur Auguftmus in lib.dc ciui tatc DcijQuod nimirum vidcatur.Nam & columnarum facrarumq; fdiu fymmetrias ab humano corpore fumptas fuiflctcfta- " tur Vitruuius lib.^.cap, i his ucrbis,Namq; non potcft qdes vlla finc fymmetria , atquc proportionc rationem habcre compofitio nis^nifi vti ad hominisbcnc figurati mem- brorum habuerit exaftam rationcm ,haec illc.Qujnimo ipfamcnfurarum nomcncla tura & origo cx humanis mcmbris cxorta cftjVti digitus palmus pcSjCubitus, & id gc nus ahf ,nec minus ex his numerandi ratio collidtur,quod paulo poft fubdidit dicens, Nam quod vtrilq; palmis ex articuiis a na- tura deccm funt profeft i ctiam Platoni pla cuit eum ef[c numerum ca re perfcftum, q> ex fingularibus rcbus , quf monadcs apud Grf cos dicutur,pcrficitur, proptcrca Ara bcs , aiqjlndi digitorum articulis numeros fignificarcconfucuerunt,idc|tannucrevidc Apoca. tur loanncsin Apocalypfi Cap.ii.cumia  quit. Et Angclus,qui loqucbaturmecum habebat menfuram arundineam aurcam , vtmetireturciuitate, &: portas eius,& mu^^ rus,& ciuitas in quadro pofita cft,& men- fuseftciuitatcmcucapcrftadia dnodecim niillia,& eius longitudo,aItitudo,& latitiw. do/unt 'Deufuj& utilitdtc Muthcmatic. Artium • 37 dojfiint ^cjualcs , & mcnfus cft muros cius 144 cubitorum mcnfurahominiSjqufcfl angcli . Ex quibus colligitur omnium rcru homincm cffc mcnfuram,cxcmplar, fpccu lumcjs vniucrfi: quodctiam Socratcsapud Platoncm a{rcrcbat.Lcgimuspr.Ttcrcaa= ^zecl\ pudEzcchiclcm,virumilIum habcntcmfu iiiculumlincurn,& calamu mcnfur^inma ^^^ , nu cius,quibus mctitus cftciuitatc,<Sc por- tas (ingulas,mf nia,& atrium intctius^oc cx tcrius,ciusq; edificia omnia vtplurimum, quinqjac etiam qninquaginta calamis,iuf- fiiq; menfuras illas filrjs hominum manife- ftariiqux quidcm omnia non fine aliqua ar chitefturae commendationc diuinitus rcuc lata vidcntur,finc cuius cognitionc,aliarUtf quc fcicntiarum notitia,eorum (ecretiora fenfarcftc incUigi minimcpoflimt. caqicx plicarcm nifi in alio opere huiufmodi fecrc la detc2:cnda rcfcruaflem, Conftat i«;itur ar vitru - tem ipfam humani corpori^J emulatriccm eflc.ipfumq;corpusilIiuscflefimulacrum. ^•f'*- Pr^tcreafi vltcrius ipfamartcni cxamincs» muscam triplicisnaturf, human^ fcilicer, mundana? , c;tlcftisq; imitatriccm cfle vide bimus.QiiodMundan^fit emulatrixofte ditVitruuiushb.j.cap.i . vbidccohimnis Vitm^ loquitur his ferc verbis , Columna? inquit,  fuperiorcs quarta partc minores quam in^ fcriorcs funt conftitucnd^iproptcrca quod oneri tofcphi Vnicorni oncri fcrcndo infcriora firmiora dcbcnt cf^ fcfupcrioribus,naturam nafccntium imita* lia.vt inarboribus tcrctibus abicte^cuprcf:^ fo,pinu , c quibus nuUa n on ctafsior dt ab radicibuSjdcindccrcfccndo progrcditur in altitudincm naturalicontrafturaper fqua ta nafccns ad cacumcn . Sed illud mirabili* cft naturae vcftigium quod nonnulli Comi ci ac Tragici in fccnis aft orura , ludorum- quceratialuntimitati Conftitucbat cniin niachinas vcrfatilcs cfficientcs fijlgura, Sc corrufcationcs,& tonitrus inaductuDeo* rum rcpentinos, qnales & Salmoncum Rc gcm Eoh filium in EndcCiuitatc,vtfiibdi- tis pauorcm incutcrct mirabiUbus inftru^ V/rfi/i. mcntorum artificrisfinxiflc Poct? tcftan* tur.Dc qno VIRGILIUS VIRGILIO (vedasi) lib.Encidos . 6. ccci^ nit his vcrfibus, Vidi & crudclis datc Salmonca psenas, Dumflammaslouis, & fonitus imita^ tur olympi , Qiiatuor hic inucftus cquis,& lampada quaflans PcrG raium populos , medi^q'? pcr Eli dis urbcm Ibat ouans : diuumq^ fibi pofccbat ho« norcs, Dcmens quod nimbos, & non imitabi* le fulmcn Acrc, & cornipcdum curfu fimularat cruorum. l uiuf a Dc ufu cr utilitatc Muthcmtic, Artiunu 58" cquoriim. / Sed qiiid dc Eolipylis arrcis diccmus ? ck quibuscumadigncm collocantur fcruorc infuff aqu^paularimcxcrcfccntccmittun- tunturventi,& infufo argcnto viuo tonits truagcncrantur :mirum profcfto naturae {imulacrum,quoH nifi oculata(v t aiunt) fi- dc imperitum crcderct uulgus: harum autS artificium docct Vitruuius lib.i.cap.<5.ia quo dc vcntorum gcncrationca2;itur.Ma< chin^ cnun ,quac co'nftruuntur qiiandam cum c.Tlcflibus corporibus (imilitudincm habcrc uidentur, aflercntc VITRUVIO (vedasi) lis bro.io.cap.i.Omnis (inquit) machinatio rcrumeftnatura procrcata^ac aprcccptri- ce,& magiftramundi ucrfuionc inftiruta, Namqianimaducrtamus primum planetas rum natura, que ni macninatauerfarctur, non habuiflcmus intcrdum luccm ncc iixi^ £tum maturitatis . Cum crgo roaiorcs hxc ita cfle animaducrtiffcnt c rcnim nauira fumpfcrunt cxcmpla.ctcaimitantcs indu* £ti rcbus diuiniscommodas vitae pcrfccc* runtcxplicationcs. Ex quibus omnibus haudobfcurc apparctarchitcftum nove^ gctabilis natur^ tatum,fcd humane, fcd c^ leflis Jcddluinaequantum humanis virrbus licct,quodammodocnc imitatorcm . Lo^ quoraute.n hicnon deilla tantum fabrili artc^quamimpcritifsimi plcrunqjhomon* cioncs lofcphi Vnicorni cioncs cxcrcctjfed de illa architcftura,quatf ad fuipcrfcftioneni circulum illum difci^ plinarum, qui tintopcrelaudarur a doftis Arihi* fccum trahit. Iccirco ca flc a Vitruuuio tetlura PoHione diffinitur hbj.cap.i. Architeftura cfl: fcicntia pKiribus difciphnis , variisq; cruditionibus ornata,cuius iudicio proba^ titl' , quae a c^tcris artibus pcrficiutur opcss ra,ca nafcitur cx fabrica, & ratiocinationc: quibus vcrbisfignificaiiitartemhanc non modo inaftione,fcdctiarn iu fpcculationc confiftcrCjVtihtatem prxtcrca , & certitu- dincm cius oftcndit . £rit igitur 'Archite^: ^tus Grammaticapperitus, vt & artis coas mcntariaintcliigcre, 6c ipfenoua fcribcrc pofsit, &coracruditisac Principibus 16- qui,eiusq-7 opera fciat argutc,atque elegan=a tcr , & difertcab inuidorum morfu dcfcn* dcrcjfiquidem (vtinqnit DiuusHierony* mus ) impofsibilc cfl vt abfquc emuloram morfu uit^huiuscurricula quis pcrtra(cat, quod vt iquc prcftabit fi Dialcftica? , atquc llcthorice ahquam operam dcderit:habcat ctiamgraphidosfcictiam oportct, quafa- cilius cuiufcunq; operiscxcmplaribus pi:^ ftis ipfum poftca opus ad cius fimilitudinc tuti^ as-frredi.ct pcrficcrc valeat. Arithme- ticaucro,oc Ocomctria quantum arcnitc* onic^ arti prscfidium prxbcant nullu ar- bitror ignorarc,quandoquidem finc his, ncquc Dtr ufu cr unliute Mdthcm4tic. Mium. % 9 ntquc opcrum computatio,quain (euritli- miam uocant^nequc^dificiorum Symmc* trif jCxpcfarumq*, fummj , in quibus opcru dccoris dill:ributionis,ordinationis, ttifpoj^ fitionisqi vis fcre tota confiftit^ liaberi possunt, percasnamq;artes facilius edificio^ nim (tcfte Vitruuio ) inarcisexpediuntur ^!^^*** difcriptioncs normarumq;,ctlibrationum, & linearum dircftiones , ncqueabfquc his proportionum, prpportionaliratumq*, vi- rcs fatis perfpici, & intelligi poHimt , quse omnia maximi funt in architcftura mo- mcnti. Optica ucro architcfto oftendit, quopaftoin^dificiis accrtiscfli rcgionis bus ducantur himina , quibusq-, artificiis ctia fubtcrrancf domus himcn habcrc pof* fint,ct quomodo fupcrioraedificiorum fa^ fti^ia,vti timpana,acrotcria,& fim^, cthus: iufmodi reliqua augcnda , uel produccnda fint,vt fpcftantibus xqualia infcrioribus mcmbris ad pcrpendiculum vidcantur, vti Vitruuius lib.^.cap.^ .oftcndit . Dc optica idcminprffationcfcptimilib. tcftatur A=s gatarchum.qui Athcnis Acfchilo doceute tragediam fcena fccit comcntariu rcliquif* fc , qua quidcm fc^na moniti Dcmocritus, & Anaxagoras dcea re fcripfcrunt qucm» admodum oporteat adaciem oculorum, radiorumq; extcnfioncm ccrtoloco ccn« trocoftituto ad lincas naturali rationcre- fpondcrc. 1 ft lofcphiVmcom fponc^ crc , vti dc inccrta re,ccrt2e imagincs dificioriim in fc^narum pi^luris rcddcrec pccicm, & qiif in dircftis planifq j fronti- bus funtfignrata alia afccndcntia,alia pro^ inincntia cflcuidcrcntur . Adcocnim hu« iufmodi difciplinis ncmpc Ariihmcticf ^ GcomctrifjCt Opticf Architcftura cogna ta cft,vt omncs fcrc qui in his cxccHucrint, Auh^ illam quoquc calhicrint , ut Ariftarchus r^rei S^*^^^^^ > Philolaus , Architas Tarcntinus, * Apollonius Pergcus, Archimcdcs Syra- culanus, porroarchitcft^ Gcomctri^ pr^- ccpta adufum,vclut adfincmfuu accom^ modat, proptcrcacumEuclidcs Mcgarcj fis gcomctracflct infignis, tanti quoqjno^ Valeri' minis in Architcctonica artc fuit , iit (tcftc usmaxi Valcrio Maximo)Platonis cruditifsimum pcctus hxc cogitatioattigcrit,quicondu* ctorcs facrae ar^ modum , & formam cius, fccum fcrmoncm confcrrcconatos adEu- clidc ipfum irc iufsitjfcicntif ciusjmo pross fcsfioni ccdcns.Hiftoriarum quoqucnauc! parum dccct Architcctumicflepcritum,vt corum ornamcntorum , quse in opcribus ex confuctudine defio;nantur,cclantur,auc infculputur,vt in bafihcis , ahisq; cum pu» blicis, tum priuatis apdificiis qufrcntibus origincm fciatcnarrarcnonfccus ,ac ipfc V/trw- Vitruuius Cariatarum,Pcrficarumquc co- ums Jumnarum rcccnfet origincm , ubi rcfcrt Pau(a- rw . DeuiucruiilitdteMdthemtic.Mitm. 40 Paulaniam Diicem Epitaleo praelio deui- ctisPerfiseoriiftatuas ad fuftincdu cpifti-. lia,ct tcfta coUocaflcjVt & hoftibus inferc dibelliaudaciam tollercnt;& ciuibus tan- titriumphi gloriacrcctis,perpctuumforct dcfendendselibcrtatis cxcmplum,eadcmq; Grxci aducrfus Cariatas feccrc. Quocirca cu hxc ars humana nccQ&itate cxteris me- chanicis fitpropemodum antiquior,c6 ma giscultores fuos celebrcs reddit , quoedifis ciaipfatemporis cdacitati minus ccfentur obnoxia, Philofophia vero architecto mul ^^^'M^ tipliciratione prodcfrecxeo facilccogno ^^* fcimus^nam cum ca triplcx fit, moralis, ra- tionalis,& naturalis : prima magnanimuni facit architectum , humilc , iuftum, veracc^ fplcdidum , nec lucri plus xquo cupidum; ctenim pecuniae nimia cupiditas homini vcritatcm rcrum contemplaturo aducrfa c, nihil profccto ftultius eft,nihil vilius,quam infenfibilibus dominis fpontefc {nbiiccre, fiquidem auaritia (vt ait Apoftolus ) cft ido lorum feruitus. Quarecurandumcftinge=» Aico- iiuishominibus, vt potius bonamfamam, H^' quam pecuniam fcruent, & vfq;adco opu, oc diuitiarum ftudiofosefle, quo faciliusas rimi dotes egrcgias vti fapicntiam , et iufti^ tiam adipifcantur . Rationalis vcro phi- L^gka, lofophia , c[ux & logicc appcllatur , & quae in diffiniendo , diuidendo , tSc ar^i gumentando ' Jofophi Vnicom gaimentando confiflit.faciet architeftiim audacem. impauidLim , circumfpeftum.ar* gutum,eloqnentem,ct contra inflantes pa ratuni ad redaro;ucndum^efl:enim lo<>icaa- Vrtrno Ijarumartium clypeus,&(vt inquit Arifto '^T;" tclcs') ars ariium, & fcientia fcientiarum ad pce omnem mcthodum vjam apenens . 1 ertia vcr6,quae& Phificcdiciturfaciet archites ctum nnruralium rcrum pcritum,tjuoniani docetcarum rcrum , quaf artificrjs nccefla* ria funt^naruram cognofccrej vti calcis , la- pidum, lignorum , bitumiuum , arcnarum, aliarumq idgenus matcriarum,quarum mi raHllcs virtutcs,& qualitatcs fuo loco cxpli cabimus.Infupcr opcrfpraecium eft vcnto rum naruram non ignorarcvt fciat qui uc- 'tcrum flatus in condendis ciuitatibus, op. pidis,& caflris finteuitandi, quiq; finteli^ .gendi,quaefittelluris figcunditas , qu^aeris temperics qu^aquarum, & fontium natu- ra.qu^ omnia a phyficis ac ciperc doctus ar chitcct^ curabit « Acccdit quod mulra prae llatium architcctorum opera finephyfica intclligi rcctc non poffuntjVt Ctcfidrj horo logiorum|inucntoris opcra , & Archimca dis fummi Mathcmatici , qui plura de ma- chinis dc mqmcntis sequalibus, de fubfiden tibus aquae , alijsq-, egrcgijs inuentis accura Mupce tifsime fcripfit , Muficam vcro in hoc raa- gno architcctis adiumento efTe Vitruuius aflerir. 1 Deufucr utiliute Mathemdtic. A rtium. 