GRICE ITALO A-Z R RE

 

Luigi Speranza – GRICE ITALO!; ossia, Grice e Re: ragione conversazionale ed implicatura conversazionale – filosofia campanese -- filosofia italiana – Luigi Speranza (Calitri). Filosofo italiano. Calitri, Avelino, Campania. Alfonso Del Re Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Alfonso Maria Del Re (Calitri, 9 ottobre 1859 – Vico Equense, 5 settembre 1921) è stato un matematico italiano. Figlio di Raffaele e Rosa Margotta, si trasferì a Napoli all'età di quindici anni e vi compì gli studi superiori. Si laureò a Napoli nel 1886 dove iniziò anche la sua carriera accademica quale assistente universitario. Nel 1889 fu nominato professore di Geometria analitica e proiettiva alla facoltà di Matematica dell'Università di Roma, e nel 1892 passò per la stessa cattedra all'Università di Modena e Reggio Emilia. Nel 1899 fu infine richiamato presso la facoltà di matematica dell'Università di Napoli per insegnare Geometria descrittiva. Intorno al 1910 fu anche professore di matematica presso la Scuola Militare Nunziatella[1]. È stato autore di più di un centinaio di lavori di geometria, di statica e di logica matematica, la maggior parte in forma di pamphlet. Note ^ Francisco Protonotari (1935) Nuova antologia: Volumi 381-382 Bibliografia Omografie che mutano in se stessa una certa curva gobba del 4. ordine e 2. specie e correlazioni che la mutano nella sviluppabile dei suoi piani osculatori, Torino, Loescher, 1887 Sulla struttura geometrica dello Spazio in relazione al modo di percepire i fatti naturali. Discorso pronunziato in occasione della solenne inaugurazione degli studi presso la R.Università di Modena il d 16 novembre 1896, 3ª ed., Napoli, Lorenzo Alvano Edit., 1901 Lezioni di algebra della logica, dettate nella R.Università di Napoli, Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1907 Lezioni sulle forme fondamentali dello Spazio rigato, sulla dottrina degli immaginari e sui metodi di Rappresentazione nella geometria descrittiva, Napoli, L.Alvano, 1906 Sulla indipendenza dei Postulati dell'Algebra della Logica, Rendiconti dell'Accademia napoletana di Lettere Scienze ed Arti, 1911, pp. 450 -458 La matematica ha un carattere universalmente unitario?, Roma, Tip. Unione Ed., 1912 Sulla visione stereoscopica e sulla stereo fotogrammetria, Napoli, Tip. R.Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1914 Sulle posizioni di equilibrio dei corpi solidi ad n dimensioni soggetti ad un sistema astatico di forze, Napoli, Tip. R.Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1914 Le equazioni generali per la dinamica dei corpi rigidi ad n dimensioni ed a curvatura costante nell'analisi di Grassmann, Napoli, Tip. R. Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1915 Nuove ricerche di astatica per gli spazi ad n dimensioni, Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1915 Sopra gl'integrali delle equazioni della dinamica dei corpi rigidi negli spazi ad n dimensioni ed a curvatura Costante, Napoli, Tip. R.Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1915 Sopra certe formule fondamentali per la Rappresentazione di omografie fra forme estensive, Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1915 Formule fondamentali per trasformare, con omografie estensive, formazioni d'ordine qualunque, Napoli, Tip. R. Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1916 Hamiltoniani e gradienti di formazioni estensive nell'analisi generale di Grassmann, Roma, Tip. R. Accademia Dei Lincei, 1916 Hamiltoniani e gradienti rispetto a formazioni non interamente libere, Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1916 Gli hamiltoniani ed i gradienti del prodotto di due funzioni estensive, Roma, Tip. R.Accademia Dei Lincei, Sopra certe Relazioni di identità fra determinanti e matrici, Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1916 Sopra una formula del Betti relativa alla propagazione del calore, e sopra gli ellissoidi principali e di conducibilità del Boussinesq e del Lame. Formule fondamentali per trasformare, con omografie estensive, formazioni d'Ordine qualunque, Napoli, Tip. B.De Rubertis, 1916 Sopra una formula del Betti relativa alla propagazione del calore e sopra gli ellissoidi principali e di conducibilità del Boussinesq e del Lamé, Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1916 Voci correlate Giovanni Di Pirro Rossi, DEL RE, Alfonso, in Dizionario biografico degli italiani, vol. 38, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1990. Modifica su Wikidata (EN) Alfonso Del Re, su MacTutor, University of St Andrews, Scotland. Modifica su Wikidata Alfonso Del Re, in Biografie di matematici italiani, PRISTEM Università Bocconi Biografia sul sito del Comune di Calitri, su calitri.net. Portale Biografie Portale Matematica Categorie: Matematici italiani Nati a Calitri Morti a Vico Equense[altre] LEZIONI \DI ALGEBRA DELLA LOGICA AD USO DEGLI STUDENTI DELLE FACOLTÀ DI FILOSOFIA DETTATE NELLA R. UNIVERSITÀ DI NAPOLI TIPOaRAFIA DELLA R. ACCADEMIA DELLE SCIENZE FIS. E MAT. DIRETTA DA EUOBNIO DB RUBERTIB FU MICHELE Largo S. Marcellino all’Università LEZIONI DI ALGEBRA DELLA LOGICA AD USO DEGLI STUDENTI DELLE FACOLTÀ DI MATEMATICA E DI FILOSOFIA E LETTERE DETTATE NELLA R. UNIVERSITÀ DI NAPOLI, NAPOLI TIPOaRAFIA DELLA R. ACCADEMIA DELLE SCIENZE FIS. E MAT. DIRETTA DA BUOBNIO DB RUBERTIB FU MICHELE Largo S. Marcellino airUniversità, 6. l LEZIONI DI \U DELLA LOGICA ìli studenti delle facoltà di matematica E DI filosofia e lettere TK NELLA R. UNIVERSITÀ DI NAPOLI ». IO -«NAPOLI lA DELLA R. ACCADEMIA DELLE SCIENZE FIS. E MAT. DIRETTA DA BDOBNIO DB RDBERTIB FU MICHBLB Largo S. Marcellino all’Università LEZIONI DI ALGEBRA DELLA LOGICA t AD USO DEGLI STUDENTI DELLE FACOLTÀ DI FILOSOFIA DETTATE NELLA R. UNIVERSITÀ DI NAPOLI i V. I NAPOLI TIPOGRAFIA DELLA R. ACCADEMIA DELLE SCIENZE FIS. E MAT. DIRETTA DA EUOBNIO DB RUBERTIB FU MICHBLB Largo S. Marcellino airUniveriiUt, (^Jul bcS-'/'K^ i Z> cQ^it non munite della firma dell’Autore sono contraffatte. LUIGI CREMONA PER LA VASTITÀ DELLA MENTE PER l'equilibrio MORALE DEL CARATTERE NEL MOMENTO IN CUI I METODI DELL'ALGEBRA DELLA LOGICA SEVERAMENTE RICOSTRUENDO I FONDAMENTI DELLE MATEMATICHE GETTANO VIVIDA ED INASPETTATA LUCE' SUI PRIMI PRINCIPII DELLA GEOMETRIA. QUESTO SAGGIO CON GRATITUDINE ED IN MEMORIA DEDICO. In questo saggio è con^gnata quella parte delle lezioni suir da me date a NAPOLI, che, a mio avviso, più delle altre, presenta nei suoi procedimenti, la forma e la consistenza degli ordinari i procedimenti algebrici. Partendo da un gruppo di postulati fondamentali, diverso da quelli che altri ha dati), ed introducendo la nozione del UMo in senso assoluto, l’algebra qui svolta viene a ricevere una immediata interpretazione nel campo delle così dette classi, e si presenta nel maneggio, assai più facile dell'algebra ordinaria, dalla quale è, del resto, indipendente. Più volte sono stato tentato a pensare che questa faciltà ed indipendenza, consentendo all’algebra della logica di essere studiata appena dopo gl’elementi dell'aritmetica, riescirebbe a renderla assai più utile dell' ordinaria quando portata, in luogo di questa, nell'insegnamento secondario. Mi piace qui rammentare il nome di alcuni studenti che, a preferenza degli altri, seguirono, con zelo e profitto, le mie lezioni, prendendo anche i relativi esami. Essi sono: db IR.OSIS, LicopOLi, Durante, FANELLI.. È da ratntttenture anche il mio amico Majii, che avendo ascoltato le mie lezioni per due anni successivi, maneggia ora, con distinta abilità, il calcolo logico. Dei gruppi completi di postulati propriamente detti per l'algebra della logica non vennero dati che d’Huntington nell'articolo : Seta of tndipendent postulates for the (Ugebra of logie (Transactions fo the American MathemoAical Society). Cfr. pure Vbblrn, fosse impartita a quei studenti, in ispecie, pei quali lo studio delle matematiche propriamente dette, serva più per conferire una forma maggiormente organica alla costituzione della mente che pei bisogni tecnici professionali. E mi sembra improbabile che io m'inganni a questo riguardo quando penso all'ufficio che compie nelle nostre scuole secondarie lo studio della logica classica, ai tentativi persistentemente fatti per tradurne in simboli i varii procedimenti, allo sviluppo che, portata in una logica più generale), ha preso ai nostri giorni, ed in fine al carattere eminentemente deduttivo, e proprio delle matematiche, che informa i procedimenti dell' algebra della logica. Tre sono le operazioni fondamentali sulle quali è basata tutta la tecnica dell' algebra della logica: l’addizione, la moltiplicazione, e la negazione logica. Una qualunque di queste può essere definita mediante le altre due. Cosi, a differenza di quanto avviene nell' algebra ordinaria, non si presentano qui le operazioni analoghe a quelle chiamate di sottrazione e di divisione ed in grazia delle leggi di unità e di semplicità, non si riscontrano qui né coefficienti numerici, né esponenti, peroni tutte le espressioni, e le equazioni, logiche si presentano come di primo grado. Il modo di esposizione qui tenuto, come il lettore ha occasione di rilevare, ha una impronta tutta personale. Primi principii, maniere d’eduzioni, collegamenti delle varie parti, etc. sono qui pre.sentati in forma affatto diversa da quella seguita d’altri. Anche alcune nozioni, nel modo come qui trovano il loro posto, apparvero diversamente, o non apparvero affatto, in altri scritti; e qualche problema non parve essere stato addirittura presentato. Coloro che si occuparono dell’algebra della logica, in tutta la sua estensione, a cominciare da Boole, che deve essere [La logica classica non riconosce che delle forme sillogistiche di deduzioni. Cosi, comunemente si dice. Ma, meglio si direbbe, dicendo che nell'algebra della logica manca l'elemento analogo al grado delle espressioni e delle equazioni che si presentano nell’algebra ordinaria.] considerato come il vero fondatore di essa, sono, fra gli altri, i seguenti: BooLE, liei col suo saggio An investigation oftìie Laivs of Thought, Jevons con la sua Pare logie, Peirce con articoli iuseriti nei Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, e con articoli posteriori apparsi nell’American Journal of Piiì^es and Applied Mai/iematics, Clifford, con articoli sui Tfjpes of compound Statements, inseriti nelle Memoirs of the Literary aud Philosophical Society of Mancester e nelle Mathematical Papers; ScHRODER con l'articolo Ope7^ationh?'eis des Logihlialhulus, e poi con la pubblicazione di tre grossi volumi col titolo Vorlesungen uber die Algebra der Logik; McCoLL, con articoli iuseriti nei Proceedlngs of the London Mathematical Society e nell’Enseignement Mathèmatiqxie, nel Congres international de Philosophie, e col saggio Symbolic Logic and its appiications, London; Maofarlane, con il saggio Pì'inciples of the Algebì'a of Logic; Venn, con la sua Symbolic Logic; Ladd, Mitchell e Peirce con articoli inseriti in Studies in Logic by Members of the Johns Hopkins University. Qui io cito soltanto i filosofi dei cui saggi mi è stato possibile prendere visione durante la pubblicazione di questo saggio, e che mi sono riusciti di utilità nella sua compilazione. A questo riguardo mi è anzi grato di dichiarare che le pubblicazioni le quali maggiormente mi sono state di guida e sprone a scrivere queste Lezioni sono quelle di Whitehead che ho citate ; e penso anche io, con r autorevole filosofo e matematico inglese, che un largo campo d' investigazioni viene aperto all' algebra della logica con la nozione di sostituzioni da lui introdotta, e con gli sviluppi che egli stesso ha dato a questa nozione. Penso' inoltre che, molta utilità deve seguire per la geometria dalle relazioni messe in luce da Kbmpe e Royce fra i prinoipii della Logica ed i fondamenti della Geometria stessa. PEANO, col suo saggio OPERAZIONI DI LOGICA DEDUTTIVA j messo come introduzione al calcolo geometrico secondo l'Ausdeh" nungsleJire di Grassmann, e poi successivamente con altri saggi e principalmente con la pubblicazione della Rivista e del Formulario di Matematica; i quali, a giudizio di persone molto competenti in materia -cfr. p. es. Russell, Principles of Mathematics e Revue de Méthaphysique et de Morale -hanno potentemente contribuito al progresso della logica simbolica, specialmente dal punto di vista delle applicazioni alla matematica. L'egregio amico e ollcega, mi permetta che io colga questa occasione per associarmi agl’elogi che gli vengono resi, e per rinnovargli qui, in iscritto, i miei rallegramenti. Johnson, con articoli inseriti in Mind, e nella Bibliothèque du Congrès internationale de Philosophie. Whitehead, con la pubblicazione della sua Universal Algebra, e con memorie apparse nell’Americaìi Journal etc, come risulta dalle citazioni fatte nel testo. PoRETSKY, con gli articoli: Sept lois fondainentales de la théorie des ègalités logiques; Quelques lois ultériores de la théorie des égalités logiques, Bulletin de Ift Société Physico-Mathématique de Kasan; Vedi anche Revue de Méthaphysique et de Morale, per l’art. : Espose élémentai^'^e de la thèorHe des égalités logiques à deux termes a e^ b; ed La Bibliotèque du Congrès international de Philosophie, per l'art. Théorie des égalités logiques a trois termes a, b et e). Couturat con la pubblicazione h' Algebre de la Logique, Scientia). Napoli.R. VW-AlV-W-VlrA/Vaf VA/V-VV-'UV-A/V AnrA/V--\r-V\r-ViHV;VAAr AVA/VAfV ^/^^ArVVA. ome affermare X e T insieme è affermare z perchè T è sempre affermabile, sicché da a;T segue x ; così, dato al SEGNO posto fra due tei-mini x,y il SIGNIFICATO che l'affermazione di x porti seco l'affermazione di y ed inversamente, ne segue essere verificati i postulati 11^,11^. La scrittura X -^ y -\-z afferma ^ -\-y o u, epperò e x-\-{y'\-x) afferma a; o y-|-s, e perciò pure j-, o i; la scrittura. Le due scritture [Io dico che UNA PROPOSIZIONE È AFFERMABILE, indipendentemente dall'essere vera o falsa, allorché essa non è in contraddizione con le leggi fondamentali del pensiero; non affermabile nel caso opposto. Ei in questo caso si dirà pure assurda. Cosi, una proposizione assurda è falsa universalmente, cioè in tutto il dominio del pensiero. Una proposizione falsa IN UN CERTO DOMINIO può non esserlo in un altro. Per es., la proposizione secondo la quale la summa dei tre angoli di un triangolo non é due rotti È FALSA NEL DOMINIO DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA, ed è vera nel dominio più. ampio della geometria non euclidea.] rappresentano dunque la stessa afiermazione ed è quindi verificato il postulato. Similmente, la scrittura ac(y-|-z) afferma contemporaneamente 05 ed y o z. La scrittura xy -|ajz afferma o a; ed y contemporaneamente o contemp. a; e e ; essendo identiche le due affermazioni resta verificato il postulato. Sono, evid., verif. pure i post. IIIa, IIImPer ogni dato termine x si assuma come termine x la classe di tutte le proposizioni appartenenti a T che non sono x; allora, affermare x o x, indifferentemente, è come affermare T ; ed affermare x o Xj simultaneamente, è come affermare T assurdo, perchè x contiene le proposizioni che sono le negazioni delle proposizioni x, e che perciò non possono essere affermate simultaneamente ad esse. DUNQUE x-\-x=T ed a;x==N, e rimane cosi verificato pure il postulato. Alla interpretazione di x -|1/, data in I, come classe minima che abbraccia x ed y corrisponde l'interpretazione consìstente neìVaffermare x o y: ed alla interpretazione di xy quale classo masaima comune ad x, y corrisponde l'interpretazione consistente nell’affermare simultaneamente x ed y. Le due interpretazioni precedenti provano la CONSISTENZA dei postulati del gruppo proposto, e pure la loro COMPATIBILITÀ, perchè nessuno dei postulati del gruppo è escluso dalla presenza degli altri. Tal interpretazione non corriifponde esattamente a quella che generalmente vien data nel campo delle proposizioni. La INDEPENDENZA dei postulati del gruppo si prova seguendo la via indicata da PEANO, PADOA, E PIERI. Sono conseguenza immediata dei postulati nella sezione precedente, le seguenti proposizioni. Non esiste alcun termine di T cite abbia la proprietà espressa dal post. IL, ed un solo termine N esiste che abbia la proprietà espressa dal postulato IL. In fatti, esistano due termini N, Ni con la proprietà IL; alsss:. ^•Z^ • • ^ M ' colora dove aversi, per essere N, Nj tepiniai di T, e per IL : N, + N = N,, N + Ni = N, e per III4 : Ni=N. Analogamente si pruova che SE un Tj esiste con la proprietà IIm di T, è T, = T. Prop. Per ogni termine x un solo termine x esiste pel quale è x + x = T, xx = N. In fatti, esista oltre a x, un altro termine a?, pel quale sia a? + ^j = T,a?irj = N. Allora si ha x^=^T!x^=^{x-\-x) x^=a:x^-hxx^^ìs-{'XX^^.vx-{-xx^=x (X'W^)^=ocT!^x .Il termine x di cui questa proposizione si chiama termine supplementare del termine x, ovvero NEGAZIONE di X, Si dice anche che x q x sono termini contradittori. Come osservare Ladd, il solo principio di contraddizione (n.® 3 in fine) non basta a definire due termini contraddittorii, occorre ancora IL PRINCIPIO DEL MEDIO ESCLUSO, il quale merita anch'esso di ricevere quel primo nome (cfr. CouTURAt). MacColl chiama legge del medio escluso la combinazione delle due relazioni -The CaZculus of Equivalent StatemenU and Integration Limits, Proceedings of the London Mathematica! Society. L'unicità del supplemento a; di x permette di dedurre dall’EGUAGLIANZA x = y V altra us == y. Vale a dire si possono negare entrambi i memori di un'EGUAGLIANZA senza che l’eguaglianza cessi di a'oer luogo, £ cosi, allorché si vuol dimostrare un'EGUAGLIANZA, si può dimostrare l’EGUAGLIANZA logica supplementare, se ciò è più conveniente. La negazione del tutto è il nulla, la negazione del nulla è il tutto. In fatti, per IIm e per IL rispettivamente, si ha TN = N, T + N = T; dunque, per la prop. 2.% N = T, T = N. Il termine supplementare del supplementare di un dato è lo stesso termine dato. Vale a dire x=^x {LEGGE DELLA DOPPIA NEGAZIONE – reduzione all’assurdo introdutta da Zenone di VELIA. In fatti, dato x, soltanto x (prop. 2.^) soddisfa alla doppia relazione Prop. Qualunque siano i termini x, y si ha sempre xy = x{y + x) . (1) In fatti, xy=-(vy + '!>l = ooy'j-xx = x(y + x). Ponendo i/ = N dalla (1) si deduce a?N = a;(N + ^) = (per post. IL ) o?^ = N ; (2) cosi il prodotto del termine nullo per un termine arbitrario è il termine nullo. Ponendo y==^Xy dalla (1) si deduce a:x = x{x -{x) = xT = x, ovvero xx = x . Questa relazione è conosciuta col nome di legge di semplicità, o dì tautologia (Jevons, Pure Logic; Johnson, The Logicai Calculus). Osservazione. Qualunque siano x,y si ha sempre x + xy = x(x + y), (3) giacché per la (y') x + xy = xx -\xy = x(x + y) . Per y = x, tanto il 1.*^ che il 2.^ membro della (3) prendono il medesimo valore, e, in virtù della (t)>(y')» si può osservare, che la stessa cosa avviene per |/ = N e per ^ = T (dopo di avere eseguito la moltiplicazione per x). Ora dimostreremo che x è il valore comune dei due membri della (3) qualunque sia il valore di y, cioè dimostreremo la seguente Prop. 4.