4 1 alTcritjquancloquidcm illius medio balifta* rum,catapultarum,fcorpionumq, tcmpc- raturas confequi poteft , in capitulis cnim (inquit illc)clextra, ac (iniftra Umt forami- na hcmitoniorum , per quf tcnduntur fur- culis,& veftibusc ncniotorti funcs,qui non pr5cluduntur,ncc pr^ligantur^nifi fom . nitus ad artificis aurcs ccrtos.ct aequales fc- cerint,brachiacnim,quaein illas tenfiones includuntur,quum extcduntur sequaliter, &paritcrfagittam cmittcrc dcbcnt,qu6d finon hemitoniafucrint impcdiantrcftam telorura ciaculationcm . Hydraulicas quoi« qucmachinasmuficaartc coftarc idem ia lo.libro tcftatur,fimiUter intheatris va(a ^rea,qu2B in cellis (ub gradibus mathcmati- ca rationc collocantur,ad fymphonias mu- ficas,fiuc conccntus componuntur :funt autem cell? fpatia quapdam fub gradib' di- ui(a iuxta normam cantus rcfonantia , ubi fonituum difcrimina,qu2Ba Grsccis nx^ioc hoc cft rationcs conccntuum appcUantur, quarcquum huiufmodi vocum difcrimina diuiduntur fub circulo diatcfleron,diapcn- tc,& diapafon , fccnici fonitus vox fccun« dum;vaforum difpofitioncm conucnicns, cum taftu offcnfa fucrit , atquc in vaforum concauitatibus rcpcrcufla, & concordan^ tium tonorum incrcmcnro aufta ad fpc- ^tatorum aurcs clarior , atquc fuauior pcr- F / ucnic» . ' lofcphi Vnicom Affro- uenit. Aftrolo^ia vcro quantumarchitc«i ftfs conferat cxnoc liquet,qu6cl illius prqm ccptis orbis partcs,ncmpcoricns,occidcs, auftcr & fcptcntrio,pcr inftrumcnta gno- nionica,vcl magnctina facilc indicantur, vt cx rjs oppidoru, atque urbium partcs vti portae,viar public5,fora,platcf .porticusq; vtilitcr difponantur, docct infupcr folfti- tium,xquinoftium,aftrorumq5 motus , & planctarum rationcm cognofccrchorolo* giorum conftruftioniapprimc ncccfTaria, Vttru* (icut in.p.lib.Vitruuius oftcndit.Poftrcmo iiu* cs ill^^S^^^^iP^hitcftOjfica, quae ^^g^ ' a lurcconfultis, fiue municipalibus legibus ciuium tranquilitati confulentibuSjCirca parictcs,ftillicidia,cloacas,aqu5du£lus , & lumina aliaq; idgcnus, communibus sedi- ficiis ncccflaria fcripta funt,priufquam inn ftituat aedificia fedulo animaduertat: folcnc cnim cxhis plurim.T oriri litcs , atquc con^ troucrfif ,qux poftca non nifi opum , cor^ porisq;,& anima? pcriculo diluunf ,quam- obrcm , vt in ncgotiis omnibus , ita in hoc quoq^ obferuandum cft illudSaluftii prac^ ccptum Priufquaincipiasconfulto, & vbi confulcris maturc fafto opus cft. His itaq',artibus faltc mcdiocritcr inftit^ tutus artifex oes Architcfturae partes cal- kbit. Eft aut huiufcc artis duplcx partiii di uifio^ali^ naq; p^rtc^ dici pouunt accideta^ lc$, Df ufUyCy* utiliute Mathmatic. Artium\ 41 les.ali^ fubftatialcs:accid6talcs architcfturf partcsluntfcx/cilicet ordinatio,qu2cgrae^ CCTCf|ia,difpofitio,£fi(<rtaio-,%i;()i;d//cior,quf la tincconcinnitas appellari potcft, fymme- tria,fiue commcnuiratio, dccus , quod fta* tionc,c6fuctudinc, & naturacomparatur, ct diftributio^qu^e ct m%()iV//o? grf ce dicitur. . Dicunturautcmaccidcntalcs quod omni- ^ bus altjs partibus fubftantialibus accidant rcquirunturq; adcuiuflibet architcftonict opcris pcrfeftionem. Quarc & cncrgeticf > . fiue cfficicntcs dici poiTunt^fiquidcm cx ca rum unione, atquc cocordia tota coalefcic architc£iura,qu2eaIioquifeiunA2e omneSy non cquipollcnt toti compofito , ficuti in Muficis quoq; contingit . Nam ipfe voccs vnit;cconftituunttotum conccntum ma« ioris virtutis^quam fciunfta^ pofsint.quod pcrinde AppoIIinaribus artibusvfu vcnit, nam in conficiendis pharmacis , acopisq» multa quidem virtutc , & gradibus diuerfa, folcnt adhiberi,fimplicia, qux alioqui fcpa rata fanandis non fufficcrcnt corporibus, Attamcn cx corum compofitione totum aliud refultata fineulorum fimplicium qua litatc longc diucrfiim,Vndc fequitur , totu non ratione quantitatis, fcd potius virtutis plus effici poflc , quam omnes eius partes : Virius cnim vnita fortior cft multiplicata, vt tcftatur Philofoph^ in lib.dccaufis, Vc^* decauf. F z rum lojcphi Vnicom rum huius diBerentix partium rpeculatio- ne omifla>totius architcfturap partes brcuif (ima narrationecxpcdiam , & (iqua^^U ratione digna opcra a fcriptoribus commc morantur,caintcrim rcFcram. Ordinatio itaq; componitur ex quantitate,Eft autem quantitas in hoc loco modulorum> & ipfi=^ us opcris fumptio,exfinguUsq-, mcmbroru Eartibus vniucrfi operis couenics efFcftus . )ifpoficionis yero trcs funt fpecies vidcli- cet, Ichnographia hoc eftplant^xdificio* rum defcriptio,Orthographia,hoc eft erca ftionis fupcr planum de(criptio,& Sccno^ graphia,hoc cft vmbrarum ratio in sedifi- cr\s obferuatajhsec cogitatione,atq; inuen- tipneconftat, Subftantiales autem architc- . £ii\rx partes funt tres, videlicet afdificatio^ Gnomonic?,& Machinatio. Edificatioin duobus c6fiftit,ncmpe in collocati5e mce- nium ciuitatisjVel oppidi,& comnmnium» priuatorumq; ^dificiorum conftitutione * Verum priu(quam vlterius progrediar, fci* re opere pr^cium eft , ad optimam ciuitatis conftitutionem fexpotifiimum conditio- nes requiri, fcilicctyacris temperiem «aquac rum falubritatem,et copiam; quarum pro« VftfK- prietates,& mirabiles efFeft^docet Vitru- MtK5 Ub. ukis lih.y. TeUuris fertilitatem , noxiorum 7 • ventorum euitationem , fitus eminentiam» & portusmaris,aut alicuius fluminis com^ moditatcm» Df ufu^ &''utiUtute Nluthcmatic. a rtium . 43 moditatcm. Vrbium autcm moenia, locaqj communia tria potifsimnm cxpoftulant, dcfcflfioncm,rcligioncm, atquc opportuni tatcm.Dcfcnfio quatuor imprimis operib^ pcrficitur,turribus,portis,fofsis, & muris. Murorumaiitcm quatuorfuntgenera , re- ticulatum,incertum,ifodomum, & pfeudi- fodomum . Vcriim cum apud Antiquos, tumnoftris temporibus ciuitatum vel ar- cium muri (fi defenfionis ratio habetur,; la tcricio opcrc fafti maxime commcndan- tur.In hoc enim gcnerefucrunt Babylonis muri,quos Scmiramis coftilibus lateribus, ctbitumefcruminatis ducentum pedumal titudincjlatitudinc vero quinquagcnum,aa dco vt quadri^as inter fcoccurrcntcs rcci* pcrent, nirrefqs habcrent tercentas,plures multo habituri,nifi aliqua ex parte paludcs promoenibusfuiflent; cuiportemofoope Hfroi#. ri adhibita (unt tercenta hominum millia> tus de port2Bftabat3ere;tomncscum cardinibus, ^abyio^ jdq-, tcftatur Herodotus,jVndc Propcrtius dc his fic cecinit, Pcr&rum ftatuit Babylona Semiramis vrbcm, ^J^ • Vt folidum cocto tollerct agger opus, Et duo in aduerfum mifit pcr ^m^nia cur rus, Nc poflcnt tacto ftringcrc ab axc latus, Duxit & Euphraten me^um qua con:» F 3 didit lofephi Vnicorni didit atccs , I Iiifsit,& Impcrio furgcrc BactracapurJ Addcndavidentur hisTroic Pcrgama^ Thcbaru port^,c6icctura"mirf amplitudi^i nis poftcritati rclinquctcs,Cafpi2c ite por*» tf cx aerc conflat^^oc fcrreis trabibus obfc- ratf^vt nuUa vi clidi pofsint,quarum ncfcio vtrum magis magnitudincm , an artificum jnduftriam liccatadniirari . itaq; fi ca , quac noftris tcmporibusjquibus maxima fcrc o- pcramilitari architccturac impenditur,cos: piofc vcllem commcmorarc, non tatse pro digcntiae quidcm,ncc raolis , fcd longe vti^ lioraopcra vidercntur: fiunt cnim fortifsi^ miin caflrisaggcres, vallorumq, labiryna thi,alij quadrati cum fingulorum anguloru turribus feinuicem protcgentibijs, alii pcn tagoni,cxagoni alii, ac etiam oftogoni, cx quibus militcs nuHa fcr^ arte, nullisque vi>c viribus cxtrudi , diucllique pofTunt , fiunc fubtcrranese cxcauationes, quas vulgo mt- nas vocant cu ignibus ccrto tcmpore eru^a pcntibus adcucrtcnda moenia.& turrcs,uc nifi fimili modo ab incolis reparari posfint; fabricantur ctiam ciuitatum , oppidoruq; tanto , tamquemirabiIiartificio,mihiqnc non incognito mocnia , vt ab hoftium ma* chinis diruta , iamquein folum dcicfta fint proculdubio, quam antc fuerant tutiora, atquc adarccndoshoftcsaptiora, aliaquc innu- Dc m/m er utiliute Mathmutic. Artiutn. 44 innumcra noftrae xtatis a ftreuuis uiris prii dentisdmc cxcogitata funt , quae cum ma^» gis utilia videantur , quam anticjua illa Aca gyptiorum Regum monimenta, non om- nino filcntio prartcrcuda cflc duxi. Vcrum illi Rcges potentisfimi potius'ad inancm diuitiarum oltcntationcm , ucl ut torpcn- tcs populos ab otio rcuocarent , quam dc^ fcnnonis,oportunitatifvcgratia alia {pcfta t^^magnitudinis aedificia coftruxcrc, quo- rurhmatcrias , atqueexpcnfumaesnoftris temporibus rcgnandi cupiditas in coftruc dis arcibus , & oppidis municdis libcntius adhibcret: huiufmodifucrunt incredibilis inagnitudinis pyramidcs,quarum vnius na turah faxo claborar^ ambitus per frontcm ccntum duos pcdcs colligcbat , longituda crat ccntum quadraginta trium pcdum, al- titudo fexaginta duum , alia cx Arabicis fa ftalapidicinisafexccntis hominum milli- bus uiginti annis conftructam fuifTc mc- moriaeproditumeft : trcsalia? fueruntan^ nisfcptuagintaofto & mcnfibus quatuoi:' factae. Aft omnium amplisfimaofto foli jugcra capiebat quatuor angulorum pari- bus intcruallis pcr 888. pedes , fingulorunt vcro latcrum altitudo pcdcs 2 5 , omitto a- Hascclebrcs pyramidcs , quas Hcrodotus Clcopcm AEgyptiRcgcm condidiftecos^ mcmorat Jntcr njc mira priuata opcra nu F A mcrantur * XofephiVnicorni mcrantur ctiam plures obclifci a Ramyfc AEgyptiRcgc conftructi, fcpulchructia Artcmifi? Cari^ Rcginae Maufolo mari^ to crcctum , quod aliis honorabilibus Sar- cophagisnomcdcdit,aliaq3 idgeniis,qcnu mcrarclogucflet. Rcligionis vcro cdificia funttcmpla, & facrffdcs^quarum gcne« rafunt,Doricum,Ionicum ,Corinthium, Tufcum , & Compofitu: Acdium infupcr ahfacohimnarum numero, & difpof^tio^* ncdcnominantur,vtantis , quae paraffrata crat cum porticu : Proftylos , hoc cft con- tracolumnata, amphiproftylos coUimnis circumff ptarcxaftylos, cuius pronaumfcx crigcbatur columnis, huius latcra cum an^ tis vndccim ornata crant columnis : Pfcu- dodipteros hoc cft in?qualium parictum, habcbatquc octocolumnasiDiptcros crat octo columnis duphcibunn cius frontifpi cio ornata : Hyptcros vcro dcccm colum- nis in pronao , atquc in oppofito parictc^ intus autcm crant columnse in circuitu du* pliccs, alif prftcrea facrf aedcs rationc in^ tcrcolumniorumalias adcpt^funt nomcn claturas, ut pycnoftyios , hoc cft dcnfarum cohimnarum,cuius intcrcolumnii latitudo cratuniuscolumnf diametri, & dimidrj in imo (capo fumpta,cuius quidcm coKimnae latitudinis ad altitudinem proportio erat dccuplaj Syftylos crat f dcs , cuius intcrcois lumnium TyeufucTUtilitate^Uthcmidic. hrtium 4^ lumnium duas coluranarum diametros ca^ piebat,quarum longirudinis ad imam dia- inctrum proportio erat vtnouemcumdi midio ad vnitatcm hoccft nonuplafcfqui altcra. Diaftyloscrat ^dcscuius intercolii niumcrat triuni diametrorum fuarumco luranariun , quarum longitudo fit oc to dia mctrorum * & dimidi^: Arcoftylos crat dcs , cuius intercolumnium quatuor fuaru columnarum diamctroscontincbat, qua* rum longitudinis adimam diametrum crac octupla proportio : Euftylos ucrohoc cft benccolumnata ^dcs crat, cuius intcrco^s . himnium crat trium cokimnarum latitu=s dinis, quarum longitudoocto, & dimidia imi fcapi diamctros intcrcipicbat. Augen=s turautcmin crasfitudinehae coUimnf ni^ X ta altitudinis rdtioncm , u t uidcre cft apud Vitruuium libro g.cap.i. & 2. cum carum V/ini— capitcllis,fuisq; partibus ncmpc plyntis, trochiliis , puluinis , echinis, cpitracheliis, cncarpis , aftragaHis , epiftyliis , zophoss ris.aliisqueid gcnus ornamctis adhumani corporis,& habitus imitationcm inuentis, quarum proportiopes-,& (ymmerrias cum antiquitas vclfal&libroruexemplaria ali* quantulum immutauerit^quomododchi?, j^j,^^^ nuper fcripfcrit Scbaftianiis Scrlius archis? jiiarus tcftus non ignobilis,fublcribcrc vifiim clK Str/w. Columnarum itaquc ratio apud eudcm ita fe JofcphiVnicorni fc habct,Dorica columna ciim capitcHo ha bct logitudincm fcx diamctrorum imi fca« pi. Q^cmadmodum hominis pes tota eius altitudincm fcnario mctitur, fcdcum ali* quorumhominumaltitudincs ad coru pc dem oftuplse reperircntur , ftatucrunt po^ (lcaDoricam coUminamofto diamctro^ rum,Tufcamvcr6 fcptcm,Corinthiam au- tcm unacum capitcUo noucm diamctro:s rum.Vcrum harum proportioncs,colum* iiarum iuxta opcris amphtudincm aHqua- do mutantur , quocirca fcrunt tcmplum Dianf Ephefia; intcr feptem Mundi mira^» cula connumeratum habuiflc. i z y. colu- nas . 