^ Qualunque siano x ed y si ha sempre x = x + xy = x(x + y) . (4) In fatti, X + xy = xT + xy = x{y + y) + xy = xy + xy + xy = = (per IIIa )xy + xy + xy= [per (y)] xy + xy — x(y+y)=x . — 11 — La relazioDe (4) è conosciuta col nome di legge di assorbimento, e si distingue in legge di assorbimento per l'addizione^ quando si ha riguardo air uguaglianza x=^x-\'Xy y ed in legge di assorbimento per la moltiplicazione, quando si ha riguardo air uguaglianza x = x(x + y). Corollario. Essendo x,y,z,...,t dei termini qualimque si ha x=x-\-xy'\'Xyz-\... '\'Xy ... t=x(x+y) (x+y+z) ... (x+y"\... + • Con l'aiuto della precedente proposizione e della legge associativa per l'addizione, si dimostra ovviamente la Prop. 5.* Qualunque siano x ed y si ?ia sempre x + y = x + yx . (1') In fatti, x + y = (x + y)T = (x + y){X'{'X) = = per la (4) x + (x + y)x = x + (xx + yx) ovvero (senza l'impiego del post. IV), per essere 070? = N, X {-y = x + yx . Si può pure ragionare così x+y=x-\'y{x-\-x) = (per post. IV) x+ayy+yx=: [per (4)] x+yx . Corollario. Ponendo T al posto di y in (1') si ha x-JrT = x + Tx = x + x = T ; così la somma di un termine e del tutto è il tutto. Col medesimo aiuto che per la dimostrazione della prop. precedente si dimostra la seguente Prop. 6/ Qualunque siano x,y,z si ha sempre x + yz = (x + y){x + z) . (p') In fatti, x-\-yz = x-\-xy'{-yz = x + y{x + z) = = x{x + z) + y(x + z) = (x + y) {x + z) . La proprietà espressa dalla relazione O') si chiama legge distributiva dell' addizione rispetto alla moltiplicazione. Per rappresentare il termine supplementare di una somma. ] di un prodotto, porremo in parentesi la somma ed il prodotto, e poi a sinistra, fuori della parentesi ed in alto, un piccolo tratto; scriveremo, in altri termini, per indicare rispettivamente il termine supplementare di quello che risulta dalla somma x -{y, e di quello che risulta dal prodotto (vy. In ordine al modo di formare il termine supplementare di una somma, o di un prodotto, si ha la seguente Prop. 7.* Il supplemento della somma di due ter^nini è il prodotto dei supplementi di questi termini^ ed il supplemento del prodotto è la somma dei supplementi; vale a dire '-{x-\-y) = xy (5) -{xy) = x-\'y . (6) In fatti, cc + y + xy = x + xy'\'y==x-^y-\-y = X'\-T = T (x + y)xy = X . xy + y . xy ; e per essere in generale z.zt = ìi + z,zt = zz + z,zt = z{z + zt) = zz = '!>i, ... (7) è pure dunque la (5) è vera. Per pruovare la (6) si osservi che, per la (5), ~{x + y) = xy = xy, e che perciò _ _ _ _ ~(^y) = "["(^ + y)] = oo + y La (6) può essere dimostrata direttamente in modo analogo a quello tenuto per dimostrare la (5), poiché si ha c(^y + (à) + y) = x + yx + y = x-['y + y = x + T = T (vyix + y)=(x + y)xy=x .xy-\-y,xy=[]^ev la (7;] N + N=N . Le formole (6), (7) sono generalmente conosciute col nome di (prmule di De Morgan. Con l'aiuto della proposizione precedente si può ora dimostrare che la moltiplicazione, come l'addizione, gode nell'Algebra della Logica, della proprietà associativa; cioè si ha: Prop. 8.* Qualunque siano x, y, z ha luogo la relazione xy,z = x,yz . («') In fatti, -[xy,z]=~{xy) + z={x-\-y) + z= (per post. IV) a? + (y + '2^) 5 dunque xy,z='-[x~\-{y -\-z)\ = xr{y-\'Z) = x.yz . Dai postulati Isegue che si può variare comunque l'ordine dei termini di una somma logica senza cambiare la somma stessa. Dal postulato IIIm, e dalla proposizione precedente segue che la medesima proprietà ha luogo per un prodotto. Dalle medesime sorgenti deriva pure che la prop. 7.* è vera non soltanto per la somma, o pel prodotto, di due termini, ma per una somma, o per un prodotto, di un numero qualunque di termini; giacché, per es. -{po + y + z + t)='[x + {y + Z'\-t)\ = xr{y + z + t) = = x.~[y + {z -{-()]=:= xy~{z + t) — xy zi . ~{xyzt) = '{x . yzt) = x+ "(yzt) = ==0(;+''{y.zt) = x + y +''{zt) = x + y + Z'\'l . Prop. S."" Se X + y = N è j/f^re Se xy = T, è pu7^e x = T, 2/ = T. In fatti, in virtù della (4), dopo di avere moltiplicato per ^, si ha x{x + y)==x = ìix = ]a? (1, 2) la prima delle quali sarà letta 4: x è incluso, è contenuto in {fa parte, è una sottoclasse di) y », ovvero « X IMPLICA ^ », e la seconda sarà letta « y include, contiene {ha come parte, è una sopì^aclasse di) x », ovvero « t/ È IMPLICATO DA x ». La RELAZIONE (1, 2) si chiama INCLUSIONE, o IMPLICAZIONE (ma non conversazionale – vide: H. P. GRICE: “Il profferente IMPLICA che p”], ii%verse l'una dell'altra. Imitando Poretsky *) la xy... (7) ; 5? + |/ = T... (8) sano tali che avendo Itwgo una qualunque di esse avranno luogo le rimanenti. Poiché le (6), (7), (8) sono le relazioni supplementari rispettiv. delle (3), (4), (5) è evidente (prop. 2.*, osserv.) che basta limitare la dimostrazione della proposizione soltanto a queste tre. Ora si ha: «) Se x=^xy, addizionando y ad ambo i membri, sarà: X + y = xy + y^=y, che è la (4); moltiplicando ambo i membri per y sarà in vece: ccy = xyy^='^y che è la (5). p) Se y=a) + y y moltiplicando ambo i membri per a?, si ha: ooy = x(a) + y) = x, che è la (3); e da questa, per a), segue la (5). Y) Se a?2/ = N, aggiungendo ad ambo i membri ary, si ha: an^ + xy = oo{y + y)=xT===x = ìi + an^=xy, che è la (3); e da questa, per a), segue la (4). Si osservi quanto segna : 1.^ Se è x=:^xy, aggiungendo x ad ambo i membri si ha X -{x = x -\xy j ovvero T = x -\yx = x '^y j che è la (8). 3.^ Se è ysstx^yj moltiplicando ambo i membri per y si ha yy = y(x -^-y), ovvero N=rya;, che è la (6); aggiungendo, invece, x si ha a;-|-y=a5+*"i'y=T+3/=T, che è la (8). 3.^ Se xy = 'N, aggiungendo ad ambo i membri os, si ha 1/ -|ocy = N + y, ovvero a: + y = «, tasche è Ift (4); prendeudo i supplementi d*ambo ì membri, si iui la che è la (8). 4.^ Se è x^^y^atT f moltiplicando ambo i membri per x si ha xy = Tx = X, che è la (8); moltiplicando per y e prendendo poi i supp}. dei dq^ prodotti : as -fy = y, che è la (4) ; prendendo 1 supplementi d' ambo i membri: xy = N. Cosi, limitatamente alle (3), (4), (5), (6) cba fra le sei relazioni disll* prop. precedente hanno forma effettivamente differente, questa proposizione tenuto pur conto di quanto si è detto in a), p), y) resta dimostrata, per ogni caso, direUamente, nel senso che da ciascuna delle 4 relazioni si fa, direttamente, discendere la verità delle altre tre. Osservazioni. Dalla prop. 13.* e dalle (1, 2) segue che è la medesima cosa scrivere ^oo, (9) ovvero scrivere una qualunque delle sei relazioni cc = 0(Ty, y=x-\-y, ^ = N J a? = a? + i/, y = !vy, a) + y = T ] Corollario 1.® Poiché N = Na?, ed x = Tx qualunque sia a?, si ha, per ogni termine x CoROLL. 2.^ Ogni prodotto di due, più ^ termini logici x, y, . . ., t è incltiso in eiasouno dei fattori. CoROLL. 2.^ Ogni somma di due » o più, termini logici x, y, . . ., h include ciascuno degli addendi. In fatti, dimostrando la sola proposizione a sinistra, abbiamo^ per ia legge di assorbimento ^ + (^y ... /i) = a?, ^ -f {xy ... h)==y, ..., t/i -f {xy ... h) = h; e quindi, per la 2** delle (IO) osy ..,hy (H) hanno luogo simultaneamente. Esse dicono che dalla negazione dei due membri di una inclusione logica nasce l'inclusione logica inversa (l'inclusione diventa opposta alla data). In questo enunciato, o meglio nelle formule, consiste il così detto principio, o legge, di contrapposizione, 10. Proposizioni diverse sulle inclusioni. Una serie di proposizioni sulle inclusioni, che ora daremo, permette un rapido maneggio di queste nel CALCOLO [cf. H. P. GRICE, FIRST-ORDER PREDICATE CALCULUS WITH IDENTITY] logico, e di presentarne un'applicazione a tradurre in formule le quattro proposizioni tradizionali della Logica deduttiva, e la teoria del Sillogismo. — he 9 proposizioni sono le seguenti. Prop. 14.* Se x se wy ...hA; dunque, sommando, o moltiplicando. Prop. 17.' Se z x, z>y, ..., z>h z> xy ...h . In fatti, dal coroll. 2." prop. 13.% e dal coroll, della prop. 18." a sinistra, si ha rìsp. 1 a dritta, si ha risp. xy ...h a?, ..., x+y-\-...-\ A> h icy ... A irj/...ft ; quindi, pel princìpio del sillogismo (prop. 14,') segue la verità. dell'assorta Prop. 18.' Se z(u + x) (v + y) sarà :C>xy, z>uy, C^v . In fatti, per la addizione, è ! distributiva della [ moltiplicazione, zxi/-\-uy-\-xv-\~ui:i ; d'onde, per la proposizione precedente (a sinistra ed a dritta rispettivamente), segue la verità dell'asserto. N.B. — La prop. 18.' è pure vera se le ipotesi sono; z^ux + vy, Prop. 19.' Se b a sarà (a + u)f) = (a + u)(b + u). In fatti, au + b = au •{b{u + u) ^={a-\-h)u-\'ì)u = au-^ìni, giacché da &a segue ab=^a. Prop. 20.* Se b a&, e quindi au + bù'^ b . Ravvicinando i due risultati, si ha, in fine, b x . (2) Il binomio a secondo membro è lo sviluppo normale della funzione f{x) nel termine logico x. Data Aa?), e ridotta alla (1), il processo indicato mostra come si costruiscono i coefficienti a, et dei termini a? e a; del suo sviluppo normale. Però, è interessante vedere come essi si determinano direttamente dalla f{x) nella forma nella quale è data, cioè senza ridurla dapprima alla (1) e poi senza seguire il procedimento tenuto per ricondurla alla (2). Poiché la (2) deve essere vera per qualsiesi valore di x, allorché, in essa, al posto di x si pone una volta T ed un'altra N, si avrà rispettivamente /•( N) = aN + ftN = aN + &T = ft ; opperò, i coefficienti cU x e di x nello sviluppo normale di f{x) sono rispettivaìnente ciò che diventa, f(x) quando ai pasto di x si pothe una volta T ed un' adira N ; vale a dire si ha Esempio. Sia A^) = AT)..; + /-(N).5 . (3) fix) = (l + x)(m -{x)h -{px{q -{x) + r ; poiché /(T) = (; + T) (m + N)A +pT(5 + N) + r = w»A 4-2?g + r /(N)=(Z + N)(m + T)A+i>N(5 4-T)+r = iA + r ; smtk f(x) =• {mh 4i?? + ^) * + (^* ~h ^) a? • Corollario. Dalla nx)=nT).x+m).x, moltiplicando una volta per x ed un'altra per Xy si hanno le r — 83 — segueuti fopmole (di Mac Coli.) ccfXx) = xf(T), xf{x) = xm) . (4) h) Sia ora f{Xyy) una funzione di due termini logici x,y. Considerando la f(x,y) come funzione della sola ^r, si ha per la (3) ax,y) = nT,y).x -\r(^,y)x . (5) Ora è, per la stessa (3): AT,z/) = AT,T).i/ + AT,N)^ AN,2/) = AN,T).2/ + AN,N)^; dunque, sostituendo ia (5), si avrà f{x, i/)=AT, T).^2/ + AT, N).r^ + AN, T)xy^f(f{, ì^)~xy, (6) In questa formula consiste lo svilupiH) nonaale di f{x, y) nei due termini logici x^y. I varii addendi dello sviluppo sono formati coi varii costituenti di T moltiplicati rispettivamente per ciò che diventa la f{x,y), allorché al posto ^ì x &à y si pongono T ed N secondochè, in essi, x ed y figurano direttamente, coi loro supplementi. e) Sia ancora una funzione f{x,yiZ) di tre termini logici x,y,z. Dalla (6) si deduce che Aa?,l/.2:)=AT,T,2:).^l/-t-AT,N,^)^^+AN,T,^):^i/+/^N,N,2:)^^, (7) e dalla (3) che AT,T,^) = AT,T,T)^ + AT,T,N)^ AT,N,;^) = AT,N,T)^ + AT,N,N)^ AN,T,^) = AN,T,T)^ + AN,T,N)^ AN,N,^) = AN,N,T)^ + AN,N,N)5 ; sostituendo nella (7), si avrà: A^,y,^)=AT,T,T)^(/^+AT,NTT)a;i;^+AN,T,T)^i/^+AN,N,T).^^2:+AT,T,N)r7'2/^+AT,N,N)^^z+AN,T,N)à;i/5+AN,N,N)^]/5. In questa formola consiste lo sviluppo normale di f(.v,y,z) nei tre termini x,y yZ. — l varii addendi, si presentano anche A. Dbl Rb ~ qui come formati dai varii costituenti di T moltiplicati ciascuno per ciò che diventa f{x,y,z) quando al posto delle x,y ^z si ponga T od N secondochè, nel costituente che si considera, x, yyZ entrano direttamente, o per mezzo dei loro supplementi. d) Il procedimento precedente è generale; esso può essere seguito per una funzione di un numero qualunque di variabili. Si arriva allora a ciò che si chiama lo sviluppo normale di questa funzione; ed esso si comporrà, se n è il numero delle variabili da cui dipende la funzione, di 2 addendi, formati coi 2 costituenti di T corrispondenti a tali variabili, moltiplicati rispettivamente per ciò che diventa la funzione, allorché al posto delle variabili stesse si pongono i termini T ed N secondochè queste, nei costituenti in considerazione, entrano direttamente, o col mezzo delle variabili supplementari. Cosi, ades., data una funzione f{x,y,z,t,u) di 5 variabili, considerando il costituente xyztu, per avere un addendo dello sviluppo normale della funzione si deve moltiplicare xyztu per /"(T, N, T, N, T). In pratica, quando si vuole ottenere lo sviluppo normale di una funzione in n variabili data come somma di più addendi, giova, il più delle volte, moltiplicare ogni addendo nel quale manchino r variabili per lo sviluppo di T in queste r variabili, e poi fare le riduzioni opportune. Cosi da f{x,y)=ax '\-by -^ e sì passa ad f{oo, 1/) = aa;(2/ + 2/) + hy{x + x)'\-c{xy + xy '\xy + xy) = (a + et + c)a7i/ + (a4-c)a?i/ + {l) + c)xy -\cxy, moltiplicando i tre addendi della t\x,y) data rispettivamente per gli sviluppi di T in x, in y, ed in x,y, e) Da quanto precede risulta che ciò che caratterizza lo sviluppo normale di una funzione logica sono i termini che moltiplicano i varii costituenti di T nei varii addendi dello sviluppo. Essi saranno chiamati discriminanlì della funzione *); così i discriminanti di una funzione logica sono i valori che assume la *) Adoperando un modo di discorrere usato nel!' Algebra ordinaria si può dire che i discriminanti di una funzione sono i coefficienti del suo sviluppo normale.] funzione allorché al posto delle variàbili si sostituiscono i terììiini T ed N in tutti i lìiodi possibili', cosi ancora una funzione logica dì ii vaìHabili possiede 2** discriminanti. Quando un discrimiuante di una funzione f{u;,y,...) risulta dal porre per x il termine T, il discriminante si dirà positivo rispetto ad a? ; e quando in vece risulta dal porre per a: il termine N, si dirà negativo rispetto alla x; cosi fra i 2" discriminanti di una funzione logica in u variabili ve ne sono 2""* jpositivi rispetto ad una ìuedesima variabile^ ed altrettanti negativi ; ed in generale, rispetto ad r variabili simultaneamente ve ne sono 2^'' positivi^ ed altrettanti negativi. La forma generale che può essere data al discriminante di una funzione f{x,y,...,t) di n variabili a;,y,...,t è la seguente allorché per t,,t,,...,t„ si prende una combinazione qualunque, n ed n, dei 2n termini n volte n Tolte T,T,...,T, N,N,...,N . I discriminanti di T, o di N, o di un termine qualsiasi a, considerati come funzioni logiche di un numero qualunque di variabili, sono tutti eguali a T, o ad N, o ad a. Ciò risulta evidente da quanto or ora si è detto, e direttamente per T ed a (incluso N) dagli sviluppi già dati di questi termini. f) Lo sviluppo normale di una funzione si dirà pure sviluppo di BOOLE. Nel caso di sviluppo in un sol termine x, in luogo di dire sviluppo normale, o sviluppo di Boole, in x, diremo pure espressione binomia in x, 15. Proprietà dei discriminanti e delle funzioni sviluppate, a) Se una funzione f{x,y,,..) risulta dalla somma, o dal prodotto, di due altre 9(07,2/, ...), 4^(^,1/, . ..)» sicché si abbia per tutti i valori delle x,y,. . . o /( (37, 1/,...) = 9 (a?, 1/,...) + 4; (a?, 1/, ... ) /•(a;, 2/, . . .) = 9(07, 2/, . . .) . 4;(a?, y, . . .), — 36 — ponendo al posto delle x,y, ... supposte in numero di n, ì valori Tj,Tj,,..., T^ di cui nel n.^ precedente e), in fine, si avrà o Ora /'(t,, f,, ...) è un discriminante di f{x, y, ...) e 9(t,, Xg, ...), ^(t,,Tj,...) sono i discriminanti ad essi omonimi (cioè positivi negatiti rispetto a variabili dello stesso nome) di 'fs » • • •) • Ora 9(Tj,t,,...) è un discriminante della 9(0^,2/,...) ed ~/'('r,,Tj,...) è il supplemento di f{r^, Tg, . . .) che è il discriminante omonimo delle f{x,y,.-.)', dunque Prop. 26.^ Il supplemento di un discriminante di una funzione logica è il discriminante omonimo della funzione logica supplementare. e) Dal teorema in a), e dal modo di presentarsi dei discriminanti di una funzione nello sviluppo normale della funzione stessa segue la Prop. 27. Nello sviluppo della somma, del prodotto, dì più funzioni logiche, i coefficienti dei varii addendi si ottengono sommando, moltiplicando, i coefficienti degli addendi omonimi (che moltiplicano lo stesso costituente) delle singole funzioni. Dal teorema dato in b) segue poi la Prop. 28.*" Ia) sviluppo della funzione logica supplementare di una funzione logica data si ottiene prendendo i supplementi dei coefficienti dei singoli addendi nello sviluppo della funzione data. Cosi, ad esempio, le l'unzioni supplementari delle f{30, y) = axy + l^Joy + cxy + djoy, sono rispettivamente le funzioni: ~f{x) = ax + àx ~f(3o, y) = aotry + hxy + cxy + dxy Osservazione. La proposizione può dimostrarsi direttamente sommando, o moltiplicando, due a due gli addendi omonimi, degli sviluppi delle funzioni date, ed osservando che nella moltiplicazione di questi sviluppi, il prodotto di un termine dell'uno per un termine non omonimo deir altro è nullo. La proposizione può pure dimostrarsi nei due modi seguenti: 1/* modo. Limitiamoci al caso di due funzioni di due variabili. Le due funzioni _ _ /(^ > y) = «^y + ^^y + ^^y + ^y 9(x . y) = axy + bxy -f cxy -f "dxy sommate, membro a membro, danno /(aJ » y) + 9 (•'^ > 2/ )=(« + a) ^y + (^ + ^) ^y +(c -f e) a;y 4(d +5) ay =T . xy+T . j:y +T . ij/-f TÌy=T {xy -\^xy+xy-\'~xy)='ì! ; moltiplicate, in vece, membro a membro, danno f{x, y) . ^(x ^ y) = aa, xy -\bb, xy -{ce, xy -\dd, xy = ^ ; dunque è 9(^,y) = "/(^,y)2.^ modo (Whitehead, n.® 29, 6). Per una funzione di una sola variabile _ f{x) = ax 46x, si ha ___ _ ~f{x) = {a -\x) {b -[x) = ax -^ bx -{ab, ~/{x) = (a -|ab)x + (^ + *^)* = ax -fftas, — 38 — e quindi la proposizione enunciata è vera. — Supponiamo ora che la proposizione stessa sia vera per una funzione di un numero n di variabili x,2/,...,^^y + (^'^y + ^«^'^z ~f{x,y,z)=axyz-\-hxyz -\cxyz-\-dxyz -\exyz-\-~fxyz~\' gxyz-\-/ixyz, Ora, prendendo i supplementi d'ambo i membri di ciascuna di queste relazioni, con le formule di De Morgan (prop. 7.^ ed oss. dopo prop. 8.^), si ha /'(.^,y) = (ct + x + y) (& + a? 4y) {c + x + y) (rf + a? + y) r{x,y,z) = (a\x\y\-z) {b\x-\-y^^) (^+.^+'^+'3:) {d^rOsAry\z) {e-\-^ì)\-y^z){r'\'X^y^z)(g\x^y\'Z){n-\-x-]ry-\-z\ che sono appunto gli sviluppi domandati di f{x,y),f(x ^y,z), N. B. — Il Sig. PoRETSKY {Bulle tin de Kasan, 2.* serie, t Vili, n.® 2) propone pei discriminanti della funzione f(x, y, ...) che figurano nel suo sviluppo reciproco del normale, la denominazione di CO-OPERANTI (cf. H. P. GRICE), quale correlativa dell'altra di coefficienii, già adoperata allorché di f sì ha lo sviluppo normale. ValoìH e doniinio di estensione di una funzione logica. Una funzione logica /'(.x*, 2/, . . ., ^) di un certo numero n di variabili X,y,,.,,t, assume, in generale (cioè quando non dipenda formaUnente dalle .t, 2/, ..., ^, come nel caso in cui essa si riduca ad un termine determinato a) valori diversi in seguito ad una diversa scelta delle j?, 7/, ..., /. La collezione di tutti i valori possibili per la f{x, 2/, . . ., /) in conseguenza di tutte le possibili scelte delle x,y,,.,,t si chiama il dominio, o il campo di estensione della f{x, 2/, . . ., /). Sitfatto dominio si dice illimitato se tutti i valori sono possibili perla f{x,y,...,t); si dice limitato nel caso contrario. Le parole illimitata, limitata si applicano pure conHspondentemente alla funzione /'(j:;,!