6 o. pcdum altitudinc,cuius quidcm tcmphlongitudo erat. 425.pcdum,latitudo ucro, izo.quod poftca ca noftc , qua natus j^^^n^ cft Alcxandcr Macedoinccfumfuit .Erac teUsYn inhoctemplo(teftc Ariftotclc ) taurus cx: libto de ^rCjVclaliofufili metallo conflatus,qui in* mtrahf grcdicntibus vcnatoribus tcmplum mugi< tJ*!^"* tibus implebat.hoc porro templum Ctefi^ flinlus. phontearchitcftoa tota Afia.zio.annis fa {\\\m fuiflenarrat Plynius hb.35.cap.14. tacco aUamirabilia opera, qux columnis fubalternari poflunt , vt Solis colofliun apud Rhodios annis . 1 2. aChare Lyndio artificc fabrcfa(flum: louis olympici fimu« lachrum , Phydiic operaexcborcfaftum, his tamimmcnfis opcribusad rchgioncm { fpc^taa^ Df t(ff/,er utilitate Mdthamtic. a rtitm. ^6 fpc£lantibus,noninimcr!t6 addendu cxi- ftimo famofifsimum illucl Salomonis Rc- gis tcmplum , quod anno rcgni fui quarto fabricare csepit , cuius condcnrlfcaula pcr^ hibent triginta hominum millia cedendis cedris , & cuprefiis deftinata , lapicidarum oftoginta nillia, tcmph latitudincm fuiflc viccnum cubitorum, longitudinem fcxa^ gcnum.altitudincm vcrofornicc diftinfta ccntenum Sc vicenum:inferioris flruftur2c matcriam cxcandentifaxo ccllas viccnas pcruiointcr(cufu,cedrinas trabes.parictcs omncs auratos.ianuas viccnum cubitoruni altitudincauro fulgentcs, inftru<fta dcniq; pctalis aurcis pauimcnta, aliaq cum aho« rum,tum ctiam huius templi vix crcdibiha breuitati ftudens prapterco,fed iam cxpcdi* tis duabus primis spdificationis partib^, dc- fenfione, atq^ rchgionc, tcrtia.q opportu^ nitasdicitur fcfe oflFert.H^c quinque ficiorum fpccics continct, quapfunt por* lus,fora,portic^balnca,& thcatra. Theas trorum autem tria funtgencra,Tragicum, Comicumi& Saryricum,ad qunnim ^difi- ciorum dccus adduntur ctiam labyrinthi. Horum autcm cdificiorii fpccies unaqucqf aliquo mcmorabili infignita cft opcrc,in quo ucl ^fabrilem fubtihtatem > vcl matcric Hignitatcm, vel ctiam operis mn^nitudinc cft admirata poftcritas, vc Pompci amphi* ihcatrum. Jofcphi Vnicorni thcatrum.XL.hominum milHa capicn^, lacus,& fontcs Agripp? memorabilcs.Do mitianiC^farisamphithcatrum^quodom^ Martla nibus fupcrbis jdihcijs Martialis prjtulit, cuminauit. OisC^wrco cedat labor amphithcatro Vnum procunftis famaloquatur opus. Huic addendu cft ftupcndu^ illud Marci Scaurithcatrum tribus rccnis.jfio.cohima niscrcftisprafditum^cuius prima parscx marmore/ecunda,c uitro mira uarietatc,ac dccorc ornata crat,intcr columnas vcro fupcrioris partis crant aurat^ tabulae^colu^ narum infcriorum longitudo krat pcdum 38.carumautcmintcrcolumnia. jooo. fla« tuis sercis decorabantur , huius thcatri fpa- fil"'"?' tiumofto^intahominum raillia capicbat, tap.i^. huic annuraerari pollunt tncatra duo cx hgno a Curio fafta^qug hcct vniucrfum fe< re Romanum capcrcnt populum , mira ta^ men adco condita crant artc , vt fupcr pla- numfufpcnfa nauiuminftar circumducc* rcntur,quibus portcntofis operibus non iniuriaaddendum putarem lacumillum in Vomfo^ Afia in quo(tcftc Pomponio Mela) Chc* mus Me j^i^ infula lucos/yluasq;,ct Apollinis gran^ detcmplum fuftinens natat,& quocunquc vcnti agunt pellitur . Fuit ctiam Mcris ali- quandocampus^nunc lacus vigintimillia paduum in circuitu patcns aitior quam ad nauigans pe ufu cr uiilitdte Mathcmatic. Artium. 47 iiauigandum magnis,onufl:isqi nauibus fa- tis cll,funt &plurcs labyrinthi materix, atqi opcris cxccUctia cgrcgij, ut ( code Po^ idem. ponlo tcrtc)efl: Pfammctichi opus labyrin* tusdomosmillc,& rcgias duodccim pcr^i pctuo parictis amibtu amplcxus,marmore cxtruftus,ac tcftus , vnum in fe dcfccnfum habct,intus pcnc innumcrabiles vias , mul- tis ambagibus,huc,illucq; rcmeantibus/cd continuoanfraftu,& fafpercuocatis por- ticibus ancipitcs , quibus fubindcalium fu- pcr alios orbcm agcntibus,& fubinde tan- tum redeunteflexu,auantum proccflcrar, magno,& incxplicabili tamcn crrorc pcr- plcxus cflXcgimus praeterea apud fide di« gnos autores alia (lupcnda opcra commu- ncm opinioncm cxccdentia, vt in medio mari cxtruft os artc montes , quales in Bri- tania ut mihi rdatum est uidentur. Pontc trium ftadiorum fuper fluuium Euphrate Nitocris Aflyriorum Regin^ iuflu crcftu, ingcntcsq-, caucrnasad cxcipicndum flu« minis impctum faftas,pontes alios a Cjfa^ C^far rcmiracclcritatcfaftos>alt?roquidcm vno ^om* dicfupcr Ararim, alterumfupra Rhcnum  immcnfj magnitudinis,deccm tamcn dic- '* bus lcgimus in cius commcntariis fuiffeab- folutum,itcm alpes aceto diui(as , implctas ad fummum vallcs , campis squatos mon« teSjAthon fa£lum a Xcrfc nauigabilcm,cx (iccatas Jofcphi Vmcorni ficcatas palu(1cs,faa .is nouas infulas , aliaf» quc conrincnti coniunftas , fcrutata maris • profuncla,continuataapquoribus acquora, Lucrinum lacum vndccim annis a trifilinta hominu millibus cxhauflu , adaperta flumi nibus prom6toria,vt Luculliana villa , vbi cxcifo monte Euripus admittebatur, aliaq; iA crcn^ fpcftaculorum apud Plinium , So:^ hnum , Pomponium Mclam > Vitruumm, aliosq; fcriptorcs legimus admirationcdi:^ crna, quibus ignarum vulgus intelleftu cap=: cucicnsadcoftupct, vt effcaum omnem in Daemoncsrcnciat,cum tamen natura:^ hum ,autmathcmaticarum artium opcra fint . Qiicmadmodum ncfcienii virtutcm magnctis ,videntiq; graue fcrrumin acra fnfpendi , vti Solis idolum,& Serapis tcm:^ pUim in JEgypto,& ( vt hic Mahumcti fc^ pulchrum in vrbe Mecha pr?termittam> Dsemonum opus proculdubio viderctnr: at vbinonfemclquis cxpertus fu€fit,om- nis tolleretur admiratio Scd iam ad priuata sedificia.hoccft rchquum jdificationis mc brum adcamus. PHuatorum itaqucxdifi- ciorum quinq; funt gcncra , Tufcanicum, Corinthiu,tctraftylon difphiuiatum,& tc- ftudirtntum , Vcriim illud haud quaqua la- tcrcdcbetarchiteftum in omni aedificioru ircherehfc tria potifsimu obfcruanda cflci? firmitatcmjVtiUtatcm^ & pukhritudincm. Supcr Tieufucr utiUtate Mathemtic. Artium 48 Supcrfunt reliquf architeaur.T fubftan= tialcs partes Gnomonicc fciiicet, & ma* chinatio. Eftautem Gnomonice qua certis mlhrumentis cuiufcunq; loci orizontis partes mdagatur,ut Oriens, Occidens, Au fter atqueScptctrio.H?c aatem pars oftc:. dit diuerforum horologiorum tam xqua- lium,quam in^qualiu horarum genera,atq; vfum,qu? videapudScbaftianum Munft?. Munfl rum,quidehoroIogiorumartificio,atqMc "« vfucgregium opus compofuit. Machina» rumautemtria generacfl"e Vitruuius afl"c« rit,Scanforium, fpiritaIc,& traftoriu.quorum yliis maximashuman? vitx vtilitates, & dcleftationcs attulerunt : quis enim fine lcanforiis,atquc traftoriis machinis tot in- |entia aedificiacondidifl^et^totfexa infu* blimc tuliflct f tot dcniquc vix crcdibilia opera,vtiqu? fuperius commemorauimus coftruxiflet.'totctiam inftrumenta advi^ aum,atquc vcftitum oppido qu^m ncccf* faria induxiflet f vt telarum conficicndaru inftrumcnta.follcs, itcm cifia , & torni , & arandi inftrumcnta.vt plauftra,currus ' & fimiha , & qua: ad extorquendos liquores pr?parantur,vt torcularia & priftina, & id gcnus alia,nauicularum practcrca pcr aqua imientf machinac.trutinarum ctiam.Iibra- rumq, pondef ibus examinatio reperta vin dicatab iniquitatciuftis moribus uitam tc- 'fte lcfephiVnicom Vitru. ne Vitruuio.lib.9.cap. i. Qufcum ob ca=t rura ncceflarium vfum fint aiiis machinis notiorcs.eas confulto pr^tcrimus. Spirita^ lcs uero machin? licet non tam neccflarios in mortaliiim viia afferant vfus, habent ta* mcn nefcio quid iucunditatis,& dekaatio nis,proptcrea& carumartificcs magnum nomcnapudpofteros funtcofccuti, quod & huiufmodi machinac naturac videantur armulatriccs. Siquidem vctuftifsitna adhuc diucrfi fcncris monimcnta admiramur a multis Poctis carminibus dccantata , & ab aliis fcriptoribus fohua oratione comme- morata.qualia funt illa, quae olim pa:dakis proportionum,& pondcru fcicntia, aUaqi ratioue vfus in animaliuni formis, quas ve* tercs plaft? c^cas fineebant,& immobiles, oculos induxit , & abditis quibufdam ner^ iiis cfFecit,vt hucillucqi moucrcntur,adeo fcitc,ut fpeaantibus viuere & ingredi vidc rentur. Idcm ligncam Vcnerem dicitur fa- bricalle , quaf argento viuo inclufo moue« retur,fccit infupcr Crctar labyrinthu , quo inclufus alis fibi,& nato confiftis pcrinam niortalibus ncgatam periculum effugJt. Owdius DcquoOuidiusli.MethS. Dxdalus ingenio fabrx celcbcrrimus ar Ponitopus. e^'? Architas etia fimulacrumcohimbje li- encum fecit.quod innumeros penc homi* , nesaa De w/m cr utilitdte Mathcmdic. Artium. 4 9 nes ad fui admirationcm addiixir,libramcn tis itafiifpenfiim , & aura fpiritus inclufa, atquc occulta concitum,ut ipfum uolarcr. Autor Gelliuslibro. x. cap.ii. Narratctia ^«^«r Casfiodorus Boetium habuifTe Diomcdis ^!^)" ftatuam in a?rc buccinantem,apncum fcrpc dorui^.' tem (ibilantem , (imulatasqucaues fuauem melodiam emittentes , tradunt etiam in Hyarbae Gymnofophifta? conuiuio aureas ftatuas pinccrnarum officiofunftas,atque opcram difcumbentibus pr^ ftitiflc , qu^ ninianaturalium> & maihematicarum ar^ tium, & prafcipucfcientiaepondcrum ope rafunt, in quafcrunt Archimcdcm ilUim, Arc^i— qui Syracufam patriam a Romanorum bel ^ iico impetu variis machinaru tcchnis muU ^'^ tisannis ill^famferuauit, ita prfftitifle , ut apud Hieronem Syracufae Rcgim immcn- liim hunc tcrr^ globum rotarum contcxti bus, ponderum fcientia difpofiiis fe poflc dimouerepoHiceretur,fialiointerim rcpo nipotuiflet. Erantinfupcr alia^ machinx^. apud vctcres militaribus rebus accommo^ data^jUt Scorpioncs,baliftf,catapultf , aricr tcs,& ambulatorif turres,quibus cataphra ftimilitcs,& fagittarij inmuros repentina inuafione irruebant, quas Dcmoclesarchi tcftus folertiingenio cxcogitauit.crant & tcftudmes, qu^ ad foflarum congeftioncm pr2tparabantur , Erani Orygcs , quibus in. C tcrrj lofephiVnicorni tcrrfcxcauationibiis vtebatur,& alif muU VifTM- tf,qiias Vitruuius, Vcgetius, & Frontinus "j"^' tradidcrurtt . At ubi homines multu diuq> tmf" huiufccmodi machinas fuifTent cxpcrti, oc Fraufj. iam carum vfus callcrcnt,& dcfenfionis arii nus. tcs,atqueofFcnfionTSpcrinde apudcosfuo pcricuio innotuiflcnt , atquc ita illarum .v« fus diuulgarctur, vtnihil habcrcntad ofFen dcdum,cui remcdia non clTent parata, tiic nouis opusfuit inucntis , itaquc paulatim mortahum induftria ufquc adco inuahiit, coquc pcruenitjUt machinas inucniret ftrc pituadco tcrrifico tcla ciaculantcs , ut iicl timmiipfius louis vindiccs fagittas plane Mach*^ cxaequo imitar^ntur, huiufmodi funt faU fi^^ta €ones, cokibrin?, facri.tranfuolante3,turti« tis mir4 fragae,aliaque id gcnus tormcnta, qu^ non biles. niodovctcfcs machinas uno iftu diftipa* rcnt,fcd ctiam illarum horribili fono , atqj iftu Vulcanus ipfc ( ut ita dicam ) contrc^ mifccrct:quid«fiim plns agit flrcpitvc ful-» gur? Quapropter, arbitror,quodfi olim maiorcs noftri rcuiuifcercnt, vidcrentquc tamportentofas ,horribilesque machinas, circumfcrri ftuporeproculcuibio afficcrcn tur , horum autcm tormcntorum rationcs & fymmctrias docct Nicolaus Tartalca ^alJa^^ Brixienfis.Exhae igiturlicetperbrcui nar Brlxien rationcanimaduertcnt lcftorcs ftudiohfsi«s' fis. mi quanta