/,..., ^),— Di-oendo che il valore a di una funzione è inferiore, più piccolo del valore ^ allorché è soddisfatta la inclusione a • • • > B « > • • • > H « Un'equazione in cui uno dei due membri è nullo e l'altro è presentato col suo sviluppo noì'male si dirà in forcina noì'niale. Così la forma normale dell'equazione proposta è la seguente A a A a 072/. . . ^ + Bp B p cry .. .t-\.. . \Hx xy...t = ^, (3) Esempii. 1.^ Sìa data l'equazione ax -{bx =:z ox -\dx ; i suoi discriminanti sono i determinanti formati, nel modo sopra indicato, con ì termini delle due orizzontali ab ed m ab od cioè a e a e :=ac -\a>c, b d bd = bd i-bd ] e r equazione, in forma normale è la seguente (ac -{ac)x -{{bd -fbct)x = N . 2.^ Sia ancora data l'equazione ax -|bx = cx ; siccome può scriversi cx=:cx -{Nx, cosi questo caso vien ricondotto al precedente ponendo (i = N ed osserv. che rf = T. Trattandolo direttamente, i suoi discriminanti si caveranno, nel modo sopra indicato, dal quadro e saranno, perciò a b a 6 e N e* T ac'4-ttc, òT4-òN==6 L' equazione, in forma normale, sarà {oc 4ctc)a; + òx = N . 3.° Sia l'equazione ax '\bx == e. — Potendosi scrivere c = ca;-jcas, i discriminanti dell'equazione, e la forma normale di questa, si otterranno facendo corrispondentemente e dappertutto d = c nell' es. 1.*^, ovvero, direttamente, cavandoli dal quadro a b a b e e e e I discriminanti sono ac -}oc ^ bc -{ bc j e la. forma normale dell'equazione è _ _ _ _ _ {cLc -{ac)x -f{bc -fbc)x = N . Sia l'equazione ax-{'b=cx] poiché b==bx-{-bx e cx=cx~{-ì^x ^ i discriminanti saranno cavati dal quadro a + b b ab b e N e saranno perciò (a -}6)c -|afte, 6. L' equazione in forma normale sarà [(a + b)c -\abcjx -\bx = 'N . 6.*^ Sia l'equazione axy -f bxy + cxy + dxy = exy + fxy + gxy -\hxy ; i discriminanti di essa, cavati dal quadro a b e d a b d e / g h saranno e f g k ae-^ae, bf-\-bf^ cg -^^ cg, dh -\-dh : e l'equazione, in forma normale, sarà (oe -f ae)ajy + (V + hf)xy + {cg + cg)xy + {df + d/)xy = N, — 46 — 6.*^ Sia ancora l'equazione axy + xy + dxy = xr/ + gxy ; se la scriviamo come segue ricadiamo subito sul caso precedente ; cioè troviamo che i discriminanti sono da farsi col quadro: a T N rf a N T d T N ^ N N T // T } e sono, perciò _ a, T, ^, d ; sicché l'equazione, in forma normale, sarà axy + jry + r/xy + dxy = N . OsservazioThe, Quando nello sviluppo normale di una funzione logica manca in un addendo il coefficiente del relativo costituente, allora è da intendersi per esso il termine T. Cosi, se manca addirittura l'addendo che porta un dato costituente, esso si considererà come presente e col coefficiente N. Questa osservazione è stato appunto tenuta presente nel trattare il precedente esercizio 6.® h) Quando sia data una inclusione contenente termini variabili, si diranno discriminanti della inclusione, i discriminanti di una qualunque delle equazioni che equivalgono alla inclusione. Così, data la inclusione Aa;, 1/, . . ., e per massimo a + P + ... + XOra, perchè l'equazione sia possibile per una medesima scelta delle x,y,...,t ^ è necessario .. che questi due dominii non siaAB...H A+B+...+H «P...X «+P+...+X no mutuamente esclusivi, ^^^' ^'" cioè che il loro prodotto, in senso logico, non sia nullo, e però è necessario che si abbia (fig. 7.% 8.^). AB.,.H -^^] tende che debbono essere soddisfatte coatemporaneamente, scegliendo per tutte in uno stesso modo le incognite da cui dipendono. È proposizione fondamentale per lo studio dei sistemi di equazioni la seguente Prop. 3L* Ogni sistemjx di equazioni è equivalente ad una sola equazione i cui discriminanti sono le somme dei disoHminanti omonimi delle singole equazioni del sistemai. In fatti, siano /,(^,2/,...,0 = N, /;(a7,2/,...,0 = N, ..., ^»(a?,|/,...,0 = N (6) m equazioni costituenti un sistema. Per quelle determinazioni delle a?, 1/, . . ., per le quali queste equazioni sono soddisfatte simultaneamente, è soddisfatta pure la equazione che risulta dal sommarle membro a membro; vale a dire la /; + /; + . ..+/;.=N . o) Viceversa, ogni determinazione delle x,y,,..,t per la quale è soddisfatta la (6), in virtù del CorolL della prop. 9.% a sinistra, soddisfa pure alle /;=N,/;=N, ..., /:,=N -, cioè simultaneamente alle equazioni. Dunque, il sistema e la equazione sono equivalenti. Ora, per la prop. 25.* e per la def. data al n.° 18, a), essendo i discriminanti della (7) le somme dei discriminanti omonimi delle (6), la proposizione enunciata risulta dimostrata. I discriminanti dell'unica equazione, equivalente alle equazioni di un dato sistema, si chiamano discriminanti del sistema. — Così, se i discriminanti delle /; = N, /i = N, ..., ^ = N sono rispettivamente Aj, B^, . . ., H^ ; A,, B,, . . ., H, ; . . . ; A^, B^, . . ., H^, i discriminanti del sistema saranno A = SA,, B = 2B,, ..., H = SH,, e l'equazione (in forma normale) che sostituisce il sistema stesso Kooy . . . ^ 4Bxy . . . ^ + . . . + H^i/ . . .^ = N . (8) 21. Sistemi di inclusioni. La definizione di sistema si estende al caso in cui in luogo di equazioni siano date delle inclusioni, ovvero delle inclusioni ed equazioni insieme; e la proA. Dbl Rb — Algebra della Logica, 7 — 50 — posizione 31.* regge pure in questi due casi. — In fatti, siano A (^, 2/, . . ., Yt i discriminanti delle f^ e 9,(e = 1, 2, . . ., m) rispettivamente omonimi, per essere [n. 18.% ì))] A,a,, B,p,, . . ., H,x. quelli della /Jqp^., saranno A^a^ + A,a, + . . . + A^a^ = 2Aa B,P, +B,p, + ...-hBX=2Bp" • • • • • • • quelli dell'equazione unica che rimpiazza il sistema (10), epperò il proposto (9). La forma normale dell'equazione equivalente a (9) è la seguente SAà,ODy..A-\SB^ . 0?^ . . . ^ + . . . + 2Hx . ^'^ . . . ~t = N . Se un sistema contiene inclusioni ed equazioni, ciascuna di queste ultime può essere considerata come inclusione possedente per termine maggiore il termine N. Definizione, I discriminanti della (11) si chiamano pure discriminanti del sistema. P. e., sia a formare P equazione equivalente al sistema oas -|6a; • • • > ^9 + ^9. La risultante dell’eliminazione delle (v,y,... yt dalla (10) sarà perciò la _ _ « _ » _ («9 + «9) (&9 4^9) . . . (^9 + /29) = N, ovvero la _ __ _ e scrivendo 9 e 9 per disteso, la ab...h\ aS.„hu-\'{a+S-^...'\'Ji)u\ +a&...^j(a-f&...+^)t«+a&...^w|=N ; e questa è, evidentemente, soddisfatta indipendentemente dal valore di u, poiché sono nulli i coefficienti di w e di u. Corollario 1.° Se nella (10) facciamo i^ = T, con che w = N, avremo f{a),2/,...,^) = a~|-^ + --+ ^; se facciamo, in vece, te = N, con che w = T, avremo f{x, 1/,...,/) = a& ... /z. — Gli estremi ab . . . h, a + b -|• • • + h del dominio di estensione della f (x, y, . .,, t) sono quindi valori effettivamente raggiunti dalla funzione (cfr. prop. 29.). Corollario 2.° Poiché la (a-\b +,,.-{h)u -\-ab ...u rappresenta tutti i valori compresi fra ab,.,h ed a+&+... +/^ (prop. 18.% oss. in fine), la prop. 26.* si completa affermando che i valori di cui una funzione logica è suscettibile sono tutti i valori compresi fra ilpr^odotto e la somma dei suoi discriminanti. Corollario 3.° Una funzione logica è illimitata se il prodotto e la somma dei discriminanti valgono rispettivamente il nulla ed il tutto \ cioè, riferendosi alle indicazioni di sopra, se contemporaneamente aì)...h = ^, a + et + ... + ^ = T, ovvero od anche _ _ Corollario. Perchè due funzioni f(x, y, ..., t), 9(x, y, ..., u) dello stesso > di diverso, numero di variabili abbiano eguale estensione è necessario e basta che il prodotto e la somma dei discriminanti dell'una siano rispettivamente eguali al prodotto ed alla somma dei discìHminanti dell'altra. ^ Corollario 5.® Se il prodotto dei discriminanti di una funzione logica eguaglia la loro somma, la funzione ha un sol valore (sì riduce ad un termine indipendente dalle incognite). In fatti, in tal caso, per essere sarà (prop. 10.^) a = et = ... = ^ ; epperò si avrà : f(x, 2/, ..., f ) = a{xy ... t + xy .,.t-{... + xy ... ^) = aT = a . Si puo trovare, col mezzo della precedente proposizione 33.% la condizione data al n.^ 19 [eguagl. (4)] per l' esistenza di valori comuni ai dominii di estensione delle funzioni /(a;,y,...,«), 9(05, y,...,«) . Detti A, B, . . ., H i discriminanti della /> oc } P 7 • • ^X quelli della 9, ed ii un termine assolutamente arbitrario, poiché i dominii di estensione della /, 9 sono quelli stessi delle due funzioni (A + B + . . . 4H) w + AB . . . Hw = Sm + Pt4 del termine w, vi saranno valori comuni alle /, 9 tutte le volte che è possibile scegliere u in modo che sia Sw -jPw = aw -{*Ku . Ora^ essendo Sa + Sa, Pit + Pw i discriminanti di questa equazione, ciò avviene tutte le volte che si abbia (Sa + Sa)(Pit + Pw) = N ; ovvero, essendo SPàir=(A + B + ... 4-H) AB...Hfltp...Y (à+p +-...+x)=AB...H . flìp...x SPait = SPap . . . xap . . . x = N SPaw = AB . . . H . AB . . . H . a« = N SPait=AB ... H(À-f B+ ... +H) (a+p +... +x)»P X=ÀB ... Hotp ... x, -57 — quando sia AB . . . Hap . . . X -f ap . . . ^ÀB . . . H = N, che è appunto la (4) citata. 24. Equazioni limitate ed equazioni i/^^meto^e. Un'equazione logica fra più variabili x,y,.. .,z,t si dice illimitata rispetto ad una variabile t, allorché scegliendo comunque la f, la equazione sia possibile per valori da determinarsi delle altre variabili a?, 1/, ..., ^ ; e si dice illimitata rispetto a più variabili, separatamente considerate, quando una tale proprietà ha luogo per ciascuna di dette variabili. Un'equazione logica si dice illimitata simultaneamente rispetto a più variabili quando, facendo di queste una scelta arbitraria, la equazione sia possibile per un'opportuna scelta delle altre variabili. Un'equazione non illimitata si dice limitata. Un' equazione illimitata rispetto a tutte le variabili da cui dipende ha, evidentemente, tutti i suoi discriminanti nulli ; giacché, scritta, p. es., in forma normale, . . . + L^ • • • zt-^. . . = N, se è ljxy...zt un suo termine qualunque, ponendo T al posto delle variabili che figurano in esso direttamente, ed N al postodi quelle che vi figuraflo coi supplementi, il termine stesso si riduce al suo coefficiente L, mentre con l'analoga sostituzione gli altri si annullano. Dovendo, intanto, l'equazione, per ipotesi, essere soddisfatta si ha L = N. b) Sia f{x, t/, . . ., ^, = . . . (11) un' equazione logica, nelle variabili a?,2/,...,z,^, e supponiamo dato a ^ un arbitrario valore, sicché essa diventi equazione nelle sole variabili a?,t/,...,z. Scrivendo questa equazione nella sua forma normale, sia essa kxy . . . z + Vixy ... ^ 4... -h Vi.xy . . . .s: = N ; (12) saranno A,B,...,H funzioni della sola t che potremo pensare scritte come segue k = a,t + aL~t, B = Pj^-hp/, ..., H = x\^-hx/; (13) *) Whitehbad, l, e, n.® 32, pag. 59 e 60. A. DfCL Rb ~ Algebra della Logica. . 8 \ — 58 — sostituendo nella (12) avremo la (11) nella forma a^xy .. .zt-\p^a^,, . zt -{-,., -f Xi^ . . . ^^ + oL^xy . . . ^7 + ?iXy ... ^7 + ... + Xì^y . . . ^^ = N ; dalla quale si vede che «i, Pj, . . ., Xi so^^ i discriminanti della /* (pensata come funzione dell'intero numero di variabili) positivi rispetto alla f, e che ai,p8,...,Xi sono i discriminanti negativi rispetto a t. Ora, perchè la (12) sia possibile deve aversi AB... H=N, cioè (aj + a,ì) (^,t + p^O . . . (x,t + X J) = N, ovvero aiPi---Xi-^ + a8p8...Xi-^ = N (14) pel dato valore di ty e per ogni altro arbitrariamente preso; vale a dire, in grazie di quanto si è detto in a), deve aversi «iPi • • • Xi = N, a,pj . . . Xg = N . Cosi : Prop. 34.^ Affinchè un'equazione logica sia illimitata, rispetto ad una delle incognite da cui dipende, devono essere nulli il pròdotto dei discriminanti positivi rispetto a quella incognita, ed il prodotto dei discriminanti negativi. Per trovare le condizioni di illimitazione rispetto a più variabili occorrerà scrivere per ciascuna variabile le due condizioni che risultano dalla proposizione precedente. e) Sia ancora la (11), e supponiamo fatta una scelta arbitria di alcuu'e ...z,t delle variabili; sicché la (11) diventi una equazione nelle sole variabili rimanenti a?,?/,... Allora, scritta in forma normale, la (11) sia aan/ * . . + ^(vy + . . . + xooy . . . = N . (15) Le a, p, . . ., T conterranno le . ..z,t, e perciò nel loro sviluppo normale rispetto a queste, .,z,t si presenteranno come espressioni della forma et = fltj . . . Zt -p . . . -|(Xm • • • zt p = p^,,, zt -|. . . -p p„ . . . /2^f T =T^ . . . zt -\., . -\-T^ . . . zt . — 59 — Sostituendo questi valori nella (15), potremo scrivere la (11) come segue ...+(T,...s:^-f-...-fTjj,...^0^-=N ; (16) e da questa si vede che a^,. . .,a^, Pj, . . ., p^, . . ., t,, . . ., t^^ sono i discriminanti della f considerata come funzione di tutte le date variabili, e precisamente che «1, pj, . . ., T^ sono positivi rispetto a tutte le ..,zt «j, Pj, . . ., Tj » » » alle,„Zf e negativi risp. a t •»•>•••>• «pk » P^ > • • . » T'i^ » negativi rispetto a tutte le . . . zt Ora, perchè la (15) sia possibile per valori da trovare di a;,2/,..., . dovrà aversi «p . . . t = N, cioè (a^. .zt-{-...-j-a^.,.zl) (Pi...-3:^+...+pjj... (^ 4" ^)^ 4" ^^^ > orf 4" ^^ > e quelli negativi (pj^c)d + hk, hd-\-bd, cd4-cd, Nd4-Td = d . Il prodotto dei primi (tenuto presente che sono tutti nel loro sviluppo normale rispetto a d) è (a 4" ^ 4" ^) (^ 4" ^) (^ 4" ^)^ 4" *^^ . ca . ah . ad^=^ ad '\abc . d ed il supplemento di questo prodotto (a + d) (a + 6 + e 45). Il prodotto dei secondi è, in vece, ho,d, mentre è ab ed il prodotto di tutti i discriminanti. Dunque, il dominio di estensione della x è 6c . rf ropomamooi ài trovare: 1,^ la risuUamiU (oondìzìoae per la sua possibilità); 2.^ % damimi di estensione deUe x j y, z, 1.^ Le tre equazioni del sistema possono essere scritte x^ome segue xyz -|Nosyz -fxyz -[Hixyz -|l^xyz -[Nojyz -jNasya + ì^xyz = a xyz -jxyz -|ÌHxyz -j. . = è '^ ; (31) 05^2 -|'Nxyz -f-\xyz -|Nojyz -|d'onde segue che i loro discriminanti sono rispettivamente b,b,b,b,b,b,h,b\, (32) e quelli del loro sistema a + 6-|-c, a-{-b-^c, a -{b -^ e, a-|-6-{-c, a + 6 + c, a-f-ft + c, a-|-6«-}-c, a + ^ + c(33) La risultante sarà, dunque (a + 6 + e) (à + 6 + e) (a 46 + e) (a 46 + e) (a + 6 + e) = N ; ovvero, per essere (prop. 6.% pag. 11) (a -^ b -\e) (a -\b '\' e) =^ a -\b -]ce = a -{b {a -\b -\e) (a -{b -{e) z= e '\{a '\~ b) (a '{' b) = e -\ab -{ab, e poi pure (a -}^) (e + «^ + «&} = ca -f" ^'^ ~l~ ^^, sarà (a 46 -Ie) (6c + ca -|oò) = N ; o. in fine 1 aòc -j6ca + ca^ = N . (34) 2.° Dal gruppo (33), confrontato col modo come sono state scritte le (31), si scorge che i discriminanti del sistema positivi rispetto ad x hanno per prodotto {a -^ b -{e) (a -{b -{' e) (a -{b -\e) (a -\b -\e) = a(b -^ e) -^^ a,bc e quelli negativi per prodotto (o 4è -[e) (a + ò 4e) = ò + e, ^ f-^ — 67 — ne segue che il dominio di estensione della x è h '\e -\'~c) . In vista della simmetria che presentano le equazioni del sistema rispetto ad una permutazione ciclica delle xyz ed alla corrispondente permutazione ciclica delle a ^h ^c ^ si può affermare che i dominii di estensione delle y, z sono rispettivamente ^ • (86') a 4" ft ^ a6c -|e (a + 5) ) Visto che dalla (34) seguono le ahG'=.hGa^=.cab'=il che danno ohe = bc = ca = ab e tenuto pure presente la prop. 5.*, le (36), (35'), possono pure scriversi come segue b -\e ^bc -{a ' e -{a^ca-^-b a'{' b^ab ^ e x — > «I» ^ * * * ^ Q ^®orisp. ad y, Pj, ..., Pv » » » ^^S' * ^ ® pos. risp. ad y, Pv+i » » PpL » * » >> ^ ® ^^S' risp. ad y ; perciò, il prodotto dei discriminanti negativi rispetto ad y nella data equazione è QS e la somma dei supplementi dei discriminanti positivi rispetto alla stessa y è P-f-R ; da che segue essere QS Qa?-f-S^ ovvero PRo? + PRiZ? = N, si vede che per ogni valore di x del dominio RP ad 1/, con E,F i prodotti analoghi rispetto a. z, e cosi via via con L,M i prodotti analoghi rispetto a ^, si può scrivere Sostituendo questi valori nella (1), o soltanto un gruppo di essi, si avrà, come risultato della sostituzione, una equazione nella quale entrano come incognite le Wj, t^j, ...,u^o un gruppo di queste, e tale equaz. è illimitata risp. a ciascuna delle nuove incoga. [Una equazione ad una incognita sia stata ricondotta alla sua forma normale aw + b.v = ì!i ; (11) poiché è a l'unico discriminante positivo deir equazione, e ?j l'unico discriminante negativo, sarà al) = la risultante dell'equazione stessa, e t) -|cd(d -|-«)^t) -|cd(d'{-cb)ìw= =ab . uv^buv -fo>cduv -fcd6 . wv, sicché bxy=abGduv=iN ; a;y=a6(a-|-ftc)uv -fo con l'adoperare le notazioni del n.® 25, rf), conduce ad a? = (P + Q)u + RSw = {aà' + W)u, + cc\ ùdu^, (16) e quindi [form. (5) prec. e form. (46) n.° 25, d)'\ ad y=A^(wJw,+B,(Wj)w,= = {aà! + ed, dd) u^u^ + W (aà' + dd') u^u^ + (ce' + aa'. dd') u^^ + dj^ (ce' + W) u^u^, (17) essendo _ A (Mj) = {aa' + ed. dd') u^ + {ed + aa!. dd')u^ — 77 — d'onde _ A(Wi) = aa'(6v' -f (id')u^ + cc'(aa' + M)u^, e _ B{u^) = bb'(aa' + dd')u, + M' {ed + ftft') ti^ . Dallo stesso quadro di cui sopra si vede anche subito che, per continuare ad applicare lo stesso procedimento tenuto in h), si deve osservare che il dominio di estensione della z, essendo a'c\ b'd' ^) • ^ » ^(tt, t>) = (a 4hd)uvi 4d{h -\a)uv f (6 4" clcì)uv 4" (^ + cd)iM3, ^{u, 1?) = (a 4" c(i)wD 4" ^(^^ 4" ^c)w'u -|c{a 4&)«*v 4* ^(* 4" «,) = N (a^ + b,) {a, + b,) {a, + bj (a, + &J = N Cosi, visto pure che le x^y, con formule analoghe alle (39), in vece che in funzione di due sole variabili indipendenti u^, u^ possono esprimersi iu funzione di un numero n u^yU^,., .,u^ di siffatte variabili, e che ciò fatto si arriva a conclusioni analoghe alle precedenti, abbiamo: 1.® che due variabili d’assegnate estensioni soddisfanno ad una infinità di equazioni non contenenti altre variàbili; 2,^ che due variabili di estensione illimitata possono essere indipendenti^ o collegate da una infinità di equazioni illimitate rispetto a ciascuna delle vaìHabili e non contenenti altre variabili. Ciò viene a significare, in sostanza, il fatto da ritenersi evidente, che esistono infinite equazioni in due variabili che sono illimitate rispetto a ciascuna di esse). Questi risultati possono essere estesi al caso di un numero qualunque di variabili. Le (43) contengono le (42) e contengono inoltre le seguenti, come si rileva sviluppando i prodotti e sommando, l^fl^afi^,, + ^.u^flK + 2à,«,àA..+ ^o.pypm = N (44) Sa.^.^A. + ^fl^K + ^dflAK + 2«À¥«. = N, (45) e quella che si deduce dalla (44) scambiando le a con le b. La (44) e quest'ultima possono scriversi pure come segue 2« ^a, + 2à,a^àj = N, 2^? A^, + 2^À^, = N ; (46) e poiché da (47) afl^a, -f afl^a^ = afl^ (a, + a^) = N «i«m^t + «i«À = ^m (ài + a J = N seguono rispettivamente afl^ i^i + (s » ^ J ^ » y)^i^i + (a^, 6^ ; a:, y)u^u^ = N . (62) Ora, la condizione perchè questa equazione abbia una soluzione sola è, in virtà della (31) 2~(a.,h.]x,y) r{a^, \ ; ^, 2/) = N, (e, A; = 1, . . ., 4 ; i z|= ^^ ovvero, per essere ~(a.,h^',x,y) =~\{a., x) + {h., y)\ = (a., x) (6., y) : 2(ai, x) {b., y) (a^, x) (b^, y) = l{a.a^x + a.a^x) {h.h^y + ò.6"^y)= N, od anche Sa.a^ò.