fit huiulccartis cu dignitas tum i vtilitas, Df ufu er utititatc Mathemtic. a rtium ^ 6 vtilitas, & quam variiis , qiiam multiplex, quam deleftabilis,quamqjfrugiferus difci^ plinarum fit vfus, Qui cum in rcbus omni- buSjtumctiam inarchitcfturapotifsimum fpedtatur.Et cx his totius celeberrim^ hiia ius artis ordincm intueantur, qucm Vitni^s uius vir (mea quide fcntcntia) numcris om nibus abfolutus deccm libris ita difpofuic, vt quiantc,ncqj poftillum aut inucntionc ^aut cruditionein hoc gencrc ^quaucrit/uc rit nullus.Quis autcm , qualifqj totius Yi^ truuian^ Architeftur^tam commendabi- lis fit ordo,cx fequenti figura , quam inftar arboris difpofuimus diligens lcftor facil(? comprehcndctjhanc fiquidem iccirco fub- iccimuSjVtvclfoloiftuoculi totam artcm confpiccrc atq-, difcurrerc pofsit . G z DE ITECT.1 j)x: TVNIJ 1 • • 4 De ufuy cr utilitalc Mathcmtic. a rtium . ^ t tum conftriiftionc, tcmporis& multitii» dinis habcrc ratione ; qux omnia refta rae tionc exequi noi^ potcrit nifi numcrorum additioncm,fubtr;itliQncm,multiplicatio« iicm,partrtioncm,radicumq; extraftionc, fcu quadrati latcris inucntionem Duxmi- litiae callucrit,quorHm doftrinam particu- laritraaatuscderebeo.Opt.Max.permit tcntc curabimus . Nunc (atis fit difciplina^ rumvfum vcluti pcrtranfcnnam oftcndc«5 rc,vt vcl vnius tantum dici curfu,curiofi lc- ftorcs.quanta hifcc artibus coparctur cruai ditio,quanta fit artis>& naturf vis, quanta jtcm humani ingeniifit perfpicatia, quo- modo arsf^pc natura imitctur, quopafto natur? opcra ab artc perficiantur , non (inc magna admirationc.ct fi non plcnc in^ tcU igcrc,ialtcm fubolfaccrc pofsint. Hfc iamdiu praeftitiflcm ja^didiiTcmq;, nifi ob amaras undiq; mihi illatas litcs,imo litia,(quafmcdcu}nftum , contentiofifque hominib',ac rabulis mancipatum tam diu tcnucrut,qu6 min^ vacarc ftudtjs poflTcm) turbulcnti forilimina quotidic contcrcrc cirem coaftus. At vbi aducrff fortunf^quac fcmpcr mcis non culpandis aufibus aducr^ fatacft,turbincs cuafilTc crcdidcram^carxfa lucre^ fima matcr Lucrctia,vt tot , tantafq*, vcxa^ ^ tioncs euadcrct,nuqHam laboribus parccs, ^^lTort et quf iam improbi laboris racialiquofrus» matrn aufc ufu cr utilitale Mathcmatic. Artitm. uctfae tcmpcftatis tiirbinibus fuccumbcrc non pcrmifit>vtvcrc(iiccrcpo(simcupro- phcta , faftus cfl: Dommus rcfugium pau- pcri , adiutor in tribulationibus in oppor** tunitatibus; Fidelis cftcnimDcus(vt in- quit Apoftoliis^quinonpcrmittct vos tcn iMCa tarifupraid, quod potcftis , fcddabit vo^ •'«"^•f^ biscum tcntationc,proucntum, vtpofsis: tisfuftincrc. ENCOMIVM MVSICiE, VBI oftcnditur, quanta fit cius vis & uti- litaS|CX Boctio & aliis com- mcndatifsimis autoribus cxccrptum . ftant, & fiiblata poftcrio^ ff^dica- ra quoqv oia fimul aufc- mentis. rut , naturf ordinc priora cflc dofti homincs fcntiat, I ncmini dubium rclinqui • #" • #• • • tur,quinaccrti(sima numcrorum fcicntia, quffccundum philofophos omncs cuftis aliis prior cft , tanquam abvbcrrimo fon- tcc^tcrarura difciplinarumamaenifsima vi rcta irrigantc mufica quoquc dcfccndaCi quandoquidc ipfa muficf modulatio,quam (cnario vcluti omnium numcrorum pcrfc* Oifsimo^ vctcrcs mufici diuifcrunt, jicmpe H in lojephi Vnicom * inharmonicam , rhythmicam,metricam, Mii/?f< organicam, Pocticam,& (altationc,fiuc vt diuifto ^Q. ap^,(i Plutarchum in tria genera, Diatoas Vlutar^ nicum,Chromaticum,& HarmoQicua(Ic<^ €hum rcntcSeucrino Boetio numeroru propor» Uoftius tioibus annotatur. O nnis autem propor- tio cum ad aliquid referatur abfoluta,atquc fimplici qiiantitate cft natura pofterior,cu deftruftra: quantitates , earum fimul delcac habitudinesTomnes ctcnim cofonanti^ ab antcccdentis numeri nominibus nuncupa- tur.qui cnim (inquit illc)fonu$ in diapafon fymphoniaeft, idcm duplicis numeri pro* portionc colligitur,qux diatcflcro cft mo^ «iiilatiocpitrita coUationccoponitur, qua dinpentc fymphonia vocant hemiolia mc- dietatc c6iungitur,ct qui in numcris epogaa dous cft jdcm in muficatonus appellatur, Adde quodin intendendis,ac rcmittendis confonantijs>clauibusq'7 inucnicndis i^fdc proportionibus dupla fcilicct fexquialtci ra , atquc fexqui tcrtia opus eft^alij^q; hu- iufmodi circa toni,atq; diefcos , fchifmatis, diafchifmatifq; diuifioncm confiderantur proportioncs,a quibus omnis modulatio miro quodam dcle£landi modo,autaliqua afFcftu difponcndiobicfta virtutes acqui^ rit^Cum cnim noftracanimac ,corporifquc compago muficafit coniunfta» ficut fclc corporis afFcftushabec^ita pulfus cordis < motibus Be ufu cr utiliute Mdthematic. Artium. y 8 motibus incitatur ; quare^curti exeo,quod in nobiseft iunftumconucnicnterq', coa^i ptatum illud amem^eodemq> deleftemur^ GUod in fonis aptc,conuenientcrq; coiune ttuni efl:,no$ quoque ipfos eadem (imilitU' dinecompa£los efTe cognofcimus : amica cft enim fimilitudo,di(similitudo vero odio fa,atque contratia . Non itaque obfcurum Ari/?o« vidcaturnoftreanim2e,corporifq', ftatum ^ cifdfm quodammodo proportionibus efle j]^"*^** compohtum , quibus narmonic^ modula* tioncs copulantur : hinc eft quod infantes quoque cantilena dulcis oblc£Vat , aliquid vero a(perum,atque immite ab audiencli rc mouct voluptatc,nimirum id etiam omnis ^tas patitur,omnifq; fexus, quae licet variis aftibus diftributafint, vnatamen muficap delc^latione coiun£la funt • Cumenim ali^ quis voce,autinftrumentoaliquo cantilec nam modulatur,cantus ille exmcntis con- ceptu,ac imperiofo phantafi^ , cordifq, aCs feftu egredicns,fi{nulq', cum acre frafto,ac temperatoaereum audientis fpiritum , qui anim^^atquecorporis vinculum exiftima^ tur , motu facile penetrans , afFeftum , ani- mumq; canentis fecum transfercns, audie^ tis afFcftum mouet afFeftu, phantafiam af- ficit phantafia, animu animo^puKatq? cor, & vfque ad mentis penetralia ingreditur\ Hinc in mouendiiaffe^^ibus tantum valec H z harmo^ lofcphi Vnicorni harmonia>vc non naturalis modo , red ctia artificialis^vocalifqi vim animis,atquc cor« poribus infcrat : quarecx iis liquido appa- rct ita quidem noDisMuficam naturaliter cflc coniunftam, vt ea ne,& fi velimus,ca^ rcrc pofsimus . Nam animus nofter, quafi fUtp. tctrachordum quoddam,tcftePlatone,iii- tcUc£lu,rationc phantafia ac fcnfibuscon» ftat^quaproptcr, vt Boctius ait,intendenda vismcntiscft ,vt quod naturacft infitum^ fcicntia quoquepolsit comprehenfum tc* iicri,quantum autcm apud antiquos mufi^ , . ca fucrit cxiftimata , quatum ctiam in tol- lcndaanimorumfcritarc conducat, oftcn^ dit Homcrus , vbi Ax:hiHcm fccit digcrcn^ tcm , & coqucntcm mufica iram in Agas* niemnoncm conciratam,quama{apientif- fimo Chironc didiccrar,cuni inquit» Hawf* J-Iuc inucncrut mulccntc pedora dulci, Formofaqj Lyra^multoq-^vinfta nitcbat Argcto/pohu cucrfaHcctionos abvrbc Hac fc obleftabat clarorufafto viroru Prifca cancnSjvfus iuucnis Chironc ma- giftro . Eius prxtcrea vtilitatcm latisabundc Po^ foljbius lybius hb.^.hiftoriarum commcmorat,vbi ait>Cyncthenfes Arcadise populos tantum a rcliquis Grsecisca tcmpcftatcfcclcrc^ac crudclitatc diflFcrrc,propterca quod Mufi- cama maioribus fuis (apicntilsimc inuen« • ^ tamrcc; Tieufu cr utilitdte Mdthematic. Artium.  tam rcliquiflcnt Archadcs namq; tanto ia honorcmuficam in fuis Rcb.pub.habuerc, vc in ca non fohim pucros,ucrum ctia ado^ lcfccntcs,ac iuucncsad quadragcfimu vfq; annum vcllentcxcrccri ,homincs alioqui yitacdifficilis,atquc auftcrf ,pucros quippc inhymnorum cantibus airucfaccreatcnc* ris facagebant, quibus finguli iuKta patriac niorcm,Gcnia, et Hcroas,& Dcos laudarc confucuerunt.Poft ha?c PhiIoxcni,ct Thiii inothci difciphnisinftrufti cum cantibiis & choreis annuos ludos Libcro patri facic bant y pucri quidcm quos pucriles uocant, iuucncs quos uirilcs,omnis deniquc corum vita in huiufccmodi cantionibus adco vcr- labatur, vt Muficam ignorarc apud cos tur pifsimu putarctur. Quf res ( vt mihi qui^i dcm vidctur)ab corum maioribus non dc- litiarum, autlafciuiapgratia inftituta? fuc- runttfcd cum animaduertcrct afsiduos ciu$ gcniis laborcs in colcndis agris, & duritia, atqucafpcritatcm vitap,propterca & moru auftcritatcm, volcntcs mitcm,arque trafta bilcm rcddcrc natura , que per fe fcrocior, ac durior vidcbatur cos mufica? ftudiis crihi dicbantjVt quod in animis hominum natu^ ra duriuscrat,confiictudincmitius ficrct. Proprcrta arebat Plaro modcftam^ac fxm^ pliccm, ncc cfFeminatam muficam,magna cflccuftodiam llcipub. nullHmq^eirc tan- ^ H j taai lofephi Vnicom tam morum in Repu.labc, qucm paulatim benc morata mufica n8 remoucat, & aucr* tac. Nulla cnim magis adanimum difcipli- nis uia , quam auribus patct . Vcrum vt ad propofitum rcdcam , cum Cyncthefcs in« tcricfto tcraporc hxc fpcrncrc c^piflenr, quf cis praptcr cctcros ncccflaria crat,prx« fcrtim infrigidiori Archadise partc com- moratibus ad cupiditatcm , ambitioncmq^ conucrfi, in tantam brcui tcmporc fcritatc deucncrc, vt in nulla Gra^ciae ciuitatc maio ra fcclcra,aut frcqucntiorcs crudclitaors c6 mittcrcntur . Ipfius itaq;Muficaf tantacft fublimitaSjtata gloria,vt animum mulccar, mcntcm crigat^prjliatorcs ad bella incitct, laborcs minuat,lapfosac defpcratos rcuo« cct,viatorcs confortct , iracundos mitigct, triftcs l2etificet,anxios refocillct, difcordcs inamicitiam conciliet/rcneticorum rabie tcmperet,vanas cogitationcs difsipct,ettc- ^itu^ ftc Dcmocrito, & Thcophrafto morbos aliquos , & corporis , & animi curet: qua^ hoetius. proptcr legimusapudBoctium Hyfmcnia Thcbanum plurimos graui morbo labo^ rantcsconccntiblis curaflc, & ClyniaPy^ thagoricum , fiquado ad iram cocitarctur, motus animi fumpta protinus Cytharalc- Hord'' uafle^fortifsimufq) Grf corum Achillesvt ^'"f cft apud Horatium muficiscant^bus adco obkaabatur , vt a Chyrone Thcflalo har- moniam De ufu cr Utilitate mthcmatic.Artium. 60 monia lyricam voliieritedoccri,qiTa emer:« gentcs animi ciiras difciitcre^et priftin;? fc- rciiitati rcllitucrc fc fibipoflct. Ccnfcbat enim nihil efle vtilius mortalium vitae , qua rcmcdium habcrcadabigendas mcntis eo-ri tudmes:fic Thimothcus Alcxandrum ifc:^ gcmadarma capicnda mufice cantucxci-? tauit^rurfufqi rcprcfsit , fic Pythagoras ( ut ^»» ^'^''^ Cicero CICERONE (vedasi) tcstatur ebrium adolescentem sub t ' phrygij modi fono incitatum fpondco fuc- cincntc rcddidit mitiorem,ac fui compotc. Na cum merctrix in riualis cuiufdam do- moclaufaert"et,atqi illefurcns vcllct domu amburcrc, Pythagoras vbi intcllcxcrit ado lcfcctcm huiufmodi fono incitatii, nc mul- tis quidcm amicorum monitionibus afaci- norc voluiflcdcfiftcrc,mutari modu prjce pit,atq-, ita furcntis animu adolcfccntis ad ftatum mcntis paccatifsimse rcduxit. Dauid quoq-, Rcx cythara tatum valufti vt fpiritum malum aufusfita Saulo Rcge depclicrc,adcocnimrvtBoetiiiicrbis vtar) ^"^ prifcar philofophifftudiisvis muficx artis innotuit^vtPythagoricicumdiuturnas in fomno rcfolucrcnt curas, quibufdam can^ tilcnis vtcrcDtur,vt cis lcnis , & quietus fo^ por irrcperct,itaq^ cxpcrrcai aliis quibu t oam modis ftuporem fomni,confufioucq', purgabant . quamobrcm non ab rc tantai cffc muficat: uires poctj canunt , vt no mo- H 4 do tofephi Vnicorni " Ao fcros,& triftcs hominiim animos miti^ garc, fcdctia immancs f^pefcras ad huma^ nitatcm vfquc compellerc,& eo magis au* dicntium affeftus, atquc morcs immutarc, & adfuas proprictates, vtadlartitiam,mf- rorem,audacia,rraquillitatc ca^lcfH quoda influxu coucrtcre pofTc no dubitct . JHinc fcrunt Arionem Methymcncum lyricum vatcm,dwm Lelbon patriam pctcrct,vide- rctqi infidias coniurationcmq'7 fibi a fociis fccum nauigantibus parariproptcr opcs^ quas fccu fcrcbat arcpta Cythara non nihil prius modulantc in marc fc c6iccifle,ciufq;" cantu illcftum dclphincm dor(o cxceptu- cumadlittus portaffcatqihoc modo a pc- riculo cxcmille,in cuius rei monumcntumi ercfta cft illi ftatua cu Gr^co cpigramma* tc a Volatcrrano fic latinc fafto, Volater Ccrnis amatorcm , qui vexit Ariona DeU pnm, qeUius. ^ Siculo fubtcns pondcra grata mari , Ouidtus DcquoctiaGcllius li.17.ca.19.ct Ouiss dius li.3 .dc artc , fic air, Qiiamuis mut^ crat voci fauiflc putatur Pifcis Arionif fabula nota \yrx. Sic Orphci Apollinis, & Calliopcs filii^ cantu (aiunt ) dclinitas arbores fuis fe locis ' cxerui{rc,fcnfificatas cautcs cgiftc choros, fluuios curfum cohibui{Ic,cxarmatas fcras pofuifTc fcritatcmrquibus figmcntis fapic^- tes i ufu cr utiliUte Mathcmtic. Artium. 6 1 tcs illi vatcs in fabularum inuolucris, figni^ ficabant illum agrcftcs,ac dc(ides,foliq', vc* tri deditos, & bcluino propc ritu dcgcntcs homincs,ad mclioris vitae cultu rcdcgirtc. Vndc Horatius in arte. Hor4— Sylucftrcs homines Saccr intcrprcfquc;^ Deorum < C£dib',& fxdo viftu dctcruit OrpheV Diftus ob hoc lenire tigrcs , rabidofque^ lconcs . Fingitur ctiam acccpta lyra ad infcros dc- lccndiflc,vbi fuo cantu vxorem Euridi- cen,quf ,dum Ariftcum vim fibi infcrrc vo lentcm fugerct ( a Scrpente occifa fucrat) a Proferpinafufccpifrc>ca tamc lcge, vt fe- quentcm a tcrgo no ^fpiccrct, priufquam ad fuperas auras ambo rediifTcntrcui legi cu amor nimiusftarc nonpcrmifinct vatcm, = Euridicen demu cuanuiflc, Vndc VcrgiH^ Vnyi— Sipotuitmancsacccrferc coniugis Orpheus '^Thrciciafrctus Cythara, fidibufqueca* ^ ' noris, Tradidit proptcrca Apollonius Rhodius A/v/Jo- in Argonauticis Amphioncm,(vt nonulli  volunt ) Mcrcurii filium acccptalyra adco * fuauitcr cccinifife, vt fcquentibus cantum fcopulis Thf barum muros condidcrit. Vndc Horatius. Uora-^ Diftus & Amphion Thcbanac condi« W tor lo fcphi Vnicom tor vrbis S«ixa mouere fono tclhidinis , & prxcc blanda Duccre quo vellct, Magni myderii func hacc,fccl alibi cnuclea*- da nobis referuamus,quifquisautem prifcg Theologif operam declit,ca non difficile cognofcet, qux a Poecis obfcurius tracta- • ta func Verum fi laciori, vniucrlalioriq*, rao tionc muncamconlideremus^quf tcrnario numeropr^finicur, mundanam fcilicct,ca^ leftem,atque fuperc^leftcm , longe maiora iis,qu; modo narrauimus,(ecrctioraq'> mytt fteria inquirentibus nobis apcrientur, Pri* Mn(ica nium itaq) Mundanam examinantcs Musicam videmus quatuor clemcntorum di- uerfitaces,eoruf|i contrarias qualitates qua dam harmonia coniungi , vt in vnum cor- pus.machinamq, conueniant^fcd h^c om^ nisdiucrfitas ita, & temporum variecaccm parit, 8c fruccuum , ut vnum anni tcmpus ncccflaria , vciliq-, permucacionc perficiat* Bodwi Ynde Boecius in. i .Muficx ait, fi quid ho« rum^qux cancam rcbus miniftrant varicta^ tcmcogicacioncremoueas, cucca pcrirenr, ncc confonum quicquam feruarcnt: & vt ingrauibus chordisnic vocis moduscft,vc non adcacicurnicaccm grauicas vfquc dc- fcendac,acque inacutis ille cuftodicur acu- minis modus , nt nerui plus ^quo tcnfi vo- cis De tt/w,cr utHiUte Muthcmatic. a rtium . 6z cis tcnuitatc rumpantur , fcd totum fibi fit confentancum, atquc coucniens , ita ctiam in Mundi mufica pcruidcmus nihil ita cHc nimium poiIc,vtaltcrum propria nimicta- te difiTohiativcru quicquidilludcll^aut fuos aflfcrt fructus^aut ahis auxiliaf, vt affcrantw Nam quodconftringithyems ,vcr laxar, torretaeftas,maturat autumnus. H^c illc, Qiiarc cumipfaclcmcnta harmonica c6- pagcfibic6iunctafint,nimirum fica quo^ quc ob candcm proportionis quodammo- do fimilitudinc,qua ctiam Mundi animam c6iunctamcffedicebat Plato modulatio- nibus gaudcant. Fcruntfiquidcm Alcfium P^^'»- fpntcm alioqui tranquillum , & quictum "J.^^ ''^'J tibif fono cxultabundum clcuari , atque anim/ vltramarginesintumcfccre , &inAttico mundu littoremarccytharampuKarc, Nympha=: A/e/Fi rumquc infulasin Lydia tibiarum modulationc in medium ftagnum a contincnti reccdcntcs in circulu choream duccrc, dc hinc ad fuarcucrti littora . Marcus Varro v^rrt. fc vidiflcteftatur, fatcor cgo quoque(par* cant iiKrcduIi ) aquam in ccrto vafc inftu lam & quodam fono commotam inflar thorcae exultante mc plurics vidide: quo« circa cum Pythagoras , atquc Plato elc- mcnta ip(a, coclorumquc orbcs fcntiant harmonica ( vt diximus ) copofitionc c6^ Ihrc^harmonicisquc tonis,ac motibuscu> cta t \ofcphiVnUomi £ia gubcrnarcarqiiecfficerc. Non m irum^ videbitur fi Mcrcurius autorc Nicoma* cho tetrachordum quntuor habcs neruos ad Mundanf mufic^ imitationcm adinuc* ^\crit,quorum Hypate tcrram, pcrhypatc, vclmcfeaquam , Nete ucl diezeugmenon ijrncm , Paranete aerem mufici ilii uctcrcs paritcr,atqucphilofophi i^o tcmereafcritf ^ pfcre. Praetcrca quatuor muficac gencra fi« i, mul, atquc quatuor humoribus,& clcmcn tis fimilitudiuc quadam conucnirc aflcrcn tcs,contulerunt Dorium aqux, & phleg- niati^Phrvgium colcr^,& igniXydium (an ^ giiini,& aeri , mixolydium atrae bili, & tcr rae,fcdubiChorcbus Athis filiusquintam chordam addidiflct,Hyagnis vcro Phrix fcxtam,fcptimam vcro Tcrpadcr Lcsbius, illas planctarum numcro sequarunt. Alii infuper ad coclorum numcrum,uirtutemq; rcfpicicntcs Dorium Soli, Phrygiuro Mar tiXydium loui Mixolydium Saturno Hy« pophrygium Mcrcurio Hypolydium Ve« ncri,yypodoriuLun5,HypomixoIydium Muf{C4 firmamcnto ccrta rationc contulcrunt. c^lejhs. Ncc hifcccontcnti comparationibus coe- Iprum pr^tcrca harmoniam , ex corum ad iiiuii^e diftantia.pulchcrrima analogia pri- fcisiilisfapientibus libuit pcr{crutari,fla- , tucntcs a terra ad Lunaeglobum intcrcc^ ptum (pacium tanquam toni intcruaUuni» aLuna De ufu^ er utilitdtc M^thcmatic a rtium . 6 3 a Luna autem ad Mcrciiriiim dimidiiim ilf liiis fpatij fcmitoaium , a Mercurio autem ad Vcnercm idcm intcruallum aliud dixc- runtcrtefcmitonium , inde vcroadSolcm triplum quafitonum & dimidium confti* tucrc Diapentca Luna rurfus ad Solem du plum cum dimidio Diaccfloron oftcnderci aSoIc vcroadMartemcandcm y quxcft a tcrraadlunam inicrcapcdinem rurfus toa num rcddcrc , indead loucm dimidium iU liusfpatiialiud rcpetcrc femitonium, alo- uedcmumad Saturnum idcm interuallum adhucaliud fcmitonium pr^fcfcrre, aquo adftcUifcrum orbcm rurfus fcmitoniidi- ftantia dicut intcrcipirrjs ita diftributis fcns ferunc a Sole ad firmamentum diaftema, diatcfrcron duorum tonorum cum dimi- dio intcrccptu , a tcrra vcro pcrfcftu Dia«j !)afonfcxtonorumintegrorum . Prjterca 1 planctarum,oftauiquc orbis motuum ad .imiicem proportionem cxaftcconfiderc- jnus, pra?ftantiorem fupcrioribus liarmo:» tni^ini fummopcrc admirabimur. Nam cum ' Saturnusduodecim fignorum circulum tri gintaannis luppitcr vcro duodccim per^ luftret dupla fexquialtcra corum motuum rcfultat proportio,Mars autc in annis duo qus zodiacum pcrmcans cum louc fcxcu* plam coftituit proportioncm , Martis vc- ro ad Solcm, Vcncrcm , & Mcrcurium pa- ^ ' lofephiVnicorni ' ribiis fcr^ temporibus itcr perficientes cft proportio dupla , cx qiu conftat Uiapar Fon «Uorum autcm ad lunam duodccupla, Pfo/o- Saturni vcr6 ad fydera iuxta Ptolomci fup- •««^- pmationcm,affercntisoaauam fphcram wieintafex annorum miUibus zod.acum proprio motu perluftrare,miUccupla du» ccntecuplarcfultathabitudo.Itaque pro- prius lunx motus omniu vclocifs.mus fo* «um facit acutifsimum . at fteUifcri orbis croprius motus omnium uium tardifsimus grauisfimum fac.t fonu: 'aft motus uiolentus primi mobilis ora* niumvclocisfimuseft, &acutifs.mus: lu- naris vero omnium tardifsimus,atquegra- uisfimus ; vidc quam c ocordi difcord.a pro prio motu infima fuprcmis, & qua d.lcor* di concordia motu violcnto fuprema inh* mis mirabilitcr refpondcnt.Ex quibus ap- W«yrc4 aret coeleftium motuum proportionem IT"* fuauifsimum,& ineffkbilcm edereconcen- tum , eumquc omnis infcrioris harmonia: caufam,fontcm, atquc originem eftc , Ma* thematici affirmant. Deniqucfires omnes fummus Deiis fymphoniadifpofuit, quan- to ma-i$ ipfum fpirituum bcatorum cclum immo^bile.quodab immcnfo rplcndore,& charitatc ardentisfima tMTr.Vwv gr^c» vo- cant,nobilioribus , atque inenarrabihbus mclodijs rcfonare credendum eft i QiUPpc Df u(u CT utilitate Mithentitic. a rtlum ^ 4 (icuttres in mufica conccntus crte pcrhi* bcntar,quorum primus omophonus om- fiium pcrfcftisfimus primac hicrarchiac af- (imi1atur,fccudus Symphonus a primo dcc gcncrans fccundae afcribitur, tcrtius Em- inclcsdcgcncransafccundo tcrtiae hicrar^ chix confcrtur,ita ab ipfo fuprcmo choro fecundum Dionyfiu omnisharmonia gra* Dio»^- datim ad proximc infcriorcs choros,ab his dcmumadmortalcs vfquc dcfccndit,utrur fu$ infima fuprcmis, & fuprcma infimis in- cffabili harmoniaconucniantrquam quide  harmonia D. [oanncs Euangchda in Apo calypfi innuirte vidctur,cum inquit, Audi- ili vocem dc caelo , tanquam voccm aquats rum multarum, et tanquam voccm toni- trui magni, et vocem audivi sicut cytharc- dorum cytharizantium in cytharis fuis, et cantabant quasi canticum nouum, antc fedem, et ante quatuor animaHa, et seniores» &ncmo potcrat dicere canticum nifiilla centura quadraginta quatuor millia, qui cmptifunt dcterra: & poft, Vidiinquitta Afocal. quam mare vitrcum mixtum ignc , et cos, »y  quiviccrunt bcfliam, et imaginemcius, et numerum nominis cius stantes supra marc vitrcum habentcs cytharas dei, et cantan^ tcscanticum Mofis servi Dei> et canticum agni, dicctcs, Magna> et mirabilia sunt opera tua domine deus omnipotens, iutf, et verac }cftphiVmcom vcrx funt vi? tu? domine rex seculoruni, quis non timcbit tc domine, et magnificabit nome tnum quia folus pius cs, quo« niam omncs gentcs uenicnt, & adorabunc inconfpcautuo,quoniam iudicia tiiama* nitcfta funt . Et Paulo poft inquit , Audiui.. quafi vocem magna tubarii multaru in cac- lo dicentium, Allcluya.Laus , & gloria , & virt» Deo noftro cft,quia vcra,& lufta funt Hidjciaeius:fedjam(vtipromirimus)tripli- ccm muficam cne, mundanam,fcilicet,ce*; kftcm,fupcrc?leftcmq-,(& fiproptcr muU tipUcem fcnfum , & miftcrii difficultatcai,. quodinhac fublimi matcrialatet)non gu-> ftandam omnino, laltem tamcn libandam fummislabris ingenuis lcaoribus pracbui- nius.Porro primam.quam mundanam ap« pellauim' mufica,fcnlu attingimus •, fccuda rationepercipimus , tertiam fola mcnte ia caclis Diuinamifcricordiacontcplabimur. Verum cnimucro fi mufices, c^teraruq; difciplinaru laudcs exaftius oratione pro- fequi vellem,huiufce operis noftri difficili* cflct exitu,q prtncipiu inuenirc:neq-, enim fi mihilinguae centucflcnt, oraq; cctum id pftarc poUem , veru cu id dutaxat ncgotu Mccpcrim.vtoftedercipfamquoq; mufi- cc abfq-, prioribus dcmoftratiuis difciphnis amplcai plenc no poflc,eiusqi mirabilesvi rcs a proportionc,ct analogia caufari,m(MC , De w/Ii Cr utilitdtc Mathemdtic. Artium. f J de fycfcrali fcientia vcrba fafturum,me quieJ ftentem decet uires refumere Dixi. Encomium Aftrologiae vniuer&lis , autort ' lofepho VnicornioBergomenfi. INter omnia mortaliu (ludia > quibus ma^ ximc genus detinef humanu nullu eft/q5 humanis animis tantam pariat voluptate, tantumq; folaminis affcrat , corumq fatisfii* ciat defidcriis,^ ipforu immortalitatis cogni tione aliqua adipifci, ^beata^, fempiternxqs vit? prcbcat argumc tu,fiquide innata eft hu mana^ natur^ infatiabilis qu^da cupido fem^ pcr viuendijfemperq, fruedi,;cuius fine crea ta eft biificio,quod licet Dei Opt. Max.do* no fideles omnes ,vti ex eo natos minime la^ teat, huiufcemodi tfi fentStia innumeras ^px pemodu philofophantiu feftas fcmp cxer* cuitjfcmperq; multas pafla eft cotroiicrfiasi vt tatae difficultatis,qua anxic tcnebanf indi tiii folafIuxibilis,corruptibilisq3 Mudi aura fretis, pbucritilludDelphici Apollinis ora^i culuinoreomniudecatatu, qiiofumma (a« '^iriitiS eflTe vulgauit,homine lui ipfius habc« rc notitiam.Qui vteftinteranimalia capa^ ^cifsimus^ratione ac^ m£te preftantifsimus,na furaHu/upcrnaturaliumq; rcru inucftigator indefcffusjtahuic foliaparctcnatura(fum^ mo artificepracfidentc, ac difponentc Ded)  I con- f ^\lofcphi Vmcorni , i?