ò^ . xy -f ^a.aj^.\ . xy + 2a.a^6.6^ . xy +2a.a^6.ò^ . xy = N ; e questa è soddisfatta identicamente in virtù, della (49). 88 — Rammentando quanto si è detto nel n.^ 28 in ordine ai valori delle incognite che risolvono un'equazione provvista di una soluzione sola, si ha pei valori di w^, u^ che soddisfanno alla (62) le espressioni segu. ; epperò, siccome, per tutti i valori dell'indice /, da 1 a 4, si ha -(a.,b^]x, y)={u., x) {h., y)=afi. . xy+afi. . xy+a.b. . xy + afi. . xy (a., b. :x,y) = {a. + b.) xy + {a. + ò .) xy + (a . + b.) xy + (a . -f b.) xy, se si scrivono le (53) nella forma Mj = (x^xy -f fltgjjy -}«gay -fa^xy '^2 = ?^xy + p,xy + p3xy + p^xy (54) si avranno, fra le a^, . . ., a^, p^, . . ., P^^ e le a,, . . ., ^4 ? ^i » • • • r ^4 » 1® relazioni seguenti «1 = K + ^) K + \) = a,6, + «A «2 = («3 + ^3) («4 + **) = «1^1 + «2^2 «3 = («3 + ^) («4 + h) = «1^1 + «2^2 «i = ^«3 + ^3) («4 + ^4) = a,^ + aÀ l / (65) Pi = («2 + ^) («4 + b^) = ttjò, + ajò, P2 = («2 + ^) («4 + ^4) = «1^ + «3^ P3 = («2 + ^2) K + K) = ~^i\ + «3^ Pi = (^'a + ^2) («4 + ^4) = «1^1 + «8^ Il Sig. WiiiTEHKAi) ha chiamato sostituzione l'assieme delle due relazioni quanio è soddisfatta la condizione (61), cioè quando sono possibili le relazioni inverse (53), che allora costituiscono la sostituzione inversa della data. Con le formule (65) da una data sostituzione [la (39jJ si passa alla inversa [la (54)]. Indicata con t§ una data sostituzione, con tB~* si indicherà la sostituzione inversa ; trasformare con tB le x, y nelle Wj, Uj, e poi trasformare le Wj, Wj con t§~* equivale a ritornare alle x,y ^ vale a dire, a lasciare invariate le x, y. Chiamando, perciò, prodotto t?,t§j| di due soatHuaioni t^i^t^^r ^^ ^^ dìr&nrìo fcUtorij Toperasione che cotisiste nel cambiare dapprima i due termini logici a;, ^ nei termini logici x^, y^ per messo di tS, j e poi x^ ^ y^ in x^, y^ per mezzo di t?,, operazione che^ evidentemente ò, a sua volta, una sostituzione, si chiama bosHiu9Ùme identica il prodotto tStS~^. Tutte le sostituzioni formano, cosi, quando vi ai include la sostituzione identica, una classe tale che il prodotto di due individui della classe è ancora un individuo della stessa classe; vale a dire (vista pure la proprietà cumcicUiva del prodotto: Le eoatituzioni formano un gruppo. Se si indica con t§* la sostituzione t§t§, con t?' la t3*t§, etc. con la ©** la t§**~*t?, per un certo valore di m la tS"* coincide con la sostituzione identica. Giacché, dai simboli logici che figurano in t^, come costanti, si passa a quelli che, come tali, figurano in t^, per n qualunque, per mezzo delle operazioni di somma e di moltiplicazione logica che non introducono nuovi simboli logici. Epperò, dopo un numero finito di tali operazioni, si dove tornare alle costanti di partenza. //€ sostituzioni neW Algebra della Logica, sono, dunque, tutte periodichr (cfr. Whitehbad, Memoria cit., part. II, § 3). § X. li problema generale di Booie. Metodo simmetrico di Schroder per risolvere le equazioni logiche. 30. Problema A Btole *\ Allorché è data una funzione logica di più variabili a?, y, . . ., ^ r{pD,y,...,tì (1) se si lasciano arbitrarie le a;, y, . . ., ^, i valori della f sono quelli del dominio che si estende dal prodotto alla somma dei discriminanti della /(prop. 33.*). Ora, se in qualche modo si impongoQO alle a?, !/>..•, 8. A. Dkl Rb " Algebra della Logica. 12 00 di una funzione logica V imporre alle variabili da cui la funzione dipende certe deterraìnale condizioni. Le condizioni da imporre alle Xyy,>..,t nell'algebra che studiamo, si riducono tutte ad obbligare le variabili a soddisfare ad un certo sistema di equazioni, poiché, quando, in vece di questo sistema, fosse prescritto per ogai variabile un proprio dominio di estensione, si potrebbe sempre costruire [n.** 29, b) prec] un'equazione che collegherebbe le variabili, e che, mentre prescriverebbe per queste come dominii di estensione i dati, le lascerebbe arbitrarie in tali dominii Si supponga perciò che le variabili oo,y,,..,t soddisfacciano alle equazioni, tutte possibili, del sistema 9j(ir, 1/, ..., 0=N, 92^07, 1/, ..., t)=N, ..., 9,(0?, 1/, ..., 0=N, (2) in numero di r, supponiamo. Indicando con «j, Pj, . . ., X, ; otg, Pg, . . ., X2 ; . . . ; a^, p^, . . ., X,, rispettivamente i discriminanti omonimi delle 9,, 92, . • . » 9^ » ^ ponendo a = 2a,, p = 2p,,, ..., X = 2X,, (3) al sistema (2) è possibile sostituire l'unica equazione 9 (a?, i/, . . ., = ^^y " ' t -\^^-^y . . . ^ + . . . + ^J^ . . . 7, (4) ed il problema di cercare come si restringe il dominio di estensione della f{x,y,. .,,t) vien ridotto a quello di trovare il do[*) Ad es., se si tratta delle due vai'iabili ac, y per le quali siano stati assegnati rispettivamente i dominii di estensione B^, quando^ ed x,y^...,t si trovano collegate dal sistema delle due equazioni 9(07,1/, ...,0 = N ] Ora, se si suppone che i discriminanti della f nelle a?, y, ..., ^, omonimi agli a, p, . . ., X, siano rispettivamente a,&,..., ^, i discriminanti della prima delle (5) saranno le funzioni prime ap -\ap, hp -\-l)p, .,., Ip +7/;, e quelli del sistema (5) le espressioni »-[ ap + ap = (a'\a)p + (a -f a)p ^^ì)p+hp = (^ + b)p -f (p + &)p (6) X + /!> + /p =(X + /)i> + (X -{l)p sicché la condizione per la possibilità di un tal sistema, cioè la condizione perchè p rappresenti valori della f{x,y f. ..yt) corrispondenti a valori della ;r, t/, . . ., soddisfacenti al sistema proposto, vede espressa dall' uguagliare ad N il prodotto dei -secondi membri delle (6). Si ha dunque per i? l'equazione (a + à)(p-f-&)...(X + ÒP + (a + a)(P + &)...(X j l)p = ìi ; e questa mostra che il dominio di estensione della p è (a + a) (p + &)... (X 4-, + 6rfM,= (a + e) (m, -jbdu^) xy + xy = x = {o + rf)w, + aòù^ = {c + d) (w, + oòw,) ; (14) asy + ajy = y = (6 + T{oc, y) = kxy + ^xy -fCxy + \)xy = N (15) la data equazione, e proponiamoci di soddisfare ad essa per mezzo di valori delle x, y dati dalle formole X = a^uv + a^uo -\a.^v + a,;av y = })^x> \b^uv -\h^uv -fb^uv dove u, 'V sono termini arbitrarli, ed indipendenti. (16) --Gola virtù di quanto si è detto nel n.® 29, b), le cD,y date dalle (15) sono legate dairequazione Ìl(ài'\-b,)ayy \-n{à,+b,)a^+n(a,+b,)xy, (17) se dunque si scelgano le a,, a,, flj, a*, &,, &,, &8, b^ in guisa che i coefHcienti della (17) siano rispettivamente eguali a quelli della equazione data (15), cioè in guisa che sia (18) a fi, + a fi, + afi^ + a fi, = À afi, + afi^ + afi^ + afi, = B f O'fii + «A + ^«^ + «A = ^ a fi, + «A + afi^ + a fi, = D saranno le (16) la soluzione dell'equazione (15).Le (16) sostituite nella (15), a riduzioni eseguite, danno f(a,, b,)uv\-f{a^, /;,)t«i?+Aa,, b^)uv\'f{a,, 6Jwt5=N, (19) e perchè questa sia soddisfatta qualunque siano le w, v occorre che sia f(a,, &,)=N, Aa,, &,)=N, f(a,, «^,)=N, fia,, ^)==N . (20) Ora, quando sono verificate le (18), le (20) lo sono egualmente, poiché dalle (18) si deducono le (21) kafi, + AaA + A^s^s + Afl A = N B«. A + Ka A + BaÀ + Ba/, = N Càfi, + Ca A + ^fi^ + Ca4&4 = N Da fi, 4Daj/7, + Dafi^ + Da fi, = N e da questa per* somma na,, b,) + Aa,, b^) + Aa,, b,) + /*(«,, ^) = N . (22) Abbiamo in ciò una pruova che le (16) rappresentano la soluzione generale dell'equazione (15) subordinatamente alle condizioni (18) ed altresì all'informazione che a,yb,\ a^,b^ ',a^fb^ ; ^4,^4 sono quattro soluzioni particolari della stessa equazione. Non per ogni quaterna di soluzioni particolari dell'equazione sono soddisfatte le (18); giacché, supposte le (20), queste danno AaA=N, BaÀ = N, CàA = N, DàÀ = N {^=1,...,4), e quindi pure aA,=-C, SaÀ = D ; cioè appunto le [Il nostro problema della ricerca della soluzione generale rappresentabile con le formole della equazione, è dunque ridotto a quello della ricerca di una soluzione sola per ciascuno dei 4 gruppi di equazioni /'(iP,2/)=N ) /•(^,2/)=N; Aiz?.y)=N 1 Aa?,y)=N ) _ (24) _ _ (25), _ (26) — (27) xy=^k 1 xy==Q j xy=C ] a?i/=D ] Siccome i discriminanti delle seconde equazioni dei vari gruppi sono rispettivamente A,À,À,À;B,B,B,B;C,C,C,C;D,D,D,D, cosi, al posto di tali gruppi vanno considerate le equazioni, iso\ — orlatamente prese Aa;i/ + (B4-À)a;j/ + (C + À)^j/ + (D + À)afyB=N (24) (A + B)a7V + ft»i)+(C + B)^l/ + (D + B)^ = N (25) (A + C)(Bv + (B + C)a-y + Cxy+(D + C)xy = i:i (26) (A + D)iPj/ + (B + 5)a^ + (C + D)^ -f-D^=N (27) le quali, per essere ABCD = N, sono tutte possibili. Poiché queste equazioni sono palesamente limitate, trasformiamole in equazioni illimitate. Eseguendo il calcolo per la sola prima, dovremo porre nella (24) (28.) ar=(A+B)I,-KA+CD)X, a^=ABX,4-A(C+D)X, j/==(À+C)|»,+(À+BD)|I, ' i;=AC|x.+A(B4-Ì)K ove Xj,|i, sono termini arbitrarli; avremo A{(À+BC)X,|t,+ÀX,ii, +ÀX,,i, + À.X,ii.l4+(B+À)|ABC . X,|i,,+Am,ii[, +ACDX,|i,,+ABCD . X.ji,)+ +(C+À){ACB . X.ji.-f-ABDXjjI.+AC . X,|i,+ARDC . X,ii,H+(D+À)|ABC . X,|t,-|-ABDX,p.+ACr)X,ji,+A(f) f BC)X,|i,J=0 ; ovvero, fatte le riduzioni: ABC . X,fi, + DABCX.jI, = N . (24') In modo analogo, trasformando le (25), (26), (27), si hanno rispettivamente le BAD . X.|i, + CBÀDX^. = N (25') CAD . X,|i, -1BCÀDXjI, = N (26') DBC . Xji^ 4ADBCXaT» = N (27') ove Xj, |i, ; X,, (1,, ; X^, ja^ sono termini arbitrarli, sottoposti alla sola condizione di soddisfare a queste equazioni. Scrivendo le espressioni delle 0B,y, analoghe, con le quali si passa alle ^i=N,fi.,=A ; X2=B,jji2=C ; X3=B,;i.3=(3 ; X,=D,|i^=N, — 99 — e quindi un'altra forma di soluzione generale dell'equazione, quella data dalle formule x= (A + CD)wy + (B + QXy)ui + C(B + D)wì; + CDwr ì/ == (A + G)uv + B(C + \y)ux) + (C + BD)^!; + D(À + G)ùv. Se si osserva che quando le m, v, x sono legate dalla 1.