^. ^n- coceltum cd]» vniucrfa vcluti fuiiuris admU rari po{Ic,omnia c6fpiccrc,oninia coccplarii c^luqjJipfum ad illud quafi ad priftina patria r^dituro, crcdlo uultu fufpiccrc,quod tn cac- tcris animatib^ fola oium comuni parctc tcr ra cotcnris ncgatu cft,fed tm pronis ccruici^ bcs corrptibilehoc,ac podcrofum clcmcn* tumveluti cornm^prium parrimonium fpc Ouid. j^are indultumcu, quod ingeniofiis Poeca libroA. tcftaturJiis vcrfibus ,  Fromq; cum Jpeilcnt MtimdU CiCterd ttrrm ^ . Oshominifublime dedit^C(elumq;uiderc y : Iw/?i>,cr erc{lo$ ad fydera toUere uultus • Quaproptcrcum intcr tot, ac varias,multi« pliccsq; rcrum fcictias,nulla magis mortalia pcAora ad diuinorum cotcmplationc cxci^ tctyCtadmiradum Dei opificium,ctgubcrna tionc cius clari^ oftcdat.q Aftrolo^ia,cuius gratia oculos hominib^ datos cffc Plato pdi- €at,& q Cftcras omnes ( Diuiua fcmp cxci^ pio)& fubicfticxccllctia, & caetcragidifci- plinarumcoplexioncquas fuoambitu clau^ ditcxccUcrccomprobatur,ficut paulo poft Ftolo- oftcdcm^.Proptcrcaqja Ptolomeo cius fido fncMs. ^udiofifsimoqv cultorc cotius Mathematic£ ^nis aj^pcllaf :cuius licct adco fit rara cogni tio,vt a nafcctis ^ui cunabulis femp vel robu jfti(simasmortaIiunctescxercuerit , (ateor tii nonullos i hac fcictia cxaftioris rarisfioic f/^o^ria¥ yiros,igenii fui uircs no fruftra>fc4 Be ufu er utiliidte Maihcmatic.Artium. cu wsLgtio fignorc fuifTe pcriclitato^^, idc^moi mo iplojE^ artrologia ^ntcntium autoritati-i b^(nc^*toric obiiciat ncmini licerc iudic^n^ cfle in ^pria ca) sed philofophorum, fcd lei-j gillatorum,poetarumqjteftimonii5,licctifa bularum inuolucris,fcd fummo^ theologo^ tum c6fcnfu,diuinisq, facrarum fcripturaru oraculis,^b* coiradicerefit ncfas^ufuq; ipo> atqj cxpientia re^? magiftra coprobabif .na Lycurg^illclegumcodjtorcclebcrrimus no Lycur* ruicaftro^ fcicntiaLaccdcmoniis legcs co:^ S^^" didit , ac dcmum ocs fcrc gcntcs magno hoj nore ^fequutos fuifleaftrologos lcgim^, tcr Archades,^(tefte Pol) bioji m5tium c5- j^** uallib^ dcgentcs ncqi aeris ferenitatc gaudcn tcSjAftrologiseignari fcantcLuna gcnitos glorianf :indc Poctf matcria fumcntcs,finxe runt PanaDcum paftorum i Archadia gc* nitum y fylucftres ac rudcs homines non tiifi fylueftrcm Dcum noucrint cfjecolen^ dum, vndcMaro, Pan primus cdamos cera coniungere plures V/Vji * Inftituit^Van curatoues^ouiumcj; magiftros. h^oh*^ Quoniafinehac verisfimadifciplinatcmpo t^°egh rum ordo ignorarcf,ncc qfquam cognofcc^ giu rcrquaErna& qualiaeflentlune incrcmcnta, qdecremcnta,quot ct quales ci^ manfioncs, quid nouilunium,quid plcnilunium',quid lu nae^quidq; foh's ecclypfis»fydcrum ort^& oc .cafu^^quidpol^ muadi^ quidpolus Zodiaci» I z quf De «/»,er utilitdte Matbemtic. a rtium . 6t '.qua dils azimorum fijmunt cJcOrdiutn', im- ' inolabitq; cum vniucrfa multitudo filiorum Ifrael ad vefpere ,eft aut phafc hoc eft trafia tus Diiihabcbitis autcmhancdieminmoni incntis,& cclcbrabitis ea folcnnc in gcncra» tionibus vcftris culcu fempitcrno.Idem pre* cipiturlcuit.23.numcrorum.y.«t28,Dcuter. 1 5.quod ctiam innuit Propheta Pfalmo 88 'i*''*- Significans Dic pafsionis Chrifti forc tcpo^ * rc plcnilunii diccns, Luna decimamiarta te-. i g"" Ihs cft in calo fidelis in f ternum.Idq; fancia P/^»». tum cftinprima Nicenafynodo celcbrata  anno Dfii. j Z2. Vbi Coftantinus Impcfatoi' aderat,& Sylucftcr.V.Pont.Max.cum 3.8. PnWr patribus cocilii. Idc ttatucrunt Patrcs in fcs eundaNiccnafynodoanoDiii ySS.Confir- matum fiiitin Chalccdonenfi, Antiochcna, o,lt' alusq; celcbratifsirtiis fynodis, Sc (anftoruni patrum Ianaionib',quas in pr^ fcntiafiibre* <^ Mitatis caula ptcro,hinc tantohonore Aftro j^'" logif cijltores etia apud antiquifsimw Gre-, S« ^rumHeroashabitifunt.vt tcftcLuciano, ^-«fM. <k Strabonc.cum Atreus.ac Thicftcs frcs de regno posfidcndoaltercarcnf Argiui.vteo ^"^" mm c5trouerfiam dirimcrcnt.tranquillitati c6fulentes,ftatu<;runteum,5altcfu<n Aftr(>- logia fupcraaetad regiam maieftatcm e((e extollendum,quocirca Thicftcm fcruntco- ftcllationem Arictis diligentcr adnotaflc.cj? quo Poetj fibianctcm aurco vcUere natumj ' . I 3 cctulc* y>> .w! To/f pW Vwcomi recnlerunt dchinc a lafone raptum. Atre' ve ro fecGdum motum folis primo motui reni» tentcm obfcniaui{re,& Mundi occafum fo^ lis ortum pofuiflc,quamobrcm cum Argiui vti viftorcm fratris ad Regni culmerreuexc runt,qua rationefaftum cxiftimadum.cft <f fingimt Salurnum» Ioucligatum,ac exilio ppctuo dahatumfnifi vt oftenderent ob tar- diGiraum ci' motum in remotifsima planeta nim fph^ra fuiflc coUocatum? cjuid cft fin ountDxd.ihim,atq; Icaru fumptis alisaduo hflc,ac Phactota.equo alato caclos afcendif- fc»: & Endimionem a Lunaadamatum fuifa fcf nifiut lignificarcnt eosmagni n6is iafcic tiafyderum viros extitiflc.ctanimi cogitatio nib» no corporibus ipfis c?los penetraire,et Endimionem Lun?,Phaet6ta vero folis cura fum primos defcripfiflc i Humana fiquidem mcns habitu quodam Dciformi fupra fecle- iia?,atquc oem naturani in fe redafta cofide rat. et q fupra fe funt Ipcculaf ,qu? eft fumma felicitas in hac mortalium vita:ipfa fiquidem" monitidifciplinaacquafiexpgcfaftireliftis tcrrcnishis ,corruptibilibusq; rcb',qinflu- xu ppctuo uerfanf.ccii a ceno.vilibufq-, for« dibusabduai.copellimur Deum ipfum tan- q| prima caufam,&: fontcm bonorum ouim amare, timcre , ac vencrari,ciufq; virtutcm, {tetniratem,lapicntiam, atqii humanura ge nus fuimniiuB» amorcm admirari; qd & Pro* TieujUa^utilitateMdthematic.Artiwn^ 6^ phtta-Diuinb aflflatus numine fignificarc u$ luiflearl>itror,cum inquit,C5lienarranto;lo Pp^.i? riam Dci, & opa manuum ci^annimciat hr^s ^falM niamcntum,et alibi cofitcbunf celi mirabi=5 lia tua Dnc.quid,quefo,admirabilius efl: ipf(i cseia^a qu6 6ia , quae in liaturaftupef cimui; atqi admiraniur dniina munificentia produ:i cunf ? In quo meli^ Dei f ternitatcm, ^ in his^ ^raetcrna mnt cotemplabimiir? a quo melius Dci virtutcrti intdligcmiis , a c?Iorum vi^ tutib^^ja g^bus cunfta inferiora ipfo difponcB tc regunf ? a quo deniq^ eius magnitudinem c6icftabimus,q^ab inimcnfecjKrnagnitudi^ ncinnumcris ftellis corrufcantisfProptereai quc noriuli opinanfjPoctas finxiflfe Argum a Iunonelpauoncmc5ucrfiim,quiexpanfis Owdim alisinfummis pennis micatibui ceu lumirii ^^•'^- bus,vt vaccam,hoccfti mediocfleftis fph^:s tamor.i collocatam terra cuftodirct!, Argumq^ ip fum c^lo adfcripfifle,in quo tanq^ in incor- ruptibili^altifsimaq; (cde p bonoriim influc tiam habitet Deus,alioqui p ellcntiam fiiarn incircumfcriptibilc vbiq', pr.rfcn^f ficuti ipfc • fetidico Efaij orc tcflaf ,diccns, Cflum fcdcs nica,tcrra autcm fcabcllum p^dum riie6i?^,m quonosquafiinhocMundi n^.cditullio co^  (^ituti veftigia cius intueri poflum^, atq; np$ ^ ipfos^tanquam 1 fpcculo, contcmplari.vtab cius uifibili lumincad fnuifibllc Diuini uult^ P/iL 4^ luititn>quod(tcftantc ProphciS) fundatum I 4 «ft Dr ufu cr utiUt(ife Mdthvntdtic. a rtlm 6 9 taad Dionyfium rcribcns fenfic ing^CTis. Hu* ^^^0 manus aiiisaffcaacqualiaDiuinafintintcU ^ i!gerc,afpicics inca,q libi cognica lunt fcx (j« - bus liquec c^ca gctilitate nulla crroris fui ha buirtecxcufatione,cumilla Diuiniluminis ^^g^^^ iplcdorc euitas fibi ipfi tcncbraru lacibulafa , brkauit ideoq; fubdit Apoftolus,qui cu co^ gnouiffent Deum no ficut Dcum glorifica» ucrunt,aut gracias cgerunt, fedcuanuerunt i cogitationiousfuis,& obfcuratucft infipica corcorum,Dicetcs.n.fcc(refapicces ftulcifa £iifunt.& mucaucrunt gloria mcorniptibi* lis Dci,in fimilicudinc imaginis corruptibilis ,^ hois,& volucrum>ct quadriipedum,ct fcrp6 tum,pp quod tradidit illos Deus in dcfidcria cordis co^^Jn immuditia,vt c6tumclr}S affi?» ciat corpora fua in fcmccipfis , quia comuta* iicrunt vcritate Dei in mcdacium, & colue< nmt & fetuicrunt crcaturse potius ^ crcato ri,Quicftbfidiftus infecula.Scdiam fapietif ^mum Salomoncm audiatis no fccus ac ipfe Paulus fcicccm hisverbis, Vani funtaut ocs hoicsjn ^busno fubcft fcia Dci, & dchis,q jio videtur bona , non potuerunt intcUigcre cum,qeft: ncqiopcribus atccdctcs agnouCi- runt q^s cftet artifcx,fcd aut igncm , aut fpiri« 1tum,aut cicatum acre , aut gyrum ftcllarum, aut nimia aqua , aut Solcm & Luna rcftorci orbis tcrraiji Dcos putaucrunt. Quorum & j:(ifpccicdele£]tati>fciat quato ijs Domtn^^toir 4 ^ corum Sap'$en. 3» lofcphi Vnicorm conilpecionorcd^rpccieiji.generator ha^ oiacodituit.aiit (ivirtutc, & opcraeo^mid rati funt, intcll igat ab iHis^qm ^ hxc tccit for tibrelliltis^amagnitiidine n.rpccici, & crea turx cognofcibiliccr potcrit crcator horu vi dcri. Nc vcro qs ambigat fola Aflrologif pn tc,qdc|motib'tra£tat, & qaltera Diumatri cfi.i.mlHtutionis ordine pr^ccdit tanq^ ca cf fc£tum>vti vera fciam coprobari , audkc itc« rumSalomoncm vtraraqjpartcraCfi reftci- tcUigatur ) coprobantem, ^ non ab hoibus, fcd ab ipfo omni^ (apicnti^ origine Dco fsi^ 7. tcf fapictiahaufifle,cuminquit,Mihiautcni dcdit Dcus diccre exfnia*, 6c plumcre digna hornm,q mihi dantur^qm ipfc fapienti^ du>c ' cfl,& {apicntiumcmcndator,imanu.n.illi% & nos,3c fcrmoncs nf i.& ois fapientia^ct o^ pcl^ fci; difcipUna.Ipfc.n.dcdit mihi hoi^.q lunt/ciam veram,vt fciam difpofitioncs or* bis tcrra^^et virtutcs elcmcnto^initium^ cc ^ cofumationcm, & medietatem tcmpo]^,& morum mutationcs,diuifioncs tcmpo|fi, an» ni curfus^et ftcllap^ difpofitioncs^naturas ani nialium,& iras beftia^, vim vcnto^,& cogi tationcs hominum,difFcrcntias virgulto^^, & virtutcs radicum,ct quaecunq-, funt abfco (a,& improuifa didici.Ex quibus vcrbis apcr ftifsimc conflat Salomoncm omncs fcias im« bibiire,easq; veras pronunciafle , atqj aftros logiam um mathcmaticam , ^ diuinatriccm cnumcraflv De ufu cr utiliUte Mith entdtic, Artim. 70 cnumerade^precipiie vbi de difpofitionc or« bis rcrra9i,annicurfii,& ftclla^i difpofitioni bus loquitiirineqt temcrc tam fublimcs difci- plinf tant! viricalculo approbant(ir,fabdu- cunt»n»heftia/ q^lo pa£lo a terreriis,vilibusq; curis in illccebris alioqui labentcm animumj totumqiin arfmirabili illo caeleftitim orbium ordinejrcrumq, oium fingulari difpofitione, An7?.f>e tccis humahide oino oblitum , detinent : ncq-, ''- alibimortalium felicitas (fivcra cft Pcripa^ tcticorum fnia) cp in fubftatia^^ aeterna?^ c5 tcmplatione confiftit, Quare .cum nuUafic fcia,q ad hmoifincm (cxccpta Diuiha^cer^s tius^cp ifta pducat,& fubicfti cxccllentia, & ccrtitudine dcmoftrationis , & fine,totis vi- ribii; nobilior erit iudicanda-illa fiquidem,& intelligcntia9^numei5^, & orbiu multitudine cxplicat. Qjiipfit vtin Diuinap prouidenti? cognitioncm aliquam deucniamus.Qiiare no immerito Ouidi^maiorcs nf os rc^ c^lcftium obferuatores felices appellauit, his vcrfibus, Felices anintie^ciuibus hicc cogtwfcere primiSj «i/lJr * Incf; domos fuperas fcatulere curafuit'^ faftorik Credibile efijllos pariter^uitijsci;Jocisq; Altiushumatiisexeruiffecaput, iJon Venus^ZT uinum fublimui pedorajregit^ Ofliciumc}^fori^militi<e^; labory Uon leuis ambitio perfufa^; gloria fuco^ Magnarumue ftmes foUicitauit opum , Admouerc ocuUs dijtofitia fydera nt^is , lofcphi Vnicom Aetheraci^ingemofuppdfuenfuo. j Sic petitur ccclutn^non utferat offan Otympuf Summa^Peliacusfyderatangatapcx^ Sed qiud in his diutius immoror>cum prag tcr cas,quas comcmorauimus huius fciae vtU litatcs^quas fola Diuinarum rcrum contcm* Agricul platio cxcrcctjalif quoq; fint humano yifkm V^^ • niaximc neccfTariae^qcF vcl fola cxpdricntia probari p6t,Hinc agricultura, q humano g<} ncri viftu in primis fuppcditat t^a difccrnic, quibus opcrf pr^tiu fit.vcl infcrcrc vcl planta Afs na ^Cf^^f^o^^ cucllcrc, aut fccarc , vcl frugcj wgadi. colligcrcaliaq; hm5i ad cxcolcda tcrra apri-; v/r^i/i- mc vtilia.Hic nauigadi ars quatu opis ab itf/i. I. (Irologla fumat,fatis fupiori Cofmographij • cncomio ofidim^vri clcgatcr Pocta cccinit: HitK tempejiates dubio pr^iicere c^elo Voffumus , hinc mej^iscf; diemytempus^ferendL Et quando ififidum remis impeUere marmor Conuenidt y quatuio armatasdeducereclaffeSt AUt tempeiHum fyluis euertere pinum. AriHd • Ncq; ilhid filcntio practcribo , quod oHm teles\n huius fcia' obfcruationc frctus Thalcs Milc» j .fdUti. fius, (vt in Politicis tcfta? Ariftotclcs) oliua- ^f'^' nimftituram ybcrtatcm pfcnticns,cmitqc* quid olci potuit in Milcto & Chio>paruo ad modum ptio,arrhafq;multis mcrcatorib^dc dit.Gumq; poft non multun? tpis oliua^ pc nuria cucnifTct , magnam pccuniaijf copiam fuplucrat' cft,atqata philofophia^ calumnia toribus *^ De ufu cr utiliute Mathemtic. Artium . torib» ^fac/lc foretphilofophis 'ditari fi vd lentfugaces uiftabilis fortunf diuitias q ad U dignioresffpe deuoluunf cum vcris firmifqi animidiuittis c6mutareiqm(tcfte Salomo. ne)me!ioreftlapientiacunaisopibus ptio- fifiimis,& omnedefiderabilecinopotcopa '* rari.Si vero militarem artem folertifsimc c5. fidcremus.tantimomcntihuic efle Aftrolo* giam comperiemus, vt ab vltimo exitio mul tos Duces cum cxercitu liberatos fuilTc , a* liosctiam pclatifsimis viftorijs potitoshui» difciplinac pcritia hiftori}s ^ditum fit. Nam bulpiti» Gallus pridic Perfeus Rcx dcuia» cflet.cum Luna obfcurari cafpiflit , i^nariq; caufae milites ftuporccorripercnf in concio nem^dua»ecclypfiscau(am oftendcns, tre pidantem excrcitum cofirmauit, dubiamq-, alioqui viftoriam fuis comparauit . Plat onij ucm amic" Dion Siciliae Rcx Zacyntho c6= v^i* .i^ tra Dionyfium nauigatur',cumforfan pid f"'" tpisdcfcftum Lunapatcrcf.malio} ali^,id portendere fui timercnt.eiufq; rci caufj non ignar' ne^uaquam a fnia dimot' , c^ ptumqj op»audaftcr ^fcquut',cxpuIfoTyrano Sv< racufis potit» eft.Cotra vero Nicias Athenig fium Imperator Lun.-E ecclypfim veluti ma. lc ominStcm ptimcfcens,veritus clairem por tu educere opes eo^ afll.xit.Qiiaproptcr no finecaufa Ariftotcies Alexandrii Maccdo- ncm comouebat,vt nihil momcnti fine peri^ ti mas lofephiVnicom ti matheinatici cofilio (fi ficri podct prore* qucrctur). Qu.ocirca ppaucos inucnics hur- fc Duces , qui bellum aliquod aggrefluri alt- ;ArAi« qucm peritii aftrologu a confiliis no condii- aoofus xcrint.Ncq,illudomittcdiicft Architefto quoq; Aftrologiara in trib'potifsimumvti " 2rocireoftcndcrc:ncmpein horologiorum * ' conftruftioncxdium collocationc.&vr- bium.oppidorumq. ^dificatione. Primum ert o) in horolo^iis conftruendis fcirc opor- tetlfint punfta folftitialia,q acqumoftialia, & n dies anni fingulis folis gradib' vnius an« ni Ipatio totam cctlypticaia dccurrcntis rc* fpondeant , tum eiian. aliorum planctarum curfuin,et eorum mutuos afpeftus.q fit Imea ineridiana.vtvcruJ oriens.et occidens digno fcaf q vmbrarum diucrfitas, & ratiop gno- moncm depr2hendaf,& alia roulta,qu? do^ viJm- cet Vitruuius libr.S.Altcrum cft (p^m tabri- "« • candis ?dific iis non pariii refert nofccre,qua ••M-4- r^artec a-li fingula cdificiorum mcmbra afpi- ciant, fiquidem alias ialubritas hucnanoriim corporum & doir.efticorum aialmm , alias rcrum requiritNa hyberna triclinia , & bal=. „. ncaria,aflcrentc Vitruuio , occidentcm fpe- aarcopcreprartiumcft: ideoq, vcfpcrt.no ^xa.j . luminc opus eft,ct fol occidens aduerfu^ha. bens fplcndorem,calorcm remittens cthcic vefpcrtino tcmporc regiondm tepidiorem. cubicula ycro et bibUothcc^.fimiliter vcrna» I TSe ufu cr utilitdte Mathcmtic. pLrtium. 7% &autumnaliatriclinia,cohortiumq;rufl:ica rum praelcpia , cquorum infupcr^aliorumqj iumcntorum (labula rcAc afpiciant oricn<f tcm:vfus.n.matutinus poftulat lumc, Aftiua vcro tricliniaca (cilicet,q xftiuo tcmporcha bitanf,& torcularia,& c.tIIx vinarlx ,grana. tia>cizicena,& pinacotliecc , haec oia adfcs ptcntrioncm fpeftent,^ ca rcgio,(vt Vitru« uii vcrbis vtar)aucr(a a folis radiis femp refri geratavoluptatemanimantibus, & Cilubri- tatcm rcb' conferuandis prcfht. Nam vcnti incridionales , occidcntalcsq; infundunt rc* tus humidos fpirit^ , unde facilc putrcfcunt» vcl a tincis,ct id gcnus vermibus corrodunf, ^ ab huiufmodi vctis facilc procrean? : Oeci uerojhoccfl:, popularium domus mericKcm commodcfpeftabunt^exedrf autem,hoc cft: lociin porticibus patcntcsjn quibus a^ftiuo ,tpcfcdcntcs,ludis, iocis, ac falibus rccrcanf, ad occidentem vtilitercollocenf. Rcliquum jcft) vt in aedificandis ciuitatibus, oppldis , & pagiSjin quib^ tanto maior diligentiacft ad^ hibenda,quant6 publicum priuato pftat,ca- ^cm ratio afpeftus C5li,& vcntorum habca- .tur,& infupquaftcUarum difpofitionc pri- jimmlapidem iacerccxpcdiat, non.n.parui „ ; rcfcrt>vt tcftan? Haly,Zacl,& GuidoBona* H^fy. tus, & alii celcbres AArologi ,qb^afccndcn tibusfignis,quibusq; dommatoribus planc^ boiJ.* 415 ciuitatcSjCt oppidaapdificcnJ dignofcere, tw. ' < ^ ' mclius Hnr. ixicinii.n.cft,vttcftaf Hcrmesmlibro cfcnaS • tiira locorum,fcire ^prictatcs fitimm,^ tcr* rae nofccrc quantitatcmtfiquiHcm fitus,& fy^ dcris dominantis notitia multum valetad p- fcicntiamftmirorum, omnisnanqiciuitas dcf locus tripliccm habet fignificatorem , fcilicec climatis , prouinciac , & acdificationis . Nam' babitatorcs vrbium inclinantur quadam cac- lcfti virtutc ad fcqucndam naturam planctar, qui tum dominabaturj quemadmodum tt\uU tarum urbium, & prouinciarum expcricntia cognofci potcft, quas brcuitati ftudcns prac- Th;^fi(a tcreo.Illudctiam vltcriusprofpicicntibus p- fpicuum cft,naturalcm quoqjfcientiam fycfc* rum ratione plurimum adiuuai-i . Nam cum aftrorum difciplina fcicntiae naturali fubalfcr Arift, ncturafrercntephilofopho. i .Poftcriorum» 1 P^fi^' eadcmqj efle mediam irt.tcr naturalcm,ct roa* ^jt; thcmaticainphyficisaffirunet ,nece{Ieeftv- ^corjJx. trafq, in vniuerfali fubicfto f ommunicarc: 19- quodarterit Aucroisini.CflicoiTi.yy.qnfli- Auerois cet partjculari fubicfto intcrfedifcrctaf fint, iomV?' vtraqitamen circa corpus mobilc verfatur. Artflol Nam cjlcftia corpora cqm moucantur pcr fc i fhyCt' naturaliafunt,vta philofopho ^baturin 2* texyi* jihyficorum tex.5,& quidem intcr naturalia f '^me * nobilifsima,co qcF incorruptibilia, quae cum W f * Infcriorum caute i[irif,vt in i . metheororfi tc ftatur philofophuSj^^inquienSjCX ncccfsitatc ^mdus-iftcinfcrior coiuiguuseft superioribus^ Dr uJUy(yutilitateMathcmatic.Ariium. 75 ribus lationibus, vt om nis virtus gubcriic tur indc. Qiii ficri potcft , vt corum neglc* danotitia inferiorum fcicntia habcatur? fiquidcm (vtidcmfatcbatur)cxiftimamus Ariflo. cognofcere vnumquoda-Kum caufasco-- ^'f^'y(^ gnofcimus. Acccdit ad hxc, quod finc motuum cflcftium cognitionc muhf mc* thcororum lacct rationes^quibus acris impressioncs,& aha multa fcitu iucunda fpc* ra. culantiir, vt funt comct? , ignes volatilcs , iridcs,itcm niuis, roris,grandinis, manna:> tis,pruinap, phiuiarumq-, caufap,mctallora infupcraliorumq; mincralium gcneratio^i ncs, qu2B itcm fit caufa falfcdinis maris , & qux crefccntium dccrcfccntiumqj aqua^ rum,vndc maris refluxus , qu^ omnia a fu- pcriorjbuscau(antur,vtaflcruntAriftorc Arlfla lcs,& Albcrtus in mcthcoris,& Albumas ^eles. (arin lib. Astrologijdiccns quicquid in - mundo nascitur, et occidit, SIGNORVM et stellarum motum consequitur, tanquam causim efficientem. Quo sit vt nequcmc: Medki dendiars finc astrorum scicntiarcftc cxcr - ccri possit, quemadmodum Hvppocratcs incdicus excellentissimus in libro dc fteU larumafpcaibus versus Luna testatur in Uybt9. quicns, Medicus si non fuerit mftcllarum crates. lcicntia perspicuus, quis in cius manibus confidac, quia Cf cus non immcrito potc^ K rit. ^ofephiVmcom «f^ "jr^quinifnovttcftatur Hyppar. W . de 5"^ Medicus finc Astrologia crt quaa ocu uimulo iiis,quinon est in potentia ad operatio- ffmus ncm: q.ioniam vtinquit AlbumaLinin» AlL'' «'•oduaoriomaiori, Aftrorumfcicntiacft P""<^'P"'mft>cntiarmedicini,cuiusren. Hyppo . tcntJi mucnio multos fiiifli viros in«^cnio llZ S um rcrum doftrina illuftrcs. Nam Hyppocratcs in lib . dc acrc & aqua inquit,EtricxaItifsimisconfidcraucrisi,i, ucnics Aftrologiam non cfl"e minimam partcm fcicntiae mcdicinj . Idcm quoqi in libro dc afpcftibus ftcllarum verfus 1,,- nam clarius affirmat diccns , Qnando cft initium aegritudinis nccefl^c cft intucri,fi Lunarc corpus a combuftionc reccdat , quia tunc proculdubio infirmitas cxardc' lcit quoufq,adoppofitionis gradum dcuc nit ipfa Luna,cumq: perucncrit ad illum. Ii hicritcum malo p!ancta,aut in loco ma= ligno coUocata, intucns Dominum dom» mortis potcris , nofcerc vtrum infirmi intc ritusmdiciu confcquatur . & fi brcucm bucrit acgritudinc vel prolixam . Histoc H«r. PraEftantium viromm autoritatibusaddo •« illud fapicntirsimi Hcrmctis tcftimoniutn in I .dc fpcculo & hicc, oportct cnim (in- 2tnt) mcdic um dcneccfsitatefcircac con» dcrare nacuras llclWum , & carum con^ iuniliones. D f «/u, cr utiliMc Mathcmatk. a rtiunt. 74 iunftioncs,adhoc vtdiuerfarum ^gritudi num>& dierum crericorum habeat notio^ rcm>quoniam altcrabilis cfl. cquidcm ipfa iiacura fecundum afpe£tus,& coniunftio- ncs corporum fupcriorum . Ex his itaquc iam facisapparct quantum splendoris,& vtilitatis naturalibus fcicntrjs, & prccipuc medicin^ affcrat Aftrologia,fi2equus,non autem inicjuus lcftor acccfTerit . Nunc fupcreft,vt breuifsimc refpondea mus his , qui iudicialcm omnino damnan* ^ tcs Aftrologiam , obrjcinnt tcmcrarium cffe ca vellc inucftigarc , que folus Dcus in fuaemcntis arcano rcfcruauit adduccntcs ^^j^^ iUud ApoftolijNon plus fapcrcquamo- .portct, Atq^idco libero hominis arbitrio  *. pr^ciudicium quoddam affcrrc fabulans tur , quibus rcfpondcntcs dicimus , Dcum pofuiflc fcicndi quofda limitcs,quos tranf- 2;rcdi nimis curiofum cffct , & fupra vircs, Aflor» ^icutinrcrrogantibus Apoftolis dcreftjtu tione rcgni Ifracl, rcfpondit Chriftus,N5 cft vcftrumfcire tcmpora vcl momcnia, qua^ pater pofuit in potcftatc fua . Atta» mcn qucdam vcritatis indagatoribus ma- gnis1aboribus,ac vigilijs perfcrutandarcs» Irqniffc quaecum viilgarcs plurimi,foH cu piditati rcnim vilium dcditi pcrcipcrcno pc^fsintjCa vocant fccrcta Dei, qualia funt K 2 qu^ lofcplnVnicom 1 • ad qu^cxnaturalibus artibus,&cx niathcsfl Orm. ji^ji^-jcis cliciuntur fecrcta > qu^ folis vcritass tis exquifitoribus concefsit Deus , idq,- vel in fingulis fcre artibus contingit, quod tamen damnarifitncfas. Cum aperteaf:* firmctPaulus Dcumipfum alrjs aliadona -^^ diftribuirCjCumq; nonfolum in humanis, f^* fedctiam in divinis pecuharia muncraco ccCsifle lcgimus, quemadmorlum populo Ifraehtico multarcuclauit per prophetas, quf gentilibus tamenabfcondita cflevoa luit, vt tcfl^atur Apofl:okjs,atque cx his mnlro fecrctiora prophctis, ac dlemum fo- , lis Apoftolis abditifsima quf dam commu 'Lt/- 8 i^icauit. ficut tcftatur ipfe Chriftusin E^ 2 ad uangchojdicens, Vobis datum cfl: cogno- Corin . fcerc rcgnum Dci , cseteris autem in parabohs. C^uinimo & Pauhis , qui raptus fuit Ori/i tcrtium cxhim , & audiuitarcana ver^ i . ba , qu^B non licct homini loqui, dixit, fa^ picmiam autem loquimur inter perfcft os^ Qiud mirum fi pcr opera naturx vehiti pcr fccudarium quoddam lumen quo me^ cliantc ad hicem ip(am dirigcrcnt intuia: tum, philofophis vcritatem qufrcntibus Tnulta communicaucrit Dcus,quae ahoqui ignaros , ac dcfidcs latent j vt virtutcs elc« nientorum,eorumq', fimpathiam,naturas animalium , vircs virgultorum ^fruticunr, hcrbarumr; De ufu cr ttlilitdte Mathentdtic. Artium. 