^ delle (16), il dominio di estensione di y quale è dato dalla 2.* di queste formule, calcolato con la regola data nel n.° 80, b) si estende da un minimo rappresentato dal prodotto delle espressioni a^x + ttjX + ^1 = («1 + ^i)^ + («1 + ^i)^ a^x + a,x + 6, = (a, -f 6,)x -f (a, + 6,)x a,x + a,x + 6, = (a, + 6,)x + (a, + 63)x ad un massimo rappresentato dalla somma cioè, rispettivamente, da n(o'^. -|6^.) . X -[n (a^. -f6^ . X, 2 aJb^ . x + 2 a^A^ . x. Si trova che un tal dominio è quello stesso che ha la y considerata quale incognita soddisfacente alla equazione (15), se [n.^ 26, d), pag. 68] n(a, + 6^ = B, n(a. + 6,) = D, 2a.A, = A, Zàfi, = C ; vale a dire se sono soddisfatte le (18). Si arriva cosi a queste condizioni nel modo stesso che si trova seguito da Whitehead. Cosi può giustificarsi pure perchè il metodo di Schrodbr, che, come risulta dalla esposizione fattane, è indipendente dal problema di Boole, si trova qui presentato dopo della soluzione di questo problema. Il metodo precedente si può estendere ad una equazione con un numero qualunque di variabili, che supporremo scritta, in forma normale, nella maniera seguente f(x, y, . . ., = Aooyz .,,t + Bocyz . . . ^ + . . . + K^l^ . . . ^ ; (30) sicché ne sono a,b,c,, ., yh i discriminanti. Supponiamo di volere soddisfare alla equazione con valori della — 100 — forma X =s a^uvw . . . T + d^vw . . . T + . . . + QJ^'cw . . . T \ y = b^umo . . . T + b^uvw . . . T + . . • + h^uvw . . . T f t = k^UVW . . . T + h^UVW . . . T + . . . + hJULVW . . . T (31) ove w, t?, t^?, . . ., T sono termini logici arbitrarii ed è |ji = 2** ; bisogna, fatta l’eliminazione delle te, i;, ..., t da quest'espressioni, che l'equazione in ^, 2/, . . ., ^ risultante, sia identica alla equazione proposta. Ora, poiché i discriminanti del sistema delle (31), considerate come relazioni in w, i^, ..., t sono, per 1 = 1, 2, . . . w. _ _ («i,a7)-f(&,,2/) + --+ (AtJ) ; così l'equazione cui soddisfanno le x,y,...,t date dalle (31) sarà S(a,,a?)(6,,i/)...(/2,,0 = T ; ovvero lapfii ... hi . xyz... t-\^apf^ ...h^. xyz.,. ^-f +Sa,^^c,... ^^ . (vyz„.ì=T ; e questa equazione coincide con la proposta, se uJOaC^ ... fit ""p Cl^O^C^ ... rJj ~j— ... ~p" ^nPttyn^ ... n>^ ^— A. ttàO^Cà ... ria "X* C»|L/jC| ... rtji ""Y" ... ~p* dfx Ut Uf • • • JA "^ > . (32) 111 • * • ^i i" CtJDuC^ ... /vj ~j~ ... "Y* ^lìPtx u» • • • ^ui — xV. Ora, per soddisfare a queste relazioni, con valori delle a^.,&^, ^i, . . •, ^i > basterà prendere queste, per modo che siano soddisfatte le seguenti relazioni dtO^C^ • • • Ht — ^ Jx., CL^O^C^ ... /vj ^, JD, . . *, Cu^O^C^ ... /vj ^^ xv CL^O^C^ ... ^j ^^ A, (Z^O^O^ • • • ^j — * ìj, . . •, Clt^O^C^ ... ^j ^^ Jl\. ' . (33) poiché, sommando queste per colonne si deducono appunto le — 101 — (32); ed inversamente. Alle (33) si possono sostituire le ka^hyC^ ... /Ji = N, Ba,&iC, ... /^^ = N, ..., KaJ)fi^,..li^ = N Aajì^c^ ... /{, = N, Ba,&,c, ... 7e, = N, ..., Ka,&,c, ...\ = N ; (34) e queste, sommate per orizzontali, danno Queste si ottengono pure se si fanno le sostituzioni (31) nella (30) e poi si esprime che l'equazione risultante deve essere soddisfatta indipendentemente dalle w, ^, ..., t ; perciò le a^,b^, ..., h^ ; ag,&j,...,^j ;... ;aj^,&^,...,ftjj^ sono, rispettivamente, soluzioni dei sistemi di equazioni , _ _ ,..., -_ ; (35^) xy ... t =A ] xy,.,t =B ) xy ... t =K j ovvero delle equazioni, equivalenti a tali sistemi, kooy... ^ + (B + K)xy... ^ -f ... + (K + À)a72/...7 = N (A + Wjxy ... t + Bxy.,. ^ +... + (K + B)i^... ì= N, (36) (A + K)xy ... ^ + (B + ^)xy ... ^ + ... + KiT^... F= N tutte le volte che le (31) soddisfanno alla (30) indipendentemente dalle w, i;, . . ., T. Indichiamo con V^^Q^ rispettivamente il prodotto dei discriminanti positivi ed il prodotto dei discriminanti negativi rispetto ad X, nella prima delle (36), con P^, Qy i prodotti analoghi rispetto ad 2/, e così successivamente, con P,,Qj i prodotti ana- loghi rispetto a t ; per mezzo delle relazioni X = V^u^ 4- Q^w,, y = V^u^ + QyU^, ..., t = V,u^ + Q,^^, (37) la prima delle (36) verrà trasformata in una equazione illimi- tata rispetto alle t^j, tt,, . . ., t*^ . — In modo analogo verranno — 102 — trasformate in equazioni illimitate tutte le rimanenti equazioni (36); ed allora, per mezzo di gruppi particolari di soluzioni di tali equazioni illimitate in u^,u^,, . . ^u^ e per mezzo delle re- lazioni (37) e delle analoghe non scritte, si troverà, come si è fatto pel caso di n = 2, la forma che assumono le (31) allorché rappresentano una soluzione generale dell'equazione proposta. (Cominciato a stampare il dì 12 Ottobre 1906, Terminato il dì 15 Gennaio 1907), ERRATA-CORRIGE A pag. 12, penultimo verso, in luogo di «(6), (7)» leggi «(5), (^6)» A pag. 19, verso 6.®, in luogo di «§ I», leggi «§ II». A pag. ì>7, sestultimo verso, a pag. 43 (l.*^, 4.°, ultimo verso della Nota) ed a pag. 64, verso G.^ della prop. 33.% in luogo di « AVi- THEAD leggi « WniTBHEAD ». A pag. 76, verso 2.°, prima del segno =, in luogo di « a; »' leggi « x ». A pag. 80, verso 4.°, in luogo di «soluzioni» leggi «equazioni». A pag. 83, ultimo verso, cambia le due A in due B. A pag. 94, verso 6.°, togli « (12) » dopo la parola « relazioni ». Come comincia ogni conoscenza capace di deduttivo trattamento — Consi- stenza, compatibilità, indipendenza di postulati — No- zione di classe e di relazione — Calcolo di classi o di proposizioni e calcolo delle relazioni. Come qui si in- tende svolta l'Algebra della logica ....... » 1-5 § II. Primo sistema di postulati e concreta interpreta- zione di essi. — Addizione e moltiplicazione logica — Il tutto, il nulla — Leggi commutative — Legge asso- ciativa per l'addizione — Legge distributiva della mol- tiplicazione rispetto all'addizione — Legge dell'unità. . » 5-8 § IH. Proposizioni fondamentali. Termine supplementare di un termine dato Legge del medio escluso Legge di semplicità o di tautologia Leggi di assorbimento Legge distributiva dell'addizione rispetto alla moltipli- cazione — Formule di De Moruan — Legge associativa della moltiplicazione » 8-16 § IV. Legge di reciprocità di Peirce e Schroder— Enun- ciazione della legge — Osservazioni — Secondo sistema di postulati » 16-20 § V. Le inclusioni logiche — Delìnizioni ed uguaglianze co- me equivalenti ad inclusioni — Operazioni sulle inclu- sioni — Legge di contrapposizione — Osservazioni — Altre proposizioni — Teorema di Poretsky — Esercizi . » 20-28 § YI. Le funzioni logiche. I loro sviluppi. I loro discri- minanti. — Definizioni — Sviluppi di Boole e sviluppi reciproci — I minima ed i maxima di un discorso in n termini — Osservazioni — Proprietà dei discriminanti e delle funzioni sviluppate — Valori e dominio di esten- sione di una funzione logica — Esempii » 28-41 — 104 — » 61-71 Le equazioni logiche  l loro sistemi Definizioni Equazioni logiche equivalenti — Discriminante di equazioni e di inclusioni — Condizione per la possibi- lità di una equazione logica o di una inclusione — Si- stemi di equazioni — Sistemi di inclusioni — Esercizii^ esempi pag. 41-51 § Vili. Il processo di eliminazione— Le risultanti. — Il processo di eliminazione come equivalente a quello che PoRBTSKY chiama problema delle conseguenze Teorema di ScHRODER, e conseguenza per la possibilità di un'e- quazione logica Nozioni complementari sul dominio di estensione di una funzione logica — Esercizio — Equa- zioni limitate ed equazioni illimitate — Eserapii — Do- minii di estensione per le incognite che verificano una equazione, ed esempii — Caso di un sistema di equa- zioni, ed esempio Come si restringe il dominio di estensione di unMncognita per un valore assegnato, nel proprio dominio di estensione, ad un'altra incognita — Esempio corrispondente — La risoluzione delle equazioni logiche. — Procedi- mento generale — Trasformazione di equazioni limitate in equazioni illimitate Soluzione delle equazioni con una incognita e delle equazioni con due incognite Verifica Soluzione di un problema di Jonhson Equazioni con tre incognite Metodo di Jonhson per la soluzione delle equazioni con un numero qualunque di incognite, limitato al caso di due sole — Equazioni con una sola soluzione — Funzioni w'** lineari prime e sepa- rabili prime (Whitbhead) — Il problema inverso della soluzione delle equazioni Le sostituzioni. Il problema generale di Boole •— Metodo simmetrico di Scbrdder per risolvere le equazioni logiche — In che consiste il problema più. generale di Boole per l'Algebra della Logica, e soluzione di questo problema — Esempio— Come un'equazione condiziona i minima d'un discorso in n termini Metodo di Schrodbr per la soluzione delle equazioni logiche. Insegnamento di Geometria descrittiva nella Università di Napoli. Fascicolo stampato per uso degli studenti. Coutiene : oc) Il programma del corso ed il programma di esame per Tanno 1906-1907. P) L'elenco dei modelli geometrici donati dal prof. A. Del Re. Y) L'elenco dei modelli geometrici eseguiti dagli studenti nel periodo . d) L' elenco dei modelli geometrici acquistati dal prof. A. Del Re sui fondi assegnati alla sua scuola. L' indice dettagliato delle materie contenute nelle Lezioni di Geometria Descrittiva. La Astàttca e le sue rappresentazioni prospettiche -- presentata alla R. Accad. di Napoli, ed inserita nei Rendiconti della medesima. Alfonso de Re. Keywords: implicatura. Luigi Speranza, “Grice e Re”. Re.