7 f hcrbarum, & lapidum , quibus gcncri fiiFs fragarcturhumanOjCumidcmfit Deus di" ucs in omncs,quid (inquam) mirum cfl:,fi * Aftrologis quoquc Dci bcncficio conccfs *fum fit ad humani gcncris vtiHtatcm c^Jo« rum motum,tcmporum mutationes.ftcri* litatcSjfcrtilitates, pluiiias , ficcitatcsq, im^ inodicas,ac pcrniciofas acns quahtatcs, & fimiha perfcrutari? hcet hunctam fubli- mcndcftrine gradum ob ma^nam diffi- cultatem , prxcedcntiumq,dikiphnaruin copiam,vt arithmeticae , Gcomctrif , pet'^ fpeftiuac,atque fpeculariae rari admodum atccndant. Qucmadmodum cnim pri^» mum niobilc omncs inferiorcs orbcs moa tu fuo rapit,ita etiam aftrorum ahifsima di fciphna omncs ahas infcriorcs ordincta:* mcn priorcs fecum trahit, adco vt ad cxa ^ ftamipfiusfcientif cognitionem ocsma* thematicf artcs ncccflario rcquiranf, ahoii qui fpreto rcdo inftitutiois ordine i maxi* mos incidamus crrorcs ncccflecft.IndeaG-' cidit,quodnonnulh quapftus cau(a crrabu=< di aftrologiam falfo profitcntes cam non ruminare , fcddighitireconantur , & malc afFcftato compcndio in maximaincidunc difpendia , & doftrinam ahoqui omni t inedationc disnifsimam, vu!<ji ludibrio cX ponunt. Qm^o fit, Vt iir.pcr iri illonim erro* K 3 re$. \ofcphi Vnicom rcs^magis quam fprctum difciplinanim or- dincm aducrtcntes , prx inopia iudicii ma- lint artcm'quam ignarum artificcmaccufa rc,illos imitantcs, qui accrbos fruftus qua=: dam auiditate comcdcntcs ncquc eorum maturitatem cxpcftantes , cum poflca in morbos aliquosincidunt,nonfui fcdfru^ ftuum culpam cflfc mentiuntur: quod non fccus ac mcchanicis artibus f^ pccontingic^ fiquidcm & racdicus non intclligens apgri- tudincm, fi forte ipfius imperit/a segrotanss tis mors fcquatur, non artis mcdicinae , fcd ixicdici culpa mcrito argucnda cfl: : paritcr quoquc fi piftor equi imaginem pingcrc intcndens,boucm finxcrit, quis ncgct hu- iufcemodierrorem non pifture, sed potius pidori cfle adfcribcndum f Qiio circa vt eo tandcm rcdeamus , undc digrcfsi fumus, huiufmodi pra^notiones, vel conieclurae, liberumhominisarbitrium nonfolum n5 aufcrunt> fcd approbant , fed confirmant^ vt cum homines a fyderum influxu contra bonos morcs diuineque legis obfcruatio:* nem inclinari , ac rcfiflctiam qiiandam pa- tife fcnfcrint, infauftamqucillara virtute, ac ftudiofupcraucrintpropenfioncm,fubas indc fciant , & caeleflibus fignis fuam incf:i fe virtutem,& humanap voluntatiaducr^ fus illarcnitentcra cfle fiicidtatcm,minii mcquc ueujuo' utilitdte Muthemtic. Pirtiwn.  jncquc (ydcribus fubicftain , Nam ficut in maiore Mundo primum mobile caufans omncs motus infcriorcs mouctur ab intd-, ligcntia,ita ctiam primum mobile in homi nc. vclut in minorc Mundo , hoc cft fuprc- niam mcntcm nuHi fubicftam organo fola Diuina mouct intcUigcntia , atque ita corn porcacorpotcis fubfuntjncorporca vcroi aut luntomnino hbcra, aut fcruata ctiarn (ui Hbcrtatc ab incorporca Diuinaq-, virtu tcrcguntur, iuxtailludProphaet?,Dcduc ^falm, mc Dfic in femitam mandatorum tuorum ^*^* quia ipfam volui* Acccditad hoc,quod hac cselefti difciplina picac religiofc inftituti^, diuina bonitatc conccditur, vt cf lorum di- fpofitioncs cognofci, vel (altcm conie^ari posfint, hac fortc caufa, vt immincntibus malis influxibus rcfifterc hbera voluntatc valeamus,quid cnim alioqui prodeftct inc^ uicabilcs pra?nofccrccucntus 5 Idcoq; prj- ccpit Dcus pcr Hicremiam prophetam fi^ gnacaeli nonefte timcnda. NolitcCinquit^ ^iere* timcrc ligna h , quap gcntes timcnt , non cnim dixit illa,nonaliquid portendcrc, fcd potius quodportcndunt non clTc timcn^ dum , cum non posfit faluti animorum of« ficcrc,ncquc hbcrum arbitrium fupcrarc (i diuinapadhf fcrit vohintati: nam hcct Christus difc jpulos monucrit nc timcrcnt cos » * K 4 qui lofcphiVnicomi <jiu occidimtcorpus,animamaiirem nort pofTunt occiderc,nontamcn fignificanit cos tntosfore ab impiorum pcrfcquutio- nibus^fcd potius illas non cflc animis obfu- Vfalm. turas,quia(vtinquitPropheta)apucl Do^ minum grcfTushominis dirigetur, & viafn cius volct,cum cccideritnon coUidetur, quia dominus fupponit manum fua . Qiio- circa origcncs in haec uerba prorupit^que* admodum poreftas humana minimc tol- litur,quamuis Deus qufcimque fafturi fumus pra^uidcat, sic etiam SIGNA, quae ad significadum ordinata sunt divinitus libertati noslrj nequaquam officiunt, sed est universum caelum, quafihbcr quidam apertus omniafutura in se scripta continens, Harc ille. Si vero humanus animus a Diuist. mfc abiunxerit voluntatc abillis corpO:* rcis influxibus merito fupcrari permittitur, quiaDiuiniluminis fupremum influis xum contcmpfit, cuftoditcnim deus ( in-- [ quit Propheta)omncs dtligentcs (c,Sc om- P/4/1W. ncspcccatorcsdifpcrdct. Ettefte loanne, " omnis , qui in Dco manct,nonpeccat ,& u'ani^ Paulopoftinquit j quiferuatmandataeius ^•aws. jjj^ nianet,& ipfc in e6, & in hoc fcimu^' idem . quoniam manct in nobis de fpiritu , qucm dedit nobis:vndc Auguftinus in lib.i.dc li* bcro arbitriojvoluntas^inquit ) qu? mediu bonum De ufu cr utilitate Mdthcmtic. Artium.  bonum eft , cum inh^ret incommutabm bonOjCiquecommuni non proprio, ficuti cftillade qua multum locuti fiimus , & nii hildigne diximus veritas tcnet homobeaa tam vitam , eaquc ipfi vita beata idcfl aniai ' mi afteftio inha^rcntis incommutabili bo^ noproprium, & primumcft hominis bo^s"- num,in eo funt etiam virrutes omnes > cjui- bus malevti nemopoteft :quapropter cet Dcus vt plurimum permittat c^lcftia corpora fuas vires inferioribiis influere , cu ifte ordonon fruftraab ipfo fit confticu^ tus. attamen vtmortalibus fignificaret cG« fe quandam mcntem liberrimam vniuerft huiufceordiii^srcftricem, & confcruatri^s ccm pretercohmnmem illam Cflorum di- fpofitionem, nonnulla opcratus eft > quae ranquam fiipcromncm ordincm imperiu babens illiordini maximeuidcntur rcpu- gnare.Vt Solis deliquiumin pafsioneDo- mini luminaribus exdiametro oppofitis^ Et invctcri teftamento lcgimus moraruni luc.i^ folis curfijm lofueprccibus j Et Ifraelitfco Ufue. populo Duce Mofeadapertum marc ru- • brum,atqueaquas in priftinam continua=: tionem niiru Dci rcftftntas infequcntcs ho Exod . ftcs submerfifte, unde Prophcra Diuino af- i 4. flatus fpiriruinquir. Tu Dominaris Dos mine potcftati maris, mptum autcm ilu- ^J" ctuum Jofcphi Vnicorni £i\ium eiustii mitigas, tu humiliafti ficuc vulncratumfuperburn inbrachio virtutis tuf,difperliftiinimicos,tuos; tuifunt c^li, & tua cft tcrra, orbem terrae,& plenitudi- nemcius tufundafti^aquilonem ,& marc tu creafti . Quare non tcmcrc iudicandum cft de ipfa aifrorum pcnc? diuina fcientiai cum per cam (/i teO:6 confuletur)prgtcr inn numeras humanarum rerum, quas conti^ nct vtihtatcs, multf infuper pig opinioncs de Deo confirmcntur in animis hominum. Quis cnim cft , qui Cfhim fufpicicns tot pulchcrrimalumina,& corporis, & men- tis oculis contcmplctur,totquc immcnfos orbcs ordinatisfimo.citatisfimoquc motu, quotidievohii circafeculcntum hunctcr- rf globum,& ahoquitantofcruitio indi^ gnum,qniccu minimum mihigranum rc- unrmamcnti, ncdum primi mobihs clTe rationibus fuadcatur , hunc tamcn c6- fideretab illamcntercuius nutu moucntur omnia)tanti fieri , tamquc magnipcndi , vt tam immenfam ca^lorum molcm circa iU lum,quafi perpctua feruitutc rotari iubear, - atquc in co vniuerfas res mincralia fcihcct, vcgctatiua, fcnfitiuaq^ fohus humana^ fpc- cicibencficionafci , nutririque pra:cipiat, non coniiciat ctiam humanam naturam, non proptcr illa,quaf cum brutis commu- nicat Tieufucrutilitate Mithematic. Artiunt. nicat, sed pothis propter animorum immortalitatem, Diuiniqiie Iiiminis partici- ^ftlm. pationcm, quibus similis Deo efficitur, ab  co tantopercamari, tamque mirificd ho« norari,vt propheta testatur inquiens^cons: -ftitnifticum fupcr opera manuum tuarum, omnia fubiecifti fub pedibus eius , oues & boues & vniuerfa pecora campi , quod & Marcus Maniljus cxpresfit his vcrfibus, ^f^ Atque idco facicm ccli non inuidet orbi Ipfe Dcus,vultufque fuos,corpufquc rc- cludit, Scmpcr volucndo, fcqiic ipfiim incuU cat,& ofFcrt, Vt bcne cognofci posfit, doccatque ui*» dcndo Qj^ialis crit , doccatquc fuas att(;nderc Icgcs, Ipfc vocat noftros animos ad fydcra mundus . Nec patitur ( quia non condit ) fua iura latere, Qiiis putat cflenefas nofci , quod cer- ncrcfascft? Ncc contcmnctuas, quafi paruoin cor- pore vircs, ^ Quod valcat iramcnfum cft, fic aiiri posi dcra parui Exupcrant prsetio numcrofos arris ccruoSy lofcphiVnicoYm ccnios, Sic adamas piinftum lapidis prctiofior auro cft , Paruulafic totum pcruifitpupulac^lu, Quodquc vidcnt oculi minimum cft,cu 1 maxima ccrnant, Sic animifcdcs tcnui fubcordc locata, ^ Pcr t^tum angufto rcguat dc limitc cor pus, An dubium cft liabitarc Dcum fub pc^ ftorcnoftro? ^ - Inceluq'7 rcdircanimaSjCafloq, vcnJrc? Difpcnfatq; homincm , quid mirum no fccrc Mundum SipoflunthomineSjquibuseft & Mundus in ipfis, Excpluqi Dci quifq-, e in imaginc parua An cuiqp gcnitos, nifi cx\o crcdcre fas e ElTchomincs f proicftaiaccnt animalia cunfta In tcrris, vcl mcrfa vadis,vcl in aerc pcn dcnt . Dedit itaque Dcus homini facultatc in- ucftigandi , quac pofuit in potcftatc c^la* rum cum vniucrfumcoclumfit, utfupra Orijre. Origenis testimonio diximus quafiliber nes. quidam apcrtus omnia futura in fe fcripta contincns, quodlacob affirmat inquiens, fegicnimin tabulis c^U quaccunquc con:s tingcnt ufu cr utilitdte Mathematic. a rtitm  tingcnt vobis & fili]S veftris . Hic cftcnini •illc liber qiii infinc feculoriim, ccnantibus cclorum motibus inuoluctur atqj obfcrabi tur,ncc deinccps crit,qui futura pcrquirat, quod loanncs in Apocalypfi innucre vidc tur inquicns, & cxfum rcccfsit ficut libcr inuolutus, & oninis mons,& infulx dc lo- cis fuis motae funt, ibi cnim loquicur dc vltimis lcmporibus cx cxtrcmo iudicio. Cum iraq? tot prj clarorum virorum tcfti- monijs, ac rationibus comprobctur allro^s rum difciplinam haudcfle afpcrncndam, imo vti Diuinae fapicntia? radium mortalis bus infufum fummofl:udio complcftcnda, non pofliim fatismiraricflcnoftra tcmpc (late quofdam harum artium tam amufos , magifq; animisquam oculis caecutiehtcs, vthas rcrum caelefliu difciplinas quafi nul- lius momcnti ad pictatcmq*, vcluti inutilcs rcrjciant & contcmnant.Habcnt fiquidem id vitrj arrogantcs,& inuidi homincs,vt ca, quae proptcr difficultatcm fcirc non potuc runtjlaboribus parcentcs,malint tanquam vana & inutilia condcmnare, quamfuam ipforum defidiam accu(arc, Epicurcorum sequentes fcntctia, qui vt ab his lludrjs hp minu arccrcntingcnia,infulfis cauillationi bus ca dcftrucre conati funt,ingrati procul dubio maioribus noftris, qni vt lucc aliqua indagand^ vcritatispoftcris rclinqucrent» nuUis » ^ \ofcphiVniccmi ruUislaboribus pcpcrccrunt,ingrati ctiam lofe- Dco^qui (filofephocrcdim^ magn?apud fhus 1« omnes autoritads uiro ) antc diluuium lio ^*"^' niinibus longa annorum curricula cocef- fit,vt prsetcr alias caufas, mathcmaticas artcs inuenirefuturis fcculis profuturas,po ftcrifqucviam cas ampHandi tradcrc po* tuiflcnt. REG ISTRVM. ABCDEFGHIK. Omncs funt quatcrniones , praetcr G <jui cft ducrnio. Nome compiuto: Giuseppe Unicorno. Unicorno. Keywords: arimmetica universale. Per H. P. Grice’s Play-Group, The Swimming-Pool Library, Villa Speranza.